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Sciences Industrielles
Cours Analyse cinmatique dun mcanisme
Analyse cinmatique d un mcanisme
SOMMAIRE
1. PRESENTATION DU SYSTEME SUPPORT : SYSTEME DE DISTRIBUTION AUTOMATIQUEDE BARRES : DISTRIBAR ............................................................................................................................2
1.1. ANALYSE FONCTIONNELLE .........................................................................................................................2 1.1.1. SADT A-0 de lensemble du systme DISTRIBAR . .........................................................................31.1.2. 1-2. S.A.D.T. A0 du systme DISTRIBAR . ......................................................................................31.1.3. Prsentation du MODULE DE CHARGEMENT .......................................................... ........................4
2. PRESENTATION DU SYSTEME MECANIQUE :POMPE A PISTONS AXIAUX A CYLINDREEAUTO REGLABLE....................................................... ............................................................ ............................5
2.1. DESCRIPTION DU SYSTEME PAR UN DESSIN TECHNIQUE ..............................................................................5 2.1.1. Description et fonctionnement .............................................. ........................................................ ........5
2.1.1..1 Caractristiques de la pompe PVB VICKERS .................... ..................... ...................... ..................... ........52.1.1..2 Dessin Technique de la pompe PVB VICKERS (DOCUMENT 1) .................. .................... .................... ..62.1.1..3 Nomenclature lies au document 1 (DOCUMENT 2)....... ..................... .................... ..................... ............7
3. A PARTIR DUN DESSIN TECHNIQUE, COMMENT ELABORER LE SCHEMACINEMATIQUE MINIMAL ? .......................................................... ........................................................... ........8
3.1. RECHERCHER LES PIECES CINEMATIQUEMENT LIEES ...................................................................................8 3.2. TRACER DU GRAPHE DES LIAISONS OU DE STRUCTURE................................................................................9
3.2.1. Sous-ensembles de pices cinmatiquement lies : les sommets du graphe..........................................93.2.1..1 Repres associs aux diffrents solides........................................................................................................93.2.1..2 Liaisons entre solides et paramtres gomtriques ..................... .................... ..................... ........................9
3.2.1..2.1 La liaison L01.........................................................................................................................................93.2.1..2.2 La liaison L12.........................................................................................................................................93.2.1..2.3 La liaison L23.......................................................................................................................................103.2.1..2.4 La liaison L34.......................................................................................................................................10
3.3. TABLEAU TRADUISANT VECTORIELLEMENT ET GEOMETRIQUEMENT LE GRAPHE DE STRUCTURE ..............103.4. TRACER DU SCHEMA CINEMATIQUE ..........................................................................................................11 3.5. TRACER DU SCHEMA CINEMATIQUE MINIMAL ...........................................................................................11
4. ETUDE DES CHAINES SIMPLES FERMEES .............................................................................. ........12
4.1. ANALYSE CINEMATIQUE DES CHAINES FERMEES SIMPLES .........................................................................12 4.1.1. Objectifs .................................................................. ........................................................... .................124.1.2. Fermeture cinmatique .......................................................... .............................................................124.1.3. Rsolution ................................................................................ ...........................................................124.1.4. Degr de mobilit du mcanisme ................................................................ ........................................124.1.5. Application : POMPE A PISTONS AXIAUX PVB VICKERS ................................................ .............13
4.2. ANALYSE GEOMETRIQUE DES CHAINES SIMPLES FERMEES ........................................................................14 4.2.1. Objectif................................................................................................................................................14 4.2.2. Fermeture gomtrique........................ ............................................................ ...................................154.2.3. Rsolution ................................................................................ ...........................................................154.2.4. Fermeture gomtrique applique au modle de la pompe PVB VIKERS................................ ..........15
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1. PRESENTATION DU SYSTEME SUPPORT : SYSTEME DE
DISTRIBUTION AUTOMATIQUE DE BARRES : DISTRIBAR
1.1. Analyse fonctionnelle
Le rle de ce dispositif automatis, est de stocker, sparer et distribuer en familles de pices des
barres ou des tubes entrant dans la fabrication de radiateurs de chauffage central. Ces barres ou tubes,
de divers matriaux, sont de diamtre compris entre 10 mm et 60 mm et de longueur comprise entre
200 mm et 1200 mm.
