�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �'
&
$
%
1 2�3 4658793 7�:<; =
>@? ACBEDGF�?IHKJ LNMPOQDEJ ?SRTJVU,F�?IFXW0YGD JZA�F[]\_^E`badcfeda�g]hji k�l inmGopcqiKrjrje!\S[>sJVA ?nU,FXW0YGDbAutwvV?�xyWzA{v|JZA x0YdtXA LEJ A{YGD J}HKvZU|OKF~W0Y�D A�YGD�F ��d� � D v<�n?�x�OEJ8x�M�J}HE�qtwJZA~A{W0YGD LQ?nDbANx�M�JVDG�pW�t~YGDbDEJV� JZD�F�U�YGOKt?dDGF�p� >�M�JZDG�KW�twY�DbDEJZ� JZDGF�JZACF@� YpLEW0�Qv �Zx�?��d?�x0JZOEt�LqJ�x�?��n?StwW�?��bxyJ
LEJ<�pWyJZDGF `ba�h9��inmGopcqiKrjrje!\S[�� ���HKJZ� �bx0J �
�s�S� �}�V�V�I� �� K¡,¢X�C�£��¤¦¥§� �¨�S� �Z©�ª�«,¬9�V®�¯��S° 9�V®�¯²±K° 9�V®�¯³�S° 9�V®�¯´±p°
µ ¶,·a := b + 2
¶<¸ ¶,·¶,·
a := b + 2¶<¸ ¶,·
¸ ¶,·a := (a + 2) ∗ b ¹ · ¶,·
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- '
&
$
%
��� ; � :�7�� � 4
� D ?�x�dYdtwW'F�b� J JZACF U<YG� �TYGA{v �� LNMPOQD DEYG� )ObD A�BE� �TYdxyJ��� LNMPOQDEJ A{�TvZU<W0�fU£?IFXW0YGD U<YG� �TYGA{v|J� LNM ObDEJ �f?St{F~WyJ � ����������� � DqYG� A�� F�Bp�TJZA LEJZA �f?St?d� �<F~twJZA��
U<YGDQLEW'FXW0YGDbA ��ONM�W0xzAu�Gv�t~W��QJZD�F� LNM ObDEJ �f?St{F~WyJ � ����!#"%$'&($�� �n?�xyJZOKt�U£?�xzU£OEx0v|J ³t~J<F~Y�OKtXDEv£J��s�f?�t
x M ?�x)�dYntwW�F�b� J*�TLEv�� DEW0J JZD + Y�DbU,F~WyYGD LEJZA��f?�t?n� �<Fwt~JZA� LNMPOQD U<Ynt~�]A U<Y�� �TY�A�v� LNM ObDEJ �f?St�FXW0J ,-�/.�")&�0/&($213��� ,-� 4(&50613&-7�"8� � DqYG� A J�F F�Bp�TJZA
LEJ FXYGOpF~JVA x0JVAN�n?�twW�? �bx0JZA9OpFXW0xyWzA{v|JZA¨�f?Stsx M ?�x�dYdtwW'F�b� J �v<�GJZD:9FOqJ|x0xyJZ� JVDGF �pW�LEJ��
� LNM ObDEJ �f?St{F~W0J 1;����$<06!�.=$<1>�5��� � WzDbACFwtObU,F~WyYGDbA twvV?�xyWzA{v|JZA �f?�tx M ?�x)�dYntwW�F�b� J �TY�OKt UZ?�xzU|Oqx0J�t x0J twvZA~OEx�F�?IF �@? ?St� W�xyJZA W�DbAA9FwtObU,FXW0YGDbA LEYdW'F �B�GOKtwJ|t x M�WzDbACFwtObU,F~WyYGDcqi(Cb\5DpcG[]inc inmGo � >sJ6t~vZA~OEx'F ?IF UZ?�xzU|Oqx0J�t �f?�t�x M ?�x)�dYntwW�F�b� JJZACF�x�?6�n?�xyJZOKt�LEJ�x�M�J<HK�qtwJVAwA{W0YGD inmGo LQ?dDbA¨x M�JZDG�pW0twYGDQDEJZ� JZDGFU<YGOEt?nDGF �E F�FHG#IJF�KMLJI NOLJI PRQ8KSIJFHGUT5VWKXF VYG Z L[VWKX\]GUT ^MG#P _a`BTb`#cZ deF�T�G#P _a`BT fWIYG `hgiG#jRFk`hFbKMLlI
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
� U}twW�FOKt~J LEJZA ?�x)�dYnt~W'F�Q� JZA �E ^�� LlT5KXF��WZ G �QDqYG� LEJ x M ?�x�!YntwW�F�b� J� LJIWI�� G#P �QLEJZA~U}t~W0�EFXW0YGD LqJZA��f?St�?n� ��FwtwJVA �#PHfW^XFk`hF �fLEJZA~U}twWy�EF~WyYGD LbO twvZA~OEx'F ?IF vZU<x�?St?IFXW0YGD LEJZA��n?�twW�? �bx0JZA��V��� ]f[F
? ?St{F~W0J W�DbACFwtXOQU,F~WyYGDbA\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
1 4�� �N7 ��� 587�� ��4�� 4 5 ; = 7 ��� � 4
>�? A{vk��OqJZDbU<J LNM�WzDbACFwtObU,FXW0YGDbAInst1 ; Inst2 ; . . . ; Instn
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- '
&
$
%
>¨JZA�WzDQA�F~tXObU,FXW0YGDQA U<YGDQLEW'FXW0YGDbDqJ|x0xyJZA �PkK�� \S[�� ` ^XLlT�P
� DbACF\ I PkK
PkKCond
` ^MLlT5PInst1PkK IYLJIInst2\ I PkK
PkKCond1
` ^MLlT5PInst1
PkK IYLJI PHKCond2
` ^XLlT�PInst2PHKSIYLJIInst3\ I PkK
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
��HKJZ� �bx0JZA �E ^�� LlT5KXF��WZ G �qJVA�F ? ?�W0t��� LJIWI�� G#P �
a ∈ N �#PHfW^XFk`hF �
trueA{W
aJVA�F �f? W�tk�
falseA{WzDqYGD �
V��� ]f[FPkK �a ^T\ � �b� l�� ` ^MLlT5PT�GeFHLlf T�IYGUT C�c D]i �PkK IYLJI
T�GeFHLlf T�IYGUT � a�hKr!i �\ I PkK
\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
E ^�� LlT5KXF��WZ G �qJVA�F ? ?�W0t��� LJIWI�� G#P �
a ∈ N �#PHfW^XFk`hF �
trueA{W
aJVA�F �f? W�tk�
falseA{WzDqYGD �
V��� ]f[FT�GeFHLlf T�IYGUT �j�a ^T\ � �b� l��Q� �
\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
E ^�� LlT5KXF��WZ G ��� vZLEW�?nD� LJIWI�� G#P �
a, b, c ∈ Z �#PHfW^XFk`hF �Q>�M�v|x0vV� JZD�F � vVLEW�?nD LqJ
a, b, cV��� ]f[FPkK
a > b` ^ML T�P
PkKa > c
` ^MLlT5PT�GeFHLlf T�IYGUT ^ adm � g����p� �
PkK IYLJIT�GeFHLlf T�IYGUT a �
\ I PkK
PkK IYLJI PHKb > c
` ^MLlT5PT�GeFHLlf T�IYGUT ^ adm �a����p� �
PHKSIYLJIT�GeFHLlf T�IYGUT g �
\ I PkK\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
> M�W�DbACFwtXOQU,F~WyYGD twv|�Tv�F~W'FXW'�GJ � \5Dpc A£M�vZU}twW�F �_ Llf T
V ar �Ki Exp1
�Exp2
oQadc oQaEr �Ki Expr3� ` KST�G
� DbACF\ I _ Llf T
> M�J<HKvZU|OpFXW0YGD LNM ObDEJ W'FXv�t?SF~W0Y�D � \5Dpc t~J<�pWyJZDGF � ��d� � �n?�xzOqJ�t x0JVAuJ}HK�qt~JZA~A�WyYGDbA
Exp1, Exp2, Exp3
�� Y!W0JZDGF
v1, v2, v3
x0JZOEt6�n?�xyJZOKt t~JZA�� JZU,F~W��GJ ��p� � HKvZU|OpFXJ�t x�M ?SRTJVU,F�?IFXW0YGD
V ar := v1
�K�v3
JZACF A~OE�b� YGA�v �TYGA{W'FXW+ �? � � W
V al(V ar) > v2
x�M�W�F~v�t�?IF~WyYGD A£M ?Stwt��<FXJ �� � � WzDEYGD � HEvZU|OpFXJ�t x M�WzDQA�F~tXObU,FXW0YGD
Inst�fOEWzA���HKvZU|OpFXJ�t x�M ?SRTJVU,F�?IFXW0YGD
V ar := V ar + v3�fOEWzA JZU<YG� � JVDbU<J�t JZD � ?
