MINISl'ÈRE DE L' AM~NAGEMENT DU TERBITOIRE DE L'~QtJIPEMENT. DU LOGEMENT ET DU TOURISME

.... ~ABORA;rOIRES DES PONTS ET CI'IAUSS~ES ",

Novembre 1973

Calcul des contraintes dans ,un massif d'épaisseur Ii~.itée

sou,m.is à une 'charge trapézoïdale

B.MANDAGARAN

Calcul des contraintes dans un massif d'épaisseur limitée soumis à une charge trapézoïdale.

B. MANDAGARAN Ingénieur civil des Ponts et Chaussées

Section de mécanique des sols Département des sols et fondations

Laboratoire central des Ponts et Chaussées

Sommaire

Résumé en français

Présentation, G. Pilot

Introduction

1 -- Méthode de calcul

1.1

1.2

1.3

Méthodes déjà utilisées

1.1.1 Historique

1.1.2 Aspect mathématique des différentes méthodes

La méthode des séries de Fourier

1.2.1 Présentation des hypothèses 1.2.2 Les équations de l'élasticité 1.2.3 . Résolution formelle des équations

Les conditions aux limites dans la méthode des séries de Fourier

1.3.1 Les différents problèmes 1.3.2 Expression détaillée des conditions E:UX limites 1.3.3 Dénombrement des conditions aux limites

4

5

7

8

8

9

14

MINISTËRE DE L'AMËNAGEMENT DU TERRITOIRE, DE L'ËQUIPEMENT, DU LOGEMENT ET DU TOURISM.E

LABORATOIRE CENTRAL DES PONTS ET CHAUSSËES - 58, boulevard Lefebvre - 75732 PARIS CEDEX 15

NOVEMBRE 1973

2 - UtiliSation pratique du programme

3 -

2.1

2.2

2.3

Liste des données et des formats

2.1.1 Cas du morlocouche 2.1.2 Cas du bicouche 2.1.3 Utilisation d'une console de télétraitement

Présentation des résu Itats

Convergence de la méthode

Résultats pour un remblai type

3.1

3.2

3.3

3.4

Valeurs des contraintes sous l'axe

Valeurs des contraintes verticales à mi-pente du remblai

Evolution des contraintes sur une horizontale

Discussion des résu Itats

3.4.1 Influence de la géométrie du remblai 3.4.2 Influence des caractéristiques mécaniques

du sol de fondation

17

18

22

22

23

24

25

25

26

Conclusion 28

Bibliographie 30

Annexes 33

Résumé en anglais, allemand, espagnol, russe 61

Résumé

Nos lecteurs étrangers trouveront ce rhumé traduit en angLais, allemand, espagnol et russe en fin de rapport. Our readers wiLlfmd this ahstract at the end of the report. Un.\ere Leser./inden dine ;z,usammerifassung am Ende des Berichtes . . Nuestros Leetores hallaràn este resumen aLfmal dei informe. !>!lfl'lmiI ll/ellfll/ (/III/Oll/II//1I1I llO/lieU/Pli (J tilllli/e IIll1'lI'.lTlll.

Calcul des contraintes dans un massif d'épaisseur limitée soumis à une charge trapézoïdale

Le problème dl' la répartition des contraintes sous une charge trapézoïdale s'exer~:ant sur une couche de fondation de profondeur limitée est traité par la méthode des séries de Fourier. Le calcul est effectué sous les hypothèses suivantes:

~~~ la charge trapézoïdale s'exerce sans cisaillement sur la couche de fondation; - le sol de fondation est formé d'une ou plusieurs couches élastiques et isotropes; - le substratum est à une profondeur finie et est rugueux; -- le problème est bidimensionnel.

Après un rappel des différentes méthodes utilisées pour le calcul des contraintes dans un massif élastique, le problème est traité math('matiquement; cette étude débouche sur la mise au point d'un programme de calcul sur ordinatcur, dont on explique l'utilisation pratique.

EHfin, sont étudiés les difTérents paramètres ayant une influence sur la répartition des contrain­tes: la profondeur du substratum, le coellicient de Poisson de la couche compressible, la géo­métrie du remblai. Une série d'abaques esl présenll~e en annexe; elle montre l'influence de ces difTérents paramètres. .

MOTS CLI~S : 42. Happort de recherche - :\lécaniquc des sols --- Calcul -- Contrainte -­Sol de fondation -~ Hcmblai -- Epaisseur -- - Charge -- Profondeur --~ Cocllicient de Poisson -- Couche - Compressibilit(' -- ~ Abaque -- Programme (ordinateur) ~- 1 LCPC (!H).

4

PRIËSENTATION

G. PILOT

Chef de la Section de mécatlique des sols Département des sols et fondations

Laboratoire central des Ponts et Chaussées

L'utilisation de la théorie de l'élasticité pour calculer les composantes de la contrainte , dans un sol de fondation supportant un ouvrage n'est pas nouvelle: à ce titre, plusieurs publications et ouvrages ont déjà explicité des résultats partiels:

L'intérêt de la méthode et du programme de calcul présentés dans ce rapport réside dans la possibilité de calculer les composantes du tenseur de contraintes et les dépla­cements en tout point de la fondation et non pas, comme c'est souvent le cas, dans l'axe seulement du remblai. A ce titre, ce programme constitue un «outil de recher­che» dans les cas suivan ts :

- étude du comportement du sol de fondation en laboratoire en appliquant le sys­tème de contraintes en place sous l'ouvrage (dans la mesure où l'on est assez loin des conditions de rupture) ;

-' interprétation de mesures en place des pressions interstitielles induites par la construction d'un remblai ;

- interprétation des mesures de déplacement sur ouvrage réel.

Ce mode de èalcul a été largement appliqué par M. Mandagaran, dans le 'premier cas, à l'occasion d'une thèse de Docteur-Ingénieur préparée au Laboratoire central et qui sera soutenue en novembre 1973 à l'Université de Paris VI, sur l'aspect tridimensionnel du tassement des remblais construits sur sols mous.

5

INTRODUCTION

Une des tendances actuelles ,de la mécanique des sols pour l'étude du comportement des fondations d'ouvrages, est d'appliquer à une ou plusieurs éprouvettes de sol représentatives, les sollicitations que subira le sol en place lors de la construction de l'ouvrage, et d'extrapoler les résultats obte­nus en laboratoire (tassements, pressions interstitielles), à la couche de fon­dation.

Une telle méthode comporte deux ,phases

Un calcul des contraintes,

Une expérimentation à l'appareil triaxial.

D'autre part dans de nombreux cas, on a besoin de connaître la distribu­tion de la pression interstitielle dans un massif de sol soumis à un cha~gement. Cette distribution peut être estimée à partir des contraintes totales, à l'aide de coefficients de pression interstitielle déterminés expérimentalement à par­tir de formules du type

+ 6u

+ 6u = ----------------- + Ct V (6 0 l - 6 02) 2 + (6 02 - 6 03) 2 + (6 03 - 60 1) z' 3

Le présent rapport propose une méthode de calcul des contraintes dans le massif de fondation, selon la théorie de l'élasticité linéaire; Le calcul , est effectué pour un remblai de longueur. infinie, le sol de fondation reposant ou non sur un substratum rigide.

Dans une première partie, nous présentons la méthode de calcul qui est caractérisée par l'utilisation de séries de Fourier. La deuxième partie est constituée d'un programme de calcul sur ordinateur. Enfin, dans une troisième partie, nous donnons des abaques pour un remblai type et nous discutons leur utilisation.

Cett~ étude reprend pour une large part, un "travail personnel" effectué en fin d'étude à l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées pàr M. Le Bourdonnec [ 6 ], qui s'appuyait sur un ' article de Sovinc 19] .

7

1 , - M~THODE DE CALCUL

1.1 . METHODES DEJA UTILISEES

1.1.1. Historique

La première approche du problème ' est celle de Boussinesq [IJ qui a cal­culé ' les contraintes dans un massif infini et homogène soumis à une charge ponctuelle. Par intégration, on a étendu ces solutions à différents types de chargement. Scott ISI et . Harr [S],donnent les résultats fournis par ces ·mé­thodes et précisent les références des articles originaux. (Fadum [IOJ , Steinbrenner [1 IJ ) .

Malheureusement, on ne peut étendre ces résultats au cas d'un massif.· li ­mité inférieurement par un substratum rigide. Le cas des problèmes multic6u-" ches a été étudié par Burmister [2J et Egorov [3 J . Mais les résul tats · concer­nent principalement les différentes couches d'une chaussée etne sont pas direc­tement transposables à la mécanique des sols, ' puisque les couches d'u~echaus­sée ont des modules d'élasticité très différents. Poulos [ 7J présente des té- · . . sultats pour une charge ponctuelle reposant sur une touche de fondation de pro­fondeur limitée. Ces résultats sont ensuite intégrés pout une section circu­laire et c'est à l'utilisateur de faire une deuxième intégration, selon son cas de répartition de charge.

C'~stGiroud [4J qui donne les premiers abaques utilisables directemt:nt p'otrr un remblai. Les résultats sont établis dans le cas d'un sol monocouche adhérant parfaitement au substratum, pour une valeur du coefficient de Poisson de v = 0,3.

1.1.2. Aspect mathématique des différentes méthodes

Les méthodes utilisées dans ces calculs sont de deux types

les solutions analytiques exacte~,

les solùtions numériques (différences ou éléments finis).

L'avantage des premières est que l'on obtient une solution explicite on peut donc très facilement faire varier les différents paramètres et obtenir dans chacun des cas les résultats numériques. Elles ont pour inconvénient de convenir à certains problèmes bien particuliers et de devenir impraticables si l'on change certaines hypothèses . .

Inversement, les méthodes purèment numériques sont longues et le calcul entier doit être fait pour toutes les valeurs des paramètres; par contre, ces méthodes sont extrêmement souples et s'adaptent très bien à des changements de conditions aux limites.

8

1.2; LA METHODE DES SERIES DE FOURIER

1.2.1. Présentation et hypothèses

L'idée directrice de cette méthode e.st l'utilisation de fonctions per~o­diques. En effet, les problèmes d'élasticité ont des solutions très simples pour des chargements sinusoïdaux ; on superpose donc une infinité de distri­bution de charges sinusoïdales dont la somme représente la charge réelle.

Nous appliquons alors cette méthode aux calculs des contraintes créées dans un massif de fondation par une distribution de charge trapézoïdale appli­quée à la surface d'un massif élastique reposant sur un substratum rigide.

Les hypothèses faites pour mener le calcul sont les suivantes

~lE~!~~~~_~~_~~Ê~E~~!~~~_~!~~~ C~tte hypothèse se justifie par la longueur infinie du chargement.

