Filtres Actifs
Caractéristiques é é lgénérales
Caractéristiques générales
DéfinitionDéfinition
C’est un réseau électronique qui modifie l’amplitude et laphase d’un signal d’entrée ou d’excitation x(t) pour produireun signal de sortie y(t)
A cette modification du signal temporel x(t) correspond uneA cette modification du signal temporel x(t) correspond unemodification du spectre X (s ) pour produire Y(s).
Filtreh(t)‐‐H(p)
x(t)
X(s)
y(t)
X(s)X(s) X(s)
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Caractéristiques généralesFonction de transfertFonction de transfertUn filtre (linéaire) est caractérisé par sa fonction deUn filtre (linéaire) est caractérisé par sa fonction detransfert isochrone ou réponse en fréquence:
=> sXsYsH sX.sHsY sX
On la décompose souvent en réponse en amplitude A(ω ) p p p ( )et réponse en phase β (ω ) :
ωβjexpωAωjsH
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Caractéristiques générales
AffaiblissementAffaiblissement
On définit également l’affaiblissement Af (ω ) par:
AA log20 AAf log20
Retard de groupe et retard de phaseRetard de groupe et retard de phase
phLe délai de phase ph(ω ) :
Retard de groupe et retard de groupeRetard de groupe et retard de groupe
d
dgrLe délai de groupe gr(ω ) :
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Diagramme de BODELe diagramme de Bode est un moyen de représenter lecomportement en fréquence d’un Filtre. Il permet unep q présolution graphique qui est souvent la méthode la plusrapide.
On définit le diagramme de Bode en gain par la fonction
jHlog20)(HdB
On définit le diagramme de Bode en phase par la fonction
jHArgumentH
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Diagramme de BODE
entre deux valeurs ; utilisée souvent dix rapport Décade :sur l’axe des fréquences du diagramme de Bode pour parler d’un rapport dix entre deux fréquencesparler d un rapport dix entre deux fréquences.
Octave : rapport deux entre deux valeurs ; utiliséesouvent sur l’axe des fréquences du diagramme de Bodepour parler d’un rapport deux entre deux fréquences.
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Variables normalisées
On emploie fréquemment les variables normalisées S (domaine de Laplace) et W (domaine de Fourier) La (domaine de Laplace) et W (domaine de Fourier). La variable de Laplace normalisée S est définie ainsi :
P
sjS
P
P : pulsation de référencebl d lS : variable de Laplace
: pulsation (ou fréquence) normalisée
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Fonction de transfert et stabilité
La forme générale de la fonction de transfertopérationnelle d’un filtre est :opérationnelle d un filtre est :
1 bbbbN mm
01
11
011
1
asa...sasbsb...sbsb
sDsNsH n
nn
mm
mm
L’ordre du filtre est n, qui doit bien entendu satisfaire à n>=m. Les zéros de N(s) sont les zéros du filtre; les zéros de D(s) sont les pôles du filtre. Les pôles du filtre doivent être situés à gauche de l’axe imaginaire pour que le filtre soit stable D(s) doit pour ce faire être un polynôme dit de stable. D(s) doit pour ce faire être un polynôme dit de Hurwitz.
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Types de filtres
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Caractéristiques généralesGabarit du filtre passe basGabarit du filtre passe bas
La réponse en amplitude ou gain du filtreLa réponse en amplitude ou gain du filtre
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Caractéristiques générales
Spécifications en amplitude d’un filtre passe-bas.
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Caractéristiques générales
Spécifications en amplitude d’un filtre passe-haut.
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Caractéristiques générales
Spécifications en amplitude d’un filtre passe-bande
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Caractéristiques générales
Spécifications en amplitude d’un filtre coupe-bande
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Normalisation en fréquence
Elle consiste à choisir comme unité de fréquence, non l l f d fplus le Hertz, mais une fréquence de référence associée au
gabarit.
