demi-groupes réguliers

Demi-groupes r6guliers. p a r GERA.RD IIALI~IgN[F~NT (~1, :Paris)

R ~ s o m d . - Ce travail cornprend quatre parties po~vant ~tre lues inddpendamment: I) Reprdsentations comptStes d'un demi-groupe par des transformations partielles sur ensemble. II) Translations partielles. Reprdsentation canonique d'un demi-groupe rdgulier. P~'obl~mes de structure (Produits sous-directs de demi-g~'oupes con~pl~te~uent O-siml~les). IlI) Congruences sur les demi grouloes rdguliers. 1¥) Demi.groupes compl~tement O.si~ples.

INTRODUCTION

Les demi-groupes r~guliers sont une g6n~ralisation naturel le du demi- groupe mult ipl icat if des anneaux r~guliers de J. ¥o~ NEVMA~. Bien qu 'aucune th~orie ne rende compte de la forme g6n6rale de leur structure, certains d%ntre eux ont pu ~tre ddcrits de fa¢on satisfaisante au point de rue de ]a th~orie des demi-groupes. C'est le cas par exemple des demi-trei l l is de groupes (CL]FI~O~D,

v [3]) et des demi-groupes compl~tement 0-s imples (SIJSK:EWITCI~, [33], R]~S, [26]). Paral l~lement au probl~me de s t ructure se pose celui de l '~tude du treillis des congruences, justifi~ soit par des n(~cessitPs de classification des demi- groupes, soit par l ' id6e de d~velopper une th~orie comparable /~ celle des id~aux d 'un anneau. Ce sont ces deux questions - - structure, congruences - - que nous avons abord~es suceessivement.

En ce qui concerne les probl~mes de s tructure (parties I e t II), le but de ce travail est d 'abord de d~gager un cadre gdn~ral permet tant d 'unif ier les divers probl~mes qui peuvent se pose r et d 'entreprendre ensuite l '~tude d 'un probl~me de s t ructure par t icul ier (celui des produits sons-directs de demi-groupes compl~tement 0-simp]es) que la th~orie impose de facon natu- relle. Le cadre g~n~ral, qni n'est d 'ai l leurs pas sp~cifiqne aux demi-groupes r~guliers, nous est fourni par la notion de repr~senlation complete d 'un demi-groupe D que]conque, par des transformations part iel les sur un ensemble gt. Une representat ion compl6te est la donn~e d 'un couple (P, Q) off P est un homomorphisme, Q un ant i -hemomorphisme de D dans le demi-groupe ~ a des transformations part iel les sur Ft. Le r~sultat essentiel de la partie I donne la forme g~n~rale des representat ions commu|an tes sym4triques (~):

(i) Avee les notations du texte, en introduisant les relations binaires -~v= O P(x) et x ~ D

TQ'~- U Q(x) sur ~, (P, Q) est commutante si P(x)Q(y) ~- Q(y)P(x). d'ofi Tp.zQ = ZQ.'Cp, symd- xED

trique si ~:p~.@i et ZQ_____.:~)t, bitransitive si (Ip. TQ)U"CpU'CQ=~X~. Un demi-grou]oe D ayant une reprgsentation (P, Q) coramutante, bitransitix'e, fiddle est dit biiransitif.

4S O. LALLEMENT: D e m i - g r o u p e s r @ u l i e r s

route reprdsentat ion commutante sym~trique est ddeomposable de fa~on unique en somme de repr6sentafions commutantes, sym~triques~ bitransitives. En observant alors qu~un demi-groupe rdgulier a une repr6sentat ion commutante sym6trique f i d ~ l e par des translations part iel les sur lui-m~me (c'est la version <<transformations partielles>> du th4or~me de reprdsentat ion par des matrices

monomiales de S0~I~ZE~BEI~G:ER, [2], par. 3.6), on ddmontre que tout demi- groupe r~gulier est isomorphe ~ un produit sons-direct de demi-groupes r~guliers bitransitifs. Ceci nous conduit h F6tude des produits sons-d i rec ts de demi-groupes compl~tement 0 -s imples que nous caract~risons par des propri~t4s portant sur les ~ -c l a s ses de G~v,]~. Los caract4risations obtenues se t raduisent par des th~or~mes de s tructure dans le cas des demi-groupes r~union de groupes et dans le cas de certains demi-groupes /~ s~rie principale. I1 est remarquable de constater que dans chacun de cos cas part iculiers la s tructure est obtenue i~ part ir d~un syst~me inductif &homomorphismes de demi-groupes compl~tement 0-s imples , g6n~ralisant ainsi le rdsultat de CLIF:~O]~D [3] sur los demi- t re i l l i s de groupes (cos derniers apparaissant comme los produits sons-d i rec ts de groupes avee z6ro).

Pour l '~tude d e s congruences (parties I I l et 1V), ]a raise en dvidence de propri~tds de modularit~ ou de modulari t5 affaiblie hens a paru ~tre un des premiers imp4ratifs. Dans cot ordre d'id6es, hens avons pris pour point de d~part la solution d 'une conjecture de ) S v ~ [20]: ]es congruences s4parant los idempotents d 'un demi -g reupe rdgulier ferment un sous- t re i t l i s complet modulaire du treillis des congruences. Parmi los consequences de ce r6sultat, la plus importante est sans doute le fair que toute congruence est d6termin6e avec unicit~ par la donn~e des classes des idempotenls non nuls. C'est sur cette cons6quence et sur une propri~t6 de simplifiabilit6 affaiblie (~) qu'est bas6e la partie IV dans laquelle on 6tudie los homomorphismes d 'un demi - groupe D quelconque sur un demi -g roupe compl~tement 0-simple. La congruence nucl~aire d~un tel homomorphisme ¢~ s 'exprime comme intersection des 6quivalences principales /~ droite et ~ gauche de P. DUBREI~,, d6finies par los sous -demi -g roupes images r6ciproques des idempotents non nuls de ~(D). I1 est alors possible de construire effect ivement F homomorphisme ~t part ir du complexe K r6union de ces sous -demi -g roupes et d 'une d~compo- sitiou matricietle [6'] li~e h K. Appliquant ]a construct ion i~ un demi-groupe r6gulier de matr ices de I~,EES D, nous obtenons une description plus simple que cello de Pm~s~o~ [25] du treillis des congruences d 'un demi-groupe complbtement 0-s imple . l~ous d4montrons notamment que ce treillis est sent i -

(~) Cette propridtd s'dcrit : a x ~ bx d 5 o et y a ~--- yb :~: o ~ a ~ b. Son utilisation permet d'obtenir rapidement des l'6sultats sur los demi-groupes compacts on m~me sur los anneaux. Par exemple on d~montre de fagon 61~mentaire qu'un anneau rggulier (non suppos6 unitaire) dent ions los idempotenls sent primitifs est un corps.

G. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers 49

modulaire au sens de MAcLA~E, ce qui confirme une conjecture faite par PnESTON [12]. D'autres applications des homomorphismes ~tudi~s dans cette part ie IV (demi-groupes i~ homomorphismes r~tractgs sur ]cur noyau, d e m i - groupes 0-s imples avec des id~aux 0 - m i n i m a u x d~un cSt~) met tent en ~vidence l ' importance des d~compositions matricie]les qui fournissent chaque fois un sch~mu de la s t ructure des demi-groupes ~tudi~s.

L' 6rude des repr4sentations compl/~tes d~veloppde dans la partie I est

inspir~e des t ravaux de TULLY [35] et SAIZ~ [27], [28]. Certains de leurs rCsultats sont des cas part icul iers de ceux obtenus ici : il suffit pour les met t re en (~vidence de considCrer les representat ions compl~tes (P, Q) off Q est l ' an t i - repr~senta t ion unit~.

Les th6or~mes de s t ructure de II, en part icul ier les ~su l t a t s concernant les demi-groupes et les arbres de demi-groupes complbtement 0-s imples sont li~s '~ la notion d 'extension id~ale d 'un dcmi-groupe (el. [2] par. 4.4 et les exposes de GnI~,LET au S~minaire Dubre i l -Piso t 1964-65).

Certaines consequences des r~sultats obtenus dans ] I I ont ~t~ ddve]opp~es par FIOwIE et l ' auteur [5']. Les congruences sur un demi-groupe compl~tement 0-s imple (IV) ont ~t~ ~tudi~es par Muz~ ([2], par. 3.4), GL~zs~I~ [8], PRESTON [25]. L'originalit¢ de la description donnCe ici reside dans le fait qu'etle s 'appuie stir l a notion d'~quivalenee principale.

Pour les notions et les notations non explici tement d~finies au courS de ce travail, nous renvoyons le lecteur au livre de A. It. OLIFFOI~D et G.B. PRES~O~ [2] et au livre d'Algi~bre de P. DuBnEI~ ([5], Chap, V ]3) pour ce qui concerne les equivalences principales. U n e etude ~lCmentaire du demi - groupe des transformations partielles sur un ensemble (utilis~ dans la partie I) est pr~sentCe dans le livre de E.S. LJ~PlZq [15].

Je tiens /~ expr imer ma profonde reconnaissance h Monsieur le Professeur P. DUBREIL, qui a dirig(~ mon travail. Ses enseignements~ 'ses conseils et l 'a t tention qu ' i l a bien voulu porter h rues recherches, re 'out ¢t¢ d ' u n grand s e c o u r s .

J 'adresse rues vifs remerc iements h Monsieur le Professeur M.P. SCH~Z- ]~BE~t~:EI L rappor teur de cette th~se, pour l 'aide tr~s efficace qu'i] m'a apport~e par ses suggestions et ses conseils concernant la r~daction.

Je remercie tr~s vivement Monsieur le Professeur P. LELOZ~G qui a bien voulu me proposer un second sujet de th~se et me guider dans sa preparation.

Annali di Matematica 7

50 G. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers

CH~P~R~ I.

R e p r 6 s e n t a t i o n s c o m p l b t e s d ' u n d e m i - g r o u p e p a r d e s

t r a n s f o r m a t i o n s p a r t i e l l e s s u r u n e n s e m b l e .

1. - D4finitions. Repr4sentat ions completes 4quivalentes.

Une relation binaire x entre deux ensembles F et [ ' ( x ~ F X F') vdrifiant la proprietY: p o u r tout ~6F, ~ et y 6 I ' , (% ~ ) 6 x et (~,7) 6 x impliquent

~ 7, est appel4e une application partielle de F dans U'. Une application partielle d 'un ensemble ~2 dans lu i -m~me est appelde une lra.nsformation partielle sur ~2. La composit ion des relations binaires sar ~2 induit sur l 'ensemble des transformations partielles, une op6ration associative, qui fait de eel ensemble un demi-gronpe avec z4ro, not~ ~ a . ~ a pour s o u s - d e m i - groupe le demi-groupe ~ n des transformations partout ddfinies sur E~, e t ] a t ransformation identit6 pour 614ment neutre. Dans la suite, off il est question essentiel lement de ~ , nous dirons << transformation >) au lieu de <(transformation partielle >>.

Un homomorphisme P d~un demi-groupe D quelconque dans ¢ga est appel6 une reprdsentation de D par des transformations sur ~2. De m~me, une an t i - represen ta t ion Q est un an t i -hemomorphisme de D dans ~ a (c'est-i~ - d i re : pour tout x, yED, Q:xy)---- Q(y)Q(x)). Une repr6sentat ion complete correspond h la donn~e du couple form~ par une repr6sentation P et une an t i - repr6sentat ion Q; plus pr4cis~ment :

DEFI~ITIO~ 1.1. - Une reprdsenlation complete (ou bireprdsentation) (~- (P , Q)~ d 'un demi-groupe D par des trans[ormations sur un ensemble ~2 esl un homo. morphisme • de D dans ¢Ga X ~ oil. ~ est le demi-groupe dual (~) de ~

Soil ~ un ensemble et 5 un demi -g roupe ; ~2 est appel6 un A-syslbme droite, s'il existe une application partielle de ~ ~ A dans ~2 qui ~ tout

~16ment (~, x) 6~2 X A ayant une image dans ~2, associe ax~ ~ de sorte que :

c~) ~(~cy) 6 ~ ~ ~v 6 ~, (a~c)y 6 ~Q et (a~c)y ----- a(xy) ;

b) a~ 6 ~ et (~x)y ~ ~2 ~ ~(xy) 6 ~2 et ( ~ ) y ----- ~(xy).

A route repr4seatat ion P d 'un demi-groupe D par des transformations sur est associ6 canoniquement le D-syst~me ~t droite d4fini par l 'application partielle (~, ~c)--> ~x ~ ~P(x). Inversement, la donn~e d~un D-sys tbme /t droite ~2 d6finit une representat ion de D par des transformations sur ~2.

(~) Le dual d 'un demi-groupe D ~-(D, .) est le demi-groupe D*.-~-(D, , ) de m~me support que D et d'olo6ration , d4finie par x , y - - - - - y . x .


So ien t ~ et t2' d e u x A-sys t6mes ~ d r o i t e ; une surjection ~ de 12 sur ~2' est dile un homomorphisme du 5-syst~me t2 sur le h-syst~me ~' si et seulement si il e~ciste u~e surjection O~ de h sur lui-m~me, telle que x ~ O v ( x ) pour lout x ~ h . L ~ g a l i t ~ pr4e~dente est cel le de d e u x app l i ca t ions pa r t i e l l e s de t2 dans ~2' consid~r~es comme re la t ions b ina i r e s (~). Si ¢~ est u n e b i j ee t ion et un homomorph i sme , il est di t i somorph i sme de t2 sur ~2' (consid(~r~s c o mme h - sys tbmes ) . L a su r j ec t i on 0~ est a lors un a u t o m o r p h i s m e de 5.

D e u x r e p r e s e n t a t i o n s P, P ' d ' u n d e m i - g r o u p e D p a r des t r a n s f o r m a t i o n s sur t2 et t2' r e spec t i vemen t , sont di tes dquivalentes si et s e u l e m e n t si les D - s y s t ~ m e s asssoci~s sont i somorphes , c ' e s t - h - d i r e s ' i l ex is te une b i j ee t ion de g2 sur ~ ' et uue app l i ca t i on 0 (qui est un i somorphisme) de P(D) sur P'(D) tels que p o u r tout x ~ D, P(;~). ~ -~ ~ • 0[P(x)].

D ~ F ~ o ~ 1.2. - Deux reprdseutations completes ~-----(P, Q) et ~' : ( P ' , Q') d 'un demi-groupe D par des transformations sur t2 et ~ ' respectivement, sont dquivalentes au sens large, si F et P' sont deux reprdsentation dquivalentes et Q, Q' deux anti-reprdsenlations dquivalentes. I1 exis te a lors des b i j ec t ions ¢~ et ~ de ~ sur ~2', des i somorph i smes O~, 0'+ 'de P(D) sur P'(D) et Q(D) sur Q'(D) r e spec t i vemen t , lets q u e :

x e D, P(x)~ = ~0~[P(x)] et Q(x)~ ---- ~0'+[Q(x)].

Lors~ue ~--~ ~, (Pet ep' sont diles dquivalentes.

Soil ~ ( P , O)~ une r e p r e s e n t a t i o n comple t e de D pa r des t r a n s f o r m a t i o n s

sur ~ et soil gto C ~2. Posons t2 '~ - - (g t \~2o)U ~o off ~o est l ' image de t2o p a r une b i j ec t i on ~o. On p ro longe la b i j ec t ion % en une b i j ec t ion V de ~2 sur ~, en posan t ~ ~--~ pou r tout z ~ ~ \ ~ o , et on d~fini t une r e p r e s e n t a t i o n com- p le te (P', Q')a" pa r P'(x)-----c~-~P(x)'~ et Q'(x) -~-~Q(x)v p o u r tout x ~ D . I1 r6sul te a tors de la d~f in i t ion 1.2, que (P, O)a et (P', Q')a" sont d e u x r e p re se n - ta t ions comple tes ~qu iva len tes (~). Ce proc~d~ p e r m e t de r e m p l a c e r d e u x r 6 p r e s e n t a t i o n s (/)1, O~)a~ et (Pz, Qz)a.~ te l les que ~2~ (5 ~2~ ~ 0 p a r d e u x

(4) Rappelons que pour un 414ment x ~ A, il existe nne transformation partielle y de e' dans lui-m~me telle q~e x ~ . : ~ y , si et seulement si : 9~, ~teQ tels que = x e t ~x soient d4finis; c~¢~ ~ ~ ~ (xx)~ ~ (~x)¢~. La transformation y est alors unique e~ y.~-~--ix~. O'est ce rgsultat, 4tabli pour les applications parlour d~finies, qu'utilise C~RILLI~T pour d4finir les homomorphismes de tas ([11]~ prop. 1, p. 11). La dgmonstration relative aux transformations partie]Ies n'offre aucane difficult4. La sm:jection 0~ du texte est l'application x--->~-~x¢~..

(~) On a: %[P(x)] ~ P_'(x) et 0'~[Q(x)] : Q'(x). I1 convient de noter que clans ce cas les reprgsentations completes ~quivalentes out aussi m~me noyau (ef. § 4). Deux reprgsentations (completes ou non) gquivalentes et ayant m~me noyau peuvent ~tre appel6es n-gquivalentes. Darts la suite chaque lois qu'il sera question d'~quivalences de repr6sentations, il s'agira de n-gquivalences.

52 G. LALLEMENT: Demi-groupes rdguIiers

repr6sentations 6quivalentes relatives h des ensembles ~'~ et g~'~ tels que £~'~ ('1 £~'~ = 0 (prendre par exemple 12'~ ----- ( ~ \ t 2 o ) t.) ~o off ~2~ ~--- ~ Q ~2~). Ceci s'6tend sans modification h un hombre queleonque de repr6sentations (P~ Qdai relatives ~ des ensembles ~i non n6cessairement disjoints deux h deux.

2 . - Relation de transitivitd. Dd~omposition d'une reprdsentation complete en somme.

On appelle relation de transitivit6 d 'une representat ion Pa d'un demi - groupe D, la relation binaire Z p = L) P(x). Cette relation est transitive. Si

x~D : p = ~2 X ~2, la representat ion P e s t di~e transitive. On d6finit de m~me une relation de transitivit6 ~Q pour une ant i - representa t ion Qa.

D ~ F ~ : ~ o ~ s 1.3. - a) Or~ appelle relation de transitivitd d'une reprdsen. tatio~ complete g9 = (P, Q)a, l~ relatio~+ transitive ~¢ enge~+drde par les relations de transitivitd Zp~ zQ de P et Q (z¢ est la fe rmetare transitive de ~p U z+ dans le trei!lis des relations binaires sur E~).

b) (Pest dite eyclique s ' i l e~iste un dldment ~ ~ ~2 tel que ~ = ~ 0 ~+, bitransitive si ~,+ = ~2 X ~2.

Soit f~ un ensemble et ~ l 'ensemble t2 U{~} off ~ ~. Notons ~a~ le

sous -demi-groupe form(~ par les applications de ~ : laissant ~ fixe et

A/~ a~ X (~a¢)*.

PROPOS~TIO~ 1.4. - L a do~mde d'une reprdsentation complete d 'un demi - groupe D par des transformations sur ~2 est d~uivalente ~ la donnde d'un homomorphisme de D dans A ~

D~O~STRA~rO~.- Soit Pa une representat ion de D et soit ~ 2 . On

d~finit une application P~ de D dans ~ a~ en posant :

(~, ~) ~ P:(x) ~ (~, ~) ~ a × a et ~p(x) ---- ~ ;

(~, ~) C P~(x,) ¢ , ~ ~ ~ n (~, ~) ~ P(x) ;

(~, D ~ PC(x).

On vdrifie sans difficult~ que pc est un homomorphisme. En d~finissant de la m~me fagon un homomorphisme @ de l) dans ~,~a~J , (pc, @) d6finit

un homomorphisme de D dans A ~ a. Inversement tout homomorphisme de D dans A~a s'dcrit sous la forme (P~;, @). En posant : P(x) = PC(x) N ([2 X ~ ) et Q(w)------Q~(~) C)(~2 X ~) on d6finit une repr6sentation complete (P, Q)a.


Soien~ (~2~}i~r une famille d 'ensembles deux ~ deux disjoints et ~ (2 ~i.

de D dans Supposons que pour tout i~ / , il existe un homomorphisme ~n; Aa~.

PROPOSITION 1.5. - U (I)~¢(X) est un dldment ~(x,) de Aa (o~ ~ = U ~ ) i ~ l i ~ I

el l'application x--> ~ ( x ) de D dans Aa vdrifie (I)~(xy) ~ (I)~(m)(I)}~(y).

D]~IO~ST~ATmN. - Pour tout a6 ~2 ~, il existe i6 I tel que :¢6~2~ et il existe ~, y ~ 12~. tels que [~, (~, ~()] ~ Oa~(x) ~ U ~ (x). D'autre part, si [~,7(~, ~')]

• i ~ I i"

et [~, (}', y')] ~ U ~Pai(x) , il existe i ~ I tel que (Pn~(x) eontienne ees deux quan.

r A; tit~s. I1 en r6sulte ~ = ~ ' et ~,----y'. Done UOfii(x )=O~a(m)~ a. g

Si (cq ~)~ (I)a(xy), il existe i~ I tel que

(:¢, ~)~ ePai(~cy) = q)[~(x)fpfi~(y) ~_ ¢Pa(x)Oa(y).

Lorsque o9~(xy) ~ = (I)a(x)O~(y) on dit que la famille des homomorphismes Cp~. est ~ommable el a pour somme ~ .

D]~FINITION 1.6. - Une famille de reprdsentations completes (P~, Q~a~ d'un demi-groupe D par des transformations sur des ensembles ~2~, deux & deux disjoints eat dite sommable e t a pour somme (P, Q)n, si les homomorphismes de D dans A ~'a¢ associds au~c reprdsentations (P~, Q~)a i sont sommables et ont pour somme l' homomorpisme de D dans A~ associd, & (P, Q)a.

Soil (P, Q)n une repr6sentation eomplbte d 'un demi-groupe D; s'il existe une partit ion I de 12 en sous-ensembles ~2~ tels que (1 :), Q)a soit somme de repr6sentations completes (P~, Qdnt, on dit que (P, Q)a est d~composable en somme et on 6crit (P, Q)n ~--- U (P~, Qi)n~.

i E I

Ttt]~OR2ME 1 . 7 . - Toute reprdsentation eompl@te (P-~ (P; Q)~ d'un demi- groupe est ddcomposable en somme de reprdsentations eompl@tes eyeliques.

D]~MONSTRATION. - Soil ~e ~ (ze N]~7 ~) U ~ et ~e ~ (ze q ~¢¢) U s (off e d~signe l'6galit6 sur ~); ~, et ~Q sont des 6quivalenees sur ~2; posons A, = = ~e V PQ (clans le treillis des ~quivalences sur ~2). Soil {ai}ie~ un systbme

Q~(~c) = Q(w)O [ ~ X a ~ ] . Nous montrerons que (P, Q)a-= to (p~, Q~)a et que

ehaque (P~, Qda~ est une representat ion complete eyclique.

Supposons que (~, ~)~P(x) et (:¢, ~)~Q(x). Soil :¢i le repr~sentant de la A¢-zclasse de :¢.

- si a ~ : :¢ alors (o:i, ~)~:e-----%; done ~, et de m~me 7, appart ient h 9,~; il en r~sulte (~, ~)eP~(x) et (% y)~ Q~(m).


- s i a ~ : ¢ , il existe ~ , ~ , . . . , ~ ,E l2 , tels que a ~ = ~ , a : ~ , ~ et pour p = l, ..., n - - 1 , ( ~ , ~ + ~ ) ~ ( ~ N ' c ~ ~ ) U ( : Q ( 3 : ~ ) ~ ' c e L j z Q . II en rdsulte que (:¢~,:¢)6z¢ qui est la fermeture transitive de zeUzQ. Comme (~,~)~ze et (~, 7)6~Q on en d4duit (:¢~, ~ ) ~ ¢ et (a~, y) 6z¢. En d~finitive ~, ~, ~' 6gh et

Supposons que (:% ~)6P(w) et (~, y)~ Q(x) pour tout "~E ~2. Comme pr4e~- demment, (a, ~)6Pi(x) et (~, "l)~ Q~(x) pour tout y C F~. De m~me, dans le cas off (a,~)i~P(x) pour tout ~ Q et (:¢,7) 6 Q(w).

Inversement , si (~, ~)~/~(~v) et (~, ?)~ Q~(x), alors (a, ~)~ P(x) et (% ~)~ Q(x); si (a, ~)~P~(x) et (z, ?)~ Q~(x) pour tout ~ ; 6 ~ alors (a, ~)6 P(x )e t s'il existait 76~2 tel que (~, ~')6Q(x), d'apr~s la premiere partie on aurait ?~ ~2~, ee qui es~ impossible. De la d6finition 1.6 r6sulte alors que (P, Q)~ ~- (2 (P~, Q~)~ .

i e I

Chaque representat ion c ~ ( p ~ , Q~)a, est eyclique; en effet, z e . = ~ Pi(x)= x~D

x ~ D - - ~ O (~2~ X ~ ) . On en d~duit ~:% --~ ":¢ (3 (~2~ X £~) et pour # ~ ~

ce qui prouve que (P~ est cyclique.

L 'expression de l~iquivalence he introcluite da~ns la d~monstration du th4or~me 1.7 se simplifie a v e c l a notion suivante:

D]~FINITION 1.8. - Une reprdsentation complete ~P~--(P, Q)a d'un demi-groupe D est dire reprdsentation eommutante si pour tout ~x, y~ D, P~x)Q(y): Q(y)P(x).

On a alors:

PRoPosition" 1.9. - Si (pes t une reprdsentation complete ddcomposable ere somme de reprdsentations completes q9~, ~ = U @~ est commutante si et seulement

iE1 si chaque ¢P~ est commutante.

Cela r4sulte imm~diatemcnt des d6finitions 1.6 et 1.8. Le th~or~me 1.7

donne alors :

COROLLAIRE 1.10. - Toute repr4serttation commutanle est somme de reprd. sentations commutantes cycliques.

I1 est possible de d~finir toate repr4sentation commutaate c:yclique par certaines ~quivalences sur D~X (D~) * (D ~ D si D a un ~l~ment unit~ et D ~ D O{1} si D n~en a pas: la multiplication sur D ~ 4tant d~finie de fa~on h faire agir 1 eomme (~l~ment unit4 de D~).


Soit ~ une 4quivalence r(~guli~re h droite sur D~X (D~) * dont l 'une des classes est un id6al h droite H (~) de D~X (D~) * tel que (1, 1 )~H. Notons H~(~6 ~2) l 'ensemble des ? -c lasses distinctes de H. A tout x ED, on assoeie les t ransformations Pe(x), Q~(~c) sur ~2 d6finies pa r :

(o:, ~)EP~(x)cvH~(x, 1)_C H~ et (~, ~)E Q~(.~)¢:> H~(1, x) ~ H~.

L 'appl icat ion x--->IPe(x,), Qe(x)] d(ifinit une repr6sentat ion compl6te de D par des t ransformations sur ~2.

Cette repr4sentat ion est commutan te ; en effe t :

i H~(~, 1) ____ H~ (a, ~)E Pp(x) et (~, ~,)E QP(Y)¢:>t H~(1, y) ~ Hy ¢:>H~(x' 1)(1, y) c Hr

i H~(1, y) _ H~ ¢::> (~, ~) E Qp(y) et ($, T) E P¢~(x).

Soit H ~ la ~-classe de (1, I). Pour toute ~-classe Hv contenant un couple (w, y) E D i X (D~) *, on a : H~o(x , y) c Hv ; d o n c (~o, y) 6 t)(x) Q(y). I I e n r4sulte que pour tout TE~2, T ~ o , yE~oZ(e,q). Donc ~2~aoU~o'C(e,(~) et la representat ion d~finie est cyc l ique :

PRoPOSIT~o~ 1:11. - Toute repr4sentalion commutante, cyclique est dquiva. lente & une reprdsentalion ddfinie ]~as une dquivalence rdguli~re ~ droile sur D~X (D~) * ayant pour l'une de ses classes un iddal ~ droile, 4venluellement vide, ue conlenant pas (1, 1).

D ~ o ~ s ~ n a + ~ o ~ . - Soil +----~(_P, Q)~ une repr6sentat ion commutante, cyclique de D. On 4tend la repr6sentat ion (I) en une representat ion ¢~-----(_P~, Q~)n de D ~ en posant ( I ) ~ qb si D a un ~l~ment unit4, et si D n'a pas d~416ment unit~ on pose P~(x)----P(~), Q~(x,)~ Q(x), P ~ ( l ) : Q~(1)---1(% ~); a6~2}. La repr6sentat ion • ~tant cyclique ~ ----- ao U ~o:¢ pour un 614ment ~oE ~2. Comme • e e t z~ commutent z c ~ z e U Z Q U ~ e . z ~ et a o z + ~ I ~ ; ~ g 2 tels qu'il existe u, v E D 1 avee (~, ~)6 P~(u) Q~(v) }. Sur D ~ X (D~) * posons :

[(u, v), (u', v')] ~ ~o si et seulement si aol°~(u) Q~(v) = aoP*(u ') Q*(v').

On v4rifie que ~ao est une ~quivalence r~iguli/~re h droi te ; la ~ao-elasse des couples (u, v) tels que (~o, ~l)~ Pl(u)Ql(v) pour tout ~ E ~ est un ideal ~ droite H de D1X (DI) *, ou est vide. (1, 1 ) ~ H car o¢oPl(1)Q1(1)~ 0¢o.

(6) ~ous SUplOosons que H peut ~tre vide: on loeut 4ventuellement ne loas distinguer de p-elasse iddal ~ droite.

56 G. LALLEMENT: Demi~groupes r~guliers

I1 existe une bijection ~ de ~2 sur Fensemble des gao-classes distinctes de H : ~ tout ~ E l 2 ~ ao U :¢0~x¢, ~ associe la classe fortune des couples (u, v) E D 1 X (D1) * tels que (so, ~) E Pl(u) Q~(v). Soit (:¢, ~) E P(x) et u', v' tels que (o:o, ~) E P~(u') Q~(v').

On a: (so, ~)E P~(u')Q~(v')P(x) - - P~(u'x)Q~(v~); donc Ha(x, 1)___ H~ ce qui entraine (~%o, ~¢p)EP~(x). On d~montre aussi: (a% ~)EPo(x) ~ ( ~ , ~) E P(x). P e t Pp sont done des reprdsentations 5quivalentes. Le m~me r~sultat vaut pour Q et Qp. (P, Q)a et (P~, Q~a~'sont done ~quivalentes.

COI~OLLAIR~ 1.12. [27] - a) Toute reprdsenlation Pa d'un demi-groupe D est somme de reprdsentalions cycliques.

b) Toule reprdsentation cyclique~de D est dquivalenle it une reprdsentalion ddfinie par une dquivalence rdguli&e ~ droite p sur D ~ ayant un iddal ~ droite R ne eontenant pas 1, pour l'une de ses classes.

I1 suffit pour obtenir ce corollaire, d 'associer i~ la representat ion Pa, la representat ion complete commutante ( P , Q~)a off Q~ est l ' ant i - repres~ntat ion unit4 (o:Q~(x) ---- a, ~ a E ~2).

Les representat ions completes, bitransitives sont des cas particuliers de representat ions cycliquesi: si @ est bitransitive on a en effet ~2 ~ az¢ pour tout :¢E f~. La proposition 1.11 devient :

PI~OPOSITION t.13. - Un demi-groupe D a une reprdsenlalion commulante, bilransilive, si el seulement si il existe une dquivalence rdguti&e ~ droite p sur D~ X (D~) *, telle que :

a) l'une des ~-classes soil un iddal ~ droite H (4venluellement vide) ne contenant pas (1,1).

b) H est rdsidu it droite des autres ~-classes (si H-~-0 toules les classes sont netles it droite).

e) Si ~ n'a qu'une classe K aulre que H, il exisle (u, v) E D~ X (D~) * avee u ou v ~= 1, tel que K(u, v) ~ K.

De plus, route reprdsentalion commutanle, bitransilive est dquivalente it la reprdsentation ddfinie par une telle dquivalence ~ sur D~ X (D~) *.

D~Z~ONST~ION.- Si D a une reprOsentation commutante, bitransit ive (P--~(P, Q)a, ¢ e s t (fquivalente h la representat ion Pe~0 d~finie c i -dessus

(Prop. 1.11). Les propri~t~s b) et e) r~sultent immOdiatement de la bitransiti. vit~. R~ciproquement (~) soil ? une ~quivalence r~guli~re h droite sur D~X D 1* v~rifiant a), b), 0). Soient ~, ~ E ~ ; d'apr~s b), il existe (r, s ) E D ~ X D ~* tels que

(7) ~ o u s supposons que D est sans (ilgment unitd. Duns le cas contrair% ta dgmonstrat ion est plus simple.

G. LALLEMENT: Demi-groupes rdgutiers 57

Ha(r,s) C--H~. Si r ~ l et s : # l ~.P~(r)Qp(s)-----6. Si r ~ l et s = l (ou b ien r - - 1, s ~ 1), aP/r) ou b ien gQ~(s) ~- ~. S i r - - - - s----- 1, : ¢ = ~ ; nous d i s t inguons 2 cas :

- P o u r card 12 __~ 2, il exis te ? ~ a et d~apri~s ce qui pr6c~de, il exis te (u, v) et (u', v ' )ED1X D 1. tels que u o u v ~ 1, u ' ou v ' ~ 1, avec ~P(u)Q(v)=y et "(P(u')Q(v') -~ a. I1 en r~sul te :

~P(uu')Q(vv') ~ :¢ avee uu' ou v v ' ~ 1, ce qui achbve de d6mont re r la bi t ransitivit~.

- P o u r card ~2 ~---1, la b i t ransi t iv i t~ r6sul te de c).

COROLLAInn 1.14. [27] -- Toute reprdsentation transilive Pa (card I2 ~ 2) d ' u n demi-groupe D eat dquivalente ~ une reprdsenlation ddfinie par une dffuivalence rdguli~re ~ droite sur D ~, clont l'une des classes H est un iddal droite ne contenant pas 1, rdsidu ~ droiie de routes lea autres classes (si H = O, routes les classes sont nettes ~ droite).

