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Analyse numerique 3 : evolution

Gabriel TURINICI

cours 2010-2011

Responsable cours : Gabriel TURINICI

Responsable TD : Gabriel TURINICI, Alessandra IACOBUCCI

Responsable des TP : Julien SALOMON

Volume horaire 20H cours + 14H TD + 6H TP

Semestre 6

Controle des connaissances : NF = 0,3PR + 0.7E(E = Examen , PR= Projet)

Objectif de l’enseignement : analyse numerique des problemes d’evolution

Site www : (utilisateur : “numeriqueM1” pass : “evolution”)Aller a http://www.ceremade.dauphine.fr/~turinici/ ensuite aller

sur “Cours” ensuite choisir le votre.

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Table des matieres

1 Exemples d’equations d’evolution : epidemiologie, trafic, dif-fusion de chaleur, finances 5

2 Equations differentielles ordinaires (EDO) 62.1 Existence et unicite de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Schemas numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Definition de 4 schemas : . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Erreur, consistance et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Consistance et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Stabilite et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Zero-stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3 Stabilite absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Methodes d’ordre superieur : Runge-Kutta . . . . . . . . . . . 142.5.1 Construction de methodes d’ordre 2 (explicites) . . . . 152.5.2 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Pas de temps adaptatif pour R-K . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Systemes d’EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7.1 Stabilite d’un systeme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7.2 Systemes raides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.8 Application en epidemiologie : modele SIR . . . . . . . . . . . 192.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9.1 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9.2 Erreur de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9.3 Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9.4 Probleme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9.5 Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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2.9.6 Systemes d’EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Equations differentielles stochastiques (EDS) 253.1 Rappels : mouvement brownien, martingales, integrales et pro-

cessus stochastiques, formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Formules d’Ito -Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 Rappels : Taylor sous forme integrale . . . . . . . . . . 293.2.2 Formules d’Ito -Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Schemas numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.1 Euler-Maruyama et Milshtein . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2 Schemas implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6 Application au delta-hedging des options et equation de Black&

Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6.1 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6.2 Portefeuille auto-finance . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.3 Valorisation des options par delta hedging, equation de

Black& Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6.4 Valorisation des options par probabilite risque-neutre . 36

3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7.1 EDS : solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Lois de conservation et equations hyperboliques 424.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Methode des caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Resolution d’un probleme hyperbolique par la methodedes caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Probleme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.1 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Generalites sur les differences finies . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Schemas numeriques (FTCS, Lax, upwind, stabilite) . . . . . . 524.5.1 Le schema FTCS (Forward Time Centered Space) . . . 524.5.2 Le schema de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5.3 Le schema ”upwind” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5.4 Schemas d’ordre deux : Lax-Wendroff . . . . . . . . . . 56

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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5 Equations aux derivees partielles (EDP), equation de la cha-leur 605.1 Motivation : evaluation d’options par Black & Scholes . . . . . 605.2 Rappels sur les EDP : espaces fonctionnels, formulation varia-

tionnelle, lemme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.4 Lemme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Formulations variationnelles (Galerkin) pour la discretisationdes EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.2 Mise en oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.3 Illustration : interpolation P 1 pour fonctions C2 . . . . 68

5.4 Differences finies pour des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4.1 Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4.2 Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4.3 Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4.4 Retour a Black&Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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Chapitre 1

Exemples d’equationsd’evolution : epidemiologie,trafic, diffusion de chaleur,finances

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Chapitre 2

Equations differentiellesordinaires (EDO)

Soit I un intervalle ouvert inclus dans <+. On considere l’equation differentielleordinaire suivante :

dX

dt= f(t,X(t))

X(t0) = X0

dont la forme integrale est

X(t) = X(t0) +

t∫t0

f(s,X(s))ds (2.1)

et X(t) ⊂ R. On remarque que si f est continue alors X(t) est C1.

2.1 Existence et unicite de la solution

Afin de montrer l’existence et l’unicite de la solution de l’EDO precedente,on utilise les 2 theoremes suivants :

Theoreme 1 (Cauchy-Lipschitz variante locale) Soient f une fonctioncontinue, Lipschitz par rapport a X localement en X0, t0, c’est a dire qu’ilexistent 2 boules Bx(X0, Rx), Bt(t0, Rt) et une constante L telle que

|f(t,X1)− f(t,X2)| ≤ L|X1 −X2|

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pour tout t ∈ Bt et X1, X2 ∈ Bx. Alors le probleme de Cauchy admet unesolution locale unique :X(t) : (t0 − ε, t0 + ε) −→ R (ε > 0). De plus, X(t) est C1.

Theoreme 2 (Cauchy-Lipschitz variante globale) Sous les memes hy-potheses que le theoreme 1,si L est la meme pour tout Rx (rayon de la boule),alors une solution globale existe et est unique.

Variante : il y a existence et unicite globale egalement si on peut trouverune fonction continue α : R→ R+ telle que

|f(t,X1)− f(t,X2)| ≤ α(t)|X1 −X2|.

Exemples1/ f(t,X) = rX avec r ∈ R constante. Alors |f(t,X1)−f(t,X2)| = |r| · |X1−X2| donc nous obtenons existence globale ;2/ f(t,X) = 5

X−3. Un calcul immediat nous donne |f(t,X1) − f(t,X2)| =

5|(X1−3)(X2−3)| · |X1 − X2| donc nous obtenons existence locale pour L >

5|(X0−3)(X0−3)| dans un voisinage de tout point (t0, X0 6= 3). Par contre comme

5|(X0−3)(X0−3)| n’est pas borne autour de X0 = 3 le thm. d’existence globalen’est pas applicable.

2.2 Schemas numeriques

Si la solution du probleme de Cauchy existe, elle est unique (cf theoremeprecedent). Pour trouver la solution on l’approche a l’aide de schemas. L’ap-proximation se fait sur [0, T ] par N points.

Notations : - l’equation a resoudre X(t) = f(t,X(t))

- h =T

N, tn = n · h, ∀n ≤ N

- Xn = X(tn) ;On notera par Un une approximation de Xn et fn = f(tn, Un) ;

Comment calculer les Un ? Par exemple en partant de la formule suivante :

X(tn+1) = X(tn) +

tn+1∫tn

f(s,X(s))ds.

Un schema a un pas est donne par la formule :

Un+1 = Un + hφ(tn, Un, f, h) (2.2)

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Chaque fonction φ donne un autre schema numerique. Sauf quand il estexplictement mentionne (cf. exercices ci-dessous), on supposera que (2.2)admet toujours une solution unique Un+1.

2.2.1 Definition de 4 schemas :

Nous allons expliciter quelques schemas pour f1(t,X) = rX et f2(t,X) =

rX2. Nous rappelons que pour f1 la solution X(t) de ˙X(t) = f1(t,X(t)) est

X(t) = ertX0 alors que pour f2 la solution Y (t) de ˙Y (t) = f2(t, Y (t)) estY (t) = Y0

1−rtY0.

– Euler explicite (EE) :Un+1 = Un + hf(tn, Un) = Un + hfnU0 = X(0)

Justification : la formulation integrale approximation par une methodedes rectangles.Exemples : pour f1 : Un+1 = Un + hrUn = (1 + rh)Un ; pour f2 :Un+1 = Un + hrU2

n = (1 + rhUn)Un.– Euler implicite (EI) :

Un+1 = Un + hfn+1

U0 = X(0)

Exemples : pour f1 : Un+1 = Un + hrUn+1 donc Un+1 = Un1−rh ; pour f2 :

Un+1 = Un+hrU2n+1 donc Un+1 est solution de rhU2

n+1−Un+1 +Un = 0.– Cranck Nicholson (CN) :

Un+1 = Un + h[fn + fn+1

2

]U0 = X(0)

Justification : la formulation integrale approximation par une methodedes trapezes.

Exemples : pour f1 : Un+1 = Un + hrUn+Un+1

2donc Un+1 =

1+ rh2

1− rh2

Un ;

pour f2 : Un+1 = Un + hrU2n+U2

n+1

2donc Un+1 est solution de rh

2U2n+1 −

Un+1 + (1 + rh2Un)Un = 0.

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– Heun (H) :Un+1 = Un +

h

2

[fn + f(tn+1, Un + hfn)

]U0 = X(0)

Exemples : pour f1 : Un+1 = Un + h2[rUn + r(Un + hrUn)] ; pour f2 :

Un+1 = Un + h2[rU2

n + r(Un + hrU2n)2].

2.3 Erreur, consistance et ordre

2.3.1 Erreur

Quand on introduit la solution exacte dans la formule (2.2) des methodes aun pas on obtient les ”erreurs de troncature”.

X(tn+1) = X(tn) + hφ(tn, Xn, f, h) + hτn+1(h) (2.3)

ou encore

τn+1(h) =X(tn+1)−X(tn)− hφ(tn, Xn, f, h)

h(2.4)

Definition 1 La difference qui apparait lorsqu’on met la vraie solution dansle schema numerique est dite erreur de troncature. Ici il s’agit de τn+1(h) quiest l’erreur de troncature locale au pas n + 1. L’erreur de troncature globaleest : τ(h) = max

n=1,...,N| τn(h) |.

Remarque 1 L’erreur de troncature est ici la meme chose que l’erreur entreXn+1 et le Un+1 obtenu en partant de Un = Xn.

ExemplesEuler explicite : par la formule de Taylor a l’ordre 2 :

X(t+ h) = X(t) + hX(t) +1

2h2X(ξ), ξ ∈ [t, t+ h]

Pour (t = tn et tn + h = tn+1), on obtient : τn+1(h) =1

2hX(ξn).

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2.3.2 Consistance et ordre

Definition 2 Un schema est dit consistant si :

limh→0

τ(h) = 0, (2.5)

c’est a dire que pour h petit la solution exacte verifie le schema).Un schema est d’ordre ”p” si : τ(h) = O(hp) pour h→ 0.

2.4 Stabilite et convergence

2.4.1 Zero-stabilite

Pour etudier la stabilite par rapport aux perturbations, on regarde si Zhn

defini par Z

(h)n+1 = Z

(h)n + h

[φ(tn, Z

(h)n , f, h

)+ δn+1

]Z

(h)0 = δ0 +X0

est proche de Un+1.

Definition 3 Le schema donne par φ est dit zero-stable s’il existe h0 et uneconstante C independante ε tels que pour tout h ≤ h0 et |δn| < ε (∀n) :

|Z(h)n+1 − Un+1| ≤ Cε. (2.6)

Theoreme 3 On suppose f Lipschitz et φ Lipschitz par rapport a sa deuxiemevariable ∃Λ > 0, h0 > 0 tel que ∀h < h0

|φ(t,X, f, h)− φ(t, Y, f, h)| < Λ | X − Y | .

Alors le schema numerique donne par φ est zero-stable.

Demonstration Voir cours. Indication : Notons : Wn = Z(h)n − Un. Alors

Wn+1 = Z(h)n − Un + h[φ(tn, Z

(h)n , f, h)− φ(tn, Un, f, h)] + hδn+1

d’ou | Wn+1 |≤| Wn | +hΛ | Wn | +h|δn+1| donc

| Wn+1 |≤| W0 | +hΛn∑s=0

| Ws | +n+1∑s=1

h|δs|

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Lemme 1 (Gronwall discret) Soit Ks une suite de reels positifs et ϕk une

suite telle que pour tout k : ϕk+1 ≤ g0 +k∑s=0

ps +k∑s=0

Ksϕs. Alors pour tout

n : ϕn+1 ≤ (g0 +n∑s=0

ps) exp(n∑s=0

Ks).

Demonstration Voir cours. Indication : cf. TD. Ceci nous permet de conclure

| Wn+1 |6 (1 + nh)ε exp(ΛT ) 6 (1 + T )ε exp(ΛT ).

2.4.2 Convergence

Definition 4 Un schema est dit convergent a l’ordre p si, avec les notationsprecedentes, |Un − Xn| = O(hp). Un schema convergent a l’ordre 1 est dit”convergent”.

Theoreme 4 Sous les memes hypotheses que le theoreme 3 on a alors :

|Un −Xn| ≤ (| U0 −X0 | +nhτ(h)) exp(Λnh)

En particulier si | U0−X0 |= O(hp) et τ(h) = 0(hp), alors | Un−Xn |= O(hp)(le schema converge a l’ordre p).

Demonstration Voir cours. Indication : Nous faisons comme dans la preuvedu theoreme 3 avec δj = τj(h) (en utilisant donc le lemme du Gronwalldiscret).

Remarque 2 Le thm. precedent peut etre re-ecrit en disant que la consis-tance et la stabilite impliquent la convergence. C’est un principe sou-vent rencontre.

Corollaire 1 Les schemas d’Euler explicite et implicite convergent a l’ordre1. Les schemas de Crank-Nicholson et Heun convergent a l’ordre 2.

Demonstration Voir cours. Indication : nous detaillons seulement pour leschema de Crank-Nicholson : la definition de l’erreur de tronquature

Xn+1 = Xn +h

2

f(tn, Xn) + f(tn+1, Xn+1)

+hτn+1(h) (2.7)

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donc

Xn+1 = Xn +h

2

X ′n +X ′n+1

+hτn+1(h). (2.8)

Par ailleurs la formule de Taylor a l’ordre 2 pour X ′ et d’ordre 3 pour Xdonnent

X ′n+1 = X ′n + hX ′′n +h2

2X(3)n (η) (2.9)

Xn+1 = Xn + hX ′n +h2

2X ′′n +

h3

6X(3)n (ξ) (2.10)

En remplacant (2.9) et (2.10) dans (2.8) on obtient

hτn+1(h) =h3

6X(3)n (ξ)− h3

4X(3)n (η) (2.11)

d’ou τn+1(h) = O(h2).

2.4.3 Stabilite absolue

Ici la stabilite est regardee sous l’angle de la solution en temps T grand, maispour un pas h fixe. Pour λ ∈ C, t ≥ 0 on considere le probleme test :

Y (t) = λY (t) (2.12)

Y (0) = 1

dont la solution est Y (t) = eλt. Pour <(λ) < 0 nous obtenons limt→+∞

Y (t) = 0.

