département de génie civil. iut nîmes. mécanique des structures. r. motro. septembre 2007. 1...

Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 1

Chapitre 2

CARACTERISTIQUES D’UN ENSEMBLE DE FORCES


1. Combinaisons de forces1.1 Enoncé du problème1.2 Principe du parallèlogramme1.3 Casde trois forces de directions différentes1.4 Cas de forces de même direction1.5 Résultats possibles des combinaisons de forces

2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point2.1 Moment d’une force par rapport à un point P 2.2 Moment d’un couple par rapport à un point P2.3 Remarque sur les couples de forces2.4 Notion et utilité du couple concentré

3. Eléments de réduction d’un ensemble d’actions par rapport à un point3.1 Introduction3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P3.3 Caractérisation de l’effet d’un système d’actions

4. Gestion des charges réparties4.1 Différents types de charges réparties4.2 Exemple d’une ossature en béton armé4.3 Charge uniformément répartie4.4 Charge due à la pression de l’eau5. Boîte à outils5.1 Produit vectoriel5.2 Composante d’une force sur un axe5.3 Décomposition et composition de vecteurs6. Exercices

Sommaire


Figure 1 Ensemble de forces modélisées par des vecteurs glissants (“glisseurs”)1. C

om

bin

aiso

n d

e fo

rces

1.1 Enoncé du problème

On se place dans le cas d’ensembles de forces dont les supports appartiennent tous à un même plan.

1. Combinaison de forces


Figure 2 Ensemble (système) de “n” forces1. C

om

bin

aiso

n d

e fo

rces

1.1 Enoncé du problème

Problème : peut-on réduire le nombre de forces au minimum sans changer l’effet de son action sur un objet contenu dans le même plan ?

Oui, l’opération correspondante porte le nom de

réduction du système de forces.


Figure 2 Principe du parallélogramme1. C

om

bin

aiso

n d

e fo

rces

1.2 Principe du parallélogramme (Stévin 1548-1620)

A

D

C

B

1F

2F

R

On peut remplacer deux forces par une troisième (qui porte le nom de résultante) construite en tant que diagonale du parallélogramme défini par les deux forces. Cette résultante a le même effet que les deux forces sur le solide sur lequel elle s’applique.


Figure 3 Cas de trois forces 1. C

om

bin

aiso

n d

e fo

rces

1.3 Cas de trois forces de directions différentes

1F

2F

3F

12F

R


Figure 4 Cas de trois forces représentées par des glisseurs 1. C

om

bin

aiso

n d

e fo

rces

1.4 Cas de forces de même direction

4.00

A3

3F

A2

2F

A1

1F

4.00


Figure 5 Dynamique des forces1. C

om

bin

aiso

n d

e fo

rces


3F

2F

1F

0

1

2

3

P

0

1

2

3

0,1,2,3 rayons vecteurs

Dynamique des forces

P, pôle du dynamique

3

2

1

F23

F12

F01


Figure 5 Dynamique des forces1. C

om

bin

aiso

n d

e fo

rces


3F

2F

1F

0

P

0

3

0,1,2,3 rayons vecteurs

Dynamique des forces

P, pôle du dynamique

3

RF


Figure 6 Funiculaire des forces1. C

om

bin

aiso

n d

e fo

rces


3F

2F

1F

0

1

2

3

P

0

1

2

3

0’,1’,2’,3’ bras du funiculaire

Funiculaire des forces

P’, pôle du funiculaire

0’ 1’

2’

3’P’

R’


Figure 7 Funiculaire des forces support de la résultante 1. C

om

bin

aiso

n d

e fo

rces


0

1

2

3

P

0

1

2

3

etc.....

0P11P

:quefaitducomptetenantEn

3PP223

2PP112

1PP001

'R'3'0'3'P'P'0

Seuls les vecteurs finaux sur le funiculaire ne s’annulent pas

R’ est la résultante et son support est ainsi défini : sa direction est donnée par celle du vecteur O3, l’intersection des deux bras extrêmes du funiculaire donne un point de passage.


