didactique des mathématiques : les fondamentaux dr. ruben

Didactique des mathématiques : les fondamentaux

Dr. Ruben Rodriguez Herrera

Agrégé en Mathématiques [email protected]

IREM, ESPE, Ifé, CEMU Université de Caen Normandie France

IREM de Basse - Normandie

Année 2014-2015

http://www.math.unicaen.fr/irem

Les outils de la didactique de la mathématique

Module 5

-Le Contrat didactique Les modélisations pédagogiques :

transmissive , béhavioriste, socio-constructiviste.

Les méthodes, les techniques, les démarches,

les évaluations : avec note ? sans note ? Les modalités dans l'apprentissage-enseignement

des mathématiques.Pédagogie inversée en mathématiques.

Les élèves doivent identifier dans la situation le but à atteindre

Pour cela il faut placer les élèves dans un univers expérimentable (voir module 1)

Extrait de : Situations problème et jeux mathématiques : Sophie Malaizé CPC Tours Nord, Christine Granier DEA école de Cussay ; Patricia Langlais PEMF école Dolto Fondettes

http://tice33.ac-bordeaux.fr/Ecolien/LinkClick.aspx?fileticket=vPZ21FIAlOQ=&tabid=5316&language=fr-FR

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CB8QFjAA&url=http%3A%2F%2Ftice33.ac-bordeaux.fr%2FEcolien%2FLinkClick.aspx%3Ffileticket%3DvPZ21FIAlOQ%253D%26tabid%3D5316%26language%3Dfr-FR&ei=ECaEVKa2F4LoUv-Eggg&usg=AFQjCNEiKvGKOdiq3Bukx_qA2RNF2R7uHw&sig2=fSV9uPy8ZNJNukDAlD2Hfw&bvm=bv.80642063,d.d24



L'enfant petit découvre quelques différences entre un carré et un « rectangle-non-carré »

par les actions possibles qu'il peut expérimenter

1) Ici on donne à l'élève une suite d'images pour qu'il construise le « petit train ». La marge d'erreur est réduite.

2) Ici on donne à l'élève l’image finale du « petit train » pour qu'il le construise. La marge d'erreur est plus large.

Deux choix pédagogiques



Les programmes ont un impact très important sur le « contrat didactique »



Extrait de : André JACQUARTwww.cddp91.ac-versailles.fr/.../Andre_Jacquart_CONFERENCE_09-10....A L'ECOLE MATERNELLE ... La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l'activité mathématique.http://www.cddp91.ac-versailles.fr/IMG/pdf/Andre_Jacquart_CONFERENCE_09-10.pdf

Développer une pensée logique...Programmes 2008 Maternelle:

« ... L’enfant observe, pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de

rationalité......Sa confrontation avec la pensée logique lui donne

le goût du raisonnement. »Cycles 2 et 3:

« L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination,la rigueur et la précision ainsi que le goût

du raisonnement. »


http://www.cddp91.ac-versailles.fr/IMG/pdf/Andre_Jacquart_CONFERENCE_09-10.pdf

Extraits des programmes de 2008:

«Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de

comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage.»

«À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du

calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe “égal”)

et les techniques.»


Extrait de Remy Brissiaud Le nombre à l’école maternelle : des changements en vue, mais dans quel sens ?

http://www.cafepedagogique.net/lexpresso/Pages/2012/03/16032012_RBrissiaud.aspx

Éviter le comptage mécanique

En effet, les chercheurs s’accordent aujourd’hui pour considérer que l’arithmétisation de la suite des nombres (savoir que 2 = 1 + 1 ; 3 = 2 + 1 ; 4 = 3 + 1) se construit d’abord dans le domaine des 3-4 premiers nombres, parce que la « machinerie humaine » est ainsi faite qu’un seul focus de l’attention permet de traiter simultanément jusqu’à 3 unités

http://www.cafepedagogique.net/lexpresso/Pages/2012/03/16032012_RBrissiaud.aspx

Un exemple sur la somme des mesures en degrés des trois angles d'un triangle de la géométrie euclidienne plane.

Un exemple sur la somme des mesures en degrés des trois angles d'un triangle de la géométrie euclidienne sphérique.

MÉNÉLAÜS (ou parfois Ménélaos) d'Alexandrie, grec, vers 100 il est sans doute le premier à avoir défini un triangle sphérique : intersection de trois grands cercles de la sphère, dans son traité « Les Sphériques ».

Questions qui peuvent donner lieu à un PER (Parcours d’Étude et de Recherche, voir modules précédents).

1) Sur le plan la plus courte distance entre deux points A et B est réalisée par le segment [AB] Et sur deux points Cet D en restant sur la surface de la sphère ?

2) Étant donnée trois points sur une sphère ,comment définir s'ils sont alignés ?

3) Comment définir un segment sphérique, et un triangle sphérique ?

Un exemple sur la somme des mesures en degrés des trois angles d'un triangle sphérique de la géométrie euclidienne sphérique.

Ici les droites sont les grands cercles (c'est-à-dire dire les cercles ayant le même centre que la sphère, géodésiques sur la sphère)

et les points sont les paires de points antipodes d'une sphère.

C'est une géométrie non euclidienne : la géométrie sphérique introduite par Riemann

Dans cette géométrie, par un point extérieur à une droite on ne peut mener aucune parallèle.

Toutes les droites passant par un point extérieur à une droite donnée sont sécantes à cette droite, ou encore toutes les droites de l'espace sont sécantes entre elles.

Cette géométrie donne une courbure positive de l'espace : la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits.

La somme de deux angles successifs d'un quadrilatère est supérieure à deux droits,

Il existe un triangle dont tous les angles sont droits

et les trois côtés de même longueur.

C'est le triangle sphérique équilatéral tri-rectangle

Le triangle sphérique équilatéral tri-rectangle dans l'univers des propriétés des droites et plans de l'espace

Dans le lycée, en seconde, c'est l’occasion d'utiliser les théorèmes des parallèles et perpendiculaires dans la géométrie de l'espace.

Extrait du site de Patrice DebartLa géométrie dans l'espace en secondehttp://debart.pagesperso-orange.fr/geospace/geospace_seconde_classique.html

Par exemple :

http://debart.pagesperso-orange.fr/geospace/geospace_seconde_classique.html

Le triangle sphérique équilatéral tri-rectangle dans l'univers des propriétés des droites et plans de l'espace

Dans le lycée, en seconde, c'est l’occasion d'utiliser les théorèmes des parallèles et perpendiculaires dans la géométrie de l'espace. Par exemple :

Extrait du site de Patrice Debart La géométrie dans l'espace en seconde http://debart.pagesperso-orange.fr/geospace/geospace_seconde_classique.html

http://debart.pagesperso-orange.fr/geospace/geospace_seconde_classique.html

La sphère dans l'univers de la géométrie 3D de GEOGEBRA

La sphère dans l'univers de la géométrie 3D de GEOGEBRA

On visualise en perspective 3D les triangles sphèriques

Constructions de méridiens et de triangles sphériques

http://www.cosinus-mag.com/.../tracer-meridiens-paralleles-a-surface-d-une-sphère

Comment tracer des méridiens et des parallèles à la surface d'une sphère ?

http://www.cosinus-mag.com/.../tracer-meridiens-paralleles-a-surface-d-une-sph%C3%A8re

Le modèle transmissif

Tout d'abord le modèle transmissif qui correspond à la conception empirique de l’enseignement est basé sur deux

présupposés:Tout d’abord, la neutralité de l’élève: avant l’enseignement,l’élève est assimilé à un vase vide qui n’a

pas de conception personnelle sur le sujet. Il est donc considéré comme n’ayant aucun savoir préexistant et c’est grâce à l’intervention de l’enseignant, considéré comme le savant, que l’élève aura acquis une connaissance. Puis, la non déformation du savoir transmis: Le rôle du professeur

est ici de communiquer le savoir le plus clairement possible et-il doit maîtriser complètement le contenu de ce qu’il

enseigne. L’élève doit alors être attentif, écouter, imiter et reproduire pour assimiler le message tel qu’il a été transmis.

Extrait de : Apprentissage coopératif : les représentations et pratiques des enseignants de maternelle par Emilie Lottici http://dumas.ccsd.cnrs.fr/dumas-00843164/document

http://dumas.ccsd.cnrs.fr/dumas-00843164/document

Le modèle béhavioriste qui consiste à dire que l'apprentissage résulte d'une suite de conditionnements "stimulus-réponse". Ainsi, comme on ne peut pas savoir ce qui se passe dans la tête de l'élève qui est assimilée à une boîte noire, l'enseignant doit se baser sur les connaissances définies en termes de comportements observables attendus en fin d'apprentissage.