Donc toute perturbation locale en temps est ”effacee” en temps long. Ceci estune propriete tres convenable pour les schemas numeriques qui doivent luttercontre les erreurs d’arrondi etc. Nous voulons conserver cette propriete.

Definition 5 Un schema est dit absolument stable si ∀h, λ : Un → 0. Sinonsa region de stabilite absolue est :

hλ ∈ C|Un → 0.

ExemplesEuler explicite

Un+1 = Un + hλUn = (1 + hλ)Un = (1 + hλ)n+1U0

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-1

1

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@@R

region de stabilite

Fig. 2.1 – La stabilite de Euler explicite.

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region de stabilite

Fig. 2.2 – La stabilite de Euler implicite.

On definit sa region de stabilite en imposant la condition de stabilite :|1 + hλ| < 1. C’est donc l’interieur de B((-1,0),1).

Euler implicite Un+1 = Un + hλUn+1 =Un

1− hλ=

U0

(1− hλ)n+1

Comme precedemment, pour trouver la region de stabilite, on limite le pasde temps h en imposant la condition de stabilite :

|1− hλ| > 1

Il s’agit donc ici de l’exterieur de la B((1,0),1).

Crank-Nicholson

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region de stabilite

Fig. 2.3 – La stabilite de Crank-Nicholson.

Un+1 = Un +h

2(λUn + λUn+1) =

1 +hλ

2

1− hλ

2

Un =

1 +hλ

2

1− hλ

2

n+1

U0

On definit la region de stabilite en limitant le pas de temps h en imposantla condition de stabilite : ∣∣∣∣∣∣∣

1 +hλ

2

1− hλ

2

∣∣∣∣∣∣∣ < 1

Heun : la region de stabilite est hλ tels que |1 + hλ+ (hλ)2

2| < 1

2.5 Methodes d’ordre superieur : Runge-Kutta

Il s’agit de methodes qui evaluent la fonction a des pas intermediaires :

Un+1 = Un + hF (tn, Un;h, f)

avec la fonction F du schema definie par

F (tn, Un;h, f) =s∑i=1

biKi, bi ∈ R (2.13)

Ki = f(tn + cih, Un + h

s∑j=1

aijKj), i = 1, 2, ..., s. (2.14)

14

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Une telle methode est dite de Runge-Kutta (R-K). Pour une presentation

plus simple nous introduisons le tableau du Butcher du schemac AbT

ou encorec1 a11 a12 ... a1s

c2 a21 a22 ... a2s

... ... ... ... ...cs as1 as2 ... ass

b1 b2 ... bs

(2.15)

Nous supposerons toujours∑s

j=1 aij = ci.

Definition 6 Si A est strictement triangulaire inferieure alors la methodeest dite explicite ; si A est seulement triangulaire inferieure alors la methodeest semi-explicite. Dans tous les autres cas il s’agit d’une methode implicite.

Exemple de methode R-K d’ordre 4 :

Un+1 = Un +h

6(K1 + 2K2 + 2K3 +K4) (2.16)

K1 = fn = f(tn, Un), K2 = f(tn +h

2, Un +

h

2K1), (2.17)

K3 = f(tn +h

2, Un +

h

2K2), K4 = f(tn+1, Un + hK3). (2.18)

Le tableau de Butcher associe est

0 0 0 0 01/2 1/2 0 0 01/2 0 1/2 0 01 0 0 1 0

1/6 1/3 1/3 1/6

. (2.19)

2.5.1 Construction de methodes d’ordre 2 (explicites)

Pour construire une methode d’ordre 2 nous partons de Un = Xn. Larecurrence est Un+1 = Un + h(K1b1 + K2b2) avec K1 = f(tn, Xn) et K2 =f(tn + c2h,Xn + hc2K1).

On developpe en serie Taylor et on obtient les conditions b1 + b2 = 1,b2c2 = 1/2. Il existe donc plusieurs methodes.

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2.5.2 Consistance

Theoreme 5 Soit f une fonction Lipschitz. Alors la methode R-K (expli-cite) est consistante si et seulement si

∑si=1 bi = 1.

Demonstration Voir cours. Indication : par developpements de Taylor.

Remarque 3 Pour les methodes implicites il faudrait aussi montrer l’exis-tence d’une solution pour les pas de temps.

2.6 Pas de temps adaptatif pour R-K

Motivation : parfois la solution est presque constante, mais parfois elleest tres variable. on voudrait profiter des regions ”calmes” et utiliser un pash grand, qui sera adapte ensuite dans les regions tres oscillantes. Pour ceciil faut faire du pas adaptatif (c’est a dire variable et ajuste). Pour savoircomment choisir ce pas il faut avoir des estimations d’erreur.

Comment estimer l’erreur en pratique ? Le plus facile serait de doubler lepas

X(tn + 2h) = X1 + (2h)p+1ψn +O(hp+2) (2.20)

X(tn + 2h) = X2 + 2hp+1ψn +O(hp+2). (2.21)

Ici X1 est obtenu apres un pas 2h alors que X2 est obtenu apres 2 pas h. Nousremarquons que nous avons suppose travailler avec une methode d’ordre p.La quantite ∆ = X2 −X1 = (2p+1 − 2)hp+1ψn nous aide a ajuster le h.

Remarque 4 Il est possible d’obtenir une approximation d’ordre p + 1 carX(tn + 2h) = X2 + ∆

2p−1+O(hp+2). Mais alors l’erreur serait inconnue.

Bien qu’en principe la methode ci-dessus serait interessante, elle utilisetrop d’evaluation de f . Nous allons la raffiner en construisant deux methodesqui utilisent les memes evaluations (donc memes Ki) mais dont les combi-naisons lineaires faisant intervenir les bi donnent d’ordres differents. Nousparlons alors de schemas emboıtees de Runge-Kutta-Fehlberg (R-K-F).

Notation :

c AbT

bT

ET

, ou c, A, b donnent un schema d’ordre p alors que c, A, bT

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donnent un schema d’ordre p + 1. La difference E = b − b sert a estimerl’erreur de tronquature ∆ = h

∑si=1EiKi.

Les plus populaires sont les schemas R-K-F d’ordres 4-5 ou 5-6 ou encore2-3. En pratique l’algorithme est le suivant :

- nous precisons au debut une tolerance ∆0

- si ∆ ≥ ∆0 alors nous refaisons le calcul avec le pas h = h p+1

√∆0

∆.

- si ∆ ≥ ∆0 le pas h est maintenu constant.

2.7 Systemes d’EDO

Soit I ⊂ R+ un intervalle ouvert et F : R×Rn → Rn. Il s’agit de resoudrele probleme de Cauchy suivant :

Y ′(t) = F (t, Y (t))Y (t = 0) = Y0 ∈ Rn (2.22)

Exemple : X ′′ = f(X) n’est pas une EDO, mais on peut la mettre sousforme d’un systeme, en posant : Y1 = X, Y2 = X ′ et on obtient :

Y ′1 = Y2

Y ′2 = f(Y1)

Theoreme 6 (existence et unicite) Soit F :] − ∞,∞[×Rn → Rn unefonction continue et est Lipschitz par rapport a la deuxieme variable

‖F (t, y)− F (t, y)‖ ≤ L‖y − y‖ ∀t ∈ R, ∀y ∈ Rn,

avec un L ne dependant pas de y ∈ Rn. Alors le probleme de Cauchy (2.22)admet un solution unique y(t) globale (c’est-a-dire definie pour tout t ≥ 0). SiF est Lipschitz seulement autour de (t0 = 0, Y0), alors la solution est definieseulement localement.

Cas particulier : F (t, y) = Ay avec A matrice n× n. Le problemeY ′ = AYY (0) = Y0

admet la solution (unique) Y (t) = eAtY0 ou on rappelle la definition de

eAt =∑∞

n=0(At)k

k!.

Si A est diagonalisable c’est-a-dire :

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1) ∃Q inversible tel que A = QDQ−1, D diagonale2) ou d’une maniere equivalente ∃Vi, λi, tel que AVi = λiVi, ‖Vi‖ = 1 etVi; i = 1, . . . , n est une base de Rn

alors, Y (t) =∑n

i=1 eλitVi < y0, Vi >.

2.7.1 Stabilite d’un systeme :

En posant Z = Q−1Y nous obtenons :

Y ′ = AY =⇒ Y ′ = QDQ−1Y =⇒ Q−1Y ′ = DQ−1Y (2.23)

et donc comme Z ′ = (Q)−1Y ′ on obtient par les egalites precedentes l’equationdifferentielle : Z ′ = DZ et le probleme :

Z ′1 = λ1Z1...

Z ′n = λnZn

Les solutions de ce probleme s’ecrivent : Zi(t) = eλitZi(t = 0) et la stabilitedu systeme equivaut a la stabilite de toutes les EDO dans le probleme.Exemples

- Euler explicite : Un+1 = Un + hf(tn, Un). Soit f(y) = Dy.En appliquant Euler explicite a cette exemple on a : Un+1 = Un+hDUn =

(1 + hD)Un donc le schema est stable si |1 + hλi| < 1 pour tout i = 1, . . . , n.-Euler implicite : Un+1 = Un+hf(tn+1, Un+1) ; pour l’exemple precedent,

on a : Un+1 = Un+hDUn+1 donc Un+1 = (1−hD)−1Un. Le schema est stablesi |1− hλi| > 1 pour tout i = 1, . . . , n.

Implementation Nous considerons toujours le cas f(t, y) = Ay.- pour les schemas explicites Un+1 = Un+hAUn donc c’est un calcul direct- pour les schemas implicites Un+1 = Un + hAUn+1 donc Un+1 = (I −

hA)−1Un ; il faut resoudre un systeme lineaire. Pour des fonctions f pluscompliquees il faut faire une methode de Newton ou une approximation ...

2.7.2 Systemes raides

Nous avons vu que les schemas implicite etait parfois difficiles de mettreen oeuvre ; pourquoi les utiliser alors ? Considerons le systeme differentiel

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suivant :

u′ = 998u+ 1998v avec u(0) = 1

v′ = −999u− 1999v avec v(0) = 0

On fait le changement de variables u = 2y − z et v = −y + z, ce qui nousdonne

y′ = −yz′ = −1000z

⇒y(t) = e−tyoz(t) = e−1000tz0

(donc λ1 = −1, λ2 = −1000). On retourne a nos variables initiales, et onobtient la solution desiree,

u = 2e−t − e−1000t,

v = e−t + e−1000t.

Pour la stabilite de Euler explicite il faut |1 +hλ1| < 1 et |1 +hλ2| < 1, donch ≤ 2

1000.

Pour la stabilite de Euler implicite il faut |1−hλi| > 1, qui est toujours verifie(∀h > 0). Supposant que nous sommes interesses seulement par la partie ene−t de la solution (on traite donc e−1000t comme une perturbation ce qu’ellel’est en fait), la precision des deux schemas pourrait etre bonne pour des pash assez grands ; pourtant pour Euler explicite nous sommes obliger d’utiliserun h petit car sinon il n’y a pas de stabilite. Conclusion : utiliser de schemasimplicites permet de resoudre avec h plus grand donc plus rapidement.

2.8 Application en epidemiologie : modele SIR

Les variables :- S = le nombre de personnes susceptibles d’etre infectees (la population

non encore touchee par l’epidemie).- I = les personnes infectees.- R = les personnes qui ont eu la maladie, qui sont mortes ou qui ne

peuvent plus la transmettre (ayant acquis l’immunite ou car en quarantaineetc).Hypotheses du modele :

1. Le nombre d’infection (passage de S a I) est proportionnel au nombrede rencontres S × I. On peut le definir de la maniere suivante :

S(t+dt)−S(t) ≈ nombre infections nouvelles entre t et t+ dt (pris avec signe moins)

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2. Le passage I → R est proportionnel au nombre d’individus en I. Onpeut le definir de la maniere suivante :

R(t+ dt)−R(t) ≈ aI(t)dt

Nous obtenons le systeme d’equations, dit modele SIR

dSdt

= −rSI (2.24)dIdt

= rSI − aI (2.25)dRdt

= aI (2.26)

On suppose S(0) = S0 6= 0, I(0) = I0 > 0, R(0) = R0 = 0

Remarque 5 ddt

(S + I +R) = 0 donc S + I +R = cst.

Criteres du modele :Le ρ = rS

aest dit taux de reproductivite ; il intervient dans dI

dt= (ρ− 1)aI.

- si ρ(t = 0) < 1⇒ pas d’epidemie.- si ρ(t = 0) > 1 alors il y a epidemie. I croit ensuite decroıt. Le nombre

total d’individus infectes est R∞ := limt→∞R(t) = I0 + S0 − limt→∞ S(t).(limt→∞ S(t) existe car S(t), I(t), R(t) ≥ 0∀t et S ).

Remarque 6 S∞ := limt→∞ S(t) 6= 0 ; on parle alors de phenomene d’im-munite du groupe du modele SIR.

En pratique : r, a sont inconnues, on procede en 2 etapes1) inversion : trouver r, a a partir des observations R(n), n = 1, . . . , Nmax

2) prevision : calculer S(t), I(t), t ≥ Nmax

Remarque 7 Des modeles plus compliques sont parfois necessaires, par exemple :S → E → I → R.

Remarque 8 Les politiques sanitaires ont pour but d’influencer r, a et S0 :quarantaine : a croit et r decroıt ; vaccination : S0 decroıt, etc.

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2.9 Exercices

2.9.1 Ordre

Exercice 1 Decider lesquelles affirmations sont vraies :

1. pour√h :√h = O(h),

√h = O(h2),

√h = O( 1

h),√h = O(h1/4) ;

2. pour sin(h) : sin(h) = O(h), sin(h) = O(h2), sin(h) = O( 1h), sin(h) =

O(h1/4) ;

3. Pareil pour√h+ sin(h).

2.9.2 Erreur de troncature

Exercice 2 Trouver l’ordre de l’erreur de troncature pour les schemas deEuler Implicite (EI) et Heun.

