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Principes de communications II
MIC42401
Chapitre 4. Transmission numérique dans un
canal à bande passante limitée
Principes de communications II
MIC42402
Contenu• Caractérisation d’un canal à bande passante
limitée
• Spectre de puissance d’un signal passe bande
• Interférence inter-symboles
• Conception de signal pour canal à bande limitée
• Compensation de canal
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Principes de communications II
MIC42403
Caractérisation d’un canal BPL
• Un filtre est ajouté au modèle de communication pour représenter l’effet du canal sur le signal transmis
• Le filtre est habituellement à bande passante finie et un modèle linéaire est utilisé pour simplicité
Principes de communications II
MIC42404
Analyse d’un système à canal BPL
c(t) C( f ) = c(t)e j 2 ft dt
C( f ) GR( f )GT ( f )h(t)
n(t)
y(t)
• Pour un canal limité en fréquence à W, C( f ) 0 si f |W|
• Un signal GT ( f ) à l’entrée du canal devient à la sortie :
H( f )=C( f )GT( f )
ou h(t) c tgT t c gT t d
• L’effet du canal est d’introduire nouveau composant dans le modèle de communication
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Principes de communications II
MIC42405
Démodulation du signal reçu
• Pour un démodulateur à filtre adapté :
• La composant du signal à la sortie du filtre est, à t = t0 :
ys t0
H f H f e j2 ft0e j2 ftdf
tt0
tt0
j2 ft
2 H ( f )
W
RW
W
W
W df EhW
H f G f e df
• Le composant de bruit est, pour du bruit AWGN, de valeur moyenne nulle et de densité spectrale de puissance (voir chapitre
précédent):
2
h( f )0
2n
NS f
↔ ∗
Principes de communications II
MIC42406
, la variance du bruit à la sortie
S f df H f df 2
2 0 0 h
2 2
W W
n nW W
N N E
d’où rapport signal-sur-bruit de sortie à t0
E2
h h
N0Eh / 2 N0
2ENS
• La différence par rapport au chapitre précédent est que
dépend maintenant du signal de sortie du canal au lieu de celui
d’origine (h(t) au lieu de gT(t))
• Comme 2
h( f )0
2n
NS f
du filtre est :
Démodulation du signal reçu
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Principes de communications II
MIC42407
Exemple de calcul du SNR (10.1.1)
• gT(t) est une impulsion de type cosinus surélevé et
le canal possède la réponse en fréquence indiquée. Donner la réponse en
fréquence du filtre adapté et le SNR en présence de bruit AWGN(0, N0/2)
On a : GT f 2 2
T sin( f t)
2 f t(1 f T ) j fte
2 (1 f 2T 2 )T sinc ( f t) e j ft
H f C f GT f d’où :
Principes de communications II
MIC42408
GT f df2W
Eh W
2 N0Eh2
Le composant du signal à la sortie du filtre à donc, après l’échantillonnage à t0:
et la variance du composant de bruit est :
d’où le SNR à t0 :
Exemple 10.1.1
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Principes de communications II
MIC42409
Signaux en bande de base dans un canal BPL
• La sortie comprend le symbole transmis multiplié par le gain du canal (x0=Eh), du bruit, et la réponse résiduelle du canal pour les symboles précédents (interférence inter-symboles)
ym x0am an xmn nmnm,n
Symbole transmis
Interférence inter-symboles (IIS)
bruit AWGN
• Pour un signal PAM, la sortie du démodulateur pour le me symbole est
Principes de communications II
MIC424010
• Pour PAM : u(t) v(t) cos 2 fct, où
• Pour QAM et PSK u(t) vc (t) cos 2 fct vs (t) sin 2 fct
vc (t) anc gT (t nT )n
vs (t) ans gT (t nT )n
où
v(t) vc (t) jvs (t) (anc jans )gT (t nT ) an gT (t nT )n n
Signaux à porteuse dans un canal BPL
• On peut ramener l’analyse en bande de base (c.-à-d. faire abstraction
de la porteuse) en construisant le signal complexe :
Le signal PAM, QAM or PSK est donné par
n
v (t) an gT (t nT )
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Principes de communications II
MIC424011
• permet de récupérer facilement u(t) de v(t), appelé signal en bande de base équivalent
• Après transmission par un canal passe bande, le signal reçu est donné par
où r(t) anh(t nT ) n(t)n
et le signal démodulé est
y(t) an x(t nT ) no (t)n
Signaux à porteuse dans un canal BPL
On revient au modèle d’analyse en bande de base
Principes de communications II
MIC424012
Spectre de puissance d’un signal à porteuse• On l’obtient à partir d’un signal équivalent en bande de base
v(t) an gT (t nT )n
où v(t) représente un signal PAM, PSK or QAM, an les symboles transmis et gT(t) est le signal de modulation en bande de base.