On utilise généralement la fréquence de coupure :
• fc pour les filtres passe-bas
• fs pour les filtres passe-haut
• fo pour les filtres passe-bande et coupe-bande
On essaie le plus souvent possible de symétriser les gabarits des filtres coupe-bande et passe-bande
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Caractéristiques généralesTransposition de fréquencesTransposition de fréquencesOn peut se ramener d’un type de filtre quelconque à unOn peut se ramener d un type de filtre quelconque à unfiltre Passe Bas en utilisant les règles de transposition defréquences.On utilise une fonction de transfert H(S) normalisée
Passe Bas Passe Haut1S Passe Bas Passe HautS
S -------
11Passe Bas Passe Bande
S1S
B1S -------
PωωB
avec Largeur de bande passante relativeP
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Filtres Actifs
Fonctions d’approximation de
filtres
Fonctions biquadratiques
La forme générale d’ordre deux de la fonction de Transfert H(s)
201
2 asasasH 2
01
2 bsbssH
Les coefficient a2, a1 et a0 change en fonction de la nature du filtre à réaliser.
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Fonctions biquadratiques
Type de la Type de la Forme de la fonction de transfert Forme normaliséeForme de la fonction de transfert Forme normaliséeypypcaractéristiquecaractéristique Forme de la fonction de transfert Forme normaliséeForme de la fonction de transfert Forme normalisée
2 1Passe BasPasse Bas 2
PP2
P
sQsKsH
2
1mS2S
1SH 2
S2Passe HautPasse Haut 2
PP2
2
sQssKsH
1mS2SSSH 2
2
Passe BandePasse Bande 2
PP2
P
sQssQKsH
1mS2S
mS2SH 2
Coupe BandeCoupe Bande 22
2r
2
sQssKsH
1mS2S
SSH 2
2Pr
2
PP sQs 1mS2S2 Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI
Diagramme de BODE du FPB 2e ordre
Q21m
-3 dB
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Diagramme de BODE du FPB 2e ordre
Q21m
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Diagramme de BODE du FP Bande 2e ordre
Q21m Q2
-3dB
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Filtres de Butterworth
L’utilisation des polynômes de Butterworth est pour approximer les fonctions de transfert des filtres Passe approximer les fonctions de transfert des filtres Passe Bas.
Ré l d l b d Réponse plate dans la bande passante.
22 1H(S) 1H
1
n2nn2n S11
H(S) ou 1
H
SB1SHn
Quelque soit le n la fréquence de coupure du filtre sera 1
211Hn filtre sera 1 2
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Filtres de Butterworth
n2n
2n2
2n S11
1H(S) ou 1
1H
si n est pair, les pôles sont les racines de:
S111
S2n=ej, donc sk=ekj/2n. Ex: n=4
1SH xx
xx
22
4
SS83sin21SS
8sin21
SH x
xx
x
xx
si n est impair, les pôles sont les racines de:S2n=ej2, donc Sk=ekj/n.
Ex: n=3S e , donc Sk e .
23 SS1S11SH
x
x
x
x
x
x SS1S1
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Filtres de Butterworth
Le tableau suivant donne les polynômes de butterworthnormalisésnormalisés
F t d l ôF t d l ô BB ( )( )nn Facteurs du polynôme Facteurs du polynôme BBnn(s)(s)1 1SSB
2 1S41.1SsB 2 3 1SS1SsB 2
4 1S848.1S1S765.0SSB 22 5 1S618.1S1S618.0S1SSB 22
6 1S932.1S1S414.1S1S518.0SSB 222
7 1S8021S1S2471S1S4450S1SSB 222 7 1S802.1S1S247.1S1S445.0S1SSB
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Filtres de Butterworth
n=2
n=3
n=4
5n=5
n=6
7n=7
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Exemple
Déterminer l’ordre du filtre Passe Bas de Butterworth qui donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =2donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =2p
2 avec 1H 2 2 avec
1H
Pn2n
n24
21110
2log2
110logn4
64.6n 2log2
L’ordre du filtre doit être un entier donc : n=7L ordre du filtre doit être un entier donc : n=7Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI
Filtres de Butterworth
n=2
n=3
n=4
n=5n=5
n=6
7n=7
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Filtres de Chebyshev Les fonctions de transfert de Chebyshev sont données par:p
22
202
1 nCHjH
