des joints colonnes - dalle dans les planchers dalle en b´eton ...etude du comportement structural...

Etude du comportement structural

des joints colonnes - dalle

dans les planchers dalle

en beton arme

Rapport du travail de diplome

Ecole Polytechnique Federale de Lausanne

IS–BETON

Etudiant : Roberto Guidotti

Professeur : Dr Aurelio Muttoni

Assistant : Dr Miguel Fernandez Ruiz

27 juillet 2007

Etude du comportement structural des joints co-lonnes - dalle dans les planchers dalle en beton arme

Rapport du travail de diplome

Lausanne le 27 juillet 2007

Les textes et figures de ce document ont ete composes avecLATEX2ε et des applications GNU/Linux

Ecole Polytechnique Federale de LausanneENAC - IS-BETON. Bat. GC B2 383 (Station 18)CH-1015 Lausanne (CH)

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Table des matieres

Notations iii

1 Introduction 1

1.1 Definition du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Delimitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Essais en laboratoire 3

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Parametres des dalles d’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Resultats d’essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.1 Fissures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.2 Rotations et fleches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.3 Deformation en surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.4 Changement d’epaisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Discussion des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Rupture par flexion de la dalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5.1 Mecanisme I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.2 Mecanisme II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.3 Mecanisme III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.4 Mecanisme determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Modele physique 13

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Confinement compatible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Comportement du beton confine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.2 Distribution des contraintes de confinement . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.3 Algorithme de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.5 Courbe approximee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.6 Repartition des armatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Theorie de la plasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Methode des elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.2 Theoreme de la borne inferieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

i

TABLE DES MATIERES

3.3.3 Theoreme de la borne superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.4 Applicabilite de la methode de la borne superieure en geometrie de

revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Dalles carrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Frottement entre beton et plaque d’appui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Comportement de l’anneau en beton arme 43

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Loi complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.2 Equation d’equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.3 Cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.4 Lois constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.5 Loi de l’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.6 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Courbe ui-pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Loi simplifiee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.1 Loi de l’anneau simplifiee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Comparaison entre resultats theoriques et experimentaux 57

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Joints de la serie d’essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.1 Comparaison des modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.2 Etude de la resistance a la traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 Conclusions 61

6.1 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2 Recherche future . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Bibliographie 63

ii

Notations

Majuscules latines

Ab Surface d’une barre d’armatureAc Surface de la colonneAs Aire de la section d’acier d’armature superieure dans une directionA′

s Aire de la section d’acier d’armature inferieure dans une directionB Longueur et largeur de la dalle carreeD Diametre de la dalle ronde equivalenteDmax Diametre maximal du granulatEc Valeur du module d’elasticite du betonEs Valeur du module d’elasticite de l’acier d’armatureI Matrice identiteIIe Deuxieme invariante du tenseur des deformations deviatoriquesN Effort normal applique par la colonne superieureNcalc Effort normal calcule a l’aide des modelesNc Effort normal qui genere des contraintes sous la colonne superieure egales a la re-sistance a la compression simple du betonfc Nc = Ac fc

Nflex Effort normal concomitant a Vflex

NR Effort normal de rupture trouve lors des essaisQu Charge de rupture par plastification des armatures sur chaque point de chargeV Effort tranchant, charge totale appliquee sur la dalleVcalc Effort tranchant calcule a l’aide des modelesVflex Effort tranchant de rupture de la dalle par flexionVR Effort tranchant de rupture trouve lors des essaisWext Travail interneWint Travail externe

iii

TABLE DES MATIERES

Minuscules latines

b Longueur et largeur de la colonne carreec Cohesiondc Diametre de la colonne ronde equivalented Hauteur statique de l’armature superieure ;

Diametre du cylindre d’essai a la compressiond′ Distance entre l’armature inferieure et l’intrados de la dalledm Hauteur statique moyenne de l’armature superieured′m Distance moyenne entre l’armature inferieure et l’intrados de la dallee Tenseur des deformations deviatoriques e = ε − ε0 Ifc Resistance a la compression sur cylindres du betonfst Resistance a la traction de l’acier d’armaturefsy Limite d’ecoulement de l’acier d’armatureh Epaisseur de la dallek Coefficient de gonflement (pour une loi associee : k = 1+sin ϕ

1−sin ϕ)mpl Moment plastiqueu Perimetre de la section de controle pour le poinconnement ;

Deplacementui Deplacement de la section interne de l’anneauw Fleche

iv

TABLE DES MATIERES

Majuscules grecques

∆h Changement d’epaisseur de la dalle∆` Changement de longueur du beton de surface mesuree avec des jauges omega

Minuscules grecques

δ Angle de frottement sur une interfaceδcol Enfoncement de la colonne dans la dalleδh,c Dilatation du cylindre en betonε Deformationε Tenseur des deformations totalesε Tenseur des deformations plastiquesε0 Deformation spheriqueε1,2,3 Deformations principalesεsu Deformation a la rupture de l’acier d’armatureεv Deformation volumetrique εv = ε1 + ε2 + ε3

ϕ Angle de frottement interneφinf Diametre des barres d’armature de la nappe inferieureφs Diametre de la barre d’armatureφsup Diametre des barres d’armature de la nappe superieureµ Coefficient de frottementν Coefficient de Poissonθ Angle des coordonnees polairesϑ Rotation d’un panneau pour un mecanisme de rupture d’une dalle ;

Angle d’ouverture d’une spirale logarithmiqueρ Taux geometrique d’armature superieureρ′ Taux geometrique d’armature inferieureρtot Taux geometrique d’armature totale (ρtot = ρ + ρ′

σ Contrainteσ Tenseur des contraintesσ1,2,3 Contraintes principalesσlat Contrainte de confinement σlat = σ1 = σ2

ω Angle de rotation (intensite d’une rotation)ψ Rotation de la dalle mesuree a 1380 mm du centre ;

Angle de gonflement

v

1 Introduction

1.1 Definition du probleme

Les colonnes des batiments a plusieurs etages, pour des raisons constructives, sont generale-ment interrompues au droit des dalles ; ainsi l’effort de compression, qui est transporte depuisles etages superieurs vers les fondations, engendre des sollicitations dans la dalle. Dans lecas ou les colonnes sont constituees de beton a haute performance, situation tres frequenteen raison du considerable gain en surface exploitable du a la reduction des dimensions del’element, ces sollicitations sont tres grandes.

Figure 1.1 – interruption des colonnes au droit des dalles

On peut facilement verifier que les sollicitations dans la dalle, de norme construite avec dubeton moins performant que celui des colonnes, depassent largement la resistance en com-pression simple du beton. A titre d’exemple dans la pratique en Suisse, les dalles sont nor-malement baties avec du beton C25/30 (fck = 25 [MPa]), par contre le beton des colonnesarrive a des resistances fck = 100 ÷ 150 [MPa] aux quelles il faut encore ajouter la contri-bution des armatures longitudinales si elles ne traversent pas la dalle comme dans le cas descolonnes prefabriquees centrifugees, situation dans la quelle le taux d’armature geometriquepeut atteindre des valeurs de ρcol = 15%.D’autre part il faut aussi considerer que cette zone est deja tres sollicitee par l’effort tranchant(poinconnement), et donc il y a une interaction entre les deux efforts qu’il faut considerer.Actuellement aucune methode de dimensionnement considere cette interaction, ce qui a pre-miere vue ne semble pas etre du cote de la securite ; par contre, comme a ete montre dansles essais de laboratoire, sous certaines conditions la presence de l’effort normal permet uneaugmentation de la resistance au poinconnement.

1

Delimitation

Figure 1.2 – etat de sollicitation du joint dalle - colonnes

1.2 Delimitation

Le present rapport se limite a l’analyse des joints dalle - colonnes interieurs et symetriques,dans la geometrie et dans les charges, (sans excentricite) ou la dalle ne presente aucunearmature de poinconnement et ou les colonnes sont munies a la tete et au pied d’une plaquemetallique. En effet en manque de ces plaques existe un interaction entre les betons de la dalleet des colonnes, surtout au niveau de la fissuration de la dalle qui se propage a l’interieur dela colonne en limitant fortement la resistance du joint [9].

2

2 Essais en laboratoire

2.1 Introduction

Les essais realises par d’autres chercheurs sont tous faits sur des echantillons sans plaque enacier ; dans lesquels la rupture a ete atteinte par ecrasement du beton en augmentant l’effortnormal sur la colonne, et dans certaines cas en interaction avec un effort tranchant constanttout le long de l’essai.La nouvelle serie d’essais realisee a ete concue de facon a augmenter proportionnellement lacharge sur la dalle et celle sur la colonne superieure jusqu’a la rupture de facon a respecterla theorie de la plasticite. Avec les rapports N/V les plus bas la rupture s’est faite parpoinconnement.Les donnees recueillies sont principalement de deux types : des mesures en continue desdeformations, fleches et charges et des releves des fissures en surface ainsi que sur une coupelongitudinale sur l’axe de la colonne apres rupture.

Figure 2.1 – principe de la serie d’essais

2.2 Parametres des dalles d’essai

La serie d’essais est composee par 8 dalles en beton arme sans armature a l’effort tranchant.Six dalles ont une largeur de 3.00 m et une epaisseur de 0.25 m, tandis que 2 dalles sontde 1.00 m de cote. Les dimensions des plaques metalliques qui simulent la colonne sont de

3

Resultats d’essais

0.26×0.26 m. Le tableau suivant resume les principales caracteristiques des differentes dalles :

Dalle : Dimensions dalle [m] ρ [%] N/V ParticularitePG11 3.00 × 3.00 × 0.25 0.75 0 Armature normalePG12 3.00 × 3.00 × 0.25 0.75 4.23 Armature normalePG13 3.00 × 3.00 × 0.25 0.75 9.34 Armature normalePG14 1.00 × 1.00 × 0.25 0.75 ∞ Armature normalePG15 3.00 × 3.00 × 0.25 0.33 3.37 Armature faiblePG16 3.00 × 3.00 × 0.25 0.33 14.5 Armature faiblePG17 1.00 × 1.00 × 0.25 0.33 ∞ Armature faiblePG18 3.00 × 3.00 × 0.25 0.33 0 Armature faible - detail

Table 2.1 – parametres principaux des dalles d’essais

La confection des dalles a ete faite en un seul jour en utilisant un beton avec une resistancea la compression simple a 28 jours fc,28 = 31.0 MPa. Vu que les essais ont ete realises a desjours differents la resistance variait legerement d’entre une dalle a l’autre.

2.3 Resultats d’essais

2.3.1 Fissures

Sur la face superieure comme sur la coupe est bien visible le fait que la presence de l’effortnormal concentre la fissuration tangentielle au droit de la colonne ; ceci permet une majeureductilite vu que ces fissures ne peuvent pas devenir critiques pour l’effort tranchant.Cette fissure est ensuite colmatee par le gonflement du beton sous la colonne superieure quise trouve a l’etat plastique et il est oblige de s’appuyer sur le beton exterieur pour trouverdu confinement.

2.3.2 Rotations et fleches

Les mesures effectuees avec les inclinometres et les capteurs inductifs ont montre que l’in-fluence de l’effort normal sur les fleches et les rotations est pratiquement negligeable. Casignifie que la diminution de rigidite en direction tangentielle, due a l’effort axiale de trac-tion, est compensee par l’augmentation en direction radiale, due a la compression. Ceci estvrai surtout au bas niveau de charge sur la dalle, quand le moment tangentiel est petit parrapport aux moments radiales en proximite de la colonne ; endroit dans lequel sont concentreesles rotations de la dalle. Par contre aux charges proches de Vflex on a une petite augmentationde la fleche.Pour ce qui concerne la valeur de Vflex on assiste a une diminution lorsqu’on augmente lacharge sur la colonne ; celle-ci est due a la diminution d’armature disponible pour la flexion,vue qu’une partie est utilisee pour le frettage.Dans les dalles PG15 et PG16 la diminution de Vflex due a l’effort normal est bien visible, vueque la dalle PG15 n’a pas atteint le palier plastique l’augmentation est majeure a l’augmen-tation de la charge de rupture (13.5 %). Il faut par contre considerer que cette difference estmajeuree par le fait que a cause d’un probleme pendant la confection des dalles les hauteursstatiques d des deux dalles sont differentes (9.3 % en plus pour la dalle PG15).

4

Essais en laboratoire

PG11 PG13

Figure 2.2 – fissuration sur l’extrados et sur la coupe des dalles PG11 et PG13 apres rupture

PG13PG12PG11

-

w [mm]

V[k

N]

403020100

1000

800

600

400

200

0PG16PG15PG5

-

w [mm]

V[k

N]

50403020100

600

450

300

150

0

Figure 2.3 – fleches determinantes mesurees a R = 1200 mm

2.3.3 Deformation en surface

Pour ce qui concerne les deformations sur l’extrados valent les meme reflexions faites pourla fissuration. Apres une certaine charge on voit que la deformation du beton proche dela colonne retourne vers la compression ; ceci est signe que le gonflement du beton sous lacolonne engendre une compression radiale qui permet la fermeture des fissures tangentiellesen permettant le correct passage de tout l’effort tranchant.Les jauges omega collees sur l’intrados montrent, comme dans le cas d’un essai a poinconne-ment sans effort normal, une tendance a retourner vers la traction. Dans les cas avec N cephenomene, bien visible dans la Fig. 2.4 de droite, se manifeste avec des charges plus faibleset il se produit de facon plus douce.

5

Discussion des resultats

OmeT-E1OmeT-N1

-

∆` [mm]

V[k

N]

0.80.60.40.20

1000

800

600

400

200

0OmeB-E1OmeB-N1

-

∆` [mm]

V[k

N]

0.020-0.02-0.04-0.06

1000

800

600

400

200

0

Figure 2.4 – deformation du beton en surface de la dalle PG13

2.3.4 Changement d’epaisseur

Le changement d’epaisseur est la seule mesure qui donne une information sur l’ouverture dela fissure d’effort tranchant lors de l’essai. Les essais avec un grand effort normal ont montreque la fissure d’effort tranchant proche a la colonne ne peut pas se developper. En effet dansla Fig. 2.5 on peut voir que cette fissure s’est ouverte que dans la phase de decharge de N .Ceci explique aussi l’augmentation de resistance au poinconnement, pour le fait que cettefissure est responsable du developpement du mecanisme de rupture par poinconnement.