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
JZ� ?�t/��OEJ �� >@? �f?St�FXW0J � �f?St �f?nA LEJ
Expr3� JZACF Yd�EFXW0YGDbDqJ|x0xyJ � � W9J|xyx0J
JZA�F Y�� W�A�JExp3
�d?nOpF �d�� Exp1, Exp2, Exp3
A{YGDGF v��n?�xzOqv|JZA9ObDEJO+³YdWzAN� YGOKtNF~Y�OpF~J�?£�d?nDGFx M�W'F~v|t?IFXW0YGD � x0JuU<Yntw�fA LqJ x M�W'FXv�t?SF~W0Y�D �x M�WzDbACFwtObU,FXW0YGD
Inst�9DqJ
�TJZOpF )DqJ LEY!W'F�� � ?nA6� YKLEW��QJ|t x0JZOEt6�n?�xyJZOKt �� x0J U<Yntw�fA LEJ x M�W'FXv�t?IFXW0YGD DEJ LEYdW�F �f?dA � YpLEW0�QJ�t x�? �n?�x0JVOKt LEJ
x�? �n?St~W�?��bxyJV ar
� JZD A{Ynt�FXW0J LEJ x�M�W�DbACFwtXOQU,F~WyYGD � \5Dpc x�? �n?St~W�?��bxyJ LEJ U�YGDGFwt��dx0JV ar
DNM ? � ?nA6LEJ �n?�xyJZOKt �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
��HKJZ� �bx0J �E ^�� LlT5KXF��WZ G � � YG� � J���?StwtwvZA� LJIWI�� G#P �
n ∈ N
�#PHfW^XFk`hF � n∑
i=1
i2
W��q� DGFXW0J�t �� YG� � J �q� D�F~W0J|t �V��� ]f[F
� YG� � J ��� � �_ Llf T
i �Ki 1�
n� ` KST�G
� YG� � J ��� � YG� � J � W��_W\ I _ Llf TT�GeFHLlf T�IYGUT \_^j^Ti �
\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �³�'
&
$
%
> M�W�DbACFwtXOQU,F~WyYGD twv|�Tv�F~W'FXW'�GJ � a�[:C �RD]i A|M�vZU}t~W'F �Fk` IJF � fYG
Cond� ` KSTbG
Inst\ I F��
Y��Cond
JZA�F OQDEJ J<HK�qtwJVAwA{W0YGD � �n?�xyJZOKt � Y�Ydx0v£JZDbDEJ> M�J<HKvZU|OpFXW0YGD LbO Cqa�[:C �RD]i twJ��pW0JZD�F � ��d� v<�d?�xzOEJ|t
Cond�p� A{W
V al(Cond)�n?nOpF � a�hKr!i x M�W'FXv�t?SF~W0Y�D A|M ?Stwt��<FXJ
�K� A{WzDEY�D J}HKvZU£OpF~J�t x�M�W�DbA�F~tXObU}F~W0Y�DInst
J<F twJVU<YG� � JZDQU<J�t JVD�
JZ� ?�t/��OEJ �� � x�? LEW�RTv�t~JZDbU<J LEJ x�? t~v|�Tv<FXW'FXW'�GJ � \5Dpc �Nx M�WzDbACFwtObU,FXW0YGD InstLEYdW'F � YpLEW0�QJ�t x�? �n?�x0JVOKt LEJ x M�J}HK�qt~JZA~A�WyYGD
Cond� � Y�DGFwt�?�W�t~JZ� JVDGF � x M�W'FXv�t?IFXW0YGD � \5Dpc � x0JuDEYG� �qtwJ�L M�W�F~v�t�?IF~WyYGDbA
LEJ x�M�W�F~v�t�?IF~WyYGD � a�[:C �RD]i Lqv|�TJZDbL LEJ x M�WzDbACFwtObU,FXW0YGD W�F~v�t~v|J
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ���'
&
$
%
��HKJZ� �bx0J �E ^�� LlT5KXF��WZ G � ? OEWzA~AX?nDbU<J J � �� LJIWI�� G#P �
n ∈ N∗
�#PHfW^XFk`hF �True
A�Wn
JVA�F ObDEJ �]OEW�AwAX?nDbU�J LqJ � �False
A�W�DEYGD� �qJZD�F~W0J|t �V��� ]f[F
p := n�
Fk` IJF � fYG(p > 1) i(C ((p ^T\ � 2) = 0)
� ` KSTbGp := p/2\ I F��
T�GeFHLlf T�IYGUT(p = 1)
�\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ��'
&
$
%
3 � 4u3 � �
� �e\ IWKXFbKXLJI N � D F ?��bx0J_?nO JZACF ObDEJ ACFwtObU,FOEt?IFXW0YGD LEJ LqYGD:9DEv|JZA ?nDQ?�xyY*�GOEJ ?nOpH ��JZU,F~JVOKtXA YGO � ?IF~twWzU�JZA LEJZA � ?IF�qvZ� ? 9F~W ��OEJZA �� D F ?��bxyJV?nO ? ObDEJ F�? W0x0xyJ JZD�F~W�|twJ DEY�D D OEx0xyJ J<F ObD F�Bp� J � OEWJZACF x0J F�BK�TJ U�YG� � ObD LEJ F~Y�ObA6A�JVAuv|x0vV� JZD�FA �� D LEvZU�x�?St~J ObDEJ �n?StwW�?��bxyJ F�?��Qx0JV?nO LEJ F�?�Wyx0xyJ
NJ�F LqJ F�Bp�TJ
Type� ?St �
� � `BT5T�`�� �d�z��� L � � Bp�TJ �� D F~J|x F ?��bx0J_?nO JZACF x�? ACFwtObU,FOEt?IFXW0YGD LEJ
N�d?StwW�?��bx0JVA LEJ
F�Bp� JType
��� D ?nU|U �ZLqJ � U<JZA �n?St~W�?��bxyJZA �f?St xyJZOKt t?nDh� YGOWzDbLqWzU<J*�]JZDGFXW0J�t LQ?nDbA
1..N� D DEY F~J|t?T [i]
�TY�OKti ∈ 1..N
x�M�v£x0vZ� JZDGF LNM�WzDQLEJ}HiLQO
F�?��Qx0JV?nOT�
>@? + Y�DbU,F~WyYGD FH` K ^S^MG NTableau −→ N
∗twJVDG�GYdWyJ
x�? F ?�W0xyx0J JZD�F~W�|twJ DEY�D D�Oqx0x0J LqJ A{YGD ?St �GOQ� JZD�F �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- � �'
&
$
%
� OEJ|x ��OEJZAut �=�dxyJZA �� � YdW'F
T, SLEJZA�F ?��bxyJV?nO H LEvZU<x�?StwvVA � k�l � JZACF KSIJFHGUT5VWKXF �
? ?St U<YGD�FwtwJ �QA�WNYGD A~OE�b� YGA�J F~YGObA�xyJZA�v|x0vV� JZD�FA LqJT
WzDEW�F~W�?b9x0WzA{vZA �
� �]?St{t�?£B �d�y� F�? W0x0xyJ � �uY*+ � Bp�TJ �W��q� D�F~W0J|t �_ LJf T e �Ki � � CqaEe!hjhji9� � �� ` KST�G
��� W��8��� � � W��\ I _ LJf T
� � D F�?��bxyJV?nO �TJZOpF ���GOKt~J�t U<YG� � J �f?St�?n� ��FwtwJ LNM ObD ?�x)�dY�9twW'F�b� J )LNM ObDEJ �qtwYKU<vZLbOKt~J*�]LNM ObDEJ +³YGDbU,FXW0YGD � �
E ^�� L T�KXF �WZ G �h+� LJIWI�� G P � � OQD F�? �bx0JV?dO L M�JZD�F~W0J|tXA �#PkfW^XFH`hF � x�? A�YG� � J LEJZAuv|xyJZ� JZDGFA LEJ �
A{YG� � J*��W��q� D�F~W0J|t �V��� ]f[F
A{YG� � J ��� � �_ LJf T e �Ki � � CqaEe!hjhji9� � � � ` KST�G
A{YG� � J ��� A�Y�� � J � � � W��\ I _ LJf TT�G FkLJf T5IYGUT r!\_^j^Ti\ I ` ^�� LlT5KXF �WZ G
������ Dj[ Cqa�g]hji a�D �Ki � iS[:C e!incfr e_[TebC eda�hKejr� �
a k�l � � ���
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �´ '
&
$
%
� � D F ?��bxyJV?nO � ?St?n� �<F~twJ LNMPOQD ? x�dYnt~W'F�b� J IYG _ G#f[F �eF�T�GZ L@VWKX\�� LQ?nDQA�x M ?�x�dYdtwW'F�b� J �
E ^�� L T�KXF �WZ G �h+� LJIWI�� G P � � OQD F�? �bx0JV?dO L M�JZD�F~W0J|tXA�z�y� �V��� ]f[F�z�y� �
� � W������ � ��z�y� �
\ I ` ^�� LlT5KXF �WZ G
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- � �'
&
$
%
� � D F ?��bx0J_?nO �TJZOpF �B�GOKtwJ|t¨U<YG� � J�twvZA~OEx'F ?IF9LNM ObD ?�x�!YntwW�F�b� J �� M�JZACF x0J A{JZOEx�UZ?nA Y�� YGD A|M ?nOpFXYntwW�A�J�t�? � ?SRTJZU,FXJ�t �dxyYd�f?�xyJ69� JZD�F ObD F ?��bxyJV?nO � OQDEJ �d?StwW�?��bx0J �
E ^�� L T�KXF �WZ G �h+� LJIWI�� G P � � ObD JZDGFXW0J�t �TYGA{W'FXW+ �#PkfW^XFH`hF � >¨J F�?��Qx0JV?nO LEJ F�? W0x0xyJ � LqYGDGF x0JZA
v|xyvZ� JVDGFA A�Y�DGF x0JZA � �qtwJV� WyJ�tXA JZDGFXW0J�tAWz� �f?�W0tXA DEYGD D�OExzA
W��q� D�F~W0J|t �� �f?�t{t?ZB �!�y��� Y*+@� DGF~WyJ�t �V��� ]f[F
_ LJf T e �Ki � � � � ` KST�G� � W������ � �_W�9 �
\ I _ LJf TT�G FkLJf T5IYGUT �
\ I ` ^�� LlT5KXF �WZ G����� k adcjcEa�� � ����� \ � � [:C e!inc k�l � � � ���
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- � �'
&
$
%
��� ; � :�7�� � :�� � 4 4 3 �s4
E ^�� LlT5KXF��WZ G �q���GU|L� LJIWI�� G#P �
a, b ∈ N�h? JZO Wz� �TYnt�FXJ ��OEJ
a > bYGO
DEYGD � �#PHfW^XFk`hF � >¨J � ��U|L LEJ
aJ<F
bH � B-� � � t �q� DGFXW0J�t �V��� ]f[F
� � � YpL JZACF x M�Yd�Tv�t�?IF~WyYGD LbO U£?�xzU£OEx¨LbO twJZACF~JJZDGFXW0J�t � � �
H ��� ? �KB � � � �t ��� ? � YpL � ��Fk` IJF � fYG
r 6= 0� ` KST�G� H ��� B �
B ��� t �t � � H � YpL B ��
\ I F��T�GeFHLlf T�IYGUT �
\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G� Y!W0JZDGF
xk, yk, rk
xyJZA �n?�xyJZOKtXA LEJx, y, r
x0YntA x�M�W�F~v�t�?IF~WyYGD LEJt�?nD �
k� � x�M�W�DbA�F~tXObU}F~W0Y�D D�Ob� v�twY FXv � �
� � Q G#IWP=G#Z ]^MG VYG P VWKYKSP=G#f T�P VYGxk
GeFyk
G#P F ^ Q G I cP=G#Z ]^MG VYG#P VWKYK P�G#f T�P VYG
aG F
b � �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- � �'
&
$
%
� OEx'FXW0�bxyWzU£?SF~W0Y�D �f?St ?nLQLEW'FXW0YGDbA AwObU£U<JZA~A�W��GJZAE ^�� LlT5KXF��WZ G ��� OEx���LQL� LJIWI�� G#P �
a, b ∈ N�
�#PHfW^XFk`hF � >¨J �qt~YpLbOEW�Fa bW ��t �q� DGFXW0J�t �
V��� ]f[F� � � JZOEx0J x�M ?dLbLEW'FXW0YGD JZACF ?nOpFXYntwW�A�v£J �
� �t ��� � �_ Llf T
i �Ki � �b� ` KST�G
t � � t � ? �\ I _ Llf TT�GeFHLlf T�IYGUT c\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- � �'
&
$
%
� OEx'FXW0�bxyWzU£?SF~W0Y�D �f?St ?nLQLEW'FXW0YGDbA AwObU£U<JZA~A�W��GJZA ³�GJ�tA�WyYGD � �E ^�� LlT5KXF��WZ G ��� OEx���LQL �� LJIWI�� G#P �
a, b ∈ N�
�#PHfW^XFk`hF � >¨J �qt~YpLbOEW�Fa bW ��t �q� DGFXW0J�t �
V��� ]f[F� � � JZOEx0J x�M ?dLbLEW'FXW0YGD JZACF ?nOpFXYntwW�A�v£J � � �t ��� � �qW���� � �Fk` IJF � fYG e ��� g � ` KSTbG�
� � t � ? � W � �W�� � W � � �t � � t � ? �
\ I F��T�GeFHLlf T�IYGUT c\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
� r = a ∗ iJVA�F �bWyJZD x M�WzDG�d?StwW�?nDGF LqJ x�M�W�F~v�t�?IF~WyYGD �
� x M�W'F~v|t?IFXW0YGD � F~J�t� W�DEJ � �8x0xyJ A£M�J}HEvZU|OpFXJ J<Hb?nU,FXJZ� JVDGFb+³YdWzA �
� D JZD LEvZLbOqW'F ��ONM�JZD A{Ynt�FXW0J LEJ x�M�W�F~v�t�?IF~WyYGD � YGD ? � x�? +³YdWzAi <> b
+�?nOpH �EJ<F x M�WzDG�d?StwW�?nDGFr = a ∗ i
�pt?�W3�]LEYGDbUr = a ∗ b
�
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ���'
&
$
%
JZU�EJ�tU�EJ LNM ObD v|x0vV� JZD�F LQ?nDQA�OQD F ?��bx0J_?nO �? twYd�bx)�Z� J � � YdW�F
TObD F ?��bxyJV?nO LNM�JZDGF~WyJ�tXA WzDEW�F~W�?�x0W�A�v �
� � ∀1 6 i 6 taille(T ) : T [i] ��������� �� Y!W'F
x ∈ N�
� D �GJZOpF AX?£�GYdW0t A�Wx
JZA�F v£x0vZ� JZDGF LbO F ?��bx0J_?nOT�
� � ��� ����������������� ∃i : 1 6 i 6 taille(T ) : T [i] = x
E ^�� LlT5KXF��WZ G � JZU�EJ|tXU�EJ � ?��bx0J_?nO �� LJIWI�� G#P �
x ∈ N�QObD F�?��Qx0JV?nO LNM�JZDGFXW0J�tA6W�DEW'FXW�?�xyWzA{v
T�
�#PHfW^XFk`hF � >¨J �TY Ydx0v|JVD∃i : 1 6 i 6 taille(T ) : T [i] = xW��q� DGFXW0J�t �bFwt~YGOp�GJ ��� Y Ydx0v|JVD �
V��� ]f[FFwtwY�Op�GJ � � +�?�x�A�J �_ Llf T e �Ki � � CqaEe!hjhji9� T � � ` KST�G
PkK ��� e! l m ` ^MLlT5P� FwtwY�Op�GJ � � FwtXOqJ\ I PkK
\ I _ Llf TT�GeFHLlf T�IYGUT C�cq\5D#"bi\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ��'
&
$
%
E ^�� LlT5KXF��WZ G �q�8t{t~JZOKt� JZU�EJ|tXU�EJ � ?��bx0J_?nO� LJIWI�� G#P �
x ∈ N�QObD F�?��Qx0JV?nO LNM�JZDGFXW0J�tA6W�DEW'FXW�?�xyWzA{v
T�
�#PHfW^XFk`hF � >¨J �TY Ydx0v|JVD �y�z�W��q� DGFXW0J�t �bFwt~YGOp�GJ ��� Y Ydx0v|JVD �V��� ]f[F
FwtwY�Op�GJ � � +�?�x�A�J �_ Llf T e �Ki � � CqaEe!hjhji9� T � � ` KST�G
PkK ��� e! l m ` ^MLlT5P� FwtwY�Op�GJ � � FwtXOqJPkK IYLJI
FwtwY�Op�GJ � � +�?�x�A�J\ I PkK
\ I _ Llf TT�GeFHLlf T�IYGUT C�cq\5D#"bi\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ��'
&
$
%
E ^�� LlT5KXF��WZ G � JZU�EJ|tXU�EJ � ?��bx0J_?nO �� LJIWI�� G#P �
x ∈ N�QObD F�?��Qx0JV?nO LNM�JZDGFXW0J�tA6W�DEW'FXW�?�xyWzA{v
T�
�#PHfW^XFk`hF � >¨J �TY Ydx0v|JVD∃1 6 i 6 taille(T ) : T [i] = xW��q� DGFXW0J�t �
V��� ]f[FW�� � � �Fk` IJF � fYG
i ≤ taille(T )� ` KST�G�
PkK ��� e! l m ` ^MLlT5PT�GeFHLlf T�IYGUT C�c D]iPkK IYLJIW�� � W � �
\ I PkK\ I F��T�GeFHLlf T�IYGUT � a�hKr!i\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
� >�M�WzDG�d?StwW�?nDGF LEJ x�M�W�F~v�t�?IF~WyYGD � JZACF � � Y�ObA xyJZA v|xyvZ� JVDGFA LEJt?nD � W�D + v|twW0JVOKt � x M�WzDbLqWzU<J U<YGOKt�?nDGF A{YGDGF LEW�RTv|twJZDGF�A LqJ
x ∀j ∈ [1..i[ : T [i] 6= x
�� >�M ?�x�!YntwW�F�b� J F~J�t� W�DEJ*� A{YdW'F �f?StU<J � OEJ
i = taille(T ) + 1J<F LQ?nDbA U<J U£?nA x�M�W�DG�n?St~W�?nD�F �qt~YGOp�GJ � ONM�Y�D DNM ? �f?nA F~twYGOp��vx��A{YdW'F �f?�tXU<J ��OEJ
trouveJZACF �pt?�W3��J<F LQ?nDbA U<J U£?nA Y�D ?