sont les polynômes de Chebyshev définit par: nC
1 coshncosh10 cosncos
C1
1
n
Le paramètre e est relié à l’atténuation en bande passante par la relation suivante:
dB en 110 102
par la relation suivante:
dB en 110
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Filtres de Chebyshev
nn Facteurs du polynôme Facteurs du polynôme BBnn(s)(s)
dB 0.5 3493.0 p yp y nn( )( )
1 863.2 ssB2 516.1425.12 sssB
23 142.1626.0626.0 2 ssssB4 356.0845.0064.1351.0 22 sssssB5 47705860036122403620 22 ssssssB5 477.0586.0036.1224.0362.0 ssssssB
ôô
dB 0.1 5089.0 nn Facteurs du polynôme Facteurs du polynôme BBnn(s)(s)1 965.1 ssB2 103.1098..12 sssB2 103.1098..1 sssB3 994.0494.0494.0 2 ssssB4 279.0674.0987.0279.0 22 sssssB
5 429.0468.0988.0179.0289.0 22 ssssssBCours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI
Filtres de Chebyshev
dB 01 50890 dB 0.1 5089.0
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Exemple
Déterminer l’ordre du filtre Passe Bas de Chebyshev qui donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =2 et donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =20 et une atténuation de 1 dB dans la bande passante, déterminer alors la fréquence de coupure relative fr à -3dB
110
224
2
1jH2 25089.01 22
nC
5364 5196C
2n
220 C1H
2
536.4n 5.196Cn
L’ordre du filtre doit être un entier donc : n=5L ordre du filtre doit être un entier donc : n 5
034.11coshn1coshf 1
r
n Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI
Filtres de BesselLe filtre de Bessel est celui qui approche le mieux un filtre à phase linéaire.p
Bn est un polynôme de Bessel défini par:
HsH 0 sBs
n 1ssB et 1B
sBssB1n2sB
10
2n2
1nn
NN Facteurs du polynôme Facteurs du polynôme BBnn(s)(s)1 1ssB 1 1ssB
2 3s3ssB 2
3 15s15s6ssB 23 4 105s105s45s10ssB 234 5 735s735s330s85s13ssB 2345
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Critères de choix
Parmi tous ces types de filtres, il est ensuite nécessaire de h i i l l dé t L h i t f i ’ t choisir le plus adéquat. Le choix ne peut se faire qu’en vertu
d’un compromis.
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Exercice N°1
On considère le gabarit de filtre suivant :
Tracer le gabarit normalisé du filtre passe bas.Trouver la fonction de transfert de Chebytcher pour
déli filtmodéliser ce filtre.Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI
Exercice N°2
On considère le gabarit de filtre suivant :
Tracer le gabarit normalisé du filtre passe basDét i l’ d d filt d B tt th t T h b t hDéterminer l’ordre du filtre de Butterworth et Techebytchev
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Exercice N°3
On considère le gabarit de filtre suivant :
Tracer le gabarit normalisé du filtre passe basDéterminer l’ordre du filtre de Butterworth et Techebytchev
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Fonctions de Butterworth
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Fonctions de Chebytchev
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Filtres Actifs
Synthèse de filtres Synthèse de filtres Actifs
Phases de synthèse
A partir du gabarit réel du filtre, on détermine le gabarit
Gabarit normalisé du filtreGabarit normalisé du filtreA partir du gabarit réel du filtre, on détermine le gabarit normalisé, qui correspond au filtre passe bas
Détermination de l’ordre du filtreDétermination de l’ordre du filtreDétermination de l ordre du filtreDétermination de l ordre du filtreEn fonction des données et la fonction d’approximationutilisée, on détermine l’ordre n du filtre à synthétiser et ondétermine la fonction de transfert qui correspond au filtrereel. (Butterworth, Cauer, Tchebycheff…)
Choix des cellules élémentairesChoix des cellules élémentairesSi n est pair, le filtre sera réalisé par une association sériede cellules élémentaires du second ordre Si n est impair onde cellules élémentaires du second ordre. Si n est impair, ony couplera en plus une cellule du premier ordre.
