2011
Jérémy Vidal Virginie Daru Paola Cinnella
Calcul d’écoulements dans des tuyères par des schémas de haute
précision Master Recherche FISE
parcours Aérodynamique Aéroacoustique
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
2 / 39
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
3 / 39
ANNEE : 2011 N° de PE : PA-F11343
CENTRE DE RATTACHEMENT PE : Arts et Métiers ParisTech Paris
AUTEURS : Jérémy Vidal
TITRE : Calcul d’écoulements dans des tuyères par des schémas de haute précision.
ENCADREMENT DU PE : Virginie Daru, Paola Cinnella
ENTREPRISE PARTENAIRE : /
NOMBRES DE PAGES : 39 NOMBRE DE REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES : 7
RESUME : Ce rapport traite du développement d’un schéma couplé espace-temps pour la simulation numérique d’écoulements instationnaires. Basé sur les travaux de Vinokur, l’amélioration de l’écriture des métriques a été nécessaire avant de pouvoir appliquer le code à des cas concrets de tuyères. Il a été ensuite nécessaire d’implater dans ce code une correction d’entropie. Après avoir mis en place une correction de Harten, il a été décidé au final de mettre en place une correction d’entropie basée sur les travaux de thèse de K.Khalfallah. Les différents tests ont conduits à adopter la deuxième correction. Une étude complète de la tuyère étudiée à ainsi pu être menée
MOTS CLES : Schémas de haute précision / Métriques / Jacobien / Correction d’entropie / Etude de cas.
PARTIE A REMPLIR PAR LE PROFESSEUR RESPONSABLE DU PROJET
ACCESSIBILITE DE CE RAPPORT (entourer la mention choisie) :
Classe 0 = accès libre
Classe 1 = Confidentiel jusqu’au _ _ _ _ _ _ _ _ _
Classe 2 = Hautement confidentiel
Date : Nom du signataire : Signature :
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
4 / 39
Remerciements
Je tiens à remercier en premier lieu mes deux responsables du projet Master
Recherche, Mme Virginie Daru et Mme Paola Cinnella, qui m’ont permis de mener à bien ce
projet, grâce à leur suivi durant mon stage, qui m’ont orienté dans mes recherches et les
conseils qu’elles m’ont apportés.
Je remercie également tous les membres du laboratoire DynFluid : professeurs,
thésards et étudiants pour l’accueil et la bonne ambiance.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
5 / 39
Sommaire
Remerciements ....................................................................................................................................... 4
Tables des figures .................................................................................................................................... 6
Introduction ............................................................................................................................................. 7
Transformation de coordonnées ............................................................................................................. 8
Ecriture du schéma OS .......................................................................................................................... 10
Ecriture des métriques et du jacobien .............................................................................................. 10
Ecriture du schéma ............................................................................................................................ 12
Comparaison sur le cas du BUMP...................................................................................................... 13
Les conditions aux limites .............................................................................................................. 13
Résultats ........................................................................................................................................ 15
Commentaires ............................................................................................................................... 17
Le cas de la TUYERE ............................................................................................................................... 18
Les conditions aux limites.................................................................................................................. 18
Résultats ............................................................................................................................................ 20
Correction de Harten ......................................................................................................................... 21
Résultats ............................................................................................................................................ 23
Correction d’entropie (réf. Thèse K. Khalfallah) ................................................................................ 27
Variables et flux d’entropie ........................................................................................................... 27
La correction d’entropie ................................................................................................................ 28
Résultats ............................................................................................................................................ 30
Etude des paramètres de calcul et comparaison avec d’autres schémas ............................................. 32
Influence du maillage ........................................................................................................................ 32
Influence du limiteur ......................................................................................................................... 33
