3
Estimation des ressources
Septembre 2008
4
Plan
Influence de la densité Méthode polygonale Méthode des triangles Inverse de la distance Méthode des sections
Manuelle Logiciels de CAO
Critique des méthodes
Calcul de densité théorique
5
Estimation:
t5
tv
t1
t2
t3
t4
t s = t ii
n
=1i
* 0
t0
?
Pour un bloc:
Intégrer les valeurs ponctuelles dans le bloc ou discrétiser le bloc
6
Influence de la densité
t1,v1,d1 t2,v2,d2
V=v1+v2
d, t ?2v1v
2d*2v1d*1vd
2d*2v1d*1v
2d*2v*2t1d*1v*1tt
La quantité de métal dans un bloc est t*v*d = t*masse du blocPour une même teneur et un même volume, il y a plus de métal dans un bloc à forte densité
Souvent, les variations de densité peuvent être considérées comme négligeables par rapport aux variations des teneurs ou des volumes
7
Quand épaisseur et/ou densité varient :
Généralement on estime la quantité de métal dans un volume donné et on divise par le tonnage estimé pour ce même volume
Soit ti = teneur au point isi*= facteur de pondération dépendant de la méthode utiliséeei = épaisseur au point idi = densité au point i
À un point « 0 », on estime la teneur par
où
jj
iii
s
stt*
0
is Facteur total de pondération :
= si* quand « t » varie
= si* x ei quand « t » et « e » varient
= si* x ei x di quand « t », « e » et « d » varient
8
Méthode polygonale (plus proche voisin)
Principe : la teneur estimée en un point est égale à la teneur du point connu le plus proche
=> définit des polygones (polygones de Voronoï) à teneur constante
Même principe est appliqué pour l’épaisseur
9
Exemple
0 20 40 60 80 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100Méthode des polygones
x
y
10
Exemple
0 20 40 60 80 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100Méthode des polygones
x
y Le seul paramètre à spécifier est la règle de fermeture pour les polygones externes
Souvent: distance max
11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 20 40 60 80 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
y
Méthode des polygonesTeneur
Design de la mine, la teneur moyenne est
la moyenne pondérée par les « surfaces »
12
Pour une zone donnée
is Facteur de pondération :
- surface
- surface x épaisseur
- surface x épaisseur x densité
jj
iii
moy s
st
t
13
Comment obtenir les polygones?
Triangulation de Delaunay Triangles les + équilatéraux possibles
Perpendiculaires au milieu des côtés des triangles (médiatrices)
Les 3 médiatrices se rencontrent au centre du cercle circonscrit au triangle
Les points d’intersection de deux triangles partageant un côté commun sont reliés => côté du polygone.
14
0 20 40 60 80 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100Méthode des polygones
x
y
Note : pour points d’un même triangle => polygones de Voronoi se touchent.
Les côtés des polygones sont les médiatrices des triangles de Delaunay.
Polygones de Voronoi et triangulation de Delaunay sont deux opérations duales
15
0 20 40 60 80 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100Méthode des polygones
x
y
Dans une triangulation de Delaunay
Cercle défini par 3 points d’un triangle de Delaunay n’inclut aucun autre pointPlusieurs algorithmes très efficaces pour le programmer
AB
C
D
D est dans le cercle ABC. Le triangle ABC n’est pas Delaunay
AB
C
D
D n’est pas dans le cercle ABC. Le triangle ABC est Delaunay
17
Méthode des polygones : estimation ponctuelle et blocs
Tous les points dans un polygone reçoivent la teneur de la donnée associée au polygone
Ex. grille régulière => polygones sont des carrés
Estimés des blocs => même distribution statistique que les données
0 50 1000
20
40
60
80
100Méthode des polygones
xy
1 1.5 2 2.5 30
5
10
15histogramme des données
1 1.5 2 2.5 30
5
10
15histogramme des blocs (estimés)
Est-ce réaliste d’un point de vue statistique ?
18
Méthode polygonale:
- Peut bien estimer la proportion de points dépassant un seuil => application en environnement
- Ne permet pas de bien déterminer quels points dépassent le seuilcar méthode peu précise
- Ne permet pas de déterminer la proportion de blocs ni quels blocs dépassent un seuil
- Méthode présentant un fort biais conditionnel
19
Méthode des triangles : estimation ponctuelle et de blocs
Points : interpolation linéaire
+
t1 t2
t3
a
b
t13* c
dt0*
t13*= t1+[a/(a+b)] (t3-t1)
t0*=t13*+[c/(c+d)] (t2-t13*)
Blocs : moyenne des teneurs ponctuelles estimées dans le bloc
20
Comparaison
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Réalité
Polygones
Triangles
21
Inverse de la distanceL’estimateur est de la forme :
n
jbj
bi
ii
iin
ibi
n
ibi
i
d
dsavecst
d
d
t
t
11
1*0 1
/11
où di est la distance entre le point à estimer et le i ème point observé
22
Exemple
# distance teneur %
1 40 1
2 40 1
3 30 1.5
4 35 1.5
5 20 3
Estimation au point A avec b=2
%05.2)1/201/351/301/40(1/40
)3/201.5/351.5/301/40(1/40t
22222
22222
23
Note:- Défini pour une estimation ponctuelle
- bloc: moyenne des estimations ponctuelles dans le bloc
- Si épaisseur (et/ou densité) varie, habituellement estimer accumulation (a*) et épaisseur (e*) séparément et calculert*=a*/e*.
