DINÂMICA DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO

Prof. Fábio de Oliveira BorgesCurso de Física I

Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense

DINÂMICA DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃONo movimento de rotação, é necessário a aplicação de uma forçaque faça o corpo girar.Como veremos, podemos associar movimentos de rotação à umanova quantidade física, o torque.Além da conservação da energia, para sistemas isolados,definiremos a conservação do momento angular do sistema. Esteprincípio de conservação é extremamente útil na descrição ecompreensão do movimento de corpos em rotação .

TORQUEUma forças agindo sobre um corpo podem afetar seu movimentotranslacional. Nesta descrição não importa a forma do corpo uma vez que ele étratado como pontos materiais.Para que ocorram movimentos rotacionais a magnitude e direção da forçasão importantes, tão importante quanto o ponto de aplicação, uma vez que issoacaba ocasionando diferentes tipos de rotação.

Na figura, a chave de boca está sendo usada parasoltar um parafuso. E três forças de igual magnitudesão indicadas. A força aplicada próxima ao final dachave é mais efetiva do que uma força , aplicadapróxima ao parafuso. Além disso, a força , nãofornece nenhum tipo de contribuição, apesar de seraplicada no mesmo ponto de , mas está dirigida aolongo do comprimento da chave.

A quantidade que indica a tendência que uma forçatem de causar ou mudar o movimento de rotação deum corpo é chamada de torque.

TORQUETrês forças agem no corpo da figura. Para a forçaF1, a tendência para causar uma rotação em torno doponto O depende da intensidade da força F1, dadistância perpendicular l1, entre o ponto O e a linha deação, da força (a linha na qual o vetor força está).A distância l1 é conhecida como braço da alavanca(ou do momento) da força F1 com relação a O. Oesforço de torção é diretamente proporcional tanto aF1 quando a l1. Assim definimos torque (ou momento)da força F pelo simples produto F l .da força F1 pelo simples produto F1l1.A letra grega “” é usada para torque. Para umaforça de intensidade F cuja linha de ação é umadistância perpendicular l a partir de O, definimostorque como:

Os termos “torque” e “momento” sãousualmente utilizados, assim como “braço daalavanca” ou “braço do momento”.

TORQUEPara diferenciar os torques da força F1 e F2podemos definir o torque como positivo, quandocausa rotação em sentido anti‐horário. Assim,torques que causam rotação em sentido horário,serão negativos. Com essa definição,

No SI, a unidade de torque é N.m (Newton‐metro).

ATENÇÃO: Apesar de ter a mesma unidade,torque não é trabalho ou energia! (comoveremos, torque é um vetor, ao passo quetrabalho e energia são escalares!) Sendo assima unidade que devemos utilizar para o torqueé N.m e não J (joules)!

TORQUEComo devemos proceder quando a linha de ação da Força atuante nãoé perpendicular ao braço da alavanca?

O torque sempre corresponde à ação de uma forçae um braço com direções perpendiculares. Sendoassim, podemos pegar a componente da forçaperpendicular ao braço, ou a componente do braçoperpendicular à força aplicada. Matematicamente,

Note que tanto a força F e o braço da alavanca rsão vetores.Desta forma podemos escrever o torque como um

produto destes dois vetores. Como o torque também é um vetor, qual tipo de produto seria??

Como já visto, tanto a velocidade angular quanto aaceleração angular podem ser representadas porvetores. O mesmo é aplicado para o torque.Na realidade, a quantidade rFsen nada mais é do quea magnitude do produto vetorial .podemos generalizar o torque como: quando umaforça F age em um ponto com posição r com respeito auma origem O, o torque desta força com respeito a O éa quantidade vetorial:

Torque como um vetor

A direção do torque segue as regras do produto vetorial.Na verdade, os vetores r e F definem um plano e assim,o torque será um vetor perpendicular a este plano. Emtermos práticos, se pode utilizar a regra da mão direitacom r fechando sobre F.

APLICANDO UM TORQUEUm bombeiro hidráulico, incapaz de afrouxar a conexão de um tubo,encaixa um pedaço de tubo de sucata (uma “alavanca”) sobre ahaste do grifo. A seguir, ele usa todo seu peso de 900 N, ficando empé na extremidade da alavanca. A distância entre o centro daconexão e o ponto onde o peso atua é igual a 0,80 m (Figura), e oeixo da alavanca faz um ângulo de 19º com a horizontal. Calcule omódulo, a direção e o sentido do torque que ele aplica em torno docentro da conexão do tubo.