Influence de l’ordre du schéma ......................................................................................................... 34
Comparaison avec le code PHOENIX ................................................................................................. 35
Conclusion ............................................................................................................................................. 37
Perspectives du projet ........................................................................................................................... 38
BIBLIOGRAPHIE ...................................................................................................................................... 39
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
6 / 39
Tables des figures
Figure 1: Maillage 256x64 BUMP .......................................................................................................... 13
Figure 2: BUMP OSMP11 10 000 itérations .......................................................................................... 15
Figure 3 : BUMP OSMP11 50 000 itérations .......................................................................................... 15
Figure 4 : BUMP OSMP11 100 000 itérations ........................................................................................ 15
Figure 5: Comparaison de la déviation d'entropie à la paroi après modification des métriques ......... 16
Figure 6: Comparaison du nombre de Mach à la paroi après modification des métriques .................. 16
Figure 7: Maillage 200x60 Tuyère ......................................................................................................... 18
Figure 8: Diagramme des contours de pression obtenu après 2000 itérations ................................... 20
Figure 9: Iso-Profil de pression issu du dossier technique « An Improved Low Diffusion E-CUSP
Upwind Scheme » p.29 [5] .................................................................................................................... 23
Figure 10: Profil du Mach dans la tuyère avec correction de Harten epsilon=0,001 ............................ 24
Figure 11 : Choc au col non souhaité (entouré en rouge) ..................................................................... 24
Figure 12: Profil du Mach dans la tuyère avec correction de Harten epsilon=0,01 .............................. 25
Figure 13: Profil du Cp à la paroi issu du dossier technique « An Improved Low Diffusion E-CUSP
Upwind Scheme » p.30 [5] .................................................................................................................... 26
Figure 14 : Profil de pression à la paroi issu de la simulation numérique ............................................. 26
Figure 15: Comparaison du nombre de Mach à la paroi entre les deux corrections d entropie ......... 30
Figure 16: Zoom sur le nombre de Mach au col de la tuyère ............................................................... 30
Figure 17: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère suivant le raffinement de maillage32
Figure 18: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère avec et sans limiteur ..................... 33
Figure 19: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère Ordre 2 / Ordre 11 ........................ 34
Figure 20 : Comparaison du profil de pression à la paroi de la tuyère OSMP11 / Jameson ................ 35
Figure 21: Comparaison du Mach à la paroi avec coefficient de viscosité numérique élevé ............... 36
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
7 / 39
Introduction
Les écoulements rencontrés dans les tuyères font généralement intervenir des ondes
de choc de forte intensité dues souvent à la qualité supersonique de l’écoulement. Ces
ondes de choc peuvent donner lieu à des réflexions multiples sur les parois de la tuyère. Aux
travers de ces chocs, les différentes variables caractérisant l’écoulement (pression,
température et vitesse) sont discontinues. Ces discontinuités rendent la simulation
numérique difficile. En effet, cela nécessite des schémas numériques spécifiques dits
robustes, c’est-à-dire ayant la capacité de calculer l’écoulement sans produire d’état non
physique. Cependant, la robustesse d’un schéma implique en général un manque de
précision de celui-ci. Or la précision est primordiale dans le but de représenter correctement
certaines petites structures de l’écoulement qui peut avoir une grande influence à grande
échelle. De plus, un système tel qu’une tuyère est complexe à discrétiser. Il est
généralement impossible de réaliser un maillage uniforme tout en respectant la géométrie
de la tuyère. La solution est donc ici d’utiliser un maillage curviligne.
Dans notre cas, on utilise une approche couplée espace temps dans le but d’obtenir
un ordre de précision très élevé. Le schéma utilisé sera un schéma OS associé à une
condition TVD, fournissant ainsi un ordre très élevé tout en ayant un stencil minimal.
Il a été nécessaire dans un premier temps de revoir l’écriture des métriques et du
jacobien. Basée sur l’article de Vinokur *2+, la réécriture des termes de métriques a donné
des résultats encourageants sur le cas test du BUMP.
J’ai ensuite pu tester le code sur le cas d’une tuyère développée par la NASA [5]. Il est
alors apparu un phénomène de discontinuité de détente (phénomène non physique) qui a
nécessité l’implantation d’une correction d’entropie. Deux corrections d’entropie ont alors
été implantées dans le code : la correction de Harten et une correction basée sur les travaux
de K.Khalfallah [4].
