doc acc clg raisonnement&demonstration 109177

Mathmatiques

Collge

- Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e, et 3e du collge - Raisonnement et dmonstration Ce document peut tre utilis librement dans le cadre des enseignements et de la formation des enseignants. Toute reproduction, mme partielle, d'autres fins ou dans une nouvelle publication, est soumise l'autorisation du directeur gnral de l'Enseignement scolaire.

Juin 2009

eduscol.education.fr/ D0015

Raisonnement et dmonstration au collgeSOMMAIREIntroduction: ce que dit le programme de collge........................................................................1 1.Le raisonnement mathmatique................................................................................................ 2a)Diffrents types de raisonnement ......................................................................................................................... 2 b)Dmarche dinvestigation et raisonnement .......................................................................................................... 3 c)Raisonnement et dmonstration formalise.......................................................................................................... 6 d)Dmonstration et argumentation.......................................................................................................................... 9 e) noncs ouverts et raisonnement ........................................................................................................................10 a) Dans le domaine de la gomtrie.........................................................................................................................13 b)Dans le domaine du calcul ..................................................................................................................................16 c)Le raisonnement dans le domaine de la gestion de donnes, des probabilits et des statistiques........................19

2.Le raisonnement dans les diffrents champs des mathmatiques du collge ........................ 13

3.Raisonnement et valuation .....................................................................................................23a)Qui valide, qui value le raisonnement, la dmarche?........................................................................................ 24 b)Quel support choisi (crit, oral)? .................................................................................................................. 24

ANNEXE: Le raisonnement en mathmatiques et ailleurs .......................... 261.Raisonnement et pratique sociale ............................................................................................26 2.Le franais et les sciences humaines........................................................................................28a)Le franais .......................................................................................................................................................... 28 b)Lhistoire et la gographie .................................................................................................................................. 28

3.Les sciences exprimentales et la technologie.........................................................................29

a)Les sciences exprimentales ............................................................................................................................... 29 b)La technologie.................................................................................................................................................... 29

Introduction: ce que dit le programme de collgeLe programme de mathmatiques du collge accorde une place centrale la rsolution de problmes. Il insiste en particulier fortement sur limportance de la rsolution de problmes dans lacquisition du socle commun de connaissances et de comptences. La rsolution de problmes constitue en effet, dans le champ des mathmatiques, la mise en uvre de la mthode dinvestigation. Cette ncessit de structurer lactivit mathmatique des lves autour de la rsolution de problmes est affirme dans lintroduction gnrale des programmes de mathmatiques, mais est aussi rappele dans len-tte de chaque partie du programme de chaque classe avec des indications prcises sur les objectifs assigns. La rsolution de problmes, en mathmatiques, recouvre plusieurs activits qui, toutes, sappuient sur le raisonnement de llve. Ces activits, parfois successives mais souvent imbriques, peuvent se dcliner en comptences: lire, interprter et organiser linformation; sengager dans une dmarche de recherche et dinvestigation; mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adquats pour produire une preuve; communiquer par des moyens varis et adapts aptes convaincre la solution du problme. cet gard, lintroduction du programme de mathmatiques dcrit deux tapes dans le raisonnement mathmatique:

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[]deux tapes doivent tre clairement distingues: la premire, et la plus importante, est la recherche et la production dune preuve; la seconde, consistant mettre en forme la preuve, ne doit pas donner lieu un formalisme prmatur. En effet des proccupations et des exigences trop importantes de rdaction risquent docculter le rle essentiel du raisonnement dans la recherche et la production dune preuve. Cest pourquoi il est important de mnager une grande progressivit dans lapprentissage de la dmonstration et de faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathmatique au collge. et distingue le raisonnement constitu de la recherche, de la dcouverte et de la production dune preuve de la dmonstration formalise qui est la forme aboutie structure sous forme dductive et rdige de ce raisonnement. Cest dans ce sens que lexpression dmonstration formalise est utilise dans ce document. Lobjet de ce document ressource pour la classe est dessayer de dgager comment on peut, dans les classes de collge, favoriser le raisonnement et ouvrir ainsi le champ de la rsolution de problmes au plus grand nombre dlves, y compris ceux qui ont des difficults entrer dans les codes de la rdaction dune dmonstration. On peut rappeler cet gard que la mise en forme crite [dune preuve] ne fait pas partie des exigibles du socle commun. Ainsi, ce document a lambition de rappeler que: raisonner en mathmatiques, ce nest pas seulement pratiquer le raisonnement dductif, un raisonnement dductif peut tre considr comme complet mme sil na pas une mise en forme canonique, et de contribuer la prise en compte dans les classes de cette diversit.

1.Le raisonnement mathmatiquea)Diffrents types de raisonnementOn peut distinguer, dans le domaine scientifique, deux types de raisonnement: le raisonnement par induction et prsomption: de ltude de plusieurs exemples concordants (et si possible reprsentatifs) on dduit, par prsomption, une proprit gnrale; le raisonnement par dduction: partir de proprits reconnues comme vraies, par enchanement logique, on dduit une proprit. Dans le domaine des sciences exprimentales, le raisonnement par induction se suffit lui-mme si la mthode employe est suffisamment rigoureuse: la prsomption qui rsulte dobservations concordantes dbouche sur la mise en place dun protocole exprimental destin vrifier les hypothses mises. Lexprience doit tre reproductible et la preuve qui en rsulte sapparente une preuve statistique (par estimateur ou intervalle de confiance). En mathmatiques, le raisonnement inductif ne se conoit, en gnral, que comme une premire tape1, conduisant une conjecture. Il restera ensuite, par un raisonnement dductif, dmontrer la vracit de cette conjecture. Alors que le raisonnement dductif fonctionne selon le schma classique: Sachant que (A est vraie) et que (A implique B) est vraie, je dduis que (B est vraie), le raisonnement inductif fonctionne selon un schma prsomptif: Constatant que dans les exemples o (A est vraie), alors (B est vraie), je prsume que (A implique B) est vraie ou un schma explicatif: Sachant que (A implique B) est vraie, jexplique que (B est vraie) en prsumant que (A est vraie)

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Il y a une exception notable: celle de linvalidation, par la production dun contre-exemple, dune proprit universelle.Direction gnrale de l'enseignement scolaire 2/30

Le raisonnement inductif prend toute sa place en mathmatiques dans la phase de recherche, en particulier sous la forme du schma explicatif dans le raisonnement par chanage arrire essentiel en gomtrie2. Dans la phase de recherche, cela conduirait se poser la question de ce quil suffirait davoir pour emporter la conclusion. En revanche, une preuve apporte sur un exemple gnrique est une forme de raisonnement dductif, car il sagit dune dmonstration faite sur un exemple mais transfrable. Dans ce cadre, il faut faire identifier aux lves en quoi lexemple est gnrique, par exemple pour tablir des proprits des oprations, alors mme que le professeur choisit de ne pas formaliser avec tous les lves la gnralisation du raisonnement utilisant le recours au calcul littral. Dans ce cas, la dmonstration formalise, telle quelle est dfinie plus haut, nest pas faite. Lorsquon demande une dmonstration un lve, on lui demande de sengager au pralable dans une phase dinvestigation pendant laquelle la dmarche est essentiellement inductive. En revanche, une fois la preuve trouve, seul le raisonnement dductif est utilis dans la phase de mise en forme. Une des difficults majeures pour le professeur va donc consister faire vivre dans la classe des moments o il va faire pratiquer ses lves des raisonnements inductifs (notamment pour expliquer comment on trouve des rsultats), tout en devant les leur refuser et leur apprendre les remplacer par des raisonnements dductifs dans les dmonstrations. En fait, pour llve, la difficult est double: il faut passer dun raisonnement inductif un raisonnement dductif pour tablir la preuve; il faut ensuite mettre en forme ce raisonnement dductif pour en faire une dmonstration cest-dire une preuve communicable.