TORQUE E ACELERAÇÃO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO

Lembremos do movimento linear:

O movimento linear era descrito pela cinemática: posição, velocidade,aceleração, etc.

O movimento era causado por uma força, com módulo, direção esentido.

Podemos agora definir a mesma sistemática para o movimento rotacional:

O movimento de rotação era descrito pela cinemática: posiçãoangular, velocidade angular, aceleração angular, etc.

O movimento de rotação é causado por um torque, com módulo,direção e sentido.

TORQUE E ACELERAÇÃO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO

Vamos assumir um corpo rígido composto de váriaspartículas. Escolhemos o eixo z como eixo de rotação.A força resultante agindo sobre esta partícula podeser descrita em termos de três componentes. Umaradial, F1,rad, na mesma direção de r1, outra tangencial,F1,tan, tangente ao círculo de raio r1 no qual estapartícula se move e outra ao longo do eixo de rotação,F1z .Definidas as forças, podemos aplicar a Segunda LeiDefinidas as forças, podemos aplicar a Segunda Leide Newton.A segunda lei de Newton para a componentetangencial fornece,

Como já visto, podemos expressar esta componentetangencial em termos da aceleração angularz:a1,tan=r1z. usando esta expressão para a aceleraçãotangencial e multiplicando ambos lados por r1,

TORQUE E ACELERAÇÃO ANGULAR

F1,tanr1 nada mais é do que o torque da força resultante com respeito ao eixode rotação, ou seja a componente 1z.Nenhuma das outras forças, F1,rad e F1z, contribuem para o torque sob o eixode rotação z, uma vez que não alteram a rotação da partícula com relação aeste eixo.Agora, m1r1

2 é o momento de inércia I1 da partícula com massa m1 comrelação ao eixo de rotação, assim,

Podemos obter uma equação similar para cada partícula que compõe ocorpo. Assim, podemos somar todas as equações,

TORQUE E ACELERAÇÃO ANGULAR

Assim como a segunda Lei de Newton define a forçaresultante sobre uma partícula como sendo massa vezesaceleração, este resultado nos fala que o torqueresultante em um corpo rígido é igual ao momento deinércia do corpo em relação a um dado eixo, multiplicadopor sua aceleração angular.

O torque em cada partícula do corpo é devido àforça resultante nesta partícula, ou seja, a soma da

Segunda lei de Newton para a rotação

força resultante nesta partícula, ou seja, a soma daação das forças internas e externas.No entanto, pela terceira lei de Newton sabemosque as forças internas para qualquer par departícula exercem forças iguais e opostas. Sendoassim, estas forças gerarão torques iguais eopostos, e deste modo, se somam a zero. Comisso, todos os torques internos são zero e só nosimporta os torques feitos por forças externas.

DESENROLANDO UM CABO IIEnrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço commassa M e raio R. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de umeixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do cabo aum objeto de massa m e liberamos o bloco a partir do repouso a umadistância h acima do solo. À medida que o bloco cai, o cabo sedesenrola sem se esticar nem deslizar. Calcule a aceleração do blocoem queda e a tensão no cabo.

DESENROLANDO UM CABO IUm cabo leve, flexível e não deformável é enrolado diversas vezes emtorno da periferia de um tambor, um cilindro maciço com massa igual a50 kg e diâmetro de 0,120 m, que pode girar em torno de um eixoestacionário horizontal mantido por mancais sem atrito (Figura). Aextremidade livre do cabo é puxada com uma força constante demódulo igual a 9,0 N, deslocando-se por uma distância de 2,0 m. Ele sedesenrola sem deslizar e faz o cilindro girar. O cilindro está inicialmenteem repouso. Qual é a aceleração do cabo?

ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO MÓVEL

Podemos estender as analises da dinâmica domovimento de rotação para casos onde o eixo derotação se move. Quando isso acontece, o corpo teráum movimento de rotação e translação combinado.A chave para descrever estas situações consiste deentender que :

“Qualquer movimento possível do corpo rígido pode ser representado como uma combinação do ser representado como uma combinação do

movimento de translação do centro de massa e a rotação ao redor de um eixo passando pelo centro de

massa. “Esta afirmação é verdadeira mesmo que o centro demassa acelere, ou seja, para referenciais nãoinerciais. Exemplos são um bastonete em movimentobalístico, um corpo em rolamento em um plano, umioiô, etc.