~~~~~~~_~~_Ê~E~~~_~~!~~~g~~~ . En effet, le ca~cul effectué est celui des .surcontraintes crééesdaus le . massif par le chargement; on superpose ensuite l'état decontrainteirii­tia1d~ au poids propre du massif.

g~~~g~~~i~~_~~_i~~~E~Ei~ du sol de fondation à l'intérieur d'une même couchehoriznnta1e. ·

1.2.2. Les équations de l'élasticité

Le système d'axes choisi est orthonormé et cartésien té à la figure 1.

H

0'

il est représen-

Il Substratillfi rigide

Fig. 1 - Système d'axes choisi -L'axe des x est la ligne de contact avec . le substratum.

9

Les inconnues du problème sont lès trois fonctions de déplacement

u (x, y, Z) v (x, y, Z) W (x, y, Z)

On adoptera les notations

x = Xl

Y = Xz Z = X3

u (x, y, Z)

v (x, y, Z) W (x, y, Z)

Les déformations sont données par définition par

e .. ~J

1 -2 (u .. + u .. )

~,J J,~

où par convention u .. ~,J

dU. 1.

dX. J

=

==

(1 )

L'expression des contraintes est alors donnée par la loi de comportement:

(2)

où ekk e Il + e22 +eH

À et II coefficients de Lamé

0 sj1nbole de Kronecker

~. contraintes doivent d'autre part, vérifier les équations d'équilibre, c'est-à-dire en l'absence de forces volumiques

(5 ... = 0 1.J ,]

(3)

En tenant compte de (1), (2), (3)", on obtient les équations que doivent vérifier les fonctions de déplacement

(1 - 2 v) u. .. + U. •• = 0 1.,JJ J']~

(4~

L'hypothèse de déformation plane entraîne que u et w sont fonctions de x et Z uniquement, et que

v(x, y, z) = U2 (Xl' X2, X3) = 0

Le système (4) se réduit alors à :

( 1 2 v) 6u + de 0 - --i... =

dX

(1 2 ~) /:'W + de

0 - -= dZ

10

on 6 est l'opErateur laplacien

dU 3w = + dX az e

REMARQUE

Les Equations (3) ne sont valables que si 0 < V < ~. Le cas V

est un cas limite ; c'est -à~dire qu'on considère que la solution pour

1 V = 2 est la ~imite de la solution pour

1.2.3. REsolution formelle des Equations (5)

1 2

Les Equations (5) sont les Equations classiques de l'ElasticitE plane; on ne sait pas trouver une expression analytique de leur solution géâErale. Pour les rEsoudre dans le cas qui nuus intEresse, on considère que le massif est chargE par une infinitE de distributions de charges trapEzoïda1es identi­ques, régulièrement espacée (fig. 2). La distance séparant deux charge's voi ­sines est suffisamment grande pour que leur interaction soit négligeable.

1 ,

/ 1 ,

Fig. 2 - «Périodisation du problème» par adjonction d'une infinité de remblais à grande distance les uns des autres. a » L.

On crée ainsi à la surface du massif une distribution de charge per1o­dique dEcomposab1e en séries de Fourier qui reprEsente une bonne approximation du problème réel.

La symétrie de la figure 2 indique

u (x, z) w (x, z)

est une fonction impaire de est une fonction paire de

11

x, x.

Dans ces conditions, les fonctions de déplacement u et w sont de la forme

a m

=

u (x, z)

w (x, z)

m~

3.

00

= E U (z) sin a x m=O . m m

/

. 00

E W (z) cos a x M'*O m m

U m

et W m sont fonctions de

(6) avec

z uniquement.

REMARQUE

Dans le cas d'une charge asymétrique (barrage par exemple), les fonc­tions u et w n'ont pas de parité; il faudrait alors considérer les dé­veloppements complets en série de Fourier.

gn reportant les expressions de u et w dans les équations (5), on a:

! E (1 - v)d::~ a2 (1 - 2 V) Wm HI :~m ]cos am x = 0

. [ d2Um dWmJ

; (- 2 0.2

) (1 - v) Um + (1 - 2 v) ---2- ~ a d sin am x = 0 dz z

z sont ainsi séparées, en effet les équations

(5')

Les variables x et (5') doivent être vérifiées ~ions . différentielles e~ z

identiquement en x. Elles se ramènent aux équa­suivantes pour chaque valeur de ln

d2

Wm (~!- 2 U 2 (1 - v) - a (1, - 2 v) W rJz) + a~= 0

dz 2 dz (7)

d2 Um (z) VI -2 a 2 (1 - v) U (z) + (1 - 2 v) - a d m (z)

= 0 m dz 2 dz

La solution (8) de tels systèmes du 2° ordre est connue, elle dépend dèS quatre constantes Cl' C2 , C3 , C4 , ces 'constantes étant différentes pour

Chaque valeur de m.

· U (z) -W [aci sh az +ac2 ~·h az + az C3 ch az + az C4 sha z] m

W (z) li (3 ~ 4 v) + ] (3 C3 - a CI l (8) C4 - aC 2 shaz 4 v) m

2G

+ a C3 Z shaz] E

Chaz + a C4 zchaz G 2 (1 + v)

12

Les expressions de fo nction des constantes

u (x, z) et w (x, z) CI' C2 , -C3 , C4 •

sont alors connues (6) en

Les équations ( 1 ) permettant alors de trouver l'expression du tenseur des déformations

du e

dX xx

dW e a; ( 9) zz

1 [ du dW l e + xz 2 dZ dX

Les équations (2) donnent l'expression du tenseur des contraintes

Ox - \8 - 2 ]J e xx

OZ - \8 2 ]J e zz (10)

T 2 ]J e xz xz

avec les conventions de s~gne de la mécanique des sols (compression positive).