Plac entre une unit de dbit et une unit de production, ce systme de distribution de barres
comprend trois modules.
Rception des barres depuisl'unitde dbi t
Module de transfert
Distr ibution versl'unitde production
bac
Module de chargement
Z
y
Module desparation
Vrin debasculement
x
- un MODULE DE CHARGEMENT compos d'un bac tampon recevant les barres ou tubes de
l'unit de dbit et d'un manipulateur transfrant les barres depuis le bac jusque sur le module detransfert.
- un MODULE DE TRANSFERT ayant pour rle de transfrer les barres jusqu'au module de
sparation.
- un MODULE DE SEPARATIONqui fournit les barres une une au processus de production
laide dun plateau encoche, et ce, la cadence de fonctionnement demande.
Afin dalimenter plusieurs units de production situes des hauteurs diffrentes, l'ensemble form
par le MODULE DE TRANSFERT et le MODULE DE SEPARATION peut basculer autour de
laxe X.Cet ensemble est contrl par un automate programm en logique squentielle.
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1.1.1. SADT A-0 de lensemble du systme DISTRIBAR .
Fournir les barres
cadence et hauteur
spcifies
barres spares fournies
la cadence et la hauteur
demandes
Systme de distribution automatique de barres
Barres dbites
Energie
lectrique
Energie
Hydraulique
Rglage de la cadence
et de la hauteur
S.A.D.T A-0
Stocker, Sparer, distribuerles barres
1.1.2. 1-2. S.A.D.T. A0 du systme DISTRIBAR .
GERER
hauteur
cadence
ordres
Rceptionner,Stocker,charger
les barres
Energie
Barres dbites
Module de chargement Module de Transfert
Energie
Automate
Module de Sparation
EnergieEnergie
Barresstockes
Barrestransferes,spares,distribues
Transfrer,dgrouperles barres
Sparerles barres
Barresdgroupes
S.A.D.T A0
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1.1.3. Prsentation du MODULE DE CHARGEMENT
Il est compos d'un bac tampon recevant les barres ou tubes de l'unit de dbit et d'un manipulateur
transfrant les barres depuis le bac jusque sur le module de transfert.
Les barres arrivent de l'unit de dbit et sont consommes par l'unit de production de manire trs
irrgulire. De ce fait, le nombre de barres stockes dans le bac est trs variable. Le manipulateur qui
transporte les barres depuis le bac jusque sur le module de transfert ne pouvant saisir les barres situesdans le bac qu' une altitude fixe yo, il faut s'assurer que quelque soit le degr de remplissage du bac,
les barres situes sur le dessus soient constamment cette hauteur yo. Cette fonction est assure par
un asservissement en position.
ur(t)
M
Rception des barres depuis
l'unit de dbit
Distribution vers
l'unit de production
um(t)
m(t)
Capteur
de position
Distributeur
proportionnel
P
bac
Moteur hydraulique
Aum(t) _
+
Comparateur-Amplificateur
de gain A
uc(t)
P
Pompe
PVB VICKERS
Module de transfert
Rservoir Une pompe PVB VIKERS Hydraulique cylindre auto variable est utilise dans la chane
fonctionnelle prsente ci-dessus par un dessin structurel et ci-dessous par un schma fonctionnel
prsentant lasservissement de la position du bac du module de chargement.
A m p l i D r i s t r i b u t e u r V r i nB a c +b a r r e s
C a p te u r d ep o s i t i o n
p o m p eP e r t u r b a t i o n s
b a r r e s a r r iv a n t sd e l ' u n i t d e d b i t
C o n s i g n e
U c ( t )
U m ( t)
h a u t e u r
d u b a c h ( t )
q ( t )q ( t )U r ( t )
-
+
-
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2. PRESENTATION DU SYSTEME MECANIQUE :POMPE A PISTONS
AXIAUX A CYLINDREE AUTO REGLABLE
2.1. Description du systme par un dessin technique
2.1.1. Description et fonctionnement
La pompe hydraulique, dont le plan densemble (document 1) et la nomenclature (document2) sont donns ci dessous, est principalement constitue :
- dun barillet 12-1 entran en rotation par larbre cannel 7, de neuf ensembles
pistons-patins 12-2/12-3, dune plaque dappui 12-4 fixe par rapport ltrier 10 dont
linclinaison dtermine la cylindre de la pompe en provoquant le mouvement des pistons
dans le barillet,
- dun carter de distribution 2 qui permet la circulation du fluide grce aux orifices
dadmission et de refoulement,- dun ensemble compensateur 30dont le tiroir 30-1est soumis leffort du ressort de
tarage 30-2dune part et la pression de refoulement par le passage A dautre part.
