Université Mohamed 1erFST - Al Hoceima

TD1: Logique et ensemblesFeuille1

1ère année MIP - AnalyseS1 - 2013/2014

Prof. Nafie Jamal

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Quantificateurs: ∀ ; ∃Exercice 1f étant une fonction de R dans R. Exprimer àl’aide des quantificateurs les phrases suivantespuis donner leur négation.

1. f est une fonction nulle.2. f a au moins un point fixe.3. f n’est pas la fonction nulle.4. f atteint toutes les valeurs de N5. f est périodique.6. f est décroissante sur R.7. f est bornée sur R.

Exercice 2Soient les 4 assertions suivantes :

p : ∃x ∈ R ∀y ∈ R x+ y > 0

q : ∀x ∈ R ∃y ∈ R x+ y > 0

r : ∀x ∈ R ∀y ∈ R x+ y > 0

s : ∃x ∈ R ∀y ∈ R y2 > x

1. Les assertions p, q, r, s sont-elles vraies oufausses ?

2. Donner leur négation.

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Opérations logiquesExercice 3 TautologiesMontrer que les assertions suivantes sont destautologies. Préciser l’intérêt de chacune.

(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) (1)[(p ⇒ q)∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) (2)[(p ⇔ q)∧ (q ⇔ r)] ⇒ (p ⇔ r) (3)

p ⇔ [¬p ⇒ (q∧ ¬q)] (4)[(p ⇒ r)∧ (q ⇒ r)] ⇔ [(p∨ q) ⇒ r] (5)

Exercice 4On note p, q, r et s des propositions données.

1. Vérifier que: p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)

2. Trouver une proposition équivalente à:(p∧ q)∨ (r∧ s)

3. Application: résoudre dans R2 le système:{(x− 1)(y− 2) = 0(x− 3)(y− 4) = 0

Exercice 5 NANDOn définit le connecteur logique noté Nandpar: Nand(p, q) ⇔ ¬(p∧ q).

1. Écrire la table de vérité de Nand

2. Exprimer p en fonction de Nand

3. Exprimer ”et” en fonction de Nand

4. Exprimer ”ou” en fonction de Nand

5. Exprimer ⇒ en fonction de Nand

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Types de raisonnementExercice 6 AbsurdeMontrer par l’absurde:

1. Si n ∈ N est un multiple de 10, n est aussiun multiple de 2.

2. Si ∀ε > 0 ; a ≤ ε alors a ≤ 0

3.√3 +

√2 n’est pas un rationnel.

4. L’équation 2x7 − 4x4 + 2x+ 3 = 0 n’a pasde solution entière.

Exercice 7 Contraposée

1. Soit A,B ∈ R. Montrer que:(∀ε > 0 ; A < B+ ε ⇒ A 6 B).

2. Montrer que:(x ̸= y) ⇒ (x+ 1)(y− 1) ̸= (x− 1)(y+ 1)

Exercice 8 Contre exempleMontrer que les propositions suivantes sontfausses.

1. ∀n ∈ N ; 2n + 3n est un nombre premier.

2. (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) ; y2 + xy+ 1 = 0

Exercice 9 Disjonction des cas1. Établir que ∀(a, b) ∈ R2 on a:

max(a, b) =1

2

(a+ b+ | a− b |

)min(a, b) =

1

2

(a+ b− | a− b |

)2. montrer que si a est un réel non nul tel que

| x − a |<| a | alors x et a sont deux réelsde même signe.

Exercice 10 RécurrenceMontrer par récurrence:

1. Pour tout réel q ̸= 1,1 + q+ q2 + · · ·+ qn =

1− qn+1

1− q

2. ∀n ∈ N∗ , 13 +23 + · · ·+n3 =n2(n+ 1)2

2

3. ∀n ∈ N∗ , 9 divise 10n − 1

4. ∀x ∈ R, ∀n ∈ N , | sin(nx) |6 n | sin x |

Exercice 11On rappelle que si E est un ensemble fini, alorsle nombre de ses éléments s’appelle le cardinalde E et on le note card(E) =| E |. Montrer quesi card(E) = n, alors card(P(E)) = 2n