FwtwY�Op�Gvx
?nO t?nDh�i�
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �'
&
$
%
E ^�� LlT5KXF��WZ G � JZU�EJ|tXU�EJ � ?��bx0J_?nO �� LJIWI�� G#P �
x ∈ N�QObD F�?��Qx0JV?nO LNM�JZDGFXW0J�tA6W�DEW'FXW�?�xyWzA{v
T�
�#PHfW^XFk`hF � >¨J �TY Ydx0v|JVD∃i : 1 6 i 6 taille(T ) : T [i] = xW��q� DGFXW0J�t �
V��� ]f[FW�� � � �Fk` IJF � fYG
i 6 taille(T ) i(C T [i] <> x� ` KST�G� W�� � W � �
\ I F��T�GeFHLlf T�IYGUT � i 6 taille(T ) �
\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
� � FwF~JZD�F~W0Y�D x0J U<YGDbDqJZU,F~JVOKt x0Y*�dW ��OEJ i(C LEJ x�M�W�DbACFwtXOQU,F~WyYGD � ���
JZA�F OQD i(C a�hj\ncfr �� >�M�WzDG�d?StwW�?nDGF LEJ x�M�W�F~v�t�?IF~WyYGD � JZACF � ? YGOKt x0JZA v|xyvZ� JZDGFA LEJ
t?nD � WzDh+ v�t~W0JZOEt � x M�WzDbLqWzU<J U�YGOKt?dDGFH�qYGD DNM ? � ?nA Fwt~YGOp�Gvx�
� >�M ?�x�!YntwW�F�b� J F~J�t� W�DEJ*� A{YdW'F �f?StU<J � OEJi = taille(T ) + 1J<F LQ?nDbA U<J U£?nA x�M�W�DG�n?St~W�?nD�F �qt~YGOp�GJ � ONM�Y�D DNM ? �f?nA F~twYGOp��v
x�TA{YdW'F �f?StU<J ��OEJ
T [i] = xJVA�F � t? W �TJ<F LQ?nDQA U�J U£?dA YGD ?
FwtwY�Op�Gvx
?nO t?nDh�i�
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �'
&
$
%
JZU�EJ�tU�EJ LNM ObD v|x0vV� JZD�F LQ?nDQA�OQD F ?��bx0J_?nO FwtwWyv �? twYd�bx)�Z� J � � YdW�F
TObD F ?��bxyJV?nO LNM�JZDGF~WyJ�tXA WzDEW�F~W�?�x0W�A�v
� � ∀1 6 i 6 taille(T ) : T [i] ��������� �� D A~OE�b�TY�A�JT
F~twWyv U}t~YdWzA~AX?nDGF � � YdW'Fx ∈ N
�@� D �GJZOKF AX?£�GYdW0tA{W
xJZACF v|x0vZ� JZDGF LbO F�?��bxyJV?nO
T�
E ^�� LlT5KXF��WZ G � JZU�EJ|tXU�EJ � ?��bx0J_?nO��� LJIWI�� G#P �
x ∈ N�QObD F�?��Qx0JV?nO LNM�JZDGFXW0J�tA6W�DEW'FXW�?�xyWzA{v
J<F6F~twW0v U<twYdW�AwAX?nDGFT�
�#PHfW^XFk`hF � >¨J �TY Ydx0v|JVD∃i : 1 6 i 6 taille(T ) : T [i] = xW��q� DGFXW0J�t �
V��� ]f[FW�� � � �Fk` IJF � fYG
i 6 taille(T ) i(C T [i] < x� ` KST�G� W�� � W � �
\ I F��T�GeFHLlf T�IYGUT � i 6 n i(C T [i] = x �
\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
� J<FwF~J �GJ|tXA{W0YGD JZACF ObDqJ ?nLQ?��EF ?IF~WyYGD LNM ObD ? x�dYnt~W'F�b� J �qt~vZU<v69LEJVDGF � ��x0x0J F~W�t~J �f?St{F~W LEJ x M�YntXLEtwJ � � ?�W�AuYGD �TJZOpF +)?�W�t~J � WyJZO H �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ) '
&
$
%
> M ? x�dYnt~W'F�b� J ��OEW A~OEW'F Yd�l��t~J �f?�t � LEW�U�EY FXYG� W0J � �¨YGD LEv69U<Y�OE�TJ xyJ F ?��bxyJV?nO WzDEW�F~W�? xbJZD � A�Y�ObA � F�?��bxyJV?nO H ?nOpFXYGOKt LQO t?dD �� vZLEW�?nD �I� D U<YG� �f?St~J
x�d?�x0JZOEt9U�EJ|tXU�Ev£J*� ��x�M�v£x0vZ� JZDGF�LEJ t?dD �
m� vZLEW�?nD LQ?nDQA@x0JVA�W�DbLEW�U<JZA�LbO F ?��bx0J_?nO ��J<FH�nAwOqW'�n?nD�F x�? �n?�xyJZOKt
LEJT [m]
�sYGD W'F/��twJ x�? twJZU EJ�tXU EJ LQ?nDbA x0J � YGD A�Y�ObAA9�F�?��Qx0JV?nO �� D ?nU|U<YntLEJ�t�? x�? �bxzOQA �nt?dDbLEJ ?IF{FXJZDGF~WyYGD � x�? LEvZU}t~YdWzA~AX?nDbU<JACFwt~WzU,FXJ LEJZA�F ?�W0xyx0JZA LEJZA6A{YGObA � F�? �bx0JV?dO H J}Hb?n� WzDEvVA �
� >�M�WzDG�d?StwW�?nDGF LEJux�M�W�F~v�t�?IF~WyYGD � JZACF � � YGOpF�v|xyvZ� JZDGF LEJT
LEYGDGFx0J t?dD � D M�JZACF �f?nA6LQ?dDbA
[g; d]JZA�F LqW�RTv�t~JZDGF LqJ
x�
� >�M ?�x�!YntwW�F�b� J F~J�t� W�DEJ � � U Q?R��OEJ W'FXv�t?IFXW0YGD x�? F�? W0x0xyJ LbOA�YGOQA � F ?��bxyJV?nO J}Hb?n� WzDqv LEvZU}t~YdW'F ACFwt~WzU,FXJZ� JZDGFH�
� YGO �bW0JVD YGD ? Fwt~YGOp�Gvx
?nO t�?nD � � vZLEW�?nD LQ?dDbA ObDqJ W'F~v|t?b9F~W0Y�D � YGO �QW0JZD YGD FXJ�tX� WzDqJ ?£�GJZU ObD F ?��bxyJV?nO �pWzLEJ � J<F x M�WzD:9�n?StwW�?nDGF ?dAwA~OKtwJ ��OqJ
xDqJ �TJVOpF ?��b�f?St{F~JZDqW�t �
T�
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �'
&
$
%
E ^�� LlT5KXF��WZ G � JZU�EJ|tXU�EJ � ?��bx0J_?nO �
� LJIWI�� G#P �x ∈ N
�QObD F�?��Qx0JV?nO LNM�JZDGFXW0J�tA6W�DEW'FXW�?�xyWzA{vJ<F6F~twW0v U<twYdW�AwAX?nDGF
T�
�#PHfW^XFk`hF � >¨J �TY Ydx0v|JVD∃i : 1 6 i 6 taille(T ) : T [i] = x� �PL �P� �q� DGF~WyJ�t �
V��� ]f[F� ��� � �QL � � F ?�W0xyx0J � � �Fk` IJF � fYG
d > g� ` KST�G�
� � � � � L � � � �PkK
x < T [m]` ^MLlT5P
L ��� � 9 �
PkK IYLJI PHKx > T [m]
` ^MLlT5P� ��� � � �
PHKSIYLJIT�GeFHLlf T�IYGUT C�c D]i\ IWPkK
\ I F��T�GeFHLlf T�IYGUT � a�hKr!i\ I ` ^�� LlT�K F��WZ G
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �'
&
$
%
3 � � 4
�8YdW0t x0J � JZ� JZDGF~Y
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �'
&
$
%
� 794 = �9:<; = � � � � �
� ��� �� �� ��� ��������� ��� �������
� OqW'F~JVA LEJ �n?�x0JVOKtXA A�v|� ?Stwv|JVA6�f?St LEJVA��pW�t �GOExyJZA �v1, v2, ..., vk
>�? A~OEW�F~J �pWzLqJ JVA�F DEYnF~v|J ������� �>¨JZA �n?�x0JVOKtXA L MPObDqJ AwOEW�F~J DEJ A{YGDGFu�f?nA F~YGOKF~JZAuLbO � �Z� J F�Bp�TJ �>¨JZA�Yd�Tv|t?IFXJZOKtXA6J<F + Y�DbU,F~WyYGDbA A~OKt6x0JVA A~OEW'FXJZA A{YGDGF �� A�W i � J�F i � A�YGD�F�LEJVA J<HK�qtwJVAwA{W0YGDQA i � �~i � JZACF ObDEJ�J}HK�qt~JZAwA{W0Y�D
