Documentation du package EPB_SIPackage pour les Sciences de l’Ingénieur

Emmanuel Pinault-Bigeards2i@pinault-bigeard.com

Version v1.12016/04/21

Table des matières

1 Présentation 2

2 Utilisation du package 2

3 Changelog 2

4 Théorie des mécanismes 34.1 Liaisons . . . . . . . . . . . . . 34.2 Hyperstatisme . . . . . . . . . . 3

5 Cinématique 35.1 Mouvements et trajectoires . . 35.2 Vitesses - accélérations . . . . . 35.3 Torseur cinématique . . . . . . 45.4 Degrés de liberté . . . . . . . . 45.5 Coordonnées variables dans le

temps . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Actions mécaniques 56.1 Force / couple . . . . . . . . . . 56.2 Torseur des actions mécaniques 5

7 Cinétique 67.1 Torseur cinétique . . . . . . . . 67.2 Opérateur d’inertie . . . . . . . 7

8 Dynamique 8

9 Énergétique 89.1 Notations . . . . . . . . . . . . 89.2 Énergie cinétique . . . . . . . . 89.3 Puissance . . . . . . . . . . . . 8

10 Rdm 910.1 Contraintes . . . . . . . . . . . 910.2 Moments quadratiques . . . . . 910.3 Torseur de cohésion . . . . . . 910.4 Torseur des petits déplacements 10

11 SLCI 1011.1 Transformée de Laplace . . . . 1011.2 Notations . . . . . . . . . . . . 1111.3 Signaux . . . . . . . . . . . . . 1111.4 Formes canoniques . . . . . . . 12

12 Notations diverses 12

13 Torseurs et tenseurs 1313.1 Écriture des torseurs . . . . . . 1313.2 Écriture des tenseurs . . . . . . 1313.3 Éléments de réduction . . . . . 1313.4 Opérateurs . . . . . . . . . . . 13

14 Notations mathématiques de base 1414.1 Fonctions . . . . . . . . . . . . 1414.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . 1414.3 Géométrie . . . . . . . . . . . . 1414.4 Complexes . . . . . . . . . . . . 1514.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . 1514.6 Référentiels . . . . . . . . . . . 1514.7 Repères . . . . . . . . . . . . . 1514.8 Opérateurs . . . . . . . . . . . 1514.9 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . 1614.10Vecteurs pré-fabriqués . . . . . 1614.11Divers . . . . . . . . . . . . . . 16

15 Formules et théorèmes 1715.1 Cinématique . . . . . . . . . . . 1715.2 Statique . . . . . . . . . . . . . 1715.3 Cinétique, dynamique, énergé-

tique . . . . . . . . . . . . . . . 1815.4 Trains épicycloïdaux . . . . . . 19

16 Tikz 19

17 Bases, repères et figures planes 2017.1 Bases et repères . . . . . . . . . 2017.2 Bases et repères (3D) . . . . . . 2117.3 Figures planes . . . . . . . . . . 21

18 Graphe des liaisons 2218.1 Principe . . . . . . . . . . . . . 2218.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . 23

19 Diagrammes des efforts intérieurs 2319.1 Principe . . . . . . . . . . . . . 2319.2 Exemples . . . . . . . . . . . . 24

20 Unités [dépréciées] 2620.1 Principe . . . . . . . . . . . . . 2620.2 Unités prédéfinies . . . . . . . . 27

1

1 Présentation

Ce package regroupe un certain nombre de commandes utiles à l’édition de documents relatifsaux Sciences de l’Ingénieur. S’il manque des choses (et il en manque !) ou si vous souhaitez mo-difier quelques notations, il est préférable d’utiliser renewcommand dans un fichier .sty externe,afin de faciliter les futures mises à jour.

J’ai essayé de penser ce package afin qu’il soit facile de l’adapter à des notations différentes(et elles sont nombreuses, notamment en mécanique).

Je voudrais sincèrement remercier Raphaël Allais pour la qualité de son travail et des packagesqu’il a partagés sur son site (http://enseignement.allais.eu/page-latex). Je m’en suis trèslargement inspiré et ils m’ont permis de m’accompagner dans mon apprentissage de LATEX.

Enfin, ce package est techniquement loin d’être parfait... N’hésitez pas à me contacter pourtoute remarque ou suggestion ! (s2i@pinault-bigeard.com)

2 Utilisation du package

Le package est appelé en début de document par la commande : \usepackageEPB_SI

3 Changelog

Version 1.1 - 21/04/2016— Ajout de quelques macros pour les SLCI (issues ou adaptées du package SLCI de Raphaël

Allais)Version 1.0 - 18/04/2016

— Ajout de la gestion des diagrammes d’efforts intérieurs en RdM— Ajout de quelques constantes— Ajout de paramètres facultatifs à quelques commandes

Version 0.4 - 20/10/2015— Ajout des premières macros pour les SCLI— Ajout de quelques unités supplémentaires

Version 0.3 - 30/06/2015— Ajout de nouvelles unités : \siUH, \siUmH, \siUtourpars, \siUMHz, \siUGHz, \siUtour,

\siUNmm, \siUkgmmc, \siUlparmin, \siUmics— Ajout de la gestion des graphes de liaison— Ajout de \derivn (swap avec \deriv)— Ajout de \Jeq, \Cr, \Cm, \Fr, \ext, \cste, \ensSolides, \vOG— Ajout de \vMoment— Ajout de \dessinRepereTri, \dessinRepereTriFig, \dessinRepereIso, \dessinRepereIsoFig,

\dessinRepereFig— Ajout de \tikzGrid— Modification de \bB (remplacement du paramètre optionnel par un obligatoire)

Version 0.2 - 30/04/2015— Ajout de la gestion des unités

Version 0.1 - 26/04/2015— Mise en ligne de la première version

2

4 Théorie des mécanismes

4.1 Liaisons

Commandes Rendus Commentaires\symboleLiaison L Symbole utilisé pour les liaisons\liaison12 L1/2 Liaison entre 1 et 2.\liaison[A]12 L A

1/2 Liaison entre 1 et 2, avec précisiondu point (A).