Il est apparu que la deuxième condition citée donnait de meilleurs résultats. J’ai
ensuite pu tester différents paramètres du schéma (ordre du schéma, finesse du maillage,
limiteur). Puis dans une dernière partie, j’ai pu comparer notre code avec le code PHOENIX
du laboratoire [7], en utilisant le schéma Jameson.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
8 / 39
Transformation de coordonnées
Cette méthode permet de faire un lien entre un maillage physique curviligne et un
maillage de calcul cartésien unitaire. C’est un moyen facile pour calculer des géométries
complexes. Toutefois, cette méthode nécessite l’obtention de la métrique qui, si l’on ne veut
pas dégrader la solution doit avoir une grande précision.
Les équations d’Euler dans le cas 2D en formulation conservative pour un maillage
cartésien (x,y) s’écrivent :
Avec
Dès que l’on s’intéresse à des géométries curvilignes, une transformation
géométrique est nécessaire pour continuer à appliquer les mêmes schémas aux différences
finies. Soient (ξ,η) les coordonnées du maillage de calcul, le système d’équation (2.1) s’écrit
alors sous la forme :
Dans le cas 2D, on a donc les relations suivantes :
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
9 / 39
J étant le jacobien défini par :
Finalement l’équation (2.3) peut s’écrire :
Avec :
Une remarque importante est à faire sur cette partie, l’importance du calcul des
métriques vis-à-vis de l’instabilité numérique due à la transformation de coordonnées.
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
10 / 39
Ecriture du schéma OS
Le flux général Fp du schéma OS utilisé dans notre code s’écrit en cartésien, sous la
forme d’une correction du schéma de Roe :
Fpi+1/2 = FRoe
i+1/2 + Ψi+1/2 (3.1)
La correction Ψ est obtenue par récurrence comme indiquée par Cabre [1]. Le
schéma de Roe peut lui se décomposer en cartésien :
FRoei+1/2 = ½ (fi + fi+1) - ½ |λi+1/2| δwi+1/2 (3.2)
Où λ est la vitesse d’onde (valeur propre) et δwi+1/2 = wi+1 - wi.
Ecriture des métriques et du jacobien
Dans notre cas le maillage étant curviligne, l’écriture du flux du schéma de Roe fait
intervenir des métriques. Le flux étant calculé au centre des mailles, les métriques doivent
être elles aussi calculées aux mêmes points. L’écriture des métriques et du Jacobien, repose
sur les travaux de M. Vinokur sur la formulation des volumes finis dans les équations d’Euler
[5].
Ainsi après avoir lu les coordonnées des nœuds des mailles (xc1,yc1), on calcule les
coordonnées aux centres des cellules (xc,yc) :
(xc)ij= ¼ [(xc1)ij+(xc1)i+1j+(xc1)ij+1+(xc1)i+1j+1]
(yc)ij= ¼ [(yc1)ij+(yc1)i+1j+(yc1)ij+1+(yc1)i+1j+1] (3.3)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
11 / 39
A partir de ces coordonnées, on calcule les métriques :
Le code nécessite le calcul du Jacobien à la fois sur les points de maillage et au centre
des cellules. L’un sert dans le critère CFL et l’autre dans le schéma sous forme du CFL local.
Dans toute l’étude, le Jacobien J a été calculé à l’ordre 2. Le second est calculé par
extrapolation du premier au centre des mailles. Ainsi le jacobien J peut être défini comme le
produit des métriques suivantes :
(3.4)
(3.5)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
12 / 39
Ecriture du schéma
Il convient maintenant d’écrire le flux centré dans chaque cellule du maillage. Si l’on
reprend les équations (2.7) et qu’on les discrétise, on obtient :
Où fphy et gphy sont les flux physiques.
Ainsi le flux de Roe dans un maillage curviligne (ξ, ) en (i+1/2, j) et en (i, j+1/2)
s’écrivent :
FRoei+1/2,j = - ½ |λi+1/2j| δwi+1/2j
GRoei,j+1/2 = - ½ |λij+1/2| δwij+1/2
On en déduit enfin le flux général du schéma.
(3.6)
(3.7)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
13 / 39
Comparaison sur le cas du BUMP
Dans ce cas, l’écoulement est supposé rester subsonique (cela se vérifie dans les
calculs). Le Mach en entrée (Minf) est de 0,5, et la direction de la vitesse en entrée (Vinf) est
horizontale. Le maillage appliqué dans ce cas est un maillage 2D de taille 256 x 64. L’entrée
du domaine se trouve à x=-2 et la sortie à x=2. La bosse du milieu du canal est comprise
entre x=-1 et x=1.