Ce modèle est souvent réduit au conditionnement,du fait du schéma ( Stimulus → Réponse) issudes travaux de Pavlov (1927). Or, le béhaviorismeva au-delà du conditionnement simple de Pavloven proposant une théorie complète de l'apprentissage.En effet, le béhaviorisme considère qu'apprendre c'estdevenir capable de donner la réponse. L’élève passeainsi très graduellement, sous la conduite de l’enseignant, de la connaissance initiale à la connaissance finale par paliers


Le modèle béhavioriste


Le modèle constructiviste, ses apports viennent principalement de Piaget en réaction au béhaviorisme qui limite trop l'apprentissage à l'association stimulus-réponse. En effet, selon Piaget, acquérir des connaissances suppose l'activité des apprenants, c'est-à-dire qu'ils soient actifs dans leurs apprentissages.Ainsi, le modèle constructiviste valorise les activités d'apprentissage, en mettant l'élève en position centrale dans les dispositifs d'enseignement. L'enfant doit alors faire preuve d'une capacité d'adaptation. Cette adaptation s'appuie sur deux processus d'interaction de l'individu avec son milieu de vie: l'assimilation et l'accommodation.


Le modèle constructiviste


Le modèle socio-constructiviste est très proche du modèle constructiviste mais

accorde une importance aux interactions sociales dans l'apprentissage, considérées

comme ayant un rôle constructeur.

C'est le psychologue Vigotski avec la zone proximale de développement qui est à la base

du socio-constructivisme, qui donne une place fondamentale au langage dans

l'apprentissage.Extrait de : Apprentissage coopératif : les représentations et pratiques des enseignants de maternelle par Emilie Lottici http://dumas.ccsd.cnrs.fr/dumas-00843164/document

Le modèle socio-constructiviste


Philippe Meirieu(1996) propose, en lien avec quatre types d'opérations mentales, une classification des différentes modalités sous lesquelles le groupe peut être envisagé :

Le groupe d'apprentissage à la pensée déductive: avec ce type de groupe les individus peuvent ajuster leur propos grâce à une auto-évaluation. Chaque membre du groupe passe tour à tour du rôle d'évalué à celui d'évaluateur.

Le groupe d'apprentissage à la pensée inductive: Lors du travail dans ce type de groupe,chaque élève dispose d'un matériel bien distinct des autres dans le but de dégager une proposition générale, une loi. Ainsi, chaque membre du groupe doit posséder les capacités nécessaires au projet et être en possession d'une partie seulement des matériaux de travail.

Le groupe d'apprentissage à la pensée dialectique: ce type de groupe va permettre de faire prendre conscience aux membres du groupe qu'il existe différentes idées,au sein d'un même concept et que ces idées sont liées (interdépendance). Il est alors possible de dégager un système dans lequel on retrouve toutes les idées. Afin de faire comprendre aux membres du groupe cette multiplicité d'idée les rôles sont régulièrement permutés

Le groupe d'apprentissage à la pensée divergente: il a pour objectif de permettre au sujet de se dégager de ses habitudes mentales pour en construire de nouvelles. Ceci se fera grâce à l'apport collectif et diversifié d'éléments d'informations nécessaires au projet. Ce groupe permet de multiplier les points de vue étant donné que chacun apporte des idées nouvelles.

Un exemple sur l'addition par les trois approches

pédagogiques :TransmissiveBehavioriste

Socio-constructiviste

Transmissive

Transmissive⇨

Le rôle de l’enseignantIl montre, l’élève reproduit.Il choisit les bons exemples et les explications appropriées.Le programme est abordé séquentiellement.La logique de la progression suit la logique du savoir.La clarté de l’exposé est à sa charge.L’exposé est progressif et ordonné en fonction.

Des pré-requis

Des difficultés censées être croissantes

Transmissive

Les limites dépendent de la validité des deux présupposés : Si une conception initiale inadéquate existe elle risque de ne pas être remise en cause, et d’interférer avec la nouvelle connaissance. Ce qui est dit par l’enseignant n’est pas toujours entendu de la même façon par tous les élèves.

Extrait de Différentes approches de l’enseignement et de l’apprentissage Karine Robinault – Octobre 2007

1+1=2 1+2=3 1+3=4 1+4=.. 1+5=.. ..+6=7 1+..=8 1+..=9

Dans la pédagogie béhavioriste on propose souvent des exercices « à trous »

Behavioriste

Ici un élève peut répondre tout simplement par la continuation de la suite :2 3456789

Exemple d’application: les petites marches

Exemple: savoir conduire. Ce n’est pas parce que l’on sait effectuer les différentes opérations débrayer, accélérer, freiner et tourner le volant que l’on sait conduire. Savoir conduire signifie également savoir coordonner ces différentes actions

Etat initial des connaissances

Etat final des connaissances

Etapes intermédiaires


Behavioriste

Exemple de l’additionMaîtriser l’addition selon Thorndike, c’est apprendre à

se concentrer sur les chiffres colonne par colonne pour les additionner

garder en mémoire le résultat de chaque addition jusqu’à avoir obtenu le résultat de l’addition suivante

ajouter le report lors de l’addition suivante

négliger les 0 à l’intérieur des colonnes

négliger les espaces vides à l’intérieur d’une colonne

Ne pas écrire l’entièreté d’une addition, mais seulement le nombre correspondant à l’unité (problème du 0)


Behavioriste

4 jetons sont mis dans une boite qui en avait 5.

On ferme la boite et à l'oral on pose la question.

« Combien y-a-t-il de jetons ? »

La question ne part plus d’un simple constat, mais amène les élèves à élaborer une démarche (compter avec les

doigts, dessiner pour représenter la réalité,...) L'appropriation de la question de la situation est facilitée par l'univers expérimentable des réunions des ensembles de jetons. Représentation mentale de la tâche plus aisée.

Possibilité d’une vérification expérimentale de la réponse. (La réponse est à compter dans la boîte.)


Les conditions de l’apprentissage

L’acquisition de connaissances passe par une interaction entre le sujet, la situation d’enseignement, et les acteurs de la situation

Avantages:

prise en compte des conceptions des élèves

Importance du langage et du socialExtrait de Différentes approches de l’enseignement et de l’apprentissage Karine Robinault – Octobre 2007


Dans une pédagogie transmissive les enseignants expliquent les erreurs des élèves qu'ils qualifient souvent de « fautes » parce que les élèves n'ont pas la « bosse des maths »

Transmissive

Behavioriste

Le cerveau et les maths

Opérations arithmétiques et régions du cerveau


Le cerveau en action : Le cas du raisonnement arithmétiqueLaure Zago,Groupe d’Imagerie Neurofonctionnelle, UMR 6194 CEA CNRSUniversit´es de Caen et Paris 5Centre Cyceron Caen, France

De nombreuses études ont permis d’établir que les animaux, du rat aux primates non humains, ont unecapacité indiscutable d’appréhender les représentations approximatives de petites quantités numériques.La cognition arithmétique s’ancre dans un système perceptif visuo-spatial.


Pour un adulte, la résolution de problèmes arithmétiques simples (tels 2x3 ou 2+3) ne requiert pas réellement de calcul. Ces problèmes, appelés faits arithmétiques, ont été mémorisés durant l’enfance et sont stockés en mémoire à long terme sous forme de connaissances déclaratives dans des réseaux sémantiques reflétant les forces d’association entre un problème, sa réponse correcte et des réponses fausses concurrentes. Leurs résultats sont donc tout simplement récupérés directement en mémoire lorsqu’ils sont rencontrés.


Peut-on additionner tous ces nombres d'un seul coup d’œil ?

16 ; 25 ; 17 ; 85 ; 12 ; 63 ; 52 ; 73 ; 14

36 ; 47 ; 95 ; 32 ; 18 ; 45 ; 74 ; 28 ; 91

16 ; 67 ; 43 ; 89 ; 25 ; 46 ; 37 ; 78 ; 93Notre capacité de calcul est liée à la biologie de notre cerveau, donc elle est limitée. Tout simplement additionner quatre nombres a deux chiffres, d'un seul coup d’œil, est difficile.Par contre 12 + 18 est calculable d'un seul coup d’œil

Le petit bonhomme qui est dans une pièce cubique et qui voit ces nombres autour de

lui dans l'espace peut-il les additionner d'un seul coup d’œil ?

Notre capacité de calcul est

liée à nos limites

biologiques.

Une personne située à 'intérieur d'un SAS-cube .