\liaisonEq Leq Liaison équivalente\liaisonEq[1] Leq1 Liaison équivalente avec indice\liaisonEq[][A] L A

eq Liaison équivalente avec précisiondu point

\liaisonEq[1][A] L Aeq1 Liaison équivalente avec indice et

précision du point

4.2 Hyperstatisme

Commandes Rendus Commentaires\inconnuesStatiques Ns Nombre d’inconnues statiques\inconnuesStatiques[i] nsi Nombre d’inconnues statiques pour

la liaison i\inconnuesCinematiques Nc Nombre d’inconnues cinématiques\inconnuesCinematiques[i] nci Nombre d’inconnues cinématiques

pour la liaison i\nCyclomatique γ Nombre cyclomatique

5 Cinématique

5.1 Mouvements et trajectoires

Commandes Rendus Commentaires\trajectoireA12 TA∈1/2 Trajectoire\mouvement12 Mvt1/2 Mouvement

5.2 Vitesses - accélérations

Commandes Rendus Commentaires

\vVitesseA12−−−−→VA∈1/2 Vecteur vitesse

\vVitesseA1−−→VA/1 Vecteur vitesse (1 seul indice)

\vRotation12−−→Ω1/2 Vecteur vitesse de rotation

\vRotation1−→Ω1 Vecteur vitesse de rotation (1 seul

indice)

\vRotation[p]12−−→Ωp

1/2 Vecteur vitesse de rotation (avecexposant)

\accelerationSymbole Γ Symbole de l’accélération\vAccelerationA12

−−−−→ΓA∈1/2 Vecteur accélération

3

5.3 Torseur cinématique

5.3.1 Généralités

Commandes Rendus Commentaires\tCinematiqueSymbole V Symbole du torseur cinématique\tCinematique12

V1/2

Torseur cinématique

\tCinematique12[A]V1/2

A

Torseur cinématique (avec point)

\tV12V1/2

Torseur cinématique (Raccourci)

\resultanteCinematique12−−→Ω1/2 Résultante du torseur cinématique

\momentCinematiqueA12−−−−→VA∈1/2 Moment du torseur cinématique

5.3.2 Forme canonique

Commandes Rendus Commentaires\resultanteCinematiqueCanx12ωx1/2 Composante de la résultante de la

forme canonique du torseur ciné-matique

\momentCinematiqueCanxA12 V xA,1/2 Composante du moment de la

forme canonique du torseur ciné-matique

Expression de la forme canonique tu torseur cinématique :

\tCinematiqueCanA12101010 ⇒

ωx1/2

0ωz1/2

0V yA,1/20

Variante :

\tCinematiqueCanAltA12101010 ⇒

p120r12

0v120

Si on souhaite préciser 2 indices, on utilise l’expression suivante :

\tCani\tCinematiqueCanA12111111b ⇒

i

ωx1/2ωy1/2ωz1/2

V xA,1/2V yA,1/2V zA,1/2

b

Dans ces 2 cas, il suffit de mettre des 1 ou des 0 pour afficher ou non les composantes du torseur.

5.4 Degrés de liberté

Commandes Rendus Commentaires\Rx Rx Rotation suivant x\Ry Ry Rotation suivant y\Rz Rz Rotation suivant z\Tx Tx Translation suivant x\Ty Ty Translation suivant y\Tz Tz Translation suivant z

4

5.5 Coordonnées variables dans le temps

Commandes Rendus\xt, \xtp, \xtpp, \xp, \xpp x(t), x(t), x(t), x, x\yt, \ytp, \ytpp, \yp, \ypp y(t), y(t), y(t), y, y\zt, \ztp, \ztpp, \zp, \zpp z(t), z(t), z(t), z, z\thetat, \thetatp, \thetatpp, \thetap, \thetapp θ(t), θ(t), θ(t), θ, θ\alphat, \alphatp, \alphatpp, \alphap, \alphapp α(t), α(t), α(t), α, α\betat, \betatp, \betatpp, \betap, \betapp β(t), β(t), β(t), β, β\gammat, \gammatp, \gammatpp, \gammap, \gammapp γ(t), γ(t), γ(t), γ, γ\varphit, \varphitp, \varphitpp, \varphip, \varphipp ϕ(t), ϕ(t), ϕ(t), ϕ, ϕ\psit, \psitp, \psitpp, \psip, \psipp ψ(t), ψ(t), ψ(t), ψ, ψ\lambdat, \lambdatp, \lambdatpp, \lambdap, \lambdapp λ(t), λ(t), λ(t), λ, λ

6 Actions mécaniques

6.1 Force / couple

Commandes Rendus Commentaires

\vForce12−−−→F1→2 Vecteur force

\vForce[A]12−−−→A1→2 Idem avec changement de lettre

\vMomentA12−−−−−→MA,1→2 Vecteur moment

\vMomentA\vForce12−−−−−−→MA,−−−→F1→2

Moment d’une force

\vMoment[dM]A12−−−−−−→dMA,1→2 Vecteur moment (personnalisé)

\vF−→F Force

−→F

\vF[1]−→F1 Force

−→F avec indice

\Cm Cm Couple moteur\Cr Cr Couple résistant\Cf Cf Couple de frottements\Fr Fr Force Fr

\vg −→g Gravité

6.2 Torseur des actions mécaniques

6.2.1 Généralités

Commandes Rendus Commentaires\tActionMecaniqueSymbole T Symbole du torseur des AM\tActionMecanique12 T1→2 Torseur des AM\tActionMecanique[A]12[B]

T A1→2

B

Torseur des AM (avec point et ex-posant facultatifs)

\tAM12 T1→2 Torseur des AM (Raccourci)

\resultanteAM12−−−−−→RT1→2 Résultante du torseur des AM

\momentAMA12−−−−−−→MAT1→2 Moment du torseur des AM

6.2.2 Forme canonique

Commandes Rendus Commentaires\composantetAMX12 X12 Composante du torseur des AM\composantetAM[1]X12 X1→2 Idem, mais en ajoutant l’argu-

ment optionnel [1], on rajoute uneflèche.

5

Expression de la forme canonique du torseur des actions mécaniques :

\tActionMecaniqueCanA12101010 ⇒

X12

0Z12

0M12

0

Si on souhaite préciser 2 indices, on utilise l’expression suivante :

\tCani\tActionMecaniqueCanA1211-1-1-11b⇒

i

X12Y12

N12

b

Dans ces 2 cas, il suffit de mettre des 1 ou des 0 pour afficher ou non les composantes du torseur.On peut aussi utiliser -1 pour les composantes qui s’annulent dans un problème plan.