LEYGDGF x�? �n? x0JZOKt JZA�F x�? AwOEW�F~J "qa�h9��i �!� � "qa�h9��i �b�� A�W r JVA�F ObDEJ �n?St~W�?��Qx0J LEJ F�Bp� J A~OEW'FXJ r � e! JZACF ObDEJ J}HK�qt~JZAA9
A�WyYGD LEYGDGF x�? �n? x0JZOKt JZA�F xyJieme
v£x0vZ� JZDGF LEJ r
a k�l ��� C�c D]i ka � ��� C�c D]ig k�l a��wa�� �"!Qa#� kg � ��� C�c D]i � ��� C�c D]i � �"!Qa#�� k�l a�� ������� �%$�$ k� � ��� C�c D]i � $�$g ��& � �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �'
&
$
%
� ��� � � � ���
� Bp�TJ �qt~vZLEv��fDqW�� ������ � hKejrbC
� DEJ x0W�A�FXJ JZACF OQDEJ AwOEW�F~J JZDbUZ?nLKtwv£J �f?St � J<F �
>¨JZA +³YGDbU,FXW0YGDbA AwOKt6xyJZA6xyWzACF~JZA �� v<F�?nD�F ObDEJ x0WzACF~J �� []\SoTr � � � DEYG� �qtwJ LNM�v|x0vV� JZD�FA LEJ x�? x0WzACF~J � �� \So8� � � x�? AwOEW�F~J LEJVA�v|x0vZ� JZDGF�A LqJ � �� � � e! xyJ
iemev£x0vZ� JZDGF LEJ x�? x0WzACF~J � �
1 ≤ i ≤ nops(L)� � � e! � JZOpF �<Fwt~J � YpLqW��Qv �f?�t OQDEJ ?�RTJZU,F�?SF~W0Y�D� � � e ���� twJVDG�GYdWyJ x�? A�Y�ObA � x0WzACF~J +³YntX� v|J LqJZA v£x0vZ� JZDGF�A LEJ
t?nD �i�
j�QLQ?dDbA�x�? x0W�A�FXJ
L�
1 ≤ i ≤ j ≤ nops(L)� m e_[ � twJZDG��YdW0J C�c D]i A{W m JZACF ObD v|x0vZ� JZDGF LEJ � �
twJZDG��YdW0J � a�hKr!i A{WzDEY�D
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
a k�l � ��� C�c D]i � � k132SoTr �4b� � �
2658�4b� � ��� C�7 D38 � �
4 ��& 9�: $ 94 � � ��� C�7 D38 � $ � ; � 2658�4b� � � ; � ��� C�7 D38 �%$ � ; � 4 � � ; � � ��� C�7 D38 � $ < 9�: ��& �%$ �>= � ��� ; 9< � � ���@? � � $ � = � � & A 1 < � C�7 D38& A 1 < � � ���@? � � 4�BDC!8< 9�: � � �E265GF <IH 9 JLKNMPORQ SUTVOXW Y[Z0Y]\ ^]WPQ � O_W`^ ZbadcNQE^< � � �fe & e $ge =ge �he ; 4 9�: � �he � 9� 265GF4 H eE265GF <IH � � �he � e �fe & e $ge =ge �he ;
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ���
'
&
$
%
� ��� ��� ����� � � ���
����� ^ �� Y]S`Y� W a � ������ � C!8� � WXc>^ \ �XZb^ W`a S`^ � J�Zb^]O � c � � J c SUT M � S � ^�� � J c S`^ � Y � Y Q a'Q a0MPW��� W ^]WXc ^]\ �_Z0^ ^]cNQ OXW`^ c O a'QE^ ^ W��[J S � Y ^ � J � � ^ Q �� ^]c�� MPW��,Q a0MPWXc ^ Q M � Y � JLQE^ O � c cEO � Z0^ c ^]WXc ^]\ �XZ0^ c �� "!$#&% : set −→ N
E 7−→ �[J � S adW_J�Z S`^ E
� '( ()*!+ : set × set −→ set
E, F 7−→ E ∪ F
� ), +-/.102%3.14�- : set × set −→ set
E, F 7−→ E ∩ F
� 5 ), 6'(% : set × set −→ set
E, F 7−→ E \ F
� %7'98&%�.:- : set × set −→ boolean
E, F 7−→ E ⊆ F
� ), : X × set −→ boolean
x, E 7−→ x ∈ E
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- 12�
'
&
$
%
3 4�57698 e;:=<>: e 8 e@?BA 4 C 4�57698 eED9A 4
3 F ��G �IH��KJ JLJ �MLNPO C F 3 H F Q
RTS <�BPUGF C7576 Dhe 8 A H F Q � O`^3 V M>W!NPM C F ��G �IH��KJ JLJ �IX �3 W=M RZY C R7[ C F � H �3 C R Z\]W=M V C C F ��G �KJ JLJ �3 C V U C R C F �)J�Zdc ^6 ?fe 8 A C V U C R 3 F Q � O`^? W=M 3 F Q � O`^? W=M C F �)J�Zdc ^
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- 1�
'
&
$
%
� ����������� � ����� ����� ��� � � ��������������
��� a�� 3�� � W`^ ^! �� ^ c c a � W �E^ ZbZ0^ " � ^ S <�#%$ 3��'& ^]c� �)( ^ *badc�E^ � ��)( ^ ( c ^]\ �)*0^,+- N Y S < Y W=M 3�� . N W=M0/ R M . . N F
1 � � � �32�4," ��5 6 * 687 58( � R W 9 5 S <�#%$ 3��'& �G +:*;4 �,4 �=< 4 �)* 5 S < Y �� 58( 9 *>4 �?4@* 58� � R W
HA+ � � <CB * T < ( B � � � �D� < � ( W=M0/ 5 B � 5 6 � � � 6E5 +� < S <�#%$ 3��'&F5 B � �)(�5 * <CB � 5 * 5 B 6 * 687 58( � B R W:9 5 3�� B � ( � 5 � * � � 6 BB 5 * � ( *�T � � 9 � 5 9 5 *>4 * <>B � 5 +
Y R / < Y 4 R 4�5 6 ?HGEDIGKJ A 4 / 4�5 L 4
- N Y W W=M R . N / 4�5 / M W F R M . . N F / F G Q
Y R / < Y 4 R 4�5 N ?HGEDIGKJPO 4 / 4�5 L 4
- N Y W W=M R . N / 4�5 / M W F R M . . N F / F G Q
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- 1�1
'
&
$
%
� � � � ��� ��� �A��� �)� � � � �H� � � �
� � ( �D� < � ( B �� 6 9 6 ( < 5 B � � � � * 5 B ( � �34 � < � ( B Σ5 � Π
�
�b
∑
i=a
f(i)B T 6 � �=< � 58( 7 4 � * 5 < . . $ - $ W & G W 5 <����U & +
�b
∏
i=a
f(i)B T 6 � �=< � 58( 7 4 � * 5 \ V #%$ - $ W & G W 5 <����U & +
� ∑
i∈E
f(i)B T 6 � �=< � 58( 7 4 � * 5 < . . $ - $ W & G W 5 30& +
� ∏
i∈E
f(i)B T 6 � �=< � 58( 7 4 � * 5 \ V #%$ - $ W & G W 5 30& +
a5 � b
� 5 �� 5 B=B < � ( B �?4 * 58� � B 58( � <���� 5 B
f(i)� 5 ��� 5 B BK< � ( � � ( � 58( 4 ( � i +
E� 5 �� 5 B B < � ( 9 � ( � *>4 �?4 * 58� � 5 B � �)( 58( B 587 �)* 5 � � * <>B � 5
< . . $ W�G W 5� ���� & F G��
M 4�5� 4 < . . $ 8�� W M ?HG W 578 ���M�M 8�& F Q H3 4�576 DIG 8 G�� A 4
\ V #%$ W M ?HG W 5 30& F ���
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- 1
'
&
$
%
� � � ��� ��� �A��� � �����
/ R�� 5 B � �)(�5 � � ( �D� < � ( " � < � 58( � � < 5 �)(�5 B � < � 5 +
� * T 5 �� 5 B=B < � ( / R�� $ - $ W & G W 5 <����U & 4 � � � � �,4 * 58� � *>4 B � < � 5- $< & G - $< M ? & G���� G - $�U & +�*;4 B � < � 5 5 B � � < 9 5 B < U � <)+
