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Devoir Surveillé 1 – Physique-Chimie

D.Malka – MPSI 2020-2021 – Lycée Jeanne d’Albret

19.09.2020

Durée de l’épreuve : 3h00

L’usage de la calculatrice est autorisé.

L’énoncé de ce devoir comporte 5 pages.

— La numérotation des exercices doit être respectée.— Les résultats doivent être systématiquement encadrés.— Les pages doivent être numérotées de la façon suivante : n°page courante/nombre total de pages.— Il ne faudra pas hésiter à formuler des commentaires. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi

que des qualités de rédaction de la copie.— Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre

copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amené àprendre.

Problème 1 – Une éolienneDans ce problème, on s’intéresse à la puissance et à la qualité de l’électricité qu’une éolienne injecte dans le

réseau. Masse volumique moyenne de l’air ρ = 1,30 g · L−1 ; données sur l’éolienne étudiée : fig.1 et 2

(a) Offshore Vestas 112 wind turbines

Power

Rated power 3000 kWCut-in wind speed 3,0 m · s−1

Rated wind speed : 12,0 m · s−1

Cut-in wind speed 25,0 m · s−1

RotorDiameter 112 mNumber of blades 3Max speed 17,7 U/min

(b) Data-Sheet

Figure 1 – Vestas V112 Offshore wind-turbine – General data

1. Quelle puissance maximale l’éolienne peut-elle délivrer ?2. On suppose que la puissance électrique P délivrée par une éolienne dépend de la masse volumique de l’airρ, de la vitesse du vent v et de l’aire A balayée par les pales du rotor. Exprimer la puissance de l’éoliennesous la forme P = 1

2CpραAβvγ , avec une Cp constante sans dimension appelé coefficient de puissance et

α, β et γ des coefficients à déterminer.3. Discuter la validité de l’expression obtenue à l’aide des documents fournis. Proposer une valeur pour Cp

pour l’éolienne Vestas V112.4. L’éolienne convertit l’énergie mécanique en énergie électrique. L’électricité injectée dans le réseau électrique

doit présenté une certaine qualité. En autres, le signal électrique délivré doit être harmonique à la fréquencef du réseau EDF (RTE en fait) et de valeur efficace 220 V.4.1 Quelle doit être la valeur de f ?4.2 Quelle doit être la valeur de l’amplitude du signal ?

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MPSI – 2020-2021 – Lycée Jeanne d’Albret D.Malka DS1 – Physique-Chimie

4 6 8 10 12 14

v (m. s−1)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

P(kW

)

Figure 2 – Vestas V112 Offshore wind-turbine – Power vs wind speed

Problème 2 – Modèle d’Einstein des solides cristallinsDans ce problème, on s’intéresse à la modélisation des solides cristallins par Albert Einstein en 1907. Comme

pour expliquer l’effet photoélectrique (1905), Einstein fait notamment appel à l’hypothèse de quantification del’énergie introduite par Planck en 1900.

Données :

— Constante réduite de Planck : ~ = h

2π = 1,05× 10−34 J · s ;

— Constante de Boltzmann : kB = 1,38× 10−23 J ·K−1 ;— Nombre d’Avogadro : NA = 6,02× 1023 ;— Masse molaire du germanium : MGe = 28,0 g ·mol−1 ;— L’électron-Volt : 1 eV = 1,60× 10−19 J ;— La calorie : 1 cal = 4,18 J ;— Si x 1 alors ex ≈ 1 + x.

1–L’oscillateur harmonique classique à une dimension - Exemple du système masse+ressort

On considère une masselotte, assimilée à un point matériel M de masse m, soumise uniquement à laforce de rappel d’un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 auquel elle est reliée (fig.3).

k,l0

l0 x(t)0M(m)

xAexFigure 3 – Système masse+ressort




1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la position x(t). On posera et fera apparaître ω =√k

m,

grandeur dont on donnera la dimension et le sens physique.2. En supposant qu’à t = 0 la masselotte est placée en x = x0 et lâchée sans vitesse initiale, déterminer x(t)

pour t ≥ 0.3. Représenter graphiquement x(t) en faisant apparaître toutes les caractéristiques du mouvement.4. Calculer la période T des oscillations de la masse en supposant k = 30,0 N ·m−1 et m = 100,0 g.5. Donner l’expression de l’énergie mécanique du système puis calculer sa valeur en fonction des paramètres

du problème. Commenter.6. En quelle point la masselotte atteint-elle sa vitesse maximal ? Exprimer sa valeur en fonction de x0, m etk ?

2–Modèle d’Einstein de la vibration des solides

Le modèle d’Einstein décrit un solide (appelé aussi cristal) constitué de N atomes comme un ensemble de3N oscillateurs harmoniques unidimensionnels identiques et indépendants les uns des autres. Il quantifie ensuitel’énergie de ces oscillateurs harmoniques.