7 Cinétique

7.1 Torseur cinétique

Commandes Rendus Commentaires\tCinetiqueSymbole C Symbole du torseur ciné-

tique\momCinetiqueSymbole σ Symbole du moment ciné-

tique\tCinetique12

C1/2

Torseur cinétique

\tCinetique12[A]C1/2

A

Torseur cinétique (avecpoint)

\tC12C1/2

Torseur cinétique (Rac-courci)

\resultanteCinetique12 m.−−−−→VG∈1/2 Résultante cinétique

\resultanteCinetique[m_s]12 ms.−−−−→VG∈1/2 Résultante cinétique (avec

masse personnalisée)\resultanteCinetiqueDefS_1S_2

∫S1

−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm Définition de la résultante ci-

nétique\momentCinetiqueAS_1S_2 −−−−−−→σA∈S1/S2 Moment cinétique

\momentCinetiqueDefAS_1S_2∫S1

−−→AM ∧

−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm

Définition du moment ciné-tique

Commandes Rendus Commentaires

\tCinetiqueLigne12AA

m.−−−−→VG∈1/2−−−−→σA∈1/2

Torseur cinétique (ligne)

\tCinetiqueLigne[m_s]12A[b]A

ms.−−−−→VG∈1/2−−−−→σA∈1/2

b

Torseur cinétique (ligne),avec une masse spécifiée(et/ou une base d’expres-sion)

\tCinetiqueLigneDefS_1S_2A

A

∫S1

−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm∫

S1

−−→AM ∧

−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm

\tCinetiqueLigneDefS_1S_2A[b]

A

∫S1

−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm∫

S1

−−→AM ∧

−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm

b

6

7.2 Opérateur d’inertie

Commandes Rendus Commentaires

\operateurInertieA1 ¯I(A,1) Tenseur d’inertie\Jeq Jeq Inertie équivalente

\matriceInertie

0 0 00 0 00 0 0

Matrice d’inertie(nulle)

\matriceInertie[b][A][B][C]

A 0 00 B 00 0 C

b

Matrice d’inertie(diagonale)

\matriceInertie[b][A][B][C][-D][-E][-F]

A −F −E−F B −D−E −D C

b

Matrice d’inertiecomplète. (Les 6arguments sontoptionnels)

\matriceInertieStd

A −F −E−F B −D−E −D C

b

Matrice d’inertiestandard

\matriceInertieStd[1]

A1 −F1 −E1−F1 B1 −D1−E1 −D1 C1

b1

Matrice d’inertiestandard (avecindice)

\baseDuSolide (−→xs ,−→ys ,−→zs ) Base liée au solide\momInertieA

∫S (y2 + z2) · dm Moment d’inertie A

\momInertieB∫S (x2 + z2) · dm Moment d’inertie B

\momInertieC∫S (x2 + y2) · dm Moment d’inertie C

\prodInertieD∫S yz · dm Produit d’inertie D

\prodInertieE∫S xz · dm Produit d’inertie E

\prodInertieF∫S xy · dm Produit d’inertie F

7

8 Dynamique

Commandes Rendus Commentaires\tDynamiqueSymbole D Symbole du torseur dyna-

mique\momDynamiqueSymbole δ Symbole du moment dyna-

mique\tDynamique12

D1/2

Torseur dynamique

\tDynamique12[A]D1/2

A

Torseur dynamique (avecpoint)

\tD12D1/2

Torseur dynamique (Rac-courci)

\resultanteDynamique12 m.−−−−→ΓG∈1/2 Résultante dynamique

\resultanteDynamique[m_s]12 ms.−−−−→ΓG∈1/2 Résultante dynamique (avec

masse personnalisée)\resultanteDynamiqueDefS_1S_2

∫S1

−−−−−−→ΓM∈S1/S2 · dm Définition de la résultantedynamique

\momentDynamiqueAS_1S_2−−−−−→δA∈S1/S2 Moment dynamique

\momentDynamiqueDefAS_1S_2∫S1

−−→AM ∧

−−−−−−→ΓM∈S1/S2 · dmDéfinition du moment dyna-mique

9 Énergétique

9.1 Notations

Commandes Rendus Commentaires\travailSymbole W Symbole pour le travail\energieSymbole E Symbole pour l’énergie\puissanceSymbole P Symbole pour la puissance

9.2 Énergie cinétique

Commandes Rendus Commentaires

\energieCinetique12 Ec(1/2) Énergie cinétique\energieCinetiqueAlt12 T(1/2) Énergie cinétique (alternative)

9.3 Puissance

Commandes Rendus Commentaires\puissance12R P1→2/R Puissance\puissanceInter12 P1↔2 Puissance des inter-efforts\puissanceExt Pext Puissance extérieure\puissanceExt[1] P 1

ext Puissance extérieure (+ repère)\puissanceInt Pint Puissance intérieure\puissanceInt[1] P 1

int Puissance intérieure (+ repère)\puissanceMot Pmot Puissance moteur

8

10 Rdm

10.1 Contraintes

Commandes Rendus Commentaires

\vContrainteA\vn−→T (A,−→n ) Vecteur contrainte

\vContrainte\vn−→T (−→n ) Idem sans le point

\vContrainte[\sigma]A\vn −→σ (A,−→n ) Idem avec changement de nota-tion

\tenseurContraintesA ¯σA Tenseur des contraintes

\tenseurContraintesStd

σxx σxy σxzσyx σyy σyzσzx σzy σzz

Tenseur des contraintes stan-dard

10.2 Moments quadratiques

Commandes Rendus Commentaires\momentQuadratiquex Ix Moment quadratique /x\momentQuadratiquex[S] Ix(S) Moment quadratique de la surface

S /x

\momentQuadratiquex[][A] IAx Moment quadratique / (A,−→x )\momentQuadratiquex[S][A] IAx(S) Moment quadratique de la surface

S / (A,−→x )\momentQuadratiquePolaire IO Moment quadratique polaire

10.3 Torseur de cohésion

10.3.1 Généralités

Commandes Rendus Commentaires\tCohesion Tcoh Torseur de cohésion\tCohesion[A] TcohA Idem avec point spécifié\tCoh Tcoh Torseur de cohésion (Raccourci)\resultanteCohesionDef

∫S

−→T (M,−→x ).dS Définition de la résultante du tor-

seur de cohésion\momentCohesionDef

∫S

−−→GM ∧

−→T (M,−→x ).dS Définition du moment du torseur

de cohésion

\tCohesionDef

G

∫S

−→T (M,−→x ).dS∫

S

−−→GM ∧

−→T (M,−→x ).dS

Définition du torseur de cohésion

\tCohesionDef[A]

A

∫S

−→T (M,−→x ).dS∫

S

−−→GM ∧

−→T (M,−→x ).dS

Idem en un autre point

\Mfy Mfy Moment fléchissant\Mfz Mfz Moment fléchissant

10.3.2 Forme canonique

Expression de la forme canonique du torseur de cohésion :

\tCohesionCan111111 ⇒

G

NTyTz

MtMfyMfz

9

On peut éventuellement préciser un point et une base... :

\tCohesionCan[A]101010[b] ⇒

A

N0Tz

0Mfy

0

b

Dans ces 2 cas, il suffit de mettre des 1 ou des 0 pour afficher ou non les composantes du torseur.

