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Bienvenue pour18 PC de MEC431

• B. Audoly - audoly(at)lmm.jussieu.fr

• Chercheur CNRSLabo de modélisation en mécanique (Jussieu)

• Intérêts scientifiques : formes et élasticité

• http://www.lmm.jussieu.fr/~audoly

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Calcul tensorielMEC431 - TD n°1 - 23 août 2006

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Notation

• Convention d’Einstein• Sommation implicite si indice répétés du même côté

du signe égal

• Les indices non répétés sont muets

• Symbole de Kronecker• si

• si

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Rappels

• Espace euclidien de dimension

• Objets connus d’algèbre linéaire :• vecteur

• endomorphisme

• forme linéaire

• forme bilinéaire

• forme quadratique

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Rappels

• Base

• Décomposition sur la base :

• Formes de coordonnées• Caractérisation

• NB: chaque dépend de tous les

• Dualité • Forme linéaire associée naturellement à

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Base duale

• Par ce qui précède, on peut construire

• Concrètement,

• Dans toute la suite, on considère une base orthonormée• Base et base duales sont confondues

• On peut alors identifier vecteurs et formes linéaires par dualité

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Produit externe

• Forme bilinéaire, notée , associée naturellement à deux formes linéaires et

• Les formes bilinéaires forment une base permettant de décomposer toute forme bilinéaire

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Espacedes forme bilinéaires

• Noté , car engendré par les

• Décomposition • Les composantes sont dans cette base

• Décomposer le tenseur associé à la métrique

• Calculer en coordonnées

• Calculer en coordonnées la transposée

• Comparer et • Toute forme bilinéaire peut-elle s’écrire sous la forme ?

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Extensionaux endomorphismes

• Par dualité, on peut identifier endomorphismes et formes bilinéaires• À on associe

• Propriétés• Les coordonnées de sont les éléments de matrice

• Décrire l’action de l’endomorphisme

• Si est une deuxième base orthonormale, interpréter l’endomorphisme

• Montrer que n’est autre que

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Formes trilinéaires

• Même histoire• On définit le produit externe

• L’espace des formes trilinéaires a pour base

• Décomposition d’une forme trilinéaire en coordonnées (trois pattes, coordonnées)

• On peut identifier par dualité les formes trilinéaires et, par exemple, les applications bilinéaires à valeurs dans

• Exemple : l’opérateur produit vectoriel

• Exercice : calculer les composantes du tenseur associé ,appelé tenseur de permutations

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Généralisation :les tenseurs

• Tenseur d’ordre 0• représente un scalaire

• Tenseur d’ordre 1• représente un vecteur ou une forme linéaire

• Tenseur d’ordre 2• représente une forme bilinéaire, un endomorphisme

• …

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Changement de base

• Exemple d’un tenseur d’ordre deux• Le même tenseur est représenté dans les bases

orthonormées et par ses composantes et . Si le passage d’une base à l’autre est donné par

alors les composantes se transforment selon

• Ces formules sont déjà connues

• Le raisonnement s’applique à tout type de tenseur

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Opérationssur les tenseurs

• Contraction

• Trace

• Produit doublement contracté

• Produit externe

• Transposée

• Déterminant

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Contraction• Motivation : calculer en coordonnées

• Produit contracté• Généralise la trace

• Rendre égaux le dernier indice du premier tenseur et le premier indice du deuxième puis sommer. On obtient un tenseur de rang p+q-2 à partir de tenseurs de rang p et q

• Comme la trace, l’opération est indépendante du repère

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Contraction

• Autres contractions• Contraction (interne)

• Part d’un tenseur d’ordre pour produire un tenseur d’ordre

• Si , il faut spécifier les indices concernés

• Produit doublement contracté

• Par défaut, on contracte les indices extérieurs d’une part et les indices intérieurs d’autre part, par exemple

• Trace

• La trace est une double contraction

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Produit externe

• Définition sur un exemple plus général• Définition

• En coordonnées,

• Bilinéaire et associatif mais non commutatif

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Transposée

• Déjà défini pour un tenseur d’ordre 2

• Pour un tenseur d’ordre supérieur, il faut spécifier les deux indices concernés par l’inversion

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Déterminant

• C’est le déterminant de l’endomorphisme associé au tenseur…• et donc le déterminant de la matrice contenant les

composantes du tenseur

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Exercices• Etablir, calculer ou répondre

• Calculer et

• étant unitaire, interpréter

• à quelle condition sur les représente-t-il une rotation ?

• Donner le tenseur représentant la projection sur le plan

• et

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Calcul différentielsur les tenseurs

• On considère des champs tensoriels, tels que ou

• On aimerait pouvoir généraliser• le gradient

• la divergence

• le théorème de la divergence

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Gradient• Gradient d’un champ scalaire

• En tout , on considère l’application linéaire tangente

• Par dualité, cette forme linéaire est représentée par un vecteur, qui n’est autre que le gradient

• Généralisation : gradient d’un champ vectoriel• L’application linéaire tangente est maintenant représentée par

un endomorphisme

• Etablir alors, en repère cartésien,

• NB: l’indice correspondant à la dérivée est le dernier

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Exercices

• Calculer• et , où désigne la base cylindrique

• , où est un champ scalaire et un champ vectoriel

• Considérer le cas particulier où eten coordonnées cylindriques

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Théorème de la divergence• Définition de la divergence

• C’est le gradient contracté sur les deux derniers indices

• Cas d’un champ de vecteur

• Cas d’un tenseur de rang plus élevé

• Théorème de la divergence (champ continu)

• Version connue

• Tenseur de rang plus élevé (preuve immédiate, fixer les premiers indices)

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Conclusion• Outil pratique, rien de bien difficile

• Rester aux matrices ? Oui mais :• Pas pratique en présence de rotations

• Attention aux dérivées des vecteurs du repère s’il tourne

• Prolongements• Géométrie différentielle

• Robert M. Wald, General Relativity

• Nakahara, Geometry and Physics


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