DID-355DID-355 Raisonnements Raisonnements mathématiquesmathématiquesAutomne 2013Automne 2013

Hassane SqualliHassane SqualliBaccalauréat en enseignement au Baccalauréat en enseignement au

secondairesecondaireProfil mathématiqueProfil mathématique

Université de SherbrookeUniversité de Sherbrooke26 août 201326 août 2013

PlanPlan

1) Présentation du plan de cours1) Présentation du plan de cours Pause Pause 2) Atelier: l’analyse conceptuelle2) Atelier: l’analyse conceptuelle 3) la visualisation mathématique3) la visualisation mathématique

-1--1-présentation du plan de présentation du plan de

courscours

-2--2-Qu’est-ce qu’une Qu’est-ce qu’une

enseignante ou un enseignante ou un enseignant doit savoir pour enseignant doit savoir pour bien enseigner un contenu bien enseigner un contenu mathématique, par exemple mathématique, par exemple

la notion d’aire, à une la notion d’aire, à une classe d’élèves de l’école classe d’élèves de l’école

secondaire ?secondaire ?

Vers une analyse Vers une analyse conceptuelle de la conceptuelle de la

notion d’airenotion d’aire

Un exempleUn exemple

Principale Principale question qui question qui

oriente le cadre de oriente le cadre de cette analysecette analyse

Quelles connaissances doit Quelles connaissances doit avoir l’enseignant pour «bien» avoir l’enseignant pour «bien»

enseigner la notion d’aire?enseigner la notion d’aire?

Des connaissances sur divers Des connaissances sur divers aspects de la notion d’aire de son aspects de la notion d’aire de son

enseignement et son enseignement et son apprentissageapprentissage

Aspectenseignement

Aspect mathématique

Aspect épistémologique

Aspect curriculaire

Aspect de l’élève

Aire

Aspect mathématiqueAspect mathématique

Conceptsreliés

Définitions

Significations

?

Formalisations

Liens intraet extradisciplinaires

AspectMath

Aspect épistémologiqueAspect épistémologique

?Obstacles

épistémologiques

Grandes étapes duDéveloppement

Historique

AspectÉpistémologique

Aspect de l’élèveAspect de l’élève

conceptions

Raisonnements

?

Obstacles

Erreursdifficultés

Idées intuitives

Élève

Aspect enseignementAspect enseignement

Recommandations

? verbalisations

contextualisations

MatérielsDe manipulation

Enseignement

Aspect curriculaireAspect curriculaire

Place de la notionDans le curriculum

?Liens intra et

interdisciplinaires

Les apprentissagesAttendus

Les savoirs prescritsRelatif à la notion

d’aire

Aspectcurriculaire

Aspect mathématiqueAspect mathématiqueconcepts liés et définitionsconcepts liés et définitions

Concepts liée: surface, mesure, unité, … Concepts liée: surface, mesure, unité, … En géométrie l’aire est une mesure de surface. La En géométrie l’aire est une mesure de surface. La

surface peut être plane ou dans l’espace.surface peut être plane ou dans l’espace. Une surface est un objet qui a deux dimensions. Une surface est un objet qui a deux dimensions.

C’est pourquoi l’aire d’une surface est une mesure C’est pourquoi l’aire d’une surface est une mesure bidimensionnelle; elle se présente souvent comme le bidimensionnelle; elle se présente souvent comme le produit de deux facteurs.produit de deux facteurs.

L’aire est une mesure, elle doit s’exprimer par L’aire est une mesure, elle doit s’exprimer par rapport à une unité de mesure. Cette unité est la rapport à une unité de mesure. Cette unité est la mesure d’une surface étalon. La surface étalon peut mesure d’une surface étalon. La surface étalon peut être n’importe quoi. On choisi conventionnellement être n’importe quoi. On choisi conventionnellement un carré unité. Si l’unité de longueur est le mètre, un carré unité. Si l’unité de longueur est le mètre, alors l’unité d’aire sera exprimée en mètre carré alors l’unité d’aire sera exprimée en mètre carré (m(m22).).

Le calcul d'aire est un large domaine des Le calcul d'aire est un large domaine des mathématiques allant de l’aire de surfaces usuelles mathématiques allant de l’aire de surfaces usuelles jusqu'au calcul intégral.jusqu'au calcul intégral.

Aspect mathématiqueAspect mathématiqueconcepts liés et définitions concepts liés et définitions

(suite)(suite) La valeur exacte de l’aire d’une surface du La valeur exacte de l’aire d’une surface du

plan ne peut pas être toujours possible. Par plan ne peut pas être toujours possible. Par exemple, dans le cas de l’aire d’une surface exemple, dans le cas de l’aire d’une surface délimitée par une courbe de forme non délimitée par une courbe de forme non triviale, on ne peut que faire une triviale, on ne peut que faire une approximation de l’aire, en faisant une approximation de l’aire, en faisant une approximation de la courbe par un polygone.approximation de la courbe par un polygone.

Le calcul de l’aire d’un polygone peut être Le calcul de l’aire d’un polygone peut être obtenu en décomposant le polygones en obtenu en décomposant le polygones en formes polygonales plus simples (triangles, formes polygonales plus simples (triangles, carrées, rectangles, etc..).carrées, rectangles, etc..).