Au dmarrage, ltrier 10 est maintenu par le piston de retenue 25 en position cylindre
maximale.
2.1.1..1 Caractristiques de la pompe PVB VICKERS
Puissance thorique : P = 15 kW
Vitesse de rotation de larbre dentre : N = 1800 tr.mn-1
Pression de refoulement maximale : pR= 20 MPa
Cylindre maximale : VT= 100 cm3.tr-1
Masse : M = 96 kgAngle maximal dinclinaison de ltrier : M = 15 Nombre de pistons : n = 9
Ltude mcanique que lon se propose de mener, concerne lquipage mobile 12dont lclat , ci-dessus.
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3. A PARTIR DUN DESSIN TECHNIQUE, COMMENT ELABORER LE
SCHEMA CINEMATIQUE MINIMAL ?
3.1. Rechercher les pices cinmatiquement lies
Dans un premier, il est ncessaire de rechercher les sous-ensembles de pices cinmatiquement lies
pour les modliser par des solides. Pour cela, colorier les pices lies entre elles par une liaison
complte : en liaison encastrement. Ce travail nest pas facile, puisque le temps en cours pour
assimiler la reprsentation normalise est trs insuffisant. Cest pourquoi, il est fortement conseill
pour les MPSI, pour les PCSI et PSI dutiliser les heures de TP pour tudier les dessins techniques
relatifs aux diffrents supports industriels des Laboratoires.
En se limitant lquipage mobile 12, on obtient :
Le bti, ici nest pas colori. De plus tout le systme de rglage de la pente du plan de la pice 10 est
considr fixe. (Hypothse :LETRIER 10 EST CONSIDERE FIXE PAR RAPPORT AU BATI 0).
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3.2. Tracer du graphe des liaisons ou de structure
Le but de cette reprsentation est de passer du rel au modle vectoriel ou torseuriel. Notre savoir
tant uniquement vectoriel (la cinmatique est une thorie purement mathmatique), cette traduction
est donc primordiale.
3.2.1. Sous-ensembles de pices cinmatiquement lies : les sommets du graphe
S0 : Bti S1 : Larbre dentre et le barillet 1 S2 : un piston 2 S3 : Un coussinet 3
3.2.1..1 Repres associs aux diffrents solides
Soient les repres : );;;(iiiiji
zyxA !!!
o A ij est le point point caractristique de la liaison L ij
( )iiii zyxR
!!!
;; base orthonorme directe associe la liaison Lij
* );;;( 0000 zyxA !!!
li au bati 0 A=A10
* );;;( 1111 zyxB !!!
li au barillet 1 B=A21
* );;;( 2222 zyxC !!!
li au piston 2 C=A32
* );;;( 3333 zyxD !!!
li au patin 3 D=A43
* );;;( 4444 zyxE !!!
li la plaque dappui 4 E=A40
3.2.1..2 Liaisons entre solides et paramtresgomtriques
Sur le graphe des liaisons, chaque contact
entre les solides modlisant les sous-ensembles
de pices cinmatiquement lies, on associe un
arc.
3.2.1..2.1 La liaison L01.Cette liaison est ralise par un roulement rigide
billes (8) et un roulement aiguilles (13),
donc pas dambigut sur la liaison. Laxe de
cette liaison est dfini par le point A et dedirection laxe des roulements.
L12: liaison pivot daxe ),( 01xA!
),(),(101001
zzyy !!!!
==
3.2.1..2.2 La liaison L12
Le contact entre le solide S1 et le solide S2 est un contact surfacique cylindrique. Deux possibilits,
La liaison pivot ou la liaison Cylindre/cylindre. Par la pense, en prenant dans chaque main le barillet
(12-1)et un piston (12-2), on se rend compte que la translation du piston entre la barillet est possible
dans la direction de laxe du cylindre dfinissant la gomtrie du piston.