-

N [kN]

V[k

N]

80006000400020000

1000

800

600

400

200

0IndB-N9

-

∆h [mm]

V[k

N]

10.80.60.40.20

1000

800

600

400

200

0

Figure 2.5 – mise en evidence de la relation entre decharge de N et ouverturede la fissure d’effort tranchant dans PG13

2.4 Discussion des resultats

Les resultats d’essais sont compares dans le present chapitre en premier avec le critere derupture par poinconnement des dalles en beton arme concu par Muttoni [14] et ensuite avecles valeurs de Vflex et Nc. Le critere de poinconnement se base sur l’ouverture de la fissurecritique, qui conditionne negativement la resistance au poinconnement.Le critere est defini par la relation suivante :

τR =VR

u · dm=

τc

0.4 + 0.125 · ψ · dm · kDmax(2.1)

6


Dans la relation (2.1) la resistance nominale au cisaillement du beton τc, qui exprime l’in-fluence de la resistance du beton, est calculee selon :

τc = 0.3 ·√

fc (2.2)

ou τc et fc sont en [MPa] et la taille des agregats qui influence l’engrenement des levres de lafissure critique est introduite avec le coefficient kDmax :

kDmax =48

Dmax + 16≥ 1.0 (2.3)

ou Dmax est introduit en [mm].

Les points de rupture des essais de la serie en question, avec l’interaction de l’effort normalse trouvent logiquement loin du critere de rupture decrit avant (voir Fig. 2.6), pour le faitque le critere a ete developpe en considerant que des dalles soumises au poinconnement sanseffort normal. Neanmoins il est interessant de voir l’augmentation de resistance et surtout dela ductilite.

(a)

(b)

PG12

PG13

PG11

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

2

1.5

1

0.5

0

PG12

PG13

PG11

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

2

1.5

1

0.5

0

PG12

PG13

PG11

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

2

1.5

1

0.5

0

PG12

PG13

PG11

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

2

1.5

1

0.5

0

PG12

PG13

PG11

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

2

1.5

1

0.5

0

PG12

PG13

PG11

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

2

1.5

1

0.5

0

PG12

PG13

PG11

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

2

1.5

1

0.5

0

PG18

PG16PG15

PG5

ψ [�]

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

15129630

2

1.5

1

0.5

0

PG18

PG16PG15

PG5

ψ [�]

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

15129630

2

1.5

1

0.5

0

PG18

PG16PG15

PG5

ψ [�]

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

15129630

2

1.5

1

0.5

0

PG18

PG16PG15

PG5

ψ [�]

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

15129630

2

1.5

1

0.5

0

PG18

PG16PG15

PG5

ψ [�]

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

15129630

2

1.5

1

0.5

0

PG18

PG16PG15

PG5

ψ [�]

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

15129630

2

1.5

1

0.5

0

PG18

PG16PG15

PG5

ψ [�]

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

15129630

2

1.5

1

0.5

0

PG18

PG16PG15

PG5

ψ [�]

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

15129630

2

1.5

1

0.5

0

PG18

PG16PG15

PG5

ψ [�]

Vu·d

m·√

fc

[√

MPa]

15129630

2

1.5

1

0.5

0

Figure 2.6 – comparaison avec le critere de rupture pour les dalles de la seriePG : (a) ρ = 0.75% et (b) ρ = 0.33%

7

Discussion des resultats

On peut conclure que l’ouverture de la fissure n’est plus correlee que a la rotation de la dalleψ et a la hauteur statique dm comme montre en [14] et en [12] ; mais il faut considerer aussil’intensite de l’effort normal. Comme il a deja ete dit, pour les cas avec un effort normal elevel’ouverture est trop faible pour conduire a la rupture par poinconnement, mais on atteintune rupture par flexion tres ductile. C’est pour cette raison qu’une comparaison des resultatsavec Vflex et avec Nfc a ete faite. Ou Vflex est la valeur d’effort tranchant qui conduit ala plastification totale des armatures superieures calculee selon les indications de la section2.5 et Nfc est l’effort normal qui donne une contrainte sous la colonne superieure egale a laresistance uniaxiale du beton. Cette comparaison est montree a la Fig. 2.7.

(a)

(b)

dalle 3.00× 3.00 mCalcul pour une

PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG14

PG13

PG12

PG11

V

Vf

lex

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0


PG17

PG16PG15

PG5

N

Nc

V

Vf

lex

543210

1.2

0.9

0.6

0.3

0

Figure 2.7 – resistances des dalles de la serie PG rapportees au valeurs de Vflex

et Nc : (a) ρ = 0.75% et (b) ρ = 0.33%

Les valeurs de Vflex utilisees dans le diagramme de la Fig. 2.7(b) tiennent en compte de lafaute au niveau des hauteur statiques faite pendant la construction des echantillons [10]. Leraison pour laquelle la resistance au poinconnement mesuree pendant les essais peut depasserla valeur de Vflex est due au type d’armature utilisee. En effet le φ10 est un acier ecroui afroid et donc avec des deformations raisonnables la phase d’ecrouissage, accompagnee par uneaugmentation de contrainte, est atteinte ; par contre pour le calcul,qui a comme hypothese uncomportement rigide parfaitement plastique des materiaux, la limite d’ecoulement apparentea ete employee. La limite d’ecoulement apparente est, selon [19], la contrainte pour la quellela deformation plastique residuelle vaut 0.2%.

8


2.5 Rupture par flexion de la dalle

La valeur de l’effort tranchant qui mene a la complete plastification des armatures a ete utilepour verifier si la compression est vraiment capable d’empecher completement la rupture parpoinconnement. Dans la presente section sont montres les possibles mecanismes de rupturequi ont ete pris en consideration pour la recherche de la solution optimale selon la methodede la borne superieure (methode des lignes de rupture) [6].

mpl,x = mpl,y = mpl = ρ d2m fsy

(1 − ρ

2fsy

fc

)(2.4)

(a) (b)

(c) (d)

Figure 2.8 – mecanismes de rupture par flexion de la dalle d’essais : (a) donneesgeometriques ; (b) mecanisme I ; (c) mecanisme II et (d) mecanisme III

Etant donne que les dalles d’essais sont armees avec la meme armature dans les deux directionson a considere, dans les calculs, que le moment plastique est isotrope et il vaut (2.4). Cettehypothese ne respecte pas vraiment la realite, et enfin pour le choix du mecanisme determinantil en a ete tenu en consideration. La Fig. 2.8 montre la geometrie des trois mecanismes analyseset les differents angles de rotation ϑ des panneaux de dalle. Il est impose que le chargementest fait de facon symetrique et donc chaque charge Q est egale a 1/8 de l’effort tranchant V ;il en suit que :

Vflex = 8 Qu

Par simplification le poids propre de la dalle est compris dans la charge Q. L’erreur introduiteavec cette hypothese est de petite entite et donc largement acceptable.

9

Rupture par flexion de la dalle

2.5.1 Mecanisme I

Le calcul du travail fait par les charges externes sur le mecanisme represente en 2.8(b) estfait selon (2.5).

Wext,i = 8Qu

(B − b

2− c

)ϑ (2.5)

L’energie dissipee le long des lignes de rupture est calculee en (2.6).

Wint,i = 4mpl

[b + (B − b)

1 + tan2 α

1 + tan α

]ϑ (2.6)

La charge ultime s’exprime en egalisant les deux energies decrites avant ; ensuite il faut laminimiser pour trouver la vraie solution qui est donnee pour un angle α = 22.5◦ = π/8 etelle vaut (2.7).

Qu,i =mpl

B − b − 2 c

[b + (B − b)

1 + tan2 α

1 + tanα

]∼=

mpl

B − b − 2 c

[b + 2 (B − b)

(√2 − 1

)] (2.7)

2.5.2 Mecanisme II

Pour le mecanisme montre en Fig. 2.8(c) les differentes energies et la charge ultime a optimiserse calculent selon les suivantes equations.

Wext,ii = 4Qu1

1 − tanα[B + `1 − 2 (b + c)] ϑ (2.8)

Wint,ii = 4 mpl

[b + (B − b)

1 + tan2 α

1 − tan α

]ϑ (2.9)

Qu,ii = mplb (1 − tan α) + (B − b)

(1 + tan2 α

)B + `1 − 2 (b + c)

(2.10)

Le minimum de l’expression (2.10) se trouve en imposant la suivante valeur de tanα qui n’estrien d’autre que mettre la distance e1, indiquee en Fig. 2.8(c), egale a b/2 :

tan α =b

2 (B − b)

La charge de rupture optimisee vaut donc :

Qu,ii =mpl

4 (B − b)4B2 − 4B b − b2

B + `1 − 2 (c + b)(2.11)

2.5.3 Mecanisme III

Contrairement aux deux autres, le dernier mecanisme analyse n’est pas symetrique. Il est unmecanisme ou le porte-a-faux s’ecoule tout seul, comme montre en Fig. 2.8(d) ou il est visibleque la solution est unique et donc l’optimisation n’est pas necessaire. Les energies dissipees le

10


longue des lignes de rupture, celle produite par les charges et la charge ultime sont montreesdans les suivantes equations.

Wext,iii = Qu [B + `1 − 2 (b + c)] ϑ (2.12)

Wint,iii = mpl B ϑ (2.13)

Qu,iii = mplB

B + `1 − 2 (c + b)(2.14)

2.5.4 Mecanisme determinant

Selon la theorie de la borne superieure le mecanisme determinant est celui qui donne lacharge de ruine la plus faible. Les valeurs numeriques donnees au Tab. 2.2 calculees avec lesdonnees des dalles d’essais 3.00× 3.00 montrent que les mecanismes II et III ont des chargesde ruine tres proches avec un petit avantage pour le deuxieme. Maintenant il faut rediscuterl’hypothese de moment plastique isotrope ; en realite les armatures des deux directions setrouvent a des cotes differentes et il en resulte deux hauteurs statiques dx et dy differentes.La difference du moment plastique selon la direction considere (9.0% pour ρ = 0.75% et 5.0%pour ρ = 0.33%) est largement plus grande de la difference entre les deux valeurs de la chargeultime (0.2%) et donc il en suit que enfin le mecanisme determinant est le Mecanisme IIIpour le fait que il ne considere que les resistances d’une seule direction.

Mecanisme : Qu

mpl

Vflex

mplPG11 PG12 PG13 PG15 PG16 PG18

I 1.012 8.096 1370 1379 1377 590 591 529II 0.8703 6.952 1179 1186 1184 508 508 468III 0.8721 6.977 1130 1137 1136 496 497 441

Table 2.2 – Vflex pour les dalles de la serie d’essais PG selon les differentsmecanismes (calcules sur la base de l’hauteur statique nominale dnom)

Les resistances plastiques de la dalle d’essai PG18 montrees au Tab. 2.2 considerent deja lefait que sur le perimetre de la colonne le moment de plastification est nul pour le fait que lesarmatures sont interrompues [10].

11

3 Modele physique

3.1 Introduction

Les essais ont montre que la resistance d’un joint sous une charge appliquee a la colonne estplus grande que la resistance a la compression simple du beton. L’augmentation est due al’etat de contrainte triaxial auquel le beton de la dalle, au droit des colonnes, est soumis.La contrainte laterale, necessaire pour l’augmentation de resistance, est engendree par la dallequi entoure le joint. En effet sous la sollicitation des colonnes le beton de la dalle a tendance agonfler ; mais ce gonflement est partiellement empeche par le reste de la dalle qu’il y a autour.Deux approches completement differentes sont proposees, une qui se base sur l’etude de lacontrainte de confinement donnee par la dalle sous un certain gonflement du beton au droitde la colonne pour ensuite revenir a la charge verticale ; l’autre est basee sur l’application dela theorie de la plasticite.Les modeles decrits dans les sections 3.2 et 3.3 ont ete construits sur un joint colonnes -dalle en geometrie de revolution ou les colonnes sont rondes et la dalle circulaire avec desarmatures circulaires. Les corrections necessaires pour transformer des dalles carrees, commecelles de la serie d’essais, dans des dalles equivalentes rondes pour pouvoir les introduire dansles modeles sont enfin donnees a la section 3.4.

(a)

(b)

Figure 3.1 – principe du modele de confinement compatible : (a) contrainteset (b) etat deforme du systeme

13

Confinement compatible

3.2 Confinement compatible

L’idee a la base est celle de separer la dalle en deux parties, une composee du cylindre entreles deux colonnes, qui resiste a la charge verticale, et l’autre composee par l’anneau de dallerestante, qui introduit une contrainte de confinement sur le premier element. La Fig. 3.1montre le principe avec les contraintes qui agissent sur les differents parties et les respectivesdeformations qui en resultent.Pour que le modele puisse representer toute la courbe charge - deformation de la dalle il fautintroduire la compatibilite cinematique entre les deux elements du modele. Ce qui signifie, enterme de deformations, que le gonflement du cylindre δh,c(z) doit etre egal a la deformationinterieure de l’anneau ui(z). Logiquement aussi l’equilibre sur l’interface doit etre respecteen tout temps, cette condition est respectee si la contrainte de confinement σlat(z) est egalea la pression interne du cylindre pi(z). Donc les suivantes equations sont a respecter en touspoints :

σlat(z) = pi(z)

δh,c(z) = ui(z)

Enfin il est encore necessaire une loi qui decrit le comportement du beton confine et une pourle comportement de l’anneau en beton arme. La premiere est decrite ci-dessous, par contrecelle de l’anneau est decrite plus loin dans le chapitre 4.

3.2.1 Comportement du beton confine

Le modele analytique du comportement du beton confine propose est celui developpe parFernandez Ruiz et Muttoni [7] sur la base de la relation, ecrite pour des betons non confines,de Thorenfeldt, Tomaszewicz et Jensen.

Figure 3.2 – relation entre la deformation axiale et le coefficient de Poisson

La relation analytique qui lie la deformation ε3 a la contrainte σ3 est donnee en (3.1).

σ3 =ε3 Ecc

1 +(

ε3ε0

)α (3.1)

Ou les differentes valeurs suivantes sont introduites :

14

Modele physique

Ecc =Ec

1 − 2 ν γ

ε0 =n f∗

cc

Ecc (n − 1)α−1

α

α = nk + (1 − nk) γβ

f∗cc = fc

[1 + γ

(5nγ

− 1)]

n = 0.8 +fc [MPa]

22

k = 0.6 +fc [MPa]

50

γ =σlat

fc

β =8.5 − 7.0 γ

fc

L’expansion laterale est par contre calculee avec la relation (3.2) qui se base sur une variationlineaire du coefficient de Poisson selon la deformation ε3 comme monte en Fig. 3.2.

ε1 = −ε3 ν∗ (3.2)

Ou ν∗ est le coefficient de poisson modifie pour tenir en compte de la contrainte laterale et ilvaut :

ν∗ = ν − σlat

σ3(1 − 2 ν)

En se basant sur la Fig. 3.2 le coefficient de Poisson peut etre calcule selon (3.3).

