dissipation de l'énergie en mécanique vibratoire. opérateur...

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Année 2002 Laboratoire de Mécanique des Structures INSA Lyon THESE Présentée devant L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON Pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR Formation doctorale : Mécanique Ecole doctorale des Sciences pour l’Ingénieur de Lyon : MEGA Par Ahmad AL MAJID DISSIPATION DE L'ENERGIE EN MECANIQUE VIBRATOIRE - OPERATEUR D'HYSTERESIS - PHENOMENE METRIQUE Jury BERLIOZ Alain, Maître de Conférence – HDR, INSA de Lyon BOUC Robert, Directeur de Recherche – Emérite, UPR CNRS Marseille DUFOUR Régis, Professeur, INSA de Lyon ELBAZ Edgard, Professeur, Université Claude Bernard Lyon I GAY Bernard, Professeur, Université Claude Bernard Lyon I JEZEQUEL Louis, Professeur, Ecole Centrale de Lyon LE HOUEDEC Donatien, Professeur, Ecole Centrale de Nantes MIZONY Michel, Maître de Conférence – HDR, Université Claude Bernard Lyon I TOURRENC Philippe, Professeur, Université Pierre et Marie Curie.

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Année 2002

Laboratoire de Mécanique des StructuresINSA Lyon

THESE

Présentée devant

L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

Formation doctorale : Mécanique

Ecole doctorale des Sciences pour l’Ingénieur de Lyon : MEGA

Par

Ahmad AL MAJID

DISSIPATION DE L'ENERGIE EN MECANIQUE VIBRATOIRE

- OPERATEUR D'HYSTERESIS

- PHENOMENE METRIQUE

Jury

BERLIOZ Alain , Maître de Conférence – HDR, INSA de Lyon

BOUC Robert, Directeur de Recherche – Emérite, UPR CNRS Marseille

DUFOUR Régis, Professeur, INSA de Lyon

ELBAZ Edgard , Professeur, Université Claude Bernard Lyon I

GAY Bernard , Professeur, Université Claude Bernard Lyon I

JEZEQUEL Louis, Professeur, Ecole Centrale de Lyon

LE HOUEDEC Donatien, Professeur, Ecole Centrale de Nantes

MIZONY Michel , Maître de Conférence – HDR, Université Claude Bernard Lyon I

TOURRENC Philippe, Professeur, Université Pierre et Marie Curie.

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i

SOMMAIRE

INTRUDUCTION GENERALE ……………………………………………………………1

PARTIE I : DISSIPATION - OPERATEUR D'HYSTERESIS …………………………….5

CHAPITRE I Généralités sur l’amortissement

1. Introduction............................................................................................................................ 6

2. Amortissement externe à la structure..................................................................................... 7

2.1 Rayonnement acoustique.................................................................................................. 7

2.1.1 Piston dans un tube................................................................................................... 7

2.1.2 Amortissement acoustique d’une plaque.................................................................. 8

2.2 Piston de compresseur ...................................................................................................... 9

2.3 Frottement de Coulomb.................................................................................................. 10

3. Amortissement intrinsèque à la structure............................................................................. 11

4. Propriétés et modélisation des caractéristiques dynamiques des matériaux........................ 12

4.1 Effets de la température.................................................................................................. 12

4.2 Effets de la fréquence ..................................................................................................... 13

4.3 Effets de fréquence-température..................................................................................... 14

4.4 Effets généraux ............................................................................................................... 15

5. Modélisation de l’amortissement......................................................................................... 16

5.1 Modèle linéaire standard ................................................................................................ 16

5.2 Modèle standard généralisé ............................................................................................ 17

5.3 Modèle à dérivées généralisées ...................................................................................... 18

5.4 Module complexe ........................................................................................................... 19

5.5 Boucles d'Hystérésis ....................................................................................................... 19

5.6 Dissipation d'énergie....................................................................................................... 21

5.7 Fonction de dissipation de Rayleigh............................................................................... 21

5.7.1 Exemple 1 : forces de dissipation ........................................................................... 22

5.7.2 Exemple 2 : forces gyroscopiques .......................................................................... 22

5.8 Synthèse.......................................................................................................................... 23

6. Réponse de systèmes amortis en régime harmonique.......................................................... 23

6.1 Amortissement visqueux ................................................................................................ 23

6.2 Amortissement hystérétique ........................................................................................... 24

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ii

6.3 Effets des amortissements visqueux et hystérétique....................................................... 26

6.4 Système réel.................................................................................................................... 26

7. Mesure de l’amortissement .................................................................................................. 26

7.1 Régime forcé................................................................................................................... 26

7.1.1 Mesure par la largeur de bande............................................................................... 26

7.1.2 Mesure par l’amplitude à la résonance ................................................................... 28

7.2 Régime libre ................................................................................................................... 28

7.2.1 Amortissement visqueux. ....................................................................................... 28

7.2.2 Amortissement élastoplastique............................................................................... 29

CHAPITRE II Modèles d’hystérésis

1. Introduction.......................................................................................................................... 32

2. Modèle de Coulomb............................................................................................................. 33

3. Modèle de Dahl.................................................................................................................... 33

4. Modèle de Duhem-Madelung .............................................................................................. 36

5. Modèle de M.A. Krasnosel’skii ........................................................................................... 36

6. Modèle de R. Bouc .............................................................................................................. 38

7. Conclusion ........................................................................................................................... 39

CHAPITRE III Modèle d’hystérésis proposé

1. Introduction.......................................................................................................................... 40

2. Modèle d'hystérésis proposé ................................................................................................ 41

3. Validation mathématique du modèle ................................................................................... 42

3.1 Dérivabilité et bornes de l’opérateur d’hystérésis .......................................................... 42

3.1.1 Les courbes enveloppes dépendent de p et du signe de sa vitesse ......................... 42

3.1.2 Les courbes enveloppes dépendent légèrement de p et du temps.......................... 44

3.2 Existence et unicité de la solution .................................................................................. 44

4. Exemples d’applications du modèle .................................................................................... 46

4.1 Modèle général de ressort............................................................................................... 46

4.2 Modèle de Dahl .............................................................................................................. 47

4.3 Modèle d’hystérésis avec assouplissement..................................................................... 48

4.4 Suspension de caméra infrarouge ................................................................................... 49

4.5 Amortisseur à coussins métalliques................................................................................ 50

4.5.1 Régime quasi-statique............................................................................................. 51

4.5.2 Régime harmonique................................................................................................ 52

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iii

4.6 Plot en élastomère........................................................................................................... 54

5. Conclusion ........................................................................................................................... 56

CHAPITRE IV Réponse d’un système structure – plot

1. Modélisation par Rayleigh-Ritz........................................................................................... 57

2. Application........................................................................................................................... 59

3. Réponse harmonique avec plot à coussin métallique .......................................................... 60

4. Réponse transitoire avec plot à coussin métallique ............................................................. 61

5. Difficultés de modélisations ................................................................................................ 63

5.1 Réponse transitoire avec plot en élastomère. ................................................................ 63

5.2 Réponse transitoire avec plot à coussin métallique....................................................... 64

6. Conclusion : ......................................................................................................................... 64

PARTIE II : DISSIPATION - PHENOMENE METRIQUE ………………………….66

CHAPITRE V Généralités calcul tensoriel et géodésique

1. Introduction.......................................................................................................................... 67

2. Transformation des coordonnées ......................................................................................... 67

3. Métrique d’un espace........................................................................................................... 68

3.1 Espace de Riemann ....................................................................................................... 68

3.2 Espace euclidien & pseudo-euclidien ........................................................................... 69

4. Tenseurs associés ................................................................................................................. 69

5. Symboles de Christoffel....................................................................................................... 69

6. Dérivation covariante........................................................................................................... 70

6.1 Opérateurs vectoriels et dérivées covariantes ............................................................... 71

6.2 Généralisation................................................................................................................ 71

7. Tenseur de courbure............................................................................................................. 71

7.1 Tenseur de courbure général ......................................................................................... 71

7.2 Propriétés du tenseur de Riemann................................................................................. 73

7.3 Tenseur de Ricci............................................................................................................ 73

8. Géodésique dans l’espace de Riemann ................................................................................ 73

8.1 Equation de la géodésique............................................................................................. 74

8.2 Forme contravariante de l’équation de la géodésique................................................... 75

8.3 Influence du paramètre p............................................................................................... 75

8.4 Influence de la forme de la fonction.............................................................................. 76

9. Les équations de Lagrange à la lumière de la théorie de relativité générale ....................... 77

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iv

10. Le temps-propre et les équations de mouvement, vus par la mécanique relativiste ............ 78

10.1 Utilisation de l’équation d’Euler-Lagrange................................................................... 79

10.2 Utilisation de l’équation des géodésiques ..................................................................... 80

11. Conclusion ........................................................................................................................... 80

CHAPITRE VI Effet dissipatif et fréquence variable

1. Introduction.......................................................................................................................... 82

2. Dimension fréquence d’événement supplémentaire ............................................................ 82

3. Equations du mouvement..................................................................................................... 85

4. L’énergie qui provoque l’amortissement ............................................................................. 87

5. Equation du mouvement d’un point matériel de faible vitesse............................................ 88

6. Méthode expérimentale........................................................................................................ 89

6.1 Dispositif expérimental................................................................................................... 89

6.2 Détermination expérimentale de la fonction q(ξ) ........................................................... 90

7. Réponses en régime transitoire rapide ................................................................................. 93

7.1 Modèle classique ............................................................................................................ 93

7.2 Modèle proposé .............................................................................................................. 94

8. Conclusion ........................................................................................................................... 95

CHAPITRE VII L’amortissement, phénomène métrique

1. Introduction.......................................................................................................................... 97

2. Energies cinétique et potentielle pour un système de points en mouvement....................... 97

3. Cas où des paramètres agissent sur le mouvement .............................................................. 99

4. Equations de mouvement................................................................................................... 100

5. Exemple d’illustration........................................................................................................ 103

5.1 Forme de la métrique.................................................................................................... 103

5.2 Expression de l’amortissement..................................................................................... 104

5.3 Détermination des termes de la métrique ..................................................................... 105

5.4 Equations du mouvement ............................................................................................. 108

6. Réductions des axes supplémentaires à un axe (axe du temps) ......................................... 110

6.1 Forme de la métrique.................................................................................................... 110

6.2 Equations de mouvement.............................................................................................. 111

7. Conclusion ......................................................................................................................... 112

CHAPITRE VIII Applications

1. Système à un degré de liberté ............................................................................................ 113

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v

1.1 Equations du mouvement ............................................................................................. 113

1.2 Validation expérimentale du modèle............................................................................ 114

2. Système à trois degrés de liberté........................................................................................ 117

2.1 Modèle classique .......................................................................................................... 117

2.2 Modèle proposé ............................................................................................................ 121

Variante 1.............................................................................................................................. 121

Variante 2.............................................................................................................................. 122

3. Système continu : poutre en flexion................................................................................... 125

3.1 Modèle élément fini de poutre...................................................................................... 125

3.2 Cas d’une poutre encastrée-libre .................................................................................. 128

3.2.1 Equations du mouvement ..................................................................................... 128

4. Conclusion ......................................................................................................................... 126

CONCLUSION GÉNÉRALE ET PERSPECTIVES .......................................................... 137

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ............................................................................. 138

ANNEXE Calcul des variations

1. Equation d'Euler dans le cas de plusieurs fonctions et dérivées d'ordre supérieur ............ 150

2. Equation d'Ostrogradsky, intégrales multiples. ................................................................. 152

3. Exemple d’application ....................................................................................................... 154

4. Les principes variationnels en mécanique ......................................................................... 154

4.1 Principe de Hamilton pour les systèmes à un degré de liberté ..................................... 155

4.2 Principe de Hamilton pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté ......................... 155

4.3 Principe de Hamilton pour les systèmes continus ........................................................ 156

4.3.1 Mouvement transversal d'une corde ..................................................................... 156

4.3.2 Mouvement longitudinal d'une barre.................................................................... 157

4.3.3 Mouvement d’une poutre en flexion .................................................................... 158

4.3.4 Mouvement d’une plaque en flexion .................................................................... 159

4.3.5 Equations de mouvement d'un milieu élastique ................................................... 160

5. L’amortissement et le principe variationnel ...................................................................... 161

5.1 Système à un seul degré de liberté................................................................................ 161

5.2 Systèmes à plusieurs degrés de liberté ......................................................................... 161

5.3 Exemple........................................................................................................................ 162

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INTRODUCTION GENERALE

1

INTRODUCTION GENERALE

La dissipation de l‘énergie dans les systèmes mécaniques est recherchée quand il s’agit

d’évacuer une énergie indésirable : surtension, instabilité, séisme, freinage, crash. Mais

l’énergie est au centre des préoccupations économiques et de performances de notre société

actuelle. Aussi il convient de limiter le plus possible sa dissipation quand l’énergie joue un rôle

positif comme dans le cas où elle est convertie en travail : machines outil, véhicules de

transport, matériels de sport…

La dissipation a des effets complexes : effet amortissant dans les zones d’amplification

proches des phénomènes de résonance, effet amplifiant dans les zones d’atténuation [90, 99,

106, 135, 137], effet déstabilisant si trop d’amortissement réside dans le rotor [107].

D’autres effets liés à la dissipation peuvent être cités :

- Déphasage et donc boucle d’hystérésis entre force et déplacement ou entre contrainte et

déformation sous chargement cyclique,

- Amplitude limitée à la résonance.

- Relaxation des efforts sous déformation constante,

- Fluage : déformation croissante avec le temps sous effort constant, particulièrement à

température élevée,

- Variation du module élastique avec le taux de contrainte.

- Elévation de la température du solide alternativement déformé, et transmission de cette

chaleur dans l'environnement,

- …………….

La structure elle-même, le contact entre deux ou plusieurs structures, la structure dans

un fluide, le référentiel d’observation, sont sources de dissipation sitôt qu’il y a mouvement.

La dissipation de l'énergie dépend d'un grand nombre de facteurs [34, 67, 75, 95, 99,

106, 135, 137] :

- Facteurs internes : type de matériaux, composition chimique, structure cristalline ou

amorphe, etc.

- Facteurs externes : température, charge initiale, contrainte initiale, etc.

- Facteurs liés au mouvement: amplitude et fréquence de déformation, état de l'effort etc.

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INTRODUCTION GENERALE

2

- Facteurs propres au spécimen: géométrie, état de surfaces, etc.

L’objectif de la recherche présentée dans ce mémoire est d’avancer dans la

connaissance des effets liés à la dissipation et d’établir des modèles mécaniques afin de prévoir

le comportement dynamique de systèmes mécaniques dissipatifs.

Il s’agit d’établir des modèles mécaniques basés sur :

- des fondements mathématiques solides afin d‘éviter les problèmes de résolution

- des observations expérimentales qui prennent en compte qualitativement et

quantitativement les facteurs et effets mentionnés préalablement,

- des résultats expérimentaux afin de caler et de valider, Figure 1.

Système

donnéesexpérimentales

Modèlemathématique

systèmede mesure

résultatsthéoriques

comparaison

mauvais accord

amél

iora

tion s

bon accord

Fig. 1. Plane de recherche

Après avoir obtenu des données expérimentales ad hoc et observé que l’amortissement du

comportement dépend d'un grand nombre de facteurs, on doit entreprendre une analyse plus

fondamentale des données, basée un modèle physique.

Le mémoire se divise en deux parties.

La première partie, intitulée Dissipation - opérateur d’hystérésis, permet d’introduire

un modèle opérateur d’hystérésis très original qui peut être notamment appliquer aux boucles

effort-déflexion de tout système mécanique. Mais auparavant cette partie est consacrée,

Chapitre I, à une généralité sur les modélisations des amortissements visqueux et sec générés

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INTRODUCTION GENERALE

3

qui peuvent être internes ou externes à la structure. Après une présentation d’exemples et des

propriétés des amortissements externe et interne, les modèles existants sont listés et analysés. Le

Chapitre II s’intéresse plus particulièrement aux modèles d’hystérésis existants. Par la suite, au

Chapitre III, est proposé le modèle opérateur d’hystérésis original avec son fondement

mathématique et ses applications. Au Chapitre IV, la prévision des réponses harmoniques et

transitoires d’une structure sur deux types de plots amortisseurs, dont les comportements

viscoélastique et élastoplastique sont modélisés avec le modèle force de restitution proposé, sont

comparées à l’expérimentation.

Dans la deuxième partie, intitulée, Dissipation - phénomène métrique, il est démontré

que de l’amortissement peut intervenir quand le mouvement déforme le système de coordonnées

utilisées. Tout d’abord dans le Chapitre V, il s’agit de présenter les outils de base utilisés dans

l’approche choisie : calcul tensoriel, métriques et équations des géodésiques.

Au Chapitre VI, en utilisant le concept de la relativité restreinte, est modélisé l’effet

dissipatif induit par une excitation de fréquence variable. L’idée fondamentale est que chaque

système a son propre temps qui dépend d’événements externes. Pour cela un axe supplémentaire

représentant la fréquence est pris en considération. L’application, qui permet une validation

expérimentale du modèle original obtenu, concerne un système à un seul degré de liberté (ddl).

Dans le Chapitre VII, il s’agit d’évaluer l'amortissement dû à un phénomène notamment

transitoire, en utilisant la géométrie des espaces de Riemann où la métrique ne dépend que des

coordonnées de l’espace. La démarche s’appuie sur les concepts de la relativité générale. La

solution au problème variationnel de la métrique donne les équations des géodésiques pour le

système étudié. Les applications concernant la réponse forcée de 3 types de systèmes

mécaniques sont présentées au Chapitre VIII. Elles permettent la validation expérimentale des

modèles proposés pour les systèmes à un ddl, 3 ddl, et continu.

Il est à noter que l’annexe, après un rappel du calcul des variations, montre sous quelles

conditions une équation différentielle donnée (forme locale du problème) provient de la

minimisation d’une fonctionnelle (forme globale du problème). Ainsi sont établies, sous une

forme générale facile à programmer, les équations d’Euler Ostrogradsky (équation du

mouvement). En fin d’annexe est dressée une synthèse sur la problématique de la modélisation

des systèmes dissipatifs.

Ce manuscrit concerne les champs de la Mécanique, des Mathématiques et de la Physique

dont il reprend largement des notions de base (notamment au travers des chapitres I et V), pour

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INTRODUCTION GENERALE

4

rendre sa lecture abordable par un large public scientifique. Nombre de développements ont été

réalisés analytiquement. Il a fallu développé des logiciels (géométries d’Euclide, de Gauss, de

Lobachevsky, de Riemann et de Finsler) car les outils de calcul symboliques de Maple se sont

rapidement avérés limités (notamment dans le cas de la géométrie de Finsler). La panoplie des

logiciels développés (Matlab-Numérique, Matlab-Symbolique, Maple) figure dans les rapports

[6, 7, 8, 9 ].

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PARTIE I

DISSIPATION

OPERATEUR D'HYSTERESIS

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 6

GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

1. Introduction

Les vibrations dans un système mécanique [106, 130, 164] résultent d’un transfert

alternatif entre énergies cinétique et potentielle qui, sans dissipation, perdure Figure(1-a). En

présence de dissipation, et c’est le cas de tout système réel, les amplitudes du mouvement

convergent jusqu’à l’équilibre dynamique dans le cas d’un système forcé, jusqu’à l’équilibre

statique dans le cas d’un système libre.

Un amortissement visqueux crée une force proportionnelle et opposée à la vitesse alors

qu’un frottement sec crée une force constante mais change de signe à chaque demi-cycle et

donc s’oppose à la vitesse [73, 137].

Position d’équilibre

Position de mouvementTemps

a- Poutre non amortie

Enveloppe We(t)

TempsAmortisseur visco

b- Poutre avec amortissement visco

Temps

Amortisseur en friction

c- Poutre avec amortissement sec

Fig.1. Poutre en mouvement libre [ 137].

Dans le cas d’une réponse impulsion le mouvement alternatif s’inscrit dans une courbe

enveloppe exponentielle décroissante, Figure (1-b), en présence d’amortissement visqueux,

linéaire décroissante, Figure (1.-c) en présence d’amortissement sec. Ainsi le mouvement d’un

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 7

système avec amortissement visqueux pur prend théoriquement un temps infini pour mourir

complètement. Mais dans la pratique un système réel cumule différents types d’amortissement

qui ne dépendent pas exclusivement de la vitesse et qui contribuent donc à l’étouffement

complet du mouvement [98, 99, 109, 135]. Pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté

l’amortissement étouffe avec le temps les modes de fréquences les plus élevées. Ainsi au bout

d’un certain temps le mouvement ne comportera que le mode fondamental permettant la

mesure de l’amortissement par décrément logarithmique dans le cas d’amortissement visqueux

et d’hystérésis pouvant être décrit par un module d’Young complexe.

En régime harmonique, un système à un degré de liberté se comporte en raideur en deçà

de sa fréquence propre, en inertie au delà. En l'absence d’amortissement aucun équilibre

dynamique ne peut être atteint à la résonance [23, 84, 67]. Dans la pratique et donc en présence

d’amortissement, l’amplitude de l’équilibre dynamique dépend de l’importance des forces

d’amortissement. La mesure de l’amortissement s’opère alors par la mesure de bande. Là aussi

la mesure d'amortissement sera unique pour certains types d'amortissement, tels que visqueux

ou d’hystérésis, mais dépendra de l'amplitude pour d'autres types d'amortissement, tels que le

frottement sec, et doit donc être employée avec une certaine attention.

2. Amortissement externe à la structure

L’amortissement externe est apporté par le fluide environnant [26], le contact avec une

autre structure ou un système mécanique

2.1 Rayonnement acoustique

Un milieu fluide environnant (air, l'eau, huile, ou d'autres gaz ou liquides) modifie la

réponse vibratoire d'une structure [21, 73].

2.1.1 Piston dans un tube

L'effet d'amortissement du milieu fluide dépend de plusieurs facteurs, dont la densité 'ρ

du milieu, la vitesse de propagation des ondes dans le milieu, et les caractéristiques de masse et

de rigidité de la structure elle-même [26, 133, 137]. Un système très simple, une masse

soutenue par des ressorts de raideur k agissant comme un degré de liberté ( )tw couplé sur

chaque extrémité à un milieu acoustique permet d’illustrer les principes mis en œuvre.

L'équation du mouvement de la masse m est

( ) aFtFkwdt

wdm −=+

2

2

, (1)

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 8

où aF est la force due au milieu acoustique. Elle est déterminée en résolvant l'équation du

mouvement du milieu acoustique, la masse oscillant avec la vitesse ( )tw . L'équation du

mouvement à satisfaire est l'équation d'ondes unidimensionnelle:

01

2

2

22

2

=−dt

d

adx

d ψψ. (2)

Dans cette équation a est la célérité de l’onde dans le milieu et ψ le potentiel vitesse dans

le milieu liquide, qui est lié à l'incrément de pression p et à la vitesse acoustique V par les

relations suivantes:

dt

dp

ψρ'−= , et dx

dV

ψ= . (3)

Si le déplacement de la masse m est ( ) tiWetw ω= , alors nous pouvons supposer que ( )tx,ψ est

de la forme ( ) tiex ωΨ , de sorte que la force Fa devient

( ) waRppRF LRa '2 22 ρππ =−= , (4)

par conséquent l'équation (1) prend la forme :

( )tFkwdt

dwaR

dt

wdm =++ '2 2

2

2

ρπ , (5)

si maintenant ( ) tiFetF ω= , alors:

( ) 21

1

ωη mikF

W

e −+= , (6)

k

aRe

ωρπη '2 2

= , (7)

est le facteur de perte efficace du système à un seul degré de liberté. Il est proportionnel à ω : et

à la densité du milieu 'ρ : ainsi ce type d'amortissement est plus efficace aux fréquences

élevées et dans un milieu type liquide (eau, huile) plutôt que type gaz (air).

2.1.2 Amortissement acoustique d’une plaque

Le problème de prévoir l'effet d'un milieu acoustique sur la réponse d'une plaque est plus

compliqué que le cas précédent. Un élément de la plaque vibrant au point A, Figure 2, met en

mouvement le milieu acoustique et produit des ondes qui, en se propageant, créent des

pressions au point B.

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 9

θ0

θr0

r’

r

o

ds

X

γ A

B

Fig.2. Amortissement acoustique

En champ libre, la pression est donnée par la formule de Rayleigh [137, 161]:

( ) ( )∫ −−−=S

arti dSer

rwip '

',

2' ωθ

πωρ

, (8)

où S est la surface totale de la plaque, ( ) tierw ωθ, la vitesse du plat au point B, et r' est la

distance de B à A donnée par ( )0022

0 cos2' θθ −−+= rrrrr . L’équation générale du

mouvement d'une plaque avec un milieu acoustique s’écrit en employant l'équation (1):

( ) ( )θθρ ω ,,2

24 rperF

dt

wdHbwD ti −=+∇ , (9)

où D est la constante de rigidité des plaques, H l’épaisseur, b la largeur, ρ la masse volumique

de la plaque. C'est une équation intégrale-différentielle qui peut être résolue, par exemple, par

analyse modale.

2.2 Piston de compresseur

Le fluide dans lequel une structure est immergée peut fournir d'autres mécanismes

d'amortissement comme la fuite de gaz [137]. Un piston comprimant alternativement un

volume de gaz fermé hermétiquement crée un incrément de pression tipeω∆ proportionnel au

mouvement du piston ( ) tieyxW ω, et aucune dissipation ne se produit. Si une petite fuite

survient, l'incrément de pression se modifie : ( )εω +∆ tipe , où ε est un angle de phase résultant de

la perte. L’écoulement de la fuite peut avoir un régime laminaire ou turbulent, selon

l’amplitude W, le volume du gaz 0V , la taille de la fuite, et le type de mode dans lequel le

panneau répond.

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 10

2.3 Frottement de Coulomb

La force de friction résultante du mouvement relatif de deux surfaces en contact est

généralement modélisée par une force constante proportionnelle à la charge normale entre les

surfaces et opposée au vecteur de vitesse instantanée [126, 135].

La Figure 3 présente un système mécanique à un ddl. Si ( ) NtF µ< , µ étant le coefficient

de frottement, la masse m ne se déplace pas, si ( ) NtF µ≥ , le mouvement a lieu sans arrêt, le

signe de la force de friction changeant avec le signe de la vitesse w , de sorte que l'équation du

mouvement devient :

( ) ( )wsgnNtFwkwm µ−=+ . (10)

Fc

k

N

w(t)

F(t) m

Force

µ N

w

Fc

-sin (ω t)

Sgn(-sin (ω t))

ω t

- 4/π sin (ω t)

w

Fig.3. Amortissement par friction [135]

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 11

Si la force est harmonique ( )tFF ωcos0= , la solution se recherche sous la forme :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )t

k

F

k

NtCtCtw ω

ωωµωω cos

1sincos

20

00201 −

+±+= , (11)

où mk=20ω , et 21, CC sont les constantes de l'intégration.

3. Amortissement intrinsèque à la structure

L’amortissement dans les matériaux, considéré à l’origine comme un processus

clairement homogène, est en réalité un processus très complexe, qui obéit à nombre de

différents mécanismes. En fait, d'une façon générale, la dissipation de l'énergie mécanique dans

le matériau a lieu par un processus irréversible : transfert d'un état d’équilibre

thermodynamique de la structure interne à un autre état d'équilibre correspondant à de

nouvelles conditions imposées. Ce processus de transfert est accompli par une réorganisation

interne de structure [135, 167]. L'effet final de la dissipation représente, donc, une somme

d'effets provoqués par divers mécanismes de la reconstruction de la micro- et macro- structure.

Les mécanismes de la reconstruction interne incluent l'hystérésis magnétique (magnéto-

élasticité, magnéto-mécanique, magnétostriction, courant de Foucault), conductivité thermique

(thermoélasticité, thermique, diffusion thermique et écoulement thermique) et reconstruction

atomique.

Le dernier groupe inclut des effets liés à la diffusion, aux dislocations, à la relaxation

d'effort aux blocs de frontières de grain en matériaux polycristallins, aux processus de phase

dans les solutions pleines, etc. Pendant la déformation, tous les mécanismes d'amortissement

sont impliqués à un certain degré. Cependant, la contribution de chaque processus au

comportement d'amortissement général est différente parce que, dans des conditions externes

données et une gamme prescrite d'amplitude d'effort, chaque processus est relié à certaines

fréquences et températures ambiantes, dans lesquelles il est le plus prononcé. Les mécanismes

séparés responsables de la réorganisation interne de structure peuvent représenter des processus

réversibles ou irréversibles et peuvent être étroitement reliés à la température, à l'amplitude ou

à la fréquence de la déformation. De tels effets sont souvent fortement non-linéaires, ainsi

l'analyse détaillée de la réponse avec de tels mécanismes d'amortissement est habituellement

très difficile [11, 49, 75, 109].

Les processus typiques incluent :

- Relaxation amortissante qui dépend de la fréquence et de la température, mais pas de

l'amplitude de déformation. Le processus est réversible pour de petites valeurs d'amplitude :

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 12

anélasticité des matériaux. Le processus est irréversible pour de plus grandes amplitudes :

viscoplasticité [47],

- Amortissement résonnant qui dépend de la fréquence de résonance du mécanisme

particulier [99],,

- Amortissement structural qui dépend de l'amplitude de la déformation mais pas de sa

vitesse [135, 137],

- Facteurs amortissants qui dépendent de l’amplitude et la vitesse de la déformation [86,

90, 108],

- Facteurs visqueux non linéaires qui dépendent principalement de la température

[90, 179].

L'énergie par volume unitaire dissipée par cycle est très petite pour la plupart des

matériaux structuraux conventionnels, légèrement plus élevée pour certains alliages.

Les matériaux composites en général comme par exemple le boron-aluminium ou les

composés carbone-époxydes ont un très faible amortissement et un comportement fortement

non linéaire, [99]. Pour ce qui est des matériaux viscoélastiques l’amortissement viscoélastique

est exhibé fortement par les matériaux polymères et vitreux, et ce mécanisme de

l'amortissement interne a beaucoup d'application industrielle. L'amortissement résulte de la

relaxation et du rétablissement du réseau de polymère après qu'il ait été déformé, et une

dépendance forte existe entre les effets de fréquence et les effets de la température en raison du

rapport direct entre la température matériau et le mouvement moléculaire [34].

4. Propriétés et modélisation des caractéristiques dynamiques des matériaux

Les caractéristiques dynamiques des matériaux qui traduisent les propriétés de rigidité et

d'amortissement des matériaux, sont respectivement le module d’Young E et le facteur de perte

η [34, 35, 99,137, 179]. Ils changent en particulier avec la température, la fréquence de la

sollicitation et dans un degré moindre avec d’autres facteurs tels le vieillissement, le vide, le

rayonnement, l'huile,…

4.1 Effets de la température

La température est habituellement considérée comme le facteur environnemental le plus

important affectant sur les propriétés d'amortissement des matériaux [135, 137]. Cet effet est

illustré sur la Figure 4 où on peut observer quatre régions distinctes.

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 13

- Région vitreuse. Avec la température, le module d’Young E évolue lentement et le

facteur de perte η fortement.

- Région transitoire. Le module dans cette région diminue rapidement avec

l'augmentation de la température, alors que le facteur de perte prend sa valeur maximum.