b)Dmarche dinvestigation et raisonnementDans le domaine scientifique, la dmarche dinvestigation occupe une place essentielle chaque fois quune question est pose et que la rponse ne peut tre donne immdiatement partir de connaissances disponibles. La mise en uvre dune telle dmarche dans une squence denseignement doit dboucher sur des acquisitions de connaissances et de comptences. En mathmatiques, elle trouve vritablement sa place dans la rsolution de problmes (ou de questions ouvertes) et doit donner loccasion, par sa mise en uvre, dacqurir ou de consolider des comptences pour concevoir ou utiliser un raisonnement. Les tapes possibles dune dmarche dinvestigation en mathmatiques Rflexion sur le problme pos: 1. appropriation du problme, vocabulaire, contexte, 2. confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc ncessaire de connatre son cours), 3. recherche ventuelle dinformations sur le thme. laboration dune conjecture: 1. recherche, avec mise en place ventuelle dune premire exprimentation, 2. mission de la conjecture, 3. confirmation, avec mise en place ventuelle dune seconde exprimentation. Mise en place dune preuve argumente. Ce travail, inclus dans une squence denseignement, est suivi dun temps de synthse identifiant clairement les points retenir puis dune institutionnalisation des acquis (notions, savoir-faire, dmarches) et de leur mise en uvre. En fin de sance, linstitutionnalisation peut tre simplement: Aujourdhui, on a appris calculer la longueur de lhypotnuse connaissant la longueur des deux autres cts .2

Voir le document ressource Gomtrie des programmes de collge: http://eduscol.education.fr/D0015/doc_acc_clg_geometrie.pdf.Direction gnrale de l'enseignement scolaire 3/30

Place du raisonnement dans cette dmarche Les lves seront amens raisonner en alternant: 1. des temps de recherches individuelles laissant une certaine autonomie llve qui doit choisir des directions, mettre des hypothses (en mathmatique on dira faire des conjectures), faire des essais (exprimentations) avec des allers-retours possibles. Le professeur observe la progression des lves, peut changer avec quelques-uns pour ne pas les laisser en situation de blocage ou viter quils se dirigent trop longtemps sur une voie sans issue, et surtout repre tous les lments qui lui permettront de grer la rflexion collective; 2. des temps dchanges oraux permettant aux lves de proposer leurs ides, de les argumenter, de les justifier, de valider ou de rejeter les propositions de leurs camarades. De nombreux types de raisonnement peuvent tre mis en uvre: le raisonnement par inductionprsomption y est trs prsent puisque, dans une activit dinvestigation, la dmarche suivre nest pas suggre par lnonc, mais il peut tre aussi dductif, par labsurde, par exhaustivit des cas, Cependant, il est important que la mise en uvre, orale ou crite, ne soit pas gne par un formalisme prmatur. La rdaction finale, lapplication des rsultats obtenus, entames ou non en classe, peuvent tre donnes faire en dehors de la classe, les demandes pouvant tre diversifies en fonction des lves et des objectifs dapprentissage viss. Toutefois, la rdaction et la mise en forme dune preuve gagnent tre travailles collectivement, avec laide du professeur et tre prsentes comme une faon convaincante de communiquer un raisonnement aussi bien loral que par crit. Le raisonnement dductif dans la dmarche dinvestigation Exemple 1, en troisime:2 est-il un nombre dcimal?

Premire exprimentation: la calculatrice donne, cpmme valeur de 2 une premire conjecture: 1,414213562 qui doit amener la remarque:Quelle est la dixime dcimale?. Une deuxime exprimentation pourrait tre deffectuer 1,4142135621,414213562 avec la calculatrice, ce qui donne 2. Linfirmation de la conjecture: 2 = 1,414213562 pourrait tre labore partir de la remarque dun lve qui a commenc poser lopration et qui dit, le dernier chiffre aprs la virgule est un 4. mission dune nouvelle conjecture: il ny a pas de nombre dcimal dont le carr est 2. Et la preuve: sil y en avait un, il scrirait ou ou ou 1,414213561 1,414213562 1,414213563 1,414213564 etc.

tous les cas peuvent tre examins avec le raisonnement prcdent, raisonnement par disjonction des cas. do la conclusion: raisonnement par labsurde.


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Exemple 2, partir de la quatrime: Deux points A et B tant donns, dterminer lensemble de tous les points C tel que le triangle ABC soit un triangle rectangle en C Premire exprimentation: trac dun certain nombre de points avec une querre ou avec un logiciel de gomtrie dynamique (dans les deux cas, llve est amen raisonner pour faire sa construction). Observation: cela semble tre un cercle. Mais quel est son centre? mission dune conjecture: lensemble des points est le cercle de diamtre [AB]. Vrification exprimentaleavec une rgle gradue, un compas ou le logiciel : la distance du milieu de [AB] aux points tracs est-elle gale la moiti de AB? Un triangle trac en partant dun point du cercle est-il toujours rectangle? Justification: Quest-ce qui permet de montrer que C est sur le cercle de centre M et de diamtre [AB] (priv des deux points A et B)?C

A

La diagonale dun rectangle? Des triangles isocles (grce aux angles)? Les mdiatrices des cots de langle droit? Et rciproquement?

M

B

Raisonnements par induction-prsomption puis par dduction Quelle que soit la mthode choisie, la rdaction de la preuve peut tre vise, mais seulement dans un second temps. Exemple 3, en troisime: Quand on lance successivement deux ds, en additionnant les nombres prsents sur les deux faces suprieures, la probabilit dobtenir dix estelle la mme que celle dobtenir neuf? Premire exprimentation: une approche frquentielle (ventuellement faite la maison avec trente fois 2 lancers par lve, par exemple) napparat pas vraiment significative. Lide de la simulation peut alors tre utilise mais la premire question qui se pose alorsest : - comment, avec la fonction ALEA (ou la fonction ALEA entre bornes) dun tableur, simuler le lancer dun d? On peut amener les lves faire le lien avec le tirage au sort dun point sur un segment partag en six segments de mme longueur. - comment simuler alors la situation propose? Lmission dune conjecture est alors aise, mais lestimation de la probabilit est ici plus dlicate car les frquences 1/12 et 1/9 ne se devinent pas partir de laffichage dcimal du tableur.

Ministre de l'ducation nationale > http://www.education.gouv.fr/

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Dans les deux cas, la cration de la simulation ncessite un vritable raisonnement (la fonction ALEA donne un nombre au hasard entre 0 et 1 donc en multipliant par 6 on obtient un nombre au hasard entre 0 et 6, du moins on ladmettra; la fonction ENT pourra aussi tre utile) et apporte au bout du compte un apprentissage en terme dapprhension du hasard. On peut alors proposer de dterminer la probabilit grce un arbre (pas ncessairement tous les lves car lappel un raisonnement sur deux preuves successives nest pas exigible dans le cadre du socle).

c)Raisonnement et dmonstration formaliseExemple 4, partir de la cinquime: Laffirmation: la somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7 est-elle vraie ou fausse? Voici quelques productions dlves en rponse la question pose ainsi que quelques lments danalyse au regard des comptences relatives la rsolution de problmes: Elve A:

Cet lve montre quil a compris le problme (C1). On peut considrer quil a engag une dmarche de type exprimental en allant chercher des exemples sur des grands nombres dans le but de vrifier une certaine gnralit de laffirmation. Mme si sa production ne constitue pas une preuve acceptable (un dbat de classe doit permettre de reconnatre ce point), il a nanmoins conduit un travail qui touche la capacit (C2). Il calcule efficacement et matrise la notion de multiple: ce qui se rfre ici la capacit (C3) est matris. La mise en forme (C4) est galement bien ralise avec un usage rigoureux du signe dgalit et des galits bien disposes qui ne laissent aucun doute sur la dmarche propose.


