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© 2008, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel, volume 2 ■ Vision 5 1

5Des outils pour mesurer l’espace

Voici un exemple qui illustre comment le matériel et les provisions pourraient être répartisdans les différents allers-retours prévus pour les acheminer vers la zone sinistrée :

Situation d’apprentissage 1 :Maximiser l’espace

Premier aller-retour – Avion 1

1000 boîtesde médicaments,disposées de la manière indiquée ci-contre

1740 boîtesde nourriture,disposées de la manière indiquée ci-contre

34 boîtes17 m

10 boîtes4 m

3 boîtes1,8 m

60 cm

50 cm 40 cm

32 boîtes

34 boîtes17 m10 boîtes

4 m

5 boîtes1,5 m

30 cm

50 cm 40 cm

2 boîtes0,6 m

2 boîtes1 m

Premier aller-retour – Avion 2

2260 boîtesde nourriture,disposées de la manièreindiquée ci-contre

624 boîtesde tenteset d’abris,disposéesde la manièreindiquée ci-contre

22 boîtes11 m

10 boîtes4 m

7 boîtes2,1 m

30 cm

50 cm 40 cm

6 boîtes1,8 m

34 boîtes17 m

11 boîtes16,5 m13 boîtes

3,9 m

30 cm

150 cm 30 cm

5 boîtes1,5 m

4 boîtes6 m

Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel, volume 2 ■ Vision 5 © 2008, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite22

Premier aller-retour – Avion 2 (suite)

16 boîtes d’eau,disposées de la manièreindiquée ci-contre

8 cylindres4 m

2 cylindres1,2 m

1 cylindre0,5 m0,6 m

0,5 m

Deuxième aller-retour – Avion 1

1573 boîtes de tenteset d’abris, disposéesde la manière indiquéeci-contre



11 boîtes16,5 m

13 boîtes3,9 m

11 boîtes3,3 m

30 cm

150 cm 30 cm

1 cylindre0,5 m

8 cylindres4 m

5 cylindres3 m

0,6 m

0,5 m

1 cylindre0,5 m

6 cylindres3,6 m

0,6 m

0,5 m

Deuxième aller-retour – Avion 2



11 boîtes16,5 m

13 boîtes3,9 m

11 boîtes3,3 m

30 cm

150 cm 30 cm

1 cylindre0,5 m

8 cylindres4 m

5 cylindres3 m

0,6 m

0,5 m


Deuxième aller-retour – Avion 2 (suite)


1 cylindre0,5 m

6 cylindres3,6 m

0,6 m

0,5 m

Troisième aller-retour – Avion 1



34 cylindres17 m

8 cylindres4 m

5 cylindres3 m

0,6 m

0,5 m

8 cylindres4 m

1 cylindre0,5 m

0,5 m

0,6 m

28 cylindres16,8 m

Troisième aller-retour – Avion 2



34 cylindres17 m

8 cylindres4 m

5 cylindres3 m

0,6 m

0,5 m

8 cylindres4 m

1 cylindre0,5 m

0,5 m

0,6 m

28 cylindres16,8 m


Quatrième aller-retour – Avion 1




34 cylindres17 m

8 cylindres4 m

5 cylindres3 m

0,6 m

0,5 m

8 cylindres4 m

1 cylindre0,5 m

0,5 m

0,6 m

20 cylindres12 m

4 cylindres2,4 m1 cylindre

0,5 m

0,6 m

0,5 m

Quatrième aller-retour – Avion 2



11 boîtes16,5 m

13 boîtes3,9 m

1 boîte0,3 m

30 cm

150 cm 30 cm

6 boîtes9 m

13 boîtes3,9 m

30 cm

150 cm 30 cm

Sauf la dernière rangéequi n’en aura que 9.

Chaque avion devra faire 4 allers-retours, soit 8 allers-retours au total.


Voici un exemple de production :

1. Déterminer les mesures réelles (en m) du volcan à l’aidede l’échelle 1 : 10 000.Diamètre de la cheminée volcanique : 50 mRayon de la base du volcan : 530 mHauteur du cône tramé : 100 mRayon du cône circulaire droit tramé : 75 m

2. Déterminer la hauteur totale du volcan (incluant la partietramée).

161 786 785,7 � ⇒ h � 550 m

3. Déterminer la hauteur du volcan (cône circulaire droittronqué).

550 m � 100 m � 450 m

On peut donc déduire que la hauteur de la cheminéevolcanique (en forme de cylindre circulaire droit) de la baseau sommet du volcan est de 450 m.