Les r ep re sen t a t i ons t rans i t ives /gn se gdn~ral isent na tu r e l l emen t en les r ep r6sen ta t i ons sym~t r iques [28]. Compte t enu auss i du fail que la d~compo- s i t ion d 'une r ep re sen t a t i on comple te (19, Q)n en somme du th4orbme 1.17, in te rv ien t h pa r t i r de l '~quiva lence A(e,e) = ~e ~/pO avee ~p--~ (ze (q ~ ) t.) e et de mOme pour ~Q, ce la ju s t i f i e F in t roduc t ion de la d~fini t ion su ivan t e :

DEFINITIO~ 1.15. -- Une reprdsentalion comlgl~te est dile symdtrique si et seulement sl ~e ~ ~1 et ~Q ~ z~ ~.

PnoPosI~ION 1.16. - Toute reprdsentation commutante, symdlrique est ddcomposable en somme d'une reprdsentation nulle et de reprdsentations commu. tantes, symdtriffues, bilransilives. Si l'on identifie & une m~me reprdsentation toutes lea reprdsentations nulles, la ddcomposition est unique.

D : ~ o N s ~ t ~ I O ~ . - D 'apr~s le th~or~me 1.t7, (I) ----- (P, Q)e~--t2 (P~, Q~)~ ------ i ~ I

t2 ~p~ avec S2i-----a~ t2 aix%. S u p p o s o n s que ~¢i ne soit pas une repr~isenta-

l ion nul le . ~ % = ~ 2 , X f ~ ; en effet , soient ~ , ~ 2 ~ ; il ex is te u~, v ~ D ~, / * uz, v ~ D ~ tels que aP~u~)Q~(vl),~--~-~ et aP,(u~)Q~(v~)= ~ .

- S i u~ ~ % ~ - - - 1 par exemple , ~-~-c~. Comme qb~ est non nul le , it ex is te ~ D et ~ ~ f~ tels que (~, ~)~ F~(x); "~e~ ~tant sym6tr ique , il exis te $ '~ D tel que (~, a)~P~(x'). Donc ~ P ~ ( x x , ' ) ~ avec x x ' = l . Donc si ~, (ou ~ ) ~ a ,

- Si u~rou v l ~ l et uz ou v ~ l , il ex is te u'~ et v'16D ~ ( u ' ~ = l si u ~ = l , t U t v'l = 1 si vl = 1) tels que (~x, ~)E Q~(v ~)P~(~). D'ofi

t t V

AnnaIi di Matematica 8


I1 en r~sulte, compte tenu des possibilit4s d'~galit~ fi 1 des arguments de P~ et Q~, que (~, ~) E'~%.

Pour montrer l'unicit(~ de la d~composition, soil qb_~_ (p, Q)a une representation commutante, sym~trique et @~--(Po, Qo)~o U [ U (P~, Q~)a~] une d~com-

position de • en representat ion nulle (/)0, Qo)eo et representat ions commutantes, sym4triques, bitransitives. Pour tout ~ E ~2~ (i ~ 0) on a ~ ~ ~5(p, Q) : en ef[et, si ~E 0¢5(P, Q) on a ~P(x)Q(y):~; d'apr~s la d~finition de la somme ~P(x)E~2~ et aussi aP(x)Q(y)~ t~; inversement, si ~t E ~2~, (P~, Q~)a~ ~tant bitransitive, il existe x, y ED tels que ~¢P~(~c)Q~(y)-~ d'ofi ~P(x)Q(y)~ ~ et ~E~A(P, Q). ]1 en r~sulte que la d~composition envisag~e coincide avec celle du th~or~me 1.17, d~ofi l'unieit~,

On pent envisager d'~tablir un r~sultat analogue h la proposition 1.13, en caract~risant les repr~isentations commutantes, sym~triques, bitransitives, par certaines dquivalences r4guli~res it droite s u r D~X (D~) *. En fait, nous verrons au paragraphe suivant que ces reprdsentations sont li~es aux reprdsentations et ant i - reprdsenta t ions transitives.

3. - Reprdsentations commutantes , symdtriques, bi transit ives.

Soit D admet tant une repr(~sentation • : ( P , Q)~ commutante, sym~trique, bitransitive. On a ~p~--zeU~(~---:~U~), ~Q--- - -~QU~(~z~Ue) ; posons :~¢ ~ ~p N ~Q. Nous convenons, si D est sans ~l~ment unit~, de noter P(1) et Q(1) l 'application identit~ sur ~2 (c'est-i~-dire de considdrer implici tement la representat ion ~tendue). Pour une telle reprdsentation (I) ]es ~su l t a t s classi- ques suivants de la th~orie des demi-groupes sont valables:

LEMME 1.17 (GI~EE~, [2], p. 49). - Soient ~, ~E ~2 tels que (a, ~)Ez~. I1 existe s, s'ED ~ tels que ~P(s)~-~ et ~P(s')~--o~. Lee applications ~ : ~--> ~P(s) et d:~-->~P(s ' ) sont des bijections rdciproques entre ~Q et ~Q conservant les ~e-classes.

T]=L~OR]~ME 1.18 (Sc t tuTzENBERGER, [2], § 2.4 et [30]). - Soil H une ~f¢-classe de D.

I) re(H) = { W; ~ ~ e l . : ~ ~ E H, ~W = ~P(x) = ~ e H } esl u n groupe simplement lransitif (s) de permulalions de H.

2) r ' ¢ ( H ) = tV'~; ~, '~Eet . : ~¢~EH, ~ . ' ~ = ~ Q ( x ) = ~ E H } est un groupe anti-isomorphe (~ F¢(H).

3) Pour deuce ~f¢-classes H~, H~, F(H~) et F(H~) sont isomorphes.

(s) Pour tout a, ~ e H, il existe u n e s e u l e application "~z 6 Fa,(H) telle que :¢'(, z ~.

G. LALLEMENT: Demi-groupes rdgul&rs 59

A une repr6sentat ion (I) commutante, sym6trique, bi transi t ive de D on peut associer une repr6sentat ion de D par des matrices monomiales sur le groupe avec z6ro r e ( H ) U (0), de la fagon suivante : on indexe les ~e-classes par un ensemble I, les ~Q--elasses par un ensemble A ; on distingue un dl6ment dans I e t un 616ment dans A et on note de la m~me fa¢on l'~16ment distingu6 dans chaque ensemble. A chaque kEh , on assoeie azEH~z et on choisit qz, q'~ E D tels que ~. = :¢~P(q~) et ~ = a~ff(q'~). On associe h tout ~16ment ;rE D une matrice de format A X A, M ¢ ( x ) = [mz~(x)] sur F¢(H)U (0) ( H = H~) telle

que m~.~(x): 0 sinon.

On d~finit de fa¢on duale une matrice M'¢(x)---~ [m'~](x)l de format I X 1 sur U ¢ ( H ) U (0) off les eolonnes sont monomiales.

Tg]~OR~E 1.19 (Sc~U~ZE~BER~]~R [30]). -- Pour toute reprdsentalion com. mutante, symdtrique, bitransitive (P, d'un demi-groupe D, Me [resp. 11/'¢] ddfinit une reprdsentation [resp. anti-reprdsentation] de D par des matrices ~ lignes [resp. colonnes] monomiales. De plus pour tout k, ~ E A [resp. i, jE I] et pour tout T E F~,(H) [resp. T' E F'¢(H)] il existe x E D tel que m)~i~(x ) --- T [resp. m'~i(w ) = T'].

(Pour expr imer eette derni~re propri~t~ on peut dire que chaque ligne des matrices M~(~) peut ~tre remplie arbitrairement).

l~ous compl~tons les r~sultats precedents par un th~or~me (1.22) indiquant comment P, Q et (P, Q) sont li4es lorsque (P, Q) est une representat ion eom. mutante, symdtrique, bitransitive. Le lemme 1.21 eonsti tue une r6ciproque affaiblie du thdor~me 1.19.

L E ~ E 1.20. -- Si D admet une reprdsentation ¢9----(P, Q) commutante, symdtrique, bitransitive, P[resp. Q] est nulle ou somme de reprdsentations [resp. d'anti-reprdsentations] transitives, 6quivalentes entre elles. (P et Q ne peuvent ~tre nulles en m~me temps).

D~O~S~RA~ION. -- Si P n'est pas nulle, s0it ~2~ (i E I) l 'ensemble des ~p-classes. P~(x) ~-- P(~) A ( ~ X ~2~) d~finit une representat ion non nulle : en effet, il existe ~oE~2 et z E D tels que ~oP(z)~ ~; comme • est bitransit ive, pour tout a~E ~2~ il existe u, r E D ~ (u ou v ~ 1) tels que a~P(u)Q(v)= ~.o. Done ~P(u)Q(v)P(z) = ~ = ~P(uz)Q(v) et ~P(uz) = T E ~2i. P~ est une representat ion transi t ive et P ( x ) = U Pi(x.). D'apr~s le lemme 1.17, P~ et P1 sont des repr~-

i E I

sentations ~quivalentes: en effet, Pi(x).¢~= ~(~[P~(x)] off ~ est la bi jection d(~finie par ~--> ~Q(s), s ~tant tel que o:Q(s)= ~ pour un :¢E ~ et ~ E ~2~ pris dans la m~me ~Q-classe; on prend 0 tel que 0[Pi(x)] = P~(x).

Avant d 'aborder la r~eiproque nous pr~eisons la notion de groupe simplement transitif d~fini par une representat ion transitive. Soil D u n demi-gronpe

60 G. LALLEMENT: Demi-groupes r~guliers

admettant une representat ion transitive P par des transformations sur un ensemble EL Sur certains complexes K de ~2, les t ransformations P(x) indnisent un groupe simplement transitif de permutations. Oa montre sans difficultY, qu 'une condition n(icessaire et suffisante pour qu 'une partie K de ~ soit le support d~un tel t r o u p e est que :

a) KP(x) (3 K ~ 0 ~ KP(oc) ~- K ;

b) =coP(x} = :coP(y) --~ ~o, So et ~oeK ~ ~ 0¢ eK , c~P(x) = ~z/'(y) 6 K.

Parmi oes groupes simplemerd transit i fs indui ts par P, oeux dont le support vdrifie la condition

b') ~oP(a~) = aoP(Y) -= T, ~o E K ~ ~ a E K, v.P(x) -~ ~P(y),

[en presence de a), b') est plus restrict ive que b)] sont appelds groupes sire. plement transi t i fs associSs (~) d P et notds Fv:K). 0 a d~finit de m6me des groupes simplement transitifs associds rQ(K') h une ant i - representa t ion Q. Soit G uu groupe tel qu ' i l existe des homomorphismes injectifs de G dans des groupes F d K ) et FQ(K'). G pent 6tre considgr6 comme groupe simplement transitif sur un ensemble H (support de G) en bijection avee une par~ie de K et une partie de K'. Nous disons alors que G est uu groupe simplement transit if eomrnun /~ P e t Q. Avec la terminologie qui vicar d 'etre d~finie:

LESliE 1.21. -- Soit D un demi-groupe admettanl une reprdsentation transitive P~ par des transformations sur ~2~ et une an!i-reprdsentation tran. strive Q~ par des transformations sur 12'~. Soit G un groupe simplement t ransi i i f commun & P~ et Q~. Alors D admet une reprdsentatio~ complete (P ~--(P, Q)a commutante, symdtrique, bitransitive, telle que :

a) Pa [resp. Qa] soit somme de reprdsentations [resp. anti-reprdsentations] dquivalentes (~ 1)1 [resp. Q,];

b) le support de G soit en bijeotion aveo les ~¢-olasses.

D ~ o ~ s T n A ~ o ~ . - 1) S o i t H le support de G. G et son dual G* (ant i - isomorphe /~ G) agissent de faqon simplement transit ive sur H. 1V[ontrons que si deux groupes r et F' s implement transitifs sur H sont ant i - i somorphes

par W ( F ~ I ~') alors ils commutent au sens large (~o), c 'est-~t-dire qu'il existe une bijecfion q~ de H sur H telle que, pour tout xEP, pour tout y '~P ' et

(9) Les supports des t r o u p e s s implement transif ifs associds ~ une reprgsenta t ion transi t ive, ordonnds par inclusion forment une famil le induct ive. I I y a done des supports max[m~ux. J ' i gno re s i c e s supports max imuux sour on bi jeet ion ou non. Duns l ' a f~i rmat ive cela permet t ra i t d ' in t rodui re nne not ion de t roupe max ima l associg ~ une reprdsentat ion t rans i t ive .

(10) C'est rgciproque dn l emme 2.23 de [2] (p. 84).


pour tout a E H :

axc~y'¢~ -~ ---- a~,y'~- Ix.

Soient ao et a'o deux 61~ments fixes de H ; posons ~ o ' ~ a ' o . A tout ~EH, on fair eorrespondre ~'EH, ~ ' ~ - ~ tel que si ~:oX:~, alors ~:'o~(x)~-- ~'. Pa r suite de la simple transitivit~ de P et r', ~ d6finit une bijeetion de H. S ' i l existe ~ E H t e l que ~ x ~ et ~ W ( y ) : T ~ o , en prenant z tel que ~oz ~--~ on a aoZX ~ ~, d' o~t ~.~W(zx,)~ ~ (dSfinition de ~o). Done ~o~W(zx)W(y)~ T~, ce qui implique aoyzx ~--T. Posons a o y z - ~; on a ~ ~ 7 et

On d~montre de la m~me faqon Fimplication

ce qui ach~ve de prouver que F et F' eommutent au seas large.

2) Ce qui precede montre que nous pouvons suppose r que t2~N~2 ' l~H et que Px et Q~ eommutent sur H

,(soit [P~(x)N(H X H)]. [Q~(y)N(HX H)]--~-[Q~(y)A(HX H)]. [PI(x)N(H X H)]).

Nous montrerons que les ensembles HPl(~c) (x E D) distinets forment une parti t ion de i't~ en ensembles H~. (k E ~, H~I ~ H) en bijection avec H et de m~me, que les ensembles HQ~(x) forment une parti t ion de t2'~ en ensembles H~ (iEZ) en bijeotion avec H (cf. f igure ei-dessous).

t~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J

62 G. LALLEMENT: Demi-groupes rdgutiers

Soit T ~ ' ~ tel que ~Q~(Y)=T, pour un ~l~ment ~ E H tel que ~P~(~)EH. P o s o n s :

~ P(x) = aP~(x)Q~(y).

I1 est 'h noter que yP(x) est un ~l~ment bien d~fini de gt',, car il existe y'ED tel que ~Q~(y'y)=a et aP~(x)Q,(y'y)=aP~(x)EH, ee qui prouve que

~P~(x)Q~(y) est bien d~fini. La d~finition de T/~x) ne d6pend pas du choix de :¢EH et de y ED tel que :¢Q~(Y)= T; en effet, si ~Q~(y~)= ~ avee ~P~(x)EH, en posant ~-----:¢Q~(u), on obt ient :

aiP~(x) g~(yd ~ ~ g~(u) P~(x) g~(yd = aP~(x) g~(u) Q,(yd.

Or ~Q~(u)Q~(y~)= ~Q~(y)= ~, implique (d 'aprbs la d~finition des groupes s implement transitifs assoei~s h Q): ~P~(x)Q~(u)Q~(y~)= ~P~(x)Q/y). Donc

~P~(x) Q~(yd = ~P~(x) Q~(y).

Si HQ~(x)~HQ~(y):4:0, il existe ~, ~ tEH et TE~2'~ tels que :¢Q~(x)= = ~Q~(y)= ,(. Pour tout £ E H ,

~' Q~(x) = ~P~(v) O~(x) = T 1~(v) = ,~ Q~ry)fi(v) ---- ~P~(v)Q~(y) E 11Q~(y).

On en d6duit HQI(x)~HQ~(y) et aussi l ' inclusion contraire de la mgme fa¢on: les HQ~(~) distincts forment une parti t ion de ~ en sous-ensembles H:x disjoints. De mgme les HP~(x) fournissent les Hi~. Les ensembles H-----H~ et H~ sont en bi jeet ion; en effet, pour a~EH et ~ E H~ il existe r~ et r'~ED tels que ~Q~(rd ---- ~i~ et ~Q~(r'~) = ~ . H ~tant support d 'un groupe simplement transitif assoei~ /~ Q~, pour tout aEH, ~Q~(ri)Q~(r'~)=~ et a->~Q~(rd d(ifinit une bijeetion de H sur Hi~. Nous notons eette bijection X~.

3) On plonge Hi1 dans un ensemble ~2~ en bijeetion avee ~21 et on

suppose que cette bi jection not6e X~ i prolonge )~ - Posons ~2= U ~2~ et notons

HI~,)(,. i = H~, U H~ = ~'~. A tout x E D on assoeie P(~) d6fini par :

- - - - - - I

On v~rifie sans difficult6 que P(x) est une transformation partielle de 12 et que P d~finit une repr6sentation. De plus P(x)-~ U Pai(x) avec

~ 1


(a, ~) E P a , ( x ) ¢ : ~ ( ~ , ~ ) E Pa~(x), et les Pa¢ sont des r ep r6sen ta t i0ns 6quiva.

h Pa, (on a en e f f e t : - - 1 X~. Pa,(x)~--- Pa.(x))(~ ~ pour tout x ED).

¥ 6 r i f i o n s que P(x) est d6fini de faqon ~ co~ncider avec if(x) d~fini dans

la pa r t i e 2 ; si (T, 8)EP(x) avec y, 8E t t~ , d 'apr~s la d6f ini t ion de fi(x) on a:

T OA(rdP,~x) ---- TP(x) . Q,(r'~) ---- 8Ol(r'd, c' e s t -~ t -d i re (TX~ ~, 8 -~' d' (T, 8)EP(x) . I nve r semen t , si T, 8EI t~ et si TP(x)-~8, il exis te T~ et 81EH tels

que 7 ~ T~Q~(r~), 8 = 8~Q1(r d et T1P~(x) ~ 8~ ; il en r~sul te TP(x) = T~P~(x)Q~(r~) ~- 8. (C) Mont rons que TP@)Q~(z)-~ TQ~(z)P(x) p o u r tout T E Ft'~, et pour tout x, z ED. Si T P ( x ) = 8 et 8 Q ~ ( z ) ~ avec T, 8, ~E ~' . ~, en u t i l i san t le fair que

P(x) et if(x) coincident , il ex is te ~ E H tel que aQ~(y)= T avec ~P~(x)EH; on a a lors T P ( x ) = 8--~ ~P~(x)Q~(y), Soit 8~ ~ TQ~(z) (TQI(z) est d6fini car 7 s t sont dans le m~me ensemble HQ(r~) et 8Q~(z) est dSHni). P a r d6f ini t ion de P ~Q~(y)Q~(z) = 81 imp l ique 8~P(x) = aP~(x)Q~(y)Q~(z) ~ 8Q~(z) ~- ~. On ddmont re de m~me que si T, ~ E t2'1, (T, ~) E Q~(z)P(x) impl ique (T, ~) E P(x)Q~(z).

4) D~finissons ma in t enan t l ' a n t i - r e p r ~ s e n t a t i o n Q. On p o s e :

(T, 8) EQ(y)c:)TEH~z, 8EHj~ et il exis te x E D tel que 71P(x) m-T, 81P(x)--=8 pour cer ta ins T~, 8~E ~'1 tels que yIQ~(y)~81.

(En bref , TQ(Y)~ 8, si et s eu l emen t si, il exis te x E D tel que P(x) app l ique gt': sur ~2'~ et (T, 8)EP-~(x)Q(Y)P(@) • P o u r tout yE D, Q(y)d~finit une t ransformation par t ie l le sur Ft; en effet, si (7, 8)EQ(y) et (T, 8')EQ(y) alors (7, 8)EP-I(x)QI(Y)P(x) et de m6me (T, 8')EP-'~(~c')Q~(Y)P(x') • I1 exis te a et £E~2'1 tels que a P ( x ) = T , £P(x ' ) ~--~T et ~QI(y)P(x)-~ 8, £Q~(y)P(x')~--8. Comme ~¢ et £ sont dans ///1 (pour un cer ta in i E I), il exis te v E D tel que ~' ~--~ ~P(v). D'apr~s la d~fini t ion de P~ on a : aQ~(r'~)P:(x) -= ~'P(@Q~(r' d ~ 7Q(r'~) --~ ~P(v)Q~(r'i)P:(x').

D'apr~s (C) : ~ Q:(r'dP~(x) ~--- ~ Q&'dP(v)P~(x') = ~ Q:(r'dP~(vx').

C o m m e ~Q:(r'~)EH, on a : ~Q:(ylQ~(r'I)P~(x)=~Q~(y)Q@'i)P:(v~c'), en supposan t que ~QI(y)EH~. En u t i l i san t i~ n o u v e a u (C), on ob t i en t :

~Q~(y)Q~(r'j)P~(x) = aP(v)Q~(r'i)P~(x') , c ' es t -~ t -d i re

aOt(y)P(x)=£Ol(y)P(x,') ou b ien 8~---8'. Ce qui pr6c~de mont re auss i que la d6f in i t ion de Q par (T, 8)E Q(y)c:v (T, 8) E (~'z X t2"~.)(~P-I(x)Ql(y)P(x), ne d6pend pas du cho ix de l ' app l i ca t ion P(x) de ~ ' i su r ~'). qui ser t h la d6finir, ce qui p e r m e t auss i de v6r i f ie r imm~dia t emen t que Q est une an t i - r ep r6 sen t a t i on , somme d ' a n t i - r e p r 6 s e n t a t i o n s ~quiva len tes "~ Q1, que O est sym6t r ique et qu 'e l l e c o m m u t e avec P. De p lus il est 6vident que (P, Q)a ainsi d6f inie est b i t r ans i t ive et que le suppor t de G est en b i jec t ion avec les ~e ,Q-classes , qui sont les ensembles H~z.

Nous r6sumons les d e u x l emmes pr6c~dents duns le th6or~me:

64 Co'. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers

T:g~O:R~ME 1.22. -- Toute reprdsentation ¢9 ~ (P, Q)a, commutante, symdtrique bitransitive est ddterminde ~ une dquivalence au sens large pros, par la donnde d'une reprdsentation transitive (ou nulle) !'1, d'une anti-reprdsentation transitive (ou nutle) Q~ et d'un groupe simplement transil i f de permutations commun

P~ el Q~.

D]~OZ~S~nA~ION.- Le th~or~me rdsulte des lemmes 1.20 et 1.21, saul pour ce qui concerne la d~termination de (P, Q)a ~ une ~quivalence au sens large prbs. Soient • ~--(P, Q)~ et q)*---~ (P*, Q*)a* deux representat ions commutantes, symdtriques, bitransit ives. On suppose que P e s t somme de representat ions transit ives P~ (i E I), P* somme de representat ions transit ives ~P** (i*EI*); de m~me pour Q et Q*. Par hypoth~se P~ et P 5 sont ~quivalentes et les groupes s implement transitifs communs ~ P~, Q). et P~**, Q~** sent isomorphes. D'apr~s la construction indiqu~e duns la d4monstration du lemme 1.21 les ensembles d~indices I et I*, ainsi que A e t A* sont en bijection. Nous notons de la m~me fa~on les indices qui se correspondent. Soit % 0 les bijections d '~quivaIence de i°I et P~, ~', (}' celles de Q~ et Q~. On choisit q~, q'z E D, r~, r'~ED tels que P(ff~) et P(q'~) d~finissent des bijections r~ciproques de HI~ sur H~z, Q(r~)et Q(r'~)des bijections r~ciproques de H ~ sur H~ (ef.

d~monstration du lemme 1.21). 0 n note 0[P(q~)] par P*(qz) et de m~me pour

les autres 4I~ments part icularis~s; P(q'~JQ(s'~)~?P*(r).)Q~'fs~)d~finit une bijection de H~z sur H ~ . Elle s 'dtend en une bijection tI; de ~2 sur ~* en faisant varier i et ), darts I e t h. On v~rifie alors sans diffieult~ que P(x)W-----WP*(x).

En d~finissant de m~me une bi ject ion 1F' i~ part ir de P(q'),)Q(s'~)cy_P*frz)Q*(s~) on obtient Q(x)~"~:t~"Q*(x~), co qui ach~ve de prouver que (P, Q~a et (P*, Q*)a* sont ~quivalentes au sens large.

Revenant au eorollaire 1.14 nous appelons dquivalence de transitivitd & droite une ~quivalence /~ droite sur D ~ dont l 'une des classes R e s t un ideal droite ne contenant pus 1, rdsidu i~ droite de routes les autres classes (st R----0 toutes les classes sont nettes ~ droite). D'apr~s le th~or~me precedent on a :

COnOLLAIRE 1.23. -- Four qu'u n demi-groupe D admette une reprdsentation ¢P ~ (P, Q)n commutante, symdtrique, bitransitive telle que P el Q ne soient pas nulles, il faut et il suffit qu'il existe une dquivalence de transitivitd & droite et une dqu~valence de transitivitd & gauche sur D 1.

De m~me la possibilit~ d 'existence de reprdsentat ions commutantes, sym~triques, se traduit par l 'existence de familles d'~quivalences de transitivit~ i~ droite et i~ gauche.


4. - Noyaux de reprdsentations completes.

Le noyau d 'une representat ion Pn d 'un demi-groupe D est l '~quivalence nucl~aire ~e de l 'homomorphisme P : ~p -~- l (w, Y) E D X D : P(x) ---- P(y) }° Le noyau d 'une repr6sentat ion complete ( I )~ (P, Q)n est de m~me la congruence ~¢ = ~e ~ ~Q, ~quivalence nueI~aire de (I). Lorsque ~ , est l'~galit~ sur D, (I) est dire fid~le. Si (I) est somme de representations completes (I)~ on a:

PRoeosI~IO~ 1.24. - Le noyau d'une reprdsentation commutante, cyctique @ ~ (P, Q)n d 'un demi--groupe D, ddfinie par une dquivalence rdguli~re ~ droite

sur D~ X (D~) * (el. proposition 1.11) est:

8¢ -~ { (~c, y) E D : ~ u, v E D ~, (ux, v) ~ (uy, v) (mod. ~) et

(u, xv) ~ (u, yv) (mod. ~)}.

D]~MOZ~S~I~A~IO~. -- Supposons P ( x ) = P(y). Nous employons les notations d6finies avant la proposition 1.11.

Si (u, v) (ae, 1 )~H, (u, v) EH~ et (u~c, v)EH~. I1 en r~sulte (% ~)EP(x)---~P(y), d'ofi (u, v) (y, 1)EH~ c'est-~t-dire (ux, v)~-(uy, v) (rood. p).

Si (u, v) (x, 1)E/-/, alors (u, v) (y, 1)E H, sinon le ra isonnement pr6cddent impli. querai t (u, v) (~c, 1) ~ H.

R6ciproquement, supposons que pour tout u, v E 1) ~, (ux, v) =-- (uy, v) (mod. ~). Alors : H~(~c, 1) ~_ H~ ~ ( u , v)EH~ pour tout (u, v)E/ /~. Doric (u, v) (y, 1)E H~ et H~(y, 1) _~ H~ ce qui prouve P(x) ~_ P(y). De m~me P(y) ~ P(ac) et

~p = ( (x, y) E D X D : ~ u, v E D ~, (ux, v) ~ (uy, v) (mod. ~) }.

COaOLLAInE 1.25. -- Un demi-groupe D a une re~rdsentation co~nmutanie, fid~le si et seulement si il existe une famille dYquivale~ces rdguli~res ~ droile ¢~ ( iEI ) sur 1)~ X (I~) * aya~t chacune un iddal ?t droile H~ ne ~ontenant ~as (1, 1) comme classe, et telles que :

(u~c, v ) - - (uy , v) et (u, xv)=---(u, yv) (rood. ~) pour tout iE / , uE D ~, r E D ~ ~ x - ~ - y .

Cela r~snlte de la p~op0sition pr6c~dente et du corollaire 1.10.

Une autre forme du corollaire pr6c~dent utilise la notion de produit sons-di rec t ([i] , p. 91, 92; th. 9). Un demi-groupe est dit con~mutont cycliq~4e s'il admet une representat ion commutante, cyclique, fiddle. II est dit bi tra~si l i f s'il admet une re~rdsentation co~nula~de, syn~dlri~ue, bilransiliz'e, fid~le.


66 C~. LALLEMENT: Demi-groupes rdgutiers

COROLLAIRE 1.26. -- a) Un demi-groupe a une reprdsentation commutante, fid~le si et seulement si il est isomorphe ~ un produit sous-direct de demi- groupes commutants cycliques.

b) Un demi-groupe a une reprdsentation symdtrique, fid~le si et seulement si il est isomorphe & un produit sous-direct de demi-groupes bitransitifs.

D]~[ONSTRATIO~N" - N o u s d~montrons b) [pour a) la d~monstration est analogue]. Si D a une representat ion commutante, sym6trique, fiddle (I), ~P est somme de representat ions commutantes, sym6triques, bitransitives ~ (prop. 1.16) 8+ ~ N S+ i e s t l'+galit~. D'apr~s le th~or~me 9 de [1], D est isomorphe

h u n produit sous-d i rec t des demi-groupes D/~+i~ D. La representat ion eommutante, svmdtrique, bitransitive (I)~ est dquivalente ~ une representat ion d~finie par une ~quivalence ~ sur D~X (D:) *. Les propri~t(~s de ~ (cf. prop. 1.13; la symStrie s 'exprime de fagon dvidente) se conservent par passage au

quotient et permettent de ddfinir sur D~ X (])~)* une ~quivalenee ~i, fournissant une representat ion commutante, sym(~trique, bitransitive, fiddle, d'apr~s l 'expression de 8% iudiqu6e /~ la proposition 1~24.

Inversement , si D est un produit sous-di ree t de demi-groupes bitransitifs, il existe une famille de congruences 8~ sur D, telles que N 8~ soit l'~galit~

et telles que D/8, air une representat ion ~ commutante, sym6trique, bitransitive, fiddle sur ~ . On pose ~ ~ ~ ~ (les ~2, sont supposes disjoints sinon

on se ram~ne /~ ce eas en remplacant les q), par des representations ~quiva-

lentes), puis on d~finit Pa(x) par (~, ~)+Pa(x)¢=~(o:, ~)~ (~i X ~2~) (3 P~(x~) off x~ d~signe la elasse de x modulo 8~; Qa(x) est d~fini de la m~me fa¢on. On obtient une representat ion (P, Q)a commutante, sym~trique, fiddle.

En ce qui coneerne le noyau d 'une representat ion commutante, syme~trique, bitrans'itive on a:

P~aoPos~+~o~ 1.27. - Toute reprdsentation commutanle, symdtrique, bitransitive, ~P ~ (P, Q)a d'un demi-groupe D, a m~me noyau que la reprdsentation par des matrices monomiales (M+, M'¢), qui lui est assoeide (cf. thSor~me 1.19).

DI~O~S~R~TIO~. - Si P ( x ) ~ P(y), on a m~(~c)~ m)~(y) car H ~ P ( x ) : H~c:V H~P(y) --~//1 e et dans le eas ~ off on a effeet ivement H~P(x~) -~- H ~ ,

yq)~q, d~fini eomme restr ict ion h H de Fapplic~tion ~-->~P(q)~xq'e)-~ ~P(q)~yq'~),

coincide avee Yq~,W~" Done M e ( x ) : Me(y).

Inversement , supposons M~(x) ~ My(y) et soit (~, ~) ~ P(x); d'apr~s le lemme de GI~]~EI¢ (1.17), ~--> ~P(x) d6finit une bijection de :¢~Q sur ~Q. Si a ~ Ha et

~ H~, alors~H~P(x)= H~ e et m~.~(x): ,[q~q,. I1 en ' r6sul te (m~,~(x)----m~.~(y)):

~'q~q, = yq~uq, e. Pour tout ~ ~ H---- Hz~, o:P(qzxq'~) ---- :¢P(q~,yq'~) ~ H. Done pour

tout a~z~B~z, ~P(x)~--a~zP(y), ear P(qz) et P(q'~) d6finissent des bijections.


Enfin, en prenant a~)EH~), et i~ED de sorte que o:----~)Q(u), on a : o:P(x) : ~ .O(u)P(x . ) : ~:~.P(x)Q(u) : ~ . P(y)Q(u) : a~. Q(u)P(y) : ~P(y) : ~ ; donc P(~)~--P(y). Le noyau de P co~'aeide avec celui de M+, d'otl la proposition.

~Un demi-groupe est dit transi t i f ~ droile [h gauche], si et seulement si il admet une representat ion [anti-representat ion] transitive, fiddle.

Nous appelons demi-groupe restreint de couples de matrices, un demi - groupe S form~ de couples (M, M') o~i M est une matrice h lignes monomiales sur un groupe avee z~ro G o , de format AXA~ M' une matrice h colonnes monomiales sur uu groupe avec zOro ant i - isomorphe an precedent, de format I X I, et telle que toute entree de M ou de M' puisse Otre remplie arbitrairement (pour tout g~ G, il existe uu couple (M, M')~ S tel que M air g en position k, ~t, et pour tout g'~ G', il existe un couple (M, 2d')~S tel que M' ait g' en position i, j).

PaoPosI~ON 1.28. - I1 y a dquivalence entre: a) D est un demi-groupe bitransitif ;

b) D est transit i f &. droite ou h gauche, ou est isomorphe ~ un produit sous-direct d'un demi-groupe transit i f & droite et d'un demi-groupe lransil i f d gauche ;

c) II existe une d~uivalence de transitivild ~ droite ~ et une dguivalence de transitivitd ~ gauche )~ (~) sur D ~, telles que (ua, ub)~ ,~ et (av, bv)~ ~ pour tout u, v ~ D ~, implique a ~ b;

d) D est un isomorphe ~ un demi-groupe restreint de couples de matrices monomiales.

