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8/18/2019 Ch 4 Plans Expériences
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Chapitre 4:
deux niveaux
Pr E. M. EL HADRAMI 1
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I- Introduction
,de façon exponentielle avec les facteurs.
Deviennent rapidement prohibitifs
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e oca ser sur es e e s es p us n ressan s.
Les plans fractionnaires sont des plans
op maux qu perme en e r u re a c argeexpérimentale.
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II- Définition
Un PFC permet d’estimer, non seulement leseffets des facteurs mais é alement toutesleurs interactions 2 à 2, 3 à 3,…
Or en prat que es nteract ons 2 2 typeABC) et au-delà sont bien souvent.
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Dans une étude à 5 facteur, par exemple, lePFC propose 32 essais et nous ne sommesn ress s que par n orma ons:
** Les interactions du 1er ordre:10* La moyenne: 1
Donc 16 informations inutiles (de trop)!!!
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utiliser pour l’étude de k facteurs lesmatrices des effets des PFC 2k-1, ou 2k-2,… ou2k-p
L’avantage des PFr 2k-p est évident: diviser
a c arge exp r menta e par 2p 2-p
= 2 2p
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III- PFr 24-1 pour l’étude de 4 facteurs
III-1- Les aliases
PFC 24
: 16 essais* 4 effets principaux: A,B,C et D* 6 interactions de 1er ordre: AB, AC, AD, BC, BD et CD
, ,* 1 interaction du 3ème ordre: ABCD* La moyenne
Chacun de ces effets a sa colonne propre dans
’réaliser un PFr 24-1, on choisit de travailler avecla matrice des effets du PFC 23.
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Matrice des effets du plan 23 comporte 8 essais
et donc 8 colonnes.N° A B C AB BC AC ABC Moy
essai
1
-1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1+ - - - + - + +
3 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1
4
+1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +15 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1
6 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1
7 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +18 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
Pr E. M. EL HADRAMI
Ma t r i c e d e s e f f e t s d u p l a n 2
8
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Il reste 8 effets à placer: D et ses interactions.
Plus d’un effet par colonne
Int ressons nous D tout a or . n ne peutlui attribuer qu’une colonne déjà occupée.
Comme l’interaction ABC est probablement
né li eable D occu era la colonne de ABC
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°
ABC
1 - - - -
2 + - - +
3 - + - +- -
5 - - + +
6 + - + -
7 - + + -8 + + + +
D et ABC sont confondus. On dit qu’ils sontalias s et on crit D = ABC
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Dans les autres colonnes A, B, C, AB,…vont être
a as s avec es n erac ons e e cec vadépendre de l’aliase initiale D = ABC
Rappel:
AB = BA : commutativité
AI = IA = A : élément neutre (I colonne
mo enneA.A = I qqs A
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D = ABC DD= DABC soit I = ABCD
I = ABCD est appelé générateur d’aliases
Donc interaction ABCD confondu avec la colonne
De même B = ACD et C = ABD
ABI = (AB)(ABCD) = AABBCD soit AB = CDDe même BC = AD et AC = BD
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N° A B C AB BC AC ABC I mo
essai BCD ACD ABD CD AD BD D ABCD
1 - - - + + + - +
2 + - - - + - + +
3 - + - - - + + +
4 + + - + - - - +
5 - - + + - - + +
6 + - + - - + - +
7 - + + - + - - +
8 + + + + + + + +
Ma t r i ce d u p l a n 2 4 - 1
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III-2- Contrastes
Y1, y2,…..y8, les valeurs obtenues pour laréponse aux huit essais du plan 24-1.
h1 = 1/8(-y1+y2-y3+y4-y5+y6-y7+y8) signe de la colonne 1
=
On l’appelle contraste, il rend compte des variations de A et del’interaction BCD
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III-3- Étude de cas
Étude de l’influence sur l’allongement à la
rupture d’un élastomère en fonction de lanature de l’élastomère, le taux d’additif, lesystème de vulcanisation et le taux de kaolin.