ν =

νe si : ε3 ≤ ε3,c

νp − νe

ε3,p − ε3,c(ε3 − ε3,c) + νe si : ε3 > ε3,c

(3.3)

Les deformations de reference et les coefficients de reference valent :

νe = ν = 0.2

νp = 0.5

ε3,c = 0.8fc

Ec

ε3,p =ε0

(α − 1)1α

Dans la Fig. 3.3 est montre le comportement a la compression d’un beton non confine et d’unbeton confine calcules selon le modele precedemment explique. La majeure ductilite du beton

15


confine est bien visible et il se voit qu’elle augmente deja a partir d’une faible contraintelaterale.

(a) (b) (c)

σlat = 10.0 MPa

σlat = 5.0 MPa

σlat = 2.5 MPa

σlat = 0 MPa

ε3 [�]

σ3

[MPa]

0 -10 -20 -30 -400

-20

-40

-60

-80

σlat = 10.0 MPa

5.0

2.5

σlat = 0 MPa

ε3 [�]

ν

0 -10 -20 -30 -40

4

3

2

1

0

σlat = 10.0 MPa

5.0

2.5σlat = 0 MPa

ε3 [�]

ε1

[�]

0 -10 -20 -30 -40

100

75

50

25

0

Figure 3.3 – comportement du beton en compression avec differentescontraintes laterales

3.2.2 Distribution des contraintes de confinement

Les deux nappes d’armature (superieure et inferieure) sont supposees etre placees au milieude la dalle ; de facon qu’une fois calculee la courbe ui-pi de l’anneau la contrainte lateraleappliquee sur toute la hauteur du cylindre, donne un certain gonflement, est connue. Ainsifaisant est introduite l’hypothese que la repartition des armatures entre les deux nappes nejoue aucun role ; ce qui n’est pas totalement vrai.En plus en utilisant un seul cylindre sur toute l’epaisseur de la dalle on suppose que aucunediffusion de l’effort se fait ; ou mieux que les directions principales des contraintes sont, enchaque point de la dalle, la direction verticale, la radiale et la tangentielle.En considerant tout ca il en suit que la contrainte de confinement resulte etre constante sur lahauteur du cylindre et donc aussi la dilatation laterale est constante. Le cylindre a analyserest montre en Fig. 3.4 et une proposition d’algorithme pour l’analyse est decrit a la section3.2.3.

(a) (b)

Figure 3.4 – cylindre interieur : (a) distribution des contraintes de confinementet (b) etat deforme resultant

16

Modele physique

3.2.3 Algorithme de resolution

L’algorithme propose pour construire la courbe ∆h-N est le suivant :

1. Choix d’une valeur de deformation verticale ε3 : Comme il a deja ete dit la deformationlaterale du cylindre est constante sur toute la hauteur du cylindre. En effet, en imposantque la contrainte laterale est constante et qu’il n’y a pas de diffusion de l’effort, il nepeut pas etre autrement.

2. Choix d’une valeur initiale de contrainte laterale : Cette valeur peut etre choisie egale a0 dans le premier pas de calcul et la valeur finale du pas precedent dans tous les autrescas.

3. Calcul de la dilatation du cylindre : En appliquant la relation (3.2), ou σ1 = σlat, calculerla deformation laterale du cylindre, ensuite la dilatation se calcule selon (3.4).

δh,c = ε1dc

2(3.4)

4. Recherche de la pression interne a l’anneau : Pour respecter la condition de compati-bilite cinematique il faut que :

ui = δh,c

En suive que la pression interne pi peut etre lue sur la courbe du comportement del’anneau.

5. Repeter les pas 3 et 4 : En introduisant comme nouvelle contrainte de confinement σlat

la moyenne entre la pression interne a l’anneau trouvee au point 4 et celle trouvee al’iteration precedente, les points 3 et 4 sont repetes jusqu’a la convergence de σlat.

6. Calcul de ∆h et de N : En utilisant la relation (3.1) avec le confinement calcule a laderniere iteration la contrainte verticale σ3 qui sollicite le cylindre peut etre calculee.Pour terminer ne reste qu’a calculer le raccourcissement vertical du cylindre et l’effortvertical selon (3.5) et (3.6).

∆h = ε3 h (3.5)

N = σ3dc

2 π

4(3.6)

La courbe complete du comportement d’un joint colonnes - dalle peut etre obtenue en repe-tant, avec differentes deformations verticales, les pas de 1 a 6.

3.2.4 Application

A la Fig. 3.5 est donnee la courbe calculee avec la procedure decrite dans la presente section,en considerant le comportement de l’anneau selon la loi complete, pour le joint equivalent acelui de l’essai PG14.La chose la plus importante a noter est que la courbe ∆h-N peut etre approximee par undiagramme trilineaire ou les changements de la pente correspondent au changement du com-portement de l’anneau. Il en suit qu’en reliant directement le raccourcissement du cylindreau gonflement du meme il est possible trouver les points caracteristiques de la courbe ap-proximee.

17


(a) (b) (c)

lineaireElastique

Fissuration anneau

∆h [mm]

N[k

N]

210

7000

5250

3500

1750

0

lineaireElastique

Fissuration anneau

∆h [mm]

N[k

N]

210

7000

5250

3500

1750

0

lineaireElastique

Fissuration anneau

∆h [mm]

N[k

N]

210

7000

5250

3500

1750

0

lineaireElastique

Fissuration anneau

∆h [mm]

N[k

N]

210

7000

5250

3500

1750

0

lineaireElastique

Fissuration anneau

∆h [mm]

N[k

N]

210

7000

5250

3500

1750

0

Plastification totale anneau

Fissuration anneau

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

15129630


Fissuration anneau

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

15129630


Fissuration anneau

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

15129630


Fissuration anneau

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

15129630


Fissuration anneau

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

15129630


Fissuration anneau

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

15129630


Fissuration anneau

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

15129630


Fissuration anneau

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

15129630

pi,max

σlat [MPa]

151050

pi,max

σlat [MPa]

151050

Figure 3.5 – courbe N -∆h pour un joint colonnes - dalle soumis a la seulecompression calculee a l’aide du modele de confinement compatible (dc = ri =146.5 mm ; re = 564 mm ; h = 250 mm ; fc = 30.9 MPa ; fct = 3.0 MPa ; Ec = 33GPa ; ν = 0.2 ; ρtot = 1.04% ; fsy = 469 MPa et Es = 137 GPa) : (a) detaildu debut du chargement ; (b) courbe complete jusqu’a plastification totale desarmatures dans l’anneau et (c) evolution des contraintes de confinement σlat

pendant le chargement

3.2.5 Courbe approximee

Pour construire la courbe approximee il faut imposer une relation simple qui lie la deformationaxiale du cylindre ε3 a la deformation tangentielle ε1. Etant donne que le comportement detous les elements, cylindre et anneau, sont consideres lineaires le rapport entre les deuxdeformations reste constante tout le long du chargement. Dans le cas en question il estconsidere qu’en chaque moment le beton du cylindre se trouve au pic de la courbe ε-σ ;ce point est caracterise par une deformation volumetrique εv nulle et donc le coefficient dePoisson ν est egal a 0.5. Enfin en introduisant tout ca dans les relations (3.5) et (3.4) enresulte la relation suivante :

ε1 = 0.5 ε3 ⇔ δh,c = ∆hdc

4 h(3.7)

L’effort normal N est calcule a partir de la contrainte verticale au pic, qui est prise par latheorie de la plasticite, et il vaut :

N = Ac σ3,p = Ac (fc + 4 σ1) (3.8)

Enfin il ne reste que introduire les differentes rigidites de l’anneau de confinement pour trouvertous les points caracteristiques de la courbe approximee. Dans la suite toute la procedure estexpliquee.– Ligne I : La premiere ligne part de l’origine et elle arrive au point ou l’anneau se trouve entre

les zones 3. et 4. de la loi simplifiee. La contrainte de confinement ainsi que la deformationde l’anneau sont donnees en (3.9).

18

Modele physique

u1 = δh,c = (fsy ρ − fct)dc

2

[fsy ρ

εy− fct

εs+ Es ρ

[ln

(εy

εs

)+

∆εts

εy εs(εy − εs)

]]−1

pi,1 = σ1 = fct

[D

dc− 1

] (3.9)

En introduisant ces dernieres valeurs en (3.7) et (3.8) le premier point de la courbe estfacilement trouve.

– Ligne II : L’equation pour ce troncon est trouvee a l’aide de l’equation de l’anneau dans lazone 4. calculee, selon la loi simplifiee, en (4.40). En introduisant (3.7) en (4.40) on trouvela relation qui decrit la contrainte de confinement selon le deplacement verticale de la facedu cylindre ∆h. En introduisant la nouvelle relation en (3.8) on trouve l’equation pour ladeuxieme ligne qui est montree en (3.10).

N = Nc + 4 Ac

(fct

D

dc− fsy ρ

)+

+ Ac2 ∆h

h

[fsy ρ

εy− fct

εs+ Es ρ

[ln

(εy

εs

)+

∆εts


]] (3.10)

– Ligne III : La branche descendante est impossible a suivre avec l’hypothese que le com-portement du beton est toujours au pic. Il en suit que un comportement plastique estconsidere, donc il y a un plateau au suivant effort normal :

N = Nc + 4 Ac fy ρ

(D

dc− 1

)(3.11)

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

σc

[MPa]

N[k

N]

100

80

60

40

20

015129630

7000

5250

3500

1750

0

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

σc

[MPa]

N[k

N]

100

80

60

40

20

015129630

7000

5250

3500

1750

0

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

σc

[MPa]

N[k

N]

100

80

60

40

20

015129630

7000

5250

3500

1750

0Confinement compatible

Modele simplifie

3 Nc

2 Nc

Nc

∆h [mm]

σc

[MPa]

N[k

N]

100

80

60

40

20

015129630

7000

5250

3500

1750

0

Figure 3.6 – comparaison entre les courbes N -∆h du modele et de l’approxi-mation pour un joint colonnes - dalle soumis a la seule compression calculee

La Fig. 3.6 montre les courbes calculees selon le modele et selon l’approximation pour lememe joint de la Fig. 3.5. Il est visible que la courbe approximee decrit de facon tout a faitacceptable le modele. Il faut etre conscient que pour le fait que la branche descendante n’estpas presente, la simplification n’est pas utilisable pour toutes les applications ; par exemple

19


dans toutes les situations ou la localisation de la rupture joue un role important la partiemanquante permettrait de trouver la redistribution des efforts.L’approximation est moins bonne dans le cas des joints faiblement armes ; ceci est du au faitqu’au moment que l’anneau exerce la contrainte de confinement maximale la deformation dubeton du cylindre est deja bien au dela de la deformation au pic de resistance. Dans ces casl’approximation donne des resistances legerement plus grandes.

3.2.6 Repartition des armatures

Le modele propose admet que l’armature est distribuee symetriquement sur l’epaisseur de ladalle ; comme deja remarque avant il en suit qu’il n’y a aucune influence de la distributiondes armatures entre les deux nappes sur la resistance. Ceci ne respecte pas la realite et doncil faut introduire une limitation, au dela de laquelle une reduction de resistance se manifeste.

Figure 3.7 – repartition des contraintes de confinement pour un comportementrigide plastique du beton

En considerant l’equilibre entre les contraintes de confinement et les efforts dans les armatureset un comportement rigide - plastique du beton il est possible de retrouver la repartition despressions internes a l’anneau, montrees a la Fig 3.7. Etant donne que le beton de l’anneaune presente pas de frettage transversal, il est impossible que la contrainte radiale depasse laresistance a compression simple du beton fc ; donc il se peut que la limite d’ecoulement dansl’armature superieure ne soit pas atteinte. Pratiquement il existe un taux d’armature maxi-male au dela du quel aucune augmentation de resistance apparaıt. La contrainte maximalequi sollicite les barres d’armature est la suivante :

fsy,eff = min (fsy, σs,max) (3.12)

Pour trouver la valeur de σs,max il faut imposer que σlat,2 soit egal a fc et que les anneauxd’armature de la nappe inferieure se trouvent tous a l’etat plastique. La contrainte de confi-nement dans la partie inferieure σlat,1 se calcule selon la suivante relation :

σlat,1 = 2 ρ′ fsyd − d′

2 d − h

(D

dc− 1

)(3.13)

Il en suit que la premiere partie de la force de confinement repartie sur la circonference dediametre dc, Zsup,1, se calcule par la relation (3.14).

Zsup,1 = σlat,1 h − Zinf = ρ′ fsy h2 d′ − h

2 d − h

(D

dc− 1

)(3.14)

Pour que la contrainte supplementaire σlat,2 − σlat,1 n’influence que Zsup il faut que cettederniere et la resultante des contraintes supplementaires soient sur la meme ligne d’action ;il en suit que la hauteur t doit etre egale au double de la distance entre le bord superieur etles armatures superieures.

20

Modele physique

t = 2 (h − d) (3.15)

Enfin il est possible de calculer la contrainte maximale sur les armatures de la nappe supe-rieure σs,max qui vaut :

σs,max =Zsup,1 + (fc − σlat,1) t

ρ h

dc

D − dc

= 2fc

ρ

(1 − d

h

)dc

D − dc+ fsy

ρ′

ρ

2 d − h − 2 d′

h

(3.16)

La limite d’ecoulement fsy a utiliser pour les calculs de la presente section est celle desarmatures de la nappe inferieure.Cette reduction pourrait aussi etre calculee sur le taux d’armature, mais en faisant ca aussi larigidite de l’anneau va etre changee ; ce qui poserait un probleme au niveau de la compatibilitecinematique entre le cylindre et le beton.

3.3 Theorie de la plasticite

Une approche du probleme selon la theorie de la plasticite a ete fait ; dans cette section lademarche et les resultats sont expliquees.En premier un calcul aux elements finis (EF) a ete execute avec le but de tirer des informationssur le probable mecanisme de rupture qui se developpe. Ensuite le mecanisme a ete verifieselon le theoreme de la borne superieure et celui de la borne inferieure pour les comparer.Enfin l’energie dissipee sur l’interface beton plaques a ete analysee avec une etude sur lemecanisme plastique qui decrive le comportement de l’essai a compression sur cubes.

3.3.1 Methode des elements finis

Les joints equivalents aux echantillons des essais PG14 et PG17 ont ete modelises avec le pro-gramme d’EF Z-Soil. Ce programme permet une analyse elasto-plastique d’un milieu continuavec une loi constitutive de Mohr-Coulomb. Le beton etant assimilable a un materiau Mohr-Coulomb peut bien etre decrit dans le programme.Les constantes necessaires pour decrire le comportement elasto-plastique du beton pris commeun materiau Mohr-Coulomb sont decrites de suite :– module d’elasticite E ;– coefficient de Poisson ν ;– module de cisaillement G ;– angle de frottement interne ϕ ;– angle de glissement interne ψ ;– cohesion c.Les trois premieres sont des constantes elastiques par contre les autres decrivent le compor-tement plastique. Dans le cas du beton la loi plastique utilisee est une loi associee, la surfacedu critere de rupture est la meme que celle du potentiel plastique, et donc on impose quel’angle de frottement est le meme que l’angle de glissement (3.18). En plus les trois constanteselastiques sont liees entre eux par (3.17).