La perception intuitive possible d'un phénomène non linéaire est difficile pour notre biologie. Le nombre des

phénomènes non linéaires est très grand.La non-linéarité est en général approchée par des modèles

mathématiques linéaires.Par exemple pour calculer la somme des nombres suivants, on s'organise par lignes ou par

colonnes et on calcule d'abord la somme de deux nombres, puis cette somme avec un troisième nombre et ainsi de suite. C'est à dire on suit un procédé linéarisé.

Notre capacité de calcul est liée à nos limites biologiques.

Nous avons une capacité à assimiler nos perceptions par un modèle « naturel » linéaire.

16 ; 25 ; 17 ; 85 ; 12 ; 63 ; 52 ; 73 ; 14

36 ; 47 ; 95 ; 32 ; 18 ; 45 ; 74 ; 28 ; 91

16 ; 67 ; 43 ; 89 ; 25 ; 46 ; 37 ; 78 ; 93

Par exemple pour la première ligne :16 + 25 = 41Puis 41+17 =58Puis 58+85 = ...

Les calculs proposés impliquent les mêmes aires pariétales et occipitales bilatérales et frontales gauches que celles observées chez des sujets non experts. Toutefois, on observe, chez l’expert uniquement, une implication d’aires préfrontales et médio-temporales dans l’hémisphère droit.


⇦

Quant aux extractions de racines, Louis Fleury les dédaigne comme trop faibles lorsqu’elles ne comportent pas un reste et ne s’attache qu’aux autres. Ici son travail apparaît prodigieux. En des temps variant de 4 à 12, 13 ou 15 secondes, il extrait la racine carrée de 13 250, énonçant sans la moindre hésitation, avec une exactitude absolue, résultat et reste ; les racines cubiques, opération plus longue encore, de 227 003 et de 456 609 ; mieux encore, il donne en trois minutes dix secondes le résultat de la racine cinquième du nombre 1 935 752 415 pour lequel le reste, disant assez la complexité des calculs, est de 834 783.

Louis Fleury : aveugle et sans famille,il devient un prodige du calcul mental (D’après « Lectures pour tous », paru en 1928)

Alfred Binet a justement remarqué que tous les grands calculateurs ont été des visuels, c’est-à-dire que les chiffres surgissent devant eux comme s’ils étaient écrits dans l’espace. Seul, Inaudi fait exception à la règle ; c’est un auditif, il entend – mentalement – les nombres et leur mécanisme. Aveugle-né, Fleury ne pouvait pas être un visuel ; mais il n’est pas non plus un auditif. Ayant reçu sa première instruction par la méthode Braille, et pris, auparavant, contact avec le monde extérieur par le toucher, c’est tactilement qu’il se représente chiffres et nombres, comme si réellement il les touchait du bout de ses doigts.

Pour Louis Fleury l'Univers des Chiffres et Nombres est un Univers expérimentable, (voir module 1).

Dans le contrat didactique en mathématiques, l'affectivité joue un rôle très important

Un passage du livre de Jacques Nimier « Camille a la haine et … Léo adore les maths »

Introduction

J'enseigne depuis plusieurs années dans des classes dites littéraires et dans des classes dites scientifiques, d'un lycée et j'ai toujours été frappé par la différence d'ambiance qui y règne.

On ne peut pas caractériser cette différence d'atmosphère par une différence de qualité de travail. Certaines classes littéraires, contrairement à ce qu'on pourrait croire, travaillent dans une ambiance très studieuse, presque trop parfois. De plus, d'une section à l'autre, les « demandes » des élèves sont assez différentes ; j'ai souvent remarqué l'agressivité des filles de série scientifique à mon égard, une demande affective très forte des filles des séries littéraires, des états de prostration ou de révolte chez des garçons de série littéraire, le travail « sérieux », accompagné de peu de demandes, des garçons de série scientifique. Mais, naturellement, dans tout cela, quelle est exactement ma part ?

D'autre part, j'entends souvent dire : « Il y a ceux qui sont doués, et ceux qui ne le sont pas », autrement dit, ceux qui ont la bosse et ceux qui ne l'ont pas ; ou bien : « Ils n'ont pas eu les conditions sociales nécessaires à leur réussite en maths », ou : « C'est la faute de certains professeurs, qui ne savent pas enseigner », ou : « La faute aux mathématiques modernes. » Ces appréciations ne m'ont jamais satisfait, d'autant plus que des questions se posaient à moi sous la forme d'échecs nombreux et inexplicables : comment comprendre que des élèves de première ou de terminale, ayant traversé toute la succession de barrages qu'ils ont rencontrée depuis leur sixième : orientation de fin de cinquième, orientation de fin de troisième, orientation de fin de seconde..., « la crème des crèmes, quoi ! », ne réussissent toujours pas en mathématiques ? Que des élèves ayant de bons résultats dans d'autres disciplines puissent encore écrire : « Si 2 x = 0, alors x = — 2 », et cela de façon courante ? Tout professeur de mathématiques du second cycle en a fait l'expérience. Les accusations de paresse, de manque de connaissance, d'inattention ne m'ont jamais paru convaincantes.

Suite d'un passage du livre de Jacques Nimier « Camille a la haine et … Léo adore les maths »

Une autre série de faits étonne encore celui qui veut bien avoir l'oreille un peu attentive : les lapsus des élèves, tels que : « je vais lever l'interdiction » pour « lever l'indétermination », « c'est une injonction » pour « c'est une injection », « une application compliquée » pour une « application composée ».

Que dois-je dire à mes enfants lorsque, de retour du lycée avec une bonne note en mathématiques, ils m'affirment : « Les copains m'ont dit : " C'est pas étonnant, avec ton père qui est prof de maths. " » Cela serait-il héréditaire ? Ou même contagieux ? « Un tel est bon en maths ! C'est normal : il habite dans le même immeuble que le prof ! »

Suite d'un passage du livre de Jacques Nimier « Camille a la haine et … Léo adore les maths »

Un livre pour surmonter la peur des maths

Anne Siety a écrit « Qui a peur des mathématiques ? », paru chez Denoël en février 2012 et réédité en août 2013 par Le Livre de Poche . Elle y explique, à partir d’exemples concrets, que l’apprentissage des maths nécessite une maturation personnelle. Elle donne également des astuces aux élèves pour surmonter leur appréhension et améliorer leurs résultats.

Anne Siety est une des protagonistes du film

« Comment j’ai détesté les maths » d’Olivier Peyon,

« La peur des maths ne se manifeste pas nécessairement par un état de panique. Un élève angoissé peut très bien commencer par sortir ses affaires comme si de rien n’était, puis se mettre à bâiller et, quelques minutes plus tard, s’écrouler sur sa table. Non par fainéantise, mais parce que la peur lui coûte tellement d’énergie qu’elle l’épuise littéralement. Ne pas travailler est très coûteux en mathématiques : cela se traduit par des mauvaises notes qui seront autant de blessures personnelles. Je n’ai jamais rencontré d’élève faisant preuve de mauvaise volonté. En revanche, les élèves angoissés par les maths sont nombreux. »

http://www.livredepoche.com/qui-peur-des-mathematiques-anne-siety-9782253166955%20

http://www.vousnousils.fr/2013/05/16/les-eleves-francais-malades-des-maths-547055

Les difficultés en mathématiques sont aussi nombreuses que diverses, et il est très peu probable qu'on puisse un jour les dénombrer toutes du fait que toute difficulté n'est que la résultante d'un ensemble d'autres difficultés. En voici quelques-unes parmi les plus couramment rencontrées :

difficultés lexicales : connaissance imparfaite de la signification des termes1 ; cela peut entraîner des difficultés à comprendre le cours ou ce qui est demandé dans les énoncés d'exercices ;

difficultés liées au discernement des objets mathématiques : ne pas savoir quelle hypothèse ou quelle proposition utiliser pour résoudre tel problème mathématique ou tel autre. Cela conduit souvent à la confusion dans les concepts ;

Extraits de Anne Siety

http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_lexicale

http://fr.wikipedia.org/wiki/Difficult%C3%A9s_en_math%C3%A9matiques#cite_note-1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Discernement

difficultés liées à la mémoire : souvenir sommaire ou partiel des connaissances acquises. Cela peut être dû à une imperfection dans le processus d'acquisition ou à une défaillance dans le processus de mise en mémoire de l'information mathématique ;

difficultés liées à la cognition : champ de connaissances limité pour des raisons qui peuvent être multiples ;


http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9moire_%28psychologie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cognition

difficultés liées au raisonnement : la construction d'un raisonnement mathématique fait appel à d'innombrables opérations mentales, complexes, qui consistent souvent à relier des parcelles de connaissances entre elles, et à les adapter à l'aide d'opérations logiques au problème dont on recherche la solution. Un manquement dans l'une de ces opérations peut altérer la construction du raisonnement mathématique dont la finalité est la production d'une solution au problème ;

difficultés liées à la représentation : inaptitude à se représenter correctement les objets dans l'espace ou dans le temps ;

difficultés liées à l'abstraction des concepts.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mentale

http://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C3%A9sentation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pens%C3%A9e_abstraite

Difficultés d'origine psycho-affective

Dans beaucoup de situations, les psychanalystes s'appuient sur la dimension affective (élément non objectif) pour expliquer la difficulté en mathématique.