DE~OI, tS~RA~IO~. - a ) ~ b ) : r~sulte du th~or~me 1.22.

b) ~ c ) : D a uue representat ion et une ant i - representa t ion transit ive ~quivalentes h des repr5sentations d6finies par P~ et Q). (eorollaire 1.14). La conoTuence ~ep (~ ~e~ est l'~galit~ sur D, d'ofi c).

c) ~ a ) : r6sulte du eorollaire 1.23 et du fait que D a une representat ion oommutante, sym6trique, bitransit ive ¢ = (P, Q)a off P est somme de representations ~quivalentes ~ Pe,, Q somme d 'ant i - repr~sentat ions ~quivalentes h Q). (theior~me 1.22): ~+ = ~% A 8eo qui est l'4galit~ done D est bitransitif . Los cas off D est transit if i~ droite ou ~ gauche s 'obtiennent trivialement.

a) ¢=> d) : l ' implication a) ~ d) r~sulte de la proposition 1.27. Pour (~tablir d) ~ a), il suf[it de montrer qu 'un demi-groupe T de matrices i~ lignes monomiales (format A X:A) sur un groupe avec z~ro G °, et dont les lignes peuvent 6tre

(ii) L'une des 6qui~alonees ,~ ou X peat ne pus exister. Si c'est ~,, ~ vSrifie: (ua, ub)~ p pour tout u~D~ ~ a : b .

68 G. LALLEMENT: Demi-groupes r3guliers

remplies arbitrairement, est transit if ~ droite. Soit H le support de G, Hx (~.EA)

uae famille d 'ensembles disjoints en bijection b~. avec H(H~b-~H). Posons f~ ---= U Hz. A tout m E T, m ~-- (gz~ avec gz~. E G U t0} on assoeie P(m) d~fini par

XEA

(~, ~)E P ( m ) ~ E//~, ~E//~, g~,~ 4 = 0 et (~bz)gz~-= ~b~.

P(m) est une transformation sur ~ : si (~, ~)E P(m) et (~, ~')E P(m) alors ~ et ~'EHe (lignes monomiales) et ( ~ b ~ ) g z e ~ b e ~ ' b ~ d'ofi ~ ' . P d~finit une representat ion :

(~, ~) E P(m~') ¢* ~ E//~, ~ E//.~ et (~¢, ~) E b~.gx~(b~) -~ et

g~ .-~ g~g~ e* ~ E H~ , "( E H~ , ~ E tt~ , (~, T) E b~.g~,~(b~) -~ et

(~, ~) E b~g~.(b~) -~ ¢=~ (~, ~) E P(m)P(m').

Cette representat ion est t ransi t ive: si a, ~E ~ avec ~EH~ et ~E H e alors ¢ ¢ b z ~ c ' E H et ~ b e ~ ' E H ; il existe gEG tel que ~'g---=~' et il existe une m~trice mE T~ telle que m ~ e : g . D'apr/~s la d~finition de P, ~P(m)---~. Enfin P e s t fiddle: supposons P(~n)~ P(m'); pour tout "( E H e t pour tout )~, ~ E h tels que g ~ @ 0 : Tg~.e---~ E H; en prenant a, ~ E f~ tels que o~bT-=-y et ~be=-~ on a : (% ~) E P(m) ~ P(m') ; il en r~sulte f f~ ~ O et 7~% ---- ~ ; done g'~.~ ~-=~g~t~"

Les matrices m et m' out les m~mes entr~es non nulles ~t la m~me place: m ~ m ' .

C~APITRE iI.

T r a n s l a t i o n s p a r t i e l l e s - B e p r ~ s e n t a t i o n ~ c a n o n i q u e

d e s d e m i - g r o u p e s r ~ g u l i e r s - P r o b l ~ m e s d e s t r u c t u r e .

1. - Translations partielles.

Soit D u n demi-groupe quelconque et soit 0 une relation binaire sur D. On d4finit une application de D dans le demi-groupe c~ D des transformations sur D, en posant pour tout a~ED

~ 0 ( x ) ~ { ( a , b ) E D X D : a a ~ b et (a, b) EO}.

On constate imm~diatement que y0 d~finit une representat ion de D si et seulement si 0 v~rifie la condition

(T~) pour tout a, b, cED: (a, abo)EO ¢=~(a, ab)E0 et (ab, abv)E0.

On d~finit de la m~me fa~on une transformation ~.~(a~) associ~e h une relation binaire W sur D : ~ , ( x ) ~ { ( a , b ) E D X D : a ~ a ~ b et (a,b) EW}. L'ap-

G, LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers 69

plication kv de D dans ~D est une an t i - represen ta t ion si et seulement si W v4rifie la condition

(T,) p o u r tout a, b, e ~ D : (a, cba) ~ W ca (a, ba) ~ W e t (ba, cba) ~ W.

D~F~NI~IO~ 2.1. -- On appelle t rans la t ion part iel le ~t droite ddfinie par 0 sur D, la t rans fo rma t ion ~o(X~) de D ddfinie p a r : a~o(X~)-~ ax ¢::>(a, a~c)E 0 oi~ 0 vdrifie la condit ion (Tr). De m~me une t rans la t ion part ie l le & gauche ddfinie p a r W, est la t rans fo rma t ion ~v(x~) de D, telte que a k r ( x ) ~ xa ca(a, x a ) E W , oit W vdrifie la condi t ion (T,).

Soit ~ d~finie par : (a, b)~ ~ ca il existe u~ D tel que a u - ~ b . Pour toute relation binaire 0 eontenant ~ la condition (Tr) est remplie d 'off ice: les translations part iel les correspondantes co~nci~tent alors aveo les translations i~ droite p(x) partout d4finies sur D. En posant 0'----0 N ~ on a p0(x)= ~0,(x) pour tout ~ D ; en effet, si (a~, a~)~o(x), a~w--~ a~ et (a~, a~)~ 0 d'ofi (a~, a~)~ ~0.(x) et si (a~, a~)~ p0'(w) on a aussi (a~, a~)~ ,~0~,x) p u i s q u e 0 ' ~ 0. Pour des relations 0 ~ ~ l 'application 0----> p0 est donc iujective. Indiquons quelques propri~t~s ~l~meataires des translations par t ie l les :

PRoPaga tes 2.2. - a) Si la repr(~sentation ~0 est fid~le, il en est de m~me de ~o', pour 0' ~ 0.

Ea effet ~o'(w) = ~o'(Y) =:> po(x) ~-- Po(Y) ~ x ~- y. (Plus g~n~ralement si 0 ~ 0', le noyau de ~o' est contenu duns celui de ~0). Ii en r~sulte que si /9 a u n e repr6sentat ion fidble par des translations partielles i~ droite, il est r6duetif i~ gauche : x a = x~b pour tout x ~ D ~ a = b.

b) Une t ransformation partielle w sur un ensemble ~2 est dire injective st: a x - - - - ~ x - - - - - ' ~ : ¢ = ~ pour a, ~, y ~ . Si D a u n e repr6sentat ion P0 par des translations part iel les /~ droite injectives, alors pour 0 ' C 0, ~ . est une repr6sentat ion par translat ions partielles in jec t ives : en effet,

a~o,(~) = bpo,(~) = c ~ a~o(x) -= b~o(x) = c ~ a = b.

c) La relation de ~ransitivit(i de la representat ion ,o0 est 0 A ~ . Done ~0 est t ransi t ive si et seulement si 0 N ] R e s t la relation universelle, c 'est-~t- dire si D est simple ~ droite et si ~o(x) est la translat ion partout d~finie.

d) Supposons que 0 soit une relation r~iflexive. La representat ion ~0 est sym4trique si et seulement si ~0(x)-----~(x) pour tout x ~ D, ~ d~signant l '~quivalence de GREEN. En effet, si a~o(x)--~ b, il existe y tel que bpo(y)~--a d'ofi (a,b) E ~ et a~(x)-----b; inversement, si ap~(w)~--b, il existe y E D tel que b y = a . Oomme a = a x y et 0 est reflexive, (T~) implique (a, b)E 6 d'ofi ap0(~v)-----b. On d~duit de ce r4sultat q u e s i D a une representat ion p0 et une an t i - represen ta t ion ),v, sym~triques et d~finies par des relations 0, tF r~fle-


xives, la repr6sentation complete (~o,)~v) qui coYncide alors avec ( ~ , ) , 2 ) est commutante : cela r6sulte imm6diatement du fair que ~ et £ commutent.

e) En ce qui concerne les translations partielles d4finies par une 6qui- valence, nous avons:

PROPOgrT~O~ 2.3. - Si 0 est une relation d'dquivalence, les propridtds suivantes sont dquivalentes :

a) ~o est une reprdsentation (a~o(x)= b ¢:~ax----b et (a, b)6 0);

b) 0 vdrifie: (a, abe)~ O ~ ( a , ab) 60 pour tout a, b, e~ D;

c) Chaque O-classe est de la forme R \ R' oit R et R' sont des iddaux~ ~ droite de D, R' pouvant ~tre vide;

d) ~ esl somme de reprdsentations ~ × ~ i oi~ A~ parcourt l'ensemble des O-classes.

DEmOnSTraTiOn. -- a ) ~ b ) est ~vident. b ) ~ c ) : ea offer chaque 0-classe A v4rif ie: a ~ A et a b c ~ A ~ a b ~ A . Posons alors R - ~ A U A D et R ' ~ ----{z; z ~ A D \ A } . Si R' n'est pas vide, c'est un ideal ~ droi te: pour tout z~R' , z ~ a x avec a ~ A et pour tout d ~ D, z d - - - - a x d 6 A D \ A (zd~.A sinon a x d ~ A et a ~ A impliquer~ient a x : z ~ A , ce qui n'est pas). Enfin A ~ - R \ R ' : on a A ~ _ R \ R ' et si b ~ R \ R ' , b 6 A (sinon: b 6 R ~ b ~ A D ~ b 6 R ' , ce qui contredit b~ R \ R').

c )~ d) est 4vident. d)~a) r4sulte du fair qu 'un complexe A d~finit des translations partielles h droite ~×~(x) si et seulement si A - ~ R \ R ' o~ R et R' soar des id~aux h droite de D (R' est 4ventuellement vide). Les translations partieIles ~×~(x) sont alors des transformations sur le complexe A (~:).

2. - Reprdsentation canonique des demi-groupes r4guliers.

TKI~OR~ME 2.4. -- Tout demi-groupe rdgulier D a une reprdsentation com- +n~dante, symdlrique, fid~le, par des translations partietles sur lui-m~me.

D]~MONSTRATIO1% -- D'apr~s les propri4t~s 2.2 b), il suffit de montrer que l 'application x----> [?~(x), ),2(~)] de D dane ~D X ~ $ est uae injection. Sup-

posons done que g ~ ( x ) = o~(y) et )~£(~)----k£(y). Soit x' un inverse de ~c;

comme xx'x--~x et ( xx ' , x )6~ . on en d~duit (xx',x)6?~(x). 11 en r~sulte

(~) Darts [ t6], LJAPI~ a montr4 qae si un demi -g roupe D admet une repr4senta t ion Pr~+ il est possible de p longer D darts un d e m i - g r o u p e D' de sorte que L~ soit 4quivulente

une repr4sentat ion de D par des t ranslat ions par t ie l les sur D' du t3:pe ,%×A~ off A est un

complexe de D' diff4rence d'id4at~x "~ droite. Le r4sultat de LJAPIbl s '4tend aux representa- t ions completes+


xx'y ~ x, c'est-~t-dire x E Dy. En ddsignant de m~me par y' un inverse de y, on obtient yy'x---~y, c ' e s t -h -d i re y E Dx. Done ~ ( x ) ~ g~(y) implique (x, y)E £. De mSme )~£(x)~ ),£(y) implique (x, y )E~ . En particulier~ y E x D ~ - x w ' D , done

xx'y ~ y. Comme xw'y ~ x, x ~ y.

Ce th6orbme ne caract6rise pas les demi-groupes rdguliers, comme le montre le con t re -exemple suivant. Soit D u n demi-groupe simple i~ droite, simplifiable h droite, sans idempotents (~a), et r6ductif h gauche. Dans un tel demi-groupe , l 'dquivalence ~ est l '~quivalence universelle; la representat ion ~ est donc la reprdsentat ion de D par des translations h droi te; D 6rant

r6ductif t~ gauche p~ est fidble, donc aussi (p~, "~£). Un exemple concret d 'un tel demi-groupe est fourni par le demi-groupe $1v de toutes les injections x de l 'ensemble N des entiers naturels dans lui-m~me, telles que /V-- Nx soit d6nombrable. On salt (~4) qu 'un tel demi-groupe est simple h droite, s impl i - fiable h droite et sans idempotent. I1 est aussi rdductif ~ gauche: si x a : x b pour tout xE~N et si : c a = ~ avec :¢E/V, ou bien a est pair et Fapplication

xo" ~ ---> 2~(~ E N) est dans ~zr : xoa ~ xob entraine 2 xoa -~- -~

ou bien a est impair et t 'application x ~ : ~ - - > 2 ~ + 1 est dans ~ N : x ~ a = x ~ b a - - 1 ~ - - 1

entra ine ~ x~a- - 2 ~c~b= ~, d'ofi o~b=~. On en dfiduit a = b .

COROL~AInE 2.5 [23]. -- La somme direcle (~) des representations et des anti-reprdsentatio~s de Schi'ffzenberger ddfinies par les diverses ~-classes d'un demi-groupe rdgulier est fiddle.

Ce corollaire r6sulte du thOorbme 2.4, des propri6t6s 1.16 et 1.27.

COROLLAIRE 2.6. -- Tout demi-groupe rdgulier et isomorphe ~ un produit sous-direet de demi-groupes rdguliers bitra~silifs et ~ un produit sous-direct de demi-groul~es rdguliers tra~silifs ~ droite et & gauche.

Cela rOsulte du th6orbme 2.5, des propositions 1.16 et 1.28.

Dans la suite la repr6sentation compl6te (p~, ) ,£) sera dire reprdsentation canonique. Dans cette reprOsentation le sous -demi -g roupe de ~D X ~ 3 image de D r6gulier est form6 de transformations partielles poss~dant des propri6t6s

(t3) eta(t4) V o i r '~ ce propos, les rdsultais de M. TEISSIEI~, C.t~. Acad. Sc. Par i s 236 (1953), p. 1120.1122 et 237 (1953), p. 1375.1377.

(t5) Si x.-->Mi(x ) ( i~I) est une famil le de reprdsenta t ions &un ,demi-groupe D l oar des matr ices sur un ' grou]pe avee zdro, la somme direcle des M i e s t la reprdsenta t ien ~c--->[Mi(x)] de D dans le produi t eari~sien des demi-groul3es Mi(D) (of. [2], p. 117).


d'injeetivit~ partielle qui s 'expriment par :

a),£(x) - - b),£(x) = o

et (a,b) Ez~.£~a--- -b;

et (a,b) E ~ a - - - - - b .

(z~£ et %~ sont les relations de transitivit~ de ~£ et ~ : elles coincident ici

avee ~ et ~). Ces propri4t~s sont valables pour toute repr(isentation commutante, sym4-

trique, et r~sultent imm~diatement du Iemme de G~]~v.~ (1.17). Les th~or~mes suivants earact~risent des demi-groupes r~guliers par des propri4t~s de leur repr4sentation canonique :

TIn, onlinE 2.7. - Uu demi-groupe r4gulier est inverse si et seulement si sa reprdsentation canonique est une reprdsentation par des transformations partielles injectives. Dans ce cas ~ et ~£ sont fid~les [23].

D]~O~STn~T~O~. -- a) Soit D u n demi-groupe inverse. Si a ~ ( x ) = b ~ ( ~ ) = c ,

(ax, a ) E ~ implique (ax) ( a ~ ) - ~ a = a . Or dans un demi-groupe inverse (ax) -~ ~ x-~a -~. Done :

a ~ axx-la-la ~ aa-laxp~ -~ ~ a ~ 6 ~ - ~

(a- la et x~ -1 sont des idempotents qui commutent).

On d4montrerai t de m~me qne (b~c, b)E ~ impliqne b = b x x -~. Comme ax=bx-----c, on ~: c x - l : a x x - ~ - b x x -~, c ' e s t -~ -d i r e a = b. De m~me ~£(x) est injecfive pour tout x E D.

Pour (~tablir que ~ est une repr~isentation fiddle, supposons que

~ ( x ) = ~ ( y ) . Comme darts la d4monstrat iondu th~or~me 2.4, on obtient: xx-ly---x

et yy-~ ~- y, d'ofi y),£(xx -~) ~ x ~-- x),£(xx-~). ~'Iais ~ ( x x -~) est une injection done x----y. On d~montre de m~me que ),£ est fiddle.

b) Soit D u n demi-groupe r~gulier dont la representat ion canonique s 'eifectue par des injections. Chaque ~ - e l a s s e de D contient un idempotent unique. En effet, si e, f sont deux idempotents 4quivalents, eEfD implique fe--~e. Done (f, e)Ep~(e). Pa r ail leurs (e, e ) E ~ ( e ) ; d'ofi e = f . De m~me

chaque ~-c lasse de D contient un seul idempotent. I1 en r~sulte que D est un dcmi-groupe inverse.

I1 ressort de la d~monstration pr~c~dente, que pour un demi-groupe inverse ~ ( x ) est une transformation dont ]a premiere projection est Dxx -~

et la seconde Dx : en effet, si (a, c)E ~ ( x ) , a ~ axx -~ E Dxx -~ et c ~- axE Dx.

G. LALLEMENT: Demi-groupes rdguIiers 73

Donc p~(x) est une application de D x x - l ~ Dx -1 sur Dx. I1 peut arr iver que pour tou t x ED (D suppos~ r~gulier) la premiere projection de ~ ( x ) ou de

)~£(~) soit D tout entier, c ' e s t -h -d i r e que ,~(x) soil une translation interne sur D.

PROPOSlTIO~ 2.8. - Soit D un dem~-groupe rdgulier et ( ~ , ).£) sa reprdsentation canonique. II y a dquivalence entre:

a) ~ (w) est la translation interne ~ droite ~(x) pour tout x E D ;

b) ~.£(x) est la translation interne & gauche ~(~) pour tout ~E D;

c) D est compl~tement s imple.

DI~MONSTRATION. -- a ) ~ c). Si D n'est pas r~duit ~ z~ro, D est sans z~ro: sinon pour a ~ 0, a . 0 : 0 implique (a, 0)E~(0)~ ~(0) , d'otl a : 0 ce qui est

une contradiction. Soient e, f deux idempotents de D tels que ef~fe-----e. Comme fe ---- e, (f, e) E ~(e)..II en rdsulte (f, e) E ~(e) , d'oit (f, e) E ~ et f ~- ef ~ e. D est r~gulier, sans z~ro, et tous s e s idempotents sont pr imit i fs : il est doric compl~tement simple ([2], ex. 11, p. 84).

c ) ~ a ) . Si D est compl~tement silnp]e a x - ~ b implique (a, b)E~: c 'es t dvident lorsqu'on repr~sente D comme demi-groupe de matrices de REEs.

Une caract~risation analogue des demi-groupes compl~tement 0-s imples n~cessite l ' introduction de translations partielles d~finies s i r le complexe D - - ( 0 ) (el. d~monstration de la prop. 2.3, d ) ~ a)). Nous notons D - (0) par Do; ~Do(X) d~signe la translation partiel le d~finie par

(a, b) E ~Do(X) ¢2z ax ~- b avec a ~ 0, b =~ 0 ; ~o(x) est la translation d~finie par 0x-----0 et on d~finit sym~triquelnent ),Do(x) et )~o(X).

T~I~OR~E 2.9. -- Soit D u n demi-groupe rdgulier avec zdro et non rdduit (~ zdro ; soit ( ~ , ) . £ ) sa reprdsentalion canonique. ]l y a dquivalence entre:

a) ~(~)----- ~Do(X) U ~o(~') pour tout x E D;

b) ~£(~) ~ ~Do(X) 0 ~o(X) pour tout xE D ;

c) tout idempotent de D est pr imi t i f ( e=e ~, f = f ~ , e f=fe- - - - -e~:O~e=f) .

d) D est somme orthogonale de demi-groupes compl~tement O-staples (~).

D~iol~sel~A~,io~. - a) ~ ~). Supposons ef ~ ICe ~ 0 ; (e, el) E ~Do(f) doric (e, ef)Ep~(f) . Comme e f e s t un idempotent ( e f . e f = e . e f = e f ) , il r6sulte de

(e, ef) E ~ : e = ere m_ ef ~ re. Sym~triquement f ~ fe .= ef. D'ofl e = f.

(l~) D~-~-U Si o?a les demi-groupes St sont compl~tement 0-simples

• S i N S j : ( O ) et S i . S j = ( O ) pour i=~-j. (cf, [6']),

et v~rifient

Annali di Matematica 1o

74 G. LALLEMENT: Demi-groupes rdgutiers

c ) ~ d). Sur D - (0) posons : (a, b)~ c-~¢::>aDb # 0. La relation c,z est rdfiexive ca:' D est r6gulier, sym6trique: si axb:#=O, il existe y tel que axbyaxb=axb#O. Pour montrer la transitivit6 notons que si e, f et g sont des idempotents tels que el:#= 0 et fg :# O. alors efg ~ 0 ; en effet, si (el)' est un inverse de el, f(ef)'e est un idempotent k non nul ; comme / ' k - -~k#O, on a kf:@O (sinon kfk = k serait nul). L'616ment kf est un idempotent (kf . k f = k(fk)f ~ kf) tel que k f . f ~ - - f . k f # O ; il en r~sutte kf--~f. Mats f g # O implique kfg~---kefg#O. Done efg ~ O. Supposons maintenant axb ~ 0 et byc ~ O. En notant par z' l ' inverse d 'un dl~ment z: [(ax) 'ax]bb'~O et bb'[(byc)(bye)']~O d'ofi (ax~)'axbb'(byc)(byc)' -~ (ax)'axbyc(byc)' ~ 0 et axbyc :~ O. Si A~ est une elasse de ~-,~, A~U(0) est un sous -demi -g roupe Di: en effet, si aEA~ et bEA~, ou bien a b : O , ou bien a b ~ O et aa 'ab~O implique abEAm. De plus D~ est r~gulier: si aSA~, a'aa'a~---a'a~O donc a'EA~. Dans D~, pour deux idempotents e, fEAi , eD~f~O; en effct, il existe zED tel que e x f ~ O , e x x / x ~ O done xEA~. Pour i ~ j on a D~.Dj:(O) car si a ~ . b ~ O pour a~EA~ et biEAi, a~bib' i b] ~ 0 implique (a~, b])E ~ c ' e s t -h -d i r e i : j ee qui est une contradiction. Chaque D~ est un demi-groupe compl~tement 0-s imple ([2], ex. 11, p. 84). Done D est somme orthogonale de demi-groupes compli~tement 0-simples.

d) ~ a ) . Pour ~out xED, Sg~(x) ~ ~So(Z) U ~c(x). Inversement , si (a, b)Ep~(x), a = b ~ O done (a,b)Epg~(x) et si (a, b)E~Do(X), a x : b avee a ~ O et b ~ 0 . On a:

axb'b~b:4=O, ax~ '~-=b~O, done a, x, bE D~ e~ dans D~, a ' x ~ b ~ O implique

(a, b) E g~ d'ot~ (a, b) E ~ ( x ) .

COnOLLAInE 2.10. -- Soit D un demi-groupe rdgulier avee zdro, non rdduit

zdro el soit (p~, k£) sa reprdsentation canonique, ll y a dquivalence entre:

a) p~(X~)~-~Do(X)U~o(X) et pour tout x, yE D x~O, y~O ~ ( x ) . ) ~ £ ( x ) ~ 0 ;

b) )~£(x)~Do(X)U).o(x) el pour tout x, yE D x~O, y~O ~ ~ ( x ) . ~ ( ~ ) : ~ 0 ;

c) D est compl~tement O-simple.

En effet la condition ~ ( x ) . ) . £ ( y ) ~ 0 pour tout x @ 0, y ~ 0 signifie que

la somme orthogonale du th~or~me 2.9 n'a qu 'un composant.

L'uti l isation de la representat ion ( ~ , ~ ) oil ~(x)~---~t~(x)(-1 (Do X Do) et

).~(x) ~-),£(x) N (Do X Do) permet de caractSriser les demi-groupes r~guliers

0-bisimples de la facon suivante :

COROLLA~RE 2.11. -- Soit D u n demi-groupe rdgulier avec zdro, non rdduit

zdro, et soit (po , ~o£) la restriction de sa reprdsenlation cano~ique ~t Do--D--(0).

D est O-bisimple si el seulement si (~ , ) ' 2 ) est une reprdsentation bilransitive.

G. LALLEMENT: Dend-groupes rdguIiers 75

Cela r~sulte imm~dia tement de la ddfini t ion des demi -g roupes 0-b is imples (une seuie ~)-classe de GREEN autre que 0). 0u en d~duit que tout d e m i - groupe r~gulier 0 -b i s imple est i somorphe h~ an d e m i - g r o u p e (r4gulier) res t re int de couples de matr ices monomiales (cf. preposi t ion 1.28).

3 . - I )emi-groupes rdgul iers p rodui t s sous-d i rec ts de demi -g roupes complb tement 0 -s imples .

Le corollaire 2.6 du paragraphe pr6c6dent met en 6vidence deux types de problbmes sur les demi -g roupes r6guliers :

1) S t ruc ture de demi -g roupes r6guliers bitransitifs, Ou transit ifs d 'un c5t6;

2) S t ruc ture de produi ts sous-d i rec t s de demi -g roupes r6guliers bitransit ifs .

En ce qui concerne 1), un objectif imm6diat parait ~tre la s t ructure des d e m i - g r o u p e s r6guliers 0 -b i s imples (cf. corollaire 2.11). Ce problbme n~est pas abord6 dans ce travail. A propos de 2), il n~est pas 6vident h priori que tout d e m i - g r o u p e r6gulier (satisfaisant 6ventuel lement des condit ions de fini-

t u d e ) ne soit pas produi t sous -d i rec t de demi -g roupes r6guliers 0-bis imples . L ' exemple suivaut prouve le contraire. Soit D l a bande dont la table est Ia suivante :

b

G

d

f

a b c d e f

a 6t o~ (~ (~ a

a b a a a a

a a C C C v

a c d c f

(~ 6~ e e e e

a a f f f f

a) Soit L ~ { c, e, ff une ~-e lasse de D. Les t ransla t ions par t ie l les h gauche associ~es )~L(X) sont: )~L(a)~0; ),L(b)~---0; (0 repr~sente la t ransformat ion vide)

)~L(C)= C ; ),L(d)~--

C e

Dans le d e m i - g r o u p e quot ient de D par le noyau de )~z, (c'est le quot ient de REES D/(a, b) de D par l 'id~al bilat~re (a, b)) la representa t ion )~L est une


reprdsenta t ion fiddle et transitive. Or les ~ - c l a s s e s de GREEI, Z de D/(a, b) sent {a}, It, e, f} , {d l. Ceci nous donne un exemple de d emi -g ro u p e r~gulier t ransi t i f /~ gauche et non O-bisimple.

b) Par ai l leurs D n'est pas produi t sous-d i rec t de d emi -g ro u p e r6guliers O-simples (c 'est-~t-dire ici comptbtement O-simples pu i squ ' i l s 'agi t d ' u n d e m i -g roupe fini). En effet, les congruences ?i telles que D/~ soit compl~- tement O-simple sen t : ~1 de classes In, b, c, e, f} , {d}; e~ de classes { a, d, c, e, f} , { b } ; ~8 de classes { a, b }, { e, d, f }, { e } et ,o~ de classes { a, b }, (c, d, e, f} (i7). Le congruence intersect ion des ~ (i ~ 1, 2, 3, 4) a pour classes In}, tb}, I t , f} , td} , {e}, ce qui prouve que D n'est pus produi t sous-d i rec t de demi -g roupes compl~tement 0-s imples .

Duns l 'opt ique de 2) ci -dessus , nous ~tudions main tenau t les d e m i - g r o u p e s r~guliers produi ts sous-d i ree t s de demi -g roupes compl~tement 0-s imples .

Soit D un d e m i - g r o u p e et soit 3(ct)~DlaD ~ l 'id~al bilatibre engendr~ par a E D. On note I(a) l 'ensemble des ~l~ments de J(a) qui ne sent pus g~n~rateurs de J(a). Ou bien I(a) est vide, ou bien I(a) est un ideal bilat~re de D, done aussi de J(a). Le quot ient de REES J(a)/I(a) est appel5 un facteur pr incipal de D. Ea g~n~ral, c'est un d e m i - g r o u p e simple, 0 - s imple on de carr~ nul. Lorsque D est r~gulier, tout fucteur pr incipal est 0-s imple , ou simple (autre- ment dit D est semi-simple) . Pa rmi les d e m i - g r o u p e s r~guliers, ceux dent les fucteurs p r inc ipaux sent tous complbtement 0 - s imples ou compl~tement simples, sent dits compl~tement semi - s imples [10]. Des exemples de tels demi -g roupes sent les demi -g roupes rdguliers compacts, le d e m i - g r o u p e mul- t ipt icat if des endomorphismes d 'un espace veetoriel de d imension finie, etc...

Soit D[D'] un dem i -g roup e avec z~ro not~ 0[0']: Une appl ica t ion ~ de D - - ( 0 ) duns D ' ~ (0') est appel~e un homomorph isme part iel de D- - (0 ) dans D- - (0 ' ) si et seulement si pour tout a, b E D : a b ~ 0 ~ ( a ) . c p ( b ) . = 4 = 0 ' et ~(a). ~(b)-~ v(ab). Lorsque D et D' sent des demi -g roupes compl~tement 0 - s imples pris sous forme matricielle, le th~orbme 3.14 de [2], donne tous les homomorph i smes part iels de D - (0) duns D ' - - ( i f ) .

Le th6orbme g~n~ral concernant les demi -g roupes r~guliers p~oduits sous-d i rec ts de demi -g roupes compl~tement 0 - s imples est Ie suivant (nous herons J,~ la ~ -c lasse de GREEN de w):

Tg~O~M]~ 2.12. - Urt demi-groupe rdgulier est produit sous-direct de demi-groupes compl~lement O-simples si st seulemenl si :

1) D est compl~tement semi-simple;

(17) Ces congruences ont 6td obtenues en dgterminant les iddaux matriciels de D et les dgoompositions matriclelles correspondantes (cf. th6or~me 4.15). l~otons que D est de radical matriciel (intersection des id(~aux matriciels [6~]) hal.

G . oLALLEMENT: Demi-groupes r~guliers 77

2) pour tout a, b E D tels que J(b) c J(a), ou bien pour tout x E J ( a ) \ I ( a ) ( ~ Ja), xJ(b)x, ~ I(b), ou bier~ it existe un homomorphis~ne partiel ~ de J ( a ) \ l ( a ) ( ~ Ja) dans J(b)\I(b) ( ~ J~) vdrifiant la condition:

(C) ~ x E J ~ , ~ y E J ~ : x y E J ~ [resp. yx~EJ~]~xy~c~(~c)y [resp y x ~ y ~ ( x ) ] .

La d~monstration repose sur 4 lemmes (2.13 i~ 2.16).

LE~ME 2 . 1 3 . - Un demi-groupe rdgulier D est produit sous-direct de deJni-groupes eo~pl~tement O-simples si et seulement si :

a) pour toute ~-c lasse R et po~tr tout xE D, Rx (5 R e s t vide ou est contenu darts une ~-classe ;

b) pour route ~-classe L et pour tout x,E D, xL (5 L est vide ou est contenu dans une ~-classe.

(Signalons au passage que pour un demi-groupe inverse a) et b) sont (tquivalents; eelh r~sulte du fair que (a, b ) E ~ c : ~ ( a -~, b-~)E ~).

DEMOnStRAtIOn. -- l) Supposons que D soit produit sous-d i rec t de d e m i - groupes compl~tement 0-s imples D~. D est isomorphe a u n sous -demi -g roupe S du produit cart(isien 1I Di, tel que chaque x iEDi apparaisse comme i e

composante d 'un ~l~ment au moins de S (el. [1], p. 91). Pour a, bES, (a, b ) E ~ si et seulement s ia- - - - (a~)= (bi)(u~) et b-~(b~)~(ai)(v~) pour certains ~l~ments (ui) et (v~)ES (cela r~sulte du fait que D, done S, est r~gulier). I1 en r~sulte que (a, b ) E ~ si et seulement si ou bien a~ et bi sont nuls en m6me temps, ou bien (al, b~)E~ darts D~: en effet, (a, b) E ~ implique (ai, b~)E d'apr~s ce qui pr~cbde; inversement s i a ~ (a~) et b-~--(b~) sont tels que pour tout iE / , (ai, b~)E~ dans D~ on a a~--b~b'~a~ et b~-----a~a'~b~, en prenant a'~ et b'i de fa~on que (a'i) et (b'~) soient inverses de a~ et b~ dans ~ ; d'o(~ (a, b) E ~ (~s).

Supposons R x (1 R ~ ~ pour une ~ - e l a s s e R de S. Pour a ~ (a~)E R on (a~x,, a~)E~ clans D~. Soi~ ~ E R~ (1 R ; z ~ bx ~ (b~) (xi) avec (b~)E R. On a:

a~x,~ ~ 0 ¢:vb~x~ ~ O, et darts le cas off a~ et b~ sont non nulls aixi =~ O, b~x~ =4= 0 et (a~, b~)E~ (daus D~) implique alors (a~i , bixi)E ~ (darts D~). I1 en r(isulte (ax, bx)E~, ce qui prouve que Rw (-1 R est dans une m~me ~-c lasse . On d~montrerai t de m~me ocL(-1L--~-O ou x, LCIL est contenu dans une :~-elasse.

2) Supposons a) et b) v~rifi~es. Soit ~R le noyau de la representat ion PR de D par des translations partielles d~finies ~ l 'aide de la relation R MR et soit ~L le noyau de l 'ant i - repr~sentat ion QL. Nous montrerons que D/~R est compl~tement 0 - s imple ; sym~triquement D/~L est aussi compl6tement 0 - s imple ; d'apr~s la proposition 2.3. d) et le corollaire 2.6, eela suffira pour

(ts) S y m ~ t r i q u e m e n t (a, b ) ~ dans S~ si et s e u l e m e n t si a i et b i sont nu l s en m~me t emps ou (ai, b~)6£ darts D i.


montrer que D est produit sous d i rec t de demi-groupes compl~tement 0-simples.