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La réponse y: allongement à la rupture (%)
Facteur A: nature de l’élastomère
Facteur B: taux d’additif
Facteur C: système de vulcanisation
Choix du plan:
24-1 et l’aliase D=ABC
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°
1 - - - - 275
2 + - - + 325
3 - + - + 210
4 + + - - 2205 - - + + 290
6 + - + - 370
- -
8 + + + + 270
Niveau -1 1 6 1 20
Niveau +1 2 10 2 40
M a t r i c e d e s e x pér i e n ce s
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N° A B C AB BC AC ABC I mo
essai BCD ACD ABD CD AD BD D ABCD1 - - - + + + - + 275
2 + - - - + - + + 325
3 - + - - - + + + 2104 + + - + - - - + 220
5 - - + + - - + + 290
6 + - + - - + - + 3707 - + + - + - - + 260
8 + + + + + + + + 270
Ma t r i c e d e s e f f e t s
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h1 = +18,75 = A + BCD
h2 = -37,5 = B + ACDh3 = 20,0 = C + ABDh4 = -3,75 = D + ABC
5 - ,h6 = +5,0 = BC + ADh = +3 75 = AC + BDh8 = 277,5 = Moy + ABCD
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Inter rétation
Hypothèses permettant d’interpréter le plan:
* Conditions de l’étude: contrastes de valeur absolue inférieure à
8 sont négligeables* Les interactions d’ordre 2 sont probablement négligeables
h = 19 = A h = AB + CD = -14 ~ AB h = -38 = B* h3 = 20 = C h6 et h7 négligeables**h4 = -4 = D~0
* A et C même ordre de grand., B important, D insignifiant donc AB pèse plus lourd que CD: ceciest attendu car interaction élastomère-additif est plus plausible que syst vulcanisation-kaolin
Pr E. M. EL HADRAMI
** Soient les composantes s’annulent ou sont les deux n égligeables
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Interaction Élastomère - Additif
ElastomèreType 2245347,5
325 - 370220 - 270
Additif
282,5 235
Type 1275 - 290
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Conclusion de l’étude
* Additif en excès: les deux élastomères ont unallongement identique. Un excès d’additif diminuel’allongement et surtout avec l’élastomère 1.Élastomère 2 référable à 1.
* Le système de vulcanisation 2 est meilleur que le 1.
* Le kaolin est sans influence (ce qui était attendu).Facteur inclus pour vérifier l’absence d’interaction avec’
* Il n’ y a probablement pas d’autre interaction queas om re - a
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Remar ues
Les 8 essais exploités constituent la moitié du PFCprévu par la matrice des effets du plan24.
Les ex ériences effectuées sont n° 1 10 11 4 13 6 et16.
4-1 .
C’est le plan complémentaire du précédent.
’ ’d’utiliser le plan complémentaire.
ou repose sur e c o x e a ase n a e. au reschoix sont possibles: l’expérimentateur se détermineraen fonction de sa connaissance du phénomène étudié.
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IV- PFr 25-2 pour l’étude de cinq facteurs
- Plan de départ: 23 pour 3 facteurs A, B et C en 8 essais
ème ’triple D = ABC
- Ajout du 5ème facteur E en confondant ses valeurs avec l’interactiondouble E = AB
= =
E=AB soit I=ABE Générateurs d’aliases indépendants}
Multiplication: I= (ABCD)(ABE)= CDE Générateur d’alise dépendant
= = =
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IA= A = BE = BCD = ACDEB = AE = ACD = BCDEC= DE = ABD = ABCE
D= CE = ABC = ABDE= = =
IBC=
BC = ACE = BDE = AD = = =
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N° A B C AB BC AC ABC I mo
essai BEBCD
AE ACD
DE ABD
CD A
ADBDE
BD ADE
DCE
ABECDE
1 - - - + + + - +
2 + - - - + - + +
3 - + - - - + + +
4 - - - -
5 - - + + - - + +
- - - -
7 - + + - + - - +
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V- Conclusion
PFC
effets d’interactions d’ordre élevé
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2k-p Nombre’
Économie aliase Remarqueessa D’essai
24-1
8 50% D=ABC
25-1 16 50% E=ABCD
26-2 16 75% E=ABCD
=
Pas recommandé
Ou
E=ABC
= Recommandé
25-2 8 75% D=ABC
E=AB
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’-
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X1: Température du four X2: durée de cuisson
X3: Quantité farine
X4: Quantité sucre X5: nombre d’oeufs
= =
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X4X4= I = X1X2X3X4Générateurs d’alises indé endants
=
I = (X1X2X3X4)(X1X3X5= X2X4X5
Générateur d’aliase dépendant
I = X1X2X3X4 = X1X3X5 = X2X4X5
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l = + + +
l1 = a1+a35+a234+a1245
l2 = a2+a45+a134+a1235
l3 = a3+a15+a2345+a124
L
4 = a4+a25+a123+a1345
L5 5 13 24 12345
l
2 = l = + + + 2 l
l
4
= l7 = a23+a14+a125+a145
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