Centre Ingénierie et SantéLCG - UMR CNRS 5146
Bases de MMC
Pierre BADEL
2
Introduction
Aperçu
I – Introduction
II – Cinématique des milieux continus (solides)
III – Description des efforts de cohésion et lois de conservations
IV – Loi de comportement : élasticité linéaire
Pierre BADEL - EMSEI – Introduction
3
Introduction
Exemple introductif : solide rigide
• Description du mouvement
• Description des actions mécaniques
• Principal fondamental dynamique/statique
Pierre BADEL - EMSEI – Introduction Solide rigide
4
Introduction
Pierre BADEL - EMSEI – Introduction Solide rigide
Repérage d’un solide
• Soient 2 solides S0 et S1 indéformables.
On peut associer un repère R0 et R1 à chacun
( = 1 point + 1 base).
• Relativement à R0 :3 paramètres de positionnement d’1 point :
3 paramètres de positionnement d’1 base / l’autre : par exemple, les angles d’Euler.
Description du mouvement
• Variation de position entre 2 configurations.
S0
S1
1x��������������
1z��������������
1y��������������
O1
0x��������������
0z��������������
0y��������������
O0
uuuur uur uur ur0 1 0 0 0O O = xx + yy + zz
5
Introduction
Pierre BADEL - EMSEI – Introduction Solide rigide
Description des actions mécaniques sur un solide
• Définition : Action mécanique = toute action pouvant provoquer le mouvement d’un solide
(ou une déformation)
• Classification des actions mécaniquesActions à distance
Actions de contact (intérieures à la matière = cohésion, ou extérieures)
• Sur un solide rigide, les actions se résument à :Un effort résultant
Un moment résultant
( )
ii
i ii
R = F
M A = AP F
ì üï ïï ïï ïï ïï ïí ýï ïÙï ïï ïï ïï ïî þ
å
å
r r
ur uur r
1F��������������
A A M A
��������������
3F��������������
2F��������������
jF�������������� R
��������������
6
Introduction
Pierre BADEL - EMSEI – Introduction Solide rigide
Principe fondamental
• Statique
• Dynamique
{ }FΣ Σ A
R 0=
M 0
ì üï ï=ï ïï ïí ýï ï=ï ïï ïî þ
r r
ur rUn solide est en équilibre statique
{ }( )
iiΣ Σ
ext A
i iΣ Σi
FR
F = = M A AP F
®
®
ì üï ïï ïì üï ï ï ïï ïï ï ï ïï ïí ý í ýï ï ï ïÙï ï ï ïï ïî þ ï ïï ïï ïî þ
å
å
ruuuur
uuuur uur r
{ }( )
( )
g
ΣgΣ A g
Σ
Γ P dm
D = AP Γ P dm
ì üï ïï ïï ïï ïï ïí ýï ïï ïÙï ïï ïï ïî þ
ò
ò
ur
uruur
{ } { }gext ΣF D=
7
Introduction
Aperçu
I – Introduction
II – Cinématique des milieux continus (solides)
III – Description des efforts de cohésion et lois de conservations
IV – Loi de comportement : élasticité linéaire
Pierre BADEL - EMSEI – Introduction
8
II – Cinématique des milieux continus solides
1 – Description du mouvement
2 – Mesures de déformation
…
Pierre BADEL - EMSE
9
Hypothèses et limitations
Limitation au cas des solides
Chaque point matériel est identifié par sa position initiale . Il est « étiqueté ». Il s’agit de la description lagrangienne.Pour le cas des fluides, on considère généralement une variable qui désigne une zone de l’espace (où passent les points matériels). Il s’agit de la description eulérienne.
Hypothèse de milieu continu
« Des points voisins restent voisins » Leurs propriétés physiques évoluent comparablement
Référentiel
Nécessaire pour caractériser positions et déplacements. En l’absence de précision, nous serons dans le cas simple (le plus courant) du référentiel du laboratoire, lié à l’observateur.