24
Influence de « b »
b=0
b=0.25
b=0.5
b=1
b=1.5b=2b=2.5b=3
Forme des interpolations en fonction de l'exposant b
Coordonnée
Est
ima
tion
Le coefficient « b » contrôle la forme de l’interpolation Plus « b » est élevé, plus l’influence du point le plus près est grande; plus l’estimation apparaît comme une série de plateaux coupés par de forts gradients.
À quoi correspond le cas b => ?, le cas b=0 ?
25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Coord. x
Co
oer
d. y
Interpolation en 2D, b=1
0.10.2
0.20.3
0.4
0.4
0.5
0.5
0.6
0.6
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.90.9
0.9
0.9
11
11 1.11.1
1.11.21.2
1.2
1.31.3
1.3
1.4
1.41.4
1.4 1.5
1.5
1.5
1.6
1.6
1.6
1.7
1.7
1.8
1.8
1.9
0 1
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Coord. x
Coo
erd
. y
Interpolation en 2D, b=3
0.10.1
0.20.2
0.3
0.3
0.4
0.4
0.5
0.5
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
0.7
0.8
0.8
0.8
0.90.9
0.9
0.9
11
11
1.11.1
1.1 1.21.21.2 1.31.31.3 1.41.4
1.4 1.51.51.5 1.6
1.61.6
1.71.7
1.71.8
1.81.8
1.9
1.91.9
1.9
0 1
2
t=0 t=1
t=2
Note: l’inverse de la distance ne permet pas une interpolation linéaire
b = 1 b = 3 En 2D
26
La distance peut être anisotrope
d x ay 2 2
« a » >1 indique qu’un écart donné sur le terrain correspond à une distance + grande en « y » qu’en « x »
A est plus près de B que de C, pourtant il est logique de considérer C plus semblable à A (que B)A
B
C
strates
27
Paramètres de contrôle avec l’inverse de la distance
- Exposant « b »
- Importance et orientation d’une éventuelle anisotropie
- Distance maximale utilisée pour sélectionner les données lors de l’estimation
et/ou nombre de données
Outil pour déterminer ces paramètres ?
Validation croisée
Principe : réestimer les points connus en se servant des voisins
- Enlever une observation Zi et effectuer l’estimation avec les autres => Zi*
-Calculer l’erreur d’estimation ei = Zi – Zi*
-Répéter le processus pour les autres observations et calculer une statistique globale sur l’erreur
e.g. ou i
i |e|n
1 i
2ie
n
1
28
Exemple
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.6Validation croisée
Exposant b
Moy
enne
|e|
Sol contaminé à l’arsenic (données de l’EPA)
b=2.5 procure en moyenne l’erreur absolue minimale
29
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Comparaison
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Réalité
« b » = 2
« b » = 1
30
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Polygone Triangles Inv dist, b=1 Inv dist b=2
17 13 22 16
Validation croisée
31
Méthode des sections (moderne)
Conserver l’approche géométrique pour définir l’enveloppe du gisement en 2D (i.e. forages => définir l’enveloppe minéralisée sur chaque section)
Passage section => 3D par « modélisation solide » Estimer les teneurs séparément dans un modèle de blocs
(e.g., par krigeage) Intersection modèle de blocs et géométrie du gisement =>
teneur du solide
Principe : séparer le problème de l’estimation des teneurs de celui de la définition de la géométrie du gisement
0 0.5 10
0.5
1Section S1 a y=0 apres interpolation
Coord xC
oord
z
0 0.5 10
0.5
1Section S2 a y=1 apres interpolation
Coord x
Coo
rd z
0 0.5 10
0.5
1Section S3 a y=2 apres interpolation
Coord x
Coo
rd z
0.20.4
0.60.8
0
1
2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Points servant à définir le polygoneLe tracé est interpolé en un grand
nombre de points
Les points d’interpolation de deux sections consécutives sont joints par des triangles
Les points d’interpolation de deux sections consécutives sont joints par des triangles
34
Il faut fermer le volume par des sections « de bout »
35
Logiciels de CAO minière
Grand nombre de logiciels permettant d’exécuter la modélisation 3D des gisements; logiciels dispendieux (10 k$ et +)
- GDM (Brgm)
- Datamine
- GOCAD
- Surpac (Geovia)
- Gemcom (Gems)
- Maptek (Vulcan)
- Mintec (MineSight)
- …
36
Critique des méthodes Méthode des sections => enveloppe du gisement (aspect
géométrique) Inverse de la distance => plus de flexibilité Triangles => bons résultats si données abondantes et de qualité
(ex. représenter une topographie). Extrapolation hasardeuse. Polygonale => à éviter (imprécise et ne fournit pas de teneurs
réalistes pour des blocs) Localement, polygonale utilise 1 donnée, triangles 3 données et
inverse de la distance : à déterminer, habituellement 5-50 Triangle, polygonale et inverse de la distance : interpolateur exact
choix discutable lorsque les données sont entachées d’erreur Triangle et polygonale : surtout problèmes 2D (ex. veine; niveau
d’une mine) Comparer les performances des méthodes par la technique de la
validation croisée
37
Calcul de densité théoriqueCertaines mines calculent la densité du minerai à partir des analyses chimiques obtenues
Deux approches :- formule empirique obtenue par régression;- calcul basé sur la minéralogie déduite de l’analyse chimique
Exemple : - gisement de Cu
- Cu dans la chalcopyrite (d=4.2, teneur en Cu dans chalco 35%)
- chalco est le seul sulfure présent
- autres minéraux ont une densité voisine de 3
- densité d’un minerai ayant 1% Cu ? 5% Cu ?