On peut par exemple trouver les mathématiques difficiles, parce qu'on n'aime pas cette matière.

En France, l'expression être « nul en maths » est bien plus courante que pour les autres matières, rendant compte de l'ampleur du phénomène. L'expression « blocage en maths » est assez répandue également, plus précisément orientée vers l'aspect psychologique du problème.

Les anglo-saxons utilisent l'expression « math anxiety » (« anxiété liée aux maths ») pour qualifier le symptôme, décrit par exemple comme étant « un sentiment de tension, d'appréhension, de peur qui interfère avec les performances en mathématique ».


http://fr.wikipedia.org/wiki/Anxi%C3%A9t%C3%A9

On peut rapprocher cette anxiété de « l'anxiété de performance », ou du stress ressenti quand on passe des examens, qui bloque les moyens.

Plus que les autres matières, les mathématiques semblent révéler les problèmes de confiance en soi (probablement du fait des difficultés particulières à cette matière, décrites plus haut).

En mathématiques, le travail rendu est souvent perçu comme soit juste, soit faux, sans intermédiaire entre les deux, ce qui laisse moins d'espoir que dans des matières ou les gradations sont possibles.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Anxi%C3%A9t%C3%A9#examens

http://fr.wikipedia.org/wiki/Stress

Comme dans beaucoup de troubles anxieux, les élèves ayant de l'appréhension envers les mathématiques tendent naturellement vers l'évitement de la matière qui les fait souffrir, ce qui crée un cercle vicieux, les élèves ayant de ce fait encore plus de difficultés du fait du manque d'entraînement et du manque de familiarité avec les notions mathématiques...

L'anxiété liée aux maths a un effet négatif sur la mémoire de travail, rapprochant cet effet de l'interférence produite dans des situations de double-tâche : un élève anxieux a l'esprit occupé à la fois par le problème à résoudre et par sa peur des mathématiques, ce qui nuit à sa concentration.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Troubles_anxieux

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89vitement_%28psychologie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9moire_de_travail

http://fr.wikipedia.org/wiki/Multitasking#Impact_sur_la_concentration

Guy Brousseau : Erreur ou faute de calcul ?

« Effet Topaze » en mathématiques, un exemple

« L'effet Topaze » fait allusion au dialogue suivant : TOPAZE (il dicte en se promenant)«Des ... moutons ... Des ... moutons ... étaient en sûreté ...dans un parc ; dans un parc (il se penche sur l’épaule de l’élève et reprend ). Des moutons ... moutonss (l’élève le regarde,ahuri). Voyons, mon enfant, faites un effort. Je dis moutonsse. Étaient (il reprend avec finesse) étai-eunnt. C’est à dire qu’il n’y avait pas qu’un moutonne.Il y avait plusieurs moutonsse.»(L’élève le regarde, perdu.…) extrait de M. Pagnol : « Topaze »

« Effet Topaze » en mathématiques, un exemple

1° étape , on donne à l'éléve : 1/2 +1/3 = Et l'élève écrit 2/5, qui est faux

2° étape, l’enseignant donne 1/2 +1/3 = 3/6 +2/6Et l'élève écrit 5/12, qui est faux

3°étape, l'enseignant donne 3/6 +2/6 = ( + )/6Et l'élève bloque encore…

4° étape, l'enseignant donne (3+2)/6Et l'élève donne 5/6 ce qui est bon !

Alors doit-on conclure que l'élève a compris l'addition 1/2 +1/3 ?

Les manuels scolaires et le contrat didactique

Les manuels et le contrat didactique

Les manuels ont une part importante dans la détermination du contrat didactique.

On voit dans la terminologie de quelques manuels :"Activités pour s'initier", "La boîte à outils","Exemple de … " "Pour savoir faire" , "Pour

chercher"...

Ceci oriente les élèves dans leur attitudes et donc dans leurs compétences.

Les classes sans note

La constante macabre est un phénomène qui serait observé lors de la notation d'examens, par lequel la proportion de mauvaises notes serait similaire quel que soit le sujet de l'examen et quel que soit le correcteur, indépendamment de la qualité véritable des réponses données par ceux qui passent l’examen. Le terme a été créé en 1988 par André Antibi

André Antibi considère que la constante macabre est à l'origine de nombreux échecs scolaires.

La notion de la constante macabre désigne le fait qu'il existerait de manière répandue dans le système éducatif un pourcentage constant de mauvaises notes, quel que soit le niveau véritable des étudiants par rapport aux connaissances réellement requises.

Autrement dit, les notes se répartiraient à peu près en courbe de Gauss: beaucoup de notes moyennes, pas trop mauvaises ou bonnes sans plus, et aux extrémités, quelques très bonnes ou très mauvaises notes. La répartition en courbe de Gauss peut être naturelle, mais le problème ne réside pas dans la variance mais la moyenne, qui sera fréquemment réajustée à une valeur égale ou inférieure à la moitié de la note maximale, sans forcément de corrélation avec le niveau de compétence des étudiants.

En 1922, Henri Piéron introduit le terme de docimologie pour désigner la science et la pratique du contrôle des connaissances ; il le définira en 1951 par « l’étude systématique des examens (modes de notation, variabilité interindividuelle et intra-individuelle des examinateurs, facteurs subjectifs, etc.) ». Avec sa femme et Henri Laugier, il pose les fondements de cette nouvelle discipline avec l'« Étude critique de la valeur sélective du certificat d'études et comparaison de cet examen avec une épreuve par tests. Contribution à une docimastique rationnelle », présentée lors de la IVe conférence internationale de psychotechnique. Inspirée par la psychologie expérimentale et la physiologie, la docimologie apparaît dans le sillage du mouvement de l'éducation nouvelle qui vise à refonder l'enseignement sur la méthode scientifique, remettant en cause les schémas traditionnels

Docimologie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Pi%C3%A9ron

http://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Laugier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Psychologie_exp%C3%A9rimentale

http://fr.wikipedia.org/wiki/Physiologie

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89ducation_nouvelle_en_France

pourquoi évaluer ?

pour qui évaluer ?

comment évaluer ?

qui évaluer ? l'apprenant, le formateur, la formation, ... ?

quoi évaluer ?

quand évaluer ?

Docimologie

«C’est un principe général que, pour être reçu à un examen, il faut avoir la moyenne, ...dès lors, ...pour un grand nombre de candidats,ce sera ...le hasard qui décidera de leur admission ou de leur recalage. En effet, on sait que... c’est dans la région moyenne qu’ils se massent...»

Pieron, H. (1963).Examens et docimologie. Paris: Presses universitaires de France

(a) Une même série de copies est corrigée plusieurs fois par le même correcteur, à des moments différents, sans que celui-ci s’en rendre compte, ce qui permet de mesurer la stabilité intra-correcteurs;

(b) Une même série de copies est corrigée par plusieurs correcteurs différents, ce qui permet de mesurer la concordance inter-correcteurs;

(c) Une même copie est placée dans un ensemble de copies dans des positions différentes(précédée de copies meilleures ou plus faibles), ce qui permet de mesurer l’effet de contraste, ou de séquence;

(d) Une même copie est placée dans un ensemble de copies dont les valeurs sont plus ou moins dispersées largement (tantôt parmi des copies ayant toutes reçu la même note lors d'une évaluation préalable, tantôt parmi des copies très variées en qualité); etc.

(e) Une même copie est corrigée par plusieurs groupes de correcteurs auxquels on fournit des informations complémentaires différentes sur l'élèves, ses notes antérieures...