L01:liaison cylindre/cylindre daxe ),( 12xB!
S0 S1
S2S3
S0 S1
S2S3
L01
L34
L23
L12
);;;(0000
zyxA !!!
);;;(1111
zyxB !!!
);;;(2222
zyxC !!!
);;;( 3333 zyxD !!!
);;;(4444
zyxE !!!
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),(),(212112
zzyy !!!!
== 3.2.1..2.3 La liaison L23
Le contact entre le solide S2 et le solide S3 est un contact surfacique sphrique. Deux possibilits, La
liaison sphrique ou la liaison sphrique doigt. Pas dambigut sur la liaison, la sphrique doigt
est souvent ralise par un cardan.
L23 : liaison sphrique (rotule) en C
Le point C est le centre gomtrique de la sphre de contact.
3.2.1..2.4 La liaison L34
Le contact entre le solide S3 et le solide S3 est un contact surfacique plan. Pas dambigut sur la
liaison, cest une liaison plane (plan/plan)
Il faut dfinir la direction de sa normale 3x!
L34: liaison plane de normale 34x!
),(),(434334
zzyy !!!!
== et ),( 40zzM!!
==
3.3. Tableau traduisant vectoriellement et gomtriquement le graphe de
structure
Nom de la liaison
et ses
caractristiques
Le paramtrage Le torseur cinmatique
associ (et ou torseur inter
effort)
Le schma cinmatique
liaison pivot
daxe ),( 01xA!
),(),(101001
zzyy !!!!
==
{ }
01
10
01
,00
00
0
)/(
RA
ASS
=
V
x01 S0
A
S1
liaisoncylindre/cylindr
e daxe ),( 12xB!
),(),( 212112 zzyy
!!!!
== 1
)( xtCB !
=
{ }
012
2121
12
,00
00)/(
RB
uSS
=
V S1B
x01 S2
liaison
sphrique
(rotule) en C
Trois angles
{ }
=
,0
0
0
)/(
32
32
32
23
C
SS
V
S2
S3C
liaison plane de
normale 34x
!
40
zwyvDE !!
=
),(),(434334
zzyy !!!!
== ),(
04zz
M
!!
== { }
3430
30
30
03
,0
0
0
)/(
Rw
vSS
=
V S3
S0
C
z4
x34
E
D
La gomtrie ncessaire pour faire ltude cinmatique est donne par les vecteurs dfinissant la
position relative des points caractristiques des liaisons du graphe de structure.
1yRAB !
=
,34xhDC
!
=
et01xdAE
!
=
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3.4. Tracer du schma cinmatique
Il suffit maintenant de tracer sur un dessin en perspective isomtrique (ou plane) les liaisons
correctement positionnes et orientes. Il vient donc :
x0
z0
y04
A
S1
S0
S2 S3
S0
B
CD
E
z4
x01
x34
E'
3.5. Tracer du schma cinmatique minimal
Le but est de rduire le plus possible le nombre de sommet du graphe ( sans modifier la gomtrie) en
recherchant les liaisons quivalentes.
La liaison quivalente entre S2 et S0 est une liaison ponctuelle
en C de normale 34x!
. Voir le cours sur les liaisons et les
assemblage en srie des liaisons usuelles.
Do le schma cinmatique minimal de la pompePVB
VICKERS
S0 S1
S2S3
L01
L34
L23
L12
);;;( 0000 zyxA !!! );;;( 1111 zyxB
!!!
);;;(2222 zyxC
!!!
);;;( 3333 zyxD !!!
);;;( 4444 zyxE !!!
Leq
x0
z0
y04
A
S1
S0
S2
S0B
C
z4
x01
x34
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4. ETUDE DES CHAINES SIMPLES FERMEES
4.1. Analyse cinmatique des chanes fermes simples
4.1.1. Objectifs
Etablir les relations liant les paramtres cinmatiques inconnus dumcanisme et les paramtres cinmatiques donns.
Dterminer la mobilit du mcanisme.
