distributions de contraintes de croissance dans une tige

Lab Mécanique et Génie Civil

CC48, Place E. Bataillon

34095 Montpellier

FRANCE

[email protected]

GEA « Biomecanique de l’Arbre »

Clermont-Ferrand

22-24/03/2017

Distributions de contraintes de croissance

dans une tige

Joseph GRIL, Tancrède ALMERAS

LMGC, CNRS, Univ. Montpellier

LMGC

Montpellier

FRANCE [email protected]

GEA - 22-24 mars 2017

Clermont-Ferrand, France

La contrainte de croissance

• Quelle contrainte mécanique est supportée par le bois

au cours de son développement?

fonctions biomécaniques ?

conséquences pour la résistance de la tige ?

conséquences technologiques ?

2

s(x,t) ? >0 tension

<0 compression

composante longitudinale (direction des fibres)

homogène à une pression

typiquement +/- 10MPa = 100bar

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Actions permanentes et transitoires

• Les phénomènes transitoires (vent, neige...) peuvent

jouer un rôle de dans la croissance en tant que signal,

mais n’ont pas d’effet sur la contrainte de croissance

– les contraintes qui en résultent ne sont pas comptées

• seuls comptent les actions mécaniques permanentes

accompagnant la croissance d’une tige:

– gravite (poids des parties de l’arbre supportes par la tige)

– contrainte de maturation en périphérie de la tige

3

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La contrainte de maturation

• Lors de la formation du bois, les parois des cellules subissent

des modifications biochimiques aboutissant à la mise en place

d’une contrainte mecanique initiale, dite contrainte de

maturation (s0)

• dans le cadre de l’elasticite lineaire (petites deformations) on

interprète ce phenomène comme resultant d’une deformation

a0 induite par la maturation:

4

déformation a0 contrainte s0

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Limites du comportement élastique

5

Comportement longitudinal

(parallèlement aux fibres de bois)

du bois dans l’arbre rupture par

défibrage, etc.

rupture par

flambement

localisé

e

s

(+) élongation

contraction (-)

traction (+)

(-) compression

+2% défauts

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Fonctions biomécaniques

• Fonctions biomécaniques

essentielles pour la stabilité

mécanique des tiges :

résistance à la flexion

améliorée, contrôle de

l’orientation…

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JE Gordon (1978) Structures: or why things don’t fall down

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Fonctions biomécaniques

• la contrainte de

croissance permet le

contrôle de l’orientation

lors de la croissance

secondaire (en

diamètre) d’une tige

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Conséquences technologiques

• Conséquences technologiques le plus souvent négatives : fentes en bout,

distorsion des sciages, propriétés indésirables ou imprévues du matériau...

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Distribution typique

9

-1200

-900

-600

-300

0

300

600

-15 0 15L G

RO

WT

H S

TR

AIN

(10

-6)

Radial position (cm)

Sugi 35 years

upper lower pith

• La contrainte de croissance est mesurée indirectement par le

biais de la déformation résultant de son annulation:

s + Ds = 0 s = - Ds = - E x De

Contrainte annulée

en sciant à proximité

des jauges

déformation mesurée

par la variation de

résistance de jauges photos H. Yamamoto

s /E = -De

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Calcul de la contrainte de croissance

• La contrainte de croissance se calcule par application

de deux principes :

– additivité des incréments de contrainte (superposition)

– le bois n’est charge qu’à partir du moment où il est forme

10

contrainte générée

par le processus de

maturation cellulaire

date

d’apparition

du bois

incrément de contrainte

à une position x

donnée du fait du

développement

ulterieur de l’arbre

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Hypothèses de calcul

• Hypothèses pour le calcul de la contrainte de

croissance dans une portion de tige:

– Application instantanée de la contrainte de maturation

– Equivalence temps – taille

– structure élancée: formalisme de la résistance des matériaux

‘une section plane reste plane’ (et orthogonale à l’axe neutre)

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• dans une tige en croissance le bois doit

d’abord exister pour être charge

12

(density )

gHA

Vg0

s

2R

H

area A

gH0 s

A

dVgdR,r

R

r

R

r ss

r: position radiale du bois

R: rayon de la tige

3/2

n

0

Rr14

Rr1n

2nR,r

+

s

s

(n=2/3)

Pour une allométrie stable H Rn :

Small even in giant trees:

H=100m, R=5m 4s0=4MPa

s0

s(r,R)

• Un pilier artificiel est généralement

chargé une fois fabriqué

Tronc vertical équilibré: effet de la gravité

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• tension du nouveau bois équilibrée par de la

compression repartie sur tout l’ancien bois :

