DENOMBREMENT ET PROBABILITES

I) Dénombrement :

Définitions :

- Tirages au hasard = équiprobabilité des tirages

- Tirages successifs = emploi de l’arrangement : 𝐴𝑛𝑝

- Tirages simultanés = emploi de combinaison : 𝑛𝑝

Propriétés :

- 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐵 − 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴 ∩ 𝐵)

Si A et B disjoint alors : 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴 ∩ 𝐵 = 0

- Soit E un ensemble fini, soit 𝐴 ∈ 𝐸 et 𝐴 le complémentaire de 𝐴 dans 𝐸 :

𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐴 = 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸 − 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝐴)

Arrangements :

Soit 𝑝 ∈ ℕ avec 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 tel que 𝑛 ∈ ℕ : 𝐴𝑛𝑝 =

𝑛 !

𝑛−𝑝 !

Cas particulier : 0! = 1 = 𝐴00 et 𝐴𝑛

0 = 1 . De plus, si 𝑛 = 𝑝 alors 𝐴𝑛𝑛 = 𝑛!

Combinaisons :

Soit 𝑝 ∈ ℕ avec 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 tel que 𝑛 ∈ ℕ : 𝐶𝑛𝑝 =

𝑛𝑝 =

𝐴𝑛𝑝

𝑝 !=

𝑛 !

𝑝! 𝑛−𝑝 !

Et 𝑛𝑝 =

𝑛𝑛 − 𝑝 =

𝑛 − 1𝑝 − 1

+ 𝑛 − 1𝑝

Triangle de Pascal :

𝑛\𝑝 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

:)

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

Binôme de Newton : (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑛𝑘 .𝑎𝑛−𝑘 × 𝑏𝑘𝑛

𝑘=0 ; avec 𝑎; 𝑏 ∈ ℂ et 𝑛 ∈ ℕ.

Permet le calcul de

combinaison facilement et

sans calculette .

Et facilite le développement

de (𝑎 + 𝑏)𝑛

Sans Ordre Avec

Ordre

Sans

Remise 𝐶𝑛𝑝

𝐴𝑛𝑝

Avec

Remise 𝑛!

𝑛1! × 𝑛2! × …× 𝑛𝑘 ! 𝑛𝑝

Répétition

II) Probabilités :

Propriétés :

- Soit 𝐴,𝐵 deux évènements liés.

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃𝐵(𝐴) × 𝑃(𝐵) ; avec 𝑃(𝐵) ≠ 0

𝑃𝐴 𝐵 + 𝑃𝐴 𝐵 = 1 et 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

- Soit 𝑃 𝐴 ≠ 0 :

𝑃𝐴 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃𝐴 𝐵 + 𝑃𝐴 𝐶 − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)

Si 𝐵 et 𝐶 sont incompatible alors : 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 0

Si 𝐴 et 𝐵 sont indépendant alors : 𝑃 𝐵 = 𝑃𝐴(𝐵)

- Variance, Ecart type et Espérance:

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖 .𝑓(𝑥𝑖)𝑛𝑖=0 et 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸(𝑋)² et 𝜎 𝑋 = 𝑉(𝑋)

Si 𝑋 = 0 , la variable X est centrée en 0.

⇒ E X : Indication sur la moyenne.

⇒ V X : Indication sur la dispersion.

Probabilités totales :

Soit Ω un univers lié à une expérience aléatoire, et 𝐴1;𝐴2;… ;𝐴𝑛 des parties de Ω :

𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴1 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴2 + ⋯+ 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑛)

Probabilités discrètes :

- Loi uniforme : équiprobabilité des tirages.

- Loi de Bernoulli :

𝑋𝑖 0 ⟶ Echecs 1 ⟶ Succès

𝑃(𝑋 = 𝑋𝑖) 1 − 𝛼 𝛼

- Loi Binomiale :

Répétition d’une expérience de Bernoulli de paramètre α, 𝑛 fois.

Paramètres : 𝑛 ;𝛼

𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑛𝑘 .𝛼𝑘 . (1−𝛼)𝑛−𝑘

𝐸 𝑋 = 𝑛.𝛼 et 𝑉 𝑋 = 𝑛.𝛼. (1 − 𝛼) et 𝑃 𝑋 ≤ 𝐾 = 𝑘.𝑛𝑘=0

𝑛𝑘 .𝛼𝑘 . (1−𝛼)𝑛−𝑘

- Loi de Poisson :

Le nombre X d’événement aléatoires décrit un processus de Poisson :

La probabilité de réalisation au cours d’une petite période ∆𝑡, est proportionnelle à ∆𝑡, soit : 𝑃 = 𝑝.∆𝑡

Elle est indépendante de ce qui s’est produit antérieurement.

La probabilité de 2 apparitions sur le même ∆𝒕 est négligeable.