4. Calculer le volume de la cheminée volcanique à l’intérieurdu volcan.

V � π� 252 � 450 � 883 572,93 m3

5. Déterminer la quantité de lave qui s’échappe dela cheminée volcanique en une heure.Si le magma monte dans la cheminée à une vitessede 1 km/h, il prendra donc 27 min à parcourir les 450 mde la cheminée située à l’intérieur du volcan. Il s’échapperadonc 883 572,93 m3 de lave en 27 min ou 1 963 495,4 m3

de lave en une heure.

6. Déterminer la quantité de lave en 5 jours.

1 963 495,4 � 24 � 5 � 235 619 448 m3

ou 235 619 448 kL.

Il faudra donc évacuer les habitants et les habitantesdu petit village situé à proximité du volcan 4 jours aprèsle début de l’éruption.

π� 5302 � h3

Situation d’apprentissage 2 :L’éruption volcanique

Exemples :

1. Déterminer les dimensions d’une boîte.À supposer que la boîte soit cubique :a) calculer l’aire d’une face de la boîte.

Aire totale � 60 dm2

Aire totale d’une face � 10 dm2,où At représente l’aire totale de la boîte et Af représentel’aire d’une face.

b) déterminer la mesure de l’arête d’une boîte.Aire d’une face � 10 dm2

c � ��10 dmc � 3,16 dm,où Af représente l’aire d’une face et c représentela mesure de l’arête de la boîte.

2. Déterminer le nombre de coffrets pouvant être placésdans une boîte.Les coffrets cubiques ont une arête qui mesure 1 dm.

On peut placer 27 coffrets dans une boîte.3. Déterminer le nombre de jeux vidéo pouvant être insérés

dans chaque coffret.Une des arêtes du coffret cubique mesure 1 dm,c’est-à-dire 10 cm.Chaque jeu vidéo est emballé dans un boîtier ayantla forme d’un prisme à base carrée mesurant 8 cmde longueur sur 8 cm de largeur sur 1,5 cm de profondeur.

Chaque coffret peut contenir 8 jeux vidéo.

4. Déterminer le nombre de jeux vidéo pouvant être placésdans une boîte.Une boîte peut contenir un maximum de 216 jeux vidéo(8 � 27).

10 cm

1,5 cm

10 cm

10 cm

3,16 dm

1 dm

1 dm

3,16 dm

3,16 dm

1 dm

section Quantifier l’espace5.1

Activité 1Plusieurs réponses possibles.

Page 6


Activité 2a. 1) 48 000 pastilles.

2) 57 600 L3) 6000 pastilles.

b. 1) 13 500 L2) 90 000 cm3

3) C’est le même nombre : 90 L et 90 dm3.4) 47,25 L

c. Si les pastilles sont emballées dans des boîtes cubiquesde 1 cm d’arête, il est plus avantageux de les utiliserpuisqu’elles permettent de purifier une plus grandequantité d’eau. Par exemple, dans une valisede 90 000 cm3 on peut placer 90 000 pastilles et ainsipurifier 108 000 L d’eau, tandis qu’avec le liquide à basede chlore, on ne peut purifier que 13 500 L d’eau.

Mise au point

1. a) Espace. b) Espace.c) Surface. d) Espace.e) Espace. f) Longueur.g) Espace. h) Surface.i) Espace.

2. a) 1000b) 5 000 000 000c) 1000d) 1 000 000e) 821f) 5

3. Plusieurs réponses possibles. Exemple :a) Kilomètre cube.b) Centimètre cube.c) Mètre cube.d) Millimètre cube.

4. a) 72 unités3

b) 30 unités3

c) 16 unités3

d) 54 unités3

Mise au point (suite)

5. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Un prisme de 4 cm sur 4 cm sur 10 cm ou de 2 cmsur 2 cm sur 40 cm, ou de 1 cm sur 1 cm sur 160 cm.

Page 11

Page 10

Page 7 6. a) 31 000 b) 450 000 c) 23 500 000d) 140 e) 1,78 � 10–6 f) 690 000

7. Boîte A : 40 000 cubes. Boîte B : 32 000 cubes.Donc c’est la boîte A qui en contient le plus.

8. a) 89 b) 2,867 c) 479,2451d) 3766 e) 44,649 f) 794,317

9. a) 512 petits cubes. b) 210 petits cubes.c) 125 petits cubes. d) 32 000 petits cubes.

10. a) 72 cm3 b) 64 cm3 c) 16 cm3

11. a) 800 b) 0,74 c) 5,673d) 0,5 e) 0,0457 f) 0,0098


12. a) 7 b) 945 c) 2 451 730d) 0,765 86 e) 998 f) 80 000

13. 238 L

14. a) [0, 60] sb) 1) 1,2 L 2) 1,2 Lc) Récipient 1

Récipient 2

Récipient 3

22,5 cm

2 cm

10,1 cm

5 cm

14,6 cm

3 cm

3 cm

6 cm

6,5 cm

19,5 cm

12 cm

Page 12



15. a) 0,052 hLb) 451 hLc) 0,03 dam3

d) 167 800 mm3

16. Environ 422,54 L.

17. a) Oui. b) Oui. c) Non.