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lve B:

Cet lve propose une solution qui est incontestablement une preuve et mme une dmonstration. Il serait intressant den demander une formulation en franais(Un multiple de sept est une somme de sept. La somme de deux sommes de sept est encore une somme de sept).Il a parfaitement compris le problme (C1), il labore un raisonnement valide (C2) et la mise en forme est claire (C4). Lusage des trois points et du signe plus entour est ici lgitime. Quant la capacit (C3), la production de llve ne permet pas de lapprcier. lve C:

Cet lve propose une preuve elliptique. Un dbat de classe devrait faire surgir la ncessit de communiquer de faon plus explicative (en particulier, quelle est la nature des nombres a et b). La comptence (C4) est donc renforcer. Nanmoins, on constate quil sest appropri le problme (C1), quil est capable dutiliser la dfinition dun multiple et la distributivit de la multiplication sur laddition (C3). Enfin, mme si la rdaction est trs courte, largument qui est donn est trs pertinent (C2). lve D:

Cet lve propose une preuve similaire celle de llve C avec un souci dexplicitation plus prononc. lve E:

Cet lve sest engag dans une dmarche avec recours des lettres dans un souci de gnralit (C2). Le choix des nombres 14, 21 et 35 et le signe + laissent supposer une certaine appropriation du contexte (C1).Direction gnrale de l'enseignement scolaire 7/30

Exemple 5, partir de la quatrime: Une corde non lastique de 101 mtres est attache au sol entre deux piquets distants de 100 mtres. Tam tire la corde en son milieu et la lve aussi haut quil peut. Sachant quil mesure 1,68 m, peut-il passer en dessous sans se baisser? Voici quelques solutions dlves:


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Du raisonnement la dmonstration Dans la phase dapprentissage du raisonnement, il est impratif de valoriser les crits intermdiaires mme approximatifs. En voici un exemple: Exemple 6, partir de la quatrime: Le ct dun losange mesure 27,4cm et lune de ses diagonales 42cm. Quelle est la longueur de sa seconde diagonale? Solution 1 Solution 2

Ces deux rdactions originales constituent des crits de communication aboutis, mme si elles nentrent pas dans le cadre des dmonstrations normalises. Elles sont, en tous cas, la preuve de raisonnements de grande qualit et mritent dtre valorises.

d)Dmonstration et argumentationDans ce paragraphe, on cherche comparer largumentation en mathmatiques et largumentation dans la vie courante ou dans dautres disciplines. Persuader, convaincre en mathmatique, ne vient pas de la force de conviction: cela na pas de sens en mathmatiques. Il faut identifier les arguments qui ont lgitimit en mathmatiques, o un exemple ne suffit pas mme sil est produit par celui qui parle le plus fort. Certains arguments peuvent nous persuader (pour une conjecture) mais ils sont trop faibles pour convaincre en mathmatique car ils nont pas valeur de preuve. Dans la classe, il faut autoriser une parole assez libre (dbat mathmatique) et la mise en avant darguments personnels, car ils ont toute leur place en particulier dans la recherche de conjecture: Exemple: voir plus loin Exercice 18


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e) noncs ouverts et raisonnementLexemple suivant montre lintrt de laisser ouverte la formulation dun problme pour favoriser lengagement des lves dans sa rsolution et laisser merger des dmarches varies. Exemple 7, partir de la quatrime: Quel est le dernier chiffre de 2 puissance 50? Voici quelques productions dlves: lve A:

lve B:

lve C :


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lve D:

lve E :

lve F:


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Voici la solution que pensait proposer le professeur: 21 = 2 25 = 32 29 = 512 2_ = 4 26 = 64 210 = 1024 3 7 2 =8 2 = 128 211 = 2048 24 = 16 28 = 256 212 = 4096 Si la puissance est un multiple de 4, c'est--dire de la forme 4n, alors le dernier chiffre de 2 lev cette puissance est 6. Si la puissance est de la forme 4n + 1, le dernier chiffre est 2. Si la puissance est de la forme 4n + 2, le dernier chiffre est 4. Si la puissance est de la forme 4n + 3, le dernier chiffre est 8. Or 50 = 4 12 + 2 donc le dernier chiffre de 250 est 4. Voici les commentaires a posteriori du professeur: Aucun de mes lves na fait de raisonnement de ce type. Ma solution est-elle une dmonstration? Lutilisation de n estelle intressante pour la suite de lapprentissage des mathmatiques? Ceci a-t-il t ma premire ide car jai derrire la tte un joli raisonnement par rcurrence? (bien rassurant celui-l.) Au vu des copies, jai projet des solutions dlves qui me semblent plus simples et performantes. ___________________________________ On peut analyser ces productions comme celles du paragraphe c). On peut constater que deux grands types de dmarches ont t utiliss: 1. Celui majoritaire, parmi les productions proposes, qui consiste dcomposer la puissance tudie en utilisant des diviseurs de 50, 10 et 5 dans un cas ce qui permet un calcul facile la main, 25 et 2 dans un autre cas ce qui conduit un calcul ralisable avec les calculatrices courantes au collge. La mthode est lmentaire mais efficace et elle constitue une dmonstration. 2. Celui qui consiste exprimenter sur les premires puissances de 2 et conjecturer que la suite des derniers chiffres est priodique. Pour devenir une dmonstration, un raisonnement par rcurrence, dont il nest videmment pas question en quatrime, serait ncessaire. Cest aussi, la mthode que le professeur avait pens proposer ses lves. Elle est aussi riche et intressante que la premire pour un travail en classe mais elle est mathmatiquement moins efficace ce niveau de classe. Le commentaire du professeur enrichit ici lanalyse quon peut faire de ce travail. Ce commentaire, qui fait apparatre le point de vue du professeur avant davoir mis ses lves au travail, permet: - de prendre conscience du fait que les lves sont en gnral, face un problme ouvert bien choisi, plus imaginatifs et plus performants que ne le prvoit le professeur, - de comprendre, ds lors, quil est indispensable que le problme soit prsent de faon ouverte. Si le professeur le ferme en essayant de guider le travail des lves pour les diriger vers son propre raisonnement, la situation est compromise pour un certain nombre dlves et perd une grande partie de sa richesse. - de prciser quun problme bien choisi est un problme dont tous les lves peuvent comprendre la question et dans lequel ils peuvent sengager par des mthodes varies. - de rappeler limportance de lanalyse a priori que le professeur doit faire avant de proposer un tel exercice ses lves. En particulier, envisager les diffrentes procdures qui leur sont accessibles permet de dcider si le choix du problme est pertinent ou non.


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2.Le raisonnement dans les diffrents champs des mathmatiques du collgea) Dans le domaine de la gomtrieLa gomtrie constitue un support privilgi pour la pratique du raisonnement dductif. Mais le raisonnement en gomtrie sappuie aussi sur lobservation et la construction de figures, la mise en place dexprimentations, de procdures dessais-erreurs, llaboration et la critique de conjectures. Pour le raisonnement mathmatique, cest un domaine riche, vari, prsentant un aspect visuel et esthtique, voire ludique, et qui donne lieu diffrents types de raisonnement. Pour que lapprentissage du raisonnement gomtrique sexerce de manire efficace, il ne doit pas se rduire lapprentissage formel de la dmonstration. cette fin, les noncs ne doivent pas tre systmatiquement donns sous une forme ferme:montrer que suivie dune proprit apparaissant aux lves aussi vidente que les hypothses. Lactivit gomtrique devient alors pour eux un jeu incomprhensible et strile. De plus, le dcoupage des textes en sous-questions trop dtailles transforme llve en ouvrier spcialis nayant excuter que des tches parcellaires dont il ne peroit pas la cohrence et ne laisse pas une part assez grande linitiative, linventivit ou la matrise de la complexit. Identifions prsent diffrents types de raisonnements partir de situations gomtriques, chacun tant assorti dun ou plusieurs exemples. Raisonnement par disjonction de cas Exercice 8, partir de la sixime3: Ces dessins reprsentent quatre cubes en bois dont certains coins ont t vids. Deux seulement de ces solides sont identiques. Dire lesquels.

