Chapitre 24 : Sections planes de solides
Définition : Lorsqu’un solide est coupé par un plan, la section du solide par le plan est constitué de tous les points
qui appartiennent à la fois au plan et au solide.
I - Sections d’un cube, d’un pavé droit, d’un cylindre, d’une pyramide et d’un cône
1) Section d’un cube
par un plan parallèle à une face par un plan parallèle à une arête
2) Section d’un parallélépipède rectangle
par un plan parallèle à une face par un plan parallèle à une arête
Propriété : La section d’un parallélépipède rectangle
par un plan parallèle à une face est un rectangle de
mêmes dimensions que cette face.
3) Section d’un cylindre de révolution
par un plan parallèle à la base par un plan parallèle à l’axe
Propriété : La section d’un cylindre de révolution
par un plan parallèle à la base est un disque de même
rayon que la base.
Propriété : La section d’un
parallélépipède rectangle par
un plan parallèle à une arête
est un rectangle.
Propriété : La section d’un
cylindre de révolution par un
plan parallèle à l’axe est
un rectangle.
Propriété :
La section d’un cube par
un plan parallèle à une
arête est un rectangle.
Propriété :
La section d’un cube
par un plan parallèle
à une face est
un carré de même
dimension que cette
face.
je peux maintenant construire le rectangle
KLMN en reportant la longueur KN au compas.
4) Section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base
pyramide cône de révolution
Propriété : La section d’une pyramide par un plan
parallèle à sa base est de même nature que sa base.
Propriété : La section d’un cône de révolution par un plan
parallèle à sa base est un disque
Exercice d’application :
Le quadrilatère KLMN est la section du pavé droit ABCDEFGH
par un plan parallèle à l’arête [EF].
1) Quelle est la nature de cette section ? Justifier.
2) Sans effectuer de calculs, construire en vraie
grandeur le quadrilatère KLMN.
3) a) Comment appelle-t-on le solide ENKFML obtenu ?
b) Calculer le volume de ce solide.
1) Je sais que KLMN est la section du pavé droit ABCDEFGH par un plan parallèle à l’arête [EF].
Or la section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un rectangle.
Donc KLMN est un rectangle.
2) Construction du rectangle KLMN :
la longueur du rectangle est MN = AB = 5 cm.
la largeur du rectangle est KN.
3) a) le solide ENKFML est un prisme droit dont la base est un triangle rectangle.
b) 𝑉 = 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ×ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 = 𝑎𝑖𝑟𝑒(𝐸𝑁𝐾)×𝐸𝐹 =𝐸𝑁×𝐸𝐾
2×𝐸𝐹 =
1,3×2,7
2×5 = 1,755×5 = 8,775 𝑐𝑚3
Pour connaître la longueur KN je construis d’abord
le triangle KEN rectangle en E tel que EK= 2,7 cm
et EN = 1,3 cm.
II - Sections d’une sphère
Soient 𝒮 une sphère de centre O et de rayon 𝑅 et (𝒫) un plan de l’espace .
La droite passant par le point O et perpendiculaire au plan (𝒫) coupe ce plan au point H.
La longueur OH est la distance du point O au plan (𝒫 ).
Il y a 4 cas possibles :
𝑂𝐻 > 𝑅 𝑂𝐻 = 𝑅 𝑂𝐻 < 𝑅 𝑂𝐻 = 0
Le plan ne coupe pas la
sphère, il n’y a pas de
section.
Le plan coupe la sphère, en
un seul point, H. On dit que
le plan et la sphère sont
tangents.
Le plan coupe la sphère et
la section est un cercle de
centre H.
On calcule le rayon de ce
cercle en utilisant le
théorème de Pythagore
dans le triangle OHM
rectangle en H.
Le plan coupe la sphère et
la section est un « grand
cercle » de centre 0 et de
rayon R.
Exemple : On a représenté ci-contre une sphère de centre O et de rayon 3 cm.
Le plan P représenté coupe la sphère selon un cercle 𝒞 de centre H avec OH = 2 cm.
Calculer le rayon en cm de cette section et arrondir au mm.
