docteur de l’universit´e bordeaux 1ori-oai.u-bordeaux1.fr/pdf/2010/mairesse_julien_2010.pdf · n...

N◦ d’ordre : 3990

THESEpresentee a

l’Universite Bordeaux 1Ecole Doctorale des Sciences Physiques et de l’Ingenieur

presentee par

Julien MAIRESSE

pour obtenir le grade de

Docteur de L’Universite Bordeaux 1Specialite : Mecanique

Le 22 Janvier 2010

Modelisation numerique du comportement rheologique

du bois soumis a une large gamme de vitesses de

deformation : application au liege et au balsa

Apres avis de :

M. Sohbi SAHRAOUI, Professeur, Universite du Maine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .RapporteurM. Sohbi SAHRAOUI, Professeur, Universite du Maine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Rapporteur

Devant la commission d’examen formee de :

M. Eric MARTIN, Professeur, Universite de Bordeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PresidentM. Christophe BACON, Professeur, Universite de Bordeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ExaminateurM. Antonio COSCULLUELA, Ingenieur CEA-CESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ExaminateurM. Sohbi SAHRAOUI, Professeur, Universite du Maine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ExaminateurM. Bernard TOSON, Ingenieur CEA-CESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ExaminateurM. Philippe VIOT, Professeur, Universite de Bordeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ExaminateurM. Han ZHAO, Professeur, Universite Pierre et Marie Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Examinateur

Remerciements

Je souhaite remercier, en premier lieu, l’ensemble des membres du jury pour avoir accepte de contribuera l’evaluation de ce travail de these et en particulier Monsieur Eric Martin d’en avoir accepte la presidenceet Messieurs Sohbi Sahraoui et Han Zhao pour leurs rapports complets et interessants sur ces travaux.

Je tiens a remercier Antonio Cosculluela pour m’avoir confie cette these et pour avoir mis a ma disposi-tion les moyens necessaires au bon deroulement de ces travaux.

Je remercie Messieurs Christophe Bacon et Philippe Viot, mes deux co-directeurs, pour leur aide tout aulong de ces trois ans et pour leurs conseils avises afin de repondre aux difficultes rencontrees.

Je remercie Bernard Toson et Nathalie Coutanceau-Bardon pour leur encadrement au sein du CEA,particulierement pour leurs precieux conseils sur les modeles numeriques.

Enfin je tiens a saluer et remercier l’ensemble des personnes que j’ai pu cotoyer dans les laboratoiresauxquels j’etais rattache, au CEA et a l’universite Bordeaux 1. J’y ai rencontre des scientifiques de tres hautniveau qui ont su m’aider, toujours au moment opportun, a effacer les difficultes sur lesquelles je m’attardais.Je vous remercie donc, Francois, Jacques, Jean-Pierre, Le Basque, Dede, . . .. Et tous ceux que je pourraisoublier.

Je tiens a exprimer ma reconnaissance tres particuliere pour trois personnes sans qui ce travail n’auraitpu etre. Benoit, Eric et Sylvain, vous avez su me conseiller et me soutenir regulierement pendant trois ans,toujours de maniere tres avisee, et je vous en remercie profondement.

Je tiens aussi a souligner le soutien indefectible de mes plus anciens amis durant cette periode, Philippe,Christophe, Steph, la pena Coutenu avec Pascal, Maryse, Jeremy, J-B, Joffrey, Mamie, Tutu, Helene,Aurelien, Steph, Vanessa, etc. . .mais aussi Zaza et Antho.

Enfin, mon plus grand remerciement vient a ma famille notamment mes parents, mon frere, mes grand-parents et dernierement Maylis qui m’ont supporte et encourage et sans qui ce travail ne serait pas.

Table des matieres

Nomenclature et notations 5

Introduction 7

I Etude bibliographique et theorie 9

1 Les materiaux cellulaires 91.1 Comportement statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Comportement dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Distinction du comportement des materiaux etudies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Restriction d’etude 13

3 Modelisation des materiaux isotropes et isotropes transverses 133.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Definition du critere d’admissibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Application au liege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Application au balsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Choix de la loi d’ecoulement 18

5 Definition des deux axes d’etude de la these 18

II Modelisation du liege agglomere 21

1 Introduction 21

2 Du critere d’admissibilite general au modele “crushable foam” d’Abaqus 21

3 Le sous-modele a ecrouissage isotrope 233.1 Critere d’admissibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Loi d’ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Fonction d’ecrouissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Prise en compte de la vitesse de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Specificite du code de calcul Abaqus : le sous-modele a ecrouissage volumetrique 264.1 Critere d’admissibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Loi d’ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Fonction d’ecrouissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Prise en compte de la vitesse de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Parametrisation du modele 305.1 Definition des parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Schema d’obtention : mise en place d’une campagne experimentale . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Essais experimentaux sur le materiau liege 316.1 Grandeurs experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Description de la campagne sur le liege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Les essais de compression uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.3.1 Les essais quasi-statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

6.3.2 Les essais sur roue inertielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3.3 Les essais sur barres de Hopkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3.4 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.4 Les essais de traction uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5 Les essais de compression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.6 Les impossibilites experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.7 L’essai bresilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.8 Les essais sur tour de chute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.9 Conclusions sur la campagne d’essais sur le liege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Modelisation 487.1 Comportement du modele crushable foam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.2 Definition des parametres du modele, methode de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3 Modelisation de l’essai bresilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.4 Modelisation d’un essai sur tour de chute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.5 Modelisation d’un crash de conteneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8 Conclusion de l’etude du materiau liege 72

III Modelisation du balsa 75

1 Introduction 75

2 Modele continu pour l’etude statique du balsa 752.1 Comportement elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.2 Critere d’admissibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.3 Loi d’ecoulement, condition de consistence, multiplicateur plastique et tenseur tangent . . . . 772.4 Les conditions de charge/decharge du probleme : les conditions de Kuhn-Tucker . . . . . . . . 792.5 Definition des parametres du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3 Integration numerique dans une loi utilisateur ABAQUS. 813.1 Les schemas d’integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2 Application d’un schema implicite au modele continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3 Integration dans une VUMAT, agencement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4 Verification de l’implementation du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.1 Description des essais de verification realises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4.2 Comparaison avec une loi elasto-plastique Abaqus a critere de Von Mises . . . . . . . 903.4.3 Comparaison avec le modele numerique d’Abaqus, “crushable foam” . . . . . . . . . . 923.4.4 Conclusion des simulations de comparaison entre la programmation VUMAT et les lois

references du code Abaqus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4.5 Modelisation d’un materiau isotrope transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Personnalisation du programme numerique a l’etude dynamique du balsa 954.1 Presentation des modifications apportees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2 Descriptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 Campagne experimentale de caracterisation et d’essais sur structures du balsa 985.1 Campagne d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.1.1 Description des essais d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.1.2 L’isotropie transverse du materiau balsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.1.3 Bilan des essais de caracterisation sur le materiau balsa . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2 Campagne d’essais sur structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2.1 Description des essais d’indentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2

5.2.2 Conclusion sur les essais d’indentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3 Conclusions sur la campagne d’essais sur le balsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 Modelisation des essais sur structures 1036.1 Simulation des essais d’indentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 Simulation de l’essai sur tour de chute sur le liege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3 Discussion sur la modelisation, ouvertures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Conclusion et perspectives 113

Annexe 1 : algorithme general du module explicite 118

Annexe 2 : campagne experimentale d’identification du materiau balsa 119

1 Description des essais 119

2 Description des differents types d’eprouvettes 119

3 Les essais sur eprouvette de type 1 1223.1 Resultats quasi-statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.2 Resultats dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124





Annexe 3 : campagne experimentale sur structures du materiau balsa 135

1 Description des essais d’indentation 135

2 Resultats 1362.1 Essais realises avec un poincon conique d’angle au sommet 140◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.2 Essais realises avec un poincon conique d’angle au sommet 120◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.3 Essais realises avec un poincon conique d’angle au sommet 60◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.4 Essais realises avec poincon cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Annexe 4 : moyens experimentaux 142

1 La machine de traction compression universelle 142

3

2 La roue inertielle 143

3 Les barres de Hopkinson 144

4 La cellule de compression hydrostatique 147

5 La tour de chute 148

6 Les moyens d’acquisition numerique 149

4

Nomenclature

σ : Contrainte equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PaY : Contrainte seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PaΦ : Critere d’admissibilite general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pap : Contrainte en pression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paq : Contrainte equivalente de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Papt : Seuil de contrainte / Contrainte en traction hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Papc : Contrainte en compression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pap0

c : Seuil de contrainte en compression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paσc : Contrainte en compression quasi-statique uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paσ0

c : Seuil de contrainte en compression quasi-statique uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paα : Facteur de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . adim.k : Rapport d’ecrouissage des contraintes en compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .adim.kt : Rapport d’ecrouissage des contraintes hydrostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . adim.σc : Contrainte en compression uniaxiale pour une vitesse de deformation non-nulle . . . . . . . . . . . PaH : Module d’ecrouissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PaE : Module d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PaK : Coefficient de compressibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paεplvol : Deformation plastique volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . adim.

εpeq : Deformation plastique equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . adim.

νp : Coefficient de Poisson plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .adim.ν : Coefficient de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . adim.˙εpl : Vitesse de deformation plastique equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s−1

εpl : Deformation plastique equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . adim.εplaxial : Vitesse de deformation plastique axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s−1

γ : Multiplicateur plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s−1

I : Tenseur identite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . adim.n : Tenseur identite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . adim.σ′ : Tenseur des contraintes deviatoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Paσ : Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Paσpr : Tenseur des contraintes predictifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PaSe : Tenseur des souplesses elastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PaC : Tenseur d’elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PaP : Tenseur plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . adim.r : Residu tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PaΞ : Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paρ : Masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kg/m3

Notations

En s’inspirant de la litterature attenante a la formulation par elements finis, nous allons par la suite pro-poser, des que cela est necessaire pour une meilleure comprehension, une representation tensorielle simplifieedes grandeurs mecaniques utilisees. Ainsi, on explicitera :

– pour les tenseurs d’ordre 4, une representation par une matrice 6*6,– pour les tenseurs d’ordre 2, une representation par un vecteur a 6 composantes.

Par exemple, les tenseurs d’ordre 2 des deformations totales, des deformations elastiques et plastiques etdes contraintes seront reecrits comme suit :

5

ε =

ε11

ε22

ε33

γ12

γ13

γ23

=

ε11

ε22

ε33

2 ε12

2 ε13

2 ε23

, εe =

εe11

εe22

εe33

2 εe12

2 εe13

2 εe23

, εp =

εp11

εp22

εp33

2 εp12

2 εp13

2 εp23

, σ =

σ11

σ22

σ33

σ12

σ13

σ23

.

Les tenseurs d’ordre 4 seront representes par des tenseurs d’ordre 2, sous forme matricielle. Pour exemple,le tenseur des souplesses elastique se reecrira de la maniere suivante :

Se =

S1111 S1122 S1133 S1112 S1113 S1123

S2222 S2233 S2212 S2213 S2223

S3333 S3312 S3313 S3323

S1212 S1213 S1223

S1313 S1323

S2323

Ce type de representation ne sera propose que pour une meilleure comprehension, l’ensemble des equationsexplicitees dans les modeles developpes respectant l’ordre initial des grandeurs mecaniques utilisees.

6

Introduction

La simulation numerique est devenue un outil indispensable et indissociable du developpement et de lavalidation de tout nouveau produit. En particulier, les conteneurs de transport sont soumis a des tests devalidation drastiques en terme de tenue aux crashs inspires des recommandations faites par l’AIEA 1 ce quirend la simulation numerique primordiale. L’AIEA conseille notamment plusieurs series de crash tests, in-dispensables pour la validation du produit, mais qui peuvent etre facilement optimisees grace a la simulationnumerique.

Les materiaux les plus souvent utilises comme materiaux absorbeurs de chocs sont les mousses, commepar exemple pour les casques de velo ou moto. Cependant, le transport d’objets ou de materiaux sensiblesau sein du CEA 2 est realise a l’aide de conteneurs de transport dont le principal materiau absorbeur est lebois, avec des essences aussi diverses que le liege, le balsa, le peuplier, le sequoia, chacune ayant une fonctionbien particuliere suivant le type de produit transporte ou les conditions de transports. Les conteneurs duCEA sont constitues de differentes couches de bois confinees par des coques de materiaux metalliques. Lesdifferents types de conteneurs sont soumis a un programme de validation de produit incluant des crashstests (figure 1) et des essais de chute libre a differentes vitesses d’impact (jusqu’a Vimpact = 100 ms−1) sursurface plane ou sur poincons (cylindrique, conique, ...) ainsi que des essais de resistance a l’embrasement etaux hautes temperatures, toujours realises dans les conditions les plus penalisantes pour le produit. L’etudeapprofondie des differentes essences entrant dans leur fabrication est absolument indispensable dans le cadrede ce programme de validation. En effet, la plupart des tests realises sont des simulations numeriques decrashs (dans un souci de diminution des couts et d’optimisation des essais) et la modelisation precise desmateriaux est primordiale dans ce contexte.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

Fig. 1 – Essai d’impact de conteneur a V = 90 ms−1 (reference CEA)

1L’Agence Internationale de l’Energie Atomique2Commissariat a l’Energie Atomique

7

Le bois, materiau naturel, est de plus en plus utilise et ses domaines d’application sont nombreux, notam-ment pour l’absorption d’energie, l’isolation, . . .. De fait, des essences telles que le balsa ont fait l’objet deplusieurs publications et les caracteristiques principales etudiees de ces materiaux sont maintenant bien con-nues : vitesse de deformation, temperature, densite . . .Tres peu de publications ont ete faites sur le liege, et lemateriau liege reconstitue (liege agglomere) utilise par le CEA n’a fait l’objet d’aucune etude de modelisationcomplete a notre connaissance. Le travail de these presente ici porte sur les deux essences evoquees ci-dessus.

La premier chapitre de ce memoire (Partie II) est une etude bibliographique ciblee sur les materiauxcellulaires dont fait partie le bois. En s’appuyant sur plusieurs ouvrages de reference, le comportement car-acteristique de cette famille materiau est detaille et les parametres influant sont mis en avant, notamment leparametre vitesse de deformation qui est au coeur de cette etude. Plus particulierement, un etat de l’art surle balsa et le liege agglomere est realise afin de pouvoir orienter au mieux la recherche et le developpementde modeles materiau. L’ensemble de ces observations permet de definir deux axes d’etude : les materiauxisotropes d’une part avec le liege agglomere, les materiaux orthotropes, voir isotropes transverses d’autre partavec le balsa. La partie suivante (Partie III) est l’occasion de presenter l’ensemble des moyens a dispositionafin de realiser les campagnes experimentales sur ces materiaux.

Ainsi, le deuxieme chapitre est consacre au materiau liege agglomere (Partie IV). Apres une presentationdu modele materiau “crushable foam” du code de calculs Abaqus, une etude avancee de cette essence debois est exposee. Elle a ete realisee ainsi que l’ensemble des essais experimentaux de cette these au sein deslocaux du LAMEFIP 3. Comme evoque precedemment, le principal parametre pris en compte pour ces essaisest la vitesse de deformation, de la quasi-statique a la dynamique rapide. La campagne de caracterisationporte sur l’obtention de courbes de contrainte-deformation en prenant en compte l’influence de ce parametre,ce qui permet par la suite de simuler les essais realises lors de la campagne experimentale sur structures :essais bresilien, essais sur tour de chute mais aussi crashs test de structures plus complexes. Le bilan de cetteetude sur le materiau liege permet de conclure sur la modelisation retenue et d’orienter la suite des travaux,notamment le developpement du modele materiau pour la simulation du balsa.

Le troisieme chapitre (Partie V), consacre au materiau balsa, debute par la definition de la loi de com-portement developpee au cours de cette these et du modele continu associe. Apres la justification du choixd’un schema d’integration implicite, le modele discret correspondant est detaille ainsi que son integrationvia le module utilisateur VUMAT au sein du code Abaqus. Les equations permettant la prise en comptedu parametre vitesse de deformation ainsi que l’architecture globale de la programmation du modele deprediction/correction sont explicitees. De la meme maniere que pour le materiau liege, les resultats de lacampagne experimentale de caracterisation du balsa ainsi qu’une campagne d’essais sur structures (toutesdeux realisees par le LAMEFIP pour le compte du CEA) sont exposes. Ces essais permettent en fin dechapitre de conclure sur le modele proposee ainsi que la programmation realisee et de definir l’ensemble despossibilites d’amelioration.

Enfin, un bilan mettant en parallele campagne de caracterisation, campagne d’essais sur structures ainsique les simulations numeriques effectuees a partir de modeles materiau pre-existants au sein du code oudeveloppes specifiquement pour ces travaux de these est realise (Partie VI).

3LAboratoire Materiaux Endommagement Fiabilite et Ingenierie des Procedes

8

Chapitre I

Etude bibliographique et theorie

1 Les materiaux cellulaires

Le liege agglomere et le balsa, materiaux principalement etudies au cours de cette these, font partie de lafamille des materiaux cellulaires, solides composes de plusieurs cellules (dont le caractere peut etre ouvert ouferme) reliees par un reseau de poutres et de plaques solides. Les principales caracteristiques de ces materiauxsont les suivantes :

– une porosite dont la valeur est superieure a 70%,– une tres faible densite relative, a savoir le rapport entre la densite du materiau cellulaire et la densite

du materiau constituant le squelette. Cette densite est representee par la fraction volumique de matieredonnee par l’equation (1).

dr =ρm

ρsavec

{ρm masse volumique du materiau cellulaireρs masse volumique du solide constitutif

(1)

– une grande resistance specifique en terme de masse,– une faible conductivite thermique,– une tres bonne absorption acoustique,– d’excellentes proprietes mecaniques en terme d’absorption de chocs, notamment dues a la structure

alveolaire de ces materiaux.

Ces materiaux sont de nos jours largement utilises dans le monde industriel compte tenu de leurs tresbonnes caracteristiques mecaniques associees a un souci permanent d’allegement des structures et a un faiblecout de production. En effet, compte tenu de l’ensemble des caracteristiques propres a ces materiaux, leursapplications industrielles sont diverses et variees :

– l’absorption d’energie au cours d’impacts notamment dans le domaine des transports en tant quesecurite passive, que ce soit par exemple dans l’industrie automobile (pare-chocs) ou dans l’amenagementde systemes de securite [34],

– l’isolation mecanique par absorption des vibrations (plaques isolantes des machines-outils, des potsvibrants),

– l’isolation thermique et acoustique dans le domaine du batiment (structures a cellules fermees tellesque les mousses servant de retardateurs d’incendies ou les isolants thermiques dans l’habitat),

– etc . . .

1.1 Comportement statique

Le comportement quasi-statique des materiaux cellulaires a fait l’objet de nombreuses etudes dans lalitterature ( [5] [24] [14] [23] [25] [31] [33] [41]). La courbe typique contrainte-deformation en compres-sion uniaxiale (cf. figure 2) dont les caracteristiques suivent est generalisable a l’ensemble des materiaux decette famille :

– une phase elastique lineaire peu marquee en tout debut de chargement, restreinte a de tres faiblesdeformations, avec un module d’Young pouvant atteindre 1 GPa pour les mousses de metaux et deceramiques,

9

– apres deformation elastique, il y a apparition d’un seuil d’ecrouissage σseuil suivi d’un plateau quasi-parfait (debut de deformation des cellules, flexion et flambage, et apparition des premieres bandes decisaillement) se poursuivant jusqu’a effondrement total de l’ensemble des parois des cellules. Ce plateaucorrespond a une phase de forte dissipation d’energie du materiau. Le comportement du materiau auniveau de ce plateau peut etre rheo-adoucissant (materiau elastoplastique avec apparition d’un pic σpic

puis chute de la rigidite du materiau avant remonte jusqu’a σpic puis consolidation) ou alors croissant(materiau elastomerique avec coefficient directeur positif du plateau jusqu’a consolidation),

– le materiau se consolide par la suite apres densification ou fermeture totale des porosites avec uneaugmentation importante de la rigidite du materiau pour de faibles deformations additionnelles, c’estla phase de densification,

– enfin le comportement en decharge varie suivant les materiaux, la deformation “plastique” residuelleetant plus ou moins importante suivant le materiau etudie (la courbe de decharge representee sur lafigure 2 correspond au comportement du liege agglomere etudie).

Ces caracteristiques generales sont fortement sensibles aux proprietes du materiau cellulaire telles que ladensite relative, le caractere ouvert ou ferme des cellules, le materiau constitutif du squelette, . . .

Deformation ε

σseuil

σpicCon

trai

nte

Decharge

Fig. 2 – Courbe contrainte deformation schematique de materiaux cellulaires

1.2 Comportement dynamique

Les materiaux cellulaires sont sensibles au parametre vitesse de deformation ( [5] [7] [24] [13] [12][14] [16] [23] [25] [31] [33] [41] ). Les courbes de contrainte-deformation obtenues sous chargement dy-namique (jusqu’a la dynamique rapide des chocs) conservent les memes caracteristiques generales des courbesquasi-statiques evoquees plus haut. Cependant apparaıt un accroissement de nombreuses caracteristiquesmecaniques telles que le module de rigidite initial ou le niveau de contrainte du plateau en fonction de lavitesse de deformation.

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1.3 Distinction du comportement des materiaux etudies

Compte tenu des essences etudiees au cours de cette these, deux comportements materiaux distincts etdonc deux sous-familles de materiaux distinctes se degagent :

– les materiaux cellulaires a comportement isotrope representes ici par le liege agglomere,– les materiaux cellulaires a comportement orthotrope, que l’on peut considerer pour le balsa, comme

ayant un comportement isotrope transverse.

Cette possibilite de classement par famille des materiaux etudies nous permet de restreindre l’etudede cette these a deux types de modele, les materiaux et modeles numeriques isotropes d’un cote et lesmateriaux et modeles numeriques orthotropes de l’autre, en se limitant pour la deuxieme categorie a l’etudeet la modelisation complete du balsa, representative de sa famille materiau.

Specificite du materiau liege

Le materiau liege a fait l’objet d’etudes [2] [22] [20] [24] menees sur du liege naturel ou encore l’etuded’une simulation numerique de l’ecrasement d’un tube d’aluminium rempli de liege agglomere [21] (etudereprise dans les exemples du code de calcul Abaqus).

Les courbes contrainte-deformation en compression uniaxiale disponibles dans ces articles montrent quele comportement du liege s’apparenterait au comportement des mousses elastomeriques (figure 3) avec uneforte dependance au parametre vitesse de deformation ε. La phase elastique de ce materiau est donc duea la compression des parois des cellules tandis que le comportement au niveau du plateau de dissipationd’energie est du a un phenomene d’effondrement des cellules par flamblement elastique. Une fois l’ensembledes cellules effondrees successivement autour des bandes de cisaillement, le materiau se consolide et se densifie.

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Con

trai

nte

(MPa)

Deformation ε

0.0016 s−1

300 s−1

500 s−1

2500 s−1

Fig. 3 – Courbe contrainte-deformation en compression uniaxiale du liege en fonction du parametre vitessede deformation ε [20]

Le liege a l’etat naturel est un materiau anisotrope. Le liege etudie, agglomerat de liege naturel con-casse, a un comportement theoriquement isotrope : cette specificite sera verifiee au cours de la campagneexperimentale.

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Compte tenu du peu de donnees disponibles sur ce materiau et de nos besoins pour la modelisationrealisee par la suite, une etude experimentale complete du liege agglomere sera menee au sein du LAMEFIP.Les caracteristiques des moyens experimentaux ainsi que les details de la campagne d’essais mise en placepour l’etude de ce materiau seront explicites par la suite.

Specificite du materiau balsa

L’article de Tagarielli et al. [40] comporte une partie experimentale mettant en evidence les principalescaracteristiques mecaniques du materiau balsa et affirmant les conclusions de Easterling et al. quant au car-actere isotrope transverse de son comportement [24]. Y sont explicites une description globale de la reponsestatique du materiau ainsi que les ordres de grandeurs de composantes mecaniques telles que les modulesd’Young, modules de cisaillement et quelques courbes de reponses aux tests de compression uniaxiale (figure4), etc. . . en fonction de la densite du materiau.

σaxial = f(εaxial)

σradial = f(εradial)

σrt = f(εrt)

σtangentiel = f(εtangentiel)

Fig. 4 – Exemple de courbes de reponse du balsa en compression uniaxiale suivant les directions longitudinale,radiale, tangentielle et suivant une direction mediane des directions radiale et tangentielle (referencee “rt”sur le graphe) (d’apres [40])

Ces observations serviront de base a la mise en place d’une campagne experimentale afin de les completer,notamment dans le domaine de la dynamique. Ainsi, a l’identique du materiau liege, un descriptif completet appronfondi du comportement du balsa sera mene dans le chapitre “Modelisation du balsa, materiauisotrope transverse” (Partie V).

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2 Restriction d’etude

Cette these entre dans le cadre d’une etude de validation du produit “conteneur” du CEA-CESTA. Ilest donc important de noter qu’a ce titre, nombre de parametres influant habituellement sur la famille desmateriaux cellulaires a laquelle le liege et le balasa appartiennent ne sera pas pris en compte par la suite.

Ainsi la densite, parametre influant fortement sur les caracteristiques de ces materiaux [29] [24], ne serapas etudiee compte tenu des restrictions attenantes a la selection des essences utilisees pour la fabricationdes conteneurs. En effet, des plages de variation precises de densite entraınant de tres faibles variabilites sontexigees au sein du CEA pour les deux essences de bois evoquees. La conformite de ce parametre sera doncsimplement verifiee avant chaque campagne experimentale.

L’humidite relative du materiau est un parametre controle precisement de la selection des materiauxbruts jusqu’au stockage des conteneurs en service en passant par leur fabrication. En effet, le bois est presenta l’etat confine dans les conteneurs et une humidite relative superieure a 15% entraınerait la deterioration dumateriau [24]. Pour pallier ce probleme, un taux d’humidite situe entre 12 et 14% est maintenu tout au longde la duree de vie du conteneur (que ce soit au moyen de chambres climatisees et regulees au cours de la fab-rication mais aussi au cours de l’utilisation). Nous ne prendrons donc pas en compte ce parametre par la suite.

Enfin la temperature, si elle etait consideree (elle ne le sera pas au cours de ce travail de these), devraitrepondre aux normes de l’aviation civile et de l’AIEA (Agence Internationale de l’Energie Atomique), asavoir une plage de variation allant de −40 ◦C (temperature minimale pour toute conception d’un produitdestine a un usage aerien) a +70 ◦C (limite dependant de conditions cumulees d’ensoleillement et d’util-isation). L’ensemble de l’etude se fera donc a temperature ambiante et une mesure de ce parametre seraeffectuee avant chaque essai pour en controler l’exactitude et la faible variabilite d’un essai a l’autre.

3 Modelisation des materiaux isotropes et isotropes transverses

Afin de modeliser les materiaux cellulaires etudies au cours de ce travail de these, deux methodes peuventetre mises en avant :

– celle utilisant un modele decouple ou le comportement du materiau depend de courbes renseigneespar l’utilisateur et ce pour chaque direction materielle. Le comportement du materiau peut de cettemaniere etre completement distinct dans chacune de ses directions.

– Celle via un modele reposant sur une surface de charge quadratique pilotee par une courbe de reference.Le comportement du materiau evolue alors en fonction de la courbe d’ecrouissage et de la forme de lasurface de charge initialement renseignees par l’utilisateur.

La premiere technique est appuyee par les travaux initialement menes par Francois [18] puis repris etapprofondis par Adalian [1] mettant en lumiere le comportement “decouple” du materiau bois. Ces deuxtravaux de these reposent sur la caracterisation experimentale de chacune des essences de bois etudiees ainsique sur la mise en place d’un critere dit “boıte”. L’adoption d’un tel critere permet d’en modeliser efficace-ment le caractere “decouple”, une sollicitation dans une direction principale n’ayant aucune influence sur lesautres.

La seconde est appuyee principalement par les observations sur les materiaux cellulaires faites par Gibsonet Ashby [24], Deshpande et Fleck [13] ainsi que Tagarielli et al. [40]. Dans ces differentes publications, ilapparait clairement la diversite des comportements au sein de cette famille de materiau. Desphande et Fleck,suite a une campagne experimentale avancee sur les mousses d’aluminium, mettent en evidence une surfacede charge quadratique a facteur de forme constant permettant d’en regir l’ecrouissage plastique. Tagarielliet al. reprennent cette idee pour simuler des essais d’indentation sur du balsa, objet de ce travail de these.

13

En consequence, le choix de modelisation effectuee au cours de cette etude s’est porte sur un critered’admissibilite general base sur une definition quadratique de la surface de charge incluant un tenseur plas-tique parametrable afin de l’adapter au comportement specifique des materiaux cellulaires etudies. Ainsi, cemodele continu peut etre particularise de maniere a seoir au comportement des materiaux isotropes tels quele liege et au comportement des materiaux isotropes transverses tels que le balsa.

Nota Bene : Les modeles permettant de modeliser la famille de materiaux isotropes d’une part et isotropestransverses d’autre part, sont decrits dans des chapitres specifiques (“Modelisation du liegeagglomere, materiau isotrope” (Partie IV) et“Modelisation du balsa, materiau isotrope trans-verse” (Partie V)). Ne sont reprises dans les paragraphes suivants que les equations permettantde mettre en place le plan de ce travail de these.

3.1 Hypotheses

On suppose la decomposition de la deformation totale ε en une partie elastique εe et une partie plastiqueεp comme indique par l’equation (2), ou la differentiation effectuee est faite en fonction du temps.

ε = εe + εp (2)

3.2 Definition du critere d’admissibilite

A partir du critere de plasticite general explicite ci-dessous, le modele continu developpe dans ce travailde these peut etre reduit a la modelisation du liege et du balsa.

En se basant sur les theories de plasticite generale exposees notamment par Simo et Hughes [39], lecritere d’admissibilite general Φ(σ, Y ) est defini par l’equation (3) ou σ est la contrainte equivalente et Y lacontrainte seuil.

Φ(σ, Y ) = σ − Y 6 0 (3)

En se basant sur l’equation (3), l’evolution du materiau (etat elastique ou plastique) est regie par lesconditions du systeme (4). Ces conditions d’evolution seront detaillees plus en avant lors de l’etablissementde la loi d’ecoulement propre a chaque modele etudie ou mis en place (on precisera notamment le caractereassociee ou non associee de cette loi).

Φ(σ, Y ) < 0 =⇒ comportement elastique

Φ(σ, Y ) = 0 et

Φ(σ, Y ) < 0 =⇒ decharge elastique

Φ(σ, Y ) = 0 =⇒comportement neutre ou charge plastique(difference explicitee plus tard lors de la mise enplace de la loi d’ecoulement du materiau)

(4)

14

La contrainte equivalente σ est definie par l’equation (5) et le tenseur plastique P est defini par l’equation(6) sous sa forme matricielle pour une meilleure comprehension (matrice explicitee dans les axes d’orthotropiemateriau). Ce tenseur, par definition, est defini positif [39].

σ2 ≡ σ : P : σ = P11 σ211 + P22 σ2

22 + σ233 − 2 P12 σ11 σ22 − 2 P23 σ22 σ33 − 2 P13 σ11 σ33 +

P12 σ212 + P23 σ2

23 + P13 σ213

(5)

P =

P11 −P12 −P13

−P12 P22 −P23

−P13 −P23 1P44

P55

P66

(6)

L’apparition de la valeur P33 = 1 dans le tenseur plastique P indique que l’ensemble du comportementdu materiau est defini en fonction du comportement de celui-ci suivant la direction 3. La determination desparametres du tenseur sera explicitee, lorsque cela est necessaire, pour chaque etude de materiau. On montr-era en effet que pour l’etude du liege, on peut s’affranchir de la determination de l’ensemble des parametrespar simplification du critere d’admissibilite.

Nota Bene : La definition des parametres Pij sera explicitee dans le chapitre relatif a la modelisationdu balsa, leur definition dans cette partie n’etant pas necessaire a la comprehension de lamodelisation du liege agglomere.

La contrainte seuil est definie par l’equation (7) ou σ0 represente la contrainte seuil initiale, H(εpeq) le

module d’ecrouissage et εpeq la deformation plastique equivalente.

Y = σ0 + H(εpeq) εp

eq (7)

De part la definition du tenseur P, l’identification de la contrainte seuil passe par la realisation d’un essaiuniaxial suivant la direction 3 (compression ou traction suivant le type d’etude).

Ce modele general inclut notamment la plasticite de “Von Mises” en prenant les valeurs de parametresdefinies en (8).

P11 = P22 = P33 = 1, P12 = P23 = P13 =12

et P44 = P55 = P66 = 3 (8)

On retrouve ainsi le tenseur plastique typique PV M et la contrainte equivalente de Von mises definisrespectivement par les equations (9) et (10).

15

PV M =

1 −1/2 −1/2−1/2 1 −1/2−1/2 −1/2 1

33

3

(9)

σ2V M =

12[(σ11 − σ22)2 + (σ22 − σ33)2 − (σ11 − σ33)2 + 6 (σ2

12 + σ223 + σ2

13)]

(10)

Au travers de ce critere, on s’apercoit que la pression hydrostatique p n’a aucune influence sur le comporte-ment du materiau. Cette remarque est illustree par le graphique 5 mettant en evidence la surface d’ecrouissagede Mises representee dans le plan meridional des contraintes (p,q), q etant la contrainte equivalente de VonMises (la definition des grandeurs p et q sera explicitee dans la partie “Du critere d’admissibilite general aumodele “crushable foam” d’Abaqus” (Paragraphe IV.1)).

q

p

surface d’ecrouissage de Mises

Fig. 5 – Representation graphique de la surface d’ecrouissage de Von Mises dans le plan (p,q)

3.3 Application au liege

La particularisation du critere general de l’equation (3) pour la modelisation du materiau isotrope liegese base sur les observations faites par Gibson et Ashby [24], Gameiro et al. [22] ainsi que sur la campagneexperimentale menee par Deshpande et Fleck [13] sur les mousses d’aluminium.