Infirmation par production dun contre-exemple Cest loccasion de travailler sur le sens des noncs mathmatiques et la quantification universelle implicite. Exercice 9, partir de la sixime: Les proprits suivantes sont-elles vraies ou fausses? Deux rectangles de mme primtre ont aussi la mme aire. Deux rectangles de mme aire ont aussi le mme primtre. Exercice 10, Si le triangle A BC a deux cts gaux respectivement deux des cts du triangle ABC et un angle gal lun des angles du triangle ABC , peut-on conclure lgalit des troisimes cts des deux triangles?

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daprs un exercice de Mathmatiques sans frontiresDirection gnrale de l'enseignement scolaire 13/30

Raisonnement par labsurde Le raisonnement par labsurde est pratiqu par le professeur, comme forme plus simple dun raisonnement par contrapose, par exemple pour dmontrer la rciproque du thorme de Pythagore. Si lon considre un triangle ABC tel que AB = c, AC = b et BC = a, avec a 2 = b 2 + c 2 , il sagit de dmontrer que le triangle est rectangle en A. Pour cela, on suppose quil ne lest pas et on trace la droite D perpendiculaire AB en A. Sur cette droite, il existe deux points C1 et C 2 tels que AC1 = AC2 = b et on a, daprs le thorme de Pythagore direct BC1 = BC2 = a = BC . Le point C est donc lintersection des cercles C1 de centre A et de rayon b et C 2 de centre B et de rayon a. Ces deux cercles se coupant en C1 et C 2 , le point C est lun des deux, le triangle ABC est donc soit ABC1 soit ABC2 donc est rectangle en A, do la contradiction. Pour les lves, toujours dans la configuration de Pythagore, mais pour dmontrer quun triangle nest pas rectangle, on utilise le raisonnement par labsurde comme forme plus accessible dun raisonnement par contrapose. Pour dmontrer quun triangle ABC tel que AB2 + AC2 BC2 nest pas rectangle en A, il est plus facile dexprimer la preuve sous la forme: Si ABC tait rectangle en A, on aurait AB2 + AC2 = BC2 , ce qui est absurde, puisque lon sait que AB2 + AC2 BC2 . Exercice 11, partir de la cinquime : Si A est le symtrique de A par rapport O, le quadrilatre ABAC est-il un rectangle?

Raisonnements lis une construction gomtrique Dans ces exercices, il sagit de faire le lien entre une description par un texte mathmatique et une figure gomtrique code. La construction peut tre dcrite pas pas (exercice 12) ou tre implicite (exercice 13): Exercice 12, partir de la sixime: 1. Tracer un carr ABCD et placer un point E sur le segment [AB] au 1/8 de la longueur partir de A. 2. Reporter AE sur [BC] partir de B; on obtient le point F. 3. Reporter AE sur [CD] partir de C; on obtient le point G. 4. Reporter AE sur [DA] partir de D; on obtient le point H. 5. Tracer le carr EFGH. 6. Recommencer les oprations partir du carr EFGH, cest--dire prendre un point au 1/8 de [EF], etc. jusqu obtenir un nouveau carr dans lequel on recommence


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Exercice 13, partir de la quatrime: Si C est un cercle et M un point extrieur au cercle, tracer une tangente au cercle C passant M par le point . Exercice 14, partir de la quatrime:

On donne la figure code ci-contre. crire un nonc permettant de la construire.

Dans cet exercice, il sagit danalyser une figure code afin de produire une consigne de construction: llve doit identifier en particulier lordre et les modalits des constructions. On peut complter un tel exercice en demandant llve dimaginer des questions poser partir de cette figure. Exercice 154, partir de la sixime:

Construire le centre du cercle donn ci-contre, en laissant apparents les traits de construction.

Cet exercice permet la mise en uvre de diffrentes stratgies: Milieu dune corde de longueur maximale (utilisation dun logiciel de gomtrie dynamique, dun compas, dune rgle gradue). Milieu de lhypotnuse dun triangle rectangle inscrit dans le cercle. Intersection des diagonales dun rectangle inscrit dans le cercle. Milieu dune corde perpendiculaire deux tangentes parallles; (mthode dite du pied coulisse). Intersection des mdiatrices de deux cordes (mthode experte disponible ds la 6e ). Ces mthodes dpendent du niveau de llve, de son aptitude exprimenter et de son imagination.4

issu de la banque dexercices pour le socleDirection gnrale de l'enseignement scolaire 15/30

Exercice 165, partir de la cinquime: Dans un carr de 56cm de primtre, on inscrit un cercle. Des 4 sommets du carr on trace des quarts de cercle, selon le schma ci-contre. 1-Construire la figure lchelle 1/2. 2-Calculer laire de la surface hachure (qui reprsente un motif dcoratif sur une boiserie ancienne). Dans cet exercice, la construction demande ncessite des calculs prliminaires (passage du primtre au ct, application dune chelle). Le fait davoir ralis la construction est un lment facilitateur pour le calcul qui suit.

b)Dans le domaine du calculAlors que le raisonnement en mathmatiques au collge est traditionnellement associ la rsolution de problmes gomtriques, le champ numrique donne la possibilit dengager des activits dductives sur des supports dune autre nature pouvant susciter lintrt dlves plus laise dans ce domaine. Il offre de plus un contexte privilgi pour explorer des modes de raisonnement diversifis: dductif, par labsurde, contre-exemple, disjonction de cas, etc. Les exemples suivants illustrent cette diversit travers des situations pouvant parfois donner lieu plusieurs types de raisonnement.6 Contre-exemples Paralllement au travail men dans les classes pour convaincre que la vrification dun nonc par quelques exemples ne suffit pas prouver que celui-ci est vrai, il importe de sensibiliser les lves au concept de contre-exemple. Larithmtique procure de nombreuses situations parfaitement adaptes la mise en uvre dun raisonnement simple. Exercice 17, partir de la cinquime: La somme des chiffres de 42 est un multiple de 6 et 42 est un multiple de 6 (idem pour 84). Peut-on en dduire que si la somme des chiffres dun nombre entier est un multiple de 6, alors ce nombre est un multiple de 6? Exercice 18, partir de la quatrime: Vrai ou faux: pour tout entier n, lentier n2n+11 nadmet que deux diviseurs Ce dernier exercice, propice mettre en uvre une dmarche dinvestigation, donne galement loccasion dengager la rflexion sur le caractre universel dune proprit. Certains problmes ouverts favorisent de plus un travail sur la notion de rciproque. On peut, par exemple, se demander si la preuve par 9 garantit lexactitude du rsultat obtenu.

Daprs un exercice de certificat dtudes primaires 6 On trouvera dautres exemples dans le document Initiation au raisonnement (acadmie de Bordeaux, mars 2003);5

http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/publica/public.htmDirection gnrale de l'enseignement scolaire 16/30

Exercice 19, partir de la cinquime: 1-Si deux entiers sont multiples de 7, leur somme est-elle un multiple de 7? et leur diffrence? 2-Si la somme de deux entiers est multiple de 7, ces deux entiers sont-ils multiples de 7? 3-Si la somme et la diffrence de deux entiers sont des multiples de 7, ces deux entiers sont-ils multiples de 7? Exercice 20, partir de la cinquime: 1-Dmontrer que si un nombre est multiple de 60, alors il est multiple de 6 et de 15. 2-La rciproque est-elle vraie? De la mme faon, le recours un contre-exemple constitue un moyen efficace et formateur pour rfuter certaines identits ou rgles de calcul: en ajoutant le mme nombre au numrateur et au dnominateur dune fraction, obtient-on une fraction gale? La racine dun produit est-elle gale au produit des racines? etc. Ce type dactivits donne loccasion de conforter le principe selon lequel une proprit nest valide que si elle est vraie dans tous les cas possibles. De plus, les raisonnements mis en uvre dans le domaine numrique peuvent consolider la reprsentation des nombres: tant donns deux nombres dcimaux m et n tels que m a pour arrondi 13 et n pour troncature 12, peut-on affirmer que m est suprieur n? Raisonnement par labsurde Certaines questions courantes du domaine numrique sont traites grce un raisonnement par labsurde. On dmontre ainsi quen divisant le numrateur et le dnominateur dune fraction par leur PGCD, on obtient une fraction irrductible. Des considrations sur les produits en croix permettent de se prononcer sur lgalit de deux fractions comme941664 665857 et . 665857 470832

Les problmes support concret ou issus dautres disciplines peuvent galement donner lieu un raisonnement, par exemple autour du thme de la proportionnalit, en faisant ventuellement intervenir des arguments graphiques. Exercice 21, partir de la cinquime: partir du tableau ci-dessous, peut-on dire que la distance darrt dun vhicule est proportionnelle sa vitesse? Distance darrt (en m) Vitesse (en km/h) Disjonction de casComme cela a dj t vu plus haut propos du caractre non dcimal de racine de deux, la disjonction de cas est un mode de raisonnement efficace pour rsoudre ds le collge certains problmes qui seront traits dune autre faon un autre niveau.