Movimento combinado de rotação e translação: relações envolvendo energia

Está além da abordagem deste curso demonstrar que o movimento decorpos rígidos podem sempre ser divididos entre o movimento de translação docentro de massa e o de rotação em torno do centro de massa.No entanto podemos demonstrar que isso é verdadeiro para a energiacinética de um corpo rígido que possui tanto movimento translacional erotacional.Neste caso a energia cinética do corpo é a soma de uma parte, Mvcm

2/2,associada com o movimento do centro de massa e de outra parte, Icm

2/2,associada com o movimento do centro de massa e de outra parte, Icm /2,associada com a rotação em torno de um eixo passando pelo centro de massa:

Ou seja, podemos desacoplar as duas formas de energia para o movimento deum corpo rígido.

Demonstração:Vamos imaginar um corpo rígido feito por i partículas. Como mostradona figura ao lado, uma partícula com massa mi possui velocidade virelativa a um referencial inercial. Esta velocidade é a soma vetorial davelocidade vcm do centro de massa e a velocidade vi’ da partícularelativa ao centro de massa:

A energia cinética Ki desta partícula noreferencial inercial é mivi

2/2. Esta energia podeser escrita como,ser escrita como,

Logo:

A energia cinética total é a soma Ki para todas as partículas quecompõem o corpo.

O primeiro e o segundo termos possuem fatores comuns que podemser colocados em evidência:

Agora basta uma análise dos termos acima.O primeiro termo, mi é a massa totalM.

Demonstração:

O primeiro termo, mi é a massa totalM.O segundo termo mivi’ é zero pois é Mmultiplicado pela velocidade do centro de massa relativo ao centro demassa, que é zero por definição.O ultimo termo é a soma das energias cinéticas das partículascalculadas utilizando suas velocidades escalares com relação ao centrode massa. Este termo nada mais é do que a energia cinética de rotaçãoem torno do centro de massa, Icm

2/2. Logo,

Um caso muito importante de rotação e translação combinadas é o rolamentosem derrapagem. A roda é simétrica, logo o centro de massa está no centrogeométrico. Vamos assumir o movimento em um referencial inercial dereferencia no qual a superfície na qual a roda rola está parada.Neste referencial, o ponto no qual a roda está em contato com a superfície estáinstantaneamente em repouso, não derrapa.Assim a velocidade e um ponto de contato relativo ao centro de massa deve tera mesma magnitude mas direção oposta à velocidade do centro de massa vcm.

Rolamento sem deslizamento

Se o raio da roda é Re sua velocidade angular é, a magnitude de éR , assim,

Fotografia instantânea de uma roda de bicicleta em rolamento

Rolamento sem deslizamento

VELOCIDADE DE UM IOIÔ PRIMITIVOUm ioiô primitivo é feito enrolando-se umfio diversas vezes em torno de um cilindro demassa M e raio R (Figura). Você mantém aextremidade do fio presa enquanto o cilindro éliberado do repouso. O fio se desenrola, masnão desliza nem se dilata à medida que ocilindro cai e gira. Use considerações deenergia para achar a velocidade vcm do centrovcmde massa do cilindro sólido depois que ele caiuaté uma distância h.

Podemos fazer a analise da translação e rotação em termos da dinâmica.Para um corpo de massa M, a aceleração acm do centro de massa é a mesmaque teria uma massa M sob a ação de todas as forças externas agindo nocorpo,

O movimento de rotação em torno do centro de massa é descrito peloanálogo da Segunda Lei de Newton,

Movimento combinado de rotação e translação: dinâmica

Sendo Icm o momento de inércia com respeito a um eixo passando pelocentro de massa, e a soma z inclui todos os torques com respeito a esteeixo.Pode‐se demonstrar que esta equação para os torques é válida mesmo queo eixo de rotação se mova, desde que duas condições sejam válidas:1. O eixo passando pelo centro de massa deve ser um eixo de simetria.2. O eixo não muda sua direção.

ACELERAÇÃO DE UM IOIÔ PRIMITIVOUm ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes emtorno de um cilindro de massa M e raio R (Figura). Você mantém aextremidade do fio presa enquanto o cilindro é liberado do repouso.O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata à medida que ocilindro cai e gira. A aceleração de cima para baixo do cilindro e atensão no fio.

ACELERAÇÃO DE UMA ESFERA ROLANDOUma bola de boliche sólida desce sem deslizar pela rampa deretorno ao longo da pista inclinada a um ângulo b com a horizontal(Figura). Qual é a aceleração da bola e o módulo da força de atritosobre a bola? Considere a bola como uma esfera sólida homogênea,desprezando seus orifícios.