Figure 4 – Description d’un solide comme un ensemble de systèmes masse-ressort (fig3). Contrairement à ceque le schéma peut laisser penser, les oscillateurs sont indépendants.

L’énergie de l’oscillateur harmonique quantique s’écrit :

En =(n+ 1

2

)~ω avec n ∈ N

7. Montrer que l’expression proposée pour l’énergie En d’un oscillateur harmonique quantique est bien ho-mogène.

8. A partir de ~, kB et ω, construire la température ΘE dite d’Einstein.9. Calculer la masse m d’un atome de germanium.10. Sachant que la température d’Einstein pour le germanium vaut ΘE,Ge = 138 K, déterminer la raideur du

ressort modélisant les oscillations harmoniques du cristal.

3–Énergie interne et capacité thermique d’un solide

Dans le cadre du modèle d’Einstein, si on note ni les nombres quantiques associées à chacun des 3Noscillateurs harmoniques constituant le solide, l’énergie de ce solide s’écrit :

E =(q + 3N

2

)~ω avec q =

3N∑i

ni

La valeur de l’énergie est donc donnée par la valeur de q. On appelle micro-état du solide la donnée del’ensemble des valeurs ni.11. Écrire et dénombrer les micro-états réalisant q = 3 dans le cas où le solide est décrit comme 3 oscillateurs

harmoniques (N = 1).




Figure 5 – Relevés expérimentaux de la capacité thermique du germanium, de l’argent et du béryllium pourdifférentes température. Comparaison avec les modèles d’Einstein, de Debye et Dulong-Petit. Ti = T/ΘD oùΘD est la température de Debye.

12. Exprimer, en fonction de N et q, le nombre Ω(q,N) de micro-états réalisant une valeur donnée de l’énergie.À partir notamment de Ω(q,N), on peut exprimer l’énergie U du solide. Le modèle d’Einstein fournit

l’expression suivante pour l’énergie moyenne du solide à la température T :

U = 3N ~ωexp (~ω/kBT )− 1

Expérimentalement, on ne mesure pas l’énergie mais la capacité thermique du solide définie par :

C = ∂U

∂T

13. Quel est l’unité légale de la capacité thermique ?14. Exprimer la capacité thermique C dans le cadre du modèle d’Einstein.15. La réécrire en faisant apparaître la température d’Einstein ΘE .16. Proposer une expression approximative de C à basse température (T ΘE).17. Discuter la validité du modèle d’Einstein à l’aide des résultats expérimentaux fig.5.18. Le modèle de Dulong-Petit prévoit un capacité thermique indépendante de la température. A l’aide d’une

expression approximative à haute température, de C menée sur le modèle d’Einstein retrouver l’expressionde la capacité thermique donnée par le modèle de Dulong-Petit.

19. Calculer sa valeur pour une mole de solide. Comparer au document.




Problème 3 – Autour du thallium

En 1861, en étudiant par spectroscopie les boues résiduelles des chambres de plomb, réacteurs de fabricationde l’acide sulfurique, William Crookes observe la présence d’une raie verte intense inconnue dans le spectred’émission. Le nom thallium est donné au nouvel élément chimique responsable de cette émission, en 1862, dugrec thallos (rameau vert). Claude Auguste Lamy, la même année, isole le thallium métallique. Le thallium estdangereux poison !

(a) Un échantillon de Thallium

62P1/2

62P3/2

62P5/262D5/27P

7P1/2

72S1/2

E(eV)

-6,08

3775,22

5350,46

11513,213013,8

2767,87

3529,433519,24

(b) Quelques transitions de l’atome de Thallium.pdf

Figure 6 – Le thallium

Données :— constante de Planck h = 6,63× 10−34 J · s,— définition de l’électron-Volt : 1 eV = 1,6× 10−19 J.

1. On s’intéresse à l’isotope 20581 Tl du thallium. Indiquer le composition en protons et en neutrons du noyau

de cet isotope.2. Donner la configuration électronique de l’atome d’aluminium Al (Z = 13) dans son état fondamental.3. Le thallium appartient à la famille de l’aluminium et à la sixième période. Donner la configuration élec-

tronique de sa couche de valence.4. En justifiant, proposer la formule de l’ion stable a priori formé par l’atome de thallium.5. La figure 6b fait apparaître quelques niveaux d’énergie électronique du thallium, le niveau fondamental

étant 62P1/2 (la connaissance de la nomenclature des niveaux d’énergie n’est pas requise). Les lignes quirelient les niveaux d’énergie correspondent aux transitions d’un niveau à l’autre, les valeurs indiquées surles lignes correspondant aux longueurs d’onde des raies d’émission correspondant, exprimées en angström(1Å = 1× 10−10 m). L’intensité des raies est suggérée par l’épaisseur du trait.

5.1 Quelle est la transition (on précisera les niveaux de départ et d’arrivée) responsable de la raie observéepar Crookes ?

5.2 Calculer en eV, de façon la plus précise possible, l’énergie du niveau noté 62P3/2.

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

FIN DE L’ENONCE



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