G =E

2 (1 + ν)(3.17)

21

Theorie de la plasticite

ψ = ϕ = 37◦ (3.18)

La cohesion se calcule en partant de la resistance a la compression simple selon la relation(3.19).

c =fc

21 − sinϕ

cos ϕ= 0.249 fc (3.19)

En plus il est possible effectuer un cut-off, une coupe de la resistance a la traction, ce quiest indispensable pour representer au mieux le comportement du beton. Le comportementen traction considere par le programme est elastique lineaire parfaitement plastique, ce quine represente pas la realite. Pour cette raison afin de pouvoir comparer les resultats de lamethode de la borne superieure une etude de la variation de fct entre 0.5 et 3.0 MPa a eteamenee.

(a)

(b)

Figure 3.8 – sorties des EF pour le joint equivalent a l’essai PG14 : (a) incre-ment de la deuxieme invariante du tenseur deviatorique des deformations et (b)

increment des deplacements plastiques

L’analyse des resultats concernant les deformations deviatoriques e, et plus precisement ladeuxieme invariante du tenseur deviateur des deformations IIe, permet l’individuation de lageometrie des lignes de rupture. L’image de la deuxieme invariante et des vecteurs d’incrementdes deplacements entre deux pas de calcul en etat completement plastifie obtenues a l’aide deZ-Soil est montree dans la Fig. 3.8. Dans l’image d’en haut est visible le probable mecanismequi est compose par une droite qui relie le centre de la plaque d’appui inferieure a un point aumilieu de la dalle d’ou partent deux courbes qui vont : une vers le bord de la plaque inferieureet l’autre sur le bord de la plaque superieure. Par contre dans l’image du bas est visible larotation qui subit la partie exterieure a la colonne et le centre de rotation. Cette rotation est

22

Modele physique

necessaire pour limiter le deplacement au niveau de la nappe superieure d’armature de facona en limiter l’energie dissipee dans cet element.La Fig. 3.9 montre la courbe N -∆h calculee avec la methode des EF pour un joint equivalenta l’essai PG14. La courbe est composee de trois parties bien distinguees : une premiere partielineaire ou tous les elements se trouvent dans un etat elastique, cette partie est suivie par unecourbe qui represente la progressive plastification des elements qui se produit de l’interieurvers l’exterieur et enfin un plateau plastique. Les coins presents sur la partie centrale de lacourbe indiquent les moments auxquels chaque barre d’armature se plastifie ; les premieresbarres a se plastifier sont les plus proches a la colonne.

Elastique lineaire

Plastification complete

Debut plastifiction

∆h [mm]

N[k

N]

6543210

7500

6000

4500

3000

1500

0

Elastique lineaire


Debut plastifiction

∆h [mm]

N[k

N]

6543210

7500

6000

4500

3000

1500

0

Elastique lineaire


Debut plastifiction

∆h [mm]

N[k

N]

6543210

7500

6000

4500

3000

1500

0

Elastique lineaire


Debut plastifiction

∆h [mm]

N[k

N]

6543210

7500

6000

4500

3000

1500

0

Elastique lineaire


Debut plastifiction

∆h [mm]

N[k

N]

6543210

7500

6000

4500

3000

1500

0

Figure 3.9 – courbe N -∆h pour un joint equivalent a l’essai PG14 (fct = 0.5MPa)

3.3.2 Theoreme de la borne inferieure

Un champ de contraintes qui est en equilibre avec les charges exterieures et qui respecte lacondition statique de plasticite est montre a la Fig. 3.10(a). Il en suit, selon le theoreme dela borne inferieure, que la charge est une borne inferieure de la charge de rupture plastiquedu joint.La surface d’acier de chaque anneau d’armature est repartie uniformement sur toute l’epais-seur de la dalle. Ceci ne correspond pas totalement a la realite du probleme mais les resultatsdonnes sont tout a fait satisfaisants, comme montre au chapitre 5. La condition statique deplasticite impose que la contrainte dans les armatures ne depasse pas la limite d’ecoulement,il en suit que la contrainte de confinement plastique vaut :

σlat = (As,inf + As,sup)2 fs,y

dc h=

(ρ + ρ′

)fs,y

(D

dc− 1

)(3.20)

La resistance ultime peut donc etre calculee en imposant la contrainte de rupture, celle surle bord de la surface de rupture montree a la Fig. 3.10(b), dans toute la zone centrale. Il ensuit que la resistance est calculee selon la formule (3.21).

fc,eff = fc +1 + sin ϕ

1 − sinϕσlat = fc + 4 σlat (3.21)

23


(a) (b)

Figure 3.10 – (a) champ de contraintes du joint et (b) critere de rupture avecles points caracteristiques

Il est interessant de remarquer que, selon ce champ de contraintes, il est impossible d’appliquerune contrainte de confinement plus grande que la resistance a la compression simple du betonfc.

3.3.3 Theoreme de la borne superieure

Pour cette partie les ouvrages de reference sont [3] et [17].Le mecanisme de rupture detecte a l’aide des EF a ete calcule selon la methode de la bornesuperieure. A la Fig. 3.11 est montre le mecanisme analyse avec sa geometrie et sa cinematique.Pour faciliter les calculs les deplacements des corps rigides ont ete modelises par deux rotationsconsecutives autour de deux centres de rotations differents. La premiere rotation, voir Fig.3.11(b), tourne les corps B et C d’un angle ω1 au tour du point C1 ; la deuxieme, voir Fig.3.11(c), par contre tourne seulement le corps B au tour de C2 d’un angle de rotation ω2.Pour que les rotations respectent la condition de normalite les lignes de glissement doiventetre des spirales logarithmiques, en effet l’angle qui forme la tangente a n’importe quel pointd’une spirale logarithmique avec le rayon, qui passe par le meme point, est constant. Cecisignifie que le vecteur du deplacement plastique est toujours tourne par rapport a la ligne deglissement de la meme grandeur. Cette configuration de ligne de glissement prend le nom deligne Prandtl et l’equation qui la decrit est (3.22).

R = R0 e(θ tan ϕ) (3.22)

La geometrie des lignes de glissement est completement definie en donnant trois variables ;pour simplicite dans la recherche numerique de la solution optimale les variables choisiessont :– l’abscisse du point D rD ;– l’ordonnee du point D zD et– l’angle d’ouverture de la premiere spirale logarithmique ϑ1.L’origine du repere a ete placee sur l’intersection entre l’axe de revolution et le plan de contactentre la dalle et la plaque d’appui inferieure comme est montre en Fig. 3.11(a).Les trois variables definissent univoquement les lignes qui delimitent le corps A ; en effet ladroite commence a l’origine et termine sur D et il existe une seule spirale qui commence au

24

Modele physique

(a)

(b)

(c)

Figure 3.11 – mecanisme de rupture pour un joint colonnes - dalle avec ar-matures differentes dans la nappe superieure et inferieure sollicite que a l’effortnormal : (a) geometrie et cinematique ; (b) premiere rotation au tour de C1 et

(c) deuxieme rotation au tour de C2

25


bord de la plaque superieure, avec R01, et termine en D avec l’angle d’ouverture fixe a ϑ1. Parcontre pour definir la deuxieme spirale il faut encore introduire les suivantes considerations.Pour que le corps B ne subisse aucune rotation a l’etat finale, en effet il fait que une translationle long d’une droite inclinee de β−ϕ par rapport a l’horizontale, il faut que les deux rotationssoient de meme intensite mais de sens contraire. Il en suit que :

ω1 = ω2 = ω (3.23)

Sur la Fig. 3.11(c) est aussi montre que la somme vectorielle des vecteurs deplacements relatifsaux deux rotations donne bien un vecteur incline par rapport a la verticale de π/2 − β + ϕ.En traduisant ca en forme algebrique on a la relation (3.24).

uB−A = uD,1 + uD,2(uB cot

(β − ϕ

)uB

)= ω

(zc1 − zD

rD − rC1

)+ ω

(zD − zC2

rC2 − rD

) (3.24)

En resolvant l’equation precedente les suivantes expressions sont trouvees :

uB = ω (rC2 − rC1)

tan(β − ϕ

)=

rC2 − rC1

zC1 − zC2

(3.25)

Ou la premiere equation exprime le deplacement verticale du blocs B qui n’est rien d’autreque le deplacement necessaire pour calculer l’energie produite par la charge et la deuxiemedit que la droite qui relie les deux centres de rotation C1 et C2 est inclinee par rapport a laverticale de β −ϕ comme montre en 3.13. C’est bien cette derniere consideration qui permetde trouver de facon univoque les constantes de la deuxieme spirale ; vu que sur la droite enquestion existe un seul point qui fait de centre a une spirale qui respecte l’equation (3.22)en commencant par le point D, toujours avec R02, et en terminant au bord de la plaqueinferieure.Apres avoir defini completement la geometrie du probleme il faut trouver les expressions quipermettent le calcul des energies produites et dissipees.En geometrie de revolution l’energie dissipee sur une ligne de glissement type Prandtl estcalculee selon la formule (3.26) si on se trouve dans la situation montree en 3.12(a) ; parcontre si l’ouverture de la spirale mesuree a partir de R0 en direction de Rf tourne en senstrigonometrique positif, dans la meme direction que γ, comme montre en 3.12(b) la dissipationse calcule selon (3.27).

26

Modele physique

Wint =fc

2(1 − sinϕ)

∫Γ

2π r u ds =

= fc1 − sinϕ

cos ϕπ ω

∫ ϑ

0R2

[rc + R cos

(γ − θ

)]dθ =

=fc

2π ω R2

0

1 − sinϕ

cos ϕ

[rc

e(2 ϑ tan ϕ) − 1tan ϕ

− 2R0 cos ϕ

4 cos 2 ϕ − 5·

·[

cos ϕ sin γ − 3 sin ϕ cos γ+

+ e(3 ϑ tan ϕ)(

sin(γ − ϑ + ϕ

)− 2 sin

(γ − ϑ − ϕ

))]]

(3.26)

Wint =fc

2(1 − sinϕ)

∫Γ

2π r u ds =

= fc1 − sinϕ

cos ϕπ ω

∫ ϑ

0R2

[rc + R cos

(γ + θ

)]dθ =

=fc

2π ω R2

0

1 − sinϕ

cos ϕ

[rc

e(2 ϑ tan ϕ) − 1tan ϕ

+2R0 cos ϕ

4 cos 2 ϕ − 5·

·[

cos ϕ sin γ + 3 sin ϕ cos γ+

+ e(3 ϑ tan ϕ)(

sin(γ + ϑ − ϕ

)− 2 sin

(γ + ϑ + ϕ

))]]

(3.27)

La spirale entre le corps A et le C, nommee avec l’indice 1 est du premier type 3.12(a) parcontre celle entre les corps b et C est du deuxieme type 3.12(b). Il en suit que les energiesdissipes sont calculees pour la spirale 1 Wint,A−C en introduisant les constantes en (3.26) etpour la spirale 2 Wint,B−C avec (3.27).L’energie dissipee le long de la ligne de glissement qui separe les corps A et B est calculee, engeometrie de revolution, selon (3.28).

Wint,A−B =fc

2(1 − sinϕ)

∫Γ

2 π r u ds =

=fc

2π ω

1 − sinϕ

cos(β − ϕ

) z2D (zC1 − zC2)tanβ sinβ

(3.28)

L’energie dissipee au niveau des barres d’armature de la nappe superieure et de l’inferieureest calculee selon l’equation (3.29).

27


(a) (b)

Figure 3.12 – definition de la geometrie et de la cinematique des lignes derupture Prandtl en geometrie de revolution

Wint,s = dc π (Zsup us,sup + Zinf us,inf ) =

= dc π ω[Zs,sup (zC1 − dm) + Zs,inf

(zC1 − d′m

)] (3.29)

ou Zsup et Zinf sont respectivement les forces de confinement, appliquees par les armaturessuperieures et respectivement inferieures, par unite de longueur sur la circonference de dia-metre de la plaque d’appuis dc et elles sont calculees selon les formules suivantes.

Zsup = ρ fsy h

(D

dc− 1

)

Zinf = ρ′ fsy h

(D

dc− 1

) (3.30)

L’energie produite par la charge est calculee par (3.31) a laquelle il faut enlever la partie dis-sipee par le frottement entre la plaque d’appui et le beton (3.32), calculee selon les indicationsde la section 3.5.

28

Modele physique

Wext,f = fc,effd2

c π

4uB =

= fc,effd2

c π

4ω (rC2 − rC1)

(3.31)

Wext,δ = −fc,eff tan δd2

c π

4vB =

= −fc,eff tan δd2

c π

4ω (zC1 − zC2)

(3.32)

Pour comparer les valeurs calculees a l’aide du mecanisme avec les resultats trouves par lamethode des EF on doit introduire aussi la dissipation faite par le travail du beton tendu acomportement parfaitement plastique. En effet, comme il a ete explique en 3.3.1, la methodedes elements finis utilise une loi constitutive pour le beton en traction elastique lineaireparfaitement plastique. Enfin la quantite d’energie dissipe dans le beton tendu est trouvee al’aide de la formule (3.33).

Wint,ct = fc,t

(D

dc− 1

)t dc π uC =

= fc,t (D − dc) t π ω

(zC1 −

h

2

) (3.33)

En introduisant toutes les relations qui expriment les differentes energies dans l’equation(3.34) est possible de resoudre le probleme pour obtenir fc,eff en fonction des trois variablesdecrites avant rD, zD et ϑ1.

∑Wext =

∑Wint

Wext,f + Wext,δ = Wint,A−B + Wint,B−C + Wint,A−C + Wint,s + Wint,ct

(3.34)

La recherche du minimum est faite numeriquement sous certaines contraintes qui sont expli-quees ci dessous ; les variables utilisees sont definies a la Fig. 3.13 :

rD ∈]0;

dc

2[

zD ∈]0;h

[ Verifient que le point D se trouve verticalement entre lesdeux plaques et horizontalement entre l’axe de symetrie etle bord des plaques.

β ≥ ϕ Verifie que le travail fait par la charge Wext,f est positif.

ϑ1 ∈]0; π

[ϑ2 ∈

]0; π

[ Verifient que les spirales font au maximum un demi tour.

29


rC1 ≤ dc

2

rC2 ≥ dc

2

Verifient que les deux plaques se deplacent vers l’interieurpar rapport au beton juste a cote.

γ1 ≥ ϑ1 + γ2 − 2 ϕ

γ1 ≤ 2π − ϕ

La borne inferieure verifie que les deux spirales ne se croisentpas ; la superieure que aucun point de la spirale no. 1 setrouve a l’exterieur de la ligne qui relie les bords des deuxplaques.

