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Analyse théorique et numérique des conditions deglissement pour les fluides et les solides par la

méthode de pénalisation

Thèse

Ibrahima Dione

Doctorat en MathématiquesPhilosophiæ doctor (Ph.D.)

Québec, Canada

© Ibrahima Dione, 2013

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Résumé

Nous nous intéressons aux équations classiques de Stokes et de l’élasticité linéaire stationnaires,posées dans un domaine Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) de frontière ∂Ω courbe et régulière, associées à desconditions de glissement et de contact idéal, respectivement. L’approximation par élémentsfinis de tels problèmes est délicate en raison d’un paradoxe de type Babuška-Sapondžyan : lessolutions dans des domaines polygonaux approchant le domaine à frontière courbe et régulièrene convergent pas vers la solution dans le domaine limite.

L’objectif de cette thèse est d’explorer l’application de la méthode de pénalisation à ces condi-tions de glissement dans le but, notamment, de remédier à ce paradoxe. C’est une méthodeclassique et très répandue en pratique, car elle permet de travailler dans des espaces sanscontraintes et d’éviter par exemple l’ajout de nouvelles inconnues comme dans la méthode desmultiplicateurs de Lagrange.

La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude numérique en 2D de différents choixd’éléments finis et, surtout, de différents choix de l’approximation de la normale au borddu domaine. Avec la normale (discontinue) aux domaines polygonaux Ωh engendrés avec lesmaillages de Ω, les solutions par éléments finis ne semblent pas converger vers la solutionexacte. En revanche, si on utilise des régularisations de la normale, des éléments finis isopa-ramétriques de degré 2 en vitesse (déplacement pour l’élasticité) ou une sous-intégration duterme de pénalisation, on observe une convergence, avec des taux optimaux dans certains cas.

Dans une seconde partie, nous faisons une analyse théorique (en dimensions 2 et 3) de laconvergence. Les estimations a priori obtenues permettent de dire que même avec la normalediscontinue aux domaines polygonaux, l’approximation par éléments finis converge vers lasolution exacte si le paramètre de pénalisation est choisi convenablement en fonction de lataille des éléments, démontrant ainsi que le paradoxe peut être évité avec la méthode depénalisation.

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Abstract

We are interested in the classical stationary Stokes and linear elasticity equations posed in abounded domain Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) with a curved and smooth boundary ∂Ω, associated withslip and ideal contact boundary conditions, respectively. The finite element approximationof such problems can present difficulties because of a Babuška-Sapondžyan’s like paradox:solutions in polygonal domains approaching the smooth domain do not converge to the solutionin the limit domain.

The objective of this thesis is to explore the application of the penalty method to these slipboundary conditions, in particular in order to overcome this paradox. The penalty method isa classic method widely used in practice because it allows to work in functional spaces withoutconstraints and avoids adding new unknowns like with the Lagrange multiplier method.

The first part of this thesis is devoted to the 2D numerical study of different finite elementschoices and, most importantly, of different choices of the approximation of the normal vectorto the boundary of the domain. With the (discontinuous) normal vector to polygonal domainsΩh generated with the meshing of Ω, the finite element solutions do not seem to converge to theexact solution. However, if we use a (continuous) regularization of the normal, isoparametricfinite elements of degree 2 for the velocity (or the displacement for elasticity) or a reducedintegration of the penalty term, convergence is obtained, with optimal rates in some cases.

In a second part, we make a theoretical analysis (in dimensions 2 and 3) of the convergence.The a priori estimates obtained allow to say that even with the (discontinuous) normal vectorto polygonal domains, the finite element approximation converges to the exact solution whenthe penalty parameter is selected appropriately in terms of the size of the elements, showingthat the paradox can be circumvented with the penalty method.

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Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des figures xi

Remerciements xvii

Avant-propos xix

Introduction 10.1 Résultats de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2 Revue bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 Stokes equations with penalized slip boundary conditions 191.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 The penalty method and its variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Finite element approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Finite element approximations of the Lamé system with penalized idealcontact boundary conditions 432.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Penalty method and convergence analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5 Finite element approximation in the polygonal case : convergence analysis . . . 502.6 Finite element approximation in the case of a smooth curved boundary . . . . . 522.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Penalty - finite element approximation of Stokes equations with slip boun-dary conditions 63

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3.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4 Penalty method and convergence analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5 Finite-element approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.6 A priori estimates in terms of ε and h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.7 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Conclusion 87

Bibliographie 89

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Liste des tableaux

1.1 Errors using the geometric normal to the boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2 Errors using the geometric normal and a reduced integration (1-point Gauss qua-

drature) of the boundary penalty term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3 Errors using the regularized normal based on arithmetic means . . . . . . . . . . . 321.4 Errors using the regularized normal based on weighted means . . . . . . . . . . . . 331.5 Errors using the regularized normal based on integral weighted means . . . . . . . 331.6 Errors using a smooth continuous extension on ∂Ωh of the normal n to the true

boundary ∂Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with thegeometric normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with Geo-metric normal and reduced integration (1-point Gauss quadrature). . . . . . . . . . 58

2.3 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with theregularized normal using arithmetic means. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with theregularized normal using length means. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with theregularized normal using integral means. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6 Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with asmooth continuous extension of n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1 Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = 10−2 h2/3 . . . . . . . . . . . . 803.2 Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = 10−2 h . . . . . . . . . . . . . 803.3 Errors with nh := n Gh and ε(h) := h

32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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Liste des figures

0.1 Les bords ∂Ω et ∂Ωh et leur normale n et nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2 Schéma de la stratégie adoptée pour l’analyse de convergence du problème de Stokes

P ((u, p),f) = 0 par la méthode de pénalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3 Triangulation linéaire du domaine Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.4 Triangulation quadratique du domaine Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.5 Erreurs obtenues avec Taylor-Hood par les différentes normales et ε = 10−8. . . . . 120.6 Erreurs obtenues avec la normale nh à la frontière ∂Ωh et ε(h) = c h2/3. . . . . . . 130.7 Une suite de domaines polygonaux (Ωm), m ∈ N (m étant le nombre de coins),

convergeant vers le domaine régulier Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1 Smooth domain Ω, its approximation Ωh (left) and its linear triangulation (right). 341.2 P1+ bubble (up) and P2 (bottom) finite elements on a linearly meshed domain Ωh. 341.3 P2 finite element on a quadratically meshed domain Ωh. . . . . . . . . . . . . . . . 351.4 Discontinuity at vertices for the normal vector to a piecewise linear boundary ∂Ωh

(up) and to a piecewise quadratic boundary ∂Ωh (bottom). . . . . . . . . . . . . . 351.5 The choice of normal vectors at corners. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6 Smooth domain Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.7 Coarse mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8 Velocity field approximation uεh obtained with Taylor-Hood elements on a linear

triangulation with the geometric normal vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.9 Exact velocity field (1.31) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.10 Graphs of the error ‖∇u − ∇uεh‖0,Ω + ‖p − pεh‖0,Ω for each choice of nh. Finite

elements used : Mini on linear triangulations (red), Taylor-Hood on linear triangu-lations (blue), Taylor-Hood on quadratic triangulations (orange) . . . . . . . . . . 40

1.11 Coarse and refined meshes of the computational domain . . . . . . . . . . . . . . . 411.12 Velocity field approximation uεh around the obstacle obtained with Taylor-Hood

elements, on a linear triangulation with the geometric normal vector (upper left),on a quadratic triangulation (upper right), on a linear triangulation with a reduced1 point Gauss quadrature rule (bottom left), and on a linear triangulation with acontinuous regularization of the normal to ∂Ωh (bottom right). . . . . . . . . . . . 41

1.13 Velocity field approximation uεh obtained with Taylor-Hood elements on a lineartriangulation using a reduced 1 point Gauss integration of the penalty term, onthe coarse mesh (up) and on the finer mesh (bottom) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1 Smooth domain Ω, its approximation Ωh (left) and its linear triangulation (right). 602.2 Smooth domain Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3 Left : coarse mesh ; right : first refined mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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2.4 Left : displacement field approximation uh using P2 elements on a linear triangu-lation with the geometric normal vector ; Right : values of the exact displacementfield u at the same nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1 A sequence of polygonal domains (Ωm)m>0 converging to a smooth curved domainΩ, m being the number of vertices (inspired from [25], Chap. 1) . . . . . . . . . . 81

3.2 An example of definition of nh at vertices from the normals of adjoining faces . . . 813.3 Smooth domain Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.4 Coarse mesh of the computational domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5 Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = c h2/3 for different values of c 833.6 Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = c h for different values of c . . 843.7 Errors with nh := n Gh and ε(h) := h

32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

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À la mémoire de ma mère,Téning Diouf.

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La théorie, c’est quand on saittout et que rien ne fonctionne. Lapratique, c’est quand toutfonctionne et que personne nesait pourquoi. Ici, nous avonsréuni théorie et pratique : Rienne fonctionne... et personne nesait pourquoi !

Albert Einstein

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Remerciements

Je tiens à exprimer ma reconnaissance et mes sincères remerciements à mon directeur dethèse, le Professeur José Manuel Urquiza, pour son appui constant aussi bien académique quefinancier durant ce travail. Ses suggestions et conseils avisés ont inspiré une bonne partie decette thèse. Merci pour son intégrité, sa disponibilité et son sens de la pédagogie.

Je tiens également à remercier mon codirecteur de thèse, le Professeur André Fortin, pourson soutien académique et financier. Mr Fortin a véritablement donné une continuité à macarrière en m’acceptant au sein du laboratoire GIREF (Groupe Interdisciplinaire de Rechercheen Éléments Finis), me permettant ainsi de faire une thèse dans la discipline qui me passionneet dans d’excellentes conditions.

Je remercie mes Professeurs de l’université Gaston Berger de Saint-Louis en l’occurrence leProfesseur Mary Teuw Niane, actuel ministre de l’enseignement supérieur du Sénégal, pour lesenseignements prodigués et pour m’avoir recommandé à l’I.C.T.P. (International Center forTheoretical Physics), les Professeurs Mamadou Sy et Abdou Sène pour leurs enseignementset conseils.

Mes remerciements s’adressent aussi à mes Professeurs de l’université Laval en l’occurrence leProfesseur Frédéric Gourdeau, directeur du Département de Mathématiques et de Statistique,de m’avoir donné la chance d’enseigner au sein de ce département, et le Professeur RobertGuénette, directeur de 2 et 3ieme cycle du Département de Mathématiques et de Statistique,pour les échanges enrichissant durant ses cours que je dépannais ou pendant les cours quej’enseignais dont il était le responsable.

J’associe à mes remerciements les professionnels du GIREF en particulier Cristian Tibirna,Jean Deteix et Eric Chamberland, pour leur disponibilité et les échanges constructifs. Je n’ou-blie pas dans mes remerciements mes collègues étudiants du GIREF, pour tous ces momentspassés ensemble, je veux nommer Patrick Lacasse, Aymen Jendoubi, Benoit Pouliot, SophieLéger, Thomas Briffard et Christian Tye Gingras. Merci et bonne retraite à Sylvie Lambertdont le travail dans l’ombre a permis au GIREF d’être une belle famille.

Mes remerciements vont aussi en l’endroit du personnel du Département de Mathématiques etde Statistique de l’université Laval, notamment à Sylvie Drolet, Michel Lapointe et Suzanne

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Talbot pour leur disponibilité et leur assistance constante.

Je tiens à remercier les Professeurs Miguel Ángel Fernández, André Garon et Robert Guénetted’avoir pris de leur temps pour lire ce travail et d’être membre du jury de thèse. Ce fût ungrand honneur pour moi.

Un merci très sincère à un ami, un frère, le Magistrat Papa Abdoulaye Dondé pour sa constanteassistance, ses conseils, mais aussi et surtout son sens de la responsabilité que je vénère en lui.

Je porte une pensée particulière au Docteur Babacar Toumbou qui a guidé mes premiers pasà l’université Laval, et au Doctorant Adama Souleymane Kamara dont les remarques m’ap-portent toujours un plus. Connaissant leurs capacités intellectuelles et leur sagacité d’esprit,j’ai beaucoup plaisir à échanger avec eux. L’humilité et La modestie permanentes qu’ils in-carnent, font d’eux des modèles à ma modeste personne.

J’exprime une profonde reconnaissance à un ami, l’Analyste Financier Mbaye Thiaba Mbaye.Mr Mbaye et sa femme, Marième Traoré Mbaye, m’ont apporté durant tout ce travail unsoutient incommensurable. Les mots sont insuffisants pour leur exprimer ma gratitude.

Si j’ai pu arriver à bout de ce travail, c’est grâce à un environnement social harmonieux etpropice au plein épanouissement intellectuel, instauré et partagé par des amis et de vrais, jeveux citer Alpha Diallo et Madame Sokhna Fatou Niang Diallo, Maty Diop, MouhamadouDiaby, Déborah Diandy, Michel Diémé, Bamba Sarr, Zanin Kavazovic, Boubacar Ndiaye, IbouNiang, Papa Samba, Djiby Ndiaye, Mame Fama Diakhoumpa, Moussa Tine, Amadou CherifDiouf, Fodé Tounkara. À toutes et à tous, je dis Merci pour autant de soutient et de générosité.

Mes plus chaleureux remerciements s’adressent à toute ma famille, mes frères et soeurs MalickDione, Djibril Dione (Fo Ndéb 1), Djibril Dione (Fo Mãk 2), Cheikh Tidiane Dione, AminataDione et Fatoumata Dione, à mon père et à ma tante Mamadou Dione et Fatou Marone. Votresoutien permanent a fait que je n’ai pas senti le fardeau que pût représenter ce travail. C’est unprivilège de naître dans cette famille où les parents ont un sens profond de la responsabilité.

J’adresse un remerciement exceptionnel à l’aîné de la famille Djibril Dione (Fo Mãk) qui étaità la fois un frère et une mère, et a toujours veillé en ce qu’il ne me manque rien. Je ne sauraiste remercier assez pour tout ce que tu as fait pour moi, mais aussi de ton abnégation et deton sens de la responsabilité envers la famille.

Ce travail est exclusivement dédié à ma défunte maman, Téning Diouf, qui m’a quitté lorsqueje n’avais que 12 ans, mais qui a su m’inculquer le culte du travail, de l’honnêteté et de laresponsabilité. Son sacrifice pour la famille est incommensurable. Que Dieu, le Tout Puissant,l’accueille dans son paradis.

1. Mot de la langue sérère qui signifie Le Petit.2. Mot de la langue sérère qui signifie Le Grand.

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Avant-propos

Ce travail est le fruit de quatre années de recherches et a fait l’objet de trois articles soumispour publication, dont deux sont acceptés. Chaque article est présenté sous la forme d’unchapitre.

Au chapitre 1, le titre de l’article s’intitule Stokes equations with penalized slip boun-dary conditions et les auteurs sont Ibrahima Dione, Cristian Tibirna et José M. Urquiza.Cet article a été accepté pour publication dans International Journal of Computational FluidDynamics en 2013. Dans celui-ci, on étudie numériquement l’approximation par la méthodedes éléments finis du problème de Stokes associé aux conditions aux limites de glissement. Lesconditions aux limites sont imposées par la méthode de pénalisation. L’utilisation de la nor-male discontinue au domaine polygonal approchant le domaine à frontière courbe et régulièrene semble pas donner une approximation convergente vers la solution exacte, et suggère la ma-nifestation du paradoxe de Babuška. En revanche, l’utilisation de régularisations de la normale,d’éléments isoparamétriques ou d’une sous-intégration du terme de pénalisation semblent êtredes remèdes au paradoxe et donnent des taux de convergence optimaux dans certains cas.

Au chapitre 2, le titre de l’article s’intitule Finite element approximations of the Lamésystem with penalized ideal contact boundary conditions et les auteurs sont IbrahimaDione et José M. Urquiza. Cet article a été accepté pour publication dans Applied Mathematicsand Computation en 2013. Ici, la même étude qu’au chapitre 1 est appliquée au système deLamé associé à des conditions aux limites similaires qui s’interprètent dans ce cas comme unecondition de non pénétration. Les résultats sont également sensiblement les mêmes.

Au chapitre 3, le titre de l’article s’intitule Penalty-finite element approximation ofStokes equations with slip boundary conditions et les auteurs sont Ibrahima Dione etJosé M. Urquiza. Cet article a été soumis pour publication dans Numerische Mathematik en2013. Dans cet article, nous démontrons théoriquement la convergence des approximationspar éléments finis définies dans l’article 1, notamment lorsqu’on utilise la normale discontinueau domaine polygonal approchant le domaine à frontière courbe, démontrant ainsi que laméthode de pénalisation permet d’éviter le paradoxe de Babuška. Nous démontrons égalementque l’utilisation d’une approximation plus régulière de la normale permet d’obtenir des tauxde convergence meilleurs, voire optimaux.

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Introduction

Les mathématiques ont souvent été inspirées par la résolution de problèmes pratiques quel’on essaie de comprendre. L’émergence des mathématiques appliquées comme discipline in-dépendante est relativement récente. C’est au lendemain de la seconde guerre mondiale quel’apparition des premiers ordinateurs a provoqué une révolution pour les mathématiques. Ona alors assisté à l’émergence de nouvelles branches que sont la modélisation mathématiqueet la simulation numérique. La modélisation mathématique se définit comme étant l’art dereprésenter (ou de transformer) une réalité physique en des modèles abstraits accessibles àl’analyse et au calcul. La simulation numérique est le processus qui permet de calculer surordinateur les solutions de ces modèles, et donc de simuler la réalité physique. Ces branchescaractérisant les mathématiques appliquées ont pris ces dernières décennies une importanceconsidérable dans tous les domaines des sciences et des applications industrielles (ou sciencesde l’ingénieur). La conception ainsi que l’analyse des méthodes de calcul numérique sur or-dinateur ont permis aux mathématiques appliquées de s’attaquer à des problèmes de plus enplus complexes et concrets, issus de motivations immédiates industrielles ou scientifiques. Lesmodèles mathématiques de la plupart des applications réelles sont constitués d’équations ditesÉquations aux Dérivées Partielles (E.D.P.), car composées de dérivées des fonctions inconnuespar rapport à plusieurs variables indépendantes.Dans cette thèse, on s’intéresse principalement à deux familles d’équations aux dérivées par-tielles du même type. Nous considérons tout d’abord les équations de Stokes, dans un domaineborné Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) de frontière courbe ∂Ω régulière, qui sont de la famille elliptique desE.D.P. de la mécanique des fluides et qui peuvent s’écrire

−∇ · T(u, p) = f , dans Ω, (1)

∇ · u = 0, dans Ω. (2)

Les équations (1)-(2) modélisent le mouvement permanent d’un fluide incompressible visqueuxconfiné dans Ω et soumis à une densité volumique f de forces extérieures dans l’hypothèse oùce mouvement est lent. Dans ce système, u est la vitesse du fluide et p sa pression. Le tenseurT est celui des contraintes défini par

T(u, p) := 2µD(u)− pI, D(u) :=1

2(∇u+∇ut), (3)

1

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où µ est la viscosité du fluide, D est le tenseur des taux de déformation et I est le tenseuridentité. Nous considérons aussi les équations de l’élasticité linéaire, qui sont de la familleelliptique des E.D.P. de la mécanique des solides et qui peuvent s’écrire

−∇ · T(u) = f , dans Ω. (4)

L’équation (4) décrit les petits déplacements u d’un solide élastique homogène et isotropesoumis à une densité volumique de force f dans Ω. Le tenseur des contraintes T est alorsdéfini par

T(u) := λ(∇ · u)I + 2µD(u), D(u) :=1

2(∇u+∇ut). (5)

Les coefficients λ et µ sont appelés coefficients de Lamé, et D est le tenseur des déformations.Dans le but de compléter ces équations aux dérivées partielles, des conditions appropriéesdoivent être prescrites à u sur la frontière ∂Ω. Nous supposons que la direction normale duchamp de vitesse (ou du champ de déplacement) et les directions tangentielles de la contraintesont nulles (pour simplifier la présentation) sur une partie ΓC de ∂Ω. Dans la littérature, cesconditions aux limites sont appelées les conditions de glissement pour le cas des fluides,

u · n = 0, sur ΓC , (6)

n · T(u, p) · tk = 0, k = 1 · · · , d− 1, sur ΓC , (7)

et conditions de contact idéal pour le cas des solides,

u · n = 0, sur ΓC , (8)

n · T(u) · tk = 0, k = 1, · · · , d− 1, sur ΓC . (9)

Pour des raisons d’unicité de la solution, nous complétons ces conditions par d’autres condi-tions de type Dirichlet ou Neumann sur le reste de la frontière.Les conditions de glissement peuvent servir à modéliser un fluide à une petite échelle (micro-fluidique) [45] ou des fluides turbulents (lois de paroi) [42].L’analyse des équations aux dérivées partielles (1)-(2) ou (4) auxquelles on associe respec-tivement les conditions aux limites (6)-(7) ou (8)-(9), se limite le plus souvent à l’étude del’existence, de l’unicité et de la régularité de leur solution car il est en général impossible d’ob-tenir explicitement la solution associée. Dans le but de calculer sur ordinateur les solutions deces modèles et donc de simuler la réalité physique représentée, il s’avère important de disposerde méthodes numériques qui permettent de construire une approximation uh de la solutionexacte u et d’évaluer dans une norme convenable l’erreur ‖u−uh‖ engendrée par cette substi-tution. On utilise la méthode des éléments finis qui s’appuie sur une formulation variationnellede ces problèmes, les rendant ainsi plus flexibles et accessibles au calcul sur ordinateurs. Uneformulation variationnelle considérée du système de Stokes et qui est une formulation mixte,consiste à trouver (u, p) ∈K ×M telle que

A(u,v) +B(v, p) = F (v), ∀v ∈K, (10)

B(u, q) = 0, ∀ q ∈M, (11)

2

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où les formes bilinéaires A(·, ·), B(·, ·) et la forme linéaire F (·) sont définies par

A(u,v) := 2µ

∫ΩD(u) : D(v) dx,

B(v, p) := −∫

Ωp∇ · v dx,

F (v) :=

∫Ωf · v dx.

Une formulation variationnelle du problème de l’élasticité linéaire est

A(u,v) = F (v), ∀ v ∈K, (12)

où la forme bilinéaire A(·, ·) et la forme linéaire F (·) sont définies par

A(u,v) := λ

∫Ω

(∇ · u)(∇ · v) dx+ 2µ

∫ΩD(u) : D(v) dx,

F (v) :=

∫Ωf · v dx.