1 % Cu => 1/0.35=2.86% chalco
100 g roche=>2.86 g chalco => volume de chalco = 2.86 g / 4.2 g/cm3 => 0.68 cm3=> 97.14 g gangue => volume de gangue => 97.14 g / 3 g/cm3 => 32.38 cm3
Volume total = 33.06 cm3
Masse volumique théorique = 100g / 33.06 cm3 = 3.02 g/ cm3 => d=3.02
38
5 % Cu => 5/0.35=14.29% chalco
100 g roche=>14.29 g chalco => volume de chalco = 14.29 g / 4.2 g/cm3 => 3.40 cm3=> 85.71 g gangue => volume de gangue => 85.71 g / 3 g/cm3 => 28.57 cm3
Volume total = 31.97 cm3
Masse volumique théorique = 100g / 31.97 cm3 = 3.13 g/ cm3 => d=3.13
Note: 3.13 0.857*3+0.143*4.2=3.17
0 10 20 30 403
3.5
4
4.5Densité vs teneur en Cu
Teneur en Cu, (%)
Den
site
La variation de la densité n’est pas linéaire en fonction de la teneur en Cu
39
Si chalco + pyrite ?
% Cu => % chalco% S – (%S dans chalco) => % pyrite (suppose que S provient uniquement de pyrite et chalco)
Cas général => système d’équations linéaires Ax=b
A(i,j) = teneur élément « i » dans minéral « j » connu par la formule chimique du minéralb(i) = teneur élément « i » dans la roche connu par l’analyse chimiquex(j)= teneur du minéral « j » dans la roche; x(n) est la gangue à déterminer
On a aussi la contrainte : 1)j(x
Pour réduire le nombre d’inconnues, on n’isole que les minéraux ayant une densité nettement différente de la « gangue ».
40
Exemple : gisement de Cu, Zn, Cu dans la chalcopyrite (CuFeS2) et la chalcocite Cu2SZn dans la sphalérite (ZnS)la roche contient aussi de la pyrite (FeS2)il y a en moyenne 2% de Fe dans la gangue mais pas de soufre
Analyse => 6% Cu, 9% Zn, 5% Fe, 10% S
Poids atomique et formule stoechiométrique => 35% Cu dans chalcopyrite80% Cu dans chalcocite67% Zn dans la sphalérite35% S dans la chalcopyrite20% S dans la chalcocite33% S dans la sphalérite53% S dans la pyrite30% Fe dans la chalcopyrite47% Fe dans la pyrite
1
0.05
0.10
0.09
0.06
Gangue
Pyrite
Sphalérite
Chalcocite
teChalcopyri
11111
02.047.0000.30
053.033.020.035.0
0067.000
00050.035.0
Fe-
S-
Zn-
Cu- 0.80
41
Solution :
Densité chalcopyrite : 4.1chalcocite : 5.6sphalérite : 4.1pyrite : 5.0gangue : 2.9
%
71.4
7.9
13.43
7.7
0
Gangue
Pyrite
Sphalérite
Chalcocite
teChalcopyri
Volume pour 100 g de roche
chalcopyrite : 0 g/ 4.1g/cm3= 0 cm3
chalcocite : 7.7/5.6 = 1.38 cm3
sphalérite : 13.43/4.1= 3.28 cm3
pyrite : 7.9/5.0= 1.58 cm3
gangue : 71.4/2.9= 24.62 cm3
Volume total: 30.86 cm3
Masse volumique : 100 g/30.86 cm3= 3.24 g/cm3Densité théorique: 3.24
42
Effet de la porosité sur la densité
théoriquevideroche
théoriqueroche
videroche
rocheréelle n)-(1
VV
V
VV
M
videroche
vide
VV
Vnporosité