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Exercice 22, partir de la cinquime: 1-Si deux nombres sont multiples de 3, alors leur produit est multiple de 3. 2-Si deux nombres ne sont pas multiples de 3, alors leur produit nest pas multiple de 3. Ce type de raisonnement permet de dmontrer des proprits des nombres entiers par des procds sapparentant aux congruences: n(n+1)(2n+1) est-il un multiple de 3? Il peut aussi tre utilis dans certains cas pour rsoudre des systmes dquations ou dinquations inconnues entires. En vue dun travail sur les ordres de grandeur et sur certaines rgles opratoires, on peut proposer de dterminer le rsultat dune opration sans utiliser de calculatrice, ni poser dopration, sous forme dun QCM. Par exemple: Combien vaut 2415,7: 133,7; 1373,7; 13773,7; 256,7? Calcul littral Le calcul littral constitue en lui-mme un mode de raisonnement, grce auquel on dpasse le stade de linvestigation sur quelques cas particuliers pour accder au niveau de la gnralisation. Cest par exemple une dmarche naturelle pour sassurer de lexactitude dune conjecture mise dans le cadre dun programme de calcul. Le calcul littral permet de dmontrer certaines proprits arithmtiques (la somme de deux nombres pairs est paire, etc.). Il donne par ailleurs la possibilit dactivits spcifiques amenant un travail sur les notions de proprit directe et de rciproque, en particulier lors de la rsolution dquations ou dinquations. Ds la classe de cinquime, la pratique de tests dgalit peut amener se poser des questions du type: si x= 15 et y= 12, alors 2 x + y = 42, mais lgalit 2 x + y = 42 entrane-t-elle que x = 15 et y = 12 ? Le calcul littral est utilis dans la rsolution de problmes support concret, comme par exemple celui du volume dune bote ralise partir dun carr tronqu en chacun de ses coins. Exercice 23, partir de la quatrime: Combien doit mesurer le ct du carr que lon dcoupe dans chaque coin dun carr de ct 10 pour que le volume de la bote soit maximal ? Dans cet exemple, une approximation de la rponse pourra tre obtenue partir de considrations graphiques ou en faisant appel un tableur. Le recours la notion de fonction permettra de formaliser le problme, prparant ainsi lapproche qui sera plus tard envisage au lyce. Comme suggr dans le document ressource sur le calcul littral7, il importe davoir lesprit que, selon les cas, la lettre est utilise dans les calculs avec des statuts diffrents: variable, indtermine, inconnue ou paramtre. Dans ce dernier document, lexemple dvelopp en pages 1 et 2 met en vidence plusieurs usages possibles de la lettre autour dune mme situation.

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Ressources pour les classes du collge - Du numrique au littral au collge (DGESCO, fvrier 2008)Direction gnrale de l'enseignement scolaire 18/30

Exercice 24, partir de la cinquime: Trouver un moyen permettant de calculer le nombre de carreaux griss dune figure construite sur le modle ci-contre, quel que soit le nombre de carreaux sur le ct du carr.8

c)Le raisonnement dans le domaine de la gestion de donnes, des probabilits et des statistiquesCette partie du programme mobilise des raisonnements trs varis qui ne se formalisent pas souvent sous la forme de dmonstrations. Il sagit essentiellement de rationaliser des dcisions ou des choix, dargumenter des affirmations ou dexercer son esprit critique, en procdant au traitement ou lanalyse de donnes brutes ou de reprsentations graphiques. Pour cela, les diffrents raisonnements ncessitent souvent des allers-retours entre des reprsentations graphiques et des donnes numriques, voire des informations figurant dans un texte. Il sagit alors de slectionner les informations pertinentes et de les mettre en relation. Ces raisonnements sont constitutifs de la culture mathmatique du citoyen qui est amen mobiliser ses connaissances mathmatiques pour argumenter ses affirmations, ses choix ou ses dcisions. Le domaine des probabilits permet daborder des raisonnements nouveaux au collge pour dcider ou choisir en situation dincertitude. Gestion de donnes, fonctions Ce premier exemple est illustratif de plusieurs situations (cf. document ressource sur le socle) o le raisonnement consiste traduire graphiquement une variation en lien avec la notion de pente. Ces situations se prtent volontiers des changes oraux amenant les lves expliciter leurs raisonnements pour argumenter leurs choix.

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Les dbuts de l'algbre au collge , Combier, Guillaume, Pressiat (INRP, 1996)Direction gnrale de l'enseignement scolaire 19/30

Exercice 24, partir de la quatrime9: Vu la Cit des Sciences et de lIndustrie Paris. Six rservoirs de formes diffrentes, de mme volume, de mme hauteur se remplissent dans le mme temps. Il sagit dassocier une forme de rcipient une jauge et une courbe indiquant la hauteur du liquide en fonction du temps. Les graduations des six jauges A, B, Cindiquent les hauteurs de liquide correspondant 1 litre, 2 litres pour les six rservoirs. Les courbes 1, 2, 3 indiquent la hauteur atteinte par le liquide en fonction du temps lorsque les six rservoirs se remplissent.

R1

R2

R3

R4

R5

R6

Les rcipients ont tous le mme volume 10 litres et la mme hauteur. Leurs formes sont reprsentes grossirement par les dessins ci-dessus. Pendant le remplissage, le dbit de leau est constant et identique dun rcipient lautre. Ainsi, un instant donn, le volume deau contenu dans chaque rcipient est le mme mais la hauteur deau nest pas ncessairement la mme. Associer chaque rcipient R1, R2, R3, R4, R5, R6: a. la jauge qui lui correspond (parmi les jauges reproduites ci-contre); b. la courbe qui lui correspond (parmi les courbes 1, 2, 3, 4, 5, 6 reproduites ci-aprs).

A

B

C

D E F

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Extrait du CRPE, session 2006, groupe 5.Direction gnrale de l'enseignement scolaire 20/30

Statistiques descriptives Lexemple ci-dessous conduit raisonner sur les carts absolus et les carts relatifs partir dun graphique tronqu. Exercice 25, partir de la cinquime10: Lors dune mission tlvise, un journaliste tient les propos suivants: Ce graphique montre qu'il y a eu une trs forte augmentation du nombre de cambriolages entre 1998et1999. Considrez-vous que laffirmation du journaliste est une interprtation correcte du graphique? Justifiez votre rponse par une explication.

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Anne 1999 Nombre de cambriolages par anne515

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Anne 1998

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Il importe toutefois, pour que ces distinctions entre variations absolues et variations relatives prennent sens, de proposer aussi des situations o ce type de graphique tronqu est pertinent, en particulier pour manifester des variations absolues qui seraient invisibles avec une reprsentation complte. Cest par exemple le cas lorsquon reprsente lvolution sur les dernires annes de lesprance de vie la naissance (cf. www.ined.fr). Ce deuxime exemple mobilise des raisonnements destins imaginer et organiser le travail pour dcoder un message partir dinformations statistiques. Exercice 26, partir de la cinquime11 Voici une citation. Chaque lettre de lalphabet a t remplace par un signe. La ponctuation et les espaces ont t supprims. 4+*5+ 3+++++431+++ +534+3335534++ +6+++25+++4343+5+ Dcoder cette citation en utilisant le diagramme en btons qui indique la frquence dapparition de chaque lettre dans le texte.