Pour définir K, on considère l’espace fonctionnel V comme étant un sous espace de H1(Ω)

prenant en compte d’éventuelles conditions aux limites essentielles définies sur la partie ∂Ω\ΓC .Les sous-espaces admissibles K et M sont définis par

K :=v ∈ V : v · n = 0 sur ΓC

, (13)

M :=q ∈ L2(Ω) :

∫Ωq dx = 0

. (14)

La méthode des éléments finis consiste à remplacer les espaces des fonctions admissibles Ket M , qui sont de dimension infinie, par des espaces approchés de dimension finie Kh etMh constitués de fonctions polynômiales par morceaux définies sur des éléments (triangles,tétraèdres, · · · ) dont l’ensemble recouvre ou approche le domaine Ω. Comme Ω est supposéêtre à frontière courbe, cela passe donc par une approximation polygonale Ωh du domaine Ω,composée d’un ensemble de triangles (ou tétraèdres en dimension 3) éventuellement à facescourbes. Dans ce cas Ωh 6= Ω et les sommets de la frontière ∂Ωh de Ωh sont supposés être surla frontière ∂Ω. Ici, h désigne la taille "maximale" des éléments. Par suite, la forme approchéedu problème (10)-(11) est : Trouver (uh, ph) ∈Kh ×Mh tel que

Ah(uh,vh) +Bh(vh, ph) = Fh(vh), ∀ vh ∈Kh, (15)

Bh(uh, qh) = 0, ∀ qh ∈Mh, (16)

Ah(uh,vh) := 2µ

∫Ωh

D(uh) : D(vh) dx,

Bh(vh, ph) := −∫

Ωh

ph∇ · vh dx,

Fh(vh) :=

∫Ωh

fh · vh dx.

3

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Un point crucial à préciser est l’approximation de la condition essentielle u · n = 0 quipermettra de spécifier le sous-espace Kh. Le choix le plus naturel pour l’approximation de lanormale est la normale nh au domaine discret Ωh. Concrètement, le sous-espace Kh seraitdéfini par

Kh :=vh ∈ V h : vh · nh = 0 sur ΓhC

, (17)

où l’espace V h est une approximation de V composée de polynômes par morceaux dont ledegré sera défini par le choix de l’élément fini. Le principal obstacle au choix de cette normale,qui présente une discontinuité aux sommets de Ωh, est le paradoxe de Babuška (voir la souspartie 0.2.2). Dans [63], Verfürth établit que pour le choix de Kh en (17), où V h est constituéde polynômes de degré 2 (éléments P2), le système (15)-(16) est soumis à ce paradoxe et que lasolution de ce système ne converge pas vers celle du problème (10)-(11), mais converge plutôtvers la solution du problème auquel une condition de Dirichlet homogène (u = 0) est appliquée.Sa justification repose sur le fait que uh · nh = 0 sur ΓhC , implique uh(s) · nih(s) = 0 en toutsommet s reliant les faces Li, i := 1, 2, · · · , du domaine polygonal Ωh (voir FIGURE 0.1), cequi implique la condition de Dirichlet ponctuelle uh(s) = 0, en tout sommet s du domaineΩh puisque n1

h et n2h ne sont pas colinéaires. En d’autres termes, considérer la condition

essentielle uh · nh = 0 sur ΓhC dans l’espace d’approximation du champ de vitesse (ou dedéplacement), revient à ponctuellement appliquer une condition de Dirichlet homogène sur cechamp. Verfürth analyse donc le système (15)-(16) en choisissant des éléments quadratiquespour le champ de vitesse et des éléments linéaires pour la pression avec le choix de l’espaced’approximation

Kh :=vh ∈ V h : vh(s) · n(s) = 0, ∀ s ∈ N h

C

, (18)

où n est la normale à ∂Ω et N hC est l’ensemble des sommets de ∂Ωh sur ΓC . Malgré qu’il

impose la condition essentielle seulement aux sommets du domaine polygonal Ωh (et non pasaussi au milieu des arêtes des faces), Verfürth établit une estimation d’erreur sous optimaleen O(h1/2), en norme H1(Ω) pour le champ de vitesse et en norme L2(Ω) pour la pression.

Par la suite, Bänch et Deckelnick [6] établissent une estimation de convergence en O(h3/2),optimale dans le cas de domaines à la frontière courbe et régulière. Pour y arriver, ils imposentla condition essentielle vh ·n Gh = 0 sur les sommets du domaine Ωh ainsi qu’au milieu desfaces par le biais d’un homéomorphisme Gh défini de Ωh vers Ω. Précisons dès maintenantque cet homéomorphisme joue un rôle essentiel dans [6] ainsi que dans les démonstrations desrésultats théoriques obtenus dans cette thèse.

Une approche classique, dans le but de contourner les difficultés liées à l’imposition forte deconditions essentielles (en l’occurence la condition de glissement u · n = 0), est la méthodedes multiplicateurs de Lagrange [2]. Elle consiste à introduire une inconnue supplémentaire auproblème, le multiplicateur, afin d’aboutir à un problème sans contraintes. Cette méthode a

4

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s

n

n

n 2h

n1h

∂Ω

∂Ωh

L1 L2

Figure 0.1 – Les bords ∂Ω et ∂Ωh et leur normale n et nh.

été étudiée par Verfürth [64] dans le traitement de ces conditions de glissement. Il considèredonc le problème suivant : Trouver (u, p, ρ) ∈ V ×M × Z, tel que

A(u,v) +B(v, p)−∫∂Ωρ v · n ds = F (v), ∀v ∈ V , (19)

B(u, q)−∫∂Ωσ u · n ds = 0, ∀ q ∈M, ∀σ ∈ Z, (20)

où Z est l’espace dual H−1/2(∂Ω) de H1/2(∂Ω). L’auteur étudie donc l’approximation paréléments finis mixtes du système (19)-(20) en considérant sa forme discrète suivante : Trouver(uh, ph, ρh) ∈ V h ×Mh × Zh, tel que

Ah(uh,vh) +Bh(vh, ph)−∫∂Ωh

ρh vh · nh ds = Fh(vh), ∀vh ∈ V h, (21)

Bh(uh, qh)−∫∂Ωh

σh uh · nh ds = 0, ∀ qh ∈Mh, ∀σh ∈ Zh, (22)

où nh est la normale à la frontière ∂Ωh, et V h, Mh et Zh sont les espaces d’approximation deV , M et Z, respectivement. Il établit une estimation d’erreur en O(h) en norme H1(Ω) pourla vitesse u, en norme L2(Ω) pour la pression p et en norme H−1/2(∂Ω) pour le multiplicateurρ. Bien que très puissante, la méthode des multiplicateurs de Lagrange présente généralementdes inconvénients, dont le fait que l’espace du champ des vitesses doit balancer l’influence duchamp des multiplicateurs [64], inconvénient que va contourner d’ailleurs Verfürth dans [65]en ajoutant un terme stabilisateur dans la formulation variationnelle. De plus son applicationentraîne une augmentation de la taille du système à résoudre.

Dans cette thèse, on s’intéresse principalement à une autre méthode faible qui est la méthode depénalisation (voir section 0.2.1). Contrairement à la méthode des multiplicateurs de Lagrange,

5

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la méthode de pénalisation n’introduit pas de variable supplémentaire. Pour le problème deStokes (10)-(11), la forme pénalisée est : Trouver (uε, pε) ∈ V ×M , tel que

Aε(uε,v) +B(v, pε) = F (v), ∀v ∈ V , (23)

B(uε, q) = 0, ∀ q ∈M. (24)

Pour le problème de l’élasticité linéaire (12), la forme pénalisée s’écrit : Trouver uε ∈ V , telleque

Aε(uε,v) = F (v), ∀ v ∈ V . (25)

La forme bilinéaire Aε(·, ·) est définie par

Aε(w,v) := A(w,v) +1

ε

∫ΓC

(w · n)(v · n) ds. (26)

Le paramètre de pénalisation ε est destiné à tendre vers zéro et on s’attend à ce que la solutionpénalisée (uε, pε) tende vers (u, p), lorsque ε −→ 0.L’avantage des formulations variationnelles (23)-(24) et (25), comparées aux formulationsfaibles (10)-(11) et (12), réside dans l’espace des solutions admissibles du champ de vitesse oude déplacement qui n’est plus soumis à la contrainte u·n = 0. L’approximation par la méthodedes éléments finis de ces problèmes pénalisés s’écrit alors : Trouver (uεh, pεh) ∈ V h ×Mh telque

Aεh(uεh,vh) +Bh(vh, pεh) = Fh(vh), ∀ vh ∈ V h, (27)

Bh(uεh, qh) = 0, ∀ qh ∈Mh, (28)

pour les équations de Stokes, alors que pour le système de l’élasticité linéaire (25), elle s’écrit :Trouver uεh ∈ V h telle que

Aεh(uεh,vh) = Fh(vh), ∀ vh ∈ V h, (29)

Aεh(wh,vh) := Ah(wh,vh) +1

ε

∫ΓhC

(wh · nh)(vh · nh) ds. (30)

L’objectif de cette thèse consiste principalement à étudier la convergence des solutions desproblèmes discrets (27)-(28) et (29) vers celles des problèmes continus (10)-(11) et (12), res-pectivement, lorsque h −→ 0 et ε −→ 0. En particulier, des études à la fois numériques etthéoriques sont faites sur le choix de la normale à considérer au niveau du terme de pénalisa-tion dans (30) mais aussi sur les éléments finis à définir pour les espaces d’approximation V h

et Mh tout en tenant compte du fait que le domaine Ω est courbe et de frontière régulière.Pour la partie théorique, l’analyse de la convergence est effectuée en deux étapes : la conver-gence de la solution pénalisée vers celle du problème exact est d’abord étudiée (on établit que

6

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‖u − uε‖ + ‖p − pε‖ = O(ε)), et est suivie d’une estimation d’erreur du problème pénalisé(on établit une estimation de la forme ‖uε − uεh‖ + ‖pε − pεh‖ ≤ G(ε, h,f), où G est unefonction dépendant ε, h et f) (voir Figure 0.2). Par une inégalité triangulaire, on obtient uneestimation de la forme ‖u− uεh‖+ ‖p− pεh‖ ≤ ε+G(ε, h,f) . Notons ici que, comme uε etuεh (ou pε et pεh) ne sont pas définies sur les mêmes domaines (en l’occurence Ω et Ωh), auxfins de l’analyse nous définissons uεh = uεh G−1

h ( ou pεh = pεh G−1h ).

P ((u, p),f) = 0 E.D.P. exacte

[Pénalisation du problème

]

Pε((uε, pε),f) = 0 E.D.P. pénalisée

[Approximation numérique

]

Pεh((uεh, pεh),fh) = 0Approximation del’E.D.P. pénalisée

‖uε − uεh‖+ ‖pε − pεh‖ ≤ G(ε, h,f)

‖u− uε‖+ ‖p− pε‖ = O(ε)

Figure 0.2 – Schéma de la stratégie adoptée pour l’analyse de convergence du problème deStokes P ((u, p),f) = 0 par la méthode de pénalisation.

0.1 Résultats de la thèse

Les résultats établis dans cette thèse sont répartis en deux parties. Une série de résultatsnumériques, basée sur des choix de normales et d’éléments finis, est présentée au Chapitre 1et au Chapitre 2. Ils ont fait l’objet des articles [21] et [22], respectivement. Une meilleure

7

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compréhension de ces résultats numériques est finalement acquise, grâce à l’étude théoriqueprésentée au Chapitre 3 et qui est l’objet de l’article [23].

0.1.1 Résultats numériques 2D

• Choix des éléments finis : Le choix des éléments finis caractérisant les espaces V h etMh est une partie fondamentale dans l’approximation de ces problèmes. En particulierpour la formulation mixte du problème de Stokes, la paire d’espaces (V h,Mh) doit sa-tisfaire la fameuse condition inf-sup appelée LBB (Ladyžhenskaja-Babuška-Brezzi). Parailleurs, le choix est fortement lié à la triangulation du domaine Ω, puisque celle-ci peutêtre polygonale (pour une approximation linéaire de ∂Ω) ou poly-courbe (pour une ap-proximation quadratique de ∂Ω par exemple) si on utilise des éléments isoparamétriques,par exemple.

? Triangulation linéaire : Dans le cas d’une approximation linéaire (voir Figure 0.3),nous avons considéré deux types d’éléments finis dans l’étude des problèmes (27)-(28) et (29) : L’élément fini Mini (P 1 +Bulle−P 1) [1], où les espaces d’approxi-mations sont définis par

V h =vh ∈ (C0(Ωh))2 : vh|Ωe ∈ (P1(Ωe))

2 + VectBe,∀Ωe,vh|ΓhD= 0(31)

Mh =qh ∈ C0(Ωh) : qh|Ωe ∈ P1(Ωe),∀ Ωe,

∫Ωh

qh dx = 0, (32)

et l’élément fini Taylor-Hood (P 2 − P 1), où les espaces d’approximations sontdéfinis par

V h =vh ∈ (C0(Ωh))2 : vh|Ωe ∈ (P2(Ωe))

2,∀Ωe,vh|ΓhD= 0, (33)

Mh =qh ∈ C0(Ωh) : qh|Ωe ∈ P1(Ωe),∀ Ωe,

∫Ωh

qh dx = 0. (34)

Ici Pi(Ωe) est l’espace des polynômes définis sur le triangle ou tétraèdre Ωe et dedegré inférieur ou égal à i, VectBe est l’espace vectoriel engendré par la fonctionbulle Be, cubique et nulle au bord de l’élément et C0(Ωh) désigne l’ensemble desfonctions continues dans l’adhérence de Ωh. ΓhD est la partie de la frontière ∂Ωh

associée à la partie ΓD ⊂ ∂Ω\ΓC où une éventuelle condition de Dirichlet homogèneest appliquée.

? Triangulation quadratique : Dans le cas d’une approximation quadratique (voirFigure 0.4), l’élément fini de Taylor-Hood est seulement considéré, et les espacesd’approximations V h et Mh sont :

V h =vh ∈ (C0(Ωh))2 : vh Fe ∈ (P2(Ω))2, ∀Ωe,vh|ΓhD

= 0, (35)

Mh =qh ∈ C0(Ωh) : qh Fe ∈ P1(Ω),∀ Ωe,

∫Ωh

qh dx = 0, (36)

8

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∂Ω

∂Ωh

Figure 0.3 – Triangulation linéaire du domaine Ω.

où Fe est une transformation définie de l’élément de référence Ω vers l’élément Ωe.On peut ainsi remarquer que l’élément fini P1 pour la pression est surparamétrique.Rappelons que cette méthode d’éléments finis est dite isoparamétrique pour lavitesse car la transformation à partir de l’élément de référence est du même degréque l’espace des polynômes sur cet élément. Elle permet d’obtenir des résultatsde convergence optimaux par rapport à l’ordre d’interpolation des éléments finis(ordre 2 pour du P2) pour des domaines à frontière courbe (voir Ciarlet [15]).

∂Ω

∂Ωh

Figure 0.4 – Triangulation quadratique du domaine Ω.

• Choix de la normale nh : Dans le but d’obtenir une bonne approximation des solutionsdes problèmes continus (10)-(11) et (12), nous avons considéré différentes approximationsde la normale pour le terme de pénalisation dans (30) :

9

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? Normale à ∂Ωh : Pour une approximation linéaire ou quadratique du domaine Ω,où la frontière ∂Ωh est polygonale ou poly-courbe, cette normale est bien définie etlisse sur chaque face. Mais elle est discontinue aux sommets du domaine Ωh.

? Normale à ∂Ωh avec sous-intégration : La méthode de sous-intégration consiste,dans un schéma d’intégration, à prendre un nombre de points d’intégration inférieurà celui permettant au schéma d’approximer au mieux cette intégrale. Après le choixde la normale à ∂Ωh sur le terme de pénalisation en (30), nous y avons effectué unesous-intégration par la formule de quadrature de Gauss décrite par

1

ε

∫ΓhC

(uh · nh)(vh · nh) ds ≈ 1

ε

E∑e=1

G∑i=1

wei(uh(xei ) · nh(xei )

)(vh(xei ) · nh(xei )

),

où G (fixé à G := 1 ou G := 2) est le nombre de noeuds xei de la quadratureen chaque face, E est le nombre de faces constituant ΓhC et wei est le poids de laquadrature.

? Régularisation de la normale à ∂Ωh : Elle est construite à partir de la normaleà la frontière ∂Ωh, et est continue aux sommets de Ωh. Sa construction consisted’abord à considérer en chaque sommet s du domaine Ωh (où la normale à ∂Ωh estdiscontinue), une moyenne des différentes normales définies sur les faces partageantce sommet. Les différentes moyennes que nous avons considérées sontMoyenne Arithmétique :

nh(s) :=nh(s)

‖nh(s)‖, nh(s) :=

∑ΓhiC : s∈ΓhiC

nih (37)

Moyenne Pondérée :

nh(s) :=nh(s)

‖nh(s)‖, nh(s) :=

∑ΓhiC : s∈ΓhiC

Linih (38)

Moyenne par intégration :

nh(s) :=

∫ΓhCϕ · nΓhC

‖∫

ΓhCϕ · nΓhC

‖(39)

où nih est le vecteur normale unitaire à la face ΓhiC de longueur Li, ϕ est la fonctionde base associée au sommet s et ΓhC est la partie de la frontière ∂Ωh associée à ΓC .La normale régularisée à partir de ces moyennes, consiste tout simplement à considé-rer l’interpolation linéaire ou quadratique des valeurs ainsi définies sur les sommetset éventuellement celles aux milieux des faces.

? Extension régulière de la normale à ∂Ω : C’est un cas de normale régulière (conti-nue), mais contrairement aux précédentes cette normale est exclusivement construite

10

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à partir de celle au domaine Ω, c’est à dire la normale exacte n. Ici, nous cherchonstout simplement une extension régulière (continue) de celle-ci. On note l’extensiondéfinie dans [6], où un homoémorphisme Gh défini de Ωh vers Ω a été utilisé. Leprincipal inconvénient à l’utilisation de la normale n à la frontière ∂Ω est que pourles problèmes avec des interfaces ou avec un bord qui bougent, cette normale exacten’est pas toujours à notre disposition.

• Résultats : Les résultats numériques des articles [21] et [22] ont été obtenus en fixantune valeur très petite du paramètre de pénalisation (ε := 10−6, 10−7, 10−8) et une solu-tion manufacturée. La Figure 0.5 résume l’erreur en semi-norme de la vitesse |u− uh|1pour ces différentes normales avec l’élément fini Taylor-Hood.Avec le choix de la normale à la frontière ∂Ωh pour la triangulation linéaire du domaineΩ et les éléments finis Mini et Taylor-Hood, nous avons obtenu une mauvaise approxi-mation de la solution, qui ne semble pas converger vers la solution exacte (à l’erreur depénalisation près). Cela nous a longtemps laissé croire que la pénalisation n’est pas unremède au paradoxe de Babuška. Par contre, avec le même choix de normale et pourla triangulation quadratique Ωh (où les éléments finis isoparamétriques (35)-(36) sontutilisés), une convergence quadratique est obtenue.De même, avec une sous-intégration du terme de pénalisation dans (30) et une triangu-lation linéaire, nous observons une convergence, bien que sous-optimale.Finalement, on observe qu’un autre remède est d’utiliser des régularisations de la nor-male. Avec les normales moyennées, la convergence est linéaire. Tandis que pour celleobtenue par extension de la normale à la frontière ∂Ω, la convergence est quadratique.L’ensemble de ces résultats a également été validé dans le cas d’un écoulement glissantautour d’un disque et dans l’étude du problème de l’élasticité linéaire.

0.1.2 Résultats théoriques

Une étude théorique permettant de mieux appréhender les résultats numériques établis pré-cédemment a également fait l’objet d’un travail approfondi. La première étape de cette étudea consisté à démontrer la convergence uniforme de la solution du problème mixte pénalisé(23)-(24) vers celle du problème (10)-(11) en établissant l’inégalité suivante

‖u− uε‖1,Ω + ‖p− pε‖0,Ω ≤ Cε , (40)

où C est une constante positive. L’avantage principal de cette inégalité est de pouvoir seconcentrer sur l’approximation élément fini du système (23)-(24) dont les espaces functionnelsne sont plus soumis à la contrainte que représente la condition essentielle u · n = 0.La non convergence de la solution approximée dans l’étude numérique précédente, est obser-vée dans le cas d’une triangulation polygonale (ou approximation linéaire du domaine Ω).Par conséquent, l’analyse théorique de l’approximation par éléments finis du problème mixte

11

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10−1.6 10−1.4 10−1.2 10−1 10−0.8

10−4

10−3

10−2

10−1

100

h

nh à ∂Ωh

nh-SousIntnh-Lisséenh-Isopan à ∂Ω

‖∇u−∇uεh‖0,Ω

Figure 0.5 – Erreurs obtenues avec Taylor-Hood par les différentes normales et ε = 10−8.

pénalisé (23)-(24) est restreinte au cas d’une triangulation polygonale et à l’élément fini deTaylor-Hood pour les espaces d’approximations V h etMh. Nous avons alors établi l’estimationd’erreur suivante

‖u− uεh‖1,Ω + ‖p− pεh‖0,Ω ≤ Ch

32 ‖f‖1,Ω + ε−

12(hα + h

52)‖f‖

120,Ω

+ ε−1hα+ 32 ‖f‖0,Ω + ε

, (41)

où α > 0 est l’ordre de l’erreur entre la normale nh choisie et celle exacte n à la frontière ∂Ω,

|nh − n Gh| ≤ chα, (42)

où Gh est un homéomorphisme de Ωh vers Ω et c une constante indépendante de h. Les valeursdu paramètre α ([34], [63]) sont

α := 1, si nh est la normale à ∂Ωh,

α ≥ 1, si nh est une des normales moyennées,

α := +∞, si nh est l’extension de n définie par nh := n Gh.

(43)

12

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L’inégalité (41) nous a permis de mieux comprendre les difficultés liées à la convergence de lasolution approximée dans l’étude numérique précédente. En effet les termes de droite de cetteinégalité, en l’occurence ε−

12

(hα + h

52 ) et ε−1hα+ 3

2 , nous montrent que pour une valeur trèspetite et fixe du paramètre de pénalisation ε, il faut une valeur très petite de h pour assurer laconvergence de la solution approximée, notamment pour une petite valeur de α, comme α = 1

lorsqu’on utilise la normale (discontinue) à ∂Ωh.En choisissant ε de la forme ε(h) := chβ , il existe une valeur de β (dépendant de α) telle que(uεh, pεh) converge vers (u, p), lorsque h −→ 0. Les choix suivants de β donnent les meilleurstaux de convergence de la solution.