• Comme la séquence {an}est aléatoire, le spectre de puissance de v(t) est déterminé à partir de propriétés statistiques
1. Valeur moyenne de v(t) :
Ev (t) E an gT (t nT )n
ma gT (t nT )n
Donc, E[v(t)] est périodique avec période T
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Principes de communications II
MIC424013
2. Fonction d’autocorrélation de v(t)
Rv(t , t) E [v* tv t E a a g (t nT )g (t mT )n m T T
n m
Si la séquence d’information {an} est stationnaire au sens large, sa fonction d’autocorrélation dépend seulement de l’écart entre symboles. Alors et = Ra(m-n)n mE a a
ou en posant p=m-n :
Rv(t , t) Ra p gT (t nT )gT (t pT nT )p n
Il s’agit aussi d’une fonction périodique de période T
Rv(t , t) Ra (m n)gT (t nT )gT (t mT )n m
• Si la séquence d’information {an} est stationnaire au sens large,v(t) est cyclostationnaire, et l’analyse d’une période de v(t) est suffisante pour dériver son spectre de puissance
Spectre de puissance d’un signal à porteuse
Principes de communications II
MIC424014
• Autocorrélation moyenne de v(t) sur une période
où :
Spectre de puissance d’un signal à porteuse
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Principes de communications II
MIC424015
où S f j2 fmTa a
m
R m e
S f R e j2 fdv V
_
R m j2 f
2 j2 fmT
2
1
1
T
1
T
a gT
T a
m
a T
R mT e d
G f R m e
S f G f
m
• Le spectre de puissance de v(t) est alors :
Spectre de puissance des symboles
Réponse en fréquence du canal
Fonction d’autocorrélation des symboles
Spectre de puissance d’un signal à porteuse
• Le canal modifie le spectre de puissance de v(t)
Principes de communications II
MIC424016
• La séquence d’information joue aussi un rôle• Par exemple, si {an} est faite de symboles mutuellement non
corrélés:
e j2 fmt
mpuisque est la série de Fourier de
Impact de {an}sur le spectre de puissance
2
T T
Noter que le second terme disparaît si ma=0 (p. ex. constellation symétrique)
Le spectre de puissance de v(t) devient :
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Principes de communications II
MIC424017
Exemple de calcul du spectre de puissance (10.2.1)
• Trouver Sv( f ) lorsque gT (t) est impulsion rectangulaire d’amplitude A et durée T
On a :
T T
Principes de communications II
MIC424018
• On utilise une séquence binaire {bn} pour former des symboles
an bn bn1
Sachant que {bn} est constitué de variables aléatoires non corrélées bn[1, -1], de valeur moyenne nulle et variance 1, Trouver Sv( f ) pour le signal transmis.
Solution :La function d’autocorrélation de la séquence {an} est
Exemple de calcul du spectre de puissance (10.2.2)
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Principes de communications II
MIC424019
La fonction de densité spectrale de puissance de la séquence {an}est donc S f j2mT
m
e j 2 fT 2 e j 2 fT 2(1 cos2 fT ) 4cos2 fT
a aR m e
Le spectre de puissance recherché est
2 2 21
T
4
Tcos v a T TS f S f G f G f fT
Principes de communications II
MIC424020
• Partant Sv(t), on peut déduire le spectre de
• Par exemple, u(t) v(t)cos(2 fct) pour PAM et sa fonction
d’autocorrélation est :
Ru (t ,t) E u*(t)u(t )
E [v*tvt cos 2 fct cos 2 fc t 1 Rv (t ,t)cos2 fc cos2 fc (2t )
2
Ru (t ,t) 1Rv cos2 f
2 c• On en déduit
et
Valable aussi pour PSK, QAM, etc.