On obtient ainsi une expression des contraintes sous la forme de séries de Fourier.

oc

O' x L: m=O

Nlm (z) sin a x m

oc O'z L: N3m (z) cos a x m=O m

oc T L: Tm (z) sin a x

xz m=O m

avec

Nlm (z) - \ (aUIT. (z) + ;1Wm) dZ

- 2 ]J a Um

N3m

(z) - \ (aUm (z) + dWm) - 2 ]J dWm

dZ dZ

d W T (z) -]J ( -a W (z) + dZ

m) m m

En reportant les expressions (8) de on obtient

13

U (z) m

et

(II)

(12)

W (z) dans (12) m

2 - a C4 z shcz

N3m (z) = a[a C2

- 2 (J - V)JC4

chuz + a [ac J,- 2 (J - V)C3

]ShOZ

2 C4

z shaz + a 2 z C3 chaz (J3) + a

2 ' + a G4 z shaz +

2 ' a z C3 shaz /

J.3. LES CONDITIONS AUX LIMITES DANS LA METHODE DES SERIES DE FOURIER

J.3.J. Les différents problèmes

Les expressions (JI) et (13) donnent la forme générale de la solution. Il reste à déterminer les constantes par l'expression des conditions aux li­mites. Ces conditions aux limites dépendent essentiellement du type de pro­blème envisagé. En effet, le ,sol de fondation peut entrer dans l'une des Cé?­

tégories suivantes

milieu infini homogène,

milieu infini multicouche,

milieu monocouche limité inférieurement par un substratum indéformable,

mili~.multicouche avec substratum.

D'autre part, plusieurs types de contacts entre les différentes couches ou entre la dernière couche et le substratum peuvent être envisagés.

Pour un problème déterminé, on exprime que les conditions aux limites sont vérifiées

à la surface libre du sol de fondation, et au contact du remblai,

au contact avec le substratum

à l'interface de deux couches.

D'une part, on connaît une expression du déplacement et des contraintes (7) et (8) dépendant de constantes, d'autre part, on connaît les déplacements bu les contraintes imposées en différentes surfaces, il s'agit alors d'identi­fier deux types d'expression. La forme des expressions (7) et (8) amènent donc à décomposer la charge en série de Fourier.

14

1.3.2. Expression dêtaillêe des conditions aux limites

a). En surface

Deux conditions sont imposêes

le cisaillement est nul T (x, H) o Vx

La contrainte verticale 03 est imposêe.

ex: r N

3 cos x = p (x)

m=o m am

avec p (x) distribution de charge de remblai.

En dêcomposant p (x) en sêrie de Fourier :

Ê a o ID

p (x) = cos a x m

On obtient alors la condition

T (H) = 0 \lm m

a ID

V m

(a êtant connu) fi

b). Au contact du substratum --------------------~~--

Là encore, on a deux conditions

W (x, 0) = 0 Vx W (0) = 0 m

Vm

La deuxième condition dêpend de l'hypothèse concernant le substratum

ou bien substratum rugueux u (0, x) o \Ix

ou bien substratum lisse T (0, x) = 0 Vx

c). A un interface

On doit êcrire quatre conditions

Continuitê de la contrainte sur l'interface

(h. ) ~

= (h. ) ~

(ho ) ~

(h. ) ~

15

U (0) = 0 m

T (0) m

o

Vm

\lm

Continuité du déplacement vertical

Cette condition dépend du contact entre les couches

Soit ce contact est rugueux

," Soit ce contact est lisse

(Voir développement de l'annexe 1) .

1.3.3. Dénombrement des conditions aux limites

Comme il a été vu ci-dessus (§ 1.3.2.) le nombre de conditions aux li­mites dépend du nombre de couche du substratum.

g~~_~~_~~~~~~~~~~ , avec substratum rigide.

t ' 1

! / ~ C' imposé

imposé

ou r

Fig 3 - Conditions aux limites du problème.

La solution dépend de 4 n constantes (si l'on arrite le développement en série au ne terme).

Pour chaque terme, on dispose (fig. 3)

de deux conditions en surface,

16

o

de deux ëonditions le long du substratum.

On peut donc déterminer les constantes.

~~~_~~_~~l!i~~~~~~ (k couches) avec substratum rigide.

La solution dépend de k (4 n) constantes. Pour chaque terme on a

deux conditions en surface,

deux conditions au contact avec le substratum,

4 conditions à chaque interface et il y a (k - 1) interface s .

Le nombre de conditions est donc

n [2 + 2 + 4 (k - 1)] k (4 n)

On peut donc déterminer toutes les constantes.

~~~_~~_~~!!~~~~~~~~ dont la dernière couche est infin~e.

Dans la dernièye couche, on ne dispose que de deux constantes CI et C1 , en effet C2 = C4 = a car ce sont les coefficients de" termes en chaz

et ct QZ qui tendraient vers l'infini avec z.

Deux constantes ont donc disparu ; mais on dispose de deux conditions de moins puisqu'il n'y a plus de contact avec un substratum.

2 - UTILISATION PRATIQUE DU PROGRAMME

Les programmes existant actuellement permettent le calcul des contrain­tes sous une charge trapézoïdale reposant sur un massif mono couche ou bi~ouche. Leur extension est possible dans plusieurs directions.

chargement quelconque mais admettant un axe de symétrie

chargement quelconque

sol de fondation multicouche.

Les programmes rédigés en langage Fortran IV sont adaptés à l'ordinateur CIl 10070 et peuvent être traités à partir d'une console de télétraitement.

17

On trouvera ci - dessous une liste des données, des symboles qui les re­présentent, ainsi que des formats dans lesquel selles ont été exprimées. On traite ensuite un exemple type auquel on peut se reporter.

On trouvera également en annexe tin organigramme ainsi qu'un listing.

2.1. Liste des données et des formats

2.1.1. Cas du monocouche (Fig. 4)

r----. ..,.----------------------.,-----.---r-------. Variable

XL

XLL

Q

H

NU

A

E

PH

PV

NN

MM

KA

Signification de la variable

Demi largeur en tête du remblai

Demi l~rgeur en pied du remblai

Charge due au remblai dans la partie horizontale

Profondeur de la couche compressible

Coefficient de Poisson

Distance à laquelle on estime négligea­ble l'influence du remblai

Module d'Young

Pas horizontal du quadrillage

Pas vertical du quadrillage

Nombre de verticales à prospecter

Nombre d'horizontales à prospecter

Nombre de termes de la série (100 ou 200 en prati·que)

18

Unité

mètre

mètre

bar

mètre

mètre

mètre

bar

mètre

mètre

mètre

mètre

Format

F 4

F 4

F 4 • 2

F 4

F 4 • 2

F 6 1

F 7 • 1

F 4 • 1

F 4 • 1

l 2

l 2

l 3 ou l 4

Les données sont introduites par les quatre cartes suivantes

Monocouche

CARTE 1

Il 1\ 1-1 lili-III 1 1-111·1111 1·111111

A XL )(LL H

CARTE 2

: 1 1·1 1 1 \ 1 1 \.\ 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 [.

NU E.

CARTE 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Il 1 1 Il! 1 1 1 1 1 1 1 1 Il! l KA

CARTE 4

1 \1.\ 1 ! \.\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 TJJ PV PH NN ~t"

!- XL oJ / '

1 MM : 9 '~ PH 9 i ~ Il - 1 --l I! te XI...\...

' 1 ,

1.

1 1 - l? ii 1 1

pvq~ I! --

1 1 1

1

. _ "w •• ____ _ ._" -_.-

1

1 HI 1

15

1

-_.-

~. " 1:

if 1

1 il -1 i

to

Il IZ NN:::6 " - ---1 l 1

f" 2- ô A 5 6 1 1

i- A 1

Fig. 4 - Données pour le programme.

19

2.1.2. Cas du bicouche

Les données comprenn0nt celle du monocouche plus des données relatives à la deuxième couche (fig. 5) .

Variable Signification de la variable Unité Formule

H Epaisseur totale de la couche com- m F 4.1 pressible

HI Epaisseur de la couche inférieure m F 4.1

MMI Nombre d'horizontales à prospecter - l 2 dans la couche supérieure

MM2 Nombre d'horizontales à prospecter - I2 dans la couche inférieure

E 1 Module d'Young

Poisson }

de la cou-Bar F 7.1

NU 1 Coefficient de che supé-F 4.2

rieure

E 2 Module d'Young } de la c.ou-Bar 7.1 che infé- F

NU 2 Coefficient de Poisson rieure F 4.2

1 1

'" 1

. MM1 = 3

, X

~E 1

~ 0 H MM2_ 4

1 H1

1

0

e 1

Fig. 5 - Données pour le prog~amme bicouche.

20

8icouche

CARTE 1

[1 1 1 1·1 1 1 11·1 1 1 1 1·1 1 1·11 1 1 1-1 1 1 1 1·1 1 1 1 1 1 1

A XL XLL H Hi

CARTE 2

Il 1·1111-11 11111-111 Il 1 1·1111 1 W NVJ NU '1 El

CARTE 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 J J{A

CARTE tl

W·IIII·IIII! I! Il! !! Il! 1111 i Il PY PH NN ;"1Hl "112

2.1.3. Utilisation d'une console de télétraitement

A'J. moment de l'exécution, on reçoit le · signe :

On tape alors avec le clavier le contenu de la carte 1, suivi de ~et (return).