Valeurs de α Choix optimaux de β Taux de convergence

1 23

23[

1, 52

]23α min

23α,

32

+∞

[32 , 2

]32

10−2 10−1 100

10−2

10−1

h

c=1c = 10−2

c = 10−4

e = 0.1h23

‖∇u−∇uεh‖0,Ω

Figure 0.6 – Erreurs obtenues avec la normale nh à la frontière ∂Ωh et ε(h) = c h2/3.

13

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0.2 Revue bibliographique

0.2.1 La méthode de pénalisation

La pénalisation est une méthode classique pour le traitement des problèmes d’optimisationsous contraintes. Elle fournit une approche alternative à ces problèmes en évitant la néces-sité d’introduire des inconnues supplémentaires sous la forme de multiplicateurs de Lagrange.Considérons le problème consistant à minimiser la fonctionnelle coercive, faiblement et infé-rieurement semi-continue J, dans un ensemble de contrainte convexe et fermé K de l’espacede Banach réflexif V

minv∈K

J(v). (44)

La pénalisation de ce problème consiste à introduire une nouvelle fonctionnelle Jε, dépendantdu paramètre ε > 0, sous la forme suivante

Jε(v) := J(v) +1

εP(v), (45)

où P : V −→ R est une fonctionnelle (dite de pénalisation) satisfaisant :

• P : V −→ R est faiblement et inférieurement semi-continue,

• P(v) ≥ 0, ∀v ∈ V , P(v) = 0 si et seulement si v ∈K.

Généralement, P est définie de telle sorte que P(v) augmente en fonction de la distance de và l’espace des contraintes K. Ainsi, plus la contrainte est violée (c’est - à - dire v s’éloignede K), plus importante est la pénalité à payer. La fonctionnelle Jε étant coercive, faiblementet inférieurement sémi-continue au regard des propriétés sur J et P, alors pour tout ε > 0,il existe une unique fonction uε ∈ V , minimisant Jε (conformément au théorème d’existencedans [28] par exemple) :

Jε(uε) := minv∈V

Jε(v). (46)

De plus, si les fonctionnelles J et P sont Gâteau-différentiables, alors la solution pénalisée uεest caractérisée par l’équation suivante, dite condition d’optimalité[

DJ(uε),v]

+1

ε

[DP(uε),v

]= 0 , (47)

où D est la dérivée au sens de Gâteau et[,]est le crochet de dualité sur V ′ ×V . Ainsi, le

problème de minimisation sous contraintes (44) est réduit à un problème sans contrainte (46),par l’ajout du terme de pénalisation 1

εP. Le but est de générer une suite de solutions uεε>0

qui converge, lorsque ε −→ 0, vers la solution du problème original (44).

Pour une bibliographie détaillée du développement historique de la méthode de pénalisation,on peut consulter [52]. Toutefois, on peut noter que Courant ([17], [18]) fut le précursseur del’utilisation de la méthode de pénalisation dans les problèmes d’E.D.P.. Cette méthode est

14

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également très répandue dans le domaine de la programmation mathématique et de l’optimi-sation en général [30]. C’est également une méthode très populaire pour le traitement de lacondition d’incompressibilité ∇ ·u = 0 dans le domaine de la dynamique des fluides (voir parexemple [12], [67]).Dans le cadre des équations aux dérivées partielles elliptiques, la pénalisation est une méthodeclassique dans le traitement des conditions aux limites de type Dirichlet. Cette étude fut initiéepar Babuška [3] et poursuivie par d’autres ([61] et [57], par exemple). Ils analysent l’appli-cation de la méthode de pénalisation au problème modèle de Poisson ∆u = f , posé dans undomaine Ω ⊂ Rn, où une condition aux limites de Dirichlet homogène (u = 0) est appliquée.Ils prouvent, en utilisant une triangulation exacte (c’est - à - dire Ωh = Ω), l’existence, l’unicitéet la convergence de l’approximation par éléments finis de la solution du problème pénalisélorsque ε, h −→ 0. L’étude la plus complète sur la pénalisation des conditions aux limitesde type Dirichlet pour les problèmes elliptiques est effectuée dans [7] par Barrett et Elliot.Ils considèrent notamment le cas d’un domaine Ω d’une frontière courbe, régulière et appro-chée par des domaines polygonaux Ωh, et établissent la convergence optimale de la solutionpénalisée. Cependant, la différence entre conditions de Dirichlet et conditions de glissement,en raison de la présence de la normale, fait en sorte que l’analyse faite par ces auteurs estdifficilement adaptable.En revanche, la pénalisation est aussi une méthode très répandue dans le traitement des pro-blèmes de contact unilatéral, découlant de la mécanique des corps déformables et impliquantune condition aux limites non linéaire traduite sous la forme d’une inégalité ([31], [36], [66]) :la condition de non pénétration du type u · n ≤ g, où u désigne le déplacement et g est ladistance à l’obstacle. La pénalisation de cette condition de non pénétration des problèmesunilatéraux remplace le terme de pénalisation dans (26) par le suivant

1

ε

∫ΓC

(u · n− g)+(v · n) ds, (48)

où ( )+ désigne la partie positive. Au meilleur de nos connaissances, les premiers travauxeffectués sur la pénalisation de ces conditions de contact sont l’oeuvre de Kikuchi, Oden et Song([31], [32], [47], [48]), alors que l’étude la plus récente est effectué dans [13], [14]. Cependant,dans leur analyse, ils supposent que la triangulation est exacte (c’est à dire Ωh = Ω), rendantainsi difficile l’adaptation de leur analyse.L’étude la plus récente effectuée sur la pénalisation de la condition u ·n = 0 est due à Caglar,Layton et Liakos dans [11], [37] et [39], où ils traitent la condition de Dirichlet homogène(u = 0) en la décomposant en une condition normale (u ·n = 0) et des conditions tangentielles(u ·tk = 0, k := 1, · · · , d−1). Mais leur étude est effectuée dans le cas d’un domaine polygonalΩ et ils utilisent donc des éléments finis conformes, contrairement à nous.

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0.2.2 Le paradoxe de Babuška

L’étude de la stabilité par rapport au domaine des solutions de problèmes aux limites a trèslongtemps attiré l’attention des mathématiciens [4]. Les éventuelles instablités sont souventliées aux conditions aux limites des équations aux dérivées partielles. Dans la théorie desplaques minces, le célèbre paradoxe de Sapondžyan-Babuška ([4], [49]) a révélé certaines pro-blématiques. Ce paradoxe est observé dans l’étude de l’équation

∆2u = f, dans Ω, (49)

appelée modèle de Kirchhoff et qui modélise la déviation verticale d’une plaque mince élastiqueΩ [25], associée aux conditions aux limites dites de simple support,

u = 0, sur ∂Ω, (50)

∆u− (1− σ)κ∂u

∂n= 0, sur ∂Ω, (51)

où les coefficients σ et κ représentent le coefficient de Poisson et la courbure au bord, respec-tivement.L’analyse asymptotique du problème (49)-(51), posé dans une suite de domaines polygonaux(Ωm)m dont la limite est un domaine lisse et courbe Ω (voir Figure 0.7), montre que la limitede la suite de solutions générées est différente de la solution du même problème posé dans ledomaine limite. En fait, la solution limite est celle de l’équation (49), associée aux conditionsaux limites

u = 0, sur ∂Ω, (52)

∆u = 0, sur ∂Ω. (53)

Ceci laisse clairement prévoir des difficultés majeures dans l’approximation par éléments finisdu problème (49)-(51), puisque une triangulation polygonale Ωh est généralement utilisée.

m = 5

Ω5

∂Ω5

m = 7

Ω7

∂Ω7

m = 10

Ω10

∂Ω10

m = 14

Ω14

∂Ω14

· · ·

m −→ +∞

Ω := Ω+∞

∂Ω

Figure 0.7 – Une suite de domaines polygonaux (Ωm), m ∈ N (m étant le nombre de coins),convergeant vers le domaine régulier Ω.

Plusieurs solutions ont été proposées pour remédier au paradoxe dans le cadre d’approxi-mations par éléments finis. Ces remèdes portent sur une modification de la formulation duproblème, du domaine ou des conditions aux limites de simple support (50)-(51). Strang etFix [59] (voir aussi [56]) par exemple, suggèrent notamment l’utilisation d’éléments isopara-métriques, sans en démontrer l’efficacité, ni théoriquement ni numériquement.

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Une solution à ce paradoxe, basée sur la formulation faible du problème (49)-(51), est testéenumériquement par Utku et Carey dans [62] qui appliquent la pénalisation de la condition(50) mais en sous-intégrant le terme de pénalisation avec une quadrature de Gauss afin derelaxer les conditions aux coins de Ωh.

Des paradoxes de ce type sont observés dans d’autres types de problèmes tels que les pro-blèmes de la mécanique des fluides et des solides. Dans le cas de la mécanique des fluides, ilapparaît dans l’étude des équations de Stokes et de Navier-Stokes associées à des conditionsde glissement. En effet, Verfürth [64] observa que la formulation courant des équations deStokes avec les conditions de glissement se ramène au problème de la plaque avec la conditionde simple support. Enfin, en mécanique des solides, Nazarov et Olyushin [44] ont observé lemême paradoxe pour le système de Lamé associé aux conditions de contact idéal.

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Chapitre 1

Stokes equations with penalized slipboundary conditions

I. Dione, C. T ibirna and J. M. Urquiza

International Journal of Computational Fluid Dynamics, 27 : 6-7, 283-296, 2013.Keywords : Stokes equations, slip boundary conditions, penalty method, finite elements, Ba-buska’s paradox.

1.1 Résumé

Nous considérons l’approximation par éléments finis des équations de Stokes avec des condi-tions aux limites de glissement imposées par la méthode de pénalisation. Dans le cas d’undomaine courbe régulier, nos résultats numériques suggèrent que l’utilisation d’éléments finiscourbes, de régularisation de la normale ou de la technique de sous-intégration peuvent êtreutilisés afin d’éviter le paradoxe de Babuška et d’assurer la convergence des approximationséléments finis vers la solution exacte. Les ordres de convergence de ces remèdes sont égalementcomparés.

1.2 Abstract

We consider the finite element approximation of the Stokes equations with slip boundaryconditions imposed with the penalty method. In the case of a smooth curved boundary, ournumerical results suggest that the use of curved finite elements, regularized normal vectors orreduced integration techniques can be used to avoid a Babuska’s type paradox and ensure theconvergence of finite element approximations to the exact solution. Convergence orders withthese remedies are also compared.

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1.3 Introduction

In a bounded domain Ω ⊂ Rd, d = 2, 3, we consider the stationary Stokes equations

−∇ · σ(u, p) = f , in Ω, (1.1)

∇ · u = 0, in Ω, (1.2)

together with slip boundary conditions

u · n = 0, (1.3)

n · σ(u, p) · tk = gk, k = 1, . . . , d− 1, (1.4)

on a part ΓC ⊂ ∂Ω. Here n is the unitary outgoing normal vector to the boundary, tk,k = 1, . . . , d− 1, are unitary orthogonal vectors spanning the tangent plane to the boundaryand σ(u, p) is the stress tensor defined by

σ(u, p) := 2µD(u)− pI, D(u) :=1

2(∇u+∇ut).

Slip-boundary conditions (1.3)-(1.4) play an important role in many physical situations suchas coating flows [33], flows in semiconductor melts [19] or special problems with Newtonianfluid flows at solid interfaces [45]. They also are a particular case of Navier-type boundaryconditions like those involved in turbulence modeling [42].

On remaining parts ΓD and ΓN of ∂Ω, we assume Dirichlet and Neumann boundary conditionsrespectively,

u = 0, on ΓD, (1.5)

σ(u, p) · n = 0, on ΓN , (1.6)

which here are homogeneous for simplicity.

One particular property of Stokes equations with slip boundary conditions is that they aresubject to a Sapondzhyan-Babuska’s like paradox [55, 4, 5]. This paradox, also commonlycalled Babuska’s paradox, was observed for the plate equation in a disk with simple supportboundary conditions. For these equations, the solution on a polygonal domain approachingthe disk (as in Figure 1.1, left) does not converge to the solution in the disk. Of course, thismay have some undesirable consequences when calculating finite element approximations ofthe solution in the disk since, generally, the finite element mesh is constructed on a polygonaldomain approaching the disk (as in Figure 1.1, right). Moreover, this paradox was proved toappear whenever the domain has a smooth curved boundary [41].

That a Babuska’s like paradox is into play in the case of Stokes equations in two spacedimensions with slip boundary conditions was pointed out by Verfürth [64]. He observed that

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the stream function formulation of Stokes equations with free slip boundary conditions (whichare (1.3)-(1.4) with g = 0) results in Kirchhoff plate equation with simple support boundaryconditions. Indeed, as ∇ · u = 0, one can write u = curlψ where ψ is the so-called streamfunction which satisfies −µ∆2ψ = curl f in Ω and boundary conditions

ψ = 0, (1.7)

∆ψ = 2κ ∂ψ/∂n, (1.8)

where κ is the curvature of ∂Ω (see for instance [16] for details on how these boundary condi-tions are obtained).

For plate equations, several interpretations have been given for Babuska’s paradox : vanishingeffect of Poisson ratio in polygonal approximations, vanishing effect of curvature (and thusof the right hand side of (1.8)) in polygonal approximations, discontinuity of the tangent (ornormal) vector at corners of polygonal boundaries, corner singularities in the solution. At thesame time, several remedies have been suggested. Among them, let us mention the use ofcurved (pie-shaped) elements, alternative formulations which append condition (1.7) weakly(Nitsche’s method, the Lagrange multiplier method and the penalty method), interpolatedboundary conditions, or a mix of them. We refer the reader to Scott [56] for these suggestions.Let us mention that in [56], the author lets as an open question the rigorous proof of the useful-ness of isoparametric finite elements to prevent the appearance of a paradox. Other remediesinclude mixed formulations (see [9, 43] with rigorous proofs), or particular finite elements withspecial treatments/modifications at corners [50, 51, 54] (with a rigorous proof in the case of[51]). Finally, let us mention the work of Utku and Carey [62], who proved that modifying(1.7) following an idea of Strang and Fix [59] circumvents the paradox. Moreover, and mostimportantly to the present study, they propose to use the penalty method with reduced inte-gration to enforce the essential boundary condition (1.7), but the proof of convergence is donefor a polygonal domain Ω only.

Regarding the finite element approximation of Stokes and Navier-Stokes equations with slipboundary conditions, some theoretical results are already available. Verfürth [63] proved thatenforcing the no-flux boundary condition (1.3) strongly (condition (1.4) on the stress tangentialcomponents is a natural boundary condition for the standard weak formulation of the problem,see next section), that is at nodal points of Lagrange type finite elements, no paradox occurs.The convergence rates in [63] are not optimal with respect to interpolation orders but wereimproved by Knobloch [35, 34] and Bänsch and Deckelnick [6].

On another hand, in order to improve the suboptimal rates obtained in [63] , Verfürth proposedto enforce (1.3) in a weak sense, through a Lagrange multiplier. As usual with finite elementapproximations of saddle point formulations, approximation spaces for the velocity, pressureand new multiplier variables have to be chosen carefully to satisfy a suitable inf-sup condition[64] or residual terms may be added to the weak equations for the resulting finite element

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formulation to be stable [65]. Unfortunately, as shown in [60] through numerical examples,such weak impositions of the slip boundary conditions and others based on Nitsche’s technique[46] may not prevent the occurrence of Babuska’s paradox.

In the present work, we consider another way to impose the no-flux boundary condition (1.3)in a weak way : the penalty technique. It is in fact an approximation technique since thesolution of the penalized problem is expected to coincide with the solution of the originalproblem only when the penalizing parameter ε tends to zero. This popular technique avoidsto introduce a new variable like with the Lagrange multiplier technique and is more readilyapplicable in most numerical codes. The penalty method proved to be successful to appendDirichlet boundary conditions for elliptic problems [3, 57, 61], obstacle and contact problems[31], as well as to append slip boundary conditions for Navier-Stokes equations but in thecase of polygonal (or polyhedral) domains only (see [11] and references therein). Moreover,as noted before, Utku and Carey showed [62] that a fixed and low-order Gauss-quadratureformula for approximating the penalty term could resolve Babuska’s paradox for the simplysupported plate problem.

We shall show through two numerical examples that a penalty enforcement of the no-fluxboundary condition (1.3), may not prevent the occurrence of Babuska’s paradox. Our inter-pretation is that a fluid slipping along a polygonal boundary ∂Ωh must have u = 0 at vertices,and, as we will show, finite element approximations on ∂Ωh tend to do so as well, even if (1.3)is only imposed weakly and approximately. On another hand, let us recall that on the exactboundary ∂Ω, only u · n is expected to vanish, not u.

In order to circumvent Babuska’s paradox we investigate several remedies. First, we considerusing higher (than linear) order piecewise polynomial approximations ∂Ωh of ∂Ω and usingcurved finite elements of isoparametric type as detailed for instance in [15, 27].

Secondly, in the finite element formulation of the equations, we replace the normal vector nhto ∂Ωh, which is discontinuous at corners, by a continuous regularization that depends solelyon nh. Several choices will be tested. We also consider replacing nh by a continuous extensionof n, as we cannot simply take the normal vector n to ∂Ω for not being defined on ∂Ωh.

Finally, we test the reduced integration technique advocated in [62, 31] for simply supportedplate and contact problems, in order to evaluate approximately the penalty integral termintroduced in the finite element formulation of the equations.

The paper is organized as follows : In section 2 we introduce the variational formulation ofthe penalized problem. Then, in section 3, we present the finite element approximation spacesthat we consider in our numerical tests. These are the classical Mini and Taylor-Hood finiteelement approximation spaces. For the latter, we consider both piecewise linear and piecewisequadratic approximations ∂Ωh of ∂Ω. We also describe several choices for the approximation

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of the normal vector to the boundary, as well as our choice for the reduced integration of thepenalty integral term. Our numerical results are presented in section 4 and we draw someconclusions in section 5.

1.4 The penalty method and its variational formulation

In the following, for simplicity of the exposition, we assume that ΓD 6= ∅ and ΓN 6= ∅, otherwisethe velocity variable may need to be defined up to a rigid body displacement addition and thepressure variable up to an additive constant.

A weak formulation of problem (1.1)-(1.2) with boundary conditions (1.3)-(1.6) is : find (u, p) ∈K ×M such that

A(u,v) +B(v, p) = F (v), ∀v ∈K, (1.9)

B(u, q) = 0, ∀ q ∈M, (1.10)

where

V :=v ∈ (H1(Ω))d : v = 0, on ΓD

, K :=

v ∈ V : v · n = 0, on ΓC

,

M := L2(Ω),

A(u,v) := µ

∫ΩD(u) : D(v) dx, B(v, p) := −

∫Ωp∇ · v dx,

F (v) :=

∫Ωf · v dx+

d−1∑k=1

∫ΓC

gkv · tk ds.

Let us introduce the two quadratic functionals J : K → R and L : K ×M → R defined by

J(v) :=1

2A(v,v)− F (v) (1.11)

and

L(v, q) := J(v) +B(v, q). (1.12)

Then (u, p) can be seen as the saddle point of the Lagrange functional L over K ×M ([10],[26]) :

L(u, q) ≤ L(u, p) ≤ L(v, p), ∀v ∈K, ∀ q ∈M, (1.13)

for which equations (1.9)-(1.10) are the optimality conditions. In fact, u is the vectorial func-tion which realizes the minimum of J over v ∈K : B(v, q) = 0, ∀q ∈M.

In order to impose in a weak (but approximate) way the constraint condition v · n = 0

characterizing the set K, we use the penalty method : we relax the constraint by looking

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for the vectorial function which realizes the minimum of Jε(v) = J(v) + 12ε‖v · n‖

20,ΓC

overv ∈ V : B(v, q) = 0, ∀ q ∈M, where ε > 0 has a small value destined to converge to 0. Thisproblem is equivalent to consider the penalized Lagrange functional Lε defined by

Lε(v, q) := L(v, q) +1

2ε‖v · n‖20,ΓC , ∀v ∈ V , ∀ q ∈M, (1.14)

and whose saddle point (uε, pε) over V ×M is given by optimality conditions

A(uε,v) +B(v, pε) +1

ε

∫ΓC

(uε · n) (v · n) ds = F (v), ∀v ∈ V , (1.15)

B(uε, q) = 0, ∀ q ∈M, (1.16)

which constitute a weak formulation of the system

−∇ · σ(uε, pε) = f , in Ω, (1.17)

∇ · uε = 0, in Ω, (1.18)

uε = 0, on ΓD, (1.19)

σ(uε, pε) · n = 0, on ΓN , (1.20)

σ(uε, pε) · n = −1

ε(uε · n)n+

d−1∑k=1

gktk, on ΓC . (1.21)

1.5 Finite element approximations

Since our numerical tests are in two space dimensions, in the following we assume that Ω is abounded domain of R2 with smooth (C1) boundary ∂Ω, and we set g = g1 and t = t1.

In order to construct the finite element approximation spaces, we consider a family of polygonaldomains Ωh approaching Ω, where h refers to the maximal length of their sides. The elementsthat constitute the mesh of Ωh are triangles, with sides possibly curved (see below) if theyare a side of ∂Ωh and of length less than h too. Moreover, for each element having a side incommon with ∂Ωh, its two corresponding vertices lie on ∂Ω. Finally we denote by ΓhD, ΓhN andΓhC the parts of ∂Ωh corresponding to ΓD, ΓN and ΓC , respectively.

The finite element approximating spaces V h and Mh, for u and p respectively, that we willconsider satisfy V h ⊂

v ∈H1(Ωh) : v = 0, on ΓhD

and Mh ⊂ L2(Ω). Note that, in general,

V h * V and Mh *M , since Ωh 6= Ω.