- Région caoutchouteuse. Le module et le facteur de perte prennent de faibles valeurs et

changent peu avec la température.

- Région d’écoulement. Le matériau continue à se ramollir avec la température, et

l’amortissement s’élève fortement.

Régionvitreuse

Régiontransitoire

Régioncaoutchouc

Régiond'écoulement

E

η

Température

fréquenceconstante

Fig.4. Effet de la température [137]

4.2 Effets de la fréquence

En utilisant la représentation complexe du module, ( )ωE et ( )ωη peuvent être

représentées analytiquement de différentes manières. Voici celle suggérée par [99, 137].

Le module d’Young E s’établit comme suit :

( ) ( )Φ−+= 1EEE

ω (12)

où E

et E

sont les valeurs minimum et maximum du module du matériau pour ce qui

concerne la fréquence ω et Φ est une fonction de la fréquence satisfaisant les conditions

suivantes 0lim,1lim0

→→ ΦΦ∞→→ ωω

, qui peut être par exemple :

( )nωβ+=Φ

1

1, (13)

où β et n sont des constantes dépendantes du matériau. De même, pour le facteur de perte :

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 14

( )ω

ωπωηd

dE

E

=

2. (14)

Ainsi les deux expressions pour le facteur de module et de perte du matériel peuvent

s’écrire en fonction de la fréquence sous la forme :

( )( )

−+=

+ nEEE

ωβω

1

11

, (15)

( ) ( )( ) ( )( )21

2 nE

nEn

ωβω

ωβπωη+

=

. (16)

Pour utiliser la forme complexe ( )"'* iEEE += il faut que ( )ωE ′′ devienne :

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

12

==′′

+ n

nEnEE

ωβ

ωβπωηωω

. (17)

( )ωE ′′ atteint sa valeur maximum, quand ( ) 1=nβω , et on trouve que la valeur maximum du

module de perte:

En

E

8max

π=′′ . (18)

Ainsi le nombre n peut facilement être déterminé à partir des valeurs maximums des

modules de stockage et de perte.

4.3 Effets de fréquence-température

Il est difficile de pouvoir dissocier les effets de la température des effets de la fréquence

puisque la température du matériau s’élève sitôt qu’il est soumis à une sollicitation alternative

[75, 90, 98, 135]. Une des techniques les plus utiles pour présenter les données expérimentales

sont le principe d'équivalence de fréquence-température (fréquence réduite) pour matériaux

viscoélastique à comportement linéaire. Dans ces approches ( )ETT ρρ00 et η sont tracés en

fonction de la fréquence réduite Tαω , où ω est la fréquence réelle, Tα est une fonction de la

température absolue T, et T0 est une température absolue de référence. L'expression analytique

pour la variation des propriétés d'amortissement avec la fréquence peut être prolongée pour

inclure les effets de la température si le facteur de glissement ( )Tα est connu comme fonction

de la température, de sorte que les équations (15) et (16) soient réécrites sous la forme

( ) ( )

+

−+=n

T

EETEβωα

ω1

11,

, (19)

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 15

( )( )( ) 2

12

=

+ nT

E

nT

En

ωαβ

ωαβπωη

, (20)

où Tα est déterminé en fonction de la température. Il peut avoir plusieurs formes [99], dont

notamment :

∞−−−=

TT

TTCT

01logα , (21)

où Cl, 0T , et ∞T , sont des constantes matérielles à déterminer expérimentalement.

Fig.5. Effet de la fréquence réduit [99] Fig.6. Facteur de glissement [99]

Pour un matériau typique comme le caoutchouc le module d’Young augmente toujours

avec la fréquence, Figure 5. Le facteur de perte augmente avec la fréquence dans la région

caoutchouteuse, prend sa valeur maximum dans la région de transition, et diminue dans la

région vitreuse, [90, 99, 120]. La Figure 6 représente l’évolution du facteur de glissement en

fonction de la température.

4.4 Effets généraux

Une représentation plus générale des caractéristiques des matériaux est [99, 137] :

( ) ( ) ( )( ) ( )εωλλεωλ ,,

6,,,

21

2211 TECC

FCFCTE

++= , (22)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )εωη

λλλεωλη ,,,,,2211

221 TFCFC

FCCT

++= , (23)

où E(λ,ω,T,ε) et η(λ,ω,T,ε) sont fonction de la déflexion statique λ, de la fréquence ω, de la

température T, et de la déformation ε. Les constantes C1, et C2 sont déterminées à partir de

106104102110-2102

103

104

105

0.1

1

10

Mod

ule

d’él

astic

ité

E

Fact

eur d

e pe

rte

η

Fréquence réduite fαT

T-2

T-1

T0

T1

T2 E

η

T2T1T0T-1T -2

10-2

10-1

1

102

Fa

cte

ur

de

glis

se

me

nt

α T

La tem pératu re

10

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 16

mesures statiques, tandis que E(ω,T,ε) et η(ω,T,ε) sont déterminés à partir des mesures

dynamiques.

5. Modélisation de l’amortissement

La rhéologie est à la base de la modélisation des phénomènes d'amortissement : c’est la

science de la déformation et de l’écoulement de la matière. La première direction dans laquelle

la rhéologie s'est développée, appelée théorie microscopique, est basée sur les modèles discrets

de la physique moderne et emploie les résultats concernant la structure interne de la matière

pour décrire des processus exécutés à l'intérieur du milieu en termes d'interactions atomiques et

moléculaires. La deuxième direction, habituellement celle de la technologie, s'appelle

l'approche macroscopique et comprend des théories basées sur des aspects phénoménologiques

de la physique. L'approche macroscopique de la rhéologie fonctionne en terme d'équations

d'état basées sur les lois de la thermodynamique des processus irréversibles, qui peuvent être

écrites sous la forme très générale [99, 135, 137] :

( ) ( )( ) 0,.,.,,, 21 =TtDDf εσ , (24)

où f, représente un vecteur fonction des variables, σ le tenseur de contrainte, ε le tenseur de

déformation, t le temps, T la température, D1 et D2 les opérateurs différentiels, intégraux ou

combinés, (généralement non-linéaires), d'autres variables les propriétés physico-chimiques du

milieu et des conditions environnementales externes.

Les équations d'état sont généralement des modèles du comportement matériau et, selon

l'effet de l'excitation externe (forces externes, champ de température, champ magnétiques,

réactions chimiques, rayonnement, etc.), décrivent les matériaux avec un certain degré

d'approximation. D'une façon générale, au niveau actuel, des données expérimentales sont

employées pour établir un modèle mécanique pour chaque matériau.

5.1 Modèle linéaire standard

Le modèle linéaire standard [135, 137] relie contrainte σ et déformation ε:

+=+

dt

dE

dt

d εβεσασ , (25)

Les étapes suivantes illustrent divers aspects du comportement rhéologique.

Soit le cas d’une contrainte constante σ0 appliquée au temps t = 0 à une éprouvette. Alors

0=dtdσ . Si de plus ε = 0 à t = 0, l’équation (25) donne :

( )βσε te

E−−= 10 . (26)

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 17

Puis si une première déformation ε0 est appliquée soudainement à t = 0, alors 0=dtdε .

Si de plus σ = 0 à t = 0, l'équation (25) donne

( )αεσ teE −−= 10 , (27)

où α est la constante de relaxation de contrainte.

Quand les contrainte et déformation sont harmoniques, tie ωσσ 0= et tie ωεε 0= ,

l'équation (25) donne

( ) 00 "' εσ iEE += , (28)

++=

22

2

1

1'

αωαβω

EE et ( )

+−=

221"

αωαβω

EE , (29)

Les relations (29) donnent une variation de E' et de E" avec la fréquence beaucoup plus

forte que ce qui est usuellement observé.

5.2 Modèle standard généralisé

Les limitations de la forme simple du modèle standard peuvent être repoussées [99, 135,

137] en présentant les dérivées additionnelles de σ et de ε dans l'équation (24) pour donner :

+=+ ∑∑

==

n

ii

i

i

n

ii

i

i dt

dE

dt

d

11

εβεσασ . (30)

Pour la réponse harmonique, de la forme tieωσσ 0= et tieωεε 0= , ceci donne maintenant

( ) 00 "' εσ iEE += , (31)

où E' et E" sont maintenant des fonctions en ω beaucoup plus compliquées. Les constantes αi et

βi sont calées à partir de la mesure de E' et E" en fonction de la fréquence. Le nombre

substantiel de valeurs βi et αi nécessaires pénalisent ce modèle. Cependant ce n’est pas

particulièrement difficile à traiter, puisque les expressions pour E' et E" deviennent maintenant

(avec α0 = 1, β0 = 1) :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++=

αωαωαωαωβωαωβωαω

GGFF

GGFFEE' , (32)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++=′′

αωαωαωαωβωαωβωαω

GGFF

FGGFEE , (33)

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 18

( ) ( ) ,10

22∑

=

−=nf

k

kk

kF ωλλω , (34)

( ) ( ) ,10

1212∑

=

++−=

ng

k

kk

kG ωλλω , (35)

avec

( )( ) ( )( )314

1

2

1,11

4

1

2

1 +−−=−−+= nn

nn ngnf . (36)

5.3 Modèle à dérivées généralisées

Afin de réduire le nombre de termes exigés par le modèle standard généralisé, les

dérivées utilisées jusqu'ici peuvent être remplacées, par les dérivées partielles [156, 169] :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

+=+ ∑∑

==

n

ii

n

ii tDtEtDt ii

11

εβεσασ νµ , (37)

où iDµ et iDν opérateurs dérivées généralisées sont définis par :

( )[ ] ( )( )

( )∫ −−Γ=

t

i

dt

x

dt

dtxD

i

i

01

1 τττ

λ λλ , (38)

avec 10 << iλ et + est la fonction Gamma. Il faut noter que comme avec le modèle standard

généralisé cette définition permet d'obtenir des solutions dans le domaine du temps au moyen

de la transformée de Laplace ce qui est d’un grand intérêt quand ( ) tiet ωσσ 0= , ( ) tiet ωεε 0= .

L’équation (37) se réduit à :

( ) ( )

+=

+ ∑∑

==

n

kk

n

kk

kk iEi1

01

0 11 νµ ωβεωασ , (39)

Cette équation s’exprime sous la forme complexe :

( ) 00*

0 "' εεσ iEEE +== , (40)

avec

( )

( )

+

+=

=

=n

nk

n

kk

k

k

i

i

E

E

1

1

1

1Re

'

µ

ν

ωα

ωβ, (41)

( )

( )

+

+=

′′

=

=n

nk

n

kk

k

k

i

i

E

E

1

1

1

1Im

µ

ν

ωα

ωβ(42)

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 19

5.4 Module complexe

Les constantes élastiques peuvent être remplacées en régime dynamique par des quantités

complexes avec partie imaginaire identique si le coefficient de Poisson varie faiblement avec la

fréquence [116].

Le module complexe représente une méthode commode pour décrire simplement le

comportement viscoélastique :

( ) ( ) ( )( ) 00*

0 "' εωωεωσ iEEE +== . (43)

Si l'on ne s'intéresse qu'aux régimes sinusoïdaux, il est démontré [34, 35, 179] que le

module d'Young du matériau viscoélastique s'écrit :

( )ηiEEiEE +=′′+′= 1* . (44)

Ces deux facteurs dépendent notamment à la fois de la fréquence ω, et de la température

T, selon des lois qui peuvent être connues expérimentalement mais qui n'ont pas de

formulations analytiques.

5.5 Boucles d'Hystérésis

Dans le cas de variations harmoniques de σ et ε, la relation unidirectionnelle (43) devient

[75] :

dt

dEE

εω

εσ ′′+′= , (45)

qui pour ( ) ( )tt a ωεε sin= , peut se mettre sous la forme :

22 εεεσ −′′±′= aEE . (46)

En terme de force-déflexion, la relation (46) devient :

22 δδδ −′′±′= akkF , (47)

avec

kk ′′′, parties réelle et imaginaire de la raideur complexe

δ,F force et déflexion en fonction du temps

aδ amplitude de déflexion

Dans l’espace ( )εσ , , ou ( )δ,F les relations (46) et (47) présentent une boucle

d’hystérésis Figure 7. Il s’agit d’une ellipse à partir de laquelle on peut trouver [90, 186]:

y

y

a

y

a

y

a

b

E

EbE

aE =

′′′

==′′=′ ηεε

,, , (48)

ou bien :

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 20

y

y

a

y

a

y

a

b

k

kbk

ak =

′′′

==′′=′ ηδδ

,, . (49)

Fig.7. Boucle d’hystérésis - ellipse Fig. 8. Boucle d’hystérésis – non linéaire

L’ellipse d’hystéresis, Figure 7, est caractéristique d’un comportement linéaire, dans

l’hypothèse où σ et ε sont des fonctions harmoniques. Dans le cas du comportement élastique à

frottement sec, les équations (46) et (47) ne sont plus valables; la boucle n’est plus purement

elliptique, Figure 8. A partir de sa forme on peut donc statuer sur le type de comportement du

matériau.

On peut alors caractériser le comportement par une approche qualitative basée sur les

notions effectives de raideur dynamique ke et coefficient de perte ηe [71, 75] :

minmax

minmax

δδ −−= FF

ke , ( )

minmax

0minmax

FF

FFe −

−= =δη . (50)

La Figure 9 présente des boucles faiblement et fortement non linéaires [135, 137].

Nombre d'analyses non-linéaires de la réponse amortie des structures ont été effectuées en

utilisant les représentations analytiques d'une telle boucle d'hystérésis, chaque moitié de la

boucle ayant une forme fonctionnelle différente. Une représentation possible est :

( )( )

−±= − nnn

nE 0

10 2 εεενεσ # . (51)

où le signe (-) représente le chargement du cycle et le signe (+) le déchargement. Une forme

alternative, légèrement plus simple, est

( ) ( )

−±=

n

E2

00 1

εεεεηεεσ , (52)

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 21

avec ( ) βεαε

+=

1

EE

Fig.9. Boucle d’hystérésis non linéaire

L'identification des paramètres de ces équations n'est pas une tâche simple, car cela exige

nombre de mesures effectuées pour diverses amplitudes de sollicitation à diverses fréquences et

températures.

5.6 Dissipation d'énergie

La dissipation d'énergie pendant un cycle de déformation du volume unitaire d’une

éprouvette est donnée par :

∫= εσ dD , (53)

d’après (45) avec ( )tωεε sin0= l’équation (53) devient

20'επηED = , (54)

Comme l'énergie maximum stockée U = 2' 20εE , elle est une mesure importante des

capacités d’amortissement du matériau, UD πη 2= .

5.7 Fonction de dissipation de Rayleigh

Lorsque la modélisation utilise une approche globale il est classique de prendre en

compte l’amortissement visqueux dans les équations de Lagrange par le biais de la fonction de

dissipation de Rayleigh R, [144].

nrq

R

q

V

q

T

q

T

dt

d

rrrr

,,2,1,

=∂∂−

∂∂−=

∂∂−

∂∂

,s (55)

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 22

où T, V, sont respectivement les énergies cinétique et potentielle et qr les coordonnées

généralisée.

La valeur numérique de la fonction R à l'instant t représente la moitié de l’énergie

dissipée par unité de temps.

5.7.1 Exemple 1 : forces de dissipation

Soit un système mécanique défini par :

( ) ( )222222

2

1,

2

1yqxpVyxT +=+= , (56)

et

( )22 22

1yByxHxAR ++= , (57)

où, p, q, A, H, B sont des constantes. En appliquant les équations (55) les équations qui

régissent le mouvement sont alors :

=+++

=+++0

02

2

xHyqyBy

yHxpxAx

(58)

Ainsi la fonction de dissipation R génère des forces d’amortissement.

5.7.2 Exemple 2 : forces gyroscopiques

Soit un système holonôme (l’énergie cinétique est une forme quadratique de la vitesse,

les équations des liaisons ne contiennent pas les vitesse, et) qui a n coordonnées généralisées

q1, q2, …, qn et qui est défini par :

∑∑= =

=n

r

n

ssrrs qqmT

1 12

1 , (59)

∑∑= =

=n

r

n

ssrrs qqkV

1 12

1, (60)

∑∑= =

=n

r

n

ssrnrs qqqqfR

1 11 ),,( , (61)

où m , k sont des matrices symétriques et constantes et f est une matrice symétrique dépendant

de q1, q2, …, qn.. L’application des équations de Lagrange (55) donne l’équation:

0),,(2 1 =++ rnrsrrsrrs qqqfqkqm . (62)

Cet exemple montre donc comment des forces gyroscopiques peuvent être introduites par

la fonction de dissipation.

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 23

5.8 Synthèse

La dissipation d’énergie est décrite efficacement par le facteur d’amortissement η

d'amortisseur pour le modèle rhéologique linéaire standard. Ce coefficient peut être considéré

comme une constante ou une fonction des paramètres du mouvement permanent, tels que

l'amplitude et la fréquence [135]

• constante== vηη : amortissement visqueux. Dans ce cas-ci la force d'amortissement

dépend linéairement de la vitesse et si le mouvement est périodique, l'amortissement

dépend seulement de la fréquence du processus

• constante, == hh ηωηη : amortissement hystérétique. Si le mouvement est

monoharmonique, l'effet d'amortissement ne dépend pas de la fréquence.

• ( )ωηη = : l’amortissement est fonction de la fréquence du mouvement

monoharmonique. La forme de la fonction peut être déterminée expérimentalement.

• ( )max,εωηη = : l’amortissement est fonction de la fréquence et de l'amplitude du

processus monoharmonique, la forme de la fonction est obtenue à partir de l'expérience ou

du calcul.

6. Réponse de systèmes amortis en régime harmonique

Il s’agit ici de résoudre et de comparer les réponses harmonique et transitoire d’un

système mécanique le plus simple possible, prenant en compte un amortissement structural ou

visqueux. Dans un système avec amortissement visqueux l'énergie absorbée par le cycle dépend

linéairement de la fréquence de l'oscillation, tandis que pour un système amortissement

structural (ou avec hystérétique) elle est indépendante de la fréquence [75, 137].

6.1 Amortissement visqueux.

Le système à 1ddl w(t), se compose d'une masse m fixée à un ressort k, et un amortisseur

visqueux avec une force d'excitation ( )tF ωcos0 appliquée à la masse. Le mouvement est décrit

par l’équation :

( ) ( ) ( ) ( )tFtkwtwCtwm ωcos0=++ . (63)

Deux solutions se superposent :

1- Une oscillation transitoire de fréquence naturelle et dont l'amplitude dépend des

conditions initiales et s’éteint avec le temps

( )tCtCew ddta

c ωω cossin 21 += − . (64)

2- Une oscillation permanente de fréquence ω de la force d'excitation et de phase ε

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 24

( )( )εω

ωω−

+−= t

Cmk

Fwp cos

2222. (65)

Et la solution totale :

( )( )

( )εωωω

ωω −+−

++= − tCmk

FtCtCew dd

at coscossin2222

21 , (66)

m

Ca

2= ,

2

2

−=

m

C

m

kdω ,

−= 2arctan

ωωεmk

C. (67)

A mesure que la fréquence augmente, le terme d'inertie wm 2ω− augmente jusqu’à la

valeur égale à la force de rigidité kw. C'est l'état connu sous le nom de résonance. L'amplitude

de la vibration est limitée seulement par l'amortissement. Aux fréquences d’excitation bien au-

dessus de la résonance le terme d'inertie domine complètement, et l'amplitude de réponse

devient très petite et a lieu en opposition de phase avec l'excitation ( $180≈ε ). Aux fréquences

d’excitation bien en deçà, la force de raideur domine et la réponse de la masse est en phase

avec l'excitation ( 0≈ε ) : l'amplitude du déplacement permanent dynamique est

approximativement égale au déplacement statique qui serait provoqué par une force constante

F. Trois fréquences principales peuvent être distinguées pour le cas visqueux:

1. La fréquence naturelle mkn =ω .

2. La fréquence normale amortie ( )22mCmkd −=ω .

3. La fréquence de résonance d’amplitude pour laquelle 0Fwp est un maximum. Pour

trouver cette dernière fréquence, de l'équation (65) on trouve

−=

km

C

m

kr 2

12

ω .

6.2 Amortissement hystérétique.

L’amortissement visqueux utilisé a été choisi principalement pour la convenance

mathématique. L'amortissement structural (ou hystérétique), basé sur le concept d'un module

complexe, peut souvent être efficacement utilisé dans le calcul. Supposons que le coefficient

d’amortissement visqueux dans l'équation (63) soit ωηkC = . En utilisant la notation

complexe, wiw ω= , l'équation (63) devient :

tieFwkwm ω0

* =+ , (68)

avec ( )ηikk += 1* , la raideur complexe de la suspension qui contient raideur et amortissement.

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 25

Système avecAmortissement visqueux

Système avecAmortissement hystérétique

Equation différentielle ( )tFkwwCwm ωcos=++ ( ) ( )tiFeRewikwm ωη =++ 1

Solution permanente( )

( ) 2222

0 cos

ωω

εω

Cmk

tFwp

+−

−=( )

( ) 2222

0 cos

ηω

εω

kmk

tFwp

+−

−=

Energie dissipée par cycle

∫= FdwDS

2pWCD ωπ= 2

pWkD ηπ=

Fréquence de résonance

−=

km

C

m

kr 2

12

ωm

kr =ω

Déplacement statique à 0=ωk

F0

( )20

1 η+k

F

Amplitude de Résonance ( )Ckmf ,, ( )η,kf

Tableau 1 Comparaison entre l’amortissement visqueux ou hystérétique [137]

ω r = ω r (α)

ω

F

W

k

1

O

m

F

ck

ω

F

W

O

m

F

k∗ = k(1+i η)

mkr =ω

Fig.10. Réponse dynamique des systèmes visqueux et hystérétique

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 26

6.3 Effets des amortissements visqueux et hystérétique

La Figure 10 et le tableau 1 synthétisent et comparent les résultats principaux liés à un

système avec amortissement visqueux ou hystérétique soumis à un régime harmonique

permanent.

6.4 Système réel

Dans les systèmes réels se combinent différents types d’amortissements (visqueux,

hystérétique, …) aussi il est particulièrement difficile de modéliser avec grande précision la

réponse de systèmes mécaniques industriels [109].

7. Mesure de l’amortissement

L’amortissement se mesure au travers de la réponse du système amorti.

7.1 Régime forcé

7.1.1 Mesure par la largeur de bande

La Figure 11 présente la réponse du système à amortissement visqueux à 1ddl autour de

la fréquence de résonance [106]. En substituant la fréquence de l'amplitude maximum, dans la

solution particulière de la réponse forcée, l'équation (65), l'amplitude à la résonance devient :

W

n

Wres

Wres

A B

ω 1 ω 2ωres ω

Fig.11. Réponse du système à amortissement visqueux autour de la résonance

( )

−=

2

0

12

1

ααk

FW

resp , (69)

où mk

C

2=α .

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 27

Pour trouver les fréquences des points A et B où l'amplitude est n1 fois ( )respW , la

réponse de l'équation (65) est égale (n1 ) fois de la réponse de l'équation (69) :

( ) ( ) 2

0

222

0

1221 αααξξ −=

+− n

kFkF, (70)

avec 0ωωξ = . Pour 14

2

<<km

C, les deux solutions 2,1,=iiω sont données par l'équation:

11 2 −±= ni αξ , (71)

d’où :

−−

=nn ωωωα 12

2 12

1, (72)

pour 2=n

nωωα

2∆= , (73)

où le terme ( ) cCCkmC /2/ ==α , est le facteur d’amortissement visqueux, et cC est

l'amortissement critique du système. Des calculs semblables peuvent être effectués pour le

système avec amortissement hystérétique. Dans ce cas-ci l'amplitude à la résonance est

( )ηk

FW

resp0= , (74)

où mkres =ω . Les fréquences aux points A et B de la Figure 11, où la réponse est n1 fois

( )respW , sont indiquées par

( )11 22,1 −±= n

m

k ηω . (75)

Par conséquent pour 2=n :

ηηω

ω −−+=∆11

res

. (76)

Et pour 1<<η

resωωη ∆≈ . (77)

Les équations (73) et (77) montrent que

αη 2≈ . (78)

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 28

7.1.2 Mesure par l’amplitude à la résonance

Le facteur de surtension ou de qualité Q est défini comme le rapport de l'amplitude de la

réponse à la résonance au déplacement si la force est appliquée statiquement [106] :

( )kF

WQ resp

0

= . (79)

A partir des équations (69) et (79), on peut dire que dans le cas de l'amortissement visqueux

212

1

αα −=Q . (80)

Pour 1<<α cela se réduit à la relation familière :

Q2

1=α . (81)

De même pour l'amortissement hystérétique, l'équation (74) et (79) donne :

Q

1=η . (82)

7.2 Régime libre

7.2.1 Amortissement visqueux.

L'équation du mouvement du système à un degré de liberté avec amortissement visqueux,

soumis à une force impulsion ( )tF δ à 0=t , est écrite sous la forme homogène [106, 137] :

0=++ kwwCwm . (83)

La solution de cette équation dans le cas 12 <kmC est :

( ) ( )φωαωα +−= − teAtw t0

21cos0 , (84)

où kmC 2=α , mk=0ω . Le terme ( )φωα +− t021cos est égal à unité quand

( ) 20 12 αφπω −−= nt , n = 0, 1, 2, … Ainsi le rapport des amplitudes maximales pour n1 et

n2 est:

( )( )

−−

=2

21

2

1 1 α

παnn

n

n ew

w. (85)

En particulier, pour 112 += nn

( )21ln

2

1

απαδ−

=

=

n

n

w

w, (86)

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 29

22 πδδα+

= , (87)

où δ est connu comme le décrément logarithmique.

7.2.2 Amortissement élastoplastique

La figure (3) montre un système avec un frottement de type Coulomb, l’équation du

mouvement libre de la masse s’écrit avec comme déplacement initial w0:

( ) 0sgn =++ kwwNwm µ , (88)

avec mgN = , cette équation est non linéaire du type « linéaire par morceaux » [106, 135].

Nous cherchons une solution particulière de l'équation (88), satisfaisant les conditions initiales

( ) ( ) 00,00 0 =>= www . (89)

Considérons deux demi-périodes du mouvement :

nt ωπ≤≤0 et nn t ωπωπ 2≤≤ , (90)

où mkn =ω représente la fréquence propre du système. Puisque 00 >w , la première demie-

période du mouvement s'effectue vers la gauche. Dans ce cas, la force de frottement est dirigée

vers la droite et l'équation du mouvement a la forme :

0=+− kwNwm µ , (91)

et compte tenu des conditions initiales (89), l’équation (91) admet pour solution particulière :

( ) ( )k

Nt

k

Nwtw n

µωµ +

−= cos0 . (92)

Cette phase du mouvement prend fin lorsque nt ωπ= . On trouve à cet instant :

( ) ( ) 0,20 =+−= nn wk

Nww ωπµωπ . (93)

Pour la seconde demie-période le mouvement s'effectue vers la droite et la force de frottement

change de signe. On a donc :

0=++ kwNwm µ , (94)

et la solution particulière de cette équation avec les conditions initiales (93) s'écrit :

( ) ( )k

Nt

k

Nwtw n

µωµ −

−= cos30 . (95)

Ce procédé de découpage en phases successives de mouvement, pendant lesquelles la

vitesse garde un signe constant peut être poursuivi. Ainsi après chaque demie-période nωπ

l'amplitude du mouvement W(t) diminue de kNµ2 . Pour la n-ième demie-période (dans ce

cas la période est constante), on a :

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 30

( ) ( ) ( ) ( )k

Nt

k

Nnwtw n

n

µωµ 10 1cos12 +−+

−−= . (96)

w

4µN / k

Wn

Wn+2

µN / k

4π /ωn

w0

0t

tf

Fig. 12. Vibrations libres du système avec friction de Coulomb

Les vibrations continuent jusqu’à l'instant ftt = pour lequel :

( )k

Ntw f

µ= , (97)

quand ftt > le mouvement s’arrête. on a montré ici, que pour un système non linéaire il est

parfois possible de trouver assez facilement une solution particulière.

Pour calculer le facteur de friction, il y a deux méthodes :

a) Evaluation de la dissipation d’énergie par le décrément logarithmique

=

+2

lnn

n

W

Wδ , (98)

où 2, +nn WW respectivement sont les amplitudes maximales au bout de la n-ième et (n+2) iéme

demie-période, ( ) ( )( )TnwWnTwW nn 2, 2 +== + . Dans le cas considéré :

( )

+−

−=kNnw

kNnw

µµδ22

2ln

0

0 , (99)

dans le cas δ est une petite quantité, on peut trouver le facteur de frottement donc :

δµN

kw

40≈ . (100)

b) Evaluation de la dissipation d’énergie par la méthode de boucle d’hystérésis

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CHAPITRE I – GENERALITES SUR L’AMORTISSEMENT

PARTIE I. 31

w0w0 – 2(n + 1) (µN / k)

- w0 + 2n (µN / k)

2 µN

w

kw ± µN

Fig. 13. Boucle d’hystéresis. Friction de Coulomb

La Figure 13 représente les forces appliquées au système en fonction du déplacement, S

représente l’aire interne dans la boucle qui est proportionnelle à la quantité de l’énergie dissipée

pendant une période du mouvement (le travail effectué et dissipé) :

( )

+−= 124 0 n

k

NwNS

µµ , (101)

le coefficient de la dissipation ψ relative s’écrit :

U

S=ψ , (102)

où U désigne l’énergie des vibrations d’un cycle en négligeant la dissipation. Elle est égale à

l’énergie potentielle maximale :

202

1wkU = , (103)

on a donc :

( )

+−= 1218

00

nwk

N

wk

N µµψ , (104)

si on accepte que le facteur ψ égale δ2 (où δ est petit), on a :

δψµN

wk

N

wk

48

1 00 =≈ . (105)

Les relations (100) et (105) montrent que les deux méthodes sont équivalentes.

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CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS

PARTIE I. 32

MODELES D’HYSTERESIS

1. Introduction

Des phénomènes hystérétiques peuvent être observés dans de nombreux domaines

scientifiques: physique (magnétisation, polarisation,...), chimie (transition de phase, adsorption,

...), et mécanique (application d'une contrainte à un solide, frottement ,...). Le frottement joue

un rôle important dans de nombreux phénomènes mécaniques ainsi par exemple sa présence

dans des mécanismes de précision (mécanismes de pointage et de visée, mécanismes spatiaux)

limite l'utilisation des méthodes standard d'automatique linéaire [36, 72].

Tout phénomène de dissipation se traduit par un phénomène d’hystérésis. Ce chapitre

établit de manière non exhaustive les modèles d’hystérésis existants.

Considérons de manière générale une relation liant deux variables: ru → , l'hystérésis

apparaît lorsque une valeur de sortie r ne peut être déterminée par la connaissance d'une seule

valeur de l'entrée u. Les variables u et r sont des scalaires. Il est nécessaire que le système ait de

la mémoire, qui conduit à des irréversibilités locales de cette relation ( rru →, n'est pas

univoque), et ce quelque soit le processus utilisé pour indexer l'information mémorisée (temps,

distance parcourue).