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Filtre du premier ordre Passe‐BasUn exemple de filtre actif de premier est donné par le circuit suivant
R 1 CsRR
RsH21
2
11
Connaissant le gain en bande passante et la fréquence de Connaissant le gain en bande passante et la fréquence de coupure.Connaissant la valeur de la capacité C, on peut trouver R1 et R2.
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Filtre du premier ordre Passe‐Haut
Un exemple de filtre actif du premier est donné par le circuit suivantsuivant
CsR1
CsRsH1
2
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Filtres 2e Ordre à un seul Ampli‐OpCellule de Cellule de Sallen KeySallen Key Filtre Passe BasFiltre Passe Bas
R
a
bv R
R1A
Condition de Stabilité
1CR
CRRA11
221v
1A1CRRRCCRCRA
VV
2vs
11
1sA1CRRRCsCRCRV v112122
2211e
0 CRCR1
2211 CRCRQ
22110 CRCR 212v11 RRCA1CR
Q
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpCellule de Cellule de Sallen KeySallen Key Filtre Passe BasFiltre Passe Bas
Pour facilité la réalisation on prend:
A
R1=R2=R et C1=C2=C
1sA3RCsCRAsH
v222
v
RC1
0 vA3
1Q
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐Op
Faire la synthèse d’un filtre de Chebyshev qui donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =2 et une atténuation de 40 dB à la fréquence =20 et une atténuation de 1 dB dans la bande passante, de l’exemple précédant p
L’ordre du filtre trouvé est : n=5 42904680988017902890B 22 429.0s468.0s988.0s179.0s289.0ssB 22
On doit concevoir trois filtre en série dont les fonctions de transfert sont:
HsH 01 HsH 02 289.0s
sH1
988.0s179.0ssH 22
42904680
HsH 203
3 429.0s468.0s23
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐Op
Chaque fonction de transfert est normalisée parrapport à la fréquence de coupure qui est dans notrerapport à la fréquence de coupure qui est dans notreexemple c=20fc=2103 rad/s
1289.0s
HsHc
'01
1 1988.0s179.0988.0s
HsHc
2c
2
'02
2
1429046804290HsH 22
'03
3
Les de filtres d de ième ordre pe ent être réalisés par
1429.0s468.0429.0s c2c
23
Les deux filtres du deuxième ordre peuvent être réalisés pardes cellules SallenSallen KeyKey avec R1=R2 et C1=C2 ce qui nouspermet de déduire:p
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐Op
sradcc /10.2.994.0.994.0988.0 3202 55.5
988.0179.01
22
46801sradcc /10.2.655.0.655.0429.0 32
03 4.1 429.0
468.013
3
Q et w nous permettent de déterminer uniquement leproduit RC.pOn fixe généralement la capacité C et on calcule lesrésistances R1 et R2, puis le Gain de l’ampli en boucle
Aouverte Av.
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpLa troisième cellule qui reste est un filtre Passe Bas du premier ordre qui peut être réaliser par un RC et Ampli Op monté en suiveur.
11
1
2
RCsVV La comparaison avec l’équation précédente nous donne un
produit RCcRC 289.01 c
Ce qui nous permet de déduire R connaissant la capacité C
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpCellule de Cellule de Sallen KeySallen Key Filtre Passe HautFiltre Passe Haut
Une solution simple consiste à permuter les résistances et Une solution simple consiste à permuter les résistances et les capacités. On obtient ainsi les deux schémas suivants :
Déterminer les fonctions de transfert dans chaque cas de figureDéterminer les fonctions de transfert dans chaque cas de figure.