Figure 1: Maillage 256x64 BUMP
Les conditions aux limites
Pour la partie supérieure du canal, une condition de symétrie est utilisée. A la paroi
inférieure, la pression est extrapolée et on utilise une condition miroir pour les vitesses.
Les conditions d’entrée sont directement appliquées aux cellules fantômes à partir de
l’entropie totale et l’enthalpie totale à l’infini :
(3.8)
La pression est extrapolée à partir des deux premières valeurs dans le domaine :
(3.9)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
14 / 39
Le champ est alors défini à partir de ces trois grandeurs :
(3.10)
(3.11)
A la sortie, la pression est fixée telle que pghost = psortie = pinf. L’entropie, l’enthalpie et
les vitesses sont extrapolées, comme précédemment, à partir des deux dernières rangées de
cellules du domaine :
Sghost = 2 x Simax – Simax-1 (3.12)
Hghost = 2 x Himax – Himax-1
ughost = 2 x uimax – uimax-1
vghost = 2 x vimax – vimax-1
Le champ de densité et de vitesse sont définis à partir de ces grandeurs :
(3.13)
(3.14)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
15 / 39
Résultats
Figure 2: BUMP OSMP11 10 000 itérations
Figure 3 : BUMP OSMP11 50 000 itérations
Figure 4 : BUMP OSMP11 100 000 itérations
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
16 / 39
Figure 5: Comparaison de la déviation d'entropie à la paroi après modification des métriques
Figure 6: Comparaison du nombre de Mach à la paroi après modification des métriques
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
17 / 39
Commentaires
La déviation d’entropie à la paroi a été divisée par 7 environ après avoir modifié les
métriques. Ce premier résultat confirme que l’écriture des métriques n’était pas correcte
auparavant.
On remarque ensuite que le nombre de Mach à la paroi est quasiment le même dans
les deux cas. Cependant on note que celui-ci varie au niveau des entrée et sortie ainsi que de
la bosse centrale. Le nombre de Mach oscille moins au niveau de l’entrée et de la sortie dans
le cas des nouvelles métriques. De plus il conserve les conditions initiales du Mach fixé à 0.5.
Au niveau de la bosse centrale, le nombre de Mach est plus élevé mais la courbe obtenue
possède une meilleure symétrie donc un résultat plus proche de la solution réelle.
Enfin une dernière remarque est à effectuer au niveau du nombre d’itérations. En
effet dans ce cas l’étude est stationnaire, il est donc nécessaire d’avoir un grand nombre
d‘itérations pour obtenir un résultat convergé.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
18 / 39
Le cas de la TUYERE
La tuyère a été dessinée grâce à un mailleur basique à partir des données
géométriques données par une étude déjà menée par M. Mason, L. Putnam et R. Re [5] sur
cette tuyère. Dans ce cas, le Mach en entrée (Minf) est de 0,22 et la direction de la vitesse en
entrée (Vinf) est horizontale. Le maillage appliqué dans ce cas est un maillage 2D de taille 200
x 60.
Figure 7: Maillage 200x60 Tuyère
Les conditions aux limites
Pour la partie inférieure de la tuyère, une condition de symétrie est utilisée. A la
paroi supérieure, la pression est extrapolée et on utilise une condition miroir pour les
vitesses.
Les conditions d’entrée sont directement appliquées aux cellules fantômes à partir de
l’entropie totale et l’enthalpie totale à l’infini :
(4.1)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
19 / 39
La pression est extrapolée à partir des deux premières valeurs dans le domaine :
(4.2)
Le champ est alors défini à partir de ces trois grandeurs :
(4.3)
(4.4)
La sortie de la tuyère étant supersonique, on recopie le champ aux mailles fantômes.