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Daprs une preuve PISA Daprs Maths sans frontiresDirection gnrale de l'enseignement scolaire 21/30

Il est par ailleurs formateur de confronter les lves des donnes relles car leur tude mobilise des raisonnements varis, notamment pour comprendre des tableaux de donnes ou pour mettre en relation des donnes avec des reprsentations graphiques ou des indicateurs statistiques. On trouvera sur le site de lINSEE (http://www.insee.fr) ou sur celui de lINED (www.ined.fr) de trs nombreuses informations chiffres. On peut par exemple interprter les positions relatives de la moyenne et de la mdiane dune srie statistique (salaire moyen et salaire mdian, ge moyen et ge mdian etc.) ou bien demander aux lves de modifier, laide dun tableur, certaines donnes dune srie de sorte que la moyenne devienne suprieure la mdiane ou linverse. Des raisonnements par essais et erreurs peuvent alors tre mis en uvre. Enfin, on peut examiner ce problme qui mobilise des raisonnements dductifs, aprs avoir, le cas chant, procd par essais et erreurs sur des exemples: on considre deux sries de donnes numriques S et S et on se demande sil est possible de choisir un lment de la srie S de sorte quen ladjoignant la srie S les deux moyennes baissent. Il est alors intressant de rechercher une condition ncessaire et suffisante. Probabilits Les raisonnements dans le domaine des probabilits permettent de guider des choix ou des dcisions. Ce sujet suscite volontiers lintrt des lves qui peuvent simpliquer dans des choix et disposer doutils pour les valider ou les rfuter (simulation ou calcul de probabilits). Lexemple suivant est essentiellement fond sur la notion de proportion, qui se traduit ici en termes de probabilits. Les effectifs de bonbons ont t choisis de sorte que le pot contenant le plus de bonbons au citron soit celui qui en ait la moindre proportion. Il va de soi que les probabilits tant trs proches, une simulation de cette situation ncessiterait un nombre important de tirages avec remise pour que la diffrence entre les deux pots soit perceptible.


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Exercice 27, en troisime12: Dans un premier pot, Grand-mre met 6 bonbons lorange et 10 au citron. Dans un deuxime pot, elle met 4 bonbons lorange et 7 au citron. Les bonbons sont de mme forme et envelopps de la mme faon. Comme Grand-mre sait que Julien naime pas le got du citron, elle lui dit: Tu peux prendre un bonbon. Je te laisse choisir le pot dans lequel tu pourras glisser ta main, sans regarder lintrieur. Julien rflchit et choisit enfin le pot o il pense avoir la meilleure chance de prendre un bonbon lorange. la place de Julien, quel pot auriez-vous choisi? Justifiez votre rponse en expliquant votre raisonnement. Enfin, cette dernire situation propose de dcider dune stratgie de jeu en saidant dun calcul de probabilits. Exercice 28, en troisime13: On dispose de trois cartes de mme format. La premire a deux faces bleues, la deuxime a deux faces rouges et la dernire une face bleue et une face rouge. Quelquun choisit au hasard une carte puis la pose sur la table en choisissant au hasard la face visible. Le joueur doit deviner la couleur de la face cache. Quelle stratgie lui conseiller? Toujours choisir la couleur vue? Toujours choisir lautre couleur? Choisir au hasard la couleur? Une exprimentation ou une simulation, suivie dun calcul de probabilits permettent de justifier ce choix.

BonbonsI 6 l'orange 10 au citron

BonbonsII 4 l'orange 7 au citron

3.Raisonnement et valuationRaisonner logiquement, pratiquer la dduction, dmontrer sont des capacits qui relvent du socle commun de connaissances et de comptences et qui sont acqurir progressivement, tout au long de la scolarit au collge. Lvaluation de ces capacits seffectue dans le cadre dune rponse une question pose ou, plus largement, dune rsolution de problmes. Cest pourquoi, les modalits dune telle valuation ne diffrent pas de celles relatives lvaluation ordinaire dun savoir ou dun savoir-faire. Elles sont diverses et induites, notamment, par les rponses aux questions suivantes.

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Extrait du Rallye Mathmatique Transalpin anne scolaire 2005-2006 Issu de www.statistix.frDirection gnrale de l'enseignement scolaire 23/30

a)Qui valide, qui value le raisonnement, la dmarche?Le professeur, llve lui-mme, un autre lve ou un groupe dlves valuation de raisonnements par le professeur: Ce procd est porteur dapprentissage la condition dun dialogue effectif entre llve et le professeur quant aux procdures utilises, au raisonnement suivi: un retour aux productions et un travail sur lerreur simposent. Cela est vrai dans le cadre dune valuation diagnostique ou formative pour accder aux reprsentations des lves. Par exemple, suite un item non russi dun QCM, permettre llve de se justifier: jai mis que ctait proportionnel car plus on vieillit, plus on grandit montre lenseignant que cet lve associe proportionnalit croissance et lui donne des pistes de remdiation. Mais cela reste vrai galement lors dune valuation sommative. Ainsi, proposer systmatiquement des exercices du type Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier la rponse. permet daccder aux raisonnements suivis par les lves et ce, loin de toute formalisation attendue. valuation de raisonnements par llve lui-mme: Cela est rendu possible par le choix des situations proposes, en loccurrence, celles qui proposent de faon intrinsque une validation de la procdure utilise ou du raisonnement suivi (on peut ou non reconstituer le puzzle agrandi14, on trouve une somme identique ou non pour chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale dun carr magique, on fait bouger le sommet M dun quadrilatre laide de la souris et celui-ci reste lcran un paralllogramme,). valuation de raisonnements par un autre lve ou un groupe dlves: Celle-ci est rendue possible par linstauration dun dbat entre pairs pour rsoudre le problme pos dans lequel celui qui a la parole doit confronter son raisonnement ceux des autres et convaincre ceuxci de sa pertinence (au sein du groupe-classe ou des groupes de travail constitus).

b)Quel support choisi (crit, oral)? valuation de raisonnements partir de traces crites: Deux principes sont essentiels: On distingue le fond de la forme: Comme il a dj t dit en introduction, la mise en forme de la production dune preuve ne doit pas donner lieu un formalisme excessif et/ou prmatur. Cela est vrai au cours de lapprentissage et, a fortiori, lors dune valuation sommative. Par consquent, il y a lieu de distinguer lvaluation du raisonnement proprement dit de sa mise en forme15. On valorise les crits intermdiaires: Des raisonnements crits sont demands lors de la rsolution de problmes. Toute solution incomplte et/ou partiellement errone doit tre prise en compte. Autrement dit, il y a lieu de valoriser les russites partielles des lves telles que: - raisonnement exact mais rsultat final erron, - bauche de raisonnement avec texte, figure code ou schma, - prsence explicite de pistes de rsolution mais travail non abouti,Il sagit de la situation dagrandissement dun puzzle, activit devenue classique de Guy Brousseau et dcrite dans le numro 2.1 de la revue Recherches en didactique des mathmatiques, La pense sauvage, 1981.14

On pourra se reporter utilement au document ressource pour le socle commun dans lequel, notamment, des exemples de situations sont dvelopps dans la partie quvalue-t-on dans la rsolution de problmes?15


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- mobilisation de la bonne opration mais erreurs de calcul, - ce sujet, on peut lire dans le document ressource pour le socle commun: Il y a donc ncessit dvaluer distinctement chacune des diffrentes capacits. En particulier, ce nest pas parce que le rsultat est faux ou que llve na pas trouv le rsultat escompt quil a tout rat. Il va donc falloir analyser les crits imparfaits des lves, leurs solutions errones, leurs essais inaboutis pour extraire des lments positifs dvaluation de certaines capacits du socle commun. valuation de raisonnements exprims oralement: Pour viter de bloquer les lves avec des exigences trop fortes dans les mises en forme crites, le recours loral pour des valuations ponctuelles savre pertinent. Par exemple, lors de la rsolution dun problme en classe, la rponse orale dun lve peut permettre au professeur de valider, de faon annexe, telle ou telle comptence dans le cadre du socle commun de comptences. Concrtement, un lve en difficult qui produirait une rponse orale du type: jai trouv 13 car jai fait Pythagore et a ma donn 25 + 144 gale 169 donnerait lopportunit au professeur de lui valider les capacits identifier un problme et mettre au point une dmarche de rsolution et utiliser la proprit de Pythagore pour traiter une situation simple16.