On reçoit alors le signe :

On tape la carte 2 etc ...

21

2.2 . PRESENTATION DES RESULTATS

On obtient d'abord un rappel des données; puis les valeurs de la con­trainte verticale sur la surface de contac t avec le remblai sont imprimées. L'imprimante donne alors les résultats de la deuxième ligne et ainsi de suite jusqu'à épuisement du maillage. Ensuite, la contrainte horizontale, le ci­saillement et les déplacements horizontaux et verticaux sont donnés selon le même procédé (voir fig. 6).

1 \ " 2- 4- S

G ~ e q 1\0

1 1\1\ 1\1. 1\3 JIll. 1\1:

AG "''\ I\~ I\q 1..0

T '2..2. 2.3 2.4 2.S

Fig. 6 - Maillage pour la sortie des résultats.

On trouvera en annexe un listing de présentation de résultats.

2.3. CONVERGENCE DE LA HETRODE

Comme nous l'avons vu, le calcul consiste à décomposer la charge en série de Fourier. Ces séries convergent assez lentement. (Le reste est en

1 effet d'ordre M)' Le nombre KA est la donnée qui représente le nombre

de termes à calculer. En l'absence d'une étude exhaustive de la convergence on retiendra les éléments suivants qui se sont dégagés de divers essais

Pour le programme monocouche une valeur K..\ prise entre 100 et 200 donne de bons résultats.

Pour le programme bicouche, le choix de KA est parfois plus délicat. En effet pour chaque terme de la série, on ~nverse par le sous programme HAT

22

la matrice Rij (voir annexe) ; or cette. matrice est "de plus en plus singu~ lière" quand M augmente. On a donc introduit un test qui arrête le program­me si cette matrice n'est plus inversible par le sous programme RESOL.

Dans un tel cas, on obtient l'indication

M = K\DD = a MATRICE SINGULIERE

La sommation des termes de la série est alors arrêtée au rang (M - 1) et les tableaux de sortie son~ remplis par. ces résultats.

Il faut alors diminuer KA, cela bien sûr au détriment de la preC1s~on du calcul ; mais on peut aussi augmenter A (défini dans le tableau des don­nées) puisque c'est la suite

am 2 II m

A

qui détermine la rapidité de convergence de la série.

:3 - RËSUL TATS POUR UN REMBLAI TYPE

On a tracé des abaques pour l'utilisateur qui ne dispose pas d'un or­dinateur ou pour celui qui désire obtenir rapidement une valeur approchée des résultats.

L'importance du nombre des paramètres exclut que l'on fa.sse des abaques pour tous les cas. On a donc choisi un remblai type (où a = ~ . ..,c'I,66)

pour lequel on dorme des résultats quand les autres paramètres varient, puis L

on discute la variation 'de ces résultats quand a =. ~ varie; les autres

paramètres étant fixés.

23

Paramètres intervenant dans les abaqués (fig. 7)

1-

L~ 3

H M r-

Fig. 7 - Paramètres à choisir pour les abaques.

"3.1. VALEURS DES CONTRAINTES SOUS L'AXE

Ces valeurs sont calcu1êes dans les cas suivants

\)

f3 =

z = 0 H

avec

0.3

H

\)

H

0.4

0.5

3

O. J

coefficient de Poisson

3.5

0.2

hauteur de la couche compressible largeur moyenne du remblai Ltt

0.5

1. 25

4

J .5

5

1

ft

z profondeur i laquelle on calcule la contrainte.

Les abaques donnent les valeurs de K, K, K dHinis par T

a K q

} v v

ah Kh q avec q charge de remblai

T = K q = 0 T

Planches n 0 J. 2, 3, 4, 5 ,

24

L + 1 = 2

H = -1

J. 75 2 2.5

0.9

3.2. VALEURS DES CONTRAINTES VERTICALES A MI-PENTE DU REMBLAI

Q L+Q =

2

{3 H = -Il

Fig. 7 bis - Droite verticale à mi-pente du remblai.

Les . valeurs de av et ah sont présentées pour V = 0.3 (v n'a pour

ainsi dire aucune influence sur a). v

Planche 6, 7

Les valeurs de la contrainte de cisaillement pour V = 0.3 v = 0.5

Planche 8, 9 .

Les paramètres sont les mêmes que sous l'axe.

a v

T

K v

q

q

q

On prendra garde dans ce cas à l'influence

(En effet, les abaques sont traités dans le cas

du calcul rigoureux dans la partie supérieure de différents de ceux des abaques.

de la géométrie du remblai. L l = 1,66). Les résultats

la couche, peuvent être assez

3.3. EVOLUTION DES CONTRAINTES SUR UNE HORIZONTALE

Nous présentons également la distribution des contraintes sur des sur­faces horizontales (planches 10 à 17); Les surfaces choisies sont la surfa­ce de contact -avec le remblai, la surface horizontale à mi-profondeur, ainsi que la surface de contact avec le substratum. Ces résultats sont présentés à titre indicatif pour V = 0.3 pour diverses profondeurs du substratum; ils mettent en évidence la rapide décroissance de la contrainte quand on s'éloigne de l'axe et "l'amortissement" de l'influence du remblai avec la profondeur.

On constate d'autre part que la valeur maximum de T est obtenue sur la verticale à mi-pente du talus de remblai. Ce résultat empirique permet donc de tester rapidement la validité de l'hypothèse sur le contact avec le substratum.

25

Si Test infêrieur i Cu (dans le cas du court ~erme)et inférieur i cr tg c.p + C' dans le cas du long terme, on peut considérer que l'hypothèse de contact sans glis'sement avec le substratum est correcte, dans le cas contrai­re, il est difficile de conclure.

3.4. DISCUSSION DES RESULTATS

3.4.1. Influence de la géomêtrie du remblai

Nous avons présenté dans ce qui précède les résultats pour un remblai ty­pe où le rapport . des longueurs en pied et en tête de remblaiêtait L 1= 1.66.

Il faut cependant noter que la géométrie du remblai a une influence sur les contraintes développêes dans le massif de fondation. Mais la pente du remblai n'est pas la caractéristique qui nous intêresse. En effet on voit à la figure 8 deux remblais qui se déduisent l'un de l'autre par une affinitê . d'axe Oz.

z

Remblai 2

Remblai 1

)(

o Fig. 8 - Non influence de la pente.

Les deux chargements (remblai 1 et remblai 2) sont proportionnels. Par application du théorème de superposition des états d'équilibre, on voit qu'ils développent dans le sol des contraintes proportionnelles, bien que les deux remblais aient des pentes différentes. On a don~ choisi comme paramètre carac­térisant la géométrie du remblai le rapport

a = L

.e Nous avons effectué le calcul pour les valeurs suivantes de a

L = .t

l, 3, 1 .66, 1.22, 1. Il

26

0< = " 66 1

\ \ -==< ::.'Î 2.2 , 0<. : /l, Il.

Fig. 9 - Influence du paramètre \JI.

Les contraintes sous l'axe sont données pour différentes valeurs de CI.

et pour V = 0.3 6 = 1, par la planche (18, 19). On constate que les diver­gences sont rarement supérieures à 10 %.

Il n'en reste pas moins qu'entre le cas limite d·'un remblai en terre ar­mée à paroi verticale et celui d'un barrage en terre à pente douce doivent être traités séparément. Les abaques constituent donc une bonne app·roximation des résultats dans le cas général.

Cette influence est alors beaucoup plus marquée. Les planches (20, 21, 22) représentent les contraintes sous les divers remblais de la figure (9), · et pour une profondeur du substratum de même ordre que la largeur du remblai (6 = 1). On notera que l'influence de la géométrie est surtout sensible dans la moitié supérieure de la couche. Cela a donc peu d'influence sur la stabi­lité puisqu'en général, les cercles de glissement les plus défavorables pas-

27

sent dans le bas de la couche compressible.

Le cas que nous présentons est un des plus défavorables puisque le subs­tratum est peu profond.

3.4.2. Influence des caractéristiques mécaniques du sol de fondation -Modu­le d 'YOU:1g.

Le premier résultat connu depuis longtemps est que pour un massif de fondation monocouche, le module d'Young du sol de fondation n'intervient pas dar.s le calcul des contraintes (il a par contre une influence sur l'amplitude des déplacements).

