1
Introduction à la théorie des tests
2
Plan
• I- choix entre 2 paramètres de tendance centrale
• Choix entre 2 proportions pour un caractère qualitatif
• Choix entre 2 moyennes pour les variables quantitatives
• II- Comparaison des distributions
3
Choix entre deux paramètres de tendance centrale
4
Choix entre deux proportions
5
Choix entre deux proportions
6
Choix entre deux proportions
7
Choix entre deux proportions
8
Choix entre deux proportions
Cas N°1 : n et connus => et à déterminer
9
Choix entre deux proportions
Cas N°1 : n et connus => et à déterminer
po = 0.10p1 = 0.15n = 900 = 0.025
= 0.1196 = 0.0054
=>
Ce qui permet de conclure :
po = 0.10p1 > 0.15n = 900 = 0.025
= 0.1196 < 0.0054
=>
10
Choix entre deux proportions
Cas n°2 et connus => n et à déterminer
11
Choix entre deux proportions
Cas N°2 et connus => n et à déterminer
po = 0.10p1 = 0.15 = 0.1196 = 0.025
=>n = 900 = 0.0054
po = 0.10p1 > 0.15 = 0.1196 = 0.025
=>n = 900 < 0.0054
Ce qui permet de conclure :
12
Choix entre deux proportions
Cas n° 3n et connus => et à déterminer
13
Choix entre deux proportions
I-2 Résolution simultanée des 2 problèmes de distribution d’échantillonnage ( et connus)
14
Choix entre deux proportions
I-3 Décision finale
15
Choix entre deux moyennes
Exemple : montant moyen des factures
• H0 : la population mère suit une loi inconnue de moyenne M0 = 5 000 et = 2 000
• H1 : la population mère suit une loi inconnue de moyenne M0 = 5 500 et = 2 100
Dans l’hypothèse H0
Dans l’hypothèse H1
16
Choix entre deux moyennes
nt
/2000
5000
Dans l’hypothèse H0
Dans l’hypothèse H1 nt
/1002
5005
Ces 2 pbs d’échantillonnage comportent 2 paramètres communs : n et
17
Choix entre deux moyennes
Cas N°1 : n et connus , et à déterminer
N =900 et = 0.01 => 67.67
50003263.2
t => = 5 155
Le risque de 2ième espèce se calcule alors facilement :
t = (5155-5500)/70=-4.93 => la table 3.b montre que < 0.001
On a donc :
M0 = 50000 = 2000M1 = 55001 = 2100n = 900
=> = 5155 et <0.001
18
Choix entre deux moyennes
Cas N°2 : et connus , et n à déterminer
19
Choix entre deux moyennes
Cas N°2 : et connus , et n à déterminer - schéma récapitulatif
20
II- Comparaison de 2 distributions
Problématique : adéquation d’une distribution observée avec une distribution théorique
• H0 : l’échantillon est tiré d’une population caractérisée par la distribution théorique
• Démarche : accepter H0 ou rejeter H0
– On calcule un indicateur d’écart– Cette valeur calculée est comparée à une valeur critique lue dans
une table=> on accepte ou on rejette H0
21
II- Test du ²
Caractère quantitatif• Cas de variables discrètes
– Adéquation d’une distribution observée avec une loi de Poisson de paramètre 1.7
xi ni
0 51 82 63 34 25 1
Total 25
22
Test du ²- Caractère quantitatif• Calcul de l’indicateur ²cal
– On calcule p(X= xi) d’après la loi théorique – On calcule n x pi– On regroupe les classes si n x pi <5– On calcule ²cal
– Nb de degrés de liberté = • nb de classes ( après regroupement ) – 1 – nb de param estimés => lecture du ²théorique
xi ni pi n pi n pi groupés ni groupés (ni -npi)²/npi
0 5 0.1827 4.56711 8 0.3106 7.76402 6 0.2640 6.5994 6.5994 6 0.054453 3 0.1496 3.73974 2 0.0636 1.58945 1 0.0216 0.5404
>5 0 0.0080 0.19999Total 25 1.0000 25.0000 25.0000 0.0915
12.3311
6.0694
0.0363
0.0008
13
6
23
Test du ²- Caractère quantitatif
Caractère quantitatif• Cas de variables continues
– Adéquation d’une distribution empirique avec une loi Normale
• Démarche :– on centre et réduit les variables
– On calcule les probabilités théoriques pi d’après la table de la loi normale
– On calcule ²cal
– On calcule le nb de degrés de liberté = nb de classes -1- nb de paramètres estimés
24
Test du ²- Caractère quantitatif• Distribution observée des 900 chèques à une loi
normale (5232, 1972)