A finite element approximation of the variational formulation (1.15)-(1.16) is then :

Find (uεh, pεh) ∈ V h ×Mh such that : (1.22)

Ah(uεh,vh) +Bh(vh, pεh) +1

ε

∫ΓhC

(uεh · nh) (vh · nh) ds = Fh(vh), ∀vh ∈ V h,

Bh(uεh, qh) = 0, ∀ qh ∈Mh,

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where Ah, Bh and Fh are defined by

Ah(uεh,vh) := 2µ

∫Ωh

D(uεh) : D(vh) dx, (1.23)

Bh(vh, pεh) := −∫

Ωh

pεh∇ · vh dx, (1.24)

Fh(vh) :=

∫Ωh

fh · vh dx +

∫ΓhC

ghvh · th ds. (1.25)

Here, fh is the restriction of f in the part of Ωh which is included in Ω and a suitable extensionof f in the remaining one. On another hand, gh is a continuous piecewise interpolation of gat finite element nodes, linear or quadratic, depending on the approximation ∂Ωh of Ω, aswill be described next. If the approximation ∂Ωh is linear (and thus polygonal with straightsides), then the continuous piecewise interpolation of g is linear and interpolation points arethe element vertices lying on ΓC . If ∂Ωh is piecewise quadratic (and thus polygonal withcurved sides), then gh is piecewise quadratic and interpolation points are element vertices andelement side midpoints which also lie on ΓC .

The finite element approximation methods that we will consider depend on the choices of

• the finite element approximation spaces V h and Mh which in turn depend on Ωh andits triangulation, whether linear or of higher degree with, for instance, isoparametricelements (see [15, 27]) ;

• the approximation nh of n invoked in the penalization integral over ΓhC in (1.22) ; let usremember that in general ∂Ωh 6= ∂Ω, thus n is not a priori defined on ∂Ωh ;

• the approximation of the penalization integral over ΓhC which, with a reduced integrationformula like in [62], gives a whole approximation method per se.

In every cases, th denotes a unitary vector orthogonal to the chosen approximation nh.

1.5.1 Choice of the triangulations and the finite elements

• A linear triangulation : In this case, ∂Ωh is a piecewise linear approximation of ∂Ω

and Ωh is a polygonal domain with straight sides. Its triangulation Th is composed oftriangles with straight sides. We consider two finite elements that satisfy the classicalBabuska-Brezzi inf-sup condition (see [10]) for formulations like (1.22) of Stokes equa-tions (see [63]), first-order Mini elements (Figure 1.2) and second-order Taylor-Hoodelements (Figure 1.2) :Mini (P1 + bubble− P1) elements.

V h =vh ∈ (C0(Ωh))2 : vh|Ωe ∈ (P1(Ωe))

2 + (Be)2,∀Ωe ∈ Th,vh|ΓhD = 0

Mh =

qh ∈ C0(Ωh) : qh|Ωe ∈ P1(Ωe) ∀ Ωe ∈ Th

.

25

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where Pi(Ωe) denotes the space of polynomials of degree less than or equal to i overΩe and Be is the one-dimensional vector space generated by the cubic bubble functionwhich vanishes on the boundary of Ωe.Taylor-Hood (P2 − P1) elements.

V h =vh ∈ (C0(Ωh))2 : vh|Ωe ∈ (P2(Ωe))

2,∀Ωe ∈ Th,vh|ΓhD = 0

Mh =qh ∈ C0(Ωh) : qh|Ωe ∈ P1(Ωe) ∀ Ωe ∈ Th

.

• A quadratic triangulation For second order elliptic problems for instance, a linear trian-gulation for a domain Ω with a smooth curved boundary introduces an error due to theapproximation of the domain so that quadratic (P2) elements can only yield a conver-gence order of 3/2 instead of the usual quadratic order (see [59]). A way to reach anoptimal order is to use a better approximation of the domain using, for instance, isopara-metric elements for polynomials of degree two or more. For Taylor-Hood elements whichare characterized by quadratic finite elements for the velocity components, we introducea piecewise quadratic approximation ∂Ωh of ∂Ω.

More precisely, each element Ωe ∈ Th, is defined as

Ωe = Fe(Ω)

where Ω is the reference canonical element, Fe : R2 → R2, Fe := (F1e,F2e) ∈ P2 × P2.The latter map is uniquely defined once we have specified the positions of the verticesand of the midpoint of each side of Ωe. Remember that triangles Ωe having no commonside with ∂Ωh have only straight sides and that the others have only one curved sidewhich is the one they share with ∂Ωh. For this curved side, we assume that the ’midpoint’node lies on ∂Ω, so that it really gives a better approximation of ∂Ω (see Figure 1.3).

The finite element approximation spaces that we consider in this case areTaylor-Hood (P2 − P1) elements.

V h =vh ∈ (C0(Ωh))2 : vh Fe ∈ (P2(Ω))2,∀Ωe ∈ Th,vh|ΓhD = 0

Mh =

qh ∈ C0(Ωh) : qh Fe ∈ P1(Ωe) ∀ Ωe ∈ Th

.

Let us remark that the P1 finite element for the pressure is overparametric since Fe ∈P2 × P2 (see for instance [27]) and that for elements Ωe ∈ Th that are linear (straightsides) we simply have Fe ∈ (P1(Ω))2 [15].

1.5.2 The choice of the normal vector

We now define our different choices for the approximation nh of the unitary normal vector n,invoked in the finite element formulation (1.22) of the penalty method and that will be usedin our numerical tests. The different choices for nh can be organized in three categories :

26

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• The geometric normal vector : Here nh is simply the normal vector to ∂Ωh. WhetherΩh has straight sides (from a linear triangulation) or curved sides (from a quadratictriangulation), nh is a well defined smooth function on each side but not at vertices(the junction point between two consecutive sides) where it admits a discontinuity inthe general case (as depicted in Figure 1.4).

• Regularized normal vectors : The following choices for nh all share the property ofbeing continuous everywhere on ΓhC , including at vertices. They also share the propertyof being constructed from the normal vectors to each side of ∂Ωh, that is from thegeometric normal described previously, but not from the normal n to ∂Ω. These choicesare motivated by the fact that in some applications n is an unknown of the problem,like in problems with moving interfaces or boundaries, or deforming walls.

At each vertex which is the junction point of two consecutive sides, which we denote byS1 and S2, the value of nh is set to be a suitable average of their respective normal vectorsn1 and n2 (see Figure 1.5). Then, in the case of a linear triangulation, on each side, nhis defined as the normalization of the linear interpolation of the above defined valuesat each vertex. In the case of a quadratic triangulation, at the nodes which correspondto sides midpoints, the value of nh is set to be the value of the real normal vector to∂Ωh at these points, and then, in the rest of each side, nh is defined as the normalizedquadratic interpolation of these three values.

(a) Arithmetic mean normal : At each boundary vertex, we set

nh =n1 + n2

||n1 + n2||. (1.26)

(b) Weighted mean normal : At each boundary vertex, we set :

nh =n1L1 + n2L2

||n1L1 + n2L2||, (1.27)

where L1 and L2 are the length of S1 and S2, respectively (Figure 1.5).

(c) Integral weighted mean normal : At each vertex, we set :

nh =

∫ΓhCϕN ds

‖∫

ΓhCϕN ds‖

, (1.28)

where N is the real normal vector to ∂Ωh and ϕ is the basis interpolation functionassociated to the corresponding node. This choice for the approximation of thenormal vector at corners of polygonal boundaries was preconized by Engelman etal [24] for conservation purposes in Navier-Stokes finite element discretizations.Here we don’t look at these properties, we only want to know if such a choice ofcontinuous approximation of n is reliable in order to prevent the paradox. Note alsothat in the case of a linear triangulation and if P1 − bubble elements are used forthe velocity components, this choice reduces to (b), thus serving as a verificationtest case.

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• Continuous extensions : Here, unlike previous choices, nh is not constructed from thevalues of the normal vector to ΓhC but solely from n. More precisely, in the case of alinear triangulation, it is constructed from the values of n at vertices, and in the case ofa quadratic triangulation, from the values of n at side midpoints too (let us recall thatsides midpoints lie on Γ for a quadratic triangulation). There are various ways to extendthese values of n on ΓhC . An example is given in [6] to obtain a convergence order of 3/2

for a standard (without penalization) finite element approximation of Stokes and Navier-Stokes equations with slip boundary conditions. In our case, we only want this extensionto be smooth (notably continuous) and to constitute a consistent approximation of n asΓhC approaches Γ. For the numerical tests presented in the next section we will give onespecific example of such a choice.

1.5.3 Reduced integration

In problems like contact problems for elastic solids [31] or simply supported plate problems[61], it has been proved that reduced integration of the penalty term may constitute convergentfinite element approximations as h→ 0. In our case, we expect that using a Gauss-quadratureformula like in [61] can be a way to relax the zero flux condition at corners since quadraturepoints are not situated at vertices. Let us introduce the approximation formula

∫ΓhC

fg ds ≈ O(f, g) =E∑e=1

Oe(f, g), Oe(f, g) =G∑i=1

wei f(xei )g(xei ), (1.29)

where E and G are the number of sides constituting ΓhC and the number of quadrature nodeson each side, respectively. xei and wei are the quadrature nodes and corresponding weights,respectively. For instance, if a one-point Gaussian quadrature rule is used, G = 1 and xei isthe midpoint of the side number e.

Finally, the finite element approximation problem with reduced integration is given by :

Given ε > 0, find (uεh, pεh) ∈ V h ×Mh such that (1.30)

Ah(uεh,vh) +Bh(vh, pεh) +1

εO(uεh · nh,vh · nh) = Fh(vh),∀vh ∈ V h,

Bh(uεh, qh) = 0, ∀ qh ∈Mh.

Let us note that this reduced integration technique can be used on linear or quadratic (oreven higher order) approximations of ∂Ωh, and that it can be applied with every choice ofnh previously introduced. For the numerical tests shown in the next section, this reducedintegration technique is only applied with the geometric normal vector to show its ability tocircumvent Babuska’s paradox.

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1.6 Numerical Results

In this section, we show two types of numerical tests. The first one uses a manufactured solu-tion, so that errors can be computed easily and convergence orders (or divergence) estimatedaccurately with mesh refinements for all the methods presented in the previous section. Forthe second one, we consider a Stokes flow slipping around an obstacle. Computations thenshow that a Babuska’s type paradox can be into play in more realistic situations and that thecures proposed in this work seem effective.

1.6.1 A manufactured solution in a ring

For these numerical tests, Ω is a two-dimensional circular ring centered at the origin. Theouter boundary is chosen to be ΓC while the inner boundary is decomposed in ΓD and ΓN , asdepicted in Figure 1.6. We choose the manufactured exact solutions to be

u(x, y) :=

(−y√x2 + y2

,x√

x2 + y2

), p(x, y) := x2 + y2. (1.31)

Right hand sides of Stokes equations with slip boundary conditions (1.1)-(1.6) are fixed ac-cordingly. Let us note in particular that ∇ · u = 0 and u · n = 0. Let us also note that theunit normal vector to ΓC is

n(x, y) :=

(x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

). (1.32)

For the computations, we work on a series of four meshes constructed in a structured way.The first one, depicted in Figure 1.7, is constructed without assuming the quasi uniformity forthe triangulation Th. As a result, the regularized normal vectors obtained by arithmetic meansand by weighted means necessarily differ. The other three meshes are obtained by dividing theelement sides in two other sides each time, thus multiplying the number of elements by four.Convergence orders with respect to h can then be computed easily. Let us note that in thecase of a piecewise quadratic boundary, after each subdivision process we place each borderingedge midpoint on the real boundary ∂Ω.

Errors for u, ∇u and p are computed in the L2(Ωh)-norm using the analytic expressions(1.31).

For all the results shown here, the penalty method is applied with ε = 10−8 but similar resultswere obtained with other values, like ε = 10−7 and ε = 10−6.

When the geometric normal vector is used with a linear triangulation, Table 1.1 shows thatthere is no convergence to the exact solution, and that a Babuska’s like paradox is into play,whether with Mini or Taylor-Hood elements. As shown in Figure 1.8, uε,h tends to vanish onΓhC , particularly at vertices, which obviously is not the case for the exact solution u on Ω,whose values at the nodes of this coarse mesh are shown in Figure 1.9.

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On another hand, Table 1.1 also shows that a way to circumvent a Babuska’s like paradoxhere is to use a quadratic triangulation (P2-isoparametric elements for the velocity). Moreover,convergence takes place with optimal (quadratic) order for ∇u and p. Let us also note a superconvergence phenomenon for u in the L2(Ωh)-norm.

We made the same computations with reduced integration of the penalty term, using one-point and two-point Gauss quadrature rules. The results were sensibly the same and we onlyshow those obtained with the one-point rule (Table 1.2). Results show that Babuska’s para-dox is again circumvented. Regarding convergence orders, for Taylor-Hood elements, optimalconvergence orders are reached only if a quadratic triangulation is used.

When using a continuous normal vector approximation, whether with regularizations usingarithmetic means (Table 1.3), weighted means (Table 1.4) or integral weighted means (Table1.5), or with the continuous extension of the exact normal vector which consists in consideringthe analytical expression (1.32) to be valid on ΓhC (Table 1.6), convergence takes place and Ba-buska’s paradox is circumvented. Moreover, for Taylor-Hood elements, an optimal convergenceorder is obtained when a quadratic triangulation is used, but not with a linear triangulation.

In Figure 1.10, the graphs of the errors ‖∇u−∇uεh‖+‖p−pεh‖ in all the previously describedsituations summarize the results.

1.6.2 A Stokes flow slipping around a disk

In the second case, Ω is the rectangular domain with a circular hole. A parabolic horizontalprofile for the velocity is prescribed on the left side, no-slip boundary conditions are prescribedon the upper and lower sides while free boundary conditions are assumed on the right side ofthe rectangle. On the obstacle the Stokes flow is assumed to slip freely (boundary conditions(1.3)-(1.4) with g = 0). The geometry and two meshes (a coarse mesh and a refined one) areshown in Figure 1.11.

The penalty method is applied with ε = 10−8. We only show our numerical results usingTaylor-Hood finite elements. Similar results are obtained using Mini elements. We also onlyshow the velocity field around the circular obstacle.

Figure 1.12 shows four results computed on the coarser mesh. First, using the geometricnormal vector to a linear polygonal boundary approximation of the obstacle, the velocityapproximation uε,h tends to vanish on the obstacle, particularly at corner points, thus likeobeying to a no-slip boundary condition instead of simply to a free slip boundary condition.Second, on the same figure, we see that using

• a piecewise quadratic approximation Ωh or

• a continuous regularization of the normal vector to Ωh

circumvents this paradox. Thirdly, according to Figure 1.12, the use of a reduced (1-point)

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Gauss quadrature rule for the penalty term seems less convincing than using the two previousremedies, since the fluid seems to penetrate through a small frontal part of the obstacle.Nevertheless, as shown in Figure 1.13, the normal component of the velocity on these smallpart of the obstacle boundary seems to vanish as the mesh gets more refined. Note that thisfigure also shows that this anomaly occurs at corners of Ωh only, not in the middle of eachside. This is not surprising since corner points are not quadrature nodes for the 1 point Gaussquadrature rule so that the no-flux condition (1.3) is not prescribed at these points.

1.7 Conclusion

We have shown two series of numerical tests that illustrate the occurrence of a Babuska’stype paradox if a piecewise linear approximation of ∂Ω is combined with classical Mini andTaylor-Hood finite elements for a penalized formulation of Stokes equations with slip boundaryconditions. Numerical solutions tend to vanish on the boundary where the slip boundarycondition is applied, especially at corners.

Our numerical tests also suggest three possible remedies to prevent such a paradox. The firstone is a higher order approximation ∂Ωh of ∂Ω combined with isoparametric elements, evenif this may seem surprising since even in this case ∂Ωh still presents corners. The secondone is the use of continuous approximations of the (discontinuous) normal vector to ∂Ωh. Inour numerical tests the paradox has been circumvented for all the different choices we madefor these approximations. A third remedy could be the reduced integration of Gauss-type ofthe boundary penalty term in the finite element formulation of the equations, as previouslyexperienced for simply supported plate problems [62].

We also notice that for all these remedies, Taylor-Hood finite elements yield (optimal) qua-dratic convergence rates if quadratic approximations of ∂Ω are used.

Rigorous convergence proofs are needed to confirm these numerical observations. Other direc-tions for future research are the extension of these results to dimension 3.

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Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1-bubble/P1

‖p− pεh‖ 2.09 1.98 1.95 1.93 0.0‖u− uεh‖ 2.10 2.12 2.12 2.12 0.0‖∇u−∇uεh‖ 4.95×10−1 4.89×10−1 4.88×10−1 4.87×10−1 0.0

P2/P1+lin.tr.‖p− pεh‖ 1.84 1.91 1.93 1.93 0.0‖u− uεh‖ 2.10 2.11 2.12 2.12 0.0‖∇u−∇uεh‖ 4.79×10−1 4.81×10−1 4.85×10−1 4.86×10−1 0.0

P2/P1+quad.tr.‖p− pεh‖ 9.10×10−1 4.49×10−2 2.35×10−3 5.42×10−4 2.1‖u− uεh‖ 1.23 5.78×10−2 9.44×10−4 1.49×10−5 5.9‖∇u−∇uεh‖ 2.87×10−1 1.36×10−2 4.74×10−4 1.03×10−4 2.2

Table 1.1 – Errors using the geometric normal to the boundary

Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1-bubble/P1

‖p− pεh‖ 8.11×10−2 3.12×10−2 1.15×10−2 4.12×10−3 1.4‖u− uεh‖ 1.14×10−2 2.80×10−3 6.88×10−4 1.70×10−4 2.0‖∇u−∇uεh‖ 2.46×10−2 1.22×10−2 6.04×10−3 3.00×10−3 1.0

P2/P1+lin.tr.‖p− pεh‖ 1.65 8.96×10−1 4.67×10−1 2.39×10−1 1.0‖u− uεh‖ 2.42×10−1 1.31×10−1 6.89×10−2 3.52×10−2 1.0‖∇u−∇uεh‖ 2.31×10−1 1.71×10−1 1.24×10−1 8.91×10−2 0.5

P2/P1+quad.tr.‖p− pεh‖ 3.70×10−2 8.87×10−3 2.16×10−3 5.31×10−4 2.0‖u− uεh‖ 1.76×10−3 1.93×10−4 2.32×10−5 2.92×10−6 2.9‖∇u−∇uεh‖ 6.52×10−3 1.62×10−3 4.20×10−4 1.09×10−4 1.9

Table 1.2 – Errors using the geometric normal and a reduced integration (1-point Gaussquadrature) of the boundary penalty term

Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1-bubble/P1

‖p− pεh‖ 1.24 1.02 5.75×10−1 1.68×10−1 1.7‖u− uεh‖ 1.47 9.25×10−1 3.83×10−1 8.57×10−2 2.1‖∇u−∇uεh‖ 3.49×10−1 2.31×10−1 1.05×10−1 2.66×10−2 1.9

P2/P1+lin.tr.‖p− pεh‖ 8.11×10−2 3.01×10−2 1.34×10−2 6.10×10−3 1.1‖u− uεh‖ 1.08×10−2 2.73×10−3 7.01×10−4 1.80×10−4 1.9‖∇u−∇uεh‖ 1.05×10−2 3.73×10−3 1.67×10−3 7.96×10−4 1.0

P2/P1+quad.tr.‖p− pεh‖ 3.71×10−2 8.87×10−3 2.15×10−3 5.31×10−4 2.0‖u− uεh‖ 1.75×10−3 1.86×10−4 2.12×10−5 2.57×10−6 3.0‖∇u−∇uεh‖ 6.18×10−3 1.51×10−3 3.78×10−4 9.56×10−5 1.9

Table 1.3 – Errors using the regularized normal based on arithmetic means

32

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Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1-bubble/P1

‖p− pεh‖ 1.48 1.31 9.28×10−1 3.49×10−1 1.4‖u− uεh‖ 1.93 1.60 9.70×10−1 3.01×10−1 1.6‖∇u−∇uεh‖ 4.45×10−1 3.73×10−1 2.34×10−1 7.66×10−2 1.6

P2/P1+lin.tr.‖p− pεh‖ 1.34×10−1 5.51×10−2 2.59×10−2 1.20×10−2 1.1‖u− uεh‖ 1.75×10−2 4.58×10−3 1.19×10−3 3.10×10−4 1.9‖∇u−∇uεh‖ 1.62×10−2 6.65×10−3 3.21×10−3 1.57×10−3 1.0

P2/P1+quad.tr.‖p− pεh‖ 3.71×10−2 8.87×10−3 2.15×10−3 5.31×10−4 2.0‖u− uεh‖ 1.75×10−3 1.86×10−4 2.12×10−5 2.57×10−6 3.0‖∇u−∇uεh‖ 6.18×10−3 1.51×10−3 3.78×10−4 9.56×10−5 1.9

Table 1.4 – Errors using the regularized normal based on weighted means

Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1-bubble/P1

‖p− pεh‖ 1.48 1.31 9.28×10−1 3.49×10−1 1.4‖u− uεh‖ 1.93 1.60 9.70×10−1 3.01×10−1 1.6‖∇u−∇uεh‖ 4.45×10−1 3.73×10−1 2.34×10−1 7.66×10−2 1.6

P2/P1+lin.tr.‖p− pεh‖ 1.34×10−1 5.51×10−2 2.59×10−2 1.20×10−2 1.1‖u− uεh‖ 1.75×10−2 4.58×10−3 1.19×10−3 3.10×10−4 1.9‖∇u−∇uεh‖ 1.62×10−2 6.65×10−3 3.21×10−3 1.57×10−3 1.0

P2/P1+quad.tr.‖p− pεh‖ 3.71×10−2 8.87×10−3 2.15×10−3 5.31×10−4 2.0‖u− uεh‖ 1.75×10−3 1.86×10−4 2.12×10−5 2.57×10−5 3.0‖∇u−∇uεh‖ 6.18×10−3 1.51×10−3 3.78×10−4 9.56×10−5 1.9

Table 1.5 – Errors using the regularized normal based on integral weighted means

Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1-bubble/P1

‖p− pεh‖ 2.31×10−1 8.52×10−2 3.18×10−2 1.15×10−2 1.4‖u− uεh‖ 3.69×10−2 1.00×10−2 2.52×10−3 6.29×10−4 2.0‖∇u−∇uεh‖ 5.12×10−2 2.46×10−2 1.22×10−2 6.05×10−3 1.0

P2/P1+lin.tr.‖p− pεh‖ 1.70×10−2 4.34×10−3 1.10×10−3 2.78×10−4 1.9‖u− uεh‖ 3.09×10−3 7.66×10−4 1.90×10−4 4.76×10−5 2.0‖∇u−∇uεh‖ 2.96×10−3 8.93×10−4 2.74×10−4 7.31×10−5 1.9

P2/P1+quad.tr.‖p− pεh‖ 3.71×10−2 8.87×10−3 2.15×10−3 5.31×10−4 2.0‖u− uεh‖ 1.75×10−3 1.86×10−4 2.12×10−5 2.57×10−5 3.0‖∇u−∇uεh‖ 6.18×10−3 1.51×10−3 3.78×10−4 9.56×10−5 1.9

Table 1.6 – Errors using a smooth continuous extension on ∂Ωh of the normal n to the trueboundary ∂Ω

33

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∂Ω

∂Ωh

∂Ωh

∂Ω

Figure 1.1 – Smooth domain Ω, its approximation Ωh (left) and its linear triangulation(right).