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpCellule de Cellule de Sallen KeySallen Key Filtre Passe BandeFiltre Passe Bande
Vérifier que la fonction de transfert du filtre est donnée par:
1RR
CRRA1CRRRRRCsRR
CCRRRs
RRsCRRAVV
131v2212132213212
31232v
e
s
RRRR 3131
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Filtre 2e Ordre à plusieurs boucles
y4 y5
cellule de Rauchcellule de Rauch
-y1 y3
y4 y5
+y2 vs
veV
41 vyvy s53 vyvy0
4321
s4e1
yyyyvyvyv
53
s53
yyyy0v
31s
yyyyyyyyy
vv
4343215e yyyyyyyv
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Filtre 2e Ordre à plusieurs bouclescellule de cellule de RauchRauch Passe BasPasse Bas
R2 C2
-R1 R3
v +vs
ve C1
RR 1sCRRRRRsCCRR
RRvv
2132322
2132
12
e
s
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Filtre 2e Ordre à plusieurs bouclescellule de cellule de RauchRauch Passe HautPasse Haut
1sCCCRsCCRRsCCRR
vvsH
32122
3221
23121
e
s
32123221e
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Filtre 2e Ordre à plusieurs bouclescellule de cellule de RauchRauch Passe BandePasse Bande
sCRR 31
1sCCRRsCCRRR
sCRR
vvsH
21312
2131
2
231
e
s
RRRR 21
3121
312
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Exercice d’application
Faire la synthèse d’un filtre Faire la synthèse d’un filtre ButterworthButterworth d’ordre d’ordre 4 4 qui qui présente une fréquence de coupure de présente une fréquence de coupure de ffcc==1 1 KHz, en KHz, en présente une fréquence de coupure de présente une fréquence de coupure de ffcc 1 1 KHz, en KHz, en utilisant les cellules de utilisant les cellules de RaughRaugh
SolutionSolutionLe polynôme de Butterworth d’ordre 4:
1S61.2S14.3S61.2SSD 2344
Le polynôme de Butterworth d ordre 4:
1S848.1S1S765.0SSD 224
On utilise deux cellules de Raugh du deuxième ordre,
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Exercice d’applicationSi on fixe les valeurs de C1 et C2, on peut alors déterminer R1, R2 et R3.
2
12
1P1 C
C1KQ411CKQ2
1R
12
21P
1KRR
Q
2P221
3 RCC1R
Cellule 1 :Q=2.15, p=2rad/s, K=1, C1=1 nF, C2=0.05 uF.=> R1=R2=56 K R3=9KR1=R2=56 K, R3=9K.Cellule 2 :Q=0.541, p=2rad/s, K=1, C1=0.02uF, C2=0.05 uF => pR1=R2=10 K, R3=2.5K.
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Exercice d’application
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Filtre à plusieurs Ampli‐OpDans la fabrication de filtres pratiques industriels, les performances des sections biquadratiques sont améliorées par :
L’introduction d’autres étages amplificateurs - L’introduction d’autres étages amplificateurs, - L’utilisation de topologie standard pour réaliser tout les types de filtres.Exemple de topologie standardExemple de topologie standard
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Filtre à plusieurs Ampli‐Op
21 ZZAAsH DB 21
21
AAZZZZZZsH
DADCBA
DB
Choix d’impédancesChoix d’impédances
Type de réponseType de réponse ZZAA ZZBB ZZCC ZZDD
Passe Bas
Passe Bande
R1 C1 R2 C2
R1 C1 C2 R2
Passe Haut
1 1 2 2
C1 R1 C2 R2
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpAmpli à une seule boucleAmpli à une seule boucle
i iB
i1 i
i3 i4
-
+
A
V
i1 i2v
+Vs
Ve
A et B deux quadripôles
ii vYi AYv 21
032
vii
s
e
vYivYi
123
212=>
B
A
e
s
YY
vv
12
21
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐Op
Exemple Exemple 11
CC
-R R
R/2
+2CVe
Vss
Déterminer la fonction de transfert du filtre en fonction de R et C
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Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐Op
Exemple Exemple 22
C2
r r
Kr KrC1