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 0 – cadre de travail
X��������������
10
Notion fondamentale : 2 configurations géométriques du système
Configurations du système
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 1 – Description du mouvement
(C0) (C)
Nn
Configurations initiale et déformée sont différentes!(mais considérées très proches sous l’hypothèse de petites perturbations, HPP)
On peut définir/écrire toute équation/grandeur dans l’une ou l’autre des configurations
Configuration initiale
Variable lagrangienne : X��������������
Configuration actuelle (ou déformée)
Variable eulérienne : x��������������
11
Fonction placement (mapping) : description globale du mouvement du solide
Fonction qui, à chaque point matériel de (C0), associe de (C)
Mouvement du solide
Pierre BADEL - EMSE
(C0)
3X
1X
2X
(C)
1x
2x
3x
( )x = x X, tr r r
( )x = X u X, t+r r r r
( )i i ix = X u X, t+r
( )i ix = x X, tr
Déplacement uFonction placement
II – Cinématique 1 – Description du mouvement
X��������������
x��������������
O
X��������������
x x X������������������������������������������
12
Description locale : le tenseur gradient de la transformation (gradient tensor)(Appelé aussi application linéaire tangente, et parfois, à tort, gradient de la déformation)
Localement, il définit la transformation d’un vecteur matériel infinitésimal:
Tenseur gradient
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 1 – Description du mouvement
( )dx = X, t . dX
x =
X¶
¶
F
F
r r r
r
r
(C0) (C)
3X
1X
2X
1x
2x
3x
dXr dx
r
iij
j
F = Xx¶
¶
i ij jx = F X¶ ¶
Tenseur gradient F
13
Exemples Déformation triaxiale
Cisaillement simple
Tenseur gradient
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 1 – Description du mouvement
1
1
1
λ1
λ2
λ3
X1
x1
X3x3
X2
x2
X33x
2x
1x
1
11
X1
X2
γ
= ...F1
2
3
x = ...
x = ...
x = ...
= ...F1
2
3
x = ...
x = ...
x = ...
14
Transformation d’une surface, d’un volume
Preuve:
Tenseur gradient
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 1 – Description du mouvement
F
3dXr
N
1dXr
2dXr 1dx
r
n
2dxr
3dxr
( )dV dv = det F dV = JdV
N dS n ds = J F .N dST-
®
®r r r
( ) ( )1 2 3 1 2 3dv = dx dx .dx = F.dX F.dX . F.dX =...Ù Ùr r r r r r
T T3 3dv = dx . n ds = J dV = J dX . N dS = ...
r r r r
Milieu incompressible J=1
15
Décomposition polaire du tenseur gradient
Théorème de décomposition polaire: Le théorème de décomposition polaire stipule que le tenseur gradient peut se décomposer, multiplicativement, de manière unique:
est le tenseur de rotation. Il est orthogonal:
sont les tenseurs des dilatations droit et gauche. Ils sont symétriques et définis positifs.
Tenseur gradient
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 1 – Description du mouvement
= . = .F R U V R
R 1 T- =R R
et U V
R
R
V
U
F
16
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 2 – Mesures de déformation
II – Cinématique des milieux continus solides
1 – Description du mouvement
2 – Mesures de déformation
…
17
Description des déformations
Caractérisation des changements de formes/angles évolution des produits scalaires
Sens physique : le calcul de donne l’allongement λ dans cette direction.
Changement de forme
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 2 – Mesures de déformation
= .TC F F Lagrangien
Eulerien
dUr
dVur
dur
dvr
Tenseur de Cauchy Green droit C
du.dv = ...r r
-1 -1dU.dV = .du . .dv = ...F Fr ur r r
F
= . TB F FTenseur de Cauchy Green gauche B
2 = C U
2 = B V
2u r
18
Mesure de déformation : le tenseur de Green Lagrange
On caractérise les variations par rapport à la configuration initiale:
Autres mesures de déformation (en théorie des grandes déformation)
The right and left stretch tensor:
Logarithmic strain tensor:
…
« Tenseur des déformations »
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 2 – Mesures de déformation
and U V
( ) ( )1 1 = = .