S f 1 S f f S f f 4u V c V c[ ]
Spectre de puissance d’un signal à porteuse
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Principes de communications II
MIC424021
Conception de signaux pour canaux BPL
• Le but est de trouver des signaux qui éliminent l’IIS
• Deux cas à considérer : canal avec et sans distorsion
• Pour un canal sans distorsion, h(t)=C0 gT (t-t0), d’où : j2 ft0
0f W
C( f ) f W0
C e
• Avec t0=0 et C0=1 pour simplicité, H( f )=GT( f ) et le démodulateur à filtre adapté a pour réponse GR( f )= GT*( f ), pour donner
ym x0am an xmn nmnm
y(mT) x(0)am an (mT-nT) n(mT)nm
ou simplement
Principes de communications II
MIC424022
Évaluation de l’IIS par diagramme de l’œil
• On affiche le signal reçu sur un écran oscilloscope, en réglant la fréquence de balayage à 1/T
• L’effet de l’interférence est de pousser l’ œil à se fermer, ce qui diminue la marge de bruit.
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Principes de communications II
MIC424023
-0 .5 0Tim e
0 .5-5
0
5
Am
plitu
de
-1.5-0.5 0
Time0.5
0
1.5
Am
plitu
de
Composant en phase
-0.5 0Time
0.5-1.5
0
1.5
Am
plitu
de
Composant en quadrature4PAM
4PSK
Évaluation de l’IIS par diagramme de l’œil
-0 . 5 0T ime
0 . 5
0
-1 . 5
1 . 5
Am
plitu
de2PAM
Principes de communications II
MIC424024
ssi sa transformée de Fourier X( f ) satisfait
ym x(0)am anx(mT nT ) n(mT )nm
• L’IIS est éliminé si :
• Condition de Nyquist pour IIS 0 : (Ne pas confondre avec le critère de Nyquist!)
1, n 0
0, n 0x(nT )
Signaux pour canal BPL par le critère de Nyquist
X ( f m) Tm T
1, n 0
0, n 0x(nT )
x(0) si m n
0 si m nx((m-n)T ) ou, pour x(0) = 1 :
• Autrement dit, l’addition de X( f ) et ses copies à tous les m/T donne un résultat constant pour tout f
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Principes de communications II
MIC424025
• Pour un canal PB idéal de largeur de bande W, X( f )=0 pour | f |>W. Trois cas à considérer pour le taux de symboles 1/T :
1. 1/T > 2W : Les écart entre copies rendent impossible d’avoir une somme constante à toutes les fréquences. Impossible d’éviter IIS
2. 1/T = 2W : La condition de Nyquist est satisfaite seulement si X( f ) est carré
W=1/2T 1/T-1/T -W=-1/2T
-1/T -1/T + W -W 0 W < 1/T - W 1/T f
|X( f )|
Signaux pour canal BPL par le critère de Nyquist
Principes de communications II
MIC424026
• Donc, T=1/2W est la période minimale de transmission de symboles que l’on peut utiliser sans avoir d’IIS. Cependant, il
faudrait utiliser .
• Problème!• sinc est une fonction non causale et de durée infinie• Elle décroit lentement vers 0 (~1/t)
Signaux pour canal BPL par le critère de Nyquist
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Principes de communications II
MIC424027
• Avec T=1/2W , l’échantillonnage de
pour un symbole se
fait quand l’IIS due aux autres symboles est nulle.• Mais la non causalité et la décroissante
lente de la fonction sinc sont des handicaps sérieux !
• On peut régler les problèmes de sincsi on accepte d’avoir T > 1/2W
Signaux pour canal BPL par le critère de Nyquist
0.33 2 1 0 1 2 3
0.9
0.6
0.3
0
x(nT)=sinc(n)
t
Exemple : x(t) sinc(t/T) x(nT) sinc(n) 0, n 0
• Tout filtre ayant une bande passante supérieure à W et une symétrie impaire par rapport à 1/2T peut satisfaire la condition de Nyquist
Principes de communications II
MIC424028
1/T-W WW -1/T+W 1/T
• Un spectre d’impulsion intéressant pour éviter les problème de la fonction sinc est celui décrit par un cosinus surélevé
Signaux pour canal BPL par le critère de Nyquist
3. 1/T < 2W : Les copies de X( f ) se recouvrent et la condition de Nyquist peut être satisfaite d’une infinité de façons
-1/T
: facteur de décroissance (0 1)Bande passante : (1/2T)(1+ )
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Principes de communications II
MIC424029
1 4 2t2 /Tx(t) sinc(t /T ) cos(at /T)
Décroissance vers 0 en1/t3
| f | >1/2T : largeur de bande excédentaire
Signaux pour canal BPL par le critère de Nyquist
• x(t) est similaire à la fonction sinc, mais son spectre de fréquences à décroissance progressive en fait une fonction réalisable
Principes de communications II
MIC424030
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.8 0.9-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de
(dB
)
Magnitude Response (dB)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.8 0.9-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de
(dB
)
Magnitude Response (dB)
=0.25 =0.5Magnitude Response (dB)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.8 0.9-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de
(dB
)
= 1=0.75
Signaux pour canal BPL par le critère de NyquistEffet de
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Principes de communications II
MIC424031
TX dans un canal BPL par cosinus surélevés• Les caractéristiques spectrales des cosinus surélevés rendent
possible de concevoir de filtres de transmission pour zéro IIS
• Dans un canal BPL sans distorsionf W
C( f ) f W0
Si est adapté à , ∗ , et
1et X( f )=GT ( f ) GR( f )
• Si on pose , où est un cosinus surélevé, on peu poser
et
où t0 est un délai de propagation.• Manière simple de régler le problème de l’IIS, mais le prix à payer est
un taux de symboles plus faible que le taux optimal !