Le champ de densité et de vitesse sont définis comme suit :
(4.5)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
20 / 39
Résultats
Figure 8: Diagramme des contours de pression obtenu après 2000 itérations
Ce premier résultat est issu d’un calcul bogué. En effet au bout d’environ 2000
itérations, le code stoppe le calcul et donne ce résultat. La première remarque à faire est
l’apparition d’un d’une discontinuité de détente (non physique) au niveau du col de la
tuyère. Ce phénomène n’est pas normal. Il faut donc envisager de mettre une correction
d’entropie dans le code utilisé.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
21 / 39
Correction de Harten
Suite au résultat obtenu précédemment, il a été décidé de mettre en place une
correction d’entropie afin de supprimer cette discontinuité de détente au niveau du col de la
tuyère. J’ai donc mis en place dan le code la condition de Harten.
Soit les matrices A et B telles que :
(4.6)
Avec
(4.7)
(4.8)
Pour pouvoir appliquer la condition de Harten, il est nécessaire de calculer les valeurs
propres de la combinaison des matrices A et B. Comme l’indique JF.Cabre *1+ et M. Vinokur
[2+, ces valeurs propres sont simples à calculer. En effet, l’association des matrices de type
Anx + Bny donne pour valeurs propres :
(4.9)
Avec
et le vecteur du module k.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
22 / 39
On calcule alors le rayon spectral comme étant le module de la troisième valeur
propre. Ainsi :
La condition de Harten intervient dans le critère CFL. Cette condition de stabilité
impose que la distance parcourue pendant le temps Δt par une perturbation se propageant à
la vitesse u+a soit en principe à la distance entre deux points du maillage. En coordonnées
curvilignes, le critère s’écrit alors :
(4.10)
Avec λ dépendant des métriques.
Ce critère permet de déterminer le pas de temps Δt permettant d’assurer un CFL
donné. La condition de Harten s’applique sur le CFL. Le CFL s’écrit alors :
(4.11)
Où є est un paramètre variable qui permet d’avoir une correction d’entropie plus ou
moins importante. En règle générale elle est de l’ordre de 0,001.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
23 / 39
Résultats
Figure 9: Iso-Profil de pression issu du dossier technique « An Improved Low Diffusion E-CUSP Upwind Scheme » p.29 [5]
Cette figure provient de l’étude menée par M. Mason, L. Putnam et R. Re [5]. On peut
y voir le choc qui s’est développé dans la tuyère, cependant on note bien la présence de
cette discontinuité de détente au niveau du col due à la non correction d’entropie.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
24 / 39
Figure 10: Profil du Mach dans la tuyère avec correction de Harten epsilon=0,001
Figure 11 : Choc au col non souhaité (entouré en rouge)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
25 / 39
La première remarque importante à faire est que le résultat est convergé et que
le calcul ne se stoppe pas. La condition de Harten corrige donc bien ce défaut de
discontinuité de détente et permet au calcul de se développer et de converger.
On peut aussi noter dans un deuxième temps l’importance du coefficient epsilon.
En effet, dans la première simulation numérique (figure 8), le paramètre epsilon était de
0.001. On remarque que le choc se développe bien dans la tuyère et que le résultat
converge, cependant on note au niveau du col la présence de cette discontinuité de détente
qui n’est pas physiquement possible (figure 9). Il est donc nécessaire d’augmenter ce
paramètre epsilon afin de faire disparaitre ce phénomène.
Figure 12: Profil du Mach dans la tuyère avec correction de Harten epsilon=0,01
Dans ce cas on peut voir que le phénomène non physique a totalement disparu.
Le coefficient epsilon est donc adapté et permet d’avoir la solution physiquement possible.
On peut donc maintenant à partir de ce résultat comparé les valeurs obtenues
avec celles de l’étude menée par M. Mason, L. Putnam et R. Re [5].
La documentation NASA fournissait une courbe représentant le Cp au niveau de
la paroi. Nous allons donc pouvoir comparer ce résultat avec celui issu de notre simulation.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
26 / 39
Figure 13: Profil du Cp à la paroi issu du dossier technique « An Improved Low Diffusion E-CUSP Upwind Scheme » p.30 [5]
Figure 14 : Profil de pression à la paroi issu de la simulation numérique
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
27 / 39
Même si les grandeurs comparées ne sont pas les mêmes, on peut remarquer la
présence d’une détente non physique de forte intensité toujours présent au niveau du col (la
variation de pression y est très importante). Ce phénomène est surement du à la géométrie
de la tuyère. En effet la rupture de pente au niveau du col est très importante. De ce fait la
simulation numérique est très difficile dans cette zone.