18. Environ 285,40 mL.


19. Environ 29 450 m3

Activité 1Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le modèle C est le meilleur achat, car son rapport duréede vie/prix est meilleur que celui des deux autres modèles.

Activité 2a. 1) 48 boîtes. 2) 5 étages. 3) 240 boîtes.

b. 1) 48 m2 2) 5 m 3) 240 m3

c. 1) Le nombre de boîtes correspond à l’aire en m2.2) Le nombre d’étages correspond à la hauteur en mètres.

d. 1) 6480 m3 2) 30 m3 3) 414,72 m3

e. Plusieurs réponses possibles. Exemple :V � Ab � h, où V représente le volume, Ab représentel’aire de la base et h, la hauteur.

Page 16

Page 15

Page 14

Page 13 Activité 2 (suite)

f. 1) 78 m3 2) 35,28 m3

g. 1) Prisme A : 36 m3. Prisme B : 144 m3. Prisme C : 315 m3.2) Oui. En reprenant l’exemple des empilements de boîtes,

l’aire de la base équivaut au nombre de boîtesqui peuvent être chargées sur un étage et la hauteurcorrespond au nombre d’étages. En effectuantV � Ab � h, où V représente le volume, Ab représentel’aire de la base et h, la hauteur, on obtient le volume,peu importe le prisme droit.

TechnOmatha. 1) On a déplacé l’une des bases des solides.

2) On a changé la hauteur des solides.b. 1) Ils ont des bases de même aire et le même volume.

2) Ils ont des bases de même aire et le même volume.3) Ils ont des bases de même aire et le même volume.

c. 1) 50 � 8,8 � 5,68 cm ou cm.

2) 50 � 8,8 � 5,68 cm ou cm.

3) 23 � 8,8 � 2,61 cm ou cm.d. 1) Des solides de même hauteur et ayant des bases

de même aire ont nécessairement le même volume.2) i ) Voici un exemple qui montre que la conjecture émise

au point 1) est aussi vraie pour les cylindres.En effet, la base d’un cylindre est un cercle ;pour que différents cercles aient la même aire,ils doivent obligatoirement avoir le même rayon.Donc, c’est toujours le même cercle.

Aire de la base = 6,7 cm2

Volume = 24,8 cm3


Volume = 24,8 cm3


Volume = 24,8 cm3


Volume = 24,8 cm3


Volume = 24,8 cm3


Volume = 24,8 cm3

11544

12522

12522

Page 18

Page 17

Modèle A Modèle B Modèle C

Coût réparti par année de durée de vie du silo ($/an)Volume du silo (m3)Coût réparti par mètre cube ($/m3)

1333,33 1312,50 1285,71

420 451 � 546,8

95,24 93,13 65,84

Comparaison des modèles de silos

section Des objets qui ontdu volume

5.2


ii ) Voici quelques exemples qui montrent quela conjecture émise au point 1) est aussi vraiepour les pyramides.


Volume de la pyramide à base carrée = 3,3 cm3


Volume de la pyramide à base triangulaire = 3,3 cm3










Volume = 7,1 cm3


Volume = 7,1 cm3


Volume = 7,1 cm3

Mise au point

1. a) 300 m3

b) 2,448 dm3

c) 975 cm3

2. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : 10 cm sur 8 cm sur 21 cm ou 84 cm sur 10 cm sur 2 cm.

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Un prisme de3 cm sur 3 cm sur 64 cm ou de 8 cm sur 8 cm sur 9 cm,ou de 6 cm sur 6 cm sur 16 cm ou de 4 cm sur 4 cm sur36 cm, ou de 2 cm sur 2 cm sur 144 cm ou de 12 cmsur 12 cm sur 4 cm.

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Diamètre : 4 mmet hauteur : 630 mm ou diamètre : 6 mm et hauteur :280 mm, ou diamètre : 12 mm et hauteur : 70 mm.

3.

4. a) 704π cm3

b) 43,75πm3

c) 5,625πm3

5. 2πa3 cm3


6. 3375 cm3

7. 179 625,6 mm3

8. a) 0,12 Lb) 648 Lc) 3456π L ou � 10 857,34 L.

9. a) Le volume du prisme E est supérieur à celui du prisme F.b) L’aire de la base du prisme C est 4 fois plus grande

que celle de la base du cube D.

