Support de cours Statistique Mathématique SMOUNI Rachid
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Royaume du Maroc Ministère de l’Education Nationale, de la Formation Professionnelle, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Secrétariat d’Etat Chargé de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
LICENCE FONDAMENTALE
SEMESTRE 2
(Séances 5 et 6)
COURS DE PROBABILITE
PR SMOUNI RACHID
Chapitre 3
Les Variables aléatoires Discrètes et
Les Variables Aléatoires Continues
L’objectif de ce chapitre est de présenter les outils nécessaires pour comprendre
la notion de variable aléatoire et l’appliquer à des concepts de gestion notamment
les deux types de variable aléatoire à savoir :
La variable aléatoire discrète qui est une variable aléatoire ne pouvant
prendre qu’une quantité dénombrable de valeurs (nombre fini ou
dénombrable de valeurs).
La variable aléatoire continue si elle peut prendre cette fois-ci toutes les
valeurs dans un intervalle donné (une infinité non dénombrable de
valeurs).
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I- Expérience aléatoire
On appelle « expérience aléatoire », une expérience dont les conditions de
déroulement sont parfaitement définies, mais dont le résultat ne peut être prévu
avec certitude à l'avance.
Exemples
1- On lance un dé, on note le nombre de points apparaissant sur la face
supérieure.
On répète cette expérience deux fois.
2- On tire une carte d'un jeu de 32 cartes et on note la couleur obtenue.
On répète cette expérience deux fois.
3- On dispose d'une urne dans laquelle se trouvent 10 boules noires et 5
boules blanches.
On tire au hasard une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne.
Cette expérience est répétée trois fois de suite.
II- Les variables aléatoires Discrètes
1- Définition
On appelle « variable aléatoire discrète », une application qui à chaque
événement X fait correspondre un nombre réel noté P(X).
Cette application doit vérifier les propriétés suivantes :
∀ (𝑋, 𝑌) ∈ Ω:
0 ≤ 𝑃(𝑋) ≤ 1
𝑃(Ω) = 1
𝑆𝑖 𝑋 ∩ 𝑌 = ∅ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃(𝑋 ∪ 𝑌) = 𝑃(𝑋) + 𝑃(𝑌)
2-Application
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie dans l’air, on définit la variable
aléatoire X comme « le nombre de pile obtenu ».
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L’univers Ω de cette expérience contient 8 événements élémentaires lié à la
variable aléatoire X.
En effet, .
Evénements PPP PPF PFP FPP PFF FPF FFP FFF
X 3 2 2 2 1 1 1 0
Les valeurs que peut prendre la VA X sont : .
3- la Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers Ω.
On note avec, les différentes valeurs prises par la VA X.
Définir la loi de probabilité de X consiste à associer à chaque valeur la
probabilité de l’événement « X = » c’est-à-dire P(X= ).
En fait, lorsqu’on affecte à chacune des valeurs de de la variable aléatoire la
probabilité de réalisation, on définit une loi de probabilité.
On présente souvent les données sous forme d’un tableau, où la somme des
probabilités est égale à 1.
Application
Si l’on reprend l’exemple ci-dessus, quelle est la probabilité de tous les
événements élémentaires.
FFFFFPFPFPFFFPPPFPPPFPPPE ,,,,,,,
3,2,1,0
ix ki 1
ix
ix ix
8
1
2
1
2
1
2
1)()3(
8
3
8
1
8
1
8
1)()()()2(
8
3
8
1
8
1
8
1)()()()1(
8
1
2
1
2
1
2
10
PPPPXP
FPPPPFPPPPFPXP
FFPPFPFPPFFPXP
FFFPXP
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Le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité de X.
0 3 Total
4- Fonction de répartition
Soit X une variable aléatoire. La loi de probabilité de X : , qui est définie
par la fonction , appelée fonction de répartition (distribution cumulative ou
fonction de distribution) de la variable X, définie par :
: R → [0,1]
X → )( ixXP
).()( ixXPxF
Il est important de remarquer que 𝐹(𝑥) est une fonction de 𝑥 et non de la variable
aléatoire X.
Pour chaque valeur de 𝑥, représente une probabilité cumulée.
Lorsque la variable aléatoire X ne prend que des valeurs discrètes, on parle de
variable aléatoire discrète.
Propriétés de la fonction de répartition
1- est comprise entre 0 et 1.