Gibson et Ashby consacrent une partie de leur ouvrage a l’etude du liege naturel au cours duquel sontexposees notamment les reponses de ce materiau a des sollicitations simples : compression uniaxiale, tractionuniaxiale, etc. . .. Ils exposent les grandeurs mecaniques extraites de ces essais (sans en communiquer lescourbes de reponse) ainsi que le caractere compressible de ce materiau. Ils concluent enfin quant au com-portement de ce materiau s’identifiant aux mousses elastomeriques. Cette conclusion est confirmee par lestravaux de Gameiro et al.

L’etude realisee par Deshpande et Fleck sur les mousses d’aluminium en expose le comportement auxsollicitations en compression, uniaxiale ou hydrostatique. Grace a une methode experimentale precise, ilsont etudie la forme de la surface d’ecrouissage de ce materiau ainsi que son evolution et en ont propose unemodelisation.

Le comportement du liege agglomere se rapproche de celui des mousses. Les differentes observations faitessur ce materiau par les auteurs cites precedemment (Gameiro, Gibson, Ashby et al.) permettent d’en orienter

16

la modelisation vers une surface de charge quadratique a facteur de forme α constant.

Ainsi, pour la modelisation du liege, la contrainte equivalente σ retenue est definie par l’equation (12).Les composantes du tenseur P associe sont definies par les equations (11) (la definition du facteur de formeα sera donnee lors de la description du modele dans la partie “Du critere d’admissibilite general au modele“crushable foam” d’Abaqus”).

P11 = P22 = P33 = 1, P12 = P23 = P13 =1 − 2α2/91 + α2/9

et P44 = P55 = P66 =3

2(1 + α2/9)(11)

σ2 = σ211 + σ2

22 + σ233 −

1 − 2α2/91 + α2/9

(σ11σ22 + σ22σ33 + σ11σ33) +3

2(1 + α2/9)(σ2

12 + σ223 + σ2

13) (12)

L’adoption de cette contrainte equivalente et du critere d’admissibilite associe permet de se ramener auxdefinitions du modele “crushable foam” d’Abaqus, base sur les travaux de Deshpande et Fleck [13]. Cemodele est adapte a la modelisation des mousses compressibles, dont le comportement du liege agglomere serapproche. Ainsi, a partir de la definition de ce critere, on explicitera les equations regissant ce modele dansle chapitre “Modelisation du liege agglomere, materiau isotrope” (Partie IV).

Nota Bene : Une representation graphique de ce critere sera proposee dans le chapitre consacre au liegepar la figure (7). Le facteur de forme α sera lui aussi defini dans ce chapitre.

3.4 Application au balsa

Le balsa fait partie de la famille des materiaux cellulaires a comportement orthotrope, voire isotropetransverse ( [40], [24]). En consequence, pour la modelisation du balsa, la contrainte equivalente σ retenueest definie par l’equation (14). Du fait de la prise en compte de l’isotropie transverse du materiau, les com-posantes du tenseur P associe sont definies par les equations (13).

P11 = P22, P13 = P23 et P55 = P66 (13)

σ2 = P11 (σ211 + σ2

22) + σ233 − 2 P12 σ11 σ22 − 2 P13 (σ22 σ33 + σ11 σ33) + P44 σ2

12 + P55 (σ223 + σ2

13) (14)

Cette definition de contrainte equivalente correspond a un comportement isotrope transverse. L’ensem-ble des equations necessaires a la modelisation de ce type de materiau tel que le balsa sera explicite dans lechapitre “Modelisation du balsa, materiau isotrope transverse” (Partie V) ou seront precises notamment letype de loi d’ecoulement retenue, les conditions de charge/decharge, etc . . ..

17

4 Choix de la loi d’ecoulement

Lors de la definition d’une loi d’ecoulement, il est necessaire de determiner si celle-ci est associee ou non.En effet deux cas de figures peuvent se presenter :

– la direction d’ecoulement est confondue avec la normale a la surface d’ecrouissage. La loi d’ecoulementest alors associee, le potentiel d’ecoulement correspondant a la definition du critere d’admissibilite ;

– la direction d’ecoulement n’est pas confondue avec la normale a la surface d’ecrouissage. La loi d’ecoulementest alors non-associee, le potentiel d’ecoulement est generalement determine par une campagne experimentalesur le materiau.

La figure 6 propose une representation graphique de ces deux cas de figure : dans le cas (a) la loiest de type associee, la surface d’ecrouissage et d’ecoulement sont confondues, dans le cas (b), la loi est detype non-associee, les deux surfaces sont dissociees et la definition d’un potentiel d’ecoulement est necessaire.

(a) (b)

Surface d’ecoulementSurface d’ecrouissage et d’ecoulement

Surface d’ecrouissage

Fig. 6 – Representation schematique de la surface d’ecrouissage et de la surface d’ecoulement : (a) dans lecas d’une loi associee, (b) dans le cas d’une loi non-associee.

Ces considerations ainsi que la theorie amenant a ces conclusions sont detaillees dans les references [11]et [17]. Pour l’ensemble des modeles presentes, le type de loi d’ecoulement sera a chaque fois precise.

5 Definition des deux axes d’etude de la these

Les definitions du critere d’admissibilite, de la contrainte equivalente et de la matrice plastique faitesprecedemment ainsi que la particularisation de ces grandeurs a la modelisation des deux familles de materiauxetudiees amenent les deux axes de recherche suivants :

– dans un premier temps, le liege a ete modelise grace au modele “Crushable foam” d’Abaqus. L’ensembledes equations de ce modele a ete mis en place et leur lien avec les equations de la surface de chargequadratique explicitees precedemment a ete precise. Une campagne experimentale complete a ete meneeafin de caracteriser le materiau (avec notamment la prise en compte de la vitesse de deformation) etde renseigner l’ensemble des parametres necessaires au fonctionnement du modele. Cette campagne apermis de statuer sur le comportement general du materiau, grace notamment aux essais de compressionhydrostatique et de traction uniaxiale ainsi que les essais de compression uniaxiale pour differentesvitesses de deformation (de la statique avec ε = 10−3 s−1 a la dynamique rapide avec ε = 1000 s−1).Des essais sur structures ont ete menes (essais bresilliens, essais sur tour de chute, ...) afin d’obtenirla base de tests necessaires a la verification de la modelisation du liege. Les observations faites et lesconclusions tirees de cette etude ont permis de cibler au mieux les travaux d’etude et de modelisationsur les materiaux isotropes transverses, et plus particulierement sur le balsa.

– Dans un deuxieme temps, le balsa a ete modelise grace a un modele dont le critere a ete evoqueprecedemment. Comme pour le materiau liege, une campagne experimentale complete a ete realiseeafin de caracteriser le balsa. Le retour sur experience de la campagne sur le liege a permis d’opti-

18

miser au mieux les essais elementaires et les essais sur structures. Un modele numerique permettantde modeliser le balsa a ete developpe en prenant en consideration les difficultes rencontrees lors de lamodelisation du liege.

Ces deux points sont developpes dans les deux prochains chapitres de ces travaux de these. L’analyse etla comparaison de ces deux axes de recherches distincts permettront de conclure quant au comportement eta la modelisation de ces deux familles de materiaux (isotrope et isotrope transverse) dans le domaine de lasimulation de crash.

19

Chapitre II

Modelisation du liege agglomere

1 Introduction

Au cours de ce chapitre, le materiau “liege”, materiau isotrope, est caracterise puis modelise. Dans un pre-mier temps, le modele “Crushable foam”, modele retenu pour la modelisation de ce materiau, est presenteavec une mise en avant de l’ensemble des parametres necessaires a renseigner pour son utilisation. Cettedemarche a abouti a la mise en place d’une campagne experimentale qui est exposee dans un deuxiemetemps. l’ensemble des essais experimentaux (de caracterisation et sur structures) est detaille ainsi que lesresultats obtenus. Les caracteristiques materiau necessaires au modele numerique sont rappelees. Enfin, latroisieme partie porte sur la modelisation numerique qui reprend la modelisation des essais elementaires ainsique sur structures. La concordance entre experimental et numerique est analysee afin de conclure en fin dechapitre sur la modelisation du meteriau liege agglomere.

2 Du critere d’admissibilite general au modele “crushable foam”

d’Abaqus

Comme stipule dans le chapitre “Etude bibliographique et theorie” (Partie II), la modelisation du liegeagglomere s’est orientee sur un modele reposant sur une surface de charge quadratique. Le critere d’admis-sibilite general ainsi que la contrainte equivalente associee sont rappeles ci-dessous respectivement par lesequations (15) et (16).

Φ(σ, Y ) = σ − Y 6 0 (15)

σ2 = σ211 + σ2

22 + σ233 −

1 − 2α2/91 + α2/9

(σ11σ22 + σ22σ33 + σ11σ33) +3

2(1 + α2/9)(σ2

12 + σ223 + σ2

13) (16)

Ces definitions peuvent aisement se ramener au modele “crushable foam” d’Abaqus par la methode suiv-ante. Soient p la pression hydrostatique definie par l’equation (17) et q la contrainte equivalente de VonMises definie par l’equation (18). Le tenseur des contraintes deviatorique σ′ est defini par l’equation (19).

p =13

trace σ (17)

q =

√32

σ′ : σ′ (18)

σ′ = σ − pI (19)

Ainsi, par ces definitions, la contrainte equivalente de Von Mises se resume a l’equation (20).

q2 =32

σ′ : σ′ = σ211 + σ2

22 + σ233 − (σ11 σ22 + σ11 σ33 + σ22 σ33) +

32(σ2

12 + σ213 + σ2

23) (20)

21

La definition de la pression hydrostatique par l’equation (17) amene l’equation (21).

p2 =19[σ2

11 + σ222 + σ2

33 + 2(σ11 σ22 + σ11 σ33 + σ22 σ33)]

(21)

En utilisant les equations (20) et (21), l’equation (16) se reduit a l’equation (22).

(1 +

α2

9

)σ2 = q2 + α2p2 (22)

Si l’on se place dans le plan meridional des contraintes (p,q), l’equation (22) est celle d’une ellipse defacteur de forme α dont on propose une representation graphique 7 ci-dessous. Le coefficient α est le facteurde forme du convexe elliptique defini par α = B/A avec A la longueur du demi-axe du convexe elliptiquesuivant l’axe des pressions hydrostatiques et B celle du demi-axe suivant l’axe des contraintes de Von Mises.

3

1

1

α

pc−pc −p0c p0

c

compression uniaxiale

surface d’ecrouissage

surface seuil d’ecrouissage

σ0c

q

pσ0

c

3

Fig. 7 – Representation graphique de l’ellipse definie par l’equation 22. La surface d’ecrouissage en “pointille”represente l’evolution de la surface seuil d’ecrouissage au cours de la plastification du materiau.

L’utilisation de l’equation (22) dans la definition (16) du critere d’admissibilite general permet d’obtenirla definition particuliere de ce critere pour le liege agglomere (equation (23)).

Φ(σ, Y ) =√√√√

1

1 +α2

9

(q2 + α2 p2) − Y 6 0 (23)

Soit B la longueur du demi-axe de l’ellipse suivant l’axe des contraintes de Von Mises. A partir de larepresentation graphique proposee ci-dessus, on en deduit que B = αpc. Ainsi, grace a l’equation (22), onobtient l’equation (24).

22

B = α pc = σc

√1 +

(α

3

)2

(24)

En utilisant l’equation (23) ainsi que l’equation (24), on obtient le critere d’admissibilite tel que definidans le modele “crushable foam” a ecrouissage isotrope (equation (25)).

F =√

q2 + α2p2 − B 6 0 (25)

Presentation du modele

Le modele de plasticite “crushable foam” de la bibliotheque du code de calcul Abaqus [10] est base sur lestravaux de Deshpande et Fleck [13]. Il est dedie a l’etude des mousses compactables generalement utiliseescomme materiau absorbeur (notamment lors de chocs). Les travaux inities par Deshpande et Fleck sont al’origine de l’option a ecrouissage isotrope, Abaqus developpant pour sa part la deuxieme option disponibledans ce modele, l’option a ecrouissage volumetrique, ainsi que les options de dependance au parametre vitessede deformation.

Deux types d’ecrouissage sont donc disponibles pour ce modele :

– l’ecrouissage dit “isotrope”,– l’ecrouissage dit “volumetrique”.

Caracteristiques communes

Le comportement elastique du modele est isotrope tandis que le comportement plastique est represente parune ellipse dans le plan meridional des contraintes (p-q), p etant la pression hydrostatique et q la contrainteequivalente de Von Mises. Depuis la version 6.7.1 du code, les deux options d’ecrouissage sont disponibles ala fois dans la partie standard du code (ABAQUS/Standard) et dans sa partie explicite (ABAQUS/Explicit).

Pour definir l’ecrouissage du materiau, il est necessaire de renseigner le modele avec la reponse du materiauen compression uniaxiale, a savoir l’expression de la contrainte vraie (contrainte de Cauchy) en fonction dela deformation plastique vraie (deformation logarithmique).

3 Le sous-modele a ecrouissage isotrope

3.1 Critere d’admissibilite

La surface d’ecrouissage de cette option est donc une ellipse centree sur l’origine du plan meridional descontraintes (p-q). L’ecrouissage du materiau et l’evolution de la surface du convexe se font a facteur de formeα constant. Il est pilote par la valeur de la deformation plastique equivalente. La surface d’ecrouissage estdefinie par la fonction (25).

Le rapport k, defini par l’equation (26), est suffisant pour le parametrage de l’option a ecrouissage isotrope.

k =σ0

c

p0c

avec 0 6 k < 3 (26)

23

Dans l’equation precedente, σ0c et p0

c representent respectivement le seuil d’ecrouissage en compressionstatique uniaxiale et en compression hydrostatique. Le cas particulier ou k = 0 correspond a la plasticitede Mises. Afin de determiner ce rapport, des essais de compression statique uniaxiale et de compressionhydrostatique sont necessaires.

3.2 Loi d’ecoulement

Pour le modele “crushable foam” a ecrouissage isotrope, la loi d’ecoulement etant definie non-associee, lepotentiel d’ecoulement G est defini par l’equation (27) ou β est le facteur de forme de l’ellipse representativede ce potentiel dans le plan des contraintes (p-q) defini par l’equation (28) (le coefficient de Poisson plastiqueest note νp). Le choix de ces deux definitions est motive par des essais experimentaux menees par la societedetentrice du code Abaqus ( [38]).

G =√

q2 + β2p2 (27)

β =3√2

√1 − 2νp

1 + νp(28)

Le coefficient de Poisson plastique νp (qui pour rappel est le ratio entre la deformation plastique trans-verse et la deformation plastique longitudinal pour un etat de compression uniaxial) doit etre compris dansl’intervalle [−1, 0.5], la limite superieure (νp = 0.5) correspondant au cas de compression plastique isovolume(soit d’ecoulement plastique incompressible (β = 0)), les coefficients de Poisson negatifs correspondant auxmateriaux auxetiques. Pour la plupart des mousses etudiees habituellement, le coefficient de Poisson plas-tique est pratiquement nul ce qui correspond a un facteur de forme β ≈ 2.12.

L’ecoulement plastique est de type associe lorsque la valeur de α est egale a celle de β. De fait, par defaut,l’ecoulement plastique est non-associe de facon a ce que α soit independant de νp.

Lors d’un ecoulement associe, en utilisant les equations (26) et (28), l’equation (24) mene au developpementsuivant :

α = k

√1 +

α2

9

⇔ 92

1 − 2ν

1 + ν= k2

(1 +

12

1 − 2ν

1 + ν

)

⇔ 1 =k2

3(1 − 2ν)

Ainsi a partir du developpement precedent, si pour un materiau donne on dispose uniquement du coeffi-cient de Poisson plastique et que l’on desire un ecoulement plastique associe, le rapport k peut etre determinesimplement par l’equation (29).

k =√

3(1 − 2νp) (29)

24

D’une autre maniere, a partir de l’equation (29), si l’on dispose uniquement du facteur de forme de lasurface d’ecrouissage et que l’on desire un ecoulement plastique associe, le coefficient de Poisson plastiquepeut etre obtenu par l’equation (30).

νp =3 − k2

6(30)

3.3 Fonction d’ecrouissage

Par choix, le test de compression statique uniaxiale est le test permettant de definir l’evolution de lasurface d’ecrouissage du materiau. La loi d’ecrouissage est alors definie par la fonction reliant la valeur de lacontrainte en compression uniaxiale du materiau en fonction de la valeur absolue de la deformation plastiqueaxiale εpl

axial. Pour des valeurs εplaxial superieures a celles renseignees par l’utilisateur, la fonction contrainte-

deformation est extrapolee a partir des dernieres donnees tabulees. Si necessaire, cette fonction peut aussietre dependante d’autres parametres tels que la temperature (on peut definir jusqu’a 8 variables).

3.4 Prise en compte de la vitesse de deformation

Ce paragraphe expose les outils mis en place au sein d’Abaqus pour prendre en compte la vitesse dedeformation. Le comportement de la plupart des materiaux modelises par le modele “crushable foam” estdependant du parametre vitesse de deformation. Cela se traduit par une augmentation de la reponse encontrainte du materiau des que la gamme de vitesse de deformation [0.1 s−1, 1 s−1] est atteinte, cette aug-mentation pouvant devenir tres importante pour des vitesses de deformation de l’ordre de [100 s−1, 1000s−1], vitesses de deformation habituellement observees en dynamique rapide, notamment lors de crashs [10].

Deux sous-options sont disponibles afin de traduire cet etat de fait et donc de definir la dependance dumateriau au parametre vitesse de deformation :

– la sous-option “overstress power law”,– la sous-option “yield ratio”.

Pour ces deux sous-options, le facteur de forme du convexe d’ecrouissage est identique quelle que soit lavitesse de deformation utilisee.

Sous option “Overstress power law”

Cette sous-option permet de definir une loi type Cowper-Symonds [10] comme indiquee equation (31).

˙εpl = D (R − 1)n avec

{R > 1R ≡ σc

σc

(31)

σc correspond ici aux valeurs de contrainte en compression quasi-statique uniaxiale renseignees dans lacourbe d’ecrouissage ayant donc la plus petite valeur de vitesse de deformation ε tandis que σc correspondaux valeurs de contrainte en compression uniaxiale a vitesse de deformation ε non nulle. Le rapport R s’ob-tient donc en effectuant le rapport de ces deux valeurs pour une valeur de deformation plastique axiale εpl

axial

25

donnee.

˙εpl est le taux de deformation plastique equivalent, qui ici est egal au taux de deformation plastique encompression uniaxiale.

Sous option “Yield ratio”

Cette sous-option permet de definir directement la dependance a la vitesse de deformation en implementantle rapport r (r ≡ σc

σc) en fonction de la valeur absolue de la deformation plastique axiale εpl

axial.

4 Specificite du code de calcul Abaqus : le sous-modele a ecrouissage

volumetrique


Comme precedemment, la contrainte deviatorique du modele a ecrouissage volumetrique depend demaniere elliptique de la pression hydrostatique, l’evolution de ce convexe etant pilotee par la deformationplastique volumetrique. La surface d’ecrouissage evolue ici suivant la fonction (32), permettant un “excen-trage” du critere par rapport a l’origine du plan meridional des contraintes (p-q) et donc une difference decomportement du materiau entre les etats de contraintes en traction et en compression.

F =√

q2 + α2(p − p0)2 − B = 0 (32)

La pression hydrostatique p ainsi que la contrainte equivalente de Von Mises q ont ete definies par lesequations (17) et (18).

Le centre de l’ellipse a alors pour abcisse p0 defini par p0 =pc − pt

2ou pt est la contrainte en traction

hydrostatique et pc la contrainte en compression hydrostatique.

Dans le plan deviatorique des contraintes, la surface d’ecrouissage correspond au cercle de Von Misesalors que dans le plan meridional des contraintes, elle est representee par une ellipse (figure 8).

Deux rapports particuliers sont necessaires au parametrage de l’option a ecrouissage volumetrique :

– le rapport k, rapport d’ecrouissage des contraintes en compression,– le rapport kt, rapport d’ecrouissage des contraintes hydrostatiques, definis par l’equation (33).

k =σ0

c

p0c

et kt =pt

p0c

(33)

σ0c ainsi que p0

c ont les memes definitions que pour l’option a ecrouissage isotrope ; pt est le seuil decontrainte en traction hydrostatique. Il est necessaire que 0 < k < 3 et que kt > 0 (hypotheses definies parle modele).

4.2 Loi d’ecoulement

Pour ce sous-modele, l’ecoulement est non-associe (figure 9). L’ecoulement non associatif implique queles directions principales du materiau soient decouplees (un chargement dans une direction principale ne

26

p

1

α

surface d’ecrouissage

σ0c

3

p0c − pt

2po

c pc

surface seuil d’ecrouissage


1

3

q

σ0c

−pt

Fig. 8 – Evolution de la surface d’ecrouissage du modele “crushable foam” dans le plan des contraintes p-q.La surface d’ecrouissage en “pointille” represente l’evolution de la surface seuil d’ecrouissage au cours de laplastification du materiau.

provoquent aucune deformation dans les autres directions) et donc que le coefficient de Poisson plastique νp

soit nul. Ce comportement peut aisement se verifier sur un test de compression uniaxiale quasi-statique.

p

q

Surface d’ecoulement

Fig. 9 – Loi d’ecoulement du modele “crushable foam” a option d’ecrouissage volumetrique dans le plan descontraintes p-q

Le taux de deformation plastique est defini par l’equation (34).

εpl = ˙εpl ∂G

∂σ(34)

G est le potentiel d’ecoulement (equation (35)), le taux de deformation plastique equivalent est note ˙εpl

(equation (36)).

27

G =

√q2 +

92p2 (35)

˙εpl =σ : εpl

G(36)

En compression uniaxiale, la relation entre le taux de deformation plastique equivalent et le taux dedeformation plastique axial est definie par l’equation (37).

˙εpl =

√23

εplaxial (37)

4.3 Fonction d’ecrouissage

Pour le modele a ecrouissage volumetrique, la contrainte en traction hydrostatique pt reste inchangee lorsde tout ecrouissage plastique du materiau et egale au seuil initialement fixe. La contrainte en compressionhydrostatique pc est quant a elle etroitement liee a l’evolution de la densite du materiau et donc a la com-pression ou a la dilatation de celui-ci. L’evolution de la surface d’ecrouissage peut s’exprimer par la fonctionreliant la longueur de l’axe du convexe elliptique suivant l’axe des contraintes hydrostatiques, dimensionegale a pc + pt, a la valeur de la deformation plastique volumique −εpl

vol (equation (41)).

Ainsi, si l’on considere un champ de contrainte uniaxiale (equation (38)) avec par hypothese σc

(εplaxial

)>

0, la contrainte hydrostatique prend la valeur definie par l’equation (39) et la contrainte deviatorique celledefinie par l’equation (40).

σ =

σc

00000

(38)

p = −σc

3(39)

σ′ =

23σc

−σc

3−σc

3000

(40)

Lors de deformations plastiques, l’equation (25) amene au developpement suivant pour finalement aboutira l’equation (41) :

28

q2 + α2(p − p0)2 = B2

⇔ σ2c + α2(

σc

3+

pc − pt

2)2 = α2

(pc + pt

2

)2

⇔ σc

[σc

(1α2

+19

)− pt

3

]= −

(pc − pt

2

)2

+(

pc + pt

2

)2

+pcσc

3

pc

(εplvol

)=

σc

(εplaxial

)[σc

(εplaxial

)( 1α2

+19

)−

pt

3

]

pt −σc

(εplaxial

)

3

(41)

On prend ici comme hypothese que, pour la compression uniaxiale, εplaxial = εpl

vol. En consequence pourdefinir la loi d’ecrouissage du materiau, il faut alimenter le modele avec la courbe de compression uniaxi-ale donnant l’evolution de la contrainte de Cauchy en fonction de la deformation logarithmique plastiqueaxiale. Cette loi peut etre definie dependante de parametres (pour un nombre maximum de 8) lors del’implementation du modele.

4.4 Prise en compte de la vitesse de deformation

Tout comme le sous-modele a ecrouissage isotrope, le sous-modele a ecrouissage volumetrique permetde prendre en compte l’influence de la vitesse de deformation sur le comportement du materiau. Les deuxmemes sous-options sont disponibles, “overstress power law” et “yield ratio”, la definition de la premiereevoluant quelque peu de part la specificite du critere d’admissibilite de l’ecrouissage volumetrique.

Description des modifications de la sous-option “overstress power law” pour le sous-modele aecrouissage volumetrique

Comme dans le sous-modele a ecrouissage isotrope, une loi type Cowper-Symonds est definie commeindiquee par l’equation (42).

˙εpl = D (R − 1)n avec

{R > 1R ≡ B

B

(42)

Ici, B correspond a la taille de la surface d’ecrouissage quasi-statique tandis que B correspond a la taillede la surface d’ecrouissage pour une vitesse de deformation non nulle.Le rapport R s’obtient donc en effec-tuant le rapport de ces deux valeurs pour une valeur de deformation plastique axiale εpl

axial donnee.

Le taux de deformation plastique equivalent ˙εpl est toujours egal au taux de deformation plastique axialen compression uniaxiale.

29

5 Parametrisation du modele

5.1 Definition des parametres

Le modele “crushable foam”, et ce quelle que soit l’option d’ecrouissage choisie, necessite plusieursparametres d’entree afin de le definir completement. Ces donnees sont :

– la densite du materiau,– le module d’Young du materiau,– la courbe de compression uniaxiale en fonction de la deformation plastique logarithmique, sachant que

la premiere donnee correspond au seuil en compression uniaxiale σ0c , defini donc pour εpl = 0,

– le seuil en compression hydrostatique p0c,

– le seuil en traction hydrostatique pt pour le modele a ecrouissage volumetrique.

Une fois l’ensemble de ces valeurs integre au module “crushable foam”, des simulations numeriques peu-vent etre realisees. Mais il est absolument necessaire d’implementer ces valeurs pour determiner le convexed’admissibilite initial et son evolution lors de la plastification. Cette evolution est geree par le logiciel autravers du calcul permanent pour chaque increment de la valeur de la deformation plastique volumiquedonnee par εpl

vol = − trace(εpl).

Une campagne experimentale de compression uniaxiale a differentes vitesses de deformation peut aussietre entreprise afin d’utiliser les options de dependance a la vitesse de deformation.

5.2 Schema d’obtention : mise en place d’une campagne experimentale

L’organigramme 10 explicite la demarche experimentale retenue par la suite afin de determiner l’ensembledes parametres du modele et afin de pouvoir effectuer les simulations numeriques.

Essai de


Essai decompression hydrostatique

Courbe contrainte-deformationSeuil de compression hydrostatique p0

c

Essai de

statiquetraction uniaxiale

Courbe contrainte-deformation

Seuil de compression σ0c

a differentes vitesses de deformation ε


Statique

(Machine Zwick)

(Roue inertielle,

SHPB)

Dynamique

ModeleCrushable Foam


Fig. 10 – Organigramme de la campagne experimentale pour la determination des parametres du modele“crushable foam”

En fin de chapitre, une discussion sera menee sur la pertinence de la demarche proposee dans cetteorganigramme, notamment dans l’utilisation des courbes de traction uniaxiale.

30

6 Essais experimentaux sur le materiau liege

6.1 Grandeurs experimentales

Les courbes contrainte-deformation presentees par la suite sont exprimees en termes de contrainte nom-inale (equation (44)) et deformation nominale (equation (43)).

εnominale =h − h0

h0(43)

σnominale =F

S0(44)

Il est a noter cependant que ces donnees devront etre exprimees pour la modelisation numerique en termesde contrainte vraie de Cauchy et de deformation logarithmique comme exprimees par les equations (45), (46)et (47) (la deformation logarithmique plastique sera utilisee lors de la definition des courbes d’ecrouissage).

σvraie = σnominale(1 + εnominale) (45)

εln = ln(1 + εnominale) (46)

εplln = ln(1 + εnominale) −

σvraie

E(47)

De plus, l’ensemble des grandeurs mecaniques presentees par la suite seront exprimees en valeur absolue,convention habituellement admise.

6.2 Description de la campagne sur le liege

Ont ete realises sur ce materiau des essais de compression uniaxiale (les essais quasi-statiques etant unparametre de base necessaire au modele tandis que les essais dynamiques permettent d’alimenter les optionsde dependance vis-a-vis de la vitesse de deformation), des essais de compression hydrostatique et des essaisde traction uniaxiale. Cette campagne a ete mise en place dans le but de mettre en evidence le comportementde ce materiau, notamment la surface seuil plastique ainsi que son ecrouissage dans le plan meridional descontraintes (p,q).

6.3 Les essais de compression uniaxiale

Isotropie du materiau

Le brut de liege agglomere se presente sous la forme d’un cylindre de diametre φ = 500 mm et d’unehauteur h0 = 15 mm. Il est obtenu par moulage a chaud d’un agglomerat de granules de liege et d’un liantorganique. Ce procede de fabrication peut laisser supposer l’existence d’une direction priviligiee impliquantune anisotropie du materiau. L’isotropie de ce materiau a ete controlee sur des eprouvettes cubiques dedimensions 15 mm × 15 mm × 15 mm. Un essai a ete conduit pour chaque direction geometrique de cesechantillons sur la machine de traction-compression Zwick. Les courbes de contrainte-deformation obtenuesetant quasi-similaires (cf. figure 11), l’isotropie du materiau a ete supposee acquise pour le reste de l’etude.

31

Deformation

Con

trai

nte

Fig. 11 – Courbe de contrainte-deformation obtenues dans les 3 directions materiau (le cyclage n’est pasrepresente pour une meilleure lisibilite)

Volume elementaire representatif et forme de l’echantillon

Afin de verifier le respect de l’hypothese de volume elementaire representatif pour l’ensemble des essaisde caracterisation, deux essais de compression quasi-statique ont ete menes pour deux hauteurs de compres-sion differentes, 15 mm et 20 mm (seules hauteurs pouvant etre obtenues compte tenu de la taille du bruta disposition). Les resultats en terme de contrainte-deformation obtenus avec une hauteur de 15 mm sontsimilaires a ceux obtenus pour une hauteur de 20 mm. De plus, l’influence de la forme de l’echantillon a eteetudiee. Ainsi, sur la figure 15, sont representees les courbes contrainte-deformation obtenues avec plusieursformes d’echantillon differentes (cubiques et cylindriques) : les resultats sont quasi identiques.

La suite de l’etude se fera donc avec des echantillons cylindriques de diametre φ = 25 mm et de hauteurh0 = 15 mm, la forme de la base de l’echantillon n’influant aucunement sur les resultats et l’effet tonneauetant pallie, le cas echeant, en lubrifiant la surface de contact pour obtenir un coefficient de frottementquasi-nul a l’interface echantillon/systeme d’essai.

L’ensemble des essais preliminaires decrits ci-dessus a permis de conclure quant a la repetabilite du moyend’essai (notamment la gamme d’utilisation et le bon echantillonage des capteurs, que ce soit des capteursde force ou de deplacement) et des resultats presentes. Ce point ne sera pas mentionne par la suite maisil a ete verifie pour les deux autres moyens d’essai utilises, a savoir la roue inertielle et les barres de Hopkinson.

Parametres

Les essais ont tous ete effectues avec plusieurs parametres communs, constants et imposes, l’etude de cemateriau se faisant dans un contexte industriel (cf. “Restriction d’etude”, paragraphe II.2). Par exemple, latemperature de l’echantillon imposee pour l’ensemble des essais de la these a 20◦C, a ete verifiee.

Les essais de compression uniaxiale ont ete realises pour trois gammes de vitesse de deformation :

– la gamme quasi-statique avec une vitesse de deformation de ε = 10−2 s−1,– la gamme de vitesse intermedaire avec une vitesse moyenne de ε = 200 s−1,– la gamme de dynamique rapide avec une vitesse de deformation allant de 1000 s−1 a 1200 s−1.

32

6.3.1 Les essais quasi-statiques

Cette campagne a ete realisee sur la machine de traction-compression universelle avec les echantillonscylindriques evoques plus haut. La hauteur des echantillons etant de 15 mm, la compression de l’echantillons’est faite a vitesse de deplacement constante de la traverse (Vtraverse = 9 mm/min) permettant ainsi d’avoirune vitesse de deformation initiale quasi-statique de ε = 10−2 s−1.

Trois types d’essais sont a distinguer :

– les essais a vitesse de chargement Vcharg avec deux boucles de cyclage de relaxation a ε10 = 10% etε30 = 30% (une fois la valeur de ε10 (ou ε30) atteinte, retour de la traverse jusqu’a Fmini pre-determineepuis reprise du chargement avec Vcharg), chargement jusqu’a εmax impose a environ 55 − 60% de h0 aVcharg puis retour de la traverse et mesure de la hauteur residuelle de l’echantillon ;

– les essais a vitesse de chargement Vcharg jusqu’a un taux de deformation εmax impose a 75% de h0 avecretour de relaxation et mesure de la hauteur residuelle de l’echantillon ;

– les essais a vitesse de chargement Vcharg jusqu’a un taux de deformation εmax impose a 75% de h0

avec retour de relaxation suivi d’un nouveau cycle de compression jusqu’au meme εmax toujours avitesse de chargement Vcharg suivi d’un retour de la traverse et de la mesure de la hauteur residuellede l’echantillon.