10. 60 boîtes de mouchoirs.

Page 21

Page 20

Aire de Largeur Profondeur Hauteur la base Volume

1,8 dm 3,2 dm 2,9 dm 5,76 dm2 16,704 dm3

12 cm 6 cm 9 cm 72 cm2 648 cm3

250 mm 220 mm 380 mm 55 000 mm2 20,9 mm3

0,37 m 0,15 m 0,8 m 0,0555 m2 44,4 m3



11. Le cylindre B. Si h représente la hauteur du cylindre B,alors 2h représente la hauteur du cylindre A. Si rreprésente le rayon du cylindre A, alors 2r représentele rayon du cylindre B. Ainsi, le volume du cylindre Acorrespond à 2πr2h et celui du cylindre B correspond à4πr2h. Puisque 4πr2h � 2πr2h, le volume du cylindre Best supérieur à celui du cylindre A.

12. 90πm3 ou � 282,74 m3.

13. 80π cm3 ou � 251,33 cm3.

14. a) Le volume est triplé.b) Le volume est multiplié par 9.c) Le volume est multiplié par 9.d) Le volume est multiplié par 9.e) Le volume est multiplié par 27.

15. a) 1080 m3 b) 768π cm3 ou � 2412,74 cm3.


16. a) 1440 dm3 b) 36 $

17.

18. 24 500 cm3

19. � 677 mL

20. � 1749,6 L d’eau.

21. a) 1) De façon que la hauteur soit de 30 cm.2) De façon que la hauteur soit de 20 cm.

b) � 1432,39 cm3


22. a) 180 cm3

b) Non. Le décalage des dalles du solide B fait en sorteque leurs bases sont exposées. L’aire totale du solide Bs’en trouve ainsi augmentée par rapport à celledu solide A.

23. � 2488,14 cm3 de mousse

24. a) 17,28 cm3 b) � 1,35 cm

25. a) � 1178,1 L b) � 58,9 min

Page 24

Page 23

Page 22 c) y � 2,55x, où x représente le temps en minutes ety représente la hauteur de l’eauen centimètres.

26. 180π cm3 ou � 565,49 cm3.

Activité 1Le volume est d’environ 10,5 m3.

Activité 2a. 1) c2 2) c

3) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Chaque pyramide correspond à une isométriede l’une ou l’autre des deux autres. Ces pyramidessont isométriques, elles ont donc le même volume.

4) c3 5)

b. 1) Les aires sont les mêmes.2) Les hauteurs sont les mêmes3) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Chaque pyramide correspond à une isométriede l’une ou l’autre des deux autres. Ces pyramidessont isométriques, elles ont donc le même volume.

4) Les aires sont les mêmes.

Activité 2 (suite)5) Les hauteurs sont les mêmes.6) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Chaque

pyramide correspond à une isométrie de l’une ou l’autredes deux autres. Ces pyramides sont isométriques,elles ont donc le même volume.

7) Les volumes sont les mêmes.8) Vpyramide � ((aire de la base) � (hauteur)) � 3

c. 1) h2) Vpyramide bleue � Vpyramide jaune � Vpyramide rouge � Vpyramide verte

� � � Selon la questionb au point 8)de cette activité.

� (A1 � A2 � A3) Par la mise en évidence de .

3) La somme mise entre parenthèses correspond à l’airede la base de la pyramide bleue.

4) Oui. Plusieurs explications possibles. Exemple :Puisque la base d’une pyramide est un polygone,elle peut être décomposée en plusieurs triangles. Ainsi,une pyramide peut être décomposée en plusieurspyramides à base triangulaire.

h3

h3

A3h3

A2h3

A1h3

Page 27

c3

3

Page 26

Page 25

0,20 0,4 0,6 0,8 1

V

r

987654321

section Décomposer l’espace5.3


5) Vp � , où Vp représente le volume de la pyramide, Ab

représente l’aire de sa base et h, sa hauteur.d. 1) Elle tend vers un cône.

2) Vc � , où Vc représente le volume du cône, Ab

représente l’aire de sa base et h, sa hauteur.

Activité 3a. 1) Une boule.

2) Le rayon de la boule.3) L’aire d’une sphère.4) 4πr 2, où r représente la mesure du rayon de la sphère.

b. Vboule = (volume de l’ensemble des pyramides)

= � � � � ...� Somme des volumesdes pyramides.

= � � � � ...� Puisque la hauteurdes pyramides équivautau rayon de la boule.

= (a1 � a2 � a3 � ...) Par la mise en évidence de .

= (aire de la sphère) Puisque la sommedes aires des basesdes pyramides équivautà l’aire de la sphère.