Extrait de : « DOCIMOLOGIE CRITIQUE: DES DIFFICULTÉS DE NOTER DES COPIES ET D’ATTRIBUER DES NOTES AUX ÉLÈVES » par Dieudonné Leclercq , Julien Nicaise, Marc Demeuse

Les arrangements internes

Le premier type de «bricolages», de modifications plus ou moins licite des procédures d’évaluation, est destiné directement à la classe « in vivo » et aux élèves qui la composent. Il peut servir à entretenir un bon climat de travail, à encourager les élèves qui éprouvent des difficultés ou qui ont des problèmes d’ordre extrascolaire (dans ce cas, les notes sont revues «à la hausse»), à restaurer l’autorité concrète ou symbolique du maître en sanctionnant certains comportements (les notes sont alors revues «à la baisse»), à sauvegarder une moyenne de points habituelle, à amener un élève vers une orientation future plutôt qu’une autre, à céder aux éventuelles «pressions» diverses des élèves, etc. Habituellement, ces comportements ne «sortent» pas de la classe, ils ne sont pas délibérément cachés par le maître mais celui-ci s’en vante rarement car ils font partie de sa propre «cuisine interne», de ses procédures personnelles (Merle, 1996). L’apposition d’une note relève donc bien également de la transaction, et constitue un moment particulier –mais essentiel –d’un processus beaucoup plus large, celui d’une véritable «négociation didactique» entre l’enseignant et ses élèves (Chevallard, 1991).


Les arrangements externes

Les arrangements dits externes prennent la même forme que les précédents, mais ils sont destinés à la direction de l’école, à l’administration, aux collègues, aux parents d’élèves, bref, à toute personne qui ne participe pas directement au quotidien de la classe, mais qui interagit néanmoins avec elle. Il s’agit souvent pour l’enseignant de présenter une image de sa classe qui satisfasse au mieux ces personnes extérieures: qu’adviendrait-il si trop d’élèves étaient en échec? Qu’adviendrait-il si tous avaient des résultats exceptionnels? La réputation et le «statut» prêté à l’enseignant pourrait être mis à mal et il en serait de même pour celui de l’établissement.


Les arrangements pour soi

Ce troisième type «d’arrangements évaluatifs» est fréquemment ignoré dans de nombreuses études et ceci principalement à cause de la difficulté de les appréhender et de les regrouper au sein de types-idéaux exploitables puisqu’ils dépendent directement de l’histoire et de la personnalité même du sujet-correcteur. Ils sont pris à l’égard de soi-même et peuvent dépendre d’une foule de représentations personnelles, chacune plus difficilement saisissable que l’autre: «l’idéal pédagogique» de l’enseignant, sa conception général de l’éducation, son propre parcours scolaire, son origine sociale, ses engagements politiques et associatifs particuliers, etc.


La distribution forcée

On attribue assez généralement à Posthumus, enseignant hollandais en poste en Indonésie durant la seconde guerre mondiale et interné dans un camp japonais durant celle-ci, la paternité d'une loi formulée de la manière suivante par De Landsheere :

«Un enseignant tend à ajuster le niveau de son enseignement et ses appréciations des performances des élèves de façon à conserver, d’année en année, approximativement la même distribution (gaussienne) de notes.»


«Dans les sciences humaines, la courbe en cloche de Gauss joue un rôle considérable, parce qu’elle est l’image même de la répartition de bien des aptitudes et des qualités : les individus moyens abondent, mais les génies et les idiots, les géants et les nains sont rares. Comme les tests mesurent souvent des aptitudes, des traits de personnalité ou des performances de vastes populations, et servent à classer les individus en les comparant les uns aux autres, il est naturel que ces épreuves soient étalonnées selon la répartition gaussienne : en gros, 70 % de moyens, 13 % de bons, 13 % de médiocres, 2 % d’excellents, 2 % de très mauvais. »

De Landsheere et la courbe de Gauss


Évaluation : quelques caractéristiques

La validité assure « que l’objet fixé et lui seul est bien l’objet mesuré ».

La fidélité implique « que les mesures répétées d’un objet, réalisées dans les mêmes conditions avec un même instrument doivent fournir les mêmes résultats ».

L’objectivité permet d’affirmer que les résultats sont indépendants de la personnalité ou des jugements de valeur de l’opérateur.

Le mythe de Pygmalion raconte qu’un roi de Chypre fou amoureux d’une statue (dont il est l’auteur ou le commanditaire selon les versions) se comporte avec son objet comme avec une épouse.

L’artefact, devenu Galatée, sa femme, lui donnera une descendance.

« L'effet Pigmalion »

L’effet Pygmalion a été mis en évidence par Robert Rosenthal qui avait désigné, de manière tout à fait aléatoire un certain nombre d’élèves qui étaient, soi-disant, pourvus d’une intelligence extraordinaire. Il s’avère que ces élèves ont brillamment réussi parce que les enseignants en étaient convaincus à l’avance

La notation encourage la tricherie. Des recherches ont mis au jour le fait que plus des étudiants sont amenés a se concentrer sur l’obtention d’une bonne note, plus ils étaient prêt à tricher et même s’ils considéraient ce comportement comme étant mauvais.

La notation corrompt les relations que les enseignants entretiennent avec les étudiants.Je suis fatigué d’animer une classe dans laquelle tout ce que nous faisons tourne autour de la notation. Je suis lassé d’être suspect lorsque les étudiants me font des compliments, me demandent s’ils agissent ainsi pour avoir de bonnes notes. Je suis fatigué de perdre tant de temps et d’énergie à noter vos feuilles, alors qu’il y a probablement une douzaine de façons plus productives et agréables pour nous tous d’évaluer vos documents. Je suis lassé de vous entendre me demander « Est-ce que c’est noté ? » Et Dieu sait comme je suis fatigué de tous ces petits arguments et contre-arguments que nous nous opposons concernant une cote, et qui enlève tant de plaisir à l’enseignement et à l’apprentissage Extrait de « Du constat des effets dévastateurs de la notation à sa suppression », Alfie Kohn, article paru dans « High School Magazine » (mars 1999) – Etats-Unis, p. 115, www.panote.org

La notation corrompt les relations des étudiants entre eux.

Le rôle social de la note. Notre société a donné un rôle social d’importance à la note. Pour les classes sociales les plus basses, la note revêt une importance capitale et la pression sur leurs enfants est d’autant plus grande car dans la suite logique de la note, il y a la possibilité pour leur progéniture de « grimper » dans l’échelle sociale. « Dans chaque classe, ils sont une trentaine, venus des quatre coins du département de Guanajuato, au centre du Mexique. Certains sont de familles assez pauvres et espèrent que leur diplôme leur permettra un avancement social. (...) Alors, à l’école comme à l’université, le seul but, le seul souci, c’est d’être parmi ceux qui ont de bonnes notes. Peu importe si on apprend » Extrait de « Vers une cohérence entre pratiques pédagogiques et modes d’évaluation. Regard sociopolitique sur cinq façons d’enseigner, Charles Pépinster – Au Mexique aussi (Philippe Eenens septembre 2005) », www.meirieu.com

Extrait de Comment évaluer collectivement ? - Cefedem Rhône-Alpeshttp://www.cefedem-rhonealpes.org/sites/default/files/ressources/.../lapassa.pdf

http://www.cefedem-rhonealpes.org/sites/default/files/ressources/.../lapassa.pdf

Les formes de présentation des évaluations agissent sur le contrat didactique

Un exemple : le polygone de réussite

Les formes de présentation des évaluations agissent sur le contrat didactique

Un autre exemple : évaluation par compétencesÉpreuve pratique de mathématiques Fiche évaluation Numéro du sujet : 2007-004 Titre : Nombre de solutions d’une équation NOM , Prénom : NOTE :

On ne cherchera pas à noter chacune des compétences.

Pour établir la note finale on prendra en compte les performances globales du candidat en respectant la grille de lecture suivante : La capacité à expérimenter (qui prend en compte de façon dialectique les performances dans l’utilisation des outils et la faculté de proposer des conjectures) doit représenter les trois quarts de la note finale. La capacité à rendre compte des résultats établis à partir de cette expérimentation (démonstration, argumentation ...) représentera le quart restant. La capacité à prendre des initiatives et à tirer profit des échanges avec l’examinateur sera globalement prise en compte de façon substantielle. Il n’est pas nécessaire qu’une compétence soit totalement maîtrisée pour être considérée comme acquise.

Extrait de :comment évaluer - Site de l'académie de Grenoble

Pour aller plus loin dans les évaluations en mathématiques

Voici un site sur l'évaluation en mathématiques

http://ctug48.univ-fcomte.fr/evapmib/

La base EVAPMIB qui rassemble les questions issues de 15 ans d’études EVAPM (de l'APMEP). C'est un site très complet en exemples d'évaluations, bien catégorisées.

http://ctug48.univ-fcomte.fr/evapmib/

Pour aller plus loin dans les évaluations en mathématiquesExtrait de : L'évaluation en Mathématiques - Espace pédagogique

Évaluation diagnostique : elle est réalisée avant une période d'enseignement. Elle a pour objectif de repérer le niveau de départ des élèves, leurs connaissances , leurs représentations. Quand on s'appuie sur ce type d'évaluation pour prédire le niveau à la fin de la séquence de chaque élève elle devienne évaluation prédictive.