Tout d 'abord D / ~ est r~gul ier ~Iontrons que le z~ro de D/~R est premier (nous supposons que ce zdro existe; dans le cas contraire un demi-groupe compl~tement simple apparat t comme composant du produit sous-direct) . La classe z~ro de ~R est W ~ ( x E D ' P R ( x ) ~ O } ~ - ( x ; x E D ' R x N R ~ 0 l. Si x ~ W e t y~ lV . il existe a, b, c, d ER tels que a x - ~ b et cy-----d. Comme (b, d) E ~ , d -~- bb'd ~ axb'cy. I1 eu rdsulte xb'cy E W e t xDy ~ W. Montrons

maintenant que dans D/pR tout idempotent est primitif. Soieut e, f, deux

idempotents non nuls de D/pR tets que ef~-fe~---e=4=-0. D'apr~s la proposition

3.5 (chapitre III), il existe des idempotents e, f de D tels que eEe, f E f avec

e f ~ f e ~ e (rood. gR). De plus e ~ W et il existe ao, b0ER tels que aoe---bo. Nous montrerons que pour tout a, b E R : a e ~ b v = > a f - ~ b .

b' eb" Supposons ae~-b avec a e t b ER. Soit b" un inverse de b; posons ~ . On a bb'b --~ beb"b ~ bb"b -~ b (ear be -~ b) et b'bb' ----- eb"beb" -~ eb"bb" -~ eb" ~ b'. D'un autre c8t6: b'ae : 'b 'b . Mais b'a et b'bER off R' est une ~ - c l a s s e situ6e dans la m~me ~)-classe que R. Comme (e, ef)E ~R, de (b'a, b'b)EPR,;e) r6sulte b'aef-~b'b et b'afe--~b'b. De la dernibre 6galit6 on d6duit b'bE b'afD et comme b'afE b'D ~ b'bD on obtient b'a[~b'a~b'b ~ b'ae. D'aprbs l 'hypothbse faite sur les Q-c la s ses R'fV~ t~' ~ 0 implique R ' f N R' est duns une ~ - c l a s s e ; en partieulier, b ' a e f - - - b ' b E R ' f A R'. II en r6sulte (b'a[, b'b)E ~. Par ailleurs b'af . b ' a f ~ b'afeb'af-~ b'af (ear b'afe---- b'b). Chaque ~ - e l a s s e ne contenant qu 'un seul idempotent, iI vient b ' a f : b'b d'ofi bb 'a f= b et eomme bb'a ~ a on obtient f inalement a , f : b.

Supposons a[ -~ b avec a e t bER. On salt qu'il existe a0, b0E R tels que a,,e---bo; d'apr~s ee qui pr6cbde a o f~b o . L'hypothbse faite sur les ,/i~-classes entraIne alors (b, bo) E ~ et en part ieul ier b:bb'obo; il vient be-~-b done ale ~-be---b . Puisque (e, re)E ~R, il en r6sulte ae--~ b.

En conclusion, D/~R est r6gulier avec un z6ro premier et tous ses idempotents sont pr imit i fs : il est complblement 0-s imple .

I~E~ARQUE. -- On peut r6duire tes hypotheses du lemme 2.13 en supposant que a ) e t b ) s o n t v6rifi6es pour une seule ~ - c l a s s e et une seule £ - e l a s s e duns ehaque ~)-elasse (el. th~or~me 1.21).

LESLIE 2.[4. -- Un demi-groupe rdgulier D, produit sous-direet de demi - groupes O-simples est compldtement semi-simple.

D~O~S~nAT[O~. - II suffit d'~tablir qu 'un idempotent non nul au moins, dans ehaque facteur principal est primitif. Comme pour le lemme 2.13, 1), D est isomorphe a u n s o u s - d e m i - g r o u p e S de IIDi oi~ chaque Di est complbtement 0-s imple . Si deux ~i~ments a ~ (a~) et b ~ (hi) de S sont g -6quiva len t s : (a~) ~ (u,) (b~) (v~) et (b~) ~ (ri) (a~) (s~). Done a~ ~ 0 ¢:v b~ = 0. Les idempotents de

2 S sour les 616meats (a~) avee a~-----a~; d'ofl a~ ~ e~ ou 0 (duns D~).


Soien~, e et f deux idempoten t s non nuls d 'un f ae t eu r pr inc ipa l , tels que e f = f e - - e . Si e = ( e d et f - - - ( fd on a : e i=Oc:~f i=O et pour ei, fi non nuls e i f i - fie~ :=-e~ ~ 0 d'ofi e i - " f~ ear ei est p r imi t i f dans Di. It en r6sul te e = f.

LEiV~ME 2.15. -- Soit D u n demi-groupe complOtement semi-simple produit sous-direct de demi-groupes compl~tement O-simples et soient a, b E D tels que J(b) ~ J(a). Alors, ou bien pour tout xEJ~, xJ(b)x ~ I(b), ou bien il existe un homomorphisme partiel de J~ dans Jb vdrifiant Ia condition ( C) du thdor6me 2.12.

DgMONSTitA~rm~'. -- 1) Soi t X - - { x ; xEJ~'xJ(b)x C I}. Supposons X 4 = 0 ; dans ce cas I(a)C XUI(a)C_J(a). P a r ail lem's, XkJI(a) est un id6al b i la tbre de D: en effet [ X U I ( a ) ] D ~ X D U I ( a ) D ; si x E X et y E D alors xyEJ(a): ou b ien xyEI(a) on b ien xy~_I(a) et dans ce cas xyJ(b)xy~xJ(b)xy~_l (b) et x y E X ; donc X D ~ X U L ( a ) et [ X ~ I ( a ) ] D ~ X ~ I ( a ) ; on d6mont re de la m~me fa~on que X U I ( a ) est un id6al ~ gauche. Comme I(a) est m a x i m a l dans a(a) " X U l(a) = J(a) d'Oil X = J~.

2) S u p p o s o n s X - - O . Nous d~f ini rons alors un h o m o m o r p h i s m e par t ie l de J~ dans Jb en p lus i eu r s ~tapes (Les nota t ions re la t ives ~ chaque par t ie sont ind~pendantes) :

a) Montrons que pour tout i dempoten t eE Ja , eJ(b)e\I(b~ est eon tenu darts une ~ - c l a s s e groupe. Les 616merits de J(b)/l(b) qui est compl~ tement 0 - s imp le , sont not6s pa r des t r ip le ts r~presen tan t Ies ~l~ments d 'un d e m i - g roupe de ma t r i ces de Rm~s associd. Soit ece~I(b) avee c~J(b). En posan t c = ( g ; i, ~), on a : c e = ( u ; i, ~o) ER~V~R~e. P o u r tout xEJ(b) tel que exe~I(b), en posant x - - ( k ; j , i~) il v ien t : (k; j , t~)e--(v; j , ),'o). En p renan t v tel que P,4:4=0: (z; i, v) (k ; j , ~ )e=(z ; i, v) (v;j,)-'o) soit (zp~ik; i, N e - - =(zp,~iv; i, k'o)ER~e~R~. D ' a p r ~ s le l emme 2.13, (zp~.~v; i, ~'o) et (u; i, ),o) sont dans la meme ~ - e l a s s e d'ofi ).o =)~'o. Done xe---- (v; j, ~o). D e m~me ece ---- e(u; i, ).o) = (w; io, ).o) ~eL~o ~ L~o et e(v; j , ~o) = ( t ; i'o, ~o)E eL~o ~ L~o i m p l i q u e n t io = i'o. Done exe E//~o>o. Montrons que H~o).o est une :~ -e lasse g roupe : ece--d impl ique ed=de---dEJ~; il exis te d'~J~ tel que d=dd'd=ded'ed~.I(b); or ed'e ~ I(b) imp l ique ed 'e - - ( r ; io. ).0) et

d -- ded'ed ---- (w ; io, ko) (r ; io, ).o)(W ; io, ~o) E I(b)

imp l ique p)jo ~ 0, ce qui prouve//io),o est une 3~-classe groupe. R e m a r q u o n s que

e(p)~o~o-1; ~o", )'o ~e = (P~,o~0;-1 io, ~o): on a en effet eceEHio~.o et il exis te (ece)-lEHioxo -~ e -~" " )~o)e (P~oio; io, ~o). tel que (ece) (ece)-l(ece)= (P~0io; io, )~o) d'efi (P~.0~0, ~o, -" -~

P o u r tout i dempo ten t e EJ, on pose ¢p(e)= l ' i dempoten t de la ~ - c l a s s e g roupe con tenan t eJ(b)e\I(b).

b) Soit a~Ed, et soient e, f des idempoten t s de J~ tels que e x = f w - - x . Mon~rons que ¢~(e)x -- ~(f)x. Notons d ' abord que ¢~(e)x ~ I(b), car ex = ~c ~ I(a)

8 0 G. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers

i m p l i q u e (e, x ) E ~ ; il ex is te alors w'EJ~ tel que x~c'--e et ~(e)xEI(b) entraIne- ra i t ~(e)eEI(b), ce qui n ' e s t pas. Posons ¢~(e) : (p)~; i, )~)et ¢~(f)--(p~.~;j, ~) et m o n t r o n s que i - - j . D 'apr6s la par t ie a), e(p~~; i, ~)e--- (p~~; i, ~). Comme

; ~ -~ (e,~f)Eg¢, on a en pa r t i eu l i e r e--fe, d'ofl fe(p~ ~ i , ) . ) : f ( p ~ ; i, ) = e ( p ~ ; i , ~ ) = = (pz-~ ; i, ~). P a r a i l l eurs f(p)-~ ; i, ~)f ~ I(b) car fe(p-~ ~ ; i, ~)fe - - f ( p ~ ; i, )~)fe - - --(p~.~ ; i , ) , )~I(b) . D'apr6s a) il en r6su l te f ( p ~ ; i, ~)f - - (p) -~ ; i, ).)f-----(s; i, ~)

Done ~ ( e ) x - - ( u ; i,~o) e~ ~ ( f ) x - - ( v ; i,~o) (dans les d e u x eas il s 'agi t d u m ~ m e ind ice ~.o d ' apr6s le l e m m e 2.13). Enf in (pe-~; i , ~ t ) e = ( t ; i , )~)~l(b)

- - 1 • (s inon ( p ~ ; i, ~ ) e f - - ( p ~ ; i, ~ ) f - - (P l ,~ , i, ~t)EI(b) ce qu i na pas l ieu) e t : ( ~ - ~ , - ~ . : : - ~ __ p , . ; i, ~)e(p~ , i, ~)e -- (p,~ , i, ~t)e[f(p~; i, ~)e] (pe~ ; i, ~)f(p~-~; i, ~)e -- ( p ~ ; i, ~t)e.

On en d6dui t ( p ~ ; i, ~)e-~ ( p ~ ; i~ ),). D ' ap r6s la r e m a r q u e du d4but de b) on a: (e, w) E ~ , d'ot~ pour x'E J~, x~c'=e et x x ' x = x . I1 en r6su l te ~(e)wx'--~(f)x~ ~ d ' o f i ~(e)x - - ~ ( f ) x .

c) Soi t x E J~ et so ient e, f des i d e m p o t e n t s de J~ tel que e x - - x - - x f . ) I o n t r o n s que ~(e)x ~ x~(f). D'apr~s b), en posan t ~ ( e ) : ( p ~ ; i, ~t) et ~ ( f ) - - - (p~-~; j , )~) , on ob t ien t ~ ( e ) x - - ( r ; i,).) et x ~ ( f ) - - ( s ; i~k). Il en r6 su l t e : [~(e)x]~if) -= (r; i, ) . ) ( p ~ ; j , k ) : ( r ; i, ~) d ' u n e par t et

~(e)[x~(f)]-----(p~; i, ~t)(s; i, ~ ) = ( s ; i, )~)

d ' au t r e part . D'ofl r ----- s et ~(e)x ~ xv( f ) .

d) A tout x E J ~ on associe ~(x,)-- ¢~(e) x E J b , en cho is i s san t un idempo ten t e E J~ tel que ex -- x. D'apr6s b), x --> ~(x) d6f in i t b i en une app l i ca t i on de Ja dans Jb (~(x) ne d6pend pas du cho ix de e). Cette app l i ca t ion est u n h o m o m o r p h i s m e par t ie l . E n effet, so ien t x, y EJ~ tels que xy ~ I(a). P o u r des i d e m p o t e n t s e, f E J~, tels que e x - - x et y f - - y on a exy " - x y - xy f . D'apr6s c) e t la d4f in i t ion de ~ on a :

~. (xy) = ~(e)xy = xy~(f) = ~(e)xy~(f) =~[~(e)x] [y~(f)] = ~(~):p(y).

e) Soien t x E J , , y EJb tels que xy~ I (b ) . En posan t y = ( v ; k, v) on ob t ien t x y - - ( u ; i, v). En d6s ignan t pa r e un i d e m p o t e n t de Ja tel que ex -~ x, exy --':xy --: (u; i, v). D' apr6s la par t i e a), ~(e) ~ ( p ~ ; i, ~). I1 en r~sul te :

~(x)y ----- [~(e)x] u "-- ~(e)xy - - ( p ~ ; i, ~) (u; i, v) --- (u; i, v) - - xy.

De m~me, si y x ~ I ( b ) , y~(x ) - " yx, ce qui m o n t r e que la cond i t ion (C) est v6rifi6e.


R ~ A R Q V E . - Les homomorphismes partiels mis en ~vidence poss~dent des propri6t6s de composition qui ne s 'explicitent commod~ment que torsque les 3-c lasses de G~EE~ peuvent s 'ordonner de fagon simple (el. les cas par- t ieuliers envisag6s darts la suite). Ces homomorpismes sont ~troitement li~s

l 'op~rntion du demi-groupe . Par exemple : ~EJ~, yEJb, x y E J ~ x y - - ='~(x)'~(y) o~t V~ est un homomorphisme partiel de J~ dans J¢ et q~ un homomorphisme partiel de Jb dans J~ (~x ou q~z est l ' identit6 si (a, c)E~ ou (b, c) E 3).

LEGUME 2.16. -- Soil D un demi-groupe compl~tement semi-simple. Supposons que pour tout a, b E D tels que Jb ~ J~, ou bien pour tout x EJ~, xJ(b)x,~ I(b), ou bien it existe une application ~ de J,~ dans Jb vdrifiant la condition (C). Alors D est produit sous-direct de demi-groupes compl~lement O-simples.

D ] ~ M O N S T R A T I O N . - - ~Iontrons que pour route ~ - c l a s s e R de D et pour tout wE D, Rx (-1 R - - 0 ou est contenu dans nne ~-c lasse . Un r6sultat analogue vaudra pour les ~ - c l a s se et le lemme r~sultera du lemme 2.13. Sup-. posons Rx(qR ~ 0 . I1 existe a, b ER tels que ax=b et J(b)~J(x). Si J(b)=J(x), tout 616ment de R e s t un g~n~rateur de J(ac) done R ~ J , . Comme J(x)/I(x) est compl~tement 0-s imple R x ~ R est dans une 2g-elasse, en l 'occurence H~. Si J(b) cJ(x), soit b' un inverse de b (b 'EJ~) 'axb 'ax- 'bb 'b=b~I(b) done xb'ax ~ I(b). Comme b'aEJ~, il en r~sulte xJ(b)~c c l= I(b). I1 existe alors, une application ~ de J(x) dans J~b) v6rifiant la condition (C). Supposons que cx- - -d avec c, dER. D'une part a x - - a ~ ( x ) - b et d 'antre part cx--c~(~)--d. Ceei implique (b, d ) E ~ (propri6t6 du demi-groupe compl~tement 0-s imple

J(b)/I(b)).

I1 est ~t noter que, d'apr~s le lemme pr6c~dent, on peut remplacer dans le th~or~me 2.12 les roots ((homomorphisme partiel>)par ((application,s. L' int~r~t du fail que cette application soil aussi un homorphisme partiel est ~vident lorsqu'on envisage des th6or~mes de structure. Le th~or~me suivant donne une caract~risation des demi-groupes eonsid6r~s portant sur des propri6t~s des idempotents re]at ivement h lem' relat ion d 'ordre habituel: e~f¢::> ef--ef=e.

THEOI¢]~ME 2.17. -- Un demi-groupe D rdgulier est produil sons-direct de demi-groupes compl~tement O-simples si et seulement si:

1) D est comPl~tement semi-simple;

2) pour tout a, b E D tels que J(b)c_ J(a), ou bien aucun idempotent de Ja n'est supdrieur ~ un idempotent de J~, ou bien chaque idempotent de J~ est supdrieur ~ un seul idempotent de J~.

DE~O~S~R~O~. -- a) Supposons que D soil produit sons-d i rec t de d e m i - groupes compl~tement 0-simples. Alors 1) est v6rifi~ (th~or~me 2.12). Soient a, bED tels que J(b)CJ(a). D'apri~s le th6orSme 2.12, deux cas sont possibles:

Annali di Matematica ~1

82 C,--. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers

i) pour tout x E J ~ , xJ~x ~ / ( b ) ; s'il existait deux idempotents eEJ~ et fEJb tels que f < e on aurait f e - - e f - - f d'ofi e f e - - f e = f q I ( b ) ; c'est en contradict ion avee eJbe ~ I(b).

ii) il existe un homomorphisme pattie1 ~ de Ja dans Jb; d'apr~s la d6monstration du lemme 2.15, 2); a), pour tout idempotcnt eEJ~, e J b e \ I ( b ) est contenu dans une Jg-ciasse groupe d'6l¢ment unit6 f = ~(e). On a vu que efe = f d'ofi f < e. S'il existe un idcmpotent [ 'EJb tel que f ' < e, e r i e= f ' est dans la m~me :E-classe que f, d'ofi f = f'.

b) R6ciproquement, soit D nn demi-groupe v6rifiant 1) et 2). Soient a, b E D tels que J(b) CJ (a ) . Supposons que pour tout idempotent e E J~ et tout idempotcnt fE Jb, f<~ e. Alors pour tout x~ E Ja, xJb~c C I(b): en offer, supposons qu'il existe x E J~ tel que xcxEJb avec cEJb. En posant y = xcx on obtient y 'xcx = y 'y - - g (y' est un inverse de y). D'ofi y 'yx 'x - - y'y. Avec x'vc = e, eg est un idempotent fEJb et f = e g ~ I ( b ) @non geg -" gE I(b) et yEI(b) , ce' qui n 'est pas). On a : fe "-- ege = eg --- f, e f = eeg = eg = f d'ofi f < e ; c 'est en contradict ion avec l 'hypoth~se.

Supposons que pour tout idempotent e E J~ il existe un seuI idempotent fEJb tel que f < e . Posons ¢~(e)= f et pour w~J~ tel qne e x = x, posons ~ (x )=~(e )x ; si e ~ x - - e x = w , on a e ~ e = e e t e e ~ = e ~ ; en d6signant par f~ l ' idempotent de J~ tel que /'1 ~ e~, il vient : ee~f~ = e~f~ =/ '1 d'ofi ef~ =/ '1 ; Fdl~ment f~e est un idempotent de J~ tel que f~e < e, donc f~e = f ; dans ces conditions e~x = ex implique f ~ e ~ x - f~ex, soit f~x = fx , ce qui prouve que la d~finition de ~(x) est ind~pendante du choix de e tel que e~c=x. Maintenant si e x = x = x e ~ (e et e~ sont des idempotents de J~), montrons que f x = x f 2 = f x f ~ off ]' = ~(e) et f2 -- ~(e2). D'ahord xf2 E Jb et il que gxf2 "-- xf~.. On a: e~ce2 = x, d'ofi exf~ egxf2 = xf~, eg est un idempotent de Jb doric obtient ege - - f. I I e n r6sulte xf2 = fxf~. On

existe un idcmpotent g E Jb tel -= xf2 - - egxf2 - - egexf~. Comme aussi ege et comme ege < e on ddmontre de m~me f x - fx~f2.

En terminant ]a ddmonstration comme en c ) et d) de la d~monstration du lemme 2.15, on montre que ~c---> ~(x) d~finit un homomorphisme partiel de J~ dans Jb, v6rifiant la condition (C) du th~ior~me 2.12.

D'apr~s le th~or~me 2.12, il en r~sulte que D est produit sous-d i rec t de demi-groupcs compl~tement 0-s imples .

4. - Cas particuliers de demi-groupes rgguliers prodni(s sous-directs de demi-groupes compl~tement O-simples.

Nous 6tudions dans ce paragraphe deux types part iculiers de demi-groupes complbtement semi-s imples satisfaisant aux condit ions indiqu6es dans les th~or~mes 2.12 et 2.17: les demi-groupes r6union de groupes et les demi- groupes complbtement semi-s imples ayant une s6rie principale. Dans les deux


eas, les facteurs priueipaux sont li4s par l'existenee d'une structure ordonn~e sous-jaceate: duns le premier eas e'est une structure assez g6n6rale (demi- treillis) mats les conditions sur les ~-elasses sont fortes (chaque ~-classe est un sous-demi-groupv compl~tement simple); duns le second cas au contraire la structure ordonn~e sousj~cente est plus partieuli~re et les ~-classes soul du type le plus g~n~ral.

Apropos des demi-groupes r~union de groupes rappelons le th~or~me suivant :

T ~ O R E ~ 2.18 ([2], th. 4.5, p 126). - Pour un demi-groupe D, il y a dquivatence entre :

a) D est rdunion de groupes ;

b) D est rdunion de demi-groupes compl~tement simples ;

c) D est un de~ui-treillis Y de demi-groupzs compl~lement simples S~(~ E Y), o~ Y est le demi-treillis des iddaux pr ineipaux de D et chaque S~ est une ~-classe.

Duns la suite l'op~ration et la relation d'ordre du demi-treilIis intervenant duns ce th6or~me sont supposes ~tre li~es par ~ ~ ~ ¢:Va~ = ~.

Rappelous aussi que Fenveloppe des translations D d'un demi-groupe D est l'ensemble des couples (p, k) d'applicatioas de D duns D (parlour d~finies), telles que pour tout x, y E D " x(y~) -- (xy)~, (x),)y -- (~cy))~, ~c(y~) -- (x~)y, taunts de l'op6ration (a~,)~)(,o2, k~)--(~,~, ).2).~). L~ representation complbte de D par des translations internes h droite et h gauche d(ifinit un homomorphisme

de D duns l'enveloppe des translations D; c'est un isomorphisme si et seule. ment si D est faiblement r6ductif; c'es~ le cas lorsque D est compl~tement simple (D est faiblement simplifiable- voir chapitre IV). Le thgor~me suivant g~n4ralise le th~or~me de CL~FgORD sur les demi-treillis de groupes ([2], th~or6me 4.tl). I I n e donne pus la structure effective des demi-groupes r~union de groupes, mats ram~ne ee probl~me ~ t'~tude de certaines applications d'un demi-groupe compl~tement simple duns l'enveloppe des translations d'un autre:

T ~ o R ~ n 2.19. - Soil Y un demi-treillis. A chaque ~ E Y on fait corres. pondre un demi-groupe compl~tement simple S~ de sorte que S~ (1 S ~ - - st ~ ~ ~. A chaque couple (~, ~)E Y X Y tel que ~ ~ ~ on fait correspondre une

application ¢P~,~ de S~ dans l'enveloppe des translations ~ de S~. les applications (~,~ grant lides par (~)

1) SJP~,~. S~¢P~,~ c_ S~(P~,~ pour tout % ~EY;

(19) Dans tout ce paragraphe 4, off il est question de propridtds de composition d'applications, nous notons les applications q)a~ de S a darts ~ comme des op~rateurs ¢t droite sur Sa.

84 eL LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers

2) pour tout ~, ~, y ~ Y tels que ~ > 7 et pour tout a ~ S~ et b e ~ S~ :

[aJP¢,,~ • b ~ , ~ ] (P~. r ---- aJP~,~ • b ~ , ~ ;

3) O~,~ est l'injeclion canonique de S~ dans ~ , .

Sur D = U S~ On ddfinit une opdration par a~. b~-- a~O~,~, b~O~,~[Op.]. a ~ Y

Alors D est un demi-groupe rdunion de groupes. Rdciproquement, tout demi- groupe rdunion de groupes peut s'obtenir de cette fagon.

Dt~YIO~STRATIOS;. - Supposons que D - - t 2 S~ soit mun i de l 'op6rat ion a~Y

[0p.] avec les condit ions 1), 2), 3). Si on montre q u e D est un demi-groupe , D est alors r~union de demi-groupes compl~tement s imples et d'apr~s le thdor~me 2.18, il 'est r(funion de groupes. Avec des notat ions 6videntes:

(a~b~)% = [a~O~, ~ . b~O~,~] • c~ = (a~(I)~, ~ . b~q)~,~)(I)~, ~.~. c ~ s r

(pour 6crire la derni~re (fgalit~ on utit ise 1) et 2)). Comme ~ ~_ ~ 7 , d 'apr~s 2), (a~b~)c~--aJP~,~,. b~Cp~,~r, cv(I)~,~$r. On d~montre de ]a m~me fagon (en ut i l isant cette lois ~7 ~ ~7) que a~(b~cv) est 6gal h la quanti t6 ~ droite dans l'~galit5 pr~c~dente.

R~eiproquement , soit D u n demi-groupe r~union de groupes. D est un demi- t re i l l i s de demi-groupes compl~tement simples S~ off chaqne S~ est une ~-elasse. Si ~ ~ ~, S~S~ ~_ S~ et S~S~ ~_ S~. L' appl icat ion a~ ---> (~%, t%) de

S~ dans S-~ est un homomorph i sme (7% [resp. 1%] est la t rans la t ion h droite [resp. h gauche] d4finie stir S~ par x~.->x~a~ [resp. x~--> a~x~] pour tout x~S~) . On ddsigae eet homomorph i sme par q)~,~ Pour x ~ S r et y~S~, xy~Sv~

et xffP~.,~ ~- ( ~ , 12E S~ et yq)~,~ ---- ( ~ , ty) E S~ . I1 en r~sulte : x(P~,~.y(p~:,~

- - ( ~ , ~ ) E S~ . Comme xy E S~, en identi[ iant la part ie in terne de Sv~ Sv~ on obtient : x(I)r,v~, y(I)~,v~E Sr~. De m0me:

aveo :

-- aaq)~, r • b~ffP~, ~

= aab~.

D]~FI~IT~OI~ 2.20. - Un demi-groupe rdunion de groupes est dit de type (h), si et seulement si les applications de structure (P~,~ ~ ~) sont routes des applications de S~ clans la parlie interne de ~ isomorphe iv S~.

G. LALLEMENT: Demi-groupes reguIiers 85

Pour de tels demi-groupes, la condition 1) du th~5ori~me prSc~dent est remplie d'office el,

PnoPosI~r~o~ 2.21. - Un demi-groupe rdunion de groupes est de type (h) si et seulement si les dg~,~(a ~ ~) soul des homomorphismes de la gl-classe S~ duns la ~-classe S~ tels que pour c¢ > ~ ~ y, dp~,~, d9~,r_= qb,r, dp~,~ dtant l' applicalion idenlild sur S~ .

D~Iv[O:SS~ATIOrr. - Si D est un demi-groupe r~anion de groupe de type (h), en appliquant 2)du th~or~me 2.19 avee a - ~ > y, on obtient: (a~b~)cP~..r = ---a~Og~,,y.bJb~,r ; done O~.,v est un homomorphisme de S~, duns S~. Pour

~ ~ > y, ~ - - ~ > y; 2) et 3) (th. 2.19) nous donnent :

[a~b~,~ • b~]qS~,v = a~q~, v • b~O~,v.

Comme ~,~. est un homomorphisme:

a~O~,~cb~,r • b~q)~, r - - a~q) ~,~ • b ~ , r .

On d6montre de m~me: b~q5~, r • a~CP~,~q)~,~ -- b~q5?~,~, a~CP~,.~. ~i~is S~ est un demi-~o'roupe complbtement simple, done il est faiblement simplifiable (el. th6or(Sme 4.1). Il en r6sulte a~q)~,~q)~, r = a~(I)~,r. La r6~iproque est 6vidente.

D'aprbs cette proposition, la s t ructure des demi-groupes rgunion de groupes de type (h) est d6termin6e par la donn6e d 'un syst~me inductif d 'homomorphismes de demi-groupes complbtement simples. Ce systi~me inductif a pour support un demi- t re i l l i s quelconque.

Tt{I)OREI~E 2.22. - Pour qu 'un demi-groupe rgunion de groupes soil de type (h), il f ou l et il suff i l que pour to~l o~, ~ ~ Y tels que a > ~, il eoeiste un idempotent e~ E S~ tel que e,S~e~ soil un sous-groupe m a x i m a l de S~. Da~,s ce cas, pour tout idempolent e~ E So, e~S~% est un sous-groupe ~rtaximal de S~.

D I ~ M O N S T R A T I O N . - La condition est n6cessaire, car pour tout ~c~6 S~, e~c~e~--e~q)~.x~.ea~,~ et e~S~e~--e~Op,~S~.e~Cba~ qui est le sous-groupe ma, xi- mal relatif h l ' idempotent e~q5~,~. Pour montrer que la condition est suffisante :

a) Supposons que e~S~e~=H~ off e~=e~e~--e~e~. Si (f~, e ~ ) ~ , f~e~=e~ et %f~ = 5" I1 en r fsu l te : (f~e~)(f~e~) = 5(e~f~ea) = 5(e~e~f~)e~ : f~e~. ~[ais e~f~e~,~ He~ et c'est un idempotent. Done e.~f~e~=e~. D'o/~: f~e~f~e~--f~e~=f~e~--e~. De m~me si (f~, e~)~ £ on eu d6duit e~f~ = ea. Iuversement , si pour un idempo ten t f~ on a: f~e~-=e~, il en r6sulte (f~, %)~g{; par cons6quent (f~, e~) ~ff~¢::> ¢:~f~e~ - - e~ et (f~, e~) E f ~ e~f~ -- e~.

b) Soil x~ E S~. On a: e~x~ ---- % e ' ~ , o~ il est possible de choisir l 'idempotent e'~ de fa¢on que (e~, e~)6 £ (si x~ = (0e; j, ~x), en prenant e'~=(p~.]-~; j, )~) on obtient bien e'~)es =-x~; ii suffit de preudre l ' indiee )~ rep6rant l~ £ -c lasse de e~ pour avoir (e'~,es)6£). D'apr~s a), e~e '~ :e~ , d'oit e~x~=-e~c~. On d~montre de m~me x~e~ = x~e~.


c) Soit e'~ uu idempotent quelconque de S~.. Dane le demi-groupe de

matrices de RUES associ6 ~ S~ on pose e~-- (p~ , i, ).) et e'~--(pf~-~l; j , ~). Pour tout x~ E S~ :

' -: " k -1 ; -: -: e~x o - - (p~.*;j , p . )x~=(p~j ,3, ),)(p~.71; i, )(p.~j j , ~ ) x ~ - - ( p ~ j ; j , k)ejpF/ ; j , ~)~r~.

--1 e --i --- e --* . Mais (P~i ; J, ~)x~ E S~ et d' apr~s b) : ~(p~j ; j, ~)x~ ~(p~ ; j, ~t)x~ D'ofi :

- - 1 e'~x~ ~ (p-~* ; j , ).)e~(pe i ; j , ~)x~ et de m~me :

x~e ~ ~ x~(p>, i , j , ),)e~(pv, i , j , a).

--i • --I ? Or (p~,j , j , ),)e~(p:~i ; j , ~x) est un idempotent e ~ de S 0 ca:' d'apr~s ta derni~re 6galit~ ~crite on a :

(p~l; j, )~)e~e'~ - - (p~,-~l; j, ),)e~ (p~-}:; j, k)e~e'~

j , , -~ ; ),)e~e ~(P~.i ; J, ) , )eye.

En dGfinitive pour tout idempotent e'=E Sa, il existe un idempotent e'~ G S~ tel que pour tout x~ E S~ := e'=x~ ~- e ~ et x~e ~ - - x~e'~.

d) Soit a~ u n 61~ment quelconque de S~. II existe uu idempotent e~ E S= tel que a~e= ~ e=a.~ - - a=. Pour tout x~ G S0:

a~x~ - - a~e~x~ - - aae~x~

x~a~ - - x~a~ea - - xoaae ~

ot't e~ est l'iclempoteut associ~ ~ e~ d'apr~s c). Eu posartt a ~ - - a ~ e ~ , on peat af f i rmer que pour tout a~GS~, ii existe a ~ E S O tel que pour tout x~ES0, a a x ~ - - a ~ e ~ et x ~ a ~ - - x o b ~. Pour ~ l 'applicatiou de s tructure q)a,0:

a~-->(pa~, ) . % ) - - ( P ~ , kay) de S~ d~us S 3 est uue applicatiou de S~ dane la

patt ie interne de S~. D'apr~s la d6fiuition 2.20, D est de type (h).

COROlLa:RE 2.23. - Un d e m i - g r o u p e r d u n i o n de g roupes est p r o d u i t s o u s - d irect de d e m i - g r o u p e s comp l~ temen t O- s imp le s (~o) s i et s e u l e m e n t s i i t est de

type (h).