Pour traduire une loi Binomiale en loi de Poisson, il faut : 𝑛 → +∞𝑝 → 0 𝑛.𝑝 = 𝜆

On suppose cette approximation possible lorsque : 𝑛 ≥ 20 et 𝑝 ≤ 0,1

𝐸 𝑋 = 𝑉 𝑋 = 𝜆 et 𝑃 𝑘 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 =𝜆𝑘

𝑘 !𝑒−𝜆

- Expérience à 2 issus : Succès / Echecs

- Probabilité de succès 𝛼 : paramètre

- 𝐸 𝑋𝑖 = 𝛼 et 𝑉 𝑋𝑖 = 𝛼(1 − 𝛼)

Probabilités Continues :

- Généralités : L’univers image est un intervalle de ℝ :

𝑃 𝐶 ;𝐷 = 𝑃 𝐶 ;𝐷 = 𝑃 𝐶 ;𝐷 = 𝑃 𝐶 ;𝐷 = ∫ 𝑓 𝑡 .𝑑𝑡𝑑

𝑐

𝑃 𝐶 = 𝑃 𝐶 ;𝐶 = 0 et lim𝑥→+∞ ∫ 𝑓 𝑡 .𝑑𝑡 = 1𝑥

𝑎

- Loi Uniforme sur 0 ; 1 ou 𝑎 ; 𝑏 :

𝑃 0 ; 1 = 1 et 𝑃 ∅ = 𝑃 𝑥 = 0

𝑃 𝑎 ; 𝑏 = 𝑏 − 𝑎

𝐸 𝑋 =𝑎+𝑏

2 et 𝑉 𝑋 =

𝑏−𝑎 2

12

- Loi exponentielle de paramètre λ :

Soit 𝜆 ∈ ℝ+∗, 𝑓𝜆 = 𝜆. 𝑒−𝜆 .𝑡 tel que 𝑓𝜆 ∈ ℝ+ et 𝐷𝑓 = 𝐼 avec 𝐶 ;𝐷 ∈ 𝐼 et 𝑎 ∈ 0 ; +∞ :

𝑃 𝐶 ;𝐷 = ∫ 𝜆. 𝑒−𝜆.𝑡 .𝑑𝑡𝑑

𝑐= 𝐹 𝑑 − 𝐹(𝑐) ⟺ 𝑃 𝐶 ;𝐷 = 𝑒−𝜆𝑐 − 𝑒−𝜆𝑑

Avec 𝐹 𝑑 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑑) et 𝐹 𝑐 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑐)

𝑃 𝑎 ; +∞ = 1 − 𝑃 0 ;𝑎 = 1 − ∫ 𝜆. 𝑒−𝜆 .𝑡 = 1 − 𝑒−𝜆.𝑎𝑎

0

𝑃 𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑 = 𝑃𝑋 𝐶 ;𝐷 = 𝑃 𝐶 ;𝐷

Si 𝑢 ; 𝑣 > 0 : 𝑃 𝑋>𝑢 𝑋 > 𝑢 + 𝑣 = 𝑃( 𝑋 > 𝑣

𝐸 𝑋 =1

𝜆 et 𝑉 𝑋 =

1

𝜆2

- Loi Normale :

S’applique à une variable aléatoire continue dépendant d’un grand nombre de causes indépendantes

dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante. Elle donne lieu à une courbe de Gauss :

Permet l’approximation de la loi Binomiale si 𝑛 est grand et (𝑝 ; 𝑞 = 1 − 𝑝) ↛ 0

On approxime par une loi Normale ℵ(𝜇 ; 𝜎) tel que : 𝜇 = 𝑛.𝑝 et 𝜎 = 𝑛. 𝑝. 𝑞 et 𝑃(𝑋) → 𝑃(𝑌)

Attention : X est une variable discrète car elle prend ses valeurs dans ℕ et Y est une variable continue car

elle prend ses valeurs dans ℝ. On doit faire la correction de continuité en ajoutant un intervalle à l’étendue

de la Gaussienne :

De plus, pour pouvoir utiliser la «Table de la loi Normale centrée réduite » , il faut définir une nouvelle

variable (Z) telle que : 𝑍 =𝑌−𝜇

𝜎 . Et 𝑃 𝑎 ≤ 𝑍 ≤ 𝑏 = 𝜙 𝑏 − 𝜙(𝑎).

Avec 𝜙 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = ∫1

2𝜋𝑒 −𝑡

2 2 .𝑑𝑡𝑥

−∞ ; et 𝜙 −𝑥 = 1 −𝜙(𝑥).

Intervalle 𝑃 𝑌 = 𝑃 𝑋 .𝑑𝑋

Courbe de Gauss définissant

la variable Y, tel que :

On ajoute un demi-intervalle de chaque coté (soit 1 intervalle en tout) de la Gaussienne pour diminuer l’erreur

d’approximation discrète d’une courbe continue.