Les formulations mathématiques utilisées pour modéliser des phénomènes hystérétiques

conduisent aussi bien à des modèles de dimension finie ou infinie, dans lesquels l’état est la

mémoire du système. Les phénomènes d'hystérésis dûs à une mémoire (temporelle) du système

peuvent être notés de manière très générale [36, 104, 152] :

( ) ( ))0(,(.), rtuHtr = , (1)

où H est un opérateur causal: la valeur r(t) est fonction à la fois de la valeur initiale r(0) et de

l'histoire ( ) tu ≤≤ ττ 0, du signal d'entrée. H est par exemple un opérateur de convolution

( ) ( ) ( )( )∫ +⋅−=t

rdssuGtstKtr0

0, . (2)

La définition donnée ici de H «un opérateur causal, ou même plus spécifiquement un

opérateur causal de convolution» est très large: elle inclut en particulier des opérateurs

linéaires, dont le comportement n'est pas habituellement considéré comme hystérétique. C'est la

raison pour laquelle elle doit être restreinte.

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CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS

PARTIE I. 33

2. Modèle de Coulomb

Le modèle de Coulomb est le modèle de base du frottement sec [17], [36]; celui-ci

exprime que deux surfaces en contact animées l'une par rapport à l'autre d'un mouvement

tangent, exercent mutuellement un frottement parallèle et de sens opposé au déplacement, et de

norme cF constante, égale au coefficient de Coulomb multiplié par l'effort normal. Si la vitesse

est nulle, la valeur du frottement est comprise, au sens large, entre cF− et cF+ . Ainsi, en

notant (-r) le frottement et u la vitesse relative, on peut écrire lorsque le mouvement est

unidimensionnel (le seul cas envisagé dans toute la suite) [15, 60] :

( ) cFur sgn∈ (3)

dtdu

r

cF+

cF−

Fig.1 Loi de frottement de Coulomb

3. Modèle de Dahl

Un modèle de comportement unidimensionnel a été proposé par P.R. Dahl en 1968

[14, 36], tout d’abord pour rendre compte du frottement sec intervenant dans des roulements à

billes; il l'a ensuite appliqué à la modélisation du frottement dans un pendule de torsion. Ses

travaux ont été utilisés de nombreuses fois par des mécaniciens: étude de la stabilité de

systèmes montés sur roulements (en particulier un télescope spatial), identification des

paramètres de friction, stabilisation, commande adaptative.

Soit t le temps, -F le frottement sec, u la variable d'espace; (par exemple, dans le cas du

déplacement rectiligne d'un solide ponctuel, u est le déplacement de translation), F une force;

dans le cas d'un pendule, u est le déplacement angulaire, F un moment , ... Le modèle de Dahl,

a été construit de la manière suivante :

Soit dt

du

du

dF

dt

dF = ; définir le modèle, c'est alors caractériser du

dF . Dahl suppose que:

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CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS

PARTIE I. 34

• du

dF est toujours positive et indépendante de l'origine des u et de t (espace isotrope,

modèle stationnaire).

• F est astreint à rester dans l’intervalle [ cc FF +− , ] (Fc est la constante de Coulomb); plus

précisément, lorsque u croît, F croît asymptotiquement vers cF+ , lorsque u décroît, F décroît

asymptotiquement vers cF− :

0lim,lim ==∞±→∞±→ du

dFFF

uc

u(4)

• lorsque F est petit (devant Fc), du

dF est quasiment constant :

σ≈<< cFFdu

dF, constante. (5)

• Le modèle finalement considéré est le suivant :

−−= )(sgn1(sgn)(sgn1 u

F

Fu

F

F

du

dF

c

i

c

σ (6)

où σ est une constante strictement positive, ,0≥i dtduu=

Cette équation vérifie bien les trois propriétés énoncées plus haut en particulier on

retrouve bien le comportement quasi-élastique σ≈cFF lorsque 1<<cFF . Le paramètre σ,

est la pente de la tangente aux points où les courbes coupent l'axe 0=F et mesure la "rapidité"

avec laquelle F tend vers son asymptote. Le paramètre i permet de moduler la forme des

courbes et le choix 0=i fournit un comportement purement élastoplastique (mise en série d'un

ressort linéaire de raideur σ et d'un frottement de Coulomb par exemple), soit une

régularisation par élasticité (linéaire) avec saturation. En fait, cette dernière valeur de i est vue

par Dahl comme un cas dégénéré; effectivement, pour des mouvements de faible amplitude

(faible par exemple devant σcF , on n'a alors aucune dissipation d'énergie, le comportement,

purement linéaire, étant celui d'un rappel élastique:

−∈ )(sgn1(sgn u

F

FuF

c

σ .

Il est intéressant de présenter quelques remarques qualitatives faites par Dahl sur le sens

de ce modèle. Dahl a considéré le mouvement libre d'un mobile soumis à ce frottement et à une

force de rappel élastique; celui-ci est constitué d'oscillations, qui s'amortissent. Trois

comportements peuvent être distingués:

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CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS

PARTIE I. 35

• σcFu >> , «grandes oscillations »: tout se passe comme si le frottement de Dahl était

remplacé par un frottement de Coulomb; la décroissance de l'amplitude des oscillations est

linéaire.

• σcFu << , «petites oscillations »: les asymptotes cF± n'ont pas la possibilité d'être

approchées, et ne subsiste qu'une faible décroissance de l'amplitude des oscillations, qui est ici

hyperbolique. C'est la zone de frottement dit structurel.

• σcFu ≈ : entre ces deux zones, lorsque aucun des deux comportements que nous avons

vus n'est prépondérant, la décroissance est exponentielle; c'est la zone de comportement

visqueux du frottement.

Supposons que: rFF c = et ασ =cF , une constante. Comme la valeur de F est

astreinte à rester dans l’intervalle [ ]cc FF ,− , alors la valeur de r est astreinte à rester dans

l’intervalle [ ]1,1− . L’équation (7) s’écrit alors sous la forme :

( )iurur )(sgn1 −= α . (7)

La Figure 2 représente l’équation (7) pour deux valeurs de α, qui joue donc un rôle dissipatif.

α = 800 α = 3000

Fig.2. Modèle de Dalh. Influence de α : i = 1

Quant au sens attribué à la valeur du paramètre i, Dahl considère que les valeurs de i

supérieures à 1 renforcent le caractère élastoplastique du comportement et inférieures à 1 pour

les matériaux cassants, Figure 3 représente le modèle pour i = 0.5, 2.

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CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS

PARTIE I. 36

i = 0.5 i = 2

Fig.3 Modèle de Dalh. Influence de i : α = 2000

4. Modèle de Duhem-Madelung

Lorsque les trajectoires parcourues dans le plan (u, r) constituent deux familles de

courbes et qu'en chaque point intérieur passe exactement une courbe de chaque famille, un

modèle mathématique de comportement peut être constitué par l'équation différentielle

ordinaire suivante qui est le modèle de Duhem-Madelung [36]:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ))()(sgn,, tudt

dtu

dt

dtutrgtr

dt

d

= . (8)

5. Modèle de M.A. Krasnosel’skii

Krasnosel’skii et al. ont développé une théorie générale des non linéarités hystérétiques

dans laquelle celles-ci sont considérées comme des opérateurs non linéaires particuliers, définis

et continus sur un certain espace de Banach de fonctions. Ω étant un sous-ensemble connexe du

plan (u, r) tel que, pour tout u0, l'intersection de Ω avec la droite u=u0 soit non vide, à tout

couple (t0, r0) où ] [+∞∞−∈ ,0t , on associe l’opérateur [ ]00, rtW défini sur l'ensemble des

fonctions u(t) pour 0tt ≥ , monotones par morceaux, et telles que ( ) Ω∈00 , rtu . Les valeurs de

l'opérateur sont des fonctions r(t) pour 0tt ≥ continues et telles que ( ) 00 rtr = et

( ) ( ) Ω∈trtu , pour 0tt ≥ .

La paire constituée de l'ensemble Ω et du système d'opérateurs [ ]00, rtW est appelée un

hysteron si les opérateurs [ ]00, rtW possèdent la propriété de constituer un semi-groupe c’est à

dire que pour toute fonction u(t) monotone par morceaux:

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CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS

PARTIE I. 37

[ ] ( ) [ ] ( )[ ] ( ) ttttuturtWtWturtW ≤≤∀= 10100100 ,,, (9)

Un cas important est le suivant: soit Ω limité verticalement par deux courbes γ γ− +,

absolument continues sur chaque intervalle fini [ ])(),()( uuu +−= γγω , et soit ),( rulΦ et

),( rurΦ deux fonctions mesurables en (u) continues en (r) et bornées sur chaque ensemble

borné. Ceci signifie que ces deux fonctions ),(rulΦ et ),( rurΦ doivent vérifier les deux

conditions de Lipschitz suivantes :

2''' )qq(L))q,p()q,p()(qq( −≤−− ++ φφ , (10)

2''' )qq(L))q,p()q,p()(qq( −−≥−− −− φφ , (11)

Soit la fonction ),,( εrug définie pour tout (u, r) par les égalités

)(

)()(

)(

))(,(),(max

),(

))(,(),(min

)1,,(

ursi

urusi

ursi

uuudt

dru

uuudt

d

rug

l

l

l

+

+−

++

−−

≥<<

=−γ

γγγ

γφγ

φ

γφγ

,

0)0,,( =rug , (12)

)(

)()(

)(

))(,(),(max

),(

))(,(),(min

)1,,(

ursi

urusi

ursi

uuudt

dru

uuudt

d

rug

r

r

r

+

+−

++

−−

≥<<

=+γ

γγγ

γφγ

φ

γφγ

.

Alors r est donné par :

( )( ) ττττγτ duuugrtrt

)()(sgn),(),()(0

0 ∫+= .

L'interprétation de ceci est la suivante: les trajectoires débutant dans Ω dans le plan (u, r) sont

limitées inférieurement et supérieurement par les courbes ( )u−γ et ( )u+γ respectivement,

courbes auxquelles elles adhèrent lorsqu'elles les atteignent; les portions de trajectoires

intermédiaires sont définies par les équations différentielles ( ) 0),( <∀= turudt

drl φ ,

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CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS

PARTIE I. 38

( ) 0),( >∀= turudt

drr φ (les indices l et r indiquent, respectivement un déplacement vers la

gauche et vers la droite dans le plan (u, r), c'est-à-dire des déplacements à u respectivement

décroissant et croissant). L'hystéron est dit du premier type si rl φφ = (les deux familles de

courbes intermédiaires sont confondues), du second type dans le cas général [36, 104, 152].

On voit que cette théorie est une particularisation du modèle de Duhem-Madelung. Le

modèle de Dahl est un exemple d'hysteron du second type, avec des fonctions ,−γ et +γ

constantes, égales en valeur absolue à 1, et de signe opposé.

r

( )u+γ

( )u−γ

u

Fig. 4. Modèle de Krasnosel’skii

6. Modèle de R. Bouc

Les travaux de Bouc essaient plus particulièrement de rendre compte de l'hystérésis

d'origine magnétique ou mécanique. Le modèle proposé par Bouc est voisin de celui de

Duhem-Madelung, et la philosophie qui le sous-tend est particulièrement intéressante [36, 42];

c'est un opérateur à mémoire au sens du § 3.

Considérons le graphe à hystérésis, où r la force par exemple n’est pas une fonction du

déplacement u seulement, si on considère u comme une fonction du temps, la valeur de la force

à l'instant t, va dépendre, non seulement de la valeur u(t), mais aussi de toutes les valeurs

passées de la fonction u(t) depuis l’instant origine où elle est définie. Si 0t désigne cet instant,

( ) ( ) −∞≥== 000 ,0r,0 tttu , alors on notera :

( ) ( )( )tut ,Ar ⋅= (13)

r(t) est la valeur de la force à l’instant t où ( )⋅u représente toute la fonction u dans l’intervalle

[ ]tt ,0 . Pour préciser la forme de la fonctionnelle ( )( )t.xA , on peut écrire

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CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS

PARTIE I. 39

dt

du

dt

dusgnrug

dt

dr

= ,, , (14)

l’hysteresis de type mécanique d’après (14) peut s’exprimer par l’intégrale de Stiltjes.

( ) ( ) ( ) ( )∫+=t

t

sdut,sFtutr0

2µ , (15)

( )st,F est la « fonction d’oubli ».

Soient f et Φ deux fonctions de ℜ→ℜ satisfaisant les propriétés suivantes :

( ) ( ) 000 =Φ=f , (16)

( ) ( ) ( ) 21121 uuLKufuf −≤− , (17)

( ) ( ) ( ) 21221 uuLKuu −≤Φ−Φ , (18)

pour tout LuuL <> 21 ,,0 le modèle de Bouc peut s’écrire sous la forme :

( ) ( ) ( )( ) ( )ttuftutr ψµ ++= 2 , (19)

où ( ) ψµ ,,2 ufu représentent respectivement des termes instantanés linéaire et non linéaire, et

l’hystérésis. ψ rend compte de la mémoire du matériau étudie, de son « hérédité », Si ( )θt,F

est la « fonction d’oubli » elle ne dépend en général que du « temps intérieur » ( )θ−t :

( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ Φ′

=

t t

dd

duuds

ds

sduFt

0

θθθθψ

θ

(20)

- ainsi la « fonction d’oubli » F dépend de la variation totale ( )

∫t

dsds

sdu

θ

du déplacement u

dans l’intervalle ( )t,θ . Ce déplacement est supposé « absolument continu ». De ce fait le

graphe d’hystérésis est indépendant du temps (autrement il faut poser

−= ∫ θ

θ

tdsds

duFF

t

, (21)

- On remarque que si l’on choisit ( ) veAvF α−= avec 0, >αA , on retrouve le modèle du

Dahl (avec i = 1) après dérivation par rapport au temps avec ( ) uu =φ , il vient

θθ

αψθ

α

dd

due

dt

duA

dt

duA

dt

d t dsds

dut

∫∫

−+=

0

(22)

−=

dt

du

dt

duA

dt

dsgn1 αψψ

(23)

Le modèle est décrit dans la thèse de Bliman mais aussi en [1], [2].

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CHAPITRE II – MODELES D’HYSTERESIS

PARTIE I. 40

Il faut aussi mentionner que le modèle de Bouc-Wen pour la mécanique. Ce modèle est très

largement utilisé au Génie civil, Génie parasismique, vibration des structures (plasticité,

frottement, bétons armé………)

Ce modèle initialisé par R. Bouc en 1967, (voir [3]) et généralisé par Wen (1980) [4], s’écrit

−−= − nn

dt

du

dt

du

dt

duA

dt

d ψγψψβψ 1(24)

Il dépend de quatre paramètres et peut aussi bien rendre compte de « l’assouplissement » que

du durcissement. Il correspond au du Dahl avec 0,1== γn .

Ce modèle a été généralisé pour la mécanique des milieux continus (3D), voir [5].

7. Conclusion

La rusticité du modèle de Coulomb le limite. Le modèle de Dahl a le désavantage d’être

borné par des droites horizontales asymptotes. Avec le modèle de Bouc il est particulièrement

difficile de trouver la fonction f(u) à partir de la connaissance des courbes frontières des cycles

d’hystérésis, ce qui est préjudiciable dans le type le problème type isolation vibratoire. Le

modèle de Krasnosel'skiî par bien des aspects est beaucoup trop général. Aussi afin de disposer

d’un modèle propre à modéliser les phénomènes d’hystérésis non linéaires observés en

mécanique et notamment en isolation vibratoire il convient de développer un modèle original

qui s’inspire des modèles de Dalh et de Krasnosel'skiî. C’est l’objet du chapitre suivant.

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 40

MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

1. Introduction

Le chapitre II présente des modèles d’hystérésis existants mais limités. Ce chapitre est

consacré à la formulation d'un modèle d’hystérésis original bien adapté aux boucles efforts-

déflexion et qui se couple aux équations différentielles du mouvement de systèmes et de

structure par le biais de l’effort de restitution.

L'isolation vibratoire fait largement appel à la suspension passive composée

d’amortisseurs qui peuvent avoir une conception complexe agençant parties élastomère,

métalliques, voire fluides, etc. Leurs comportements dynamiques sont non linéaires, les non

linéarités géométriques et matériels dépendent, naturellement, de la conception, mais également

des paramètres, tels que température, amplitude de déflexion, charge initiale, et types

d'excitation [15, 17, 58, 59, 109].

D’un point de vue général, un amortisseur fournit une force de restitution, qui ne peut pas

être déterminée par la seule connaissance de la variable de déflexion. Ceci caractérise le

phénomène d'hystérésis. Aux modèles précédemment étudiés on peut rajouter les travaux de

Inaudi et Kelly [93] qui ont étudié l'amortissement d’hystérésis avec un modèle indépendant de

fréquence. Baber et Noori [27] modélisent le comportement par hystérésis sous excitation

aléatoire. Ko et al [102], Wong et autres [184], et Ni et autres [139] ont étudié numériquement

et expérimentalement le comportement des isolants de fil-câble avec frottement sec, tandis que

Mallik et autres [127] se concentraient sur modeler des isolants d'élastomère.

Les travaux menés dans le laboratoire pour modéliser des amortisseurs ont concernés des

modèles ‘raideur’ spécifiques au type d'excitation [58, 67, 78], voir également la synthèse sur la

modélisation de l’amortissement par Lalanne [109]. Ces modèles sont limités car établis pour

des applications spécifiques au type de comportements et au type d'excitations. Ainsi il est

logique de vouloir formuler un modèle général original qui tient compte en particulier des

linéarités et de la dissipation contre la phénomène de déflexion.

Le modèle proposé est présenté en utilisant des fonctions régissant un opérateur d’entrée

et de sortie, dépendante chacune de la force de restitution et de la déflexion. La formulation

mathématique est démontrée en employant les conditions de Lipschitz. Par la suite le modèle

est appliqué aux amortisseurs académiques et industriels de différents comportements. Enfin les

réponses calculées et mesurées concernent une structure souple équipée de différents type de

plot.

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 41

2. Modèle d'hystérésis proposé

En génie mécanique nombre de composants ont un comportement d’hystérésis décrit par

une boucle de force-déflexion avec diverses formes : assouplissement (softening), raidissement

(hardening) ou une combinaison de tous les deux. Aussi un modèle d'hystérésis général doit

pouvoir respecter ces types de comportement et des fondements mathématiques.

L'idée du modèle proposé vient du modèle de Dahl, présenté au chapitre précédent, et où

les courbes enveloppe (ou frontière) sont réduites à des droites horizontales et indépendantes du

temps et de la vitesse ; la déflexion et la force de restitution y sont les fonctions d'entrée et de

sortie. Seule la forme assouplissement peut être retranscrite. Ces caractéristiques limitent le

modèle de Dalh.

Aussi le modèle proposé est bordé par deux courbes enveloppes qui peuvent dépendre du

temps et de la vitesse. En outre, afin de coller aux formes de comportement, un opérateur

d'hystérésis est établi comme suit :

Soient les fonctions scalaires p et q, combinaisons linéaires de la force de restitution R et

de la déflexion u de l’amortisseur [14, 15] :

( )kuRR

p )1(1

0

λλ −+−= , (1)

( )kuRR

q λλ −−= )1(1

0

, (2)

où R0 est une force de référence, k > 0 a la dimension d'une raideur, et λ est défini dans

l'intervalle (0, 1). Les fonctions d’entrée et de sortie sont respectivement p et q. La construction

de l'opérateur nécessite les suppositions suivantes:

1- La quantité dp

dq est indépendante de l’origine de p (l'espace étant isotrope).

2- La quantité dp

dq toujours positive quand 0

dt

dp > implique 0dt

dq ≥ . Par conséquent un

effet de rigidité est recherché plutôt qu'un effet de viscosité.

3- q est assujetti à rester dans les courbes enveloppes définies par :

( ) )p(sgn)p(sgn,ph =γ , (3)

où la courbe enveloppe h est positive et dt

d=• . Ainsi le modèle a l'expression suivante :

( )µα )(- psgnqhdt

dp

dt

dq= , (4)

avec :

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 42

1. α , constante d'énergie de dissipation,

2. k, constante de grandeur,

3. µ , constante du comportement de la boucle,

4. λ , constante définissant le comportement général. 0=λ fournit au modèle un

comportement raidissement pur tandis que 1=λ un assouplissement.

L'originalité du modèle proposé réside dans l'utilisation de courbes enveloppes

dépendantes du temps et de la vitesse, les constantes, α , µ et k ayant un rôle bien défini.

3. Validation mathématique du modèle

Il s’agit de démontrer que le modèle proposé satisfait le théorème d'hystérésis de

Pokrovskii, [104, 152] (l’opérateur d’hystérésis est dérivable et borné) et de prouver l’existence

et l’unicité de la solution quand l’opérateur d’hystérésis est couplé aux équations du

mouvement d’une structure.

3.1 Dérivabilité et bornes de l’opérateur d’hystérésis

Le théorème d'hystérésis de Pokrovskii est limité au comportement stationnaire

d'hystérésis il est tout d’abord proposé de l’appliquer à des courbes enveloppes qui ne

dépendent que de la fonction d’entrée p et du signe de sa vitesse, puis de le généraliser aux

comportements qui dépendent légèrement de tp, .

3.1.1 Les courbes enveloppes dépendent de p et du signe de sa vitesse

Dans le plan (p, q), il est supposé que +− γγ , sont les courbes enveloppes supérieure et

inférieure de la boucle (voir la Figure II.4), et +− φφ , soit les courbes gauches et droites de la

boucle d'hystérésis. Les courbes doivent satisfaire la condition de Lipshitz (fonctions dérivables

et bornées). L'équation définie par Pokrovskii peut être exprimée comme :

( )( )psgn,q,pgdt

dp

dt

dq= , (5)

qui, comparée à l'équation (4), amène :

( )( ) ( )µ)p(qsgnhpsgn,q,pg -.= . (6)

Un opérateur général doit avoir des courbes enveloppes +− γγ , qui dépendent de p. Ainsi:

h−=−γ , et h+=+γ , (7)

hpsgn )( =γ et ( )( )psgnphh ,= , (8)

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 43

ainsi, selon (6):

( )µαφ )(),( psgnqhqp −= , (9)

d’où

( )µαφ q)1,p(h)q,p( −+=+ , (10)

et

( )µαφ q)1,p(h)q,p( +−=− . (11)

Afin de vérifier que +φ , par exemple, vérifie la première condition de Lipschitz, voir

l’équation (II.10), il faut que :

( ) ( ) ( )( ) ( )2)1,()1,( qqLqphqphqq ′−≤′−+−−+′− µµα , (12)

pour qq ′≠ , l’équation (12) peut s’écrire sous la forme

( ) ( )( )L

qq

qphqph ≤′−

′−+−−+ µµα )1,()1,(, (13)

ce qui est vérifié en vertu du théorème de la valeur moyenne de Lagrange [150, 156] :

Si une fonction ( )zf est continue dans l’intervalle [ ]21 z,z , alors il y a un point ξ dans

cet intervalle qui vérifie l’équation suivante :

( ) ( ) ( ) ( )ξfzzzfzf ′−=− 2121 (14)

L’application de ce théorème à la fonction ( ) ( )( )µα zphzf −+= 1, , sur l'intervalle [ ]qq ′, ,

donne :

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )ξα µµ fqqqphqph ′′−=′−+−−+ 1,1, , (15)

( )( ) ( )( ) ( )ξα µµ

fqq

qphqph′=

′−′−+−−+ 1,1,

. (16)

avec :

( ) ( ) ( )( ) 11,1 −−+−=′ µξµαξ phf , (17)

et comme α > 0, µ > 0 et ( )( ) 01, >−+ ξph selon les deuxième et troisième hypothèses du

paragraphe 2, ( ) 0<′ ξf . Si L est positif réel, il vient :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Lphqq

qphqph≤−+−=

′−′−+−−+ −11,1

1,1, µµµ

ξµαα. (18)

Alors la première condition de Lipschitz est vérifiée. La même démonstration peut

s’appliquer à la seconde équation (II.11) relative à −φ .

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 44

3.1.2 Les courbes enveloppes dépendent légèrement de p et du temps

Ici, la fonction h s’enrichit de deux variables ( )( )tppsgnphh ,,, = , avec la condition :

( ) ( )εε Ot

hO

p

h =∂∂=

∂∂

,

, (19)

par exemple

( )( )tppsgnphh εε ,,, = , (20)

la fonction h peut alors être développée en séries de Taylor par rapport à la variable ε:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) +++= εεε Otppsgnphtppsgnph 0,0,,,,, , (21)

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

+++=

tppsgnph

Opsgnphtppsgnph

0,0,,10,0,,,,,

εεε , (22)

puisque ( )( ) ( )εOpsgnph >>0,0,, , l'équation (22) peut être écrite comme:

( )( ) ( )( )0,0,,,,, psgnphtppsgnph ≈εε . (23)

L'équation (6) devient

( )( ) ( )( )µα psgnqpsgnphg −≈ 0,0,, , (24)

( )( ) ( )( )µα psgnqpsgnphg −≈ ∗ , , (25)

et les fonctions −+ φφ , , deviennent

( )( )µαφ qph −+≈ ∗+ 1, , (26)

( )( )µαφ qph +−≈ ∗− 1, . (27)

Les conditions de Lipschitz sont vérifiées comme précédemment.

3.2 Existence et unicité de la solution

Les relations (1), (2) définissant p et q et l’équation différentielle (4) qui les relient

permettent de déterminer la force de restitution R qui vient se superposer à la force d’excitation

F(t). Ces forces sont alors appliquées à une structure flexible dont le mouvement est régi par les

équations différentielles :

)(.. tFR t2

t1 //yKyCyM +−=++ , (28)

avec KCM ,, , matrices de masse, d’amortissement, de raideur de la structure, y le vecteur

déplacement et t1/ et t2/ les vecteurs transposés de localisation des efforts. Soient les

conditions initiales suivantes :

( ) ( ) ( ) 00,00,00 === Ryy . (29)

Soit l’équation différentielle qui régit la force de restitution :

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 45

( ) ( )( )uRsgntuuhukR −= εεα ,, , (30)

avec ( )tuuh εε ,, est une fonction continue dérivable et :

y/tu 1= . (31)

Il s’agit de démontrer que la solution du système des équations couplées (28) et (30) muni

des conditions initiales (29) existe et est unique. Le théorème de Cauchy-Lipschitz a le sens

suivant [28, 80, 150] : soit I un intervalle dans ℜ et nnIf ℜ→ℜ×: une fonction continue de

classe 1C de variable ( )110 ,,, −= nxxx X pour tout It ∈ . Si la fonction différentielle fDX est

bornée dans X par une fonction continue L(t) :

[ [ ( ) ( ) nIttLtfDIL ℜ∈∀∈∀≤⇒+∞→∃ XXX ,,,0: (32)

alors le problème de Cauchy:

( )

( )

==

00

,

XX

XX

t

tf

, (33)

a une solution unique.

L'équation (28) a également l'expression suivante

)(tFR t2

t1 /KyyCyM/ +−−−= , (34)

qui introduite dans l'équation (30) multipliée par t1/ conduit à:

( ) ( )( )usgntFhukR )(t2

t1

t1 /KyyCyM// +−−−−= α , (35)

or la dérivation de l’équation (34) :

)(tFR t2

t1 /yKyCyM/ +−−−= ,

introduite dans l'équation (35) établit l’équation suivante :

( ) ( )( ) )()( tFusgntFhuk 12

t2

t1 //KyyCyM/yKyCyM ++−−−−−=++ α , (36)

qui est donc de la forme :

( )t,,,- yyyy = . (37)

Si:

[ ]20 zzzZ ,, 1= , avec yzyzyz 20 === ,, 1 , (38)

les équations (37) munies des conditions initiales (29) peuvent être écrites comme:

( )[ ]

=

=− )0(,0,0

,

F

tft2

10 /MZ

ZZ . (39)

où f est une application ( ) ( )( )ttf ,,,,,,: 21021 zzz-zzZ → . Comme la fonction

( ) ( )thtuuhh εεεε ,,,, yy == est localement Lipschitzienne (fonction dérivable et bornée), et

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 46

sachant que le composé de fonctions Lipschitziennes est une fonction Lipschitzienne, ainsi

( )t,,, yyy Φ et ( )Z,tf sont localement Lipschitziennes. Comme ( )Z,tf est localement

Lipschitzienne par rapport à Z , il existe un intervalle ouvert I1 centré en t0, et un voisinage V1

de 0Z dans nℜ tel que :

( ) ( ) ( ) ∗∗∗ −≤−××∈∀ ZZZZZZ 1111 ,,,,, ktftfVVIt , (40)

avec +ℜ∈1k .

D'autre part, le théorème de la valeur moyenne de Lagrange s’écrit pour la fonction

continue ( )Z,tf de la manière suivante :

( ) ( ) ( ) ( )∗

=

∗ −∂

∂=− ZZZ

ZZZ

Z

,,,

tftftf , avec [ ]∗∈ ZZ , , (41)

La valeur absolue de la relation (31) :

( ) ( ) ( ) ∗

=

∗ −∂

∂=− ZZZ

ZZZ

Z

,,,

tftftf , (42)

permet de la comparer à l’équation (30) et de montrer que :

( )

1,

ktf ≤

∂∂

=ZZZ

, (43)

plus généralement, la relation (33) peut être exprimée par :

( ) ( )tLtf ≤

∂∂

ZZ,

, (44)

( )tL est une fonction bornée. Par conséquent, selon l'équation (34) et le théorème du

Cauchy-Lipschitz, la solution du système d’équations couplées (28) et (30) existe et est unique.

4. Exemples d’applications du modèle

Le modèle proposé d'hystérésis décrit par les équations (1), (2) et (4) est adaptable au

comportement des amortisseurs existants utilisés dans l'isolement de vibration. Ses paramètres

sont déterminés en utilisant les boucles expérimentales de force-déflexion des isolants. Les

boucles numériques présentées dans les exemples suivants sont tracées en présentant une

déflexion imposée u dans le modèle telle que :

teuu t Ω= − sin0ξ . (45)

4.1 Modèle général de ressort

Classiquement le ressort est supposé ne pas avoir de dissipation. Dans le cas où∞→0R

et )(phh= , l'effet de ( )p disparaît dans le modèle proposé qui devient alors :

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 47

( )( )

−−−+= µ

µµ

αλαλαh

hh

dt

duk

dt

dR

11

1, (46)

( ) ,,dt

duRuk

dt

dR ∗= avec ( ) ( )( )µ

µµ

αλαλαh

hhkRuk

−−−+=∗

11

1, , (47)

La valeur de λ permet de modifier le comportement du ressort sans dissipation :

- Effet d’assouplissement, (softening), voir la Figure 1 :

( )dt

duuk

dt

dR ∗=⇒= 0λ , (48)

- Effet linéaire :

dt

duk

dt

dR =⇒→2

1λ , (49)

- Effet de raidissement, (hardening) :

( )dt

duRk

dt

dR ∗=⇒= 1λ . (50)

Fig. 1. Comportement en assouplissement de ressort (sans hystérésis)

4.2 Modèle de Dahl

Si 1,0 == hλ , le modèle proposé correspond au modèle de Dahl

0R

kup = , (51)

0R

Rq = . (52)

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 48

L’équation (4) devient:

µ

−α=

00 R

uksgn

R

Rh

dt

duk

dt

dR . (53)

Si cRR =0 , (qui est une force critique du frottement de Coulomb), et les courbes

enveloppes sont réduites à des droites horizontales, l'équation (53) décrit alors le modèle de

Dahl et génère la boucle présentée Figure 2.