2- est une fonction monotone non-décroissante de
3-
ix 1 2
ixXP 8
1
8
3
8
3
8
11
8
8
)( ixXP
)(xF
)(xF
)(xF
)(xF
)(xF .x
).()1()( iii xFxFxXP
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Application
Reprenons l’exemple précédent, les données de la fonction de répartition seront
résumées dans le tableau ci-dessous :
0
1
2
3
1/8
3/8
3/8
1/8
1/8
4/8
7/8
8/8
Total 1
0)0()( XPF .
.8/1)1()1( XPF
.8/4)2()2( XPF
.8/7)3()3( XPF
.1)3()( XPF
5- PARAMETRES D’UNE VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE
X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est représentée par le
tableau suivant :
5-1 L’Espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète
L’espérance mathématique de X est le nombre réel, noté , donné par :
5-2 Somme d’espérances mathématiques
ix ixXP )(xF
ix 1x 2x3x .......
kx
ixXP 1P2P
3P .......kP
XE
k
i
iikk PxPxPxPxXE1
2211 ......
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L’espérance Mathématique dans le cas discret :
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 ×𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑥𝑖2 ×𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
En appliquant la propriété de l'espérance d'une somme de variable aléatoire
indépendantes Xi, on peut écrire :
E(X) = E(X1 + X2 + … + Xn)
E(X) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)
E(X) = p + p + … + p
E(X) = n.p
4- 3 La Variance et l’écart-type
Formule classique de la variance
La variance dans le cas discret :
𝑉(𝑋) = 𝐸 [(𝑋 − 𝐸(𝑋))2
] = ∑ (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))2 × 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)𝑖
Formule développée de la variance
L’écart-type de X, est le réel :
5- 4 Somme de Variances et d’écart-type
2
1
22
22
2
11 ...... XExPXExPXExPXExPXV i
k
i
ikk
.)()()(22
2
1
2
XEXEXV
XExPXVk
i
ii
XVX
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En appliquant la propriété de la variance d'une somme de variables
aléatoires indépendantes Xi, on peut écrire :
V(X) = V(X1 + X2 + … + Xn)
V(X) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn)
V(X) = p.q + p.q + … + p.q
V(X) = n.p.q
Application
Si l’on reprend l’exemple de la pièce de monnaie ci-dessus :
L’espérance de X est égale à :
.2)( XE
L’espérance peut s’interpréter en disant que si on joue un très grand nombre de
fois, on peut avoir en moyenne deux fois pile.
La variance de X est égale à :
187,0 X
Donc si on répète l’expérience trois fois on aura en moyenne deux piles avec un
écart de 1 pile.
5,18
12)
8
13()
8
32()
8
31()
8
10( XE
.38
24)
8
13()
8
32()
8
31()
8
10( 22222 XE
.75,0)(
75,0)(
)5,1(3)()( 222
X
XV
XEXEXV
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III- La variable aléatoire continue
1- Définition et caractéristiques
On appelle « variable aléatoire continue », une application, qui à chaque
événement élémentaire « X » fait correspondre un nombre réel noté
𝑃(𝑋 ∈ [𝑎, 𝑏[ ) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏).
Avec
0 ≤ P(a ≤ X ≤ b) ≤ 1
∑ P(a ≤ X ≤ b)i≥1 = 1
XP X f
b
a
a b t dt , Xf appelée densité de probabilité.
L’espérance mathématique dans le cas continu :
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 × 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
E(X2) = ∫ x2f(x)dx+∞
−∞
La variance dans le cas continu :
𝑉(𝑋) = 𝐸 [(𝑋 − 𝐸(𝑋))2
] = ∫ (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋))2 × 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞
−∞
2-2 Covariance et corrélation de variables aléatoires
Pour mesurer la "force" de la liaison entre deux variables X et Y, on dispose de
deux outils :
La covariance des variables X et Y est :
Cov(X, Y) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋)(𝑌 − 𝐸(𝑌)]
Cov(X, Y) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)
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Le coefficient de corrélation des variables X et Y est :
𝜌𝑋,𝑌 = Cov(X,Y)
𝜎𝑋𝜎𝑌=
𝜎𝑋𝑌
𝜎𝑋𝜎𝑌
L’espérance E(XY) est calculée partir de la loi jointe du couple(X,Y):
dans le cas discret :
E(XY) = ∑ ∑ 𝑥𝑦 × 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗)
𝑗𝑖
dans le cas continu :
E(XY) = ∬ 𝑥𝑦𝑓(𝑋, 𝑌)𝑑𝑥𝑑𝑦
Remarque
1- Si les variables X et Y sont indépendantes, alors Cov(X, Y) = 0
et donc le coefficient de corrélation aussi.
2- Soient X et Y deux variables aléatoires Alors :
Var(X + Y)= Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)