D]~:O~STI~AT:ON.- Soit D r6union de groupes, produit sous-direct de demi-groupes compl~tement 0-simples. Soient a, ~ E Y tels que ~ ~ ~. Pour lee ~-classes correspondantes S~, S 0 on a: S~S~ ~ S~ et S ~ S ~ S~. Pour e~ i4empotent de S~ et x~E S~, e ~ E S~ et il existe x' 0 tel que e~x~x'~ ~ e~ idempotent de S~. I | en r6sulte e~e~ " e~; e~e~ est donc uu idempotent de S~ tel que e ~ e ~ e ~ . D'apr~s le th~or~me 2.17, tout idempotent f~ de S~, est

(e0) On peut remplaeer ,<compl~tement 0-sialples ~ par • compl~tement 0-simples sans diviseurs de z~ro loropres,,.


sup~trieur ~ un seul idempotent f~ de S~; donc si f~x~f~EHg~ (Ha~ est un sous -g roupe maximal de S~) il existe y~ tel que f~x~f~y~--y~f~x~f~-"g~ et g~ ~ f~; d'ofi il r~sulte g~ = f~ et f~Sd~ E Hf~. Enfin pour tout x~ E Hr~ : x~ E f~S~f~ = f~f~S~f~f~ c f~S~f~, d'ofi f'~S~fa -- Hf~. D'apr~s le th6or~me 2.22, D est de type (h).

Rdciproquement , si D est de type (h), supposons que J(b) c J(a). Si pour un 61dment ~ E Ja, xJ(b)x C_ I(b), alors xbx ~ Jo et Ja" Jb gl-- Jb" Duns ee cas pour tout yE Ja, yJ(b)y ~ I(b). Si au contraire, il existe x E J ~ tel que xJbx ~ Jb on a Ja'J~ ~ J~ et iI existe un homomorphisme de Ja dans J~; d'apr~s la ddfinition de la multiplication duns les demi-groupes de type (h), cet homomorphisme vdrifie la condition (C) du thdor~me 2.12. D'aprbs ce mdme thdor~me, D est produit sous-d i rec t de demi-groupes compl~tement 0-s imples . Chaque ~ -c l a s se d 'un demi -g roupe rdunion de groupes 6taut un sous -demi -g roupe , les demi -g roupes compl~tement 0 -s imples intervenant eomme composants du produit sous-d i rec t peuvent ~tre pris avec un zdro compl~tement premier (ab "- o ~ a = o ou b - - o).

COnOLLAIR~ 2.24. - Pour un demi-groupe D, il y a dquivalence entre:

a) D est rdgulier et produit sous-direct de groupes avee zdro ;

b) D est un demi-groupe inverse rdunion de groupes ;

c) D est rdunion de groupes de type (h) et chaque ~-elasse S~ est un groupe (~).

Un demi -g roupe D admet une sdrie principale (E), s'il existe une chalne ddcroissante d ' id6aux bilatbres I~:

D = I . D ~_~ D... D I~ D ... D I~ D L = O (Z)

tels qu'i l n 'existe pus d ' id~aux de D compris s tr ictement entre I~ et. I~+~. On sait (cf. [2], par. 2.6) que pour tel demi-groupe ]es facteurs Iv/I~_~ sent isomorphes dans un certain ordre aux facteurs pr incipaux de D. Les r6sultats du paragraphe 3 (th. 2.12.2.17) s 'appl iquent i~ de tels demi-groupes (supposes r6guliers) sous la forme suivante: Un demi -g roupe r6gulier/~ s(frie principale (Y~) est produit sous-d i rec t de demi-groupes compl~tement 0-s imples si et seulement si : 1) Iv/I~_~ est compl~tement 0-s imple pour tout p "- 1, 2, ..., n ; 2) p ~ q implique ou bien ~cI~x c Iq_~ pour tout ~c E IJI~_~, ou bien il existe un homomorphisme part iel q b de Iv \ l~_~ clans Iq\Iq_~ v~rifiant la condition (C) du th~orbme 2.12. Le premier terme de cette al ternative est 6quivalent /~: aucun idempotent de I~\Ip_~ n'est sup6rieur /~ un idempotent de Iz \ Iq_~, le second est ~quivaient h: chaque idempotent de I~X\I~_~ est sup~rieur /~ un seul idempotent de Iq\Iq_~.

(~t) D est un demi-treillis de groupes. L'6quivalence de b) et c) est le th6orgme do CLIFFORD [3],


Dans ces conditions si p ~ q ~ r (p, q, r~[1, n]), et s ' i l existe des homomorphismes partiels d)~,q et (Pq,, alors il existe aussi q)~,,, e t :

(:I)p,q • (])q,,. ~ (I)p,,..

En utilisant cette propri6t~, il est possible d 'obtenir un th~or~me de s t ructure bas~ (comme d'ai t leurs les remarques qui precedent) sur le fait que l 'ensembte ordonn~ sous- jacent est i ' intervalle [1, hi. Vu ]a complication de ce th6or~me et son caract~re par trop descriptif, nous imposerons une condition suppl~mentaire aux demi-groupes 6tudi6s:

CO~DI~Io~ (T). - S'il existe (pour p > q ~ r) des homomorphismes partiels c~,q et (I)~,,., il existe aussi d)q,,, et (P~,q. ¢Pq,,.--(P~,,..

5:[ous appelons (T)-demi-groupe, un demi-groupe r(~gulier h s~rie princi- pate, produit sous-direct de demi-groupes compl~tement 0-s imples et dent les homomorphismes partie]s vdrifient la condition (T). Les thgor~mes qui suivent concernent les T-demi-gronpes avec z~ro, le eas sans z~ro s'en d6duisant sans difficultY.

TH]~ORE~E 2.25. - Un demi-groupe D avec zdro, est un (T)-demi-groupe, si et seulement si :

a) D est rdgulier avec une sdrie prineipale ;

b) Chaque idempotent non nul de D couvre un seul idempotent ;

e) L'ensemble ordonnd des idempotents est de longueur finie.

D~MONSTRA~IO~. - i) Soit e ~ 0 un idempotent d 'un T-demi-groupe D. S i e ne couvre pas 0, il existe un idempotent f tel que e ~ f ~ 0. Comme f e - - e f - - ' f ~ O , e E I p \ I ~ _ ~ . e t fC Iq \ Iq_~ avec p > q . II existe alors un homomorphisme partiel (I)~,q. Soit qo le plus grand entier Q ~ p tel que q)~.q existe. L'~l~ment eo--edP~,qo ost un idempotent tel que e ~ eo. S~il existait e~ tel que e ~ e~ ~ eo, on aurait e~Cl'q,\Iq,_~, d~ofi Fexistence d'un homomorphisme 49~,q, avec q~ ~ qo, ce qui est imposs ible ; done e couvre e(I)p, qo-~-

eo ~ 0. Supposons qu'il existe un idempotent e.~ ~ eo tel que e couvre e2. Par d~finition de qo, e2EIq~\Iq~_~ avec q2~qo. Si q2-" qo, e~--eo (chaque idempotent de Ip~I~_~ est sup~rieur ~ u n senl idempotent de Iqo\Iqo_~). Done q2 ~ q o ~ P ; ~b,qo existe, ainsi que (I)~,q~. D'apr~s la condition (T), (I)qo, q ~ existe et ~)p,q~(~l,,q~'C~)qo, q,z; il en r~sulte e~eoffPqo.q~ d'ofi e ~ e o ~ e , ce qui contredit e couvre e~. Enfin s i e couvre 0 et si e couvre un idempotent f, on a: e :> f~_~0 d'ofi f : 0. Les propriOtOs a) et c) sent 6videntes.

2) R~ciproquement, soit D un demi-groupe avee z~ro v~rifiant a) et b). D'apri~s a), D est semi-simple. Pour montrer que I~/I~_~ est compl~tement 0-s imple (p ~___ 2), il suffit d~tabl i r qu'il existe uu idempotent primitif dans


I~ /1~_~. Soient e, f des idempotents do I~ \ I~_~ tel que f < e c'est-/~-dire e f = f e - - - f : @ e . II existe x, y ~ D tels que e - - x f y ; en posant f ~ - - f y f x f , on v~rifie que f~ est un idempotent ; L~J(f) et comme xf~y = ere = f, f~J(A), ce qui prouve que f~ ~ I ~ \ I r _ x . On ne~_!peut avoir f l - - f sinon f = fyfxf entrainerai t e - - x f y - - el'e-" f ; done f~ < f < e. En d~finissant de m~me f, ,+~= f~y,f,~x,f~, avee e---m,,f,,y~ on met en 6vidence une chaine e > f > f ~ > > ... > f ~ > ... d6nombrable d ' idempotents ce qui contredit e). Done D est compl~tement semi-simple.

Soit p > q et soi.t ex un idempotent de I ~ \ I ~ _ x . Supposons qu ' i l~exis te un idempotent f ~ f q \ I q ~ tel que e~> f~. D'apr~s b) et c), f~ est unique. Pour tout idempotent e ~ I ~ \ I ~ _ ~ , on a (e, ed ~ ~ - - " g. I1 existe alors x ~ D et un inverse m' de x tel clue x~c'--e~ et x'x = e. De xx'[~----f~xx'--!1°1 on d6duit

L 'd ldment m'f~m est done un idempotent f de I q \ I q _ l ere f = x/mx/f~x-- = x,'f~zc - - f, fe - - x'flxm% = x/fix = f d'ofi e > f. Comme pr6e~demment f e s t le seul idempotent de I q \ I q _ t tel que e > f. Ceei achieve de montrer que D est produit sous-direet de demi-groupes compl6tement 0-simples.

Enfin si ¢bu,q et ~ , , . existent (p > q > r), tout idempotent e de I~\,,I~_~ est sup6rieur i~ un idempotent f de Iq~Iq_~ e t a un idempotent g de I~ \ I , . _~ . D'apr~s b) et c) f et g sont eomparables done [ > g ( e a r q > r). Il en r~isulte que (I)q,,. existe. L'6galit~ d)~,qdpq,~----(I)~,~ r6sulte alors du fail que x ~ , q = - - zc. (gO~,q) -- x(gCP~ ~¢pq~,,.) -- x(gCD~,,.) O~l g est un idempotent de I ~ \ I~_x tel que x = xg. D v~rifie done la condition (T).

D.¢]~I~I~IO~ 2 26. - Un ensemble ordonnd avec dldment nul. qui vdrifie ;

1) la condition de chaine descendante ;

2) ehaque dldment non~nul couvre un seul dldment ;

est appeld un arbre.

Du thdor~me 2.25 il r6sulte que :

COI~OLLAIt~E 2 . 2 7 . - Duns un (T)-demi-groupe, rensemble de ¢W-elasses de Green, ordonndes par : Ja ~ Jb ¢:> il existe des idempotenls e E Ja , f E J~ tels que e < f e s t un arbre fini.

Le th~orbme suivant indique la s t ructure des (T) -demi -g roupes ; c 'est un cas par~iculier d 'un th6orbme plus gdn6ral d~ ~t ~[. P E ~ I C ~ et ~ l 'auteur.

T:m~on~rE 2.28. - Soit T u n arbre fini dont l'dldment nul est nold OT. A chaque ~ ~ T ~ O T o~ assoeie un demi-groupe compldtement O-simple S~ de zdro 0~. On pose S* = S~\O~. Supposons que pour ehaque ~ ~ T de hauteur h(a) > 1, it existe u n homomorphisme parliel ¢~ de S~ duns S-~ oi~ ~ est

Annal i di Matemat ica 12

9O G. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers

l 'unique dlgment de T couvert p a r :~. Sur D - - ( U S~*)U(0) on ddfinit une a ~ T a~-O T

opdration o par rdourrence de la fagon suivanle :

1) Si ~c E S* h(:¢) h(~) - - 1, ~ , y E S~ avec --

a) pour o:_~ ~, xo'y = xy si xy ~= O~ et 0 sinon.

b) pour ~ x o y = O .

2) Si x E S*, y E S~ avec par exemt~le: h(a) -- n e t h(~) < n.

x o y - ~ x y si a - - ~ et xy :~O~; xoy-~xc?~oy<p~ si a = ~ et x y - - O ~ ou si a ~ et h ( ~ ) = n ; xoy=x~e?~oy si h(~) < n. Enf in pour lout x E D x o O - - O o ~ c - - O .

M u n i de l'opdration o, D est un (T)-demi-groupe. Bdciproquen~ent tout (T) -demi-groupe a la structure prdcddente, l 'arbre T dlant l'ensembte des g-classes mun i de la relation d'ordre indiqude au corollaire 2.27.

D~MO~STnATION. - Indiquons seulement les principates 6tapes de ]a d4monstration. On v~rifie que D est un demi-groupe. D est r4gulier car ehaque S~ l'est. La hauteur de ~ duns T eoi'ncide avec l;~ hauteur des idempotents de S* : Fensemble des idempotents est donc de hauteur finie. Pour e6 S*, e?~ est un idempotent de S* (o~ est suppos4 de hauteur ~ 2 ) et e% est le seul idempotent couvert par e; ]es idempotents de hauteur 1 couvrent seulement 0. Enfin D a une s4rie pr incipale: cela r4sulte du fait que l 'arbre est l int ; on peut alors construire une chaine croissante finie d'id~aux ~ part ir d 'une eha ine croissaute de T que l'on complete progressivement. D'apr~s le th4or~me 2.25~ D est alors un (T)-demi-groupe . Pour montrer que, r4cipro- quement, tout (T) -demi-groupe a ]a s t ructure indiqu4e, on consid4re l 'arbre d4fini par le corollaire 2.27. En posant T - - D / g on indexe les g-c lasses par les 414ments de T. D'apr~s Ie th4or~me 2.12 on salt qu'il existe nn homomorphisme partiel de J~ dans J/, (~ est l'414ment de T couvert pa r ~). Enfin on montre que t 'op4ration de D h les propri4t4s 1) et 2). Les propri4t4s 2) r4su~tent imm4diatement des propri4t4s de composition des homomorphismes partie]s d 'un (T)-demi-groupe.

CEAPI~RE III .

C o n g r u e n c e s s u r l e s d e m i - g r o u p e s r ~ g u l i e r s .

1. - Demi-groupes ~- rggu l ie r s ,

D ~tant un demi-groupe quelconque, d4signons par ~ l 'une des 4quiva]ences de GnEEN, J~, ~ , ~, ~ , g sur D. Soient E l 'ensemble 6ventuellement vide des idempotents de D et ~IE--~V~(EXE) la restriction ~ E d 'une congruence ~ sur D.

G. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers 9[

D~FI~ITIO~ 3.1. - Ua demi-groupe D est dit ~ - rdgu l i e r si pour toute congruence ~ sur D, ~IE c_ ~[E entrafne ~ ~ ~ .

E X : E M P L E . - Un demi-groupe simple i~ droite, simplifiabie h droite, sans idempotent est ~ - - ~ ) - r @ g u l i e r mais non ~-r~gulier. D'autres exemples apparai t ront dans la suite.

Une :~-classe contient au plus un idempotent, done ~IE eoYneide uvec l'@gali~ et une congruence ~ telle que ~IE ~ ~IE (ou, ce qui est ~quivalent, ,o!E = ~:E) est telle qu'it y a un idempotent au plus par classe; on dit que

sdpare les idempotents [13]. L'objet de ce phragraphe est de donner des conditions n~cessaires, tr~s larges vu le nombre restreint des congruences dont on dispose, pour qu 'un demi-groupe soi l ~-r@gulier.

D~FI~TI~ION 3 . 2 . - a ) S o i l I un iddal bilat~re propre de D. D est dit I - inversd si pour tout a~ I~ il existe x E D tel que ax E E \ ~ I supposd non vide.

b) D est dit inversd, s'il est sans zdro et si pour lout a E D, it existe x E D tel que ax E E.

Si D est I-invers~i, il existe x E D tel que a x a x - - a x ~. I e t [(xax)a] [ (xax ja] - -: x(axj(ax) (ax)a .= (xax)a; il existe donc aussi y E D (y -- xax) tel que ya E E \ I (ya ~ I car a x - - a y a x ~ I). Ceci nous montre que les d~finitions a) et b) ne sont pus lat~ralis~es. De plus, si E\I=4= O, E \ I e s t un complexe ~quir~siduel et son r@sidu contient L

Les congruences qui interviennent pour obtenir des conditions n~cessaires de g - r~gu la r i t~ sont les congruences de REES ~ 1 - - ( I X I ) U iD Oil I e s t un ideal bilat@re de D et iD est l'@galit@ sur D. D'abord:

I~E~ME 3.3. - Si une ~ -c lasse de Green I~ contient un iddal bilat~re I de D, K coincide avee I e t c'est le noyau (c'est-&-dise l'iddal bilat~re min imum) de D. Lorsque ~ -- ~ [resp. ~], K est simple ~ droite [resp. 4 gauche]; lorsque

-- ~, K est un groupe (~).

D~MO~S~nATIO~. - Soit a E I~_ K. Pour tout ~ E K , (a, x)E ~, done x E D~aD ~ ~ I e t K - - L Si I ' est un id@al bilat@re de D, I ' N K est un ideal contenu dans K, done F C ~ K = K et K ~ I ' ; done K est l 'id~al bilat~re minimum de D.

Supposons g - - 2~. Pour tout a E K , aD ~ c__ K. Mais x E K implique (x, a ) E ~ , done wEaD ~. I1 en r~sulte aD ~ - - K ' - D ~ a D ~. On en d@duit D a ~ a U a D et K = K a K ~ DaK ~ a K U a D K = a K ~ K. D'ofi K : a K est simple h droite. Une d~monstration analogue w~,ut pour ~ = ~ et le r~sultat relatif h. ~ =

(v2) La question (non r@solue) de savoir si~ lorsque ~ ~ 9, K est bisimple ou non est liege au probl~me ouvert signalg duns [2] p. 62, ex. 6.

92 G . LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers

Me d~iduit des pr~c4dents. Si g----~) et si K eontient au moins un idempo. tent, on v~rifie que K est bisimpte.

PROPOSITION 3.4. - 1 °) Si D est ~-rdgulier, il est inversd ou O-inversd ;

2 °) Si D est respectivement ~ , ~, 9 , ~-rdgulier, -- ou bien il est sans icle~npotent et respeclivement simple ~ droile, ~ gauche, bisimple, simple, -- ou bien D a u n noyau K sans ideJnpolent (sauf dvenluellement lorsque K - - ( 0 ) ) , simple ~ droite duns le cas ~-rdgulier, ~ gauche duns le cas ~-rdgulier et duns tous les cas D est K-inversd, ~ ou bien D est inversd.

D~O~S~RA~ON. - 1) Supposons que D ayan~ ua z~ro soil ~ - r~ga l i e r et qu'il existe un ideal bilatbre I ~ ( O ) de D ne eoatenant pus d' idempotent autre que 0. La congruence de REES ~I s~pare les idempotents et ~l C_ ~. D'apr~s le lemme 3.3, I e s t un groupe douc I----(0), ce qui contredit l 'hypo. th~se. Le complexe E \ ( 0 ) est ~quir4siduel de r~sidu un ideal W ne contenant pus d ' idempotents non nuls ; done W'--" (0) et D est (0)-inverse. Lorsque D n'a pus de z~ro, de 14gi~res modifications de la d~rnonstration pr~c~dente montrent que E est net et D est inverse.

2) Si D est saus idempotent, il est respectivement simple h droite, h g~uehe, bisimple ou simple. Si D a u n z~ro, comme en 1) tout ideal non nul de D eontient un idempotent non hal, le r~sidu de E \ ( 0 ) est done (0) et D est 0-invers(~. Si D a an noyau K non r~duit /~ (0),

- - ou bien K contient uu idempoteut e et pour tout a ~ D il existe x tel que ax ~ K (par exemple ~v--e); comme K est simple il existe u, v ~ K tels que uaxv -- e ; (xveua) (x, veua) -- ~cveua ~ K ; done D est inverse.

- - ou bien K est sans idempoteut ; comme en 1), tout ideal I tel que K C I contient un idempotent : le r~sidu W de E (E n'est pus net car K est sans idempotent et K ~ W) coincide done avee K et D est K-invers(i. Duns ce dernier cas les propri~it(is particuli~res de K relatives h la ~ ou ~-r~gulari t~ r~sultent du lemme 3.3.

Les conditions de g - r~gu la r i t~ ~nonc~es ci-dessus ne sont pus suffisantes. Par exemple duns le demi-groupe fini dont la table est donn4e ci-contre,

a

b

C

d

e

a b c d e

6~ a a o~ o~

a b a a a

a a C a c

d d d d d

0~ a C a C


- - - ~ - - i (~galit~) et ~ ~ - ~ - - ~ - - { ( a , d ) , b, c, e)}. D est inverse : la congruence ~ de classes a~ b, (~, e), d, s~pare les idempotents et i~ n 'est pus coutenue duns g (quel que soit g). Avec des conditions suppl(fmentaires la ,3{-r~gularit~ entraine la r4gulai:it4 ( ~ a E D, ~x~ E D " axa ~ a) ; par exemple : si ur~ demi-groupe D eommutati f est ~{-rdgulier, il est rdgulier. En effet, la relat ion: (a, b)E~<=>a divise une puissance de b et b divise une puissance de a, est la plus fine congruence idempotente s u r D ([2], par. 4.3), Comme s~pare les idempotents, ~ est contenue duns ~ . Les ~-classes sent des sous - demi-groupes , done D est r(iunion de groupes ([2], th~ori~me 2.16).

D'une fa¢on g4n~rale, le probl~me suivant reste ouvert : un demi-groupe quelconque, g r(igulier pour tout ~{, es t - i l r~gulier? Ce probl6me est lid fi l '~tude des ~)-classes irr~gulibres duns un demi-groupe quelconque.

2. - Comparaison des congruences et des ~quivalences de Green dans un demi-groupe rdgulier.

Nous util iserons duns ce paragraphe des relations d 'ordre sur les classes des ~quivalences de GREEN. Ces relations d'ordre, introdnites duns [10] pour un demi -g roupe quelconque et utilis~es /~ diverses reprises notamment par MIYNN [20], se d~finissent de la fa~on suivante pour un demi -g roupe rdgulier: nous herons Ka la ~C-classe d 'un (~l~ment a, et nous ordonnons l 'ensembles des ~ - [ r e sp . ~ - ] classes par Ra ~ Rb <=>aD H bD [resp. L a ~ Lb <::> Da H Db], t 'ensemble des ~ - c l a s s e s par H a ~ lib <::> Ra ~ R~ et L a ~ Lb, l 'ensemble des ~-~lasses par Ja~J~<::>DaDHDbD. Les relat ions d 'ordre sur les divers ensembles ~tant nerves de la m~me fa¢on ~ , le contexte indiquera de quel ensemble et de quelle relation il s'agit. Signalons que les relations d~finies ne sent pus ind~pendantes : par exemple, Ra~.Ro ~ J a ~ J ~ . I1 n'est pas possible, en g~n~ral, de d~ifinir une relation d 'ordre sur les ~ - c l a s s e s de fa¢on que R~ ~ R~ ou L a ~ Lb ~ Da ~ Db ~ Ja ~ Jb"

PaoPosITm~ 3.5. - Soit ~ une congruence quelconque sur un demi-groupe rdgulier D et soit X une ~-classe qui est un sous-.demi-groupe de D. Pour tout dldment x E X, il existe un idempotent i E X tel que H~ ~ H~.

D]~MOIgSTRATIO~¢. - Soit X une ~-classe qui est un s o u s - d e m i - g r o u p e et x E X. Soit (x~) ' un inverse de a~ 2 E X : [x(x~)'x] [x(a3~)'X] -- x~(x2)%~(x~)% = x(x~)'x. Done x(x~)'x est un idempotent i et H ~ H ~ . De plus i--~(~)'ze~x,Z(vc~)'x~---x~x, ce qui montre que iE X.

En d 'autres termes, la proposit ion 3.5 indique que duns tout homomorphisme d'un demi-gronpe r6gulier sur un autre, le s o u s - d e m i - g r o u p e image r6ciproque d'un idempotent contient un idempotent ; la proposit ion 3.5 a des eons6quences imm~diates "importantes: par exemple, l ' image homomorphe d'un demi -g roupe inverse est un demi -g roupe inverse [22], [26] (si D est inverse


SO(D) --" D est rdgulier et pour e, f idempotents de /), il existe e E e, fE f off e

ct f idempotents de D; e f - - - f e implique e°f--/~e done JO est inverse). De m~me l ' image homomorphe d 'une somme orthogonale de demi-groupes compl~tement

0-s imples est encore nne telle somme orthogonale. (Si dans D = s0(D) on a

e/7-- ? e - - e :# (), pour e et ? idempotents de D, alors [ e l " - - e et il existe un

idempotent f - - / ~ tel que pour wEe, ~ ( f x f ) - - SO(e). I1 existe alors un idempotent

l E e tel que i - - f x f z f x , f ; il en r6sulte i - - f et i - - ~ e - - f ; dans D r~gulier, tout idempotent non nnl est primitif). En part iculier l ' image homomorphe d 'un demi-groupe complGtement 0-s imple est aussi complGtement 0-simple.

T ~ O R ~ E 3.6. - Tout demi-groupe rdgulier est ~-rdgul ier , J{ ddsignant l 'une quelconque des dguivalences de Green.

D]~CONSTRATIO~Z. - ~Tous notons ~' un inverse d'un 61~ment x E D.

1) Soit p une congt'uence telle que p/E c ~[E. Si (a, b)E ~, (aa', ba')E p et en apptiquant la proposition 3.5., il existe l E E , tel que H ~ Hb~, avec (i, an') E ~.

Comme p I E ~ ~ ! E , Ran, ~- Ri ~ R~a, ~ R~. Or Raa, "-" R a done Ra ~ Rb. On d6montre de m~me /~b ~ Ra, d'ofi (a, b)E ~ et p ~ 2~. Sym6tr iquement D est aussi ~-r6gul ier . La ~E-r6gt~larit6 se d6duit de la ~ et £-r~gular i t6 .

2) Soit ~ une congruence telle que ~ I E ~ 91E. Nous montrerons ~ 9 en deux 6tapes.

a) Supposons d'abord (x, e)E~ avec eEE. On a ~ c x ' - - f E E et x ' x - - g E E . En prenant i -" x(x~)'x (cf. proposition 3.5) on obtient: (i, m) E ~, /~ -" i --- ig et g i f = x'x~(x")'m~x ' -'- x'w~-~c ' - - gf. Par ail leurs (ac, f) E ~ ] impl ique (gx, g f ) E g L On v6rifie sans difficult6 que gx admet m'i comme inverse, d'ofi (oc'igx, g~c)E ou encore (ac'ix, gx)E ~. ~[ais 9 = 2~ o ~; it en r6sulte (x'iz, g f ) E 9. Comme (gf, i ) E 9 et (i, e)E,~ (el. ddmonstration de la propositon 3.5)impliquent (i, e )E9 , on obtient x ' i x g g f g i 9 e . Enfin ~c'i~c est un idempotent et par hypoth~se:

(x'ix, x'x) E ~ ~ (x/ix, x'x) E 9 ; d'ofi x g x ' x , 9 $ ' i x g e .

En conclusion : pour tout x E D, e E E, (oc, e) E ~ ~ (x, e) E 9 .

b) Supposons (a, b) E p. En pos~nt b i b - - h (h E E) on a les implications:

(a, b) E p ~ (an', ba') E ~ ~ (an', ba') E 9 ~ (a, ba') E 9 ;

(b, h) E ~ et (a', a'a) E $~ ~ (ha', ha'a) E 9 .


Or ha'a=b'ba'apb'aa'a=b'apb'b--h et d'npr~s a), (ha'a, h ) ~ . Enfin (h, b ) ~ £ ~ et en r~sum~ a~ba'~ha'a~)h~b, ce qui montre que p ~ ~ .

3) Supposons ,~IE ~ ~]E. Comme pr~c(~demment, si (x, e) ~ p a v e c e ~ E, il existe i ~ E tel que (i, e) ~p et H ~ H , ~ (proposition 3.5). On en d~duit J e = J ~ J ~ . Maintenant, pour a, b t e l s que ( a , b ) ~ : ( a a ' , ba ' )~p~J ,~ , ~J~a,<~J~. Mais J a , ' = J a , d'ofi: Ja-~J~. En permutant a e t b on montre de m~me ~ ~ Ja, d'ofi (a, b) ~ ~/.

~EMA1RQUE.- Le th~or~me 3.6 peut s ' interpr~ter de la fa¢on suivante : sur un demi-groupe rdgulier une congruence p exemple) si et seulement si:

~e, f ~ E, (e, f) ~ ~ ~ . e f = f et

est plus fine que ~ si et seutement si :

~e, f ~ E , (e, f) ~ p ~ x ~ D : x~' = e et

Le th~or~me 3.6 permet d 'aff i rmer que

est plus fine que ~ (par

r e - - e ;

w'x " - f (w' inverse de w).

sur un demi -g roupe r~gulier, pour chaque relation de Gm~E~ g , tes congruences p telles que pie ~ ~tE, forment un sous- t re i l l i s complet du treillis des congruences. De m~me, s ' i l existe au moins une congruence p, telle que p i E - - H I E (c~est toujours te cas pour ~ = :~), alors routes les congruences poss~dant cette propriO~ forment un sous- t re i l l i s complet.

Les sous- t re i l l i s relatifs aux diverses ~quivalences de GtcE~:~ peuvent col'ncider; par exemple, dans un demi -g roupe inverse tout ideal princil~al d~un c0t~ a un gdn~rateur idempotent unique ([2], th~or~me 1.17); il en r~sulte ~ I E = ~ t E = ~£tE= iE off iE est l'~galit~ sur E ; les treillis re]atifs h 2~, ~ et ~ coincident. En fait le th~or~me 3.6 montre que sur un demi - groupe inverse il n 'existe pas de congruences p ayant Fune des propri~t~s : ~ C P C ~ ou ~ C ~ ; en par t icul ier ~ ou ~ est une congruence si et seulement si le demi -g roupe est un demi- t re i l l i s de groupes.

CO~OLLA]~E 3.7. - Soil D u n demi-groupe inverse. Les congruences plus fines que ~ sont aussi plus fines que ~ et rdciproquement. ~ ou ~ est u~e. congruence si et seulement si D est un demi-treillis de groupes.

Dans- la suite notre int~r~t portera essentiel lement sur le sous- t re i l l i s relat if i~ ~, c 'est-~t-dire sur les congruences s~parant les idempotents. Ce sous- t re i l l i s a des propridt~s analogues h celles du treillis des congruences (ou des sous -g roupes normaux) d 'un groupe.

P n o e o s ~ o ~ 3.8. - Sur un demi-groupe quelconque route dquivaleuce rdguli~re 4 gauche plus fine qve ~ co~mute avec l~ule dquivalence rdguli~re ~t droite plus fine que ~.


D]~o :~s~nA~IO~. - Soit ~ [resp. )~] une 4quivalence r~guli~re h gauche [resp. h droite] plus f ine que ~ [resp. £]. Montrons ~ o ), ~ )~ o ~ (cela suff i t pour assure r ~ o ), -- ), o p).

Si (a, c) E~ et (c, b)E),, a = c u et b ' - v c avec u, r E D ~. En posant d -- bu -- vcu "- va on obtient :

(a, c) E ~ ~ (va, vc) E p c 'es t -~t -d i rc (d, b) E ~ ;

(c, b) E ), ~ (cu, bu) E ), c ' e s t - i t - d i r e (a, d) E ~.

En d~fini t ive (a, b) E ~ o ~.

R E M A R Q U E . - ~ o ~ = ~ O e~ est un corol la i re de cet te proposi t ion (cf. [2], l emme 2.1).

COROLLAIaE 3.9. - Sur un demi-groupe quelconque le sous-treil l is complet des congruences p lus fines que ~f est modulaire.

En effet, pour deux congruences ~ et ~2 plus f ines que :~, ~ / ~ - - ] ~ o ~ ; on v6rifie alors sans diff icn]t6 que si a, "c sont des congruences plus f ines que

,~ ~ • ~ (~ o ~) (1 "~ --~ ~ o (~ ~ :); (ef. [20] ).

COROLLMnE 3.10. - Sur un demi-groupe r@ulier, les congruences s@arant les idemlgotents forment un sous-treil l is eomplet modulaire du treiltis des congruences.

3. - E tude pa r t i cu l i~ re du t r e i l l i s des congruences ~dparant les idempo- t en t s sur un d e m i - g r o u p e r(!gulier.

Ces congruences sont caract6ris6es par le th6or~mc su ivan t :

T~]~OR~]~E 3.11. - Soient D u n demi-groupe rdgulier, E l'ensemble de ses idempolents, el n u~e famille de sous-groupes i w r ~ a u x ~V e (e E E) des sous- groupes max imaux , vdrifiant les conditions (A) et (B) suivantes :

I f e = f ~ f 2 ~ r pour tout e, f E E ;

(A) ef -- f ~ i V < f ~ 2i r pour tout e, fE E.

(B) ~ a E D, ~ a ' E D, a' inverse de a : aN(,,a) C ~(aa,~a .

Posons (a, b) E ~, si et seulement si il existe un inverse a' de a el un inverse b' de b tels que ab'E ~¢b') el a'b E Nca,,~. Alors ~n est une congruence plus fine que ~ dont les classes des idempotents sont prdcisdment les _h~. l~dciproque~ent, toute congruence p lus fi~e que ~ est du type en.

G. LALLEMENT" Demi-groupes rdguliers 97

R E ~ I A R Q U E S . - 1) La condition (A) est 6quivalente ~: f e = f l ~ N r . N e ~ N t et e f ' - f ~ N e . N r ~ N r. La condition (B) 6quivalente g: a.hra,ma'C_ Na,, pour tout a E D e t a ' inverse de a, expr ime que les sons-groupes normaux situ~s dans une m~me ~ - e l a s s e sent tous isomorphes.

2) Les conditions (A) et (B) sent ind6pendantes. Dans un demi-groupe D r6union de groupes (B) est v~rifi(te p a r la famille form6e de tons les sous -groupes maximaux. Pour cette famille, (A) n'est v6rifi6e que si D est une bande de groupes (Jr est une congruence). D o n e (B) n ' en t ra lne pas (A). Dans un demi -g roupe de BRAI~DT (compl/~tement 0-s imple et inverse) r e - - f implique f = 0 ou f----- e et (A) est v~rifi@ en prenant une famille 11 quelconque de sous -groupes normaux des sons-groupes maximaux. Or (B) impose que ces sous -g roupes ( ~ 0) soient isomorphes. Done (A) n 'entralne pas (B).