2.9.3 Lemme de Gronwall

Exercice 3 (variante integrale)Soit T > 0 (il peut etre ∞ aussi), a(t), b(t),λ(t) des fonctions continues

sur [0, T ], λ(t) ≥ 0 pour tout t. On note Λ(t) =∫ t

0λ(τ)dτ .

1. Si pour tout t > 0 :

a(t) ≤ b(t) +

∫ t

0

λ(s)a(s)ds, (2.27)

alors

a(t) ≤ b(t) +

∫ t

0

eΛ(t)−Λ(s)λ(s)b(s)ds. (2.28)

Indication : Majorer la derivee de A(t) = e−Λ(t)∫ t

0λ(s)a(s)ds.

2. Si b est derivable avec la derivee integrable sur [0, T ] alors

a(t) ≤ eΛ(t)

(b(0) +

∫ t

0

e−Λ(s)b′(s)ds

)(2.29)

3. Si en plus b est monotone croissante alors

a(t) ≤ eΛ(t)b(t). (2.30)

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4. Verifier que en l’absence de l’hypothese λ(t) ≥ 0 un contre-exemple estλ(t) = λ < 0, b(t) = b+ ω(t) , supp(ω) ⊂]0, T [, a(t) = beλt.

Exercice 4 (variante differentielle sans hypothese de signe)Soit T > 0 (il peut etre ∞), g(t),λ(t) des fonctions continues sur [0, T ]

et a(t) une fonction derivable et dont la derivee est continue sur [0, T ]. Onnote Λ(s) =

∫ t0λ(τ)dτ .

Si pour tout t > 0 :a′(t) ≤ g(t) + λ(t)a(t) (2.31)

alors

a(t) ≤ eΛ(t)a(0) +

∫ t

0

eΛ(t)−Λ(s)g(s)ds. (2.32)

Indication : Majorer la derivee de A(t) = e−Λ(t)a(t).

Exercice 5 (variante discrete) Soit kn une suite de reels positifs et φn ≥ 0une suite telle que

φ0 ≤ g0 (2.33)

φn ≤ g0 +n−1∑s=0

ps +n−1∑s=0

ksφs, n ≥ 1. (2.34)

Si g0 ≥ 0 et pn ≥ 0 pour tout n ≥ 0 alors

φn ≤

(g0 +

n−1∑s=0

ps

)exp

(n−1∑s=0

ks

)(2.35)

2.9.4 Probleme de Cauchy

Exercice 6 Soit le probleme de Cauchy :

x′ = 2y (2.36)

y′ = −2x− 4x3 − y (2.37)

partant de (x(0), y(0)) = (x0, y0) 6= (0, 0). Demontrer que ce probleme admetune solution maximale sur tout l’intervalle ]α, β[ (avec −∞ ≤ α < β ≤ ∞).

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Exercice 7 On considere le probleme de Cauchy :

x′(t) = 2|x(t)|1/2 (2.38)

x(0) = 0 (2.39)

1. Demontrer que pour toute constante λ ≥ 0 ce probleme admet la so-lution xλ(t) = (t − λ)2 si t ≥ λ et xλ(t) = 0 sinon. Commenter surl’unicite.

2. Ecrire un schema d’Euler explicite/implicite et expliquer quelle sera lasolution trouvee par un calcul numerique.

Exercice 8 Donner un resultat de convergence pour le schema d’Euler sansle lemme de Gronwall discret. On supposera la fonction f(t, x) Lipschitz glo-bale de constante L et la solution X(t) de classe C2.

Indications : commencer sans les erreurs d’arrondi et etablir une formulede recurrence pour l’erreur.

2.9.5 Runge-Kutta

Exercice 9 (ecriture R-K)Verifier que la methode de Heun est bien une methode de Runge-Kutta a

deux pas et ecrire les tableaux de Butcher correspondants.De meme pour la methode d’Euler modifiee :

Un+1 = Un + hf(tn +h

2, Un +

h

2fn)

Exercice 10 (θ-schema) On considere le “θ-schema” :

Un+1 = Un + h (1− θ)f(tn, Un) + θf(tn+1, Un+1) .

Demontrer que la region de stabilite de ce schema contient z = hλ;Re(z) <0 ssi θ ≥ 1/2.

2.9.6 Systemes d’EDO

Exercice 11 (Modele SIR)Ecrire un pas de la methode d’Euler implicite pour le systeme

dS/dt = −rSI (2.40)

dI/dt = rSI − aI (2.41)

dR/dt = aI (2.42)

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Exercice 12 Soit le probleme de Cauchy :

x′ = 2y(z − 1) (2.43)

y′ = −x(z − 1) (2.44)

z′ = −xy (2.45)

partant de (x(0), y(0), z(0)) = (x0, y0, z0). Demontrer que ce probleme admetune solution maximale sur tout l’intervalle [0,∞[.

Exercice 13 (systemes autonomes) Soit le systeme x′ = f(x) avec f declasse C1. L’etat x est un vecteur de Rd.

1/ Soit x1 et x2 deux solutions de ce systeme. Alors si ces solutions setouchent en un point elles sont egales.

2/ Soit x une solution. Alors soit t 7→ x(t) est injective soit elle estperiodique.

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Chapitre 3

Equations differentiellesstochastiques (EDS)

3.1 Rappels : mouvement brownien, martin-

gales, integrales et processus stochastiques,

formule d’Ito

Filtrations

Le but de cette section n’est pas de constituer une presentation exhaustivede la theorie des processus stochastique, mais seulement de fixer les notationsqui seront utilisees par la suite. On se referera a d’autres ouvrages (e.g. [5, 7])pour les demonstrations des resultats acceptes ici tels quels.

Definition 7 Une famille (Xt)t≥0 de variables aleatoires sur un espace deprobabilite (Ω,A, P ) a valeurs dans un espace E muni d’une tribu ξ est diteprocessus stochastique a temps continu et a valeurs dans (E, ξ).

Ici t est le temps et t→ Xt(ω) une trajectoire du processus.

Definition 8 Soit (Ω,A, P ) un espace de probabilite. Une filtration (At)t≥0

est une famille croissance de sous-tribus de A.

At s’interprete comme l’information donc on dispose a l’instant t. On ditque Xt est adapte a la filtration (At)t≥0 si ∀t Xt est At mesurable.

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Reciproquement a partir de (Xt)t≥0 on pose At = σ(Xs, s ≤ t) (qui est laplus petite tribu rendant Xs mesurables pour tout s ≤ t ; ”σ” designe la pluspetite sigma algebre contenant les ensembles en question) et At = σ(At∪N )(ici N sont les ensembles de mesure nulle) ; (Xt)t≥0 est adapte par rapport a(At)t≥0 et (At)t≥0 est sa filtration naturelle.

Movement brownien

Il modelise un mouvement tres irregulier mais continu (peut etre dessinesans lever le stylo du papier). Il s’agit d’une suite de variables aleatoires W (t)(indexee par le temps t), notee aussi Wt, et telle que

a/ W0 = 0 avec probabilite 1b/ P-ps t 7→ Wt(ω) est continu sur [0, T ]b/ pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T l’increment W (t)−W (s) est une variable normale

de moyenne 0 et variance t− s : W (t)−W (s) ≈√t− sN (0, 1) (N (0, 1) est

la loi de la variable normale standardc/ pour 0 ≤ s < t < u < v ≤ T les increments W (t) −W (s) et W (v) −

W (u) sont independants.

On rappelle que la densite de N (0, λ) est 1√2πλ

e−x2

2λ ; par ailleurs Wt+dt −Wt

a comme loi N (0, dt) ou encore√dtN (0, 1) (donc c’est intuitivement d’ordre

dt1/2, cf. aussi formule de Ito).

Martingales

Soit (Ω,A, P ) un espace de probabilite et (At)t≥0 une filtration. Unefamille adaptee (Mt)t≥0 de v.a. integrables (c’est a dire telles que E|Mt| <∞)est une martingale si pour tout s ≤ t E(Mt|As) = Ms.

Remarque 9 On obtient facilement E(Mt) = E(M0).

Proposition 1 Soit (Wt)t≥0 un mouvement brownien alors Wt, W2t − t,

eσWt−σ2

tt sont des martingales.

Demonstration Voir cours. Indication : on utilise les proprietes de l’esperanceconditionnelle.

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Integrale de Ito

Il s’agit de donner un sens a∫ T

0f(t, ω)dWt pour un mouvement brownien

Wt et (At)t≥0 sa filtration naturelle.

On se rappelle des sommes de Riemann pour le calcul de∫ T

0h(t)dt qui

font intervenir des divisions t0 = 0 < t1 < t2 < ... < tN = T de [0, T ] et lessommes de Riemann

∑j h(tj)(tj+1− tj). Ces sommes convergent a l’integrale

de Riemann lorsque la finesse de la division tend vers zero.De maniere analogue on construit les sommes de Ito

∑N−1j=0 h(tj)(Wtj+1

−Wtj) ou de Stratanovich

∑N−1j=0 h(

tj+tj+1

2)(Wtj+1

−Wtj). Lorsque la fonction hest deterministe les deux sommes convergent vers la meme limite. Par contresi h est aleatoire (par exemple depend de Wt) les deux sommes ne convergentpas vers la meme limite.

Exemple : h = W , tj = j · dt.Les sommes de Ito :

N−1∑j=0

h(tj)(Wtj+1−Wtj) =

N−1∑j=0

Wtj(Wtj+1−Wtj) (3.1)

=1

2

N−1∑j=0

W 2tj+1−W 2

tj− (Wtj+1

−Wtj)2 =

1

2

(W 2T −W 2

0

)− 1

2

N−1∑j=0

(Wtj+1−Wtj)

2.(3.2)

Le terme 12

∑N−1j=0 (Wtj+1

− Wtj)2 est de moyenne Ndt = T et variance de

l’ordre dt donc la limite sera 12

(W 2T − T

).

Les sommes de Stratonovich :N−1∑j=0

h(tj + tj+1

2)(Wtj+1

−Wtj) =N−1∑j=0

W tj+tj+12

(Wtj+1−Wtj) (3.3)

N−1∑j=0

(Wtj +Wtj+1

2+ ∆Zj

)(Wtj+1

−Wtj) (3.4)

Ici ∆Zj est une variable independante de Wtj de moyenne nulle et variancedt/4. La limite sera 1

2W 2T .

Remarque 10 L’integrale de Stratonovich est aussi limite des sommes

N−1∑j=0

h(tj) + h(tj+1)

2(Wtj+1

−Wtj). (3.5)

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D’une maniere plus generale, pour un processus Ht adapte a la filtra-tion (At)t≥0 on peut definir (des que

∫ T0H2sds < ∞ ) i’integrale

∫ T0HsdWs,

dite integrale de Ito. Elle est une martingale si E∫ T

0H2sds < ∞ (condition

suffisante). Par ailleurs l’integrale de Ito est continue.Les proprietes d’increments independants du mouvement brownien nous

renseignent que(∫ t

0HdW (s)

)t

est une martingale. En fait la reciproque est

aussi vraie : toute M(t) martingale locale par rapport au mouvement brow-nien dW (t) peut etre representee comme une integrale stochastique :

M(t) = M(0) +

∫ t

0

H(s)dW (s)

avec H(t) processus adapte et∫ t

0H(s)2ds < ∞ p.s. En particulier toute

martingale est continue.

Proposition 2 (Isometrie de Ito) L’integrale de Ito a les proprietes sui-vantes

E

∫ T

0

H(Wt, t)dWt = 0 (3.6)

E(∫ T

0

H(Wt, t)dWt

)2

=

∫ T

0

EH2(Wt, t)dt. (3.7)

Processus d’Ito et EDS

Definition 9 On appelle un processus d’Ito le processus (Xt)t≥0 a valeursdans R tel que P-p.s. et pour tout t ≤ T

Xt = X0 +

∫ t

0

Ksds+

∫ t

0

HsdWs (3.8)

avec X0 A0 mesurable, Kt et Ht adaptes,∫ T

0|Ks|ds < ∞

∫ T0H2sds < ∞

On dira alors que Xt est solution de l’equation differentielle stochastiquedXt = Kdt+HdWt.

Proposition 3 (Ito) Pour une fonction f de classe C2, si Xt satisfait l’EDS

dXt = a(t,Xt)dt+ b(t,Xt)dWt

alors

df(t,Xt) =∂f

∂tdt+

∂f

∂xdXt +

1

2b(t,Xt)

2∂2f

∂x2dt. (3.9)

28

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Remarque 11 Comme avant, le sens a donner a (3.9) est un sens integral.

La demonstration de cette formule, non presentee ici, permet de donnerun sens a l’egalite heuristique (dWt)

2 = dt. Donc dWt peut etre vu commeune variation d’ordre

√t d’ou l’apparition de (bdW )2 = b2dt dans la formule.

D’une maniere formelle on peut ecrire

∆f(Xt, t) =∂f

∂t∆t+

∂f

∂x∆x+

1

2

∂2f

∂x2(∆x)2

+∂2f

∂x2(∆x)2 +

1

2

∂2f

∂x∂t∆x∆t+

1

2

∂2f

∂2t(∆t)2 + ... (3.10)

Mais ∆x = a∆t + b√

∆tα avec α de loi N (0, 1). Alors (∆x)2 = a2(∆t)2 +2ab(∆t)3/2+b2∆tα2, doncE(∆x) = b2∆t. Il suffit ensuite de prendre ∆x,∆t→0.

Remarque 12 Si dStSt

= αdt + σdWt et St = eXt alors dXt = (α − σ2

2)dt +

σdWt. Comme avant, le sens a donner a (3.9) est un sens integral.

Modele d’evolution d’un actif financier

Soit St un actif financier que nous prenons une action pour simplifier.La performance de l’actif est souvent mesuree en termes de son rendementSt+dt−St

Stqui est le gain/perte relative entre t et t+ dt. L’EDS associee est

dStSt

= µdt+ σdWt. (3.11)

Ici µ est la tendance, deterministe. Le facteur multiplicatif σ est dit vola-tilite et donne la magnitude de l’incertitude sur l’evolution future de l’actiffinancier.