10.4 Torseur des petits déplacements

10.4.1 Généralités

Commandes Rendus Commentaires\tDeplacementSymbole Dep Symbole du torseur des déplace-

ments\tDeplacement12

Dep1/2

Torseur des déplacements

\tDeplacement12[A]

Dep1/2

A

Idem avec un point spécifié

\tPetitDeplacementSymbole U Symbole du torseur des petits dé-placements

\tPetitDeplacement12U1/2

Torseur des petits déplacements

\tPetitDeplacement12[A]U1/2

A

Idem avec un point spécifié

\tDep12U1/2

Torseur des petits déplacements(Raccourci)

\resultantePetitDeplacement−→θ Résultante des petits déplacements

\momentPetitDeplacement−→dG Moment des petits déplacements

10.4.2 Forme canonique

Expression de la forme canonique du torseur des petits déplacements :

\tPetitDeplacementCan111111 ⇒

G

θxθyθz

dGxdGydGz

On peut éventuellement préciser un point et une base... :

\tPetitDeplacementCan[A]101010[b] ⇒

A

θx0θz

0dGy

0

b

Dans ces 2 cas, il suffit de mettre des 1 ou des 0 pour afficher ou non les composantes du torseur.

11 SLCI

11.1 Transformée de Laplace

Commandes Rendus Commentaires\laplacex(t) L[x(t)] Transformée de Laplace\laplaceInvX(p) L−1[X(p)] Transformée de Laplace

inverse

\laplaceFleche L−→ Symbole sur flèche

\laplaceInvFleche L−1−−→ Idem, mais inverse...

10

11.2 Notations

Commandes Rendus Commentaires\jo (jω)\Gw G(ω) Gain\Gdbw Gdb(ω) Gain en dB\phase ϕ(ω) Phase\wCoupure ωc Pulsation de coupure\wCoupure[2] ωc2\wResonance ωr Pulsation de résonance\wResonance[3] ωr3

\eStatique εS Erreur statique\eTrainage εV Erreur de trainage\trep t5% Temps de réponse à 5%\dnp D1% nième dépassement\MG MG Marge de gain\MP Mϕ Marge de phase\BP BP Bande passante\FTBO FTBO FT boucle ouverte\FTBF FTBF FT boucle fermée\FTCD FTCD FT chaîne directe\FTCR FTCR FT chaîne retour

11.3 Signaux

Commandes Rendus Commentaires\dirac δ(t) Dirac\dirac[t-\tau] δ(t− τ)\echelon u(t) Échelon\echelon[t-\tau] u(t− τ)\rampe r(t) Rampe\rampe[t-\tau] r(t− τ)

11

11.4 Formes canoniques

Commandes Rendus Commentaires\amortissement ξ Coefficient d’amortissement

\canonique1K

1 + τpForme canonique du 1er ordre

\canonique1[1.2]1.2

1 + τpForme canonique du 1er ordreavec gain paramétré

\canonique1[1.2][5]1.2

1 + 5p Forme canonique du 1er ordreavec gain et constante de tempsparamétrés

\canonique2K

1 + 2ξω0p+ 1

ω02 p2Forme canonique du 2e ordre

\canonique2[1.2]1.2

1 + 2ξω0p+ 1

ω02 p2Forme canonique du 2e ordreavec gain paramétré

\canonique2[1.2][10]1.2

1 + 2ξ10p+ 1

102 p2Forme canonique du 2e ordreavec gain et pulsation propre pa-ramétrés

\canonique2[1.2][10][\pi]1.2

1 + 2π10 p+ 1

102 p2 Forme canonique du 2e ordreavec gain, pulsation propre etamortissement paramétrés

12 Notations diverses

Commandes Rendus Commentaires\numPiece1 1 Numéro de pièce\np1 1 Numéro de pièce (Raccourci)\npmS_1 S1 Numéro de pièce (en mode

math)\solide1 1 Numéro de solide\ensMat1 (1) Ensemble matériel\ensSolides1,2,3 1, 2, 3 Ensemble de solides\cste cste Constante\AN AN: Application numérique\ext ext Extérieur\atm atm Atmosphérique\pes pes Pesanteur\dl, \dS, \dV, \dtau, \dm d`, dS, dV , dτ , dm Petits éléments

12

13 Torseurs et tenseurs

13.1 Écriture des torseurs

Commandes Rendus Commentaires\torseurX X Torseur

\torseurLigneAXYA

XY

Torseur en ligne

\tLigneAXYA

XY

Torseur en ligne (Raccourci)

\torseurColonneAX\\Y\\ZL\\M\\Nb

A

XYZ

LMN

b

Torseur en colonne

\tColonneAX\\Y\\ZL\\M\\Nb

A

XYZ

LMN

b

Torseur en colonne (Rac-courci)

\tNul 0 Torseur nul

13.2 Écriture des tenseurs

Commandes Rendus Commentaires

\tenseurI ¯I Tenseur

13.3 Éléments de réduction

Commandes Rendus Commentaires\ResSymbole R Symbole de la résultante\MomSymbole M Symbole du moment\resultante\torseurT

−−−→RT Résultante d’un torseur

\Res\torseurT−−−→RT Résultante d’un torseur

(Raccourci)\momentA\torseurT

−−−−→MAT Moment d’un torseur

\MomA\torseurT−−−−→MAT Moment d’un torseur

(Raccourci)

\elementsReduction\torseurTARM

−−−→RT = R−−−−→MAT = M

Éléments de réduction

13.4 Opérateurs

Commandes Rendus Commentaires\automoment\torseurT aT Automoment\axeCentral\torseurT (∆T) Axe central\comoment\torseurT_1\torseurT_2 T1 ⊗ T2 Comoment\devComomentA\torseurT_1\torseurT_2

−−−→RT1 ·

−−−−−→MAT2+

−−−−−→MAT1 ·

−−−→RT2

Comoment développé

13

14 Notations mathématiques de base

14.1 Fonctions

Commandes Rendus Commentaires\fonctionft f(t) Fonction\atanx tan−1x Arctan

\derivfdf

dtDérivée

\derivnfd

dt(f) Dérivée (variante)

\derivf[x]df

dxDérivée (on spécifie la variable)

\deriv[2]fd2f

dt2Dérivée (avec ordre)

\deriv[2]f[x]d2f

dx2 Avec tous les arguments...