3) Les conditions de d~finition de ~n ne peuvent se r~duire g l 'une d 'entre e l les : par exemple, si D est eompl~tement simple avec il ~-{{e}, ...} off e E E , a = ( x ; i,),) et b - - ( x p ~ i p ~ ~; i, ~) a vec )~4=~t, sent tels qu ' i l existe

/ ~--Ix--I~-'-I b ' - - ~ , ~ ~'ia ; i, I~) satisfaisant i* a b ' = bb'; et pourtant a'b ~ a'a pour tout a' inverse de a.

D~ONSTRA~IO~. - 1) ~t,-----~. En effet, si (a, b)E~,, il existe a' et b' tels que (ab', bb') E Jf et (a'b, a'a) E ~. It en r(~sulte

bb' E abed C aD et bD = bb'D ~ aD = aa'D.

On en d~duit aa'b -" b. Or (a'b, a'a) E ~ implique (an'b, a) E g~ e'est-~t-dire (a, b) E~g. De m~me (a, b)E~. 5Totons que (a, b)E~ est ~quivalent ~ a ~ - b b ' a - - - - ab'b et b -- ba'a.

2) 9,, est symeitrique. En effet, pour (a, b)E ~, , ab'E.N(~,~ et a'b E N,,,~) impliquent ba' - - aa'ba' E a N , , . ) a ' : ~ -hT(~a,~ et b'a = b'ab'b ~, b'N(~,,b' ~ 2¢(~,~ (condition (B)).

3) ~n est transitive. Avee (a, b)E~,, et (b, c)Ep., on a: ab'EN(,,~,~, a'bEN(a,~), bc'E N(e~,~ et b"c EN(~,,~ off b' et b" sent deux inverses de b. D'apr~s 1), a, b et c sent Jf-~quivalents , donc bb'cc'= cc' et a'ab"b--a 'a . Dans ees condit ions: ac' = ab'bc' E N(~,~. N,~e, ) ~ N¢~e,~ et a'c -" a'bb"e E I~ ,a)" N(~,,~) ~ 2¢~,~), d'apr~s la condition (A). I1 en r~sulte (a, c)E ~, .

4) ~, est r6guli~re. Supposons (a, b)E ~, et soit c E D:

ca(cb)' - - cbb' a(cb)' = cb(cbycbb'a(cb)' E cb[(cb)' (cb)N~, ] (cb)'.

En faisant intervenir (A) puis (B), on en d~duit : ca(cb)' E N(eo)~e~)'. De m~me :

(ca)'cb - - (ca)'eaa'b E (ca)'CaNa, a ~ N(ea)',em.

I1 en r~sulte (Ca, cb) E ~ . Pour la r~gularit4 i~ droite la d~monstration

est analogue.

Annali di Matemalica 13

98 G. LALLEMENT; Demi-groupes rdguliers

5) Les classes des idempotents de pn sont les .Y~. Si a E ~ e , aeEZT ei a-aeEh~e off a -~ d~signe Pinverse de a dans N , . Done (a, e)Epn. Inversement , (a, e)E p, implique qu'i l existe a' e t e ' , inverses d e a et e (e' n'est pas un idempotent en g4n4ral) tels que ae'E N(ee. ~ et a'e E N~a,a). On a:

a'a E N(a'a) ~ (a'a, ate) E ~ ~ (a, a'e) E ~ ~ a E Da'e C De ~ ae --- a.

Or ae' EZ~ee,,e C_C_ 2i e (condition (A)) et ae'e -- aee'e -- ae -- a; done aEiVe, ce qui ach~ve de prouver que /Ve est la pn-classe de e.

6) R~ciproque. Soil ~ une congruence plus fine que :~. Prenons pour 11 la famille des p-classes des idempotents de D. n e s t fortune de sous-groupes normaux v~rifiant ( A ) e t (B). D'apr~s la partie directe, les p r c l a s s e s des idempotents de D sont les.~l~ments de n. D'apr~s le corollaire 3.17 du paragraphe suivant p,~ -- p.

Une cons6quence immfidiate de ce th6orbme est la su ivante : sur un demi -g roupe r6gulier, une condition n6cessaire et suffisante pour que Jf soit une congruence est que r e - - f ~ f G ~ c Gf et GdC__ Gf off G~ est le s o u s - groupe maximal de l ' idempotent i. Si on appelle l)artie grou~ve de D (cf. le cas des demi-groupes compacts), le complexe I ~ r6union des sous-groupes maximaux, l a condition pr6c6dente signifie que ~ est r6guli6re sur D si et seulement si :~ est r6gulibre sur la part ie groupe, e 'es t - i~-dire:

(a, b)E ~ D ( I ' X F) et c Er, ac on beEF [resp. ca ou cbEP]

(ac, be) E ~f. [resp. (ca, cb) E ~].

Dans la suite, nous donnons une earact6risation du eomplexe r6union d 'une famille de sous-groupes normaux v~rifiant (A) et (B) et nous exprimons les congruences s~parant les idempotents par l ' interm~diaire de ee eomplexe, dans les cas part icul iers off D est inverse et D est somme orthogonale de demi-groupes eompl~tement 0-s imples , (clans le premier cas les idempotents eommutent, dans le second ils commutent peu : e l - - f e =4= 0 ~ e - - f pour tout e, fE E).

Ttt]~OR~ME 3.12. - Soit D un demi-groupe inverse. I1 y a dquivalence entre :

(1) n - - {Ne },~E est une famil le de sous-groupes normau~ vdrifiant les conditions (A) et (B) du thdor~me 3.11.

(2) S - ~ U 2¢ e est u n demi-trei l l is de groupes contenant tousles idempo. e~E~

tents de D et S est tel que pour tout aED, aSa -1C_ S.

Pour lout demi-groupe S de D vdrifiant (2), la relation ~s ddfinie par: (a, b)E ps ¢:~ a - l a - - b - ~ b et ab-~E S, est une congruence sdparant les idempolents, et toute telle congruence peut s 'exprimer ainsi.

G'. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers 99

D~IONSTR£~[O~. - (1) ~ (2). S = kJ Ne est un sous-demi-groupe. En e[fet,

e e f - " e f et d'apr~s (B), NeefC_ Ncef); de m6me N(ef). N f ~ N(e)~; dour N e ' N [ - - N e e ' f N zc-NCef , . Si a E N e , pour tout f E E tel que r e = e l - - f , on a a f = f a E N f : en effet a f et f a E N / , done f a f = a f - - f a . Si a E N ~ , pour tout g E E , e g - = g e est un idempotent f t e l qne e l - - i r e - - f , donc a f - - f a et ga - - gea = fa - - a f - - aeg - - ag. Dour E est duns le centre de S qui est aussi un demi- t re i l l i s de groupes ([2], par. 4.2). Montrons maintenant que cbSa -1 ~ S,

c'est-i~-dire que a N e a - l ~ N<aea=~ ). Pour tout x~ENe,

axa -1 - - a x e a - l a a - ~ --_ a x a - l a e a - ~ ;

doac a n n a -~ = aeNea-~aea -1 - - aeNea-~ae(ae) -~. Or h~a-~ae ~ hT(ae)--l(ae) d'apr~s (B), done :

aNea -1 - - aeNea- laea -1 --- c~eN(ae)-kae, (ae) -1 C N(ae)<ae)-i = N(aea b.

(2) ~ (1). Soil Ge an sous-groupe maximal de D. N e - - S f ~ G e est un sous-groupe de D. Comme pour tout a E Ge, a (S (~ G e ) a - ~ a S a - Z N a G e a - ~ C - - C_ S N Ge, Ne est normal. La famille des Ne v6rifie la condition (A) car l '~quivalence ~ de GUEEX sur S est r~guli~re. Par ailleurs, pour tout a E D

et x E N(a-la) : az~-lax-i~ -i ~ (~-i(~xx-i(~ -i - - - q~x--io~ -I ~ ao~-i)

et de m6me ax-~a=~axa-~--aa -~, ce qui prouve que axa-~EG(~a-~, et a~Va-~a)(~ -xC_ ~h~aa-~. Montrons enfin qne 9s--~,, off ll est la famille des N e d6finie ci-dessus. Si (a, b) ~ p , , ab -z E ~ ) ~ S e t (a, b) E ~. D'aprbs le th~or~me de CLIF~OnD- ~[IL~Ea ([18] et [2] p. 60) sur la localisation des inverses d 'un ~16ment r6gulier, il en l'6Sulte a-~a =b-Zb . Done (a, b)Eps et p, ~ Ps. Inversement si (a, b)Eps, a-~a = b-~b et ab -~ E S done (a. b)E ~ et ab -~ E Ne. On en d6duit (e, bb -~) E d'ofi e = b b -z et ab -~N(o~-~>. On a aussi (a -~, b -~)E~g, d'o~ (an -~, e)E~g et aa -~ = bb -~. Finalement ,

D'apr~s le corollaire 3.7, ce th~orbme 3.12 d~crit en fail routes les congruences sur un demi-groupe inverse plus fines que 2~ ou ~. En part icul ier :

COROL~i~nE 3.13 [13]. - L a congruence m a x i m u m ~ s @ a r a n t les idempo.

tents sur u n demi -g roupe inverse D, est ddfinie p a r : (a, b) E ~ ca a-~a = b-~b el ab -~ E E~ o~ E~ = { x~ ~ D : xe - - ex pour lout e E E } est le central isateur de E.

Eu effet, E~ est uu demi- t re i l l is de groupes contenant E et pour tout n E D , x E E ~ et e E E :

e(axa -~) = (eaa-~)axa -~ -- (aa-~e)axa-~ = a (a - i ea )xa - 1 - - ax(a-~ea)a -~ .~

= axa-~(eaa -~) = axa - l e ,

donc a(E~)a -~ c_ E~.


COnOLLAIRE 3.14. - Dans un demi-groupe inverse D, les sous-demi-groupes inverses qui contiennent tous les idempotents, sont demi-treillis de groupes et vdrifient a S a - I ~ S pour tout a ED, forment un treillis eomplet modulaire dont E est l¥1dment nul et E~ l'dldment universel.

Un demi -g roupe est somme orthogonale de demi -g roupes compl~tement 0 - s imples si et seu lement si il est rdgulier et tous ses idempotents sont primitifs (th4or~me 2.9). Cette derni~re condit ion est ~quivalente /~: e f = fe =#

0 ~ e - - f pour tout e, f E E . (Si e l - - r e d O , e f e s t un idempotent g ~ 0 tel que g e : e g : g - - g f - - f g ; d'ofi e : g - - f ) . Duns le th~or~me suivant, pour dviter des complicat ions d'~nonc~, nous supposons que les demi -g roupes compl~tement 0 - s imples qui in te rv iennent sont sons forme de demi -g roupes de matr ices de REES ~r['5°(G ; L A; P ) ; nous supposons de plus que la matr ice P a (~t~ normalis~e ([2], p. 95) de fa¢on que G apparaisse effect ivement comme un sous -g roupe maximal de ~ ° ( G ; /, A; P) (par exemple, on suppose que I e t h ont un indice 1 en commun et que [t~ = G.

Tg~OR]~ME 3.15. - Soit D u n e somme orthogonale de demi-groupes compldtement O-simples ~l~°(G~; I~, h~; P~). II y a dguivalence entre:

(1) K est la rdunion d'une famille rl de sous-groupes normaux de D vdrifiant les conditions (A) et iB) du thdor~me 3.11;

(2) K \ O est un complexe rdflectif (i.e. ab E K \ O ~ ba E K \ O pour lout a, b E D) el K ~ G ~ est un sous-groupe de G~.

Pour un complexe K vdrifiant (2), la relation pK ddfinie par : (a, b) E ~KC:V it existe a' et b' inverses de a e t b tels que aa'-" bb' et ab'E K, est une congm~ence sdparant les idempotents et toute telle congruence est de ce type.

D~O~STRA~IO~. - (1) ~ (2). Cela r~sulte du th4orbme 3.10 et des propri~t~s des sommes orthogouales de demi -g roupes compl~tement 0-s imples .

(2) ~ (1). K 7 / G~ est uu sous-groupe normal de G~,, car pour aE G~ et x, E K O G~, x = x a a -~ 6 K \ O ; ta r~flectivit~ de K en t ra iae alors a-~xa E K O G~. Duns la suite nous nous pla¢ons duns un d emi -g ro u p e !~YlS°(G~ ; I~, h~; P~) fix~, c 'est- /~-dire dans un facteur pr incipal de D. Duns U~criture des matr ices de REES nous suppr imons l ' indice ~, et nous notons par e l '~l~ment unit~ du groupe G~. On remarque d 'abord que :

(i) (x; 1, 1) E K ~ (xpi5 ~; i, )~) E K pour route entree pz~ de P telle que p ~ ~ 0 et pour tout xE G.

(ii) (x; i ,)~)EK e t p ~ 0 ~ ( x p ~ ; 1,1) E K pour tout x E G .

En effet, (x; 1, i ) - - ( p J ; 1, )~) (e; i, 1) (0~; 1, 1) E K \ O impl ique

(e, i, i) (x ; 1, 1) ( p ~ ; 1, k) : (xp~ ~ ; i, )~) E K \ O .

De m~me (x; i, k ) - - ( e ; i, 1) (x, pzi; 1, 1) ( p ~ ; 1 , ~ ) E K \ 0 impl ique

( p ~ ; 1, k) (e; i, 1) (xpT.i; t, 1 ) - - (xp~.i; 1, 1 ) E K \ 0 .


L 'appl iea t ion (x; 1, 1)-->(e; i, 1) (x; 1, 1) ( p ~ ; i, )~)d4finit un isomorphisme de G sur Gf avec f - - ( p ~ ; i, ),) et d'apr~s (i), K(3 Gf est un sous-groupe normal de Gf i somorphe h. K n G . De plus, si (a; i, ) , ) e K \ O , alors p ) ~ # O , sinon eu p renan t j tel que P~4 ~ 0, (a; i, k ) = (a; i, )~) (pili l; j , ~)e K \ 0 d'ofi (p~l ; j, ~) (a; i, ).) = 0 e K \ 0 , ce qui est absurde.

K est done r6union 'de sous-groupes n o rmau x isomorphes et de {0}: il v~rifie (B). Eu ce qui concerne (A), montrons par exemple que [g := g impl ique N f g ~ N a . Si g = 0 , c'est 4vident (No={0}) . Si g ~ O , f g - - g est 4quivalent

(f, g ) e ~ ; donc f=(p)]~; i, ~) et g - - ( p ~ ; i, it). Pour tout 6I~ment (a; i, k )eNf , (a; i, ),) (p~i~; i, ~ ) - - ( a p ) ~ p ~ ; i, it). D'apr~s (it), (ap)~; t, l ) e K et d ' ap rbs (i) (ap)~@~; i, it)~ 1+2, ce qui prouve Nfg ~ Ng.

D4signons par n la famille des sous-groupes no rmaux formant K. Si (a, b)@ ~,,, alors (a, b)e ~E et il existe a' tel que aa'--bb' , a 'a - -b 'b et ab'e K (th6or~me de CLIFFORD-3[U~LER et d6finit ion de ~n) d' off (a, b)e ~K. Inverse- ment, si (a, b) ~ pzc, aa' = bb' et a'a ---- b'b impl iquen t (a, b) e ~E e t (a', b') e ~E. Comme ab' e K, ab' e N~ et (ab', e) ~ ~ . Or (ab', an') ~ ~ et (ab', bb') e ~ ; de a a ' = bb' on d6duit alors e = an' - -bb ' , d'ofl ab' e h~¢. I1 reste ~t mont re r que a'b e K; il en r4sul tera eomme pr4c6demment a'beNa,a.

Si ab'--O, a=b--O et a'b--O. Si ab'=4=O, en posant a---(u; i, ),) et b--(v; i, )~), b' est de la forme ( p ~ v-lp~-l", j, it ) et a' -1 _~ -~,. -- (P~i u p~, j, it) a v e c p ~ 0 et p~,~ ~ 0.

Dans ces condit ions ab'--(uv-~p~¢; i, it)~ K. D'apr~s (i) et (it) c'est ~quivalent h. (uv-~; 1, 1 ) e K . Pu i sque a 'b=(p ;~u-~v ; j, )~), pour mont re r que a'b~K, il suffit d '4tablir (p~:i~u-Ivp)4; 1, i ) e K . Or eeci r6sulte de (uv-1; t, t ) e K et du fair que K n G es~ un sous-groupe normal. Done (a, b)e ~, et ~g---~n.

Pou r les demi -g roupes r4guliers dont t o u s l e s idempotents sont primitifs , la congruence maximale s~parant les idempotents est l '4quivalence ~ de GREEN. Les complexes K v~rifiant la condit ion (2) du th~or~me 3.15 forment un treil t is complet modulMre d'~l~ment nul l 'ensemble E des idempotents , et d'414ment universel , la r4union des ~ -c lasses groupes, c ' es t -h-d i re la part ie groupe F de D. Dans le cas d ' u n demi -g roupe compl~tement 0-s imple , ~2)~°(G; / , A; P ) le rSsultat pr~e4dent prend la forme su ivan te : les comple~es rdflectifs engendrds par les sous-grsupes du groupe de base forment un treillis complet modulaire.

Los r4sultats de ce paragraphe mont ren t que la not ion de normali t~ dans cer tains demi -g roupes r~guliers peut ~tre envisag4e sous un double aspec t : ce qui joue le rble de sous-groupe normal dans un groupe est, ou bien une famil le convenable de sous-groupes no rmaux de~ sous-groupes maximaux , ou bien le eomplexe r~uniou de ees sous-groupes normaux. Ici f igure une res t r ic t ion: nous n 'avons considdr4 que les congruences s~parant les idempotents. Nous verrons darts la part ie IV que duns le eas des demi -g roupes


complbtement O-simples, ce double point de vue se retrouve sans restriction sur les congruences consid6r6es.

4. - Congruences et h o m o m o r p h i s m e s s u r un d e m i - g r o u p e r~gu l i er .

Dens ee paragraphe sont rassembl~s des r6sultats de caractbre g~n6ral concernant les congruences sur ua demi-groupe r6gulier et les homomorphis. rues d 'un demi-groupe queleonque sur un demi-groupe r6gulier.

Soient an demi-groupe queleonque et p une congruence sur D telle que le demi-groupe quotient D/p soit r6gulier. Dens D/~ coasid6rons un systbme de repr6sentants {kl des ~E-classes groupes autres que la elasse z6ro (si elle existe). Si l 'on d6sigue par ~ 1' homomorphisme canonique ~:D--> D/p, chacun des .repr6sentants k admet pour image r6eiproque un complexe K - " ~-l(k) de D. La famille des complexes K images r@iproques des divers repr6sen- tants k sera d6sign6e par ~ fami l le reprtlsentative clans D des H-c lasses groupes de D/~ ~ ou bribvement par ~ f ami l l e g~-reprdsentative~'(la lettre g abr~viant le mot << groupe >>). On dire ~galement (¢[amille g+-repr~sentative>>~ torsque e'est t 'homomorphisme ~ qui est donn6 direetement.

T K E O R ~ 3.16. - Soit D u n demi-groupe rggulier. Si deux congruences et z sur D sont telles q~t'une famille g o-reprdsentative et une famille g~-re.

prdsentative co~'ncident alors ~ -~ ~.

DE~[ONS~r~A~rO~¢.- a) Supposons que z soit l '6galit~ sur D et que ta famille g~-repr~sentative corresponde ~ un systbme de repr6sentants form~ des idempotents non nuls. La ~-elasse de z~ro (si elle existe) est un ideal bilat~re L S'il existe a e / , a ~ 0 alors ac t ' e [ et a a ' ~ O (a' est an inverse de a); m ais la z-elasse de an' ne contient que an', done aussi la ~-elasse de an' qui est I ; il en r~sulte aa ' - -O , ce qui eontredit l 'hypothbse a ~ 0 ; done I : ( 0 ) . L~ ~-eIasse d 'un idempotent queleonque e est alors /e}. D'aprbs le th~orbme 3.6, ~ _ H.

Si (a, b)e ~, (ab', bb')e ~ d'ofi ab '= bb' et ab'b : b. Comme (a, b) e ~E on a aussi ab'b : a:d'o~ a : b e~ ~ : ~.

b) Supposons que ~ soit l '6galit6 sur D et que la famille g~-repr6sen- tative soit relative /~ un syst~me queleonque de repr6sentants des X-c lasses groupes. D'abord ~ ___ X: en effet si (e, f ) e ~ pour deux idempotents e, f e D , et si e, par exemple, est nul et f non nul, en d6signant par k le repr6sentant de H r ( H r e s t la H-c l a s se de f) on obtient (0, k) e ~ et aussi (0, k ) ~ z ce qui est impossible (k # 0). Si e et f sont tous deux non nuls : (e, f) e ~ ~ (ek, fk) e g. Comme k - - f k , par hypothbse (k, f k ) e ~ ; d'ofi (k, ek)e,~. La ~-classe de k coincide avee la z-elasse de k (r6duite /~ k) done k : ek. On d6montre de m~me k - ~ ke; il en re~sulte k e e D A D e et I I ~ - - H / ~ H e . En permutant e et f on obtient de m~me He ~ Hr d'oi~ (e, f )~ H. II s 'ensuit (th6orbme 3.6) que

G. LALLEMENT: Demi-groupes r@uliers 103

~ Jr. Supposons maintenant que (a, f) e t~ ~ ~E pour un (il~ment a quelconque de D. Comme pr~c~demment~ (ok, [k) ~ ~ et ()i'a, k[) e ? impliquent a k - - k a - - k. Mais (a, k )e ~, donc a - - [ et les classes des idempotents de ~ et c coYncident; d'apr~s a), o -- ~.

c) Supposons z et ~ quelconques et la famille g-repr6sentat ive commune z et ~ quelconque. On ~6rifie sans diffieul |6 que la familte g-repr6sentat ive

commune /~ ~ et z est aussi commune/~ p e t ~(3z: cela r6sulte du fait qu 'une ~E-elasse groupe de D/~(3z a pour image homomorphe canonique une ~E-classe

groupe de D/~. Dans D = D / ~ N z on d6finit une congruence g pa r :

(a, b)~ ~ ca il existe a ~ a et b ~l) tels que (a, b)~ ~.

Soil k un des repr6sentants des J~-classes groupes de ~) assoeids h la

famille g-repr6sentat ive commune ; si (a, k) ep, it existe a e a et k e k tels

que (a, k) e p. Par l~ypothbse (a, k) G z~ d'ofi (~ = ,~. Dans J9 les ~--elasses des

repr6sen~ants k sont les m~me~ que les classes de l '6galite; d'apr~s b), ~ est t '6galit4 et ? - - y f ~ . De m~me ~ - - ~ z et ,~ = ~.

COROI~A~nE 3.17 (-~) - Soit D u n demi-groupe rdgutier; soient ? et z deua3 congruences sur D. Si dans D l e s classes des idempotenls non nuls de D/~ et de D / z co~:ncident, ? = ~.

Du th6orbme 3.16, il r6sulte 6galement que si ~ est un homomorphisme d'un demi-groupe D quelconque sur un demi-groupe r6guiier, la congruence d~homomorphisme est d~terminde avec unicit6 par la donn6e des classes d 'un syst~me de repr6sentants des ~E-classes groupes de ~(D) e 'es t -h-di re d 'une famille g+-repr6sentative). Plus pr6eisfimen~ dans un demi-groupe D quelconque, soil ~{ une famille de complexes Ki (i e I). D6signons par PK i [resp. K f ] l '6quivalence principale [5] a droite [resp. "h gauche] d6finie par Ki:

(a, b) e PK i @ { atyJ e Ki ¢:~ bx e Ki }.

Posons PoE-'-i~iPgi, gEP~--- ~K,P et P(g~)=P~E f3gcP.

PnoPom~Io~ 3 . 1 8 . - Si ~ e s t un homomorphisme d 'un demi-groupe D

quelconque sur un demi-groupe rdgulier D, el si ~E est une [amille g~-reprd.

senlative des ${-classes groupes de D, la congruence d~homomorphisme coincide avec P(g).

DI~MO~ST~AT~O~¢.- Soil ~ la congruence d 'homomorphisme. ~ est une famille de complexes satur6s pour p: si (a, b ) ~ et si a x e K ~ e $ ~ alors (a~c, bx) e p et bx~K~; inversement on a: bx, e K ~ a x ~ K ~ ; pour tout i e / ' , K~. " a - - K ~ . "b. De meme, K~" . a : K~" . b e t (a, b)eP(g~).

(23) PRESTON a ob tenu un rgsul ta t analogue uvec l ' hypo th~se de la co inc idence des c lasses des i dempo ten t s [12]. L a res t r ic t ion ~non nuls>, a son intdr~t dans la suite.

104 G. LALLEMENT: Demi-groupes r@uliers

Inversement, si (a, b) ~ P(H), duns D [~(a), ~(b)] E P(~f) off ~ est la famille des complexes r~duits ~ un 616ment repr~sentant une ~ -e l a s se groupe. Le fair que ~(a)--~(b) r6sulte alors du lemme suivant :

LEMME 3.19. - D a n s u n d e m i - g r o u p e D rdgulier, soit H - - { { k ~ } l (i e I ) u n

syst~me de reprdsenlanls k~ des ~ - c l a s s e s groupes. L 'dquivalence P(H) coincide

avee l'dgalitd.

D]~Mo~s~n~Io=~. - Suppo~ons (a, b )e P(H). Si a ~ 0, en d~signant par a un inverse de a, aa' ~- e e E \ , ( O ) . Notons ke le repr~sentant de la :~-classe groupe He. On a aa'ke = k¢ d'ofi ba'k~ : k~. I1 en r~sulte:

a - - aa 'a - - keke~a " - ba'kek-j% - - ba'a.

Done b ~ 0 e t a e bD : bb'D, ee qui implique b b ' a - - a , en d6signant par b' un inverse de b. En notant k f le repr6sentant de H[ off f - - b ' b e E \ ( O ) , il vient krb'b -" kr , d' o~ krb~a ~- k r et k f k f b a - - b'a -~ b'b. Ceci entraine bb'a -~ bb'b - - b, d'oh a -- b.

COROLLAIRE 3.20. - S i ~ est u n homomo~Thisme d ' u n d e m i - g r o u p e D

quelconque sur u n d e m i - g r o u p e inverse I) et si H est une [amil le g~-reprdsen.

tat ive des ~ - c l a s s e s groupes de D, la congruence d ' h o m o m o r p h i s m e co~'ncide

avec P ~ --- ,~P.

D~O~STRATIO~. - D'apr~s la proposition 3.18 et le lemme 3.19, il suffit de montrer que darts un demi-groupe inverse P~: par exemple (H est une famille form~e par un syst~me de repr~sentants des K-classes groupes de D) coincide avee l '~ga!it6; si (a, b ) ~ P ~ , pour a ~ 0 il existe a -~ tel que a a - ~ = e e E \ ( O ) e t a a - ~ k e - - k e (m~mes notations que pour le lemme 3.18) implique ba -~ ke - - aa -~ k~ " - k~. Done b =4= 0 et ba -~ k~ k-j ~ = aa -~ ke k j ~ - - aa -~ e 'es t -h-dire ba -~ - - aa -~. On d~montre de meme ab -~ - - bb-~; d'o~:~ (a, b ) e ~ et a a - ~ b : b . Par ailleurs b a - ~ b = a a - ~ b - - b et a - ~ b a - ~ - - a - ~ ; par suite a-~ - b -~ et a - - b.

COROLLAIRE 3.21. ([5], p. 258) - S i ~ est u n homomorph i sme d ' u n d e m i -

groupe D quelconque sur u n groupe avec zdro la congruence d ' h o m o m o r p h i s m e

coincide avec P K - - ~ P oit K est l 'une des classes non nul les de cette congruence.

Le cas des homomorphismes d~un demi-groupe quelconque sur un demi- groupe compl~temen~ 0-simple sera examin6 en d6tail darts le partie IV.

Dans le eas g6n6ral (l'image est un demi-groupe r6gulier), entre deux families ge-repr6sentati,~es H e t H' on 6tabtit sans difficult6 les relations suivantes :

1) Pour tout K e H il existe K ' ~ H ' , a, b e D tels que K ~ ( K ' . "a )N(K ' " .b)

2) Si H ' - - ~ est une famille de sous-demi-groupes, pour tout K e H ,

il existe S e $ et a e D tels que K ~ (S. " a ) N ( S ' . a ) .


En th~orie des demi-groupes il est important de savoir si un demi-groupe donn6 a ou non une image homomorphe maxima]e d 'un type donn~ (cf. par exemple, la th~orie des representat ions d 'un demi-groupe par des matr ices sur un c o r p s ) e t dans l 'aff irmative d ' indiquer des expressions simples des congruences d 'homomorphismes correspondantes. Un demi-groupe r6gulier a ((en g6n6ral>> une image homomorphe maximale de type un demi-groupe r~gulier v~rifiant des conditions suppl~mentaires usuel les ; par exemple :

PRoPOSI~IO~ 3.22. - Tout demi-groupe rdgulier a une image homomorphe maximale rdunion de groupes.

D]~MO:NS~ATION. - Un demi-groupe r~gulier est r~union de groupes, si et seulement si il v4rifie a l ) .~ a~D pour tout a e D (ou ce qui est ~quivalent D a - - D a 2 pour tout a e D; [4]), c 'es t -h-di re si et seulement si a--a"(a2)'a off (a:) ' est un inverse de a ~. Si ~i est une congruence sur D telle que D/gi soil r~union de groupes, pour tout a e D et pour tout (a2) ' inverse de a 2 on a: [a, a~(a~)'a]e~. L' in te r sec t ion de toutes les congruences ~i (il en existe au moins une: la congruence universelle) ayant la propri~t5 pr~c~dente fournit F image homomorphe maximale r~union de groupes.

Lorsque le demi-groupe image homomorphe a une s t ructure plus pat t i . culi~re, il est possible de pr~ciser:

T~]~o~ME 3.23. - Soil D u n demi-groupe rdgulier. 1)dsignons 13at ~, 7, tes p lus fines congruences telles que D/~ soil u~e bande (demi-grou~e iden~o. tent), D/'( une bande recla~gulaire (demi-grvvpe idem~olent let que aba -- a, pour tout a et b), D/:q un demi-lreiUis, et Tar ~* la congruence e~ge~d~'de 13at une relation ~ sur D.

a) [~N(E X E)]* est la plus fine des congruences ~ telle que D/~ soil une bande de groupes.

b) [~; (5(E X E)]* est la plus fine des congruences ,a teUe que D/~ soil compl~lemen t simple.

c) [ ~ ( E X E)]* est la p lus fine des congruences ~ telle que D/g soil un demi-treillis de groupes.

d) (EXE)* est la plus fine des congruences ~ telle que D/~ soil un groupe.

DR~o~s,~,n~elo~. - Une d~monstration a (it~ donn(ie dans [5'] pour le eas a). Nous ferons une d~monstration globale pour a), b), c), d) en d~signant par

l 'une quelconque des congruences ~i, y, ~, D X D (congruence universetle) et en d6signant par demi-groupe de type T~, soil une bande de groupes (~ ~- ~), soil un demi-groupe compl~tement simple (~-- y), soit un demi-trei l l is de groupes (8 -- ~), soil un groupe (~ -- D X D).

Posons ~ -- ~ ( E X E) et z~-- ~*. D~abord D/~ est r~union de groupes de type Ts: montrons qu'en effet ]a pins fine congruence ~ sur DIn te]le que



(D/T:)/~ soit de type T~, coZncide avec ]'~qui~,alence ~ de G~E~¢. Sur D/umD la plus fine congruence t~ telle que D/~ soit de type ~/'~ est ~ definie pa r :

(x, y)e~-c:v il existe x e x , y e y tels que (x, y )e~ .

Soient e, f deux idempotents de D tel que (e, f ) ~ . Il existe e, [ idem-

potents de D tels que e e e , f e [ (proposition 3.5) et (e, f)6~. Done

(e, f) e S G ( E X E ) C = d'ofi e = [ .

La congruence ~ est donc contenue dans ~[ (th6orbme 3.6). Comme 8 est

une congruence idempotente, chaque J~-classe d e / ) est un groupe ([2], th6or6me 2.16). Pa r ailleurs on v4rifie sans difficult6 que chaque ~ - c l a s s e est contenue

dans une $-classe (cela r6sulte du fair que sur un demi-groupe quelconque ~E* est contenue dans la plus fine congruence idempotente; cf. [5'], th4orbme

1.3). Donc Jg--~, ce qui pronve que D/= est de type :/'~ Soit ~ une congruence sur D telie que D/~ soit de type T~. Pour montrer que ~x ~ ?, il suffit d '6tablir a ~ ~. Soit (e, f ) e ¢¢--~ n (E X E) et soit ~' ]a plus fine congruence de,type[ T~ sur D/~. La congruence ~ d~finie sur D par (x, y) e 5~ t=v (xt~, y~) e ~' est une congruence de type T~ et ~ 5 ~ . Par suite (e, f) e a ~ ~ et (e~, f~) ~ ~'. Comme D/g est r~union de groupes de type T~: (ep, f~)e ~ o~ ~ est l'4quiva. lenee de GnJ~E~ sur D/g. It en r~sulte eg : fg c 'es t -h-di re (e, f )e g.

Signalons que sur un demi-groupe quelconque ]a congruence ~ a ¢t6 6tudi4e notamment par Ya~AD~ [37], P:E!r:a]ct~ [2t]. La congruence 7 4tudi6e 6galement par PE~n~cH, sera raise en 4vidence dans la partie IV. Sur un demi-groupe r4gutier on a ~* ~ ~ ~ ~ * n ~ * et ~ -- ~* -- ~*. [5'].