3.2 Formules d’Ito -Taylor

3.2.1 Rappels : Taylor sous forme integrale

On se rappelle que pour une equation deterministe dX(t)/dt = a(t,X(t))la formulation integrale est Xt = X0 +

∫ t0a(s,Xs)ds et

df(Xt)

dt= a(t,Xt)

∂xf(Xt).

29

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On obtient la formule

f(Xt) = f(X0) +

∫ t

0

Lf(Xs)ds

avec L = ∂∂x

. Par exemple pour f(x) = x on obtient la formule de X(t). Onsuppose dorenavant a = a(X) et on utilise la formule precedente :

a(Xs) = a(X0) +

∫ s

0

La(Xσ)dσ

obtenant ainsi

Xt = X0 +

∫ t

0

a(Xs)ds = X0 +

∫ t

0

(a(X0) +

∫ s

0

La(Xσ)dσ)ds

= X0 + a(X0)

∫ t

0

ds+

∫ t

0

∫ s

0

La(Xσ)dσds

= X0 + ta(X0) +

∫ t

0

∫ s

0

La(Xσ)dσds. (3.12)

Pour une fonction generale on obtient la formule de Taylor sous formeintegrale :

f(Xt) = f(X0) +

∫ t

0

Lf(Xs)ds = ...

= f(X0) +n∑k=1

tk

k!Lkf(X0) +

∫ t

0

∫ s1

0

...

∫ sn

0

Ln+1f(Xsn)dsn...ds1.(3.13)

3.2.2 Formules d’Ito -Taylor

Nous ecrivons la formule de Ito :

f(Xt) = f(X0)+

∫ t

0

a(Xs)

∂xf(Xs) +

1

2b(Xt)

2 ∂2

∂x2f(Xs)

ds+

∫ t

0

b∂

∂xf(Xs)dWs

On note L0 = a(Xs)∂∂x

+ 12b(Xt)

2 ∂2

∂x2 et L1 = b ∂∂x

et on aura donc

f(Xt) = f(X0) +

∫ t

0

L0f(Xs)ds+

∫ t

0

L1f(Xs)dWs. (3.14)

30

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Une application repetee de la formule nous permet d’ecrire :

Xt = X0 +

∫ t

0

a(Xs)ds+

∫ t

0

b(Xs)dWs

= X0 +

∫ t

0

a(X0) +

∫ s

0

L0a(Xσ)dσ +

∫ s

0

L1a(Xσ)dWσ

ds

+

∫ t

0

b(X0) +

∫ s

0

L0b(Xσ)dσ +

∫ s

0

L1b(Xσ)dWσ

dWs (3.15)

Donc

Xt = X0 + a(X0)

∫ t

0

ds+ b(X0)

∫ t

0

dWs + R (3.16)

avec

R =

∫ t

0

∫ s

0

L0a(Xσ)dσds+

∫ t

0

∫ s

0

L1a(Xσ)dWσds

+

∫ t

0

∫ s

0

L0b(Xσ)dσdWs +

∫ t

0

∫ s

0

L1b(Xσ)dWσdWs. (3.17)

A l’ordre suivant :

Xt = X0 + a(X0)

∫ t

0

ds+ b(X0)

∫ t

0

dWs + L1b(X0)

∫ t

0

∫ s

0

dWσdWs + R2

(3.18)ou

R2 =

∫ t

0

∫ s

0

L0a(Xσ)dσds+

∫ t

0

∫ s

0

L1a(Xσ)dWσds

+

∫ t

0

∫ s

0

L0b(Xσ)dσdWs +

∫ t

0

∫ s

0

∫ σ

0

L0L1b(Xu)dudWσdWs

+

∫ t

0

∫ s

0

∫ σ

0

L1L1b(Xu)dWudWσdWs. (3.19)

3.3 Schemas numeriques

3.3.1 Euler-Maruyama et Milshtein

Considerons une division 0 = τ0 < τ1 < ... < τn < ... < τN = T ,

31

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Le calcul numerique de la solution peut se faire e.g. par la methode deEuler-Maruyama (E-M) : on approche X(τn) par Yn et on pose

Yn+1 = Yn+a(τn, Yn)(τn+1−τn)+b(τn, Yn)(Wτn+1−Wτn

), Y0 = X(0). (3.20)

Comme dans les chapitres precedents on etudiera surtout le cas particulierτk = k∆τ et on notera h = τn+1 − τn, ∆Wn = Wτn+1 −Wτn . Lorsqu’il n’y apas d’ambiguıte, on note aussi an = a(τn, Yn), bn = b(τn, Yn).

Ainsi le schema Euler-Maruyama est donc

Yn+1 = Yn + anh+ bn∆Wn, Y0 = X(0). (3.21)

Exercice 14 Expliquer comment le schema d’Euler-Maruyama utilise le developpementIto-Taylor a l’ordre 0.5-1.

Remarque 13 Pour a et b constantes Euler-Maruyama donne Yn+1 = Y0 +aτn+1 + bWτn+1.

Un autre schema qu’on peut obtenir a l’aide de Ito-Taylor a l’ordre 1 estle schema de Milshtein

Yn+1 = Yn + anh+ bn∆Wn +1

2bnb′n

(∆Wn)2 − h

, Y0 = X(0). (3.22)

Exercice 15 Expliquer comment le schema de Milshtein utilise le developpementIto-Taylor a l’ordre 1.

D’autres schemas existent tels que les schemas dits d’ordre 1.5 ou 2, etc.

3.3.2 Schemas implicites

Une attention particuliere est a accorder aux schemas implicites. Consideronsl’exemple d’un cas simple ou a(X) = aX et b(X) = bX. Une translation naıvedu principe des schemas implicites suggererait que Euler-Maruyama implicitedevrait etre Yn+1 = Yn + ahYn+1 + bYn+1∆Wn ou encore Yn+1 = Yn

1−ah−b∆Wn

ce qui pose probleme car pas borne car on sait par exemple que pour unevariable normale reduite ξ la quantites E 1

|ξ| n’est pas finie. Donc il ne fautpas rendre implicite la partie brownienne et ainsi on arrive au schema Euler-Maruyama implicite

Yn+1 = Yn + ahYn+1 + bYn∆Wn. (3.23)

32

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Pareil pour le schema de Milshtein implicite

Yn+1 = Yn + a(τn+1, Yn+1)h+ b(τn, Yn)∆Wn +b(τn, Yn)b′(τn, Yn)

2

(∆Wn)2 − h

Y0 = X(0). (3.24)

3.4 Consistance

Definition 10 (Consistance faible) Un schema est faiblement consistantsi

limh→0

E

∣∣∣∣E ( Yn+1 − Ynh

∣∣∣∣Aτn)− an∣∣∣∣2 = 0 (3.25)

et

limh→0

E

(∣∣∣∣E (1

h(Yn+1 − Yn)2|Aτn

)− b2

n

∣∣∣∣2)

= 0. (3.26)

Theoreme 7 Les schemas d’Euler-Maruyama et Milshtein sont faiblementconsistants.

Demonstration Voir cours. Indication : calculs en faisant attention auxordres.

Definition 11 (Consistance forte) Un schema est fortement consistantsi

limh→0

E

∣∣∣∣E ( Yn+1 − Ynh

∣∣∣∣Aτn)− an∣∣∣∣2 = 0 (3.27)

et

limh→0

E

(1

h|Yn+1 − Yn − E(Yn+1 − Yn|Aτn)− bn∆Wn|2

)= 0. (3.28)

Remarque 14 La premiere condition de la consistance forte et faible est lameme.

Theoreme 8 Les schemas d’Euler-Maruyama et Milshtein sont fortementconsistants.

Demonstration Voir cours. Indication : calculs en faisant attention auxordres.

33

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3.5 Convergence

Definition 12 (Convergence forte) Un schema numerique Yn de pas hconverge fortement a l’ordre γ > 0 au temps T = Nh s’il existe h0 > 0 etC > 0 independante de h telle que

E(|X(T )− YN |) ≤ Chγ, ∀h ≤ h0 (3.29)

Definition 13 (Convergence faible) Un schema numerique Yn de pas hconverge faiblement a l’ordre β > 0 au temps T = Nh s’il existe h0 > 0 etC > 0 independante de h telle que

|Eg(X(T ))− Eg(YN)| ≤ Chβ, ∀h ≤ h0,∀g ∈ C2β+2p (3.30)

Ici C2β+2p sont les fonctions a croissance au plus polynomiale de classe 2β+2.

Theoreme 9 Le schema Euler-Maruyama converge fortement a l’ordre 0.5et faiblement a l’ordre 1. Le schema de Milshtein converge fortement et fai-blement a l’ordre 1.

Demonstration Voir cours. Indication : on fait des estimations sur Z(t) =sup0≤s≤tE|Yns −Xs|2 avec ns la partie entiere inferieure de s/h........

3.6 Application au delta-hedging des options

et equation de Black& Scholes

3.6.1 Options

Nous ne donnons pas ici toutes les details des produits derives, le lecteurinteresse peut consulter [4].

Pour rappel un call europeen de strike K et maturite T sur un actif Stest le droit d’acheter l’actif St au prix K a l’instant (futur) T . En general lesoptions peuvent apporter h(ST ) a l’instant T , dans ce cas la fonction h estappelee pay-off de l’option.

Il suit qu’a l’instant T le ’juste prix’ C(T, S) de ce contrat est

C(T, ST ) = (ST −K)+. (3.31)

34

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Il reste maintenant a trouver le prix pour t < T . Pour ce faire on prend unmodele d’evolution du sous-jacent St, par exemple

dStSt

= µdt+ σdWt. (3.32)

3.6.2 Portefeuille auto-finance

Soit Πt un portefeuille compose d’actifs Sit en quantite θit, i = 0, ..., n. Ilest usuel de prendre comme premier actif l’actif sans risque dont l’evolutionest dS0

t = rS0t dt avec r le taux d’interet sans risque.

La valeur Πt de ce portefeuille a l’instant t est

Πt =n∑k=0

θkt Skt qui sera note θt · St. (3.33)

Parmi tous les portefeuilles possibles, un type bien particulier nous interesseici : ceux qui sont autofinances c’est a dire ne recoivent pas d’argent (etne versent pas). Pour ces portefeuilles seules sont admises des operationsd’arbitrage entre les actifs i.e. il faut vendre un actif pour acheter un autre.

En temps discret ceci nous donne la relation suivante

θtn+1 · Stn+1 = θtn · Stn+1 (3.34)

car la redistribution se fait aux prix presents. Pour comprendre on peutconsiderer par exemple des actifs qui se negocient seulement au ”fixing” uneseule fois par jour, alors, en ayant fini la journee avec une distribution d’actifsθtn la redistribution θtn → θtn+1 se fera demain sur la base des prix de demainStn+1 (on suppose vente et achat simultanes).

Ceci veut dire que

Πtn+1 − Πtn = ...( apres calcul) = θtn · (Stn+1 − Stn). (3.35)

et justifie la

Definition 14 Un portefeuille Πt est dit autofinance si pour tout t :

dΠt = θt · dSt. (3.36)

Remarque 15 Pour un portefeuille autofinance dθt · St = 0.

Proposition 4 Tout portefeuille peut etre rendu autofinance en rajoutantde l’actif sans risque.

35

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3.6.3 Valorisation des options par delta hedging, equationde Black& Scholes

Soit un portefeuille Π compose de 1 option de prix Ct = C(t, St), ∆t

parts du sousjacent St et une certaine quantite γt d’actif sans risque (pour lerendre autofinance).

Alors si on prend ∆t = −∂C∂S

apres calculs ........... on obtient

dΠt =(∂C∂t

+∂2C

∂S2

σ2S2

2+ γtr

)dt (3.37)

donc c’est une evolution deterministe. Mais la seule evolution deterministepossible pour un portefeuille est dΠt = rΠtdt d’ou l’equation de Black&Scholes :

∂C

∂t+ rC

∂C

∂S+

1

2σ2S2∂

2C

∂S2− rC = 0 (3.38)

C(T, ST ) = h(ST ) (3.39)

La deuxieme equation est tout simplement C(T, ST ) = (ST − K)+ pourh(S) = (S −K)+.

3.6.4 Valorisation des options par probabilite risque-neutre

Manifestement, d’apres (3.32), St n’est pas une martingale. En utilisantGirsanov et apres calculs ........ on peut montrer que

C(t, St) = E(e−

R Tt r(s)dsh(XT )

∣∣∣Xt = St

)(3.40)

dXt

Xt

= rdt+ σdWt. (3.41)

Ceci nous permet de calculer le prix selon la procedure suivante :- on initialise Xt a St- on calcule avec un schema numerique (E-M, Milshtein, etc) XT pour

beaucoup de realisations du mouvement brownien Wt

- on calcule l’esperance du pay-off h(XT ) qu’on actualise comme dans laformule precedente.

36

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Remarque 16 On remarque que la procedure utilise la convergence faible.Par ailleurs les arbres binomiaux Cox-Ross-Rubinstein sont donc un cas par-ticulier de ce calcul pour un schema particulier (voir aussi les exercices). Parcontre pour d’autres options (e.g. dependantes de chemin) c’est la conver-gence forte qui est necessaire.

Remarque 17 Le prix d’une option depend d’une maniere cruciale de lavolatilite σ (seul facteur inconnu, le taux r etant cote et connu). En fait onpeut negocier la volatilite a travers les options.

3.7 Exercices

Dans tout ce qui suit on considere une EDS

dXt = a(t,Xt)dt+ b(t,Xt)dWt (3.42)

Les coefficients a et b qui satisfont, au minimim, les conditions du theoremed’existence d’un processus d’Ito, a savoir :

- a, b sont adaptes a la filtration At du processus Xt

-∫ T

0|as|ds ≤ ∞ ppt ,

∫ T0|bs|2ds ≤ ∞ ppt

Rappel : le pas de temps est ici egal a h et on note τn = nh. Les schemasnumeriques proposeront des approximations Yn de Xτn .Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguıte, on note an = a(τn, Yn), bn = b(τn, Yn).