∂Ω

∂Ωh

∂Ω

∂Ωh

Figure 1.2 – P1+ bubble (up) and P2 (bottom) finite elements on a linearly meshed domainΩh.

34

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∂Ω

∂Ωh

∂Ω

∂Ωh

Figure 1.3 – P2 finite element on a quadratically meshed domain Ωh.

~nh ~nh~nh

~nh

∂Ω ∂Ωh

~nh~nh~nh ~nh~nh~nh

∂Ω

∂Ωh

Figure 1.4 – Discontinuity at vertices for the normal vector to a piecewise linear boundary∂Ωh (up) and to a piecewise quadratic boundary ∂Ωh (bottom).

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n2

n1

nh ?

L1 L2

Figure 1.5 – The choice of normal vectors at corners.

Ω

ΓDΓD ΓNΓN

ΓCΓC

~n

Figure 1.6 – Smooth domain Ω.

36

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Figure 1.7 – Coarse mesh

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Figure 1.8 – Velocity field approximation uεh obtained with Taylor-Hood elements on a lineartriangulation with the geometric normal vector

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Figure 1.9 – Exact velocity field (1.31)

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10−1.6 10−1.4 10−1.2 10−1 10−0.8

10−3

10−2

10−1

100

h

(a) Geometric normal

10−1.6 10−1.4 10−1.2 10−1 10−0.8

10−3

10−2

10−1

100

h

(b) Geometric normal and reduced-integration

10−1.6 10−1.4 10−1.2 10−1 10−0.8

10−3

10−2

10−1

100

h

(c) Regularized normal based on arithmeticmeans

10−1.6 10−1.4 10−1.2 10−1 10−0.8

10−3

10−2

10−1

100

h

(d) Regularized normal based on weightedmeans

10−1.6 10−1.4 10−1.2 10−1 10−0.8

10−3

10−2

10−1

100

h

(e) Regularized normal based on integralweighted means

10−1.6 10−1.4 10−1.2 10−1 10−0.8

10−3

10−2

10−1

h

(f) Smooth continuous extension of n

Figure 1.10 – Graphs of the error ‖∇u−∇uεh‖0,Ω +‖p−pεh‖0,Ω for each choice of nh. Finiteelements used : Mini on linear triangulations (red), Taylor-Hood on linear triangulations (blue),Taylor-Hood on quadratic triangulations (orange)

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Figure 1.11 – Coarse and refined meshes of the computational domain

Figure 1.12 – Velocity field approximation uεh around the obstacle obtained with Taylor-Hood elements, on a linear triangulation with the geometric normal vector (upper left), on aquadratic triangulation (upper right), on a linear triangulation with a reduced 1 point Gaussquadrature rule (bottom left), and on a linear triangulation with a continuous regularizationof the normal to ∂Ωh (bottom right).

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Figure 1.13 – Velocity field approximation uεh obtained with Taylor-Hood elements on alinear triangulation using a reduced 1 point Gauss integration of the penalty term, on thecoarse mesh (up) and on the finer mesh (bottom)

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Chapitre 2

Finite element approximations of theLamé system with penalized idealcontact boundary conditions

I. Dione and J. M. Urquiza

Applied Mathematics and Computation, 223(0) : 115 – 126, 2013.Keywords : Lamé system of elasticity, Babuska’s paradox, ideal contact boundary conditions,penalty method.

2.1 Résumé

Nous considérons les approximations par éléments finis du système d’élasticité de Lamé avecdes conditions aux limites de contact idéal, imposées par la méthode de pénalisation. Pourun domaine à frontière polygonale ou polyhèdrale, nous prouvons des estimations de conver-gence en termes des paramètres de pénalisation et de discrétisation. Dans le cas d’un domaineà la frontière régulière et courbe, nous montrons via un exemple numérique en dimensiondeux une non-convergence due au paradoxe de Babuška. Nous proposons également et testonsnumériquement plusieurs remèdes.

2.2 Abstract

We consider finite element approximations of the Lamé system of elasticity with ideal contactboundary conditions imposed with the penalty method. For a polygonal or polyhedral boun-dary, we prove convergence estimates in terms of both the penalty and discretization parame-ters. In the case of a smooth curved boundary we show through a numerical two-dimensionalexample that convergence may not hold, due to a Babuska’s type paradox. We also proposeand test numerically several remedies.

43

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2.3 Introduction

On a bounded domain Ω ⊂ Rd, d = 2, 3, we consider the linear system of elasticity :

−∇ · T(u) = f , in Ω, (2.1)

where f is a body force. Assuming the elastic body to be homogeneous and isotropic, thestress tensor T is given by

T(u) := λ(∇ · u)I + 2µD(u), D(u) :=1

2(∇u+∇ut),

where the Lamés coefficients µ and λ are here assumed to be positive.

On a part of ∂Ω, denoted by ΓC , we assume that the elastic body is subject to conditions

u · n = 0, (2.2)

n · T(u) · tk = gk, k = 1, · · · , d− 1. (2.3)

Here n is the unitary outgoing normal vector to ∂Ω and tk, k = 1, · · · , d − 1, are unitaryorthogonal vectors spanning the plane tangent to the boundary. These boundary conditionsare called ideal contact boundary conditions [44], sliding lateral boundary conditions [20] orsoft clamped boundary conditions [53] if tangential forces gk, k = 1, · · · , d− 1, vanish.

On the remaining part ΓD of ∂Ω we consider Dirichlet boundary conditions,

u = 0 on ΓD, (2.4)

which here are homogeneous for simplicity. We also assume for simplicity that ΓD 6= ∅ andthat ΓD ∩ ΓC = ∅.

We know from Nazarov and Olyushin [44] that for the Lamé system in two space dimensionswith ideal contact boundary conditions, a Sapondzhyan-Babuska’s like paradox occurs. Thisparadox, which is also commonly called Babuska’s paradox, was first observed for the plateequation in a disk with simple support boundary conditions [55, 4, 5] : the solution on a poly-gonal domain approaching the disk (as in Figure 2.1, left) does not converge to the solution inthe disk. In fact, this paradox occurs whenever the limit domain has a smooth curved boun-dary. In this case, solutions on polygonal domains approaching the smooth domain convergeto the solution of the same problem but with other boundary conditions [56, 41, 44]. Moreover,as first observed by Verfürth [64], this paradox also happens for Stokes equations with slipboundary conditions which are exactly (2.2)-(2.3) with u designating the velocity field in thiscase.

This paradox may have some undesirable consequences when calculating finite element ap-proximations since, generally, the finite element mesh is constructed on a polygonal domainΩh approaching the smooth domain (as in Figure 2.1, right). For instance, Urquiza et al. [60]

44

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showed numerical evidences that, for Stokes equations with slip boundary conditions, this pa-radox may prevent finite element approximations from converging towards the exact solution.In [60], boundary condition (2.2) is imposed weakly, through the Lagrange multiplier methodor through Nitsche’s method. On another hand, if this condition is imposed strongly (roughly,by looking for the approximation uh of u in an ansatz space satisfying this condition at finiteelement nodes) then convergence of uh towards u holds [63, 6, 35] and the paradox does notshow off.

In the present work, we consider another way to impose boundary condition (2.2) weakly : thepenalty method. This method, which in fact relaxes the constraint (2.2), introduces a smallpenalty parameter ε > 0. Solutions uε of the penalized problem is then expected to convergetowards u as ε → 0. Finite element approximations uεh of the penalized problems are thenexpected to converge to u as the discretization parameter h and then ε go to 0.

Our first aim is to prove that, while for polygonal domains convergence of uε,h towards u isensured, this may not be the case for smooth domains, due to a Babuska’s type paradox. Tothis end, we first prove that uε converges to u, both for smooth and polygonal domains. Inthe case of a smooth domain, we only need to apply an abstract and more general result fromMaury [40]. In the case of a polygonal domain, due to the fact that u ·n does not necessarilybelongs to H1/2(Γ) when u ∈ H1(Ω), we need to modify the demonstration of the results in[40]. This result is then used to prove that uε,h converges to u for polygonal domains. In thecase of a smooth domain, we show through a two-dimensional numerical example that uε,hmay not converge to u, suggesting that a Babuska’type paradox is at play.

The second aim of the present work is to propose remedies and test them in the aforementionedexample, as in Dione et al. [21] where Stokes equations with slip boundary conditions wereconsidered. These remedies are the use of :

• continuous regularizations of the normal vector nh to the polygonal boundary ∂Ωh ;

• isoparametric finite elements ;

• a reduced integration technique of Gauss-type.

Let us mention that the use of isoparametric elements was suggested by Scott [56] for circum-venting Babuska’s paradox for the simply supported plate problem but without performingnumerical tests and letting the convergence of such a remedy as an open problem. The use ofa reduced integration technique of Gauss-type was advocated in [62], also to resolve Babus-ka’s paradox for the simply supported plate problem. For other suggestions and for reviewsof remedies for the numerical resolution of Babuska’s paradox for the simply supported plateproblem, we refer the reader to [56, 62] (see also [21]).

The rest of this paper is organized as follows. In section 2, we introduce the formulationof the penalized problem and we prove that uε converge to u as ε → 0, for both smoothand polygonal domains. In section 3, we then consider the finite element discretization of the

45

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penalized problem. In the case of a polygonal boundary, using the results of section 2, weprove that uε,h converges to u with convergence estimates in terms of ε and h. In the caseof a smooth domain, we describe the finite element discretizations of the problem as well asthe numerical remedies cited above to resolve Babuska’s paradox in two space dimensions.In section 4, we show a numerical example where Babuska’s paradox occurs and show theeffectiveness of the proposed remedies. A conclusion is drawn in section 5.

We end this introduction by stating the notation we shall adopt throughout this paper. Letus denote by Hk(Ω), k ≥ 0 and L2(Ω) := H0(Ω) the usual Sobolev spaces equipped with theirusual norm ‖ · ‖k,Ω and the associated scalar products

(·, ·)k,Ω

. For vectorial functions, theSobolev spaces are denoted in bold : Hk(Ω) := (Hk(Ω))d and L2(Ω) := H0(Ω).

2.4 Penalty method and convergence analysis

A variational formulation of the boundary value problem (2.1)-(2.4) writes : find u ∈K suchthat

A(u,v) = F (v), ∀ v ∈K, (2.5)

where

V :=v ∈H1(Ω) : v = 0 on ΓD

, K :=

v ∈ V : v · n = 0 on ΓC

,

A(u,v) := λ(∇ · u,∇ · v

)0,Ω

+ 2µ∑

1≤i,j≤2

(Di,j(u), Di,j(v)

)0,Ω,

F (v) :=(f , v

)0,Ω

+∑

1≤k≤d−1

(gk, v · tk

)0,ΓC

.

As the solution u is directly searched for in the constrained setK, we say that condition (2.2)is imposed strongly. In this work, we choose to impose this constraint in a weak way, with thepenalty method.

First note that since the bilinear form A(·, ·) is symmetric, problem (2.5) is equivalent to theconstrained minimization problem : find u ∈K such that

J(u) ≤ J(v), ∀v ∈K, (2.6)

where J(v) := 12A(v,v)− F (v).

Now, instead of working in the constrained set K characterized by the condition v · n = 0,we relax this constraint by looking for uε realizing the minimum of

Jε(v) := J(v) +1

2ε‖v · n‖20,ΓC (2.7)

over V . The penalized solution uε is expected to converge to u as the penalty parameter ε > 0

goes to 0.

46

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The solution of the penalized problem is characterized by the equation

uε ∈ V : A(uε,v) +1

ε

(uε · n,v · n

)0,ΓC

= F (v), ∀ v ∈ V . (2.8)

Weak formulation (2.8) can be rewritten in the abstract form

uε ∈ V : Aε(uε,v) = F (v), ∀ v ∈ V , (2.9)

where

Aε(uε,v) := A(uε,v) +1

ε

(uε · n,v · n

)0,ΓC

. (2.10)

They constitute a weak form of the equations

−∇ · T(uε) = f , in Ω, (2.11)

uε = 0 , on ΓD, (2.12)

T(uε) · n = −1

ε(uε · n)n +

∑1≤k≤d−1

gktk , on ΓC . (2.13)

Remark Note that the penalty term of the penalized functional Jε involves the L2(ΓC)-norm of u · n. We could have used the H1/2(Γc)-norm instead, but it is less easy to evaluatewhen calculating finite element approximations of the penalized solution and so are the errorestimates to obtain. Moreover if Ω ∈ C1,1, u · n ∈ H

12 (ΓC) (Oden-Kikuchi [31] Theorem 5.5

p. 87), but if Ω is polygonal then u · n lies in L2(ΓC) but not in H12 (ΓC) [29].

Both existence and uniqueness of the solution of the penalized problem (2.9) can be provedusing Lax-Milgram’s theorem, and convergence of uε towards u is obtained using an abstractresult of Maury [40].

Theorem 2.4.1 Let us assume that Ω ∈ C0,1 and that f ∈ L2(Ω). Problem (2.9) has a uniquesolution uε and the sequence uε is uniformly bounded in ε :

‖uε‖1,Ω ≤ C(‖f‖0,Ω +

∑1≤k≤d−1

‖gk‖0,ΓC), (2.14)

where C is a positif constant. Moreover the sequence uε converges strongly in (V , ‖ · ‖1,Ω)

to u, the solution of (2.5).

Proof See Maury [40](proposion 2.1).

Remark The theorem doesn’t say anything about the rate of convergence of the sequenceuε towards u. Kikuchi and Oden [31] prove that this order is 1 in the H1(Ω)-norm when thepenalty term involves the H

12 (ΓC)-norm. For our case where the penalty term involves the

47

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L2(ΓC)-norm, applying the method in Barret and Elliott [7] we can prove that the order is 1

but in the L2(Ω)-norm only. Fortunately, using the abstract results in [40], we can prove thatthe convergence order is 1 in the H1(Ω)-norm, at least if the domain is sufficiently smooth(C1,1). If Ω is polygonal, then we adapt the proof of the abstract result of [40], at the expenseof obtaining a rate of 1/2 only, in the H1(Ω)-norm.

Remark If u is sufficiently smooth (in H2(Ω), for instance), multiplying equation (2.1) byv ∈ V , integrating by parts over Ω, using Green’s formula and boundary condition (2.3), weobtain ∫

Ω

f · v =

∫Ω

(−∇ · T(u)) · v = λ

∫Ω

(∇ · u)(∇ · v) + 2µ

∫Ω

D(u) : D(v)

−∫

ΓC

(n · T(u) · n) (v · n)−d−1∑k=1

∫ΓC

(n · T(u) · tk) (v · tk),

that is

F (v) = A(u,v)−∫

ΓC

(n · T(u) · n) (v · n) ds (2.15)

Defining σ to be the normal stress component on the boundary (σ := n ·T (u) ·n), we obtainfrom (2.15) :

A(u,v)−(σ,v · n

)0,ΓC

= F (v), ∀ v ∈ V . (2.16)

If u is sufficiently smooth (in H2(Ω), for instance), then σ lies in H12 (ΓC) if Ω ∈ C1,1, and

σ lies in H12 (ΓiC), i = 1, · · · , N , if Ω is polygonal and ΓiC , i = 1, · · · , N , denote the N faces

constituting ΓC .

Theorem 2.4.2 Suppose that f ∈ L2(Ω) and that u ∈H2(Ω).

(i) If Ω ∈ C1,1 then

‖u− uε‖1,Ω ≤ Cε, (2.17)

(ii) If Ω is polygonal then

‖u− uε‖1,Ω ≤ Cε12 , (2.18)

Proof (i) This a consequence of an abstract result from Maury, more precisely proposition2.3 in [40].(ii) From the regularity assumption on u and the normal vector n being constant on eachface, we have σ ∈ H

12 (ΓiC), i = 1, · · · , N , so that there exists ζi ∈ V such that(σ,v · n

)0,ΓiC

= −(ζi · n,v · n

)0,ΓiC

, ∀v ∈ V . (2.19)

48

Page 69: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

Let us then introduce the functional∧ε defined by

∧ε(v) =

1

2A(u− v,u− v) +

1

N∑i=1

‖(εζi − v) · n‖20,ΓiC , ∀v ∈ V . (2.20)

Developing and reordering the terms of∧ε, we obtain

∧ε(v) =

1

2A(v,v) +

1

N∑i=1

‖v · n‖20,ΓiC +1

2A(u,u) +

ε

2

N∑i=1

‖ζi · n‖20,ΓiC

− A(u,v)−N∑i=1

(ζi · n,v · n

)0,ΓiC

, ∀v ∈ V .

From (2.16) and (2.19), we have

−A(u,v)−N∑i=1

(ζi · n,v · n

)0,ΓiC

= −A(u,v) +N∑i=1

(σ,v · n

)0,ΓiC

= −A(u,v) +(σ,v · n

)0,ΓC

= −F (v).

Hence ∧ε(v) = Jε(v) +

1

2A(u,u) +

ε

2

N∑i=1

‖ζi · n‖20,ΓiC , ∀v ∈ V .

Thus,∧ε and Jε are equal up to an additive constant. Hence minimizing

∧ε or minimizing Jε

gives the same solution. Let us take v = u ∈ V , then∧ε(u) =

ε

2

N∑i=1

‖ζi · n‖20,ΓiC .

As uε minimizes∧ε, then

∧ε(uε) ≤

∧ε(u) ≤ Cε. That is to say :

1

2A(u− uε,u− uε) +

1

N∑i=1

‖(εζi − uε) · n‖20,ΓiC ≤ Cε,

A(u− uε,u− uε) ≤ Cε,

‖u− uε‖1,Ω ≤ Cε12 . (2.21)

In the subsequent section concerning the finite element approximation of the penalized pro-blem, we use the following result which is again a consequence of a result in [40] and whichapplies to both smooth and polygonal domains.

Lemma 2.4.3 There exists C > 0 such that :

‖uε · n‖20,ΓC ≤ Cε‖u− uε‖1,Ω. (2.22)

Proof This is a consequence of Lemma 2.8 in [40].

49

Page 70: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

2.5 Finite element approximation in the polygonal case :convergence analysis

In this section, Ω is assumed to be a polygonal domain in Rd, d = 2, 3, covered by non-intersecting elements (triangles or tetrahedra) Ωe :

Ω =

E⋃e=1

Ωe . (2.23)

The intersection between two elements, when non-empty, is assumed to be a vertex, an edgeor a face of both elements.

Let us define the finite element approximation spaces V h and Kh as follows :

V h :=vh ∈ (C0(Ω))d; vh/Ωe ∈ (Pk(Ωe))

d and vh = 0 on ΓD

, (2.24)

Kh :=vh ∈ V h; vh · n = 0 on ΓC

, (2.25)

where Pk(Ωe), k = 1, 2, is the space of polynomials of degree less or equal to k on Ωe, and hrefers to the maximal length of the edges of Ωe, e = 1, . . . , E, E being the total number ofelements (which thus depends implicitly on h).

The finite element approximation of (2.9) is then : find uεh ∈ V h such that

A(uεh,vh) +1

ε

(uεh · n,vh · n

)0,ΓC

= F (vh), ∀ vh ∈ V h. (2.26)

Note that the solution uεh of (2.26) is also the minimizer of Jε over V h. The remaining ofthis section is devoted to estimate ‖u− uεh‖1,Ω in terms of the penalty parameter ε and themesh size h. Since we already have the estimate (2.18) on u − uε, we just need an estimateon ‖uε − uεh‖1,Ω in order to conclude with a triangular inequality.

The main result of this section is

Theorem 2.5.1 If u ∈H2(Ω) then

‖uε − uεh‖1,Ω ≤ C(

minvh∈Kh

‖u− vh‖1,Ω + ε12 + ε

14

). (2.27)

Proof It can easily be seen that uεh minimizes the functional∨ε in V h defined by

∨ε(v) =

1

2A(v − uε,v − uε) +

1

((v − uε) · n, (v − uε) · n

)0,ΓC

,∀v ∈ V h;

50

Page 71: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

Indeed, developing∨ε and recalling the definition of the functional Jε, we have :

∨ε(v) =

1

2A(v,v) +

1

(v · n,v · n

)0,ΓC−A(uε,v)− 1

ε

(uε · n,v · n

)0,ΓC

+1

2A(uε,uε) +

1

(uε · n,uε · n

)0,ΓC

, ∀v ∈ V h

=[1

2A(v,v) +

1

(v · n,v · n

)0,ΓC− F (v)

]−[A(uε,v) +

1

ε

(uε · n,v · n

)0,ΓC

− F (v)]

+1

2A(uε,uε) +

1

(uε · n,uε · n

)0,ΓC

= Jε(v)−[A(uε,v) +

1

ε

(uε · n,v · n

)0,ΓC− F (v)

]+

1

2A(uε,uε) +

1

(uε · n,uε · n

)0,ΓC

, ∀ v ∈ V h.

Since V h ⊂ V , then A(uε,v) + 1ε

(uε · n,v · n

)0,ΓC− F (v) = 0,∀ v ∈ V h. Thus

∨ε is equal

to Jε up to an additive constant over V h.