Principes de communications II
MIC424032
• Les cosinus surélevés montrent qu’on peut avoir zéro IIS avec des circuits réalisables si on utilise un taux de symbole inférieur au taux de Nyquist (1/T < 2W)
• La signalisation à réponse partielle, appelée aussi signalisation duobinaire, ou codage corrélateur, permet de résoudre le problème avec des filtres réalisables opèrant au taux de Nyquist
• Le principe est de permettre plus d’une valeur non-nulle dans x(nT ), et d’éliminer les valeurs superflues à la réception
– Le prix à payer est un codage et décodage de données
Signalisation à réponse partielle pour canaux BPL
1, n 0
0, autrementx(nT ) devient
1, n 0,…
0, autrementx(nT )
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Principes de communications II
MIC424033
Signalisation duobinaire
• Dans ce cas
DélaiT
{an}
bmBruit wm
ym= amx0+IIS+wm1/2T f-1/2T
T
Filtre de canal idéal
1, n 0,1
0, autrementx(nT )
Le spectre de puissance en fréquence est alors, pour le taux de symboles 1/2W :
12
1 / ,
0,
/ cos ,
0,
Le signal temporel correspondant est :2 2 1
Décodeur
Impulsion duobinaire
Principes de communications II
MIC424034
Signalisation duobinaire modifiée
• Autre exemple :1, si n -1-1 si n=10, autrement
x(nT )
Dans ce cas, le spectre de puissance au taux de symboles 1/2W est :
12
/ / ,
0,
sin ,
0,
et le signal temporel correspondant est :
/ /Impulsion duobinaire modifiée
• L impulsion duobinaire modifiée offre l’avantage d’une composante DC nulle
18
Principes de communications II
MIC424035
Signalisation à réponse partielle en général• La classe de signaux BPL
∑
de spectre de fréquences
∑ / ,
0,
permet d’introduire plusieurs types d’ISI contrôlé pour communiquer au taux de Nyquist
– On obtient différents signaux à réponse partielle en tolérant plus d’une valeur non nulle dans {x(n/2W)}
– Plus on choisit de valeurs non nulles, plus le décodage final est difficile
• L’introduction de l’IIS contrôlé demande à revoir le détecteur et l’évaluation du taux d’erreurs de détection
Principes de communications II
MIC424036
• Pour un signal duobinaire PAM, le signal de sortie du démodulateur est :
ym = bm + wm = am + am-1 + wm
• Si on ignore le bruit et considère le cas am =±1, alors ym a trois valeurs possibles : +2, 0 ou -2, avec probabilités ¼, ½ et ¼ • En général, la transmission M-aire par signalisation à réponse partielle
donne 2M-1 niveaux de sortie
• À priori la procédure de décodage est simplement l’inverse de celle de codage: on soustrait le symbole précédent de chaque symbole reçu; mais cela a tendance à propager les erreurs causées par le bruit
Détection de signaux à réponse partielle
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Principes de communications II
MIC424037
Règle de décodage :
Séquence bipolaire décodée: -1 +1 -1 +1 +1 -10 1 0 1 1 0Séquence binaire décodée :
• Résultat en cas d’erreur sur le troisième bit reçu :
-1 -1 +1 -1 +1 -10 0 1 0 1 0
• On peut éviter la propagation de l’erreur par précodage
{an} 0 0 1 0 1 1 0
Représentation bipolaire -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1
Codage duobinaire: bm =am+ am-1-2 0 0 0 2 0