2 2T- -E C I F F I
( )ln U
Lagrangien
Eulerien
du.dv - dU.dV = 2 dU . . dVEr r r ur r ur
Tenseur des déformations de Green Lagrange E
Tenseur d’Euler-Almansi A ( )11 =
2--A I B
19
Introduction de l’Hypothèse de Petites Perturbations (HPP)
En introduisant le champ de déplacement…
Il vient
« Tenseur des déformations »
Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 2 – Mesures de déformation
d + =
dx dX ux = X + u = = I+ udX dX dX
Þ ÑFur ur ur
ur ur ur urur ur ur
( )T SX X X
1 = u + u = u2
Ñ Ñ Ñεur ur ur
est le tenseur des déformations linéariséε
( )T AX X X
1 = u - u = u2
Ñ Ñ Ñωur ur ur
est le tenseur des rotationsω
= ...C
= ...E
XHPP 1 uÑ
ur=
20
Déformation triaxiale
Cisaillement simple
Exemples
Pierre BADEL - EMSE
X1
x1
X3x3
X2
x2
X33x
2x
1x
X1
X2
γ
= ...C
II – Cinématique 2 – Mesures de déformation
= ...E
= ...C
= ...E
= ...U
ln = ...U
21
Course content
Pierre BADEL - EMSE
Aperçu
I – Introduction
II – Cinématique des milieux continus (solides)
III – Description des efforts de cohésion et lois de conservations
IV – Loi de comportement : élasticité linéaire
22
III – Contraintes et lois de conservation
1 – Tenseur des contraintes
2 – Conservation de la quantité de mouvement
Pierre BADEL - EMSE
23
Pierre BADEL - EMSE
Effort interne : contrainte sur une surface
Introduction : le vecteur contrainte• Si répartition supposée homogène, point de vue « global »
• Si répartition non homogène, point de vue « local », le vecteur contrainte dépend, en fait, de l’orientation de dS et du point M
III– Contraintes 1 – Tenseur des contraintes
(2)
(1)
F
F
Section SF
TS
σ n t
��������������
Vecteur contrainte
contrainte normale
contrainte tangentielle
dFT M, n σ n t
dS
��������������������������������������������������������
T M, n et T M, n' ne sont pas indépendants��������������������������������������������������������
Notion d’état de contrainte en un point
F
(1)
n
t
F
n
t
dF
M,dSM,dS
n'��������������
SF = T(M,n)dS
24
Tenseur des contraintes de Cauchy
Définition de la contrainte (Cauchy)Pierre BADEL - EMSEIII– Contraintes 1 – Tenseur des contraintes
dS0
ds
Nr
nr
dFr
dfr
df = .n ds σr r
i ij jdf = σ n ds
dfT =
ds
rr
est le vecteur contrainte
Le tenseur des contraintes de Cauchy σ représente la contrainte « vraie ».Il est eulérien (configuration déformée).
25
Pierre BADEL - EMSE
Composantes de contrainte
Ecriture matriciel du tenseur• Isolons un prisme de matière autour de M et étudions l’équilibre
• PFS mène à …
M
( ) ( )11 12
21 22
σT M, n . n M . n
σ
é ùê ú= =ê úë û
σr r r r
La matrice des contraintes en M définit complètement l’état de contrainte en M,quelle que soit la direction n.(écriture dans la base ) ie
��������������
1e��������������
2e��������������
n
θθ
σ22
σ11
τ21
τ12
σ
τ
dL
M
Notion de tenseur ≠ matrice… matrice = projection du tenseur dans une base
III– Contraintes 1 – Tenseur des contraintes
26
Pierre BADEL - EMSE
Composantes de contrainte
Ecriture matriciel du tenseur• Isolons un cube de matière autour de M et étudions l’équilibre des moments
• PFS (moment) mène à …
M
12 21
1e��������������
2e��������������
σ22 + dσ22
σ11+ dσ11
τ21 + dτ21
τ12 + dτ12
dL1
MdL2
( ) 11 12
12 22
σM
σ
é ùê ú=ê úë û
σ
-σ11
-τ21
-σ22-τ12
III– Contraintes 1 – Tenseur des contraintes
27
Pierre BADEL - EMSE
Contraintes et directions principales
Directions principales• Matrice symétrique donc diagonalisable.
