Bienvenue sur la présentation de la dérivée de la composée de
deux fonctions dérivables
Présenté par Guillaume Delestrait.
Calcul de la dérivée
• Prenons 2 fonctions dérivables f et g.
• Quand on observe le domaine de la fonction g o f, on constate que le taux d ’accroissement de la fonction est:
(g o f)(x) - (g o f)(a)
m(x) =
x - a
• Multiplions cette fonction par un 1 bien choisi:
g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)
m(x) = .
x - a f(x) - f(a)
Ce qui nous donne:
g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)
m(x) = .
f(x) - f(a) x - a
• La dérivée de la fonction g o f en a est le nombre:
g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)
(gof)’(a) = lima . lima
f(x) - f(a) x - a
En la travaillant un peu, nous obtenons:
g(x) - g[f(a)] f(x) - f(a)
(gof)’(a) = limf(a) . lima x - f(a) x -a
• Et en considérant que:
lim x a = lim f(x) f(a) = lim X f(a)
• Nous pouvons écrire que:
(gof)’(a) = g’[f(a)] . f’(a)
• Comme f ’(a) est la dérivée de f calculée en a , nous en déduirons que g ’[f(a)] est la dérivée de g calculée en f(a).
• Nous en déduirons donc que:
(gof)’(x) = g’[f(x)] . f’(x)