Ceofficient de ~oisson

Notre étude confirme le fait que le coefficient de Poisson a une in­fluence négligeable sur la contrainte verticale (planche 1 et 2). Par con­tre, cette influence est sensible sur la contrainte horizontale. Au contact avec le substratum, on notera que l'on a

- \J K

o ( 1 )

puisqae la condition de non déformation latérale est vérifiée.

Pour les valeurs \J = 0.5 et \! = 0.3, on a K = o ".

et K = 0,43. o

La valeur de \J peut donc avoir une influence de 100 % sur la con­trainte latérale.

CONCLUSION

Nous avons présenté une méthode de calcul des contraintes dans un massif de fondation mono couche ou bicouche limité par un substratum rugueux et sou­mis ~ une distribution de charge trapézoïdale, en appliquant la th~orie de l'élasticité linéaire.

Tous les mots de la phrase précédente sont, pour certains, une source d'extension, pour d'autres une limitation de la méthode.

Des massifs monocouches et bicouches, on peut passer au cas plus général d'un massif composé de n .couches horizontales.

La distribution de char~e peut ne pas être trapézoïdale et peut même devenir asym~trique (ex. barrage en terre).

( 1) Ce coefficient K joue un rôle analogue au rapport des contraintes o oH

effectives dans un sol

latérale est vérifiée. 0 '

v K

o

28

quand la condition de non déformati.on

On peut choisir comme hypothèse que le substratum est lisse ; par contre on ne saurait supposer que le frottement avec le substratum est du type cou­lombien T< c + a' tg ou T < Cu. Une inégalité met en effet la méthode en échec. D'autre part, on ne peut pas supposer non plus que t = a tg ce qui n'a pas de sens sous l'axe du remblai où t = a et a, # 0 (par sy­métrie) .

On ne peut pas non plus étendre' la méthode au cas de l'élasticité non linéaire (module d'Young fonction des contraintes au point considéré).

D'au~re part, cette méth8de révèle ses limites dans certains calculs: il est fréquent de trouver que les contraintes calculées dépassent l'état limite de rupture, alors qu'on sait par ailleurs que le remblai est stable. Cela met en évidence la présence de z·ones "plastiques". La limite essentie1-' le de cette méthode est en effet celle de l'élasticité ...

Néanmoins, ces calculs sont très instructifs, en particulier pou~ la recherche de la valeur de la contrainte horizontale. C'est en effe~ sur cet­te dernière que la profondeur du bed-roc~ et la valeur du coefficient de Poissùn ont le plus d'influence. C'est précisément la va.leur attribu~~e à ah et par là même, la connaissance du chemin de cvntraintes qui perr.lettellt ri' ef­fectuer des essa~s représentacifs à l'appareil triaxia1 et de développer nos connaissances quant au tassement des sols compressibles.

29

~ . . .

BIBLIOGRAPHIE

[1] BOUSSINESQ, Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et àu mouvement des solides élastiques, Gauthier-Villars (paris, 1885). .

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[3] EGOROV, Déformation des couche.; d'épaisseur fmie, Mekanika Gruntov 34 Gorstroïzdat (Moscou, 1958).

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[6] LE BOURDONNEC, Travail personnel, fin d'études Ecole nationale des Ponts et Chaussées (ENPC) (juin 1970).

30

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[8] SCOTT, Princip/es of soil mechanics (1963), ~dison Wesley PublishingComp. Ine. (Massachussets).

[9] SOVINC, Se Congo Int. Mée. Sols et Trav. Fond. (CIMS) Stress and displacements in a limited layer of finite stick­ness, vol. 1, p. 83 (1961).

[10] FADUM. Influence l'alues for estimating stresses in dastic foundatio/ls, Compte rendu du 2e Congo Int. Mée. Sols et Trav. Fond. (Rotterdam), vol. 3, p: 77 (1948).

[11] STEINBRENNER, Tafeln zur Setzungsberechnung (Strasse) vol. 1 (1934).

ANNEXES

31

ANNEXE 1

EXPRESSION EXPLICITE DES CONDITIONS AUX LIMITES

Rappelons que l'expression des déplacements et des contraintes est .. 0

u (x, z) = ?= 0 Um (2) sin am x

0()

=L m = 0 w (x, z) Wm (z) cos am x

où les expressions détai llées de Um (z) et ~';m (:2:.) sont données par les formules (8) p. 8

Les contraintes

0x (x, z)

sont exprimées par : a.o

= '2-- N-im (z) sin am x m = 0

.00

Oz (x, :::) = L N3m (z) cos am x ln ::: 0

T (x, z) =LTm III ::: 0

(z) sin am x

où N'lm, N3m, Tm sont donnés par les formules (13) p. 9

l - CAS DU MONO COUCHE

Dans le cas d'une couche de fOI\dation monocouche reposant sur un substra­tum rugueux, il y a 2 conditions aux limites en surface et deux conditions au contact du substratum

En surface Tm (H) = 0

a (a CI - (1 - 2V) c31 chaH + a(a 'CI - 2 (1 - v) C3) shaH + a 2 C4 H chaH ( 14)

+ a 2 ~3 H ~h aH = 0

N 3 m (H) = am

33

(15) a(a C2 - 2 (1 - V) C4) chaH + a(a CI - 2 (1 - v) C3 ) shaH + a 2 C4 H shaH

+ a 2 C3H chaH = a m

Au contact du substratum

W (0) = 0

(16) (3 - 4v) C3 - a CI = 0

(17)u (0) = 0 C2 =· 0

En reportant (16) et (17) dans (14) et (15) on obtient deux équations en C3 et C4.

( B C3 + C C4 = 0

( 18) ( ( D C3 + E C4 am

où B, C, D, E sont des coefficients donnés par

( B - 2 a( 1 - v) chaH + a 2 H shaH ( ( C a (1 - 2 v) shaH + a 2 H chaH

( 19) ( ( D = - (1 - 2 v) shaH + aH chaij ( ( E 2 ( 1 - v) chaH + aH shaH

Le système (18) se résoud alors en

am D C 3 = ---=-=----:=--BE - CD

- am E BE - CD

II - CAS DU BICOUCHE

Les formules (8) et (13) qui donnent .les expressions de Um (z), Wm (z), N m (z), N3m (z), Tm (z) sont dédoublées puisque les constantes CI, C2, C3, C4 ne sont pas les mêmes pour les deux couches.

, On a appelé ces constantes:

34

CI, C2, C3, C4 pour la couche supérieure

DI, D2, D3, D4 pour la couche inférieure

Les quantités Um, Wm, Nlm, N3m, Tm sont indicées

en Uml Wml N1m1 N3rn ] Tm] pour la couche supérieure

en !Jm2 Wm2 N]m2 N3m2 Tm2 pour la couche inférieure

On a alors huit conditions aux limites

Au contact du substratum

(20) U = 0

(21) W = 0

) ) ) )

substratum rugueux

A l'interface

(22) Um] = Um2

(23) Wml = Wm2

(24) N3ml = N3m2

(25) Tm] = Tm2

En surface

(26)

(27) N3m] = am

) ) ) )

) ) ) )

) ) ) )

continuité des déplacements

continuité de ê}Z et T

contraintes imposées par le ·chargemént

Ces huit conditions s'explicitent en

(20) ,

(2]) ,

(22) , G: ( C] shah] + C2 chah] + hl C3 chah] + h] C4 shah)

- G~ (D) shah) + D2 chah 1 + h) D3 chah) + hl D4 shah 1 ) = 0

35

•

(23) ,

(24) ,

(25) ,

(26) ,

(27) ,

_1 l--a chahl CI -a shah 1 C2 + ( (3 - 4VI) chah 1 - ah! shahl) C3 GI "

+ ( (3 - 4VI) shah 1 - ah 1 chah 1) C4J

- G~ [ -a chah 1 DI - ashahl D2 + ( (3 - 4V2) chah 1 -a hl shahl) D3

+ ( (3 - 4\>2) shah 1 -a hl chah 1) D4 J = a

acl shahl + aC2 chah 1 + r ahl chahl - 2 (1 - VI) shah l ] C3

+ (ahl shah 1 - 2 (1 -VI) chahl) C4

- aDI shah 1 - aD2 éhahl - ( ahl chah 1 - 2 (I - V2) shah 1 :. D3

- (ahl shah 1 - 2 (1 - v2) chahl) . D4 = a

achah l CI + ashahl C2 + (ah 1 shah 1 - (1 - 2vI) chah 1

+ (ahl chahl - (1 - 2VI) shahl) C4

- achahl DI ..:. ashahl D2 -( ,:;., hl shah 1 - (1 - 2v2) chah 1 ) D3

- (ahl chah 1 - (1 - 2V2) shahl) D4 a

achah CI + ashah C2 + (ah shah - (1 - 2vI) chah)