Deuxième remarque, les chocs présents dans la tuyère sont dans les 2 cas situés
sur la même abscisse. Le résultat obtenu par notre code concorde donc bien avec celui
obtenu dans l’étude *5].
Correction d’entropie (réf. Thèse K. Khalfallah)
Variables et flux d’entropie
Soit le système d’équation d’Euler en coordonnées curvilignes :
(4.12)
Avec :
(4.13)
et :
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
28 / 39
La loi d’état est celle des gaz parfaits p = ( -1) ρe avec E= e + 1/2 (u²+v²). Le vecteur
des variables entropiques associées à ce système est :
(4.14)
Où S est l’entropie physique, S = ln (p/ρ ).
Le flux d’entropie s’écrit respectivement pour chaque direction d’espace :
En maillage curviligne l’écriture de ces flux fait alors intervenir les termes de
métriques. Ainsi :
(4.15)
(4.16)
La correction d’entropie
La correction d’entropie s’écrit de la même manière dans les 2 directions. Soit notre
schéma numérique :
(4.17)
Fp étant le flux numérique principal de notre schéma. Le schéma corrigé s’écrit alors :
(4.18)
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
29 / 39
Où Qc est le flux de la correction d’entropie. Qc s’écrit sous la forme générale
suivante :
(4.19)
α étant un scalaire construit de la façon suivante :
si (q – q*)i+1/2,j ≥ 0 ou pe ≤ є
alors
α = 0
sinon
α = 2 max (qef,0) / pe
fin si
є est une très petite valeur (10-12), et :
(4.20)
Il reste à expliciter la quantité (q – q*)i+1/2,j. Elle est telle que :
(4.21)
Les formules ci-dessus sont explicitées dans une seule direction. Elles sont identiques
dans l’autre direction à l’indice près (permutation de i et j).
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
30 / 39
Résultats
Figure 15: Comparaison du nombre de Mach à la paroi entre les deux corrections d entropie
Figure 16: Zoom sur le nombre de Mach au col de la tuyère
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
31 / 39
Les résultats obtenus grâce aux deux corrections d’entropie sont quasiment les
mêmes. Cependant, un résultat remarquable reste à noter. En effet si l’on regarde le profil
du nombre de Mach à la paroi supérieure de la tuyère, on s’aperçoit que la discontinuité de
détente à complètement disparue, même à la paroi. En effet, il n y a plus la rupture de pente
présente dans le cas de la correction de Harten. De plus, contrairement au résultat obtenu
par la correction de Harten, le régime devient sonique au niveau du col de la tuyère (dans le
cas de la correction de Harten, le régime était déjà supersonique au niveau du col). Enfin, on
s’aperçoit que les « pics » ont quasiment la même intensité ce qui est plus normal que la
solution obtenue par la condition de Harten.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
32 / 39
Etude des paramètres de calcul et comparaison
avec d’autres schémas
Influence du maillage
Figure 17: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère suivant le raffinement de maillage
Cette figure montre bien la dégénérescence de la solution lorsque le maillage devient
de plus en plus grossier notamment pour la capture des chocs. En effet les phénomènes de
chocs sont difficilement représentés lorsque le maillage est trop grossier.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
33 / 39
Influence du limiteur
Figure 18: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère avec et sans limiteur
La figure ci-dessus montre bien l’importance du limiteur notamment ici aux
discontinuités. En effet, vu que l’on travaille avec des schémas d’ordre élevé, des oscillations
sont présentes notamment ici aux niveaux des discontinuités. Ces oscillations jouent un rôle
important au niveau de l’erreur de la solution. Ce résultat justifie bien l’emploi des limiteurs
TVD ou MP.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
34 / 39
Influence de l’ordre du schéma
Figure 19: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère Ordre 2 / Ordre 11
La figure ci-dessus montre l’influence de l’ordre du schéma sur le résultat obtenu. Dans
ce cas on compare le schéma OSMP d’ordre 2 avec celui d’ordre 11. On remarque que la
différence de résultat se fait sur la partie où interviennent les chocs. L’ordre 2 donne des
résultats plus oscillants notamment au niveau des « pics » des chocs. On voit donc
l’importance d’avoir un schéma d’ordre élevé pour la capture des chocs la plus précise
possible. Cependant, le schéma d’ordre 2 donne des résultats tout à fait satisfaisants.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
35 / 39
Comparaison avec le code PHOENIX
Il a été décidé en dernier lieu de comparer les résultats obtenu par notre code avec le
code PHOENIX et en utilisant le schéma de JAMESON.