4.1.2. Fermeture cinmatique
SoitAji
SS )/(V le torseur cinmatique, au point A, du solide Si dans
son mouvement par rapport au solide Sj.
La fermeture cinmatique scrit alors:
{ } { }AnA
n
i ii SSSS )/()/(
01 1 VV
== ! !
! !
(S / ) (S / )
( , / ) ( , / )
i i ni
n
i i ni
n
S S
V A S S V A S S
=
=
=
=
1 01
1 01
4.1.3. Rsolution
Projection de (2) et (3) sur R ( , , , )A x y z! ! !
0 0 0
On obtient un systme linaire homogne de 6 quations scalaires Ncparamtrescinmatiques inconnus.
Rang cinmatique du systme rc
Appelons rcle nombre dquations indpendantes du systme (E). On a: rc 6
Le systme scrit alors :( )( ) ( )A X B= o
(X) dsigne un vecteur unicolonne contenant rcinconnues cinmatiques.
(B) dsigne un vecteur unicolonne contenant (Nc-rc) paramtres cinmatiques donns
dsigne une matrice (rc,rc) des coefficients cinmatiques.
4.1.4. Degr de mobilit du mcanisme
Dfiniti onOn appelle mobilit dun mcanisme, note m, le nombre de paramtres cinmatiques fixer pour
dterminer les rcinconnues cinmatiques restantes. m N rc c=
Signi fi cation de m
m=0 (B)=(0) (X)=(0)
m=1 (B)=(K) (X)=(A-1
)(K)
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m>1( ) ( )B Ki i
i
m
==
1
( ) ( ) ( )X A Ki ii
m
= = 1
1
m=0 le mcanisme est bloqu
m=1 le mcanisme est transformation de mouvement
m=mu+mi mcanisme est composition de mouvement et/ou
mobilits internes.
mudsigne le nombre dinconnues cinmatiques indpendantesassocies aux liaisons de sortie dumcanisme.
mi dsigne le nombre dinconnues cinmatiques indpendantes nonnullesdu mcanisme quand onimmobilise les liaisons dentre et les liaisons de sortie du mcanisme.
4.1.5. Application : POMPE A PISTONS AXIAUX PVB VICKERS Torseurs cinmatiques associs aux l iaisons
Lorsque les torseurs sont crits en
colonne comme ci-contre, il est facile de
voir que pour sommet ces torseurs, il faut
ici, au moindre travail, crire tout ces
torseur en C et le projeter dans la base
R0.
Fermeture cinmatique de la chane 0-1-2-3-0De la composition des mouvement, il vient :
{ } { } { } { } { }V V V V( / ) ( / ) ( / ) ( / )S S S S S S S SC C C C1 0 2 1 3 2 3 0
0+ + =
! ! ! ! !
! ! ! ! !
( / ) ( / ) ( / ) ( / )
( , / ) ( , / ) ( , / ) ( , / )
S S S S S S S S
V C S S V C S S V C S S V C S S
1 0 2 1 3 2 3 0
1 0 2 1 3 2 3 0
0
0
+ + =
+ + =
( )
( )
3
4
du calcul de )/()/,()/,( 010101 SSCASSAVSSCV += !!!
, il vient ;!
! ! ! !
V C S S x Ry x R z( , / )1 0 1 1 10 1 10 1= =
{ }
01
10
01
,00
00
0
)/(
RA
ASS
=
V
{ }
012
2121
12
,00
00)/(
RBouC
u
SS
=
V
{ }
=
,0
0
0
)/(
32
32
32
23
C
SS
V
{ }
3430
30
30
03
,0
0
0
)/(
Rw
vSS
=
V
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Projections de (3) et (4) sur R0
( )
( )
( )
( )
(5)
( )
1
2
3
4
6
10 21 32 30
32
32 30
21 30
10 01 30
10 01 30
0
0
0
0
0
0
+ + ==
+ =+ =+ = =
cos
sin
sin
sin
cos cos
u w
R v
R w
BilanInconnues cinmatiques: 32; 32; 32;u21; v30; w30;10; 21; 30
Nc = 9
Rang cinmatique: rc= 6
Mobilit du mcanisme m = Nc-rc=3
(mu=1; mi=2)Paramtres cinmatiques donns: 10; 21; 30Paramtres cinmatiques inconnus: 32; 32; 32;u21; v30; w30
Systme linai re associ
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
sin
cos
32
32
32
21
30
30
u
v
w
=
+
10 21 30
30
10 01
10 01
0
0
cos
sin
sin
cos
R
R
" #$$$$ %$$$$
" #$$$$ %$$$$
(A) (X) (B)
do
32 10 21 30
32
32 30
21 10 01
30 10 01
30 1001
0
= +=
= = =
=
cos
sin
cos
sin
cos
cos
u R tg
v R
w R
si det A= - cos0
4.2. Analyse gomtrique des chanes simples fermes
4.2.1. Objectif
Etablir les relations liant les paramtres gomtriques inconnus dumcanisme et les paramtres gomtriques donns.