La vitesse de retour de la traverse est pilotee automatiquement, sa valeur minimum etant imposee a−Vcharg afin d’eviter le decollement aux interfaces echantillon/plateaux. La machine regule la vitesse dedeplacement de la traverse afin de respecter la condition d’effort Fmini.

Un exemple de cycle de charge est represente sur la figure 12 pour les essais avec deux boucles de cyclagea 10% et 30% (ces courbes ne sont pas representables pour les autres types d’essais compte tenu de l’echellede temps tres longue).

33

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Dep

lace

men

t(m

m)

0 20 40 60 80 100 120Temps (s)

Fig. 12 – Exemple de cycle de charge-decharge pour les essais avec deux boucles de cyclage a 10% et 30%

L’interet de ces essais est de mettre en evidence le comportement du materiau lors de cyclage (evolutiondu module d’elasticite) ainsi que lors de decharge (avec cycle de relaxation tres long).

6.3.2 Les essais sur roue inertielle

Compte tenu des dimensions de l’echantillon et du dispositif d’essai, la vitesse de rotation de la roue aete fixee a 40 rpm. Des essais de compression simple a vitesse de deformation quasi-constante de ε = 150s−1 a ε = 200 s−1 ont ete realises. Le capteur d’effort avait une resolution de 1000 N/V tandis que ledeplacement du piston etait mesure par deux lasers differents, un fournissant un signal de 1 V pour 10 mmde deplacement, le second fournissant un signal de 9, 68 V pour 20 mm de deplacement. Le doublement decette mesure a permis, par comparaison, de conforter les resultats.

6.3.3 Les essais sur barres de Hopkinson

Pour rappel, compte tenu des proprietes mecaniques du liege, les barres incidente et de transmissionutilisees etaient en nylon. Trois essais pour trois pressions de chambre differentes (5, 10 et 15 bars) ont eterealises permettant ainsi d’atteindre une deformation maximale de 60%.

6.3.4 Resultats

Les essais quasi-statiques

Sont presentes sur la figure 13 les resultats des essais avec retour de relaxation (d’une duree de 30 min)avec une nouvelle charge jusqu’a la meme valeur de deformation puis retour de la traverse. Plusieurs con-clusions peuvent etre tirees de cette courbe :

– la zone elastique de ce materiau est faible avec un seuil en compression uniaxiale σ0c peu marque,

– on note le comportement de type mousse elastomerique evoque dans le chapitre d’etude bibliographiqueavec un long plateau ayant une pente positive,

– la zone de densification apparait a partir de 50% − 60% de compaction du materiau avec un moduletangent de compaction superieur au module d’Young du materiau,

– le retour de relaxation du materiau reste identique malgre le cyclage (il n’y a pas de variation de lacourbe de retour de relaxation, que ce soit au niveau du module tangent ou des niveaux de contraintes

34

atteints).

Con

trai

nte

(MPa)

Deformation totale

00

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

2

4

6

10

8

12

1er cycle2eme cycle

Fig. 13 – Courbe de contrainte-deformation pour un essai de compression statique uniaxiale avec cycle derelaxation

La figure 14 representant les essais de cyclage a 10% et 30% montre une baisse du module elastique dumateriau a chaque cycle. Cela traduit un endomagement de ce materiau. Enfin la figure 15 (superposition del’ensemble des differents types d’essais realises) montre le peu de dispersion obtenue sur la courbe de chargecontrainte-deformation (dispersion de l’ordre de 1% a 2%) et la repetabilite de cette campagne d’essai quasi-statique.

Deux caracteristiques quasi-statiques de ce materiau ont pu etre quantifiees (tableau 1). Cependant,compte tenu des courbes obtenues (notamment un seuil de compression uniaxiale peu marque), ces resultatssont a prendre avec precautions. En effet, les resultats presentes ci-dessous ont ete obtenus par une techniquegraphique mise en evidence par la figure 16 (methode des tangentes). Cette technique est delicate a mettre enplace, les resultats obtenus sont donc un compromis afin de pouvoir les utiliser lors des travaux de simulationnumerique. Par exemple, sur la figure 16, le module d’Young a ete determine pour une valeur de deformationtotale n’excedant pas εyoung = 0, 05 : la tangente a ete recherchee pour la portion de courbe comprise entreε = 0 et εyoung, cette derniere valeur etant choisie de maniere arbitraire.

Module d’Young (MPa) 6,56Contrainte seuil (MPa) 0,45

Tab. 1 – Resultats en compression quasi-statique uniaxiale

35

00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Con

trai

nte

(MPa)

0

Deformation totale

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Fig. 14 – Courbe de contrainte-deformation pour un essai de compression statique uniaxiale avec cycles

Con

trai

nte

(MPa)

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Deformation totale

0.5 0.6 0.7 0.8

2

4

6

8

10

12

Fig. 15 – Comparaison entre les differents essais quasi-statiques

36

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Con

trai

nte

(MPa)

Seuil en contrainte statique uniaxiale : 0.45MPa

0.02 0.04 0.06 0.08 1 1.2 1.4

0

0

Deformation totale

Mod

uled’Y

oung

: 6.56

MPa

Fig. 16 – Determination du seuil en compression statique uniaxiale et du module d’Young

Influence de la vitesse de deformation : les essais sur roue inertielle et barres de Hopkinson

Les resultats obtenus sur la roue inertielle sont representes sur la figure 17 tandis que les resultats obtenussur les barres de Hopkinson sont representes sur la figure 18. Ces deux graphes font clairement apparaitrela forte dependance de ce materiau vis-a-vis de la vitesse de deformation ε comme generalement observe surles materiaux cellulaires :

– le module d’Young augmente de facon significative avec l’augmentation de la vitesse de deformation,– les niveaux de contraintes atteints a deformation egale sont plus eleves.

Ces courbes font aussi apparaıtre clairement une transition plus marquee entre la phase elastique etla phase plastique du materiau : la determination des grandeurs experimentales est plus aisee que sur lesresultats statiques.

La dispersion sur les resultats pour les courbes en dynamique rapide sur barres de Hopkinson est tresfaible, de l’ordre de 1 a 2%, alors que celle des resultats obtenus sur la roue inertielle est beaucoup plusimportante pour des valeurs de deformation superieures a 40%. Sur ces dernieres courbes, la dispersion estinferieure a 5% pour des valeurs de deformation inferieures a 40%. Les principaux resultats sont resumesdans le tableau 2.

Module d’Young des essais sur roue inertielle (200 s−1) 11.6 MPaContrainte seuil des essais sur roue inertielle 0.7 MPa

Module d’Young des essais sur barres de Hopkinson (1000− 1200 s−1) 14.8 MPaContrainte seuil des essais sur barres de Hopkinson 1.2 MPa

Tab. 2 – Resultats en compression dynamique uniaxiale

37

6

8

12

4

2

10

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Con

trai

nte

(MPa)

Deformation totale

Courbe statique

Fig. 17 – Courbes de contrainte-deformation des essais de compression sur roue inertielle

0

1

2

3

4

5

6

7

Con

trai

nte

(MPa)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Deformation totale

Courbe statique

Fig. 18 – Courbes de contrainte-deformation des essais de compression sur barres de Hopkinson

38

Determination des coefficients de Poisson elastique et plastique par correlation d’images

A partir d’un essai de compression quasi-statique sur un echantillon parallelepipedique de dimensions20 mm × 20 mm × 15 mm, les coefficients de Poisson elastique et plastique ont ete determines par post-traitement des epreuves numeriques realisees. Par cette technique, la dimension Dl de l’echantillon a etedeterminee par rapport a sa valeur initiale Dl0 tout au long de l’essai, comme represente figure 19.

Cette analyse s’est faite pour des temps d’essais consequents, correspondant a des deformations dans lahauteur de l’echantillon de plus de 45%, que l’on considere donc comme des deformations plastiques. Une

valeur moyenne εl de l’ordre de 1.10−3 a ete determinee avec εl =Dl

Dl0

. On peut donc conclure a une valeur

nulle des coefficients de Poisson elastique et plastique (νelastique = νplastique = 0).

Dl

(a) (b)

Fig. 19 – (a) : image de reference de l’echantillon non-deforme ; (b) : exemple d’image utilisee pour lacorrelation (ici image correspondant a 27% de deformation de l’echantillon dans sa hauteur)

Comparaison des resultats

Les deux courbes 20 et 21 representent respectivement l’evolution du module d’Young et du seuild’elasticite en fonction de la vitesse de deformation. Ces graphes montrent bien l’accroissement des car-acteristiques mecaniques du liege agglomere avec l’augmentation du parametre vitesse de deformation.

39

0 200 400 600 800 1000 1200

Vitesse de deformation ε (s−1)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Mod

ule

d’Y

oung

(MP

a)

Fig. 20 – Evolution du module d’Young en fonc-tion de la vitesse de deformation

0 200 400 600 800 1000 1200

Vitesse de deformation ε (s−1)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Seu

il(M

Pa)

Fig. 21 – Evolution du seuil d’elasticite en fonc-tion de la vitesse de deformation

6.4 Les essais de traction uniaxiale

Parametrage, methodologie

Ces essais ont ete menes sur la machine Zwick (un total de 5 essais) grace a l’utilisation de mors specifiquesauto-serrants. Les caracteristiques geometriques des eprouvettes utilisees pour ces essais sont representeessur la figure 22. Leur epaisseur est de 15 mm.

La deformation est supposee constante dans toute la zone utile de l’eprouvette. Le systeme de mesureutilise est le capteur de force de 10 kN de la machine ainsi qu’un extensometre laser pour mesurer l’allonge-ment de l’eprouvette de facon locale (entre deux points de la zone utile) et non de maniere globale en prenanten compte le deplacement de la traverse. Les essais ont ete realises a vitesse de deformation constante de10 mm/min, vitesse voulue specifiquement basse afin d’assurer une vitesse de deformation quasi-statique(inferieure a ε = 10−1 s−1) compte tenu de la taille des eprouvettes. Ces essais ont ete filmes pour uneutilisation par la suite du logiciel de correlation d’images.

Fig. 22 – Plan detaille et vue generale des eprouvettes de traction

Resultats

Un total de cinq essais a ete mene (deux eprouvettes sur cinq se sont rompues en dehors de la zoneutile, durant la phase de plastification du materiau). La repetabilite des essais a ete verifiee (une dispersioninferieure a 1% a ete observee sur les courbes contrainte/deformation) et les courbes resultats de ces essaissont presentees sur la figure 23 (pour une meilleure lisibilitee, on ne presente ici que trois resultats sur cinq).

40

Il apparait clairement que le materiau etudie est plus “rigide” en traction qu’en compression. En effet lemodule d’Young en traction, estime ici a Etraction = 30 MPa, est par quatre a cinq fois superieur au moduled’Young determine en compression. Les niveaux de contrainte atteints en traction sont plus eleves qu’encompression, rapportes a la meme deformation totale mesuree. On peut de plus noter le caractere fragile dece materiau en traction, avec une rupture franche de l’eprouvette une fois la valeur maximale de contrainteen traction atteinte.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Con

trai

nte

(MPa)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Deformation ε

Fig. 23 – Courbes de contrainte-deformation des essais de traction quasi-statique

6.5 Les essais de compression hydrostatique

Presentation et methode de depouillement

Cette campagne d’essais a ete realisee sur la machine Zwick avec la cellule de compression hydrostatiquepresentee precedemment (cf. “La cellule de compression hydrostatique”, paragraphe III.4). Les echantillonscylindriques, de diametre φ = 25 mm et de hauteur h0 = 15 mm, ont ete au prealable impermeabilises avecdu silicone. La mesure de contrainte hydrostatique ainsi que celle de la variation de volume de l’echantillonse fait au travers du capteur de pression de la cellule et du capteur de deplacement de la traverse de lamachine par la methode de depouillement suivante.

Soit Vethanol le volume de l’ethanol, Vechantillon le volume de l’echantillon etudie, Vcellule le volume de lacellule, l la position a l’instant t du piston et Spiston la surface du piston. Soit l’equation suivante :

Vethanol + Vechantillon = Vcellule − l0.Spiston

41

avec l0 la position initiale du piston (longueur de tige du piston initialement a l’interieur de la cellule).

Cela amene l’equation suivante :

∆Vethanol + ∆Vechantillon = ∆Vcellule − ∆l.Spiston

Si on suppose pour l’etalonnage de la cellule un echantillon en aluminium considere comme indeformable,alors ∆Vechantillon = 0. Ainsi :

∆(Vcellule − Vethanol) = ∆l.Spiston = f0(P )

La deformation globale du systeme {cellule + ethanol} est ainsi reliee a la mesure du capteur de pression.Si l’echantillon est un echantillon de liege, alors :

∆Vechantillon = ∆(Vcellule − Vethanol) − ∆l.Spiston

et donc :

∆l.Spiston = ∆(Vcellule − Vethanol) − ∆Vechantillon = f0(P ) − ∆Vechantillon = f1(P )

La contrainte hydrostatique exercee sur l’echantillon est ainsi reliee a la difference de volume de l’echantillonpar rapport a son volume initial.

Resultats

Le bilan des premiers essais fut mitige car la cellule etait sous-dimensionnee pour ce materiau (problemede fuites d’ethanol au niveau des joints dues a une surpression interne). Apres modification de la cellule, uneserie de trois essais a pu etre realisee, reproductible. Le bilan de ces essais est represente sur la figure 24.

Les courbes ci-dessous expriment la contrainte hydrostatique p en fonction de la variation relative de

volume θ (θ =∆Vechantillon

V0). La dispersion sur ces resultats reste inferieure a 2%. On obtient un seuil en

compression hydrostatique p0c = 0, 15 MPa par la meme methode de determination du seuil lors des essais

de compression uniaxiale.

De ces courbes est determinee la valeur du coefficient de compressibilite K donnee par la formule (48) ;ainsi K = 9, 25 MPa.

p = −K.θ (48)

42

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3C

ontr

aint

e(M

Pa)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Deformation volumique ∆VV0

Fig. 24 – Courbe de contrainte-deformation des essais de compression hydrostatique

6.6 Les impossibilites experimentales

Le modele “Crushable foam” a ecrouissage volumetrique necessite de nombreux parametres dont le seuilen traction hydrostatique. Compte tenu de la nature du materiau etudie (agglomerat de particules de liegeet de liant organique), des dimensions des echantillons bruts a notre disposition et des moyens d’essais duLAMEFIP, une campagne d’essais afin de l’obtenir n’a pu etre realisee. Sa determination “directe” necessiteen effet une machine de traction triaxiale.

Deux methodes seront mises en place pour tenter de determiner ce parametre dans la partie “modelisation”de ce chapitre :

– une methode inverse basee sur la campagne d’essais bresiliens,– une methode basee sur les essais en compression statique uniaxiale et compression hydrostatique.

On conclura alors cette analyse sur la possibilite ou non d’acceder a ce parametre et les consequences surles simulations numeriques effectuees.

6.7 L’essai bresilien

Principe

L’essai bresilien est un essai frequemment utilise dans l’etude des materiaux fragiles pour en determinerles caracteristiques mecaniques en traction a partir d’un essai de compression, simple de mise en oeuvre. Eneffet le principe de l’essai bresilien est de realiser un essai de compression statique d’un echantillon cylin-drique suivant un plan passant par l’axe de symetrie de l’echantillon et par une de ses generatrices [37] [36]

43

[19] [35] (figure 25).

Poincon fixe (liaison encastrement)

Echantillon

Poincon mobile

(liaison glissiere)

Chargement uniforme

Fig. 25 – Schema de principe d’un essai bresilien

Dans cette configuration d’essai (la zone de contact entre les poincons et l’echantillon doit etre la plusfaible possible), on obtient un champ de contrainte en traction sur l’axe vertical suivant l’axe horizontal, lacompression se faisant en principe jusqu’a rupture en traction des materiaux utilises. Le depouillement desresultats au niveau de l’axe de symetrie de l’echantillon permet d’acceder aux courbes usuelles de contrainte-deformation du materiau en traction simple.

Essais

Le but de cette campagne d’essais bresilien est d’obtenir un essai permettant de mettre en jeu un champde sollicitations complexes dans l’echantillon et ainsi le comparer a la simulation numerique de cet essai sousABAQUS pour validation ou non de la modelisation du materiau liege par le modele “crushable foam” : cesessais sont donc des essais de structure.

Lors de ces essais, les surfaces planes du bati et de la traverse de la machine de traction/compression ontete substituees aux poincons decrits sur la figure 25. Le but n’etant pas d’obtenir des courbes de contrainte-deformation en traction, cette substitution n’a pas d’incidence sur le resultat recherche pour cette etude.

Pour ce faire, l’ensemble de cette campagne a ete filmee par les moyens numeriques evoques plus hautafin de pouvoir post-traiter les essais pour l’etude numerique.

Lors de cette campagne, 7 echantillons cylindriques ont ete testes, echantillons de diametre φ = 25mmet de hauteur h0 = 15mm. Les surfaces d’appui utilisees etaient les plateaux originels de la machine Zwick(surfaces planes).

44

Deux capteurs d’efforts ont ete utilises :

– le capteur standard de la machine d’une capacite de 10 kN,– un capteur additionnel dont la plage de mesure s’etend de −1000 N a +1000 N afin d’evoir des mesures

plus precises en debut d’essai.

L’ensemble des essais realises, repertories dans le tableau 3, ont les caracteristiques communes suivantes :

– Caracteristiques de l’essai :

– la pre-contrainte appliquee a chaque echantillon est de 2 N,– le chargement s’effectue jusqu’a un ecrasement de l’echantillon de 10 mm,– la decharge est realisee tant que l’effort mesure est superieur a 50 N.

– Caracteristiques de la camera :

– vitesse de capture : 50 fps,– diaphragme : 11,– vitesse d’obturation : 1/4000 s,– taille de l’image en sortie : 512 pixels × 512 pixels.

Charge Decharge

N◦ d’essai N◦ ech. V = 9 mm/min V = 90 mm/min V = 9 mm/min V = 90 mm/min

1 3 × ×2 1 × ×3 8 × ×4 2 × ×5 5 × ×6 6 × ×7 7 × ×

Tab. 3 – Caracteristiques des essais bresiliens. Une vitesse de la traverse de V = 9 mm/min (resp. V =90 mm/min) correspond a une vitesse de deformation de ε = 5, 85.10−3 s−1 (resp. ε = 5, 85.10−2 s−1).L’abreviation “ech.” du tableau signifie echantillon.

Resultats

L’essai numero 1 avec l’echantillon 3 a servi d’essai de calibration de l’instrumentation (plage de fonc-tionnement des capteur, mise en place de l’instrumentation, etc . . .) mais il est presente ici avec les courbesresultats. Le graphe 26 represente les courbes d’effort mesurees en fonction du deplacement de la traverse.

Ce graphe permet de tirer les conclusions intermediaires suivantes :

– les essais menes sont reproductibles, ce qui, considerant l’ensemble des parametres influants, restait lepremier point a verifier. En effet, les essais ayant les memes caracteristiques donnent la meme reponseen effort mesure par les capteurs en fonction du deplacement de la traverse ;

45

– on peut clairement identifier l’influence de la vitesse de deformation sur le comportement de l’echantillonpar une augmentation de la reponse en effort et du module tangent initial ;

– en revanche, la vitesse de retour n’influe pas sur le module de decharge.

Les epreuves numeriques de cette campagne seront utilises lors des simulations numeriques effectueessous Abaqus, les donnees etudiees seront explicitees dans la partie numerique de ce chapitre.

Deplacement de la traverse (mm)

Echantillon 1Echantillon 2Echantillon 5Echantillon 6Echantillon 7Echantillon 8

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10

Effor

tm

esure

(N)

Fig. 26 – Courbe de reponse des essais bresiliens

6.8 Les essais sur tour de chute

Ces essais sont utilises par la suite comme essais sur structures afin d’evaluer les performances des modeleslors des simulations numeriques. Une plaque de liege a donc ete impactee sur tour de chute. L’impacteurutilise est une sphere de diametre d = 40 mm, le capteur d’effort a une resolution de 1000 N/V et le capteurde deplacement a une resolution de 5 mm/V. La frequence d’echantillonnage pour les deux capteurs est de100 kHz, valeur suffisante compte tenu du temps d’essai. Trois essais ont ete realises, leurs caracteristiquessont resumees tableau 4.

Denomination de l’essai Masse impactante (g) Hauteur de chute (mm) Vitesse d’impact (ms−1)h33-m0 2305 330 2.55h33-m1 4024 330 2.55h66-m0 2305 660 3.60

Tab. 4 – Caracteristiques des essais sur tour de chute

46

Les courbes resultats d’effort mesure en fonction de l’ecrasement de l’echantillon (obtenus par traitementdu signal de deplacement de l’impacteur) sont representees sur la figure 27. Pour une meilleure lecture, lesdonnees sont presentees en valeur absolue.

h33-m1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Effor

tm

esure

(N)

0 2 4 6 108 12

Deplacement (mm)

h33-m0

h66-m0

Fig. 27 – Resultats des essais sur tour de chute

A partir des valeurs de vitesses d’impact, on peut estimer que theoriquement les vitesses de deformationinitiales ε0 localisees sous l’impacteur (on considere ici la vitesse de deformation du point de contact ini-tial entre l’impacteur hemispherique et l’echantillon, situe donc sur l’axe de symetrie de l’impacteur) sontε0 = 170 s−1 pour une hauteur de chute de 330 mm et ε0 = 240 s−1 pour une hauteur de chute de 660mm. La figure 27 montre que, pour les essais realises, les vitesses d’impact n’ont eu qu’une faible influencesur les courbes d’effort/ecrasement obtenues, resultat coherent compte tenu de leur plage de variation re-streinte. Cependant les resultats presentes sont a prendre avec beaucoup de precaution pour des ecrasementssuperieurs a 5 mm, soit plus de 33% d’ecrasement. En effet, compte tenu de la variabilite observee sur lesresultats, il semble que la pertinence des courbes proposees ne soit plus acquise. De fait, lors de la comparaisonavec les simulations numeriques, plus loin dans ce chapitre, on se limitera a des ecrasements inferieurs a 5 mm.

6.9 Conclusions sur la campagne d’essais sur le liege

Cette campagne d’essais a permis d’etudier largement le materiau liege agglomere, campagne necessairecompte tenu du faible nombre de resultats issus de la litterature.

L’ensemble des essais de caracterisation a permis de mettre en evidence le caractere visqueux de cemateriau (viscoelastique et viscoplastique) de part sa forte dependance au parametre vitesse de deformation(en particulier l’augmentation de la valeur du module d’Young et de la reponse du materiau en terme decontrainte avec l’augmentation de ε). En effet, l’utilisation de plusieurs moyens experimentaux (machine detraction-compression universelle, roue inertielle et barres de Hopkinson) permettant de realiser un meme

47

type d’essai pour une large gamme de vitesse de deformation est a la base de ces constatations. De plus, denombreux parametres necessaires au modele ont pu etre determines (σ0

c , p0c , courbe contrainte-deformation

en compression uniaxiale). Pour un certain nombre d’entre eux (module d’Young et contrainte seuil), latechnique d’identification par la methode des tangentes s’est revelee delicate a mettre en oeuvre, la limitede la zone d’elasticite et de la zone de plasticite du materiau etant peu marquee. Le tableau 5 reprend lesprincipales caracteristiques mecaniques du liege mis en evidence.

Module d’Young des essais sur machine de traction/compression (10−2 s−1) 6,56 MPaContrainte seuil des essais sur machine de traction/compression 0,45 MPa

Module d’Young des essais sur roue inertielle (200 s−1) 11.6 MPaContrainte seuil des essais sur roue inertielle 0.7 MPa

Module d’Young des essais sur barres de Hopkinson (1000− 1200 s−1) 14.8 MPaContrainte seuil des essais sur barres de Hopkinson 1.2 MPa

Tab. 5 – Principales caracteristiques du liege mise en evidence au cours de la campagne experimentale

Une campagne d’essais de traction hydrostatique n’a pu etre menee alors que le seuil en traction hydro-statique pt est necessaire pour le modele crushable foam a ecrouissage volumetrique.

Enfin, les essais sur structures (essais bresiliens et essais d’impact sur tour de chute) servent de baseexperimentale aux simulations permettant de conclure par la suite sur les performances du modele numerique“crushable foam”.

7 Modelisation

Une grande partie des simulations numeriques a ete realisee avec le code de calcul ABAQUS version6.6.1. La version 6.7.1 n’a ete disponible qu’a la fin de la redaction de ce chapitre. Cette derniere versionpermet l’utilisation de l’option d’ecrouissage isotrope du modele “crushable foam” dans le module standardd’ABAQUS, ce que ne permettait pas la version 6.6.1. Le module ABAQUS/CAE a ete utilise pour larealisation des geometries et des maillages correspondants.

7.1 Comportement du modele crushable foam

Avant integration au code de calcul, l’ensemble des modeles numeriques dont le modele “crushable foam”est verifie par de nombreux tests numeriques (Benchmarks) qui sont disponibles dans la documentation enligne du code. De plus, de nombreux essais de verification sont menes pour etudier la reponse des modeles.Le modele “crushable foam” a ecrouissage volumetrique a notamment subi les tests de maille elementaireavec les parametres materiaux definis dans le tableau 6 ainsi que la courbe d’ecrouissage du graphe 28.

Module d’Young (MPa) 3

Coefficient de Poisson elastique 0,2

Rapport d’ecrouissage des contraintes en compression k 1,1

Rapport d’ecrouissage des contraintes hydrostatiques kt 0,1

Tab. 6 – Parametres materiau du modele “crushable foam” pour tests benchmarks (materiau fictif)

48

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Deformation plastique logarithmique0

0,3

0,1

0,2

Con

trai

nte

equiv

alen

te(M

Pa)

0,4

0,5

0,6

0,7

Fig. 28 – Courbe d’ecrouissage du modele “crushable foam” pour tests benchmarks (materiau fictif)

Afin de mieux apprehender le comportement reel du modele (en comparaison avec sa definition theorique)et de se familiariser avec celui-ci, quatre tests sur maille elementaire dans le module standard du code ontete reconduits. La modele numerique est compose d’une maille elementaire C3D8 (elements briques lineairesa 8 noeuds avec 3 degres de liberte par noeud, a integration complete (8 points d’integration)) du code dontune representation est proposee sur les figures 29 et 30.

Les conditions aux limites de ces essais sont les suivantes (le repere ( ~X, ~Y , ~Z) a pour origine O, nonrepresente ici pour une meilleure lisibilite) :

– une condition de symetrie suivant la direction (O, ~X), donc par rapport au plan (O, ~Y , ~Z) est imposeesur le plan 6,

– une condition de symetrie suivant la direction (O, ~Y ), donc par rapport au plan (O, ~X, ~Z) est imposeesur le plan 3,

– une condition de symetrie suivant la direction (O, ~Z), donc par rapport au plan (O, ~X, ~Y ) est imposeesur le plan 1.

Les quatre simulatons realisees sont les suivants :

– un essai de compression statique uniaxiale : une condition de deplacement negatif suivant l’axe (O, ~X)est imposee sur le plan 2 ;

– un essai de traction statique uniaxiale : une condition de deplacement positif suivant l’axe (O, ~X) estimposee sur le plan 2 ;

– un essai de compression hydrostatique : trois conditions simultanees de deplacement negatif sont im-posees suivant les axes (O, ~X), (O, ~Y ) et (O, ~Z) respectivement sur les plans 2, 3 et 1 ;

– un essai de traction hydrostatique : trois conditions simultanees de deplacement positif sont imposeessuivant les axes (O, ~X), (O, ~Y ) et (O, ~Z) respectivement sur les plans 2, 3 et 1.

49

Plan 2

Plan 4 Plan 5

Plan 6

Plan 3

Plan 1

~Y

~Z

~X

Fig. 29 – Representation du maillage pour les essais sur maille elementaire

Nœud 5

Nœud 6

Nœud 2 Nœud 4

Nœud 8

Nœud 3

Nœud 1 (arriere plan)

Nœud 7

~Y

~Z

~X

Fig. 30 – Repartition des noeuds pour les essais sur maille elementaire

Les resultats de ces quatre essais, representes par les figures 31 et 32, permettent de tirer les conclusionssuivantes :

– la reponse en compression uniaxiale concorde parfaitement avec la courbe initialement implementeedans le modele ;

– l’ecrouissage en compression hydrostatique repond bien a l’equation (41) evoquee dans la partie serapportant a la description complete du modele “crushable foam” ;

– l’evolution theorique de la surface d’ecrouissage en traction uniaxiale, en traction hydrostatique ainsiqu’en cisaillement pur n’est pas respectee, l’ecrouissage etant plastique parfait pour l’ensemble desetats de contrainte se situant dans la partie p < 0 du plan meridional des contraintes, ce qui est encontradiction avec les equations regissant le modele.

50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Deformation logarithmique

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Compression uniaxiale

Traction uniaxiale

Con

trai

nte

(MPa)

Fig. 31 – Simulation numerique d’essai de traction et de compression uniaxiale quasi-statique avec le modele“crushable foam” sur maille elementaire

0.2

0.3

0.4

Con

trai

nte

hydro

stat

ique

(MPa)

0.5

0.6

Compression hydrostatiqueTraction hydrostatique

0

0

0.1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Deformation volumique logarithmique

Fig. 32 – Simulation numerique d’essai de traction et de compression hydrostatique avec le modele “crushablefoam” sur maille elementaire

51

Pour l’instant, il apparait donc difficile suite a ces constatations de reproduire efficacement le comporte-ment du type de materiau etudie des lors qu’il est soumis a un champ de contrainte en traction, combine ounon avec un autre champ de sollicitation. De plus, la reponse du modele des lors que l’on s’approche d’unchamp de contraintes de cisaillement pur apparait aleatoire compte tenu de la discontinuite de l’evolution duconvexe au cours de l’ecrouissage (entre les deux cadrans p > 0 et p < 0) et des approximations numeriquesliees au methode de calculs du code.

Comme mis en evidence lors de la campagne experimentale, la difference de comportement du materiauliege entre la traction et la compression ne permet pas de s’orienter vers le modele “crushable foam” aecrouissage isotrope mais vers le modele a ecrouissage volumetrique. Cependant, lors des simulations evoqueesplus tard, on fera reference au modele isotrope pour avoir un ordre d’idee de ses performances.

7.2 Definition des parametres du modele, methode de resolution

Comme indique dans le paragraphe “Les impossibilites experimentales” (Paragraphe IV.5.6), le modele“crushable foam” a ecrouissage volumetrique necessite la determination du seuil en traction hydrostatique.Le contexte experimental de ce travail de these ne permet pas d’acceder directement a ce parametre.

Deux methodes sont mises en place pour tenter de determiner ce parametre dans la partie “modelisation”de ce chapitre :

– une methode basee sur les essais en compression statique uniaxiale et compression hydrostatique ;– une methode inverse basee sur la campagne d’essais bresiliens.

La premiere methode est basee sur les resultats experimentaux deja obtenus. Le parametre “seuil entraction hydrostatique” va etre recherche en s’appuyant sur les caracteristiques geometriques de la surfaced’ecrouissage.

Pour la seconde methode, les essais bresiliens vont etre utilises. Par une methode inverse, on va tenter dedeterminer le parametre manquant. Cette analyse sera explcitee dans le paragraphe “Modelisation de l’essaibresilien” (Paragraphe IV.6.3).

Ces deux methodes permettront de conclure sur deux points essentiels :

– peut-on determiner le seuil en traction hydrostatique a partir des observations experimentales a dispo-sition ?

– Malgre cette lacune experimentale, le modele “crushable foam” peut-il rendre le comportement dumateriau pour des sollicitations complexes comme lors d’un essai bresilien ?

Presentation

Un des parametres necessaires au modele “crushable foam” a ecrouissage volumetrique est le seuil en trac-tion hydrostatique du materiau. Compte tenu des moyens d’essais a disposition et de la nature du materiauetudie, cette derniere caracterisation represente une impossibilite experimentale.

Cependant, le modele “crushable foam” est pilote par le parametre “PEEQ” (nom du parametre donnepar le code, sans traduction litterale), fonction de la valeur de la deformation volumique plastique εpl

vol pour

cette option (“PEEQ” est fonction de la deformation plastique equivalente εpl ≡∫ σ : dεpl

σcpour l’option a

ecrouissage isotrope avec σc la contrainte uniaxiale de compression). Pour rappel, cela signifie que chaqueetat de contrainte a un instant t situe sur un convexe ecroui possede la meme valeur “PEEQ”.

52

Ainsi si l’on considere un champ de contrainte uniaxiale (traction ou compression) comme indique parl’equation (49), alors la valeur “PEEQ” correspondant a cet etat de contrainte sera definie par l’equation (50).

σt =

σ1 0 00 0 00 0 0

(49)

PEEQσt= ln(1 + εnom1) −

σ1

E(50)

De meme un champ de contraintes indique par l’equation (51) aura la valeur de PEEQ indiquee parl’equation (52), et ce quelque soient les valeurs algebriques de σ1, σ2 et σ3.

σt =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

(51)

PEEQσt=

3∑

i=1

[ln(1 + εnomi) −

σi

E

](52)

En considerant les resultats experimentaux de deux des champs de contraintes deja etudies (compres-sion unixiale et compression hydrostatique), on propose une methode qui tente de pallier les impossibilitesexperimentales de cette campagne d’essai. Cette methode est similaire a l’idee evoquee par l’equation (41)definissant la relation qui existe entre la contrainte en compression hydrostatique et la contrainte en com-pression uniaxiale. Ainsi on va determiner plusieurs binomes de points, chaque binome etant constitue d’unpoint pris dans un etat de contrainte donne (compression unixiale ou compression hydrostatique) pour unevaleur de “PEEQ” donnee et d’un autre point correspondant a un etat de contrainte different mais ayant lameme valeur de “PEEQ”.