Figure 20 : Comparaison du profil de pression à la paroi de la tuyère OSMP11 / Jameson
On s’aperçoit ici que notre schéma capte ici bien mieux les chocs que le schéma
Jameson qui donne un résultat oscillant juste avant le choc. On décide alors dans un
deuxième temps d’augmenter le coefficient de viscosité numérique dans le code PHOENIX,
afin de réduire ces oscillations. Ce cas est représenté figure 19. On voit que les oscillations
avant choc ont diminué. Cependant on peut noter une perte de précision de la solution
numérique obtenue. En effet même si l’allure générale du Mach se rapproche de la solution
obtenue grâce à notre code, les deux courbes ne se superposent plus mais au contraire ont
tendance à s’éloigner au fur et a mesure que l’on augmente ce coefficient de viscosité.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
36 / 39
Figure 21: Comparaison du Mach à la paroi avec coefficient de viscosité numérique élevé
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
37 / 39
Conclusion
Suite à la première étude menée l’année dernière, des améliorations ont été
apportés cette année sur ce code. Tout d’abord l’écriture des métriques et du jacobien a été
revue et corrigée ce qui à permis d’avoir des résultats plus cohérents comme l’on a pu le
constaté sur le cas tes du BUMP.
Il a été ensuite nécessaire d’implanter dans le code une correction d’entropie. Après
avoir mis en place la correction de Harten dans notre code et avoir obtenu des résultats
satisfaisants, il a été décidé que la correction d’entropie s’appuyant sur la thèse de
K.Khalfallah était plus judicieuse. Ainsi, les résultats sur le cas de notre tuyère furent de
meilleure qualité.
J’ai enfin testé notre schéma en modifiant divers paramètres (ordre, maillage,
limiteur), puis en le comparant à d’autres codes, pour prouver son efficacité. Il en est
ressorti des résultats positifs et encourageants pour la suite du développement de ce code.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
38 / 39
Perspectives du projet
Dans un premier temps il faudra tester le code dur des cas instationnaires. En effet, le code n’a
été testé que sur des cas stationnaires jusqu’ici. Il faudra donc regarder son comportement sur le cas
de notre tuyère en mettant un Mach variable en entrée par exemple.
On pourra alors dans un deuxième temps étendre l’étude à des cas de tuyères plus complexes pour
valider ce code.
Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal
39 / 39
BIBLIOGRAPHIE
[1] Jean-François CABRE, "Calcul d'écoulements instationnaires dans des tuyères par des schémas de
haute précision," Paris, Projet de Master 2010.
[2] Marcel VINOKUR "An analys of finite-difference and finite-volume formulations of conservation
laws," Review article, Journal of computanional physics 81, 1-52 1989, p.20.
[3] Sébastien COCHON, "Etude et validation des schémas RBC développés dans ELSA" Paris, Projet de
Master recherche, 2009.
[4] Kamel KHALFALLAH, "Conditions de monotonie et d'entropie et applications à une méthode
implicite centrée pour les équations d'Euler à grand Mach,"Paris, These de doctorat 1990.
[5] Mary L. Mason, Lawrence E. Putnam, Richard J. Re., "The effect of throat coontouring on two-
dimensional converging-diverging nozzles at static conditions," NASA technical paper 1704, 1980.
[6] Ge-Cheng Zha, Yiqing Shen, Baoyuan Wang, "An Improved Low Diffusion E-CUSP Upwind
Scheme”, Technical note to Computers and Fluids, pp 29,30 .
[7] Vuillot, Couailler, and Liamis, AIAA Paper 93-2576, 1993.