Podemos estabelecer modelos de análise para um corpo rígido sujeito atorque que são análogos aos modelos para uma partícula sujeita a forças.

Imagine um corpo rígido em equilíbrio

A força externa resultante deve ser igual a zero:

O torque externo resultante tem de ser zero ao redor de qualquer eixo:

Corpo rígido em equilíbrio

1. A primeira condição é uma formulação do equilíbrio translacional.

2. A segunda, uma formulação do equilíbrio rotacional.

No caso especial de equilíbrio estático, o corpo está em repouso, deforma que não tem velocidade translacional nem angular (isto é, vCM = 0e = 0).

Para simplificarmos, restringiremos nossa atenção para situações em quetodas as forças estejam sobre um único plano, o qual chamaremos de planoxy.

Corpo rígido em equilíbrio

O torque só terá componente z (perpendicular ao plano xy).

ATENÇÃO Escolha do ponto de referência para o cálculo de torques: Em problemas referentes ao equilíbrio, a escolha do ponto de referência para calcular o torques é totalmente arbitrária. Mas, uma vez feita a escolha, o

mesmo ponto deve ser usado para calcular todos os torques. É útil escolher o ponto para simplificar ao máximo os cálculos.

Parado em pé sobre uma viga horizontalUma viga horizontal uniforme de comprimento l= 8,00 m e pesode Wv=200 N está presa a uma parede por um pivô. Suaextremidade mais distante da parede é suportada por um caboque forma um ângulo de = 53,0° com a viga (Fig.). Umapessoa de peso Wp=600 N fica a uma distância d=2,00 m da parede.Encontre a tensão no cabo, bem como o módulo e a direçãoda força exercida pela parede sobre a viga.

A escada inclinadaUma escada uniforme de comprimento l repousa em uma parede lisae vertical (Fig.). A massa da escada é m e o coeficiente de atritoestático entre a escada e o chão é s= 0,40. Encontre o ângulomínimo mín para a escada não escorregue.

Uma criança girando um carrossel (um corpo em rotação) realiza umtrabalho. Podemos descrever este trabalho em termos do torque e dosdeslocamentos angulares.

TRABALHO E POTÊNCIA NO MOV. DE ROTAÇÃO

Suponha uma força tangencial Ftan agindo sobre ocarrossel.O carrossel roda um ângulo infinitesimal d em tornodo eixo fixo, durante um tempo infinitesimal dt.O trabalho dW feito pala força Ftan quando um pontono carrossel se move de uma distância ds é:

Se d é medido em radianos, então, ds=Rd, logo,

Agora, FtanR é o torque z feito pela força Ftan, logo

O trabalho total W, realizado pelo torque para deslocaro carrossel de 1 até 2 será,

Se o torque é constante durante a mudança angular, então,

TRABALHO E POTÊNCIA NO MOV. DE ROTAÇÃO

Se o torque é dado em N.m e o ângulo em radianos, o trabalhoserá em Joules.

Note a completa analogia com o movimento unidimensional,

Quando o torque realiza trabalho em um corpo em rotação, a energia cinéticamuda por uma quantidade igual ao trabalho feito.Seja z o torque total agindo sobre o corpo, de modo que z=Iz. O corpo érígido, de modo que o momento de inércia I é constante. Neste caso temos,

Como z é o torque total agindo sobre o corpo, a integral deste torquefornecerá o trabalho total agindo sobre o corpo, logo,

TRABALHO E POTÊNCIA NO MOV. DE ROTAÇÃO

A mudança na energia cinética rotacional em um corpo rígido é igual ao trabalho feito pelas forças externas ao corpo. Esta equação é análoga ao teorema trabalho energia para uma partícula.

Para obter a potência associada ao torque, dividimos a equaçãodo trabalho infinitesimal por dt:

Porém, dW/dt é a taxa da realização do trabalho, ou potência P,e d/dt é a velocidade angular z:

TRABALHO E POTÊNCIA NO MOV. DE ROTAÇÃO

Veja que esta equação é análoga ao caso do movimentotranslacional,

Equações do movimento linear e rotacional

CÁLCULO DA POTÊNCIA PELO TORQUEUm motor elétrico exerce um torque constante de 10 N.m sobre umrotor de esmeril, que possui um momento de inércia de 2,0 kg.m2 emtorno de seu eixo. O sistema parte do repouso. Ache o trabalho Wrealizado pelo motor em 8,0 s e a energia cinética K do rotor nessemomento. Qual é a potência média Pm entregue pelo motor?