La plupart des r4sultats qui pr4c~dent reposent sur la propri614 de ~- r~gular i t4 d~un demi-groupe r~gu]ier. Pour certains demi-groupes r~gutiers d~autres propri~t~s des congruences reposent sur ]a ~-rggular i t4 . Pa r exemple, darts [17] M~LC]~¥ a donn4 une description complete des congruences du demi-groupe r4gulier ~ a des applications de gt d~ns ~. Certains des r4sultats de MALC~¥, en par t icul ier tons ceux qui concernent le cas off t2 est fini peuvent s 'obtenir ou s 'expr imer de fa~on plus simple en util isant la g - r~gu- larit4. Indiquons sans en donner lea d4monstrations (~), les lemmes interm~- diaires et le r~isultat final concernant le cas let { ~ c ~ . On d6montre suceessivement :

1) La seule congruence sur "~'a (~2 quelconque) s~parant les idempotents est l'4galit~.

2) Soit ~ une congruence propre sur ~ a (~ quelconque). Le noyau K de ~ a est ~-indivisible.

(e4) Darts la plupart des cas ]es d4monstrations se ram~nent '~ 4tablir des propri~t4s portant sur les idempotents.


I I e n r6sutte que pour une congruence propre ~ sur ¢~a la elasse contenant K est uu id6al bilatbre IN form~ des t ransformations de rang inf6rieur au cardinal N, ce qui permet de ramener le probli~me des congruences sur ~a

celui des congruences sur ~/I~,~- pour lesquelles la classe z6ro a un seal 414ment.

3) Toute congruence sur ~a/Ilv ayant une classe z~ro r~duite h u n seul ~l~ment est plus fine que ~ : ~. Duns le cas off N e s t fini toute telle congruence est plus fine que ~ .

4) Pour uue congruence ~ sur ¢ga/IN, les classes des idempotents non nuls sont pr4cis6es de la fa~on su ivante :

a) Si [~2e 1 = N, la 9-classe de e est isomorphe /~ un sous-groupe normal du groupe sym~trique $~v (c 'est une consequence du fait que sur un demi-groupe r6gulier quelconque une congruence ~ ~ ~) s4pare les idempo- teats d 'une ~ - c l a s s e particuIibre A, si et seuIement si ~A(A X A)N~N(A X A): les classes des idempotents de h sont alors des sous-groupes normaux isomorphes entre eux).

b) Si l~e / > N, la ,o-classe de e est I e t .

5) Toute congruence sur ¢ga ( ~ de cardinal fini) est de la forme: ?(zV, ~(,x)--iU(IxX[N)U~(~x) oh N est uu eutier~ ~9~x an soas-groupe~normal du groape sym4trique $~ et (a, b) e ~(~)~ v) C=> (a, b)~I~+~/I~v et (a, b)~(~YSN) off ~(~YLx) est une congruence plus fine que ~ sur IN+JIN d~finie par des classes d ' idempotents isomorphes h ~)~N (cf. th~orbme 3.11).

CHAm~RE IV.

D e m i - g r o u p e s c o m p l / ~ t e m e n t O - s i m p l e s .

1. - Sur la d4f in i t ion des d e m i - g r o u p e s e o m p l ~ t e m e n t 0-simples.

Les demi-groupes compl~tement 0-s imples sont apparus en th~orie des V

demi-groupes avec la d~termination par SLTSKEWI~C~ de la s t ructure du noyau (id4al bilat~re minimum) d 'un demi-groupe fini [33]. A la suite des t ravaux de REES [26], la d4finition adopt4e pour un tel demi-groupe est habituelle- ment la suivante : D est dit complbteme~lt 0-s imple sql est 0-s imple (c'est- L-dire D ~ (0) et (0) est le seal id4al bilat6re propre de D) et s'il contient au moins un idempotent primitif. Pour an demi-groupe compl~tement simple la d6finition est la m~me sans les restrictions concernant le z4ro. REES a d~montr6 qu 'un demi-groupe est compl~tement 0-s imple si et seulement si


il est isomorphe ~ un demi-groupe de matrices de format I X h sur un groupe G avec zefro, g ° ( G ; /, A; P ) - - I ( a ; i, ),); a e G ; i e I , ) , e h l U { 0 } avec l 'op~ration

(a ; i, ~) (b ; j, l~) ---- (apzjb ; i, ~t) si P).i =4: 0,

= 0 si P~i--O,

(les ~Mments Pz] sont les entr~es d ' une matrice P. dire m~cliane, de format h X I sur G ~-- G U { 0 } ) et (a; i, ) . )0 - -0 (a ; i, k ) = 0 .

Avec McCoY (~5), nous dirons qu'un id6al bilat~re I d 'un demi-groupe est premier, si pour tout a, b e D , a D b ~ [ ~ a ~ I ou b e I . On v6rifie sans difficult6 que : I premier ¢=> {pour tou~ M, N, id(~aux bilat~res de D, M N ~ c_I ~ M C _ l ou NC_l}c:~{pour tou~ a, b e D , DtaDL.D~bD~_I ~ a e I ou be I. Un demi-groupe ayant un z~ro premier et non r~duit h z6ro sera dit premier.

T~[~Ol~]~s 4.1. - Un demi-groupe D est compl~tement O-simple si et seu- ment si il vdrifie les syst~mes dquivalenls [ ou I I :

1) D est premier;

I 2) pour tout a ~ D, il existe e, f e D tels que ea -- a f -- a ;

3) pour tout a ~ O, e, f ~ D vdrifiant 2) il existe a' (~6) tel que an' -- e et a'a "- f.

I 1) D est premier;

2) D est O-inversd ( ~ a e D, a, ~ O, 3 x tel que (am 7 -- am ~ 0 ; of. ddfi- II ' nition 3.2);

t 3) D est faiblemeut O-simplifiable c'est-a-dire : ax -- bx =4= 0 et -- ya - - y b = ~ O = ~ a - - b .

D]~O~S~RA~m~. - a) Si D v~rifie I, il est 0-simple. )~ontrons ien effet que pour tout n e D , a=4=O, D a D : D ([2], lemme 2.28)~Soient b e D , b ~ 0 , e et f ~ D tels que e a - - a f - ' a , g et h e D tels que g b - - b h - - b . ' D ' a p r ~ s I, 3), e, f, g, h ~ E \ 0 ( p o u r e par exemple, e ~ - e a a ' ' an ' - - e ) . Pour g ~ 0 et a ~ 0 , il existe ~ e D tel que gxa ~ 0 (d'apr~s I, 1)) puis y e D tel que g x a y h = u q = O . On a g u - - u h - ' u ; d'apr~s I, 3), il existe done un 616merit u' tel que u u ' = g et u ' u - - h ; donc u u ' b = g b - - b , soit g~ayhu'b----b, d 'oh b e DaD et D = DaD.

D a un idempotent pr imit i f : soit f ~ 0 tel que f a - - f et e - - e ~ tel :que e f = f e = f ; d'apr~s [, 3), il existe x tel que f x , - - e = x f ; or f m - - e ~ f e - - e , d'ofi e = f.

(~) of. N.K. Mc CoY, Prime icleals in general rings~ A.mer. J. }~ath, 7l (t949) p. 823.833 (~) Cet 61dment a t est alors unique.

G, LALLEMENT: Derni-groupes rdguliers 109

b) Un demi -g roupe compl~tement 0-simple v~rifie I I ; on le voit sans difficult~ par des catculs (~l~mentaires sur le demi-groupe de matrices de REES associ~ ~ D.

c) I I entratne I : Pour montrer ta propri~t~ I, 2), d'apr~s II, 2), si a ~ 0 il existe x tel que a x e E \ O . Ea posant y - - x a x , on a a y - - e e E \ O et y a -" f e E \ O . D'apr~s II, 3), a y a y - - a y ~ 0 et y a y a - - y a :4= 0 entra tnent a y a - - a, e~est-~-dire ea = a f --~ a.

Pour montrer I, 3), supposons e l a - - a f t = a ~ O. D'apr~s ce qui precede, on a e ~ e : e ~ a y = a y : e , done ( e e ~ ) e = e ~ e = e ~ 0 et e ( e e ~ ) - - e e ~ 0 ; d'apr~s II, 3), eel---e~. 0 a d~montre de m~me f l f = f~. En posant a ' - - f t y e ~ on obtient :

Duns ehacun des syst~mes I e t II, les propri~t~s 1), 2) et 3) sont ind~- pendantes : 1) Tout demi-groupe avec un 51~ment unit~ et un z(iro complete. meat premier (eomme par exemple le demi-groupe multiplieatif des entiers naturels) v4rifie I, 1) et 2) mais non 3) en g~n~ral).

2) Un demi-groupe sans z~ro, v4rifiant I, 3) et tel que E ~ 0, est un demi-groupe ayant un noyau compl~tement simple K off E ~ K et r~ciPro. quement ; en effet, soit e e E ; eD est un ideal minimal h droite: si a ~ R ~ e D

( R e s t un iddal ~ droite), ae - - e(ae) - - (ae)e et il existe ~ tel que aex. +- x a e : e

done e ~ R et e D - - R ; de m~tnd D a uu ideal minimal ~ gauche D e ; D a

done un noyau K compl~tement simple et E ~ K ; la r~ciproque est ~vidente. Done I, 1) et 3) n 'entraine pus I, 2).

3) Les demi-groupes v~rifiant I, 2), 3) qui est ~quivalent a II, 2), 3) sont les sommes orthogonales de demi-groupes compl~tement 0-simples [6'].

4) Le demi-groupe h 3 ~l~ments 0, e, f d~fini par x y - - e pour ~ :4= 0 y ~ 0 et xy- - -~0 siuon, v~rifie II, 1), 2) mais non II, 3). De m~me, l 'exemple de 1).prouve que II, 1) et 3) n 'ent ra tnent pus II, 2).

Duns la suite nous utiliserous essentiel lement le syst~me d'axiomes ]I. A p r o p o s du syst~me I, indiquons seulement qu'il permet d 'effectuer une ~tude ~h~mentaire des demi-groupes compl~tement 0-simples sans faire intervenir expl ici tement des conditions minimales ou les ~quivalences de GREEN; duns eertaines d~monstrations il ~vite le recours au demi-groupe de matrices de REES. Comme consequences imm~diates du syst~me II, citons les corollaires suivants :

COROLL/kIRE 4.2. - Un d e m i - g r o u p e p d r i o d i q u e est compl~ temen t s i m p l e s i

et s e u l e m e n t s i i l est f a i b l e m e n t s imp l i f i ab l e (ax : b~ et y a " - y b ~ a - - b ) .

(~) Au tours de eerie partie de la ddmonstration, nous avons mis en ~videnee le fait que II, 3) pouvait ~tre remptac~i par I[, 3') : ax ~- bx ~= 0 et xa ~- xb :# 0 ~ a ---- b.


De m~me un demi-groupe p6riodique est complbtement 0-simple si et sealemen~ si il est faiblement 0-simplifiable et si tous ses dldments nilpotents song de carrd nul.

La propri6~6 de simplifiabilit6 faibte est facile 'h v6rifier sur la table d 'un demi-groupe f in i ; p~r exemple ua demi-groupe fini est complbtement simple si et sealement si deux 616ments d 'une m~me rang6e de la table 6tant 6gaux leurs sym6triques par rapport /~ la diagonale ( \ ) sont distincts.

COROLLAIRE 4 . 3 . - Un demi-groupe faiblement simplifiable avec un seal idempotent net ~ droite (ou ~ gauche) est un groupe.

En ce qui concerne les demi-groupes topologiques on a l e s eons6quenees suivantes :

COr~OLL~IaE 4.4. - Un demi-groupe compact est simple (ou compldtemeut simple) si et seulement s i i l esl faiblement simplifiable.

COROLLAIRE 4 . 5 . - Ut~ demi-groupe compact faiblement simplifiable avec un seal idempotent est un groupe compact.

D'autres cons6quences moins immgdiates de la simplifiabilit6 faible con- eernent les anneaux :

TK;]OR~[n 4.6. - Un anneau rdgulier dont tous les idempotents sont pri- miti fs est un corps; en particulier un anneau dont le demi-groupe multiplicatif est compldtement O-simple est un corps (~'~).

D]~ONSTRATIO~. - a) Cas off le demi-groupe mult ipl icat if est eompl6temen~ 0-simple. L 'anneau A est sans 616ments de cart6 nul, autres que 0: en effet, s'il existait a # 0 tel que a ~--0, en prenant x tel que axa-~ a ~ 0 on aurai t a(a q- x) -- ax =4:0 et (a 4;- x)a - - x~a q= O, d'ofi d'aprbs II, 3), a --k x -- x et a - - 0 , ce qui eontredit l 'hypothbse. I1 en r~sulte que (0) est eomplbtement premier ; en effet, si ab = 0 avec a # 0 et b # 0, il existe a~ tel que bxa =4=0 (II, I)) et bxabxa =4= 0 contredit a b - O. Le demi-groupe complbtement simple A'\(0) est done simplifiable: c'est un groupe et A est un corps.

b) Cas d 'un anneau r6gulier dont tous les idempotents sont pr imit i fs : le demi-groupe multiplicatif d 'un tel anneau A est somme orthogonale de demi-groupes complbtement 0-simples et est faiblement 0-simplifiable (cf. th6or/~me 2.9, c) et d)); ehaque composant K de ia somme orthogonale est de la forme CO{0} oit C est une classe de t '6quivalenee ~-~ d6finie sur A \ , 0 par : a ~ b ¢::>] xE A: axb ~ O. l~ontrons que /~ est un sous-anneau de A; il stfffit d'6tablir qne: a e C , b e C ~ a - - b e K . Supposons que a, b e C avee

(~s) I)ans ce cas particulier le probl~me a 4t4 pos4 par X. CHAPTAL~ Compte-rendus A~. Se. t. 260, 1965~ p. 27-29.


a=4=b; il existe x tel que axbg=O; si b x b - - O , ( a - b ) x b = a x b 4 = O donc a - - b e C ; si axa--=O, - - a x ( a - - b) ------ axb =#= O, donc a - - b e C ; si b x b # O et axa:#=O alors, ou bien ax(a--b)=#=O, ou bien ( a - - b ) x b # O sinou a x ( a - b ) = O et ( a - - b ) x b = O impliqueraient a x a = a x b # O et a x b = b x b : # = O d'o/1 a = b (A est faiblement 0-simplifiable) ce qui ,contredi~ l 'hypoth~se a 4= b. D'aprbs a), chaque composant K de la somme orthogonale est un corps. S ' i l y avait deux composants distincts K~, K i en prenant a ~ K i \ ( O ) et b e K i \ ( O ) on aurait ( a + b ) a - - a ~ 0 et a ( a + b ) - - - a 2:4=0 d'ofi a + b = a et b - - 0 qui est une contradic t ion; A est done un corps.

Une cons6quence du th~or+me 4.1 (II) est li6e ~t un problbme abord6 par S. ScmvAI~Z [32]: une condition n6cessaire pour qu'un demi-groupe S soit plongeable dans un demi-groupe compl~tement 0-simple est que S soit faiblement (0'7 simplifiable.

Le seh6ma ci-eontre indique la position de la simplifiabilit6 faible par rapport h d 'autres formes affaiblies usuelles de la r6gle de simplification (R.S.).

R.S. bilat~re [groupe]

R.S. ~ droite [groupe ~t gauche]

/ faiblement simplifiahle [eompl~iement simple]

l s~paratif

(xy = x~ = y ~ x = y) [?]

1 faiblement r~ductif

eompl~tement int~gre ~t droite (aS = xa ~ a = x) [groupe ~t gauche]

[ r~duetif ~t droite

( a x = b x pour tout x ~ a : b }

(ax~--bx et xa~---xb pour tout x ~ a - - ~ b ) [tout demi-groupe rdgulier]

Les fl~ches indiquent des implications et sous chaque forme de simplif ication on indique entre crochet les demi-greupes r~guliers la v6rifiant. Exemple : un demi-groupe r~gulier est compl~tement int~gre /~ droite si et seulement si c'est un groulce h gauche (c 'es t -h-dire simple ~ gauche et simplifi~ble/~ droite,


ef. [2], p. 37): en effet si D est r~gulier et eompl~tement int~gre /~ droite, les idempotents ne commutent pas ; si e f - - f e - - g pour e, f, g e e on a : g~ -- eg -- fg d'ofi e -- f - - g. D est done compl~tement simple. Pa r ailleurs, pour e, f ~ E , il existe i c e tel que e i - - i - - i f ( p r e n d r e i - - e x f off x est un inverse de re); ei -- i ~ implique i -- e d~oh e -- el. D est done un groupe /~ gauche. La r~ciproque est imm4diate. En ce qui concerne les demi-groupes s~paratifs proposons la conjec ture : D r~gulier est sdparatif si et seulement si D est r~iunion~de groupes (e'est vrai pour les demi-groupes p~riodiques cf. [33] et [2] ex. 7 p, 136).

2. - Homomorphismes d ' un demi-groupe sur un demi-groupe compl~tement 0-simple.

Pour ~tudier de tels homomorphismes nous donnerons diverses caractdri- sations des families de complexes qui les d~terminent selonl~les modalitds indiqu~es duns la proposit ion 3.18, Fid4e ~tant d~exprimer ces homomorphismes comme intersection d~4quivalences principales.

D]~PIN~ONS 4.7. - Soi~ g une famille de complexes K~ (i ~ I). On dit que :

a) ~{ est une famille rdguli~re si P(~) est r~guli~re.

EX:~PLE. - g est fortune d~une famille de complexes sym~triques ([5], p. 234).

b) ~ est une familte forte si (Ki. "a)N(K~. "b):# 0 et (K i" .a)V~(K]" .b)@ 0 pou~; un couple d ' indices i, j au moins, impliquent (a, b)$ P(~) .

c) Le rdsidu & droite W g de la famille ~ est d~fini pa r :

W g : - t a ; a ~ D : K i . ' a ~ - O pour tout i ~ I } .

~- ~ WK~ "- WH. Si W g "- O, c'est-~t-dire H En posant H ~elUK~ on a: W g - - ~ z

est net /~ droite dans D, on dit que ~ est une famille netie h droite. On d~finit de m~me le r~sidu ~t gauche g W et une famille nette ~ gauche. Si W ~ - - ~ g W , ]a famille est dite dquirdsiduelle; si g W - - W g . ~ O ~ elte est dire nette.

d) Une ~quivalence ~ sur un demi-groupe D est faiblement W-simpli . fiable, si W e s t une ~-classe et si (ax, bx) e ~ \ ( W X W) et (ya, yb) ~ p \ ( W X W) impliquent (a, b)e~. Lorsque W - - O , on dit que ~ est faiblement simplifiable.

Les deux propositions suivantes caract~risent les ~quivalences faiblement W-simplifiables. Elles gdn~ralisent ]es thdor~mes de T g ~ ] ~ I ~ ([34], Chap II l) qui caract~risent les dquivalences simplifiables.


PRoPos i t ioN 4.8. - Si ~ est une famiUe forte, dquir@iduelle de rdsidu W, de complexes K~ (i e I), alors P(g) est une dquivalence faiblement W-simplifiable el toutes les classes distinctes de W sont les complexes (K~. "a)(5 (Ki'. b).

D]~O~S~RA~ION. - Si (ax, bx) et (ya, yb)E P ( ~ ) \ W X W, il existe zl et z~. t D tels q u e : (axz~, bxz~)t Ks )4 K~ et (zjya, zjyb)t KI X Ki pour des indices i, j t L I1 en r6sulte (d4f. 4.7, b)).(a, b ) e P ( ~ ) , ce qui d4montre la premiere part ie de la proposition. Supposons que ~ et yt(K~. "a)(5(Kj" .b); (ax, ay ) t t K~ X K~ et (xb, yb) t K i X Kj impl iquent (x, y) e P (~ ) (d4finition 4.7, b)) ;

(K~. "a)N(K i" .b) est done indivisible pour P(g{). Si xt(K~. "a)N(K i" .b) et si (x, y) t P(g), ax t K~ et xb ~ Kj impliquent ay t K~ et yb t K i o u

y t (K~. "a) (5 (K i" • b) ;

(K~. "a)N(K i" .b) est done aussi satur4 pour P(~) .

PROPOSITION 4.9. - Si ~ est une congruence faiblement W-simplifiable sur D, toute famitle de ?-classes ne contenant pus W est forte. S'il existe une telle famille ~ qui soit dquirdsiduelle de rdsidu W, ~ - -P(~) .

D]~MO~S~RA~ION. - Soit g{ une famille quelconque de ~-classes telle que W~¢~. Si (a~c, b x ) e K ~ X K ~ _ ~ \ W X W et (ya, y b ) e K ~ X K ~ \ W X V V , on a : (a, b) t ~ -----. P(~Q (la derni~re inclusion est ~raie car p cst une congruence). Si g est une famille ~quirdsiduelle de r6sidu W e t si (a, b) e P(~), ou bien (a, b)e W X W et (a, b ) t ~ , ou bien (a, b) t (D -- W) X (D -- W) et il existe des indices i e t j t / , des ~l~,ments ~c~, x i t D tels que (axe, bx~) tKsXKs et (xia , x i b ) t K i x K i. I1 en r~sulte (axe, bx~) et (x~a, % b ) t ~ \ W X W, d'ofi (a, b ) t ~. En d~finitive p - - P ( g ) .

Pour les ~quivalences faibtement simplifiables on obtient le corollaire suivant (clans la suite nous n ' indiquons pas syst6matiquement les r~sultats qu'on obtient en remplacant W par 0).

COnOLLAI]~E 4.10. - Si ~ est une famille forte, netle de complexes K~, P(g~) est une dquivalence faiblement simplifiable et ses classes sont les complexes (Ks. "a)(5(K i" .b). S i p est une congruence faibtement simplifiable, route famille de ~-classes est forte. Pour toute [amille ~ qui estnette ~ = P(~).

Dans la seconde partie de ee eorollaire il y a toujours une famille nette: eelle de routes les classes. Dons la proposition 4.9, il n 'existe pas toujours de famille ~quir~siduelte de rdsidu W: s'il existe une famille ne contenant pas W, dquirdsiduelle, de rdsidu W, W est le r~sidu d 'un complexe H (~quir~siduel) tel que H (5 W - - 0 . R~ciproquement, s'il existe un tel complexe H, il est 6~¢ident que toute famille de complexes ne contenant pus W et recouvrant H, est 6quir~siduelle de r~sidu W. Or une condition n~cessaire et suffisante pour qu 'un id6al bilat~re ~ soit tel que W'-WH--~ ~ W pour un complexe H disjoint de W est que W soit un iddal fortement large ([14], d~f. 1.2, Chap. I) c'est-i~-dire que aD ~ _ W ~ a t W et Da ~--W~ a t W; en effet, si

AnnaIi di Matematica 15

114 G'. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers

W e s t fortement large, ii est r~sidu de D"..W et si W = l / l / ~ = HW avee H (~ W = O, alors a(~ W implique qu'it existe x, y e D tels que ax et y a e H ; a a ~ W et y a ~ W , done aDO_i= W e t DaCf2_ W. Il r~sulte de ces consid6r~. lions que :

CO~OImAIRE 4 . 1 1 . - Soil W un iddal forte~nent large d'un demi-groupe D. Les congruences faiblement l/V-simplifiables sur D coincident avee les con. gruences P(~) ddfinies par des familles ~ de complexes, rdguli~res, fortes, dquirdsiduelles de rdsidu VV.

En g~n6ral, une famille ~g de complexes, m~me si elle v6rifie routes les propri6t6s du corollaire 4.11, n'est pas une famille de classes de P ( ~ ) ; cela se produit pour certaines familles de sous-demi-groupes :

D]~FI~I~Io~ 4.12. - Un complexe K d'un demi-groupe D est dit faiblement unitaire si :

{x; x e D : xKC3K=~O et K x A K @ O } ~ K .

PROPOSitION 4.13. - Si S est une famille forte de sous-demi-groupes S, (i e I) faiblement unilaires d'un demi-groulge D, chaque Si est une classe de P(S).

D]~O~STmt~ION.- Si s e t t e Si , st, ts et s~ e S~ ; il en r~sulte

s e (Si. "s) (3 (Si. "t) et s e (S~" .s) (3 (S~" .l).

La famille ~ ~tant forte (s, t )~P($ ) done Si est contenu dans une elasse de P(g). Si s e S i , pour x tel que (s, x )eP(8) , s~eS~ implique sx et xseS~; S~ 6rant faiblement unitaire, xeS~ , ce qui achieve de prouver que S, est une elasse de P(g).

Compte tenu des propositions pr6e~dentes et du syst~me d'axiomes II (Th6or~me 4.1), on obtien~:

TI~J~oR~E 4.14. - Si g est une famille de sous-demi-groupes faiblemenl unitaires, rdguliOre, forte, dquirdsiduelle de rdsidu premier, D/P(~) est un demi-groupe compl~tement O-simple. t~deiproquement, si ~ est une congruence sur un demi-groupe D telle que D/p soil compl~tement O-si~nple, alors ~ eo~:n. cide avee l'dquivalence P(g) ddfinie par la famille $ de sous-demi-groupes images rdciproques des idempolents non nuls de D/p. ~ est une famille de sous-demi-groupes faiblement unitaires rdguli~re, forte, dquirdsiduelle de rdsidu premier. (Condition (L)) (~).

Ce th~orgme indique qu'il y a bijection entre les images homomorphes cem- plgtement 0-simples d 'un demi-groupe D, et les familles de D, rdguli~res (L~),

(~9) La famille g joue u n r61e privil6gid par rapport ~ d 'autres familles de complexes ayant" des propridt6s analogues (la condit ion fa ib lement un i ta i re gtant remplac6e par une condit ion de type , pa r f a i t , [5] Ces autres familles sent dgfinies par K¢ ~ (S~,." a} fl (S i " a). {of. remarque su ivan t le eorollaire 3.21).

O. LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers t15

fortes (LG dquirdsiduelles de rdsidu premier (L3), de sous-demi-groupes faible. ment unitaires (L4).

En uti l isant les congruences p sur D telles que D/? soit une 0-bande rectangulair~ on peut remplacer les propri6t6s (L~) par des propri6t6s portant sur la r6union des sous -demi-groupes composants une famille ~. Nous rap- pelbns ici sans d6monstration les pr incipaux r6sultats [6'] qui seront o utilis~s dans la su i te :

Une O-bande rectangutaire B e s t un demi-groupe compl~lement O-simple dont te groupe de base est trivial; elle est ddfinie par :

t) pour lout a, b a B, a b a c a oit 0; 2) (0) est un iddal premier.

Une congruence p sur un demi-groupe D, telte que D/~ soit une 0-bande rectangulaire et telle que la classe z4ro soit un id6al bilat6re W de D est dire congruence W-matriciel le. La d6composition de D correspondante est dire d6composition W-matriciel le .

T~O~E~IE 4.25. - Une condition ndcessaire et suffisante pour qu'un demi- groupe D admette une ddcomposition W-malrieielle est que D conlienne un iddal W premier vdrifiant la condition (C): abc e W ~ ab~ W ou bce W.

Que la condition soit n6cessaire est 6vident (cela traduit une propri6t6 de l 'id6al (0) duns un demi-groupe compl6tement 0-simple). Pour d6montrer qu'elle e, st suffisnnte on util ise la congruence

o -- {(a, b ) a D X D: axaE Wc:vbxb~ W pour tout x e D } .

Un id6al premier v6rifiant (C) est dit matriciel. Pour un tel id4al W:

D]~FI~TIo~ 4.16. - Une dquivalence ~ est dire W-zgro & gauche si et seule. ment si 1) ~ est rdguliOre & gauche; 2) W est une ~-classe; 3) pour tout x, y e D, xy ~ W ~ (xy, x) e ~.

On d6finit sym4tr iquement une 6quivalence W-z6ro & droite (~o). L' inter. section d 'une 6quivalence W-z6ro ~ droite et d 'une 6quivalence W-z6ro gauche est une congruence ~¥-matr iciel le ; r6ciproquement, route congruence W-matr icie] le s~exprime avec unicit6 comme intersection de deux 6quivalences du type pr6c6dent. Pour un id6al W donnG l ' intersect ion et le sup. de deux 4quivalences ~ - z 6 r o ~t gauche sont du m~me type. L '6quivalence principale

gauche w P est la moths fine de ces 6quivalences, la plus fine wE 6rant d6finie par :

(a, b) ewEc::>(a, b) e W X W ou bien il existe a ~ , a ~ , . . . , a ~ e D tels que

aD -- Wta~D-- I /V t ... I a , D - - W I b D - - W . (:~)

(~0) Signalons au passage que les 6quivalenees W-z6ro h gauche v4rifient b) de la proposit ion '2.3.

(~) U]V signifie UOV=~O. Dans le cas W = 0 , w-" est l 'dquivalence rdversible g4n~ralis6e de P. D U B R ~ [6].


I I e n r~sulte que E w N w E est la plus fine congruence l~Vmatricielle sur D. Dans un domi-groupe S compl~tement 0-simple, (0) est un ideal matr ic ie l ;

de plus pour a, b e D \ ( 0 ) : aS--bS<=> il existe x, y ~ D tels que a x - - b y ~ O ; l '~quivalouce ~o,E d6finie pr~e6demment coYncido done a.voc F~quivalence de GaEE~ et E~o~(h~o~Z coYucide avee 2 . Done, si un demi-groupe D quelconque a use imago homomorphe compl~tement 0-simple il admet une d~composition W-matr ic ie l le et d'apr~s le th(ior~me 4.15:

CO~OLLAIRE 4.17. - Une condition ndcessaire et suffisante pour qu'un demi-groupe D air pour image homomorphe un demi-groupe compl~tement O-simple est que D contienne un iddal matriciel propre.

R E M A R Q U E . - Un demi-groupo a toujours une image homomorphe compl~tement simple.

On peut alors d6crire la s t ructure de D de la fa~on suivante : il existe des ensembles d'indices I e t A, I rep6rant les classes de wE, A celles de Ew. D = W + E C~x, o,:l les Cix ou bieu sent des sous-demi-groupes, ou bien

v6rifient Ci~-----W; de plus: C~x. Cj~ c C~ si C;~ est un sous-demi-groupe et Cix. Cp. c W si Cj~x ___ W (ces propri~t~s sent les m~mos quo celles des ~-c lasses do GREEN sur un demi-groupe compl~tement 0-simple).

Les th6or~mes suivant caraet~risen~ les familles S de sous-demi-groupos v~rifiant les conditions (L) du th~or~me 4.14 par des propri6t~s portant sur le complexe K r6union des S~eS e~ sur uno d6composition W-matr iciel le li~e h K :

T m ~ o a ~ E 4.18. - Une famille ~ de sous-demi-groupes d'un demi-groupe D vdrifie les conditions (L), si et seulement si leur rdunion K vdrifie:

1) K est rdflectif (ab~ K ~ ba e K) et son rdsidu est un iddal matriciel W de D;

2) [l e~ciste une dquivalence ~, W-zdro ~ gauche, telle que pour toute classe R ~ W de ~, K (hR soit un sous-demi2groupe unitaire ~ droite;

3) Il existe une dquivalence k, W-zdro ~ droite, telle que pour toute classe L ~= W de ~, K N L soit un sous-demi-groupe unitaire ~ gauche.

On pent romplacer 2) et 3) par : il existe une congruence W-matr ic iel le it dent Ies classes M:4 :W sent telies que M ~ K soit un sous-demi-groupe faibloment unitaire.

D]~XO~S~RA~IO~. - Une famille ~ de sous-demi-groupes ~ r i f i a n t (L) d6finit un homomorphisme ~ de D sur un demi-groupe compl~tement 0-simple

D-- K est saturd et a pour image E \ 0 qui est un complexe r~flectif de D;

il e n e s t done de m~me de K darts D. La d6eomposition do D en classes des


~quivalences ~ et ~ de GREEN se remonte en D: on pose p - - ~ - 1 ( ~ ) et

I : ~-~(~). Si R =4=W est une classe de ~:

x ~ R N K , y e R n K ~ ( x , y ) e ~ n ( E X E ) ~ x y = y ~ x y e R n K ;

x y ~ R n K , y e R n K ~ (xy, y )e ~ N ( E X E) ~ x e E \ 0 ~ x e R n K .

On d4montre de m6me la propri4t6 3)i R4ciproquement , soit K un eomplexe v4rif iant 1), 2), 3). On note C~

(i~/~, l e A ) les classes (~2) de la d6composi t ion W-mutr ic ie l le ~t : ~Qk ; C i z N K : S i ~ ou bien CizNK 4= 13. On pose S : [S~}. D'apr~s 2) et 3), les ~t-classes qui reneont ren t K, le coupent suivant des sous -demi -g roupes faiblement uni ta i res (L4). La propri~t~ (Ls) est 6vidente. Pou r d~montrer (Ld supposons (a, b)eP(8). Si e a x e & ~ = C~NK, alors ce Cie, aeCk~, xeCp~. I1 en r4sulte axce K (d'apr~s 1)) et axce S ~ . Done bxce St:~ et cb~c~ S~z. Done Si~.. "ca ~ S~z. "cb. L'incluMon cvntraire se d6montre de la m~me f aoon ainsi que S~z" .ac--S~z ' .bc d'ofi la r~fgularit~ de $. Pou r d6montrer (L,), supposons qu' i l existe x, y ~ D , i, j e / , l , ~ e h tels que ax et b x e S ~ , ya et yb~Si~. Pour tout z tel que a z ~ S ~ , on a k - - i d'o(~ bx et a z ~ K Q R ~ , et bxazeK . Done x a z b e K n L ~ et x a ~ K n L ~ . Comme K N L ~ est uni ta i re ~ gauche, zb e KQL~ et bz e K Q C~ ~ S~ -- S~ . Ceei prouve S~ . "a _ S~:~. "b. En fermi. nant eomme pr6c~demment , on a (a, b)e P($) et $ est une famille forte.

Ce th(~or/~me mont re q u ' u n homomorph i sme d ' u n demi -g roupe sur u n demi -g roupe compl~tement 0-s imple est d4termin6 par te couple form~ par un complexe K v~rifiant 1) et une matr ice (ou la congruence W-matr ic ie l le) caract6risant la 0 -bande rec tangula i re D/~nk . Cette matr ice est une matr ice eontraet~e de celle assoei~e it D / Z w n w Z selon la terminologie de [6']; de plus, elle (ou la congruence W-matrieiel le) est lide ~ K par les propri6t~s 2) et 3).