Exercice 16 (consistance faible) On suppose a bornee : |a(t, x)| ≤M ∀t, x.1/ Montrer que le schema suivant, dit ”Euler Maruyama faible”

Yn+1 = Yn + a(τn, Yn)h+ b(τn, Yn)ξn√h (3.43)

est faiblement consistant. Ici ξn sont des variables aleatoires independantesentre elles et independantes de Aτn telles que P (ξn = ±1) = 1

2.

2/ Generaliser pour d’autres variables ξn.3/ Le schema est-il fortement consistant ?

Exercice 17 (schema de Heun pour EDS) Dans cet exercice on considereque dans (3.42) les coefficients a et b sont independants du temps, de classe

37

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C2 et a,b et les derivees d’ordre 1 et 2 ( a′,a′′,b′,b′′) egalement bornees. Onetudie une generalisation formelle du schema de Heun

Yn+1 = Yn +1

2

a(Yn) + a

(Yn + a(Yn)h+ b(Yn)∆Wn

)h

+1

2

b(Yn) + b

(Yn + a(Yn)h+ b(Yn)∆Wn

)∆Wn (3.44)

Montrer que ce schema n’est pas fortement consistant pour tout choix de aet b et trouver pour quels types de coefficients le schema l’est (conditionssuffisantes).

Exercice 18 (consistance : definitions)Montrer que pour l’equation (3.42) les definitions de la consistance comme

EDS et comme EDO coıncident si b = 0 (a et b seront supposees aussiregulieres que necessaire).

Exercice 19 Donner un exemple de coefficients a et b tels que le schemad’Euler Maruyama applique a d’equation (3.42) ait un ordre de convergenceforte strictement inferieur a 1.0.

Exercice 20 Dans l’equation (3.42) on supposera a, b Lipschitz, de crois-sance au plus quadratique en X. Montrer qu’un schema fortement consistantpartant de X(0) converge fortement. Appliquer au schemas Euler-Maruyamaet Milstein et montrer que dans ces cas l’ordre de convergence γ est superieura 0.5.

3.7.1 EDS : solutions

Rappel dans le calcul des esperances conditionnelles les proprietes suivantessont utiles (A est une tribu) :

a/ E(XZ|A) = ZE(X|A) si Z est mesurable par rapport a Ab/ E(X|A) = EX si X est independante de Ac/ majoration : E(X|A) ≤ E(|X||A)

Exo. 16 Nous verifions les deux proprietes dans la definition de la consis-tance faible.

E

(Yn+1 − Yn

h

∣∣∣∣Aτn)− an = E

(anh+ bn

√hξn

h

∣∣∣∣∣Aτn)− an

= an +bn√hEξn − an = 0 (3.45)

38

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ou nous avons utilise le fait que an et bn sont mesurable p/r a Aτn et aussile fait que ξn est independante de Aτn , et Eξn = 0. Donc

E

∣∣∣∣E ( Yn+1 − Ynh

∣∣∣∣Aτn)− an∣∣∣∣2 = E0 = 0 (3.46)

ce qui donne la premiere majoration dans la definition de la consistance, avecc(h) = 0.

La deuxieme condition :

E

((Yn+1 − Yn)2

h

∣∣∣∣Aτn) = E

((anh+ bn

√hξn)2

h

∣∣∣∣∣Aτn)

= ha2n + 2anbn

√hEξn + b2

nEξ2n = ha2

n + b2n. (3.47)

Nous avons a nouveau utilise Eξn = 0 mais aussi Eξ2n = 1 (et bien sur

l’independance de ξn et la mesurabilite de a et b p/r a Aτn). On conclut

E

∣∣∣∣E ((Yn+1 − Yn)2

h

∣∣∣∣Aτn)− a2n

∣∣∣∣2 = E(ha2n)2 ≤ h2M. (3.48)

Mais Mh2 → 0 pour h→ 0, ce qui acheve la demonstration de la consistancefaible (avec c(h) = Mh2 dans les deux estimations).

2/ On remarque que toute suite de variables aleatoires ξn independantesentre elles et independantes de Aτn de moyenne 0 et variance 1 donnent lesmeme resultat.

3/ Il ne peut pas l’etre, car la deuxieme condition de la definition de laconsistance forte ne serait pas satisfaite (en effet, les variables ξn n’ont aucunerelation avec les ∆Wn, donc en particulier ne peuvent pas les compenser lorsdu calcul, et on reste avec un terme qui ne tend pas vers zero pour h→ 0).Exo. 17

Les calculs de cet exo ne sont pas tout a fait similaires a ceux de l’ap-

plication precedante pour la raison suivante : a(Yn + anh + bn∆Wn

)n’est

ni independante de Aτn ni mesurable par rapport a Aτn ; effectivement,la fonction a melange ∆Wn d’une part et Yn,an et bn d’autre part donc,

a(Yn + anh+ bn∆Wn

)n’est pas independante de Aτn a cause de la presence

des Yn,an et bn et n’est pas mesurable p/r a Aτn a cause de la presence de∆Wn. Il nous faut alors remplacer le calcul exacte de l’esperance condition-nelle, qu’on pouvait faire avant, par un calcul approche par des formules deTaylor.

39

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On remarque tout d’abord que, avec les notations an = a(Yn), bn = b(Yn),a′n = a′(Yn), b′n = b′(Yn), une formule de Taylor a l’ordre 2 nous donne :

a(Yn+anh+bn∆Wn

)= an+a′n ·

(anh+bn∆Wn

)+a′′(αny )

2·(anh+bn∆Wn

)2

pour un certain point αny .De meme :

b(Yn+anh+bn∆Wn

)= bn+b′n ·

(anh+bn∆Wn

)+

b′′(βny )

2·(anh+bn∆Wn

)2

pour un certain point βny .Remarque : e.g., a′n est mesurable p/p a Aτn car il s’agit d’une fonction i.e.a′(·) appliquee a une variable Yn qui elle est mesurable p/r a Aτn .

Il ne reste plus qu’a faire les calculs de la meme facon qu’avant. Nousomettons seulement le calcul immediat initial qui utilise l’independance etla mesurabilite p/r a Aτn ; le lecteur est par contre invite a refaire si besoin.

E

(Yn+1 − Yn

h

∣∣∣∣Aτn)− an = an +ana

′nh+ E

(a′′(αny )

2

(anh+ bn∆Wn

)2

|Aτn)

2

+bnb′n

2hE∆2

n +E(b′′(βny )

2·(anh+ bn∆Wn

)2

∆Wn|Aτn)

2h− an. (3.49)

A ce point, sous les hypotheses de l’exo, nous pouvons donc estimer que

E

(Yn+1 − Yn

h

∣∣∣∣Aτn)− an =b′nbn

2+O(

√h) (3.50)

A titre d’exemple, detaillons le traitement du termeE

(b′′(βny )·

(anh+bn∆Wn

)2

∆Wn|Aτn

)4h

.Tout d’abord il faut se rappeler que βny depend de ∆Wn aussi, donc b′′(βny )n’est pas forcement mesurable par rapport a Aτn (ni forcement independantde Aτn). Donc on aura seulement des majorations :

E(b′′(βny ) ·

(anh+ bn∆Wn

)2

∆Wn|Aτn)

2h≤M2

E((anh+ bn∆Wn

)2

|∆Wn|∣∣∣Aτn)

2h

ou M2 = supx |b′′(x)|. On continue les majorations :

M2

E((anh+ bn∆Wn

)2

|∆Wn|∣∣∣Aτn)

2h≤M2

Ea2

nh|∆Wn|+

2Eanbn|∆Wn|2 + Eb2n|∆Wn|3

h

≤ C(h

√h+√h

2+√h

3) ≤ C ′h1/2

40

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avec des constantes C,C ′ independantes de h.Revenant a (3.50), comme bnb

′n n’a aucune raison d’etre petit pour h→ 0 (en

fait il ne depend meme pas de h), le schema n’est pas consistant en general.Un calcul similaire nous montre que

E(1

h

∣∣∣Yn+1 − Yn − E(Yn+1 − Yn|Aτn)− bn∆Wn

∣∣∣2) = O(h). (3.51)

En conclusion, le schema est fortement (donc faiblement) consistant si etseulement si bb′ = 0 c’est a dire b = constant.

41

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Chapitre 4

Lois de conservation etequations hyperboliques

4.1 Derivation

On considere le domaine Ω ⊂ Rd et ρ(x, t) la densite d’une quantiteconservee. dont on note par F le flux entrant a travers la frontiere ∂Ω.

Si on effectue un bilan sur ∂Ω on obtient la relation suivante :

d

dt

∫Ω

ρ(x, t)dx =

∫∂Ω

Fdσ. (4.1)

En effet, l’evolution temporelle de la densite de la quantite conservee estbien egale au flux entrant sur la frontiere ∂Ω.En dimension 1 (d=1) la frontiere de Ω =]a, b[ est composee des points a etb. On obtient

d

dt

∫ b

a

ρ(x, t)dx = F (b)− F (a) =

∫ b

a

F ′(x, t)dx. (4.2)

Soit v(x) la vitesse en x ∈ Ω. Le flux sortant est alors F = −vρ et onobtient pour tout α, β ∈ Ω

d

dt

∫ β

α

ρ(x, t)dx = −∫ β

α

∂(vρ)

∂xdx, (4.3)

d’ou∂ρ

∂t+∂(vρ)

∂x= 0. (4.4)

42

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Une telle equation est dite equation hyperbolique ou loi de conservation.1/ Cas particulier v = v0 constante. Alors l’equation est

∂ρ

∂t+ v0

∂ρ

∂x= 0 (4.5)

2/ Si v ne depend pas de t ni directement de x, c’et a dire v = v(ρ) alorspour f = v(ρ)ρ on obtient

∂ρ

∂t+∂f(ρ)

∂x= 0 (4.6)

Exemple : le modele de trafic (Greenshields)Dans cet exemple, toujours en dimension 1, Ω est une route et ρ est la

densite de voitures. La vitesse est v(ρ) = vmax

(1− ρ

ρmax

)En effet si la densite est maximale alors la vitesse est nulle sur la route

(v=0), on a un bouchon. De meme si la densite est nulle alors la vitesse estmaximale (v = vmax). On obtient

∂ρ

∂t+vmaxρmax

∂xρ(ρmax − ρ) = 0. (4.7)

4.2 Methode des caracteristiques

Soit l’equation

∂u

∂t+∂f(u)

∂x= 0 (4.8)

u(x, 0) = u0(x). (4.9)

Definition 15 On note a(u) = f ′(u). Soit u une solution de (4.8)-(4.9). Lacaracteristique issue de x0 est la courbe t 7→ Xx0(t) d’equation

d

dtXx0(t) = a(u(Xx0(t), t)) (4.10)

Xx0(0) = x0. (4.11)

Theoreme 10 Soit u une solution de classe C1 de (4.8)-(4.9). Alors

1. u est constant le long des caracteristiques

43

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2. pour tout x0 la caracteristique issue de x0 est une droite

X = x0 + a(u0(x0))t. (4.12)

Demonstration Voir cours. Indication : Par derivation.

Corollaire 2 Dans le cas particulier a(·) = constante les caracteristiquessont Xx0(t) = x0+at, et la solution satisfait u(x, t) = u(x−at, 0) = u0(x−at).

4.2.1 Resolution d’un probleme hyperbolique par lamethode des caracteristiques

On considere le probleme

∂u(x, t)

∂t+

∂x(u(1− u)) = 0. (4.13)

avec

u(x, 0) = u0(x) =

1 pour x ≤ −1/2

1/2− x pour −1/2 ≤ x ≤ 1/20 pour x ≥ 1/2

(4.14)

Fig. 4.1 – Fonction (4.14).

44

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On calcule a(u) = 1−2u et les caracteristiques sont donnees dans Fig. 4.2.On obtient ensuite la solution

u(x, t) =

1 pour x ≤ −t− 1/2

12− x

1+2tpour −t− 1/2 ≤ x ≤ t+ 1/2

0 pour x ≥ t+ 1/2(4.15)

Fig. 4.2 – Caracteristiques pour (4.14).

Soit maintenant le probleme

∂u(x, t)

∂t+

∂x(u(1− u)) = 0. (4.16)

avec

u(x, 0) = u0(x) =

0.5 pour x ≤ 0

(x+ 1)/2 pour 0 ≤ x ≤ 11 pour x ≥ 1

(4.17)

illustre dans la Fig. 4.3. Ici les caracteristiques se croisent, donc il y auracreation de singularite en t = 1, voir Fig. 4.4. Pour t ≤ 1 la solution seradonc

u(x, t) =

1/2 pour x ≤ 0, 0 ≤ t ≤ 1

12

(x

1−t + 1)

pour 0 ≤ x ≤ 1− t, 0 ≤ t ≤ 1

1 pour x ≥ 1− t 0 ≤ t ≤ 1(4.18)

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Fig. 4.3 – Fonction (4.17).

Fig. 4.4 – Caracteristiques pour (4.17).

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4.3 Probleme de Riemann

Pour comprendre la nature des solutions, on considere le probleme sui-vant, dit de Riemann, qui a une condition initiale simple :

∂u(x, t)

∂t+∂f(u)

∂x= 0. (4.19)

u(x, 0) = u0(x) =

ug pour x ≤ 0ud pour x > 0

(4.20)

Dans tout ce qui suit nous supposerons que f est de classe C2 et concave. Nousremarquons que sous ces hypotheses a = f ′ est decroissante donc inversible.Notons v = a−1 son inverse (comme fonction).

Nous allons decrire les solutions de ce probleme dans les deux cas possiblesug ≤ ud et ug ≥ ud. Les solutions obtenues porteront le nom de ”solutionsfaibles entropiques”.