Como mostrado anteriormente, todas as quantidades rotacionaispossuem um análogo translacional.O análogo do momento de uma partícula é o momento angular, o qualdenotaremos por L.Sua relação para com o momento p (momento linear) é a mesmarelação do torque para com a força,

Para uma partícula de massa m, velocidade v, momento p=mv, e vetor

MOMENTO ANGULAR

m v p=mvposição r relativa a uma origem O de um referencial inercial, omomento angular L é definido como,

O valor de L depende da origem escolhida, pois envolve o vetorposição relativo a O. As unidades de momento angular são kg.m2/s

Na figura ao lado a partícula se move no plano xy. Sua posição re seu momento p = mv são mostrados. O vetor momento angularL é perpendicular ao plano xy. A regra da mão direita mostra quesua direção será ao longo do eixo z positivo e seu módulo,

MOMENTO ANGULAR

onde l é a distância perpendicular doponto O à linha da direção do vetor v.ponto O à linha da direção do vetor v.Essa distância desempenha o papel do“braço da alavanca” para o vetor momentolinear.

Quando a força F age na partícula, suavelocidade e momento mudam seumomento angular também pode mudar.

MOMENTO ANGULARPara ver esta variação temporal no momento angular podemos tirar aderivada da equação do momento,

O primeiro termo nos parênteses é zero pois dr/dt = v e vv = 0. Nosegundo termo, podemos substituir ma pela força F. Assim,

A taxa de variação do momento angular de uma partícula é igual ao torque da força

resultante que atua sobre ela.

Momento angular de um corpo rígidoPodemos agora obter o momento angular total de umcorpo rígido girando ao redor do eixo z com velocidadeangular.Primeiro consideramos uma fina fatia do corpo caindono plano xy. Cada partícula nesta fatia se move em umcirculo centralizado na origem e a cada instante suavelocidade vi é perpendicular ao vetor posição ri.Assim, = 90º para cada partícula. A partícula commassa mi na distância ri a partir de O, tem velocidade vi

igual a r. Assim,igual a ri. Assim,

A direção do momento angular para cada partícula édado pela regra da mão direita, na direção +z.O momento angular total desta fatia do corpo caindono plano xy é a soma de todos os momentos angulares das partículas. Assim,

sendo I o momento de inércia da fatia para com o eixo z.

Momento angular de um corpo rígidoPodemos fazer o mesmo cálculo para as outras fatias do corpo,todas paralelas ao plano xy. Para pontos que não caiam noplano xy se pode ter uma complicação pois os respectivosvetores posição r possuirão componentes nas direções x, y e z.Com isso o momento angular de cada partícula terá componentesperpendiculares ao eixo z.

No entanto, se o eixo z for um eixo desimetria, as componentes perpendicularesdas partículas em lados opostos secancelarão e se somarão a zero. Assimquando o corpo gira em torno do eixo desimetria, seu momento angular L estáalinhado ao eixo de simetria e possuimodulo L = I.

Momento angular de um corpo rígidoO vetor velocidade angular também estáalinhado ao eixo de rotação, como visto antes.Sendo assim, para um corpo rígido girando emtorno do eixo de simetria, L e estão na mesmadireção. Desta maneira temos a forma vetorial,

Como vimos antes, a taxa de mudança domomento angular de uma partícula é igual ao

Para qualquer sistema de partícula, a taxa de mudança do momento angularé igual à soma dos torques de todas as forças agindo em todas as partículas.Os torques das forças internas se cancelam e sendo assim a soma de todosos torques corresponde apenas às forças externas.Se o momento angular total L do sistema de partículas é a soma de todos ostorques,

momento angular de uma partícula é igual aotorque da força resultante agindo na partícula.

Momento angular de um corpo rígidoSe o sistema de partículas é um corporígido girando em torno de um eixo desimetria, então, Lz = Iz e I é constante. Seeste eixo está em uma direção fixa noespaço então os vetores L e mudamapenas em magnitude, mas não em direção.Neste caso, dLz/dt = Id/dt = Iz :

O que repete a equação da dinâmica de rotação de corpo rígido que obtivemos anteriormente.

Note que se um corpo não é rígido esta equação não é validapois I pode variar. No entanto a relação entre o torque resultantee a variação do momento angular é sempre válida!

Momento angular de um corpo rígido

Quando o eixo de rotação não é um eixode simetria o momento angular em geral nãoé paralelo ao eixo de rotação.