La methode mise en place permet de relier les courbes experimentales a disposition par le parametre“PEEQ”, fonction donc de la deformation plastique volumetrique εpl

vol.

Methode

On se place dans le repere R correspondant au plan meridional des contraintes (p, q), soit R = (O, ~p, ~q).On note ici par analogie ~p (respectivement ~q) le vecteur directeur de la droite de la pression hydrostatique p(respectivement la droite de la contrainte equivalente de Von Mises q). Soient deux binomes de points (A0, A

′

0)et (A1, A

′

1) (figure 33), correpondant chacun a une valeur de εplvol (εpl

vol0pour le binome (A0, A

′

0) et εplvol1

pourle binome (A1, A

′

1)), appartenant chacun a deux convexes differents correspondant a deux ecrouissages quel-conques du materiau (pas necessairement le convexe initial). Les points A0 et A1 appartiennent a une droite(D) de vecteur directeur β passant par l’origine tandis que les points A

′

0 et A′

1 appartiennent a une droite(D

′) de vecteur directeur β

′passant aussi par l’origine. Dans notre cas d’etude, la droite (D) correspond a

la representation de la compression uniaxiale et la droite (D′) a la representation de la compression hydro-

statique dans le repere R.

Pour rappel :

– on note α le facteur de forme des ellipses defini par α =bi

aiavec bi la longueur du demi-axe vertical

du ieme convexe et ai la longueur du demi-axe horizontal du ieme convexe (confondu donc avec l’axe ~pdes abcisses) ;

53

– x0i est le centre du ieme convexe ;– pt est la valeur algebrique du seuil en traction hydrostatique.

Le systeme d’equations S0 (systeme (53)) repond donc aux specifications imposees par le modele a savoirun seuil pt constant, un facteur de forme α constant au cours de l’ecrouissage et des ellipses dont les demi-grands axes sont confondus avec l’axe p des pressions hydrostatiques.

S0 ⇐⇒

α2(x1 − x01)2 + β2x21 = b2

1

α2(x′

1 − x01)2 + β′2

x′

1

2= b2

1

α2(x2 − x02)2 + β2x22 = b2

2

α2(x′

2 − x02)2 + β′2

x′

2

2= b2

2

x01 − pt = a1 = b1α

x02 − pt = a2 = b2α

(53)

Ce systeme permet theoriquement de determiner de maniere exacte le modele a partir d’un groupe dequatre points.

Resolution

Prenons par exemple un groupe de quatre points repartis en deux binomes de deux points issus desessais de compression statique uniaxiale et de compression hydrostatique. Soit B0 le binome defini parB0 = (A0, A

′

0) et B1 le binome defini par B0 = (A1, A′

1). La definition des points A0, A′

0, A1 et A′

1 estindiquee ci-dessous :

A0 =(

σ03σ0

); A

′

0 =(

p0

0

); A1 =

(σ13σ1

); A

′

1 =(

p1

0

)

Soient de plus c0 et c1 les abcisses respectives des centres des ellipses (E0) et (E1). L’ensemble des car-acteristiques geometriques est explicite par la figure 33.

A0

A′

0 A′

1

p(D)

′

(D)q

A1

Fig. 33 – Representation graphique de la resolution du probleme

Le systeme S0 amene alors, applique a l’ellipse (E0), le systeme d’equation suivant :

54

{α2(σ0

3 − c0)2 + σ20 = b2

0 (a)α2(p0 − c0)2 = b2

0 (b)

Par definition, les quantites α, (p0−c0) et b0 sont positives. L’equation (b) equivaut alors a l’equation (b’).

(b′) ⇐⇒ c0 = p0 −b0

α

(b’) injectee dans (a) donne :

(a) ⇐⇒ α2(σ03− p0 + b0

α)2 + σ2

0 = b20

⇐⇒ b0 = −α2(σ0

3 − p0)2 + σ20

2α(σ03 − p0)

(a′′)

De plus, la relation geometrique (c) entre b0, pt et p0 issue de S0 injectee dans (a”) donne l’equation (d).

a0 =b0

α=

p0 − pt0

2(c)

pt =α2(σ0

3− p0)2 + σ2

0

α2(σ03− p0)

(d)

Ce raisonnement est entierement repetable pour les points de l’ellipse (E1) ce qui aboutit a l’equation (d1).

pt =α2(σ1

3 − p1)2 + σ21

α2(σ13 − p1)

(d1)

A partir des equations (d) et (d1), on obtient finalement l’equation (54).

α =

√√√√(

σ21

σ13 − p1

− σ20

σ03 − p0

)3

σ0 − σ1(54)

L’equation (54) definit donc directement la relation entre le parametre α et les quatres points predefinisA0, A

′

0, A1 et A′

1.

55

Resultats

Les premiers resultats graphiques presentes sur la figure 34 ont ete realises avec les parametres definispar le systeme (55).

le binome (σ0 = 608kPa, p0 = 983kPa) pour l’ellipse E0


une variabilite de ε = ±500Pa sur les quatre valeurs σ0, p0, σ1, p1

(55)

La figure 34 represente l’ensemble des ellipses passant par les points A0, A′

0, A1 et A′

1 definis par lesparametres du systeme (55), zone de tolerance prise en compte. Un programme de resolution a ete mis enplace et l’ensemble des valeurs numeriques possibles pour ces quatres points a ete etudie. Sont tracees lesseules ellipses respectants les contraintes definies par le systeme S0.

La variabilite sur les deux resultats attendus, a savoir pt et α, bien qu’existante reste limitee et un or-dre de grandeur se degage pour ces deux valeurs ce qui peut permettre de s’orienter et de determiner unevaleur moyenne afin de pouvoir alimenter le modele “crushable foam”. En effet, l’erreur commise sur ladetermination de pt reste comprise dan une fourchette de ±9.5% autour de 2 MPa.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

q(1

.105

MPa)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

p (1.106 MPa)

2

Fig. 34 – Representation graphique des ellipses obtenues avec les parametres du systeme (55)

Cependant, les seconds resultats graphiques presentes sur la figure 35 ont ete realises avec les parametresdefinis par le systeme (56) amenent a temperer cette conclusion. Ces resultats sont obtenus en utilisant lameme methode pour determiner les ellipses possibles ainsi que le parametre α.

56



une variabilite de ε = ±1000Pa sur les quatre valeurs σ0, p0, σ1, p1

(56)

La variabilite obtenue avec ces valeurs est beaucoup plus importantes (une erreur de ±60% sur la valeurde pt) et ne permettent donc pas une determination des parametres du modele.

0

2

4

6

8

10

12

14

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

q(1

.105

MPa)

p (1.106 MPa)

Fig. 35 – Representation graphique des ellipses obtenues avec les parametres du systeme (56)

La methode presentee ci-dessus, theoriquement exacte, est sujette a la variabilite des binomes determinesa partir des courbes experimentales. En effet, malgre une determination precise des valeurs des points desbinomes, la definition obligatoire d’une marge d’erreur afin de determiner une solution exacte entraıne unetrop grande variabilite des resultats. On s’apercoit qu’une faible variation des valeurs d’entree implique unetrop grande dispersion des valeurs resultats (pt et α).

57

Conclusion

De cette etude peuvent etre tirees les conclusions suivantes :

– Cette resolution exige une tres grande precision dans la determination des binomes de points, precisionsouvent incompatible avec les resultats obtenus lors des essais experimentaux. Il semble en effet difficiled’obtenir la precision necessaire a cet exercice a partir des courbes d’identification. Ainsi la prise encompte d’une erreur meme minime sur la determination de ces groupes de points peut entraıner uneforte variabilite des resultats trouves.

– Le faible ecart angulaire (angle forme par les deux droites) entre les deux droites (D) et (D′) dans

le plan (p,q) et donc des couples de points determines a partir des courbes de compression uniaxi-ale et compression hydrostatique, le tout en excluant la courbe de traction uniaxiale, entraıne aussiune forte variabilite des resultats (il est en effet impossible d’associer la courbe de traction uniaxialeaux deux courbes de compression sachant que le systeme d’equations est base sur les caracteristiquesgeometriques du modele a ecrouissage volumetrique (surface d’ecrouissage quadratique avec point fixeen traction hydrostatique)).

Meme en prenant une faible marge d’erreur sur les valeurs des binomes de points (hypothese peu plausiblecompte tenu de l’incertude sur la mesure des resultats experimentaux), la variabilite des resultats obtenusrestent trop elevee et ne permet pas d’obtenir le dernier parametre pt indispensable au modele “crushablefoam”.

Par la suite, l’essai bresilien a donc ete modelise afin de pouvoir conclure sur le modele “crushable foam”.Cette modelisation permettra notamment d’etudier les deux points suivants (et par la meme de conclure surla faisabilite du premier) :

– la determination du seuil en traction hydrostatique par methode inverse,– les performances du modele “crushable foam” pour le materiau etudie.

7.3 Modelisation de l’essai bresilien

Precedemment, la resolution par une methode basee sur les essais de carcaterisation n’a pas permisde determiner le dernier parametre necessaire au modele “crushable foam”, pt. La modelisation de l’essaibresilien va donc aborder les deux points suivants :

– par plan d’experience, on va faire varier la valeur du rapport kt (et donc de pt, p0c etant fixe (equation

(33)) lors de plusieurs simulations numeriques et tenter de determiner la valeur de pt adequate al’obtention des grandeurs mesurees lors de la campagne experimentale portant sur l’essai bresilien.

– Cette partie de l’etude va aussi permettre, par simulation de cet essai mettant en jeu un champ decontrainte complexe faisant intervenir notamment de la traction pure, de statuer sur le choix de cemodele quant a sa capacite a modeliser le liege agglomere.

La simulation de cet essai permettra ainsi de conclure quant a la possibilite de determiner le seuil entraction hydrostatique par des methodes inverses mais aussi quant a la qualite de modelisation du liegeagglomere par le modele “crushable foam”.

La modelisation de cet essai a ete realisee avec l’outil ABAQUS/CAE et executee dans le module Stan-dard du code (module de calcul implicite). Afin de minimiser les temps de calculs, l’essai a ete modelise enprobleme plan (il est a noter que la modelisation sous ABAQUS tient tout de meme compte de la profondeurde l’echantillon). La geometrie du modele est representee sur la figure 36.

Le modele se compose de deux plans analytiques rigides representant le bati et la traverse de la machinede traction-compression et d’un disque representant l’echantillon. Les contacts au niveau des plans sont

58

Fig. 36 – Representation de la geometrie et du maillage du modele numerique pour l’essai bresilien

soumis a deux proprietes :

– condition de non-penetration dans une direction normale aux plans,– mise en place d’un coefficient de frottement pour la direction tangentielle au plan.

Les elements attribues pour le maillage de l’echantillon sont des quadrilateres bilineaires a 4 noeuds, adeformation plane et a integration reduite (CPE4R dans ABAQUS), le modele “crushable foam” interdis-ant l’utilisation d’elements a contrainte plane. Une etude de convergence du maillage a ete realisee afin del’optimiser et d’en etudier l’influence sur les resultats numeriques obtenus.

Les essais de compression statique uniaxiale et de compression hydrostatique permettent d’acceder aurapport k (equation (33)). Les simulations numeriques suivantes ont ete pilotees en deplacement, le planrigide representant la traverse (deplacement maximum en fin de calcul fixe a dfinal = 9 mm).

Les parametres communs aux differentes simulations sont rappeles dans le tableau 7. Un dernier cal-cul en prenant le module isotrope du modele “crushable foam” a ete effectue avec les memes parametreset en prenant un coefficient de Poisson elastique nul. La courbe d’ecrouissage commune est definie graphe 37.

Densite (kg/m3) 268

Module d’Young (MPa) 6.56

Coefficient de Poisson elastique 0

Seuil en compression hydrostatique (MPa) 0.146

Rapport k 2.99

Tab. 7 – Parametres du modele a ecrouissage volumetrique et isotrope pour les simulations des essaisbresiliens

59

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Con

trai

nte

equi

vale

nte

(MPa)

00,05 0,1 0,15 0,2 0,30,25 0,35

Deformation plastique logarithmique

Fig. 37 – Courbe d’ecrouissage du modele “crushable foam” pour les simulations des essais bresiliens

Le choix de la valeur du seuil en compression hydrostatique p0c , ici fixee a p0

c = 146, 5 kPa, valeur treslegerement inferieure au seuil experimental determine lors de la campagne de compression hydrostatique(pour rappel, p0

cexperimental = 150 kPa) a ete fait afin de respecter la definition du rapport des contraintes

hydrostatiques k du modele (pour rappel, on a 0 6 k =σ0

c

p0c

< 3).

Les simulations realisees n’ont pas toutes abouties. Le tableau 8 indique les temps maximum de calculobtenus (sachant qu’un calcul termine aura pour temps final tfinal = 1) et donc l’ecrasement maximumde l’echantillon obtenu avant arret du calcul. L’erreur commune entrainant l’arret premature des calculseffectues provient de la mauvaise adaptation du modele aux champs de contrainte en traction (remarque in-diquee dans la documentation du logiciel et evoquee plus haut, le comportement du modele pour des champsde contrainte en traction etant plastique parfait). L’augmentation du rapport des contraintes hydrostatiquesrepousse mathematiquement l’apparition de la plasticite du materiau pour des champs de contrainte entraction a des seuils (limite d’elasticite) beaucoup plus eleves et donc repousse le moment ou le code seretrouvera dans une situation d’erreur.

De plus, l’augmentation du rapport kt augmente mathematiquement la “zone d’elasticite” du materiauessentiellement pour des champs de contraintes en traction (figure 38). Il apparait donc mathematiquementune valeur limite pour ce rapport a partir de laquelle le materiau n’evoluera plus que dans le domained’elasticite pour des sollicitations en traction. Une fois cette valeur atteinte, ce rapport n’aura donc plusd’influence sur les resultats obtenus, et notamment sur l’accroissement diametral de l’echantillon.

Le traitement d’images de la campagne experimentale sur le liege a ete realisee conjointement avecles simulations numeriques effectuees dans le but de repondre aux objectifs de cette partie (recherche duparametre pt et conclusion sur les capacites du modele). Ainsi le tableau 8 resume les valeurs de kt retenuespour effectuer ces simulations et indique l’ecrasement maximum de l’echantillon obtenu avant arret du calcul.

60

compression uniaxialeAugmentation de kt

Zone d’elasticite du materiau

q

p

Fig. 38 – Evolution de la surface d’ecrouissage initiale et donc de la zone d’elasticite du materiau en fonctionde l’augmentation du rapport kt

N◦ desimulation

Valeur de ktTemps maximum de

calcul obtenu

Ecrasement maximumequivalent de l’echantilonobtenu par le calcul (mm)

1 0,02 0,250 2.251

2 0,04 0,301 2.708

3 0,06 0,360 3.241

4 0,08 0,402 3.617

5 0,10 0,431 3.880

6 0,12 0,455 4.098

7 0,14 0,475 4.277

8 0,16 0,503 4.524

9 0,18 0,533 4.798

10 0,20 0,566 5.092

11 0,30 0,762 6.857

12 0,40 1 9

13 0,50 1 9

14 1,00 1 9

Tab. 8 – Resultats des simulations des essais bresiliens

En se basant sur ces resultats, les images correspondant aux ecrasements maximum obtenus par simu-lation numerique indiques par le tableau 8 ont ete extraits des films numeriques des essais et elles ont etecomparees a l’image de reference correspondant a l’echantillon en debut d’essai (echantillon non ecrase).

Le resultat experimental analyse en particulier est le diametre horizontal maximum de l’echantillon pourchaque ecrasement ; il est compare au meme diametre obtenu par les differentes simulations numeriques (cf.figure 39).

61

(a) (b)

(c)

Echantillon

Bati

Traverse

∆1

Fig. 39 – (a) : image de reference pour le traitement d’images - (b) : exemple d’image en cours d’essaiutilisee pour le traitement d’images - (c) : definition de l’accroissement diametral ∆1

Les tableaux 9, 10 et 11 indiquent l’accroissement diametral releve sur l’ensemble des simulations numeriquesrealisees ainsi que sur les essais experimentaux effectues et ce pour differents ecrasements de l’echantillon (etdonc par equivalence differents temps de calcul).

62

Accroissement de diametre

Experimental par traitement d’images 0.10 mm

kt = 0, 02 0.246 mmNumerique pour le modele aecrouissage volumetrique pour

differentes valeurs de kt

kt = 0, 40 0.205 mm

kt = 1 0.202 mm

Numerique pour le modele a ecrouissage isotrope 0.199 mm

Tab. 9 – Resume des accroissement diametraux releve lors des simulations numerique pour un temps decalcul de 0,250 correspondant a un ecrasement de 2.251 mm de l’echantillon pour les essais experimentaux



kt = 0, 06 0.457 mmNumerique pour le modele a

ecrouissage volumetrique pourdifferentes valeurs de kt

kt = 0, 18 0.407 mm

kt = 0, 40 0.382 mm

kt = 1 0.368 mm





kt = 0, 20 0.947 mmNumerique pour le modele aecrouissage volumetrique pour

differentes valeurs de kt

kt = 0, 40 0.857 mm

kt = 1 0.785 mm



Il apparait assez clairement des simulations numeriques effectuees que le modele “crushable foam” nerend pas le comportement reel de ce materiau pour ce type d’essai. En effet, les variations de diametreobtenues par simulation sont par deux a trois fois superieures a celle observees par traitement d’images apartir des essais experimentaux. Ce resultat ne peut etre impute aux parametres tels que le coefficient defrottement au niveau des contacts echantillon - plan analytique rigide, les simulations prenant en comptel’ensemble de ces parametres.

Cette conclusion est appuyee par la figure 40 representant la comparaison des courbes d’effort reactifmesure sur le bati en fonction du deplacement de la traverse, obtenues experimentaleement et numeriquement.La difference d’effort mesure pendant l’integralite de l’essai (l’effort mesure experimentalement est globale-ment plus important que l’effort simule a deplacement de traverse equivalent) indique une mauvaise priseen compte par le modele numerique du comportement en traction du liege agglomere. En effet, la diminu-tion nette de l’effort simule est due a la faible rigidite du materiau en traction impliquant un accroissement

63

diametral plus important que lors des essais experimentaux. Cet ecart entre effort simule et effort reel atteintson maximum pour un deplacement de la traverse de d = 4.3 mm. On constate alors un ecart de 73 N, soit33% d’ecart entre les courbes experimentales et theoriques.

0 1 2 3 4 5 6 7 98

Deplacement (mm)

Courbe numeriqueCourbe experimentale

0

100

200

300

400

Effor

t(N

)

Fig. 40 – Comparaison des courbes resultats des essais bresiliens (experimental et simulation numerique)exprimant l’effort mesure sur le bati en fonction du deplacement de la traverse

En considerant les remarques precedentes, il est impossible de determiner le parametre kt par methodeinverse a partir d’un essai de structure, en l’occurence l’essai bresilien. En effet, la premiere conclusion de ceparagraphe vient etayer les constatations enoncees plus haut sur le comportement du modele soumis a deschamps de contraintes en traction. Malgre un plan d’experience complet portant sur ce parametre, la super-position des simulations numeriques et des essais experimentaux (via la technique de traitement d’images)n’a jamais pu etre realisee : cette methode n’a pas permis de trouver la valeur adequate de pt correspondantaux essais reels.

Plusieurs pistes peuvent expliquer ces deux conclusions :

– le caractere plastique parfait du modele “crushable foam” pour des champs de contraintes en tractionn’est pas representatif du comportement reel du materiau et implique un comportement insuffisamment“rigide” du modele soumis a ces champs de contrainte.

– la representation quadratique de la surface d’ecrouissage du modele “crushable foam” decentree versles valeurs positives de la contrainte hydrostatique p (le centre de l’ellipse dans le plan meridionaldes contraintes ne peut evoluer que sur le demi-axe positif des contraintes p) biaise la reponse dessimulations. En effet, cette modelisation vient en contradiction avec les constatations de la campagneexperimentale qui a en effet laisse supposer, au travers des essais de traction uniaxiale, que le materiauliege reconstitue a des caracteristiques mecaniques plus elevees en traction qu’en compression (cetteremarque est visible ne serait-ce qu’en comparant la limite d’elasticite en traction statique uniaxialepar rapport a celle en compression statique uniaxiale).

64

Une solution possible pour conclure de maniere definitive sur le comportement du modele “crushablefoam” serait de pouvoir realiser une campagne d’essais de traction hydrostatique sur machine de tractiontriaxiale, essais actuellement non realisables. Ce dernier essai couple a la campagne experimentale effectueeplus haut permettrait de reconstituer la surface seuil initiale du materiau dans le plan (p,q) ainsi que sonevolution.

7.4 Modelisation d’un essai sur tour de chute

Remarque preliminaire

L’essai sur tour de chute est un essai de validation dynamique. Sa modelisation numerique necessitedonc de prendre en compte les effets dynamiques, notamment au niveau des lois de comportement materiau.Dans le modele “crushable foam”, deux sous-options permettent de prendre en compte le parametre vitessede deformation, la sous-option “power law” et la sous-option “‘yield ratio”. Cette possibilite, au sein ducode Abaqus, est issue des modeles de plasticite de Von Mises et a ete transposee tel quel pour la loi decomportement “crushable foam”. Cependant, les remarques suivantes semblent redhibitoires a l’utilisationde ces sous-options dans la modelisation de cet essai :

– les deux-sous options n’ont aucune influence sur le comportement elastique du materiau. En effet, quelleque soit la vitesse de deformation au sein du materiau au cours de la simulation, le module d’Youngretenu reste egal au module d’Young statique initialement renseigne. Ceci vient en contradiction avecle comportement reel du liege mis en evidence au cours de la campagne experimentale.

– Elles ne permettent pas non plus d’implementer dans le modele un faisceau de courbes d’ecrouissage,chaque courbe correspondant a une vitesse de deformation donnee. Par exemple, pour la sous-option“yield ratio”, les courbes d’ecrouissage sont “extrapolees” par le code comme cela est represente parla figure 41.

��

��

��

ε0

ε1

ε2

Deformation plastique equivalente

Con

trai

nte

equi

vale

nte

σ2

σ1

σ0

Fig. 41 – Faisceau de courbes d’ecrouissage genere par le code de calcul Abaqus pour la sous-otion “yieldratio”

Des simulations premilinaires ont ete effectuees en utilisant ces sous-options, la courbe de compression sta-tique uniaxiale etant la courbe decrouissage de reference. Ces tests n’ont pas abouti aux resultats escomptes.

65

Est presentee par la suite une methode basee sur l’hypothese que compte tenu de l’inertie de l’impacteurau moment du choc, la vitesse de deformation mesuree au sein de l’echantillon suivant l’axe d’impact (axede symetrie de l’impacteur hemispehrique) va rester quasi-constante et ce pour une deformation globale del’echantillon inferieure a 30− 35%. Cette hypothese sera etayee par la suite.

Ainsi la courbe d’ecrouissage renseignee pour l’essai de tour de chute ci-dessous correspondra a la courbecontrainte/deformation obtenue par un des essais de compression uniaxiale sur roue inertielle, la valeur dela vitesse de deformation ε etant tres proche pour ces deux types d’essais.

Simulation numerique

L’essai sur tour de chute a ete modelise avec les parametres materiaux du tableau 12 en prenant unevaleur de kt suffisament grande pour ne pas remettre en cause l’integrite du calcul. Le modele numerique 3Dretenu, represente sur la figure 42, est constitue de deux corps analytiques rigides axisymetriques (le bati etl’impacteur) et d’un solide deformable compose de 6000 elements 3D. Ces elements sont des briques lineairesa 8 noeuds (denomination C3D8R du code de calcul), a integration reduite avec controle du “hourglass” [11](option “enhanced” du code de calcul).

Densite (kg/m3) 268

Module d’Young (MPa) 11.59

Coefficient de Poisson elastique 0

Seuil en compression hydrostatique (MPa) 0.695584

Rapport k 2.99

Tab. 12 – Parametres du modele a ecrouissage volumetrique pour les simulations des essais sur tour de chute

Fig. 42 – Modele numerique de l’essai de tour de chute

La courbe d’ecrouissage retenue pour la modelisation de cet essai est representee par la figure 43 (cf. re-

66

marque preliminaire ci-dessus). Elle correspond a une valeur de vitesse de deformation moyenne de ε = 170s−1. Elle est obtenue a partir des essais de compression uniaxiale sur roue inertielle.

0

Con

trai

nte

equi

vale

nte

(MPa)

0

Deformation plastique logarithmique

1

2

3

4

5

0,1 0,2 0,3 0,4

Fig. 43 – Courbe d’ecrouissage du modele “crushable foam” pour les simulations des essais de tour de chute

Les contacts au niveau des interfaces corps rigides/solide deformable sont contraints avec une conditionde non-penetration dans la direction normale a la surface des corps rigides ainsi que :

– une condition de frottement au niveau de l’interface impacteur/solide (prise egale a f = 0, 2),– une condition de non-glissement a l’interface bati/solide.

La vitesse d’impact est modelisee grace a l’option de champ de vitesse predefini simulant les conditionsinitiales du probleme.

La figure 44 represente la superposition de la partie exploitable des essais experimentaux et des essaisnumeriques realisee avec le modele decrit ci-dessus.

67

Effor

t(N

)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1100

1000

1200

0 1 2 3 4 5

h33-m0 experimentalh33-m0 numerique

Ecrasement (mm)

Fig. 44 – Comparaison d’un essai de tour de chute et de sa simulation numerique (pour la denomination del’essai, cf. les essais sur tour de chute de la partie experimentale de ce chapitre)

L’erreur commise par le modele reste moderee (une erreur maximum de l’ordre de 7% est constateepour un deplacement de 5 mm) avec cependant un ecart entre les deux courbes se creusant pour desecrasements superieurs a 4mm. Nous pouvons cependant conclure, que soumis a un champ de contraintede quasi-compression pure (les phenomenes de flexion et de cisaillement sont minimes), le modele “crushablefoam” rend bien le comportement du liege observe.

Enfin l’hypothese forte permettant d’utiliser la courbe d’ecrouissage issue des essais en compression dy-namique sur roue inertielle est etayee par la courbe 45 representant la vitesse de deformation de l’echantillonsous l’impacteur suivant la direction d’impact. La courbe continue est une courbe moyenne des valeurs in-stantanees representees par la courbe discontinue. Celle-ci est quasi-constante autour d’une valeur moyennede 170 s−1 correspondant a la valeur de vitesse de deformation de la courbe d’ecrouissage 43, et ce pour desdeformations totales de l’echantillon allant jusqu’a 35%.

Cette hypothese sera notamment reprise pour le modele numerique mis en place dans le chapitre “Modelisationdu balsa, materiau isotrope transverse” (Partie V). Cet exemple montre en effet tout l’interet de renseigner unfaisceau de courbes d’ecrouissage en fonction du parametre vitesse de deformation pour moduler la reponsemecanique du materiau suivant les vitesses de sollicitation.

68

00

Vit

esse

de

def

orm

atio

nε

(s−

1)

0.1 0.2 0.3 0.4

40

80

120

160

200

Deformation totale

Fig. 45 – Vitesse de deformation en fonction de la deformation totale de l’echantillon suivant l’axe de chute

7.5 Modelisation d’un crash de conteneur

Comme indique en introduction, le Commissariat a l’Energie Atomique utilise des conteneurs dont lemateriau absorbeur est le liege agglomere etudie dans ce chapitre. Dans le cadre du processus de validation,ce produit subit notamment des tests de chute libre d’une hauteur predeterminee, sur surface plane ou surpoincon. L’ensemble de ces tests de validation est directement issu des recommandations de l’AIEA 4. Lemodele numerique de simulation presente ci-apres est une chute sur surface plane d’une hauteur de 9m.

Modele numerique

Le modele numerique du conteneur est issu des programmes de validation du CEA et a ete realise pourun autre code de calculs. Le maillage a ete importe sous ABAQUS, les conditions aux limites, les conditionsinitiales et les autres parametres ont ete retranscrits pour ce code, la loi de comportement du materiau liegeetant remplacee par la loi “crushable foam” du code Abaqus. Le modele numerique est constitue de 85000elements, dont 63000 elements briques et 22000 elements coques ce qui represente une structure comprenantun total de 103000 noeuds. Les elements briques sont repartis en deux familles :

– les elements denommes C3D8R qui sont des elements briques lineaires a 8 noeuds avec 3 degres deliberte par noeud, a integration reduite (1 point d’integration) et avec le controle du “hourglass” [11],

– les elements denommes C3D8 qui sont des elements briques lineaires a 8 noeuds avec 3 degres de libertepar noeud, a integration complete (8 points d’integration).

Les elements coques sont denommes S4R, coques minces doublement courbees a 4 noeuds avec 6 degres delibertes par noeud, a integration reduite (un point d’integration) et avec controle du “hourglass”. La struc-

4L’Agence Internationale de l’Energie Atomique

69

ture complete a un poids de 117kg et elle est constituee de trois autres materiaux dont les caracteristiquessont reprises dans les tableaux 13 , 14 et 15.

Densite (kg/m3) 7800

Module d’Young (GPa) 210

Coefficient de Poisson 0.3

Courbed’ecrouissage

Contrainte (MPa) Deformation plastique

240 0

466.2 0.231

Tab. 13 – Acier E24-2






260 0

780 0.35

Tab. 14 – Inox 316L






135 0

347.5 0.223

Tab. 15 – Aluminium 5086

Une vue complete du modele est donnee sur la figure 46. Les materiaux, dont la description est donneeci-dessus, sont repartis sur cette figure en fonction du code couleur suivant :

– en jaune, l’acier 24-2 ;– en bleu, l’inox 316L ;– en rouge-ocre, l’aluminium 5086 ;– enfin en vert, le liege represente par la loi “crushable foam”.

La loi “crushable foam” est programmee de la meme maniere que pour la simulation d’essai sur tour dechute, les parametres elastiques ainsi que la courbe d’ecrouissage etant adaptes a la vitesse de deformationinitiale suivant l’axe de chute de ε = 220 s−1 (parametres issus des essais de compression simple sur roueinertielle). Afin de realiser cette simulation de chute et de crash, le module explicite du code a ete utilise.L’ensemble des parametres additionnels de cette simulation sont les suivants :

70

– la vitesse de chute a ete modelisee par un champ de vitesse predefini au moyen de la carte “*INITIALVELOCITY”,

– l’angle d’inclinaison de chute a ete respecte,– les sorties requises pour post-traitement sont identiques a celles mesurees au cours de l’essai afin de

faciliter le recalage de la simulation,– le temps de simulation est suffisament eleve pour prendre en compte le rebond de la structure, en par-

ticulier pour pouvoir comparer les vitesses et accelerations extremum de la structure (avant et apresle rebond).

Fig. 46 – Representation graphique du modele numerique du conteneur

Resultats

Le principal resultat observe ici est la deformee apres impact de la couche de liege, et plus particulierementl’epaisseur residuelle apres choc de cette couche et sa forme. La coupe numerique de la figure 47 montre cesprincipaux resultats. Experimentalement, l’epaisseur de couche residuelle est de 42 mm; par simulation elleest de 36mm. Cela represente un ecart consequent de 14, 3%.

Ce simple resultat montre l’insuffisance du modele “crushable foam” a rendre le comportement du liegesoumis a des chargements multi-axiaux. En effet, dans la zone A representee figure 47, le materiau est soumisa la fois a des etats de traction et de compression.

Ce resultat portant uniquement sur la simulation du liege et donc sur le modele “crushable foam” nepermet pas de statuer quant aux performances de la modelisation du conteneur dans son ensemble. Parexemple, la comparaison entre calcul numerique et essai experimental portant sur d’autres signaux, tel que

71

Zone A

Fig. 47 – Representation graphique de la simulation de crash du conteneur (en coupe)

Fig. 48 – Crash test du conteneur - Mise en evidence des cibles

le suivi de mires sur les cibles apposees sur le conteneur (permettant d’en determiner les deplacements ainsique les vitesses (cibles explicitees en rouge sur la figure 48)) semble inaproprie.

8 Conclusion de l’etude du materiau liege

Une etude bibliographique specifique au materiau etudie dans ce premier chapitre, le liege agglomere,a permis de mettre en place le cadre de cette partie, notamment le but industriel des recherches sur cemateriau. En effet, la modelisation du liege agglomere entre dans le cadre du programme de simulationde crashs de conteneurs de transport du CEA/CESTA. Dans cette optique, apres la bibliographie sur lecomportement usuel des materiaux cellulaires et plus specifiquement du liege, nous avons cible le modele

72

materiau “crushable foam” du code de calculs industriels Abaqus, susceptible de repondre a nos attentesquant a sa modelisation. Ce choix s’est opere a partir de la definition quadratique de la fonction d’ecrouissage.Ce modele a ensuite ete presente de maniere precise en explicitant les equations le regissant et en mettanten avant les parametres necessaires a son fonctionnement. Cette etape a permis de mettre en place le plande la campagne experimentale.

La campagne experimentale menee au sein du LAMEFIP a permis de caracteriser de maniere approfondiele liege agglomere etudie avec comme parametre principal la vitesse de deformation ε (compression uniaxialepour differentes vitesses de deformation, compression hydrostatique, traction uniaxiale quasi-statique). Lesessais en traction hydrostatique n’ont pu etre menes compte tenu d’impossibilites experimentales. Cepen-dant de nombreux parametres caracterisant ce materiau ont ete determines. Cette campagne a permis demettre en relief le comportement visqueux de ce materiau ainsi que sa dependance au parametre vitesse dedeformation : le comportement du liege agglommere peut donc etre qualifie de visco-elastoplastique. Des es-sais de validation ont aussi ete conduits (essais sur tour de chute et essais bresiliens) afin de pouvoir conclurequant a la performance du modele a rendre la comportement du materiau. Enfin cette campagne a mis enevidence les lacunes experimentales et nous a permis de les combler afin que l’etude beaucoup plus complexesur le balsa soit facilitee.