= (4πr 2) En remplaçantl’expression « aire dela sphère » par la formulepermettant de la calculer.

= Par la simplification.

c. 7776π cm3 ou environ 24 429,02 cm3.

TechnOmatha. La base de la pyramide mauve est un carré et les faces

latérales sont des triangles.b. Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base

est un polygone régulier, et une pyramide est dite droite sile pied de la hauteur coïncide avec le centre de gravitédu polygone régulier. La réponse est donc non, car le piedde la hauteur ne coïncide pas avec le centre de gravitédu carré qui constitue la base de la pyramide mauve.

c. Le volume de la pyramide mauve correspond au tiersdu volume du cube.

d. Elles ont subi des symétries planes.e. Elles ont subi des rotations.f. Le volume d’une pyramide à base carrée dont une arête

est perpendiculaire au plan de base et dont la hauteur estégale au côté du carré de base est égal au tiers du volumedu cube. C’est un cas particulier, car il s’agit d’un cube.La conjecture plus générale explique que le rapport entre levolume d’un prisme droit et celui d’une pyramide de mêmeaire de la base et de même hauteur est toujours égal à 3,quelle que soit la position de l’apex de la pyramide.

Page 29

4πr 3

3

r3

r3

r3

r3

a3r3

a2r3

a1r3

a3h3

a2h3

a1h3

Page 28

Abh3

Abh3 g. Pour la construction de la figure, on débute par celle

du cube et ensuite par chacune des 6 pyramides ayantpour base une face du cube et pour apex le milieud’un segment reliant 2 sommets opposés du cube.

Mise au point

1. Aire de la base : 81 cm2, hauteur : 9 cm.

2. a) 15,86 cm3 b) 37,5 cm3

c) Environ 22,32 cm3. d) Environ 226,46 cm3.

3. a) 9,261π cm3 ou environ 29,09 cm3.b) cm3 ou environ 52,36 cm3.c) 6,27π cm3 ou environ 19,7 cm3.d) Environ 28,34 cm3.e) Environ 46,64 cm3.f) Environ 770 cm3.

4. Ni l’une ni l’autre : les deux pyramides ont le même volume.


5. Le chapiteau offre le plus grand espace.

6. L’emballage .

7. Mykérinos (� 77 552,26 m3), Khephren (� 657 484,04 m3)et Kheops (� 789 712,37 m3).


8. a) 1) m3 ou environ 523,6 m3.2) 70,3125πm3 ou environ 220,9 m3.

3) m3 ou environ 410,5 m3.

b) 1) m3 ou environ 523,6 m3.

2) m3 ou environ 523,6 m3.

9.

500π3

500π3

392π3

500π3

Page 33

A

A

Page 32

50π3

Page 31

Volume d’une pyramide = 12,0 cm3

Volume du cube = 72,0 cm3

Volume d’une pyramide = 12,0 cm3

Volume du cube = 72,0 cm3

Rayon (mm)Volume (mm3)

2 4,6 5,7 8 ... r16 84,64 129,96 256 ... 4r2


10. Environ 0,17 m3.

11. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

b) Non.

12. Environ 72,43 dm3


13. a) cm3 ou environ 1022,65 cm3.

b) cm3 ou environ 268,08 cm3.

c) cm3 ou environ 50,97 cm3.

14. 5,525 m3

15. a) Solides , et . b) Solides , et .c) Solides , et .


16. a) Environ 20,84 cm3. b) Environ 19,62 cm3.c) Environ 42,32 cm3.

17. a) La maison est constituée de prismes droits à baserectangulaire, tandis que la maison est constituéede prismes droits à base rectangulaire et de pyramidesdroites à base carrée.

b) La maison a une capacité d’air de 4 550 000 L et la maison a une capacité d’air d’environ10 053 333,33 L.


18. a) 470 L b) Environ 325,36 L.c) Environ 735,93 L. d) Environ 235,12 L.

19. Environ 3177,44 m3.

Activité 1

Activité 2a. 1) 8 dm3 2) 729 dm3 3) 2000,376 dm3

b. 1) 3 dm 2) 5 dm 3) 10 dm

Page 38

Page 37

Page 36

2

1

2

1

Page 35

653

641421

12 167π750

256π3

15 625π48

Page 34

Activité 2 (suite)

c. Plusieurs réponses possibles. Exemple :

d. 1) Ce symbole signifie « racine cubique ».2) Plusieurs réponses possibles.

Exemple : Oui, les résultats concordent.