γ2 ≥ β +π

2− ϕ

Verifie que la spirale no. 2 et la ligne entre l’origine O et lepoint D ne se croisent pas.

Figure 3.13 – definition des variables pour les verification de la geometrie

Dans tous les cas analyses la solution optimale a ete trouvee pour des angles β proches del’etat de poussee active β = π/4 + ϕ/2, il en suit que la recherche peut etre concentree autour de cette valeur.Comme sera explique dans la section suivante, la solution donnee par le mecanisme en ques-tion, donne une dissipation dans les elements de confinement (armatures et beton tendu)double a celle du mecanisme determinant. Il en suit que celle-ci n’est pas la solution, selon latheorie de la plasticite, du probleme. Les raisons seront expliquees a la section 3.3.4.

3.3.4 Applicabilite de la methode de la borne superieure en geometrie derevolution

Comme deja anticipe, les resultats donnees par l’application de la methode de la borne supe-rieure decrite a la section 3.3.3 donne des resultats beaucoup plus grands que ceux trouvesa l’aide de la methode des EF, qui est prise comme la solution optimale de la resistanceplastique du joint. La raison de cette difference est que le mecanisme calcule n’est pas celuideterminant, aussi si les lignes de rupture semblent bien coller aux pics des deformations

30

Modele physique

deviatoriques comme on peut voir en Fig. 3.14.

(a)

(b) (c)

Figure 3.14 – comparaison entre la geometrie des lignes de rupture et les de-placements plastiques de la methode de la borne superieure et celles des EF : (a)lignes de rupture et pics de IIe ; (b) deformations plastiques pour le mecanisme

calcule et (c) deformations plastiques trouvees a l’aide des EF

Pour comprendre a quel niveau se trouve le piege il est interessant d’analyser les mecanismesde rupture d’un cylindre avec du confinement, montres a la Fig. 3.15 des quels les solutionssont connues et elles valent (3.35).

fc,eff = fc +1 + sin ϕ

1 − sinϕσlat = fc + 4 σlat (3.35)

Pour le mecanisme de la Fig. 3.15(a) l’energie dissipee a l’interieur du beton et par lacontrainte de confinement se calcule selon (3.36).

Wint,cyl,(a) =fc

2(1 − sinϕ)

π d2

4 cos β

u

sin(β − ϕ

) + σlatπ d2

4u tanβ

tan(β − ϕ

) (3.36)

Par contre l’energie externe produite par la charge vaut :

Wext,cyl,(a) = fc,eff(a)π d2

4u (3.37)

L’expression qui definie la valeur de fc,eff se trouve en egalisant les deux energies, son mini-mum, exprime en (3.38), se trouve en β = π/4 + ϕ/2.

31


(a) (b)

Figure 3.15 – geometrie et cinematique de deux differents mecanismes de rup-ture pour des cylindres comprimes avec confinement

fc,eff,(a) = fc +1 + sin ϕ

1 − sinϕσlat (3.38)

Ce qui signifie que la solution est une solution optimale pour le cylindre, mais la geometriedes lignes de rupture n’est pas de revolution. Maintenant la meme procedure est faite sur lemecanisme montre en Fig. 3.15(b), qui lui par contre est axisymetrique, on trouve les relationsmontrees en (3.39) pour la somme des energies internes et (3.40) pour l’externe.

Wint,cyl,(b) = fc (1 − sinϕ)π d2

4 cos β

u

sin(β − ϕ

) + σlat π d2 u tan β

tan(β − ϕ

) (3.39)

Wext,cyl,(b) = fc,eff,(b)π d2

2u (3.40)

Il est deja visible que l’energie dissipee dans le beton et celle produite par la charge sont ledouble que dans l’autre geometrie des lignes de glissement, mais par contre la dissipationfaite par la contrainte de confinement est quatre fois plus grande. Ceci se voit aussi apresavoir minimise l’expression qui donne fc,eff,(b) (3.41) et signifie que le mecanisme n’est pasdeterminant pour le cas d’un cylindre confine.

fc,eff,(b) = fc + 21 + sin ϕ

1 − sin ϕσlat (3.41)

La solution correcte en geometrie de revolution a ete developpe par Haythornthwaite en 1958[13], [4] et [5]. La Fig. 3.16 compare la deformee du mecanisme en geometrie de revolution avec

32

Modele physique

(a) (b)

Figure 3.16 – deformes des mecanismes pour un cylindre confine : (a) mecanisecorrect en axisymetrie ; (b) mecanisme en deformations planes

celui avec une seule ligne de glissement. Dans le cas axisymetrique la dissipation d’energieinterne au beton ne se fait pas sur des lignes de glissement mais toute la partie externe subiedes deformations plastiques de facon que le deplacement de la surface externe du cylindren’est pas constant sur toute l’hauteur.Les angles β montres a la Fig. 3.16 et trouves en minimisant la charge ultime respectent,dans les deux cas, la relation suivante :

tan β =√

k

k =1 + sin ϕ

1 − sinϕ

L’integrale des deplacements horizontaux de la surface externe, pour le mecanisme developpepar Haythornthwaite, sur la hauteur du cylindre, (3.42), vaut exactement la moitie de celuicalcule pour le mecanisme montre en Fig. 3.15(b), voir (3.43). Il en suit qu’aussi dans lecas du joint il faut etudier un mecanisme similaire de facon a reduire l’intensite de l’energiedissipee dans les elements de confinement.Selon le mecanisme de Haythornthwaite :

33

Dalles carrees

ur

∣∣r= d

2= 2

u√

k

π

√1 − 4 z2

k d2

∫ √k d

2

0ur

∣∣r= d

2dz = u

k d

4

(3.42)

Selon le mecanisme montre en Fig. 3.15(b) :

ur

∣∣r= d

2= u

√k

∫ √k d

2

0ur

∣∣r= d

2dz = u

k d

2

(3.43)

3.4 Dalles carrees

Les modeles de calcul sont construits sur des joints en geometrie de revolution, par contredans la majorite des cas la dalle et eventuellement la colonne sont carrees. Aussi les joints dela serie PG sont composes par des dalles carrees entre deux plaques carrees. Il en suit qu’unetransformation prealable de la geometrie et des proprietes des materiaux doit etre faite affinde pouvoir appliquer les modeles proposes.

Figure 3.17 – definition de la geometrie d’un joint carre et de son joint equi-valent en axisymetrie

A la Fig. 3.17 sont montrees les caracteristiques du joint carre et du joint equivalent enaxisymetrie. Les donnees a reinterpreter sont la longueur des cotes de la dalle B, les dimensionsdes colonnes b, les taux d’armature superieurs et inferieurs ρ et ρ′ et enfin le module d’elasticitede l’acier d’armature Es.Le critere qui permet de transformer la geometrie de la colonne est celui de la surface equi-valente est donne en (3.44).

b2 =d2

c π

4⇔ dc =

2 b√π

(3.44)

Pour calculer le diametre de la dalle equivalente on impose que la contrainte de confinementau moment ou la dalle se fissure (en imposant un comportement rigide du beton) soit egaledans les deux geometries. A la Fig. 3.18 est montre l’endroit considere pour la premiere fissuredans les deux cas, ce qui permet d’ecrire l’equation suivante :

h(B − b) fct

b= h

(D − dc) fct

dc⇔ D =

B

bdc =

2B√π

(3.45)

34

Modele physique

Figure 3.18 – emplacement des premieres fissures et contraintes considereespour le critere determinant pour l’equivalence de la dimension de la dalle

Les taux d’armature a introduire dans le modele doivent garantir que la contrainte de confine-ment σlat maximale soit egale a celle produite par les armatures de la vraie dalle. Il faut aussiconsiderer que la vraie dalle est armee sur toute la largeur et de facon orthotrope par contrele disque est arme que a l’exterieur de la colonne et que avec des anneaux concentriques. Ilen suit que la transformation se fait selon l’equation (3.46).

hB fsy

bρ = h

(D − dc) fsy

dcρc ⇔ ρc =

dc

b

B

D − dcρ =

B

B − bρ (3.46)

Il faut remarquer que les differents taux d’armature ρ et ρc sont le rapport entre la surfacetotale des barres d’armature As sur une certaine section et la surface de beton de la memesection Ac = b h et non b d. Ceci est du au fait que les elements en question ne sont passollicite en flexion mais sont soumis que a des efforts normaux de traction.Si par contre il est preferable travailler avec le nombre des barres et les diametres equivalents,comme dans le cas des EF ou chaque barre a ete introduite, la transformation doit etre faiteselon la formule (3.47), qui se base sur les memes criteres du taux d’armature.

φs,c = φsdc

b= φs

√2√π

(3.47)

Pour ce qui concerne le module d’elasticite de l’acier il faut que la rigidite de l’anneau dansle cas ou huit fissures s’ouvrent comme il est montre en Fig. 3.19 soit egale a celle de la dallecarree avec ses huit fissures correspondantes. Ou mieux que dans la situation decrite sous lameme contrainte de confinement les deplacements du beton au tour de la colonne carree etde celle ronde soient les memes. L’emplacement des fissures a ete choisi aux endroits ou sepresentent, dans la dalle carree, la plus grande et la plus petite rigidite du systeme betonarme. En effet les contraintes principales sont paralleles aux barres aux endroits des fissureslongitudinales et transversales et tournees de 45◦ au droit des fissures diagonales.

Figure 3.19 – fissures considerees pour le calcul des deplacements determinantspour l’equivalence du module d’elasticite des armatures

En premier il faut trouver la rigidite d’un element en beton arme tendu ou les barres sontparalleles a l’effort maximal et d’un autre sous le meme effort mais avec des armaturestournees a ±45◦ exprimee en (3.48) [12].

35

Dalles carrees

(EA

)s,90(

EA)s,45

=Es,90

Es,45= 2 + ρn (3.48)

ou n est le rapport entre le module d’elasticite de l’acier et celui du beton.

n =Es

Ec

En imposant que les deformations sont causees que par l’ouverture des fissures dues au glisse-ment de l’armature sur le beton considere rigide. En d’autres termes les corps entre les fissuresse comportent comme des corps rigides liees par des armatures, avec des rigidites differentesselon l’angle entre la fissure et les barres exprimees par la formule (3.48), qui glissent a soninterieur. Ceci correspond a une moyenne des ouvertures sur toutes les possibles fissures avecla rigidite des armatures qui change lineairement entre Es,90 et Es,45 comme en Fig. 3.20, ouα exprime l’angle entre l’effort principal et une des deux directions des barres d’armature.

Figure 3.20 – variation du module d’elasticite considere pour la rigidite d’unelement tendu selon l’angle entre l’effort principal et une des directions des barres

d’armature

En employant (3.48) pour les barres de la fissure a 45◦ l’espacement e et le taux d’armatureρ est le meme sur les deux fissures. Il en suit que aussi la surface de chaque barre Ab = h e ρest la meme, mais par contre le nombre de barres par fissure change et il vaut (3.49) sur lafissure verticale et (3.50) sur celle a 45◦.

nb,90 =B

2 e(3.49)

nb,45 =√

2B

2 e(3.50)

En connaissant la resultante des contraintes sur toute la longueur des fissures on peut calculerla contrainte sur les barres, exprimees en (3.51) et qu’elle ne depend pas de la direction de lafissure.

σs,90 = σss,45 =u b

ρB(3.51)

Pour pouvoir calculer l’ouverture des fissures il faut connaıtre la longueur, pour chaque coted’une fissure, sur la quelle se produit le glissement d’une barre qui se calcule selon la formulesuivante :

36

Modele physique

`b =Ab σs

τ C=

√Ab σs

κ(3.52)

ou C est la circonference de la section de la barre d’armature et τ la resistance au frottemententre l’acier et le beton ; vu que le produit des deux ne peut changer que en changeantl’armature il en resulte que τ C = κ

√Ab.

Figure 3.21 – deplacements des blocs rigides composants la dalle et le disqueequivalent

Enfin l’ouverture des fissures se calcule en introduisant les valeurs des differentes fissures en(3.53) qui donnent les resultats montres en (3.54) et (3.55).

w = 2σs `b

2Es=

σ2s

√Ab

κEs(3.53)

w90 =u2 b2

ρ3/2 B2

√h e

κ Es(3.54)

w45 =u2 b2

ρ3/2 B2

√h e

κ Es(2 + ρn) (3.55)

Le deplacement relatif entre la plaque et le beton a cote est calcule, en se referant a la Fig.3.21, selon la relation (3.56).

u = uI + uII =w90

2+

w45√2

=u2 b2

ρ3/2 B2

√h e

κEs

(12

+2 + ρn√

2

)(3.56)

Ensuite il faut calculer le deplacement dans le cas du disque ; qui donne la relation (3.57).

ui,c =4π

w =4π

σ2s,c

√Ab,c

κEs,c=

4π

u2 d2c

ρ3/2c

(D − dc

)2

√h e

κEs,c(3.57)

En egalisant les deux deplacements la relation qui donne la formule qui permet de calculer lacorrection du module d’elasticite peut etre trouvee et en (3.58) est montree le resultat apresl’introduction des transformations donnees avant.

u = ui,c ⇔ Es,c = Es4

π(

12 + 2+ρ n√

2

) √B

B − b(3.58)

37

Frottement entre beton et plaque d’appui

La variation due au taux d’armature est tres petite (4.6% pour une variation de ρ entre 0.3%et 2.0%) ; en plus la partie sous racine est aussi negligeable par rapport aux simplificationsfaites dans toute la demarche. Il en suit que la valeur du module d’elasticite proposee estdonnee de suite :

Es,c = Es4

π(

12 +

√2) ∼= 0.67 Es = 137GPa

Dans le Tab. 3.1 sont donnees les caracteristiques des joints equivalents aux eprouvettes de laserie d’essais decrite au chapitre 2. Les taux d’armature ρ different legerement des taux notesdans le Tab. 2.1 et dans [10] ; pour le fait que, comme explique avant, le taux d’armature estrefere, de meme facon que dans les tirants, a toute la hauteur de la dalle.