Dans la section numerique de cette partie, le comportement du modele “crushable foam”, retenu pourmodeliser le liege, a ete etudie en effectuant des tests sur maille elementaire. Ces premiers resultats ontmis en evidence le comportement plastique parfait du modele soumis a un champ de contraintes en trac-tion, comportement ne correspondant pas aux equations le regissant ainsi qu’au comportement reel du liege.Dans un deuxieme temps, une methode a ete mise en place pour tenter de definir les parametres manquantcompte tenu de l’impossibilite experimentale evoquee plus haut. Malgre l’exactitude de cette methode, laprise en compte necessaire d’incertitudes sur les mesures experimentales n’a pas permis de definir le seulparametre manquant, le seuil en traction hydrostatique. Un des essais de validation, l’essai bresilien, a alorsete considere comme essai d’identification et de validation. On a demontre la faiblesse du modele a rendre lecomportement du materiau en etat de traction ce qui a entraıne l’impossibilite de determiner par methodeinverse le seuil en traction hydrostatique. Enfin, cette inadapation du modele pour les etats de traction n’adonc pas permis de correctement simuler le crash d’un conteneur. Cependant, la simulation numerique d’in-dentation (simulation d’un essai sur tour de chute) a donne d’excellents resultats, les etats de contraintes aucours de celui-ci etant majoritairement des etats de contraintes en compression. De plus, cette derniere simu-lation a montre l’importance d’integrer le parametre vitesse de deformation lors de la definition des courbesd’ecrouissage du materiau. Cette remarque, essentielle, permettra d’orienter la modelisation des materiauxisotropes transverse sous sollicitations dynamiques dans le prochain chapitre.

Le modele crushable foam etait cependant le meilleur modele existant (le plus abouti) dans les codes decalculs pour simuler les materiaux cellulaires tels que le liege agglomere. Ces conclusions amenent donc adevelopper, a l’instar d’etudes actuelles sur le sujet [40], un modele utilisateur pour les materiaux bois.

73

Chapitre III

Modelisation du balsa

1 Introduction

Le but de ces travaux de these est de pouvoir simuler des problemes de crashs, evenements fortementnon-lineaires et se deroulant sur de brefs instants, par le developpement d’un modele materiau prenant encompte la vitesse de deformation et pouvant etre utilise dans le domaine des grandes transformations. C’estpourquoi le choix du module explicite du code de calculs Abaqus s’est naturellement impose, la program-mation via le module utilisateur VUMAT permettant de plus de simuler des processus quasi-statiques etfacilitant la gestion du contact.

Au cours de ce chapitre, le modele de comportement materiau permettant a posteriori la simulationd’essais realises sur le balsa est decrit. Partant des equations continues, un schema d’integration est proposeet l’implementation de la loi de comportement materiau (et donc du probleme discret) dans le code decalculs Abaqus est detaillee. Les parametres necessaires au fonctionnement du modele sont mis en evidenceet une campagne experimentale sur le materiau balsa est proposee. Les domaines de la quasi-statique a ladynamique rapide sont abordes. En complement de cette campagne de caracterisation du materiau, des essaissur structures sont realises. Ainsi, l’essai d’indentation quasi-statique avec differentes formes de poincon estretenu afin de pouvoir realiser en fin de chapitre des simulations numeriques de comparaison permettant deconclure quant a la validite du modele materiau et de sa programmation numerique exposes. La prise encompte du parametre vitesse de deformation dans le modele et son influence sur le modele numerique sontdecrits, la validation de cette proposition etant realisee sur les essais de tour de chute sur le materiau liegedu chapitre “Modelisation du liege agglomere, materiau isotrope” (Paragraphes IV.5.8 et IV.6.4). En effet,des essais dynamiques sur structure avec le materiau balsa n’ont pu etre realises au cours de ces travaux dethese. Cependant, l’ensemble des simulations de verification propose dans ce chapitre permettent de concluresur le modele materiau et de proposer des pistes d’amelioration en fin de chapitre.

2 Modele continu pour l’etude statique du balsa

Preambule

La technique de resolution d’un probleme de dynamique au travers de la methode aux elements finisn’est pas reprise dans ce chapitre de these. Ce sujet est tres largement traite par la litterature et l’annexe 1reprend les grandes lignes de cette technique en proposant les references necessaires a sa compehension.

La simulation et la modelisation de materiaux compressibles tels que le balsa imposent de pouvoir prendreen compte le comportement rheo-adoucissant de ceux-ci. En effet, lors d’un calcul numerique, des concen-trations de contrainte peuvent apparaitre au niveau d’une maille et ainsi empecher le bon deroulement decelui-ci. Ce probleme numerique ne sera pas non plus traite dans ce travail de these ; C.Adalian en proposeune description detaillee et exhaustive dans son memoire [1] ainsi que le manuel theorique du code Abaqus[11]. Cependant, des que cela est possible et que ca n’affecte pas le bon deroulement et les resultats dessimulations, le comportement rheo-adoucissant sera utilise.

Presentation

Le modele presente dans ce rapport est un modele elasto-plastique general qui est par la suite adapte auxmateriaux cellulaires compressibles a comportement isotrope transverse (le caractere compressible ainsi quele comportement specifique du materiau sont determines par la forme du tenseur plastique P ). Ce modele ne

75

differencie pas le comportement du materiau en compression et en traction. Il est base sur une fonction seuilquadratique, pilotee par une fonction d’ecrouissage dont on propose une definition. L’ecoulement plastiqueest suppose associe et la surface d’ecoulement conserve son rapport de forme initial au cours de l’ecrouissage,rapport calibre par la reponse du materiau aux essais de caracterisation dans l’ensemble de ses directions.Pour l’etude du balsa, la courbe pilote correspond a la reponse du materiau en compression uniaxiale suiv-ant la direction des fibres, soit la direction longitudinale. L’ensemble des parametres du modele peut etredetermine par un total de quatre essais de compression et cisaillement uniaxiaux. La methode experimentalesera explicitee plus loin.

Dans les paragraphes suivants, l’ensemble des equations definissant le modele est explicite :

– le comportement elastique du modele est defini notamment par le tenseur des souplesses elastique etles parametres le constituant ainsi que par la loi de Hooke (Paragraphe V.2.1) ;

– le comportement plastique se decompose en deux parties : l’une definissant le critere d’admissibilite(Paragraphe V.2.2), l’autre la loi d’ecoulement retenue avec notamment une definition du multiplicateurplastique, de la condition de constitence et du tenseur tangent (Paragraphe V.2.3) ;

– enfin les conditions d’evolution du modele materiau sont reprises dans les conditions de Kuhn-Tucker(Paragraphe V.2.4).

Ces equations forme un ensemble necessaire pour definir le modele continu permettant de modeliser uncomportement materiau.

2.1 Comportement elastique

On considere un solide compressible isotrope transverse dont les axes d’orthotropie sont les axes ( ~x1, ~x2, ~x3)de facon a ce que l’axe ~x3 soit l’axe longitudinal du materiau et le plan forme par les axes ( ~x1, ~x2) soit leplan d’isotropie dit “transverse” du materiau.

La decomposition de la deformation totale ε a ete definie par l’equation (2). Les proprietes elastiques dumateriau sont decrites par l’equation (57) ou Se represente le tenseur des souplesses elastique.

εe = Se : σ =

1/E1 −ν12/E1 −ν13/E3

−ν12/E1 1/E1 −ν13/E3

−ν13/E3 −ν13/E3 1/E3

2(1 + ν12)/E1

1/E13

1/E13

σ11

σ22

σ33

σ12

σ13

σ23

(57)

ou :

– E1 et E3 sont respectivement les modules d’Young suivant les directions 1 et 3,– ν12 et ν13 sont respectivement les coefficients de Poisson definis par ν12 = −εe

22/εe11 et par ν13 =

−εe33/εe

11 pour une contrainte uniaxiale suivant l’axe ~x1,– E13 est le module de cisaillement dans le plan ( ~x1, ~x3).

L’equation (57) peut s’ecrire sous la forme de la loi de Hooke generalisee (equation (58)) ou C est letenseur d’elasticite d’ordre 4.

σ = C : εe (58)

76

Le tenseur d’elasticite C est defini par C = S−1.


Le critere d’admissibilite general Φ(σ, Y ) a ete defini par l’equation (3), la contrainte seuil par l’equation(7).

La contrainte equivalente σ retenue a ete definie par l’equation (14), les termes du tenseur plastique Ppar l’equation (13). Pour rappel, on a ainsi :

σ2 = P11 (σ211 + σ2

22) + σ233 − 2 P12 σ11 σ22 − 2 P13 (σ22 σ33 + σ11 σ33) + P44 σ2

12 + P55 (σ223 + σ2

13)

P =

P11 −P12 −P13

−P12 P11 −P13

−P13 −P13 1P44

P55

P55

2.3 Loi d’ecoulement, condition de consistence, multiplicateur plastique et tenseurtangent

Loi d’ecoulement

La loi d’ecoulement utilisee dans ce modele est une loi d’ecoulement associee. Le taux de deformationplastique εp, defini par l’equation (100), est considere comme normal a la surface seuil d’ecoulement (plas-ticite associee). On note γ le multiplicateur plastique avec γ > 0.

εp = γ∂Φ∂σ

(59)

On definit le tenseur normal n par l’equation (60).

n =∂Φ∂σ

(60)

En rappelant que le tenseur P est symetrique, on calcule la derivee partielle du critere d’admissibilite Φpar rapport a σ par le developpement suivant :

77

∂Φ∂σ

=∂σ

∂σ

⇔ ∂Φ∂σ

=1

2√

σ : P : σ∂σ(σ : P : σ)

⇔ ∂Φ∂σ

=P : σ

σ

Remarque : La contrainte equivalente σ est homogene de degre 1 car le developpement ci-dessus im-

plique le resultat suivant :∂σ

∂σ: σ =

σ : P : σ√σ : P : σ

= σ.

L’equation (100) de l’ecoulement plastique se reecrit sous la forme de l’equation (61).

εp = γ n avec n =P : σ

σ(61)

Lors de deformations plastiques, on introduit le taux de deformation plastique equivalente εpeq au travers

de l’equation du travail plastique qui s’ecrit sous la forme de l’equation (62).

σ εpeq = σ : εp (62)

On en deduit alors que εpeq = γ grace au developpement suivant :

σ εpeq = σ : εp

⇔ σ εpeq =

γ

σ[σ : P : σ]

⇔ σ εpeq = γ σ

L’obtention de cette equation est essentielle par la suite pour l’integration du modele dans le codeAbaqus. Elle permet en effet de relier l’evolution du multiplicateur plastique a celle de la deformation plas-tique equivalente, soit l’evolution de la plastification du materiau en fonction de la courbe d’ecrouissageutilisateur retenue.

Condition de consistence, multiplicateur plastique

La definition de la condition de consistence, condition necessaire a l’evolution du materiau, permetd’obtenir une equation sur le multiplicateur plastique indispensable a l’integration du modele dans le codede calcul. Ainsi, lors de deformations plastiques, la relation de consistence est definie par l’equation (63).

Φ = 0 =∂Φ∂σ

: σ +∂Φ∂εp

eqεpeq (63)

78

La differentiation de la loi de Hooke generalisee (equation (58)) par rapport au temps est donnee equation(64).

σ = C : εe (64)

A partir de la definition du critere d’admissibilite (equation (3)) et de l’equation (2), on obtient ledeveloppement suivant :

(63) ⇔ Φ = n : σ − H εpeq

⇔ Φ = n : C : (ε − γ n) − H γ = 0

Ainsi le multiplicateur plastique γ est determine par l’equation (65).

γ =n : C : ε

H + n : C : n(65)

Tenseur tangent

Le tenseur tangent du modele continu est donnee ici a titre indicatif. Il est necessaire pour l’integrationnumerique du modele dans le module utilisateur UMAT permettant de realiser des calculs dans le modulestandard du code Abaqus (simulations en quasi-statique). Il se determine a partir de l’equation (64) par ledeveloppement suivant :

σ = C : [ε − εp]⇔ σ = C : [ε − γ n]

⇔ σ = C :[ε − n : C : ε

H + n : C : nn

]

⇔ σ =[C − C : n ⊗ C : n

H + n : C : n

]: ε

A partir de ce developpement, l’expression du tenseur tangent Cep est donnee par l’equation (66).

σ = Cep : ε avec Cep = C − C : n ⊗ C : n

H + n : C : n(66)

2.4 Les conditions de charge/decharge du probleme : les conditions de Kuhn-Tucker

Les conditions de charge/decharge du probleme continu sont celles du systeme (67).

79

γ > 0Φ(σ, Y ) 6 0γ Φ(σ, Y ) = 0

(67)

La condition de consistence du probleme est determinee par l’equation (68).

γ Φ(σ, Y ) = 0 (68)

Ainsi le probleme continu obeit aux conditions suivantes (cf. equations (69))

Φ(σ, Y ) < 0 =⇒ γ = 0 (Comportement elastique)

Φ(σ, Y ) = 0 et

Φ(σ, Y ) < 0 =⇒ γ = 0 (Decharge elastique)

Φ(σ, Y ) = 0 et γ = 0 (Comportement neutre)

Φ(σ, Y ) = 0 et γ > 0 (Charge plastique)

(69)

2.5 Definition des parametres du modele

L’identification des parametres du modele sont etroitement lies a la campagne experiementale du balsa,les explications suivantes sont donc a mettre en parallele avec la partie “Campagne experimentale de car-acterisation et d’essais sur structures du balsa” (Partie V.5).

Un ensemble de 10 parametres (5 elastiques : E11, E33, E13, ν12 et ν13 et 5 plastiques : P11, P12, P13,P44 et P55) ainsi qu’une fonction d’ecrouissage Y (εp

eq) est necessaire pour le modele mis en place dans cechapitre. Cet ensemble de parametres est determine a partir des courbes de reponse contrainte en fonctionde la deformation de 4 essais :

– deux essais compression uniaxiale (ou traction suivant le type d’etude. On se limitera dans ce travailde these a la modelisation du materiau par ses parametres issus des essais en compression) suivant lesdirections 1 et 3 permettent de determiner les modules d’Young E11 et E33 ainsi que le coefficient dePoisson ν13. Au cours du chargement uniaxial suivant la direction 3, la contrainte equivalente σ estegale a |σ33| tandis que εp

eq est egale a |εp33|. Dans ce cas, la fonction d’ecrouissage recherchee Y (εp

eq)est la fonction exprimant la contrainte de Cauchy |σ33| en fonction de la deformation plastique loga-rithmique |εp

33|.

– Un essai de cisaillement dans le plan ( ~x1, ~x3) permet d’acceder au module de cisaillement E13. Un essaide cisaillement additionnel dans le plan ( ~x1, ~x2) permet d’acceder au coefficient de Poisson ν12 par larelation suivante :

E12 =E11

2(1 + ν12)

– Les essais evoques dans les deux points precedents permettent d’acceder aux constantes de la matriceplastique P. Des equations (3) et (14) on en deduit les egalites suivantes :

80

P11 =Y 2

33

Y 211

=Y 2

33

Y 222

, P44 =Y 2

33

Y 212

et P55 =Y 2

33

Y 223

=Y 2

33

Y 213

ou les termes Yij correspondent aux contraintes en debut de plasticite (εpeq = 0). Les constantes P12 et

P13 sont quant a elles obtenues a partir des coefficients de Poisson plastiques νp12 et νp

13 = νp23. A partir

de la definition du coefficient de Poisson plastique (νpij = −

εpjj

εpii

pour une contrainte uniaxiale suivant

l’axe ~xii) et en considerant la loi d’ecoulement (100), on obtient les egalites suivantes :

P12 = P11νp12 et P13 = νp

31 = νp32

3 Integration numerique dans une loi utilisateur ABAQUS.

Presentation

Afin d’implementer le modele continue presente dans les paragraphes precedents dans le code de cal-cul Abaqus, il est necessaire de les equations differentielles par des methodes de calcul numerique dont lamethode par elements finis fait partie. L’utilisation de cette methode permet ainsi d’obtenir une solutionapprochee du probleme, qui ne peut qu’etre difficilement resolu de maniere analytique.

Ainsi dans les paragraphes suivants, les schemas d’integration potentiels pour la resolution du problemecontinue sont exposes. Apres le choix de l’un de ces schemas (en l’occurence ici un schema d’integration im-plicite), il est applique a l’ensemble des equations presentees dans les paragraphes precedents afin d’obtenirun nouveau systeme d’equation pouvant etre implemente dans le code de calcul Abaqus. Le probleme con-tinue est donc transforme en probleme discret.

3.1 Les schemas d’integration

On recherche la solution de l’equation differentielle definie ci-dessous :

{x(t) = f(x(t)) avec f : R 7−→ R, fonction continuex(t0) = x0

On considere le schema d’integration d’ordre 1 suivant plus communement appele la regle du point milieugeneralisee :

{xn+1 = xn + ∆t f(xn+v)xn+v = v xn+1 + (1 − v) xn ou v ∈ [0, 1]

On discretise alors le temps en choisissant un pas de temps ∆t. Ainsi l’approximation de l’algorithmeconsiste a attribuer a la valeur exacte de x(tn+1) la valeur xn+1 ≡ x(tn+1) au temps tn+1 = tn + ∆t. Onpeut citer plusieurs familles d’algorithmes communement utilises telles que :

81

– le schema d’integration “forward Euler”, schema d’integration dit explicite obtenu pour v = 0,– le schema d’integration du point milieux (“midpoint rule”) obtenu pour v = 1/2,– le schema d’integration “backward Euler”, schema d’intregration dit implicite obtenu pour v = 1.

Plusieurs ouvrages traitent de la consistence, de la stablilite et de la precision de ces differents schemas( [39], [15]). En particulier, une precision du deuxieme ordre ne peut etre obtenue que pour le schemad’integration du point milieu (v = 1/2) tandis qu’une stabilite dite “inconditionnelle” requiet v > 1/2.L’ensemble de ces questions, largement traite dans les references evoquees ci-dessus, ne sera pas aborde dansce travail de these. La methode choisie pour integrer les equations du modele est la methode d’integrationimplicite (Backward Euler) avec v = 1 .

Le schema choisi consiste a approcher les valeurs x(tn+1) de la solution par les valeurs xn+1 verifiant larecurrence xn+1 = xn + ∆tf(xn) avec x0 = x(t0). La precision de ce schema est du premier ordre en termede temps ce qui signifie que l’erreur realisee par cette approximation sur un pas de temps est proportion-nellement lineaire a ∆t.

3.2 Application d’un schema implicite au modele continu

La demarche d’integration explicitee ci-dessus repose sur les principes suivants :

– on connait a l’instant tn les champs des grandeurs mecaniques representant l’etat du materiau, a savoirle tenseur des deformations ε, le tenseur des contraintes σ ainsi que les variables internes necessairesau calcul, comme par exemple γ ;

– on se donne un increment de temps ∆t auquel correspond un increment de deformation ∆ε et on vachercher les champs des grandeurs evoquees ci-dessous plastiquement admissible a l’instant tn+1 ;

– une fois cette operation realisee (convergence du probleme), les grandeurs sont mises a jour et le cyclerecommence.

Le but de ce paragraphe est donc d’appliquer le schema d’integration implicite d’Euler au probleme con-tinue afin de pouvoir realiser la demarche exposee ci-dessus dans le code de calcul Abaqus. Par hypothese,l’increment d’une grandeur mecanique A est note ∆A ou ∆A = An+1 − An avec An+1 (resp. An) la valeurde cette grandeur mecanique a l’instant tn+1 (resp. tn).

L’application de ce schema d’integration pour la simulation d’un materiau dans le cadre des grandestransformations implique de prendre des precautions pour le respect du critere d’objectivite. L’ecriture dumodele continu dans le repere d’orthotropie du materiau ainsi que la prise en compte par le code Abaqusdes grandes rotations dans le cadre de la programmation d’une loi utilisateur permettent de respecter ceprincipe [11] [15].

Ainsi, par application du schema d’integration, les conditions de Kuhn-Tucker sont traduites par lesysteme (70).

∆γ > 0Φ(σn+1, Yn+1) 6 0∆γ Φ(σn+1, Yn+1) = 0

(70)

Par application du schema d’integration, l’equation (61) et l’egalite εpeq = γ se reecrivent sous la forme

des equations (71) et (72).

82

∆εp = ∆γ nn+1 (71)

∆εpeq = ∆γ (72)

La notation ∆γ est un abus de notation frequemment utilise dans la litterature et repris ici pour plusde commodite. A partir de la definition de la loi de Hooke generalisee et de l’equation (71), le tenseur descontraintes a l’instant tn+1 s’ecrit sous la forme de l’equation (73).

σn+1 = σprn+1 − ∆γ C : nn+1 (73)

Ici, le terme σprn+1 represente la valeur predictive du tenseur des contraintes a l’instant tn+1 calculee a

partir de la valeur du tenseur des containtes a l’instant tn et base sur une evolution elastique du critere. Sonexpression est donnee par l’equation (74).

σprn+1 = σn + C : ∆ε (74)

L’equation (70.2) peut se reecrire sous la forme de l’equation (75).

Φ(σn+1, ∆γ) 6 0 (75)

Les equations (74) et (75) forment un systeme d’equations non-lineaires dont les variables sont σ et∆γ donnees a la fin d’un increment de temps, soit au temps tn+1. En prenant en compte la symetrie dutenseur des contraintes, on a donc a resoudre un systeme de sept equations a sept inconnues. Cet algorithmed’integration est denomme “Cutting Plane Algorithm” [39], la mise a jour des equations entre l’instant tnet tn+1 etant realisee grace a un schema de Newton-Raphson iteratif. La recherche de convergence de ceschema est alors realisee a partir de la valeur du critere a la sous-iteration precedente et non a partir dela valeur predictive du tenseur des contraintes. L’ensemble des equations non-lineaires faisant reference auxvaleurs d’etat a l’instant tn+1, ce schema d’integration est qualifie de schema d’integration implicite complet.

Resolution du systeme d’equations non-lineaires

Au cours de la kieme iteration de convergence de l’algorithme, on introduit le residu tensoriel par l’equation(76).

rk = σk − σprn+1 + ∆γk C : nk (76)

Un developpement en serie de Taylor limite a l’ordre 1 est applique a l’equation (76) afin d’obtenirl’equation (77) donnant l’expression du residu a l’iteration suivante, soit a l’iteration k + 1.

rk+1 = rk +∂rk

∂σ: dσk +

∂rk

∂∆γd∆γk (77)

83

Pour les memes motifs, un developpement en serie de Taylor limite a l’ordre 1 est applique au critere Φafin d’obtenir l’equation (78).

Φk+1 = Φk +∂Φk

∂σ: dσk +

∂Φk

∂∆γd∆γk (78)

Ces deux dernieres equations ((77) et (78)), imposees nulles, forment un systeme d’equation lineairesdont les inconnues sont l’increment par iteration du tenseur des contraintes dσk et l’increment iteratif dumultiplicateur plastique d∆γk. La resolution de ce systeme permet d’acceder a la mise a jour du tenseur descontraintes et de la deformation plastique equivalente lors d’un increment de temps. Ainsi, l’equation (77)amene au developpement suivant :

rk+1 = 0

⇔ rk +[I + ∆γ C :

∂nk

∂σ

]: dσk + (C : nk) d∆γk = 0

⇔ Q : dσk = −rk − (C : nk) d∆γk

Le tenseur Q est alors defini par Q = I + ∆γ C :∂nk

∂σet ainsi l’increment du tenseur des contraintes

est defini par l’equation (79).

dσk = −Q−1 :[rk + (C : nk) d∆γk

](79)

De meme, l’equation (78) amene au developpement suivant :

Φk+1 = 0

⇔ Φk + nk :[−Q−1 :

(rk + (C : nk) d∆γk

)]− H d∆γk = 0

⇔ Φk − nk : Q−1 : rk − d∆γk nk : Q−1 : C : nk − H d∆γk = 0

L’increment de la deformation plastique equivalente est donc defini par l’equation (80).

d∆γk =Φk − nk : Q−1 : rk

H + nk : Q−1 : C : nk(80)

84

Remarque : calcul de∂nk

∂σ

La definition du tenseur Q passe par la calcul de la derive partielle du tenseur normal n par rapportau tenseur des contraintes σ a la kieme iteration. Le developpement suivant donne l’expression de la deriveepartielle de l’inverse de la contrainte equivalente par rapport au tenseur des contraintes a la kieme iteration :

∂

∂σ

(1σk

)= −1

2(σk)−

32(σk : P + P : σk

)

= −(σk)−32 P : σk

Ainsi, le developpement suivant amene a l’equation (81) recherchee :

∂nk

∂σ=

∂

∂σ

(P : σk

σk

)

=P

σk+ P : σk ⊗ ∂

∂σ

(1σk

)

=P

σk+ P : σk ⊗

[−(σk)− 3

2 P : σk]

=P

σk− P : σk ⊗ P : σk

(σk)3

=1σk

[P − P : σk ⊗ P : σk

(σk)2

]

∂nk

∂σ=

1σk

(P − nk ⊗ nk

)(81)

Definition du tenseur Jacobien du probleme incremental

Nota Bene : Le but de ce paragraphe est de definir le tenseur Jacobien du probleme incremental dansl’hypothese d’une integration dans un module utilisateur UMAT.

L’equation (82) definie le tenseur Jacobien Ξ du probleme incremental telle qu’il doit etre implementedans le code ABAQUS :

dn+1∆σ =∂n+1∆σ

∂n+1∆εt: dn+1∆εt = Ξ : dn+1∆εt (82)

A l’instant t|n+1, a la fin d’un increment, on a le developpement suivant qui mene a l’equation (83) :

σn+1 = C :(εt

n+1 − ∆γ nn+1

)

⇐⇒ dσn+1 = C :(

dεtn+1 − d∆γ nn+1 − ∆γ

∂nn+1

∂σ: dσn+1

)

85

⇐⇒ Qn+1 : dσn+1 = C :(dεt

n+1 − d∆γ nn+1

)(83)

Le tenseur Qn+1 de l’equation (83) est ici defini par Qn+1 = I + ∆γ C :∂nn+1

∂σ.

Soit l’equation (84) donnant l’expression de la differentielle du critere d’admissibilite general a l’instantt|n+1 :

dφn+1 =∂φn+1

∂σ: σn+1 +

∂φn+1

∂∆γd∆γ (84)

Lors de deformations plastiques, cette equation se resume a l’equation (85).

0 = nn+1 : σn+1 + H d∆γ (85)

Si l’on injecte l’equation (83) dans l’equation (85), on obtient l’expression de l’increment de deformationplastique d∆γ donnee par l’equation (86) grace au developpement suivant :

nn+1 : σn+1 + H d∆γ = 0

⇐⇒ nn+1 : Q−1n+1 : C :

[dεt

n+1 − d∆γ nn+1

]+ H d∆γ = 0

⇐⇒ d∆γ =nn+1 : Q−1

n+1 : C : dεtn+1

nn+1 : Q−1n+1 : C : nn+1 − H

(86)

A partir de la definition de l’increment de deformation plastique donnee par l’equation (86) et en utilisantl’equation (83), on obtient apres le developpement propose ci-dessous l’expression du tenseur Jacobien duprobleme incremental (equation (87)) :

Qn+1 : dσn+1 = C :(dεt

n+1 − d∆γ nn+1

)

⇐⇒ dσn+1 = Q−1n+1 : C :

(dεt

n+1 −nn+1 : Q−1

n+1 : C : dεtn+1

nn+1 : Q−1n+1 : C : nn+1 − H

: nn+1

)

⇐⇒ dσn+1 =

[Q−1

n+1 : C −Q−1

n+1 : C : nn+1 ⊗ Q−1n+1 : C : nn+1

nn+1 : Q−1n+1 : C : nn+1 − H

]: dεt

n+1

⇐⇒ dσn+1 = Ξ : dεtn+1 (87)

Le tenseur Jacobien est donc defini par Ξ = Q−1n+1 : C −

Q−1n+1 : C : nn+1 ⊗ Q−1

n+1 : C : nn+1

nn+1 : Q−1n+1 : C : nn+1 − H

.

86

Remarque : calcul de∂nn+1

∂σpour la determination de Qn+1

Par analogie avec le developpement amenant a l’equation (81), l’equation (88) donne l’expression de laderivee partielle du tenseur nn+1 par rapport a la contrainte a l’instant t|n+1.

∂nn+1

∂σ=

1σn+1

(P − nn+1 ⊗ nn+1) (88)

3.3 Integration dans une VUMAT, agencement

L’organigramme 49 reprend l’architecture des differents calculs successifs integres dans la programmationVUMAT traduisant les equations evoquees precedemment (cf. page suivante).

3.4 Verification de l’implementation du programme

Nota Bene : Des tests sur maille elementaire (a l’identique de ceux realises pour le modele “crushablefoam”) ont ete realises prealablement au paragraphe suivant afin de valider le comportementbasique de la programmation, notamment sur des essais de compression simple, de charge-ment multiple, avec boucle de charge-decharge, etc. . .. Ces verifications preliminaires ont bienentendu donne les resultats escomptes.

3.4.1 Description des essais de verification realises

Afin d’en verifier l’exactitude, la programmation du modele presente ci-dessus dans le module utilisateurVUMAT a ete comparee aux lois de comportement materiaux pre-existantes dans le code de calcul. Cestests ont permis de conclure quant a la validite des equations mises en place ainsi que la programmation enlangage Fortran au sein du code.

Pour ce faire, deux lois de comportement ont ete utilisees :

– une loi via les modules “*ELASTIC” et “*PLASTIC” permettant de definir une loi de comportementelasto-plastique a critere de Von Mises,

– la loi “crushable foam” a ecrouissage isotrope.

Les resultats obtenus ont ete compares aux memes calculs effectues grace au modele code dans le moduleVUMAT. De plus, le test d’une loi de comportement isotrope transverse a ete realise afin d’apprehender lareponse des equations mises en place soumis a ce type de comportement materiau.

Presentation des courbes d’ecrouissage utilisees

Plusieurs types de courbes d’ecrouissage ont ete utilises. Elles ont ete definies de maniere arbitraire. Par lestermes “courbes d’ecrouissage”, on entend la courbe qui pilote le critere d’admissibilite du materiau. Il ne seradonc pas question dans ce paragraphe de la partie elastique du materiau, notamment des modules d’Young,qui sera precisee individuellement pour chaque simulation. Ces courbes sont exprimees par σ = f(εpl

eq), soitla contrainte plastique equivalente en fonction de la deformation plastique equivalente. Les representationsgraphiques des courbes d’ecrouissage utlisees pour les calculs numeriques de cette partie sont donnees parles figures 50 et 51.

87

Acquisition des parametres d’entree

Construction de la matrice elastique C, de la matriceplastique P et de la matrice identite I

Rappel des donnees en memoire (STATEV)

Stockage de ces donnees dans des variables temporaires

Calcul de la contrainte predictive σt

Calcul du critere predictif σt

Comparaison du critere predictif σt et de lalimite actuelle du seuil de plasticite Yn

Calcul de la direction d’ecoulement nk et del’increment initial du multiplicateur plastique ∆γinit

La contraintepredicitve devient lacontrainte actuelle

Mise a jour de la contrainte

Mise a jour du critere σcorrige et dumultiplicateur plastique ∆γ

Comparaison du critere corrige σcorrige et dela limite actuelle du seuil de plasticite Yn

Calcul de la matrice Q, de son inverse Q−1

Calcul du residu rk

Calcul de l’increment iteratif dumultiplicateur plastique d∆γk

Calcul de l’increment iteratif de lacontrainte dσk

La contraintecorrigee devient lacontrainte actuelle

Stockage de la variableinterne εp

eq (STATEV)

Fin programme

Bou

cle

d’ite

rati

onde

New

ton

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-

-

-

?

?

Si σt 6 Y n

Si σcorrige 6 Y n

Si σt > Y n

Si σcorrige > Y n

Fig. 49 – Architecture de la VUMAT sans prise en compte de la vitesse de deformation

88

Fig. 50 – Representation graphique des courbes 1, 2 et 3

Fig. 51 – Representation graphique des courbes 4, 5 et 6

Caracteristiques communes a l’ensemble des calculs

Le test retenu pour les simulations de comparaison est un test d’indentation d’un echantillon par-allelepipedique de dimension 35 mm × 35 mm × 16 mm par un cone d’angle au sommet de 140◦, la dimens-sion de 16 mm de l’echantillon correspondant a la direction d’indentation. Une representation graphique dumodele numerique 3D utilise est proposee sur la figure 52. Afin de reduire les temps de calcul, seul un quartd’echantillon a ete modelise, les conditions de symetrie necessaires etant imposees et la base de l’echantillonetant consideree encastree. Ce modele est constitue d’elements C3D8 du code de calcul Abaqus, briqueslineaires a 8 noeuds avec 3 degres de liberte par noeud, a integration complete (huit points d’integration) etavec controle du “hourglass” [11]. Plusieurs tests de convergence de maillage ont ete realises afin de s’assurerde la justesse du resultat obtenu. Ainsi, pour chaque calcul, le maillage le plus adequat (en terme de nombred’elements consituant le modele) a ete retenu.

89

Fig. 52 – Quart modele numerique 3D

Pour l’ensemble des calculs, les coefficients de Poisson elastique et plastique sont fixes nuls et ce pourtoutes les directions d’isotropie/orthotropie. La profondeur d’indentation est pre-definie a 2 mm. Lors dela simulation sur materiau isotrope transverse, l’axe d’indentation est confondu avec la direction longitudi-nal du materiau (direction 3 du modele numerique, les directions 1 et 2 formant le plan d’isotropie transverse).

