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Chapitre : Les Puissances
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet
Pré requis
ce que vous devez savoir avant de commencer
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Pré requis : (C’est ce que l’on doit savoir avant de commencer)
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Leçon : Puissance d’entier
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Puissances entières d’un nombre relatif :
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Définitions et vocabulaire : a : est un nombre relatif non nul et n : un nombre entier positif.
■ Si n ≥ 2 alors : an =
(produit de n facteurs égaux à a)
■ Si n ≥ 0 alors : (ainsi a-n est l’inverse de an )
45 se lit :
Exemple :
11 12 2
=
1 ex : 12008 = 1 ex : 0n = 1 (si n≥1) ex : 01 000 000 = ex : 2-1 = ex : 1n = 1
ex : (-3)5= (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = ex : 1270 = 1
a x a x ... x a et a1 = a et a0 = 1 (si a≠0)
« 4 puissance 5 » ou « 4 exposant 5 » .
- 243
On dit : que ce sont des puissances de 4 et qu’il y en a 5.
ex : (-3)-4= 1(-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 1
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Avec la calculatrice : Elever un nombre au carré : 62
Elever un nombre au cube : 63
6 exposant 5 : 65
x2
x3
x■
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Priorités opératoires :
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Dans une expression sans parenthèse,
Exemples : A = 7 – 5 x 42 = 7 – 5x16 = 7 – 80 = - 73
B = 5 x 23 = C = (3 x 2 )2 = 5 x 8 = 40 62 = 36
En présence de parenthèses,
on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions.
on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
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Produit et quotient de puissances identiques :
a2 x a3 =
2 facteurs
a2+3 = a5 On observe que : a2 x a3 = a x a a 5
exemple : 52 x 53 =
(ab)2 = ab x ab = a x a x b x b = a2 x b2 ou (3 x a)2 =32 x a2 = 9a2
5 facteurs
a x a = a5-3= a² On observe que : avec a ≠ 0
= 37-3 = 34 7
4
33
x a x a x a =
3 facteurs
5x5 x 5x5x5 = 52+3 = 55
exemple :
(a2)3 = a2 x a2 x a2 = axa x axa x axa = a6 On observe que : (a2)3 = a2x3 = a6
3 6 x 5 = 3 30 exemple : (36)5 =
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à recopier sur le cahier de leçon
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Leçon : Puissance de 10
Cas particuliers
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II. Cas particulier des puissances de dix :
Puissance de dix :
Quelque soit le nombre entier positif n :
10n = 10 x … x 10 = 10000......0 avec n zéros Ex: 103 = 10x10x10 = 1000
10-n = 110n =
110000.........0
=
1
110− =
0,0.......01 avec n chiffres après la virgule.
Ex : 10-1 = 2
110− =0,1 10-2 =
2 zéros avant le 1.
0,01
106 = 1000000 6 zéros après le 1.
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Si on multiplie un nombre entier par 10, on lui rajoute simplement un zéro à la fin.
Exemple : 7 × 10 =
Si on multiplie un nombre décimal ( à virgule) par 10, il ne faut pas rajouter un zéro à la fin mais décaler la virgule d’un rang vers la droite.
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Remarques :
Pour éviter d’avoir plusieurs méthodes … on décalera la virgule au lieur de rajouter des zéros !
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Produit par une puissance de dix :
Pour multiplier un nombre en écriture décimale
par 10n, on décale,
par 10-n, on décale, en complétant éventuellement par des zéros.
exemple n°1 : 3,5 x 104 = 35 000 exemple n°2 : 3,5 x 10-4 = 0,00035
Règle de calcul : Quels que soient les nombres entiers relatifs m et n
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la virgule de n rangs vers la droite.
la virgule de n rangs vers la gauche.
On décale la virgule de 4 rangs vers la droite.
On décale la virgule de 4 rangs vers la gauche.