Dalle : B [mm] b [mm] ρ [%] ρ′ [%] D [mm] dc [mm] ρc [%] ρ′c [%]PG11 3000 260 0.641 0.141 3385 293 0.702 0.154PG12 3000 260 0.641 0.141 3385 293 0.702 0.154PG13 3000 260 0.641 0.141 3385 293 0.702 0.154PG14 1000 260 0.627 0.141 1128 293 0.847 0.190PG15 3000 260 0.283 0.181 3385 293 0.310 0.198PG16 3000 260 0.283 0.181 3385 293 0.310 0.198PG17 1000 260 0.283 0.181 1128 293 0.382 0.245PG18 3000 260 0.251 0.161 3385 293 0.275 0.176

Table 3.1 – caracteristiques des dalles d’essais reelles et des equivalentes

3.5 Frottement entre beton et plaque d’appui

Comme explique dans la section 3.1 le beton a tendance a gonfler pendant la mise en chargeet surtout quand les glissements plastiques se developpent. Ce gonflement n’est pas empecheque par l’anneau autour mais pour qu’il puisse se produire il doit aussi vaincre le frottementau niveau des plaques d’appui. Ce phenomene est bien visible dans les essais a la compressionsur cubes [16], ou la resistance resulte etre plus grande que celle mesuree sur des prismes quipresentent une hauteur plus grande que 2 fois la largeur. L’augmentation de la resistance ala compression sur cubes fcw mesuree experimentalement est donnee en (3.59).

fcw = 1.25 fc (3.59)

Une etude selon la theorie de la plasticite (borne superieure) en etat plan de deformations del’essai a la compression sur cubes a permis de trouver la valeur de l’angle de frottement entrele beton et la plaque d’appui qui satisfait l’equation (3.59). La Fig. 3.22 montre le mecanismede rupture analyse avec la nomenclature des parametres et les vecteurs deplacements descorps rigides. En (3.60) est indiquee la relation qui existe entre l’angle β et γ necessaire pourla resolution du probleme.

tan γ =tan β

tanβ − 1(3.60)

L’energie totale dissipee sur les lignes de glissement est calculee selon la relation (3.61) et elleest composee par la dissipation sur les quatre lignes qui delimitent les corps rigides A et B etcelle sur les lignes qui se trouvent entre les corps B et C.

38

Modele physique

Figure 3.22 – mecanisme de rupture pour l’essai de compression sur cubes :geometrie et cinematique

Wint = fc (1 − sinϕ)b2 (1 − cot β)

cos γ

u

sin(γ − ϕ

)+

+ fc (1 − sinϕ)b2

sinβ

u

sin(β − ϕ

) (3.61)

Pour calculer l’energie dissipee entre la plaque et le beton on doit imposer une condition deplasticite. Dans ce cas une loi Mohr-Coulomb non associee a ete choisie ; l’equation de lasurface de rupture en etat plan de deformation est indiquee en (3.62).

τ = ± (−σ tan δ + c) (3.62)

ou δ est l’angle de frottement entre la plaque et le beton.En partant des indications de la Fig. 3.23 on peut calculer l’energie dissipee par unite desurface sur le plan de glissement pour une loi non associee selon (3.63).

Figure 3.23 – surface de rupture et deformation plastiques pour un materiauqui repond a une loi Mohr-Coulomb non associee

δW = σ · ε =(

στ

)· u

(sinψcos ψ

)= u (σ sinψ + c cos ψ) (3.63)

En introduisant dans la derniere formule l’equation de la surface de rupture de Mohr-Coulomb(3.62) et les particularites du probleme ψ = 0 et c = 0 la relation (3.64) qui exprime l’energiedissipee par unite de surface est entierement decrite.

39

Frottement entre beton et plaque d’appui

δW = u [σ (sinψ − tan δ cos ψ) + c cos ψ] = −uσ tan δ = u τ (3.64)

Enfin l’energie produite par la sollicitation exterieure et l’energie dissipee par le frottemententre la plaque et le cube est exprimee par la relation (3.65).

Wext = 2 fcw b2 u − 2 τδ b2 u cot(γ − ϕ

)(3.65)

La resistance effective du cube fc,w est calculee en egalisant l’energie interne (3.61) a l’energieexterne (3.65). En introduisant aussi l’equation (3.62) la relation (3.66) peut etre trouvee.

fcw =fc

2(1 − sin ϕ)

1−cot β

cos γ sin(γ−ϕ

) + 1

sin β sin(β−ϕ

)1 − tan δ cot

(γ − ϕ

) (3.66)

Une analyse numerique a permis de trouver la valeur de δ qui satisfait l’equation (3.59)avec fcw calcule selon (3.66) dans laquelle a ete introduite (3.60). La valeur trouvee estδ = 0.1065 = 6.1◦ (µ = tan δ ∼= 0.11) ; cette valeur depend fortement de la qualite dessurfaces de la plaque et du beton et d’une eventuelle inclusion de materiau entre les deuxcomme par exemple le platre dans la serie d’essais. Bien conscient des incertitudes expliqueesavant la valeur trouvee sera utilisee dans la suite pour la comparaison des resultats.

Figure 3.24 – mecanisme de rupture determinant dans les essais de compressionsur cubes pour δ > 17.9◦

La Fig. 3.25 montre la variation de la resistance a la compression sur cubes selon l’anglede frottement entre la plaque d’appui et le beton δ. L’augmentation est presente jusqu’a unangle de δ = 17.9◦ au dela duquel le mecanisme change. Le mecanisme pour les angles defrottement grands est montre en Fig. 3.24 ; le fait qu’il n’y a pas de deplacement relatif entrele cube et la plaque explique le fait que la resistance reste constante. La resistance calculeeselon la methode de la borne superieure pour ce dernier mecanisme est donnee en (3.67).Dans le cas ou l’angle de frottement δ est plus grand que l’angle de frottement interne dubeton ϕ l’eventuelle dissipation d’energie se passerait au niveau du beton, donc avec ϕ.

fcw = fc(1 − sinϕ)√2 sin

(π4 − ϕ

) ∼= 2.023 fc (3.67)

40

Modele physique

1.25

δ [°]

fcw

fc

3727.7518.59.250

3

2

1

0

1.25

δ [°]

fcw

fc

3727.7518.59.250

3

2

1

0

Figure 3.25 – resistance calculee pour des cubes selon l’angle de frottemententre la plaque et le beton

41

4 Comportement de l’anneau enbeton arme

4.1 Introduction

La contrainte de confinement dans le cylindre central considere dans le modele compatibledecrit dans la section 3.2 est engendree par l’anneau exterieur qui s’oppose a la dilatationdu cylindre central. Pour completer le modele il faut une loi qui decrit la relation ui − pi ;ou ui represente le deplacement radial de la section interieure de l’anneau et pi la pressionappliquee sur la meme section.Etant donne que l’anneau est en beton arme il faut considerer que le comportement peutcorrespondre aux cas suivants :– Stade I : Stade elastique lineaire non fissure ; ou la seule contribution du beton est consi-

deree.– Stade IIa : Stade elastique lineaire fissure (formation des fissures) ; des fissures se forment

en direction radiale donc la resistance a la traction tangentielle au droit de la fissure estgarantie par les armatures.

– Stade IIb : Stade elastique lineaire fissure (ouverture des fissures) ; toutes les fissures pos-sibles se sont formees et elles sont en train de s’ouvrir de facon a permettre l’augmentationde la contrainte dans les barres d’armature. Le beton tendu participe a la rigidite en direc-tion tangentielle (tension stiffening).

– Stade III : Stade elasto-platique fissure ; les armatures, au droit des fissures, ont depassela deformation de plastification (εsy = fsy/Es).

La Fig. 4.1 montre la geometrie du probleme. L’anneau est divise en quatre secteurs selonles differents stades consideres ; ry est le rayon jusqu’auquel les armatures sont plastifiees, rs

separe la zone en stade IIb de celle en IIa enfin rct est la limite entre la zone fissuree et lazone homogene non fissuree.

4.2 Loi complete

Dans la presente section la loi complete, non simplifiee, de l’anneau est traitee integralement.Ensuite, a la section 4.4 une linearisation du probleme est proposee.

4.2.1 Hypotheses

Dans le modele de l’anneau propose les suivantes hypotheses ont ete considerees :

1. Les armatures sont disposees que tangentiellement, il n’y a pas d’armature radiale.2. Les sections planes restent planes ; il en suit que la distribution des σ sur la section sont

constantes.

43

Loi complete

(a) (b)

Figure 4.1 – geometrie de l’anneau (a) plan et (b) section avec definition deslimites des differents stades

3. Le materiau est homogene et isotrope avant fissuration.4. Les lois constitutives des materiaux sont montrees dans la Fig. 4.2 ; elastique lineaire

fragile pour le beton en traction, elastique lineaire pour le beton comprime et elastiquelineaire parfaitement plastique pour l’acier des armatures.

5. L’effet de Poisson sur le beton tendu entre les fissures est neglige.

(a) (b) (c)

Figure 4.2 – lois constitutives considerees pour (a) beton, (b) acier d’armatureet (c) pour le tirant en beton arme

4.2.2 Equation d’equilibre

A la Fig. 4.3 sont montrees les forces qui agissent sur un element differentiel d’anneau. Enraison de la geometrie et des charges de revolution (sans torsion) les seuls efforts presentssont Nr et Nϕ et en plus la variation de Nϕ le longue de ϕ est nulle.En faisant l’equilibre en sort l’equation (4.1).

dNr

drr + Nr − Nϕ = 0 (4.1)

44

Comportement de l’anneau en beton arme

Figure 4.3 – equilibre d’un element differentiel d’anneau

4.2.3 Cinematique

La Fig. 4.4 montre les deplacements de l’element differentiel qui permettent de trouver lesrelatives deformations radiales εr et tangentielles εϕ ; decrites dans les equations (4.2).

Figure 4.4 – deplacements d’un element differentiel d’anneau

εr =du

dr; εϕ =

u

r(4.2)

4.2.4 Lois constitutives

Le comportement unidirectionnel des materiaux est rappele a la Fig. 4.2 ; pour les introduiredans la suite ces comportement sont pris en compte dans des lois en etat plan de contraintes.Chaque stade (I, IIa, IIb et III) a des lois constitutives propres qui dependent de l’elementqui s’engage a resister aux tractions tangentielles. Pour utiliser dans chaque stade la memerelation qui lie N a σ on introduit des contraintes idealisees decrites dans les relations (4.3).

σr,id =Nr

h; σϕ,id =

Nϕ

h(4.3)

45

Loi complete

– Stade I : La loi constitutive pour un materiau elastique lineaire en etat plan de contraintesest rappelee en (4.4).

σr,id =Ec

1 − ν2(εr + ν εϕ) ; σϕ,id =

Ec

1 − ν2(εϕ + ν εr) (4.4)

– Stade IIa : La contrainte idealisee ne peut pas depasser la resistance a la traction du beton,vu que l’acier n’est pas encore sollicite sur toute sa longueur. La loi constitutive qui enderive est la suivante :

σr,id = Ec εr ; σϕ,id = fct (4.5)

– Stade IIb : La contrainte tangentielle dans le beton influence la rigidite en direction tan-gentielle (tension stiffening). Cette contribution est consideree selon la theorie decrite en[15], dans laquelle on reduit la deformation du tirant par une constante definie en (4.6).

∆εts =38

fct

ρEs(4.6)

En considerant cette contribution on trouve les lois constitutives suivantes pour le stadeIIb :

σr,id = Ec εr ; σϕ,id = Es ρ (εϕ + ∆εts) (4.7)

– Stade III : La contrainte dans les armatures est egale a fsy, en suive que la contraintetangentielle idealisee est definie sur toute la longueur de la zone. La loi constitutive qui enresulte est montree en (4.8).

σr,id = Ec εr ; σϕ,id = fsy ρ (4.8)

4.2.5 Loi de l’anneau

En introduisant la cinematique et les differentes lois constitutives dans l’equation d’equilibreon trouve la loi de l’anneau qui est logiquement composee de quatre equations, une pourchaque stade.Dans la suite on indique par C la rigidite de l’anneau non fissure et par Cs la rigidite del’armature decrite en (4.9).

C =Ec h

1 − ν2; Cs = Es ρ h (4.9)

– Stade I : En introduisant (4.2) et (4.3) en (4.4) on trouve Nr, Nϕ et dNrdr qui valent :

Nr = C

(du

dr+ ν

u

r

); Nϕ = C

(u

r+ ν

du

dr

)dNr

dr= C

(d2u

dr2+

ν

r

du

dr− ν

u

r2

) (4.10)

En introduisant ces derniers resultats en (4.1) la forme differentielle de la loi de l’anneauen stade elastique lineaire non fissure est obtenue et elle est donnee en (4.11).

d2u

dr2r2 +

du

drr − u = 0 (4.11)

La resolution de l’equation differentielle mene a la suivante relation :

46


u = C1 r +C2

r(4.12)

– Stade IIa : Comme deja fait pour le stade I on combine les equations (4.2), (4.3) et (4.5)pour trouver les efforts et la derivee de l’effort radial.

Nr = Ec hdu

dr; Nϕ = fct h

dNr

dr= Ec h

d2u

dr2

(4.13)

L’equation differentielle de l’anneau se trouve enfin en introduisant les efforts en (4.1) etelle est indiquee en (4.14).

d2u

dr2r +

du

dr− fct

Ec= 0 (4.14)

La resolution de l’equation differentielle mene a la relation suivante :

u =C3

Ecln r +

fct

Ecr + C4 (4.15)

– Stade IIb : Les efforts en stade elastique lineaire fissure sont montres en (4.16).

Nr = Ec hdu

dr; Nϕ = Cs

(u

r+ ∆εts

)dNr

dr= Ec h

d2u

dr2

(4.16)

L’equation differentielle de l’anneau au stade IIb trouvee a partir de (4.1) et (4.16) est lasuivante :

d2u

dr2r2 +

du

drr − Cs

Ec h(u + ∆εts r) = 0 (4.17)

Si on impose CsEc h = λ2 la resolution de l’equation differentielle (4.17) donne la solution

suivante :

u = C5 rλ + C6 r−λ − λ2 ∆εts

λ2 − 1r (4.18)

– Stade III : Les equations (4.8) permettent de trouver les relations suivantes :

Nr = Cdu

dr; Nϕ = fsy ρ h

dNr

dr= Ec h

d2u

dr2

(4.19)

Avec l’equation d’equilibre (4.1) on trouve l’equation de l’anneau apres plastification desarmatures (4.20).

d2u

dr2r +

du

dr− ρ fsy

Ec= 0 (4.20)

Enfin les deformations en stade III sont decrites par la relation (4.21)

47

Courbe ui-pi

u =C7

Ecln r +

ρ fsy

Ecr + C8 (4.21)

Les equations de l’anneau dans les differents stades sont resumees de suite ; les constantesd’integration doivent encore etre trouvees de cas en cas.

u =

C1 r +C2

rsi re ≥ r ≥ rct,

C3

Ecln r +

fct

Ecr + C4 si rct ≥ r ≥ rs,

C5 rλ + C6 r−λ − λ2 ∆εts

λ2 − 1r si rs ≥ r ≥ ry,

C7

Ecln r +

ρ fsy

Ecr + C8 si ry ≥ r ≥ ri.