Le th~or~me suivant caract~rise K de faoon ind4pendante de ~ et k:

T ~ A o ~ E 4.19. - Pour un complexe K, rgflectif de rdsidu un iddat matri. ciel W, il y a dquivalence entre les conditions 2) et 3) du thdor~me 4.18 et les conditions 2'), 3') suivantes :

2') Toute classe de wE, autre que W, coupe K suivant un sous-demi- groupe unitaire ~ droite.

3') Toute classe de Ew, autre que W, coupe K suivant un sous-demi- groupe unitaire ~ gauche.

D A ~ o ~ s ~ R ~ o ~ . - 11 est 4vident que 2') impl ique 2). Soit ~' une 6quiva- lence W-z4ro i~ gauche et ~'___ ~, off ~ v6rifie la propri~t4 2) re la t ivement

(82) I1 s 'agi t des classes dis t inetes de W; on a Cix : R i A L ~ , o~t Ri est une p-classe L~. une ~-classe.

118 G. LALLEMENT: Demi-groupes rOguIiers

h K. Si R ' ~ W est uue classe de / , R'NK=4=O; en effet, pour tout x e R ' , il existe y tel que x y e K ; comme ,# est W-z~ro h gau ch% x e R ' implique x y e R ' U W , et comme x y e K on a bien x y ~ K N R ' . D'au t r e part, s i ~ et y eR'V~K, alors x et y e R G K (avec R ' ~ R) pour une certaine ~-classe R=~W. De x y a R , on d~duit x y e R ' . R ' (~K est done un sous-demi-groupe. Enfin, si xyeR 'V~K et yeR'V~K, comme pr~c6demment x E R N K done x e R ' O K qui est unitaire ~ droite. Les propri~t~s mises en dvidence pour ~' sent valables en part iculier pour wE, d'ofi le th6or~me.

La d~monstration utilise la proprigt~ suivante de R (ou R'): R est con- sistant ~ gauche ( x y e R ~ x e R), et R U W e s t un ideal h droite. Les classes de wE autres que W sent les complexes minimaux pour ces deux propri~t(~s.

D'apr6s ce th6or~me 4.19, K apparai t comme la r~union d 'une famille de sous-demi-groupes (traces de K sur les classes de EwNwE) telle que D/P(~) soit l ' image homomorphe maximale compl~tement 0-s imple d~finie l 'aide de K. Pour obtenir les autres images homomorphes de D d~finies par K, nous sommes ramen~s ~ la d~termination des congruences sur D/P($). C'est t 'objet du paragraphe suivant.

Le tableau c i -dessous indique bri~vement comment s 'adaptent les r~sul-

tats g~n~raux lorsque D = ~(D) est an demi-groupe compl~tement 0-simple d 'un type particulier .

compl~tement simple

rdflectif, net.

K est lid h f~ t 1), 2} du lh.

4.18

congruence matricielle fide ~ K

D~--BXG groupe rectangulaire

sons demi- groupe refleetif, net, unitaire

route congruence matricielle

groupe dr6ite

sous-demi gronpe rdfleetif, net, unitaire

route congruence zgro droite

groupe avec 0

sons-demi groupe pseudo. normal [5]

une seule congruence W-matricielle (]a moins fine p. exemple)

Demi-groupe de ]~randt

rdfiectif, semi- stable (x e K~x~ ~ K), fort, unitaire, de rdsidu premier

une seule congruence ~V-matricielle.

I

(3a) D est isomerphe au produit eartdsien B X G d'une bande rectangulaire par un groupe. Sous Ia forme B X G, il est 6vident que toute congruence est ddfinie par le couple: congruence (matrieielle} sur B, congruence sur G.

G. LALLEMENT: Demi-groupes r~gutiers 119

Darts les l ignes du tableau relatives h K et t~ sent indiqu~es des conditions n~cessaires et suffisantes pour que ]e couple (K, ~) d~finisse nn

homomorphisme de D sur D dent la na ture est indiqu~e cn t~te de colonne. Dans les deux derni~res cotonnes, les d~compositions matricielles n' interviennent pas dans la descript{on des homomcrphismes. Le cas des demi-groupes de t~R~D~ dtudi~ par ailleurs darts [24], [19], se distingue par le fait que la congruence &homomorphisme coincide avec l '~quivalence principal e ddfinie par un eomplexe divisible modulo PK.

3. - Le t re i l l i s des congruences sur an demi-gronpe compl~ment 0-simple.

Toute congruence distincte de l '6quivalence universelle sur un demi- groupe D complbtement 0-simple s 'exprime comme inter ject ion d'6quivalences principales d6finies par une famille de sous-demi-groupes dent la r6union K est li6e h une d6composition (0)-matricielle de D (cf. th6or~me 4.18). Darts la suite nous supposons que D est donn6 sous la forme d 'un demi-groupe rdgulier de matrices de R]~Es !~lL°(G; 1, A; P) dent on note l es ~-c lasses autres que (0) par H~z.

Pour tout complexe K de D, on d6finit des complexes Ki~. du groupe avec z6ro G O de la fagon suivante ; K i ~ - - { x ; x ~ G ° : (m; i ,k) G K N H ~ } .

D]~I :~ Io :~ 4.20. - Un complexe K de D -- 9 ~ ° ( G ; / , A; P) est dit normal s'il vdrifie les propridtds 1), 2), 3) du thdor~me 4.18) (ou 1), 2'), 3') du thdordme 4.19). Une congruence (O).malricielle ~ n ~ sur D vdrifiant 2) et 3) du lhdordme 4.18 est dite lide ~ K.

EXE~PLE. - E \ 0 et le complexe r6union des ~-c lasses t roupes (autres que (0)) sent des complexes normaux. Le th6orbme suivant indique comment on les obtient tous:

Tm~om2Mn 4.21. - Un complexe K d'un demi-groupe compl~lement O-simple !~ff'c°(G; I, A; P) est normal, si et seulement st:

a) K ne contient pas 0 et K n H ~ -- 0 si et seulement si p~ -" O,

b) pour tout i e I, )~cA, p ~ 0 implique p ~ K ~ = N ot~ N est un sous-groupe normal de G.

D ] ~ o ~ s ~ a ~ m ~ . - 1) Supposons K normal et soient i e / , ,~ e A tels que P z i - - 0 . Si (a; i, )~)eK, a v e c p . ~ 0 , (p~?; i, ~t) (a; i, k ) = ( a ; i, ~ ) e K ~ ( a ; i, k ) ( p ~ ; i, k ) - - 0 e K (K est r~flectif); eeci est impossible (th~or~me

4.18,1)); donc K(SH~z ~ O. Inversement , soient i, k tels que p~.~ ~ 0; comme K ~ L ~ = ~ O , il existe (x; y, k ) e K et d'apr~s ce qui precede p)4=~0; ( x ; j , k) ( p ~ ; i, )~)eK donc ( p ~ ; i, k) (x ; j, )9 -- ( p ~ p ) 4 x ; i, k ) e K et K n H ~ =~ O, ce qui ach~ve de d~montrer a).


Si p).~ :4= 0 et P~i ~ O, alors p~K~x " -pe~Ki~ . En effe~:

x e p ~ K ~ x c : v ( p z ~ x., i, ~ ) e K ; or:

(pi~:x i, ~) = (p~.~ ; i, F) (p~?~x; j , ~) e K ¢:v (p:~.~, , 3, },) (Pz~ ; i, ~) = - - 1 ~ . --(P~4 , J, ~ ) e K c v x e p ~ i K i ~ "

Posons p~.~K~).--N (pour tout i, )~ tels que p ~ 0, 1V est ind~ipendant du ehoix de i et ).). Si x e i v , y e N , alors (pii~c; i, ),) et (p~:y; i, ~ ) e K . Comme K N H ~ est un sous-demi-groupe (p~:xy; i, ~ ) e K et x y e N ; en par- t iculier ~ e IV. Mais (p~lx~-: ; i, ~) ( p ~ x ~ ; i, ~) e K. D'apr~s 3) du th6or~me 4.18, ( p ~ x - ~ ; i, ~)e K et x - ~ e i~\ Cela montre que iv est un sous-gronpe de G. Si x y e N, (p~ ixy ; i, )8 e K ; or ( p ~ x y ; i~ ~) - - ( p ~ x ; i, ~) (pU:y ; i, }~) e K implique (/~i~:y ; i, k) (p~m ; i, ~) - - ( p ~ y x ; i, ~) e K, d'ofi y x ~ ~ . iV est un sous-groupe r~flectif done normal de G.

2) Rdeiproquement, suit K un complexe de D v~rifiant a) et b). K est r~flectif; en effet:

(a; i, ~) (b; j , F) ~ K ~ pe~ap~b e iV ~ (bp~a ; i, )~) - - (b ; j , F) (a; i, )~) e K. En util isant a) et le [ait que D est 0-inverse, on v4rifie sans difficult~ que K a pour r~sidu (0). De plus :

(x; i, ~) et (y; i, ~ ) e K n R ~ p ~ x e h 7 et p ~ y e i v ~ p e ~ x p z ~ y e i v ~

(xp),~y ; i, ~) e K N R~.

(x; i, ~) (y; i, ~)GKNR~ et (y; i, ~ ) e K N R ~ p ~ x p ~ y e i v et p:~<yeN ~

~ p ~ . ~ m e i v ~ (x; i, ) . )eKNR~.

Donc K A R ~ est u n sous-demi-groupe unitaire ~t droite. De m~me K A L ~ est un sous-demi-groupe unitaire it gauche.

Pour d~terminer les congruences (0)-matricielles li~es ~t un complexe normal K, on introduit la notion suivante :

D]~FI~I~IO~ 4.22. - a) On appelle ex t ra i t de la matrice P de ~ ° ( G ; I, A; P)

u n dldment de G de la forme -1 - : . [~ j ] P ~ P ~ P~PE~J " Un telrdldment sera notd

b) Une p a r t i t i o n p de I [resp. 7: de A] est dite tide au sous-groupe normal 1V de G, si elle vdrifie la propridtd su ivante :

(i, j) e p ~ ~ X ~ A, p ~ = 0 ~ P ~ i = O, et ~ )~, [~ e A : ~ N.

G. LALLEMENT: Demi-groupes rOguliers 121

REMARQUE. - On v~rifie qu ' en t r e les ex t ra i t s on a les re la t ions su ivan tes :

T~OR~M]~ 4.23. - Soit K un complexe normal d'un demi-groupe complO. tement O-simple ~ ° ( G ; I, A ; P) ddfini par un sous-groupe normal N de G. Toule congruence (O)-matricielle lide & K ddfinit une partition p de I et z: de A lides & N e t rdciproquement.

D]~:z~oz~sTi~A~IOZ~.- 1) Soi t t z une c o n g r u e n c e (0)-matr ic ie i le li~e & K. D/~t est une image h o m o m o r p h e de D/~ . Or la ma t r i ce de D / ~ s 'obt ient pa r t i r de cel le de D pa r r e m p l a c e m e n t de p~:~=0 pa r l '~lOment unit~. De [6'] (proposi t ion 1.3), il r6sialte que tz indui t sur I une par t i t ion p tel le que :

(i, j) e p ~ (pour tout ), ~ A, p),, ~= 0 ¢:VPzi @ 0). Si (i, j) ep, les idempoten t s ( p ~ ; i, k) et (pz~;j , k) sen t dans mOme classe de la cong ruence dSfinie par

- - l . "

le coup le K, I ~. I1 e n e s t de m6me de (p~; j, ~) (p~; i, ),) et pej , 3, 1 ~) ( P ~ ; J, ) ,) '- -~ (P~ P~@~ ,3, ~)~K ---(P)~ ; J, )') (P~-~, P)4, P~i, P~i sent tous supposes non nuls). Done -~ -~" "

et -~ -~ P~P~P~4P~ e N. On d~montre de la m~me fa~on que la par t i t ion 7: indu i t e sur h par ~ a des proprie~t~s analogues .

2) R~c ip roquemen t , soient p, r: des par t i t ions de / , h li~es h N. Posons [(a; i, k), (b; j , ~)]e~¢::>(i, j ) ep , et ( 0 , 0 ) e ~ . On v~rifie que ~ d~finit une ~qu iva lence (0)-z~ro h gauche . Soi t R une ~-classe d is t inc te de (0). Si (w; i, k) et (y; j, ~ t )~K~R, alors p)~xe~, p ~ y e N et P~P~P)4Pei eN . On en d~dui t P~ 2P~P~a P~4P~ e N, d'ofi yp~.p~.~ p~i e N. De m~me, p~ip~p~x ~ N. I] en r~sulte P~4P~i P~xP~4YP~.~P~ ~ ~ qui implique p~xp~4y ~ N e~est-/~-dire ( x p ~ y ; i, ~t) - - ----(x; i, k) (y; j, ~ ) e K ~ R . P a r un ca leu l ana logue on d~montre que K(hR est un i ta i re h droite . En d~f inissant symOtr iquement ). p a r :

[(a ; i, ~), (b ; j, t~)] e k ¢* @, tq e = e$ (0, 0) e l ,

on obt icnt une c o n g r u e n c e (0)-m~triciel le 9 0 ), li~e & K.

COROLLAIRE 4.24. - Toute congruence propre (~) sur un demi-groupe com. pl~tement O-simple ~ ° ( G ; I, A; P) est ddfinie avee unieild par ta donnde d'un lriple (N, p, ~:) vie 17 est un sous-groupe normal de G, p e t ~ des partitions de I et A respectivement, lides & N.

Cela r~sul te des thOor~mes 4.18 et 4.23.

(34) Propre signifie distincte de l'dquivalence universelle.

Annali di Matemittica 16

122 G. LALLEMENT; Demi-groupes rdguliers

PRoPosI~IO~ 4.25. - Soient t~ (i = 1, 2) deux congruences propres sur un demi-groupe compl~tement O-simple D = ~ ° ( G ; I, A; P), Z~, p~, ~ les sous- groupes normaux et les partitions ddfinissant les ~ . Alors ~ ~ ~2 si et seule. ment si Z~ ~ N~, p~ ~ P2 et % ~ T:2.

D~MO~S~RA~IO~T. - 1) Supposons t~ ~ l~. I1 est ~vident que K~ ~ K2. Si e n d , pour i e I ~ ) , cA tels que p ~ 0 , (p~-]~x; i, ) , ) ~ K i C K ~ d~ofi xeZ~2

et N~ ~ ZV2. La congruence 0-matr iciel le l~i associ~e ~t ~ est ddfinie par : (a, b)e ~t~c:v(a~, b ~ ) ~ (off ~ est I '~quivalence de GnEE~ sur D / ~ , i - - 1 , 2); donc ~ ~ 1~, ce qui implique p~ ~_p~ et u~ _~ ~ .

2) R4ciproquement, supposons 2~ ~ 2~, p~ ~ p ~ , u~ ~ u~. Pour des

partit ions p et 7: de I e t A, notons I et A l e s ensembles quotients I / p et A/~z.

Pour un complexe K li~ h p et % on a: K - - U Si~ off les sous-demi-groupes

S~[ sont les traces sur K des classes sous-demi-groupes de la congruence (0)-matricielle d~finie par (p, ~). D'apr~s le th~or~me 4.14, la congruence correspondant i~ K, p, 7: coincide avec P($) off $ est ]a famille des sous- demi-groupes Sli. Ce qui precede est valable pour les congruences ~ et e~. Dans la suite nous affectons des indices 1 et 2, ce qui concerne ~ et ~ . Montrons que p(~)C_p($.~). Soient a, b non nuls tels que (a, b) ~ P(~). Si ax ~ S ~ il existe une classe H~£~ de ]a congruence (O~-matricielle (p~, T~), telle que a x e H ~ £ . Cette classe est de carr~ non nul. I1 existe alors y eH~i, tel que axy et y a x e S ~ . Mais par bypoth~se H ~ ~ H ~ ( H ~ est la c]asse de la congruence (0)-matrieielle (p~, ~ )con tenan t S~.L). Compte tenu du fait que K ~ K ~ (cela r~sulte de ~ N ~ ) on a done : 5'~-~-~ S~'~. Done a~ ~ S ~ , a~cy ~ S~:~ et yaw e S~;... Par suite de la propri~t4 d'unitarit~ faible de S~:~, y e Si~.~. Or, ax~y ~ S ~ et yax ~ Si~i~ impliquent respect ivement (puisque (a, b) e P(~)) bxy e S~A~ et ybx ~ S ~ comme S i ~ S ~ : et y ~ S~:, en utilisant h nouveau l 'unitarit~ faible, il vient bx e S~5. On d(imontrerait de m~me: bx ~ S~i~ ~ ax ~ S ~ c'est-~t-dire (a, b)~ PS~" Sym~tr iquement a et b sont dquivalents modulo les

~quivalences principales h gauche d~finies par les S~-~, d~o~ (a, b)eP($~).

Pno~osI~IOZ~ 4.26. - Soient ~ = ( ~ ; p~, ~:~) pour i - 1, 2, deux congruences propres sur un demi-groupe compl~tement O-simple ~qSo(G; i, A; P): ~N~=(N~NN~; p, np~, ~:~N%) et ~V~-- (N~.57~; p~Vp~, %V%) oit p~Vp~et u~V~:~ ddsignent le sup. des dquivalences p, et r~, dans les treillis des dquiva. lences sur I el A respectivement.

D~O~S~RA~IO~. - a) Posons (N, p, 7:) = i~n ~ . D'apr~s ]a proposition 4.25, si (zV~N N~; p~np~, %NT:2) d~finit une congruence ~, on a: ~ ~_ ~ N ~ . Montrons que c'est bien le cas. Soit (i , j)~p~np~; pour tout )~eA, p ~ = O c ~ p ~ - - O ; cela

par exemple, de (i,j)~p~, par ailleurs l¢ J./~iV~N-hr~ car r~sulte, p~ [resp. p~] L ̂

G, LALLEMENT: Demi-groupes rdguliers 123

est li~e ~ hzl [resp. N2]. Done p~np2 est li~e h N~NNx. Le m~me r~sultat vaut pour zqnr:~. Soient K, K~ et /(2 les complexes r~unions des classes des idempotents non nuls de ~1n~2, ~ , P2 respectivement. Si x ~ K , il existe un idempotent e ~ E \ 0 tel que (x, e) e ,o~n~ (prop. 3.5). Done x e K~NK2; compte tenu des relations entre les complexes K et les sous-groupes normaux de G (th. 4.21, b)), N_C 2VxAN~. Par ail leurs p C_pxnp2 et r: ___. rqNr:2. Done

b) Pour ce qui concerne £~V~, le prineipe de la d~monstration est le m6me que pr6cedemment. On montre d'abord que le triple (N~VN~; p~V£o~, u~Vrc~) d~ifinit une congruence. Supposons (i, j ) ~ p x V p 2 . I1 existe des indices ix = i, i~, ..., i,~_~, i~ = j tels que (ik; i~+x)~pxUp~. I I e n r~sulte pour tout )~eA:

P~i = 0 ¢:V p~.i~ == 0 ¢:V ... ¢-~ p~.~ _~ -- 0 ¢::> P~i -" 0

Pot~r tout ),, i~e h e t pour tout entier k, 1 ~ k < n,

Ii): i~+~I ~ IV~ U N~ ~_ Nx . ~ Par cons6quen~:

(l'6galit6 relative au produit d 'extrai ts r~sulte de la remarque suivant la d~fini~ion 4.22). On d6montre de la m~me faQon, ell ut i l isant la seconde relation stir los produits d 'extrai ts que r:xVn.~ es~ li~e ~ Nx;2~r~. En posant " : - (N~. Nz; pxVP~, ex\ /uz) et en util isant la proposition 4.25 on v6rifie que

D'aprbs S. MxcLA~E (~), un treillis T (V, A) est dit semi-modula i re si pour tout x, y, z e T, y A z < x ~ z < x V y implique qu'il existe l ¢ T tel que

xvy=yvz

x A y = y A Z ~ X A Z _-- y A Z

(~5) _4_ lat t ieo formula t ion for t ranscendance degrees and p-bases~ D u k e Malh, J . 4 (1938)

10 . 455-68.


y,~z < t ~ y et x -~ (xVt)Az. Sous forme de diagvamme, la semi-modular i t~ signifie que tout diagramme (£), se complete en un diagrame (B).

Pour un treillis de longueur finie, la d~finition pr~c~dente est ~qniva- lente a la d~finition de B[RKgOFF de la V-semi-modula r i t~ ([1], chap VII): y couvre x, z eouvre ~, y @ z, implique y V z couvre z et y \ / z couvre y. Le treiltis des ~quivalences d 'un ensemble est semi-modulaire ([7], p. 265) et

T I ~ O R ~ E 4.26. - Le treillis des congruences d'un demi-groupe complete. ment O-simple est semi-mod~daire.

I1 v~rifie par consequent la condition de chalne de J O R D A N - D E D E K I N D :

ceci a ~ prouvd par PRES~O~ ~ [12].

DI~ONSTRATION. - NOUS notons les congruences par des lettres Iatines. S~pposons que pour des congruences x, y, z on nit : y n z C x C z C x V y . D'apr/)s les propositions 425 et 4.26:

(s)

Ny n No _ ZV~:£ h5 -- £~V-~L,

p~, N p~ C:: p~ c: p~ c: p~ Vp~

D'apr~s l 'hypoth~se sur les inclusions strictes, duns chaque colonne d' inclusions du syst~me (S) figure au moins une inclusion stricte. Par suite de la modularit~ du treillis des sous-groupes normaux d 'un groupe:

N~. (Ny n N'~) -- N~. Ny N 2~'~ soit N~ : N'~. Pour les inclusions de la premiere ligne de (S) les possibilit~s sont indiqu~es en (1); pour les deuxi~me et troisi~me lignes les possibilit~s sent indiqu~es en (2, 3).

(1)

C = C

C (2, 3)

C C C

~ C

w m ~ ,

C - - - ' C

C

(Pour (2, 3) les cas p~np~ ~ p~ ~ p~ -- P~VPy et pyAp~ -- p~ ~ p~ ~ P~Vpy se r~duisent "~ ~ _ _ et - - - - ~ respectivement). D'apr~s la restr ict ion concernant les colonnes d'inclusion, l 'une au moins des deux derni~res lignes n'a que des inclusions strietes ~(sinon x == z, ce qui contredit l 'hypoth~se). ~ous supposerons que c'est la deuxi~me l igne:

a) Si la troisi/~me ligne n'a que des inclusions strictes, il existe une parti t ion p de I et uae parti t ion 7: de A telles que :


Le triple (Ny, p, ~) d6finit une congruence t car p C_py, re___ r:~ et N~-" (N:.N~)V~N: (dans t o u s l e s cas) pronvent que t v6rifie y N z C t ~ y et x = ( x V t ) n z .

b) S'il y a des ~galit~s dans la troisi/~me ligue, en d~finissant une parti t ion p de 1 comme pr~c~demment, (~g, p, =y) d~finit une congruence l'; on v~rifie que clans tons les cas r:~-- (r:~V~)Nr:~ d'ofl yNzCt 'C_ y et x----(xVt ')nz.

Les cas off la troisi~me ligne n'a que des inclusions str ictes se traite de

la m6me fagon.

COROLL~IRE 4.28. - Soit D -= ~ ° ( G ; L A; 1') un demi-groupe compl~tement O-simple et P' la matrice ddduile de P e n ren~plagant les dldments non nuls de P par l'dldm~nt urtil~ de G. Le treillis des congruences sur D est modulaire si et seulement si P' a moins de 5 lignes idenliques et moins de 5 colonnes identiques.

Cela r~sulte immSdiatement du fair que le treillis des ~quivalences sur un ensemble X est modulaire si et seulement si card. X ~ 5.

Pou r nn demi-~roupe eompl~tement simple ~Y['~(G; I, A; P) le treillis des congruences est modulaire si et seulement si card. I ~ 5 et card. A ~ 5 . Dans le cas des demi-groupes compl~tement 0-simples tels que P ' ait des rang~es toutes distinctes (exemple: les demi-groupes de BRA~DT) routes les congruences propres sont plus fines que ~ et d~termin~es par un sous-groupe normal du groupe de base (el. [24] pour le cas des demi-groupes de BR±NDT).

4. - Autres applications des homomorphismes d'un demi-gronpe sur un demi-groupe eompl~tement O-simple.

Soit D u n demi-groupe ayant un ideal bilat~re minimum compl~tement simple. Une condition n~cessaire et suffisante pour qu ' i l en soit ainsi, est que D ait au moins un ideal ~t droite minimal et un ideal ~ gauche minimal (Exemples : demi-groupes compacts, homogroupes, ...). LEFEBVRE a montr~ [14] que darts un tel demi-groupe le noyau est le r~union des complexes nets minimaux d 'un c6t~. Ce r~sultat permet d 'aff i rmer qne les demi-groupes /~ noyau compl~tement simple const i tuent une g~n~ralisation des homogroupes de TmERRr~ [34], O~t le noyau est un groupe form6 par l 'ensemble des zgro~des (on ~l~ments nets d 'un cSt~). Or dans un homogroupe H de noyau G e t d'~l~ment unitif e, l 'applieation x-->ex de H sur G est un homomorphisme laissant invariant les ~l~ments de G. En ce qui concerne les demi- groupes D h noyau compl~tement simple N, exis te- t - i l nn homomorphisme de D sur N, laissant fixe les ~16ments de N? Le th6or/~me suivant r~pond /~ eette question. Signal0ns que, lorsque D est compact, l 'homomorphisme envi. sagt~ est une r~traction de D (cf. W~LLACE [37]).


TI-I~ORE~E 4.29. - Soit D u n demi -groupe ~ noyau eompl~tement s imple N. I I y a dquivalence entre:

1) I I ex, iste u n homomorph i sme ~ de D sur J.¥ tel que ~ ( k ) = k p o u r tout k e N ;

2) Pour tout e - - e ~ E ST, f = f~ e iV, e f = e [resp. ef - - f] impl ique que p o u r tout x e D, we et ~cf [resp. ex et fx,] sont dans le m~me sous-groupe m a x i m a l ;

3) D est une bande rectangulaire d 'homogroupes dont les n o y a u x sont les sous-groupes m a x i m a u x de N.

D ~ o ~ s ~ a A ~ I o ~ l ) ~ 2). - Si par exemple e l - - e pour deux idempotents e, f e N , pour tout x e D : x e - - ~ ( x e ) - - ~ ( x ) ~ ( e ) = ~(x)e et de m&ne x f - - ~ ( x ) f . Comme ~(x) e N et (e, f) e ~ (~ est l '~quivalence de GREE~ sur N) on en d4duit que ~(x)e et ~(w)f sont aussi ~-~quivalents. Mats ~(x)e, ~(x)f et ~(x) sont dans la m0me ~-c lasse , done xe = ~(x)e et x f = ~(w)f sont duns le m~me sous- groupe maximal de N. Duns la suite nous notons Gi~ les sous-groupes maxi. maux et ei~ leur ~l~ment neutre.

2) ~ 3). a) 3~ontrons d 'abord que pour tout k, k ' e N et pour tout x ~ D , x k e G ~ x k ' e G ~ : . 5Yous supposons que k e G i ~ , k ' ~ G / ~ , ; e ~ , k - - k , et xk = (xe~z,)k implique xeix,~ G~,. Mais e~,ei,~ ,, - : e~, implique xe /~ ,e G~, d'ofi xk = xe~,z,k'~ G~,Gi,~, ~ Gi~,. On d~montre de la m~me fagon que pour tout k, k ' ~ N et pour tout x e D : k x ~ G ~ . ~ k ' x ~ G ~ , ~ .

b) Soit ~ la plus fine congruence z~ro h gauche sur D (cf. d~finition 4.16) et (a, b ) ~ p ~ ( N X 25). II existe a~, a~, ..., a ~ e D tels que aD]a~DI.. .!a,DlbD d'ofi aDkla~Dkl ... [a, ,DktbDk pour un ~il~ment k quelconque, k~5~. . . (1). Mats a~Dk ~ a~25 et d'apr/~s a), a~25 est duns une ~ - e l a s s e de h r. I1 existe done un idempotent e~ e N tel que pour tout x ~ D, k ~ 25, a~xk = e#~xk. D'apr~s (1) on a done ahrle~a~25 1 ... l e,~a~NIbN ; 25 ~tant compl/~tement simple il en rdsulte (a, b )e ~ . Done p(5(25X 2 5 ) - - ~ et de la m0me fa~on ) .~(25X hr)~- (). est la plus fine congruence z~ro h droite sur D et ~ l '~quivalenee de GI~gEN sur 2¢). Il en r~sulte que D est une bande rectangulaire d 'homogroupes (les classes de p~).) dont les noyaux sont les X-c lasses de 25.

3) ~ 1). A tout x ~ D , on associe ~ ( x ) ~ e~x off e~7. est F~ l~men t neutre du noyau G~z de Fhomogronpe C~)~ contenant x. Tout d 'abord e ~ z ~ - e~x. En effet : e~)xe G~z et il existe g e G~x tel que e~zx.g : e~z. Comme x g e G~., il en r~sulte x g - " e~). De m~me e~x ~ G~t~ et il existe g '~ G~ tel que x g ' - ~ e~. On a: ( x g ~ ) g ' - - e ~ f ~ , . - (xg'x,)g', d'ofi il r~sulte (puisque xgx et xg 'x sont duns G~x) xgx , - - xg'x, c 'es t -h-di re e~z~v = %~x. D~ns ces conditions, pour tout ;c e C~ et y ~ Ci~ , ~(x)'~(y) -~ e~xxei~Y - - e~xe~y = e~xy (car e~)2cep~ - - ei~,w)

- - %~cy - - ~('xy). L'applicat ion ~ est done un homomorphisme de D sur 25 co~ncidant

avee l' identit~ sur h r.


REMARQU]~S. - 1) La congruence d 'homomorphisme est d~termin6e par le complex e K - - (~ ; x e D : !e = e ~eN, e x - - x e - - e} et les congruences ~ et ), d~finies ci-dessus. K est r~flectif, net et coupe chaque (~N),)-classe suivant un sous-demi-groupe faiblement unitaire.

2) Dans le eas off D a uu z~ro (matriciel) et un id~at bilat~re 0-minimal compl~tement 0-simPle et contenu dans tout ideal non nu | de D, on a u n th(ior~me analogue au precedent (cf. [6']).

Le th~or~me suivant donne la forme g~n~rale de la s t ructure des demi- groupes 02simples ayant un ideal 0-minimal d 'un cSt~. I1 constitue une l(fg~re am61ioration d 'un r~sultat de GI~USKIsr [9].

TIt~otc~ME 4.30. - Un demi-grou[e D est O-simple e t a un iddal de gauche O-minintal, si et seulement si il admet une ddcomposition (O)-matricielle dont les classes C~ (i e 1, k e A) vdrifient Ci~ai~ --- 0 ou Ci~aj~ = Cj~ pour tout aide Cir. Si la ddcomposition (O)-malricielle est maximale (c'est-4-dire si elle correspond de la plus fine congruence (O)-mati'icielle) les classes C~ de carrd non nul sont soit toutes simples de gauche sans idempotents, soit toutes des groupes et dans ce dernier cas D est compl~tement O-simple.

D]~Z~fOZ~STI~ATIOZ~. - Si D est 0-simple avec un ideal ~ gauche 0-minimal , D est rdunion d'id~aux h gauche 0 -min imaux ; pour a, b eDx,.O, Da et Db sont de tels id(iaux et DaDb : Db ~ (0) (Cf. [9]) d'efi aDb ~ (0). De m~me si a b e t be sont non nuls, Dab -- Db 4= (0) et Dbc -~ Dc 4= (0) &off Dabe -- Dbc -- -- D c ~ ( O ) ; il en r~sulte abc ~ O. Dans D, l'id6al (0) est matr ic ie l ; soit E(o~f'l<o~E la plus fine congruence (0)-matricielle sur D. Pa r suite de ]a mini- raalit~ des id~aux i~ gauche non nuts Dx, D a - - (0) I Db- - (0) implique Da -- Db; done (a, b)eE~o)t :vDa--Db. ]1 en r~sulte que si L~ est une E~o)-classe non halle, L~U(O)-=L~ est un ideal ~t gauche 0-minimal . Supposons alors que pour a ide C;,~ (classe de E(o) f3 ~o)E), Ci~ai~ 4= O. En d~signant par R, ]a classe de (o)E contenant C,~, on a : C~ai~ : (R~L~,~a~ : R~AL~ai~. ~ a i s L~ : L~a~ (miiaimal'it~) done C~ai~ -- R~(3L~ ai~ -- R~fSL~ -- C~.

R~eiproquement, si un demi-groupe D a u n e decomposition (0)-matricielle dont les classes C~ v~rifient la proprieit~ de l'~nonc~, D est 0-simple: en effet, soient a ~ C ~ , beCi~. Ii existe z e h tel que C~C~).4=0 et k e I tel que C~C~ ~ O. D'apr~s l"hypoth~se C~a = C~ et C ~ C ~ - - Ci~. D'ofi Ci~aC~ ~ ' - Cie I1 en r~sulte que D est 0-simple ([2], lemme 2.28). On v~rifie sans peine que L~-- (0) U ( U C~z) est un id6al h gauche 0-minimal .

Si l 'une des classes d 'une d~composition (0)-matrieielle de D contient un idempotent e 4= 0, e est primitif car e f = f e ' - f 4= 0 implique Df = Dfei~_ De, &off D r - De (De est 0-minimal) et e l - - e - - f ; D est done compli~tement 0-simple. Dans l e cas contraire, si une classe C~). est un sous-demi-groupe, C~xa~--- Cix et C~ est simple h gauche sans idempotents.


Ce th6orbme permet de montrer que dans un anneau A sans icl6aux nilpotents ayant un id6al h gauche (0)-minimal L, K - - L A est un id6al complbtement 0-simple du demi-groupe multiplicatif de A, dent les 7~-classes sent des sous-anneaux de A (en particulier les ~-classes groupes sent des sous-corps).

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Cer ta ines parties de ee t r ava i l out gt~ rdsnmdes ou ddveloppges darts les articles su ivan t s :

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