à recopier sur le cahier de leçon
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Une nouvelle notation : Changement d’écriture :
Un nombre décimal admet plusieurs écritures de la forme a x 10n
dans laquelle « a » désigne un nombre décimal et « n » un entier relatif.
Exemples : 2 540 000 = 254 x 104 = 25,4 x 103 = 2,54 x 106 = 0,254 x 107
0,00138 =
La notation scientifique ou écriture scientifique :
Définition :
138 x 10-5 = 13,8 x 10-4 = 1,38 x 10-3 = 0,138 x 10-2
…/…
La notation scientifique d’un nombre décimal est l’unique forme a x 10n dans laquelle « a » possède un seul chiffre non nul avant la virgule.
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Exemple : La notation scientifique
Remarque : B = 0, 000 000 456 =
24,45 x 10-5
7,328 x 105 12,2 x 104 0,2 x 10-1 1 x 1014
2,1 x 1047 9,99 x 10-7
4,56 x 10-7
Compter le nombre de déplacements de la virgule
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Tout nombre décimal positif peut s'écrire en écriture scientifique sous la forme : a×10poù a est un nombre décimal tel que 1⩽a<10 et p est un nombre entier relatif.
La notation scientifique
à recopier sur le cahier de leçon
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Carte Mentale
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Fiche exercice n°1
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Exercice n°1 :
10 000 000 100
dix millions cent un un cent millième
10-7 un dix millionième un millième
1 0,000 01 0,000 000 1 0,001
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Exercice n°1 :
1 suivi de 4 zéros : 10 4
1 précédé de 6 zéros : 10 6
1 suivi de 0 zéros : 10 0
Attention : addition et soustraction doivent se faire sous forme décimale:
100 + 100 000 =
0,1 + 10 = 10,1
100 100
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Exercice n°2
Attention : division avec des puissances : On soustrait les exposants !
10 7 – 2 = 10 5
Attention : multiplication avec des puissances : On additionne les exposants !
10 3 – (-5) = 10 3 + 5 = 10 8
10 5 + 3 = 10 8 10 7 + 8 = 10 15 10 3 + (-9) = 10 - 6
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𝑨𝑨 = 𝟓𝟓 × 𝟗𝟗 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑨𝑨 = 𝟒𝟒𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑨𝑨 = 𝟒𝟒,𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑨𝑨 = 𝟒𝟒,𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏+𝟓𝟓+𝟔𝟔 𝑨𝑨 = 𝟒𝟒,𝟓𝟓 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑩𝑩 = 𝟑𝟑,𝟔𝟔 × 𝟏𝟏,𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑩𝑩 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑩𝑩 = 𝟕𝟕,𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑩𝑩 = 𝟕𝟕,𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏+(−𝟖𝟖)+𝟑𝟑 𝑩𝑩 = 𝟕𝟕,𝟏𝟏 × 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
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En route vers le brevet
Donner la notation scientifique des nombres suivants :
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Fiche exercice n°2
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Activités : Puissance de 10
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102 = 10 x 10 = 100
On constate que le nombre de zéros correspond au nombre inscrit en dessus du 10. L’exposant correspond au nombre de zéros : ■ exposant positif : le nombre est plus grand que 1. ■ exposant négatif : le nombre est plus petit que 1. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet
Multiplier par une puissance de 10.
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a. 785000 1240 0,5621 124 0,008915 12000000 b. 63 x 10- 2 6,3 x 10- 1 0,63 x 10 0
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0,001 5 - 3 - 2 8 - 6
0,01 100 000 000 0,000001
m + n m - n m x n
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Activité : Notation scientifique
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1. avec la calculatrice on a : 5,3 25 = 1,279077148 x 10 18 avec la calculatrice on a : 5,3 -12 = 2,035586513 x 10 -9
2. Écriture scientifique : a. 7850 = 7,85 x 103 b. 0,063 = 6,3 x 10 -2 c. 135 000 = 1,35 x 10 5 d. 0,07 = 7 x 10 -2
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exercice supplémentaire
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Fin
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