Hence uεh is the minimizer of∨ε in V h. Otherwise we have :

c‖uε − uεh‖21,Ω ≤1

2A(uεh − uε,uεh − uε)

≤ 1

2A(uεh − uε,uεh − uε) +

1

((uεh − uε) · n, (uεh − uε) · n

)0,ΓC

≤∨

ε(uεh) = min

vh∈V h

∨ε(vh)

≤ minvh∈Kh

∨ε(vh) ,

≤ minvh∈Kh

(1

2A(vh − uε,vh − uε) +

1

((vh − uε) · n, (vh − uε) · n

)0,ΓC

),

(2.28)

≤ minvh∈Kh

(1

2A(vh − uε,vh − uε) +

1

2ε‖uε · n‖20,ΓC

), (2.29)

since vh · n = 0 when vh ∈Kh. Finally, from theorem 2.4.2 and lemma 2.4.3, we obtain :

c‖uε − uεh‖21,Ω ≤ minvh∈Kh

(M‖vh − uε‖21,Ω + C‖u− uε‖1,Ω

),

‖uε − uεh‖1,Ω ≤ C(

minvh∈Kh

‖vh − uε‖1,Ω +√‖u− uε‖1,Ω

),

≤ C(

minvh∈Kh

‖u− vh‖1,Ω + ε12 + ε

14

). (2.30)

Hence the result.

Remark It is not an easy task to adapt the proof of the previous theorem in the case of asmooth domain, since then we do not necessarily have V h ⊂ V .

51

Page 72: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

Corollary 2.5.2 Using standard interpolation properties, we deduce from this theorem : Ifu ∈Hs(Ω), s ≥ 1,

‖u− uεh‖1,Ω ≤ C(hµ‖u‖s,Ω + ε

12 + ε

14

), (2.31)

where, µ = mink, s− 1 and C > 0, independent of h and ε.

2.6 Finite element approximation in the case of a smoothcurved boundary

Our numerical tests being two-dimensional, we assume in the following that Ω is a boundeddomain of R2 with a smooth (C1) boundary ∂Ω, and we set g = g1 and t = t1.

We consider a family of polygonal domains Ωh approaching Ω, where h refers to the maximallength of their sides. The elements that constitute the mesh of Ωh are triangles, with sidespossibly curved (see below) if they are a side of ∂Ωh and of length less than h too. Moreover,for each element having a side in common with ∂Ωh, its two corresponding vertices lie on ∂Ω.Finally we denote by ΓhD and ΓhC the parts of ∂Ωh corresponding to ΓD and ΓC , respectively.

The finite element approximating space V h, for u, that we will consider satisfy V h ⊂v ∈

H1(Ωh) : v = 0, on ΓhD. Note that in general, V h * V , since Ωh 6= Ω.

A finite element approximation of the variational formulation (2.9) is then :

uεh ∈ V h : Ah(uεh,vh) +1

ε

(uεh · nh,vh · nh

)0,ΓhC

= Fh(vh), ∀vh ∈ V h, (2.32)

where Ah and Fh are defined by

Ah(uεh,vh) := λ(∇ · uεh,∇ · vh

)0,Ωh

+ 2µ∑

1≤i,j≤2

(Di,j(uεh),Di,j(vh)

)0,Ωh

,

Fh(vh) :=(fh,vh

)0,Ωh

+(gh,vh · th

)0,ΓhC

.

Here, fh is the restriction of f in the part of Ωh which is included in Ω and a suitable extensionof f in the remaining one. On another hand, gh is a continuous piecewise interpolation of gat finite element nodes, linear or quadratic, depending on the approximation ∂Ωh of Ω, aswill be described next. If the approximation ∂Ωh is linear (and thus polygonal with straightsides), then the continuous piecewise interpolation of g is linear and interpolation points arethe element vertices lying on ΓC . If ∂Ωh is piecewise quadratic (and thus polygonal withcurved sides), then gh is piecewise quadratic and interpolation points are element vertices andelement side midpoints which also lie on ΓC .

The finite element approximation methods that we will consider depend on the choices of

• the finite element approximation space V h which in turn depends on Ωh and its trian-gulation, whether linear or of higher degree with, for instance, isoparametric elements(see [15, 27]) ;

52

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• the approximation nh of n invoked in the penalization integral over ΓhC in (2.32) ; let usremember that in general ∂Ωh 6= ∂Ω, thus n is not a priori defined on ∂Ωh ;

• the approximation of the penalization integral over ΓhC which, with a reduced integrationformula like in [62], gives a whole approximation method per se.

In every cases, th denotes a unitary vector orthogonal to the chosen approximation nh.

2.6.1 Choice of the triangulations and the finite elements

A linear triangulation : In this case, ∂Ωh is a piecewise linear approximation of ∂Ω and Ωh

is a polygonal domain with straight sides. Its triangulation Th is composed of triangles withstraight sides. We consider a first-order P1 and a second-order P2 elements by :(P1) elements.

V h :=vh ∈ (C0(Ωh))2 : vh|Ωe ∈ (P1(Ωe))

2,∀Ωe ∈ Th,vh|ΓhD = 0.

(P2) elements.

V h :=vh ∈ (C0(Ωh))2 : vh|Ωe ∈ (P2(Ωe))

2,∀Ωe ∈ Th,vh|ΓhD = 0.

where Pi(Ωe) denotes the space of polynomials of degree lower than i over Ωe.

A quadratic triangulation : For the P2 elements which are characterized by quadratic finiteelements for the displacement components, we introduce a piecewise quadratic approximation∂Ωh of ∂Ω.

More precisely, each element Ωe ∈ Th, is defined as

Ωe = Fe(Ω)

where Ω is the reference canonical element, Fe : R2 → R2, Fe := (F1e,F2e) ∈ P2 × P2. Thelatter map is uniquely defined once we have specified the positions of the vertices and of themidpoint of each side of Ωe. Remember that triangles Ωe having no common side with ∂Ωh

have only straight sides and that the others have only one curved side which is the one theyshare with ∂Ωh. For this curved side, we assume that the ’midpoint’ node lies on ∂Ω, so thatit really gives a better approximation of ∂Ω. The finite element approximation space that weconsider in this case is :(P2) elements.

V h =vh ∈ (C0(Ωh))2 : vh Fe ∈ (P2(Ω))2,∀Ωe ∈ Th,vh|ΓhD = 0

.

2.6.2 The choice of the normal vector

Let us describe the different choices for nh in three categories.The geometric normal vector : Here nh is simply the normal vector to ∂Ωh. Whether Ωh has

53

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straight sides (from a linear triangulation) or curved sides (from a quadratic triangulation), nhis a well defined smooth function on each side but not at vertices (the junction point betweentwo consecutive sides) where it admits a discontinuity in the general case.

Regularized normal vectors : The following choices for nh all share the property of beingcontinuous everywhere on ΓhC , including at vertices. They also share the property of beingconstructed from the normal vectors to each side of ∂Ωh, that is from the geometric normaldescribed previously, but not from the normal n to ∂Ω.

At each vertex which is the junction point of two consecutive sides, which we denote by S1 andS2, the value of nh is set to be a suitable average of their respective normal vectors n1 and n2.Then, in the case of a linear triangulation, on each side, nh is defined as the normalization ofthe linear interpolation of the above defined values at each vertex. In the case of a quadratictriangulation, at the nodes which correspond to side midpoints, the value of nh is set to bethe value of the real normal vector to ∂Ωh at these points, and then, in the rest of each side,nh is defined as the normalized quadratic interpolation of these three values.

(a) Arithmetic mean normal : At each boundary vertex, we set

nh =n1 + n2

||n1 + n2||. (2.33)

(b) Weighted mean normal : At each boundary vertex, we set :

nh =n1L1 + n2L2

||n1L1 + n2L2||, (2.34)

where L1 and L2 are the length of S1 and S2, respectively.

(c) Integral weighted mean normal : At each vertex, we set :

nh =

∫ΓhCϕN ds

‖∫

ΓhCϕN ds‖

, (2.35)

where N is the real normal vector to ∂Ωh and ϕ is the basis interpolation functionassociated to the corresponding node. Note also that in the case of a linear triangulationand if P1 elements are used for the velocity components, this choice reduces to (b), thusserving as a verification test case.

Continuous extensions : Here, unlike previous choices, nh is not constructed from the values ofthe normal vector to ΓhC but solely from n. More precisely, in the case of a linear triangulation,it is constructed from the values of n at vertices, and in the case of a quadratic triangulation,on the values of n sides midpoints too (let us recall that sides midpoints lie on Γ for aquadratic triangulation). For the numerical tests presented in the next section we give onespecific example of such a choice.

54

Page 75: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

2.6.3 Reduced integration

In problems like contact problems for elastic solids [31] or simply supported plate problems[61], it has been proved that reduced integration of the penalty term may constitute convergentfinite element approximations as h→ 0. In our case, we expect that using a Gauss-quadratureformula like in [61] can be a way to relax the zero flux condition at corners since quadraturepoints are not situated at vertices. Let us introduce the approximation formula∫

ΓhC

fg ds ≈ O(f, g) =E∑e=1

Oe(f, g), (2.36)

where

Oe(f, g) =

G∑i=1

wei f(xei )g(xei ).

Here, E and G are the number of sides constituting ΓhC and the number of quadrature nodeson each side, respectively. xei and wei are the quadrature nodes and corresponding weights,respectively. For instance, if a one-point Gaussian quadrature rule is used, G = 1 and xei isthe midpoint of the side number e.

Finally, the finite element approximation problem with reduced integration is given by : Givenε > 0, find uεh ∈ V h such that :

Ah(uεh,vh) +1

εO(uεh · nh,vh · nh) = Fh(vh), ∀vh ∈ V h. (2.37)

For the numerical tests shown in the last section, this reduced integration technique is appliedon each type of the previous normal vectors and one remarks its ability to circumvent Babuska’sparadox.

2.6.4 Numerical Results

For our numerical tests, Ω is a two-dimensional circular ring centered at the origin. ΓC andΓD are the outer boundary and the inner boundary, respectively (Figure 2.2). As the exactsolution of problem (2.1-2.4), we take

u(x, y) :=

(−y√x2 + y2

,x√

x2 + y2

). (2.38)

Right hand sides of (2.1)-(2.4) are fixed accordingly for our computations. Note that, on ΓC ,

n(x, y) :=

(x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

), (2.39)

so that u · n = 0. For the computations, we work on a series of four meshes. In the firstone, shown in Figure 2.3 (left), the triangular elements have quite different sizes, so that the

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regularized normal vectors obtained by arithmetic means and by weighted means necessarilydiffer. The other three meshes are obtained by dividing the element sides in two other sides,thus multiplying the number of elements by four each time. See Figure 2.3 (right) for the secondmesh. Convergence orders with respect to h can then be computed easily. Let us precise thatin the case of a piecewise quadratic boundary approximation, after each subdivision process,each bordering side midpoint is placed on the real boundary ∂Ω. For all the results shownhere, the penalty method is applied with ε = 10−8 but similar results were obtained with othersmall values of ε, like ε = 10−6 or ε = 10−7

Computed errors that are shown are the L2(Ωh)-norm and the usualH1(Ωh)-seminorm (whichis actually a H1(Ωh)-norm as ΓD 6= ∅) of u− uh.

In a first series of computations, the geometric normal vector is used. Table 2.1 shows that,with a linear triangulation, there is no convergence to the exact solution, and that a Babuska’slike paradox is into play, with P1 and with P2 elements. In Figure 2.4 (left), we see that uhtends to vanish on ΓhC , particularly at vertices, a property which is not shared by the exactsolution u on Ω shown on the same Figure (right). On another hand, Table 2.1 also showsthat a way to circumvent a Babuska’s like paradox is to use a quadratic triangulation (P2-isoparametric elements). Moreover, convergence is obtained with an optimal order (quadraticfor the H1(Ωh)-norm).

Still with a geometric normal, but now using a reduced integration of the penalty term, usinga one-point Gauss quadrature rule, we see that Babuska’s paradox seems again circumvented,as shown in Table 2.2). Convergence orders are optimal when using P1 elements on a linear tri-angulation or when using P2 isoparametric elements. The only sub-optimal convergence orderis observed on the L2(Ωh)-norm of u− uh when using P2 elements on a linear triangulation,but a optimal orders can’t generally be observed when a domain is approximated linearly andfinite elements are quadratic or of higher order, due to the approximation error of the domain(see [59, 64, 6]).

When using a continuous normal vector approximation, whether with regularizations usingarithmetic means (Table 2.3), weighted means (Table 2.4) or integral weighted means (Table2.5), or with the continuous extension of the exact normal vector which consists in consideringthe analytical expression (2.39) to be valid on ΓhC (Table 2.6), convergence holds and theinfluence of Babuska’s paradox seems circumvented. For all of these choices of continuousapproximations of the normal vector, convergence orders are optimal if using P1 elements orisoparametric P2 elements, but not with P2 elements on linear triangulations.

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2.7 Conclusion

We first have shown the uniform convergence of the penalized solution uε towards the exactsolution u, for both polygonal and curved boundaries. In the case of a polygonal domain, thisis used in the a priori estimates giving the convergence of uεh towards u. In contrast, in thecase of a smooth boundary, we have shown through a numerical example that convergence ofuεh towards u may not hold. This is not surprising when we are aware of a Babuska’s typeparadox that indeed occurs for elasticity equations with ideal contact boundary conditions.

We also test several possible remedies, like we did for Stokes equations with slip boundaryconditions [21] and we arrive to the same conclusions. More precisely, according to our nume-rical results, smoothing of the normal vector to the boundary, using isoparametric P2 elementsor using a reduced integration of the penalty term can be a cure to the paradox. Our numeri-cal results also suggest that among these remedies isoparametric elements can ensure optimal(quadratic) convergence orders. As for Stokes equations with slip boundary conditions studiedin [21], convergence proofs are needed to confirm these numerical observations.

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Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1‖u− uh‖ 1.98×100 1.99×100 1.99×100 1.98×100 0‖∇u−∇uh‖ 5.39×10−1 5.34×10−1 5.32×10−1 5.32×10−1 0

P2:Geolin‖u− uh‖ 1.98×100 1.99×100 1.99×100 1.99×100 0‖∇u−∇uh‖ 5.23×10−1 5.27×10−1 5.29×10−1 5.29×10−1 0

P2:Geoquad‖u− uh‖ 8.43×10−2 1.38×10−3 2.87×10−5 2.64×10−6 3.4‖∇u−∇uh‖ 2.50×10−2 1.67×10−3 3.95×10−4 9.69×10−5 2.0

Table 2.1 – Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with thegeometric normal.

Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1‖u− uh‖ 5.65×10−2 1.59×10−2 4.16×10−3 1.05×10−3 2.0‖∇u−∇uh‖ 4.99×10−2 2.45×10−2 1.22×10−2 6.12×10−3 1.0

P2:Geolin‖u− uh‖ 6.25×10−3 1.51×10−3 3.73×10−4 9.29×10−5 2.0‖∇u−∇uh‖ 6.61×10−3 1.60×10−3 3.95×10−4 9.87×10−5 2.0

P2:Geoquad‖u− uh‖ 2.12×10−3 2.15×10−4 2.31×10−5 2.66×10−6 3.1‖∇u−∇uh‖ 5.98×10−3 1.50×10−3 3.79×10−4 9.59×10−5 1.9

Table 2.2 – Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) withGeometric normal and reduced integration (1-point Gauss quadrature).

Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1‖u− uh‖ 1.12×10−1 1.87×10−2 2.44×10−3 3.01×10−4 3.0‖∇u−∇uh‖ 4.08×10−2 8.12×10−3 1.86×10−3 7.86×10−4 1.2

P2:Geolin‖u− uh‖ 4.17×10−4 1.10×10−4 2.91×10−5 7.63×10−6 1.9‖∇u−∇uh‖ 1.47×10−3 7.26×10−4 3.62×10−4 1.81×10−4 1.0

P2:Geoquad‖u− uh‖ 2.10×10−3 2.13×10−4 2.29×10−5 2.64×10−6 3.1‖∇u−∇uh‖ 6.02×10−3 1.51×10−3 3.80×10−4 9.50×10−5 2.0

Table 2.3 – Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with theregularized normal using arithmetic means.

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Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1‖u− uh‖ 9.98×10−1 3.78×10−1 7.28×10−2 9.92×10−3 2.8‖∇u−∇uh‖ 2.78×10−1 1.11×10−1 2.29×10−2 3.56×10−3 2.6

P2:Geolin‖u− uh‖ 8.98×10−4 2.35×10−4 6.16×10−5 1.60×10−5 1.9‖∇u−∇uh‖ 2.88×10−3 1.44×10−3 7.24×10−4 3.62×10−4 1.0

P2:Geoquad‖u− uh‖ 2.10×10−3 2.13×10−4 2.29×10−5 2.64×10−6 3.1‖∇u−∇uh‖ 6.02×10−3 1.51×10−3 3.80×10−4 9.59×10−5 1.9

Table 2.4 – Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with theregularized normal using length means.

Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1‖u− uh‖ 9.98×10−1 3.78×10−1 7.28×10−2 9.92×10−3 2.8‖∇u−∇uh‖ 2.78×10−1 1.11×10−1 2.29×10−2 3.56×10−3 2.6

P2:Geolin‖u− uh‖ 8.98×10−4 2.35×10−4 6.16×10−5 1.60×10−5 1.9‖∇u−∇uh‖ 2.88×10−3 1.44×10−3 7.24×10−4 3.62×10−4 1.0

P2:Geoquad‖u− uh‖ 2.10×10−3 2.13×10−4 2.29×10−5 2.64×10−6 3.1‖∇u−∇uh‖ 6.02×10−3 1.51×10−3 3.80×10−4 9.59×10−5 1.9

Table 2.5 – Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with theregularized normal using integral means.

Finite elements and errors h = h0 h = h0/2 h = h0/4 h = h0/8 rates

P1‖u− uh‖ 6.75×10−2 1.93×10−2 5.10×10−3 1.20×10−3 2.0‖∇u−∇uh‖ 5.04×10−2 2.46×10−2 1.22×10−2 3.01×10−3 1.2

P2:Geolin‖u− uh‖ 1.25×10−2 3.04×10−3 7.51×10−4 1.60×10−4 2.1‖∇u−∇uh‖ 9.90×10−3 2.76×10−3 7.43×10−4 1.38×10−4 2.1

P2:Geoquad‖u− uh‖ 2.23×10−3 2.20×10−4 2.33×10−5 2.64×10−6 3.1‖∇u−∇uh‖ 6.05×10−3 1.51×10−3 3.80×10−4 9.59×10−5 2.0

Table 2.6 – Errors for P1 and P2 elements (with linear and quadratic triangulation) with asmooth continuous extension of n.

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∂Ω

∂Ωh

∂Ωh

∂Ω

Figure 2.1 – Smooth domain Ω, its approximation Ωh (left) and its linear triangulation(right).

Ω

ΓD

ΓCΓC

n

Figure 2.2 – Smooth domain Ω.

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Figure 2.3 – Left : coarse mesh ; right : first refined mesh

Figure 2.4 – Left : displacement field approximation uh using P2 elements on a linear trian-gulation with the geometric normal vector ; Right : values of the exact displacement field u atthe same nodes

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Chapitre 3

Penalty - finite element approximationof Stokes equations with slip boundaryconditions

I. Dione and J. M. Urquiza

Submitted to Numerische Mathematik (2013).Keywords : Stokes equations, slip boundary condition, curved boundary, penalty method.

3.1 Résumé

Nous considérons l’approximation par éléments finis des équations de Stokes stationnairesavec des conditions de glissement dans un domaine à la frontière courbe et régulière. Lesconditions de glissement sont faiblement imposées par la méthode de pénalisation sur desdomaines polygonaux approchant le domaine régulier. Nous établissons, pour les élémentsfinis de Taylor-Hood, une estimation d’erreur dépendant du paramètre de pénalisation ε, duparamètre de discrétisation h et de l’erreur d’approximation de la normale à la frontière. Enparticulier, si la normale nh à la frontière polygonale ∂Ωh est utilisée, le meilleur ordre deconvergence est 2/3 et est obtenu avec ε = c h2/3. Ce résultat de convergence montre quele paradoxe de Babuška, associé aux équations de Stokes avec des conditions aux limites deglissement, est contourné. Un exemple numérique illustre les résultats théoriques, notammentque les normales régularisées donnent de meilleures approximations et de meilleurs ordres deconvergence.

3.2 Abstract

We consider the finite element approximation of the stationary Stokes equations with slipboundary conditions on a domain with a smooth curved boundary. The slip boundary condition

63

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is imposed weakly with the penalty method on polygonal domains approaching the smoothdomain. For Taylor-Hood elements, we derive error estimates which depend on the penaltyparameter ε, the disctretization parameter h and the approximation error of the normal to theboundary. In particular, if in the penalty term we use the normal to the polygonal boundary,the best convergence order is 2/3 and it is obtained with ε = c h2/3. This convergence resultshows that Babuška’s paradox associated to Stokes equations with slip boundary conditions iscircumvented. A numerical example illustrates the theoretical results, notably that regularizednormal approximations give better approximations and convergence orders.

3.3 Introduction

We consider the following stationary Stokes equations in a bounded and connected domainΩ ⊂ Rd (d = 2, 3), with a smooth boundary Γ of class C4 :

−∇ · T(u, p) = f , in Ω, (3.1)

∇ · u = 0, in Ω, (3.2)

u · n = 0, on ΓC , (3.3)

n · T(u, p) · tk = 0, 1 ≤ k ≤ d− 1, on ΓC , (3.4)

u = 0, on ΓD, (3.5)

T(u, p) · n = 0, on ΓN . (3.6)

Here, u and p denote the velocity and pressure of the fluid, respectively. The vector n is theunit outward normal to Γ and t1, · · · , td−1 form an orthonormal set of tangent vectors to Γ.The stress tensor T is defined by

T(u, p) := 2µD(u)− pI, D(u) :=1

2(∇u+∇ut),

where µ is the viscosity of the fluid, D is the deformation rate tensor and f denotes a volumetricapplied force. The parts ΓC , ΓD and ΓN constitute a partition of Γ.

Slip-boundary conditions (3.3)-(3.4) can be used in the modeling of coating flows [33], flowsin semiconductor melts [19] and other particular problems involving Newtonian fluid flows[45]. They also are a particular case of Navier-type boundary conditions like in wall laws forturbulence modeling [42].

A first convergence result for finite element approximations of Stokes and Navier-Stokes equa-tions with slip boundary conditions on a smooth curved (non-polygonal) boundary was esta-blished by Verfürth [63]. He considered Taylor-Hood (P2−P1) finite elements on a polyhedralapproximation Ωh of Ω. Boundary flux condition (3.3) was enforced strongly (by choosingcarefully the ansatz finite element space) at the nodes of every vertex of the polyhedral boun-dary Γh of Ωh, but not at mid-side nodes. As all the vertices of the polyhedral boundaryapproximation are supposed to lie on Γ, the exact normal n is well defined at these points.