Exemple
2, 1 2, 1 0,
Séquence bipolaire décodée:Séquence binaire décodée :
• Résultat correct :
Principes de communications II
MIC424038
• La séquence binaire {an} est transformée en une séquence {pn}selon l’équation
pm= (am+ pm-1 )%2 Donc : 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0
et la séquence obtenue est encodée comme précédemment, mais avec un décodage différent
• Exemple précédent avec précodage
Signalisation duobinaire à précodage
• Parce que le décodage se fait sans égards pour les bits précédents, la la propagation d’erreurs est évitée
Séquence binaire {an} 0 1 0 1 1 0
Séquence binaire précodée pm= am+ pm-1 0 0 1 1 0 1 1
Séquence bipolaire {pm} -1 -1 +1 +1 -1 +1 +1
Règle de codage: bm= pm+ pm-1 -2 0 +2 0 0 +2
Règle de décodage: 2, 0 0, 1
Séquence binaire décodée 0 1 0 1 1 0
20
Principes de communications II
MIC424039
• Fonction de transfert duobinaireéquivalente
DelayT seconds
1/2T f-1/2T
Filtre de canal idéal H2(f)Bruit wm
{an}
bm
AdditioneurModulo-2
pm
Filtre numérique H1(f)
j2 fTH1( f ) 1 e
2
1
H ( f ) 2T0
T si f
autrement
T
Decoder
ym= amx0+IIS+wm
Signalisation duobinaire à précodage
He ( f ) H1( f )H2 ( f )
(1 e j2 fT )T 2T e-j f Tsin( f T ) 1
2Tsi f
Principes de communications II
MIC424040
Signalisation duobinaire à précodage
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4t=0
t=T
t=2T
t=-T
-6 -4 -2 0 2 4 6 8-0 . 2
1 . 4
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
-0 . 2 5 -0 . 2 -0 . 1 5 -0 . 1 -0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 15 0 . 2 0 . 2 5
4
3 . 5
3
2. 5
2
1 . 5
1
0 . 5
0
H(f)
21
Principes de communications II
MIC424041
• La séquence binaire {an} est transformée en une séquence {pn}selon l’équation
pm= (am+ pm-2 )%2
et la séquence obtenue est encodée comme précédemment, mais avec un décodage différent
• Exemple précédent avec précodage
Signalisation duobinaire modifiée à précodage
Séquence binaire {an} 0 1 0 1 1 0
Séquence binaire précodée pm= am+ pm-2 0 0 0 1 0 0 1 0
Séquence bipolaire {pm} -1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1
Règle de codage: bm= pm- pm-2 0 +2 0 -2 +2 0
Règle de décodage: 2, 1 0, 0
Séquence binaire décodée 0 1 0 1 1 0
• En général, le décodeur est tel que /2 % (M = 2 dans l’exemple)
Principes de communications II
MIC424042
he (t ) sinc(t T)/T sinc(t T)/T
H e ( f ) 2T sin2 fT
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
T = 2
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
3
3 .5
4
00. 2 0. 25 -0 .2 5 -0 .2 -0 . 1 5 -0 . 1 -0 .0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5
Signalisation duobinaire modifiée à précodage
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
22
Principes de communications II
MIC424043
• La signalisation duobinaire et les méthodes de détection reliées permettent zéro IIS au taux de Nyquist au prix d’une plus grande difficulté d’implémentation que ceux de la signalisation binaire• Circuits plus complexes et puissance consommée plus grande pour une
performance de bruit équivalente
• La probabilité d’erreur dans un canal BPL avec zero IIS et bruit AWGN
est similaire au cas non-BPL pour PAM, PSK ou QAM.