-
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Sciences Industrielles
Cours Analyse cinmatique dun mcanisme
Dterminer la relation entre-sortie.
4.2.2. Fermeture gomtrique
La fermeture gomtrique traduit, grce la relation de Chasles, la
position relative des liaisons dans le mcanisme. Si on appelle Ai le
centre gomtrique de la liaison Li i
i l/
, ,
1
1 , la fermeture
gomtrique scrit, par exemple:
(1) 1111
++=
= nin
ii AAAA
4.2.3. Rsolution
Projection de (1) sur R ( , , , )A x y z! ! !
0 0 0
On obtient un systme (E) linaire homogne de 3 quations
scalaires N paramtres gomtriques inconnus
Rang du systme gomtrique rAppelons r le nombre dquations indpendantes du systme(E)
On a: r 3Le systme scrit alors:
( )( ) ( )BXA = o
(X) dsigne un vecteur unicolonne contenant r inconnues
gomtriques.
(B) dsigne un vecteur unicolonne contenant (N-r) paramtres
gomtriques donns
(A) dsigne une matrice (r,r) des coefficients gomtriques.
Calcul de (X): Relation entre sortie(X)=(A-1)(B) si detA 0
4.2.4. Fermeture gomtrique applique au modle de la pompe PVB VIKERS
Pour crire la fermeture gomtrique, on utilise le graphe des liaisons en traduisant la
fermeture gomtrique du graphe.
L01: liaison pivot daxe ),( 01xA!
L12:liaison cylindre/cylindre daxe ),( 12xB!
L23 : liaison sphrique (rotule) en C L34: liaison plane de normale 34x
!
Il vient donc : 0!
=+++
CABCAB
Cette quation doit tre dcompose en utilisant CHASLES tel que chaque vecteur de la
somme scrit de la forme :
= uaBA .11
ou est un vecteur gal un vecteur unitaire
iii zouyx !!!
,
composant les bases dfinies dans le paramtrage.
Do
=+
=+++++
0
0
0404301
!!!!!!!
!
xdzwyvxhxyR
EADECDBCAB
(1)
-
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Rsolution : projection de (1) sur R ( , , , )A x y z! ! !
0 0 0
=
=
=++
0cossinsin
0cos
0sincos
01
01
whR
vR
dwh
Remarque :pour trouver rapidement en fonction de 01 ( 0sincos =++ dwh ),il fautprojeter lquation 0040301
!!!!!!!
=+ xdzwyvxhxyR sur 4x!
pour liminer v et w.
Bilanparamtres gomtriques: ; h; v; w; d;; 01 N=7rang gomtrique: r=3
paramtres gomtriques donns: h; d;; 01paramtres gomtriques inconnus ; v; Finalement, il vient (si cos0)
w
R
htg
v R
d h h R tg
= +=
= + +
sin
coscos
cossin
cossin
01
012
01
Signif icat ion gomtr ique
BA=CI+JE
do
Rsin01= htg+wcosor
BC=AE - IJ = AE - (ID-JD) soit
donc
= +d h wcos sinfinalement
tgRhhd 01
2 sincossincos ++=
Remarque: Vitesse instantane du piston 2 par rapport au barillet (1) :
( )11
)()1/2,( 1
RR dt
xd
dt
dBCCV
==!
! soit 0110 cos)1/2,(
tgRdtdCV ==
!
A
B C
h
E
DJ
I
d
w