Logique

Logique

B E R N A R D R U Y E R

P R É F A C E D E

J E A N L A R G E A U L T

P R E S S E S U N I V E R S I T A I R E S D E F R A N C E

à Catherine

ISBN 2 13 049287 8

Dépôt légal — ire édition : 1990 3e édition mise à jour : 1998, avril

@ Presses Universitaires de France, 1990 108, boulevard Saint-Germain, 75006 Paris

Sommaire

PRÉFACÉ 9

AVANT-PROPOS 15

INTRODUCTION : La logique et son objet 17

PREMIERE PARTIE

LOGIQUE DES PROPOSITIONS

CHAPITRE PREMIER. — THÉORIE sémantique 33

Le langage de la logique des propositions, 33 Interprétation de ce langage : les fonctions de vérité, 34

— Les tables de vérité et l'évaluation des formules, 42 Validité et satisfiabilité, 45

— Le théorème de substitution, 47 Exercices, 48

CHAPITRE II. - Le calcul des équivalences 49

Equivalence et remplacement, 49 Les équivalences fondamentales, 51 Les chaînes d'équivalences, 53 Les formes normales, 55

— Formes normales et tables de venté. 58 Exercices, 60

CHAPITRE III. — Les transformations de l'information 63

— La dualité, 63 Les assortiments d'opérateurs, 65 Les circuits électroniques, 68 Appendice : La machine à additionner, 73 . . . . . . . . . . .

Exercices, 75

CHAPITRE IV. — La déduction 77

— La déductibilité sémantique, 77 — La déductibilité syntaxique, 80 — Adéquation du système, 87 Exercices, 90

CHAPITRE V. — La méthode des arbres (I) 91

— Règles, 92 — Procédure, 93 — Exemples, 94 — L'adéquation du système, 96 — L'intérêt de la formalisation, 98

Exercices, 99

DEUXIÈME PARTIE

LOGIQUE DES PRÉDICATS

PRÉLUDE. — Les ensembles infinis 103

CHAPITRE VI. — Le langage de la logique des prédicats 109

— Présentation du langage, 109 — L'analyse des propositions, 110 — La quantification, 114 — Les formules complexes, 116 — Les schémas de formules, 118 — Les équivalences fondamentales, 119 — La mise en formule d 'un énoncé, 122

Exercices, 125

CHAPITRE VII . - Théorie sémantique. Satisfiabilité et validité 127

— Interprétations et modèles, 127 — La construction d 'une table de vérité, 132 — Le cas des formules ouvertes, 133 — La validité universelle, 134 — n-validité et n-satisfiabilité, 138

Exercices, 144

CHAPITRE VII I . — La méthode des arbres (II) 147

— Présentation informelle, 147 — La méthode des arbres comme système formel, 149 . . . . . . . . — L'adéquation du système, 155 — Théorème de Lowenheim-Skolem, 159 — Appendice : La déduction naturelle, 160 Exercices, 163

CHAPITRE IX. — Le calcul des prédicats et ses limites 165

— La substitution, 165 — L'équivalence et le remplacement, 166 — Forme prénexe et forme miniscope. 168 — Hiérarchie des préfixes, 1 7 1 — Permutations de quanteurs, 171 — Les types décidables de formules prénexes, 172 — L'indécidabilité de la logique des prédicats. 174 Exercices, 178

CHAPITRE X. — La logique des prédicats avec identité 1 79

— L'identité et ses propriétés logiques. 179 — Les désignateurs, 183 — L'interprétation d'un symbole de fonction, 185 — La méthode des arbres et l'identité, 186 — Note historique, 188 Exercices, 188

CHAPITRE XI. — Logique et mathématiques 191

— La logique des prédicats du second ordre. 191 — L'appartenance et les ensembles, 195 — Le nombre, 199