Pour toutes les variantes suivantes, on peut aussi utiliser un premier argument facultatif pourl’ordre de la dérivée, et un dernier pour spécifier la variable... ex : \derivV[2]\vFR[x]

Commandes Rendus Commentaires

\derivPf∂

∂t(f) Dérivée partielle

\derivPnf ∂∂t (f) Idem, mais avec affichage réduit

\derivV\vFR

(d−→F

dt

)R

Dérivée vectorielle

\derivVn\vFR(d−→Fdt

)R

Idem, mais avec affichage réduit

\derivVl\vFR(d

dt

−→F

)R

Variante de la dérivée vectorielle

\derivVln\vFR(ddt

−→F)R

Idem, mais avec affichage réduit

14.2 Ensembles

Commandes Rendus Commentaires\R R Nombre réel\coupleAB (A,B) Couple\tripletABC (A,B,C) Triplet\quadrupletABCD (A,B,C,D) Quadruplet

14.3 Géométrie

Commandes Rendus Commentaires\segmentAB [AB] Segment\droiteAB (AB) Droite

\arcAB_AB Arc

\angleABC ABC Angle\axeA\vx (A,−→x ) Axe

14

14.4 Complexes

Commandes Rendus Commentaires\complexea a Grandeur complexe\zmoda |a| Module\zarga arg(a) Argument\zargna arg(a) Argument (variante)

14.5 Bases

Commandes Rendus Commentaires\bB b Base vectorielle (notation)\bB1 b1 Base vectorielle (avec indice)\base\vx1\vy1\vz1 (−→x1,

−→y1 ,−→z1) Base vectorielle

\bxyz (−→x ,−→y ,−→z ) Base préfabriquée\buvw (−→u ,−→v ,−→w ) Base préfabriquée

14.6 Référentiels

Commandes Rendus Commentaires\referentiel R Référentiel (notation)\referentiel1 R1 Référentiel

14.7 Repères

Commandes Rendus Commentaires\rR R Repère (notation)\rR1 R1 Repère (avec indice)\repereO\vx1\vy1\vz1 (O,−→x1,

−→y1 ,−→z1) Repère

\repere[\rR1]O\vx1\vy1\vz1 R1 (O,−→x1,−→y1 ,−→z1)Idem avec nom

\rOxyz (O,−→ex,−→ey ,−→ez ) Repère préfabriqué\rOuvw (O,−→u ,−→v ,−→w ) Repère préfabriqué

14.8 Opérateurs

Commandes Rendus Commentaires\scalaire · Produit scalaire\scal · Produit scalaire (Raccourci)\vectoriel ∧ Produit vectoriel\vect ∧ Produit vectoriel (Raccourci)\absx |x| Valeur absolue\norme\vF

∥∥∥−→F ∥∥∥ Norme\prodMixteXYZ (X ∧ Y ) · Z Produit mixte\doubleProdVectXYZ X ∧ (Y ∧ Z) Double produit vectoriel

15

14.9 Vecteurs

Commandes Rendus Commentaires\vecteuru −→u Vecteur\vecteuru[1] −→u1 Vecteur avec indice

\bipointAB−−−→[AB] Bipoint

\vLieA\vu (A,−→u ) Vecteur lié

\vColonneX \\ Y \\ Z

XYZ

Vecteur en colonne

\vColonneX+X’ \\ Y \\ Z[\bB]

X +X ′

YZ

b

Idem, avec base spécifiée

\vColonneX+X’ \\ Y \\ Z[][l]

X +X ′

YZ

Idem, mais le 3e paramètre gèrel’alignement horizontal (l, r ou c)

14.10 Vecteurs pré-fabriqués

Commandes Rendus Commentaires

\vNul−→0 Vecteur nul

\ve −→e\vex, \vey, \vez −→ex, −→ey , −→ez\ve1 ou \ve1 −→e1

\ver −→er\vetheta −→eθ\vx, \vy, \vz −→x , −→y , −→z\vx1 ou \vx1 −→x1\vy1 ou \vy1 −→y1\vz1 ou \vz1 −→z1

\vu, \vv, \vw −→u , −→v , −→w\vu1 ou \vu1 −→u1\vv1 ou \vv1 −→v1\vw1 ou \vw1 −→w1

\vn −→n\vn1 ou \vn1 −→n1

\vOM, \vOG, \vOP, \vAB, \vBA, \vOA, \vOB,−−→OM ,

−−→OG,−−→

OP ,−−→AB ,

−−→BA,−−→

OA,−−→OB

Vecteurs préfabriqués

14.11 Divers

Commandes Rendus Commentaires\indiceGaucheiR iR Indice gauche\exposantGaucheiR iR Exposant gauche\transposeeM tM Transposée\ofracAB A/B Fraction (barre oblique)\parallele // Parallèle\pdix2 ×102 Puissance de 10\conditionX(p)A=0 X(p)|A=0 Condition

16

15 Formules et théorèmes

15.1 Cinématique

— Formule de Bour (dérivation vectorielle) : \Bour\vuR_1R_2(d−→udt

)R2

=(d−→udt

)R1

+−−−−→ΩR1/R2∧ −→u

— Formule de Bour (avec underbrace) : \Bour\vuR_1R_2[\vNul](d−→udt

)R2

=(d−→udt

)R1︸ ︷︷ ︸

−→0

+−−−−→ΩR1/R2∧ −→u

— Transport du moment cinématique : \changePtMomCinematique12BA

−−−−→VA∈1/2 +−−→BA ∧ −−→Ω1/2

— Transport du moment cinématique (avec underbrace) : \changePtMomCinematique12BA[\vNul]