+ ah chah - (1 - 2vI) shah a

a 2 shah CI + a 2 chah C2 + (0) h chah - 2a (1 - vI) shah)

+ Cih shah - 2a (1 - VI) chah) C4 am

Ces 8 conditions sont linéaires en CI, C2, C3' C4, DI, D2, D3, D4 elles peuvent s'écrire sous la forme

r fè l ra

C2 a i 8

C3 a C4 a J 8

Rij DI ()

D2 a D3 a D4 am

36

où les coefficients Rij sont donnés par

R2l = R22 = R23 = R24 = 0 R2S = - a R26 = 0 R27 = (3 - 4 )2)

R28 = 0

shah 1 Gl

-shahl R3S = G2

R41 =

R44 =

-a chah 1 Gl

(3 - 4vl)

GI - R42 tf2

chah 1 Gl

-chah 1 G2'

hl chah 1 R 33 = ---=--­GI

-hl chah 1 R37 = --:--­G2

hl shah 1 R34 = ~~.:....;:"..;. Gl

-hl shah 1 G2

R42 = -Ct shahl R43 = (3 - 4vl) chahJ -6: hl

Gl Gl

shCthl Gl

-a hl chah 1 R4S - R41 Cl = G2

= (3 - 4V2) chah 1 -a hl shah 1 G2

(3 - 4V2) shah 1 -a hl chah 1 R48 = ...:.-._-~---:::------

G2

~hahJ

RSI = ashahl RS2 =0. chah 1 RS3 =0. hl chah 1 - 2 shah 1 (1 - VI)

RS4 =0. hl shah 1 - 2 chah 1 (1 - VI) RSS = - RSI RS6 = - RS2

RS7 = ( ahl chah 1 - 2 shah 1 (1 - V2) ) RS8 = - Ca hl shah 1 - 2 chah 1 (1 - V2»

achahl R62 =0. shah 1

R63 =0. hl shah 1 - (1 - 2vl) chah 1 R64 =0. hl chah 1 - (1 - 2VI) shahl

R67 -(ahl shah 1 - (1 ~ 2V2) chah 1 ) R68 =-( ~ hl chah 1 - (1 - 2V2) shahl)

37

chah R72 = shah ah shah - (1 - 2vl) chah

ah chah - (1 - 2VI) shah a

a 2 shah R82 = a2 chah a 2h chah - 2a (1 - VI) shah

a 2 h shah - 2a (1 ..: VI) chah R88 a

an remarquera que l'on aurait pu réduire assez facilement le système de 8 à 7 ou 6 inconnues. Cependant on a gardé cette forme brute pour que la transposition au tricouche (ou davantage) soit plus facile.

qe système est résolu par une méthode numérique à l'ordinateur (sous progranune RESaL de la bibliothèque CIl)

38

ANNEXE 2

o ·

0.1

0.2

ABAQUES

PLANCHE 1

COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE VERTICALE SOUS L'AXE v = 0,3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.3+-____ ~~-----_+------~--~_+~-~4_~

0.4 '1"-------1~----+-

0.5

0.6

0.7

0.8 +-----j- -----+-+-+-+--l-+---I--I--+---+-

1 Z H

39

o

O. 1

PLANCHE 2

COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE VERTICALE SOUS L'AXE Il = 0,5

0.2 0.4 0.6 0.8 t

0.2 --____ +-____ -+ ______ ~----~~~~

0.3 -t-----I-----f-----+--I---f.--!-.L--I---I--l+I

0·4 -t----+-----I----I-I~ i--+---I+---+--++-H

0.6

0.7 ------f-

0.8 -.---+-----1'-+--+--+--++---+-- . .....,/-+1--+--+-+--1

1 Z H

40

PLANCHE 3

COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE HORIZONTALE SOUS L'AXE v = 0,3

o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1+~ ______ ~~~~~ ____ -+ ______ ~ _____ --,

0.2 +--;.--r t.t.:'.Io'-:-tL--.'-Hf++~------+-------t------;

0.3+4,y~-+~~+-~------+------4-----~

0.5

0.6 +H-t--!--+--II--z+---H-------l-------t------t

0.8~~~~~~---0~,-5----r_----~------~

0·9+---+-'\-\-+-\-1.-\---\--\--\--+1- -----t-------+------i

1 Z H

41

PLANCHE 4

COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE HORIZONTALE SOUS L'AXE v = D,il

0.2 0.4 . 0.6 0.8 1.0

0·5 -tl-H--I-+ FSr-+- +t----+-t------+-----

0·6

0·7

Z H

0, 5

---\---t-+---- -------1

42

PLANCHE 5

COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE HORIZONTALE SOUS L'AXE v. = 0,5

0.2 0.4 0.6 0.8 1·0

0.4++~~-+-~--+-+-4+---+--+------++------~

1 Z H

,25

43

PLANCHE 6

COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LES VALEURS DE av SUR LA DROITE A MI -PENTE

- " = 0,3

o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Kv

0.4

0.6 -.---+----+~--f_l__1_Jj__+__+_-_!_---_+_--___l

0.8+ ____ ~--+~I--~~~~~~--_+----_+-----~

Z H

PLANCHE 7

COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LES VALEURS DE aH SUR LA VERTICALE A MI-PENTE v = 0,3

o

0.2

0.4

0.6 .

0.8

Z H

0.2

15

1 1

0,4 0.6 0,8 1,0

'1 1

1 1 1

1 1

PLANCHE 8

COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE DE CISAILLEMENT SUR LA VERTICALE A MI-PENTE Il = 0,3

a 0,05 0,1 0,15

q25+---------------~--*_-----------_4--_+_4~~~W--------

0,5 -I---~- -------+-~--__/_+__--~_lIH~_<----_+_-------------_'___I

0,75 -t----------I----f------V---f-----i---i'-'f--tt--------j--------------i

Z H

J3 = 5 4 3 25 2 ,

45

o

02

PLANCHE 9

COEFFICIENT D'INFLUEfJCE POUR LA CONTRAINTE DE CISAILLEMENT SUR LA VERTICALE A MI-PENTE v = 0,5

0,05 0,1 0,15

~ ::0,5

0,5+-__ ,--__

1 Z H

46

(0)

( b)

(c)

cry q

PLANCHE 10

EVOLUTION DE av SUR DES HORIZONTALES

v = 0,3 (3 = 0,5

47

0+-.----......

Cille H

Cole li 2

Cole 0

x

x

x

PLANCHE 11

EVOLUTION DE_ aH SUR DES HORIZONTALES

v = 0,3 ~ =0,5

eTk . H

q 0 1 .~

Cole H (0 )

x

x

Cole a (c)

x

48

<iy q

(0)

(b)

(c)

PLANCHE 12

EVOLUTION DE av SUR UNE HORIZONTALE

H /J = 0,3 ~ = - = 1

Q

49

H ~LLL!t. __ _

H/2

O-l----~

Cole H

Cole .t!. 2

Cole 0

x

PLANCHE 13

EVOLUTION DE (JH SUR DES HORIZONTAlES-.

V = 0,3 ~. = 1

(c)

0,5

0,5

50

H -1""''"'''''------

o -t------- -+

Cole H

Cote H 2

Cote 0

x

x

x

PLANCHE 14

EVOLUTION DE Uv SUR DES HORIZONTALES

v = 0,3 {3 = 2

<Ty q

H"*"~,,,--___ _

H/2 0+--_____ __

(a ) Cote H

x

( b) Cote H 2

x

51

PLANCHE 15

EVOLUTION DE aH SUR DES HORIZONTALES

v = 0,3 ~ = 2

0,5

(c )

a

0,5

( b)

0,5

52

a

. Cole H

Cole H 2

Cole a

!:1 2 ,.

X

x

X

PLANCHE 16

EVOLUTION DE av SUR DES HORIZONTALES

v :: 0,3 {3 :: 4

H -f'L'ULA"------H/2

o +-------IIit ......

(0 ) Cole H

x

(b)

x

x

53

PLANCHE 17

EVOLUTION DE aH SUR DES HORIZONTALES

v = 0,3 (3 = 4

0.51 r Cote .!!