Lorsque la courbe peut s’exprimer par une Lorsque la courbe peut s’exprimer par une fonction, il suffit de calculer l’intégrale de fonction, il suffit de calculer l’intégrale de cette fonctioncette fonction

Aspect mathématiqueAspect mathématiqueFormules d’aires de figures Formules d’aires de figures

géométriquesgéométriques Formules avec une variété de preuvesFormules avec une variété de preuves

Aspect de l’élèveAspect de l’élèveErreurs-difficultésErreurs-difficultés

Difficulté dans le passage des mesures Difficulté dans le passage des mesures unidimensionnelles aux mesures unidimensionnelles aux mesures multidimensionnelles. multidimensionnelles. Peut engendrer des erreurs dans la comparaison de Peut engendrer des erreurs dans la comparaison de

mesures de surfaces (exemple: si le périmètre d’un carré mesures de surfaces (exemple: si le périmètre d’un carré double, l’aire double aussi); dans les unités de mesure à double, l’aire double aussi); dans les unités de mesure à utiliser (non plus des unités de longueurs mais des unités utiliser (non plus des unités de longueurs mais des unités de surface) ainsi que dans la conversion d’une unité de de surface) ainsi que dans la conversion d’une unité de mesure d’aire à une autre. mesure d’aire à une autre.

La mesure de longueurs peut être obtenue par La mesure de longueurs peut être obtenue par mesurage (application d’un instrument de mesure); mesurage (application d’un instrument de mesure); la mesure de surface nécessite des habiletés la mesure de surface nécessite des habiletés intellectuelles. (Contrairement à la mesure des intellectuelles. (Contrairement à la mesure des longueurs, il n’existe aucun instrument de mesure longueurs, il n’existe aucun instrument de mesure directe des aires. Même dans le cas où l’on utilise directe des aires. Même dans le cas où l’on utilise un instrument pour mesurer la masse, d’une surface un instrument pour mesurer la masse, d’une surface matérielle uniforme, un raisonnement proportionnel matérielle uniforme, un raisonnement proportionnel est nécessaire pour passer au calcul d’aires.)est nécessaire pour passer au calcul d’aires.)

Aspect de l’élèveAspect de l’élèveErreurs-difficultés (suite)Erreurs-difficultés (suite)

Confusion entre la surface et l’aire, entraîne:Confusion entre la surface et l’aire, entraîne: Difficulté à accepter que des surfaces différentes Difficulté à accepter que des surfaces différentes

peuvent avoir la même aire. Cette dualité existe peuvent avoir la même aire. Cette dualité existe et on doit en tenir compte dans notre et on doit en tenir compte dans notre enseignement.enseignement.

Difficulté de distinguer la surface d’une figure et Difficulté de distinguer la surface d’une figure et son aire. L’aire d’une figure représente la son aire. L’aire d’une figure représente la mesure de la surface, donc l’aire n’est pas un mesure de la surface, donc l’aire n’est pas un objet concret, c’est une mesure, un nombre et objet concret, c’est une mesure, un nombre et donc, des figures de formes différentes peuvent donc, des figures de formes différentes peuvent avoir la même aire, l’aire ne dépend aucunement avoir la même aire, l’aire ne dépend aucunement de l’apparence de la figure. L’objet est ici une de l’apparence de la figure. L’objet est ici une forme géométrique quelconque qui occupe un forme géométrique quelconque qui occupe un certain espace dans le plan (elles sont certain espace dans le plan (elles sont habituellement limitées par des droites ou des habituellement limitées par des droites ou des courbes; des figures fermées). courbes; des figures fermées).

Aspect de l’élèveAspect de l’élèveIdées intuitivesIdées intuitives

Idée d’étendue: Deux surfaces ont la même Idée d’étendue: Deux surfaces ont la même aire si un découpage de l’une permet de aire si un découpage de l’une permet de recouvrir exactement l’autre (avec recouvrir exactement l’autre (avec retournement éventuel de certaines pièces, retournement éventuel de certaines pièces, on parlera de découpage-recollement.) on parlera de découpage-recollement.)

Si un découpage-recollement permet à Si un découpage-recollement permet à partir d’une surface d’en obtenir une autre partir d’une surface d’en obtenir une autre (ou de la recouvrir exactement), les deux (ou de la recouvrir exactement), les deux surfaces ont « même étendue ». surfaces ont « même étendue ».

L’aire d’une surface est l’ensemble des L’aire d’une surface est l’ensemble des surfaces qui totalisent la même étenduesurfaces qui totalisent la même étendue

……

Aspect enseignementAspect enseignementPassages importants à prévoirPassages importants à prévoir

(Rupture) Passage d’une mesure (Rupture) Passage d’une mesure unidimensionnelle à une mesure unidimensionnelle à une mesure bidimensionnelle;bidimensionnelle;

L’aire est une mesure et non un objet L’aire est une mesure et non un objet géométriquegéométrique

L’aire ne dépend pas de la forme de la L’aire ne dépend pas de la forme de la surface.surface.