Il est indiqu, en page 13, du document livret de connaissances et de comptences, grille de rfrence (http://eduscol.education.fr/D0231/Grille_pilier3.pdf) que lexigence porte sur la capacit mobiliser une proprit pour laborer une dduction simple et lvaluation seffectue oralement ou en situation, sans exigence particulire de formulation des justifications.16


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ANNEXE: Le raisonnement en mathmatiques et ailleurs 1.Raisonnement et pratique socialeSi le terme Opinion ne prte gure discussion, il nen va pas de mme des termes argumentation et raisonnement qui font lobjet de dfinitions multiples. Selon G. Gauthier17, une opinion est une proposition dmunie de justification, cest un point de vue, une thse, un jugement, une position ou toute autre chose semblable, mise en avant sans tre appuye par quelque motif, motivation ou autre genre de raison [] Un argument se distingue dune opinion en ce quil consiste en un ensemble articul dune proposition et dune ou plusieurs justifications. Argumenter concerne le monde des opinions o sexpriment des thses de toute espce sur tout ce qui peut tre objet dune discussion: jugement de valeur, bien fond dune dcision, justesse dune prise de position [...] argumenter consiste justifier la prfrence que lon accorde telle ou telle faon de voir et que lon cherche faire partager18. Convaincre et persuader constituent deux grandes vises de largumentation. Celui qui cherche convaincre sattache au cheminement des raisons dans le but dobtenir ladhsion rflchie de son auditoire. Mme sil ne sadresse qu un seul auditeur ou lecteur, il vise travers celui-ci un destinataire plus gnral. Celui qui veut persuader cherche obtenir une adhsion spontane et affective de son destinataire. La persuasion vise un destinataire particulier, individu ou groupe, dont on sollicite les attentes, les rves ou les motions. Largumentation commune vise plus persuader par des procds rhtoriques, par accumulation darguments, qu convaincre par des arguments de raison, cest le cas par exemple de la publicit. Pour ce qui est de la distinction entre argument et raisonnement, nous adopterons ici le point de vue de S. Toulmin19, selon lequel un raisonnement est un type particulier dargumentation. Un raisonnement est une opration discursive par laquelle on conclut quune ou plusieurs propositions (prmisses) impliquent la vrit, la probabilit ou la fausset dune autre proposition (conclusion)20. Ainsi, le raisonnement apparat comme indissociable de la notion de vrit et de la volont de convaincre. Le raisonnement nest pas unique, on distingue diffrents types quon retrouve aussi bien dans les pratiques sociales que dans les diffrents champs disciplinaires. Les plus frquemment utiliss dans la vie courante sont la dduction, linduction, lanalogie et linduction. On qualifie un raisonnement de dductif lorsquil nonce logiquement une conclusion ncessaire partir de propositions donnes21. Au quotidien, la conclusion formule expressment une information dj virtuellement contenue dans les prmisses. Cest le cas lorsque Sherlock Holmes dduit du fait que le meurtre du rabbin a eu lieu un samedi que son assassin nest pas juif pratiquant22. Linduction est la formulation dun nonc gnral partir de la constatation dun ensemble de faits particuliers23. Cette forme de raisonnement est dune pratique courante tant dans la vie quotidienne que dans le discours politique. Ce qui distingue essentiellement ces deux types de raisonnement, cest que la dduction est gnrale dans ses prmisses alors que linduction lest dans sa conclusion.

G. Gauthier, Les langages du politique, revue Mots, n78, juillet 2005 Document daccompagnement du programme 2001, Franais, classes de seconde et de premire, Collection Textes de rfrence, SCEREN (CNDP). 19 Stephen. Toulmin, 1993, Les usages de largumentation, Paris PUF. 20 Andr Lalande, philosophe, 1863-1967 21 G. Durozoi et A. Roussel, 2002, Dictionnaire de philosophie, Paris, Nathan 22 A. Lercher, 1985, Les mots de la philosophie, Paris, Belin 23 A. Bienvenu, 2003, Dduction, in Grand dictionnaire de la philosophie, Paris, Larousse et CNRS ditions17 18


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Dans la vie courante, il est frquent quun raisonnement dductif soit dvelopp de manire abrge, certains de ses lments ntant pas explicits. Cest le cas dans le raisonnement suivant qui pouvait tre tenu il y a peu encore, quand EDF tait une entreprise nationalise. Les profits dEDF appartiennent au gouvernement et donc lensemble de la collectivit. Ils ne doivent pas servir subventionner les consommateurs qui choisissent llectricit plutt quune autre nergie pour se chauffer. Dans ce discours manque la proposition qui permet darticuler la prmisse et la conclusion, savoir: Quand des profits appartiennent ltat, ils ne doivent pas servir subventionner un groupe de consommateurs. Cette attitude se retrouve dans la classe de mathmatique, o llve a du mal faire la part des choses entre sa pratique de la vie courante quil transfre au cours de mathmatique et le contrat de classe install par lenseignant qui lui, volue au cours de lapprentissage. Ainsi, en dbut de lenseignement de la notion de paralllogramme, le professeur exigera une production qui peut snoncer de la manire suivante: ABCD est un paralllogramme, les cts opposs dun paralllogramme ont mme longueur, donc AB = CD. Alors que, lorsque la question ne sera plus problmatique, il se satisfera de: ABCD est un paralllogramme, donc AB = CD. Le raisonnement par analogie consiste tirer des conclusions dune ressemblance entre les objets sur lesquels on raisonne. Faisant valoir que llment compar (celui sur lequel on cherche produire des connaissances) est analogue llment de comparaison (celui sur lequel on possde dj des connaissances) sous un ou plusieurs aspects donns, lanalogie stipule quil doit aussi ltre sous laspect qui est objet dtude. Le raisonnement par analogie est de tous les modes de raisonnement le plus spontan, le plus naturel l'enfant mais, bien souvent par manque de rserve dans les conclusions, celui-ci va dun bond aux affirmations les plus tmraires. Cest ainsi le cas lorsque partant du constat que par leurs formes, leurs rvolutions, les plantes sont analogues la Terre, il conclut quelles doivent tre habites comme la Terre. Mais lanalogie peut tre fconde, il en a t ainsi pour B. Fanklin qui il a sembl que les tincelles dune machine lectrique taient analogues ce que lclair est en grand. La circonspection, la mthode avec la mise en place dexpriences, la prcision dans l'examen, lui ont permis de vrifier dans les dtails lidentit souponne. Linduction consiste formuler les explications les plus plausibles partir de faits constats. Les explications ainsi formules sont incertaines et peuvent tre retires si elles deviennent inconsistantes avec de nouvelles informations. Lexemple qui suit claire cette dfinition:Si on observe un gazon mouill, on peut supposer que la cause en est la pluie ou un arrosage laide de gicleurs. Si on remarque ensuite que la rue adjacente est sche, alors on doit liminer lhypothse de la pluie. Linduction est une forme de raisonnement communment utilise tant dans notre pratique la plus quotidienne que dans la dcouverte scientifique. Pour preuve, ces quelques exemples: - Des fossiles en forme de poisson ont t trouvs au milieu des terres. La mer devait autrefois aller jusque l. - Tiens, Jean nest pas encore arriv: il a d tre retenu au bureau, ou alors il aura t pris dans des embouteillages. - La formulation de diagnostics dans le domaine mdical ou autre. - Les mthodes dinvestigation utilises dans les enqutes policires. -Lenseignant qui analyse une erreur faite par un lve en vue dapporter une rponse approprie, recourt linduction pour mettre des hypothses plausibles sur lorigine de lerreur, de la dmarche intellectuelle de llve qui a conduit cette erreur. Il doit ensuite mettre en place les tests qui lui permettront de choisir entre les diffrentes hypothses.