(:l) 1-----1B!!!I!!!!!~~~2 ~2 ~2~2!:L2 :L2~2~2z::22~2~ZZ22:LZ:Z2::ZZ27:?~?z2 7Z?~72:7Z2/~~ x

0,5

(0) Cot.e 0

x

54

, , , o 02 o 04 06

0,2 5.

0,5 '-

0,75

Z

0 8 , 1 Kv

1

/ a.=

!J a-3 /~ a= 11 - ,

/~ PLANCHE 18

INFLUENCE DU RAPPORT a

SOUS L'AXE v = 0,3

L = .,..- SUR Kv Q

o 0,2 0,4 0,8 KH o ~------+-----~r---~'+-------r------;---------------~~_

0.5

0,7

1

z 'Fi

55

PLANCH E 19

INFLUENCE DU RAPPORT a = !:. SUR KH Q

(SOUS L'AXE) v = 0,3

o 04 02 , , o •

0,2 5

'- 1

0,5

1

0,7 s. i

1 Z H

o o

0,2 5.

0,5

0,75 '+

-

z -H

06 , 08 1 Kv

1.6~ CC = 7 3

Il 1

'1 ,

,

r- I

q2~ v-::: ~

;/ 11 f{ Y

1

!

\ ~

Ct=7 J La: = 1,6

56

PLANCH E 20

IN FLUENCE DU RAPPORT Cl! = ~ SUR KV Q

(SOUS LA VERTICALE A MI - PENTE) v = 0,3

Ct=16 Ct .. 135 Ct =12 K r' r' r- , 0,4 .---:::: 1-: 0,6

PLANCHE 21

INFLUENCE DU RAPPORT Cl! = ~ SUR KH Q

(SOUS LA VERTICALE A MI -PENTE) v = 0,3

H

PLANCHE 22

INFLUENCE DU RAPPORT 0: = f SUR Kr

(SOUS LA VERTICALE A MI-PENTE) v = 0,3

0,4 K o -r~:::=~~~:::::::±=:::~-I-- 1 ~ t

1 1

0,2 5 _ _ _

0,5

0,75

1 -r---------~--------~~------~~-------J

Z H

57

ANNEXE 3

ORGANIGRAMME DU PROGRAMME DE CALCUL AUTOMATIQUE

1 , 1

1 i 1

1

1

1 1 1

1 i

1

1

58

1

I-1

1

1

1 1

1

1

t 1

!

O;mensionnement des tableaux

donnée5

de. tableaux

<Xm

de (lm ( m P terme de la se rie de FOUR NIER r e présentant

le chargement )

Calcul des coe fficients Ct C~ClC4 (directement pour le monocouche

par sous pr09ramme MAT pour le bicouche )

Ca Icul de Zu ), z (1) XNl (1) X N3( Il T (1) U1 ( 1) Wl(l)

Calcul de SI Gl M U,J) SI G3 M (l,J) TM (I,J) UM (I,J) WM ( J,J)

Calcul de SIGl (I,J) SIG3 lI,J) TAU (I,J) U (I,J) w (I,J)

OUI

Impression des résultaIS

OUI Autre cos

ANNEXE 4 (cf. p. 23)

LISTING DE PRÉSENTATION DE RÉSULTATS

VALEUR DE LA SURC5'-TRAI"JTE HflFdZô\TALE 3Z'OOO ... 420 -.457 "·534 •• 400 ,244 .096 ,016 ".OC4 .. '017 "'031 ·'023

29·(:100 ... 389 -.,98 -.399 ··240 ·'029 '023 ,002 ".018 -·025 ".023 ·'019 25'600 -,352 -.3'+5 -·298 -·197 "'137 -·0'+6 -.028 -.028 "'027 ··022 "'018 22·400 ... 317 -.101 "'240 - 0187 .. 0181 -·098 ·.055 ·.0~8 "'029 ·.022 "'017 19'200 ... 290 ·.269 -·211 - 0186 ... 197 "'131 -.076 -.01+7 "'031 -'022 "·n16 16'000 ·.273 ".l'52 -'20?' -.189 .. ,201 ·.148 -·089 -.052 ·'032 ·.021 ·'015 12'800 -,269 -.249 ··206 .. 0194 -·198 -. H,2 -.094 ".053 ... 031 ·'019 ·'013

:3.600 -.280 -.260 -·220 ... 201 .. 0191 •• 11+6 ·.090 -.ObO •• 027 ·.016 '" :)11 6·400 -0304 -.;>86 -·244 -.210 • 0179 "'129 ".076 ".041 "·021 "'012 "'008 3.200 ... 344 -.326 -.?79 ... 221 ... 160 -·101 ·.054 ·.026 ·.013 ·.008 "'005

'000 -. ~399 -.382 ·.328 -.235 - 0133 -·059 -.022 ·.007 ·.::103 ··002 .• '002 VALEUR DE LA SURC5~ j TRAINTE VERTICALE 32'000 -.999 -1'006 -·999 -.742 ·033 -.005 -.012 .005 ·006 ··006 .0002 28 0800 "1'002 -1·005 ··999 "0708 "'009 -.003 "0006 .001+ .004 ·.003 .0001 25 0600 -1'006 -1.:)05 -.980 -.662 "'077 -·005 .001 .005 .003 -0001 "0000 22·400 -1'011 ·1.003 -·949 ·.628 ... 138 ... 014 .004 .006 oCOIt .001 '000 19·200 -1·012 -.997 -.914 ·.605 -.186 -·030 .003 .007 ·005 .002 '00,) 16 0000 -1·009 -.987 -.882 -.589 ·.222 -·048 ".000 .008 ·005 ,002 ·'000

·12·800 ·1'002 -.973 -.854 -.578 -.249 -·067 -.Oon .006 .005 .001 ·'001 9·600 ·.990 -.957 "'830 ·.569 ·.270 ··085 •• :)15 .003 .003 .001 ·'001 6.400 .. ·974 -.938 -·(i08 ... 562 -.285 "0102 ".025 -.002 ·001 ".001 ·'002 3·200 -.95'+ -.917 -.787 -.556 ".298 •• \19 -.037 ·.009 ··003 ·.003 ·'003

'000 -.930 -d.<92 ··76'5 ·.51+9 -0311 -·138 -.051 -·017 ··007 ·.005 ·'005 VALEUR DE TAU

32·000 ·ooc -. :)00 ·000 .000 ... 000 -.000 .OOG -.000 -.000 .000 ·.000 28·800 '000 .:11 .014 -.149 ·.031 ·011 .014 .009 ·.001 ".002 '001 25·600 ·000 'J11 -·C14 - 0187 - .078 ·009 .016 .009 .000 ".002 ·'002 220400 ·000 .002 ·.0'+5 -.190 ·.109 ··006 .011 .006 ·.001 ·.004 "'00.4 19·200 ·000 ".010 -'070 - 0183 •• 125 --028 ".000 .000 ·.004 ·.005 ··006 16'000 ·000 -.023 -·088 $.175 ·0135 -.0'+9 -.015 ·.008 ·.008 -.008 "'007 12·800 .000 -. ü36 ··101 .. ·169 ".1'+1 ·.069 ·.031 ... 017 .. ·013 ·.010 .0009 9·600 '000 -.047 -0113 -·168 ··149 -.088 -.01+7 ... 027 ... 018 ·.013 ··010 6·400 ·000 -.J59 - 0125 -.173 .. 0159 -.107 -0062 -.036 ... 023 ,·.015 ·.011 3.200 .000 -.070 -·11+0 - .. 187 -0175 -0124 ·.075 -.0'+4 ".026 ·.017 "'012

·000 .000 -.081 - 0161 -.212 ·.200 -0142 ".085 ·.048 "·028 -.:>18 ··012 VALEUR DE ... 32·000 1'1'+9 1.129 1.034 .684 0137 -·016 -.055 ·.061 ".055 ·.01+6 "·01+3 28·800 1·038 1. ;:' 19 .927 .605 0137 ·.016 ·.053 ·.056 -. :)49 ".042 "'038 25·600 .924 .90:; .H14 .526 0141 ·.012 ·.049 ·.051 "·0'+4 ".037 "'034 22'400 .808 .789 'b99 .452 0139 ·.005 ... 01+3 -.044 ... 038 ".032 "'029 19·200 .689 .670 .587 .381 ·131 .002 ... 034 ·.037 ··032 ·.027 ·'024 16·000 .569 .552 .1+79 .313 .118 ·009 ".026 ·.029 ... 026 ·.022 "'020 12·800 ·,+50 • 't3~ ·374 .247 .10'1 .013 -.017 ·.022 ·.019 •• 017 ··015