(4.22)

En introduisant les equations precedentes dans les relations (4.10), (4.13), (4.16) et (4.19)on peut exprimer les contraintes radiales et tangentielles qui, ensemble aux equations desdeplacements, nous permettront de trouver les constantes d’integration.Les contraintes radiales s’expriment par la serie de relations montree en (4.23).

σr,id =

C

h

[C1 (1 + ν) − C2

r2(1 − ν)

]si re ≥ r ≥ rct,

C3

r+ fct si rct ≥ r ≥ rs,

C

h

[λ

(C5 rλ−1 − C6 r−λ−1

)− λ2 ∆εts

λ2 − 1

]si rs ≥ r ≥ ry,

C7

r+ ρ fsy si ry ≥ r ≥ ri.

(4.23)

Les contraintes tangentielles sont calculables avec (4.24).

σϕ,id =

C

h

[C1 (1 + ν) +

C2

r2(1 − ν)

]si re ≥ r ≥ rct,

fct si rct ≥ r ≥ rs,

Es ρ

(C5 rλ−1 + C6 r−λ−1 +

∆εts

λ2 − 1

)si rs ≥ r ≥ ry,

ρ fsy si ry ≥ r ≥ ri.

(4.24)

4.2.6 Conditions aux limites

Pour la resolution complete du probleme 8 conditions aux limites sont necessaires ; ellespeuvent etre aussi bien statiques, contraintes radiales aux frontieres de l’element ou entre lesdifferentes zones, que cinematiques, deplacement sur les memes sections.

4.3 Courbe ui-pi

Dans le cas en question on veut trouver la courbe ui − pi de l’anneau. Pour faire ca on doitconnaıtre : les rayons interieur ri et exterieur re ; l’epaisseur h ; les caracteristiques mecaniques

48


du beton fct, Ec et ν ; le taux d’armature ρ et les caracteristiques mecaniques de l’acier fsy

et Es.La procedure suivante permet de trouver la courbe sur un nombre fini de points pour unanneau libre de se deformer sur le bord exterieur. Ceci est le cas d’un joint colonnes - dallesymetrique et isole.Pour simplifier l’ecriture les contraintes radiales et tangentielles idealisees dans la suite duchapitre seront indiquees sans id en indice, donc on aura σr,id = σr et σϕ,id = σϕ.

1. Point d’apparition de la premiere fissure : Les conditions aux limites utiles pour ce cassont decrites ici de suite :

σr

∣∣r=re

= 0 ; σϕ

∣∣r=ri

= fct

En les introduisant dans (4.23) et (4.24) le deplacement de l’anneau et la pressioninterne au moment de l’apparition de la premiere fissure decrits en (4.25) peuvent etretrouvees.

ui,ct =fct h ri

C(r2i + r2

e

) [r2i

1 + ν+

r2e

1 − ν

]; pi,ct = fct

r2e − r2

i

r2e + r2

i

(4.25)

2. Choix des rct,j : Il faut choisir jmax rayons, sur lesquels sera imposee la frontiere entrela zone en stade I et celle en stade IIa, qui satisfont rct,j ∈]ri; re[.

3. Calcul de uct et σr,ct : De la meme facon que au point 1, mais en utilisant rct,j au lieude ri on peut calculer le deplacement et la contrainte radiale a la frontiere.

uct,j =fct h r2

ct,j

C(r2ct,j + r2

e

) [rct,j

1 + ν+

r2e

rct,j (1 − ν)

]

σr,ct,j = fct

r2ct,j − r2

e

r2ct,j + r2

e

(4.26)

4. Calcul des ui,j et pi,j : En utilisant (4.26) comme conditions de bord en r = rct,j sur(4.22) et (4.23) les constantes d’integration C3 et C4 peuvent etre trouvees.

C3,j = rct,j (σr,ct,j − fct) ; C4,j = uct,j −C3,j

Ecln rct,j −

fct

Ecrct,j

Dans des dalles normalement armees la zone en etat IIa s’etend jusqu’au rayon interieur ;de sorte que les valeurs cherchees en ri peuvent etre directement trouvees en appliquantla formule en stade IIb de (4.22) et (4.23).

ui,j =C3,j

Ecln ri +

fct

Ecri + C4,j ; pi,j = −fct −

C3,j

ri(4.27)

5. Choix des rs,k : Il faut choisir kmax rayons, sur lesquels sera imposee la frontiere entrela zone en stade IIa et celle en stade IIb, qui satisfont rs,k ∈ [ri; re].

6. Calcul des us,k et σr,s,k : En introduisant la condition de bord σr

∣∣r=re

= 0 en (4.23) lacontrainte radiale sur la frontiere peut etre trouvee (4.28). Pour trouver le deplacementde la meme section εϕ

∣∣r=rs,k

= fct

ρ Es− ∆εts est imposee dans (4.2).

us,k =(

fct

ρEs− ∆εts

)rs,k ; σr,s,k = fct

(1 − re

rs,k

)(4.28)

49

Courbe ui-pi

7. Calcul des constantes d’integration C5,k et C6,k : En introduisant les resultats de (4.28)en (4.22) et (4.23) les constantes peuvent etre calculees.

C5,k = r−λs,k

(us,k +

λ2 ∆εts

λ2 − 1rs,k − C6,k r−λ

s,k

)

C6,k =rλ+1s,k

2λ

(λ

us,k

rs,k+

λ2 ∆εts

λ + 1−

σr,s,k h

C

)8. Verification de εϕ

∣∣r=ri

: La presence du stade IIa, IIb et III au meme moment dans ladalle n’est pas exclue. C’est pour cette raison que la verification suivante doit etre faitepour chaque point.

εϕ

∣∣r=ri

= C5,k rλ−1i + C6,k r−λ−1

i − λ2 ∆εts

λ2 − 1 si : εϕ

∣∣r=ri

≤ fsy

Es− ∆εts aller au point 12,

sinon : aller au point suivant.

9. Recherche de ry,k : Le rayon a partir duquel les armatures sont plastifiees est a trouverpar iteration. L’equation a satisfaire est la meme qu’au point precedent mais calculee ar = ry,k.

εϕ

∣∣r=ry,k

= C5,k rλ−1y,k + C6,k r−λ−1

y,k − λ2 ∆εts

λ2 − 1=

fsy

Es− ∆εts

10. Calcul des uy,k et σr,y,k : Les valeurs du deplacement et de la contrainte radiale sur lapremiere section plastifiee se calculent simplement avec (4.29).

uy,k =(

fsy

Es− ∆εts

)ry,k

σr,y,k =C

h

[λ

(C5,k rλ−1

y,k − C6,k r−λ−1y,k

)− λ2 ∆εts

λ2 − 1

] (4.29)

11. Calcul des ui,k et pi,k : Les resultats des formules precedentes sont utilises en (4.22)et (4.23) comme conditions de bord pour trouver le deplacement et la pression internepour tous les points k.

ui,k = uy,k +ry,k (σr,y,k − ρ fsy)

Ec(ln ri − ln ry,k) +

ρ fsy

Ec(ri − ry,k)

pi,k = ρ fsy

(ry,k

ri− 1

)−

ry,k

riσr,y,k

(4.30)

12. Choix des ry,l : Il faut choisir lmax rayons ou imposer une deformation tangentielleegale a la deformation de plastification de l’armature. Ces rayons doivent satisfairery,l ∈]ry,kmax ; re].

13. Calcul de uy,l et σr,y,l : La deformation est facilement calculable en introduisant en (4.2)a r = ry,l la condition de plastification de l’armature εϕ

∣∣r=ry,l

= fsy

Es− ∆εts.

uy,l =(

fsy

Es− ∆εts

)ry,l (4.31)

50


Ce resultat est introduit avec la condition σr

∣∣r=re

= 0 dans (4.22) et (4.23) pour trouverles constantes d’integration qui valent.

C5,l = r−λy,l

(uy,l +

λ2 ∆εts

λ2 − 1ry,l − C6,l r

−λy,l

)

C6,l =uy,l r

λ−1e r−λ

y,l + λ ∆εtsλ2−1

(λ rλ−1

e r−λ+1y,l − 1

)rλ−1e r−2 λ

y,l + r−λ−1e

Ensuite elles sont introduites en (4.23) pour trouver la contrainte radiale.

σr,y,l =C

h

[λ

(C5,l r

λ−1y,l − C6,l r

−λ−1y,l

)− λ2 ∆εts

λ2 − 1

](4.32)

14. Calcul des ui,l et pi,l : Avec la meme procedure qu’au point 11 on trouve le deplacementet la pression interne qui valent.

ui,l = uy,l +ry,l (σr,y,l − ρ fsy)

Ec(ln ri − ln ry,l) +

ρ fsy

Ec(ri − ry,l)

pi,l = ρ fsy

(ry,l

ri− 1

)−

ry,l

riσr,y,k

(4.33)

15. A partir du point (ui,lmax ; pi,lmax) l’anneau se deforme sans augmentation de la pressioninterieure.

4.3.1 Application

La procedure expliquee en 4.3 a ete appliquee sur l’anneau representant l’echantillon PG14et PG17 ; les resultats sont montres dans les Fig. 4.5 et 4.6.Il est visible que la fissuration appairait deja a des deformations tres petites, et que la pertede rigidite qui en derive est importante. A partir du moment ou la premiere fissure traversetoute la dalle la courbe presente une partie plate, qui correspond a la phase de formation desfissures sur toute la circonference de l’anneau.La presence sur l’anneau du stade I et IIb a la meme deformation est impossible, pour celail faut un anneau avec le rayon interieur tres petit par rapport a l’exterieur.L’effet du tension stiffening n’est pas negligeable et, a difference du tirant en beton arme,cette contribution (decalage entre ligne continue et traitillee) n’est pas constante tout le longde la phase fissuree elastique. Ceci est du au fait que dans aucune configuration de deformeel’anneau se trouve que en stade IIb mais par contre l’interaction entre stade IIa et III esttoujours presente.Sur la Fig. 4.5(c) est visible le fait que le tension stiffening anticipe l’apparition du stade IIb,ce qui est evident si on pense que la deformation a laquelle l’armature d’un tirant commencea augmenter la contrainte est diminuee par l’effet du beton tendu 4.2(c). Par contre la plasti-fication des armatures sur une section donnee apparaıt a une pression interieure plus grande,par rapport a ce qui se passe sans contribution du beton tendu entre les fissures.Dans la partie montante apres fissuration, des deux courbes, il y a un trait presque lineaire ;ce troncon est present que au moment quand les stades IIa, IIb et III sont au meme tempspresents sur l’anneaux, confronter Fig. 4.5(c) et 4.6(c). Dans la suite ce fait sera exploite poursimplifier la construction de la courbe.

51

Loi simplifiee

4.4 Loi simplifiee

Le comportement montre par les courbes des Fig. 4.5 et 4.6 peut etre decrit, de facon assezprecise, par un diagramme compose de 5 droites dans le meme esprit de ce qui se fait dansles tirants en beton arme. Chaque ligne represente un comportement different, a savoir :

1. elastique lineaire non fissure sur tout l’anneau ;

2. formation des fissures sur la partie interieure de l’anneau ;

3. formation des fissures sur tout l’anneau a pression interne constante ;

4. interaction entre phase plastique , phase elastique des aciers et ouverture des fissures ;

5. plastification complete.

Une forme linearisee en partant des formules (4.22), (4.23) et (4.24) est impossible a trouverpour le fait que les rayons qui delimitent les zones dans les differents stades rct, rs et ry nepeuvent etre trouves que de facon numerique.Pour remedier a cet inconvenient il faut imposer que les deformations radiales sont nulles,en effet cette nouvelle hypothese introduit des deplacements constants le long de l’anneau ensimplifiant les expressions des contraintes tangentielles σϕ au stade I et au stade IIb. Il ensuit que l’expression qui lie la pression interne pi a la deformation u sur tous les traits sepresente sous une forme explicite du type pi = pi,0,m +Km u ; ou l’indice m indique sur quellepartie de la courbe se trouve le point en question.L’erreur absolue introduite est proportionnelle a la pression interne, en effet plus la pressionest elevee plus les deformations radiales, negligees, sont grandes. Par contre en terme d’erreurrelative le plus grand est fait en stade non fissure pour le fait que les deformations radialesεr et tangentielles εϕ sont du meme ordre de grandeur ; une fois que le beton est fissure lesradiales sont negligeables devant aux tangentielles.

4.4.1 Loi de l’anneau simplifiee

Comme deja anticipe le deplacement est constant et en l’introduisant en (4.10), (4.13), (4.16)et (4.19) les contraintes tangentielles suivantes peuvent etre trouvees :

σϕ,id =

C

h

u

rsi re ≥ r ≥ rct,

fct si rct ≥ r ≥ rs,

Es ρ

(u

r+

∆εts

λ2 − 1

)si rs ≥ r ≥ ry,

ρ fsy si ry ≥ r ≥ ri.

(4.34)

L’equation des differentes parties, sauf la deuxieme, se trouvent facilement en introduisant lesdifferentes contraintes tangentielles, donnees en (4.34), dans l’expression (4.35) qui n’est riend’autre que une autre formulation de l’equation d’equilibre (4.1) ou la condition aux limitesstatique (σr

∣∣r=re

= 0) a deja ete introduite.

pi =1ri

∫ re

ri

σϕ dr (4.35)

Par contre la deuxieme partie de courbe se trouve en reliant le point final du premier tronconau point auquel rct = re.Dans la suite la demarche complete est montree.