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The O(h1/2) error estimate obtained in [63] for the velocity and the pressure in the H1 andL2 norms, respectively, is not optimal. This was improved by Bänsch and Deckelnick [6] (seealso Knobloch [34]) to the optimal order O(h3/2), by requiring functions u belonging to theansatz space to satisfy u · n Gh = 0 at all finite element nodes on Γh (including mid-sidenodes), where Gh : Ωh −→ Ω is an homeomorphism studied by Lenoir [38] in the context ofisoparametric finite elements.

Again in [63], Verfürth argued that the suboptimal O(h1/2) error bound could hardly beimproved due to a Babuška’s like paradox : the (continuous) solutions of Stokes equationswith slip boundary conditions on polygonal domains approaching the smooth domain do notconverge to the solution on the smooth limit domain (see Figure 3.1). Subsequently, Verfürthanalyzed in [64] and [65] the Lagrange multiplier method where the slip boundary conditionis enforced in a weak sense. He obtained a O(h) error bound.

In the present work we consider another way to impose the no-flux boundary condition (3.3)in a weak sense : the penalty technique. This is in fact an approximation technique since thesolution of the penalized problem is expected to coïncide with the solution of the originalproblem only when the penalizing parameter ε tends to zero. This popular technique avoidsto introduce a new variable like with the Lagrange multiplier method and is more readilyapplicable in most numerical codes. The penalty method was proved to be successful to ap-pend Dirichlet boundary conditions for elliptic problems ([3], [57], [61]), obstacle and contactproblems [31], as well as to append slip boundary conditions for Navier-Stokes equations inthe case of polygonal or polyhedral domains [11].

The penalty technique used here to append (3.3) amounts to add a penalty term of the form1ε

∫Γh

(uh ·nh) (vh ·nh) ds to the variational equations. For smooth domains, Γh and Γ do notcoïncide, so that we need to define an approximation nh. The most natural choice is the normalvector to Γh, which appears to be discontinuous at vertices and on edges. The numerical testsconducted by Dione et al. [21] suggest that a Babuška’s type paradox may prevent numericalapproximations to converge to the exact solution. On another hand, numerical results in [21]also suggest that using smooth (continuous) approximations nh may prevent the paradox toappear and yields optimal convergence orders.

In the present work, we derive error estimates in terms of h and ε for a large class of normalapproximations nh, including the normal to Γh as well as smoother approximations. As in [6],the error analysis is conducted using the homeomorphism Gh. As particular results, not onlydo we obtain a very low convergence order when using the normal to Γh but the large constantsinvolved in the error estimates may explain why we could’t observe convergence in [21] forfixed and very small values of ε. We also show that using a smooth normal approximationinvolving Gh as in [6] leads to an optimal convergence order 3/2 by carefully choosing ε interms of h.

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The rest of the paper is organized as follows. In section 2 we introduce the penalized Stokesproblem and we prove the uniform convergence of the penalized solution as ε goes to zero.In section 3, we introduce the finite element formulation and in section 4 we derive the errorestimates. Finally, in section 5, we present some numerical tests that illustrate our theoreticalresults.

We end this introduction by giving some notations that we shall adopt throughout this paper.We denote by Hk(Ω), Hk

0 (Ω), k ≥ 0 and L2(Ω) := H0(Ω) the usual Sobolev spaces equippedwith their usual norm ‖·‖k,Ω and the associated scalar products

(·, ·)k,Ω

. For vectorial functions,the sobolev spaces are denoted in bold : Hk(Ω) := (Hk(Ω))d, Hk

0(Ω) := (Hk0 (Ω))d and

L2(Ω) := H0(Ω). The dual space of H12 (∂Ω) is denoted by H−

12 (∂Ω) and its norm, denoted

by ‖ · ‖∗12,∂Ω

, and is

‖g‖∗12,∂Ω

:= sup

v∈H12 (∂Ω)

∣∣[g, v]∂Ω

∣∣‖v‖ 1

2,∂Ω

,

where[·, ·]∂Ω

stands for the duality pairing.

Let us recall that for smooth domains (like those considered here), we have v ∈ H12 (Γ) :=

(H12 (Γ))d and v · n ∈ H

12 (ΓC), for any v ∈H1(Ω).

3.4 Penalty method and convergence analysis

In the following we assume that ΓC 6= ∅ and, for simplicity of the exposition, we assume thatΓD 6= ∅ and ΓN 6= ∅, otherwise some of the solution spaces defined below would have tobe replaced by quotient spaces (see [63]). We also assume for simplicity that ΓD ∩ ΓN = ∅,ΓD ∩ ΓC = ∅ and ΓN ∩ ΓC = ∅.A weak formulation of equations (3.1)-(3.2) with boundary conditions (3.4)-(3.6) is as follows :find (u, p) ∈K ×M such that

A(u,v) +B(v, p) = F (v), ∀v ∈K, (3.7)

B(u, q) = 0, ∀ q ∈M, (3.8)

where,

V :=v ∈H1(Ω) : v = 0 on ΓD

, K :=

v ∈ V : v · n = 0 on ΓC

, M := L2(Ω),

A(u,v) := µ∑

1≤i,j≤d

(Di,j(u), Di,j(v)

)0,Ω, B(v, p) := −

(p, ∇ · v

)0,Ω,

F (v) :=(f , v

)0,Ω.

Existence and uniqueness results for (3.7)-(3.8) are referred in [6], [63]-[64].

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Let us introduce the Lagrange functional L : K ×M → R and the functional J defined by

L(v, q) := J(v) +B(v, q), J(v) :=1

2A(v,v)− F (v). (3.9)

It is well known (see [10], [26]) that uminimizes J(·) overK∇ := v ∈K : B(v, q) = 0, ∀ q ∈Mand that the pair (u, p) is the saddle point of L over K ×M :

L(u, q) ≤ L(u, p) ≤ L(v, p), ∀v ∈K, ∀ q ∈M. (3.10)

In order to impose in a weak (but approximate) way the constraint condition v · n = 0

characterizing the set K, we use the penalty method : we relax the constraint by looking forthe vectorial function which realizes the minimum of the functional

Jε(v) = J(v) +1

2ε‖v · n‖20,ΓC ,

over V ∇ := v ∈ V : B(v, q) = 0, ∀ q ∈M, where ε > 0 has a small value destined toconverge to 0. This problem is equivalent to find the saddle point (uε, pε) of the penalizedLagrange functional Lε defined by

Lε(v, q) := L(v, q) +1

2ε‖v · n‖20,ΓC , ∀v ∈ V , ∀ q ∈M, (3.11)

over V ×M and which satisfies the optimality conditions

Aε(uε,v) +B(v, pε) = F (v), ∀v ∈ V , (3.12)

B(uε, q) = 0, ∀ q ∈M, (3.13)

where Aε is a bilinear form defined by

Aε(v,w) := A(v,w) +1

ε

(v · n, w · n

)0,ΓC

, ∀v,w ∈ V . (3.14)

By classical arguments, we can formally establish that (3.12)-(3.13) is a weak formulation ofthe boundary value problem : find (uε, pε) such that

−∇ · T(uε, pε) = f , in Ω, (3.15)

∇ · uε = 0, in Ω, (3.16)

n · T(uε, pε) · n = −1

ε(uε · n), on ΓC , (3.17)

uε = 0, on ΓD, (3.18)

T(uε, pε) · n = 0, on ΓN . (3.19)

Theorem 3.4.1 Suppose that f ∈ L2(Ω). Then problem (3.12)-(3.13) has a unique solution(uε, pε) ∈ V × M and the sequences uε, pε and

σ(uε, pε)

, where σ(uε, pε) := n ·

T(uε, pε) · n, are bounded uniformly with respect to ε :

‖uε‖1,Ω + ‖pε‖0,Ω + ‖σ(uε, pε)‖∗12,ΓC≤ C‖f‖0,Ω . (3.20)

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Moreover uε converges strongly to u in V , pε converges strongly to p inM andσ(uε, pε)

converges strongly to some σ in H − 1

2 (ΓC), where (u, p) is the solution of (3.7)-(3.8) and(u, p, σ) satisfy the following equations :

A(u,v)−[σ, v · n

]ΓC

+B(v, p) = F (v), ∀v ∈ V , (3.21)

B(u, q) = 0, ∀ q ∈M. (3.22)

Proof Both existence and uniqueness of the solution of the penalized Stokes system (3.12)-(3.13) follow from Korn inequality,

‖v‖21,Ω ≤ C∫

ΩD(v) : D(v), ∀v ∈ V , (3.23)

and the inf-sup condition

0 < β ≤ infq∈M\0

supv∈H1

0(Ω)\0

B(v, q)

‖v‖1,Ω‖q‖0,Ω, (3.24)

The coercivity of the bilinear form A in V implies that of Aε in the same space since ε > 0.Taking v := uε in (3.12) and taking into account that B(uε, pε) = 0 due to (3.13), we have :

m‖uε‖21,Ω ≤ Aε(uε,uε) = F (uε) ≤ C‖f‖0,Ω‖uε‖1,Ω ,

Thus uε is uniformly bounded :

‖uε‖1,Ω ≤C

m‖f‖0,Ω. (3.25)

From inf-sup condition (3.24), (3.25) and (3.12), we obtain the boundedness of pε :

β‖pε‖0,Ω ≤ supv∈V \0

B(v, pε)

‖v‖1,Ω

= supv∈V \0

F (v)−A(uε,v)

‖v‖1,Ω

≤ C‖f‖0,Ω . (3.26)

Using (3.17), equation (3.12) can be rewritten as

A(uε,v)−(σ(uε, pε),v · n

)0,ΓC

+B(v, pε) = F (v), ∀ v ∈ V . (3.27)

Since[τ,v · n

]ΓC

=(τ,v · n

)0,ΓC

for τ ∈ L2(ΓC), equation (3.27) can be rewritten as

A(uε,v)−[σ(uε, pε),v · n

]ΓC

+B(v, pε) = F (v), ∀ v ∈ V . (3.28)

The trace map v −→ v ·n fromH1(Ω) onto H12 (ΓC) being surjective, there exists α > 0 such

that :

α‖σ(uε, pε)‖∗12,ΓC≤ supv∈V \0

∣∣[σ(uε, pε),v · n]ΓC

∣∣‖v‖1,Ω

. (3.29)

68

Page 89: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

From (3.25), (3.26), (3.28) and (3.29), one obtains the boundedness of σ(uε, pε) :

α‖σ(uε, pε)‖∗12,ΓC≤ supv∈V \0

∣∣A(uε,v) +B(v, pε)− F (v)∣∣

‖v‖1,Ω≤ C‖f‖0,Ω. (3.30)

Combining (3.25), (3.26) and (3.30) we obtain (3.20).From relation (3.20) and the reflexivity of V , we can extract a subsequence of uε, stilldenoted by uε, converging weakly to some z ∈ V .We shall show that z is the velocity solution of the variational problem (3.7)-(3.8). We have

L(uε, p) ≤ Lε(uε, pε) ≤ Lε(u, pε) = L(u, pε) ≤ L(u, p), ∀ ε > 0. (3.31)

Since L(·, p) is convex and continuous and uε z then

L(z, p) ≤ lim inf L(uε, p) ≤ L(u, p). (3.32)

As Lε(uε, p) ≤ Lε(uε, pε) ≤ L(u, p), that is to say L(uε, p) + 12ε‖uε · n‖

20,ΓC

≤ L(u, p), then12ε‖uε · n‖

20,ΓC

is bounded, so that ‖uε · n‖20,ΓC goes to zero with ε.Consequently, it holds 0 ≤ ‖z · n‖20,ΓC ≤ lim inf ‖uε · n‖20,ΓC = 0, so that z ∈K.Hence from (3.32) it is clear that z is a minimizer of L(·, p) in K, so that z ≡ u.In order to establish the strong character of the convergence, we show that uε converges towardu for the norm associated to A(·, ·), which is equivalent to the original Sobolev norm ‖ ·‖1,Ω inV . As uε converges weakly to u for this scalar product

(A(uε,v) −→ A(u,v) for any v ∈ V

),

it is sufficient to establish the convergence of ‖uε‖A =[A(uε,uε)

] 12 towards ‖u‖A. Firstly,

since uε u then[A(u,u)

] 12 ≤ lim inf

[A(uε,uε)

] 12 that is to say

‖u‖A ≤ lim inf ‖uε‖A. (3.33)

On another hand, since L(uε, p) ≤ L(u, p), ∀ ε > 0,

1

2A(uε,uε)− F (uε) +B(uε, p) ≤

1

2A(u,u)− F (u) +B(u, p)

lim sup ‖uε‖A ≤ ‖u‖A. (3.34)

Hence limε→0 ‖uε‖A = ‖u‖AFrom (3.7) and (3.12) we have

B(v, p− pε) = A(uε − u,v) , ∀v ∈ K.

Using inf-sup condition (3.24), we have

β‖p− pε‖0,Ω ≤ supv∈K\0

B(v, p− pε)‖v‖1,Ω

= supv∈K\0

A(uε − u,v)

‖v‖1,Ω,

‖p− pε‖0,Ω ≤ M

β‖uε − u‖1,Ω . (3.35)

69

Page 90: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

Thus pε −→ p in L2(Ω).From (3.20), there exists a subsequence of

σ(uε, pε)

, still denoted by

σ(uε, pε)

, which

converges weakly to some σ ∈ H−1/2(ΓC). Hence, taking the limit in equation (3.27) asε −→ 0, we obtain (3.21).From (3.28) and (3.21), we have

A(u− uε,v) +B(v, p− pε) =[σ − σ(uε, pε),v · n

]ΓC, ∀v ∈ V . (3.36)

The trace map v −→ v ·n fromH1(Ω) onto H12 (∂Ω) being surjective, there is exists a constant

α > 0 such that :

α‖σ − σ(uε, pε)‖∗12,ΓC

≤ supv∈V \0

∣∣[σ − σ(uε, pε),v · n]ΓC

∣∣‖v‖1,Ω

≤ supv∈V \0

∣∣A(u− uε,v) +B(v, p− pε)∣∣

‖v‖1,Ω

≤ supv∈V \0

C(‖u− uε‖1,Ω + ‖p− pε‖0,Ω

)‖v‖1,Ω

‖v‖1,Ω,

≤ C(‖u− uε‖1,Ω + ‖p− pε‖0,Ω

). (3.37)

Thus σ(uε, pε) −→ σ in (H−12 (ΓC), ‖ · ‖∗1

2,ΓC

).

Existence and uniqueness of the solution of the penalized Stokes problem (3.12)-(3.13) can beproved using Lax-Milgram’s theorem, and convergence of (uε, pε) towards (u, p) is obtained.For a sufficiently smooth boundary ∂Ω (if Ω is of class C4), the following estimate (andregularity results) holds [58] :

‖uε‖23,Ω + ‖pε‖22,Ω ≤ C‖f‖21,Ω. (3.38)

Note that from (3.21), σ can be interpreted as the normal stress component σ = n ·T(u, p) ·n.Moreover if we assume that u ∈H2(Ω), then σ belongs toH

12 (ΓC). In the subsequent analysis,

we will assume that σ ∈ H12 (ΓC).

Theorem 3.4.2 Suppose that conditions of Theorem 3.4.1 hold and that σ ∈ H12 (ΓC). Then

there exists a constant C ≥ 0 such that :

‖u− uε‖1,Ω + ‖p− pε‖0,Ω + ‖σ − σ(uε, pε)‖∗12,ΓC≤ Cε‖ζ‖1,Ω , (3.39)

where ζ ∈ V ∇ and ζ ≡ T(u, p) · n on ΓC .

Proof We follow the idea proposed by Maury [40] in a slightly different context. Since σ ∈H

12 (ΓC) ⊂ L2(ΓC), then there exists ζ ∈ V ∇ such that[

σ,v · n]ΓC

=(σ,v · n

)0,ΓC

= −(ζ · n,v · n

)0,ΓC

, ∀v ∈ V . (3.40)

70

Page 91: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

The existence of such ζ follows from the existence result for problem (3.7)-(3.8).Let us introduce the functional∧

ε(v) :=

1

2A(u− v,u− v) +B(v, pε − p) +

1

2ε‖(εζ − v) · n‖20,ΓC , ∀v ∈ V . (3.41)

After development and re-ordering, we obtain∧ε(v) =

1

2A(v,v) +B(v, pε) +

1

2ε‖v · n‖20,ΓC +

1

2A(u,u) +

ε

2‖ζ · n‖20,ΓC

− A(u,v)−(ζ · n,v · n

)0,ΓC−B(v, p), ∀v ∈ V . (3.42)

Using (3.21) and (3.40), we obtain∧ε(v) =

1

2A(v,v) +B(v, pε) +

1

2ε‖v · n‖20,ΓC − F (v)

+1

2A(u,u) +

ε

2‖ζ · n‖20,ΓC ,∀v ∈ V ,

= Lε(v, pε) +1

2A(u,u) +

ε

2‖ζ · n‖20,ΓC , ∀v ∈ V ,

= Lε(v, pε) + C,∀v ∈ V ,

so that

infv∈V

∧ε(v) = inf

v∈V

Lε(v, pε) + C

,

= Lε(uε, pε) + C,

=∧

ε(uε) ≤

∧ε(v),∀v ∈ V .

Therefore, minimizing∧ε or minimizing Lε(·, pε) are equivalent tasks. Let us now set v =

εζ + u ∈ V ∇ ⊂ V . Since u ∈K and B(ζ, pε − p) = B(u, pε − p) = 0, then∧ε(v) =

ε2

2A(ζ, ζ).

As uε minimizes∧ε, then

∧ε(uε) ≤

∧ε(v) ≤ Cε2‖ζ‖21,Ω. It then follows that

1

2A(u− uε,u− uε) +B(uε, pε − p) +

1

2ε‖(εζ − uε) · n‖20,ΓC ≤ Cε2‖ζ‖21,Ω,

1

2A(u− uε,u− uε) +

1

2ε‖(εζ − uε) · n‖20,ΓC ≤ Cε2‖ζ‖21,Ω,

A(u− uε,u− uε) ≤ Cε2‖ζ‖21,Ω,

‖u− uε‖1,Ω ≤ Cε‖ζ‖1,Ω. (3.43)

Finally, from (3.35), (3.37) and (3.43), we obtain (3.39).

3.5 Finite-element approximation

For the construction of the finite element approximation spaces, we follow [6]. Let us denoteby Th a finite set of straight, closed d-simplices, which triangulates a domain Ωh,

Ωh :=⋃>∈Th

> , (3.44)

71

Page 92: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

in such a way that all vertices of ∂Ωh also lie on ∂Ω. Let us denote by h(>) and ρ(>) thediameter and the radius of the largest ball inscribed in >, and let us assume the followingusual of shape regularity condition :

suph

max>∈Th

h(>)

ρ(>)

≤ κ <∞. (3.45)

The mesh size h is defined by

h := max>∈Th

h>. (3.46)

For every > ∈ Th, there exists an invertible affine mapping F> defined by

F> : Rd −→ Rd, F>(x) := A>x+ b>, (3.47)

which maps >, the standard reference d-simplex, onto >. Besides this triangulation Th whichwill be used to define the discrete problem, we introduce an exact triangulation Th of Ω (see[8], [38])

Ω =⋃>∈Th

> , (3.48)

such that for every > ∈ Th there is a mapping φ> ∈ C3(>;Rd) such that F> := F>+φ> maps

> onto a curved d-simplex > ⊂ Ω.

The mapping Gh defined locally by Gh/> := F> F

−1

>≡ I + φ> F

−1

>is a homeomorphism

between Ωh and Ω such that φ> = 0 if > has at most one vertex on ∂Ωh (which means thatGh ≡ I on all simplices which are disjoint from ∂Ωh). Moreover, we have (see [38])

supx∈>‖(DG

h/> − I)(x)‖ ≤ Ch(>), ‖Gh‖H3,∞(>)≤ C

supx∈>‖DF>(x)‖ ≤ C‖A>‖, sup

x∈>‖DF−1

>(x)‖ ≤ C‖A−1

>‖ (3.49)

c1|det(A>)| ≤ |det(DF>(x))| ≤ c2|det(A>)|, x ∈ >.

As a consequence, we notably have that v ∈ H1(Ω) if and only if v Gh ∈ H1(Ωh) and thereexists c > 0 such that

c‖v‖1,Ω ≤ ‖v Gh‖1,Ωh ≤ c‖v‖1,Ω. (3.50)

Let us denote by N hC the set of all vertices and mid-side points of d-simplices in Th inducing

the partition of ΓhC . The finite element approximation spaces V h, Mh and Kh are defined by

V h :=vh ∈ C0(Ωh); v

h/> ∈ P2(>),vh = 0 on ΓhD

, (3.51)

Kh :=vh ∈ V h; vh(s) · n Gh(s) = 0, ∀ s ∈ N h

C ∩ ΓhC

, (3.52)

Mh :=qh ∈ C0(Ωh); q

h/> ∈ P1(>), (3.53)

72

Page 93: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

where Pi(>) is the space of polynomials defined on >, of order less or equal to i := 1 or 2.

The finite element approximation of the penalized system (3.12)-(3.13) then reads :Given ε > 0, find (uεh, pεh) ∈ V h ×Mh such that

Aεh(uεh,vh) +Bh(vh, pεh) = Fh(vh), ∀ vh ∈ V h, (3.54)

Bh(uεh, qh) = 0, ∀ qh ∈Mh, (3.55)

where,

Aεh(uεh,vh) := Ah(uεh,vh) +1

ε

(uεh · nh, vh · nh

)0,ΓhC

, (3.56)

Ah(uεh,vh) := µ∑

1≤i,j≤d

(Di,j(uεh), Di,j(vh)

)0,Ωh

,

Bh(vh, pεh) := −(pεh, ∇ · vh

)0,Ωh

,

Fh(vh) :=(f Gh, vh

)0,Ωh

,

and where nh is an approximation of n.

Remark Well-posedness of (3.54)-(3.55) can be obtained as in [64], using the inf-sup condition

infqh∈Mh\0

supvh∈V h\0

Bh(vh, qh)

‖vh‖1,Ωh‖qh‖0,Ωh≥ β > 0, (3.57)

and the ellipticity condition

Ah(vh,vh) ≥ α‖vh‖21,Ωh , ∀vh ∈ V h, (3.58)

which hold with constants α and β independent of h, for 0 < h ≤ h0, for a sufficiently smallh0 > 0.