-
+C1/KVe
VVs
Déterminer la fonction de transfert du filtre en fonction de K, r et C1 et C2
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Filtre Passe Bande RLCRéseau RLCRéseau RLC
A
L C
Ampli quelconque
vevs
A0R
v
p q q
00ss sRCARAvvvH 200
e
s
e
s
LCsRCs1Cs1LsRvvv
sH
CsFréquence de résonance
LC1 0AjHLC10
00
200
21QArctg
QjH
LLQ 110 00Qg
CRCRRQ
0Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI
Filtres à convertisseur d’impédance Négative
Réalisation d’un NICRéalisation d’un NIC Negative Impedance Converter : NIC
i1
1 ZAvA ZLv1 L0
1
1 ZAi
A0
ExempleExemple
-
ExempleExemple
i1R1 21 vv
+v1222111 iRviRv
v2i2
R2L
1
2
1
1e Z
RR
ivZ
11 Ri
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Filtres à convertisseur d’impédance Négative
i2i2b
Réseau B
vevsi2ki1k
Réseau A NICv1k
k2b22 iii
vyvyi KsB22eB21b2 vyvyi
sA22eA21a2 vyvyi A22B22
A21B21
e
s
KyyKyy
vv
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Filtres actifs à GyrateurGyrateurGyrateur
Un gyrateur est un élément actif non réciproqueUn gyrateur est un élément actif non réciproque
2RvRg
ZLve
vsL
g
1
11 Z
RivZ
U t t f i d t ité Un gyrateur transforme une inductance en une capacité et inversement, Son rôle et de remplacer les inductances dans les filtres RLC par des capacités équivalentes. Gain p p qen performance et en encombrement
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Filtres Actifs
Filt à ité Filtres à capacité commutéecommutée
Filtres à capacité commutéeLes filtres à capacité commutée sont des systèmes analogiqueséchantillonnés qui utilisent uniquement des capacités, des amplis opet des switches analogiqueset des switches analogiques.Les résistances des filtres RC classique sont remplacées par descapacités équivalentes.
Simulation de résistanceSimulation de résistanceS1 S2 Req
V2V1 C V2V1<==>
S t S d it h C lé t i il té i l h l S1 et S2 deux switches Complémentaires, pilotés par une signal horloge de période T
T1 temps de fermeture de S1T2 temps de fermeture de S2T1 T2
2 p 2
21 f1TTT sf
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Filtres à capacité commutéeSimulation de résistanceSimulation de résistance
VVCfVVCQI 12s12eq VVCfVVTT
I
12 VVI => eq Cf
1R eq
eq RI
seq Cf
Exemple d’un intégrateurExemple d’un intégrateur
-R
C1-
C1
C+Ve Vs
+Ve Vs
C2
pCfC
pRC1
VVA s2s
v pCpRCV 11e
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Filtres à capacité commutéeAmpli inverseurAmpli inverseur
R2
C
-R1
-C1
C2
+Ve Vs+Ve Vs
Montage pratiqueMontage pratique
2
1
2
s1
1
2sv C
CfCfC
RR
VVA -
C2
2s21e CfCRV
+Ve Vs
C1
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Filtre d’ordre 1 à capacité commutéeMontage de baseMontage de base
R2
s
1
2
RCs11
RRsH
-‘R1
R
C s1 RCs1R +VeC
Vs
1
1CCsH 1
-C1
C2
CfCH
CsCf11C
Rs1
Rs
2
+Ve
C1
C1C
Vs
CsCfC
sHRs
Rs
2
1
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Filtre d’ordre 2 à capacité commutéeExercice d’application Exercice d’application On considère de schéma du filtre suivant: Déterminer sa fonction de transfert quelle est sa nature?Déterminer sa fonction de transfert, quelle est sa nature?Calculer la (es) fréquence(s) de coupure à -3dBDéterminer le filtre équivalent en capacité commutée et sa fonction de transferttransfert.
On utilise un ampli de gain K positif, proposer un montage utilisant un ampli-opampli op
R
R3
C2R1 C2
vsC1
K
ve R2C1
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C
-R1 C
R3
+R2 vve
vs
CC
-R R
R/2
+2CVe
Vss
++I1
-Z1
Z2 Z3
- Z4
V1
+
ZL
-
R1
I
R1
Z
+
-
I1
V
2R2
-
+V1
R3
R3