Évaluation formative : elle est réalisée pendant la séquence d'enseignement-apprentissage avec l'objectif de repérer les obstacles des élèves et ainsi réguler l'enseignement.

Évaluation formatrice : elle est réalisée pendant la séquence d'enseignement-apprentissage avec l'objectif que les élèves repèrent leurs propres obstacles et qu'ils développent la compétence « appendre à apprendre » dans la gestion de leur apprentissage.

Évaluation sommative : elle est réalisée à la fin de la séquence. Elle a pour objectif de faire un bilan des apprentissages réalisés. Si le but est de délivrer un diplôme alors on la nomme évaluation certificative.

D’autres fondamentaux en évaluations :

Autoévaluation ; Évaluation mutuelle ; Coévaluation ; Évaluation normative ou comparative ; Évaluation interactive ; Évaluation par Contrat de Confiance ; ...

Quelle évaluation pour quelle pédagogie et contrat didactique ?

Les évaluations plus fréquentes en mathématiques

Exemple de pédagogie des mathématiques sur la WEB

Exemple

d'évaluation

sousla

formede

Quiz

en

Mathématiques

Situation problème Symétrie centrale

Lucie fabrique des vitraux. Une commune lui a demandé de réparer un vitrail de l’église du village qui a été cassé, en conservant la partie intacte. Ce vitrail a la forme d’un disque de 2 m de diamètre. La consultation de documents d’archive a permis de savoir que le vitrail initial était, dans ses formes, symétrique par rapport à son centre.

Exemple ludique des mathématiques sur la WEB

Mathématiques magiques http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/

Exemple ludique des

mathématiques sur la WEB

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/Mathématiques magiques

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/

Pédagogie inversée en mathématiques

D’où vient cette méthode?

Les premières expériences de pédagogie inversée, sont nées à Harvard dans les années 1990 avec un professeur de physique, Éric Mazur.

Celui qui a réellement développé le concept est un mathématicien étasunien d'origine indienne, Salman Kahn, qui avait publié des vidéos sur YouTube en 2004 pour aider des enfants de sa famille en mathématiques.

Il réalise que des centaines de personnes consultent ses vidéos. Rançon du succès en 2010, la fondation Bill Gates et Google lui offrent 3.5 millions de dollars. Il fonde la Kahn Academy, qui prône un espace web d’apprentissage gratuit et libre pour tous.

Le fonctionnement est le suivant :

Les élèves reçoivent des cours sous forme de ressources en ligne (en général des vidéos) qu’ils vont pouvoir regarder chez eux à la place des devoirs, et ce qui était auparavant fait à la maison est désormais fait en classe, d’où l’idée de classe “inversée”.


Dès décembre 2009, les tutoriels de Khan hébergés par YouTube reçoivent en moyenne 35 000 visites par jour. Chaque vidéo dure environ dix minutes. Les dessins sont faits avec SmoothDraw ; ils sont enregistrées et produits en utilisant la capture vidéo de Camtasia Studio. Khan souhaitait éviter un format qui impliquerait une personne debout devant un tableau blanc, et désirait au contraire présenter le contenu d'une manière semblable à la position assise à côté de quelqu'un qui travaillerait à un problème sur une feuille de papier : « Si vous regardez quelqu'un faire un problème en pensant à voix haute, je pense que les gens trouvent ça enrichissant et pas trop intimidant »

La Kahn Academy

Eduscol : Khan Academy et pédagogie inversée

Bibliothèques sans frontières lance sur son site la version française de la Khan Academy, organisation américaine à but non lucratif d'enseignement et de formation à distance. La plate-forme offre déjà un accès gratuit à plus de 250 vidéos en mathématiques sous licence Creative Commons. Des didacticiens des mathématiques en France, comme François Boule, font partie du comité de lecture de vidéos version française.

Des regards critiques:dans un dossier de veille de l'Université de Sherbrooke consacré à ce type d'expérience de formation hybride (présentiel et distanciel), les auteurs indiquent que le modèle de la classe inversée fait l'objet de certaines réserves. Même si tout un chacun reconnaît globalement l'intérêt du contenu mis à disposition gratuitement, en revanche, des critiques sont émises sur « les impacts possibles de cette réorganisation des activités pédagogiques » : mauvaise présentation des contenus, expériences "d'inversion" adaptées à certaines disciplines seulement, fracture numérique. D'autres voix, rappelle Thot Cursus, comme Derek Muller, questionnent le bien-fondé des capsules vidéos proposées du point de vue « des connaissances et des représentations préalables » des étudiants, préférant privilégier une approche pédagogique centrée sur les conceptions, bonnes ou mauvaises, des apprenants.

Perspectives:le site de la Khan Academy indique que « des expérimentations seront lancées par Bibliothèques Sans Frontières dans les établissements scolaires français à partir de 2014 ». En outre, des outils de suivi et de monitorat seront également disponibles à cette date pour permettre d’avoir « une vision précise de l’évolution de chaque élève dans la classe, via les statistiques en ligne, et ainsi « cibler l’accompagnement en fonction des niveaux et besoins de chacun ».Accueil Éduscol > Accueil Enseigner avec le numérique > S'informer sur le numérique > Fil: Veille éducation numérique > Septembre 2013 > Khan Academy et pédagogie inversée

Pédagogie inversée

en mathématiques

Collège Belle-Vue RUE DE LA PERRIERE , 72540 LOUE Site : http://mathix.org Auteur : DURAND Arnaud et Julien

Les problèmes DUDU sont tout d’abord des problèmes VIDEOS mettant en scène deux individus. Les problèmes DUDU illustrent des problèmes de la vie de tous les jours. L’organisation des séances tourne autour d’un travail de groupe, en pleine autonomie. Le projet a 2 ans et continue à l’heure actuelle.

Plus-value de l'action : Le plaisir de faire des mathématiques en groupe, et d’y trouver une utilité.

Nombre d'élèves et niveau(x) concernés :4e et 3e : toutes les classes.

A l'origine : Trois constats motivent cette expérimentation : Le problème de la place de l’individu dans un travail de groupe, que faire si on ne peut apporter au groupe ? Le manque d’autonomie des élèves. L’absence de lien entre la vie quotidienne et les mathématiques. ( le plaisir de faire des mathématiques).

Objectifs poursuivis : Faire en sorte que l’ensemble des individus de chaque groupe trouve sa place. Rendre autonome les élèves face à la recherche d’information et des moyens pour résoudre les situations de problèmes. Sensibiliser les élèves à la conception d’affiche, ce qui est important, le souci esthétique des productions (qui peut mettre en valeur des élèves « faibles » en mathématiques). Cela permet de travailler la communication directe (travail de groupe) et indirecte (production de support qui sera lu). Rentre attractif les mathématiques.

http://mathix.org/

Description :L’objectif : Toutes les 3 semaines, les élèves ont, par groupe, à résoudre un problème « DUDU » (vidéos disponibles là http://mathix.org/linux/problemes-ouverts/les-problemes-dudu ). Ils auront à répondre à ce problème en concevant une affiche répondant aux critères suivants : On doit comprendre comment ils trouvent la réponse ; Esthétiquement belle et attrayante (maquette, schémas, vidéo ….) ; Pas d’informations en trop, aller à l’essentiel, on doit comprendre rapidement. Pour cela : Une première séance de visionnage et capture d’informations est faite en classe. Les élèves travaillent sur les stratégies pour résoudre les problèmes. (Information sur internet, dictionnaire ….). Une semaine après, un point est fait, pour voir l’avancée des groupes dans leur travail, cela permet aux élèves de se répartir les tâches restantes. Une semaine ensuite, le même point est fait mais sur l’affiche. (esthétique, ce qu’il manque ou il y a en trop). La restitution des affiches et les commentaires in vivo se fait pendant la dernière séance, les autres élèves critiquent les affiches. Les critiques influent sur l’évaluation de l’affiche. On visionne le problème suivant…. Et cela continue jusqu’à la fin de l’année. Les affiches sont accrochées dans les couloirs pour qu’elles soient vues par les autres élèves et les maquettes sont mises sur des étagères en fond de salle. Les vidéos de certains élèves (comme production pour répondre) sont visionnées.

Collège Belle-Vue RUE DE LA PERRIERE , 72540 LOUE Site : http://mathix.org Auteur : DURAND Arnaud et Julien

http://mathix.org/

Les problèmes Dudu

Arnaud et Julien Durand, professeurs de mathématiques dans l'académie de Nantes, proposent sur leur site personnel "mathix.org" un grand nombre de vidéos mettant en scène des situations de la vie courante et débouchant sur des questions mathématiques.

