Download - 4 Sujet (Séries statistiques doubles)
Sujet
I On considère la série statistique double suivante :
x 2 3 5 8 11
y 5,6 7,2 9,6 15,1 20
1° Calculer les sommes ∑ ∑ ∑∑∑ xyyxyx et ,,, 22 .
2° Représenter le nuage de points.
3° Déterminer les coordonnées du point moyen du nuage de points.
4° Calculer (en justifiant vos résultats à partir de la question 1°) V(x), V(y), cov(x, y).
5° Déterminer (en justifiant les résultats à partir de la question 4°) l’équation de la droite Dy/x
de régression de y en x.
Représenter cette droite.
6° Calculer, à partir de la question 4°, le coefficient de corrélation linéaire. Interpréter le
résultat.
II Le mur d’une habitation est constituée par une couche de béton et une couche de
polystyrène d’épaisseur variable x (en cm). On a mesuré la résistance thermique R de ce mur
pour différentes valeurs de x et l’on a obtenu les résultats suivants :
x 3 5 7 9 11 13 16 21
R 2,04 2,69 3,06 3,90 4,09 4,72 6,16 6,69
1° Représenter graphiquement cette série (x en abscisses et R en ordonnées). Peut-on
envisager un ajustement affine ?
2° Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre x et R. Conclure.
3° Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de
R en x. Représenter cette droite (en justifiant sa construction).
4° Quelle résistance thermique peut-on espérer obtenir avec une couche de polystyrène de
23 cm ?
On pourra utiliser le document-réponse de la page suivante.
Nom :
I
II.
Corrigé de l’exercice I
1° On obtient ∑ ∑ ∑ ∑∑ ===== 6,421;37,803;223;5,57;29 22xyyxyx .
2° Voir le graphe.
3° Le point moyen M du nuage a pour coordonnées .5,115
5,57et 8,5
5
29==== yx
4° 5,118,55
6,421),cov(;5,11
5
37,803)(V;8,5
5
223)(V 22
×−=−=−= yxyx d’où
V(x)= 10,96 ; V(y)= 28,424 et cov(x, y) = 17,62 .
5° Dy/x a pour équation y=ax+ b où a= 96,10
62,17≈ 1,608 et b= 11,5 –
96,10
62,17×5,8 ≈ 2,1755
puisque cette droite passe par M.
Dy/x passe aussi par le pont de coordonnées 10 et 10a+ b≈18,25 d’où sa construction.
6° Le coefficient de corrélation linéaire r est donné par r=424,2896,10
62,17
×
≈0,998.
L’ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés est excellent, le nuage de ponts est
très proche de Dy/x.
Représentation graphique du problème
M
Dy/x
Corrigé de l’exercice II
DR/x
La représentation graphique de la question 1° et 3°
1° Après avoir placé tous les points, on remarque qu’on peut tracer une droite qui est très
proche de chaque point. On peut donc envisager un ajustement affine.
2° Avec la calculette, on remarque que le coefficient r de corrélation linéaire entre x et R est
donné par r≈ 0,988. Par la méthode des moindres carrés, l’ajustement linéaire est excellent.
3° La droite DR/x a pour équation y=ax+b.
Avec la calculette, on obtient : a≈ 0,271 et b ≈ 1,291
Cette droite passe par le point de coordonnées 2 et 2a+b≈ 1,83 et par le point de coordonnées
20 et 20a+b ≈ 6,71, d’où sa construction.
4° Le nuage de points étant très proche de DR/x, on considère qu’approximativement y=ax+b .
Pour x=23 et 23a+b donne la valeur espérée de R, on prend ici R= 7,52 ( un nombre à 10-2
près comme dans le tableau de l’énoncé).