Activité 3a.

b. 12,5 : 1 156,25 : 1 1953,125 : 1Le rapport des aires correspond au carré du rapportdes hauteurs et le rapport des volumes correspond au cubedu rapport des hauteurs.

c. Le rapport des aires correspond au carré du rapportdes hauteurs et le rapport des volumes correspond au cubedu rapport des hauteurs.

d. 1) x 2) x 2 3) x 2 4) x 3

Mise au point

1. a) 2 b) 3 c) 4 d) –2e) 0,3 f) –10 g) h) 125

2. a) 571,787 b) 0,125c) 1 879 080,904 d)

3. a) 3 et 4. b) 3 et 4. c) 4 et 5. d) 0 et 1.

4. a) 4096 b) 91,125 c)

d) e) –74 088 f) –6859125216

125216

1125

14

Page 43

321

Page 40

Page 39

section Des nombres déracinés5.4

Ouverture associée : Forme et dimensionau cube Carré de 4,2 cm de côté

au demi-cylindre Demi-cercle de 3,3 cm de rayon

à la boule Cercle de 2,1 cm de rayon

Mesure d’une arête Volume du cube (dm3) Analyse

(dm)

63 � 6 � 6 � 6 � 216 216 � 300,6 donc c � 6

73 � 7 � 7 � 7 � 343 343 � 300,7 donc c � 7

6,53 = 6,5 6,5 274,625 < 300,6,5 6,5 = 274,625 donc c > 6,5

6,73 = 6,7 6,7 300,763 > 300,6,7 6,7 = 300,763 donc c < 6,7

6,653 = 6,65 6,65 294,08 < 300,6,65 6,65 294,08 donc c > 6,65

6,693 = 6,69 6,69 299,42 < 300,6,69 6,69 299,42 donc c > 6,69

Cube de glace

Maison Maison construite Maquette miniature

Hauteur (cm)Aire du toit (cm2)Volume (cm3)

800 50 4500 000 1953,125 12,5

400 000 000 97 656,25 50

Projet résidentiel


5. , et .

6. a) 1,9 b) –343 c) 4,6d) 0,6 e) 8


7. a) 1000 dam3 b) 39,304 mm3

c) 0,512 m3 d) 29,791 dm3

e) Environ 1402,48 mm3. f) Environ 8,25 cm3.

8. a) x � 4 b) x � 1,5 c) x � 2d) x � 2,5 e) x � 4,3 f) x � 0,9

9. a)

b)

c) La fonction est croissante.

10. a) 3 cm b) 2,4 mm c) 7 dm

11. Oui. Plusieurs réponses possibles. Exemple : La racinecubique d’un nombre x correspond à un nombre y qui,élevé au cube, donne x, ainsi 3��x � y ⇔ y 3. Or,si (–2)3 � –8, par exemple, 3��–8 � –2.

12. 0, 1 et –1.

13. L’expression vaut n.


14. a) Environ 92,79 cm2.b) Environ 1,02 m3.c) 52,41 mm3

d) 432 dm3

15. a) b) c) d)

16. π cm3 ou environ 4,71 cm3.

17. ou 9.19

23

827

49

23

23

Page 45

Page 44

DCA Mise au point (suite)

18. a) Vrai. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Un cubeest nécessairement un agrandissement, une réductionou la reproduction exacte d’un autre cube. Deux cubessont nécessairement semblables.

b) Faux. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deuxprismes droits à base carrée peuvent avoir des mesuresd’arêtes dont les rapports ne sont pas proportionnels.

c) Vrai. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Une tellepyramide est nécessairement un agrandissement,une réduction ou la reproduction exacte d’une autrepyramide ayant cette description. Ces deux pyramidessont nécessairement semblables.

d) Faux. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Même siles hauteurs sont les mêmes, les rayons peuvent êtredifférents.

e) Faux. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Même siles aires latérales sont les mêmes, les rayons oules hauteurs peuvent être différents.

19. a) 343 ou . b) 49 ou . c) 7 ou .

20. a) Environ 3,12 cm.

b) π cm3 ou environ 3,05 cm3.

c) π cm3 ou environ 6,65 cm3.


21. 0,1125 L ou 112,5 mL d’eau.

22. a) 1) Faux. 2) Vrai. 3) Vrai. 4) Faux.

b) � � et � pour b 0.

23. Environ 77,95 cm3.

24. Environ 27,47 cm.

25. Le cône .

26. Environ 3,66 fois.

27. Environ 157,67 cm3.

Activité 1La hauteur est de (3x � 5) m.