( )( )ξηξηsgn

dt

d

dt

d −= 13500 , (54)

cRRuu == ηξ ,0 . (55)

Fig. 2 Modèle proposé limité au modèle de Dahl

4.3 Modèle d’hystérésis avec assouplissement

Une boucle d’hystérésis est produite typiquement, par exemple, par un effort de

cisaillement d’une paire d'amortisseurs montés en vis-à-vis l'un de l'autre. Le modèle

correspondant est obtenu avec1=λ :

0R

Rp −= , (56)

0R

kuq −= . (57)

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 49

Fig. 3. Hystérésis avec effet d’assouplissement

L’équation (4) devient:

µ−

α=

00 R

Rsgn

R

ukh

dt

duk

dt

dR

, (58)

et génère la boucle tracée Figure 3 avec α=5, k=1750, 1000 =R , )(

00 R

Rsgn

R

R

eh

−= et µ=1.

4.4 Suspension de caméra infrarouge

L’amortisseur cylindrique à frottement sec, schématisé Figure 4, équipe la suspension

d'une caméra infrarouge embarquée [77]. Il se compose de ressorts coniques et cylindriques

pré-chargés. Un circlip intérieur maintient en contact deux plaques demi-lune contre la paroi du

corps et assure ainsi un frottement sec périphérique quand il y a déflexion verticale.

La Figure 5-a montre les boucles verticales force-déflexion mesurées à 15Hz pour

différentes amplitudes de déflexion. Modéliser cet amortisseur impose 0=λ . Ainsi les

équations (51), (52), et (53) restent valides. La boucle tracée Figure 5-b est obtenue avec le

modèle :

( )( )uRsgne15dt

du2500

dt

dR )t5000cos(01.0)uu(sgn

−= +− . (59)

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 50

Fig. 4. Amortisseur de caméra infrarouge

(a) mesurée (b) calculée

Fig. 5. Boucle effort déflexion à 15 Hz pour plusieurs amplitude de déflexion

4.5 Amortisseur à coussins métalliques

Les Figures 6-a et 6-b montrent la photo et le schéma d'un amortisseur entièrement

métallique utilisé notamment pour la protection vibratoire d'équipements électroniques

embarqués. Il travaille essentiellement en traction compression et possède une double butée.

Son corps en aluminium a une hauteur de 22,5 mm et un diamètre de 28,5 mm. L’axe équipé

des deux butées, les deux ressorts coniques et les deux coussins sont en acier. Toute déflexion

(traction ou compression) écrase un des deux coussins métalliques et génère par voie de

conséquence de la dissipation par contact entre les multi-brins métalliques, entre le coussin et le

corps de l’amortisseur.

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 51

Ressortsconiques

Coussinsmétalliques

Corps

Axe

(a) (b)

Fig. 6. Plot à coussins métalliques

4.5.1 Régime quasi-statique

Le plot soumis à une déflexion imposée de 20 mm/mn fournit après 4 cycles

d’échauffement, la boucle force-déflexion tracée Figure 7-a, voir [75]. le comportement

asymptotique vertical pour une déflexion de +/-6mm est imputable à l’effet de la double butée.

La dissipation est la plus importante pour des déflexions situées entre 4 et 6mm d’une part et –4

et –6mm d’autre part : ceci est dû au fort écrasement d’un des deux coussins métalliques.

(a) (b)

Fig. 7. Boucles force-déflexion obtenues par la mesure (a) et par le modèle proposé (b) du plot

à coussins métalliques en traction-compression quasi-statique

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 52

Comme il y a raidissement, λ= 0 s’impose et l’équation (4) devient :

µ

−α=

00 R

uksgn

R

Rh

dt

duk

dt

dR , (60)

avec

1,0,1,45500 0 =>== µα kRk . (61)

la fonction enveloppe est approchée par la méthode des moindres carrés :

uul eeuh 20501650 00025.001.02.708063.8 +−+−= − , (62)

uuu eeuh 4702550 68.300005.08.430712.1 +−+= − , (63)

( ) ( ) ( )2

"" hhusgnhh

h uu −++= , (64)

la Figure 7-b montre que le modèle obtenu est proche du comportement mesuré Figure 7-a.

4.5.2 Régime harmonique

L’analyse de boucles force-déflexion mesurées à trois fréquences (20, 30 et 50 Hz)

montrent que les caractéristiques de plot à coussins métalliques sont indépendantes de la

fréquence mais changent légèrement avec l’amplitude [71]. La Figure 8-a montre les courbes

force-déflexion mesurées à 20 Hz pour plusieurs amplitudes de déflexion.

(a) (b)

Fig.7. Boucles force-déflexion obtenue par la mesure à 20 Hz (a) et par le modèle proposé (b)

du plot à coussins métalliques en traction-compression

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 53

Le modèle est établi en retenant là aussi λ= 0. L’équation est identique à (60) mais les

paramètres sont :

1,0,1,87500 0 =>== µα kRk . (65)

Par la méthode des moindres carrés la courbe enveloppe est approchée par :

( ) ( ) ( )2

sgn""

hhuhhh uu −++= , (66)

avec :

( ) ( ) ( )uuuuuuuul eeeeeeeeh cc 8.13.403.3263.168.31001.0001.0003.0 22 ++−−−−−+= −−−− , (67)

( ) ( ) ( )uuuuuuuuu eeeeeeeeh cc 5.14.45.53.81.192.25001.0001.0004.0 22 +−+−−+−+= −−−− , (68)

où u est exprimé en en mm, et uc sont les déflexions maximales des boucles expérimentales qui

servent à régler les constantes du modèle. La méthode de tir (méthode de Runge-Kutta associée

à la méthode de Newton-Raphson [52, 70, 113] est utilisée lors des simulations de type

réponse. Les logiciels ont été développés sous Matlab [6].

Dans [58, 71, 75] sont utilisés les notions de raideur et de facteur d’amortissement

dynamiques équivalents par cycle rappelées par la relation (I.50) et tirées de la mesure. A

condition d’approcher la force imposée, Figure 8, le modèle proposé peut aussi fournir en

utilisant les formules (I.50) ces caractéristiques dynamiques équivalentes qui sont comparées à

celles de la mesure, Figures 9 et 10. Dans la Figure 10 sont aussi reportés les facteurs

d’amortissement obtenus par la mesure de l’aire de chaque boucle de différentes amplitudes

(méthode d’énergie ou de la surface). L’accord calcul-mesure est très satisfaisant.

Fig. 8. Amplitude de la force imposée au plot

à coussin métallique

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 54

Fig. 9. Raideur dynamique équivalente Fig. 10. Facteur d’amortissement équivalent

Figure 9. représente la raideur dynamique équivalente du plot à coussins métalliques obtenus

par la mesure, et par le modèle proposé tandis que Figure 10 montre le facteur d’amortissement

équivalent du plot à coussins métalliques obtenu par la mesure, par le modèle proposé en

utilisant équation (I-50, 54), dans l’équation (I-54) à la place E′ la raideur dynamique est

utilisée.

La raideur équivalente est maximale aux faibles amplitudes de déflexion, l’amortissement

diminue aux grandes déflexions.

4.6 Plot en élastomère

L’analyse porte sur un plot cylindrique en élastomère et à queues filetées, [58, 71, 75] en

régime harmonique. Les boucles expérimentales mesurées pour différentes amplitudes de

déflexion révèlent un comportement raidissement-assouplissement, voir Figure 11-a. Le

modèle est réglé avec λ= 0, et correspond à l’équation (60) avec toutefois pour paramètres :

1,0,1,21500 0 =>== µα kRk . (69)

La fonction enveloppe est approchée avec l’aide des moindres carrés (u est en mm) :

( ) ( ) ( )2

sgn""

hhuhhh uu −++= , (70)

avec :

( ) ( ) ( ) uuuul eeueeh ccc 45.005.45.33.4 5.3269.614.1456.146.3315.54 −−−− −−++−= , (71)

( ) ( ) ( ) uuuuu eeueeh ccc 45.07.11.27.1 3.1302.763.487.52.12586 −−−− −−−++= , (72)

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 55

(a) (b)

Fig. 11. Boucles force-déflexion de traction compression mesurées (a) et calculées avec le

modèle proposé (b) du plot en élastomère.

Comme précédemment les formules (I–50, 54) sont utilisées pour extraire des boucles

calculées les raideurs et facteur d’amortissement équivalent en utilisant la force appliquée,

(Figure 12 représente la plus grand boucle), et qui sont, Figures 13 et 14, comparés à ceux

obtenus par la mesure. Pour ce qui est du facteur d’amortissement, là encore la méthode de la

mesure de la surface est aussi utilisée pour élargir la comparaison, Figure 14.

Fig. 12. Force appliquée au plot en élastomère du plot en

élastomère

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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE

PARTIE I. 56

Fig. 13. Raideur dynamique équivalente Fig. 14. Facteur d’amortissement équivalent

Figure 13. représente la raideur dynamique équivalente du plot en élastomère obtenus par la

mesure, et par le modèle proposé, tandis que Figure 14 montre le facteur d’amortissement

équivalent du plot en élastomère obtenu par la mesure, par le modèle proposé.

Dans la majeure partie de la plage des amplitudes de déflexion analysées l’accord est

satisfaisant.

5. Conclusion

L’opérateur d’hystérésis proposé permet de modéliser la force de restitution

d’amortisseurs à comportement élastoplastique ou viscoélastique à partir des courbes

enveloppes. Les courbes enveloppes de la boucle effort-défléxion sont établies à partir d’essais

soit quasi-statiques soit harmoniques. Le modèle proposé dont les fondements mathématiques

ont été établis a été validé expérimentalement en analysant les boucles effort déflexion, mais

aussi les raideur et amortissement équivalents que l‘on peut extraire du modèle. On note

toutefois que la modélisation des comportements viscoélastiques est délicate à réaliser.

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CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT

PARTIE I 57

REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE – PLOT

AVEC LE MODELE OPERATEUR D’HYSTERESIS PROPOSE.

Dans ce chapitre le modèle d’hystérésis proposé précédemment est utilisé pour calculer

les réponses harmonique et transitoire d’une structure munie d’un plot à comportement

élastoplastique (plot à frottement sec). Enfin deux exemples portant sur un plot en élastomère et

un type d’excitation particulier montrent la difficulté de la modélisation. La validation des

modèles proposés est essentiellement expérimentale.

1. Modélisation par Rayleigh-Ritz

k1 k2 k3

f1 m3f2 f3m2m1

w

x

L

EI

Fig. 1. Cas général d’une poutre

Le comportement dynamique d’une poutre soumise à plusieurs forces d’excitation

transversales et équipée de plusieurs ressorts de raideurs ki et de masse mi est modélisé avec la

méthode de Rayleigh-Ritz [73, 106]. En utilisant des fonctions de déplacement )(ξφi

cinématiquement admissibles, où Lx=ξ est la variable d’espace sans dimension, et la

fonction de temps )(tyi , le déplacement latéral ),(tw ξ peut être exprimé en utilisant les

indices répétés :

( ) )(),( tytw ii ξφξ = . (1)

Pour obtenir les équations de mouvement via les équations de Lagrange il s’agit tout

d’abord de calculer les énergies cinétique, de déformation du système et le travail virtuel des

forces appliquées.

Les énergies cinétiques, Ecp de la poutre et Ecm des masses concentrées localisées en

lξξ = ,

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CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT

PARTIE I 58

∂∂=

1

0

2

21 ξρ d

t

wsLEcp , (2)

( )( )l

twmE lcm ξξ 2,

2

1= , (3)

les énergies de déformation Edp de la poutre et Edr des ressorts localisés en lξξ = ,

∂∂=

1

0

2

2

2

321 ξ

ξd

w

L

EIEdp , (4)

( )( )l

twkE ldr ξξ 2,

2

1= , (5)

et le travail τ des forces extérieures appliquées en lξξ = ,

( ) ( )∫= tdwfy llk ,ξτ , (6)

s’expriment en tenant compte de la relation (1) sous les formes discrétisées suivantes:

( ) ( ) ( ) ( )tytydsL

E jijicp

= ∫

1

02

ξξφξφρ, (7)

( ) ( ) ( ) ( )tytymE jijilcm

l

ξ

ξφξφ2

1= , (8)

( ) ( ) ( ) ( )tytydL

EIE ji

jidp

′′′′= ∫

1

032

ξξφξφ , (9)

( ) ( ) ( ) ( )tytykE jijildr

lξξφξφ

2

1= , (10)

( ) ( )∫= ilil

k dyfy ξφτ . (11)

L’énergie cinétique totale est alors :

jiijc yyME

2

1= , (12)

avec la matrice de masse symétrique M telle que

( ) ( ) ( ) ( )l

jiljiij mdsLMξ

ξφξφξξφξφρ += ∫1

0

. (13)

L’énergie potentielle totale Ep a pour expression :

( )kjiijp yyyKE τ−=

2

1, (14)

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CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT

PARTIE I 59

avec la matrice de raideur symétrique K telle que :

( ) ( ) ( ) ( )l

jiljiij kdL

EIK

ξξφξφξξφξφ +′′′′= ∫

1

03 . (15)

La fonction de Lagrange pc EE −=L devient alors :

( )kjiij

jiij yyyKyyM τ+−=

2

1

2

1L . (16)

L'application des équations de Lagrange conduit à un système à n équations :

0=∂∂−

∂∂

kk yydt

d LL

, (17)

comme les matrices M et K sont symétriques on peut écrire que

0=∂∂−+

kh

khh

kh yyKyM

τ , (18)

or :

( ) ( ) ( )lkliklilk

i

lilkk ffy

yf

yF ξφδξφξφτ ==

∂∂=

∂∂= , (19)

d’où :

ij

ijj

ij FyKyM =+ . (20)

En présence d’amortissement, la fonction de dissipation de Rayleigh permet d’introduire

dans les équations (20) les termes d’amortissement visqueux :

ij

ijj

ijj

ij FyKyCyM =++ . (21)

2. Application

Le mouvement en flexion de la poutre encastrée-libre schématisée Figure 2 est

décomposé en utilisant la base polynomiale :

ii

+= 1)( ξξφ . (22)

R

m2

F(t)

C.D

m1

wx

L

EI C.F

L1

L2

Fig. 2. Structure étudiée

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CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT

PARTIE I 60

Une force d’excitation F(t) est appliquée en L2. La force de restitution R est produite par

un plot amortisseur situé en L1. Les termes des matrices de masse et de raideur et du vecteur

force sont :

( ) ( )222

2113

++++ ++++

= jijiij mm

ji

sLM ξξρ

, (23)

( )ji

ijijji

L

EIKij ++−

+++=1

13 , (24)

( ) iii tFRF ++ +−= 1

211 ξξ . (25)

Il est judicieux d’établir les équations modales afin de prendre en compte l’amortissement

de la poutre à partir de mesure de l’amortissement de la poutre seule sans plot amortisseur. Si

3 est la matrice des modes propres ijφ de la structure seule, le changement de variables :

q3y = , (26)

pris en compte dans les énergies, permet d’établir les équations modales :

fqkqcqm =++ , (27)

où :

M33m t= , C33c t= , K33k t= , F3f t= , (28)

où les matrices m, c, k sont des matrices modales. La matrice d’amortissement modale

diagonale est donnée par

iiiiiii kmc α2= , (29)

où le coefficient d’amortissement visqueux iα provient de la mesure de la ième largeur de

bande. La résolution pour obtenir la réponse temporelle ou harmonique utilise la même

méthode numérique (RK4), [53, 56, 66, 113]. Pour la réponse harmonique, la fréquence

d’excitation est incrémentée après que le régime permanent soit atteint et l’amplitude du

déplacement relevée.

3. Réponse harmonique avec plot à coussin métallique

La poutre en acier (ρ = 7800 kg/m3, E=2x1011 N/m2) de longueur 375 mm, d’épaisseur 4

mm et de largeur 40 mm, est encastrée à son origine et le plot, situé à l’abscisse = 335 mm, a

pour modèle en régime harmonique caractérisé par l’équation (III-60) associée aux relations

(III-65) à (III-68). Une réponse en fréquence en sinus balayé permet d’évaluer les six premiers

facteurs d’amortissement expérimentaux de la poutre seule encastrée-libre :

0.0040] 0.0022 0.0004 0.0007 0.0005 [0.0052=. (30)

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CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT

PARTIE I 61

La force harmonique appliquée à l’abscisse 165mm de l’encastrement, est mesurée

(Figure 3) avec un capteur de charge piézo-électrique, la déflexion de l’abscisse 99mm avec un

capteur de déplacement à courant de Foucault, voir [71]. Les parties embarquées des masses du

plot et du capteur de force sont respectivement m1 = 2g et m2 = 22,1g.

Fig. 3. Force d’excitation mesurée Fig. 4. Réponse harmonique

Fig. 5. Boucles effort-défléxion du plot lors de la simulation

La Figure 4 présente les réponses calculée et mesurée. L’accord est très satisfaisant. Au cours

de la simulation les boucles générées sont tracées Figure 5.

4. Réponse transitoire avec plot à coussin métallique

La structure précédente est soumise à une force de type choc appliquée sur le capteur de

force situé à l’abscisse 360 mm, et dont l’enregistrement est montré Figure 6.

Ici le modèle quasi-statique relation (III-60) associée aux relations (III-61) à (III-64) est

utilisé. La réponse de l’abscisse 67 mm est comparée à celle mesurée [75], voir Figure 7. Là

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CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT

PARTIE I 62

encore l’accord est très satisfaisant. La force de restitution et la déflexion du plot au cours de la

simulation sont données par les Figures 8, 9 et 10.

Fig. 6. Force appliquée Fig. 7. Déflexion calculée et mesurée

Fig. 8. Déflexion calculée du plot Fig. 9. Force de restitution calculée

Fig. 10. Boucle force-déflexion lors de la simulation

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CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT

PARTIE I 63

5. Difficultés de modélisations

Les expérimentations précédentes, qui portent sur un plot à comportement élastoplastique

valident le modèle proposé. Cependant dans le cas de plot à comportement viscoélastique ou

dans le cas de sollicitation à fréquence variable les modélisations nécessitent d’être affinées.

Ceci est montré dans les deux exemples suivants.

5.1 Réponse transitoire avec plot en élastomère.

Le plot utilisé est celui présenté par la relation (III-60) associée aux relations (III-69) à

(III-72). La poutre étudiée a la configuration présentée §4. La force exercée sur la poutre est

tracée Figure 11 et a une allure de type série de demi-sinus [75].

Fig. 11. Force appliquée Fig. 12. Réponses calculée et mesurée

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-10

-5

0

5

10

15

Déplacement du plot (mm)

For

ce d

u re

stitu

tion

(N)

modèlemesure

-3 -2 -1 0 1 2 3 4-150

-100

-50

0

50

100

Déplacement du plot (mm)

For

ce d

u r

estit

utio

n (N

)

modèlemesure

Fig. 13. Boucle avec petite déflexion Fig. 14. Boucle avec grande déflexion

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CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT

PARTIE I 64

5.2 Réponse transitoire avec plot à coussin métallique

Ici la poutre équipée du plot à coussin métallique, voir §4, est soumise à un choc dur,

Figure 15. La Figure 16 montre un écart entre les réponses calculée et mesurée.

Fig. 15. Force appliquée Fig. 16. Déflexion calculée et mesurée

Fig. 17. Facteur de correction du pas

d’intégration numérique

Fig. 18. Réponses avec la correction du pas

d’intégration numérique

6. Conclusion :

L’analyse des réponses calculée et mesurée Figure 12 montre un accord juste satisfaisant.

En effet dans le cas d’un comportement viscoélastique la modélisation de l’opérateur

d’hystérésis nécessite d’être affinée, notamment les courbes enveloppe et la constante de

dissipation α qui évolue en fonction de l’amplitude de déflexion. En effet, Pour de petites

amplitudes, Figure 13 le modèle dissipe plus et les courbes enveloppes sont mal adaptées car

réglées sur les plus grandes amplitudes, Figure 14.

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CHAPITRE IV - REPONSE D’UN SYSTEME STRUCTURE –PLOT

PARTIE I 65

L’analyse du contenu fréquentiel du signal de la force appliquée Figure 15, indique que la

fréquence d’excitation évolue. Pour prendre en compte cette évolution le pas d’intégration

numérique est affecté d’un facteur de correction indiqué par la Figure 17. La réponse calculée

s’en trouve notablement améliorée, Figure 18.

Cet exemple est important. Il met en évidence que la variation de la fréquence

d’excitation a une influence sur la réponse. Cette expérimentation a déclenché une réflexion sur

la notion d’un temps propre au système mécanique, différent du temps d’observation du

laboratoire. La partie II de ce mémoire s’attache à mettre en évidence expérimentalement et à

modéliser les effets de ‘relativité’.

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PARTIE II

DISSIPATION

PHENOMENE METRIQUE

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 67

GENERALITESCALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

1. Introduction

Le calcul tensoriel a été mis au point petit à petit depuis le milieu du XIXème siècle en vue

de résoudre des problèmes géométriques et mécaniques [19, 50, 57, 89, 162, 176]. Il a pris

toute son importance dès 1905 avec la relativité restreinte puis avec celle de la relativité

générale en 1916. Depuis cet outil de calcul mathématique est utilisé dans de nombreux

domaines [30, 43, 64, 65, 81, 83, 88, 110, 112, 155, 159, 181]. Ce n’est qu’à partir du milieu du

XXème siècle que cet outil a été re-situé dans un cadre théorique mathématique, celui des

variétés différentiables (espaces riemanniens, pseudo-riemanniens, etc.) [29, 45, 132, 153] .

Dans la suite de l’exposé l’outil tensoriel est suffisant pour des calculs locaux, la théorie

des variétés s’intéressant aux problèmes globaux posés (par exemple pour étudier le domaine

de validité d’un calcul local). C’est donc le calcul tensoriel qui est présenté rapidement dans la

suite en vue d’étudier plus particulièrement les géodésiques. Pour un exposé complet, dans un

langage accessible au mécanicien, le tome 1 de [57], est recommandé, voir aussi [4, 33, 119,

172].

2. Transformation des coordonnées

Soit, ( )321 ,,, yyyO le repère cartésien de vecteurs unités ki&

et, soit ( )321 ,,, xxxP le repère

curviligne de vecteurs unités ke&

[50, 170].

h2 dx3e2

x2

y2

y1

i1

i2

i3

y3

h3 dx3e3

x3

x1

h1 dx1e1

O

P

M

r

Fig. 1. Repères cartésien et curviligne

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 68

Pour 321 ,,k = on a :

),,( 321 xxxyy kk = , (1)

),,( 321 yyyxx kk = . (2)

Soit r&

le vecteur de position d’un point quelconque dans le repère cartésien :

kk iyr&& = , (3)

et sa réalisation dans le repère mobile (curviligne) est donnée de la manière suivante :

),,( 321 xxxrr&& = , (4)

et

kk

dxx

rrd

∂∂=&

&, (5)

où kkke

x

r

x

r &&&

∂∂=

∂∂

(sans sommation sur l’indice k).

En notant la quantité scalaire

kkh

x

r =∂∂&

, (6)

la relation (5) devient :

kk

k edxhrd&& = . (7)

3. Métrique d’un espace

L’intervalle entre deux points infiniment voisins (P1, P2) d’une courbe est défini par le

carré de l’élément de longueur ds qui d’après (7) s’écrit:

kjjk dxdxgds =2 , (8)

où la matrice g est la métrique dans le repère mobile (curviligne) [170] :

kjkjjk eehhg&&= . (9)

3.1 Espace de Riemann

C’est l’espace défini par la donnée d’une métrique g (symétrique et positive) de la forme

(9), qui est un tenseur d’ordre 2 [33, 50, 54, 65, 118]. On note ijg (écriture contravariante)

l’inverse de ijg (écriture covariante). Tous les espaces de Riemann, qui sont donc des espaces

courbes, ont pour propriété :

ijjk

ik gg δ= , (10)

si de plus le système curviligne est orthogonal

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 69

ijji ee δ=&&, (11)

alors la métrique est une matrice diagonale

jig ij ≠∀= 0 . (12)

3.2 Espace euclidien & pseudo-euclidien

L’espace est euclidien si sa métrique :

ijijg δ= . (13)

Si de plus, au moins un terme diagonal 1−=jjg , l’espace est pseudo-euclidien, ceci est le cas

par exemple de l’espace plat de Minkowski, utilisé en relativité restreinte, dont la métrique η

est :

−−

−=η

1000

0100

0010

0001

. (14)

4. Tenseurs associés

D’autres tenseurs peuvent être obtenus en élevant ou abaissant les indices [54, 170]

Tenseur de premier ordre (vecteur covariant et contravariant) :

jiji VgV = . (15)

Tenseur de deuxième ordre :

kljlikij TggT = . (16)

5. Symboles de Christoffel

La dérivation dans des coordonnées curvilignes xi, fait apparaître naturellement les

symboles de Christoffel.

Symbole de Christoffel de première espèce

∂∂

−∂∂

+∂∂=Γ

k

ij

i

jk

jik

ijk x

g

x

g

x

g

2

1. (17)

Symbole de Christoffel de seconde espèce

Le symbole de Christoffel de seconde espèce est associé au symbole de Christoffel de

première espèce. Il se note alors :

ijlkl

l

ij

i

jl

jillkk

ij gx

g

x

g

x

gg Γ=

∂∂

−∂∂

+∂∂=Γ

2

1. (18)

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 70

6. Dérivation covariante

La dérivation covariante est intéressante car elle est valable quel que soit le repère de

référence (c’est le principe de covariance) [132]. On considère un champ de tenseurs, défini en

tout point d’un espace à N dimensions, de vecteurs de base, µe&

avec 1...,,1,0 −= Nµ . Si

l’espace est plat, la direction des vecteurs de base est toujours la même, l’opération de

dérivation n’affecte pas la direction de ces vecteurs. Si l’espace est courbe, par contre, la

direction du vecteur ie&

change quand on passe d’un point ix à un point infiniment voisin

ii dxx + , la dérivation covariante permet de conserver cette propriété [29, 57, 65, 89].

La dérivation d’un vecteur jj eTT&&

= donne [65]:

jj

jj edTedTTd

&&&+= , (19)

avec :

qq

jj dx

x

TdT

∂∂= . (20)

La dérivée du vecteur de base peut être explicitée comme une combinaison linéaire des

vecteurs de base. A l’aide du symbole de Christoffel, on pose :

iqi

jqj edxed&& Γ= , (21)

ce qui donne :

iqi

jqj

jq

q

j

edxTedxx

TTd

&&&Γ+

∂∂= , (22)

on peut remplacer l’indice muet j par i dans le premier terme, ce qui donne :

iji

jqq

i

qeT

x

T

dx

Td &&

Γ+

∂∂= . (23)

En utilisant qiT ; , la dérivée covariante pour le vecteur iT par rapport à qx , la relation (23)

devient :

iq;i

qeT

dx

Td &&

= , (24)

Ainsi il vient d’être montré que s’il existe un ensemble de fonctions kpqΓ appelées symboles de

Christoffel, l’opération de dérivation covariante (gradient) d’un vecteur se définit par :

jijqq

i

q;i T

x

TT Γ+

∂∂= , (25)

Par analogie la dérivation covariante d’un co-vecteur se définit par la formule :

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 71

jj

iqqi

q;i Tx

TT Γ−

∂∂

= . (26)

Note : Si l’espace est plat la dérivée covariante se réduit à la dérivée normale.

6.1 Opérateurs vectoriels et dérivées covariantes

Ici est appliquée la dérivation covariante aux opérations vectorielles [65].

Gradient

Si S est un scalaire. On a :

iiiS

x

SS ,; =

∂∂= . (27)

Rotationnel

i

j

ji

ijji x

T

x

TTT

∂∂

−∂∂=− ;; . (28)

Divergence

jijii

i

ii T

x

TT Γ+

∂∂=; . (29)

6.2 Généralisation

La dérivée covariante d’un tenseur quelconque IJT où ( )pii ,,1 =I et ( )qjj ,,1 =J ,

généralise celle effectuée sur un vecteur

IIJJ

IJI

J jjjkjjjj

jkj

iii

ik

iiiiikkk TTTT

x

TT

qq

pp

121

121; Γ−−Γ−Γ++Γ+

∂∂= . (30)

7. Tenseur de courbure

7.1 Tenseur de courbure général

Le précédent paragraphe montre que la dérivation d’un tenseur dans un espace courbe

nécessite l’utilisation de la dérivation covariante. La présence du symbole de Christoffel

montre que cette dérivation dépend du chemin suivi. D'autre part, le transporté par parallélisme

d'un vecteur iA le long d'une courbe x(t) se définit par l'équation [50, 57] :

0=Γ+dt

dxA

dt

dA jki

jk

i

, (31)

qui est l’équation du mouvement dans le cas où Ai est la vitesse.

Dans un espace plat (euclidien) de coordonnées ( )nxx ,,1 la dérivation du vecteur iA a

pour expression :

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 72

k

iik; x

AA

∂∂= , (32)

La différence des dérivées permutées est nulle :

0=−= il;k;

ik;l;

ikl AAE . (33)

Dans un espace courbe (non-euclidien) de coordonnées quelconques ( )nxx ,,1 , la

première dérivation covariante du vecteur iA par rapport à la coordonnées lx donne le tenseur

ilB d’ordre 2 :

qilql

iill

i Ax

ABA Γ+

∂∂==; . (34)

Une deuxième dérivation co-variante par rapport à la coordonnées kx a la forme :

ip

plk

pl

ipkk

ili

k;lk;l;i BB

x

BBA Γ−Γ+

∂∂

== . (35)

Ici la différence des dérivations permutées est non nulle :

kli

lkii

kl AAE ;;;; −= , (36)

et s’écrit après simplifications, comme suit:

( )p

ip

lkp

klqp

qkipl

pql

ipkl

iqk

k

iqli

kl x

AA

xxE

∂∂Γ−Γ+

ΓΓ−ΓΓ+

∂Γ∂

−∂Γ∂

= . (37)

Si on introduit le tenseur de Riemann [2, 50, 57, 65], (ou tenseur de courbure) iqklR tel que :

pqk

ipl

pql

ipkl

ikq

k

iqli

qkl xxR ΓΓ−ΓΓ+

∂Γ∂

−∂Γ∂

=− , (38)

et le tenseur des torsions pklT [50, 57] :

plk

pkl

pklT Γ−Γ= , (39)

la relation (37) devient :

p

ip

klqi

qklikl x

ATARE

∂∂+−= . (40)

Selon la relation (39) le tenseur de torsion est nul dans le cas où le symbole de Christoffel

est symétrique par rapport à ses indices inférieurs (métrique symétrique), ce qui donne,

appliqué à un vecteur quelconque :

qiqkl

ikl ARE −= . (41)

Dans le cas encore plus restrictif d’un espace plat les équations (33) et (41) imposent un

tenseur de Riemann nul :

0=iqklR . (42)

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 73

7.2 Propriétés du tenseur de Riemann

Le tenseur de Riemann (38) a la propriétés suivantes [2, 50, 57, 65]

- Anti-symétrie

ijlk

ijkl RR −= . (43)

- Permutation

La sommation avec permutation des indices est nulle:

0=++ iljk

iklj

ijkl RRR . (44)

Remarques :

A - Le tenseur associé ijklR au tenseur de Riemann (38) est appelé tenseur de courbure

entièrement covariant.

mjklimijkl RgR = . (45)

b - En tenant compte des relations (45) relation (44) s’écrit sous la forme :

0=ijklijkl Rε . (46)

où ijklε est le tenseur de permutation (Tenseur de Levi-Civita)

c - En dérivant le tenseur (45) on obtient la dérivée covariante du tenseur de Riemann, ce qui

conduit à l’Identité de Bianchi

0;;; =++ kijlmlijmkmijkl RRR . (47)

7.3 Tenseur de Ricci

Le tenseur de Ricci est obtenu par contraction de deux indices du tenseur de Riemann.