1/ ug ≤ ud, voir Fig. 4.5. Il y a intersection des caracteristiques. On

Fig. 4.5 – Condition du probleme de Riemann pour ug ≤ ud.

accepte que dans ce cas la solution correcte est une onde de choc

u(x, t) =

ug pour x ≤ stud pour x > st

(4.21)

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ou s est la vitesse du choc donnee par la formule de Rankine-Hugoniot

s =f(ud)− f(ug)

ud − ug. (4.22)

Pour comprendre intuitivement pourquoi cette formule, ecrirons le bilande quantite conservee sur un intervalle [a, b] entre t et t+ dt (cf. Fig. 4.6). Il

Fig. 4.6 – Bilan de matiere lors de l’evolution d’un choc.

apparait en effet que la masse perdue est d’une part (ud−ug)·[s(t+dt)−st] etd’autre part ceci devrait etre la difference entre flux sortant et entrant, c’esta dire [f(ud)−f(ug)]dt. Il suit que (ug−ud)·[s(t+dt)−st] = [f(ud)−f(ug)]dtd’ou (4.22).

2/ ug ≥ ud, voir Fig. 4.7. Dans ce cas les caracteristiques ne se croisentpas mais par tout point ne passe pas necessairement une caracteristique.Pour remedier nous pouvons considerer une regularisation u0

ε de la conditioninitiale u(x, t = 0) comme dans la Fig. 4.8 ; celle ci aura des solutions par lamethode des caracteristiques ; ensuite il suffit de passer a la limite ε→ 0. Lasolution sera alors

u(x, t) =

ug pour x ≤ a(ug)t

v(x/t) pour a(ug)t ≤ x ≤ a(ud)tud pour x ≥ a(ud)t

(4.23)

Elle est appelee onde de rarefaction ou onde de detente. Elle est continue.

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Fig. 4.7 – Condition du probleme de Riemann pour ug ≥ ud.

Fig. 4.8 – Regularisation u0ε de la condition initiale u(x, t = 0) du probleme

de Riemann pour ug ≤ ud.

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4.3.1 Conclusion

Nous avons donc vu que le probleme de Riemann pour f concave admetdeux types de solutions

- si la densite ug pour x < 0 est plus petite que celle ud pour x > 0 alorsla solution faible entropique est un choc qui se deplace a la vitesse s donneepar la formule de Rankine-Hugoniot. Nous retrouvons une illustration dansl’evolution d’un flot de voitures sur une route : quand devant la densite estplus importante que derriere il y a formation d’un ”bouchon”.

- si la densite ug pour x < 0 est plus grande que celle ud pour x > 0 alorsla solution faible entropique est une onde de rarefaction. Nous retrouvons uneillustration dans l’evolution d’un flot de voitures sur une route : par exempleau depart d’un feu rouge (quand devant il n’y a personne) il y a etalementdes voitures sans bouchon.

Dans le cas general (donnee initiale plus compliquee), il faut combinerles deux techniques pour trouver la solution globale du probleme. Ce sonttoujours les caracteristiques qui nous permettent de raisonner.

4.4 Generalites sur les differences finies

Nous allons presenter une methodologie generale pour la resolution d’unprobleme aux derivees partielles : les differences finies. Bien que ceci s’utilisepour une dimension d de l’espace arbitraire nous allons seulement l’utiliseren 1D.

Soit donc une equation aux derivees partielles faisant intervenir une fonc-tion u definie sur un domaine spatial [X0, XM ] ⊂ R et temporel [0, T ]. On sedonne u0 = u(x, t = 0). Obtenir la solution en tout point est generalement im-possible, il faut alors discretiser, c’est a dire calculer seulement une approxi-mation. Pour ceci nous allons utiliser une division de X0, X1 = X0+∆x,X2 =X0 + 2∆x, ..., XM = X0 +M∆x avec ∆x = (XM −X0)/M et pareil pour letemps 0, t1 = ∆T, t2 = 2∆t, ..., voir Figure 4.9.

L’idee generale est que u(Xj, tn) sera approche par Unj et on donnera une

methode pour calculer Unj .

Pour ceci il faut rappeler quelques formules, venant de la formule deTaylor, pour une fonction f : R→ R :

f ′(x) =f(x+ h)− f(x)

h+O(h) (Euler explicite). (4.24)

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Fig. 4.9 – Discretization par differences finies.

f ′′(x) =f(x+ h) + f(x− h)− 2f(x)

h2+O(h2) (4.25)

Il existe un deuxieme schema pour le calcul de f ′(x), dit centre :

f ′(x) =f(x+ h)− f(x− h)

2h+O(h2). (4.26)

Ces schemas seront utilises ensuite en divers combinaisons pour retrouverla solution.

Pour ce qui est des donnees au bord du domaine on peut prendrea/ des donnees periodiques u(X0, t) = u(XM , t)b/ des donnees explicites u(X0, t) = g1(t), u(XM , t) = g2(t), avec g1, g2

connues.

4.4.1 Exercices

Exercice 21 Demontrer les formules (4.24)-(4.26).

Exercice 22 Trouver α, β, γ tels que :

f ′(x) =αf(x+ 2h)− βf(x− h) + γf(x)

h+O(h2). (4.27)

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4.5 Schemas numeriques (FTCS, Lax, upwind,

stabilite)

On rappelle l’equation :

∂u

∂t+∂f(u)

∂x= 0 (4.28)

u(x, 0) = u0(x). (4.29)

Bien que ces schemas s’appliquent a une fonction f(u) generale dansl’equation (4.8)-(4.9), nous allons seulement l’expliquer pour f lineaire, f(u) =vu et plus encore nous prendrons v = 1.

4.5.1 Le schema FTCS (Forward Time Centered Space)

Comme son nom le dit, c’est une methode explicite en temps et centreeen espace (voir Fig. 4.10) :

∂u(Xj, tn)

∂t'Un+1j − Un

j

∆t,∂u(Xj, tn)

∂x'Unj+1 − Un

j−1

2∆x. (4.30)

Fig. 4.10 – Schema FTCS.

On obtient ainsi l’equation a chaque pas de temps :

∀j, n :Un+1j − Un

j

∆t+Unj+1 − Un

j−1

2∆x= 0, (4.31)

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ou encore pour λ = ∆t∆x

:

Un+1j =

λ

2Unj−1 + Un

j −λ

2Unj+1. (4.32)

Remarque 18 Si v 6= 1 alors λ = v ∆t∆x

.

Sous la forme matricielle, notant Un =

Un1

...UnM

on obtient

Un+1 =

1 −λ

20 . . . 0

λ2

1 −λ2

0...

0 λ2

1 −λ2

......

. . . . . . 1 −λ2

0 . . . . . . λ2

1

Un. (4.33)

Pour etudier la stabilite nous devons trouver les valeurs propres de cettematrice. Nous utilisons le resultat general :

Proposition 5 Les valeurs propres de la matrice M ×Mb c 0 . . . 0

a b c 0...

0 a b c...

.... . . . . . . . . c

0 . . . . . . a b

(4.34)

sont

µk = b+ 2√ac cos

M + 1, k = 1, ...,M. (4.35)

Pour FTCS nous obtenons

µk = 1 + iλ coskπ

M + 1, k = 1, ...,M. (4.36)

dont le module est toujours superieur a 1. Donc le schema FTCS n’est passtable.

53

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Fig. 4.11 – Schema de Lax.

4.5.2 Le schema de Lax

L’idee ici est de symetriser toutes les quantites en espace (voir Fig. 4.11).L’equation a chaque pas de temps est :

Un+1j − Unj−1+Unj+1

2

∆t+Unj+1 − Un

j−1

2∆x= 0, (4.37)

ou encore sous forme matricielle

Un+1 =

0 1−λ

20 . . . 0

1+λ2

0 1−λ2

0...

0 1+λ2

0 1−λ2

......

. . . . . . 0 1−λ2

0 . . . . . . 1+λ2

0

Un. (4.38)

Les valeurs propres sont maintenant :

µk =√

1− λ2 coskπ

M + 1, k = 1, ...,M (4.39)

dont le module est inferieur a 1 des que λ < 1 c’est a dire :

∆t < ∆x (condition de Courant-Friedrichs-Levy, CFL). (4.40)

54

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Pour expliquer la stabilite du schema de Lax, essayons de la voir sous laforme d’un schema FTCS pour une autre equation :

Un+1j − Unj−1+Unj+1

2

∆t+Unj+1 − Un

j−1

2∆x= 0 (4.41)

⇐⇒Un+1j − Un

j

∆t+Unj+1 − Un

j−1

2∆x− ∆x2

2∆t

Unj+1 + Un

j−1 − 2Unj

∆x2= 0.(4.42)

Or, pour ε = ∆x2

2∆tceci est une discretisation de

∂u

∂t+∂u

∂x− ε∂

2u

∂x2= 0. (4.43)

Comme il sera vu au chapitre sur les EDP, le terme de diffusion ε∂2u∂x2 joue son

role de ”regularisant” et stabilise ainsi le schema numerique. Bien sur, cettemodification tend vers zeros pour ∆x→ 0 donc pour des discretisations finesen temps/espace on resoudra bien l’equation initiale.

4.5.3 Le schema ”upwind”

Nous considerons la version

∂u

∂t+ v

∂u

∂x= 0 (4.44)

u(x, 0) = u0(x). (4.45)

L’idee ici est de suivre la direction du ”vent”, voir Fig. 4.12-4.13. et d’uti-liser des donnees spatiales deja vues par le front d’avancement de la solution.Pour vnj = v(Xj, tn) on calcule a chaque pas de temps :

Un+1j − Un

j

∆t+ vnj

Unj − Un

j−1

∆x= 0, si vnj > 0, (4.46)

Un+1j − Un

j

∆t+ vnj

Unj+1 − Un

j

∆x= 0, si vnj < 0. (4.47)

Nous admettrons sans demonstration que ce schema est stable sous lesconditions CFL.

55

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Fig. 4.12 – Schema ”upwind”, cas v > 0.

4.5.4 Schemas d’ordre deux : Lax-Wendroff

Ce schema utilise des approximations d’ordre plus eleve. Il commence parun calcul par le schema de Lax a un pas de temps intermediaire tn+1/2 et pasd’espace intermediaires Xj+1/2 :

Un+1/2j+1/2 =

Unj+1 + Un

j

2− λ

fnj+1 − fnj2

. (4.48)

Ces valeurs sont utilisees ensuite pour avancer le schema

Un+1j = Un

j − λ(fn+1/2j+1/2 − f

n+1/2j−1/2

)(4.49)

Pour f(u) = u on obtient :

Un+1j = Un

j − λ[Unj+1 + Un

j

2− λ

Unj+1 − Un

j

2−Unj + Un

j−1

2+ λ

Unj − Un

j−1

2

](4.50)

La forme matricielle fait intervenir comme avant une matrice tri-diagonalea coefficients constants sur diagonale a = λ/2 + λ2/2, b = 1 − λ2, c =−λ/2 + λ2/2 ; les valeurs propres sont

µk = 1− λ2 + iλ√

1− λ2 coskπ

M + 1, k = 1, ...,M. (4.51)

dont le module est inferieur a 1 des que la condition CFL λ < 1 est verifiee.Le schema Lax-Wendroff est stable donc sous la condition CFL.

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Fig. 4.13 – Schema ”upwind”, cas v < 0.

4.6 Exercices

Exercice 23 (Propagation des singularites) 1/ On considere le probleme

∂u(x, t)

∂t+ a

∂u(x, t)

∂x= 0. (4.52)

u(x, 0) = u0(x) = 1x≤0. (4.53)

Montrer que u(x, t) = u0(x− at) est solution de ce probleme. Dessiner cettesolution pour divers temps t > 0.

2/ Soit maintenant

∂u(x, t)

∂t+ a

∂u(x, t)

∂x= ε

∂2u(x, t)

∂x2. (4.54)

u(x, 0) = u0(x) = 1x≤0. (4.55)

Montrer que u(x, t) = f(x−at√4εt

) (avec f(x) = 1√π

∫∞ye−s

2ds) est solution de

ce probleme. Dessiner cette solution pour divers temps t > 0. Qu’observezvous ?

Exercice 24 (solutions faibles entropiques) On considere le probleme

57

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∂u(x, t)

∂t+∂f(u)

∂x= 0. (4.56)

u(x, 0) = u0(x) =

ln(2) x < 0

0 x > 0(4.57)

ou le flux est donne par f(u) = −eu.1/ Justifier brievement (en citant le resultat du cours) pourquoi la solution

faible entropique bornee du probleme est une onde de rarefaction.2/ Tracer les caracteristiques dans le demi-plan (x, t) ∈ R×R+ et expli-

citer la solution u(x, t). Tracer cette solution pour t = 1.

Exercice 25 (solutions faibles entropiques) On considere le probleme

∂u(x, t)

∂t+∂u(u+ 1)

∂x= 0. (4.58)

Trouver la solution (faible entropique) dans les deux cas suivants :

1/ Condition initiale : u(x, 0) = u0(x) =

1 pour x ≤ 0

1− x pour 0 ≤ x ≤ 2−1 pour x ≥ 2

On montrera que toutes les caracteristiques issues de [0, 2] passent par lepoint (x = 3/2, t = 1/2).

2/ Condition initiale : u(x, 0) = u0(x) =

1 pour x ≤ 0

1− x pour 0 ≤ x ≤ 2−1 pour 2 ≤ x ≤ 3−1/2 pour x ≥ 3

.

Exercice 26 (solutions faibles entropiques) On considere le probleme

∂u(x, t)

∂t+∂√u

∂x= 0. (4.59)

1/ Trouver la solution (faible entropique) dans les deux cas suivants :

u(x, 0) = u0(x) =

1 pour x < 04 pour x > 0

et u(x, 0) = u0(x) =

4 pour x < 01 pour x > 0

.

Preciser dans chaque cas la nature de la solution.

2/ La meme chose pour u(x, 0) = u0(x) =

1 pour x < −14 pour −1 < x < 01 pour x > 0

Ici

construire la solution pour t < 12 et la representer pour t = 3, 6, 12. Dans

58

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quel sens varie la vitesse du choc pour t > 12 ? En deduire que u est continuedans le domaine x ≥ t

3− 1 et t ≤ 12.

Exercice 27 Demontrer la stabilite du schema ”upwind” pour le cas f(u) =vu avec v constante egale a 1 ou -1 au choix. Demontrer que le schema n’estpas stable si on se trompe dans le choix de la formule (i.e. on prend la formulepour v positif alors que v est negatif).