52


– Ligne I : En introduisant (4.34) en (4.35) la relation suivante qui decrit la droite estdirectement trouvee.

pi =C

h riln

(re

ri

)u (4.36)

– Ligne II : En integrant directement la pression interne par le biais de la relation (4.35) iln’est pas possible de trouver une loi lineaire et vu que cette partie de courbe n’est pas sirelevante il est preferable de relier directement le point auquel rct = ri a celui ou rct = re.Les coordonnees des deux points sont donnees de suite :

rct = ri : u = εct ri pi = fct lnre

ri

rct = re : u = εct re pi = fct

(re

ri− 1

)ou la valeur suivante est introduite :

εct =fct h

C

La droite qui passe par ces deux points est decrite en (4.37).

pi = fct

[ln

(re

ri

) re

re − ri− 1

]+

C

h

u

re − ri

[re

ri− ln

(re

ri

)− 1

](4.37)

– Ligne III : Tout l’anneau est en phase de formation des fissures ; l’integration donne larelation suivante pour la pression interne, qui resulte etre constante.

pi = fct

(re

ri− 1

)(4.38)

– Ligne IV : La partie presque droite de la courbe complete se trouve que dans la situationou les stades IIa, IIb et III sont presents au meme moment, voir Fig. 4.5 et 4.6. Les rayonsry et rs se calculent de la facon suivante :

ry =u

εy; rs =

u

εs(4.39)

ou les differentes valeurs suivantes sont introduites :

εy =fsy

Es− ∆εts

εs =fct

ρEs− ∆εts

A l’aide des relations (4.35) et (4.39) il est possible de trouver l’equation de la quatriemedroite de la courbe, decrite en (4.40).

pi =1ri

[∫ ry

ri

fsy ρ dr +∫ rs

ry

Es ρ(u

r+ ∆εts

)dr +

∫ re

rs

fct dr

]

= fctre

ri− fsy ρ +

u

ri

[fsy ρ

εy− fct

εs+ Es ρ

[ln

(εy

εs

)+

∆εts


]] (4.40)

53

Loi simplifiee

– Ligne V : La pression interne apres plastification se trouve avec la relation suivante :

pi = fsy ρ

(re

ri− 1

)(4.41)

4.4.2 Application

Les courbes de la loi complete calculees avec les parametres des joints equivalents aux dallesPG14 et PG17 ont ete comparees aux courbes de la loi simplifiee. Les diagrammes sont donnesen Fig. 4.7 et 4.8 ou se voit que la difference entre les deux lois est pratiquement negligeable.La plus grande difference se trouve dans les premiers deux troncons, dans le cas ou cettepartie de courbe est determinante pour le calcul du comportement du joint il est possibled’utiliser, que pour le debut de la courbe, la loi complete montree a la section 4.2.Il est visible que l’ecart entre les deux lois pour le troncon 4. du joint PG14 est plus grandque pour le joint PG17 ; ceci est du au fait que le premier joint est plus arme. En effet, untaux d’armature plus grand se traduit par des deformations tangentielles εϕ plus faibles etsurtout par une contrainte radiale σr plus grande, qui donne des deformations radiales εr

plus grandes aussi. Donc le rapport entre la partie des deformations negligee par le modeleet celle consideree augmente avec le taux d’armature, ce qui a comme effet la rigidificationde l’anneau.La loi simplifiee a le grand avantage qu’elle peut etre exprimee de facon explicite et doncprise dans la suite de l’etude du comportement structural des joints colonnes - dalle pour etreintegree au critere de rupture au poinconnement. En effet le modele actuel prend en compteque l’ouverture de la fissure critique est due aux efforts flexionnels qui sollicitent la dalle.

54


(a) (b) (c)

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening

Plastification totale

Apparition stade III

Apparition stade IIb

Apparition stade IIa

ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Stade III

IIb

Stade IIa

Stade I

r

ri re

Stade III

IIb

Stade IIa

Stade I

r

ri re

Figure 4.5 – courbe ui-pi pour l’anneau en beton arme du joint equivalent al’essai PG14 (ri = 146.5 mm ; re = 564 mm ; h = 250 mm ; fct = 3.0 MPa ;Ec = 33 GPa ; ν = 0.2 ; ρ = 1.04% ; fsy = 469 MPa et Es = 137 GPa) : (a)detail de la zone en comportement non fissure et ouverture des fissures ; (b)courbe complete jusqu’a plastification totale des armatures et (c) emplacementdes zones dans les differents stades sur une section radiale a dependance de la

pression interne

(a) (b) (c)

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Non fissure

rct = re

rct = ri

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Tension Stiffening





ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

15

12

9

6

3

0

Stade III

IIb

IIa

Stade I

r

ri re

15

12

9

6

3

0

Stade III

IIb

IIa

Stade I

r

ri re

15

12

9

6

3

0

Figure 4.6 – courbe ui-pi pour l’anneau en beton arme du joint equivalent al’essai PG17 (ri = 146.5 mm ; re = 564 mm ; h = 250 mm ; fct = 2.9 MPa ;Ec = 32.7 GPa ; ν = 0.2 ; ρ = 0.627% ; fsy = 515 MPa et Es = 137 GPa) :(a) detail de la zone en comportement non fissure et ouverture des fissures ; (b)courbe complete jusqu’a plastification totale des armatures et (c) emplacementdes zones dans les differents stades sur une section radiale a dependance de la

pression interne

55

Loi simplifiee

(a) (b)

3.2.1.

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0

3.2.1.

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0Loi completeLoi simplifiee

5.4.3.

ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Figure 4.7 – comparaison de la loi simplifiee avec la loi complete pour l’anneauen beton arme du joint equivalent a l’essai PG14 : (a) detail de la zone encomportement non fissure et ouverture des fissures et (b) courbes completes

jusqu’a plastification totale des armatures

(a) (b)

3.2.1.

ui [mm]

pi[M

Pa]

0.150.10.050

15

12

9

6

3

0Loi completeLoi simplifiee

5.4.3.

ui [mm]

1.81.51.20.90.60.30

Figure 4.8 – comparaison de la loi simplifiee avec la loi complete pour l’anneauen beton arme du joint equivalent a l’essai PG17 : (a) detail de la zone encomportement non fissure et ouverture des fissures et (b) courbes completes

jusqu’a plastification totale des armatures

56

5 Comparaison entre resultatstheoriques et experimentaux

5.1 Introduction

Dans le present chapitre les resultats des modeles proposes sont compares avec celui des essaisde laboratoire PG14 et PG17. Ensuite les resultats de l’etude de la variation de la resistancea la traction dans les differentes methodes plastiques sont donnees a la section 5.2.2.

5.2 Joints de la serie d’essais

Les caracteristiques des joints d’essais de laboratoire ont ete transformees selon les indicationsde la section 3.4 pour pouvoir y appliquer les modeles ; les nouvelles geometries, egales pourles deux, sont donnees de suite, par contre les proprietes mecaniques sont donnees au Tab.5.1 et 5.2.

D = 1128 [mm] dc = 293 [mm] h = 250 [mm] d = 210 [mm] d′ = 38 [mm]

Dalle : fc [MPa] fct [MPa] Ec [GPa] ν ϕ [◦] c [MPa]PG14 30.9 3.0 33.0 0.2 37 7.7PG17 30.2 2.9 32.7 0.2 37 7.5

Table 5.1 – caracteristique du beton des dalles PG14 et PG17

La resistance a la traction du beton, necessaire pour les calculs aux EF, a ete calculee selonla relation suivante [2] :

fct = 0.3 f2/3c fct et fc en [MPa] (5.1)

Dalle : ρ [%] ρ′ [%] fsy,sup [MPa] fsy,inf [mm] Es [GPa]PG14 0.847 0.190 531(455) 531 137PG17 0.382 0.245 504 531 137

Table 5.2 – caracteristique des armatures des dalles PG14 et PG17

La valeur entre parenthese de fsy,sup represente la limite d’ecoulement reduite selon la section3.2.6 ; cette valeur est utilisee pour le modele de confinement compatible. En effet pour les

57

Joints de la serie d’essais

methodes plastiques il n’est pas necessaire d’appliquer la reduction vu que la borne inferieureutilise une repartition uniforme sur l’epaisseur et dans la methode de la borne superieure ilne faut pas se preoccuper de respecter la condition statique de plasticite.

5.2.1 Comparaison des modeles

A la Fig. 5.1 sont compares les resultats des differents modeles avec celui des dalles PG14et PG17. En comparant les differents modeles il apparaıt tout de suite que les courbes deconfinement compatible, le modele compatible comme la courbe approximee, donnent lesmeilleurs resultats. D’autre part ce modele donne aussi une bonne approximation du change-ment d’epaisseur de la dalle et donc de la deformation de l’anneau exterieur, ce qui est tresinteressant dans l’etude de la resistance au poinconnement avec interaction a l’effort normalou il faut mettre en relation l’ouverture de la fissure critique avec la charge sur la colonnesuperieure.

(a)

(b)

Plasticite borne inf

Plasticite borne sup

σc

[MPa]

N[M

N]

160

120

80

40

0

12

9

6

3

0↪→ approximation

Confinement compatiblePG14



σc

[MPa]

N[M

N]

160

120

80

40

0

12

9

6

3

0



∆h [mm]

σc

[MPa]

N[M

N]

160

120

80

40

0302520151050

12

9

6

3

0↪→ approximation

Confinement compatiblePG17



∆h [mm]

σc

[MPa]

N[M

N]

160

120

80

40

0302520151050

12

9

6

3

0

Figure 5.1 – comparaison entre les resultats theoriques et experimentaux pourles joints : (a) PG14 et (b) PG17

Les resultats des methodes plastiques montres ne prennent pas en compte la contribution dufrottement entre le beton et la plaque d’appuis. Il en suit que une fois cette contribution ala resistance est introduite, une augmentation d’environ 1/4 de la charge ultime apparaisse.Donc les valeurs mesurees lors des essais seront largement depassees, ce qui montre que ce

58

Comparaison entre resultats theoriques et experimentaux

type de rupture n’est pas une rupture vraiment ductile et donc la theorie de la plasticite n’estpas applicable.Le Tab. 5.3 resume les resistances calculees selon les differents modeles developpes en lescomparant aux mesures faites lors des essais.

PG14 PG17Essai NR [kN] : 6249 5514Confinement compatible :

Nca

lc[k

N] 5820 (1.08) 4310 (1.28)

Approximation conf. comp. : 5820 (1.08) 4510 (1.23)Methode des EF (fct = 0) : 6045 (1.03) 5510 (1.00)Borne superieure : 10471 (0.597) 7578 (0.728)Borne inferieure : 6326 (0.988) 4523 (1.22)

Table 5.3 – Ncalc pour les differents modeles developpes appliques aux dallesPG14 et PG17 de la serie d’essais (NR/Ncalc) ; la valeur donnee pour la methode

des EF est une interpolation lineaire des resultats donnes a la section 5.2.2

5.2.2 Etude de la resistance a la traction

Cet etude a ete menee pour verifier l’exactitude du mecanisme plastique decrit a la section3.3.3 par rapport aux calculs faits a l’aide des EF. A la Fig. 5.2 est montree l’influence de lavariation de la resistance a la traction du beton sur les differentes methodes plastiques. Cettevariation n’est due qu’au fait que tous les materiaux sont consideres avec un comportementparfaitement plastique et donc la fissuration n’est pas prise en compte.Le calcul par EF avec la resistance du beton a la traction nulle fct = 0 est impossible, eneffet pour que les anneaux d’armature puissent se deformer il faut une certaine resistancea la traction en direction de l’epaisseur de la dalle. Le manque de cette resistance impliqueune plastification instantanee de la zone interieure a chaque anneau avec la consequenced’empecher la convergence des calculs. La resistance effective du joint qui en resulterait estegale a la resistance simple du beton Ncalc = Nc.La comparaison entre les resultats des EF et ceux de la methode de la borne inferieure il n’y apas une grande difference. Ceci montre que le fait de repartir uniformement les armatures surtoute la hauteur de la dalle n’introduit pas une grande erreur. Par contre il est bien visibleque le mecanisme de la borne superieure n’est pas celui determinant ; mais il est interessantde noter que dans le cas que seulement la moitie des contributions des elements de frettagesont prises en compte, selon les conclusions de la section 3.3.4, les resultats de la methodedes EF sont parfaitement retrouves.

59

Joints de la serie d’essais

(a)

(b)

Nfc

NR

σc

[MPa]

Ncalc

[MN

]

240

180

120

60

0

18

13.5

9

4.5

0

Nfc

NR

σc

[MPa]

Ncalc

[MN

]

240

180

120

60

0

18

13.5

9

4.5

0Plasticite borne inf

Plasticite borne supMethode des EF

Nfc

NR

σc

[MPa]

Ncalc

[MN

]

240

180

120

60

0

18

13.5

9

4.5

0

Nfc

NR

fct [MPa]

σc

[MPa]

Ncalc

[MN

]

240

180

120

60

043210

18

13.5

9

4.5

0

Nfc

NR

fct [MPa]

σc

[MPa]

Ncalc

[MN

]

240

180

120

60

043210

18

13.5

9

4.5

0Plasticite borne inf

Plasticite borne supMethode des EF

Nfc

NR

fct [MPa]

σc

[MPa]

Ncalc

[MN

]

240

180

120

60

043210

18

13.5

9

4.5

0

Figure 5.2 – variation de la resistance plastique selon la resistance a la tractiondu beton fct pour les joints : (a) PG14 et (b) PG17

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6 Conclusions

6.1 Synthese

Les essais de laboratoire menes sur une serie de 8 joints colonnes - dalle ont permis dedecouvrir que la plastification du beton au droit de la colonne superieure empeche a la fissurecritique d’effort tranchant de s’ouvrir librement en ayant comme resultat une augmentationde la resistance au poinconnement, ou mieux une augmentation de la ductilite de la dalle. Ils’ensuit que dans un joint colonnes - dalle il ne faut pas considerer que les caracteristiquesflexionnelles pour le dimensionnement au poinconnement, mais qu’il faut en plus tenir comptede la compression transversale provenant des colonnes.Un modele physique base sur la resistance d’un cylindre de beton confine lateralement parun anneau en beton arme a ete developpe. La comparaison avec les essais donne une bonneestimation de la resistance, mais vu le nombre limite d’essais a disposition, il faudra en fairedes autres en modifiant les differents parametres pour valider le modele.Ensuite le probleme a ete traite selon la theorie de la plasticite avec des resultats proches desresistances mesurees lors des essais, mais le manque de frottement entre les plaques d’appui etla dalle dans les calculs montre le fait que la rupture n’est pas ductile. La methode de la bornesuperieure de la theorie de la plasticite a ete appliquee sans arriver a la solution optimale ;pour y arriver il faudrait appliquer des methodes difficiles a gerer avec des resultats qui ne sontpas interessants dans le cadre de la presente etude. Pour cette derniere methode le presentrapport se limite a donner les resultats trouves et de discuter des difficultes qui existent dansson application a l’aide des resultats connus dans la litterature.Etant donne que l’application du modele de confinement compatible est fortement laborieuse,le modele a ete approxime en introduisant une hypothese supplementaire, avec des resultatssatisfaisants. L’avantage de l’approximation est qu’elle pourra ensuite etre introduite dans lecritere de rupture au poinconnement pour verifier les joints colonnes - dalle des batimentssur plusieurs etages.

6.2 Recherche future

Les bases pour continuer l’etude sur l’interaction entre effort tranchant et effort normal trans-versal ont ete etudiees, dans la suite de la recherche il faudra en premier formuler l’influencede l’effort normale des colonnes sur le comportement flexionnel de la dalle. Ensuite il fautque le critere de rupture au poinconnement soit corrige pour tenir en compte du colmatagede la fissure critique du a la plastification du beton fortement comprime entre les colonnes.L’etude present est mene, comme explique au chapitre 1, que sur les joints munis de plaquesmetallique ; il en suit que enfin l’analyse du comportement des joints sans plaques, ou l’interac-tion entre le beton de la dalle et celui de la colonne est present, doit etre pris en consideration.

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des joints colonnes - dalle dans les planchers dalle en b´eton ...etude du comportement structural...

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