• Pour une probabilité d’erreur donnée et un taux de décroissance r dusignal, la signalisation duobinaire utilise 1/(1+r) de la bande passante requise par la signalisation binaire, mais demande 2.1 dB plus de SNR
Probabilité d’erreur de détection
Principes de communications II
MIC424044
c(t) C( f ) C ( f ) e
Canaux à distorsion
• Un canal BPL est à distorsion si C( f ) n’est pas d’amplitude constante ou de phase
jc ( f )
• Les deux cas mènent à IIS et les techniques d’élimination vues pour les canaux BPL sans distorsion ne sont plus efficaces
• On peut tenter de concevoir des filtres de transmission et de réception modifiés si on connaît C( f ) ; sinon, il égalisateur de canal (channel equalizer) est requis pour corriger la situation, avec ou sans connaissance de C( f )
23
Principes de communications II
MIC424045
• Demande la connaissance préalable de
• Permet d’avoir système à zéro IFI en incluant dans le filtre de transmission. Par exemple, on peut utiliser un cosinus surélevé tel que
est un délai de propagation pour rendre le système réalisable
• Le spectre du bruit à la sortie est toujours
pour donner
d’où une expression de probabilité d’erreur inchangée (
Élimination d’IIS par filtre TX modifié
pour PAM binaire, où la puissance moyenne du signal est d2, puisque )
Principes de communications II
MIC424046
• Si on pose , alors
et (où et : délais de propagations pour système réalisable)
et
• La puissance moyenne transmise est
d’où le rapport
Élimination d’IIS par filtre TX modifié
• Le terme < 1 introduit une perte qui diminue le rapport S/B
24
Principes de communications II
MIC424047
J. G. Proakis, "Adaptive Equalization for TDMA Digital Mobile Radio," IEEE Trans. on Veh. Tech. , May 1991
Égalisateur
Non‐linéaire
DétectionML
DFELinéaire MLSE
TransversalEstimateurde canal
transversal
Types
Structures
TreillisTransversal Treillis
8C32810.107-Cimini-7/98
Égalisateurs de canal
• Dans tous les cas, le but est d’éliminer l’IIS
Principes de communications II
MIC424048
• Demande la connaissance préalable de C f
• L’égalisateur peut être un nouveau bloc dans la chaine de communication pour donner
X f GT f C f GR f GE f
• On peut utiliser GR f GT* f ,si
• L’approche par fonction inverse élimine l’IIS, mais l’égalisateur modifie le rapport signal-sur-bruit, car GR f devientGR f GE f
Égalisation de canal linéaire
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Principes de communications II
MIC424049
• Dans un système concret, C f est rarement connu à l’avance et il change régulièrement
• On peut poser et ∗ , et essayer ensuite d éliminer l’IIS obtenu à la sortie du démodulateur :
• La sortie du démodulateur peut être vue comme celle d’un filtre à réponse impulsionnelle finie dont la réponse s’étend à L échantillons avant et après l’échantillon présent.
Égalisation de canal pour C( f ) inconnu
ym x0am an xmn nmnm
• L’égalisateur peut jouer sur les coefficients du filtre pour modifier sa réponse
Principes de communications II
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Égalisation de canal par filtre linéaire transversal
(2N+1) poids : c-N, c-N+1,…, cN 0 < T, on choisit souvent =T/2
Algorithme d’ajustement des
poids
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Principes de communications II
MIC424051
• Les coefficients {cn} doivent être choisis pour pouvoir eliminerl’interférence des N symboles adjacents au symbole désiré, et avoir à la sortie de l’égalisateur
∑ 1, 00, 1, 2…
• Comme les 2N+1 coefficients peuvent agir sur 2N+1 échantillons du signal, on peut écrire l’équation sous forme matricielle :
q=Xc
où X est la matrice des échantillons de dimensions (2N+1)x(2N+1) et c est le vecteur de coefficients de dimension 2N+1.
Égalisation de canal par filtre linéaire transversal
Principes de communications II
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• On peut résoudre q=Xc de deux façons :• De manière déterministe par la méthode des zéros forcés • De manière statistique par la méthode du minimum de l’erreur
quadratique moyenne (minimum mean-square (MSE) error).
• Méthodes des zéros forcé : c’est celle du transparent précédent; on crée un vecteur q dont l’élément central vaut 1 et les autres 0, et on trouve c pour la matrice X donnée
• Ex. : = T/2, filtre FIR pour N=2 et
• L’égalisateur à zéros forcé ignore l’effet du bruit, et il corrige uniquement l’effet des échantillons distants de ±N ou moins du symbole courant!
Égalisation de canal par filtre linéaire transversal
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Principes de communications II
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• Méthode MMSE : Donne un égalisateur robuste face bruit.