Activité 2a. 1) 6x 2 2) 15x 3) 6x 2 � 15xb. 6x 2 � 15x

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Page 48

A

3��a3��b

ab�3�3 b�3 a�3ab

Page 47

343162

243250

17

149

1343

Page 46

20 4 6 8 101 3 5 7 9 n

n3�2,5

2

1,5

1

0,5

n3��n

0 1 2 3 4 5 6

0 1 1,26 1,44 1,59 1,71 1,82

Racine cubique

7 8 9 10

1,91 2 2,08 2,15

section L’espace algébrique5.5


Activité 2 (suite)

c. 1) 30x 3 2) 30x 3

d. 30x 3

e. 1) 18x 2y 2) 18x 2yf. 18x 2yg. 1) 12x 3 2) 12x 2 3) 12x 3 � 12x 2

h. 12x 3 � 12x 2


1. a) 6x 2 � 10 b) 2x 4 � x c) 35x 3 � 20x 2

d) 6x 2 � 2x e) 3x 2 � x f) 10x � 3

2. a) 4x 2 b) 15x 2 � 3x c) 19,5x 2 � 1,5xd) 4x 2 � 3x e) 2x 2 � x f) 25x 2 � 10x

3. a) 10x 2 � 28x b) 2x 3 � 7x 2

4. 49,197x 3 � 299,46x 2 � 455,7x

5. a) 16a2 � 9a b) 15a 2 � 20ab � 15b2

c) –c 2 � 11c d) 4d �

e) 3g2 � 1 f) – h2 � 3h �


6. a) x � 4 b) 2 c) 5x

7. Plusieurs réponses possibles. Exemples :a) 2x et 4x 2 � 2x b) x et 4x 2 � 3xc) 3x et 15x � 3x 2 d) y et y � 3,2xy

8. a) 20x 2 b) 2,3x c) 5x

9. Oui, puisque dans les deux cas le produit (aire de la base) �(hauteur) donne le même résultat, soit 6x 3 � 18x 2.

10. a) 1575x 2 b) 126x 3 � 189x 2 c) 8858,304x 2

d) x 2 e) 21x


11. Environ 2,14x.

12. a) Soit un cube, dont l’arête mesure c. L’aire de ce cubeest de 6c 2. Si on triple la mesure de l’arête, celle-cidevient 3c. La nouvelle aire du cube estde 6 � (3c)2 � 54c 2, soit 9 fois plus grande quel’aire initiale, CQFD.

b) Soit un prisme dont la mesure d’une arête de sa basecarrée est a. Si la profondeur du prisme est b,le volume de ce dernier est de a2b. Si l’on double a etb, le volume du prisme devient (2a)2 � 2b � 8a2b,soit 8 fois plus grand que le volume initial, CQFD.

Page 54

636

Page 53

32

92

52

154

Page 52

Page 50 c) Si un prisme a pour base un triangle rectangle isocèleet que la mesure de sa profondeur 2d est le double dela mesure de chacune des cathètes du triangle,le volume de ce prisme est de � 2d � d 3.Si l’on triple chacune des arêtes du prisme, son volume devient � 6d � 27d 3, soit 27 fois plus grand que le volume du prisme initial, CQFD.

13. a) (40x � 24) m3 b) � � m3

c) Environ 15r 3 m3.

14. a) b) c)

15. 8r 3 �


16.

17. a) 80x cm2 b) 180x 2 cm2 c) 3x 2 � 3x

18. cm ou environ 14,55x cm.

19.

20. Environ 73,82 %.

21. Environ 9,56x bijoux.

Chronique du passé

1. a) cm3 ou environ 165,67 cm3.

b) cm3 ou environ 91,95 cm3.

2. Le volume est le même.

3. Oui. Puisque toutes les paires de segments interceptéspar des plans parallèles aux bases ont la même aire.

4. Non. L’inclinaison du solide B fait en sorte que l’airedes faces latérales se trouve à être augmentée, augmentantde ce fait l’aire totale.

5. Non. À hauteur et à base égales, le volume d’une pyramidecorrespond au tiers de celui d’un prisme.

6. Toutes les paires de sections obtenues par des plansparallèles aux bases ont la même aire, soit 6 cm2.

7. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Environ 3000 km3.

Le monde du travail

1. Environ 5,29 m.

2. Environ 181,43 L.

3. 6,48 m3

4. Environ 70,87°.

Page 59

10 976π375

3375π64

Page 57

16π

42��3x5

36x � 36x 2

Page 55

4πr 3

3

203

89

38

πx 3

2

3d � 3d2

d � d2

5 Rubriques particulières


Vue d’ensemble

1. a) 21,12 cm3 b) 1 920 000 000 cm3

c) 756 000 cm3

2. 72 verres.