3.4.2 Comparaison avec une loi elasto-plastique Abaqus a critere de Von Mises

Dans ce paragraphe, la loi de comportement elasto-plastique Abaqus obtenue grace au module elastique*ELASTIC et au module plastique *PLASTIC et la Vumat programmee pour obtenir le meme type decomportement sont comparees. Quatre types d’ecrouissage ont ete testes, les ecrouissages des courbes 1 a 4.Pour les ecrouissages des courbes 1 a 3, le module d’Young choisi est Esimulation 1 a 3 = 895 MPa tandis quepour la courbe d’ecrouissage 4, le module d’Young retenu est Esimulation 4 = 7, 5 MPa.

Sont representees par la figure 53 les courbes resultats exprimant l’effort en fonction du deplacement(F = f(u)) du poincon au cours des quatre essais realises.

Une comparaison entre les isocontours des composantes du tenseur des contraintes σ33 et σ13 pour l’essaiavec ecrouissage par la courbe 1 est donnee respectivement par les figures 54 et 55. Cette comparaison meten parallele les deux types de simulation avec la meme courbe d’ecrouissage, soit via la loi elasto-plastiquedu code, soit via la VUMAT.

90

loi elasto-plastique

programmation VUMAT

0

0-0.5-1-1.5

Deplacement (mm)

-2

-100

-200

-300

-400

-500

Effor

t(N

)

(a)


programmation VUMAT

0

0-0.5-1-1.5

Deplacement (mm)

-2

Effor

t(N

)

-100

-200

-300

-400

-500

(b)


programmation VUMAT

0

0-0.5-1-1.5

Deplacement (mm)

-2

Effor

t(N

)

-100

-200

-300

-400

-500

(c)


programmation VUMAT

0

0-0.5-1-1.5

Deplacement (mm)

-2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

Effor

t(N

)

(d)

Fig. 53 – Comparaison des courbes reponses entre la loi elasto-plastique et la programmation VUMATobtenues : (a) pour la courbe d’ecrouissage 1, (b) pour la courbe d’ecrouissage 2, (c) pour la courbed’ecrouissage 3 et (d) pour la courbe d’ecrouissage 4.

−2, 67.106

−5, 81.106

−8, 95.106

−1, 21.107

−1, 52.107

−2, 00.107

4, 65.105

−2, 67.106

−5, 81.106

−8, 95.106

−1, 21.107

−1, 52.107

−2, 00.107

4, 65.105

Fig. 54 – Comparaison des isocontours de la composante du tenseur des contraintes σ33 obtenus avec la loielasto-plastique d’Abaqus (figure de gauche) et la programmation VUMAT (figure de droite). Les donneesnumeriques sont exprimees en Pa

91

1, 27.106

−7, 77.104

−1, 43.106

−2, 77.106

−4, 11.106

−5, 46.106

2, 61.106

1, 27.106

−7, 77.104

−1, 43.106

−2, 77.106

−4, 11.106

−5, 46.106

2, 61.106

Fig. 55 – Comparaison des isocontours de la composante du tenseur des contraintes σ13 obtenus avec la loielasto-plastique d’Abaqus (figure de gauche) et la programmation VUMAT (figure de droite). Les donneesnumeriques sont exprimees en Pa

Conclusion

La comparaison entre les courbes de sortie F=f(U) obtenues via la loi elasto-plastique d’Abaqus ou via laVUMAT montre une tres bonne correlation des resultats, et ce pour les quatre types d’ecrouissage utilises.Concernant la comparaison des isocontours, les resultats sont fortement similaires malgre quelques ecarts (lesdifferentes zones de couleur correspondant a differentes valeurs de contraintes n’ont pas la meme etendue)et permettent de conforter la precedente conclusion.

3.4.3 Comparaison avec le modele numerique d’Abaqus, “crushable foam”

Dans ce paragraphe, la loi de comportement “Crushable Foam” d’Abaqus a ecrouissage isotrope et laVumat programmee pour obtenir le meme type de comportement sont comparees. Quatre types d’ecrouissageont ete testes, les ecrouissages des courbes 1 a 4. Pour les ecrouissages des courbes 1 a 3, le module d’Youngchoisi est Esimulation 1 a 3 = 895 MPa tandis que pour la courbe d’ecrouissage 4, le module d’Young retenuest Esimulation 4 = 7, 5 MPa. Le rapport k retenu pour la loi “Crushable Foam” est pris egal a k = 1, 732

(on rappelle que k =σ0

c

p0c

avec σ0c la limite elastique en compression uniaxiale et p0

c la limite elastique en

compression hydrostatique).

Sont representees par la figure 56 les courbes resultats exprimant l’effort en fonction du deplacement(F = f(u)) du poincon au cours des quatre essais realises.

Une comparaison entre les isocontours des composantes du tenseur des contraintes σ33 et σ13 cette fois-ci pour l’essai avec ecrouissage par la courbe 4 est donnee respectivement par les figures 57 et 58. Cettecomparaison met en parallele les deux types de simulation avec la meme courbe d’ecrouissage, soit via la loi“crushable foam” du code, soit via la VUMAT.

92

loi “Crushable foam”

programmation VUMAT

0

0-0.5-1-1.5

Deplacement (mm)

-2

-50

-100

-150

-200

-250

Effor

t(N

)

(a)


programmation VUMAT

0

0-0.5-1-1.5

Deplacement (mm)

-2

-50

-100

Effor

t(N

)

-150

-200

(b)


programmation VUMAT

0

0-0.5-1-1.5

Deplacement (mm)

-2

-50

-100

-150

-200

Effor

t(N

)

(c)


programmation VUMAT

0

-2

-4

-6

-8

-10

Effor

t(N

)

0-0.5-1-1.5-2

Deplacement (mm)

(d)

Fig. 56 – Comparaison des courbes reponses entre la loi “crushable foam” et la programmation VUMATobtenues : (a) pour la courbe d’ecrouissage 1, (b) pour la courbe d’ecrouissage 2, (c) pour la courbed’ecrouissage 3 et (d) pour la courbe d’ecrouissage 4.

−1, 00.105

−2, 16.105

−3, 32.105

−4, 48.105

−5, 64.105

−7, 28.105

1, 57.104

−1, 00.105

−2, 16.105

−3, 32.105

−4, 48.105

−5, 64.105

−7, 28.105

1, 57.104

Fig. 57 – Comparaison des isocontours de la composante du tenseur des contraintes σ33 obtenus avec la loi“Crushable foam” d’Abaqus (figure de gauche) et la programmation VUMAT (figure de droite). Les donneesnumeriques sont exprimees en Pa

93

1, 27.106

−7, 77.104

−1, 43.106

−2, 77.106

−4, 11.106

−5, 46.106

2, 61.106

1, 27.106

−7, 77.104

−1, 43.106

−2, 77.106

−4, 11.106

−5, 46.106

2, 61.106

Fig. 58 – Comparaison des isocontours de la composante du tenseur des contraintes σ13 obtenus avec la loi“Crushable foam” d’Abaqus (figure de gauche) et la programmation VUMAT (figure de droite). Les donneesnumeriques sont exprimees en Pa

Conclusion

A l’identique du paragraphe precedent, la comparaison entre les courbes de sortie F=f(U) obtenues via laloi “Crushable Foam” a ecrouissage isotrope d’Abaqus ou via laVUMAT ainsi que la comparaison des tracesdes isocontours montrent une tres bonne correlation des resultats, et ce pour les quatre types d’ecrouissageutilises.

3.4.4 Conclusion des simulations de comparaison entre la programmation VUMAT et les loisreferences du code Abaqus

La comparaison entre la VUMAT et les lois materiaux de reference du code au travers d’un essai d’in-dentation a permis de conclure quant a la validite des equations mises en place et de la programmationeffectuee. En effet, les resultats obtenus en terme d’effort reactif/deplacement de l’indenteur sont compa-rables, et ce quelle que soit le type de loi considere. L’analyse des traces des isocontours laisse apparaıtrequelques differences. Cependant, les resultats apparaissent la aussi pratiquement similaires et tendent a ap-puyer la conclusion enoncee ci-dessus.

3.4.5 Modelisation d’un materiau isotrope transverse

La programmation VUMAT est ici testee pour la simulation d’un materiau a comportement isotropetransverse. Pour ces simulations, les courbes d’ecrouissage 4, 5 et 6 ont ete utilisees. Les rapports d’anisotropieretenus pour l’ensemble de ces simulations sont les suivants :

– P11 = P22 = 100– P33 = 1– P12 = P13 = P23 = 0– P44 = 900– P55 = P66 = 25

Les modules d’Young des differentes simulations sont rappeles tableau 16. Ont ete utilisees pour les cal-culs 1, 2 et 3 respectivement les courbes d’ecrouissages 4, 5 et 6 (il en est de meme pour les groupes decalculs 4 a 6, 7 a 9 et 10 a 12).

94

Calcul 1-3 Calcul 4-6 Calcul 7-9 Calcul 10-12

Module d’Young axial (direction 3) (MPa) 7.5 15 30 60

Module d’Young radial (direction 1-2) (MPa) 0.75 1.5 3 6

Module de cisaillement E13 (MPa) 0.75 1.5 3 6

Tab. 16 – Definition des modules d’elasticite pour les calculs 1 a 12

Resultats

Les calculs 1, 4, 7, et 10 ainsi que les calculs 3, 6, 9 et 12 ont abouti, ce moyennant un ajustement de ladensite de maillage au fur et a mesure de l’augmentation des modules d’elasticite ou du type d’ecrouissagechoisi (les simulations avec l’ecrouissage 5 et 6 necessitent une densite de maillage inferieure aux simulationsavec l’ecrouissage 4). En effet, afin de prevenir une distortion excessive des elements directement en contactavec le poincon, il a ete necessaire d’augmenter la taille de ces mailles et donc de diminuer la densite dumaillage (la densite de maillage a oscille entre 2304 mailles et 10500 mailles).

Les calculs 2 et 5 se sont deroules convenablement. Cependant les calculs 8 et 11 n’ont jamais aboutis,et ce malgre une diminution drastique de la densite de maillage.

Conclusion

Il apparait de ces derniers calculs qu’il est extremement difficile de modeliser l’essai d’indentation pourdes materiaux cellulaires compressibles, la forme de la courbe d’ecrouissage ou l’augmentation des moduleselastiques necessitant d’adapter en permanence la densite de maillage afin de prevenir les distorsions exces-sives d’elements. La simulation d’un ecrouissage plastique parfait pose de plus des problemes de convergence.

Afin de pallier ces problemes, et notamment la deformation excessive des mailles, l’utilisation de l’optionde remaillage automatique du logiciel peut se reveler necessaire. Cependant, il est a noter que l’adoption decette technique contraint l’utilisateur a n’utiliser que des elements a integration reduite. Cette combinaisonsera etudiee plus loin lors de la simulation des essais d’indentation sur le balsa.

3.4.6 Conclusions

Il apparait de l’ensemble de ces tests que le comportement materiau programme via la VUMAT arrivea s’adapter a la majorite des simulations numeriques realisees. Les resultats obtenus via la VUMAT encomparaison aux lois du codes de calcul Abaqus sont tres satisfaisantes. Ces resultats permettent de conforterla modelisation adoptee, la technique d’integration numerique retenue ainsi que la programmation Fortraneffectuee au sein du module utilisateur VUMAT pour l’ensemble des simulations realisees au cours de cestravaux de these.

4 Personnalisation du programme numerique a l’etude dynamique

du balsa

A partir des constatations du paragraphe “Modelisation d’un essai de tour de chute” lors de la modelisationdu materiau liege (paragraphe IV.6.4), le programme numerique presente ci-dessus va etre modifie afin depouvoir prendre en compte le parametre vitesse de deformation influant fortement sur le comportement desmateriaux cellulaires dans le but de realiser des simulations d’essais sur structure en dynamique rapide. Lamethode employee, les equations aditionnelles ainsi que les modifications apportees a la programmation deja

95

en place vont etre explicitees.

4.1 Presentation des modifications apportees

Lors de la simulation numerique d’un essai sur tour de chute realise sur le materiau liege dans la premierepartie de ce travail de these, l’importance du choix de la fonction d’ecrouissage en correlation avec la vitessede deformation instantannee de l’echantillon a ete mise en evidence. Ainsi, l’idee developpee dans les para-graphes suivants afin de prendre en compte la vitesse de deformation va etre d’adapter pour chaque incrementde calcul les parametres materiau en fonction de cette donnee. Les parametres materiau, elastiques et plas-tiques, seront ainsi determines en amont du calcul de la contrainte materiau en fonction du calcul du tenseurvitesse de deformation ε.

4.2 Descriptif

L’idee retenue ici est donc de permettre au modele materiau programme d’adapter pour chaque incrementde calcul les parametres materiau, elastiques ou plastiques, en fonction du tenseur local de la vitesse dedeformation (par local, on entend ici pour chaque maille du modele numerique). Ainsi, a l’aide de la cam-pagne experimentale realisee sur les differents materiaux etudies en fonction de ce parametre, le modele seraa meme de pouvoir determiner les grandeurs materiaux necessaires au calcul.

Le principe presente ci-apres s’appuie sur le graphique de la figure 59 representant un faisceau de courbed’ecrouissage materiau en fonction du parametre vitesse de deformation.

Sur la figure 59, sont representees les donnees materiau suivantes :

– trois courbes d’ecrouissage obtenues pour trois vitesses de deformation differentes ;– leurs modules d’Young respectifs E1, E2 et E3 pour les vitesses de deformations ε1, ε2 et ε3 ainsi que

leurs modules d’ecrouissage H1, H2 et H3 ;– leurs seuils elastiques rescpectifs σ0

1, σ02 et σ0

3.

En considerant les notations ci-dessus, le modele numerique a ete modifie de la maniere suivante :

1. A la fin de l’increment “n−1”, la contrainte seuil equivalente ainsi que la deformation plastique equivalentesont respectivement σ1 et εp

eq . Le materiau a une deformation totale equivalente egale a εtoteq . En con-

siderant le module d’Young E1, la deformation plastique correspondant a cette etat est εp. La vitessede deformation au cours de cet increment est ε1. A la fin de celui-ci, l’ensemble des valeurs evoqueesprecedemment sont calculees et stockees dans la memoire interne du code grace aux bits memoire “STAT-EV”.

2. On se place maintenant au debut de l’increment “n”. Deux cas de figure peuvent se presenter :

2.a Au debut de l’increment “n”, la vitesse de deformation est calculee et correspond a la vitesse dedeformation ε2. Chaque composante du tenseur des vitesses de deformation est calculee en fonctionde chaque composante de l’increment de deformation ∆εij et du pas de temps ∆t suivant l’expressionde l’equation (89) :

εij =∆εij

∆t(89)

Connaissant ε2, les parametres elastiques et plastiques du materiau ainsi que sa courbe d’ecrouissagecorrespondants sont definis. Manque le seuil de plasticite permettant de determiner, a partir du calcul

96

σeq

σ01

σ02

σ03

E1

E2

H1

H2

H3

ε1

ε2

ε3

εp

εtoteq

εeq

E3

σ3

σ3 bis

σ2 bis

σ2

σ1

(D0)

(D2)

(D3)

�

�

ij

i

Fig. 59 – Exemple de faisceau de courbes d’ecrouissage materiau du modele numerique a surface de chargequadratique

de la contrainte predictive, l’evolution de l’etat du materiau. Ici, deux donnees vont etre calculees : lesvaleurs σ2 et σ2bis, basees sur le calcul de εtot

eq et de εp. En effet, entre les deux increments, l’etat deplastification du materiau ne peut avoir change : il est donc necessaire de determiner la correspondanceentre l’etat du materiau a la fin de l’increment “n − 1” pour une vitesse de deformation ε1 et l’etatdu materiau au debut de l’increment “n” pour une vitesse de deformation ε2. L’etat “equivalent”du materiau pour l’increment “n” respectant les donnees εtot

eq et εp se situe donc a l’intersection desdroites (D0) et (D2), cerclee ici de bleu. La contrainte equivalente correspondant a cet etat est lacontrainte σ2bis, le materiau est alors en situation de retour elastique pour cette nouvelle courbed’ecrouissage.

2.b Au debut de l’increment “n”, la vitesse de deformation est calculee et correspond maintenant a lavitesse de deformation ε3. Comme dans le point precedent, connaissant cette donnee, l’ensemble desgrandeurs mecaniques du materiau sont definies. Les deux valeurs σ3 et σ3bis sont determinees, tou-jours basees sur le calcul de εtot

eq et de εp. Ainsi, comme precedemment, l’etat “equivalent” du materiaupour l’increment “n” se situe a l’intersection des droites (D0) et (D3), cerclee ici de bleu. La contrainteequivalente correspondant a cet etat est la contrainte σ3bis . Ainsi lors de l’increment “n′′, le materiauest donc en situation de correction plastique realises au cours de l’increment “n” par les equations decorrection deja mises en place dans le modele.

3. Pour chacun des deux cas possibles evoques ci-dessus, la contrainte equivalente de l’increment “n′′ retenueest la maximale entre les deux valeurs calculees σi et σibis . Dans ces deux cas, la valeur retenue est donccelle correspondant au point cercle de rouge sur le graphique (59).

Ainsi modifiee, la programmation realisee prend en compte le parametre vitesse de deformation a chaque

97

Acquisition des parametres d’entree Calcul de la vitesse de deformation ε

Determination des parametreselastiques en fonction de ε

Construction de la tabled’ecrouissage en fonction de ε

Rappel des donnees en memoire (STATEV) Rappel de la deformation plastiqueequivalente εp

eq, de la deformationtotale equivalente εtot

eq et de ladeformation plastique εp

Comparaison du critere predictif σt et de lalimite actuelle du seuil de plasticite

Seuil recalcule en fonction de ε, εpeq,

εtoteq et de εp

Stockage de la variableinterne εp

eq (STATEV)Calcul et stockage des variables εtot

eq et εp

� -

?

?

?

� -

?

� -

?

� -

Fig. 60 – Etapes additionnelles ajoutees a la programmation initiale de la VUMAT pour prise en comptede la vitesse de deformation : les cellules noires correspondent aux etapes initialement programmees dans laVUMAT, celles colorees en bleu les etapes ajoutees pour prendre en compte la vitesse de deformation.

increment de calcul, de maniere locale au niveau des mailles du modele numerique (la programmation VU-MAT intervenant dans le calcul a chaque point d’integration du maillage). L’organigramme 60 montrecomment ces modifications ont ete integrees a l’architecture de la VUMAT.

5 Campagne experimentale de caracterisation et d’essais sur struc-tures du balsa

Presentation

L’etude du balsa est indispensable sur deux points :

– l’identification des caracteristiques mecaniques de ce materiau afin d’obtenir les elements et parametres

98

necessaires a la programmation VUMAT realisee precedemment, tels que les parametres Pij ainsi queles courbes d’ecrouissage par exemple ;

– la mise en place d’une base de donnees experimentale reposant sur des essais sur structures permettantla realisation de simulations numeriques de verification afin de valider la programmation retenue surdes essais mettant en jeu des sollicitations complexes.

Concernant le balsa, l’ensemble de la campagne experimentale a ete realisee dans le cadre d’un contratd’accompagnement de these mettant en place une collaboration entre le CEA et le LAMEFIP au coursduquel sont intervenus Philippe Viot et Jean-Luc Barou [43] [44].

Les resultats de ces essais sont repris en Annexe 2 et Annexe 3. Dans les paragraphes suivants, les grandeslignes de cette campagne experimentale sont exposees et un bilan sur le comportement du balsa est etabli.

5.1 Campagne d’identification

5.1.1 Description des essais d’identification

Au cours de la campagne d’identification, trois types d’essais ont ete realises sur le balsa :

– des essais de compression uniaxiale quasi-statique ;– des essais de compression par paliers quasi-statique ;– des essais de compression uniaxiale dynamique.

Les deux premiers types d’essais sont realises sur la machine de traction-compression Zwick, les essaisdynamiques etant quant a eux realises sur barres de Hopkinson pour une gamme de vitesse de deformationde l’ordre de 850 − 900 s−1. L’ensemble de ces essais a pour but d’identifier les caracteristiques mecaniquesdu materiau, en fonction de la densite propre de chaque echantillon, de facon a pouvoir determiner lesparametres du modele explicites dans le paragraphe “Definition des parametres du modele” (ParagrapheV.2.5).

Un des points importants etudie au cours de cette campagne d’identification est le caractere isotropetransverse du comportement du balsa. A partir des essais decrits ci-dessus et exposes dans l’Annexe 2, unbilan a ete etabli ci-dessous de facon a pouvoir conclure sur ce point.

5.1.2 L’isotropie transverse du materiau balsa

Le but de ce paragraphe est d’etudier le degre d’isotropie du materiau dans son plan transverse et doncainsi de comparer ses caracteristiques mecaniques dans la direction radiale et dans la direction transverse.Cette comparaison s’appuie sur les resultats exposes dans l’Annexe 2. Le graphe 61 est une superpositiondes resultats statiques obtenus ci-dessus en fonction de la direction de sollicitation et de la densite. Cetterepresentation nous permet de conclure sur la quasi-isotropie transverse statique du materiau : en effet,malgre quelques differences, la correlation de l’augmentation des caracteristiques mecaniques et de la densiteest bien verifiee tout comme la bonne adequation des courbes contrainte-deformation pour une meme densiteet ce quelque soit la direction de sollicitation consideree.

Cependant, pour des sollicitations dynamiques, ces conclusions ne sont pas valides. En effet, a partir dugraphe 62 representant la superposition des resultats dynamiques obtenus ci-dessus toujours en fonction dela direction de sollicitation et de la densite, on note la nette predominance de la direction radiale sur ladirection tangentielle. Ainsi la courbe reperee “Radiale, 176.7 kg/m3”, bien que representant une eprouvettede densite inferieure a l’eprouvette representee par la courbe repere “Tangentielle, 183.2 kg/m3”, montre descaracteristiques mecaniques superieures (il en est de meme pour les courbes reperees “Radiale, 223.6 kg/m3”et “Tangentielle, 239.4 kg/m3”).

99

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

2

4

6

8

10

12

Tangentielle, 252.6 kg/m3


Radiale, 229.8 kg/m3



Fig. 61 – Comparaison des resultats pour les directions radiale et tangentielle en compression quasi-statique

0

5

10

15

20

25

0

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6






Fig. 62 – Comparaison des resultats pour les directions radiale et tangentielle en compression dynamique

Des resultats presentes ci-dessus, l’isotropie transverse du balsa est acquise pour son comportement enstatique. Pour des sollicitations dynamiques, la direction radiale du materiau predomine sur la direction

100

tangentielle, les caracteristiques mecaniques etant plus elevees pour la premiere a densite egale.

5.1.3 Bilan des essais de caracterisation sur le materiau balsa

Les essais de caracterisations ont permis d’obtenir de nombreux parametres materiaux, en quasi-statiqueet en dynamique rapide. Deux facteurs influant ont ete mis en avant, la densite et la vitesse de deformation.Ainsi, les caracteristiques mecaniques du materiau balsa croissent avec l’augmentation de la densite et dela vitesse de deformation. Ces constatations sont en accord avec le comportement generalement observe desmateriaux cellulaires.

De plus, le caractere isotrope transverse quasi-statique de ce materiau a ete demontre. Cependant, pourdes sollicitations dynamiques, un ecart consequent entre la direction transverse et tangentielle est a denoter.

L’ensemble de ces parametres permettra par la suite la modelisation du balsa par la programmationVUMAT exposee precedemment.

5.2 Campagne d’essais sur structures

Tout comme lors de l’etude du materiau liege agglomere, des essais sur structures mettant en jeu deschamps de contraintes complexes sont necessaires afin tester la robustesse du modele numerique mis en place.Ainsi, des essais d’indentation quasi-statiques sur des echantillons de balsa parallelepipediques a l’aide depoincons de differentes formes ont ete realises.

L’ensemble des resultats experimentaux de ces essais est presente en Annexe 3, la comparaison avec lesmodelisations numeriques est realisee quant a elle dans la partie “Modelisation des essais sur structures”(Partie V.6). Apres une description des essais realises, un bilan de cette campagne sur structures est ensuitepropose.

5.2.1 Description des essais d’indentation

Ces essais ont ete realises sur machine de traction-compression universelle. Des echantillons de balsaparallelepipediques de dimension 30 mm × 30 mm × 100 mm ont ete indentes avec quatre poincons de formedifferentes et suivant deux directions de sollicitations pour chacun des poincons.

Les deux directions de sollicitations materiaux testees sont les suivantes :

– une correspondant a la direction axiale du materiau, suivant les fibres,– l’autre suivant une direction transverse aux fibres, bissectrice des directions tangentes et radiales du

materiau.

Les quatre types de poincons utilises sont les suivants :

– trois poincons coniques ayant chacun un angle au sommet different (140◦, 120◦ et 60◦),– un poincon cylindrique de rayon R = 35 mm.

Pour chaque essai, la vitesse de deplacement de la traverse est fixe a Vtraverse = 2 mm/min ce quicompte tenu des dimensions des eprouvettes et de la hauteur indentee (30 mm) correspond a une vitesse dedeformation d’echantillon initiale de l’ordre de ε = 10−3 s−1. Ainsi, on se situe dans une gamme de vitessede deformation quasi-statique. Deux schemas de principe de ces essais sont donnes par les figures 63 et 64.

101

Bati

Eprouvette

Poincon

de l’eprouvetteOrientation des fibres

Direction de deplacement de la traverse

Fig. 63 – Schema de principe de l’essai avec unpoincon conique suivant la direction des fibres dumateriau (direction longitudinale du materiau)

Bati

Eprouvette


Poincon

Orientation des fibresde l’eprouvette

Fig. 64 – Schema de principe de l’essai avec unpoincon cylindrique suivant une direction trans-verse aux fibres du materiau (direction bissectricedes directions tangente et radiale du materiau)

5.2.2 Conclusion sur les essais d’indentation

Le grand nombre d’echantillons testes et ce pour de multiples densites consitue une base de donneesconsequente pour les simulations de verifications realisees par la suite. On note que la forme de l’indenteurinflue fortement sur la reponse de l’eprouvette, essentiellement pour les sollicitations dans le sens longitudi-nal des fibres. En effet, plus l’angle au sommet du cone est faible, moins l’effort reactif de l’eprouvette estimportant (cette remarque s’applique aussi au poincon cylindrique pour lequel la reponse de l’echantillon estcomparable a celle pour le poincon conique d’angle au sommet 140◦). Par contre, la forme du poincon n’influeque peu sur la reponse de l’echantillon pour la direction de sollicitation “transverse”. Il est interessant denoter aussi que pour le poincon d’angle au sommet 60◦, l’effort reactif pour une sollicitation dans la direc-tion longitudinale est beaucoup moins important que pour une sollicitation dans la direction “transverse”.Ce principe est aisement comprehensible si on le compare a l’action d’une hache sur un rondin de bois :il est toujours plus facile de fendre une buche dans le sens des fibres de l’arbre que perpendiculairement acelles-ci. En effet, au niveau des cellules constituant le materiau, les efforts de cohesion inter-cellules sontplus faibles que l’effort necessaire pour briser une cellule [24]. Ainsi, la disposition et la forme geometriquedes cellules suivant une direction privilegiee expliquent la moindre resistance du materiau dans la directionde sollicitation longitudinale par rapport a la direction de sollicitation transverse pour l’essai d’indentationavec le poincon d’angle au sommet 60◦.

Les oscillations apparaissant sur les courbes pour la direction de sollicitation longitudinale trouvent uneexplication dans le caractere cellulaire et heterogene du bois. Ainsi, l’effort reactif transmis a l’indenteur vafluctuer au fur et a mesure de l’effondrement successif des cellules elementaires de l’echantillon (et donc desphases successives d’absorption d’energie et de densification) ainsi qu’en fonction de la variation de densiteinterne de l’echantillon. En effet, suivant les zones sollicitees, celles-ci seront plus ou moins “resistantes”en fonction de leur densite locale. On note enfin que l’augmentation de l’effort reactif n’est plus correlee al’augmentation de la densite de l’echantillon, comme lors des essais de caracterisation.

5.3 Conclusions sur la campagne d’essais sur le balsa

Cette campagne experimentale a dans un premier temps mene a l’obtention de l’ensemble des car-acteristiques mecaniques necessaires a la modelisation du materiau balsa. Elle a montre que les parametresdensite et vitesse de deformation influent fortement sur la reponse de ce materiau. De plus, la comparaisonentre les directions radiale et tangentielle ont permis de conclure quant a l’isotropie transverse du comporte-ment du balsa, dans le domaine de la quasi-statique. Cette conclusion ne semble cependant pas valable endynamique rapide.

Les essais d’indentation realises dans un second temps forment la base de donnees essentielle a la val-

102

idation de la programmation VUMAT realisee precedemment. Ainsi, la modelisation de ces essais va etreentreprise dans le paragraphe suivant afin de realiser une validation du comportement statique du programme.

6 Modelisation des essais sur structures

6.1 Simulation des essais d’indentation

Les essais d’indentation realises au cours de la campagne experimentale sur le balsa vont etre modelises,la loi de comportement materiau etant implementee dans la programmation VUMAT realisee plus haut. Lasimulation de ces essais via le module explicite du code de calculs Abaqus est possible moyennant notammentl’adoption de certaines hypotheses (par exemple, les effets dynamiques artificiels generes au cours du calculdoivent rester negligeables). Un des principaux avantages de la simulation de ces essais quasi-statiques via lemodule explicite du code reside notamment dans le gain de temps de calcul realise, la gestion des contacts,. . . en comparaison avec le module standard du code.


Le modele numerique realise conserve l’architecture du schema presente sur la figure 63 et repris parla figure 65. Les dimensions du modele correspondent aux dimensionx des eprouvettes utilisees lors de lacampagne experimentale.

Bati

Eprouvette

Poincon


Fig. 65 – Architecture du modele numerique pour la simulation des essais d’indentation

Les hypotheses de modelisation sont les suivantes :

– l’indenteur ainsi que le bati sont representes par des solides indeformables ;– l’echantillon est en liaison plane avec le bati ;– le contact entre l’echantillon et l’indenteur est considere a coefficient de frottement nul ;– une condition de deplacement lineaire d’une valeur totale de 5mm est imposee sur l’indenteur.

Pour chaque essai de la campagne de caracterisation, les parametres materiau ont ete mis en evidencepour une densite proche de 240 kg/m3 : cette densite et les parametres associes seront donc ceux retenuspour les simulations realisees ci-dessous. Ainsi, concernant la loi de comportement, les parametres materiauretenus sont ceux exposes dans le tableau 17.

Dans le tableau 17, les parametres de cisaillement retenus pour la direction ~x13 sont issus d’essaisexperimentaux realises en fin de these et non presentes dans ce rapport car encore incomplets. Ils ontete obtenus sur machine de torsion permettant de realiser des essais quasi-statiques.

103

Grandeurs Valeur

Densite kg/m3 240

E33 (MPa) 550

E11 (MPa) 60

E13 (MPa) 220

ν12 = ν13 0

P33 1

P11 = P22 144

P12 = P23 = P13 0

P44 121

P44 = P55 = P66 16

Tab. 17 – Parametres materiau utilises pour la modelisation des essais d’indentation sur le materiau balsaa l’aide de la programmation VUMAT

La courbe d’ecrouissage est issue de l’extrapolation des resultats presentes pour les essais de compressionsimple suivant la direction longitudinale du materiau. Les valeurs retenues sont recapitulees dans le tableau18.

Deformation plastique equivalente contrainte equivalente (MPa)

0 24

1,3 15

1,4 60

Tab. 18 – Courbe d’ecrouissage utilisee pour la modelisation des essais d’indentation sur le materiau balsaa l’aide de la programmation VUMAT

La valeur de σ = 60 MPa pour une deformation plastique equivalente εpeq = 1, 4 est une donnee issue

des observations bibliographiques (cf. “specificite du materiau balsa”, inclu dans le paragraphe II.1.3) etrepresentant la densification du materiau apres effondrement complet de l’ensemble de ses cellules.

Remarque sur le maillage retenu et son influence sur les resultats

Lors des tests de verification du modele menes dans le paragraphe “Verification de l’implementationdu programme” (paragraphe V.3.4), de nombreuses difficultes sont apparues dans la simulation d’un essaid’indentation sur un materiau isotrope transverse. Le principal probleme observe concernait la distorsionexcessive du maillage. Le coeur de ce probleme est en fait le resultat d’une combinaison de plusieurs points :

– la definition des parametres du critere quadratique, parametres influant directement sur le schema deprediction-correction mis en place,

– la densite de maillage retenue,– l’adoption ou non de la technique de remaillage.

Afin de mener les simulations dans de bonnes conditions, il est necessaire de trouver le mariage adequatde l’ensemble de ces parametres. La technique de remaillage du logiciel est une option permettant de prevenir

104

la distortion du maillage par sa regeneration a intervalles reguliers, predefinis par l’utilisateur. Elle imposel’utilisation d’elements a integration reduite. Cependant, l’utilisation de cette technique peut entraıner l’arretpremature du calcul du a la generation d’energie cinetique artificielle trop importante. En effet, lors de lasimulation d’evenements quasi-statiques via le module explicite du code, il est imperatif de conserver uneenergie cinetique artificielle la plus faible possible comparee a l’energie interne du systeme. Le non-respectde cette recommandation a pour consequence la divergence de l’algorithme de convergence utilise et doncl’arret de la simulation. Ainsi, lors de simulations preliminaires realisees avec les parametres materiau definisci-dessus et avec l’adoption d’un critere de remaillage trop strict, les calculs ont echoue a simuler les essaisd’indentation jusqu’a une profondeur de 5mm et se sont pour la plupart arretes apres une indentation de2.5-3mm. De plus, ces simulations preleminaires ont montre une correlation entre la densification progressivedu maillage (toujours combinee a l’option de remaillage automatique) et l’arret de plus en plus rapide ducalcul.