−−−−→VA∈1/2︸ ︷︷ ︸−→0

+−−→BA ∧ −−→Ω1/2

— Formule de transport du moment cinématique (Varignon) : \Varignon12BA ou\babarCinematique12BA

−−−−→VB∈1/2 = −−−−→VA∈1/2 +−−→BA ∧ −−→Ω1/2

— Formule de transport du moment cinématique (avec underbrace) : \Varignon12BA[\vNul]ou \babarCinematique12BA[\vNul]

−−−−→VB∈1/2 = −−−−→VA∈1/2︸ ︷︷ ︸

−→0

+−−→BA ∧ −−→Ω1/2

— Formule du champ des accélérations : \champAccelerations12BA

−−−−→ΓB∈1/2 = −−−−→ΓA∈1/2 +−−→BA ∧

d−−→Ω1/2

dt

R2

+−−→Ω1/2 ∧(−−→BA ∧

−−→Ω1/2

)

15.2 Statique

— Principe fondamental de la statique (eq. torsorielle) : \PFS1 ou \PFS1[A] (en spéci-fiant le point) ∑

Text→1 = 0 ou∑Text→1A = 0

— Théorème de la résultante statique : \thResStatique1∑−−−−−−→RText→1 = −→0

— Théorème du moment statique : \thMomStatique1A∑−−−−−−−→MAText→1 = −→0

— Transport du moment : \changePtMomAM12BA

−−−−−−→MAT1→2 +−−→BA ∧ −−−−−→RT1→2

17

— Transport du moment (avec underbrace) : \changePtMomAM12BA[\vNul]−−−−−−→MAT1→2︸ ︷︷ ︸

−→0

+−−→BA ∧ −−−−−→RT1→2

— Formule de transport de moment (BABAR) : \babarAM12BA−−−−−−→MBT1→2 = −−−−−−→MAT1→2 +−−→BA ∧ −−−−−→RT1→2

— Formule de transport de moment (avec underbrace) : \babarAM12BA[\vNul]−−−−−−→MBT1→2 = −−−−−−→MAT1→2︸ ︷︷ ︸

−→0

+−−→BA ∧ −−−−−→RT1→2

15.3 Cinétique, dynamique, énergétique

— Principe fondamental de la dynamique (eq. torsorielle) : \PFD1R_g ou \PFD1R_g[A](en spécifiant le point)

Text→1 =D1/Rg

ou Text→1A =

D1/Rg

A

— Théorème de la résultante dynamique : \thResDynamique1R_g. On peut aussi préciserla masse : \thResDynamique1R_g[m_1]∑−−−−−−→

RText→1 = m.−−−−−→ΓG∈1/Rg

ou∑−−−−−−→

RText→1 = m1.−−−−−→ΓG∈1/Rg

— Théorème du moment dynamique : \thMomDynamique1R_gA∑−−−−−−−→MAText→1 =

−−−−−→δA∈1/Rg

— Transport du moment cinétique :— \changePtMomCinetique12BA : −−−−→σA∈1/2 +−−→BA ∧m.−−−−→VG∈1/2

— Masse : \changePtMomCinetique12BA[m_1] : −−−−→σA∈1/2 +−−→BA ∧m1.−−−−→VG∈1/2

— Point : \changePtMomCinetique12BA[m_1][G_1] : −−−−→σA∈1/2 +−−→BA∧m1.−−−−−→VG1∈1/2

— Formule de transport de moment cinétique :— \babarCinetique12BA : −−−−→σB∈1/2 = −−−−→σA∈1/2 +−−→BA ∧m.−−−−→VG∈1/2

— Masse : \babarCinetique12BA[m_1] : −−−−→σB∈1/2 = −−−−→σA∈1/2 +−−→BA ∧m1.−−−−→VG∈1/2

— Point : \babarCinetique12BA[m_1][G_1] :−−−−→σB∈1/2 = −−−−→σA∈1/2+−−→BA∧m1.−−−−−→VG1∈1/2

— Transport de moment dynamique :— \changePtMomDynamique12BA :

−−−−→δA∈1/2 +−−→BA ∧m.−−−−→ΓG∈1/2

— Masse : \changePtMomDynamique12BA[m_1] :−−−−→δA∈1/2 +−−→BA ∧m1.

−−−−→ΓG∈1/2

— Point : \changePtMomDynamique12BA[m_1][G_1] :−−−−→δA∈1/2 +−−→BA∧m1.

−−−−−→ΓG1∈1/2

— Formule de transport de moment dynamique :— \babarDynamique12BA :

−−−−→δB∈1/2 =

−−−−→δA∈1/2 +−−→BA ∧m.−−−−→ΓG∈1/2

— Masse : \babarDynamique12BA[m_1] :−−−−→δB∈1/2 =

−−−−→δA∈1/2 +−−→BA ∧m1.

−−−−→ΓG∈1/2

— Point : \babarDynamique12BA[m_1][G_1] :−−−−→δB∈1/2 =

−−−−→δA∈1/2+−−→BA∧m1.

−−−−−→ΓG1∈1/2

— Théorème de Huygens : \thHuygens

¯I(O,S) = ¯I(G,S) +m ·

b2 + c2 −ab −ac−ab a2 + c2 −bc−ac −bc a2 + b2

18

— Théorème de Huygens (cas particulier) : \thHuygens[A][S][m_s][][b][c]

¯I(A,S) = ¯I(G,S) +ms ·

b2 + c2 0 00 c2 −bc0 −bc b2

— Théorème de l’énergie cinétique : \thEnergieCinetiqueS_1R_g

dEc(S1/Rg)

dt= PS1→S1/Rg

— Théorème de l’énergie cinétique (simplifié) : \thEnergieCinetiqueSimple

dEcdt

= Pint + Pext

15.4 Trains épicycloïdaux

— Terme « de gauche » de la formule de Willis : \WillisTGauche

ωpA/ba − ωps/baωpB/ba − ωps/ba

— Idem, en précisant les indices : \WillisTGauche[1][2][3][0]

ω1/0 − ω3/0ω2/0 − ω3/0

— Formule de Willis : \WillisωpA/ba − ωps/baωpB/ba − ωps/ba

= λ = (−1)p∏Zmenantes∏Zmenees

— Idem, en précisant les indices : \Willis[1][2][3][0][\lambda_1]