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2.Le franais et les sciences humainesa)Le franaisConcernant les acquisitions grammaticales, le programme de franais pour le collge suggre une dmarche inductive: observation dun texte ou dun corpus de textes, reprage guid par des questions dun certain nombre dlments, mise en vidence partir de ces lments du fait grammatical, objet de ltude et enfin mise en application immdiate de la notion dcouverte. Lors de la production dun texte ou de lcriture dun texte sous la dicte, comme par exemple pour accorder un participe pass, llve doit reprer les lments pertinents dans le texte: le genre et le nombre du sujet, le sens du verbe (transitif ou intransitif), et identifier la rgle grammaticale qui sapplique. Son raisonnement est alors de type dductif. Concernant les formes de discours en dbut du collge, lessentiel du travail, tant loral qu lcrit, est ax sur le ple narratif. Un premier travail est vritablement engag sur le ple argumentatif partir de la classe de quatrime travers ltude du discours explicatif. Mais ce nest quavec la classe de troisime que linitiation largumentation devient un axe directeur du programme. Laccent y est mis sur la prise en compte de lautre afin dajuster le travail dcriture ou de dialogue aux attentes de celui-ci, cest loccasion pour llve de percevoir la double dimension rationnelle et affective de largumentation. Une direction de travail est lutilisation dun exemple pour venir en appui dun argument, le particulier vient en appui du gnral dans le but soit de prciser la pense, soit de renforcer largumentation. En fin de collge, on exige seulement la prsentation dune prise de position crite taye par quelques arguments et exemples. Le travail conduit en collge porte principalement sur laspect persuasif de largumentation, sans exclure totalement laspect convaincant. Il faut attendre la classe de seconde pour que soit dveloppe la capacit rdiger des textes argumentatifs fonds sur des raisonnements dductifs et que les lves distinguent dmontrer et argumenter dune part, convaincre et persuader dautre part, qui constituent les principales oprations de largumentation.

b)Lhistoire et la gographiele discours historique, comme le discours gographique, tend vers la vrit sans en tre lexpression avre: le dveloppement de lesprit critique [] et la formation du jugement personnel [] sont des objectifs permanents24 Les programmes font de largumentation un objectif de premire importance pour le collge en histoire-gographie mais des recherches rcentes montrent que, dans la pratique, la mmorisation de savoirs factuels demeure bien souvent la principale activit des lves. Ils considrent dailleurs lhistoire comme un savoir donn par le professeur, une accumulation de faits et de dates apprendre et restituer. Plac en situation dargumentation en histoire, llve va chercher comprendre une situation, clairer un fait en procdant par analogie en utilisant soit une situation passe dj connue de lui, soit la connaissance quil a du monde actuel. Plus rarement, il peut lui arriver de recourir un raisonnement par prsomption comme par exemple pour justifier quune poigne despagnols et de portugais a pu conqurir les empires amrindiens alors que leur nombre et la connaissance du terrain jouaient en leur dfaveur. Le raisonnement dductif est galement prsent pour, la lumire de documents et de faits tablis, produire une information sur une situation particulire. En gographie, ltude part de situations particulires ou spcifiques pour ensuite dgager par une dmarche inductive des savoirs dordre gnral. La gographie sollicite largement lanalogie pour dgager des similitudes mais aussi des oppositions de situations. Une fois mises en place en classe deHistoire, Gographie, Instruction civique, Programmes et accompagnement, 2000, Collection Enseigner au collge, SCEREN (CNDP).24


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sixime, les trois planisphres de la rpartition mondiale de la population, des grands domaines climatiques et des grands ensembles de reliefs, des mises en relations et un raisonnement dductif permettent partir du cycle central danalyser une situation particulire. Pour traiter de lorganisation des territoires, lhistoire peut tre sollicite pour fournir des arguments explicatifs.

3.Les sciences exprimentales et la technologiea)Les sciences exprimentalesBien souvent, le point de dpart de la dmarche scientifique tient en une analogie entre la situation qui est lobjet dtude et une situation dun domaine dj tudi, cest cette analogie qui guide le choix des observations qui seront faites, des mesures qui seront prises. partir de cette prise dinformations, des hypothses vont tre formules, fruit dun raisonnement inductif qui amne postuler un principe de fonctionnement, une loi. Un raisonnement dductif permet ensuite danticiper les effets observables quon devrait obtenir en tenant lhypothse pour vraie. Les conclusions de ce raisonnement sont soumises lpreuve de lexprience. Si les rsultats des exprimentations sont conformes aux prdictions, lhypothse est dite valide, elle est admise comme provisoirement vraie, tant quelle rsistera lpreuve des faits. Lenseignement au collge consiste travailler les diffrentes tapes de la dmarche, la validation des hypothses se faisant soit par recours lobservation, la confrontation des documents ou encore par la mise en place dexpriences. En dbut de collge, laccent est mis sur lobservation dans le but de susciter un questionnement, de classer en reliant des faits, de comprendre. Lexprience prend le relais de lobservation quand celle-ci ne suffit plus pour apporter des rponses. Seule la cohrence, et non la vrit, est attendue; le critre de recevabilit dun argument tant quil possde un pouvoir explicatif pour le problme tudi et quil ne soit pas en contradiction avec les acquis. La gologie constitue un domaine particulier des sciences de la vie et de la Terre o le raisonnement par analogie est sollicit pour comprendre lactivit interne du globe terrestre ou encore pour reconstituer par un raisonnement les phnomnes gologiques anciens partir de phnomnes actuels. Un des objectifs de lenseignement des sciences exprimentales au collge est damener llve passer dune vision assure mais subjective une vision relative, probable mais objective qui caractrise lesprit scientifique.

b)La technologieLa dmarche technologique est caractrise par un mode de raisonnement fait de transpositions, de similitudes de situations-problme et danalogies, adosses un champ de contraintes pour obtenir une solution25. Tout comme dans les disciplines exprimentales, llve confront un problme est conduit mettre des conjectures, des hypothses (recherche dexplications ou de causes). Pour ce faire, llve conduit un raisonnement inductif, postulant par exemple partir de lobservation, un principe de fonctionnement qui expliquerait le rsultat dune action ralise avec un objet technique. Cette hypothse est ensuite mise en dbat, intervient alors la dduction, et si lhypothse rsiste cette tape, elle est soumise lpreuve de lexprimentation pour tre valide. Cette dmarche est sollicite ds la classe de sixime o est inscrite au programme lanalyse du fonctionnement dun objet technique. Le raisonnement dductif est trs prsent dans lactivit technologique et sa place va croissant au fil des annes de collge. Ainsi, en classe de troisime dans le cadre de conduite dun projet, llve est amen proposer des solutions techniques. Il doit par exemple effectuer le choix dun matriau appropri la ralisation dun objet, justifier lenchanement oprations de ralisation. Le document daccompagnement du programme de technologie mentionne que la phase de structuration des connaissances qui clt ltude dune situation dinvestigation et de rsolution dun problme technique, est fonde sur une dmarche inductive. Les conclusions dgages qui ont une porte gnrale le sont partir du concret et de laction sur une situation particulire.25

Programme de technologie pour le collge, document daccompagnementDirection gnrale de l'enseignement scolaire 29/30

Si les deux types de raisonnement inductif et dductif sont sollicits en technologie, le raisonnement inductif par prsomption occupe une place privilgie qui tient la nature mme de la dmarche technologique qui procde par adaptation en tenant compte des diffrentes contraintes induites par les proprits des matriaux, les processus de ralisation, les cots de fabrication, pour satisfaire au mieux un cahier des charges pralablement dfini.


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doc acc clg raisonnement&demonstration 109177

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