C’est un tenseur symétrique de rang deux [2, 57]:

kiljkl

ij RgR = , (48)

kij

lkl

kil

lkjk

kij

j

kik

ij xxR ΓΓ−ΓΓ+

∂Γ∂

−∂Γ∂= , (49)

jiij RR = . (50)

La contraction du tenseur de Riemann est unique. Si le tenseur de Ricci est nul, l’espace a

une faible courbure.

8. Géodésique dans l’espace de Riemann

La géodésique est le plus court chemin entre deux positions d’un point matériel de

l’espace. C’est donc la trajectoire. Soit p le paramètre d’une courbe (C) quelconque dans

l’espace, p pouvant être considéré comme le temps t du laboratoire.

Il s’agit donc de trouver une équation différentielle qui décrive la géodésique.

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 74

8.1 Equation de la géodésique

La géodésique est obtenue en minimisant l’intervalle S de la courbe (C) entre la position

P0, où p = p0 et la position P1, où p = p1.

( ) dpxxxgdpsSP

P

jikij

P

P∫∫ ==1

0

1

0

. (51)

dp

dss = . (52)

Soit F, la fonctionnelle associée au problème:

( ) ( ) jikij xxxgsx,xF == . (53)

La minimisation de la relation (51), s’obtient en appliquant les équations Euler-Lagrange

[32, 40, 171] :

0=∂∂−

∂∂=

kkk x

F

x

F

dp

dE

, (54)

or pour le premier terme

∂∂+

∂∂=

∂∂

k

jij

k

i

ijk x

xxx

x

xg

sx

F

2

1, (55)

( )jk

ijikijk

xxgsx

F δδ

+=∂∂

2

1, (56)

jkjk

xgsx

F

1=∂∂

, (57)

d’où :

∂∂

+∂∂=

∂∂ j

kjjl

l

kjll

j

kjkxg

s

sxx

x

gx

x

xg

sx

F

dp

d

1 , (58)

la substitution, dans les deux derniers termes du membre de droite de la relation (58), des

indices répétés l et j par i permet une factorisation :

∂∂

+=

∂∂ i

kiji

i

kjlklk

xgs

sxx

x

gxg

sx

F

dp

d

1. (59)

Pour le deuxième terme de la relation (54), il vient :

∂∂

=∂∂ ji

k

ij

k xxx

g

sx

F

2

1. (60)

En prenant en compte les relations (59) et (60), l’équation (54) prend l’expression :

( )iki

jik

ij

i

kjlkl xg

s

sxx

x

g

x

gxg

=

∂∂

21−

∂∂

+ . (61)

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 75

Or, comme la métrique est symétrique :

jik

ij

i

kj

jkiji

k

ij

i

kj xxx

g

x

g

x

gxx

x

g

x

g

∂∂

−∂∂

+∂∂

21=

∂∂

21−

∂∂

, (62)

et de plus :

∂∂

−∂∂

+∂∂

21=Γ

k

ij

i

kj

jki

kij x

g

x

g

x

g, , (63)

et si on pose :

( )ikik xg

s

s

=σ , (64)

alors l’équation (61) devient :

kji

k,ijl

kl xxxg σ=Γ+ . (65)

8.2 Forme contravariante de l’équation de la géodésique

L’Equation (65) est la forme covariante de l’équation de la géodésique dans l’espace de

Riemann. Mais, en fait, c’est la forme contravariante qui est la forme usuelle, obtenue en pré-

multipliant la forme (65) par le tenseur contravariant krg :

kkrji

k,ijkrl

klkr gxxgxgg σ=Γ+ , (66)

qui en utilisant les égalités (10) (15) et (18) s’écrit :

rjirij

lrl xxx σδ =Γ+ , (67)

rjirij

r xxx σ=Γ+ , (68)

ou encore :

kjikij

k xxx σ=Γ+ , (69)

qui est la forme contravariante de l’équation de la géodésique dans l’espace de Riemann [50,

54, 57].

8.3 Influence du paramètre p

Si le paramètre p est l’intervalle s (ce qui signifie par exemple que le temps p du

laboratoire correspond au temps propre du point matériel observé), la relation (64) devient nulle

et l’équation (69) devient :

02

2

=Γ+ds

dx

ds

dx

ds

xd jikij

k

, (70)

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 76

et qui est la forme normale de l’équation de la géodésique [2, 168]. L’équation (70) est la

dérivée covariante du vecteur vitesse par rapport à la variable s (équivalent au temps propre du

système étudié), voir la relation (31).

8.4 Influence de la forme de la fonction

Ici, il s’agit de montrer que l’équation (70) est valable quelque soit la forme, voir la

relation (53), de la fonctionnelle ( )TF où T a la forme suivante :

dp

dx

dp

dxgT

ji

ij2

1= , (71)

Supposons que ( )TF soit une fonction monotone et suffisamment différentiable par

rapport à T, [2]. Soit le problème variationnel :

( ) 01

0

=

∫ dpTFP

P

δ . (72)

Ce problème dépend, naturellement, du choix du paramètre p. Le problème variationnel traité

est le suivant: une courbe ( )sxi de paramètre d'arc s, est comparée à toute courbe voisine ( )sxi~

qui coïncide avec elle aux points initial ( )0,0ixP et final ( )lxP i,1 .

Comme ( )kijij xgg = et ji

ij xxgT 2

1= , (où dp

dxx

ii = ), l'équation (72) peut être écrite

sous la forme suivante :

( )( ) 0,1

0

=

∫ dpxxTFP

P

iiδ . (73)

C'est un problème typique du calcul des variations, qui mène aux équations d'Euler-

Lagrange, voir l’annexe, et qui peuvent être écrites, en utilisant la forme fonctionnelle de T :

02

1 =∂∂

∂∂

∂∂

T

F

dp

dx

dp

dx

x

g

T

F

dp

dxg

dp

d jl

i

ljj

ij . (74)

Dans le cas particulier où le paramètre p est la longueur s de l’arc de la ligne extrémale, on a :

2

1

2

1

2

12

=

==

ds

dsxxgT ji

ij , (75)

Par conséquent ( )TF , et T

F

∂∂

sont constants le long de la courbe extrémale. Alors comme T

F

∂∂

devient facteur, l’égalité (75) est satisfaite notamment pour :

02

1 =∂∂

ds

dx

ds

dx

x

g

ds

xg

ds

d jl

i

ljj

ij , (76)

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 77

qui par définition des symboles de Christoffel devient :

02

2

=Γ+ds

dx

ds

dx

sd

xd jlilj

i

. (77)

Ainsi la forme normale de l’équation de la géodésique est indépendante de la forme de la

fonctionnelle F(T) où T est définie par la relation (71).

9. Les équations de Lagrange à la lumière de la théorie de relativité générale

Considérons l'évolution dans le temps d’un système mécanique décrit par des

coordonnées généralisées ( )txi , et des vitesses généralisées ( ) dtdxtx ii = . Soit l’énergie

cinétique sous forme quadratique:

( ) jiij xxgxxT

2

1, = , (78)

et soit une énergie potentielle ( )ixU , qui donne lieu à une force généralisée

( ) iii xxUF ∂∂−= . (79)

Comme d'habitude dans le cadre de la dynamique analytique, on a 2 22 dsdtT = , formule

qui permet de définir une métrique sur l'espace des coordonnées généralisées, qui s'appelle

l'espace de configuration [2, 57]. Le Lagrangien s’écrit,

UTL −= . (80)

L’équation du mouvement est donnée par les équations de Lagrange :

0=∂∂−

∂∂

ii x

L

x

L

dt

d

. (81)

Sous forme explicite celles-ci deviennent

llll x

U

x

U

ds

d

x

T

x

T

ds

d

∂∂−

∂∂=

∂∂−

∂∂

, (82)

le côté de gauche de l'équation (5) donne d’après les relations (69), (71) et (79), la géodésique

dans l'espace de Riemann, et le côté droit donne la force généralisée, ainsi l'équation (82)

devient :

kji

kij

k

Fds

dx

ds

dx

ds

xd =Γ+2

2

. (83)

Ceci prouve que les équations de Lagrange dans le cas général (espaces courbes) sont des

équations du second ordre dans lesquelles les symboles de Christoffel Figurent explicitement.

Supposons que l'on oublie l'origine physique des coordonnées généralisées ix et voyons

les équations du mouvement écrites sous la forme (83) en pensant en termes de mécanique

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 78

newtonienne, on voudrait voir ces équations prendre la forme kk Fx~= , où kF

~ représente les

forces extérieures selon la loi de Newton. Pour pouvoir faire cette identification on considère

jikij xx Γ− en tant que représentation de forces de repères [2, 146] telles la force centrifuge ou

les forces de Coriolis (forces factices en relativité générale). Ces forces dépendent du système

de coordonnées utilisé, (les symboles de Christoffel en dépendent). En fonction du système de

coordonnées, elles peuvent donc ne pas apparaître. Ceci est le cas par exemple d’un repère

attaché à un disque en rotation : les forces de repère n'apparaissent pas dans l’équation.

Cependant, on peut employer l'approche alternative en traitant toutes les forces de la même

manière, quelles soient externes, de repère, ou dues à une contrainte, et on écrit en

conséquence:

jikij

kkkk xxFFFx Γ−== ~,

~, (84)

qui montre que la force kF~

dépend énormément du système de coordonnées.

Evidemment, un tel point de vue n'est pas dans l'esprit de la théorie de la relativité

générale où tous les systèmes de coordonnées sont considérés équivalents. Du point de vue

de la relativité générale, on voudrait au contraire ramener les équations du mouvement

autant que possible à la géométrie de l'espace de configuration [2, 55, 61, 62, 145], c’est-à-

dire, au lieu d'expliquer la géométrie provenant de forces de repère, il s’agirait

d’expliquer les forces en partant de choix judicieux de géométrie. Cela est au moins

possible dans le cas des forces de la gravitation [61, 62, 65].

La manière la plus facile de faire ceci est de postuler que les forces de gravitation kF

peuvent disparaître des équations du mouvement ci-dessus en les incorporant dans le terme

géométrique kjijk xx Γ , exactement comme une force de repère. Cette approche est motivée par

le fait que les forces de gravitation et les forces de repère agissent toutes les deux sur les corps

matériels de la même manière; elles communiquent une accélération qui est indépendante de la

masse du corps. On sait que la propriété ci-dessus est la base du principe d'équivalence,

qui déclare que l'effet d'un champ de gravité peut "être effacé" en décrivant la physique

dans un repère de référence convenablement accéléré [2, 61, 62].

10. Le temps-propre et les équations de mouvement, vus par la mécanique relativiste

Ici l’objectif est de mettre en évidence l’application des outils de la relativité générale à

un système mécanique classique (système en rotation) [2, 69, 115]. Comme la métrique de

Minkowsky (espace plat) est bien adaptée à la relativité restreinte, on va utiliser ses

coordonnées (coordonnées de la relativiste restreinte ) zyxct ,,, :

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 79

( ) ( ) ( ) ( ))( 22222

232221202

dzdydxdtc

dxdxdxdxds

++−=

−−−=, (85)

pour les systèmes en rotation les coordonnées cylindriques ( )zr ,,φ sont utilisées, Figure 2 :

yr

z

P

ez

er

x

z

k

ji

P ’φ

Fig. 2. Coordonnées cylindrique et cartésienne

zz

ry

rx

===

φφ

sin

cos

, (86)

L’élément de longueur se définit alors par

)( 2222222 dzdrdrdtcds ++−= φ . (87)

Si :

tωφφ −= , (88)

la relation (87) s’exprime alors sous la forme

( ) )2( 2222222222 dzdtdrdrdrdtrcds +++−−= φωφω . (89)

Pour trouver les équations du mouvement, on peut utiliser l’équation d’Euler-Lagrange

ou l’équation des géodésiques pour la métrique (89), les résultats des deux approches suivantes

valident la conclusion du § 8.4 : La forme de la fonction ( )TF ne modifie pas la forme

normale de l’équation des géodésiques.

10.1 Utilisation de l’équation d’Euler-Lagrange

En divisant (89) par 2ds et en calculant la variation de l’expression obtenue on a :

( ) dsds

dz

ds

dt

ds

dr

ds

dr

ds

dr

ds

dtrc∫

++

+

−=

22

22

22222 20

φωφωδ . (90)

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 80

L’équation d’Euler-Lagrange pour ce problème variationnel est donne par (81) où

( )

++

+

−=

22

22

22222 2

ds

dz

ds

dt

ds

dr

ds

dr

ds

dr

ds

dtrcL

φωφω . (91)

Appliquons l’équation (81) pour différentes valeurs de i. On trouve finalement:

02, 2

22

2

2

=+=τ

ωτφω

τ d

dr

d

drr

d

rd, (92)

qui sont respectivement les forces centrifuges et les forces de Coriolis classiques.

10.2 Utilisation de l’équation des géodésiques

La métrique de cet espace, peut s’écrire à partir de l’équation (89) sous la forme :

−−−

−−−

=

1000

00

0010

00

22

2222

rr

rrc

ωω

, (93)

Pour pouvoir utiliser l’équation des géodésiques (69), il faut calculer les symboles de

Christoffel (voir la relation (18)) :

rrrrr

1,,,, 2

212

122

10201

122

120

102

2100 −=Γ=Γ−=Γ=Γ=Γ=Γ=Γ=Γ ωωω (94)

Et tous les autres λµνΓ sont nuls. L’introduction de ces valeurs dans l’équation (69) donne la

relation (83).

11. Conclusion

L’utilisation du concept de la relativité dépend de la nature de l’espace de référence.

Dans le cas de la relativité restreinte [37, 123, 142, 163, 185], l’espace est plat et l’espace

de Minkowski est utilisé pour décrire les équations du mouvement qui s’écrivent :

ii

d

xdm F=

τ2

2

, (96)

( )dttd φ=τ , (97)

où τ est le temps propre du système mécanique et t le temps du laboratoire.

Dans le cas de la relativité générale [2, 57, 118, 182], l’espace est courbe et l’espace de

Riemann est utilisé pour décrire les équations du mouvement qui s’écrivent :

02

2

=Γ+ds

dx

ds

dx

ds

xd jkikj

i

, (98)

( )dttds φ= , (99)

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CHAPITRE V – GENERALITES. CALCUL TENSORIEL ET GEODESIQUE

PARTIE II 81

où s est la longueur de la trajectoire entre 2 positions d’un point en mouvement dans l’espace

courbe de Riemann. La minimisation de s donne la géodésique qui est l’équation du

mouvement (97).

Les chapitres VI et VII suivants concernent la modélisation des effets dissipatifs liés

notamment à la variation de la fréquence d’excitation. Le Chapitre VI utilise le concept de la

relativité restreinte alors que le chapitre VII celui de la relativité générale.

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 82

EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

MODELISATION AVEC LE CONCEPT DE LA RELATIVITE RESTREINTE

1. Introduction

Ici la modélisation des effets dissipatifs est réalisée en utilisant le concept de la relativité

restreinte. L’espace de référence est donc plat. Il s’agit d’une méthode originale pour évaluer

l'effet dissipatif d’un système mécanique à un degré de liberté (1ddl) dû au phénomène

transitoire produit par une force de fréquence variable. La contribution principale se situe dans

l'utilisation d'une dimension supplémentaire, liée à la fréquence, qui courbe alors l’espace.

La réponse d’un système mécanique soumis à une excitation est considérablement

influencée par l'amortissement, qui a un effet de dissipation. Modéliser l’amortissement

demeure un thème de recherche actuel, car délicat et compliqué [95, 96, 97, 109, 137]. La

plupart du temps l'amortissement dépend de la température, de la déflexion, de la fréquence, et

du type d'excitation [75, 99, 121, 137]. Ce dernier paramètre rend l'amortissement très difficile

à modéliser. En fait, la réponse transitoire prévue pour une structure [3, 67, 121, 131] ne peut

pas être réalisée avec une grande exactitude si le paramètre d'amortissement de la structure est

connu par des mesures en régime permanent. Ceci a été observé dans [11, 15, 17] dans le cas

où la fréquence de la force est variable.

L'objectif de cette étude est d'améliorer les modèles mécaniques existants et en particulier

de rendre compte de l'effet de l'amortissement. L'idée fondamentale est que chaque système

mécanique a son temps propre, qui dépend d’événements externes. En s’inspirant du principe

de relativité d'Einstein, qui stipule l'invariance des lois physiques dans n'importe quel système

de coordonnée espace [37, 122, 142, 185], un axe supplémentaire représentant la fréquence

d'un événement a été pris en considération. En conséquence un terme additionnel est inclus

dans l'expression de l'élément de longueur (l'intervalle entre deux positions successives).

L'application concerne un système ressort-pendule soumis à une force de fréquence variable.

Afin de valider la méthode, la recherche est effectuée théoriquement et expérimentalement.

2. Dimension fréquence d’événement supplémentaire

Soit à définir un repère orthogonal comportant une dimension d’espace, une dimension de

temps et une dimension supplémentaire de fréquence. Il est pratique d’utiliser les coordonnées

),,( 101− xxx pour définir un point [11, 16]. La dimension x0 est consacrée au temps, x1 à l'espace

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 83

et 1−x à la fréquence qualifiée fréquence d'événement. Ces coordonnées prennent les

expressions suivantes :

iatx =0 , et ux =1 , (1)

avec a, une vitesse très grande, t le temps du laboratoire et u le déplacement. Soit Ν=Ω π2 ,

où ΝΩ, sont respectivement la pulsation et la fréquence naturelles du système auxquelles est

associée la première coordonnée sous la forme d’un arc d'un cercle [63, 100, 101] :

θρ=− ix 1 , (2)

où le rayon ρ et l’angle θ sont définis par :

Ω= aρ , (3)

nπθ 2= , (4)

n étant le nombre de cycles. Cela signifie qu’un axe est associé à chaque point matériel. La

coordonnée sur ce nouvel axe est :

Ν=− na

ix 1 . (5)

Selon le principe de relativité toutes les lois physiques sont invariantes dans cet espace

tridimensionnel. Ce principe exige de trouver une nouvelle loi qui demeure invariable même si

la fréquence d'événement change, voir la Figure 1.

Fig. 1. Axe d'événement

La pulsation d'événement ω est exprimée comme suit :

νππθω 22 ===dt

dn

dt

d, (6)

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 84

où ν est la fréquence d’événement .

Dans l'espace à trois dimensions, la longueur de l’élément est donnée par :

νµµν dxdxgds −=2 ,

avec la métrique g

( )

Ξ−=

100

010

00&

q

g , (7)

où la fonction ( )Ξ&

q avec

( )ξξξ &

,,∫=Ξ dt et Ν

= νξ ou ,Ωω=ξ (8)

exprime l’influence de la fréquence adimensionnée ξ , de son intégrale, et de sa dérivée sur

l’espace, sachant que dt

dξ=ξ .

Pour définir au mieux la fonction ( )Ξ&

q on suppose que ( )Ξ&

q s’annule dans les trois cas

suivants :

- Pas de mouvement (vitesse nulle)

- Résonance

- ∞→ξ .

Pour faciliter la détermination de ( )Ξ&

q on se limite à la variable ξ .

( ) ( )ξ=Ξ qq&

. (9)

Alors l’intervalle entre deux positions infinitésiment voisines prend l’expression :

( )( ) ( ) ( )2120212 dxdxdxqds −−= −ξ (10)

En remplaçant 101− xxx ,, par leurs expressions (1) et (2), il vient :

221 βλ −−= dtads (11)

( )a

uq

== βξξλ , (12)

avec dt

duu = . Le temps propre τ du système en mouvement est défini par :

a

dsd =τ (13)

qui en tenant compte de la relation (11) prend la forme :

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 85

221 βλτ −−= dtd , (14)

et permet de relier le temps propre au temps du laboratoire.

3. Equations du mouvement

Pour les raisons de commodité, il s’agit d’écrire tout d’abord quelques relations

classiques concernant le mouvement d’un point matériel de masse m sur l’axe x1 soumis à une

force appliquée F1. L’application du principe fondamental classique impose :

( ) 11 Fmvdt

d = , (15)

soit

11

Fdt

dp = , (16)

où p1 = mv1 est l’impulsion classique du point matériel. En multipliant les deux membres de la

relation (15) par la vitesse dt

dxv

11 = , nous en tirons comme conséquence du principe

fondamental la relation suivante :

( ) 11

21

2vF

vm

dt

d =

. (17)

Le second membre représente la puissance de la force F1 ou le travail de la force F1 par unité de

temps, alors que le premier membre représente la variation de l'énergie :

( )

=

2

21vm

dt

d

dt

dE. (18)

Ainsi, on parvient à définir, à une constante arbitraire près, l'énergie du corps comme :

( )0

21

2E

vmE += , (19)

où E0 est une constante. L'énergie ( )2

21vmT = n'est relative qu'au mouvement du corps; on

l'appelle énergie cinétique (énergie du mouvement) [142]. Si le corps au repos ne possède

aucune énergie, la constante E0 est nulle. Si besoin est, on peut interpréter la constante E0

comme énergie potentielle constante. Vu qu'il n'y a aucune raison d'introduire E0 dans le cadre

de la mécanique classique, on considère E0 en tant que constante arbitraire. Il en découle qu'en

principe l'énergie classique «totale » d'un corps libre peut être de signe arbitraire (imposé par

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 86

celui de la constante E0). Notre choix (E0 = 0) fait coïncider l'énergie totale du corps libre avec

l'énergie cinétique.

Supposons maintenant qu'un point matériel se trouve dans un champ de potentiel. Il est

donc soumis à une force dont l'expression est F = - grad U(x1), où U(x1) est l'énergie

potentielle :

dUmv

d −=

2

2

(20)

Soit maintenant l’impulsion et la force dans l’espace ),,( 101− xxx , dénommées

respectivement 3-impulsion et 3-force. Tout d'abord, définissons la 3-impulsion P&

:

UP&&

m= , (21)

où U&

est le 3-vecteur vitesse de composante :

τ=

d

dxiiU , (22)

et m est la masse invariante du point matériel qu'il est rationnel d'appeler masse au repos. La

troisième composante de l’équation du vectorielle du mouvement dans ),,( 101− xxx doit se

rapprocher de l’équation du mouvement de la mécanique newtonienne (16) et prend donc la

forme :

11

FP =τd

d. (23)

1F est alors la troisième composante du 3-vecteur force (qui ressemble à la force de

Minkowski en relativité restreinte). Il est nécessaire d'écrire l'équation du mouvement sous

forme vectorielle tridimensionnelle car le premier postulat d'Einstein impose que toute loi

physique doit avoir la même forme dans tout référentiel d'inertie [142, 162, 185]. En tenant

compte de la relation (21), l’équation (23) permet de généraliser, et d’obtenir l’équation

vectorielle du mouvement dans ),,( 101− xxx :

101 ,,i,d

dm i

i

−==τ

FU

, (24)

où les iF sont les composantes du 3-vecteur force. On passe aisément du temps propre τ au

temps du laboratoire conformément à (14):

dt

dm

d

dm

ii

221 βλτ −−= UU

. (25)

Sous cette condition, l’équation de (24), pour i = 1, devient

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 87

1

22

1

1F

U =−− dt

dm

βλ. (26)

Si l'on pose

22

11

1 βλ −−= F

F , (27)

où 1F , est la force usuelle sur l’axe x1, alors l’équation (26) acquiert une forme fort peu

différente de celle de l’équation newtonienne. En effet, en portant (27) dans le second membre

de (26), il vient :

22

1

22

1

11 βλβλ −−=

−−F

dt

dm

U, (28)

soit

( ) 11 Fmdt

d =U , (29)

qui peut être écrite sous la forme :

1

22

1

1F

mv

dt

d =

−− βλ, (30)

où le deuxième membre comporte des composantes de la force classique et où dans le premier

membre, la quantité

22

11

1 βλ −−= mv

p , (31)

est, en tenant compte de l’équation (16), logiquement dénommée impulsion. Ainsi, les

principes fondamentaux, celui classique et celui proposé, diffèrent par la définition de

l'impulsion. La dérivation de l’équation (30) donne :

( )( )

1232222 11

Fumum =

−−++

−− βλββλλ

βλ

. (32)

4. L’énergie qui provoque l’amortissement

Soit à diviser l’équation (10) par 2τd , il vient d’après (13) et (22) :

( )( ) ( ) ( )2120212 UUU −−ξ= −qa . (33)

qui après dérivation par rapport au temps propre et multiplication par la constante m, et en vertu

de l’équation (29) devient :

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 88

011

11

2222=−

−−+

−−Fv

a

d

dma

a

d

dam

βλβλλλ

tt- , (34)

la quantité 11Fv est la dérivée de l’énergie par rapport au temps comme dans l’équation (17) ;

la relation (34) s’écrit alors :

−−

−−=

2222 11 βλλλ

βλa

d

dam

a

d

dma

dt

dE

t-

t. (35)

L’intégration de l’équation (35) par rapport au temps conduit à :

−−−

−−= ∫ dt

dt

damE

2222

2

11

1

λβλλ

λβ. (36)

A la résonance, en régime permanent 0,0 =∂∂= ξqq , seul existe l’amortissement du

système mécanique qu’il est facile d’évaluer par une mesure de largeur de bande sur la courbe

de transfert. Autour de la résonance on peut supposer que la fonction q, ainsi que λ , est très

petite et que ceci peut être étendu à n’importe quel régime de fonctionnement.

L’équation (36) développée en série de Taylor autour du point 0=λ devient :

( )( )λβψβ

,11 2

2

+−

= amE (37)

avec

( ) ( )( )∑ ∫

=

−−−

−Γ+Γ=

12

22

2

2

2

2 1112

1

121,

k

kk

dtdt

d

kk

k

βλ

βλλβ

βλ

πλβψ . (38)

Il est clair que la fonction ( )λβψ , est une petite quantité qui cependant apporte dans la relation

(37) une énergie source des effets dissipatifs mis en évidence par la relation (32). En l’absence

de mouvement, la fonction ψ vérifie l’équation :

( ) 0,0 =λψ (39)

autrement dit, l’énergie (37) devient :

2amE= (40)

Les relations (37), (38) et (39) permettent de valider les hypothèses prises sur la fonction q.

5. Equation du mouvement d’un point matériel de faible vitesse

En utilisant la fonction ( )ξq donnée par la relation (12), l’équation de mouvement (32)

devient [11, 16] :

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 89

( )1

232222 1

2

1F

q

umq

q

q

um =β−ξ−

ββ+ξξ

ξ∂

∂ξ++

β−ξ−

. (41)

et fait naturellement apparaître une force d’inertie qui dépend notamment de la fréquence

adimensionnée ξ et d’une force de dissipation qui dépend, de plus, de la variation de ξ . En

présence de forces appliquées à la masse : force visqueuse uc − , force de rappel –ku, force

d’excitation f (t), il vient :

)(1 tfukucF +−−= . (42)

En supposant que la vitesse du point matériel est faible par rapport à la vitesse de référence a,

2β devient négligeable devant l’unité et l’équation (32) prend la forme simplifiée :

( )( )tfukuc

q

mq

q

uq

m =+

+ξ−

ξ∂

∂ξ+ξξ+

ξ−

322

1

2

1. (43)

Dans le cas où q(ξ) est nul ξ∀ , l'équation (43) se réduit à l’équation du mouvement

newtonienne classique, la dimension supplémentaire disparaît et l’espace redevient plat, voir la

métrique (7). Si q(ξ) est non nul, résoudre l'équation (43) exige de déterminer la fonction q(ξ),

ceci est fait expérimentalement.

6. Méthode expérimentale

6.1 Dispositif expérimental

Il s’agit donc d’effectuer des mesures sur la réponse d’un système mécanique à un ddl et

soumis à une excitation de fréquence variable dans le temps. La Figure 2 schématise le

dispositif qui est un système ressort-pendule sous gravité. La tige de 0,40m de long est

suspendue verticalement au point O par un axe monté sur deux roulements à billes. Le ressort a

une raideur de 10500N/m. La fréquence naturelle du système est ajustée avec une masse située

à une distance lm..

Le déplacement u est mesuré avec un capteur à courant de Foucault, situé à une distance

ld. Le facteur d'amortissement visqueux α est mesuré en utilisant la décroissance logarithmique

du mouvement libre du système. Dans le cas de la réponse forcée, l'excitation est appliquée à

une distance lf par un pot électrodynamique de 20N suspendu. Une cellule de charge piézo-

électrique mesure la force d'excitation transmise au système. Le pot électrodynamique et les

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 90

capteurs sont reliés à un analyseur dynamique de signaux multi-voies. La fonction de transfert

est obtenue avec une excitation de type balayage sinus stationnaire et les réponses transitoires à

partir avec une excitation de type balayage rapide en fréquence.

lmlf

Force

ld

ressort

Déplacement

opesanteur

Fig. 2. Dispositif expérimental

Les paramètres, du système masse-ressort, expérimentaux sont présentés dans le tableau 1

où la valeur de k tient compte de la raideur du ressort et de l'effet de pesanteur.

Paramètres Systèmeld (m) 0.304l f (m) 0.390lm (m) 0.253m (kg) 0.833k (N/m) 17 311

α 0.0028cd (N.s/m) 0.67

νn (Hz) 22.9

Tableau 1. Paramètres du système

6.2 Détermination expérimentale de la fonction q(ξξ)

La détermination de la fonction q(ξ), en première approximation, utilise la fonction de

transfert déduite de la réponse harmonique expérimentale du système à 1ddl. Comme les

amplitudes de vibration sont très faibles, le mouvement est décrit par une équation linéarisée.

Dans le cas d’un mouvement permanent, ξ est constant et l'équation (43) est simplifiée:

)sin(1

02tfkuucu

q

md ω

ξ=++

− . (44)

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 91

Supposons que la solution non homogène soit de la forme :

)sin(0 ϕω += tuu , (45)

et notons :

( ) 21 ξξ qY −= , (46)

la fonction de transfert est :

( )222

21

1

ξαξη

+

=

Y

, (47)

mk

cd

2=α , et

0

0

f

ku=η . (48)

Dans le cas où Y=1, les fonctions de transfert, expérimentale et théorique, sont tracées sur la

Figure 3. Pour obtenir des courbes expérimentales et analytiques identiques, Y doit être une

fonction de ξ qui est obtenue à partir de l'équation (47):

( )

( )( )2

2exp

2

21

1 ξαξη

ξξ−±

=Y , (49)

où ( )ξηexp est la fonction de transfert expérimentale qui permet donc de définir Y(ξ) tracée sur

la Figure 4. Il est à remarquer que cette fonction vérifie les deux conditions suivantes :

011

1≈

ξ≈

=ξ=ξ d

dY,Y (50)

Une fois connue par la relation (49) la fonction Y(ξ), il est aisé par la relation (46) de

déterminer la fonction q(ξ) et de la tracer sur la Figure 5.