3. Environ 5,68 cm.

4. Calculer le volume du gros cylindre (r � 11 m et h � 3 m).Vgc � 363πm3

Calculer le volume du petit cylindre (r � 8,5 m et h � 3 m).Vpc � 216,75πm3

Calculer le volume de l’anneau (VA � Vgc � Vpc).VA � 146,25πm3

Le volume du sillon correspond à du volume de l’anneau

Vsillon � πm3

ou environ 191,44 m3.

5. a) π cm3 ou environ 45,24 cm3.

b) π cm3 ou environ 271,43 cm3.c) 25 000 cm3

Vue d’ensemble (suite)

6. 1 : 2 ou 2 : 1.

7. Environ 2 m.

8. Environ 200,50 m2.

9. Environ 1,18 L d’eau.

10. Plusieurs réponses possibles. Exemple :

11. (5x � 3) cm


12. a) 1) et 3) b) 3) et 4) c) 3) d) 2), 5) et 6)

13. Non. La somme des mesures des ingrédients liquidesdonne un volume de 3 L, tandis que 2885 cm3 équivalentà 2,885 L, ce qui est insuffisant pour contenir la quantitéde sauce.

14. Volume de la Grande Pyramide de Cholula :5 009 161,901 m3.Volume de la pyramide de Kheops : 1 441 146,383 m3.

15. 1) 16x cm 2) 192x 3 � 192x 2 cm3

Page 62

48 m

36 m

16 m8 m

3 m

18 m 15 m 15 m

Page 61

4325

725

97516

150360

Page 60 Vue d’ensemble (suite)

16. Environ 20,91 h.

17. � 242,11 min

18. Non, le verre ne débordera pas.

19. 1,6 dm3


20. Environ 27 cm (� 26,89 cm).

21. a)

b)

c) y � x

22. a) Les volumes sont équivalents.b) Le volume du solide D est supérieur à celui du solide C.


23. a)

Page 65

43

Page 64

Page 63

Arête de Hauteur Aire totale Volumela base (cm) (cm) (cm2) (cm3)

2 1 9,66

2 2 12,94

2 3 16,65 4

2 4 20,49

2 5 24,40

2 6 28,33 8

203

163

83

43

Pyramide régulière à base carrée

0 2 4 6 81 3 5 7

10987654321

109

Volume(cm3)

Hauteur(cm)

Volume d’une pyramide selon sa hauteur


b)

24. a) 1500 kg de gypse. b) 502,5 g de calcaire. c) Non.

25. a) 7776π cm3 ou environ 24 429,02 cm3.b) 82,41 mm3

c) Environ 2312,47 dm3.

26. 56 m3



28. Le rapport de similitude est 3.

29. a)

b) 6 dm sur 6 dm sur 6 dm.

30. a) 1 b) 1 c) 1

31. Environ 3,4 kg.


32. 16 cm

33. 4,8π cm ou environ 15,08 cm.

34. a) Environ 907,92 cm2 .b) Environ 2482,71 cm3.

35. � 1,80 m



37. Environ 1 : 36.

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Page 66

38. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Un prismedroit ou un cylindre droit. Pour ces solides, le volumeest proportionnel à la hauteur.

b) 1) 440 cm3 2) 440 mL d’eau.c) 1) 175π cm3 ou environ 549,78 cm3.

2) 175πmL ou environ 549,78 mL d’eau.


39. Non. Le volume du prisme en bois était de 136,17 cm3,tandis que la sculpture occupe 40,98 cm3. Plusde la moitié du prisme en bois a été enlevéepour sculpter la lettre.

40. � 29 519,69 m3

41. 151 302,31 $

Banque de problèmes

42. 2382,75 cm3

43. a) 8411,6� m3

b) 1,94� m sur environ 3 m.c ) Environ 1,46 m2.d) Environ 218,08 cm3.

Banque de problèmes (suite)

44. Environ 482,72 m3.

45. Non.

46. Plusieurs réponses possibles. Exemple :1. Calculer le volume de la sphère.2. Calculer le volume du cylindre.3. Déterminer le rapport des volumes de la sphère

et du cylindre ; CQFD.


48. Environ 1,57 carat.

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Page 69

RangNombre de petits cubes

Volume du solide (cm3)

1 2 3 4 ...

1 5 14 30 ...125 625 1750 3750 ...

Suite de solides

nn2 + (n – 1)2 + (n – 2)2 + … + 1

125 (n2 + (n – 1)2 + (n – 2)2 + … + 1)

Hauteur Longueur Largeur Aire totale Volume(dm) (dm) (dm) (dm2) (dm3)

6 1 36 516 216

6 2 18 312 216

6 3 12 252 216

6 4 9 228 216

6 6 6 216 216

Prisme droit

des outils pour 5 mesurer l’espace situation …...1) 48 000 pastilles. 2) 57 600 l 3) 6000...

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