Note that (uε, pε) and (uεh, pεh) are defined on different domains, Ω and Ωh, respectively. Inorder to overcome this difficulty for the error analysis, as in [6], we assign to each (vh, qh) ∈V h ×Mh the pair (vh, qh) ∈ V ×M defined by

(vh, qh) :=(vh G−1

h , qh G−1h

). (3.59)

Let us finally note that if vh ∈ Kh, we don’t necessarily have vh ∈ K, since vh · n :=

(vh G−1h ) · n vanishes at points of Gh(N h

C ∩ ΓhC) but not necessarily on the whole ΓC .

3.6 A priori estimates in terms of ε and h

In this section we obtain an a priori estimate on ‖u−uεh‖1,Ω +‖p−pεh‖0,Ω in terms of ε andh. Since we already have (3.39), we only need an estimate on ‖uε − uεh‖1,Ω + ‖pε − pεh‖0,Ωand we can conclude using the triangular inequality.First of all, let us recall the following result which is used in the subsequent analysis.

73

Page 94: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

Lemma 3.6.1 ([6], lemma 3.1) There exists h1 > 0, such that for all 0 ≤ h ≤ h1 and allvh ∈Kh :

‖vh · n‖0,ΓC ≤ ch32 ‖vh‖1,Ω. (3.60)

Lemma 3.6.2 There exists C > 0 such that :

‖uεh · nh‖20,ΓhC≤ Cε‖f‖0,Ω. (3.61)

Proof Let us set vh := uhε in (3.54). Using relation (3.58), we have

α‖uεh‖21,Ωh ≤ Aεh(uεh,uεh) = Fh(uεh) ≤ C‖f Gh‖0,Ωh‖uεh‖1,Ωh ≤ C‖f‖0,Ω‖uεh‖1,Ωh ,

where α > 0 is independent of h. Hence

‖uεh‖1,Ωh ≤C

α‖f‖0,Ω. (3.62)

Taking vh := uεh in (3.54) and using (3.62), we establish (3.61) as follows :

1

ε‖uεh · nh‖20,ΓhC

= Fh(uεh)−Ah(uεh,uεh)

≤ C

α‖f‖0,Ω

We finally arrive to the main result of this paper for which we assume that

|nh − n Gh| = O(hα). (3.63)

Theorem 3.6.3 Let (uε, pε) and (uεh, pεh) be the solutions of (3.12)-(3.13) and (3.54)-(3.55),respectively. Then, there exists h0 > 0 such that for all ε > 0 and for all 0 < h < h0,

‖uε − uεh‖1,Ω + ‖pε − pεh‖0,Ω ≤ Ch

32 ‖f‖1,Ω + ε−1hα+ 3

2 ‖f‖0,Ω + ε−12(hα + h

52)‖f‖

120,Ω

. (3.64)

Proof For all function vh ∈Kh we have vh ∈ V , thus equation (3.12) gives

Aε(uε,vh) +B(vh, pε) = F (vh), ∀vh ∈Kh. (3.65)

From equation (3.65), we have

Aε(uε − uεh, vh) +B(vh, pε − pεh) = F (vh)−Aε(uεh, vh) +B(vh, pεh)

, ∀vh ∈Kh.

Adding equation (3.54), we obtain

Aε(uε − uεh, vh) +B(vh, pε − pεh) =Ah(uεh,vh)−A(uεh, vh)

+Bh(vh, pεh)−B(vh, pεh)

+1

ε

(uεh · nh, vh · nh

)0,ΓhC− 1

ε

(uεh · n, vh · n

)0,ΓC

+F (vh)− Fh(vh)

, ∀vh ∈Kh. (3.66)

74

Page 95: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

Similarly, from (3.13) and (3.55), we have

B(uε − uεh, qh) = Bh(uεh, qh)−B(uεh, qh), ∀ qh ∈Mh. (3.67)

Let us define the continuous linear forms

G : Kh −→ R, G(vh) :=Ah(uεh,vh)−A(uεh, vh)

+Bh(vh, pεh)−B(vh, pεh)

+1

ε

(uεh · nh, vh · nh

)0,ΓhC− 1

ε

(uεh · n, vh · n

)0,ΓC

+F (vh)− Fh(vh)

H : Mh −→ R, H(qh) := Bh(uεh, qh)−B(uεh, qh).

We have

‖G‖K′h

+ ‖H‖M′h≤ T1,h + T2,h + T3,h + T4,h + T5,h + T6,h ,

where,

T1,h := supvh∈Kh\0

|Ah(uεh,vh)−A(uεh, vh)|‖vh‖1,Ω

,

T2,h := supvh∈Kh\0

|Bh(vh, pεh)−B(vh, pεh)|‖vh‖1,Ω

,

T3,h := supqh∈Mh\0

|Bh(uεh, qh)−B(uεh, qh)|‖qh‖0,Ω

,

T4,h := supvh∈Kh\0

|F (vh)− Fh(vh)|‖vh‖1,Ω

,

T5,h := supvh∈Kh\0

1

ε

∣∣(uεh · nh, vh · nh)0,ΓhC − (uεh · n, vh · n)0,ΓC ∣∣‖vh‖1,Ω

.

System (3.66)-(3.67) may be rewritten as

Aε(uε − uεh, vh) +B(vh, pε − pεh) = G(vh), ∀vh ∈Kh, (3.68)

B(uε − uεh, qh) = H(qh), ∀ qh ∈Mh. (3.69)

Existence and uniqueness of a solution to (3.68)-(3.69) is ensured by the following conditions,proved in [6] in a similar context :

Aε(vh, vh) ≥ α‖vh‖21,Ω, ∀vh ∈Kh, (3.70)

supvh∈Kh\0

B(vh, qh)

‖vh‖1,Ω≥ β∗‖qh‖0,Ω,∀ qh ∈Mh. (3.71)

75

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Moreover, techniques in [10] applied to (3.68)-(3.69) give the following estimate

‖uε − uεh‖1,Ω + ‖pε − pεh‖0,Ω ≤ c(

infvh∈Kh

‖uε − vh‖1,Ω + infqh∈Mh

‖pε − qh‖0,Ω

+5∑i=1

Ti,h

),

≤ c(

infvh∈Kh

‖u− vh‖1,Ω + infqh∈Mh

‖pε − qh‖0,Ω

+ ‖u− uε‖1,Ω +5∑i=1

Ti,h

),

≤ c(

infvh∈Kh

‖u− vh‖1,Ω + infqh∈Mh

‖pε − qh‖0,Ω

+5∑i=1

Ti,h + ε). (3.72)

The remaining of the proof is mainly devoted to estimate the term T5,h on the right hand sideof (3.72), since the other terms were already estimated in [6]. The first one was exactly as itis given here :

infvh∈Kh

‖u− vh‖1,Ω + infqh∈Mh

‖pε − qh‖0,Ω ≤ ch2‖f‖1,Ω.

For the term T1,h, the central ideas which are the use of Lemma 3.2 in [6], the continuousembedding H3(Ω) → C1(Ω) and relation (3.38) give the estimate

T1,h ≤ ch( ∑>∩∂Ω6=∅

‖uεh‖21,>) 1

2

≤ ch‖uε − uεh‖1,Ω + ch( ∑>∩∂Ω6=∅

‖uε‖21,>) 1

2

≤ ch‖uε − uεh‖1,Ω + ch‖uε‖C1(Ω)

( ∑>∩∂Ω6=∅

h3(>)) 1

2

≤ ch‖uε − uεh‖1,Ω + ch32 ‖f‖1,Ω.

The terms T2,h, T3,h and T4,h are treated in the same way as those in [6] :

T2,h ≤ ch‖pε − pεh‖1,Ω + ch32 ‖f‖1,Ω,

T3,h ≤ ch‖uε − uεh‖1,Ω + ch32 ‖f‖1,Ω,

T4,h ≤ ch32 ‖f‖1,Ω.

We first estimate the terms(uεh · nh,vh · nh

)0,ΓhC

and(uεh · n, vh · n

)0,ΓC

by using (3.63),

76

Page 97: Analyse théorique et numérique des conditions de glissement …€¦ · Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode

the boundedness of ‖uεh‖1,Ω given by (3.62) and Lemma 3.6.1 :(uεh · nh,vh · nh

)0,ΓhC

=(uεh · nh, vh · (nh − n Gh) + vh · n Gh

)0,ΓhC

=(uεh · nh, vh · (nh − n Gh)

)0,ΓhC

+(uεh · nh, vh · n Gh

)0,ΓhC

≤ C∑

ΓhiC⊂ΓhC

sups∈ ΓhiC

|nh(s)− n Gh(s)|‖uεh · nh‖0,ΓhiC‖vh‖0,ΓhiC

+(uεh · nh, vh · n Gh

)0,ΓhC

,

≤ Cε12hα‖f‖

120,Ω‖vh‖1,Ω +

(uεh · nh, vh · n Gh

)0,ΓhC

, (3.73)(uεh · n, vh · n

)0,ΓC

=(uεh · (n− nh) + uεh · nh, vh · n

)0,ΓC

=(uεh · (n− nh), vh · n

)0,ΓC

+(uεh · nh, vh · n

)0,ΓC

≤ Chα+ 32 ‖uεh‖1,Ω‖vh‖1,Ω +

(uεh · nh, vh · n

)0,ΓC

,

≤ Chα+ 32 ‖f‖0,Ω‖vh‖1,Ω +

(uεh · nh, vh · n

)0,ΓC

. (3.74)

From (3.49), Lemma 3.6.1, Lemma 3.6.2 and Hölder’s inequality, we obtain∣∣(uεh · nh, vh · n Gh

)0,ΓhC−(uεh · nh, vh · n

)0,ΓC

∣∣ ≤ ∫ΓhC

|DGh − I||(uεh · nh)(vh · n Gh)|

≤ C∑

ΓhiC⊂ΓhC

h(>i)‖uεh · nh‖0,ΓhiC‖vh · n Gh‖0,ΓhiC

≤ Ch‖uεh · nh‖0,ΓhC‖vh · n‖0,ΓC

≤ Ch52 ε

12 ‖f‖

120,Ω‖vh‖1,Ω. (3.75)

The estimate on T5,h then follows :

T5,h ≤ Cε−1hα+ 3

2 ‖f‖0,Ω + ε−12(hα + h

52)‖f‖

120,Ω

Theorem 3.6.4 Let (u, p) and (uεh, pεh) are the solution of (3.7)-(3.8) and (3.54)-(3.55),respectively. Then, there exists h0 > 0 such that for all ε > 0 and for all 0 < h < h0, thefollowing error estimate holds :

‖u− uεh‖1,Ω + ‖p− pεh‖0,Ω ≤ Ch

32 ‖f‖1,Ω + ε−1hα+ 3

2 ‖f‖0,Ω + ε−12(hα + h

52)‖f‖

120,Ω (3.76)

+ ε‖ζ‖1,Ω.

Proof The proof follows from inequalities (3.39), (3.64) and the triangular inequality.

Remark If we choose ε = chβ , c, β > 0, then

‖u− uεh‖1,Ω + ‖p− pεh‖0,Ω ≤ Chγ (3.77)

with γ = min3/2 ; α+ 3/2− β ; α− β/2 ; 5/2− β/2 ; β

77

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Remark If nh is he normal vector to Γh, then (3.63) holds with α = 1 ([34], [63]). Hence,γ = min1 − β/2 ; β so that the optimal choice for β is 2/3 and the best order is γ = 2/3.This theoretical result contradicts what have been suggested in [21] based on numerical results.Let us recall that in [21] convergence of the approximate solutions as h −→ 0 could not beobserved and this lack of convergence was thought to be caused by a Babuška’s like paradox.Our interpretation is that the numerical results in [21] were obtained with a fixed and verysmall value (ε = 10−8), and the lower is ε, the larger is the constant C in estimate (3.77),so that the theoretical convergence order or even convergence as h −→ 0 could be difficult toobserve unless by taking very small values of h. Note that, in this direction, the numericalresults presented in the next section show that with ε = ch2/3 or ε = ch with small values ofc, numerical convergence of the approximations (as h −→ 0) is not observable for the valuesof h used for these computations.

Remark if we choose nh := nGh, as done in [6] with another method (the zero flux conditionis imposed strongly at finite element nodes only), then (3.63) holds with α = +∞ and thebest convergence order is γ = 3/2 (obtained with β ≥ 3/2), which is the optimal convergenceorder obtained in [6] and [34]. The numerical results presented in the next section also confirmthat. Note that this choice gives a continuous nh.

Remark We can make other choices for nh. For instance, as the vertices of Γh lie on Γ, we candefine nh to be the normalization of the linear continuous interpolation of n at these points.We can also define a continuous approximation nh based solely on Γh and its normal insteadof based on n. This can be done, for instance, by first defining the value of nh at vertices tobe the arithmetic mean or other types of combination of the normal vectors to adjoining faces(see Figure 3.2 for an example and [21] for other examples in two space dimensions), and thenby defining nh as the normalization of the linear continuous interpolation of these vectors atvertices. Note that all theses choices give a continuous nh.

3.7 Numerical Results

For the numerical tests, we take the same example as in [21] where the computations wereperformed with a fixed value of ε and various choices of h. For the computations shown here,we shall take ε = c hβ and verify that the numerical convergence orders are at least as goodas the ones obtained theoretically in the previous section (see the ending remarks).

Here Ω is a two-dimensional circular ring centered at the origin. The outer boundary is chosento be ΓC while the inner boundary is decomposed in ΓD and ΓN , as depicted in Figure 3.3.

The manufactured exact solution is

u(x, y) :=

(−y√x2 + y2

,x√

x2 + y2

), p(x, y) := x2 + y2. (3.78)

78

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Right hand sides of Stokes equations with slip boundary conditions (3.1)-(3.6) are fixed ac-cordingly. Let us note, in particular, that ∇ · u = 0, u · n = 0 and the outgoing unit normalvector to ΓC is

n(x, y) :=

(x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

). (3.79)

For the computations, we work on a series of eight meshes constructed in a structured way, sothat Γh are regular polygons. The first one is shown in Figure 3.4. The remaining meshes areobtained by dividing h by 2 each time.

For the first series of computations, nh is the normal to Γh and ε = c hβ , with β = 2/3

and three different values of c : 1, 10−2 and 10−4. Recall that, with respect to the estimatesderived in this work, this choice of β gives the best convergence order, here 2/3, for this choiceof nh. In Figure 3.5, see also Table 3.1, we see that with c = 10−2 the convergence order iseven slightly better. But for the other chosen values of c the error-graphs don’t attain theirasymptotic slopes for the smaller values of h and errors are quite large compared to thoseobtained with c = 10−2. The case c = 10−4 gives an explanation why a lack of convergencewas interpreted from the computations in [21] where ε was fixed with a very small (in a range10−6-10−8) value.

In order to confirm these results, for a second series of computations, nh is still the normalto Γh but now ε = c hβ , with β = 1. According to the estimates in the previous section, theconvergence order should at least be 1/2. As shown in Figure 3.6, this is indeed the case, andit is even slightly better, at least with c = 10−2 (see also Table 3.2). Again, for c = 1 andc = 10−4, the values of h do not seem to be small enough to observe numerically asymptoticconvergence orders that illustrate the theoretical results.

Finally, in a last series of computations, we use a smoother (continuous) approximation nh,by simply taking nh := n Gh. In fact, as ΓC is a circle, and vertices lie on ΓC , nh coïncideswith the normalization of the linear continuous interpolation of n at vertices. Moreover, nhhas the same analytical expression as n, that is (3.79). We take ε = c hβ with β = 3/2, so that,according to the estimates in the previous section, the convergence order should at least be3/2 which is the optimal convergence order. As convergence orders are very clear numericallyand error-graphs look almost the same for a large variety of values of c, we only show theresults for c = 1, in Figure 3.7 and Table 3.3. Convergence orders are in fact close to 3 here. Inthis regard, let us note that the numerical results in [21], where computations were performedusing various choices of (continuous) regularized normals, also show very good convergenceorders for a fixed (and very small) value of ε.

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h ‖p− pεh‖0,Ω order ‖u− uεh‖0,Ω order ‖∇u−∇uεh‖0,Ω order

1.23× 100 3.200×100 - 1.716×100 - 4.598×10−1 -6.74× 10−1 2.269×100 0.495 1.590×100 0.110 3.585×10−1 0.3583.49× 10−1 1.465×100 0.631 1.191×100 0.416 2.674×10−1 0.4231.77× 10−1 8.936×10−1 0.713 7.169×10−1 0.732 1.628×10−1 0.7158.97× 10−2 5.276×10−1 0.760 3.583×10−1 1.000 8.212×10−2 0.9874.50× 10−2 3.148×10−1 0.744 1.606×10−1 1.157 3.729×10−2 1.1382.25× 10−2 1.927×10−1 0.708 6.966×10−2 1.205 1.655×10−2 1.1711.13× 10−2 1.200×10−1 0.683 3.104×10−2 1.167 7.867×10−3 1.073

Table 3.1 – Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = 10−2 h2/3

h ‖p− pεh‖0,Ω order ‖u− uεh‖0,Ω order ‖∇u−∇uεh‖0,Ω order

1.23× 100 3.315×100 - 1.706×100 - 4.574×10−1 -6.74× 10−1 2.146×100 0.627 1.633×100 0.062 3.679×10−1 0.3133.49× 10−1 1.328×100 0.692 1.361×100 0.262 3.050×10−1 0.2701.77× 10−1 8.319×10−1 0.675 1.002×100 0.441 2.268×10−1 0.4278.97× 10−2 5.034×10−1 0.724 6.537×10−1 0.616 1.486×10−1 0.6104.50× 10−2 2.867×10−1 0.812 3.852×10−1 0.763 8.775×10−2 0.7602.25× 10−2 1.549×10−1 0.888 2.114×10−1 0.865 4.821×10−2 0.8641.13× 10−2 8.091×10−2 0.937 1.112×10−1 0.928 2.536×10−2 0.927

Table 3.2 – Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = 10−2 h

h ‖p− pεh‖0,Ω order ‖u− uεh‖0,Ω order ‖∇u−∇uεh‖0,Ω order

1.23× 100 11.573×100 - 2.474×100 - 4.810×10−1 -6.74× 10−1 8.905×100 0.37 1.278×100 0.95 3.239×10−1 0.573.49× 10−1 3.542×100 1.33 4.979×10−1 1.36 1.365×10−1 1.241.77× 10−1 6.347×10−1 2.48 9.073×10−2 2.45 2.546×10−2 2.428.97× 10−2 8.520×10−2 2.89 1.224×10−2 2.88 3.488×10−3 2.864.50× 10−2 1.080×10−2 2.97 1.561×10−3 2.97 4.495×10−4 2.95

Table 3.3 – Errors with nh := n Gh and ε(h) := h32

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m = 5

Ω5

m = 7

Ω7

m = 10

Ω10

m = 14

Ω14

· · ·

m −→ +∞

Ω := Ω+∞

Figure 3.1 – A sequence of polygonal domains (Ωm)m>0 converging to a smooth curveddomain Ω, m being the number of vertices (inspired from [25], Chap. 1)

nh(s) = (L1n1h + L2n2

h)/(L1 + L2)

n 2h

n1h

ΓC

Γ hC

L1 L2

Figure 3.2 – An example of definition of nh at vertices from the normals of adjoining faces

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Ω

ΓDΓD ΓNΓN

ΓCΓC

Figure 3.3 – Smooth domain Ω.

ΓhDΓhD ΓhNΓhN

ΓhC

Figure 3.4 – Coarse mesh of the computational domain .

82

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10−2 10−1 100

10−2

10−1

h

c=1c = 10−2

c = 10−4

e = 0.1h23

‖∇u−∇uεh‖0,Ω

10−2 10−1 100

10−2

10−1

100

101

h

c=1c = 10−2

c = 10−4

e = 0.1h23

‖p− pεh‖0,Ω

Figure 3.5 – Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = c h2/3 for different valuesof c

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10−2 10−1 100

10−1.5

10−1

10−0.5

h

c=1c = 10−2

c = 10−4

e = 0.2h12

‖∇u−∇uεh‖0,Ω

10−2 10−1 100

10−1

100

101

h

c=1c = 10−2

c = 10−4

e = 0.2h12

‖p− pεh‖0,Ω

Figure 3.6 – Errors with the normal to Γh as nh and with ε(h) = c h for different values of c

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10−1 100

10−3

10−2

10−1

100

101

h

‖p− pεh‖‖u− uεh‖‖∇(u− uεh)‖e = 0.05h

32

Figure 3.7 – Errors with nh := n Gh and ε(h) := h32

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Conclusion

L’objectif de cette thèse fut de remédier au paradoxe de Babuška, observé dans l’approximationpar la méthode des éléments finis des conditions de glissement pour les écoulements fluideset les conditions de contact idéal pour les solides élastiques, dans des domaines à frontièrecourbe et régulière. À cette fin, on a étudié numériquement et théoriquement l’efficacité del’application de la méthode de pénalisation pour le traitement de la contrainte introduite parces conditions aux limites.

D’un point théorique, on a démontré que la méthode de pénalisation est bien un remède auparadoxe de Babuška pour un choix judicieux du paramètre de pénalisation ε en fonction dela taille des éléments, même si on utilise la normale (discontinue) aux domaines polygonauxapprochant le domaine à frontière courbe et régulière. Néanmoins, l’utilisation de cette normalediscontinue donne de faibles taux de convergence et des approximations peu précises à moinsd’utiliser des maillages extrêmement fins. En revanche, nous avons démontré qu’une normaleplus régulière (notamment continue) donne un ordre de convergence optimal.

Les tests numériques confirment ces résultats théoriques. De plus, les tests numériques ont misen évidence d’autres remèdes dont un à pauvre précision obtenue avec la normale discontinue.Les remèdes mis en évidence sont : des régularisations continues de cette normale, l’utilisationd’éléments finis isoparamétriques de degré 2, et la sous-intégration du terme de pénalisationavec une quadrature de Gauss.

La présente étude pourrait être étendue au 3D d’un point de vue numérique, et plus généra-lement aux équations de Navier-Stokes, à la fois numériquement et théoriquement. De plus, ilserait intéressant et utile d’étendre cette étude théorique et numérique de la méthode de péna-lisation aux problèmes de contact unilatéral, puisque seul le cas de domaines polygonaux a faitl’objet d’analyses théoriques jusqu’à présent, alors que la méthode est couramment utilisée enpratique pour des domaines à frontière courbe.

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