13

sL(r,R)

2R

R2

R

)R,r(0R.R.R2.

m2m s

ss+s

+

tension

-

compression R2

2RR

2R R

s<0

sm>0

Tronc vertical équilibré: effet de la maturation

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• tension du nouveau bois équilibrée par de la

compression repartie sur tout l’ancien bois :

14

s r,R( ) = s0 r( ) +¶s

¶ ¢Rd ¢R

r

R

ò

sL(r,R)

2R

s02pR.dR +ds.pR2 = 0 Þ¶s(r,R)

¶R= 2

s0

R

+

tension

-

compression

– Modèle non valable pour r petit (dominance des autres

tissus: moelle, écorce...)

– Typiquement s0 ~ ½ limite élastique NON négligeable

For s0 = cte: For s0(R) = aRk:

s r,R( ) = s0 1+ 2lnr

R

æ

èç

ö

ø÷ s(r,R) = s0(R)

(2+ k)(r / R)k -2

k

• Distribution is integrated by considering a non-zero

initial condition (= maturation stress sm)

Tronc vertical équilibré: effet de la maturation

(Kübler 1959) r>r0

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s(x)

s0 x

s0

2R

Inertia I

Longueur L

2R

Inertie I

• poure ou tige

encastrée,

soumise à la

gravité

15

avec allométrie constante LRn

R

Lg2

I

)2/L.(Vg

I

M

R

2

00

s

s

RyRy8

Ry1Ry1n

1nR;0,y

3/1

2n2

0

+

s

s

Tige horizontale (axisymmetrique) : effet de la gravité

Pour une poutre artificielle :

ssR

r

R

r z,yz,y

dMI

ydR;z,y

Pour une tige en croissance :

(n=2/3)

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x Length L

2R s(x)

Croissance stationnaire:

• Tige horizontale et encastrée, maintenue horizontale par la

contrainte de maturation

Contrainte de croissance dans une tige horizontale

contrainte totale = contrainte de maturation (s0)

¶s

¶Rx,R( ) = 0 Þ s x,R( ) = s x, rx( ) +

¶s

¶RdR

rx

R

ò = s0 x( )

x rx

R

Contrainte de maturation nulle en moyenne (ex. résineux)

• A chaque incrément de charge, la flexion induite par la couche en

matiration compense exactement le poids additionnel

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• redressement actif d’une tige inclinee et excentrique

17

Exemple de croissance non stationnaire

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Conclusion

• Une répartition spatiale des fonctions mécaniques de la tige:

– La maturation sollicite surtout le coeur biologique (moelle)

– les actions transitoires (vent...) sollicitent surtout la périphérie, peu le coeur

géométrique

– La gravité (pour une tige inclinée) sollicite les zones intermédiaires

peut être mis en défaut en cas de forte excentricité

(coeur geometrique ≠ coeur biologique)

• Généralisation des approches:

– Formulation numérique incrémentale possible pour décrire des situations

complexes

– Loi de comportement anélastique (seuil de contrainte plastique,

endommagement) arbres creux ...

– Comportement dépendant du temps

– Contribution du cisaillement au mouvement des tiges sur le long terme

18

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Growth stresses in a horizontal stem

Average stress in maturing wood layer > 0 (e.g. angiosperms)

• At each growth increment sm can be split into its average and an

antisymmetric contribution:

19

sDsD+ss

+

0d.)(

dRR

R

mm

x <sm>

+ = Ds+s

Dss

s(x)

x <sm>+s

<sm>-s

x

dR

support +

maturation (antisymmetric )

maturation

(mean)

growth

stress

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• tige verticale ou inclinée, dont la réaction

équilibre la flexion due au poids propre

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Exemple de croissance stationnaire

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angle des microfibrilles dans S2 50° 0°

teneur en lignine 35% 15%

Teneur en cellulose cristalline 15% 30%

Contrainte de

croissance + 0,1% -0,6%

BC BN BT

Elaboration du matériau

Modifications dans les bois de réaction

Bois de

tension -0,4%

0,4%

0 20 40

Mean Microfibril angle (°)

Lon

git

ud

inal

Matu

rati

on

Str

ain

Cryptomeria japonica D. Don

Chamaecyparis obtusa Endl.

Magnolia obovata Thunb.

Buxus

Eucalyptus

Bois de

compression

Modifications dans les bois de réaction L’angle des microfibrilles en fonction de l’état de contrainte

distributions de contraintes de croissance dans une tige

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