Valeurs propres réelles, appelées contraintes principales : σI, σII
Directions propres orthogonales = directions principales, forment une base o.r.n. :
• Il n’y pas de cisaillement dans les directions principales, seulement des contraintes normales.
• Exemple :
III– Contraintes 1 – Tenseur des contraintes
( ){ } { }1 2 I II
11 12 I
12 22 IIe ,e e ,e
0M
0
é ù é ùê ú ê úê ú ê úë û ë û
σuur uur ur uur
σ σ
= =σ σ
( )( )
I I I
II II II
T n=e = σ e
T n=e = σ e
r r ur ur
r r ur ur
,1 2e e
0
0
����������������������������
1e��������������
2e��������������
τ
τ
τ
τ
,I IIe e
0
0
����������������������������
1e��������������
2e��������������
τ τ
τ τ
Ie��������������
IIe��������������
28
Pierre BADEL - EMSE
Généralisation en 3D
En 3D
Quelques exemples d’états de contrainte• Fluide au repos• Traction/compression uniaxiale• …
, ,1 2 3
11 12 13
12 22 23
13 23 33 e e e
σ M
������������������������������������������
σ
= σ
σ
1T e���������������������������� 2T e
���������������������������� 3T e����������������������������
T M, n σ M n������������������������������������������
. , ,I II III
I
II
III e e e
0 0
σ M 0
sym
������������������������������������������
σ
= σ
σ
III– Contraintes 1 – Tenseur des contraintes
29
III – Contraintes et lois de conservation
1 – Tenseur des contraintes
2 – Conservation de la quantité de mouvement
Pierre BADEL - EMSEIII– Contraintes 2 – Lois de conservation
30
Pierre BADEL - EMSE
PFD sur une élément de volume…
Conservation de la quantité de mouvement• Bilan des actions extérieures sur le cube dL1 × dL2 × dL3,
on suppose deux types d’actions :Actions à distance par u. de masse (ex gravité) :
Actions de « contact » par u. de surface :
• On écrit masse . accélération = Σ actions ext. Bilan sur la direction 1 seulement :
Puis sur les autres directions…
III– Contraintes 2 – Lois de conservation
12σ
1212 2
2
σσ dL
x
1313 3
3
σσ dL
x
13σ
1e��������������
3e��������������
2e��������������
1111 1
1
σσ dL
x
11σ
br
σ
111 11 1 11 2 3
1
1212 2 12 1 3
2
1313 3 13 1 2
3
1
σρ dv a σ dL σ dL dL
x
σ σ dL σ dL dL
x
σ σ dL σ dL dL
x
ρ dv b
æ ö¶ ÷ç ÷= + -ç ÷ç ÷ç ¶è ø
æ ö¶ ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷ç ¶è ø
æ ö¶ ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷ç ¶è ø
+
( )
iji i
j
σρ a +ρ b
x
ρ a div +ρ b
¶=
¶
= σr uur r
31
Pierre BADEL - EMSE
Exemple : cube unitaire pesant
• En statique, le principe fondamental devient… ( )div ρb 0+ =σr r
x��������������
y��������������
g
1
1
III– Contraintes 2 – Lois de conservation
32
Course content
Pierre BADEL - EMSE
Aperçu
I – Introduction
II – Cinématique des milieux continus (solides)
III – Description des efforts de cohésion et lois de conservations
IV – Loi de comportement : élasticité linéaire
33
IV – Elasticité linéaire
1 – Cas 1D
2 – Elasticité : loi de Hooke
Pierre BADEL - EMSEIV– Elasticité linéaire
34
Pierre BADEL - EMSE
Modèle de comportement élastique linéaire (loi de Hooke)
Introduction à la loi de Hooke : module d’YoungCe modèle décrit une relation linéaire entre contrainte et déformation, observée expérimentalement sur certains matériaux :
Introduction à la loi de Hooke : coefficient de PoissonDéformation longitudinale εx Déformation transversale εt
Relation linéaire :
Un matériau élastique linéaire isotrope est caractérisé par :• Module d’Young E• Coefficient de Poisson ν
IV– Elasticité linéaire 1 – Cas 1D
xx
σε =
EE est le module d’Young,
Unité : Pa
ν est le coefficient de Poisson,
Sans unité
xt x
σε = - ε -
Eν ν=
35
Pierre BADEL - EMSE
Loi de Hooke 3D
Ecriture de la loi de HookeOn se place dans les axes principaux… Equations linéaires superpositions de 3 cas 1D.