Comme la fonction Y(ξ ) vérifie les conditions (50), après (46) il est clair que la fonction

q(ξ) vérifie à la résonance les conditions suivantes :

0,01

1 ≈≈=

ξ ξd

dqq (51)

Loin de la résonance, où ξ = 1, il est difficile de connaître le comportement de cette fonction,

mais à partir des conditions imposées sur la fonction q(ξ ) on a les valeurs de q(ξ) :

,q 00

≈=ξ

(52)

,q 0≈∞=ξ

(53)

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 92

ln(η

) =

ln (

u 0 k

/ f 0

)

ξ = ν / ν1

0 0.5 1 1.5 2 2.50.990

0.992

0.994

0.996

0.998

1

1.002

1.004

1.006

1.008

1.010

Y (ξ

)

ξ = ν/ν1

Fig. 3. Fonction de transfert mesurée et

calculée équation (47) avec : Y=1Fig. 4. Fonction Y(ξ)

Fig. 5. Fonction q(ξ) mesurée

Les points expérimentaux, voir la Figure 5, et les conditions (51), (52) et (53) permettent avec

la méthode des moindres carrés d’obtenir la forme approchée de q(ξ) :

( ) ( )( )3

115

1

110018.0

22

ξ

ξξ

+−−=

−−− eeq . (54)

Les Figures 6 et 7 comparent les fonctions proposées q(ξ ), λ(ξ ) et les valeurs expérimentales.

Dans les cas de phénomènes de résonance ou d’un mouvement libre, la forme

d’amortissement classique est satisfaisante. La dimension supplémentaire introduite n’apporte

rien dans ces cas : le mouvement n’influence pas l’espace-temps.

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 93

Fig. 6. Fonction q(ξ) proposée et mesurée Fig. 7. Fonction λ(ξ) proposée et mesurée

7. Réponses en régime transitoire rapide

La réponse transitoire forcée du système à 1ddl est étudiée numériquement et

expérimentalement. Les Figures 8 et 9 représentent la force d’excitation mesurée et l’évolution,

approchée par un polynôme, de la fréquence d’excitation au cours du temps.

Fig. 8 Force d’excitation mesurée à fréquence

variable

Fig. 9 Approximation de l’evolution de la

fréquence d’excitation

7.1 Modèle classique

Le modèle classique correspond à l'équation (43) avec q = 0, pour tout ξ . La réponse

théorique calculée est comparée à la réponse mesurée sur la Figure 10, dont la Figure 11 est un

zoom. Les résultats numériques ont été calculés en utilisant la méthode de Newmark avec un

pas de temps de 0.0007s.

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 94

Afin de réduire l’écart observé, d'autres démarches ont été entreprises [1, 52, 53, 56, 113,

154]:

- Utilisation d’autres méthodes numériques (Runge-Kutta 4, Heun, Houbolt) ou encore

celles utilisant la série de Taylor,

- Etude soigneuse de l'influence du pas du temps,

- Traitement de l'équation du mouvement avec termes non linéaires,

sans apporter d’amélioration notable à la réponse calculée.

Fig. 10. Réponses mesurée et calculé

(modèle classique).

Fig. 11. Zoom des réponses mesurée et calculée

(modèle classique).

7.2 Modèle proposé

Le modèle proposé correspond à l'équation (43) avec q donné par la relation (54). La

méthode de Newmark est employée avec le pas de temps indiqué précédemment. La réponse

calculée est comparée à la réponse mesurée dans la Figure 12, et dont la Figure 13 présente un

zoom. Cette comparaison souligne la qualité de la réponse calculée avec le modèle proposé.

En complément, il est intéressant de représenter le coefficient d’amortissement total au

cours de la simulation, Figure 14. Il est clairement montré que la variation de fréquence génère

de l'amortissement.

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 95

Fig. 12. Réponse mesurée et calculée

(modèle proposé)

Fig. 13. Zoom de la réponse mesurée et calculée

(modèle proposé)

Fig. 14 Coefficient d’amortissement

8. Conclusion

Le modèle présenté, basé sur le principe de relativité d'Einstein, est original, parce qu'il

tient compte d'une dimension supplémentaire qui correspond à un axe associé à la composante

«fréquence d’un événement». Les équations du mouvement présentent, dans ce modèle, un

terme d'amortissement additionnel qui dépend de la variation de la fréquence de l’excitation.

Le modèle proposé, appliqué à un système de 1ddl a été validé expérimentalement. De

cette recherche les conclusions suivantes peuvent être tirées:

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CHAPITRE VI - EFFET DISSIPATIF ET FREQUENCE VARIABLE

PARTIE II 96

- Lors d’un phénomène de résonance ou d’un mouvement libre l’espace pseudo-Riemannien

(Finslerien) devient plat (l'espace de Minkowski) et il n'y a ainsi aucune influence du

mouvement sur l'espace et le temps: le modèle proposé se réduit au modèle classique.

- En régime permanent il n'y a aucun amortissement additionnel mais la masse dépend très

légèrement de la fréquence.

- Dans le cas d'une fréquence variable, la masse demeure dépendante de la fréquence et

l'amortissement additionnel se produit.

- L'amortissement dépend du type d'excitation. En effet d’autres expérimentations menées

avec des régimes transitoires plus rapides, que celui étudié dans ce chapitre, montrent (voir

chapitre suivant) un écart plus important entre la réponse mesurée et calculée avec le

modèle classique.

Finalement, n'importe quel système mécanique soumis à une excitation à fréquence

variable est affecté par un amortissement additionnel ou amortissement de repère. C'est

particulièrement vrai dans le cas de machines tournantes subissant un mouvement transitoire

rapide.

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 97

L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

1. Introduction

Au chapitre précédent la méthode présentée pour évaluer l’amortissement dû à un

phénomène transitoire est basée sur l'utilisation d'une dimension supplémentaire, et le concept

de relativité restreinte. Mais la fonction de la fréquence exigée pour construire la métrique de

l'espace a été quantifiée expérimentalement au moyen d’une fonction de transfert. Cependant

cette détermination expérimentale nécessite de disposer de la maquette du système mécanique.

Dans ce chapitre l'objectif principal est d’évaluer l'amortissement dû à un phénomène

transitoire, en utilisant la géométrie des espaces de Riemann où la métrique ne dépend que des

coordonnées de l’espace. La démarche s’appuie sur les concepts de la relativité générale. La

solution au problème variationnel de la métrique donne les équations des géodésiques pour le

système étudié dont la solution est comparée à la réponse forcée expérimentale.

2. Energies cinétique et potentielle pour un système de points en mouvement

Soit un système de N points matériels de masses m1, m2, … chaque point se mouvant

dans l'espace ordinaire euclidien à 3 dimensions. Ils peuvent être soumis à des forces

extérieures et agir les uns sur les autres suivant des lois quelconques. Les n = 3N coordonnées

de ces N points servent à former un hyperespace à n dimensions nommé l'extension en

configuration [43, 136]. L'énergie cinétique totale T est

( )∑=k

kk zmT

2

21

. (1)

Dans cette interprétation ( )321 ,, zzz sont les coordonnées cartésiennes du premier point dont la

masse est 321 mmm == ; ( )654 ,, zzz sont les coordonnées du deuxième point avec la masse

correspondante 654 mmm == etc. Le nombre de degrés de liberté de ce système est égal à

n = 3N. Supposons que le champ de forces (if , n,,,i 21= ) agissant sur le système donne

l’énergie potentielle ( )tzzU n,,,1 telle que :

ii z

Uf

∂∂−= , ( )ni ,,2,1 = . (2)

L’énergie potentielle du système n’existe pas toujours si 2≥n . Pour que le potentiel existe, il

est nécessaire et suffisant que les égalités suivantes soient vérifiées [136]:

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 98

i

j

ji

z

f

z

f

∂∂

≡∂∂

, ( )nji ,,,, 21= . (3)

Afin de normer à l’unité la masse de chacun des N points du système mécanique, il convient

classiquement de dimensionner le déplacement yk, avec l’unité [m][kg]-1/2 en posant [43]:

kkk yzm = . (4)

L'énergie cinétique totale du système prend alors la forme simple:

jiij yyT δ

21= , (5)

et les forces extérieures deviennent :

kk y

UY

∂∂−= . (6)

Dans le cas où les différents points mobiles restent libres (sans liaisons entre eux), notre

espace contient nécessairement les r = n dimensions et reste euclidien. Ainsi le système

mécanique défini dans l’espace euclidien à trois dimensions par N points matériels est

représenté dans l’hyperespace par un seul point P de masse 1, et de coordonnées nyyy ,, 21 :

toute évolution du système peut être connue par le calcul de la trajectoire du point représentatif

P, [43, 44, 136, 177].

Supposons qu’il existe des liaisons entre les points matériels, telles que :

- des points sont assujettis à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface donnée,

- des points restent au cours du mouvement à distance fixe de certains autres points,

qui en fait sont des liaisons holonômes (liaisons telles que les équations qui les traduisent ne

font pas intervenir les vitesses) exprimées par les relations en terme fini suivantes :

( ) niyF i1,0 == . (7)

Que signifie cette condition, du point de vue géométrique? Quand on se donne une liaison (7),

on oblige le point P à rester sur une hypersurface; ce point se meut donc dans une extension

réduite, qui ne possède plus que 1−n dimensions, et qui va perdre, en général, son caractère

euclidien.

Soit n0 le nombre de liaisons. On va étudier le mouvement d'un point représentatif dans

les r = n – n0 coordonnées spatiales.

Soient les nouvelles coordonnées nrr xxxx ,,, 11 + choisies de telle sorte que les n0

dernières restent nulles 0,01 ==+ nr xx , du fait des liaisons imposées; autrement dit, ces

liaisons s'écriront:

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 99

( ) njixy jij1,, ==X . (8)

On peut résoudre les équations (8) de manière à exprimer les nyy ,,1 en fonction des

variables rjx j1, =

( ) rjnixy jii 1,1, === Y . (9)

Nous obtenons, à chaque instant t, les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons, et

dans ce cas, l’énergie cinétique devient:

dt

dx

dt

dxMT

lk

kl2

1= , (10)

avec klM la matrice de masse du système :

l

j

k

i

ijkl x

y

x

yM

∂∂

∂∂= δ , (11)

et en tenant compte des relations (6) et (9) les forces extérieures iQ dans les nouvelles

coordonnées s’écrivent :

ii

k

ki x

U

x

y

y

UQ

∂∂−=

∂∂

∂∂−= . (12)

3. Cas où des paramètres agissent sur le mouvement

Supposons maintenant que le mouvement soit influencé par n paramètres dont les effets

sont modélisés, conformément à l’approche développée au Chapitre VI, à l’aide de 1+r

dimensions complexes supplémentaires où nrr = degrés de liberté, ces axes restant les mêmes

dans tous les repères qui représentent le mouvement du système. Ainsi les dimensions de

l’hyperespace de Riemann utilisé, sont distribuées de la manière suivante :

- r axes jy− , r,,j 1= pour les n paramètres influants.

- un axe pour le temps iaty =0 ,

- r axes jy , r,,j 1= déjà définis qui représentent les degrés de liberté.

De plus, par convention: λ = rr ,,− .

Les liaisons dépendent des degrés de liberté mais aussi parfois, comme dans le cas de

frottement visqueux, de paramètres influents, et du temps, mais leurs relations ne s’appliquent

qu’aux axes des degrés de liberté :

( ) jj xy =λX , (13)

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 100

001 ==+ nr x,,x . (14)

Les nouvelles coordonnées sont affectées comme suit :

jj xyxy −− == ,00 . (15)

Les relations (15) sont valables si les paramètres ont des effets mutuels découplés. Dans le cas

général où leurs effets sont couplés (tel l’effet de la température sur la fréquence et

réciproquement) les relations (13) et (15) s’écrivent :

( ) µλµ xy =X , (16)

dont la solution de l’équation est :

( )µλλ xy Y= . (17)

Quand les points matériels sont soumis à des liaisons, les déplacements virtuels ne sont

plus complètement arbitraires, mais doivent être compatibles avec les liaisons à chaque instant

t. Autrement dit la résultante des forces d'inertie et des forces extérieures n’est plus nulle, mais

normale aux surfaces qui représentent les liaisons. Si une des relations (16) est linéaire par

rapport à toutes les variables y, elle représente un hyperplan, et définit un sous-espace de

dimension nr + qui reste encore euclidien. Mais en général, la relation de liaison n’est pas

linéaire, la surface (le sous-espace) va être courbée, et il faut utiliser la géométrie non-

euclidienne pour étudier le mouvement du point représentatif P dans cet espace courbe. Ceci

peut être illustré par l’exemple suivant.

Si un point est contraint à se mouvoir sur une sphère, la résultante des forces extérieures

et des forces d'inertie est normale à la sphère. Physiquement, on peut dire que pour maintenir la

liaison et garder le point sur la sphère, on relie ce point par une tige, avec une masse nulle et

inextensible, au centre O de la sphère, la résultante de toutes les forces va se trouver dirigée

suivant la direction de cette tige.

En résumé, l’espace plat euclidien, de coordonnées y , à nr ++1 dimensions représente

le système sans considération des liaisons, et l’espace courbe riemannien, de coordonnées x , à

dimension rr ++1 , représente le système avec considération des liaisons. Comme rn ≥ , la

dimension de l’espace plat est supérieure à la dimension de l’espace courbe en présence de

liaisons.

4. Equations de mouvement

Dans l’espace µy , l’élément de longueur ds, quantité réelle, est tel que:

νµµνδ dydyds −=2 , (18)

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 101

avec nr, −=νµ .

Dans l’espace courbé λx , l’élément de longueur est tel que :

λκκλ dxdxgds −=2 (19)

λ

ν

κ

µ

µνκλ δx

y

x

yg

∂∂

∂∂= (20)

est la métrique de l’espace courbe, voir Chapitre VI.

En absence d'énergie potentielle, la trajectoire du point représentatif du système est une

géodésique dans l'extension de configuration, considérée comme un espace de Riemann avec

courbure non nulle. En présence d’énergie potentielle, soit on la considère comme provenant de

forces extérieures à l’espace et l’énergie cinétique détermine la métrique de l’espace voir les

équations (10), (17) et (18), soit on peut encore réduire le problème mécanique à une recherche

de géodésique en remplaçant 00g par 200 2a

Ug − , [2, 10, 13, 43, 62] .

Dans le cas où il n’y a pas d’énergie potentielle et où ( ) jjijj xyxyy −− == , , on a :

=M

Ig

0

0(21)

où I , M , sont respectivement les matrices identité et de masse. Dans le cas général

( ) ( )

( ) ( )

=

µµ

µµ

xx

xx

MS

SE

g (22)

avec ( )µxE matrice de terme réels, ( )µxS matrice de termes complexes.

Ainsi donc pour modéliser n’importe quel système mécanique, il suffit de minimiser la

distance entre deux positions du point représentatif P de l’espace non-euclidien.

- soit la distance :

∫∫ =

dpdp

dx

dp

dxgdp

dp

ds λκ

κλδδ (23)

- soit le carré de la distance

∫∫ =

dpdp

dq

dp

dqgdp

dp

ds λκ

κλδδ2

(24)

Remarque 1 : L’équation (24) généralise la minimisation du principe de Hamilton qui donne les

équations de Lagrange.

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 102

Remarque 2 : Dans le cas où p = s, (le paramètre utilisé est le temps propre), les deux méthodes

représentées par les relations (23) et (24) sont équivalentes, voir §8.4 du chapitre V, voir aussi

[2, 115].

L’utilisation de la relation (23) donne les équations du mouvement qui se réduisent dans

un espace de Riemann à l’équation des géodésiques:

( ) λνµ

λµν

λ

σ=Γ+dp

dx

dp

dxx

dp

xd2

2

, (25)

( )

∂∂

−∂∂

+∂

∂=Γ σ

µνµνσ

νµσλσλ

µν x

g

x

g

x

ggx

2

1, (26)

est le symbole de Christoffel de deuxième espèce et où

=

dp

dxgg

s

s ν

νµλµλσ

, (27)

est la force qui provient du paramètre p, et où

2

2

==dp

sds

dp

dss , (28)

L’équation du mouvement devient :

λλλλλλλλ

σ=Γ+

Γ+Γ+

Γ+Γ+Γ+

dp

dx

dp

dx

dp

dx

dp

dx

dp

dx

dp

dx

dp

dx

dp

dx

dp

dx

dp

dx

dp

xd ij

jii

i

i

j

ji

ji

ij

00

00

0

0

0

02

2

22 (29)

Ici ( ) ( ) ( )rrriri ,,,1,,1 −∈∈−∈ λ

Les termes de la relation (29) représentent des forces qui agissent sur le système selon l’axe kx :

- 2

2

dp

xd λ

: forces d’inertie,

- dp

dx

dp

dx ji

ijλΓ : forces gyroscopiques,

- dp

dx

dp

dx

dp

dx i

i

j

ji

Γ+Γ

0

02 λλ : forces de dissipation,

- dp

dx

dp

dx

dp

dx ij

jii

Γ+Γ λλ

0

02 : effets réciproques des paramètres et de temps

- dp

dx

dp

dx 00

00λΓ : les forces extérieures

- λσ : forces dues à la nature du paramètre.

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 103

5. Exemple d’illustration

L’objectif est d’obtenir l’expression analytique de l’amortissement induit par le repère de

travail.

5.1 Forme de la métrique

Soit un système mécanique à r degrés de liberté, avec une force extérieure ( )tieFF φ0= ,

et soit un seul paramètre influent ( 1=n ) relatif à la fréquence du mouvement. Soit un repère

jq qui rende les matrices de masse et de raideur diagonales. Les énergies potentielle et

cinétique de ce système deviennent alors :

( ) ( )rjj q,,q,qWqU

1022

2

1 −Ω= , et jiij qqT δ

2

1= (30)

où ( )rqqqW ,,, 10 est le travail des forces extérieures par unité de masse ( )tf j :

( )jj dq

dWtf = . (31)

L’espace de travail est donc constitué

- de r axes 1−− q,,q r supplémentaires qui représentent l’action du paramètre fréquence

sur chaque degré de liberté, (un axe pour chaque degré de liberté rnrr =×= ,

- de l’axe iatq =0 , représentant le temps,

- de r axes, rq,,q 1 , un axe par degré de liberté.

Pour faciliter le calcul et trouver une solution analytique, il s’agit d’introduire l’hypothèse que

tous les axes supplémentaires sont confondus :

11 −+−− === qqq rr , (32)

donc on va étudier un système à r degrés de liberté, et sa métrique est fonction de 1−q :

ρθiq =−1 , (33)

θρ ids

dq =−1

, (34)

où θ est la fréquence du mouvement rapportée à la fréquence donnée Ω , telle que par

exemple

=

φφθθ

, comme φφ

θ

Ω=

ou ( )

+−Ω=

φφδδθ

t1 avec δ constante, .…. [10].

La métrique µνg qui représente l’énergie cinétique dans l’espace du mouvement prenant

en compte l’influence du paramètre 1−q , peut être alors construite sur la base de la métrique

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 104

plate µνδ et de la métrique diagonale prenant en compte un petit terme de perturbation

( )1−qijγε :

( )1−+= qg µνµνµν γεδ . (35)

Pour introduire l’énergie potentielle, comme indiqué au § précédent, ( )10000 1 −+= qg γε est

remplacé par ( ) ( ) ( )2

011

0000

,21

a

qqUqHqg

j−− ++= γε , la métrique de l’espace du mouvement

s’écrit alors :

+

+

++

+

=

−−

rr

a

UH

g

γε

γε

γε

γε

10000

0

0100

00210

001

11

200

11

. (36)

5.2 Expression de l’amortissement

L’équation des géodésiques concernant l’axe 0q s’écrit :

( ) ( ) 022

121 2

002

12002

00

00 =

∂∂+

∂∂+

+′+++

+ ∑−

k

kk

qq

U

a

Hq

x

U

a

Hq

a

UH

aHU

qq

γε

γε, (37)

le prime est la dérivée par rapport à 1−q , comme le point est la dérivée par rapport à s. Une

première intégration de l’équation (37) par rapport à s donne :

( )

( )( )∫

++= ++

∂∂ds

aHU

qaqUH

eaHU

Aq

200

020

212

00

00

21γε

γε

. (38)

Comme a est grand ( )ε1Oa ∝ , les termes divisés par a² sont négligés et le plus grand terme de

l’équation (38) devient :

00

00

1 γε+≈ A

q . (39)

L’équation des géodésiques concernant l’axe 1−q est :

( )( )

( )( )

( )( ) 01

1

2

1

1

21

2

1

1

1

2

12

11

20

11

200

21

11

112

12

=

+

′+−

+′+′+−

+

′++ ∑−−−−

−−

−−−

k

kkk

ds

dq

ds

dqaUH

ds

dq

ds

qd

εγεγ

εγεγ

εγεγ . (40)

En utilisant la relation (39) et en sachant que iatq =0 , la relation (40) s’exprime en fonction de

t par :

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 105

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) 01

1

2

1

1

21

2

1

1

1

1

1

2

12

1111

00221

00

00

11

112

12

=

+

′+−

+′+′+

+

+

′+−

+

′++ ∑

−−−−

−−

−−−

k

kkk

dt

dqUHa

dt

dq

dt

qd

εγεγ

εγεγ

εγεγ

εγεγ . (41)

Il est à remarquer que l’équation (41) peut être remplacée par l’intégrale première suivante

(donnée par 2ds ) :

( ) ( ) ( ) 112

11220

200

21

11 =

+−

++−

+− ∑

−−k

k

kk ds

dq

ds

dq

a

HU

ds

dq εγεγεγ . (42)

L’équation des géodésiques selon l’axe jq

( )0

11

1 2021

2

2

=

∂∂

+−

+

′++

ds

dq

x

UaH

ds

dq

ds

dq

ds

qdj

jj

j

jj

jjj

εγεγεγ

, (43)

peut, en utilisant les équations (39), s’écrire sous la forme :

0111

1

00

100

1

2

2

=∂∂

++

+

∂∂−+

∂∂+

−−−

jjj

j

jj

jjj

q

UH

dt

dq

dt

dqqq

dt

qd

εγεγγ

εγγ

ε . (44)

A partir de l’expression (30) de l’énergie potentielle U, et en prenant en compte (31), il vient :

jj

jjfq

q

U −Ω=∂∂ 2 . (45)

En tenant compte des relations (33) et (45) et de jjjjj mk=Ω2 , l’équation (44) devient :

jjjjj

jjj

jj

j

jjjj

jjj

jj fmH

qkH

dt

dqm

dt

d

dt

qdm

εγεγθ

εγθγ

εγθγ

ε+

=+

+

+

∂∂−+

∂∂+

1111 00

002

2

. (46)

Or l’amortissement s’exprime sous une forme classique qui dépend de la masse et la fréquence:

jjjjjj mc Ω= α2 , (47)

qui mise en parallèle avec l’expression de l’amortissement donnée dans la relation (46)

impose :

jjjj

jj

dt

d Ω=

+

∂∂−+

∂∂αθ

εγθγ

εγθγ

ε 211 00

00 , (48)

Le terme obtenu (48) ne dépend pas de la masse. L’amortissement est un phénomène

métrique mis en évidence par la faible courbure de l’espace due à la fréquence du mouvement.

5.3 Détermination des termes de la métrique

Dans l’équation des géodésiques (41) et (46) les fonctions ( )1−qγ sont inconnues et il

reste à les déterminer pour avoir les équations du mouvement.

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 106

Tout d’abord une métrique plate (par exemple espace de Minkowski), condition la plus

simple dans l’espace-temps-fréquence, est retenue [10, 13]. Le tenseur de Riemann αλµνR est

alors nul et le problème de l’amortissement ne s’explique pas. Si l’espace est légèrement

courbé, la condition de platitude est affaiblie, le tenseur de Ricci est nul 0=µνR . La nullité du

tenseur de Ricci exprime le «maximum d’indépendance entre les coordonnées», ou encore la

faible courbure de l’espace. En relativité générale, cela correspond aux équations de champ

d’Einstein en espace libre.

Le tenseur de Ricci associé à la métrique (36), est calculé par la relation:

σµν

λσλ

σµλ

λσνσ

σµν

ν

σµσ

µν ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂

−∂Γ∂

=xx

R . (49)

Après simplifications, les éléments non nuls du tenseur de Ricci ont pour formes :

′+

′′+

′+

′41−

′′+

′′21= ∑∑∑

0

0

1−

1−

22

0

0

0

01−1−

j j

j

j j

j

j j

j

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GR , (50)

( )( )

∂∂−∂∂

′+

′−

′+

′−

′′′′

= ∑∑ −

− j

j

jjj j

j

G

qG

q

G

GG

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GR

0

2

02

02

0

1

0

0

1

1

0

0

1

000 2

1

44

1

2

1, (51)

( )

′−

∂∂−

∂∂

′−

′+

′−

′−

′′′′

= ∑−

− k k

kjj

jj

j

j

jjjj G

G

q

G

Gq

G

GG

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GR

2

020

20

2

0

1

0

0

1

1

1

122

4

1

2

1, (52)

j

j

jjjjj q

G

q

G

GGq

G

q

G

Gqq

G

GRR

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂−

∂∂∂== −−−−−

01

0

010

20

10

2

011 4

14

121

, (53)

kjkjkjjk q

G

q

G

Gqq

G

GRR

∂∂

∂∂−

∂∂∂== 00

20

02

0 41

21

, pour kj ≠ . (54)

Avec :

( ) ( )111

11 1 −

−−−

− += qqG γε , (55)

( ) ( ) ( ) ( )2

011

000

,21

a

qqUqHqqG

j−− ++= γελ , (56)

( ) ( )11 1 −− += qqG jjj γε . (57)

Dans le but d’obtenir une solution analytique des équations 0=µνR , il est nécessaire de

négliger les termes divisés par 2a ce qui annule les termes extra-diagonaux du tenseur (53) et

(54). Seuls les termes diagonaux du tenseur de Ricci (50), (51) et (52) restent non nuls et

prennent les expressions :

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 107

′+

′′+

′+

′41−

′′+

′′21≈ ∑∑∑

0

0

1−

1−

22

0

0

0

01−1−

j j

j

j j

j

j j

j

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GR , (58)

′−

′+

′41−

′′′

21′

≈ ∑0

0

1−

1−

0

0

1−

000

j j

j

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GR , (59)

′−

′+

′−

′−

′′′′

≈ ∑−

− k k

k

j

j

j

jjjj G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GR 2

41

21

0

0

1

1

1

. (60)

Le terme 00G se simplifie également :

( ) ( )1000 1 −+≈ qqG γεµ . (61)

Il reste donc r+2 équations ; l’équation (59) s’intègre et donne

∏−λ=′

kkG

GGG 01

02

0 , (62)

où 0λ est une constante d’intégration. Les équations (60) s’intègrent et se réduisent à

∏−λ=′

kk

jjj GG

GGG

0

212 , (63)

où jλ sont des constantes d’intégration. La relation (63) divisée par le terme (62), supposé non

nul, donne 000 G

G

G

G jjj

λλ

=′′

, qui par intégration devient:

0

0λλ= jGAG jj , (64)

où jA sont des constantes d’intégration. Il y a plusieurs familles de solution qui rendent nuls

les termes de Ricci (58) à (60). Il est choisi la famille de solution suivante:

( ) ( )( ) 010

10 1

bqhBqG −− ε+= , (65)

où 00 b,B sont des constantes d’intégration. A partir de la relation (64) il vient :

( ) ( )( ) jb

jj qhBqG 11 1 −− += ε , (66)

où jj b,B sont des constantes d’intégration. Les relations (65) et (68) sont introduites dans

l’équation (58) qui prend alors la forme simplifiée :

( ) ( )( ) ( )( )

′−′ε+

″ε++ε+

′ε+−

+

ε+

′ε+=−

−−−− ∑

1

11011

1

12

11

211

41

G

G

h

h

h

hbbb

h

hR

kk . (67)

Comme 11−−R est nul la résolution de l’équation (67) par rapport à 1−G donne :

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 108

( )( )2211

11 −−−

−+′= bhhBG ε , (68)

où 1−B est une constante d’intégration et où :

∑∑

+

+=−

kk

kk

bb

bbb

0

220

1 . (69)

Il est clair que si h est une constante alors 0=1−G , c’est à dire que la dimension ajoutée a

disparu. Le calcul des termes du tenseur de Ricci (58), (59) et (60) prenant en compte les

expressions des fonctions ( )1−qGµ , données par les relations (65), (66) et (68), impose que les

constantes d’intégration b doivent vérifier la relation suivante :

( ) 0=Ψ b , (70)

( )

+−

+=Ψ ∑∑

kk

kk bbbbb 22

0

2

0 . (71)

5.4 Equations du mouvement

Après avoir effectué les simplifications la fonction H a disparu du tenseur de Ricci. Mais

comme elle est nécessaire dans l’équation du mouvement (elle est relative à l’évolution de

l’amplitude de force extérieure avec la fréquence) il s’agit de lui affecter une forme qui

respecte une homogénéité par rapport aux autres termes de la métrique, voir par exemple la

relation (66):

( ) HbhH ε+= 1 . (72)

Quand il n’y a pas d’influence de la fréquence sur le mouvement, 0=h , et une métrique plate

nécessite : 1,10 == kBB . D’après les relations (55), (57), (61), (65), (66) et (68) et prenant en

compte les relations (69, 70, 71), les équations des géodésiques (41) et (44) s’écrivent :

02

21

2

121

2

210

2

1

221

012

12

11

0

=

−′

′+′+

−−+

′′′

+ ∑ −−

++

k

k

b

bk

b

b

dt

dqbUHba

Bdt

dqbb

dt

qd k

ζζζ

ζζζζζε

ζζ

ζζ , (73)

( ) ( )0

1

02

2

=∂∂+

′−+ −

j

bbj

j

j

q

U

dt

dq

dt

dqbb

dt

qd jHζζζ

, (74)

où ici ( ) ( )11 1 −− += qhq εζ . Donc la métrique dans l’espace du mouvement devient :

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 109

( )( )

( )

( )

+

+

++

+′

=

−−

rb

b

b

b

h

ha

UHh

hhB

g

ε

ε

ε

ε

10000

0

0100

002

10

0001

1

0

1

2

221

. (75)

Pour déterminer la fonction ( )1−qh , on prend comme jauge la condition 111 =−−g , [18, 63]. En

fait c’est une normalisation de la métrique par rapport à la variable supplémentaire :

( ) 11 221

1 =+′ −−

−bhhB ε (76)

En supposant qu'il n'y a aucune perturbation initiale à 01 =−q , la solution de l’équation (76) est

comme suit :

( )12

1

1

11

211

εσ+=ε+ −

−−b

qB

bqh (77)

où 1±=σ . Si seul le premier ordre en ε de la série de Taylor des équations des géodésiques

(73) et (74) est retenu, il vient :

021

21

2

20

21

0

12

12

=

+

+−

εσ− ∑

k

k

kH dt

dqbUbab

dt

dqb

Bdt

qd(78)

( ) ( ) 0111

02

2

=∂∂

θ−σερ++θσερ−+

−−jjH

j

j

j

q

Ubb

B

i

dt

dq

dt

d

B

ibb

dt

qd ; (79)

L’équation (79) laisse apparaître le coefficient d’amortissement suivant :

( ) jjjj mB

ibbC θσερ−=

1

0 . (80)

Dans le cas particulier d’une fréquence constante on trouve que θ se réduit à la vitesse de

référence Ω , et dans ce cas, on sait que jjjjj mC Ω= α2 , alors on trouve la relation suivante :

ΩΩ

+= − jjj i

Bbb

σερα 1

0

2, (81)

donc on a n équations correspondant à chacun des degrés de liberté ; et en utilisant l’équation

(71), on peut trouver 0b :

( ) ( )

Ω++

Ω−+Ω−

Ω+= ∑∑∑

===

−r

kkk

r

kkk

r

kkk rrrr

i

B

rrb

1

22

2

11

10 1

1

1

2 ααασερ

, (82)

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 110

et jb devient donc :

( ) ( )

Ω+

Ω++

Ω−+Ω−

+Ω= ∑∑∑

===

−jj

r

kkk

r

kkk

r

kkkj rrrr

rri

Bb αααα

σερ 1

22

2

11

1 1112

. (83)

En utilisant les relations (82) et (83), la relation (69) donne b-1. Ainsi les équations du

mouvement (78) et (79) sont déterminées à l’exception du paramètre ρ, défini par la relation

(33) et le chapitre suivant indique comment il peut être estimé.