Cependant, l’utilisation de cette technique est necessaire. En effet, la figure 66 montre de maniereschematique une simulation realisee sans son adoption mais avec deux densites de maillage differentes, assezfaibles pour prevenir tout arret premature du calcul, utilisant des elements a integration complete. Il apparaıtassez clairement des oscillations regulieres sur les courbes resultats, entierement dependentes du maillage.On a ainsi superpose sur le graphe deux courbes resultats pour ces deux densites de maillage differentes,le maillage repere B etant 4 fois plus dense que le maillage A. On peut conclure qu’une densification dumaillage permettrait de pouvoir estomper ces oscillations mais cette action a pour consequence de precipiterl’arret du calcul pour distortion excessive du maillage.

Effort

Deplacement

Maillage A

Maillage B

Fig. 66 – Courbes de reponse schematiques de la simulation d’un essai d’indentation pour deux densites demaillage differentes

Une combinaison de la technique de remaillage automatique avec une densite de maillage adequate sem-ble indispensable et a amene aux resultats presentes ci-dessous. N’ayant pu obtenir de resultats depourvusd’oscillations, la densite de maillage (couplee a l’option de remaillage) a ete ajustee afin d’obtenir des courbesreponse dont les oscillations restent contenues dans une fourchette de ±2% autour de courbes moyennes,resumees dans le paragraphe suivant. Le maillage est consitute de 40000 elements C3D8R repartis de lamaniere suivante : 20 elements pour chaque dimension de 30 mm et 100 elements suivant la dimension de100mm.

Resultats

Deux resultats vont etre presentes, pour la meme direction de sollicitation materiau, la direction longi-tudinale. Les deux poincons modelises sont le poincon conique d’angle au sommet 140◦ ainsi que le poinconcylindrique. Les courbes reponses obtenues sont superposees aux courbes experimentales respectivement surles figures 67 et 68.

105

Resultat numerique

Courbes experimentales

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Effor

tm

esure

(N)

0 1 2 3 4 5

Ecrasement (mm)

-

Fig. 67 – Superposition des courbes de reponse experimentales et de la courbe de reponse de la simulationnumerique pour l’essai d’indentation avec le poincon conique d’angle au sommet 140◦ avec comme directionde sollicitation la direction longitudinale du materiau

0

Effor

tm

esure

(N)

0 1 2 3 4 5

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Ecrasement (mm)


Resultat numerique

-

Fig. 68 – Superposition des courbes de reponse experimentales et de la courbe de reponse de la simulationnumerique pour l’essai d’indentation avec le poincon cylindrique avec comme direction de sollicitation ladirection longitudinale du materiau

Concernant la figure 68, il est a noter que la simulation numerique a echoue a modeliser l’essai experimental

106

dans son ensemble, celle-ci se terminant sur une profondeur d’indentation de 4 mm pour un defaut de con-vergence de l’algorithme. Ce probleme n’a pu etre resolu avant la fin de redaction de ce memoire de thesemais sera evoque dans les remarques du paragraphe de conclusion des simulations realisees avec le modelemateriau de ce chapitre (cf. “Discussion sur la modelisation, ouvertures”, paragraphe V.6.3).

Enfin, le respect de l’hypothese concernant l’energie cinetique artificielle evoquee plus haut a ete verifie.

Conclusion

Les resultats presentes ci-dessus montrent une adequation satisfaisante entre la modelisation numeriqueet les essais experimentaux. Malgre l’utilisation de courbe “tendance” gommant les oscillations evoquees plushaut, le comportement du balsa pour ce type d’essai est bien rendu.

Cependant, et ce point n’a pas ete totalement elucide au cours de ces travaux de these, il est necessairede comprendre d’ou viennent ces instabilites. Une des pistes a explorer est l’etude de la bonne adequationd’elements a integration reduite avec le modele numerique adapte aux materiaux isotropes transverses, ceselements etant imposee par la technique de remaillage automatique. L’utilisation d’elements a integrationcomplete afinerait les resultats, sachant que le comportement du materiau est fortement non-lineaire.

De plus, les variations d’effort observees sur les courbes experimentales ne sont pas rendu par la sim-ulation numerique. Ce probleme a certainement pour origine la prise en compte par le modele numeriqued’une densite homogene pour le materiau, en contradiction avec l’heterogeneite naturelle du balsa. Ainsi, lasimulation ne “voit” pas les augmentations ou diminutions locales de densite presentes dans les echantillonsutilises lors de la campagne experimentale (apparition par exemple de “noeuds” caracteristiques du bois ausein de l’eprouvette) et ne peut donc que fournir une courbe “lissee” exempte de ces legeres variations locales.

Un bilan plus exhaustif des ameliorations et ouvertures pour les simulations et le modele sera realise plusloin dans le paragraphe “Discussion sur la modelisation, ouvertures” (paragraphe V.6.3).

6.2 Simulation de l’essai sur tour de chute sur le liege

Nota Bene : Les essais dynamiques d’indentation sur le materiau balsa n’ont pu etre realises au coursde ces travaux de these. La validation du modele numerique prenant en compte la vitessede deformation va donc s’appuyer sur les essais de tour de chute realises lors de l’etude dumateriau liege. Les equations du modele prenant place dans cette partie de la redaction, lasimulation de ces essais est donc incluse ci-apres et non dans la partie portant sur le liegeagglomere.


La partie precedente sur la simulation des essais d’indentation a permis de valider la programmationnumerique pour des essais statiques. Afin de valider la mise en equation prenant en compte la vitesse dedeformation et donc attenant au domaine de la dynamique, les essais sur tour de chute exposes dans lapremiere partie de ce travail de these (avec le materiau liege) vont etre simules a l’aide de la VUMATdeveloppee dans ce chapitre.

Ainsi, le modele numerique utilise dans le pargagraphe “Modelisation d’un essai sur tour de chute”(Paragraphe IV.6.4) va etre repris en substituant la loi de comportement materiau “Crushable foam” par laprogrammation VUMAT (l’ensemble des parametres annexes tels que la densite de maillage, les hypothesesde contact et de vitesse initiale, . . .est conserve). Pour cela, trois courbes vont servir de reference :

107

– la courbe contrainte/deformation obtenue lors des essais de compression simple sur le liege, obtenuesur machine de traction/compression universelle, dans une gamme de vitesse de deformation quasi-statique ;

– celle obtenue sur roue inertielle pour une gamme de vitesse de l’ordre de ε = 150− 200s−1 ;– et enfin celle obtenue sur les barres de Hopkinson pour une gamme de vitesse de l’ordre de ε =

1000− 1200s−1.

A partir de ces trois courbes, les donnees elastiques et plastiques ainsi que les courbes d’ecrouissage dumateriau vont etre automatiquement interpolees au fur et a mesure du calcul en fonction de la vitesse dedeformation du materiau. Le schema de la figure 69 represente les donnees interpolees a partir des troiscourbes references.

εi

Exemple de portionde courbe interpolee

ε1

ε2

ε3

E3

E2

E1

Ei

K

Fig. 69 – Methode d’interpolation permettant d’obtenir les parametres materiau a partir des courbes dereferences en fonction de la vitesse de deformation

En fonction de la vitesse de deformation du materiau εi au fur et a mesure de l’avancement de la sim-ulation numerique, l’ensemble des donnees evoquees ci-dessus seront reajustees en se basant sur les troiscourbes references donnees pour trois vitesses de deformations differentes ε1, ε2 et ε3. La fonction d’inter-polation permettant d’introduire un rapport de proportionnalite entre les differentes courbes est libre dechoix en fonction du comportement du materiau observe lors de la campagne experimentale. En pratique, laprogrammation realisee peut se suffire de deux courbes references correspondant aux vitesses de deformationlimites (vitesse de deformation quasi-statique et vitesse de deformation correspondant aux essais sur barresde Hopkinson) afin de construire le faisceau de courbes necessaire a la parametrisation du modele. Cepen-dant, pour des raisons evidentes, un plus grand nombre de courbes references (en rajoutant des courbes a desvitesses de deformation intermediaires) permettra d’augmenter la precision des resultats obtenus en affinantl’interpolation realisee.

Pour les resultats presentes ci-dessous, une fonction d’interpolation lineaire entre les trois courbes reference

108

a disposition a ete retenue. Les parametres materiaux et parametres elastiques utilises sont recapitules par letableau 19 (le cas echeant en fonction de la vitesse de deformation). On rappelle que pour sa partie elastique,le materiau est considere comme isotrope.

Densite (kg/m3) 268

Coefficient de Poisson elastique (independant de ε) 0

Vitesse de deformation consideree Module d’Young correspondant (MPa)

Quasi-statique : 10−2s−1 6.56

Intermediare : 170s−1 11.59

Dynamique rapide : 1000s−1 16.5

Tab. 19 – Parametres utilises pour la modelisation d’un essai de tour de chute sur le materiau liege a l’aidede la programmation VUMAT

Pour completer les donnees necessaires au calcul, il reste a determiner les parametres plastiques dumateriau Pij. Pour ce faire, la donnee α, facteur de forme de la surface d’ecrouissage pour cette modelisation(cf. “Specificite du code de calcul Abaqus : le sous-modele a ecrouissage volumetrique” (Paragraphe IV.3)ainsi que “Modelisation des materiaux isotrope et isotrope transverse : application au liege (ParagrapheII.3.3)) est indispensable. A partir de la presentation du modele effectuee dans les chapitres sus-cites, lefacteur de forme α s’obtient par l’equation (90).

α =3k√

(3kt + k)(3 − k)(90)

Pour rappel, les coefficients Pij sont donnes par (cf. equation(11)) :

P11 = P22 = P33 = 1, P12 = P23 = P13 =1 − 2α2/91 + α2/9

et P44 = P55 = P66 =3

2(1 + α2/9)

Les rapports k et kt (cf. equation (33)) etant fixes a k = 2.99 et kt = 10 lors de la simulation effectueesur le liege, les parametres plastiques Pij prennent les valeurs rappelees dans le tableau 20.

109

Grandeurs Valeur

k 2.99

kt 10

α 15.62

P11 = P22 = P33 1

P12 = P23 = P13 1.893

P44 = P55 = P66 0.053

Tab. 20 – Parametres plastiques utilises pour la modelisation d’un essai de tour de chute sur le materiauliege a l’aide de la programmation VUMAT

Resultats

Le principal resultat observe sur ce type d’essai est l’effort reactif mesure sur le bati en fonction del’ecrasement de l’echantillon. Sont superposes sur le graphique 70 les resultats de la simulation numeriqueeffectuee ainsi que ceux obtenus lors de la campagne experimentale sur le materiau liege.

0

500

1000

1500

2000

Effor

t(N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Ecrasement (mm)


Resultat numerique

-

Fig. 70 – Comparaison des courbes de reponse experimentales et de la simulation numerique realisee a l’aidede la programmation VUMAT prenant en compte le parametre vitesse de deformation pour les essais de tourde chute sur le materiau liege

110

Conclusion

En comparaison avec les resultats obtenus dans “Modelisation d’un essai sur tour de chute” dans la partieattenante au materiau liege (Paragraphe IV.6.4), on note une amelioration quant a la justesse du calcul etce sur deux points :

– lors de la simulation initiale realisee avec le modele materiau “Crushable foam”, un ecart quantifiableentre simulation et experimentation a ete mis en avant, notamment au dela d’un ecrasement de 4mm.En effet, les deux courbes resultats tendaient a diverger pour des ecrasements superieurs a cette valeur,l’ecart augmentant avec l’ecrasement. De plus, compte tenu des hypotheses prises pour realiser cettesimulation initiale (notamment sur la courbe d’ecrouissage), il n’etait pas envisageable de pouvoircomparer les deux courbes au dela d’un ecrasement de 5mm. Ici, la comparaison entre simulation etexperience peut se realiser jusqu’a un ecrasement de 7mm correspondant au rebond de l’impacteur surl’echantillon (et donc de la fin du contact entre ces deux entites).

– l’ecart relatif entre les courbes experimentales et la simulation numerique s’est reduit, les courbes pou-vant maintenant quasiment se superposer.

L’ensemble de ces ameliorations peuvent s’expliquer par la prise en compte du parametre vitesse dedeformation de maniere plus precise (pour chaque increment de temps et “localement” au niveau de chaquemaille du modele numerique contrairement a la simulation initiale ou la vitesse de deformation etait evalueede maniere globale et uniforme).

Les quelques ecarts encore visibles sur ce resultat (notamment l’ecrasement maximum atteint lors de lasimulation) peuvent s’expliquer par la methode d’interpolation des parametres materiaux. Ainsi, l’utilisationd’une interpolation d’ordre superieure (non effectuee au cours de ces travaux de these) par rapport a uneinterpolation lineaire permettrait surement d’affiner les resultats. Une densification du maillage serait aussiune voie de progression substantielle car cela permettrait de prendre en compte la vitesse de deformation dumateriau de maniere plus precise, au detriment cependant du temps de calcul.

6.3 Discussion sur la modelisation, ouvertures

Sur les deux types de simulation realisee, les resultats numeriques montrent une adequation satisfaisanteavec les resultats experimentaux observes, et ce pour des gammes de vitesse de deformation quasi-statiqueet dynamique rapide. Ainsi, concernant les essais d’indentation sur le materiau balsa, le modele materiaus’est montre performant malgre quelques aleas sur les resultats. La simulation sur tour de chute avec lemateriau liege agglomere a permis de conforter la programmation prenant en compte le parametre vitesse dedeformation mais surtout l’hypothese forte d’adequation des parametres materiau en fonction du parametreinstantanne vitesse de deformation. Compte tenu des resultats obtenus pour cette derniere, on peut concluresur la validation de la methode proposee et des hypotheses retenues.

Cependant, ces resultats sont a nuancer. En effet, meme s’ils sont satisfaisants, il convient de concederqu’ils ne sont pas exhaustifs. La validation d’un modele de comportement materiau integre dans un codede calculs necessite ainsi des verifications plus nombreuses permettant de deceler par exemple les defautsde modelisation dans certains cas particuliers, les carences face a des comportements materiau difficiles aapprehender, etc . . .

De fait, on peut proposer, pour l’amelioration du modele et de sa programmation, les points suivants :

– il est necessaire de mener d’avantage de verifications sur la robustesse de la programmation concernantles arrets intempestifs (pour defaut de convergence) et les oscillations d’origine numerique observes lorsles simulations d’essai d’indentation. L’adequation des elements choisis pour le maillage et de l’optionde remaillage automatique du code est une des premieres pistes pour expliquer ce constat. De plus,lors de tests additionnels menes en dehors de ces travaux de these, il est apparu que les parametresmateriau de cisaillement, elastique et plastique, influaient fortement sur la stabilite des calculs realises ;

111

– il semble judicieux d’etudier la prise en compte de l’heterogeneite des materiaux, ce parametre influantfortement sur le comportement des materiaux cellulaires ;

– la prise en compte du parametre vitesse de deformation par l’analyse de la reponse experimentale dumateriau impose de mener des essais plus nombreux afin de pouvoir affiner les resultats obtenus. Eneffet, correler plus precisement les parametres materiaux en fonction de la vitesse de deformation, enprenant en compte un plus grand nombre de gammes de vitesse, ne pourrait etre que benefique quanta la precision des simulations effectuees ;

– completer le modele presente en prenant en compte la viscosite (comme cela est habituellement faitnotamment dans les modeles viscoplastiques a critere de Von Mises) conjugue a la prise en comptede la vitesse de deformation telle qu’elle a ete presentee dans ces travaux de these est une voie dedeveloppement a etudier avec beaucoup d’interet. En effet, les modeles viscoplastiques donnent d’ex-cellents resultats pour la modelisation des materiaux isotropes et son adaptation aux modeles isotropestransverses semble prometteuse ;

– enfin, une etude de caracterisation materiaux plus etoffee permettrait de statuer sur le type de loid’ecoulement retenue. En effet, le choix du potentiel d’ecoulement permet d’ameliorer la reponse dumodele et ainsi de l’adapter au mieux au materiau etudie.

Ces quelques remarques semblent, a la vue des resultats exposes dans ce chapitre, les premiers pointsd’amelioration a etudier en vue de completer le modele propose.

112

Conclusion et perspectivesLe principal but de ces travaux de these etait le developpement d’un modele de comportement materiau

s’adaptant au bois, permettant de realiser des simulations de crash dans le cadre de la validation du pro-duit “conteneur” developpe par le CEA et prenant donc en compte le parametre “vitesse de deformation”.A partir des moyens de simulation numerique disponibles au sein du CEA et des moyens experimentauxdu LAMEFIP, l’etude s’est focalisee sur deux essences differentes, le liege agglomere et le balsa, tout deuxmateriaux cellulaires mais au comportement distinct (isotropie et orthotropie/isotropie transverse) et sur lecode de calculs Abaqus.

Une etude bibliographique a permis de differencier ces deux essences de bois dans leur comportementgeneral tout en mettant en avant l’influence du parametre vitesse de deformation. La densite, element impor-tant pour l’etude des materiaux cellulaires, a volontairement ete mise de cote compte tenu de la litteratureet des modeles numeriques associes abondants a son sujet. Suite a ces observations, le choix d’un criterequadratique comme pierre angulaire des modeles materiau a ete arrete et a par la suite permis de definirdeux axes de recherche, correspondant aux deux comportements distincts de ce materiau. Ainsi, le modele“crushable foam” du code Abaqus a ete retenu pour l’etude du liege agglomere, le developpement d’unmodele utilisateur etant realise pour l’etude du balsa.

Cet etat de l’art a mis en evidence la demarche a adopter pour toute etude de modelisation d’un materiau,quelque soit sa nature. La demarche retenue pour ces travaus de these et donc pour la modelisation et l’etudede lois de comportement du mateirau bois est la suivante :

– dans un premier temps, l’analyse du triptyque suivant est essentielle :

– le premier point est “l’identification experimentale” : elle se decompose en une campagne de car-acterisation et une campagne d’essais sur structures. La campagne d’experimentation permet demettre en evidence les caracteristiques du materiau ainsi que ses grandeurs mecaniques telles quedensite, module d’Young, courbe de contrainte-deformation en compression quasi-statique uniaxiale,. . .. L’ensemble de ces elements vient “alimenter” la loi de comportement du modele numerique avecles donnees necessaires a son fonctionnement. La campagne d’essais sur structures (par exempletest sur tour de chute, crash test de conteneurs) sert de base de donnees afin de verifier la bonneadequation du modele numerique mis en place ;

– le second point est le choix de la loi de comportement a integrer dans le modele numerique. Il estessentiel d’orienter de la maniere la plus precise possible les equations retenues pour la constitutionde la loi de comportement.

Ces deux points sont a mener en parallele car chacun peut avoir une influence sur l’autre. En effet,des conclusions tirees de l’etat de l’art peuvent orienter au mieux la campagne experiementale toutcomme des observations experimentales sur le comportement du mateirau peuvent influer sur lesequations de la loi de comportement ;

– le troisieme point est la mise en place du modele numerique dans le code de calcul, pour simulation.Ce modele est etroitement lie aux deux points precedents, des problemes numeriques (maillage parexemple) pouvant avoir un impact sur eux et reciproquement ;

– dans un deuxieme temps, une simulation d’essais sur structures, basee sur le modele numerique mis enplace, est realisee afin de verifier sa bonne adequation avec les resultats experimentaux. Deux possib-lites s’offrent alors :

– si l’adequation est faible, le triptyque evoque plus haut est alors repris afin de corriger le modelenumerique mis en place ;

– en cas d’adequation jugee satisfaisante, l’ensemble des travaux realises (identification experimentale,loi de comportement, modelisation numerique) est valide.

113

Cette demarche a ete appliquee a chaque etude d’essence de bois, le liege agglomere et le balsa, pouraboutir aux resultats ci-dessous.

Pour le materiau liege agglomere, le modele materiau retenu etant le modele “crushable foam”, il a etenecessaire de batir une campagne de caracterisation permettant d’obtenir les parametres necessaires a sonfonctionnement. Ainsi, des essais de compression simple pour differentes gammes de vitesse de deformationet des essais de compression hydrostatique ont ete realises. Cette campagne a ete completee par des essaisde traction simple. Cependant, compte tenu des moyens experimentaux a disposition, le seuil en traction hy-drostatique, parametre indispensable au modele, n’a pu etre determine. Concernant les essais sur structures,des essais bresiliens, des essais sur tour de chute mais aussi le crash d’un conteneur viennent former la basede donnees necessaire a la validation de la modelisation. Afin de palier l’impossibilite experimentale, destechniques de methode inverse et d’analyse des epreuves numeriques ont ete mises en place afin de pouvoirconclure sur la validite de la modelisation du materiau liege par la loi du code Abaqus.

Au bilan, le modele “crushable foam” n’a pas reussi a rendre le comportement du liege soumis a un champde sollicitations complexes (essai bresilien et crash de conteneur). Ce modele a en effet montre ses limitesnotamment pour des champs de contrainte en traction, en partie dues au choix des equations constituant laloi de comportement. Cependant, une information essentielle est ressortie de la simulation de l’essai sur tourde chute. En prenant en compte l’evolution de la reponse du materiau en fonction du parametre vitesse dedeformation, le modele s’est revele satisfaisant pour la simulation de ces essais. Cette observation a orienteles travaux de developpement du modele pour le materiau balsa.

Dans la deuxieme partie de ce memoire, portant sur le materiau balsa, un modele reposant sur uncritere d’admissibilite quadratique a ete mis en place. Apres une description detaillee du probleme continu,le schema d’integration implicite d’Euler a ete retenu pour l’obtention du probleme incremental. L’ideemaıtresse d’adapter en permanence les caracteristiques materiau aux composantes du tenseur de la vitessede deformation est a la base du developpement du modele materiau via le module utilisateur explicite ducode (le module VUMAT) permettant par la suite de realiser des simulations aussi bien dans le domaine dela quasi-statique que dans le domaine de la dynamique rapide. La campagne de caracterisation s’est articuleeautour de l’obtention des parametres necessaires aux modeles, notamment au travers d’essais de compressionsimple dans les trois directions d’orthotropie materiau, les directions de cisaillement, et ce pour des gammesde vitesse de deformation quasi-statique et dynamique. La campagne d’essais sur structures s’est composeed’essais d’indentation pour differentes formes de poincon et differentes directions de sollicitations. Concer-nant l’implementation du modele au sein du code de calcul, la premiere etape a consiste en une verification dela programmation VUMAT en la confrontant aux lois de comportement pre-existantes (loi elasto-plastiqueet loi “crushable foam”) sur des simulations d’essais d’indentation. Suite aux resultats satisfaisants obtenus,les resultats des simulations des essais d’indentation sur le balsa ainsi que des essais de tour de chute sur leliege agglomere, au travers de la programmation VUMAT, ont ete comparees aux campagnes experimentalesrealisees au sein du LAMEFIP.

Au bilan, l’ensembles des simulations realisees (essais de verification, d’indentation et de tour de chute)a donne des resultats tres satisfaisants,encourageants. La programmation mise en place, couplees aux car-acteristiques mecaniques du balsa, a cependant montree les “limitations numeriques” du modele, en partic-ulier en mettant en evidence les problemes de concentration de contrainte et de distortion du maillage.

Suite a ces travaux de these, et notamment la modelisation, un ensemble de perspectives ont ete proposeesa la fin du chapitre III, paragraphe 6.3. Les principales voies mises en evidence sont les suivantes :

– la verification de la robustesse de la programmation proposee et de sa bonne adequation avec les op-tions numeriques retenues telles que le choix du maillage, de la technique de remaillage automatique,etc . . .Le probleme de la concentration de contrainte, probleme largement identifie dans la litterature,est a analyser de maniere approfondie, notamment pour un application (comme c’est le cas dans cestravaux de these) a des materiaux au comportement “adoucissant” ;

114

– la prise en compte de la densite du materiau et en particulier du caractere heterogene du bois ;

– une campagne experiementale plus poussee permettrait d’affiner la loi de comportement retenue (memesessais realisees a un plus grand nombre de vitesses de deformation, meilleurs determination du cisaille-ment) ;

– la prise en compte de la viscosote du materiau (comme habituellement dans les lois de comportementviscoplastiques a critere de Von Mises) conjugue au parametre vitesse de deformation semble d’ungrand interet et prometteur.

Ces quelques perspectives ne sont pas exhaustives, les voies d’amelioration etant nombreuses, mais ellessont essentielles a une meilleure comprehension (et modelisation) des materiaux cellulaires dont le bois, avecle liege agglomere et le balsa, fait partie.

115

References

[1] C. Adalian. Comportement du bois en compression dynamique multiaxiale - Application a la simulationde crashs de conteneurs. PhD thesis, Ecole doctorale des sciences physiques de l’ingenieur, UniversiteBordeaux 1, 1998.

[2] O. Anjos, H. Pereira, and E. Rosa. Relation between mechanical properties of cork from quercus suber.[3] C. Bacon. An experimental method for considering dispersion and attenuation in a viscoelastic hopkin-

son bar. Experimental Mechanics, 38, 1998.[4] C. Bacon. Separation of waves propagating in an elastic or viscoelastic hopkinson pressure bar with

three-dimensionnal effects. International Journal of Impact Engineering, 22(1) :55–69, 1999.[5] J-S. Blazy. Comportement mecanique des mousses d’aluminium : caracterisations experimentales sous

sollicitations complexes et simulations numeriques dans le cadre de l’elasto-plasticite compressible. PhDthesis, Ecole Nationale Superieure des Mines de Paris, 2003.

[6] R. Bouix, P. Viot, and J-L. Lataillade. Polypropylene foam behaviour under dynamic loading : strainrate, density and microstructure effects. International Journal of Impact Engineering, 36(2) :329–342,2009.

[7] R. Bouix, Ph. Viot, and J.L. Lataillade. Phenomenological study of a cellular material behaviour underdynamic loadings. Journal de Physique IV, 134 :109–116, 2006.

[8] M.N. Bussac, P. Collet, G. Gary, and R. Othman. An optimisation method for separating and rebuildingone-dimensional dispersive waves from multi-point measurements. application to elastic or viscoelasticbars. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 50 :321–349, 2002.

[9] E. Chauvet. Ref. Ensemble CEA : 7099D200.[10] Dassault Systemes. Abaqus analysis user’s manual, volume 3 : materials, version 6.7 edition, 2007.[11] Dassault Systemes. Abaqus theory manual, version 6.9 edition, 2009.[12] V.S. Deshpande and N.A. Fleck. High strain rate compressive behaviour of aluminium alloy foams.

International Journal of Impact Engineering, 24 :277–298, 2000.[13] V.S. Deshpande and N.A. Fleck. Isotropic constitutive model for metallic foams. Journal of the me-

chanics and physics of solids, 48 :1253–1276, 2000.[14] T. Dillard. Caracterisation et simulation numerique du comportement mecanique des mousses de

nickel : morphologie tridimensionnelle, reponse elastoplastique et rupture. PhD thesis, Ecole NationaleSuperieure des Mines de Paris, 2004.

[15] F. Dunne and N. Petrinic. Introduction to computational plasticity. Oxford University Press, 2007.[16] I. Elnasri. Comportement des materiaux cellulaires sous impact et de panneaux sandwichs sous perfo-

ration dynamique. PhD thesis, Ecole Normale Superieure de Cachan, 2006.[17] D. Francois, A. Pineau, and A. Zaoui. Comportement mecanique des materiaux. Elasticite et plasticite.

Hermes, 1995.[18] P. Francois. Plasticite du bois en compression multiaxiale. PhD thesis, Universite Bordeaux 1, 1992.[19] F. Galvez and V. Sanchez Galvez. Numerical modelling of shpb splitting tests. Journal de Physique IV,

110, 2003.[20] C.P. Gameiro and J. Cirne. Dynamic axial crushing of short to long circular aluminium tubes with

agglomerate cork filler. International Journal of Mechanical Sciences, 49 :1029–1037, 2007.[21] C.P. Gameiro, J. Cirne, and G. Gary. Dynamic crushing behaviour of aluminium tubes filled with cork.

Journal de Physique IV France, 134 :1207–1214, 2006.[22] C.P. Gameiro, J. Cirne, and G. Gary. Experimental study of the quasi-static and dynamic behaviour

of cork under compressive loading. Journal of Materials Sciences, 42 :4316–4324, 2007.[23] G. Gary and J.R. Klepaczko. Quasi-static and impact tests of honeycomb. Journal de Physique IV,

134 :819–826, 2006.[24] L.J. Gibson and M.F. Ashby. Cellular Solids, structure and properties - second edition. Cambridge

University Press, 1997.

116

[25] V. Goussery-Vafiades. Caracterisations microstructurale er mecanique de mousses de nickel a cellulesouvertes pour batteries de vehicules hybrides. PhD thesis, Ecole Nationale Superieure des Mines deParis, 2004.

[26] B. Hopkinson. A method of measuring the pressure produced in the detonation of high explosives orby the impact of bullets. Philos. Trans. Royal Soc. of London, 213 :437–456, 1914.

[27] Graff K.F. Wave motion in elastic solids. Ohio State University Press, 1975.

[28] H. Kolsky. An investigation of the mechanical properties of materials at very high rates of loading.Proc. Phys. Soc. of London, 62 :676–700, 1949.

[29] Forest Products Laboratory. Wood hand book : wood as an engineering material, 1987.

[30] LAMEFIP. http ://www.lamef.bordeaux.ensam.fr/plate-forme-tech/pdfimpact/tourdechute.pdf.

[31] M. Laroussi. Modelisation du comportement des mousses solides a porosite ouverte : une approchemicromecanique. PhD thesis, Ecole Nationale des Ponts et Chaussees, 2002.

[32] B. Lundberg and A. Henchoz. Analysis of elastic waves from txo-point strain measurement. ExperimentalMechanics, 17(6) :213–218, 1977.

[33] S. Pattofatto. Comportmeent dynamique du beton frais. Application au procede de fabrication desparpaings. PhD thesis, Ecole Normale Superieure de Cachan, 2004.

[34] M.J. Pronk. A fe model for energy absorbeur timber elements in highway guardrail. University of Delft,Avril 2002.

[35] M. Quidot. Numerical simulation of the dynamic brazilian test on a high filled polymer. Journal dePhysique IV, 110, 2003.

[36] C. Rocco, G.V. Guinea, J. Planas, and M. Elices. Size effect and boundary conditions in the braziliantest : experimental verification. Material and Structures, 32 :210–217, 1999.

[37] C. Rocco, G.V. Guinea, J. Planas, and M. Elices. Size effect and boundary conditions in the braziliantest : theorical analysis. Material and Structures, 32 :437–444, 1999.

[38] Bilkhu S. Communication privee interne. Dassault Systemes, 1987.

[39] J.C. Simo and T.J.R. Hughes. Computational inelasticity. Springer, 2000.

[40] V.L. Tagarielli, V.S. Deshpande, N.A. Fleck, and C. Chen. A constitutive model for transversely isotropicfoams, and its application to the indentation of balsa wood. International Journal of Mechanical Sci-ences, 47 :666–686, 2005.

[41] Y. Tillier. Identification par analyse inverse du comportement mecanique des polymeres solides ; appli-cations aux sollicitations multiaxiales et rapides. PhD thesis, Ecole Nationale Superieure des Mines deParis, 1998.

[42] P. Viot. Hydrostatic compression on polypropylene foam. International Journal of Impact Engineering,36(7) :975–989, 2009.

[43] P. Viot and J-L. Barou. Caracterisation d’un balsa sous sollicitations de compression statique et dy-namique. Technical report, LAMEFIP, ENSAM de Bordeaux, 2009.

[44] P. Viot and J-L. Barou. Caracterisation d’un materiau bois sous sollicitations statique et dynamique.Technical report, LAMEFIP, ENSAM de Bordeaux, 2009.

[45] H. Zhao and G. Gary. A three dimensional analytical solution of the longitudinal wave propagation in aninfinite linear viscoelastic cylindrical bar. application to experimental techniques. Journal of Mechanicsand Physics of Solids, 43 :1335–1348, 1995.

[46] H. Zhao and G. Gary. A new method for the separation of waves. application to the shpb technique foran unlimited duration of measurement. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 45(7) :1185–1202,1997.

[47] H. Zhao and G. Gary. On the use of a viscoelastic spilt hopkinson pressure bar. International Journalof Impact Engineering, 19(4) :319–330, 1997.

117

Annexe 1 : algorithme general du module ex-plicite

Algorithme general du module explicite

L’equilibre d’un probleme general de dynamique est regi par le systeme Sd (systeme (91)).

Sd ⇐⇒

MU(t) + CU(t) + KU(t) = P(t)U(0) = U0

U(0) = V0

(91)

Dans le systeme Sd :

– U0 et V0 correspondent aux conditions initiales du probleme,– KU(t) represente les efforts elastiques,– CU(t) les efforts d’amortissement,– MU(t) les efforts d’inertie,– P(t) le chargement exterieur.

Dans la formulation aux elements finis, ce systeme d’equations se traduit par l’equation (92) :

MU + I− P = 0 (92)

avec :

– M la matrice de masse invariante,– la matrice I regroupant les efforts elastiques (KU(t)) ainsi que les efforts d’amortissement

(CU(t)

),

– la matrice P traduisant le terme P(t).

Ainsi la discretisation spatiale de la methode des elements finis permet de transformer le systeme Sd

d’equations differentielles en espace et en temps en une equation differentielle en temps, non-lineaire. Cesysteme est maintenant resolvable par des methodes numeriques. L’ensemble des methodes utilises par lecode de calculs ainsi que les equations associees sont referencees de maniere precise dans le manuel theoriquedu code [11].

118

Annexe 2 : campagne experimentale d’identi-fication du materiau balsa

Presentation

Cette annexe expose la campagne experimentale d’identification du materiau balsa [43]. Elle a ete realiseedans le cadre d’un contrat d’accompagnement de these mettant en place une collaboration entre le CEA etle LAMEFIP. L’ensemble des resultats exposes ci-dessous sont issus du rapport etabli par Philippe Viot etJean-Luc Barou.