Exercice 28 Trouver l’erreur de troncature pour le schema de Lax et deLax-Wendroff.

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Chapitre 5

Equations aux deriveespartielles (EDP), equation de lachaleur

5.1 Motivation : evaluation d’options par Black

& Scholes

Considerons une option de prix d’exercice (”strike”) K sur un sous-jacentS de volatilite σ et qui distribue des dividendes continument a proportion deg de sa valeur. Le prix V de l’option est donne par contrat a l’instant final T ,par exemple V (S, t = T ) = (S −K)+ pour un call, V (S, t = T ) = (S −K)−pour un put ... Pour les autres instants ce prix satisfait (sous les hypothesesstandard du modele) l’equation de Black&Scholes

∂V

∂t+σ2

2S2∂

2V

∂S2+ (r − g)S

∂V

∂S− rV = 0. (5.1)

Le changement de variables S = Kex, t = T − τσ2/2

, q = rσ2/2

q = r−gσ2/2

nous change la fonction V (S, t) en une fonction v(x, τ) = V (S, t) qu’on peutensuite changer a nouveau en y(x, τ) par

v(x, τ) = Kexp

−x

2(q − 1)−

(1

4(q − 1)2 + q

y(x, τ). (5.2)

Cette nouvelle fonction y satisfait une equation aux derivees partielles (EDP)

60

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plus simple, en temps directe (pas retrograde comme precedemment) :

∂y

∂τ=∂2y

∂x2, x ∈ R, τ ≥ 0 (5.3)

a partir des conditions initiales

y(x, 0) =(ex2

(q+1) − ex2

(q−1))

+pour un call, (5.4)

y(x, 0) =(ex2

(q−1) − e−x2

(q−1))

+pour un put. (5.5)

Nous sommes donc dans le cadre uni-dimensionnel de l’equation de lachaleur dont la forme generale s’ecrit

∂u∂t−∆u = f dans ΩT = Ω×]0, T [ (5.6)

u = g(x, t) sur ΓT = ∂Ω×]0, T [ (5.7)

u(t = 0, ·) = u0(·) dans Ω (5.8)

ou Ω est un ouvert borne de Rd (d = 1, 2, 3, ...) de frontiere reguliere.L’equation qui precede regit en general tout phenomene de diffusion, par

exemple une diffusion de chaleur dans Ω, u(x, t) etant la temperature dans lepoint ”x” au temps ”t”, ayant comme repartition initiale u(x, t = 0) = u0(x)avec des sources de chaleur d’intensite f(x, t) et des temperatures imposeesegales a g(x, t) sur le bord de Ω.

Pour rappel ici l’operateur Laplacian est ∆ = ∂2

∂x21

+ ∂2

∂x22

+ ... + ∂2

∂x2d

et

modelise la diffusion.

5.2 Rappels sur les EDP : espaces fonction-

nels, formulation variationnelle, lemme de

Lax-Milgram

5.2.1 Motivation

Pour resoudre l’equation dependante du temps, nous allons par exempleappliquer un schema de Euler implicite. Ceci nous amene a resoudre pourtout pas de temps (on rappelle la notation tn = nδt) :

un+1 − un

δt= ∆un+1 + fn (5.9)

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ou encoreun+1 − δt∆un+1 = unδt+ fn. (5.10)

Nos constatons qu’il faut donc savoir resoudre les problemes stationnaires(independantes du temps) dont le plus simple exemple est celui de Poisson :

−∆u = f dans Ω (5.11)

u = 0 sur ∂Ω. (5.12)

Les conditions aux limites u = 0 portent le nom de conditions de Dirichlet.Un autre type important de condition aux limites sont celles ou on impose laderivee normale (donc un flux), e.g. ∂u

∂n= g(x, t), qui seront dites conditions

de Neuman.

5.2.2 Espaces de Sobolev

Le but de cette partie est d’introduire les espaces de Sobolev necessairespour le traitement variationnel des equations aux derivees partielles (EDP).

Les espaces de Sobolev sont obtenues en classant les fonctions par leurregularite. Nous allons noter par Ω ⊂ Rd le domaine de definition de cesfonctions, domaine qui sera suppose regulier (par exemple sa frontiere peutetre une fonction C1 par morceaux ou au moins Lipschitz). Dans tout ce quisuit les fonctions sont supposees aux valeurs reelles, mais ces espaces peuventaussi etre definis pour des fonctions aux valeurs complexes.

Espaces L2

L’espace L2(Ω) est defini par

L2 = f : Ω→ R;

∫Ω

|f(x)|2dx <∞, (5.13)

qui est un Hilbert avec le produit scalaire

〈f, g〉L2 =

∫Ω

f(x)g(x)dx. (5.14)

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Espaces Hm

Ces espaces donnent des informations non seulement sur le comportementde la fonction mais egalement pour ses derivees.

Nous definissons :

Hm = f : Ω→ R; ∂αf(x) ∈ L2 ∀α ∈ Nd, |α| ≤ m, (5.15)

i.e., les fonctions dont toutes les derivees jusqu’au degre m sont dans L2.Exemple : H1

0 contient les fonctions L2 dont les derivees sont aussi fonc-tions L2.

La norme‖f‖Hm =

∑α∈Nd,|α|≤m

‖∂αf(x)‖Lp (5.16)

fait de Hm un espace de Hilbert avec le produit scalaire

〈f, g〉Hm =

∫Ω

∑α∈Nd,|α|≤m

∂αf(x)∂αg(x)dx. (5.17)

Lorsque les condition aux limites peuvent etre prises en compte dans ladefinition de l’espace, comme est le cas des conditions Dirichlet, il est utilede travailler avec Hm

0 qui est la fermeture dans Hm des fonctions C∞ ayantun support compact strictement inclus dans Ω. Il s’agit donc dans ce casd’assurer l’annulation des fonctions sur la frontiere ∂Ω de Ω.

Pour ces espaces Hm0 , il se trouve que l’annulation de la fonction sur le

bord fait que la norme sera controlee par la norme L2 de la derivee, donc onpeut montrer, par exemple pour H1

0 :

‖∇f‖L2 ≤ ‖f‖H10

= ‖∇f‖L2 + ‖∇‖L2 ≤ C‖∇f‖L2 . (5.18)

Ce sont des inegalites dites de Poincare.

5.2.3 Formulation variationnelle

Il s’agit ici de donner un sens aux equations par integration par par-ties. Bien que la theorie soit completement operationnelle pour d > 1, acause des formules d’integration par parties plus elaborees (les formules deGreen/Stokes etc) nous allons seulement expliquer le cas d = 1.

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Donc si −u′′ = f dans un intervalle [α, β] on obtient en multipliant parv(x)∫ β

α

fvdx = −∫ β

α

u′′vdx = −u′(β)v(β) + u′(α)v(α) +

∫ β

α

u′v′dx (5.19)

Si maintenant on suppose que notre probleme avait des conditions deDirichlet nulles sur le bord de [α, β] (c’est a dire u(α) = u(β) = 0) alorsnous voyons que u peut etre pris dans H1

0 ([α, β]). On prendra donc v pareil,v ∈ H1

0 ([α, β]). Dans ce cas le probleme peut etre ecrit sous la forme :∫ β

α

fvdx =

∫ β

α

u′v′dx, ∀v ∈ H10 ([a, b]). (5.20)

on encore en definissant a : H10×H1

0 → R par a(u, v) =∫ βαu′v′dx et l ∈ (H1

0 )′

(le dual de H10 ) par l(v) =

∫ βαfvdx il s’ecrit

A(u, v) = l(v), ∀v ∈ H10 ([α, β]). (5.21)

Cette derniere formulation, obtenue par integration par parties, est diteformulation variationnelle ou formulation faible du probleme initial.Elle a beaucoup d’avantages dont celle de donner un sens avec minimum deregularite (observons qu’il n’y a pas de derivees deuxiemes) et est la methodede choix pour toutes les equations aux derivees partielles (EDP).

5.2.4 Lemme de Lax-Milgram

Definition 16 Soit X un espace de Banach et une forme bi-lineaire a definiesur X×X. La forme a est continue s’il existe M tel que a(u, v) ≤M‖u‖‖v‖pour tous u, v ∈ X. Elle est coercive s’il existe m > 0 tel que pour toutu ∈ V : a(u, u) ≥ m‖u‖2.

Le resultat suivant, dit le “lemme de Lax-Milgram” donne un cadre tresconvenable pour demontrer l’existence d’une solution d’une EDP :

Theoreme 11 (Lax-Milgram) Soit “a” une forme bi-lineaire, continue etcoercive sur un espace X et l une forme lineaire continue sur cet espace :l ∈ X ′. Alors le probleme :

Trouver u ∈ X solution de a(u, v) = (l, v)X′,X , ∀v ∈ X (5.22)

admet une solution unique u ∈ V . De plus l’application l 7→ u est continuede X ′ dans X.

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Remarque 19 Les hypotheses du thm. sont verifiees pour notre probleme enposant X = H1

0 ([α, β]).

5.3 Formulations variationnelles (Galerkin) pour

la discretisation des EDP

Sauf cas exceptionnels la solution u ne peut pas etre trouvee analytique-ment. Il faut alors conduire une etude numerique du probleme (5.22).

Considerons donc une suite d’espaces d’approximation Xh ⊂ X qui “ten-dent” vers X dans un sens a definir. Ici h > 0 est un parametre qui donne lafinesse de cette approximation, i.e. pour des valeurs h de plus en plus petitesles espaces Xh approchent de mieux en mieux X.

On peut alors considerer le probleme (5.22) pose sur chaque espace Xh.Il est crucial de remarquer que, puisque chaque sous-espace Xh est inclus enX la forme bilineaire a reste continue et coercive avec les memes constantesm et M (qui ne sont peut etre plus optimales ! ) :

a(uh, vh) ≤M‖uh‖ · ‖vh‖, pour tous uh, vh ∈ Xh. (5.23)

a(uh, uh) ≥ m‖uh‖2 pour tout uh ∈ Xh. (5.24)

Par ailleurs la fonctionnelle l ∈ X ′ est aussi une fonctionnelle dans le dualX ′h de Xh. Il s’ensuit que le probleme approche :

Trouver uh ∈ Xh tel que a(uh, vh) = l(vh) pour tout vh ∈ Xh, (5.25)

admet une solution unique uh ∈ Xh.

5.3.1 Convergence

Une premiere question concerne la relation entre u et uh. Ceci est reglepar le resultat suivant

Lemme 2 (Cea) Soit u solution de (5.22) et uh solution de (5.25). Alorssi ”a” est symetrique :

‖u− uh‖ ≤√M

minf

wh∈Xh‖u− wh‖. (5.26)

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Si la forme bilineaire “a” n’est pas symetrique l’estimation suivante est ob-tenue

‖u− uh‖ ≤M

minf

wh∈Xh‖u− wh‖. (5.27)

Remarque 20 Il est important de noter que la constante M/m appeleeegalement constante de conditionnement de a qui intervient dans l’estima-tion depend seulement de la forme bilineaire a et de l’espace X ; en particuliercette constante ne depend pas des Xh.

Remarque 21 Donc la distance entre u et uh depend principalement decombien la solution exacte u est bien approchee par l’espace Xh. Commed’autre cote

‖u− uh‖ ≥ infwh∈Xh

‖u− wh‖,

il s’ensuit que resoudre (5.25) est une facon optimale (par rapport a h entout cas) de trouver u. Cette methode sera d’autant plus optimale que leconditionnement M/m de la forme bilineaire a est plus petit (i.e. proche de1, car toujours sur-unitaire).

Remarque 22 Toutes les estimations sont dans la norme de l’espace X. Sil’utilisation ulterieure de la solution u necessite d’autres normes (e.g. lorsqueon a besoin de plus qu’une derivee, etc) il faut alors changer de cadre fonc-tionnel, en particulier demander que la forme l soit plus reguliere que justeX ′.

Preuve Remarquons d’abord que

a(u− uh, vh) = (l, vh)− (l, vh) = 0 pour tout vh ∈ Xh. (5.28)

Il s’ensuit alors que a(u−uh, u−wh) = a(u−uh, u−uh) pour tout wh ∈ Xh.On peut deduire d’ici

m‖u−uh‖2 ≤ a(u−uh, u−uh) = a(u−uh, u−wh) ≤M‖u−uh‖ · ‖u−wh‖.

On a obtenu donc

∀wh ∈ Xh : m‖u− uh‖ ≤M‖u− wh‖,

d’ou la conclusion pour le cas non-symetrique.

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Si en plus la forme “a” est symetrique, alors pour tout vh de Xh :

a(u− vh, u− vh) = a(u− uh + uh − vh, u− uh + uh − vh)= a(u− uh, u− uh) + 2a(u− uh, uh − vh) + a(uh − vh, uh − vh)= a(u− uh, u− uh) + a(uh − vh, uh − vh). (5.29)

la derniere egalite etant vraie en virtue de l’orthogonalite (5.28). Il s’ensuitalors de la positivite de la forme “a” :

∀vh ∈ Xh : a(u− uh, u− uh) ≤ a(u− vh, u− vh). (5.30)

La conclusion suit en utilisant les constantes de continuite et coercivite de laforme “a”.

Toujours pour une forme symetrique, on obtient donc (voir la preuveprecedente)

a(u− uh, u− uh) = infvh∈Xh

a(u− vh, u− vh). (5.31)

Ceci nous dit que uh est la projection de la solution exacte u sur l’espace Xh

suivant la norme induite par la forme bilineaire “a” : ‖w‖∗ =√a(w,w).

5.3.2 Mise en oeuvre

Pour resoudre (5.25) on se rappellera que (5.22) est en fait la forme “fai-ble” de (5.11) qui appelle un traitement avec des fonctions test. Soit donceh1 ,...,ehNh une base de Xh. Nous ne supposerons rien d’autre sur les fonctionsehk (normalisation, orthogonalite, ...).