6. Réductions des axes supplémentaires à un axe (axe du temps)

Ce qui précède montre que travailler avec des axes supplémentaires correspondant aux

paramètres influents est lourd.

Pour les systèmes à liaisons holonomes variables dont le mouvement est influencé par des

paramètres qui dépendent du temps, il est intéressant de réduire le nombre des paramètres, au

seul paramètre temps, et ainsi ne travailler qu’avec un axe supplémentaire.

6.1 Forme de la métrique

En utilisant la méthode géométrique précédente, l’équation de l’intervalle ds (19)

devient:

jiij

ii

jiji

ii

jiji dxdxgdxdxgdxdxgdxdxgdxdxgdxdxgds −−−−−−= −

−−

−−−

−−0

000

000

02 222 , (84)

comme chaque paramètre dépend du temps, alors on peut écrire :

dtaidx =0 , (85)

dtxdx jj −= , (86)

dans le cas où il y a une énergie potentielle on sait qu’il faut remplacer 00g par la quantité

( )200 2

a

UxHg j−− . Maintenant si la métrique dépend des coordonnées jx− , alors elle dépend de

t, la relation (84) devient :

jiij

ii dxdxdtdxdtdtds GGG ++= 000

2 2 , (87)

−= 2

200

21

c

UcG , (88)

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 111

00 ij

jii iagxg −−= −− G , (89)

ijji g−=G , (90)

ii

jiji xgiaxxggac −

−−−

−− −−=

00022 2 . (91)

Comme les termes µνg dans l’intervalle ds sont sans dimension, a étant une grande

quantité, alors c, quantité réelle positive, représente une vitesse qui n’est plus constante.

En notant que les indices latins vont de 1 à r et grecs de 0 à r (r : nombre de degrés de

liberté de système), et que le nouveau système a pour coordonnées λy où jj xyty == ,0 , la

relation (87) prend la forme :

( ) νµλµν dydyyds G=2 , (92)

et la métrique donnée par la relation (22) devient :

−−

−−

=

rrrr

r

r

MM

MMc

Uc

10

11110

00122 2

1

G

G

GG

G , (93)

comme précédemment, la trajectoire du point représentatif du système est une géodésique dans

l'extension en configuration, considérée comme un espace de Riemann avec courbure non

nulle.

6.2 Equations de mouvement

Les équations du mouvement sont les équations des géodésiques dans un espace de

Riemann, où l’intervalle est donné par la relation (92) et la métrique par la relation (93).

Trouver les équations des géodésiques exige de minimiser la distance entre deux points dans

l’espace de Riemann [43]:

∫∫ =

dpdp

dy

dp

dydp

dp

ds νµ

µνδδ G , (94)

donc les équations de mouvement sont données par :

( ) kkk

dp

dy

dp

dyy

dp

yd σνµ

µν =Γ+2

2

, (95)

( )

∂∂

−∂∂+

∂∂

=Γ λµν

µλν

νλµλ

µν yyyy kk GGG

G21

, (96)

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CHAPITRE VII - L’AMORTISSEMENT, PHENOMENE METRIQUE

PARTIE II 112

est le symbole de Christoffel de deuxième espèce, où

=dp

dx

s

s rrν

νµµσ GG

, (97)

est la force qui provient du paramètre s, et où

2

2

==dp

sds

dp

dss , . (98)

L’équation du mouvement devient :

ki

i

ji

ij dp

dy

dp

dy

dp

dy

dp

dy

dp

dy

dp

dy

dp

yd σλλλλ

=Γ+Γ+Γ+00

00

0

02

2

2 (99)

Le premier terme de l’équation (99) représente la force d’inertie, le deuxième les forces

gyroscopiques, le troisième la force de dissipation, et le dernier terme est la force extérieure qui

agit sur le système selon l’axe λx .

Ainsi donc, la méthode de l'espace-temps à r + 1 dimensions réussit parfaitement dans ce

problème très général, avec liaisons holonomes dépendant du temps, et énergie potentielle.

7. Conclusion :

Il a été montré qu’un paramètre extérieur (variation de la fréquence, variation de la

température, …. ) qui déforme le repère de travail crée l’amortissement, qualifié

d’amortissement de repère. Ainsi un repère de travail judicieusement choisi permet d’éliminer

ce type d’amortissement.

Trouver analytiquement les fonctions de la métrique dans un espace de forte courbure est

généralement très difficile. Il faut avoir recours à la résolution numérique. Avoir l’expression

analytique de l’amortissement nécessite cependant d’utiliser un espace de faible courbure et des

l’hypothèse simplificatrice

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 113

APPLICATIONS

La théorie établie au chapitre précédent est appliquée à 3 systèmes mécaniques:

- Système à un ddl

- Système à 3 ddl

- Système continu : poutre en flexion.

1. Système à un degré de liberté

1.1 Equations du mouvement

Soit un système à un degré dont les paramètres sont présentés dans le tableau 1. Le

repère de travail a pour axes uq =1 le déplacement, et 01,qq− . Par hypothèse les raideur et

masse totales rapportées à l’axe u sont respectivement k et m. La pulsation référence est alors :

mk=Ω=Ω 1 . La force extérieure f(t) agit suivant u. L’énergie potentielle totale par unité

de masse s’écrit [10, 13] :

−= ufukm

U 2

211

. (1)

Pour r = 1, les équations (VII-69), (VII-82) et (VII-83) donnent :

Cα21 =−b , 00 =b , et Cα21 =b , (2)

avec :

ρεσ i

B 11 −=C ,

où α est le facteur d’amortissement mesuré en régime stationnaire par la méthode de la

largeur de bande. Si on prend ( ) 11 bhH ε+= (l’influence du mouvement sur l’énergie

potentielle est négligée), les équations couplées des géodésiques pour les axes 11,qq− (VII-

78) et (VII-79) deviennent avec r = 1 :

( ) 021

21

2 222 =

−−− umutfukm

αθρ , (3)

( )tfukumum =++ θα2 , (4)

qui sont munies des conditions aux limites

( ) ( ) ( ) ( ) Ω===== ntuuuut θθ ,00,0,0,0 00 , (5)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 114

tn étant le temps où la pulsation correspond à la pulsation propre. La dernière condition (5)

nécessite l’utilisation de méthodes d’intégration numérique type méthode de tir, méthode des

différence finies, méthode des éléments finis,…

Dans l’équation (3), la constante ρ demeure inconnue. Pour avoir une valeur

approximative l’équation (3) peut s’écrire sous la forme

( ) tm

dttuu δθρα

2

2,, −=∫ L . (6)

En vertu du principe de moindre d'action le deuxième membre de l’équation (6) doit

être nul. Ceci implique 0=θ ou )(ερ Ο= . La première solution, en considérant l’équation

(4), signifie que l’amortissement est constant, contrairement aux résultats expérimentaux. La

dernière solution est ainsi retenue. La constante ρ doit être très petite. Dans l'application

suivante elle est comprise dans [ ]66 10.6,10.4 −− .

1.2 Validation expérimentale du modèle

La Figure 1 présente le dispositif expérimental utilisé pour l'application. Il s’agit d’un

système masse-ressort à 1ddl basé sur le principe d’un pendule composé plan soumis à la

gravité et à un moment de rappel introduit par un ressort. La force d’excitation est fournie par

un pot électrodynamique positionné en lf et mesurée par un capteur d’effort piézo-électrique.

Un capteur à courant de Foucault mesure le déplacement à l’abscisse ld

Fig. 1. Dispositif expérimental

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 115

La force extérieure a une fréquence variable qui croit de 0 à 150 Hz et est tracée sur la

Figure 2.

Fig. 2. Force d’excitation

ld (m) 0.055lf (m) 0.167lm (m) 0.235m (kg) 23.28k (N/m) 528840

α 0.002Cd (N.s/m) 14.04

νn (Hz) 24.0Tableau 1. Paramètres du système

Dans le cas de modèle classique où (avec modèle classique d'amortissementΩ=θ ), la

Figure 3 compare les réponses calculée (Runge-Kutta 4) et expérimentale et montre un écart

après le phénomène de résonance.

Fig. 3. Réponses calculée (modèle classique) et mesurée

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 116

Dans le cas du modèle proposé décrit par les équations (3) et (4), la méthode de tir

(méthode Runge-Kutta d'ordre 4, et correction par méthode de Newton–Raphson) est utilisée

avec un pas de temps de 0.4ms correspondant à 1/16 de la plus grande fréquence [53, 56, 70,

74]. La réponse calculée est comparée sur les Figures 4 et 5 à la réponse expérimentale.

Fig. 4. Réponses calculée (modèle proposé) et

mesuréeFig. 5. Zoom de la Figure 4

L’écart observé est faible et rend le modèle très satisfaisant. À chaque pas du temps il est

facile de tracer tout l'amortissement associé, qui est comparé, sur la Figure 6, à

l'amortissement classique 02 ωα m .

Fig. 6. Amortissement variable (modèle proposé) et constant (modèle classique02 ωα m )

La Figure 7 décrit l'évolution dans le temps de la variable θ , qui est très petite à l'instant du

phénomène de résonance et à l'évolution linéaire t0ω qui correspond à l'amortissement

classique θα m2 .

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 117

Fig. 7. Evolution de θ (t) Fig. 8. Evolution du Lagrangien L(t)

La Figure 8 présente l’évolution de la valeur du Lagrangien au cours de temps qui est

importante autour de la résonance. Compte tenu des équations couplées (3) et (4), il s’ensuit

une variation d’amortissement importante autour de la résonance.

2. Système à trois degrés de liberté

2.1 Modèle classique

Le système mécanique étudié est composé de trois pendules dans le plan reliés entre eux

par des ressorts, Figure 9.

ressort

o

pe

san

teu

r

Mlf

o o

ressort ressort

M

Déplacement

Force

Barre

Tige

ld ls

lm

M

Fig. 9. Système à 3 DLL

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 118

Distance du capteur de déplacement de l’axe de rotation ld 0.3738 m

Longueur de tige Lt 0.4000 m

Distance de la masse de l’axe de pendule lm 0.3270 m

Distance de la barre de l’axe de pendule lb 0.3623 m

Distance de la force de l’axe de pendule lf 0.3623 m

Distance du ressort de l’axe de pendule ls 0.3900 m

Longueur de l’axe de rotation La 0.0900 m

Longueur de la barre Lb 0.2400 m

Rayon de l’axe de rotation ra 0.0075 m

Rayon de la masse rm 0.0250 m

Masse concentrée M 0.8600 kg

Masse de la barre Mb 0.0400 kg

Masse du ressort Ms 0.0800 kg

Masse de la tige Mt 0.3333 kg

Masse de l’axe de rotation Ma 0.1200 kg

Constante de première ressort K1 10500 N / m

Constante de deuxième ressort K2 10500 N / m

Constante de troisième ressort K3 10500 N / m

Facteur d’amortissement modal α1 0.0010

Facteur d’amortissement modal α2 0.0018

Facteur d’amortissement modal α3 0.0024

Accélération de la gravité g 9.81 m / s2

Tableau 2. Variables et paramètres du système à 3 DLL

Dans le système d’axes classiques 321 ,, xxx , les équations de mouvement s’écrivent :

( )tFVxKxM =+ , (7)

où M, K sont les matrices du système

+

+

+

=

2

23

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

21

32

6

10

6

132

6

1

06

132

d

ss

d

ss

d

ss

d

ss

d

ss

d

ss

d

ss

l

lmI

l

lml

lm

l

lmI

l

lml

lm

l

lmI

M , (8)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 119

+−

−++

−++

=

2

233

2

23

2

23

2

23

222

2

22

2

22

2

22

211

0

0

d

s

d

s

d

s

d

ss

d

s

d

s

d

ss

l

lkgQ

l

lkl

lk

l

lklkgQ

l

lkl

lk

l

lklkgQ

K , (9)

( ) tdf llV 00= , (10)

222221 2

1

4

1

3

1bbaamml lmrmlrmlmI ++

++= , (11)

222232 2

1

4

1

3

1aamml rmlrmlmII +

++== , (12)

221 2

1bbbsslm LlmlmlmlmQ ++++= , (13)

sslm lmlmlmQQ ++==2

132 . (14)

Les paramètres de système sont donnés par le tableau 2.

Pour introduire l’amortissement notamment par mesure de largeur de bande, il est

commode de travailler dans une base modale. La matrice des vecteurs propres, les pulsations

et fréquences propres du système sont alors jj ,, ΩνΦ telles que :

−−=Φ

3992.06592.00.7957

0.82250.30940.6425

0.6050-0.79950.3592

, (15)

Hz6008.33,Hz9567.22,Hz2562.8 321 === ννν , (16)

s

rad1199.211,

s

rad2409.144,

s

rad8751.51 321 =Ω=Ω=Ω . (17)

Le changement de variable :

( ) ( )tqtx Φ= (18)

introduit dans les énergies cinétique et de déformation et dans le travail virtuel donne les

équations modales:

( )tFVqKqM ttt Φ=ΦΦ+ΦΦ (19)

ou bien

( )tFVqKqM tΦ=+ modmod (20)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 120

=

100

010

001

modM ,

ΩΩ

Ω=

23

22

21

mod

00

00

00

K ,

−=Φ

5864.0

7749.0

3482.0

Vt . (21)

La force appliquée est montrée sur la Figure 10.

Fig. 10. Force d’excitation ( Hz500− )

En régime stationnaire (fréquence constante), les équations modales permettent

d’introduire une matrice d’amortissement modal telle que :

ΩΩ

Ω=

33

22

11

mod

200

020

002

αα

αC (22)

et qui prend place dans le système matriciel (20). La Figure 11 compare réponses calculée et

expérimentale. L’écart est significatif notamment après la première résonance.

Fig. 11. Déplacements calculé (modèle classique) et mesuré

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 121

2.2 Modèle proposé

En régime transitoire (fréquence variable), la méthode proposée permet de quantifier

l’amortissement. Pour cela, le repère est doté de plusieurs axes : un axe pour le temps

iatq =0 , et trois axes pour chaque dégrée de liberté :

11

1 θρiq =− , 22

2 θρiq =− , 33

3 θρiq =− . (23)

Variante 1

On suppose que les trois variables (23) correspondant à la fréquence sont égales à la

seule variable θρiq =−1 , voir aussi l’équation (VII-32). Dans ce cas pour établir les

équations de mouvement il faut calculer les constantes d’intégration b des relations (VII-69),

(VII-82) et (VII-83):

C0044.01 =−b , C0008.00 −=b , C0004.01 −=b , C0017.02 =b , C0040.03 =b , (24)

avec

ρεσ i

B 11 −=C . (25)

Si on prend

( )3213

1bbbbH ++= , 3Ω=Ω , (26)

on obtient les équations du mouvement à partir des relations (VIII-78) et (VII-79) :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

023.89.16.136

5.3920441830009.23664100008.0

232221321

2322212

2

42 =

++−−++

+−−−++

qqqtFqqq

qqqa

ρθθ , (27)

( ) ( ) ( )tFqqq θθθ 0021.013482.00021.0192.26900005.0 111 +=+++ , (28)

( ) ( ) ( )tFqqq θθθ 0001.017749.00001.0135.208040025.0 222 −=−++ , (29)

( ) ( ) ( )tFqqq θθθ 0022.015864.00022.0176.445690048.0 333 −−=−++ , (30)

avec les conditions suivantes

0,0,00 ===⇒= jj qqt θ , (31)

33 Ω=⇒= θtt , (32)

où t3 est le temps qui correspond 3Ω=ω . La solution des équations (27) à (30) pour a = 5000

m/s, 6104.8 −×=ρ m, est montrée sur la Figure (1), et les résultats sont insatisfaisants, ce qui

peut être dû aux choix suivants :

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 122

- Choix d’un tenseur de Ricci nul, (pour plusieurs ddl)

- Choix de la famille de solutions de l’équation de la métrique (VII-65, 66 et 68),

- Choix des axes supplémentaires égaux,

- Choix de la jauge prise pour calculer la fonction ( )1−qh de l’équation (VII-76).

Fig. 12. Déplacement calculé (variante 1) et mesuré

Variante 2

Ici les trois variables supplémentaires demeurent indépendantes. Comme les équations

issues de l’annulation du tenseur de Ricci sont difficiles à résoudre analytiquement, on va

considérer chaque ddl comme un système indépendant afin d’appliquer la méthode proposée à

chaque degré de liberté. Il s’agit donc d’établir 6 équations correspondant aux variables

321123 ,,,,, qqqqqq −−− , les constantes b étant calculées par les équations (VII-69), (VII-82) et

(VII-83) :

00 =b , 1111 2 Cα== −bb ., 2222 2 Cα== −bb , 3333 2 Cα== −bb , (33)

j

j

j i

B

ρεσ−= 1

C , (34)

si on prend pour chaque degré de liberté la pulsation référence jΩ=Ω et jH bb = alors :

( ) ( ) ( ) 02

13482.046.1345

0019.0 2112121

1 =

++−+ qtFqq

ρθ , (35)

( ) ( ) ( ) 02

17749.017.10402

0037.0 2222222

2 =

++−+ qtFqq

ρθ , (36)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 123

( ) ( ) ( ) 02

15864.088.22284

0048.0 2332323

3 =

+−−+ qtFqq

ρθ , (37)

( )tFqqq 3482.092.26900019.0 1111 =++ θ , (38)

( )tFqqq 7749.035.208040037.0 2222 =++ θ , (39)

( )tFqqq 5864.076.445690048.0 3333 −=++ θ , (40)

avec les 12 conditions suivantes

0,0,00 ===⇒= jjj qqt θ , (41)

jj

jtt Ω=⇒= θ , (42)

où tj est le temps qui correspond jΩ=ω . Les constantes jρ demeurent inconnues mais

petites (voir le cas du système à un ddl). La simulation est effectuée pour les valeurs

61 105.3 −×=ρ , 6

2 106 −×=ρ , 63 103 −×=ρ . Il est à noter qu’une variation 6101 −×± de jρ ne

modifie pas significativement les résultats.

Dans le cas du modèle proposé décrit par les équations (35) à (40), munies des

conditions (41) et (42), l'intégration numérique en temps utilise la méthode de tir (Méthode de

Runge-Kutta d'ordre 4 et de correction par méthode de Newton–Raphson) et un pas de temps

de 0.00053s, voir [52, 53, 56, 70, 74, 154]. La réponse calculée (variante 2) est comparée sur

la Figure 13 à la réponse expérimentale, voir également les zooms présentés Figure 14.

Fig. 13. Déplacements calculé (variante 2) et mesuré

L’écart observé est faible et rend le modèle satisfaisant au passage des deux premiers

phénomènes de résonance. A titre indicatif, les réponses des variables modales sont montrées

sur la Figure 15. À chaque pas du temps il est facile de tracer tout l'amortissement associé, qui

est comparé sur la Figure 16 à l'amortissement modal classique jj Ωα2 .

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 124

Fig. 14. Zooms des déplacements calculé (variante 2) et mesuré

Fig. 15. Réponse des variables modales Fig. 16. Amortissements calculés (variante 2)

et mesurés

La Figure 17 compare l'évolution temporelle de la variable θ , à l'évolution linéaire tjΩ

correspondant à l'amortissement classique jj Ωα2 .

Fig. 17. Evolution de θ (t) et Ω t

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 125

3. Système continu : poutre en flexion

3.1 Modèle élément fini de poutre

Soit une poutre en flexion. Le module de rigidité EI , la section s, la longueur L et la

masse volumique de la poutre ρ sont supposés constants. L’équation d’Euler-Bernoulli

gouvernant le mouvement est [73, 88, 105] :

( )txqx

vEI

t

vs ,4

4

2

2

=∂∂+

∂∂ρ , (43)

avec

( )txvv ,= , le déplacement transversal de la poutre,

( )txq , , la charge distribuée sur la poutre.

D’une façon générale, nombre de structures industrielles se modélisent avec la méthode

des éléments finis. Aussi dans le cas présent de la poutre, dont le mouvement est décrit par la

forme locale utilisant l’équation aux dérivées partielles (43), est mise en œuvre une méthode

résiduelle avec pour fonction de pondération ( )xw et pour résidu qx

vEI

t

vs −

∂∂+

∂∂ρ 4

4

2

2

. La

relation d’orthogonalité s’écrit alors :

∂∂+

∂∂=

L

dxwqx

vEI

t

vs

04

4

2

2

ρI , (44)

et dont la forme faible obtenue par deux intégrations par partie successives [141, 183]. De

plus si le domaine est divisé en n sous-domaines de longueur identique l, Figure 18, la forme

faible de la relation (44) devient :

001

=

∂∂−+= ∑

=

Ln

e

e

x

wMwVII , (45)

avec

∫∫∫ −∂∂

∂∂+

∂∂=

lll

e dxwqdxx

w

x

vEIdxw

t

vs 2

2

2

2

2

2

ρI , (46)

et V, M, la force de cisaillement et le moment de flexion donnés par :

3

3

x

vEIV

∂∂= , 2

2

x

vEIM

∂∂= . (47)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 126

x1 = 0 x2 = l

v2v1

ϑ1 ϑ2 x

y

Fig. 18. Elément fini de poutre

Il est commode de formaliser les 4 variables nodales 2211 ,,, ϑϑ vv par 4321 ,,, zzzz

respectivement. Pour ce problème de continuité C1 à 4 variables nodales, l’approximation

nodale du déplacement latéral peut s’établir à partir de approximation polynomiale suivante :

∑=

=3

0j

jj xcv , (48)

à partir de l’hypothèse de la poutre d’Euler-Bernoulli.

∑=

−==3

1

1

j

jj xcj

dx

dvϑ , (49)

L’évaluation de la déflexion et de la pente aux deux nœuds donne les constantes ci en fonction

des variables nodales jz . Le remplacement des valeurs de ci dans l’équation (48) conduit à

l’approximation nodale :

( ) ( ) ( )tzxHtxv jj=, , (50)

.,23

,2,231

32

4

32

3

32

2

32

1

+

−=

=

+

=

+

−=

l

x

l

xlH

l

x

l

xH

l

x

l

x

l

xlH

l

x

l

xH

(51)

Les fonctions de forme jH , tracées dans la Figure 19 sont des polynômes d'Hermite de degré

3 qui assure la continuité 1C - (v et à dxdv sont continus sur chaque élément et entre deux

éléments voisins) [105, 141, 183].

Selon la méthode de Galerkin la fonction w(x) est définie par

kk z

vw

δδ= (52)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 127

l0

1

H1

H2

H3

H4

x

H

Fig. 19. fonctions de forme

l’équation (46) pour un seul élément devient :

∫∫∫ −′′′′+=l

kj

l

kjj

l

kje dxHqzdxHHEIzdxHHs ρI (53)

qui permet de faire apparaître les matrices masse et raideur élémentaires:

∫=l

kjejk dxHHsM ρ , (54)

∫ ′′′′=l

kjejk dxHHEIK , (55)

et le vecteur force élémentaire :

∫=l

ke

k dxHqF , (56)

qui en tenant compte des fonctions (51) prennent dans la base 2211 ,,, ϑϑ vv , les expressions

suivantes :

−−−−−−

=

22

22

422313

221561354

313422

135422156

420

llll

ll

llll

ll

slM e ρ

, (57)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 128

−−−−

−−

=

22

22

3

4626

612612

2646

612612

llll

ll

llll

ll

l

EIK e , (58)

si la force extérieure est ponctuelle en 0x , la fonction q prend la forme :

( ) ( ) ( )tFxxtxq 0, −=δ (59)

qui introduite dans la relation (56) donne :

( ) ( )tFxHF ke

0= (60)

Une masse m concentrée a pour matrice de masse élémentaire dans la base

2211 ,,, ϑϑ vv :

=

0000

0100

0000

0001

2

mme . (61)

3.2 Cas d’une poutre encastrée-libre

3.2.1 Equations du mouvement

La Figure 20 présente le schéma du dispositif étudié expérimentalement et

numériquement. Il s’agit d’une poutre en acier encastrée-libre en flexion. Le déplacement est

mesuré par un capteur à courant de Foucault et la force d’excitation par un capteur piézo-

électrique dont la masse est modélisé par un EF de masse (61). Le tableau 3 récapitule les

paramètres du système où les facteurs d’amortissement sont mesurés grâce à une analyse

modale effectuée par balayage sinus et la méthode de largeur de bande.

m

F(t)

C.Dv

x

L

EI C.F

Lf

Ld

Fig. 20. Schéma du dispositif expérimental

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 129

Distance du capteur de déplacement de l’encastrement Ld 0.134 m

Distance de la force de l’encastrement Lf 0.2745 m

Longueur de la poutre L 0.420 m

Epaisseur e 0.004 m

Largeur b 0.040 m

Module d’Young E 2×1011 N / m2

Masse volumique ρ 7800 kg / m3

Nombre d’éléments de poutre n 4

Longueur de chaque élément de poutre l 0.105 m

Masse du capteur de force mf 0.022 kg

α1 0.0100

α2 0.0010

α3 0.0015

α4 0.0010

α5 0.0040

α6 0.0080

α7 0.0110

Facteurs d’amortissement modaux

α8 0.0120

Tableau 3. Paramètres du dispositif expérimental

Après l’assemblage des matrices élémentaires des EF et applications des conditions aux

limites, 0,0 21 == zz à l’encastrement, le mouvement de la poutre en flexion est régi par le

système à 8 équations :

( )tFVzKzM =+ , (62)

avec :

( )t000.0153-0.6596 0.00980.340400=V . (63)

Pour découpler les équations (62), là encore la méthode modale est appliquée. La matrice des

vecteurs propres et les fréquences propres du système sont alors jΩΦ, telles que :

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 130

668.11236.32169.99-113.9274.7853.65 32.219.25

6.993.252 3.22-2.99 2.812.87 2.842.83

242.6656.04-119.9184.61-18.86-18.03 26.229.06

1.211.600.95-0.64-1.80- 1.68-0.38-1.86

115.73209.17-22.7792.861.2837.84-3.057.89

0.650.401.910.14-2.080.062.02-0.96

41.15149.96-136.99-81.49- 22.0510.8415.40-4.89

0.421.15-0.27-0.992.02-2.081.18-0.28

(64)

( ) srad30654.5018682.8011784.807337.943945.231999.83709.56113.01=Ω . (65)

Le changement de variable

( ) ( )tt q-z = , (66)

introduit dans les énergies cinétique et de déformation et dans le travail virtuel donne les

équations modales:

( )tFV-qK--qM--ttt =+ , (67)

( )tFV-qKqM t=+ modmod , (68)

ijδ=ijmodM ,

≠=Ω

=ji

jii

0

2

ijmodK , (69)

Modèle classique

Les équations modales (67) permettent d’introduire l’amortissement en régime

permanent par le biais de la mesure des facteurs d’amortissement modaux:

≠=Ω

=ji

jiii

0

2ijmod

αC (70)

Modèle proposé

En régime transitoire, la fréquence est variable, et l’amortissement reste inconnu. Pour

appliquer la méthode proposée le repère de travail est doté de plusieurs axes :

- iatq =0 pour le temps,

- jj

j iq θρ=− , un axe supplémentaire pour chacun des 8 degrés de liberté.

Le système à résoudre comporte donc 16 équations. Pour les variables jj qq ,− , les

constantes b se calculent par les équations (VII-69), (VII-82) et (VII-83) :

00 =b , jjjj bb Cα2== − , (71)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 131

j

j

j i

B

ρεσ−= 1

C , (72)

on prend pour chaque degré de liberté, la pulsation de référence jΩ=Ω et jH bb = :

( ) ( ) ( )( ),4937.14226.127900207.0

,02

14937.16395.2113

0207.0

1111

2112121

1

tFqqq

qtFqq

=++

=

++−+

θ

ρθ

(73)

( ) ( ) ( )( ),3118.17764.5034680019.0

,02

13118.13882.251734

0019.0

2222

2222222

2

tFqqq

qtFqq

−=++

=

+−−+

θ

ρθ

(74)

( ) ( ) ( )( ),7305.1954.999309.30030.0

,02

17305.1977.1999654

0030.0

3333

2332323

3

tFqqq

qtFqq

−=++

=

+−−+

θ

ρθ

(75)

( ) ( ) ( )( ),7543.185.155648220016.0

,02

17543.1425.7782411

0016.0

4444

2442424

4

tFqqq

qtFqq

−=++

=

+−−+

θ

ρθ

(76)

( ) ( ) ( )( ),7342.184.538453170088.0

,02

17342.192.26922658

0088.0

5555

2552525

5

tFqqq

qtFqq

=++

=

+−−+

θ

ρθ

(77)

( ) ( ) ( )( ),5806.17.1388804980164.0

,02

15806.135.69440249

0164.0

6666

2662626

6

tFqqq

qtFqq

−=++

=

+−−+

θ

ρθ

(78)

( ) ( ) ( )( ),0079.02.3490451930216.0

,02

10079.0174522966

0216.0

7777

2772727

7

tFqqq

qtFqq

−=++

=

+−−+

θ

ρθ

(79)

( ) ( ) ( )( ),5449.18.9396958300232.0

,02

15449.14.469847915

0232.0

8888

2882828

8

tFqqq

qtFqq

−=++

=

+−−+

θ

ρθ

(80)

avec les 32 conditions suivantes

0,0,00 ===⇒= jjj qqt θ , (81)

jj

jtt Ω=⇒= θ , (82)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 132

où tj est le temps qui correspond jΩ=ω .

Les seules inconnues sont jρ comme pour le premier degré de liberté on sait que ces

constantes sont petites, la simulation est faite pour les valeurs suivantes 61 105.4 −×=ρ ,

62 107.2 −×=ρ , 6

3 102.1 −×=ρ , 687654 103 −×===== ρρρρρ . Un écart de 7103 −×±

sur les 3 premiers jρ ne modifie pas significativement la réponse. Le changement de valeur

des 5 derniers jρ a une influence négligeable sur la réponse essentiellement basée, compte

tenu de la bande de fréquence d’excitation, sur les 3 premiers modes. La force d’excitation

mesurée qui agit sur le système est tracée sur la Figure 21.