� * T 5 �� 5 B=B < � ( / R�� $ - $ W & G W 5 R & 4 � � � � �,4 * 58� � *>4 B � < � 5- $ R ? & G - $ R 8)& G���� G - $ R M & +
R � 5 �� 5 B B < � ( � 5 * * 5 " ��5 S <�#%$ R & 5 B ��*>4 * <>B � 5 N R ?HG���� G R M�O- $ W & � 5 �� 5 B=B < � ( � � ( � 5 ( 4 ( � i �<IG U � 5 �� 5 B=B < � ( B �?4 * 5 � � 58( � <���� 5
/ R�� $ W�� 8 M 8�� W�G W 5 ? �� � & F G� G@?BDIG 8 �� 4�5 N ?HG � G J G D O 4
/ R�� $ 8�� W�G W 5 � & F 8 G� G@? � G@? L
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- 1��
'
&
$
%
� � � � ��� ��� �A��� �)� � ��� � � ������ � �
3 �)( 5 ( B 5 7 �)* 5���� �)(�5 * <>B � 5 [x1, ..., xk]�
� �X −→ Y
� # �X −→ boolean
G + \ <�O $ - G 30& � 58( � � < 5 * T 58( B 587 �)* 5 {f(e) : e ∈ E}\ <�O $ - G �'& � 58( � � < 5 *>4 * <CB � 5 [f(x1), ...f(xk)] +
HA+ / R # R7[ $2O G 30& � 58( � � < 5 *�T 58( B 587 �)* 5 {e ∈ E : p(e)}/ R # R7[ $2O G �'& � 58( � � < 5 *>4 * <CB � 5 9 5 B 6 * 687 5 ( � B � N W O � 5 * B" ��5 O $ � N W O & �?4 � � Y V R
R 4�5 6 ?HG ?HG 8 G A F
# 4�5 N ?HG ?HG 8 G O F
\ <�O $ � � � � 8 G R & F 6 ?HG � G �9A\ <�O $ � � � � 8 G # & � G � G ����� ���/ R # R7[ $ � � � � ?HG R & F 698 G A
/ R # R7[ $ � � � � ?HG # & F N�8 G O
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- 1��
'
&
$
%
� � � �:����� � � ��� ��� �A��� �)�
3 �)( 5 ( B 5 7 �)* 5���� �)(�5 * <>B � 5�� # �X −→ booleen
G + Y R \>N S R $2O G 30& � 58( � � < 5 *�T 58( B 587 �)* 5 {x ∈ E : ¬p(x)}Y R \>N S R $2O G �'& � 58( � � < 5 *>4 * <CB � 5 9 5 B 6 * 687 5 ( � B � N W O � 5 * B" ��5 O $ � N W O & �?4 � � - <�#�/ R
HA+ <�M . \ <�O $2O G 30& � 58( � � < 5 Y V R B BK<∀x ∈ E : p(x)
<�M . \ <�O $2O G �'& � 58( � � < 5 Y V R B BK< O $ � N W O & �?4 � � � � ��5 � � � �� � � B * 5 B 6 * 6 7 58( � B � N W O 9 5 �
Q + N Y \ <�O $2O G 30& � 58( � � < 5 Y V R B=B <∃x ∈ E : p(x)
N Y \ <�O $2O G �'& � 58( � � < 5 Y V R B=B < < * 5 <CB � 5 4 � 7 � < ( B �)(6 * 687 58( � � N W O 9 5 � � 5 * " ��5 O $ � N W O & �,4 � � Y V R
R 4�5 6 ?HG ?HG 8 G A F
# 4�5 N ?HG ?HG 8 G O F
Y R \>N S R $ � � � � ?HG R & F 6 ?HG ?BA
Y R \>N S R $ � � � � ?HG # & F N ?HG ? ON Y \ <�O $ � � � � ?HG R & F Y V RN Y \ <�O $ � � � � ?HG # & F Y V R<�M . \ <�O $ � � � � ?HG R & F - <�#�/ R<�M . \ <�O $ � � � � ?HG # & F - <�#�/ R
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- 1��
'
&
$
%
� .15 � 0�� '". % �
� � 5 BF< � 6 � 4 � 5 � � B B T 4 ��� * < " ��58( � 6�� 4 * 587 58( � 4 � �34 ��* 5 4 � �< * B � ( � * 5 7 �87 5 B 5 ( B " ��5 � � � � * 5 B * <CB � 5 B +
� � 5 B < � 6 � 4 � 58� � B B � ( � 58( � 4 < � 9 5 B 4 * � � �=< �32 7 5 B � �� � � 6 9 � � 5 B � �\ <�O 4�5 O Y N [ $ - 494 O Y N [ R . V Y R G 3 494 / R & 4�4 / R F#9N [ <�# R G C 494 / R FC 4�576 A F- N Y R W=M 3 . N C 4�5 C V M>W!NPM 6 - $ R & A R M . . N FY R V Y M C FR M . O Y N [ 4
� 5 � �34 < ( B < � 6 � 4 � 58� � B � 58� � 58( � B 5 9 6 ( < � � 4 � � < � 9UT 4 � � � 5 B �� 6 � 4 ( � �)(�5 * <>B � 5 5 � 3 �)( 5 ( B 5 7 �)* 5\ <�O $ - G �'& 5 N / R�� $ - $ W & G W 5P�'& O<�M . \ <�O $2O G 30& 5 RTS <�#PU $ / R # R7[ $2O G 30&�5 3�&
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- 1��'
&
$
%
� 587 � * 5 �(� 6 � 4 ( � *>4 * <>B � 5 9 5 B �� 6 � < � 4 � < � ( B " � � � < 9 < 5 ()(�5 B4 � 7 � <CB 9 5 B 5 � � 587 � � 5 � 5 ��=< 7 6 5 B 5 ( 7 < * < 7 � � � 5 B � * <CB � 5 9 5Q�� 58( � < 5 � B ( 4 � � � 5 * B �� 7 � � 58()(�5 7 58( B ��5 * * 5 9 5 B��� 6 � < �)< �34 � < � ( B �
4?9)9 � < � <�� � ��� ( � ��B � � � �� � � � 4 *:9 5 B �� 6 � < �)< �34 � < � ( B 58( � � 5 * 5 Q 5 � * 5 � B 5 � � 5 7 � � 5 �
4?9)9 � � � < � � <�� Q + + � � �� ( � 7 � � 5 9 5�� � � � B 9 5 � * � < 5 � ( � � B � B 5 * 5 � � � �� � � � � � � �� 58( B 587 ��* 5 9 5 B (��)7 6 � � B 9 5�� � � � B 4 ( B�� * � < 5 �
B 5 * 5 �D� � < �� � � < � � � � � B 5 " � < � <�� G +C+ ( � � B � � � � �2� �� * <CB � 5 9 5 B �� 6 � < � 4 � < � ( B " � � � < 9 < 58()(�5 B 4 � 7 � <CB 9 5 B 5 � � 5 7 � � 5 �
5 �� < 7 6 5 B 58( � 58( � < 7 � � � 5 B �7 4 � � ��� 5 �?4 * � � �� G � � � � � �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- 1��
'
&
$
%
����� ��� � ���
� ��� () - )*!+ (% 0 � 4 '902%7)�� . %
� (�5 .�� #(0 .1%7%7) !+ 5 B � B � < � �� �)(�5 � � ( B �34 ( � 5� * 5 ( � 7 9 T �)(�5 �?4 �=< 4��)* 5 ��� B � 7 � � * 5 �� * T 4 ��� * < �E4 � < � ( 9UT ��(�5 � � 6 � 4 � < � ( �
� R � O Y R / /9W!NPM � NPO�� Y < W!NPM � R � O Y R / /9W!NPM �� * T 4 ��� * < �E4 � < � ( 9UT ��(�5 � � ( � � < � ( � � 9UT �)( 4@* � � � < �32 7 5 �
��/��Z\ ULN # R � $ � R � O Y R / /�W!NPM � G���� G � R � O Y R /�/9W!N�M �)&
� (�5 � (% - 02'(4 - )*!+ � 58� � � � � 5 �
%/) Condition ��� !$0 %Instruction%/), "!+ Instruction� %/)
- �� +- � '". Condition� ��) 0 .