A cause de la linearite de a et l il s’ensuit que (5.25) est equivalent a

Trouver uh ∈ Xh tel que a(uh, ehk) = l(ehk) pour tout k = 1, ..., Nh. (5.32)

Comme uh ∈ Xh on le cherche sous la forme uh =∑Nh

k=1 chkehk. En invo-

quant encore la linearite de la forme a on obtient a(uh, ehk) =

∑Nhj=1 a(ehj , e

hk)c

hj .

Notons donc par A la matrice Nh×Nh ayant comme entrees Ajk = a(ehj , ehk),

par Uh le vecteur (colonne) Nh × 1 contenant les coefficients chk, k = 1, ...Nh

dans cet ordre, et par Fh le vecteur des resultats l(ehk), k = 1, ...Nh danscet ordre. Alors on obtient donc (grace a la symetrie de a) que (5.32) estequivalent a

AUh = Fh. (5.33)

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Ainsi le probleme initial est reduit a la resolution d’un systeme matriciel dedimension Nh pour l’espace Xh suffisamment fin pour bien approcher u (cf.le lemme de Cea).

Plusieurs choix sont possible pour les espaces Xh, et il y a toujoursun compromis a faire entre la genericite des espaces (i.e. leur capacite abien approcher des solutions des EDP generales) et l’effort necessaire pourresoudre (5.33) : plus la suite d’espaces Xh est generique, plus grandes sontalors leur dimensionsNh respectives et plus difficiles a resoudre les systemes (5.33).

Parmi les choix les plus utilises on retrouve les elements finis, les elementsspectraux, les ondelettes ...

5.3.3 Illustration : interpolation P 1 pour fonctions C2

Dans cette partie on s’interesse aux fonctions de classe C2 definies sur unsegment [α, β] de R1. On introduit l’operateur d’interpolation continue pardes fonctions lineaires par morceaux : pour une division α = x0 < x1 < ... <xn = β de taille h = maxi=0,...,n−1(xi+1− xi), l’interpole if de f sera l’uniquefonction lineaire sur chaque [xi, xi+1] et qui prend les memes valeurs que fdans les points xj : f(xj) = (if )(xj), j = 0, ..., n, voir Fig 5.1.

Il est facile a voir que if est definie sur [xi, xi+1] par

if (x) = f(xi) +f(xi+1)− f(xi)

xi+1 − xi(x− xi). (5.34)

Proposition 6 Si f est de classe C2 alors sur chaque [xi, xi+1] :

|(f − if )(x)| ≤ Ch2 maxy∈[xi,xi+1]

|f ′′(y)|. (5.35)

En plus, pour tout 1 ≤ p ≤ ∞ il existe une constante C independante de htelle que

‖f − if‖L2 ≤ Ch2‖f‖H2 . (5.36)

Demonstration Voir cours. Indication : On utilise la formule de Taylor :

f(x) = f(xi) + f ′(xi)(x− xi) +(x− xi)2

2f ′′(ξx)

pour un certain ξx ∈ [xi, xi+1]. En ecrivant la meme formule pour xi+1 onobtient

f(xi+1) = f(xi) + f ′(xi)(xi+1 − xi) +(xi+1 − xi)2

2f ′′(ξi)

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Fig. 5.1 – Interpolation (P1) continue d’une fonction de classe C2 par poly-nomes de degre 1 par morceaux.

On remplace maintenant f ′(xi) de la derniere formule dans la premiere :

f(x) = f(xi)+f(xi+1 − f(xi)

xi+1 − xi(x−xi)−

(x− xi)(xi+1 − xi)2

f ′′(ξi)+(x− xi)2

2f ′′(ξx)

Mais, par (5.34) ceci est equivalent a :

f(x)− if (x) = −(x− xi)(xi+1 − xi)2

f ′′(ξi) +(x− xi)2

2f ′′(ξx)

d’ou (5.35). Pour montrer (5.36) on ecrit :∫ β

α

|f−if |p(x)dx =n−1∑i=1

∫ xi+1

xi

|f−if |2(x)dx ≤ Ch4

n−1∑i=1

(xi+1−xi) maxy∈[xi,xi+1]

|f ′′(y)|2.

Mais chaque maxy∈[xi,xi+1] |f ′′(y)|2 est atteint en un point note ξmi et donc la

somme est∑n−1

i=1 (xi+1 − xi)|f ′′(ξmi )|2 avec ξmi ∈ [xi, xi+1]. Mais, pour h → 0

ceci converge vers∫ ba|f ′′|2 donc on en deduit l’existence d’une constante C

independante de h telle que

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∫ β

α

|f − if |2(x)dx ≤ Ch4

∫ b

a

|f ′′(x)|2dx.

En prenant la racine et avec l’inegalite ‖f ′′‖L2 ≤ ‖f‖H2 on obtient l’estima-tion (5.36).

5.4 Differences finies pour des EDP

Nous sortons ici du cadre Galerkin pour revenir aux differences finiespermettant de resoudre :

∂y

∂τ=∂2y

∂x2, x ∈ R, τ ≥ 0. (5.37)

Nous allons prendre une grille en espace et une autre en temps comme vuprecedemment.

5.4.1 Euler explicite

Avec la notation Unk ' y(nδτ, Ymin + (k − 1)δx) ce schema s’ecrit :

Un+1k − Un

k

δτ=Unk+1 + Un

k−1 − 2Unk

δx2, (5.38)

ou sous forme matricielle, en notant

λ =δτ

δx2(5.39)

on obtient

Un+1 =

1− 2λ λ 0 . . . 0

λ 1− 2λ λ 0...

0 λ 1− 2λ λ...

.... . . . . . 1− 2λ λ

0 . . . . . . λ 1− 2λ

Un. (5.40)

En rappelant que les valeurs propres d’une matrice tri-diagonale (deconstantes a, b, c) sont (voir formules (4.35))

µk = b+ 2√ac cos

M + 1, k = 1, ...,M. (5.41)

70

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on obtient ici

µk = 1− 4λ sin2

(kπ

2(M + 1)

). (5.42)

La condition de stabilite |µk| < 1, ∀k devient λ < 1/2 ou encore

δτ ≤ δx2

2(5.43)

ce qui entraıne des pas de temps tres petits (e.g. pour δx = 10−3, δτ sera dede l’ordre 10−6).

5.4.2 Euler implicite

Le schema s’ecrit :

Un+1k − Un

k

δτ=Un+1k+1 + Un+1

k−1 − 2Un+1k

δx2, (5.44)

ou sous forme matricielle,1 + 2λ −λ 0 . . . 0

−λ 1 + 2λ −λ 0...

0 −λ 1 + 2λ −λ ......

. . . . . . 1 + 2λ −λ0 . . . . . . −λ 1 + 2λ

Un+1 = Un. (5.45)

Les valeurs propres doivent etre maintenant sur-unitaires ; elles sont

µk = 1 + 4λ cos2

(kπ

2(M + 1)

)(5.46)

ce qui montre que le schema est toujours stable.

5.4.3 Crank-Nicholson

Bien que le schema d’Euler implicite soit stable, il n’est pas toujourssuffisamment precis. On utilise alors un schema d’ordre superieur, celui deCrank-Nicholson. Il s’ecrit :

Un+1k − Un

k

δτ=Un+1k+1 + Un+1

k−1 − 2Un+1k

2δx2+Unk+1 + Un

k−1 − 2Unk

2δx2. (5.47)

71

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Sous forme matricielle il s’ecrit1 + λ −λ/2 0 . . . 0

−λ/2 1 + λ −λ/2 0...

0 −λ/2 1 + λ/2 −λ/2...

.... . .

. . . 1 + λ −λ/20 . . . . . . −λ/2 1 + λ

Un+1 =

1− λ λ/2 0 . . . 0

λ/2 1− λ λ/2 0...

0 λ/2 1− λ λ/2...

.... . .

. . . 1− λ λ/20 . . . . . . λ/2 1− λ

Un.

(5.48)Soit G la matrice tridiagonale qui a −2 sur la diagonale et 1 sous/sur ladiagonale, et C = 2I − λG. Alors Un+1 = (4C−1− I)Un et on observe que lacondition de stabilite est toujours satisfaite ce qui montre que le schema esttoujours stable. Nous pouvons aussi montrer

Theoreme 12 Supposons que la solution y est lisse de classe C4. Alors l’er-reur de troncature du schema de Crank-Nicholson est d’ordre O(δτ 2 + δx2).

Demonstration Voir cours. Indication : on utilise l’operateur de differentiationdiscrete

δ2δxF =

F (x+ dx) + F (x− dx)− 2F (x)

δx2(5.49)

dont on connaıt la propriete δ2δxF = ∂2F

∂x2 +O(δx2).

5.4.4 Retour a Black&Scholes

Pour resoudre maintenant l’equation de Black&Scholes sous sa formeequation de la chaleur, il ne reste plus qu’a donner les conditions aux li-mites de l’intervalle spatial : a l’extremite gauche y = R1 et a l’extremitedroite y = R2. Soit par exemple C le prix d’un call et P le prix d’un put. Onutilise alors des relations (qu’on accepte sans demonstration ici) :

limS→∞

C(S, t)− S = −Ke−r(T−t) (5.50)

limS→∞

P (S, t) + S = Ke−r(T−t) (5.51)

ce qui nous donne pour un call

R1 = 0, R2(x, τ) = expx

2(q + 1) +

τ

4(q + 1)2

(5.52)

et pour un put

R1 = expx

2(q − 1) +

τ

4(q − 1)2

, R2 = 0. (5.53)

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5.5 Exercices

Exercice 29 Trouver l’erreur de troncature pour le schema d’Euler expliciteet implicite.

Exercice 30 Soit V un espace de Hilbert a(·, ·) : V × V → R une forme bi-lineaire, continue et elliptique (i.e., definie positive) sur V ×V et symetrique.Soit H un autre espace de Hilbert qui contient V : V ⊂ H ⊂ V ′ et l ∈ H ⊂V ′. On considere un probleme ecrit en formulation variationnelle :

Trouver u ∈ V tel que a(u, v) = 〈l, v〉H , ∀v ∈ V (5.54)

Soit Vh ⊂ V un sous espace vectoriel de V et le probleme discretise :

Trouver uh ∈ Vh tel que a(uh, vh) = 〈l, vh〉H , ∀vh ∈ Vh. (5.55)

1/ Demontrer qu’il existe une constante C (a expliciter) telle que u verifie :

‖u‖2V ≤ C‖l‖H‖u‖H , ‖u− uh‖2

V ≤ C‖l‖H‖u− uh‖H . (5.56)

Soit φk 6= 0 la k-eme fonction propre de a(·, ·), c’est a dire

a(φk, v) = λk〈φk, v〉H , ∀v ∈ V

2/ On considere que λk 6= λl pour tout k 6= l. Demontrer que 〈φk, φl〉H = 0pour k 6= l. De meme pour a(φk, φl).

3/ Nous supposerons dorenavant que les φk engendrent H donc V . Onles prendra orthonormees dans H : ‖φk‖H = 1. Ecrire u en fonction des φk,λk et 〈l, φk〉.

4/ On prend comme choix pour Vh l’espace genere par les N premieresfonctions φk propres de a(·, ·) c’est a dire Vh = V ectφk; k = 1, ..., N ; a(φk, v) =λk < φk, v >H , λ1 ≤ ... ≤ λN ≤ λj, ∀j > N. Ecrire uh en fonction de φk,k = 1, ..., N .

Exercice 31 Sous les hypotheses du lemme de Cea, pour la forme bi-lineairesymetrique a supposons qu’on ait ‖u − uh‖V = minw∈Vh ‖u − w‖V pour toutmembre de droite l ∈ V ′. Demontrer alors qu’il existe une constante C telleque a(u, v) = C〈u, v〉V .

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Exercice 32 (Equation de Black & Scholes) On considere l’equation deBlack & Scholes

∂V

∂t+σ2S2

2

∂2V

∂S2+ rS

∂V

∂S− rV = 0

1. On definit y = log(S), W (y, t) = V (S, t). Demontrer que l’equations’ecrit maintenant

∂W

∂t+σ2

2

∂2W

∂y2+ (r − σ2

2)∂W

∂y− rW = 0

On note par U ji une approximation numerique de W (idy, jdt), i =

−M,M , j = 0, 1, ..., N = T/dt. Nous utiliserons pour les derivees spa-

tiales les approximations suivantes f ′(y) ' f(y+dy)−f(y−dy)2dy

, f ′′(y) 'f(y+dy)+f(y−dy)−2f(y)

(dy)2alors que pour les derivees en temps on utilise

g′(t) ' g(t+dt)−g(t)dt

.

2. Donner la formule pour le calcul de U ji en fonction des valeurs U j+1

` ,

` = −M, ...,M . Ecrire sous une forme matricielle (1+rdt)U j = AU j+1

et montrer que A est tri-diagonale de la forme : A`,`−1 = a, A`,` = b,A`,`+1 = c pour tout indice ` ∈ Z admissible.

Note : on prendra des formules explicites pour les derivees et implicitepour −rW . Les conditions aux limites ne seront pas prises en comptedans la definition de la matrice A.

3. Supposons que les valeurs propres d’une telle matrice A sont µAk =b+ 2

√ac cos( kπ

2M+2).

Demontrer que a+ b+ c = 1 mais que a,b et c peuvent etre vues commedes probabilites d’une loi a 3 evenements (i.e., a, b, c sont positives)seulement si certaines conditions sur dt et dy sont satisfaites. Expliciterces conditions.

4. Comparer les conditions trouvees avec les conditions sur la stabilited’un schema Euler explicite.

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Bibliographie

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[2] Robert Dautray and Jacques-Louis Lions. Analyse mathematique et calculnumerique pour les sciences et les techniques. Vol. 8. INSTN : CollectionEnseignement. Masson, Paris, 1988. Evolution : semi-groupe, variation-nel., Reprint of the 1985 edition.

[3] Robert Dautray and Jacques-Louis Lions. Analyse mathematique et calculnumerique pour les sciences et les techniques. Vol. 9. INSTN : CollectionEnseignement. Masson, Paris, 1988. Evolution : numerique, transport.,Reprint of the 1985 edition.

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