III - Lien entre sections de solides et agrandissement-réduction
Rappels :
×𝑘 (𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡)
ℓ (𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒) ℓ′(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒)
• Conséquence sur les angles : la mesure des angles est conservée.
• Conséquences sur les périmètres : 𝒫 ′ = 𝒫 × 𝑘. • Conséquence sur les aires : 𝒜′ = 𝒜 × 𝑘2. • Conséquence sur les volumes : 𝒱′ = 𝒱 × 𝑘3.
rayon de la
sphère :
OM= 3 cm
2 cm
rayon de la
section : MH = ?
Je sais que le triangle 𝑂𝐻𝑀 est rectangle en H
Or, d’après le théorème de Pythagore on a :
𝑂𝑀² = 𝑂𝐻² + 𝐻𝑀² .
Donc en remplaçant par les longueurs données on a :
3² = 2² + 𝑀𝐻²
9 = 4 + 𝑀𝐻²
𝑀𝐻² = 9 − 4
𝑀𝐻² = 5
𝑀𝐻 = √5 𝑐𝑚 (valeur exacte)
𝑀𝐻 ≈ 2,23 𝑐𝑚
𝑀𝐻 ≈ 2,2 𝑐𝑚 (valeur arrondie au mm)
- pour calculer la longueur finale : ℓ′ = ℓ×𝑘
- pour calculer la longueur initiale : ℓ = ℓ′: 𝑘
- pour calculer le coefficient : 𝑘 =ℓ′
ℓ
1) Exemple avec un cône
Sur la figure ci-contre, on a un cône de révolution tel que 𝑆𝐴 = 12 𝑐𝑚.
Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que 𝑆𝐴′ = 3cm.
La figure ci-contre n’est pas à l’échelle.
1) Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 𝑐𝑚 .
Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.
2) Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du
grand cône au petit cône ?
3) Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner
la valeur arrondie au 𝑐𝑚3.
1) Volume du grand cône :
𝒱 =𝜋×𝑟²×ℎ
3=
𝜋×7²×𝑆𝐴
3=
𝜋×49×12
3=
𝜋×49×4×3
3= 𝜋×196 = 196 𝜋 𝑐𝑚3
2) Le coefficient de réduction est 𝑘 =𝑆𝐴′
𝑆𝐴=
3
12=
3×1
3×4=
1
4
3) Volume du petit cône :
𝒱′ = 𝒱×𝑘3 = 196 𝜋× (1
4)
3
= 196 𝜋×1
64=
196𝜋
64= 3,0625 𝜋 𝑐𝑚3 (valeur exacte)
𝒱′ ≈ 10 𝑐𝑚3 (valeur arrondie au cm3)
2) Exemple avec une pyramide
Une boite de chocolats a la forme d’une pyramide régulière à base carrée.
On la coupe suivant un plan parallèle à sa base. La partie supérieure est le couvercle et la partie inférieure contient
des chocolats. La base est le carré ABCD de centre O. On donne AB = 30 cm, SO = 18 cm et SO’ = 6 cm.
1) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
2) Calculer le coefficient de réduction qui permet de passer
de la grande pyramide à la petite.
3) Calculer le volume de la pyramide SA’B’C’D’.
4) En déduire le volume du récipient ABCDA’B’C’D’ qui contient les chocolats.
1) Volume de la grande pyramide SABCD :
𝒱 =𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ×ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟
3=
𝑎𝑖𝑟𝑒(𝐴𝐵𝐶𝐷)×𝑆𝑂
3=
30²×18
3=
16200
3= 5400 𝑐𝑚3
2) Le coefficient de réduction est 𝑘 =𝑆𝑂′
𝑆𝑂=
6
18=
1
3
3) Volume de la petite pyramide SA’B’C’D’ :
𝒱′ = 𝒱×𝑘3 = 5400×(1
3)
3
= 5400×1
27= 200 𝑐𝑚3
4) 𝑉(𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵 ′𝐶 ′𝐷′) = 𝒱 − 𝒱 ′ = 5400 − 200 = 5200 𝑐𝑚3
Le récipient qui contient les chocolats a un volume de 5200 cm3.