Ces vidéos peuvent être utilisées comme supports à des devoirs à la maison originaux. Les situations qui y sont proposées peuvent prolonger un travail de recherche commencé en classe autour d'un thème donné mais aussi réinvestir des notions plus anciennes dans des situations nouvelles.

Le support vidéo permet de motiver le problème, favorise les prises d'initiatives, oblige chacun à extraire les données nécessaires à sa résolution, impose une modélisation de la situation.

Afin de différencier le travail entre les élèves, des prolongements à la question initiale peuvent parfois être envisagés.

A lire : De nouvelles façons de faire vivre des problèmes ouverts et de donner du sens aux mathématiques ? L'utilisatoin de vidéos ! (Académie de Nantes).

Article de l'académie de Marseille

http://mathix.org/linux/

http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/servlet/com.univ.collaboratif.utils.LectureFichiergw?CODE_FICHIER=1400399712921&ID_FICHE=339262

http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/servlet/com.univ.collaboratif.utils.LectureFichiergw?CODE_FICHIER=1400399712921&ID_FICHE=339262

Parcours d’Étude et de Recherche(PER) dans la communauté enseignante. Cette proposition didactique, ainsi que celle d'Activité d’Étude et de Recherche(AER), ont émergé au cours des années 2000 à partir de la Théorie Anthropologique du Didactique, (voir Yves Chevallard). Il s'agit d'un enseignement dans lequel le choix des questions doit permettre aux élèves de se porter vers des raisons d'être des mathématiques qui lui sont enseignées. Ce sens des mathématiques a apprendre est dévolu aux élèves, ceci sous la direction du professeur.

Voir : le groupe PERMES (Parcours d’Études et de Recherche Mathématiques dans l’Enseignement du Secondaire)

Les AER et les PER (voir Yves Matheron et le groupe PERMES de l'Ifé).

L'organisation didactique de l'institution (ensemble de pratiques d'enseignement et d'apprentissage systématiques et partagées), dépend fortement de l'organisation mathématique que cette organisation didactique vise à mettre en place. Et réciproquement, l'organisation mathématique (ensemble de pratiques mathématiques systématiques et partagées dans l'institution) est déterminée, à son tour, par l'organisation didactique dominante dans l'institution. Cette détermination réciproque, ou co-détermination, entre le mathématique et le didactique constitue, selon Yves Chevallard, « le principe fondateur des didactiques, au moins au sens qu'a donné Guy Brousseau à ce terme» (voir : Yves Chevallard 2001 : Cours donné à la Xième école d’été de didactique des mathématiques Paru dans les actes correspondants, La Pensée Sauvage, Grenoble)

Yves Chevallard sur l'organisation didactique

Les outils informatiques et leur place didactique

Le TBI Le passage au TBI risque fort de renforcer le modèle de la transmission. La technologie n’est qu’un outil, c’est l’utilisateur qui lui donne un sens.

Par contre on peut l'utiliser dans une pédagogie socio-constructiviste

Les logiciels de géométrie dynamiqueLes logiciels de géométrie dynamique risquent de renforcer

le modèle de la transmission s'il sont utilisés que par l'enseignant pour renforcer son exposé.

Par contre on peut les utiliser dans une pédagogie socio-constructiviste.

Les exerciseurs Les exerciseurs risquent de renforcer la pédagogie

behavioriste s'ils sont utilisés seulement pour vérifier ou pour répéter

Les REO ( ressources éducatives ouvertes), aident les étudiantes et étudiants qui n’ont pas encore maîtrisé complètement des concepts mathématiques ou des techniques, ou qui les ont oubliés. Exemple : les « massive open online courses », ou MOOC)

Elles fournissent aussi un cheminement de rechange pour les étudiantes et étudiants qui ont de la difficulté à suivre le rythme des cours magistraux en classe.

De plus, elles attirent un groupe grandissant d’apprenantes et apprenants qui s’y intéressent tout simplement, mais ne veulent pas s’inscrire à un cours ou un programme formel.

Enfin, les membres du personnel de formation peuvent les incorporer dans leurs conceptions pédagogiques.

Les outils informatiques et leur place didactique

Les outils informatiques et leur place didactiqueLes cartes mentales ou carte conceptuelle, carte de concepts,

carte heuristique, schéma heuristique, topogramme, carte mentale. Ils peuvent selon le choix de pédagogie être un outil

puissant en pédagogie socio-constructiviste.

Les cartes mentales

Télécharger FreeMind (gratuit) - Comment Ça Marchehttp://www.commentcamarche.net/download/telecharger-3673472-freemind FreeMind est un logiciel de Mind mapping entièrement libre, permettant de créer des cartes heuristiques

Cartes mentales: quel logiciel utiliser ? | Tilekol.orghttp://www.tilekol.org/cartes-mentales-quel-logiciel-utiliser Petite carte mentale réalisée en 2 minutes avec Simple Mind. (logiciel gratuit Mac / PC).

Les cartes mentales et le numérique

Présentation d'un dossier réalisé conjointement par Infobourg.com et Carrefour Éducation sur la thématique des cartes mentales en éducation. Le dossier met en exergue les avantages et les usages fréquemment rencontrés, des exemples de cartes mentales en classe ainsi que des conseils méthodologiques et pratiques. Cette présentation est complétée par une synthèse de certains travaux de recherche récents autour des apports bénéfiques potentiels offerts par les cartes heuristiques au niveau des apprentissages.

Ressources sur les cartes heuristiques — Lettres — Éduscol ..eduscol.education.fr › ... › Cartes heuristiques.

http://www.commentcamarche.net/download/telecharger-3673472-freemind

http://www.commentcamarche.net/download/telecharger-3673472-freemind

http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&uact=8&ved=0CDwQFjAE&url=http%3A%2F%2Fwww.tilekol.org%2Fcartes-mentales-quel-logiciel-utiliser&ei=8sCnVLX4CIPlOJuugZAK&usg=AFQjCNHsRe2FHdULoBuHyXyhKGvpkwkUrw&bvm=bv.82001339,d.ZWU

http://www.tilekol.org/cartes-mentales-quel-logiciel-utiliser

Papier ou écran ?

Anik Lessard Routhier préconise d'initier les élèves à la technique des cartes mentales en commençant par l'usage du papier et du crayon : « la création sur papier transformera la technique en une seconde nature et permettra aux nombreuses œuvres des élèves d’être classées dans un cartable d’idées ou affichées aisément en classe. Une fois le concept bien établi, on peut proposer l’usage de logiciels ou d’applications en ligne afin d’obtenir des cartes mieux structurées, visuellement plus agréables et faciles à modifier ». L'outil numérique permet en revanche de créer aisément des représentations graphiques, de les sauvegarder, de les partager, de les imprimer, voire de les publier sur les différents réseaux numériques. L'auteure suggère à cet égard quelques pistes logicielles propriétaires et libres ainsi que certaines applications en ligne comme SpiderScribe, iMindMap et MindMup offrant des possibilités de travail collaboratif.

Ressources sur les cartes heuristiques — Lettres — Éduscol ..eduscol.education.fr › ... › Cartes heuristiques

Des résultats de recherches

Les analyses des chercheurs semblent rejoindre les constats empiriques effectués par un certain nombre de praticiens sur le terrain. En effet, l'Agence nationale des Usages des TICE publie via sa rubrique dédiée « Que dit la recherche ? » (articles sur les recherches scientifiques récentes au sujet de l'enseignement et l'apprentissage avec les TICE) une synthèse, réalisée par Pierre Nobis, sur l'apport des cartes heuristiques et la plus-value des outils numériques dédiés à ce type de représentation arborescente hiérarchisée. Les bénéfices relevés au vu des résultats de certaines études sont les suivants : « les analyses des chercheurs relèvent une amélioration significative des notes aux tests lorsque l'apprenant élabore lui-même la carte heuristique, en la modifiant et/ou en ajoutant des éléments nouveaux. Ceci tend à souligner l'impact possible du mindmapping en matière de mémorisation des contenus. Dans cette démarche centrée sur l'élève, l'enseignant joue le rôle de facilitateur ». Concernant les logiciels proprement dits, « le bilan des tests comparatifs fait apparaître de meilleurs résultats chez les étudiants ayant eu recours au mindmapping numérique en particulier, [...] les analyses des chercheurs [indiquant] que les cartes heuristiques aident les étudiants à mobiliser leurs idées, à les hiérarchiser, à comprendre les concepts et à collaborer entre pairs ».

http://www.cndp.fr/agence-usages-tice/que-dit-la-recherche/les-cartes-heuristiques-pourquoi-et-pour-qui-65.htm

Depuis toujours, l’homme utilise des représentations graphiques afin de communiquer des connaissances aussi bien abstraites que concrètes. Dans l’antiquité, Porphyre de Tyr (234-305, Liban) a écrit une préface aux Catégories d’Aristote dans laquelle il vulgarise la pensée d’Aristote à l’aide d’une sorte d’arbre.