9·600 ·331 .319 .274 0183 .080 0015 ·.009 - .011+ ·.013 ·.012 ·'011 6·'+00 .216 .208 ·177 .121 .056 ·014 -.003 -.008 ··008 ".007 ·.007 3 0200 0105 0101 .086 .059 .030 .009 .000 ·0003 .. 003 ... 003 ".003

.000 ·.000 ·.000 -.00:) ·.000 ·.000 -.000 .000 .000 .00:) .000 0000 VALEUR DE U

32·000 ·000 .001 '026 .090 0036 ·.030 ·.058 ·.061 ... 053 ·.0'+2 ·.033 28.800 ·000 ·.016 -'027 ··055 ·.05'+ "'060 ·.065 ·.060 -0051 ·.040 ·'031 25'600 ·000 -.835 -·078 ·.136 - 0121 ·'090 ".071t -.061 ·.049 ".038 ... 029 22·400 ·000 -.052 -·115 -·181 ... 164 ·.115 ... Q83 ·.062 ... 047 -.036 ".027 19 0200 ·000 -.:.>64 "0139 ·.202 "-0187 ·0132 ·.089 -.062 "·044 ".033 ·.02'+ 16'000 ·000 ".071 ··148 ... 206 .. 0193 -.138 ".091 ·.060 .. ·01+1 ·.029 "'021 12·800 ·000 -.u71 -·144 -.194 -·184 -·133 -.Q86 -·054 .. ·036 ·.02'+ ·'018

9 0600 ·000 ·.:::64 ·.127 -.169 - 0160 - 0117 - .074 ·.046 -.:)29 ·.019 ... 011+ 6'400 '000 -.050 -·098 -·129 ·.123 "0090 ".056 ... 033 •• 020 ·.013 ".009 3·200 .000 •• :-}28 -'056 ·'074 -·070 ·.O~l -.031 ·.018 •• 011 .0007 ·.005

.000 .000 .OUo '(lUO .000 .000 .000 .000 .000 ·::100 .000 '000

N.B. : La première colonne représente l'ordonnée des points où sont calculées les contraintes.

59

ABSTRACT

The calculation of stresses ina mass of iinitethickness subjected to a trapezoidal load

The problem of the distribution of stresses under a trapezoidalload exerted on a sub-base of finite thickness is dealt with by thc mcthod of Fourier series. Thc calculation is pcrformed on the following assumptions :

-- the trapezoidalload is exerted without sheàring on the sub-base ; - the subgrade consists of one or more clastic and isotropie layers ; - the substratum is at a limited depth and is rough ; -----'- the problem is two-dimensional.

After reviewing the different methods used for ca,lculating stresses in an elastic mass, the author treats the problem mathematically. This Ieads to the development of a computer programme, the practical utilization of which is explained.

The different parameters affecting the distribution of stresses are examined : ~he depth of sub-. stratum, Poisson's ratio of the compressible layer, and the geometry of the embankment. The influence of these l arameters is shown in a series of design ch arts given in an appendix.

ZUSAMMENFASSUNG

Berechnung der Spannungen einer trapezformig belasteten Bodenschicht begrenzter Starke

Die vorliegende Arbeit beschl'eiht die Berechnung dei' Spallllungsverteilung einer tl'apezfOrmig belastetell Tragschicht begrenzter Starke mit Hilfe von Fouriel'l'eihen. Dus Berechnungsverfahl'en beruht auf den folgenden Annahmen :

- die trapezfOrmige Last wirkt auf die Tragschicht ohne Scherheanspruchung ein ; -- der tragende Boclen besteht aus ciner oder mehreren elastischen und isotropen Schichten ; - dei' Untergrrind beginnt in einer endIichen Tiefe und weist eine rauhe Oberflache auf; - es handelt sich um ein zweidimensionales Problem . .

Zuerst werdefl die yel'schiedenen zur Spanllungsberechriung eines elastischen Massives verwende­ten Methoden wiedergegeben. Dann wird das gestellte Problem mathematisch behandelt. Auf~ grund der vorliegenden Ul1tersuchung konnte ein EDV Rechcnprogramm entwickelt werden, dessen praktische ~ Ariweridurig beschrieben wird.

Schliesslich werden die · verschiedenen Einflussfaktoren der Spannungsverteilung untersucht : Starke des Untergrundes, Poisson'sche Konstante der zusammendrückbaren SChicht, Abmessun~ gen des . Dammes .. Eine Reihe von Nomogrammen werden in einem Anhang wiedergegeben ; diese zeigen den Elnfluss der genannten Faktoren. . .

61

RESUMEN

Pe310Me

Calculo de las presiones experimentadas por una base de espesor Iimitado, bajo el influjo d~ una carga trapezoidal

El problema dei reparto de tensiones bajo una carga trapezoidal que se ejerce sobre una capa de subbase de espesor Umitado, es anaUzado pOl' el método de las series de Fourier. Se efectùa el calcula teniendo en cuenta las siguientes hipôtesis :

.- que la carga trapezoidal se ejerza sin cizallamienlo sobre la subbase ; - que cl terre no de cimentaci6n esté fOl'mado pOl' una 0 varias capas clâsticas e isotr6picas ; ---- que el substrato se encuentre a una profundidad acabada y sea rugoso; - que el problema sea bidimensional.

Tras trazar un hist6rico de los diversos métodos empleados para calculaI' las tensiones en una base elâstica, St' anaUza el problema matematicamente. Este estudio se termina con la elaboraci6n de un pro gram a de calcula pm ordcnador, explicâl1dose la utilizaci6n prâetica.

Finalmente, sc estudian los diversos parâllletl'Os que presentan a lgùn influjo sobre el reparto de las tensiones : profundidad dei substrato, coeflciente de Poisson de la capa compresible, la goe­metria dei terraplén. Se presenta en anexo una serie de abacos que muestran el influjo de los distintos parametros.

PAC4ET HAnp51}KEHVlVl, B03HVlKAIOLUVlX B OCHOBAHVIVI OrPAHH 4EHHOn TOnLUHHbI nO,a BnVl51HVlEM TPAnEUEVI,UAnbHOV!

HArpY3KVI

3aAa'la pacnpe)(e,lieHHfl HanpmHeHuH, BOaIUUŒIOIUIiIX nOA TpaneuelilAa.TIbHOVI Hat'py3HOVI B OCHO­BaHlm OrpaHlil'-lelHH>ii rJlyOIilHbl peIllacTcfl MeTO)lOM pa3JIOïHeHlilfl B Pfll~bl <1lypbe. PaCLleT npoBolUITCH npn CJJCL(yIOIlllilx rnnO're(Jax :

-_. Tpaneuelilila.1.hHafl HarpyaHa He Bhl3bIBaeT B c.noe oCHoBaHIiIH C)lBliraIOlllIiIX ycu.lmVl; - CJIOH JIlJlH C.llon OCHonaHlUl .- ynpyrlle li JIlSOTpOHHhle; ---- ('.:JOi-i fIO;.I;CTHJlaIOU~lIii. .- llIepoxoBaThül li orpaHuLlcuHotî TO.~lIlIJllHhI; -- (Ja).(atIa - - fIJlOCIWH.

PaCC:VIOTpen pas.:!JIlLlHhle MeToAbI paCtIeTa HanpmKelHii1 B ynpyroM MaCCUBe, aBTop J1:aeT ~1a'rc­MaTiPICCKOC pellleHJIlC 3anaLlu : OH npel~.lIaraCT paSpa60TaIIHylO JIlM nporpaMMy paCt/eTa Ha 3 .B.M. li ;~aeT JJpaHTJIllICCJŒC yHaaaHRfl },(Jlfl ec npJllMCHClIlIH.

B FOI'IIle pa601'hI 11:C(~lCAyCl'CR BJHlHlIHC Ha pacnpe]:(e.I1eJ-HlC HIHlpHïHCHlfii pa3JlJllLlHbI IlapaMCTpOIl : rJIYÔHlIl,1 SaJ1CraHlIH I10l1CTUJtaloIllcro C~lOH, Jw:)(p(ImI~HI'HTa IlyaccoH a CHUlMaCMoro CJlOR, rCOI\oICT­pH4enWH q)OPMhl HaChIIlU. B IlIHIJIOlfWHHH ]:(aHa cepMH eOOTBCT<:TBy/OLUHX HOMorpa~m.

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Imprimé au LCPC. 58 bd Lefebvre - 75732 PARIS CEDEX 15, sous le numéro 502427

Dépôt légal: 4e trimestre /973