1. C

om

bin

ais

on

de

fo

rces

1.5 Résultats possibles des combinaisons de forces

Réd

uct

ion

Ensemble de n forces

0 force : système sans effet

1 seule force F

2 forces constituant un couple C :

•même direction•sens opposés•même intensité

La résultante est nulle

1 force F + 1 couple C


2. M

om

en

t d

’un

en

sem

ble

de

fo

rce

s p

ar

rap

po

rt

à u

n p

oin

t P

2.1 Moment d’une force F par rapport à un point P

On considère une figure plane quelconque. L’ensemble des forces est réduit à une seule force F.Si on place un axe en un point P, y aura-t-il rotation ? La valeur du moment de la force F par rapport à P permet de conclure

A

FP

Figure 8 Mise en mouvement de rotation d’un solide autour d’un point P

2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P


2. M

om

en

t d

’un

en

sem

ble

de

fo

rce

s p

ar

rap

po

rt

à u

n p

oin

t P



A

FP

F

F

Système de trois forces statiquement équivalent au précédent

Les deux forces introduites en P s’annulent


2. M

om

en

t d

’un

en

sem

ble

de

fo

rce

s p

ar

rap

po

rt

à u

n p

oin

t P



A

FP

F

Fd

Ce système de trois forces est décomposable en une force + un couple


2. M

om

en

t d

’un

en

sem

ble

de

fo

rce

s p

ar

rap

po

rt

à u

n p

oin

t P



A

P

F

M

dFM MM

est un vecteur lié au point P, c’est le moment d’un couple (voir chapitre 1)

M

d est la distance du point P au support de la force F initiale


2. M

om

en

t d

’un

en

sem

ble

de

fo

rce

s p

ar

rap

po

rt

à u

n p

oin

t P

2.2 Moment d’un couple de forces par rapport à un point

Figure 9 Indépendance du moment d’un couple par rapport au point de calcul

F1

F2

PI H

F.dF.IHM

F).PHPI(F.PHF.PIM 21

dLe moment d’un couple de forces est indépendant du point de

calcul. Sa valeur est constante. Son signe dépend de la convention choisie.


2. M

om

en

t d

’un

en

sem

ble

de

fo

rce

s p

ar

rap

po

rt

à u

n p

oin

t P

2.3 Remarque sur les couples de forces

Figure 10 Couple C et moment M du couple C

F

F

d

F/2

F/22d

Ces deux couples ont le même moment M = F.d On peut ainsi associer à une valeur de moment une infinité de couples différents.On parle du moment d’un couple, mais jamais du couple d’un moment (remarque utile par la suite)


2. M

om

en

t d

’un

en

sem

ble

de

fo

rce

s p

ar

rap

po

rt

à u

n p

oin

t P

2.4 Notion et utilité du couple concentré

Figure 11 Couple concentré en P

P

F

d

P

F

Fibre moyenne du poteau

CP

Le moment de F par rapport à P est égal à F.dQuestion : si l’on travaille sur la seule fibre moyenne du poteau, comment mémoriser et caractériser cet effet de rotation ?

Réponse : on introduit la notion de couple concentré CP,

dont le moment est égal à F.dAssocié à la force F placée aussi en P, il mémorise l’action exercée sur le « corbeau » (terme utilisé pour désigner le porte à faux)


3. E

lém

en

ts d

e r

éd

uct

ion

d’u

n s

ys

tèm

e d

’act

ion

s p

ar

rap

po

rt à

un

po

int

P

3.1 Introduction

Les éléments de réduction d’un ensemble d’actions en un point P caractérisent complètement l’effet de ces actions.Il y a deux éléments de réduction :• la résultante des forces R• le moment résultant par rapport au point P de l’ensemble des

actions (forces et couples concentrés) M/P

3. Eléments de réduction d’un système d’actions par rapport à un point P


3. E

lém

en

ts d

e r

éd

uct

ion

d’u

n s

ys

tèm

e d

’act

ion

s p

ar

rap

po

rt à

un

po

int

P

3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P

C1

B1C2

B2

Figure 12 Solide soumis à 3 forces et 2 couples concentrés

F1

A1

F2

A2

F3

A3


3. E

lém

en

ts d

e r

éd

uct

ion

d’u

n s

ys

tèm

e d

’act

ion

s p

ar

rap

po

rt à

un

po

int

P


rotation) de (axes

napplicatiod'point leur B

C moments de

concentrés couples m,m,...,2,1j,C

j

j

j

napplicatiod'point leur A

forces k,k,...,2,1i,F

i

i

(ici k = 3, m = 2)


3. E

lém

en

ts d

e r

éd

uct

ion

d’u

n s

ys

tèm

e d

’act

ion

s p

ar

rap

po

rt à

un

po

int

P


Pour chacune des forces concentrées, Fi, il y a deux éléments

de réduction: une résultante notée Fi indépendante de P un moment par rapport à P, noté M(Fi)/P, ou plus simplement

Mi/P

Pour chacun des couples concentrés Ci il y a un seul élément

de réduction : le moment du couple concentré qui est constant, noté Ci (la lettre C rappelle que cette valeur est constante et ne dépend pas du point de réduction)


Terme constant indépendant du point P où est faite la réductionTerme qui dépend du point P où est faite la réduction

3. E

lém

en

ts d

e r

éd

uct

ion

d’u

n s

ys

tèm

e d

’act

ion

s p

ar

rap

po

rt à

un

po

int

P


Calcul de la résultante du système d’actions :

k

iFR

Calcul du moment du système d’actions par rapport au point P :

m

j

kP/P/ CiMM


3. E

lém

en

ts d

e r

éd

uct

ion

d’u

n s

ys

tèm

e d

’act

ion

s p

ar

rap

po

rt à

un

po

int

P

3.3 Caractérisation de l’effet d’un système d’actions

0 force : système sans effet

1 seule force F (résultante)

0M,0R P/

0M,0R P/

Le solide soumis à ce système d’actions ne sera pas mis en mouvement, il sera en

équilibre.