• Les coefficients du filtre sont choisis de manière à minimiser l’erreur quadratique moyenne due à l’effet conjoint de l’IIS et du bruit, MSE
• On a
2
∑ ∑ 2∑
• Les coefficients recherchés sont obtenus lorsque la dérivée de MSE par rapport à chacun d’eux est nulle
Corrélation croiséeAutocorrélation
Égalisation de canal par filtre linéaire transversal
Principes de communications II
MIC424054
2
• La dérivation de MSE par rapport à chaque coefficient donne
2N+1 équations linéaires à 2N+1 inconnues
• En pratique et ne sont pas connues et il faut les approximer
• Plusieurs techniques
Égalisation de canal par filtre linéaire transversal
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Principes de communications II
MIC424055
Égalisation à filtre adaptatif
Deux processus parallèles :1. Filtrage normal2. Adaptation des poids aux variations environnementales
• Accomplit l’égalisation de canal par un filtre qui s’adapte aux fluctuations temporelles de C(f) en modifiant automatiquement ses coefficients en fonction d’un signal d’erreur
Principes de communications II
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Filtrage adaptatif
• Les coefficients du filtre sont trouvés par itérations successives :
+
• En général :
é
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Principes de communications II
MIC424057
Égalisateur à filtre adaptatif
, ,
• À caque instant k, il faut trouver trouver w qui rend ek
nul ou minimum
• On peut utiliser MSE commecritère de performance
Principes de communications II
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Filtre de Wiener
Àchaque instantk,onpeut définir :Puissance du signal corrompu
Vecteur de corrélation croisée
Matrice d’autocorrélation
Substitution dans J:
2 ,
Sous forme de matrice:
2
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Principes de communications II
MIC424059
Filtre linéaire optimal
• Pour trouver les poids optimaux, on résout :
0
D’où :
(Équations de Wiener-Hopf)
• Les filtres correspondants sont les filtres de Wiener.
• Exigent toujours la connaissance préalable de R et P !
Principes de communications II
MIC424060
Méthode de la plus grande pente• Trouve w de manière progressive
– Utiliser l’information apportée par chaque nouvel échantillon du signal d’entrée
• L’algorithme doit nous approcher du minimum de la surface d’erreur avec chaque itération.– Aller dans la direction de plus
grande pente de la surface d’erreur, c’est-à-dire dans la direction opposée à
∑ ,
∆
µ = constante positive (facteur de convergence)
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Principes de communications II
MIC424061
Méthode de la plus grande pente
• Partant du poids wk[n] à l’itération n, la valeur mise à jour pour l’itération suivante est :
1 ∆
,
• Méthode exacte dans le sens qu’aucune approximation n’a été nécessaire à sa dérivation
• La precision depend de celle de P, R et de la valeur de
Principes de communications II
MIC424062
Algorithme du moindre carré moyen• Remplace P et R par leur estimation instantanée :
; , ;
• La substitution dans la méthode de la plus grande pente donne :
1 ,
∑
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Principes de communications II
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Algorithme du moindre carré moyen• Sous forme vectorielle:
1 .∗ • Le vecteur des poids va décrire une trajectoire en
zigzag sur la surface d’erreur qui terminera sur la solution optimale si le facteur de convergence est approprié.
• Le facteur de convergence doit:
0 1
é
Principes de communications II
MIC424064
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Principes de communications II
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Égalisation de canal
Principes de communications II
MIC424066
Modélisation inverse Fournit le modèle inverse d’un système inconnu
Applications: Equalization linéaire de canal
• x[n] est formé de symboles connus
• L’effet de distorsion causé par Hc( f )(dispersion, atténuation) est compensé par l’inverse de Hc( f )
• Le filtre inverse est adaptatif puisque la distorsion du canal varie avec le temps (réflexions, changement de température, etc.)
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Principes de communications II
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Principes de communications II
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Principes de communications II
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Égalisation de canal• L’égalisateur adaptatif opère de deux façons:
entrainement ou à l’aveugle.
• Désavantages:– La réponse doit être connue au récepteur.
– Aucune information ne peut être transmise durant l’entraînement.
Principes de communications II
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Égalisateur à décision récursive
• L’égalisateur DFE (decision feedback equalizer) utilise l’ISI du symbole détecté précédemment pour reéduire celui du symbole entrant
• Estime le canal au lieu d’inverser C(f) => n’amplifie pas le bruit du canal
• A une meilleure performance qu’un égalisateur linéaire pour les canaux évanescents
• Sujet à la propagation d’erreur en cas de mauvaise décision.
Hc(f)Forward Filter
n(t)
x(t)
DFE
FeedbackFilter
+
‐
x(t)^