ω1/0 − ω3/0ω2/0 − ω3/0

= λ1 = (−1)p∏Zmenantes∏Zmenees

— Formule de Willis linéarisée (Ravignaux) : \Ravignaux

ωpA/ba − λωpB/ba + (λ− 1)ωps/ba = 0

— Idem, en précisant les indices : \Ravignaux[1][2][3][0][\lambda_1]

ω1/0 − λ1 ω2/0 + (λ1 − 1)ω3/0 = 0

16 Tikz

Pour créer des dessins Tikz, on peut utiliser une grille prédéfinie pour aider au positionnementdes différents éléments. Il suffit d’utiliser la commande \tikzGrid qui donne :

• •

\tikzGrid[2]

19

17 Bases, repères et figures planes

17.1 Bases et repères

Commandes Rendus Commentaires

\dessinRepere−→x

−→y

−→z Base standard

\dessinRepere[\vu][\vv][\vw]−→u

−→v

−→w Idem, avec changementd’axes

\dessinRepere[\vu][\vv][\vw][O]−→u

−→v

−→w O Idem, mais avec un centrede repère

\dessinRepere[\vu][\vw][\vv][][1]−→u

−→w

−→v Idem, mais indirecte (ondonne un 5e argumentnon nul)

20

17.2 Bases et repères (3D)

Commandes Rendus Commentaires

\dessinRepereTri

−→x

−→y

−→z Repère en 3D

\dessinRepereTri[\vy0][\vz0][\vx0][O]

−→y0

−→z0

−→x0

O

Idem, en spécifiantles axes

\dessinRepereIso−→x

−→y

−→z Repère en 3D isomé-trique

\dessinRepereIso[\vy0][\vz0][\vx0][O]−→y0

−→z0

−→x0

O

Idem, en spécifiantles axes

On peut aussi utiliser les commandes \dessinRepereTriFig et \dessinRepereIsoFig (avecles mêmes paramètres) pour insérer ces figures dans un dessin Tikz.

17.3 Figures planes

17.3.1 Principe

On utilise la commande \parametrageAngulaire avec les paramètres suivants :— 1 : Nom de l’angle,— [2] : (Opt) Valeur de l’angle,— 3, 4, 5 : axes de la première base,— 6, 7, [8] : axes de la base 2 (le 3e est optionnel),— [9] : (Opt) Orientation de l’axe normal au plan (=1 si vers le plan).

La couleur par défaut est noire, mais on peut spécifier les couleurs des 2 bases en utilisant la com-mande suivante (juste avant \parametrageAngulaire) : \setCouleursParametragecouleur1couleur2.

21

17.3.2 Exemples

— Exemple de base :\parametrageAngulaire\alpha\vx\vy\vz\vx1\vy1

−→x

−→y

−→z

−→x1

−→y1

α

α

— Exemple complet :\parametrageAngulaire\alpha[35]\vx\vz\vy\vx1\vz1[\vy1][1]

−→x

−→z

−→y = −→y1

−→x1−→z1

α

α

— Avec gestion des couleurs :\setCouleursParametragebluered\parametrageAngulaire\alpha\vx\vy\vz\vx1\vy1

−→x

−→y

−→z

−→x1

−→y1

α

α

18 Graphe des liaisons

18.1 Principe

L’idée est de définir un environnement personnalisé simplifiant la création de graphes desliaisons. Il faut commencer par repérer la position des différentes pièces, puis utiliser les com-mandes suivantes :

— \glConfig[1][2] : Configuration pour l’affichage du graphe des liaisons— [1] : style des liaisons— [2] : style des pièces

— \glPiece123[4] : Pièce, avec comme paramètres :— 1 : coordonnées de la pièce (ex : 0,0)— 2 : nom du nœud (node)— 3 : numéro de la pièce— [4] : style Tikz (optionnel)

— \glBati[1]234[5][6] : Bâti :— [1] : orientation en degrés— 2 : coordonnées de la pièce (ex : 0,0)— 3 : nom du nœud (node)— 4 : numéro de la pièce

22

— [5] : scale— [6] : style Tikz (optionnel)

— \glLiaison[1]23[4][5][6] : Liaison, avec comme paramètres :— [1] : Style du trait de liaison (habituellement : bend left ou bend right) (optionnel)— 2 : nom du nœud 1— 3 : nom du nœud 2— [4] : Texte (optionnel)— [5] : Position du text (right, below, above left ...) (optionnel)— [6] : style Tikz du texte (optionnel)

— \glDeuxL[1]23 : Mini-tableau pour écrire les liaisons sur 2 lignes— [1] : alignement (défaut : centré c)— 2 : ligne 1— 3 : ligne 2

18.2 Exemple

\begingrapheLiaisons[scale=0.55]\glBati0,1P00[1.5]\glPiece-5,5P11\glPiece0,9P22\glPiece5,5P33\glLiaison[bend left]P0P1[\glDeuxLGliss.axe \axeA\vz][left]\glLiaison[bend right]P0P3[Pct][right]\glLiaison[bend left]P1P2[\glDeuxLPiv.axe \axeK\vx][left]\glLiaison[bend left=10]P1P3[\glDeuxLRot.centre $C’$][above]\glLiaison[bend right=10]P1P3[LA \axeC\vy][below]\glLiaison[bend left]P2P3[Pct][right]

\endgrapheLiaisons

0

1

2

3

Gliss. Gl.axe (A,−→z ) Pct

Piv.axe (K,−→x ) Rot.

centre C ′

LA (C,−→y )

Pct

19 Diagrammes des efforts intérieurs

19.1 Principe

Pour tracer les diagrammes d’efforts intérieurs, on pourra utiliser les commandes suivantes :

— \PoutreEncastrement12[3][4] : Liaison encastrement— 1 : Position x— 2 : Position y— [3] : (Opt) Orientation (en degrés)— [4] : (Opt) Scale

— \PoutreAppuiSimple12[3][4] : Appui simple

23

— 1 : Position x— 2 : Position y— [3] : (Opt) Orientation (en degrés)— [4] : (Opt) Scale

— \PoutreRotule12[3][4] : Rotule— 1 : Position x— 2 : Position y— [3] : (Opt) Orientation (en degrés)— [4] : (Opt) Scale

— \PoutreBaseLocale12[3][4] : Axes de la base locale— 1 : Position x— 2 : Position y— [3] : (Opt) Étiquette des abcisses (défaut : x)— [4] : (Opt) Étiquette des ordonnées (défaut : y)

