DIVISIBILITÉ, PRIMALITÉET CONGRUENCES DANS Z

présentation du chapitre

Quel est le jour de la semaine correspondant à ma date de naissance ?

On peut résoudre ce problème en utilisant la division euclidienne et aller plus loin encore en créant des calendriers perpétuels .

SUR LES NOMBRES PREMIERSEn nombre infini > Démonstration d’Euclide

« Les Grecs ont été les premiers à parler un langage compréhensibles par les mathématiciens actuels. Les mathématiques grecques sont intemporelles, davantage même que la littérature grecque » ( Littlewood, mathématicien anglais )

La recherche est axée sur l’étude des nombres de Mersenne ( de la forme 2n - 1 ) entiers pour lesquels on connaît désormais des tests de primalité efficaces .

Le nombre de nombres premiers inférieurs à x divisé par x tend vers zéro ! La formule indiquant qu’au voisinage du nombre x la proportion des nombres premiers est de l’ordre de ln(x)/ x a été conjecturée vers 1792 par Gauss, le prince des mathématiciens, mais démontrée seulement en 1896 .

A la source de tous les records > Supercalculateurs

De plus en plus rares > Un résultat paradoxal

QUELQUES IDÉES GÉNÉRALESPoint de vue théorique > Généraliser des

conceptsSubstitution de la notion de congruence à celle d’égalité

On dira que deux nombres sont égaux modulo n, s’ils ont même reste dans la division euclidienne par n . C’est l’égalité sur une horloge où, après douze heures, l’indication est identique à l’heure de départ . Cette théorie permet notamment de justifier tous les critères de divisibilité et plusieurs tours de cartes .

Gauss démontra de nombreux résultats observés par ses prédécesseurs dont Leibniz, Fermat et Wilson . Un ancien traité chinois datant du XVIIIe siècle, nommé Suhanshu, indique un très beau théorème ( celui dit des restes chinois très connu des élèves de CP ) qui n’était pas connu des Grecs .

Arithmétique modulaire > Créer de nouveaux théorèmes Connaissance accrue des nombres entiers premiers