dérivation et intégration numériques
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Analyse numérique
Jaouad DABOUNOUDépartement de Mathématiques et Informatique
Dérivation et Intégration numériques
Année universitaire2014/2015
Université Hassan PremierFaculté des Sciences et Techniques
Settat
Dérivation et Intégration numériques- Soit f une fonction définie et dérivable sur [a , b]
- Soit x]a , b[, la dérivée de f en x est donnée par :
- Soit f une fonction définie et continue sur [a , b]
- L’intégrale de f sur [a , b] est donnée par :
Le calcul analytique des dérivées ou des intégrales est souvent difficile ou couteux.
hxfhxfxf
h
)()(lim)('0
1
0)(lim)(
n
in
b
a nabiaf
nabdxxf
Dérivation et Intégration numériques
Dérivation numériqueFormule de différences progressives
Soit x]a , b[ et h > 0 tel que x+h ]a , b[, on a :
x x+h
(x , f(x))
(x+h , f(x+h))Pente de f en x à l’ordre 1 près
x
y
hxfhxfxf )()()('
avec )("2
)( cfhxe c] x , x+h[,
On a ici une approximation d'ordre 1 de f '(x)
Pente de f en x
Dérivation numériqueFormule de différences centrales
Soit x]a , b[ et h > 0 tel que x-h ]a , b[ et x+h ]a , b[, on a :
hhxfhxfxf
2)()()('
avec ),(!3
)( )3(2
cfhxe c] x-h , x+h[,
On a ici une approximation d'ordre 1 de f '(x)
x x+h
(x+h , f(x+h))Pente de f en x à l’ordre 2 près
x
y
x-h
(x-h , f(x-h))Pente de f en x
Intégration numérique
Soit f une fonction définie et continue sur [a , b]. L’intégrale de f sur [a , b] est donnée par :
On approche f sur [a , b] par un polynôme P, ensuite, on considère que :
Intégration numérique
Estimation de l’erreur d’intégrationOn approche f par P, le polynôme d’interpolation de f en x0, x1,… , xn.
L’erreur d’interpolation est donnée par
En plus, on a
Donc
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Méthode des rectangles
Polynôme d’interpolation : P0(x) = f(a). On a
[a , b]
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Méthode des trapèzes
Polynôme d’interpolation en x0=a et x1=b: P1(x) = f[a] + (x – a) f[a,b]. On a
[a , b]
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Méthode de Simpson
P2(x) Polynôme d’interpolation en x0=a, x1=m= et x2=b. On a
[a , b]
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Intégration numérique
Exemple d'application
Soit f(x) = 2(x –1) + cos(x) esin(x)
Une primitive de f est donnée par : F(x) = x2 - 2x + esin(x)
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Intégration numérique
Exemple d'application
On a
Tableau de l'intégrale obtenue pour chacune des méthodes présentées
La méthode de Simpson donne le meilleur résultat
Méthode IntégraleRectangles 1,2534Trapèzes 1,1101Simpson 1,1646
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Subdivision de l'intervalle d'intégration
Subdivision de [a , b] en des sous-intervalles d'intégration.
Ainsi, pour deux sous-intervalles [a , m] et sur [m , b] avec
La méthode des rectangles donne
[a , b]
On voit que l’erreur est divisée par 2.
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Subdivision de l'intervalle d'intégration
Exemple:
On reprend la fonction : f(x) = 2(x –1) + cos(x) esin(x)
Tableau des résultats avec et sans subdivision de [1 , 2].
On rappelle que la solution analytique est
On voit que la précision est améliorée par la subdivision de l'intervalle pour
chacune des méthodes utilisées est divisée par 2.
Méthode Intégration sur [1 , 2]
Intégration sur [1 , 1.5] et [1.5 , 2]
Rectangles 1,2534 1,2226Trapèzes 1,1101 1,1510Simpson 1,1646 1,16288