Le solide soumis à ce système d’actions sera mis en mouvement (translation + rotation par rapport à n’importe quel point P, sauf ceux qui appartiennent au support de la force)


3. E

lém

en

ts d

e r

éd

uct

ion

d’u

n s

ys

tèm

e d

’act

ion

s p

ar

rap

po

rt à

un

po

int

P

3.3 Caractérisation de l’effet d’un système d’actions

2 forces constituant un couple C :

•même direction•sens opposés•même intensité

La résultante est nulle

1 force F + 1 couple C

tetancons,C

CM,0R P/

0M,0R P/

Le solide soumis à ce système d’actions sera mis en mouvement de rotation par rapport à n’importe quel point P

Le solide soumis à ce système d’actions sera mis en mouvement (translation + rotation)


Charge sur un élément de surface N/m2

Charge linéaire N/m

Charge concentrée N

4. G

esti

on

de

s c

ha

rge

s r

ép

art

ies

4.1 Différents types de charges réparties

Poids d’un élément de volume N/m3

Figure 13 Différents types de charges réparties et unités associées²

4. Gestion des charges réparties


Poids volumique du béton armé25000 N/m3.

Poteaux 20x20x270 cmPoutres 20x50x520 cmDalle épaisseur 20 cm

Mur épaisseur 20 cm (poids volumique18000 N/m3)

Semelle de fondation 40x30 cmPlot de fondation 50x50x30 cm(Poids volumique 22000 N/m3)

Figure 13 Exemple simple de construction : définition des éléments 4. G

esti

on

de

s c

ha

rge

s r

ép

art

ies

4.2 Exemple d’ossature en béton armé


Mur

Dalle

Poutres

Poteaux4. G

esti

on

de

s c

ha

rge

s r

ép

art

ies

4.2 Exemple d’ossature en béton armé

Figure 13 Différents types de charges réparties et unités associées


Figure 14 Charge exercée par un mur sur sa base4. G

esti

on

de

s c

ha

rge

s r

ép

art

ies

4.3 Charge uniformément répartie

Force concentrée équivalente: Direction verticale (ici pesanteur) Sens (vers le bas) Support passe par le centre de gravité du diagramme de charge dont l’intensité est « p » Intensité est égale à la surface du diagramme de charge (ici p x L)L


4. G

esti

on

de

s c

ha

rge

s r

ép

art

ies

4.4 Charge due à la pression de l’eau

Figure 15 Charge exercée par l’eau sur un barrage

Force concentrée équivalente: Direction horizontale (ici pression de l’eau) Sens (vers la droite) Support passe par le centre de gravité du diagramme de charge triangulaire Intensité est égale à la surface du diagramme de charge (ici 0,5 gH2)

H


)vectorielproduit(FaM directtrièdre)M,F,a(

5. B

oît

e à

ou

tils

5.1 Produit vectoriel

5. Boîte à outils

y

xO

F

H

M (F)/P

PA

PAa

Figure 16 Moment d’une force calculé avec le produit vectoriel


6 Moment d’une force 7.1 Moment par rapport à un point de l’espace

yzxzFyFM

zxyxFzFM

xyzyFxFM

z

y

x

aet

F

F

F

F

z

y

x

zyx

321

FFF

zyx

eee

M

Exercice 2.75

. Bo

îte

à o

uti

ls5.1 Produit vectoriel

Figure 17 Intensité algébrique (avec la convention trigonométrique)


Fx

axeX’ X

+

F

F,x'xcos.FFx

F est l’intensité (valeur absolue)

Composante Fx d’une force sur un axe

5. B

oît

e à

ou

tils

5.2 Composante d’un force sur un axe

Figure 18 Calcul de composante


• Décomposition

• Composition

cosFFx

sinFFy

2y

2x FFF

x

y

FF

tg

F

yF

xF

x

y

xF

yF

+z

5. B

oît

e à

ou

tils

5.3 Décomposition et composition de vecteurs

Figure 19 Décomposition et recomposition d’un vecteur


6. Exercices6. Exercices






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