Instruction� - �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- .�
'
&
$
%
� ��� !$02) -��(5 .
� ��� !$02) -��(5 . ��1� !+ ( � .1% �
. . .� � %7' � - �- �
. . .� � 8&' -
+ +C+ �+ +C+ 1 � � + +C+ �+ +C+ �
� � ����!$0 ) -��(5 .
1 � 58� � 5 �� � 6 � � � � 5 ( � 5 � � � � 5 �D� 5� � � � � � �32�4?" ��5 4 ��� 5 * � 6 � � � B < � �8* 5 B 4 � � �)7 58( � B 9 6 � � � <>B=B 58( �
B � �=< � � 587 58( �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
� �6.15 # �*.
� ��� !$02) -��(5 . � � 4 �D� � �=< 5 *� !+ ( � .1% �
n ∈ N+
� � %7' � - �- �n!
� � 8&' -%/) M 5 L ��� !$0 %
0 . -7!$'90 ".�0 ?%/), "!+
0 . -7!$'90 ".�0 M � C < [ N Y W R #%$2M ? &� %/)
� � ����!$0 ) -��(5 .
� 6 � � � � 58( � 5 �
0! = 1
∀n > 0, n! = n.(n − 1)!
� � � � �
�32�4?" ��5 4 ��� 5 * � 6 � � � BK< � � * 5 � 4 � 4 7 � � � 5 9 6 � � ��� � B � � < �D� 587 5 ( � �� 4 �D� � �=< 5 * � ( � → � 4��D� � � < 5 * � ( G � → + +C+→
� 4 �D� � �=< 5 * � � �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)-
'
&
$
%
� ! .�� 4 )*.1 +- 8&), ��+5 ) ���(
n
0
)
= 1(
n
n
)
= 1(
n
p
)
=(
n−1
p−1
)
+(
n−1
p
) BK<n > p > 0.
� ��� !$02) -��(5 . � � � 5 ��� < ( � 7� !+ ( � .1% �
n, p ∈ N, n > p > 0� � %7' � - �- � (n
p
)
� � 8&' -%/) O 5 L N V M 5 O � �*!$02%
0 . -7!$'90 ".�0 ?%/), "!+
0 . -7!$'90 ".�0[ N R -�� W=MLN=\ $2M ?HG O ? & M [ N R -�� W=M N=\ $ M ? G O &
� %/)� � ����!$0 ) -��(5 .
p × (n − p) :� ∈ N
� 9 6 � � ��� � B � � < �D� 587 58( � �32 4?" ��5 4 ��� 5 * � 6 � � � B < �� �?4 * 5 � � (�� * * 5 → 4 � � � � 9 5 � 6 � � � BK< � < � 6
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- .1
'
&
$
%
� 0 ! 4 � � '90 . 0 � 4 '902%7)�� . .1 � �������
[ N R -�� W=MLN=\ 4�5 O Y N [ $2M 494 W=M1 R RZY G O 4�4 W=M�� R RZY & 494 W=M�� R RZY F. R / [PY W=O�� W!NPM: [ <�# [ V # R # R [ N R - - W [ W R M�� U>W=MLN=\]W <�# M G O : FW - M 5 O N Y O 5 L ��� R MY R � V Y M ? FR #�/ RY R � V Y M [ N R -�� W=MLN=\ $2M ?HG O ? & M [ N R -�� W MLNB\ $2M ?HG�O & FR M . W - FR M . O Y N [ 4
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
� � 4 '902%7) �") - � %7'90 �*.1% - � 8 �*. ��' �
��� < 5 � ��( � 4 �)* 5 4 � �
� � � ���05 � * 5 �34��)* 5 4 � 5 ( H B � � B �34��)* 5 4 � � � �=< 5 � �32 4?" ��5 B � � B �34��)* 5 4 �� � � B < � ()(�5 � * 5 B H B � � B �34 ��* 5 4 � � �=< 6 B
32 44 6712 2312 1817 21 29 825131
12 1812 23 31 51 17 6721 443229 82
123112 18 51 23 17 32 82 44 21 67 29
12 17 32 82 44 21 67 293112 18 51 23
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
� Y W - V /9W!NPM 4�5 O Y N [ $�� 494 < Y Y < � $ W M�� R RZY & &494 < Y9Y < � $ W=M�� R RZY & F
. R / [PY W=O�� W!NPM :�� R � N V Y M R V M � <�U # R < V � Y W � :�G: [ NPM�� R M <�M�� # R / \��=\ R / R # R \ R M�� / � V R � : F
#9N [ <�# � 494 < Y9Y < � G���� 494 < Y9Y < ��G � 494 < Y9Y < � G��� 494 < Y9Y < � G�\]W # 494 W M�� R RZY G W 494 W M�� R R Y F
W - � < W # # R $�� & 5 ? ��� R M Y R � V Y M [ NPO � $�� & FR #�/ R
\]W # 4�5 W � V N%$ � < W # # R $� & M ?HG 8)& F� 4�5 < Y9Y < � $=? ���\]W # G N / R�� $�� N W O G W 5 ? � ��\]W # & O & F� 4�5 < Y9Y < � $=? �� � < W # # R $�� & \]W #IG
N / R�� $�� N W O G W 5 \]W # M ? ���� � < W # # R $� & & O & F
��� 4�5 � Y W - V /9W!NPM $� & F��� 4�5 � Y W - V /9W!NPM $ � & F
Y R � V Y M - V /9W!NPM $��� G ��� & FR M . W - F
R M . O Y N [ 4
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
- V /9W!NPM 4�5 O Y N [ $�� 494 < Y9Y < � $ W=M�� R RZY & G� 494 < Y9Y < � $ W=M�� R RZY & & 4�4 < Y9Y < � $ W M�� R R Y & F
. R / [PY W=O�� W!NPM :�� R � � � � <�M�� . R / � <�U # R < V � � Y W ��/�GY R � N V Y M R V M � <�U # R < V � Y W � [ NPM�� R M <�M�� # R /� #��=\ R M�� / . R � R � . R � : F
#9N [ <�# � 494 < Y9Y < � G W 494 W=M�� R R Y G�� 494 W=M�� R RZY G�� 494 W=M�� R RZY F
� 4�5 < Y9Y < � $=? �� � < W # # R $� & M�� < W # # R $ � & & FW 4�5 ? F � 4�5 ? F � 4�5 ? F� �>W # R W � 5 � < W # # R $�� & <�M . � � 5 � < W # # R $ � & . N
W - � N W O � � N � O ��� R M � N ��O 4�5 � N W O F W 4�5 W M ? FR #�/ R � N ��O 4�5 � N � O F � 4�5 � M ? FR M . W - F� 4�5 ��M ? F
R M . . N F� �>W # R W � 5 � < W # # R $�� & . N
� N ��O 4�5 � N W O F � 4�5 ��M ? F W 4�5 W M ? FR M . . N F� �>W # R � � 5 � < W # # R $ � & . N
� N ��O 4�5 � N � O F � 4�5 ��M ? F � 4�5 � M ? FR M . . N FY R � V Y M RTS <�#%$�� & F
R M . O Y N [ 4
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
� �6'()�� ��� . (4 . 0 � 4 '90 %/)��") - � ) - � 0 ��- )*!+
[ N R -�� W=MLN=\�� � RZY 4�5 O Y N [ $2M 494 W M�� R R Y G O 494 W=M�� R R Y &494 W=M�� R RZY F
#9N [ <�# O>W # R G O < Y G Y R / 494 W=M�� R R Y F
Y R / 4�5 L FO>W # R 4�5 / � < [ � N M R � OI$ N M G O�O & F� �>W # R MLN � / � < [ � N R \ O����AOI$2O>W # R & . N