Un autre exemple historique : L'« arbre des sciences » de Raymond Lulle 13ème siècle

Aristote et les cartes mentales

Les portfolios

Les différents portfolios sont des outils dynamiques qui permettent de suivre l’évolution de la progression d’un élève dans ses apprentissages. Par son activité scolaire, l’élève est l’acteur principal dans l’élaboration du portfolio qui secondairement peut également contenir des commentaires et des réflexions des enseignants et des parents.On peut dire que le portfolio est un instrument qui favorise une pédagogie constructiviste en mathématiques.

Les tutoriels

Les différents tutoriels sont conçus dans une

perspective behavioriste avec des questions et

leur réponses.

Les simulateurs

Que sont les simulations numériques et à quoi servent-elles ?

Il s'agit de problèmes de mathématique appliquée dans lesquels on essaie de résoudre numériquement

des modèles d'origine physique, biologique, économique, financier…

Les simulateurs se prêtent bien à une démarche constructiviste de l'apprentissage à la condition que

l’apprenant l'utilise dans une démarche de recherche.

Voir :

Mathématiques, modélisation et simulation - Université de ...www.canal-u.tv › Vidéo

Un autre modèle d’enseignement : la pédagogie explicite Direct Instruction, un modèle d’enseignement structuré, systématique et explicite mis au point au début des années 1960 par Siegfried Engelmann. Voir Site Form@PEx

Cette pédagogie met en place une structure de leçons identiques, composée de plusieurs phases :

la mise en situation, dans laquelle le professeur va expliquer aux élèves ce qu'il vont apprendre durant le cours, quels sont les sujets qu'ils vont aborder, quel est le but de la leçon, ce que les élèves seront capables de faire après la leçon, etc.

le rappel des pré-requis, dans laquelle les pré-requis utilisés dans le cours sont pré-activés.

le modelage dans laquelle l'enseignant montre, pose des questions, vérifie la compréhension.

la pratique guidée dans laquelle l'enseignant résout des exercices devant les élèves : il pense à haute voix, montre explicitement comment il résout le problème, montre bien quelles sont les étapes de résolution et comment il les enchaîne, il explicite ses raisonnements, etc.

la pratique autonome dans laquelle les élèves travaillent de plus en plus par eux-mêmes.

l'objectivation dans laquelle l’enseignant en profite pour assurer l’objectivation des apprentissages réalisés. Il fait ressortir « l’essentiel à retenir ». Puis, il annonce la prochaine leçon et propose des activités pour poursuivre la consolidation et l’automatisation.

enfin, des révisions régulières et des évaluations viennent clore ce processus et permettre un maintien en mémoire sur le long terme.

L'apprentissage coopératif repose sur le travail en petits groupes hétérogènes, généralement de deux ou quatre élèves. Au sein du groupe, les élèves ne sont pas laissés à l’abandon : le travail est structuré de façon à s’assurer que chaque élève participe effectivement à l'accomplissement de la tâche proposée.

La coopération peut être obtenue par un encouragement à la discussion des points de vue ou bien par un partage des rôles au sein du groupe qui rend réellement les élèves dépendants les uns des autres.

L’intérêt de l’apprentissage coopératif réside dans le fait qu’il met les élèves en interaction et les incite ainsi à verbaliser et à reformuler leurs idées, à comparer leurs stratégies et leurs façons d’apprendre.

L’apprentissage coopératif

Pour que l’enseignement soit efficace, il faut aussi que les élèves ne soient pas passifs, qu’ils soient réellement engagés dans l’apprentissage. Cela peut être obtenu de différentes manières, mais l’une d’entre elles, l’apprentissage coopératif entre pairs, fait preuve d’une efficacité au-dessus de la moyenne. Guidés par les enseignants, les élèves sont ainsi amenés à clarifier, à formaliser et à expliciter leurs raisonnements.

L’apprentissage coopératif

Extrait de « Les pratiques pédagogiques efficaces ». Conclusions de recherches récentes. Document de travail n°2014-01, France Stratégie, août 2014 http://www.strategie.gouv.fr/

http://www.strategie.gouv.fr/

Utiliser le terme méthode nous permet simplement de regrouper un certain nombre de pratiques, mais on doit bien garder à l’esprit que les frontières entre méthodes ne sont pas toujours précises et que dans les faits, la pratique de chaque enseignant ne se résume évidemment pas à la stricte mise en œuvre d’une méthode

Méthode pédagogique ?

Extrait de « Les pratiques pédagogiques efficaces ». Conclusions de recherches récentes. Document de travail n°2014-01, France Stratégie, août 2014 http://www.strategie.gouv.fr/

http://www.strategie.gouv.fr/

Le contrat didactique est lié à la notion de contrat pédagogique, introduite en sciences de l'éducation par J. Filloux

Le contrat pédagogique est ce qui fixe explicitement, mais surtout implicitement, les attentes et devoirs respectifs de l'enseignant et des élèves dans une situation d'enseignement donnée, le contrat didactique est grossièrement la part de ce contrat qui concerne le contenu mathématique.

Des animateurs de l'IREM de Grenoble, il y a une dizaine d'années, osèrent aller plus loin dans la rupture du contrat usuel, posant à des élèves de l'école élémentaire des problèmes idiots comme:

« Dans une classe, il y a 4 rangées de 8 places, quel âge a la maîtresse ? »

« Dans une classe, il y a 15 garçons et 14 filles, quel est l'âge de la maîtresse ? »

« Un berger a trois chiens et 120 moutons, quel est l'âge du berger? ».

Et, scandale ! on s'aperçut que les élèves de l'école élémentaire

s'appliquaient dans leur grande majorité,comme si de rien n'était, à résoudre ces problèmes, ne choisissant même pas au hasard les opérations: la maîtresse était créditée de 32 ans dans le premier cas, de 29 dans le second, le berger de 40 ans.

La notion de contrat didactique, extraits de Michéle Artigue et l'âge du capitaine - Michel Delord - Freemichel.delord.free.fr/captain1-0.pdf

"sur un bateau, il y a 26 moutons et 10 chèvres, quel est l'âge du capitaine ?"

Remarques générales pour la didactique des mathématiques

L’acquisition de connaissances passe par une interaction entre le sujet et l’objet d’études par le biais de résolutions de problèmes

La tête de l’élève n’est jamais vide de connaissances (conceptions)

L’apprentissage ne se fait pas par empilement de connaissances, ni de manière linéaire

L’élève donne un sens à une connaissance que si elle apparaît comme un outil indispensable pour résoudre un problème

Les interactions sociales entre élèves peuvent aider à l’apprentissage


Questions actuelles sur des nouveaux contrats didactiques qui intègrent les outils

informatiques

L’évaluation par les pairs ? Nouvelles formes d’évaluation ?(voir le logiciel PEAR outil d’examen, d’évaluation et d’appréciation par des pairs)

Sécurité en matière d’examens ?

Partage accru du pouvoir entre le personnel enseignant et les apprenantes et apprenants

Quelles utilisations de mondes virtuels et de simulations ?

Les contenus de cours produits par les étudiantes et étudiants ?

L’apprentissage partout, en tout temps et de toute taille ?(voir l’apprentissage en ligne autodirigé et non formel)

Un contrat didactique doit se baser sur le principe de diversification des

univers. Selon nos recherches sur la nécessité de la présence de

différents univers pour faciliter les psychomorphismes ( voir module 1), on conclut que pour que le contrat didactique

soit « un contrat ouvert à tous » l’enseignement doit :

Varier les univers des situations d'apprentissage-enseignement

Varier les univers d'évaluation

Varier les univers de communication

L'avenir des contrats didactiques Étant donné la vitesse accélérée du développement de la technologie numérique, on assiste actuellement à une grande créativité dans le domaine des modalités d'apprentissage-enseignement.

L'avenir proche sera prolifère en idées pédagogiques innovantes et on vivra dans un univers passionnant, plein de défis en

didactique des mathématiques. Des nouveaux contrats didactiques verront le jour très prochainement.

Didactique des mathématiques : les fondamentaux

Dr. Ruben Rodriguez Herrera

Agrégé en Mathématiques [email protected]

IREM, ESPE, Ifé, CEMU Université de Caen Normandie France

IREM de Basse - Normandie

Année 2014-2015

http://www.math.unicaen.fr/irem

didactique des mathématiques : les fondamentaux dr. ruben

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