……

Aspect enseignementAspect enseignementRecommandationsRecommandations

Il faut utiliser une verbalisation en terme de Il faut utiliser une verbalisation en terme de plus grand, plus petit ou pareil pour démarrer plus grand, plus petit ou pareil pour démarrer l’apprentissage de cette mesure, tout comme l’apprentissage de cette mesure, tout comme toute autre notion de mesure. Il faut donc toute autre notion de mesure. Il faut donc favoriser des activités concrètes de comparaison favoriser des activités concrètes de comparaison de surfaces, afin de pouvoir mieux isoler de surfaces, afin de pouvoir mieux isoler l’attribut qui sera bientôt mesuré. Ceci aidera à l’attribut qui sera bientôt mesuré. Ceci aidera à surmonter certaines conceptions par rapport à surmonter certaines conceptions par rapport à l’apparence de la figure et la distinction l’apparence de la figure et la distinction périmètre/aire (pour les distinguer, il faut créer périmètre/aire (pour les distinguer, il faut créer la confrontation entre ces deux concepts) et la confrontation entre ces deux concepts) et donnera plusieurs images «mentales» qui seront donnera plusieurs images «mentales» qui seront très utiles lors de l’estimation. Ici, on pourrait très utiles lors de l’estimation. Ici, on pourrait penser aussi à effectuer des comparaisons en penser aussi à effectuer des comparaisons en réalisant des transformations sur les figures et réalisant des transformations sur les figures et en démontrant que celles-ci conservent la en démontrant que celles-ci conservent la mesure invariante.mesure invariante.

Aspect enseignementAspect enseignementRecommandations (suite)Recommandations (suite)

L’introduction de la formule vient très souvent L’introduction de la formule vient très souvent court-circuiter le raisonnement en court-circuiter le raisonnement en transformant un problème de mesure en un transformant un problème de mesure en un problème arithmétique en ayant recours à des problème arithmétique en ayant recours à des automatismes de calcul qui n’ont aucune automatismes de calcul qui n’ont aucune signification réelle. Il faut donc organiser des signification réelle. Il faut donc organiser des activités qui aideront les élèves à mémoriser activités qui aideront les élèves à mémoriser ces formules en les associant à des objets et à ces formules en les associant à des objets et à leurs caractéristiques. Les formules doivent leurs caractéristiques. Les formules doivent être considérées comme étant une description être considérées comme étant une description générale permettant de mesurer des objets générale permettant de mesurer des objets plus complexes et le symbolisme n’est pas plus complexes et le symbolisme n’est pas nécessaire pour aboutir à une formule, celle-ci nécessaire pour aboutir à une formule, celle-ci peut être présentée dans un langage peut être présentée dans un langage intermédiaire.intermédiaire.

Aspect enseignementAspect enseignementRecommandations Recommandations (suite)(suite)

Une approche de construction des formules d’aires Une approche de construction des formules d’aires des polygones usuelles: des polygones usuelles: RectangleRectangleparallélogrammeparallélogrammetriangletriangletrapèze, trapèze, losange losange quadrilatères ou n-gones plus quadrilatères ou n-gones plus complexes complexes Passage intéressants: invariance de l’aire d’un Passage intéressants: invariance de l’aire d’un

triangle par déplacement du sommet opposé à la triangle par déplacement du sommet opposé à la base parallèlement à la base.base parallèlement à la base.

Approximation de l’aire d’une surface par une Approximation de l’aire d’une surface par une ligne courbe ….ligne courbe ….

Approximation de l’aire du disque par l’aire d’un n-Approximation de l’aire du disque par l’aire d’un n-gones régulier inscrit dans le cercle (l’arc est gones régulier inscrit dans le cercle (l’arc est approché par un segment).approché par un segment).

Aires de solidesAires de solides

Aspect enseignementAspect enseignementRecommandations Recommandations (suite)(suite)

Schèmes de comparaison d’airesSchèmes de comparaison d’aires Superposition de figures :Superposition de figures : Pliage :. Pliage :. Découpage et recomposition : (Activités Découpage et recomposition : (Activités

de P. Clapponi avec le Tangram sont des de P. Clapponi avec le Tangram sont des exemples de ce procédé (voir Petit X, exemples de ce procédé (voir Petit X, no.14-15, p.84, 1987). no.14-15, p.84, 1987).

DessinDessin QuadrillageQuadrillage PavagePavage

La visualisation La visualisation mathématiquemathématique

25

Généraliser à l’aide d’une visualisation

1+3+5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + … + 99 = ?

52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

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. . . . .

. . . . .

La sommes des 5 premiers nombres impairs consécutifs vaut 52

26

Généraliser à l’aide de la visualisation

1 + 3 x 4 1 + 3n

2 x 4 + 4 + 1 2n + n + 1

4 x 4 – (4 – 1) 4n –(n – 1)

(El-Habib, A., et Squalli, H. (2013) Le développement de la visualisation mathématique au secondaire. Communication à la 40e session de perfectionnement du GRMS. 29, 30 mai ,Longueuil

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(Dahan-Dalmedico et Peifer, 1986)

AtelierAtelier