O < Y 4�5 / � < [ � N OLNPO�OI$2O W # R & FW - O < Y N ? O 5 O < Y N�8 O N Y O < Y N�8 O 5 L��� R M Y R / 4�5 Y R / M ? FR #�/ R / � < [ � N O V / ��OI$ N O < Y N ? O ?HG OL< Y N�8 O ? O G O>W # R & F
/ � < [ � N O V / ��OI$ N O < Y N ? O ?HG OL< Y N�8 O�O G O>W # R & FR M . W - F
R M . . N FY R � V Y M Y R / F
R M . O Y N [ 4
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �'
&
$
%
� 0 � # �() �6'". 0 � 4 '90 %/) �
P
c
n=6
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �
'
&
$
%
Q 6 �34 �05 B �
c/2
n−2
c/4
Appel Récursif
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ���
'
&
$
%
� ��� !$02) -��(5 . � 9 5 B=B < (� !+ ( � .1% �( � 4 � � 5 ∈ N
��� � 7 � � 5 9 5 �E4 � � 6 B �1 � � � < ( � � * <>B � 5 9 5 H � � � � 9 � ()(�6 5 B � ∈ R
� �� ∈ R
� � 4 < * * 5 9 � �E4 � � 6 5 � 5 � (�5 �� � %7' � - �- �� <>B � 5 9 5 � � < ( � B � � < � (�5 1 � *�� � � ( 4 * 5 �
. R / /9W=M 4�5 O Y N [ $�� U�� < Y9Y R 4 4 W=M�� R RZY G� 494 # W / � G [ 494 - #9N <� & 494 # W / � F
#9N [ <�# � 494 - #9N <� G � 494 - #9N <� G� ? 494 # W / � G � 8 494 # W / � G �� 494 # W / � F
W - � U�� < Y9Y R 5 L ��� R M Y R � V Y M N OR #�/ R � 4�5�FN ? O F � 4�5�FN�8 O F
� ? 4�5 N� G N � G �AM [ O G N � M [ G ��M [ O G N �AM [ G �AO GN � M [� 8 G �AO G N � M [� � G �AM [� �AO O F
� 8 4�5 . R / /9W=M $�� U�� < Y9Y R Z8 G N � M [� � G ��M [� � O G [� 8)& F�� 4�5 N N � G �AM [� 8 O G N � M [�� 8 G �AM [ O G
N � M [ G �AM [� 8 O G N � M [�� 8 G �AO G � O FY R � V Y M N NPO $ � ? & G NPO $ � 8)& G NPO $ �� �& O F
R M . W - FR M . O Y N [ 4
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ���
'
&
$
%
� � � � � � �F� � � � � �:� �
� 4 * � � * � � � 7 5 * � 4 * � � * (���7 6 � < " ��5
7 4 ( < � � *>4 � < � ( 9UT 5 � � 5 B BK< � ( B 6�� 4 * � 4 � < � ( 9UT 5 � � 5 B BK< � ( B� 5 6 � �=< � � � 5 9UT 5 � � 5 B BK< � ( 4 � � � � < 7 4 � < � ( � � � �34 ( � 5
1/4 + 3/10 1/4 + 3/101 × 5
4 × 5+
3 × 2
10 × 2
5�� 4 * ��� G ����� 5�� 4 * ��� Q � G � �
5/20 + 6/20� +IH X� � + Q
11/20� +IX X � ��������� ���
4 * � � * B * � ( � B � � � 58� � B4?9)9�� G � � ��� � � � + +IX � � � Q�� 5�� 4@* ��� G � Q � �6613313319248080001
2432902008176640000
� + � ��������� �������
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ��
'
&
$
%
� 0 ) -��(5 � - ) �6'". �&!�- - ���+-/.
( � 7 � � 5 � � �34 ( � �m.10e
� � T 5 � � B 4 ( � � � 7 � � � � 5 �)( 7 4 < 7 �)7 9 5 M = 2 147 483 646� 2 <�� � 5 B � 231 − 1 �
� � 5 ( � 7 � � 5 9 5 � 2 <�� � 5 B 9 5 *>4 7 4 ( � <>B=B 5 5 B � * < 7 < � 6 C =
268 435 448 4 � 5 � 9 5 � * � B *>4 * < 7 < �34 � < � ( " � < B � < � +� � 5 � * � B � � 4 ( 9 � � � � 4 ( � � � BK< � < � 5 B � 0.1 eM
� * 5 � * � B �05 � < �� � � � 4 ( � � � B < � < � 5 B � 0.1 e−M + � 5 B * < 7 < �34 � < � ( B (�6 � 4 � < � 5 BB � ( � B � 7 6 � � < " ��5 B +
1 � � � * � 7 5 B 9 5 � � 6 � <>BK< � (5�� 4 * � � G � + ��������� ��������� ����� G G � G G � + ��� ��������� ��������� � G � �� 4 �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- ��1
'
&
$
%
Y R / � < Y � 4 � W W � / 4�5 � 4
RTS <�# - $=? � & F L �
� 4�5 RTS <�# - $ 8 � & F � 4�5 L ����� J� W W � / 4�5 ? L 4 � 8 � F L � L L L L
Y R / � < Y � 4
� 4�5 ? 8 � D 4 � 4�5 D�� 8 ? 4
� ? 4�5 � � � F � ? 4�5 � J L D � 8 J � D� W W � / 4�5 ? L F
� 8 4�5 RTS <�# - $ � & � RTS <�# - $ � & Fz2 := 0.670592745 10
9
� 8 � ? F L �� W W � / 4�5 � F
� 8 4�5 RTS <�# - $ � & � RTS <�# - $ � & Fz2 := 0.6703 10
9
� 8 � ? F �L L L L L �
�������������� ��������������� �����! #"%$�&'�)( * +,�,��$.-�/0/0�)- �)
'
&
$
%
� � �,4 ' � ��� ' �". �����(0�� ���,5 ����� � � �π � ε �������
� �������������� � � � 4 * � � * 1 <� � � � � � � � ε ∈ R
∗+
� � ��� �� � � � 6 5 * � � 5 * " ��5 |R − Π| ≤ ε
� tan(Π
4) = 1
5 � 9 � ( � Π = 4.arctan(1)
� 9 6�� 5 * � � �05 7 58( � 58( B 6 �=< 5 9 5 arctan�
arctan(x) = x −x3
3+
x5
5−
x7
7+ ...
� � � � �x ∈ [0, 1]
��(�5 4 � � � � < 7 4 � < � ( 9 5 *;4 B 6 �=< 5 5 B � �
Sp(x) =
p∑
k=0
(−1)k x2k+1
2k + 1
� T 5 � � 58� � � |arctan(x) − Sp(x)| ≤x2p+3
2p + 3
=⇒
π = 4.arctan(1) = 4.S(1) = 4.Sp(1)
4.1
2p + 3
� � � B +
�������������� ��������������� ����� �"!$#�%&�(' ) *+�,��#-,�././�(, � �
'
&
$
%
1
0,9
0,7
0,95
0,85
30252010
0,75
0,8
0 155
�������������� ��������������� ����� �"!$#�%&�(' ) *+�,��#-,�././�(, � �
'
&
$
%
� �������������� � � 1 < � 5 � � � � 4 (� � � � � � � � ε
�)( � � � � 4 ( � � � B < � < � +� � ��� �� � � � ( � � � � 4 ( � � 4 � � � � < 7 4 � < � ( 9 5 � � < ( �
� 5 9 5 π
ε� � � B +
� � � � � � � � 4 ( � � B < � (�5 � � � 5�� � < 58(�� ��5���� < 5 � �� �� ��� � � �� �� � � � � � ��� 5�� � < 5���� � � � BK< ����5 � � �
� � � � � �������������! "$# %'&��)($*)+', -/. � � � �10 � 2���43 � ��563 ��� �10 ���43 � ��573 ��� 8 29�57: � 3 �;0 < 9=56: � 3 2� �;0 9�57: � 3?> ���43 � ��563 �@� 2
A � CB� � ���� � � � � ��� �A � .EDGF ��� � IH�� �