Fig. 21. Force d’excitation mesurée (0-1500Hz)

La Figure 22 compare réponses calculée (modèle classique) et mesurée. L’écart devient

important après la première résonance. Dans le cas du modèle proposé l’intégration

numérique en temps utilise la méthode de tir (méthode Runge-Kutta d'ordre 4, et correction

par méthode de newton–Raphson) et un pas du temps de 0.000054s, voir [1, 53, 56, 70, 74,

109]. La Figure 23 compare les réponses calculée (modèle proposé) et mesurée. Sur les

Figures 24 et 25 sont présentés des zooms. L’écart observé avec le modèle proposé reste

satisfaisant.

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 133

Fig. 22 Réponses calculée (modèle classique)

et mesurée

Fig. 23 Réponses calculée (modèle proposé)

et mesurée

Fig. 24. Zooms des réponses calculée (modèle classique) et mesurée

Fig. 25. Zooms des réponses calculée (modèle proposé) et mesurée

La Figure 26 récapitule les 8 amortissements modaux calculés au cours de la simulation

avec le modèle proposé et les compare aux amortissements modaux classiques jj Ωα2 .

Sur la Figure (27) est décrit l'évolution en temps de la variable θ , qui est comparée à

l'évolution linéaire tjΩ qui correspond à l'amortissement classique jj Ωα2

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 134

Fig. 26. Amortissements modaux classiques et calculés (modèle proposé)

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 135

Fig. 27. Evolution de ( )tkk θθ = et tk Ω=θ

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CHAPITRE VIII - APPLICATIONS

PARTIE II 136

4. Conclusion

Les mesures de réponses effectuées sur les trois systèmes mécaniques (1ddl, 3ddl et

continu) valide la méthode proposée, basée sur le concept de la relativité générale et

l’introduction d’axes supplémentaires (un axe par paramètre influençant l’espace pour chaque

degré de liberté).

Dans le cas où seule la fréquence d’excitation est un paramètre influençant, un seul axe

supplémentaire a été affecté à chaque ddl.

Les étapes de la méthode proposé, basé sur le concept de la relativité générale s’articulent de

la façon suivante :

- Définition d’un espace de travail, comportant des axes supplémentaires : espace de

Riemann.

- Etablissement de la métrique.

- Détermination des termes de la métrique en supposant une faible courbure de l’espace

(tenseur de Ricci nul).

- Définition de l’intervalle entre deux positions du système mécanique dans l’espace.

- Minimisation de l’intervalle pour établir les équation des géodésiques (ou équations du

mouvement).

- Résolution des équations couplées, munies de conditions aux limites, et comportant les

inconnues ρ pour chaque degré de liberté.

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CONCLUSION GENERALE

137

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES

La recherche présentée est une contribution à la modélisation de l’amortissement. Des

modèles originaux, opérateur d’hystérésis et amortissement de repère (phénomène

métrique) ont été présentés. Leurs fondements théoriques ont été démontrés et ils ont été

validés par l’expérimentation. Il ont nécessité un lourd investissement dans un champ pluri-

disciplinaire (Mécanique, Physique, Mathématique) reposant sur une large bibliographie, sur

des outils classiques (calcul des variations, calcul tensoriel, géodésique, …), des outils

originaux (extension du théorème de Prokrowski, forme générale des Equations d’Euler

Ostrogradsky), des programmations de calcul (calcul symbolique et numérique).

Le modèle opérateur d’hystérésis permet d’obtenir des boucles effort-déflexion

utiles notamment dans l’isolation vibratoire. Il a été montré grâce à des expérimentations

menées avec des plots de suspension industriels que le modèle est relativement aisé à caler

dans le cas de comportement élasto-plastique (frottement sec) mais reste délicat à évaluer ses

paramètres dans le cas de comportement visco-élastique (amortissement visqueux). Une partie

de ce travail a été publiée dans [14] et [15].

D’une façon générale il a été montré qu’un paramètre extérieur qui déforme le repère

de travail est une source de force de repère, qui dans le cas d’une excitation à fréquence

variable correspond à un amortissement supplémentaire. Ainsi un repère de travail

judicieusement choisi permet d’éliminer ce type d’amortissement. Dans l’application choisie

le paramètre extérieur est une excitation à fréquence variable. Ceci correspond notamment au

transitoires rapides. Pour cela il a été fait largement appel à la géométrie de Riemann, dont la

métrique dépend uniquement de la position du système mécanique dans l’espace. Les résultats

sur le système à un degré de liberté ont été publiés, [10], [11] et [16]. Bien des

développements restent à entreprendre pour faciliter la modélisation et limiter le nombre

d’hypothèses simplificatrices. Aussi il s’agirait de développer la théorie présentée avec

l’espace de Finsler dont la métrique dépend des coordonnées et des vitesses.

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REFERENCES

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 150

ANNEXE

CALCUL DES VARIATIONS

Un des problèmes du calcul des variations est de déterminer la courbe reliant deux points

qui rend extrémale une intégrale donnée. Par exemple, trouver la courbe de longueur minimale

qui relie les points (x1,y1) et (x2,y2) est identique à minimiser l’intégrale suivante [32, 41, 180]:

∫2

1

2′+1x

x

dxy . (A.1)

Dans le cas général nous voulons trouver la courbe Y = y(x) où y(x1) = y1, y(x2) = y2 tels

que pour une certaine fonction donnée F(x, y, y'),

( )∫ ′2

1

,,x

x

dxyyxF . (A.2)

est un maximum ou un minimum, également appelé un extremum ou valeur stationnaire. Une

courbe qui satisfait cette propriété s'appelle une extrémale. Une intégrale comme (A.2) qui

assume une valeur numérique pour une certaine classe de fonctions de y(x) s'appelle une

fonctionnelle.

Dans la suite sont présentées les équations qui rendent extrémales les fonctionnelles à une

variable (intégrale simple, équation d’Euler) et à plusieurs variables (intégrales multiples,

équation d’Ostrogradsky). Ceci définit, en faite, la condition nécessaire que la fonction F doit

vérifier pour rendre extrémale la fonctionnelle. Puis le principe du calcul des variations est

appliqué à la dynamique de systèmes conservatifs et dissipatifs.

Une attention particulière est portée à une mise sous forme numérique systématique des

relations afin d’en assurer une programmation aisée.

1. Equation d'Euler dans le cas de plusieurs fonctions et dérivées d'ordre supérieur

Il s’agit de trouver l’équation différentielle qui régit le mouvement d’un système

mécanique à partir de la minimisation de la fonctionnelle associée au problème [40, 181]. Ici on

s’intéresse à l’équation d'Euler dans le cas de plusieurs fonctions et dérivées d'ordre supérieur

[136, 165]. Considérons la fonctionnelle

( ) ( )( )∫1

0

1 ′′= 111

x

x

nmmm

n dxyyyyyyxFJ m,,,,,,,, , (A.3)

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 151

où la fonction F, qui dépend de plusieurs fonctions et de leurs dérivées, est supposée, ainsi que

ses dérivées secondes, continues dans l’intervalle [ ]10 x,x . Pour trouver la condition vérifiée par

la fonction F quand la fonctionnelle J atteint un extremum nécessite que( ) ( )xYxy kk = , et que

les courbes voisines des courbes ( )xYk aient pour forme :

( ) ( ) ( )xxYxykkkk ∗+= ηα , (A.4)

avec ( )xkη fonctions qui s'annulent, ainsi que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre ( )1−kn , aux

extrémités de l’intervalle [ ]10 x,x et kα un petit paramètre.

La relation (A.4) est introduite dans la l’expression (A.3) qui est dérivée par rapport à kα

pour atteindre la variation première de la fonctionnelle qui correspond à ( ) kkk xy δαηδ ∗= :

( )( )∑ ∫ ∑∑

= ==

∂∂+

∂∂=′= ∗∗

m

k

x

x

k

n

j

j

kjk

kk

m

kk dx

y

F

y

FJJ

k

k1 11

1

0

δαηηδαδ α . (A.5)

Tous les termes du second membre à l'exception du premier sont intégrés plusieurs fois par

parties:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫

∂∂−+

∂∂−=

∂∂

∗∗∗ ∑∫−

=

−− 1

0

1

0

1

0

111

0

1x

xkj

kj

jj

x

x

j

i

ij

kjk

i

ii

x

x

j

kjk

dxy

F

dx

d

y

F

dx

ddx

y

F ηηη . (A.6)

Comme ( )xk∗η et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre ( )1−kn s'annulent aux extrémités, ceci

entraîne la disparition des premiers termes à droite de la relation (A.6). Remplaçons les

résultats de (A.6) dans (A.5), il vient :

( ) ( )∑ ∑= =

∂∂−+

∂∂= ∗

m

kk

x

xk

n

jj

kj

jj

k

dxy

F

dx

d

y

FJ

k

1 1

1

0

1 δαηδ . (A.7)

En annulant Jδ , et comme ( )xk∗η est un paramètre arbitraire, on obtient m équations d’Euler

pour plusieurs fonctions et dérivées d’ordre supérieur:

( ) ( ) ( )mky

F

dx

d

y

F kn

jj

kj

jj

k

,,2,1,011

==

∂∂−+

∂∂ ∑

=

, (A.8)

auxquelles sont rajoutées les conditions aux limites:

( ) ( ) ( )mkyxyyxy kkkk ,,,,, 21=== 1100 . (A.9)

Dans le cas uniquement de dérivées premières la fonctionnelle est alors :

( ) ( )∫ 1=′= mkdxyyxFJ kk ,,, , (A.10)

les équations (A.8) se simplifient pour donner l’équation d’Euler qui s’écrit pour chaque

fonction ky :

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 152

0=

′∂∂−

∂∂

kk y

F

dx

d

y

F, (A.11)

qui sous forme développée s’exprime par :

0222

=∂∂+

∂′∂∂−′

∂′∂∂−′′

′∂′∂∂−

kkl

lkl

lk y

F

xy

Fy

yy

Fy

yy

F. (A.12)

2. Equation d'Ostrogradsky, intégrales multiples.

Soient i variables ixx ,,1 . Calculer les dérivées partielles de degré j de la fonction

( )rk xy par rapport aux i variables, fournit le nombre de combinaisons suivant :

( )( ) !!

!

ji

jicij 1−

1−+= . (A.13)

Remarque :

La dérivée d’ordre 3=j d’une fonction de 2=i variables donne : 4=23c :

222

3

221

3

211

3

111

3

,,,xxxxxxxxxxxx ∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂, (A.14)

on désigne par

=

222

221

211

111

::23δ . (A.15)

Pour le cas général du tenseur ijhlδ d’ordre 4, pour chaque ij, la composante h varie jusqu’à ijc ,

et la composante l jusqu’à j. Le nombre total de vecteurs :ijhδ quand j varie de 1 jusqu’à kn

est :

( )1

!!

!

1

−+== ∑= k

kn

jijvec ni

nicN

k

, (A.16)

tandis que le nombre total d’éléments du tenseur ijhlδ est

( )( ) ( )!1!1

!

1

1

1 −−+

+== ∑

= k

kn

jijelem ni

ni

icjN

k

. (A.17)

L’équation d’Ostrogradsky est la condition nécessaire d'extremum pour une intégrale multiple

[136, 165],

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 153

( ) ωdyyyyyyyyxxFJ iimim∫Ω

= ,,,,,,,,,,,,,,, ,,211,12,11,12121 , (A.18)

où iky , est la dérivée partielle de la fonction ( )rk xy par rapport à la variable ix , dans le

domaine fini Ω de l’espace. On suppose que les fonctions F et ( )rk xy possèdent des dérivées

continues jusqu'au deuxième ordre dans le domaine Ω. On cherche des fonctions ( )rk xy dans

le domaine Ω, réalisant un extremum de la fonctionnelle et prenant des valeurs données sur la

frontière Γ de Ω .

Soient les fonctions ( ) ( )rkkrk xxY ∗+ ηα , voisines à ( )rk xY , avec ( )rkx∗η fonctions

arbitraires qui s’annulent, comme leurs dérivées, sur Γ. En portant les fonctions voisines dans

la fonctionnelle (A.18) et en dérivant par rapport à kα , on obtient l'expression de la variation

première de la fonctionnelle:

( ) ∑∫ ∑∑∑= Ω = ==

∂∂+

∂∂=′= ∗∗

m

kk

n

j

c

hk

kk

k

m

kk d

y

F

y

FJJ

k ij

ijh

ijh

k1 1 1

,,1

:

:

0 δαωηηδαδδ

δα . (A.19)

La forme usuelle de la formule de Green en intégrale multiple

∫∫∫ΓΩΩ

∂+−=∆ γωω duduvduv nvgradgrad , (A.20)

peut s’écrire :

∫∫∫ΓΩΩ

∂+∆−= γωω duduvduv nvgradgrad , (A.21)

en posant :

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂=

ijhjijhijhijh kkkk y

F

y

F

y

F

y

Fu

δδδδ ,,,,

,,,grad21:

, (A.22)

et

( )ijhjijhijhijh kkkk

v δδδδηηηη

,,,,,,,grad

21:∗∗∗∗ === . (A.23)

Afin d’arriver à la fonction kη , la formule de Green (A.21) est appliquée le nombre de fois

nécessaire en prenant en compte les relations (A.22) et (A.23), sachant que ∗kη et ses dérivées

s’annulent sur la frontière Γ de Ω .

Comme :

( ) ∫∫ΩΩ

∂∂

∂∂∂−=

∂∂

∗∗ ωηωηδδδ

δδ

dy

F

xxd

y

F

ijhijhjijh

ijh

ijh k

j

k

j

kk :1

:

: ,,

,

1

, (A.24)

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 154

la variation (A.19) devient :

( )∫ ∑∑Ω = =

∂∂

∂∂∂−+

∂∂=′ ωη

δδδα d

y

F

xxy

FJ

k

n

j

c

h k

jj

k

k ij

ijhijhjijh

k1 1 , :1

1

. (A.25)

Pour qu'il y ait extremum, il est nécessaire que la variation première soit nulle, ce qui impose

pour chaque fonction ky , l'équation d’Ostrogradsky qui prend la forme originale :

( ) 011 1 , :1

=

∂∂

∂∂∂−+

∂∂ ∑∑

= =

k ij

ijhijhjijh

n

j

c

h k

jj

k y

F

xxy

F

δδδ , (A.26)

cette équation doit être vérifiée à l'intérieur du domaine. Les conditions aux limites, comme

souligné précédemment, est donnée sur le contour Γ.

3. Exemples d’application

- Pour la fonctionnelle

( )∫∫ 212111121= dxdxyyyxxFJ ,, ,,,, , (A.27)

l’équation d’Ostrogradsky s’écrit :

0=∂∂−

∂∂−

2111121

,, yyy Fx

Fx

F . (A.28)

Le développement de l’équation (A.28) aboutit à l’expression :

0=−+++++2+1212111121111212121111111 2111221121111 yyxyxyyyyyyyyyy FFFyFyFyFyFyF

,,,,,,,,,, ,,,,, . (A.29)

- Pour la fonctionnelle

( )∫∫= dydxuuuuuuyxFJ yyyxyxyyx

,,,,,,,, , (A.30)

l’équation d’Ostrogradsky s’écrit

( ) 0122

2

2

=∂∂−++

∂∂∂+

∂∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂−

yyyyyxyxxyx un

nn

uuuuuu Fy

Fyy

Fyx

Fx

Fy

Fx

F

. (A.31)

4. Les principes variationnels en mécanique

Soit un problème doté de conditions aux limités données. Les principes variationnels

postulent que l’état, parmi tous les états compatibles avec les conditions aux limites, qui rend

stationnaire la fonctionnelle, correspond à la position d’équilibre du problème [40, 41, 136]. Le

principe variationnel de mécanique indique donc, au sens ci-avant décrit, quelle est la

trajectoire du mouvement (la trajectoire normale) parmi toutes les trajectoires cinématiquement

admissibles.

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 155

Le principe de Fermat portant sur la géométrie des systèmes optiques est le plus simple et

le plus visuel des principes. Sa formulation élémentaire déclare que pour relier un point à un

autre, le rayon de la lumière choisit la trajectoire normale qu'il effectue dans le minimum de

temps.

4.1 Principe de Hamilton pour les systèmes à un degré de liberté

Le principe variationnel de Hamilton est un des principes les plus généraux [40, 106,

180]. Soit un point matériel de masse m en mouvement le long de l’axe x, soumis à une force

extérieure f(x, t) de direction x.

La fonctionnelle :

( )∫=1

0

,,t

t

dtxxtLS , (A.32)

est connue comme action Hamiltonienne entre les instants t0 et t1, où ( )xxtL ,, est la fonction

de Lagrange donnée par

( ) UTxxtL −=,, , (A.33)

avec

( ) ( )∫0

−=x

x

dstsftxU ,, , (A.34)

2

2

1xmT = . (A.35)

L'équation d'Euler correspond à la fonctionnelle (A.32):

0=∂∂−

∂∂

x

L

dt

d

x

L

, (A.36)

et donne l’équation de mouvement,

( )txfxm ,= , (A.37)

qui correspond à la loi de Newton.

4.2 Principe de Hamilton pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté

Maintenant prenons un système d’équations de la forme :

( )txxxfxm Niii ,,,, 21 = , ( )Ni ,,2,1 = , (A.38)

ce qui généralise l'équation (A.37) au cas d'un nombre arbitraire N (N > 1) de degrés de liberté.

Les équations de ce type peuvent décrire par exemple le mouvement d'un système de r

points matériels dans l'espace soumis à aucune contrainte (aucune liaison entre eux) et en

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 156

mouvement par des forces appliquées dépendantes des coordonnées des points et de temps.

Soit le champ de la force agissant sur le système. Si il satisfait les relations :

i

j

j

i

x

f

x

f

∂∂

≡∂∂ ( )Nji ,,2,1, = , (A.39)

alors il existe un potentiel ( )txxxU N ,,,, 21 tel que

ii x

Uf

∂∂−= , ( )Ni ,,2,1 = , (A.40)

L’énergie cinétique du système est :

∑=i

ii xmT 2

2

1 . (A.41)

Le principe de Hamilton s’écrit [73, 106, 136]:

( ) NidtxxtLt

t

ii ,,,,,, 21=0=∫1

0

δ , (A.42)

et demeure également valide dans le cas d’un système de points matériels soumis à des

contraintes holonomes.

4.3 Principe de Hamilton pour les systèmes continus

La formulation du principe de Hamilton est exprimée seulement en termes d’énergies

potentielle et cinétique. Cette propriété permet d’étendre le principe aux milieux continus en

appliquant un passage approprié à la limite. Le principe de Hamilton peut être généralisé à

divers champs de la physique possédant des formes d’énergies analogues (champs

électromagnétiques, etc...) et s'applique également à la mécanique relativiste. Mais voici

quelques exemples d’application à la mécanique des milieux continus [73, 136].

4.3.1 Mouvement transversal d'une corde

Soit une corde homogène de masse par unité de section ρ et dont les extrémités ont les

abscisses x = 0 et x = l de l'axe x. La tension P est constante et la force distribuée q(x, t) est

appliquée transversalement. Soit le déplacement perpendiculaire à l'axe x ( )txu , de chaque

point de la corde. Les énergies cinétique et potentielle totale sont [178] :

∫0

2

∂∂

21=

l

dxt

uT ρ , (A.43)

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 157

∫0

2

∂∂

2=

l

dxuqx

uPU . (A.44)

L’action de Hamilton

dtdxuqx

uP

t

uS

t l

∫ ∫0 0

22

+

∂∂

2−

∂∂

2= ρ

, (A.45)

et la densité de fonction de Lagrange

uqx

uP

t

u +

∂∂

2−

∂∂

2=Λ

22ρ, (A.46)

permettent d’écrire sous forme compacte l’équation d’Euler-Ostragradsky :

0=

′∂

Λ∂∂∂−

′∂

Λ∂∂∂−

∂Λ∂

xt uxutu, (A.47)

et d’établir l’équation de mouvement

ρq

x

ua

t

u +∂∂=

∂∂

2

22

2

2

, (A.48)

avec ρPa = .

Par analogie l'équation des vibrations transversales d’une membrane homogène sous

tension P par unité de longueur et soumise à une force appliquée transversale par unité de

surface ( )tyxqq ,,= , a la forme :

ρq

y

u

x

ua

t

u +

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

22

2

2

, (A.49)

où ρPa =2 , et u = u(x, y, t) est la déflexion transversale du point (x, y) de la membrane à

l’instant t. La déflexion est petite pour rester dans le cadre de comportements linéaires.

4.3.2 Mouvement longitudinal d'une barre

Soit une barre homogène rectiligne uniforme d’extrémités en lxx =0= , . Soit u(x, t) le

déplacement longitudinal d’un point d’abscisse x à l’instant t. La barre de masse volumique ρ

de section transversale A et de module d’Young E est soumise à une force externe longitudinale

distribuée avec le densité q(x, t) selon x. Les énergies cinétique et potentielle totale [106,165]

sont alors :

∂∂=

L

dxt

uAT

0

2

2

1 ρ , (A.50)

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 158

( )∫

∂∂=

L

dxutxqx

uAEU

0

2

,2

1. (A.51)

En conséquence, la fonction de Lagrange est :

( )∫

+

∂∂−

∂∂=

L

dxutxqx

uAE

t

uA

0

22

,2

1

2

1 ρL (A.52)

( )∫ ′′Λ=L

xt dxuuutx0

,,,,L . (A.53)

Pour une poutre uniforme homogène l’application du principe de Hamilton permet d’écrire

sous forme compacte l’équation d’Euler-Ostragradsky :

0=

′∂

Λ∂∂∂−

′∂

Λ∂∂∂−

∂Λ∂

xt uxutu, (A.54)

qui correspond à l’équation aux dérivées partielles qui décrit le mouvement longitudinal de la barre :

( )txqAx

ua

t

u,

ρ1=

∂∂−

∂∂

2

22

2

2

. (A.55)

4.3.3 Mouvement d’une poutre en flexion

Les énergies cinétique et potentielle pour une poutre en flexion de masse volumique ρ de

section transversale A et de module de rigidité EI soumise à une force distribuée q(x, t)

perpendiculaire à son axe neutre prennent la forme [73 ,106] :

∫0

2

∂∂

21=

L

dxt

vAT ρ , (A.56)

( )∫0

2

2

2

∂∂

21=

L

dxvtxqx

vEIU , . (A.57)

Alors la fonction de Lagrange est :

( )∫

+

∂∂−

∂∂=

L

dxvtxqx

vEI

t

vA

0

2

2

22

,2

1

2

1 ρL . (A.58)

Si la poutre est homogène, l'équation d'Euler-Ostrogradsky s’écrit :

0=

′′∂

Λ∂∂∂+

′∂

Λ∂∂∂−

∂Λ∂

2

2

xt vxvtv, (A.59)

qui est l’équation aux dérivées partielles décrivant le mouvement de la poutre en flexion :

( )txqx

vEI

t

vA ,=

∂∂+

∂∂

4

4

2

2

ρ . (A.60)

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 159

4.3.4 Mouvement d’une plaque en flexion

La plaque mince a une surface A. Ses caractéristiques (épaisseur h, module d’Young E,

masse volumique ρ, et coefficient de Poisson ν) sont supposées constantes. Le déplacement

d’un point du plan moyen suivant l’axe normal au plan de la plaque z est w. En présence d’un

champ de pression ( )yxtpp ,,= les énergies cinétique et potentielle totale [106] ont pour

expression :

∫∫2

∂∂

2=

A

dydxt

whT

ρ, (A.61)

( )∫∫

∂∂

∂−12+

∂∂

∂∂2+

∂∂+

∂∂

2=

22

2

2

2

22

2

22

2

2

A

dydxwpyx

w

y

w

x

w

y

w

x

wDU νν .(A.62)

Ainsi la densité de fonction de Lagrange est :

( ) wpyx

w

y

w

x

w

y

w

x

wD

t

wh +

∂∂

∂−12+

∂∂

∂∂2+

∂∂+

∂∂

2−

∂∂

2=Λ

22

2

2

2

22

2

22

2

22

ννρ, (A.63)

qui permet d’établir en appliquant le principe de Hamilton, l’équation d’Euler-Ostragradsky :

0=

′′∂

Λ∂∂∂+

′′∂

Λ∂∂∂

∂+

′′∂

Λ∂∂∂+

′∂

Λ∂∂∂−

∂Λ∂

2

22

2

2

yyxyxxt wywyxwxwtw, (A.64)

qui devient l'équation du mouvement de la plaque en flexion :

py

w

yx

w

x

wD

t

wh =

∂∂+

∂∂∂2+

∂∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2

2

ρ . (A.65)

L'opérateur entre les parenthèses de l'expression (A.65), appliqué à la fonction w, est dénommé

opérateur bi-harmonique qui en utilisant le Laplacien ∆ prend la forme :

22

2

2

2

2

4

4

2

2

2

2

4

4

∆=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

∂∂2+

∂∂

y

w

x

w

y

w

y

w

x

w

x

w. (A.66)

L’équation biharmonique (A.65) devient alors:

pwDt

wh =∆+

∂∂ 2

2

2

ρ . (A.67)

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 160

4.3.5 Equations de mouvement d'un milieu élastique

Soit les coordonnées cartésiennes x1, x2, x3 et soit le champ de déplacement u = u(x1, x2,

x3, t) d’un point d'un milieu élastique homogène isotrope. Dans la théorie d'élasticité linéaire les

composantes du tenseur de déformation [30, 81, 136, 181] s’écrivent :

∂∂

+∂∂

=i

j

j

iij x

u

x

u

2

1ε (A.68)

et les composantes du tenseur des contraintes σij sont reliées à celles du tenseur des

déformations par les relations linéaires :

ijijrrij εµδελσ 2+= (A.69)

où λ et µ sont les constantes de Lamé. L'énergie potentielle totale due à l’état de contrainte

est exprimée par la formule

∫∫∫21=

V

ijij dVU εσ (A.70)

qui en prenant en compte les expressions (A.68) et (A.69) devient :

( ) dVx

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

udivU

V∫∫∫

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+=

2

3

1

1

3

2

2

3

3

2

2

1

2

2

1

2

3

3

2

2

2

2

1

12

22

µµλu .

(A.71)

L'énergie cinétique a la forme :

dVt

u

t

u

t

uT

V∫∫∫

∂∂+

∂∂+

∂∂

2=

23

22

21ρ

, (A.72)

où ρ est la masse volumique constante du milieu. En conséquence, la densité Λ de la fonction

Lagrangienne L= T - U a pour variable les trois projections ui ( i =1, 2, 3) du vecteur de

déplacement. L’action de Hamilton est :

( )∫ ∫ ∫ ∫ 4321Λ= dxdxdxdxuS ji , , (A.73)

où tx =4 . Les équations d'Euler-Lagrange correspondent à ce cas à la forme d’Euler-

Ostrogradsky :

( )321=0=∂Λ∂−

′∂Λ∂

∂∂

,,,,

ixux ikik

, (A.74)

qui donnent les équations de mouvement d’un milieu élastique :

0divdiv 22 =

∂∂−∇−

∂∂−

∂∂

uui

ii

i

xu

xt

u µµλρ ( )3,2,1=i . (A.75)

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 161

En multipliant les équations (A.75) par les vecteurs unité des axes correspondants aux

coordonnées et en ajoutant ensemble les résultats il est obtenu l'équation vectorielle des oscillations

libres du milieu élastique homogène isotrope:

( ) uuu 2divgrad ∇++=′′ µµλρ t . (A.76)

5. L’amortissement et le principe variationnel

Ici il s’agit de trouver les conditions pour qu’une équation donnée, représentative d’une

équation d’Euler d’un système à un ou plusieurs degrés de liberté, soit issue de la minimisation

d’une fonctionnelle. Ce type de recherche de conditions peut être étendue aux fonctionnelles

dépendant de fonctions de plusieurs variables mais n’est pas présenté dans ce qui suit.

5.1 Système à un seul degré de liberté

Pour un système à un seul degré de liberté l’équation (A.12), (k =1, l =1) devient :

( ) ( ) 0=′+′′′Φ yyxyyyx ,,,, ψ , (A.77)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

′′′′−′′′−′′≡′Ψ

′′′−≡′Φ

′′

′′

yyyxFyyxFyyxFyyx

yyxFyyx

yyyxy

yy

,,,,,,,,

,,,,, (A.78)

Il s’ensuit que le choix de la fonction F est possible si :

yyxy

′∂Φ∂+

∂Φ∂≡

′∂Ψ∂

, (A.79)

qui est une condition nécessaire et suffisante [136]. Si l’équation (A.12) ne vérifie pas la

condition (A.79), il est toujours possible de la multiplier par un facteur convenablement choisi

( )yyxR ′,, tel que l'équation résultante satisfait la condition (A.79). En pratique la fonction Φ

de la relation (A.77) représente l’inertie du système. Géométriquement, multiplier par

( )yyxR ′,, modifie l’espace de travail.

5.2 Systèmes à plusieurs degrés de liberté

Il est original de prolonger la condition (A.79) par ce qui suit.

Pour un système autonome et à plusieurs degrés de liberté, l’équation (A.12) prend la

forme :

0=+Φ kl

kl y ψ , (A.80)

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ANNEXE CALCUL DES VARIATIONS

ANNEXE 162

.

,

kklk

lk

yxylyyk

yykl

FFyF

F

+−−=Ψ

−=Φ

(A.81)

De la première équation (A.81) il vient les dérivées suivantes

xyykl

lkF

x

−=∂Φ∂

, (A.82)

hlk yyyh

kl Fy

−=∂Φ∂

. (A.83)

Dans la deuxième équation de (A.81) le remplacement de l par h puis la dérivation par rapport à

ly conduisent à :

lklllkhlk yyxyyyyhyyyl

k FFFyFy

++−−=

∂Ψ∂

. (A.84)

Les équations (A.82, 83, 84) montrent que les tenseurs kkl ΨΦ , satisfont la relation :

∑∑

∂Φ∂+

∂Φ∂=

∂Ψ∂

l,kh

h

klkl

l,k l

k yyxy

, (A.85)

qui se réduit à :

hh

klkl

l

k yyxy

∂Φ∂+

∂Φ∂=

∂Ψ∂

, (A.86)

dans le cas où 0=lk yyF

ou lklk yyyy FF

= . La condition (A.85) est nécessaire mais pas suffisante.

5.3 Exemple

Soit l’équation( )tfyKyCyM ijijjijjij =++ (A.87)

où les matrices M¸C, K sont constantes. L’analogie avec les relations (A.80 et 81) indique :

( )tfyKyCM ijijjijiijij −+==Φ ψ, (A.88)

Les termes des conditions (A.85) sont alors :

0=∂Φ∂

0=∂Φ∂

=∂Ψ∂

h

ijijij

j

i

yxC

y,,

, (A.89)

qui, introduits dans les conditions (A.85), imposent : 0=ijC . Ceci veut dire que l’équation

différentielle (A.87) ne peut provenir d’une minimisation d’une fonctionnelle tant que les

coefficients d’amortissement sont non nuls !