1 Description des essais

Au cours de cette campagne experimentale, trois types d’essais ont ete realises sur le balsa :

– des essais de compression uniaxiale quasi-statique jusqu’a une deformation totale de l’echantillon del’ordre de 75%,

– des essais de compression par paliers quasi-statique avec cyclage comme lors de la campagne sur le liegejusqu’a une deformation totale de l’echantillon de l’ordre de 75%. Les paliers sont fixes ici de manierearbitraire a 8, 33%, 25%, 37, 5%, 50% et 62, 5% de deformation totale de l’echantillon ;

– des essais de compression uniaxiale dynamique jusqu’a une deformation totale de l’echantillon de l’or-dre de 75%.

Les deux premiers types d’essais sont realises sur la machine de traction-compression Zwick, les essaisdynamiques etant quant a eux realises sur barres de Hopkinson pour une gamme de vitesse de deformationde l’ordre de 850 − 900 s−1. L’ensemble de ces essais a pour but d’identifier les caracteristiques mecaniquesdu materiau, en fonction de la densite propre de chaque echantillon, de facon a pouvoir determiner lesparametres du modele explicites dans le paragraphe “Definition des parametres du modele” (ParagrapheV.2.5).

Pour la determination des modules d’elasticite en compression ainsi que des seuils d’elasticite, la methodedes tangentes exposee lors de l’etude experimentale sur le liege agglomere sera appliquee. Chaque courbe dereponse sera associee a la densite de l’eprouvette etudiee.

Le balsa etant un materiau considere comme orthotrope, plusieurs types d’eprouvettes ont ete realiseesafin de caracteriser chaque direction d’orthotropie du materiau ainsi que les directions de cisaillement. Ledescriptif de ces eprouvettes est realise ci-apres.

2 Description des differents types d’eprouvettes

Plusieurs types d’eprouvettes ont ete realises afin de caracteriser le materiau balsa en compression dansl’ensemble des directions necessaires au modele numerique mis en place. Les essais portent sur des eprouvettesparrallelepipediques de dimension 24 mm × 24 mm × 16 mm, la direction de 16 mm etant a chaque fois la di-rection de sollicitation. Le descriptif des eprouvettes (ainsi que leur representation associee) est le suivant [9] :

– les eprouvettes dites de “Type 1” pour une sollicitation dans la direction longitudinale du materiau.Une representation graphique ainsi qu’un schema de son obtention a partir du brut sont donnes parles figures 71 et 72.

119

Dir. TR

Dir. R

Dir. T

Dir. L

Fig. 71 – Vue 3D de l’eprouvette Type 1 et del’orientation des fibres

Fig. 72 – Positionnement de l’eprouvette dans lechevron de brut en vue de son obtention

– Les eprouvettes dites de “Type 2” pour une sollicitation dans la direction radiale du materiau. Unerepresentation graphique ainsi qu’un schema de son obtention a partir du brut sont donnes par lesfigures 73 et 74.

Dir. L

Dir. R

Dir. T



– Les eprouvettes dites de “Type 3” pour une sollicitation dans la direction tangentielle du materiau.Une representation graphique ainsi qu’un schema de son obtention a partir du brut sont donnes parles figures 75 et 76.

120

Dir. L

Dir.R

Dir. T



– Les eprouvettes dites de “Type 4” pour une sollicitation dans la direction a 45◦ entre la directionradiale et la direction tangentielle du materiau. Une representation graphique ainsi qu’un schema deson obtention a partir du brut sont donnes par les figures 77 et 78.

Dir. T Dir. R

Dir. L



– Les eprouvettes dites de “Type 6” pour une sollicitation dans la direction a 45◦ entre la directionlongitudinale et une direction comprise dans le plan transverse du materiau. Ces eprouvettes sontcomposees de trois eprouvettes collees entre elles : deux echantillons type 61 de dimension 24 mm × 6mm × 16 mm et un echantillon type 62 de dimension 24 mm × 12 mm × 16 mm dont une representationgraphique est proposee sur la figure 79. Lors de l’assemblage de ces trois echantillons, la directionlongitudinale de l’echantillon 61 sera collee en concordance avec la direction du plan tangent/radialde l’echantillon 62 (resonnement identique avec la direction du plan tangent/radial de l’echantillon 61

121

avec la direction longitudinale de l’echantillon 62). L’eprouvette finale est ainsi de dimension 24 mm× 24 mm × 16 mm dont la direction de sollicitation est celle evoquee en debut de paragraphe. Unschema d’obtention des echantillons 61 et 62 a partir du brut est donne par la figure 80.

Dir. TR

Dir. L

Fig. 79 – Vue 3D des echantillons Type 61 et 62

et de l’orientation des fibres

Fig. 80 – Positionnement des echantillons dans lechevron de brut en vue de leur obtention

3 Les essais sur eprouvette de type 1

3.1 Resultats quasi-statiques

Compression simple

Sont representes sur la figure 81 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression simple.On note une nette augmentation de ses caracteristiques mecaniques avec l’augmentation de sa densite. Lemateriau a de plus un comportement plastique rheadoucissant pour cette direction de sollicitation.

Compression par paliers

Sont representes sur la figure 82 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression parpaliers avec cyclage. On tire de ces resultats les memes remarques que precedemment (augmentation de lareponse mecanique en fonction de la densite) et on note une legere diminution du module d’elasticite dumateriau au cours de sa plastification.

122

0

5

10

15

20

25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

Echantillon de 231 kg/m3

Echantillon de 212.6 kg/m3


Fig. 81 – Courbe de contrainte-deformation pour les essais de compression quasi-statique uniaxiale simplesur les eprouvettes de type 1

0

5

10

15

20

25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale




Con

trai

nte

(MPa)

Fig. 82 – Courbe de contrainte-deformation pour les essais de compression quasi-statique uniaxiale par palierssur les eprouvettes de type 1

123

Resultats

Les caracteristiques mecaniques estimees pour ces essais sont resumees dans le tableau 21.

Densite (kg/m3) Module d’elasticite (MPa) Seuil d’elasticite (MPa)200.6 500 18.4203.1 408 18.6212.6 510 20.6231 535 23.5

233.6 547 24.1234.5 550 23.95

Tab. 21 – Resultats en compression quasi-statique simple et par paliers dans la direction longitudinale dumateriau

3.2 Resultats dynamiques

Compte-tenu des moyens a disposition, les essais de compression uniaxiale suivant la direction longitudi-nale du materiau n’ont pu etre realises sur les barres de Hopkinson au cours de ces travaux de these.



Compression simple

Sont representes sur la figure 83 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression simple.Comme pour les essais dans la direction longitudinale, on note une nette augmentation de ses caracteristiquesmecaniques avec l’augmentation de sa densite. Le materiau a de plus un comportement plastique type mousseelastomerique pour cette direction de sollicitation, comportement similaire a celui mis en evidence pour leliege agglomere.


Sont representes sur la figure 84 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression parpaliers avec cyclage. On tire de ces resultats les memes remarques que precedemment (augmentation de lareponse mecanique en fonction de la densite) et on note une diminution marquee du module d’elasticite dumateriau au cours de sa plastification.

124

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

2

4

6

8

10

12





0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

2

4

6

8

10





125

Resultats


Densite (kg/m3) Module d’elasticite (MPa) Seuil d’elasticite (MPa)171.4 29 1.32196.5 47 1.5229.8 49 1.55230.9 47 1.6237.2 57 1.9239.8 61 1.72

Tab. 22 – Resultats en compression quasi-statique simple et par paliers dans la direction radiale du materiau


Sont representes sur la figure 85 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression dy-namique. On tire de ces resultats les memes remarques que precedemment (augmentation de la reponsemecanique en fonction de la densite), ce malgre l’exception de l’eprouvette de 223.6 kg/m3. Ce graphe mon-tre aussi la tres nette augmentation de la reponse mecanique du materiau avec l’augmentation du parametrevitesse de deformation.


0

5

10

15

20

25

0

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6





Courbe statique

Fig. 85 – Courbe de contrainte-deformation pour les essais de compression uniaxiale dynamique sur leseprouvettes de type 2


126

Densite (kg/m3) Module d’elasticite (MPa) Seuil d’elasticite (MPa)176.7 230 7.8223.6 400 11224.7 310 10.9239.2 305 9.6

Tab. 23 – Resultats en compression dynamique uniaxiale dans la direction radiale du materiau



Compression simple

Sont representes sur la figure 86 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression simple.Les conclusions sont ici identiques a celles pour le meme type d’essai dans la direction radiale du materiau.

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

2

4

6

8

10

12





Sont representes sur la figure 87 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression parpaliers avec cyclage. Les conclusions sont ici identiques a celles pour le meme type d’essai dans la directionradiale du materiau.

127

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)



2

4

6

8

10


Resultats


Densite (kg/m3) Module d’elasticite (MPa) Seuil d’elasticite (MPa)187.9 25 1189.1 22 1238.1 43 1.75252.6 48 1.95

Tab. 24 – Resultats en compression quasi-statique simple et par paliers dans la direction tangentielle dumateriau


Sont representes sur la figure 88 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression dy-namique. Les conclusions sont ici identiques a celles pour le meme type d’essai dans la direction radiale dumateriau.


128


0

4

8

16

20

0

Deformation totale

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Con

trai

nte

(MPa) 12




Courbe statique

Fig. 88 – Courbe de contrainte-deformation pour les essais de compression uniaxiale dynamique sur leseprouvettes de type 3

Densite (kg/m3) Module d’elasticite (MPa) Seuil d’elasticite (MPa)183.2 95 5.3224.6 240 10.2239.4 240 9.5

Tab. 25 – Resultats en compression dynamique uniaxiale dans la direction tangentielle du materiau



Compression simple

Est representee sur la figure 89 la courbe reponse du materiau pour les essais de compression simple. Unseul essai a pu etre mene. On note un comportement de type mousse elastomerique (comme pour le liegeagglomere) pour cette direction de sollicitation.


Sont representes sur la figure 90 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression parpaliers avec cyclage. Cet essai vient conforter la conclusion de l’essai de compression simple. On note de plusun nette diminution du module d’elasticite au fur et a mesure de la plastification du materiau.

129

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

2

4

6

8

10

12

14



0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

2

4

6

8

10

12



130

Resultats


Densite (kg/m3) Module d’elasticite (MPa) Seuil d’elasticite (MPa)250.1 69 2.05254.2 85 2.24

Tab. 26 – Resultats en compression quasi-statique simple et par paliers a 45◦ des directions radiale ettangentielle


Sont representes sur la figure 91 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression dy-namique. Ce graphe montre la tres nette augmentation de la reponse mecanique du materiau avec l’augmen-tation du parametre vitesse de deformation.


00

Deformation totale

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Con

trai

nte

(MPa)

4

8

12

16

20

Echantillon de 179 kg/m3


Courbe statique

Fig. 91 – Courbe de contrainte-deformation pour les essais de compression dynamique uniaxiale sur leseprouvettes de type 4

Les caracteristiques mecaniques estimees pour cet essai sont resumees dans le tableau 27.

131

Densite (kg/m3) Module d’elasticite (MPa) Seuil d’elasticite (MPa)179 257 6.75

231.1 420 9.4

Tab. 27 – Resultats en compression dynamique a 45◦ des directions radiale et tangentielle



Compression simple

Sont representes sur la figure 92 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression simple.Les conclusions sont ici identiques a celles pour le meme type d’essai dans les directions geometriques dumateriau. On peut observer cependant sur la courbe correspondant a une densite materiau de 209, 8 kg/m3

une baisse significative de la contrainte materiau pour la plage de deformation totale [0.4−0.6]. Cette baissepeut etre expliquee par une dissociation prematuree des trois echantillons composant l’eprouvette.

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

2

4

6

8

10






Sont representes sur la figure 93 les courbes reponses du materiau pour les essais de compression simple.Les conclusions sont ici identiques a celles pour le meme type d’essai dans les directions geometriques dumateriau.

132

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa)

2

4

6

8

10




Resultats


Densite (kg/m3) Module d’elasticite (MPa) Seuil d’elasticite (MPa)209.8 65 2.75228.2 84 3.4240.1 87 3.35247.6 84 3.4261.5 86 3.60

Tab. 28 – Resultats en compression quasi-statique simple et par paliers a 45◦ de la direction longitudinaleet d’une direction comprise dans le plan transverse


Cet essai est presente ici pour information mais n’est pas directement exploitable (graphe 94). En effet, aucours de celui-ci, l’integrite de l’eprouvette n’a pu etre garantie, l’assemblage des echantillons la composantn’ayant pas resiste a la vitesse de l’impacteur du systeme des barres de Hopkinson.

133

0

4

8

16

20

0

Deformation totale

Con

trai

nte

(MPa) 12


0.20.1 0.3 0.4 0.5

Fig. 94 – Courbe de contrainte-deformation pour les essais de compression dynamique uniaxiale sur leseprouvettes de type 6


Densite (kg/m3) Module d’elasticite (MPa) Seuil d’elasticite (MPa)241.5 530 19.3

Tab. 29 – Resultats en compression dynamique a 45◦ de la direction longitudinale et d’une direction comprisedans le plan transverse

134

Annexe 3 : campagne experimentale sur struc-tures du materiau balsa

Presentation

Cette annexe expose la campagne experimentale sur structures realisee sur le materiau balsa [44]. Cesessais se composent d’essais d’indentation avec differentes formes de poincons. Cette campagne a ete realiseedans le cadre d’un contrat d’accompagnement de these mettant en place une collaboration entre le CEA etle LAMEFIP. L’ensemble des resultats exposes ci-dessous sont issus du rapport etabli par Philippe Viot etJean-Luc Barou.

1 Description des essais d’indentation

Ces essais ont ete realises sur machine de traction-compression universelle. Des echantillons de balsaparallelepipediques de dimension 30 mm × 30 mm × 100 mm ont ete indentes avec quatre poincons de formedifferentes et suivant deux directions de sollicitations pour chacun des poincons.

Les deux directions de sollicitations materiaux testees sont les suivantes :

– une correspondant a la direction axiale du materiau, suivant les fibres,– l’autre suivant une direction transverse aux fibres, bissectrice des directions tangentes et radiales du

materiau.

Les quatre types de poincons utilises sont les suivants :

– trois poincons coniques ayant chacun un angle au sommet different (140◦, 120◦ et 60◦),– un poincon cylindrique de rayon R = 35 mm.

Pour chaque essai, la vitesse de deplacement de la traverse est fixe a Vtraverse = 2 mm/min ce quicompte tenu des dimensions des eprouvettes et de la hauteur indentee (30 mm) correspond a une vitesse dedeformation d’echantillon initiale de l’ordre de ε = 10−3 s−1. Ainsi, on se situe dans une gamme de vitessede deformation quasi-statique. Deux schemas de principe de ces essais sont donnes par les figures 95 et 96.

Bati

Eprouvette

Poincon

de l’eprouvetteOrientation des fibres


Fig. 95 – Schema de principe de l’essai avec unpoincon conique suivant la direction des fibres dumateriau (direction longitudinale du materiau)

Bati

Eprouvette


Poincon

Orientation des fibresde l’eprouvette

Fig. 96 – Schema de principe de l’essai avec unpoincon cylindrique suivant une direction trans-verse aux fibres du materiau (direction bissectricedes directions tangente et radiale du materiau)

Les resultats vont etre presentes ci-dessous par type de poincons. La masse volumique de l’eprouvette est

135

rappelee pour chaque resultat. Ils feront l’objet d’une analyse commune a la fin de cette partie.

2 Resultats

2.1 Essais realises avec un poincon conique d’angle au sommet 140◦

Sont representes ci-dessous les resultats pour les essais d’indentation obtenus avec le poincon coniqued’angle au sommet 140◦ :

– la figure 97 represente la courbe reponse de l’effort reactif mesure en fonction de l’ecrasement del’echantillon pour un essai suivant la direction longitudinale du materiau,

– la figure 98 represente la courbe reponse de l’effort reactif mesure en fonction de l’ecrasement del’echantillon pour un essai suivant la direction bissetrice des directions tangente et radiale du materiau.




0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Effor

tm

esure

(N)

0 1 2 3 4 5

Ecrasement (mm)

Fig. 97 – Courbes reponse pour les essais d’indentation avec le poincon conique d’angle au sommet 140◦

avec comme direction de sollicitation la direction longitudinale du materiau

136

Effor

tm

esure

(N)

0

Ecrasement (mm)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000




1 2 3 4 5


avec comme direction de sollicitation la direction bissetrice des directions tangente et radiale du materiau





137

Effor

tm

esure

(N)

Ecrasement (mm)

500

1000

1500

2000

2500

3000




00 1 2 3 4 5



Effor

tm

esure

(N)

Ecrasement (mm)

1 2 3 4 5

500

0

0

1000

1500

2000






138





Effor

tm

esure

(N)

0

200

400

600

800




0 1 2 3 4 5

Ecrasement (mm)



139

Effor

tm

esure

(N)

Ecrasement (mm)

1 2 3 4 5

500

00

1000

1500

2000Echantillon de 187.3 kg/m3





2.4 Essais realises avec poincon cylindrique

Sont representes ci-dessous les resultats pour les essais d’indentation obtenus avec le poincon cylindriquede rayon R = 35 mm :



140

0

Effor

tm

esure

(N)

0 1 2 3 4 5

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000




Ecrasement (mm)

Fig. 103 – Courbes reponse pour les essais d’indentation avec le poincon cylindrique avec comme directionde sollicitation la direction longitudinale du materiau

Effor

tm

esure

(N)

0

Ecrasement (mm)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 2 3 4 5



Fig. 104 – Courbes reponse pour les essais d’indentation avec le poincon cylindrique avec comme directionde sollicitation la direction bissetrice des directions tangente et radiale du materiau

141

Annexe 4 : moyens experimentaux

Le LAMEFIP situe a Bordeaux au sein de L’ENSAM 5 est le laboratoire ou est realise l’ensemble desessais experimentaux de cette etude. Les moyens a disposition permettent notamment d’etudier la reponsedes materiaux a des sollicitations dynamiques afin de le caracteriser a differentes vitesses de deformation.De nombreux parametres sont necessaires pour alimenter les modeles numeriques, que ce soit le modele“Crushable foam” ou le modele pour materiaux isotropes transverses.

Ainsi, des essais de caracterisations ont ete realises (essais de compression uniaxiale de la statique a ladynamique rapide, essais de traction uniaxiale, essais de compression hydrostatique, essais de torsion, . . .)ainsi que des essais sur structures (essais bresiliens, essais de tour de chute, . . .).

La figure (105) represente l’ensemble des vitesses de deformation ε explore au cours de cette campagned’essais ainsi que chaque moyen d’essai associe a sa gamme de vitesses.

Barres de HopkinsonRoue inertielleMachine de traction-

compression universelle

10−5 1 102 5.102 103 5.103

ε (s−1)

Fig. 105 – Repartition des moyens d’essais par gamme de vitesse de deformation

Cette partie fait une presentation complete des moyens experimentaux utilises au cours de ce travail dethese. L’ensemble des essais experimentaux realise est issu d’un contrat d’accompagnement mettant en placeune collaboration entre le CEA et le LAMEFIP. L’auteur a participe et realise de nombreuses manipulationssur le materiau liege, les essais portant sur le balsa etant quant a eux realises par les equipes techniques duLAMEFIP. La campagne experimentale sur ces deux essences de bois a fait l’objet de rapports d’etude pourle compte du CEA.

1 La machine de traction compression universelle

La machine de traction compression utilisee au cours de cette etude est une Zwick Roell Z250 de lagamme Allround-Line dont les caracteristiques principales interessantes pour nos essais sont rappelees dansle tableau 30.

Force d’essai maximum Fn en direction de traction/compression 250 kNVitesse maximum de la traverse Vtrav 600 mm/min

Tab. 30 – Caracteristiques de la machine de traction-compression universelle Zwick Roell 250

La machine est equipee d’un capteur d’effort de meme marque d’une capacite de 10kN ayant une resolutionde l’ordre du 1/10eme de Newton ainsi que d’un capteur de deplacement de traverse.

5Ecole Nationale Superieure des Arts et Metiers

142

2 La roue inertielle

La roue inertielle [7] [42] est un moyen d’essai developpe au sein du LAMEFIP pour realiser des essaisde traction et de compression, uniaxiale (traction et compression) ou hydrostatique (compression) grace aumontage adaptatif de la cellule specifique de compression hydrostatique, pour une gamme moyenne de vitessede deformation allant de 100 s−1 a 500 s−1 (figure 106).

Ce systeme est compose d’une roue en acier d’un metre de diametre, de masse m = 617 kg, supportantle marteau. La roue est entraınee en rotation jusqu’a une vitesse constante par un moteur asynchrone piloteelectroniquement afin de la regler de maniere precise. Une fois la vitesse de rotation desiree obtenue, unverin pneumatique vient sortir l’impacteur de l’enclume. Cette enclume fait partie integrante du palonnierfixee par une liaison pivot au bati. Le marteau vient alors impacter l’enclume, le palonnier est entraıneen rotation et transmet son mouvement au systeme de compression de l’echantillon, fixe par une liaisonglissiere au bati. L’actionneur pneumatique etant simple effet, un systeme de fusible protege le palonnier (etainsi l’echantillon) d’un nouvel impact de la roue. Ce systeme est integre dans le percuteur, il permet de ledesolidariser du palonnier.

Si l’on considere l’inertie importante de la roue (I = 77 kg.m2) en comparaison du faible niveau decontrainte plastique du liege, nous pouvons considerer que les essais de compression se font a vitesse dedeformation quasi-constante. La deformation de l’echantillon est obtenue par la mesure d’un capteur dedeplacement laser dont l’echantillonnage temporel est de 10−4 s−1, valeur suffisante pour obtenir une ex-cellente resolution des releves. Les efforts de compression sont mesures a l’aide d’un capteur d’effort situedirectement sur le systeme de compression (figure 106).

Arrivee

d’air

Capteur de

Capteur de force

EchantillonMarteau

Percuteur (+ fusible)

de bois

deplacement

(laser)

Roue inertielleModule de compression Palonnier

Fig. 106 – Representation schematique de la roue inertielle [42]

143

3 Les barres de Hopkinson

Principe

Ce dispositif a pour origine les travaux menes par Hopkinson en 1914 [26]. La configuration actuelle del’essai en tant que dispositif experimental dedie a l’etude des materiaux solides soumis a de grandes vitessesde deformation uniaxiale est due a Kolsky (en 1949 [28]).

La technique utilisee dans cette campagne experimentale, dont une representation graphique est proposeefigure 107, est la technique SHPB (pour “Split Hopkinson Pressure Bar”).

Piegeur

Impacteur

Traitement des donnees

Barre d’entree Barre de sortie

Echantillon

GuidesElectrovannes

Chambre sous pression

Jauges de deformation

Fig. 107 – Schema des Barres de Hopkinson (technique SHPB)

Le dispositif est constitue de deux barres : une barre entrante et une barre sortante entre lesquelles estplace l’echantillon materiau a tester et un impacteur, projetee a grande vitesse sur la barre entrante gracea un systeme pneumatique. L’impact de ce projectile sur la barre entrante induit une onde de compressiondynamique dans celle-ci (onde incidente a l’interface barre entrante/echantillon). Une partie de cette ondeest reflechie dans la barre entrante, l’autre partie est transmise a l’echantillon qui subit alors un champ decontrainte de compression a grande vitesse et qui a son tour transmet une onde a la barre sortante (ondetransmise a l’interface echantillon/barre sortante). Grace a l’analyse de ces differentes ondes au traversdes jauges de deformation apposees sur les barres entrantes et sortantes et disposees en pont complet deWheatstone, on peut alors determiner le comportement dynamique de l’echantillon et donc du materiau parpost-traitement des signaux. La longueur de l’impacteur doit absolument etre strictement inferieure a lamoitie de celle de la barre entrante afin d’eviter la superposition des ondes si le point de mesure est situeau centre de la barre entrante. L’utilisation de multiples jauges de mesure (nombre variant en fonction de lalongueur de barre et de la methode de transport des ondes utilisee) permet de pallier ce probleme et ausside limiter la longueur des barres [32] [4] [46] [8].

Une representation graphique des signaux bruts a post-traiter est proposee sur la figure 108. On y dis-tingue tres clairement les signaux des ondes incidente, reflechie et transmise. Les barres metalliques, barres

144

les plus communement utilisees, conviennent parfaitement a la caracterisation de materiaux de hautes car-acteristiques mecaniques (type metaux). Dans ce cas, le principe des barres de Hopkinson repose sur la theoriede propagation des ondes dans les solides elastiques (Graff [27]). Cependant, le dispositif a barres metalliquesproduit des signaux de faibles intensites couple a des materiaux dont les caracteristiques mecaniques sontplus faibles tels que les materiaux cellulaires (les signaux produits sont alors du meme niveau que le bruitde mesure). Il convient donc d’adapter l’impedance des barres a l’impedance du materiau teste.

Ainsi, dans le cas des materiaux cellulaires, il est preferable d’utiliser des barres de faible impedance,communement des barres en nylon, dont le comportement est considere comme viscoelastique. L’utilisationde ce type de barres impliquent de prendre en compte les effets de l’attenuation des ondes due a la viscositedu materiau et de la dispersion des ondes due a l’inertie radiale provoquee par le diametre important desbarres [45] [3] [47] [8].

Sig

nau

x(V

)

Temps (ms)

Onde incidente

Onde reflechie

Onde transmise

Fig. 108 – Reproduction schematique de signaux bruts obtenus lors d’un essai sur barres de Hopkinson

Mise en place des equations

La methode utilisee est celle presentee par Bacon [3]. On se place dans l’hypothese de propagation d’ondeunidimensionnelle impliquant une geometrie elancee des barres : leur longueur est grande par rapport a leurrayon.

Soit ρ la densite des barres considerees comme viscoelastiques dont l’axe d’axisymetrie est (O,~x). Al’instant t et pour une abscisse x donnee, la contrainte longitudinale σ(x, t) et la deformation longitudinaleε(x, t) sont reliees au deplacement axial u(x, t) par le systeme d’equations (93).

∂σ(x, t)∂x

= ρ∂2u(x, t)

∂t2

ε(x, t) =∂u(x, t)

∂x

(93)

145

On se place dans le domaine frequentiel de Fourier ou la pulsation s’exprime par ω = 2πf avec f lafrequence. Soient σ(x, ω) et ε(x, ω) les transformees de Fourier respectives de la contrainte σ(x, t) et de la

deformation ε(x, t). La transformee de Fourier d’une fonction f(t) est definie par f(ω) =∫ +∞

−∞f(t)e−iωtdt.

On note de plus E?(ω) le module d’Young complexe regissant la loi de comportement viscoelastique lineairedes barres. Ainsi la relation reliant la contrainte et la deformation est donnee par l’equation (94).

σ(x, ω) = E?(ω)ε(x, ω) (94)

A partir de cette definition, le systeme (93) amene l’equation (95).

∂2

∂x2σ(x, ω) = −ρω2 ε(x, ω) (95)

Soit ζ?(ω) le nombre d’onde complexe defini par ζ?2(ω) =ρω2

E?permettant de prendre en compte le

coefficient d’attenuation ϑ(ω) ainsi que la dispersion de l’onde dans la barre lors de sa propagation danscelle-ci. L’equation (96) relie le nombre d’onde complexe ζ?(ω) au coefficient d’attenuation d’onde ϑ(ω) ainsiqu’a la dispersion de l’onde dans la barre et donc a la celerite de l’onde c(ω) dans la barre.

ζ?(ω) =ω

c(ω)− iϑ(ω) (96)

La definition de ζ?(ω) permet de reecrire l’equation (95) en l’equation differentielle (97).

(∂2

∂x2+ ζ?2

)ε(x, ω) = 0 (97)

En notant εR(ω) et εL(ω) les transformees de Fourier des deformations en x = 0 dues aux ondes sepropageant respectivement dans le sens des x croissants et dans le sens des x decroissants, la solutiongenerale de l’equation (97) est donnee par l’equation (98).

ε(x, ω) = εR(ω)e−iζ?x + εL(ω)eiζ?x (98)

Les transformees de Fourier de la force F (x, ω), de la vitesse particulaire V (x, ω) et du deplacementU (x, ω) appliquee a la section d’abcisse x sont alors donnees par le systeme (99) (S est la section de la barre).

146

F (x, ω) =ρSω2

ζ?2

(εR(ω)e−iζ?x + εL(ω)eiζ?x

)

V (x, ω) = − ω

ζ?

(εR(ω)e−iζ?x − εL(ω)eiζ?x

)

U (x, ω) =i

ζ?

(εR(ω)e−iζ?x − εL(ω)eiζ?x

)

(99)

Le nombre d’onde complexe ζ?(ω) est determine a l’aide d’un essai preliminaire d’impact d’une barreviscoelastique libre a son extremite [3]. Ainsi, a partir du systeme (99), il est aise de determiner les cou-ples deplacement/force (Uent(ω),Fent(ω)) et (Usort(ω),Fsort(ω)) aux interfaces barre incidente/echantillon etechantillon/barre sortante, moyennant la determination des deformation dues aux ondes se propageant dansles deux sens (l’equilibre entre force entrante et force sortante est traite par Bouix [6]). A l’aide d’une

transformee de Fourier inverse (f(t) =12π

∫ +∞

−∞f (ω)eiωtdω), ces grandeurs permettent d’obtenir les courbes

contrainte nominale/deformation nominale de l’essai au travers du systeme (100) (la hauteur et la sectioninitiales de l’echantillon sont respectivement notees L0 et S0).

ε(t) =usort(t) − uent(t)

L0

σ(t) =Fsort(t) + Fent(t)

2S0

(100)

Au cours de notre campagne experimentale, les barres de Hopkinson ont permis l’etude des materiaux encompression dynamique uniaxiale pour une gamme de vitesse de deformation s’etalant de 1000 s−1 a 1200 s−1.

4 La cellule de compression hydrostatique

Cette cellule (voir vue 109) est une structure cubique dont quatre des faces sont vitrees dans le but d’u-tiliser les moyens techniques d’imagerie rapide a disposition permettant de filmer les echantillons places aucentre de l’enceinte (cf. “Les moyens d’acquisition numerique” (Paragraphe III.6)) [42]. Elle est equipee d’uncapteur de pression appose sur une des surfaces vitrees dont il mesure la deformation et dont l’etalonnage aete determine afin d’obtenir par post-traitement une mesure de la pression interne de la cellule. La demarched’un essai de compression hydrostatique est la suivante :

– un echantillon cylindrique ou cubique est place au centre de la cellule,– la cellule est remplie d’ethanol, liquide considere comme incompressible (compare aux caracteristiques

mecaniques du materiau etudie),– la compression hydrostatique est obtenue grace au deplacement du piston de la cellule placee dans

le moyen d’essai (machine Zwick pour de la compression statique ou la roue inertielle pour de lacompression dynamique) qui vient comprimer l’ethanol,

– la mesure de pression se fait via le capteur de pression fixe sur la cellule.

La nature meme du liquide de compression et de l’echantillon impose d’impermeabiliser ce dernier avantl’essai, operation realisee avec du silicone. Compte tenu de ses caracteristiques mecaniques, ce materiau per-met de ne pas perturber la mesure des caracteristiques de l’echantillon.

147

Piston de compressionCapteur de pression

Fig. 109 – Cellule de compression hydrostatique

5 La tour de chute

La tour de chute permet de realiser des essais d’impact type masse tombante (cf. figure 110).

Bati

anti-rebondSysteme de retenue

Masse

et deplacement

Impacteur

(liaison glissiere)Systeme de guidage

Mesure vitesse

Echantillon

Fig. 110 – Representation schematique d’un dispositif de tour de chute

Ce moyen d’essai est utilise pour tester des structures et non pour caracteriser les materiaux. La masseet la hauteur de chute sont ajustables pour obtenir les caracteristiques d’essais requises (hmax = 3 m etPmax = 30 kg). Le systeme est equipe d’un socle recepteur en beton arme ou est fixe le montage d’essai

148

supportant l’echantillon et d’une structure metallique guidant en translation verticale l’impacteur (liaisonglissiere). Il est de plus equipe d’un systeme anti-rebond apres impact. L’ensemble de l’essai est monitore al’aide de capteurs laser pour les deplacements et de capteurs piezoelectriques et d’accelerometres pour lesefforts d’impacts et la mesure des accelerations. Une notice du moyen d’essai du LAMEFIP est disponibledans la reference [30].

6 Les moyens d’acquisition numerique

L’ensemble des essais experimentaux a ete filme grace a une camera numerique rapide Photron APX-RSdont les caracteristiques techniques importantes sont rappelees dans le tableau (31). La camera est equipeed’un capteur CMOS et possede de nombreuses optiques permettant de s’adapter a l’ensemble des conditionsd’essais rencontrees.

Les possibilites techniques de cette camera sont amplement suffisantes pour le post-traitement parcorrelation d’images (notamment en terme de resolution et de vitesse d’acquisition), le seul inconvenientetant la capacite memoire interne limitant la duree des films realises (ce probleme ne se pose uniquementque pour les essais quasi-statique ou la duree d’essai est importante). Les films ainsi realises ont ete ensuitepost-traites par un logiciel de correlation d’images.

Vitesse d’acquisition maximale 250000 fpsResolution maximale 1024.1024 pixels.pixels

Memoire interne disponible pour l’acquisition 8 Go

Tab. 31 – Caracteristiques de la camera numerique APX-RS

149

docteur de l’universit´e bordeaux 1ori-oai.u-bordeaux1.fr/pdf/2010/mairesse_julien_2010.pdf · n...

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