Il vient :
IV– Elasticité linéaire 2 – 3D
1
2
3
σ 0 0
σ 0 σ 0
0 0 σ
2e
��������������
1e��������������
3e��������������
σ1
σ2
σ3
( ) ( )
( )
( )
11 2 3 1 1 2 3 1
2 2
3 3
σ ν ν 1+ν ν 1+ν νε = - σ - σ = σ - σ +σ +σ = σ - tr
E E E E E E E1+ν ν
ε = σ - trE E
1+ν νε = σ - tr
E E
σ
σ
σ
( )1+ν ν = - tr
E Eε σ σ I
ij ij kk ij
1+ν νε = σ - σ δ
E E
Loi de Hooke avec E,υEcriture matricielle
Ecriture indicielle
36
Pierre BADEL - EMSE
Loi de Hooke 3D : remarques
Remarques• Loi de comportement 3D des solides élastiques isotropes
• Démontrée dans les axes principaux mais rien n’empêche de changer de base Valable dans n’importe quelle base
• 2 paramètres E, υ suffisent : comme en 1D, un essai de traction simple suffisant.
• Correspond à un grand nombre de problèmes courants : un grande majorité des solides sont élastiques à faible contrainte.
• Si contrainte > limite élastique … loi de Hooke fausse.
• Il existe des solides anisotropes (ex : bois) : E, υ dépendent de la direction.Ce que l’on va voir sous une autre approche, plus générale…
IV– Elasticité linéaire 2 – 3D
37
Pierre BADEL - EMSE
Elasticité anisotrope
Elasticité anisotrope, cas général
soit 9x9 = 81 coefficients !!
Mais des simplifications… au maximum 21 coeff. indépendants. C’est le cas du plus grand degré d’anisotropie possible.
Elasticité, cas isotrope et coefficients de LaméOn montre qu’il y a 2 coeff. indépendants et que cela mène à :
IV– Elasticité linéaire 2 – 3D
( )ij ijkl klσ C ε ou = := σ C ε
( )( )
( )( )
Eμ=
2 1+υ = 2μ λtr avec
Eυλ=
1+υ 1-2υ
ìïïïïïï+ íïïïïïïî
σ ε ε I
-1 < υ < 0.5λ et μ sont les coefficients de Lamé du matériau
Forme inverse de la loi de Hooke
ij ij kk ijσ = 2μ ε λ ε δ+
38
Pierre BADEL - EMSE
Notation vectorielle
Problématique… représenter le tenseur d’élasticité
On profite des symétries de pour introduire une nouvelle notation :
IV– Elasticité linéaire 2 – 3D
C
et σ ε
11 11
22 22
33 33
12 12
23 23
31 31
σ λ+2μ λ λ εσ λ λ+2μ λ εσ λ λ λ+2μ ε
= : devient σ 2μ εσ 2μ εσ 2μ ε
ì ü é ùì üï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ï=í ý í ýê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïî þ ë ûî þï ï ï ï
σ C ε
( )( )
( )
11 11
22 22
33 33
12 12
23 23
31 31
1 E -υ E -υ Eε συε σ-υ E 1 E -E
ε σ-υ E -υ E 1 Eε σ1+υ Eε σ1+υ Eε σ1+υ E
é ùì ü ì üê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ïê ú=í ý í ýê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ê úï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úî þ î þï ï ï ïê úë û
Notation de Voigt (ou notation vectorielle)
39
Bibliographie
Interesting references [Sidoroff F, Cours sur les « grandes déformations », rapport Gréco 51/1982, http://sitasido.ec-
lyon.fr et http://perso.ec-lyon.fr/francois.sidoroff] [Basar Y, Weichert D, Nonlinear continuum mechanics of solids, Springer] …
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41
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