CHAPITRE 5
Fractions
Objectifs: - Simplifier des fractions.
- Utiliser la propriété suivante et sa réciproque:
« si alors a x d = b x c » (b ≠ 0 et d ≠ 0).dc
ba
- Savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions.
Extrait de la pièce Marius de Marcel Pagnol (acte 11).
CÉSAR (à Marius) - Eh bien, pour la deuxième fois, je vais te l'expliquer, le picon-citron-curaçao. Approche-toi ! Tu mets d'abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon. Maintenant, un tiers de citron. Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur. Regarde comme c'est joli. Et à la fin, un GRAND tiers d'eau. Voilà.
MARIUS - Et ça fait quatre tiers.
CÉSAR - Exactement. J'espère que cette fois, tu as compris.
MARIUS - Dans un verre, il n'y a que trois tiers.
CÉSAR - Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers.
MARIUS - Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre que trois tiers.
CÉSAR - Alors, explique-moi comment j'en ai mis quatre dans ce verre.
MARIUS - Ça, c'est de l'Arithmétique.
I. Valeurs approchées d’un quotient
On a = 5 ÷ 8 = 0,625 et = 6 ÷ (-2) = -3 85
26
Les divisions se terminent.
Ici , le quotient est un nombre décimal. b
a
On peut donner sa valeur exacte.
Mais = 15 ÷ 7 = 2,142857143… 715
La division ne se termine pas.
Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut faire une troncature ou un arrondi.
Mais = 15 ÷ 7 = 2,142857143… 715
La division ne se termine pas.
Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut faire une troncature ou un arrondi. Troncature de Arrondi de
à l’unité
au dixième
au centième
au millième
715
715
On « coupe » l’écrituredu nombre à l’endroit
demandé.
2
2,1
2,14
2,142
Il s’agit du nombre le plus proche. Ex : si on fait un arrondi au centième il
faut regarder le chiffre suivant, c'est-à-dire, celui des millièmes…
2 ou 3 2
2,1 ou 2,2 2,1
2,14 ou 2,15 2,14
2,142 ou 2,143 2,143
II. Quotients égaux 1) Fractions égales
Autrement dit :
Le quotient de deux nombres en écriture fractionnaire ne change pas si l’on multiplie ( ou si l’on divise) par un même nombre non nul le numérateur et le dénominateur.
avec k ≠ 0 ba
kbka
Remarque : Cette règle sert à simplifier des fractions ou à les « réduire » au même dénominateur.
Exemples :
4218
2,48,1
73
3515
10545
2) Propriété du produit en croix
Pour tous nombres a, b, c et d (b ≠ 0 et d ≠ 0)
Si alors a x d = b x c dc
ba
Réciproquement : Si a x d = b x c alors dc
ba
Exemple : Trouver le nombre p tel que 43
7p
On a 4 x p = 7 x 3
4 x p = 21
donc 421
p ou encore p = 5,25
III. Addition et soustraction 1) Fractions de même dénominateur
Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur:
1- On additionne ou on soustrait les numérateurs2- On garde le dénominateur commun
Autrement dit : d
badb
da
et d
badb
da
Exemple : 11
93119
113
1112
Calculatrice : pour effectuer du calcul fractionnaire avec la machine, on utilise la touche
cd
2) Fractions de dénominateurs différentsOn se ramène au cas précédent en « réduisant » d’abord les fractions au même dénominateur.
Exemples :
97
32
Le premier multiple commun dans les tables de 3 et de 9 est 9 donc le dénominateur commun de 3 et 9 est 9.
97
3332
97
96
9
76
91
83
5
Le premier multiple commun dans les tables de 1 et de 8 est 8 donc le dénominateur commun de 1 et 8 est 8.
83
8185
83
840
8
340
837
41
52
Le premier multiple commun dans les tables de 5 et de 4 est 20 donc le dénominateur commun de 5 et 4 est 20.
5451
4542
205
208
20
58
203
IV. Multiplication Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Autrement dit :
(avec b ≠ 0 et d ≠ 0) dbca
dc
ba
Exemple :
349
354
335494
335494
357774
On décompose les numérateurs et dénominateurs afin de simplifier le calcul final.
1528
Attention 7
157
5375
3
et non pas 53
5375
3
V. Nombre inverse et division1) Le nombre inverse
Lorsque le produit de deux nombres est égal à 1, on dit qu’ils sont inverses l’un de l’autre.
L’inverse de x est x
1(avec x ≠ 0)
L’inverse de est ba
ab (avec a ≠ 0 et b ≠ 0)
Exemples : 123
32
32
deinverse'lest23
donc
141
4
4deinverse'lest41
donc
2) La division
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Autrement dit : c
dba
dc
ba
(avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0)
Exemples :
85
43
43
58
Diviser par -5/8 revient à multiplier
par son inverse c’est-à-dire 8/-5
5483
54
42356
365
65
31
Diviser par 3 revient à multiplier
par son inverse c’est-à-dire 1/3
3615
185
VI. Exemples de calcul prioritaireEffectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :
83
5425
72
A
83
840
425
4212
A
837
427
A
876377
A
4837
A
Le dénominateur commun de 7 et 42 est 42
Le dénominateur commun de 1 et 8 est 8
On simplifie par 7
Les calculs au numérateur
et au dénominateur sont prioritaires
Le dénominateur commun de 5 et 4 est 20
Le dénominateur commun de 1 et 2 est 2
Diviser par 11/2 revient à multiplier par son inverse c’est-à-dire 2/11
On simplifie par 2