Quando o corpo gira, o vetor momentoangular L traça um cone ao redor do eixo derotação. Como L muda, existe um torqueresultante agindo sobre o corpo mesmo queo modulo velocidade angular seja constante.

Se o corpo em questão é uma roda desbalanceada de um carroeste torque acabará causando danos e desgastes nosrolamentos. Quando se faz o balanceamento de rodas, peladistribuição de massas em torno de um eixo de rotação, faz‐secom que o vetor L se alinhe ao eixo de rotação, e emconseqüência elimina‐se este torque resultante quando a rodagira.

MOMENTO ANGULAR E TORQUEA hélice da turbina de um motor a jato possui momento de inércia 2,5kg.m2 em torno do eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar,sua velocidade angular em função do tempo é dada por z=(40rad/s3)t2. (a) Calcule o momento angular da hélice em função dotempo e ache seu valor no instante t = 3,0 s. (b) Determine o torqueresultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seuvalor para t = 3,0 s.

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAROs resultados anteriores relacionando torque e momento angularpodem servir como definições alternativas para o movimento rotacional.Veremos agora o principio de conservação do momento angular.Assim como a conservação da energia e momento linear, esteprincipio é uma lei universal, válida em todas as escalas de tamanho,desde sistemas atômicos e nucleares ao movimento de galáxias.Este principio vem diretamente da relação entre torque e variação domomento angular:

“Quando o torque externo resultante que atua sobre um sistema é igual a zero, o momento angular do sistema

permanece constante (se conserva)”.

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAREste principio de conservação fornece resultados bastante interessantes.Imagine uma acrobata girando em torno do centro de massa combraços e pernas estendidas. Quando ela encolhe os braços e pernas seumomento de inércia Icm com respeito ao centro de massa muda de um valor I1

par outro valor I2 . A única força externa agindo sobre ela é o peso, que nãopossui torque com respeito a um eixo passando pelo centro de massa. Assim,seu momento angular Lz=Icmz fica constante e sua velocidade z aumentaquando Icm diminui, ou seja:

Quando uma bailarina gira com braços estendidos edepois os recolhe, a velocidade angular aumenta poiso momento de inércia diminui. Isto é umaconsequência direta da conservação do momentoangular no qual a força externa é zero.

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULARUm caso interessante é um sistema composto de várias partes. Cada parteexerce força uma em outra de modo que os momentos angulares individuais sealteram. No entanto, o momento angular total não se altera!Imagine um sistema composto de dois corpos, A e B, que interagem somenteentre si. Se o corpo A exerce uma força em B, FAB o torque correspondenteserá AB. Este torque gera uma alteração no momento angular do corpo B,

Ao mesmo tempo, o corpo B exerce uma força FBA em A, com torquecorrespondente, ,correspondente, BA,

Da terceira lei de Newton, FAB=FBA. Além disso se as forças agem ao longoda mesma linha, os braços de alavanca serão os mesmos. Assim os torquesserão iguais e opostos. Logo,

Ou seja, o momento angular do sistema é constante. Os torques feitos pelasforças internas podem transferir momento angular de uma parte para outradentro do corpo mas não podem alterar o momento angular total do sistema!

QUALQUER UM PODE SER UM BAILARINOUm professor de física está em pé sobre o centro de uma mesagiratória, mantendo os braços estendidos horizontalmente com umhaltere de 5,0 kg em cada mão (Figura). Ele está girando em torno deum eixo vertical e completa uma volta em 2,0s. Calcule a novavelocidade angular do professor, quando ele aproxima os doishalteres do abdome. Seu momento de inércia (sem os halteres) éigual a 3,0 kg.m2, quando seus braços estão estendidos, diminuindopara 2,2 kg.m2 quando suas mãos estão próximas do abdome. Oshalteres estão inicialmente a uma distância de 1,0 m do eixo e ahalteres estão inicialmente a uma distância de 1,0 m do eixo e adistância final é igual a 0,20 m.

MOMENTO ANGULAR EM UMA AÇÃO POLICIALUma porta pivotada, de largura igual a 1,00 m e massa de 15 kg, éarticulada com dobradiças em um dos lados de modo quepossa girar livremente em torno de um eixo vertical. Um policial dáum tiro com uma bala de 10 g e velocidade de 400 m/s exatamente nocentro da porta e em uma direção perpendicular ao plano da porta. Abala é encravada ali. Calcule a velocidade angular da porta. Aenergia cinética se conserva?

MOMENTOS DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO

FIM