— \PoutreCharge123[4][5][6][7][8] : Glisseur— 1 : Position x— 2 : Position y— 3 : Nom— [4] : (Opt) Orientation (en degrés)— [5] : (Opt) Inversion (1 si inversé)— [6] : (Opt) Couleur— [7] : (Opt) Longueur— [8] : (Opt) Style du node

— \PoutreChargeRepartie1234[5][6][7] : Charge répartie— 1 : Position x— 2 : Position y— 3 : Longueur— 4 : Nom— [5] : (Opt) Orientation (en degrés)— [6] : (Opt) Couleur— [7] : (Opt) Scale

— \PoutreDiagAxes1234[5] : Axes pour les diagrammes— 1 : Nom du diagramme— 2 : Position x de la poutre— 3 : ymin— 4 : ymax— [5] : (Opt) Nom de l’axe des abscisses

— \PoutreDiagCfg[2] : Configuration des diagrammes— [1] : (Opt) Couleur— [2] : (Opt) Options tikz supplémentaires

19.2 Exemples

19.2.1 Poutre encastrée, charge simple

\begintikzpicture\PoutreEncastrement00\PoutreBaseLocale6.20.7\draw[line width=2.5pt] (0,0) -- (6,0) node[below right] $A$;

24

\PoutreCharge60$Q$\node at (0,0)[left=0.2] $O$;\draw (0,-0.6) -- (0,-1.1);\draw (6,-0.1) -- (6,-1.1);\draw[<->,>=latex] (0,-0.9) -- (6,-0.9) node [midway, above] $L$;

\endtikzpicture

x

y

A

Q

O

L

19.2.2 Exemple avec tracé des diagrammes

\begintikzpicture% Tracé de la poutre\draw (0,-0.1) -- (0,-1);\PoutreAppuiSimple00\PoutreAppuiSimple40\PoutreBaseLocale6.20.6\PoutreChargeRepartie006$p_0$\node at (4.3,0)[below right] $A$;\node at (6,0)[above right] $B$;\draw[line width=2.5pt] (0,0) -- (6,0);\node at (0,0)[above, left=0.2] $O$;\draw (4,-0.1) -- (4,-0.7);\draw (0,-0.4) -- (0,-1.3);\draw (6,-0.1) -- (6,-1.3);\draw[<->,>=latex] (0,-0.5) -- (4,-0.5) node [midway, above] $a$;\draw[<->,>=latex] (0,-1.1) -- (6,-1.1) node [midway, above] $L$;

% Diagrammes des efforts intérieursVoir code source

\endtikzpicture

25

x

y

p0

A

BO

a

L

Ty

x

(L− a)p0

L(1− L

2a

)p0[

L(1− L

2a

)− a]p0

Mfz

x

p02 (L− a)2

20 Unités [dépréciées]

20.1 Principe

Toutes ces commandes ont été abandonnées au profit de l’utilisation du package siunitx.Je les laisse néanmoins dans le package pour des raisons de rétro-compatibilité.

Pour harmoniser les notations, plusieurs commandes relatives aux unités sont prédéfinies...Un espacement par défaut entre la valeur et l’unité est défini par la commande \sepUnite.Ce séparateur peut être redéfini de la manière suivante : \siUm[\quad], où on à remplacélocalement l’espace fin par défaut par un quadratin.

On peut aussi combiner plusieurs unités de la manière suivante : \siUm/\siUs[] qui donne :m/s .

26

20.2 Unités prédéfinies

Commandes Rendus Commentaires\siUnm, \siUmicm, \siUmm, \siUcm,\siUdm, \siUm, \siUdam, \siUhm,\siUkm, \siUrad, \siUtr, \siUtour

nm, µm, mm, cm, dm, m,dam, hm, km, rad, tr

Longueurs

\siUmmc, \siUcmc, \siUmc mm2, cm2, m2 Surfaces\siUmmcc, \siUcmcc, \siUmcc,\siUmmccc, \siUmL, \siUL

mm3, cm3, m3, mm4, l, ml Volumes

\siUmmparrad, \siUmmpartour mm/rad, mm/tr\siUparm, \siUparmc, \siUparmcc m−1, m−2, m−3

\siUms, \siUmics, \siUs, \siUmin,\siUh, \siUpars, \siUparss

ms, µs, s, min, h, s−1, s−2 Temps

\siUmicmpars, \siUmmpars,\siUcmpars, \siUmpars, \siUkmparh,\siUmcpars, \siUtourparmin,\siUtourpars

µm · s−1, mm · s−1, cm · s−1,m · s−1, km · s−1, rad · s−1,km/h, m2 ·s−1, tr/min, tr/s

Vitesses

\siUmparss, \siUradparss m · s−2, rad · s−2 Accélérations\siUmg, \siUg, \siUkg, \siUt mg, g, kg, t Masse\siUkgpardmcc, \siUkgparmcc,\siUkgpars, \siUkgmc, \siUkgmmc,\siUlparmin

kg ·dm−3, kg ·m−3, kg · s−1,kg ·m2, kg ·mm2, l ·min−1

\siUN, \siUdaN, \siUNm, \siUNmm,\siUNparmm, \siUNparcm, \siUNparm

N, daN, N.m, N.mm, N ·mm−1, N · cm−1, N ·m−1

Actions mécaniques

\siUW, \siUkW, \siUJ,\siUWparmparK, \siUJparkg,\siUJparkgparK, \siUWparmc,\siUkJparkg

W, kW, J, W ·m−1 ·K−1, J ·kg−1, J ·kg−1 ·K−1, W ·m−2,kJ · kg−1

Énergie, puissance

\siUdeg, \siUdegC, \siUK °, °C, K Températures\siUPa, \siUMPa, \siUGPa,\siUbar, \siUNparmc, \siUNparmmc,\siUdaNparmmc

Pa, MPa, GPa, bar, N ·m−2, N ·mm−2, daN ·mm−2

Pression

\siUmV, \siUV, \siUmA, \siUA,\siUohm, \siUkohm, \siUMohm,\siUparohmparm, \siUVparm, \siUH,\siUmH

mV, V, mA, A, Ω, kΩ,MΩ, Ω−1 ·m−1, V ·m−1, H,mH

Élec.

\siUT, \siUF, \siUC, \siUeV, \siUdB T, F, C, eV, dB\siUHz, \siUkHz, \siUMHz, \siUGHz Hz, kHz, MHz, GHz Fréquences

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