SOLUTIONS DES EXERCICES 205

BIBLIOGRAPHIE . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 219

INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Préface

Quelle est la signification, la portée, ou l'intérêt de la logique pour la philosophie ? De nombreux livres s'intitulent Philosophie de la logique, qui sont décevants. Aristote, le créateur de la discipline, semble avoir, par la suite, dédaigné le sujet. Il n'a guère employé, dans ses œuvres scien- tifiques, l'instrument qu'il avait forgé, sauf à des fins limitées : contrôler un raisonnement compliqué. Le mot « logiquement » prend, sous sa plume, une nuance péjorative : argumenter « façon logique et vide », à la manière des platoniciens, A logikôs, il oppose eulogôs (raisonnablement ou intelligiblement) f1) .* « Là aussi on peut voir la différence entre ceux qui étudient la nature par des méthodes géométriques (physikôs) et ceux qui le font par des méthodes algébriques ( logikôs). » (2) Les faits mathé- matiques se rattachent, par des chemins parfois très longs, aux données des sens et de l'imagination. Les faits logiques se rattachent à des données linguistiques et mentales (phrases, raisonnements). La logique sera tou- jours suspecte à ceux qui pensent que le savoir s'obtient par les choses plutôt que par les mots.

On s'est souvent inquiété de la nature de la logique et de sa place dans la philosophie ou par rapport à elle. On présumerait que ces questions sont importantes. Personne ne les a tranchées. La logique décrit-elle notre pensée ou ses normes ? Il est difficile de le croire quand ses lois nous paraissent plus étrangères et moins évidentes que les propositions de la mécanique ou de la géométrie euclidienne. En principe, la logique est une méthode pour

(1) « Puisque la sensation réside dans les organes simples, il est tout à fait rationnel (eulogos) que le toucher se produise dans un homéomère, etc. » (Part. An., 647a). Cf. J.-M. Leblond, Eulogos et l'argument de convenance, 1938.

(2) Gener. Corr., 316a.

atteindre le vrai. Est-elle donc une discipline p ra t ique ? On conviendra

qu'on n ' a p a s besoin de longs efforts p o u r se rendre compte que nier « Tous

les hommes sont Grecs » équivaut à affirmer « Quelque homme n'est p a s

Grec ». L 'é tude de la logique n ' a j a m a i s aidé quiconque à mieux raisonner.

E n effet, nous apprenons la logique en même temps que la g rammai re et

la syntaxe de la langue, en sorte que l 'apprent issage de la science de la

logique rend seulement conscient ce qui ne l ' é ta i t p a s — actualise un potentiel

latent. Aussi la logique fa i t -e l le f igure de discipline fondamen ta l e (puis-

qu'elle est sous-jacente à tout emploi cohérent du l angage ) , et inimportante.

Une autre raison de cela est qu'on ne peut rien construire sans prendre

p o u r po in t de dépar t des principes d 'or igine non logique et tel est sans doute

le m o t i f de l 'opinion assez dépréciative d 'Aristote .

Si l 'on cherche les contributions de la logique à la philosophie au cours

de l ' âge classique, c'est pr incipalement à K a n t qu ' i l f a u t penser : il a

extrai t de la syllogistique une table des catégories des concepts décalquée

sur une classification des jugements . A l 'époque où les philosophes n 'ava ient

p a s encore horreur des systèmes et où ils s'efforçaient en chaque chose de

trier l 'essentiel de l'accessoire, Schopenhauer remarquai t que toute science

repose su r deux données pr imaires , « le principe de raison, sous l 'une quel-

conque de ses f o r m e s servant de pr incipe régulateur, l 'objet qu'elle étudie

et qui se présente toujours p o u r elle à l ' é ta t de problème ». Ains i il ass igna i t

à la logique la loi d ' in te l l ig ibi l i té p o u r règle et les rapports des concepts

p u r s p o u r problème (3). Au jou rd ' hu i nous ne souscririons p a s à cette défi-

nition. L a f o r m e du principe de raison pertinente p o u r la logique est le

pr incipe d ' ident i té ou de non-contradiction, et son problème est celui de

l 'inférence, considérée sous divers angles. E n effet, le caractère métaphysique

de la logique tient à ce que ses lois se relient p a r une chaîne d ' identi tés :

les vérités logiques ou validités sont toutes équivalentes entre elles. L 'énigme

est alors comment un langage dominé p a r la répétition du même et qui

n 'avance j a m a i s (pr incipe du langage pe rmanen t ) peut - i l servir à décrire

des processus de changement ou d'évolution. L a question se pose aussi, d 'une

f a ç o n peut-être p l u s aiguë, à propos du rôle des notions invariantes des

mathématiques dans les sciences de la nature. Un paradoxe analogue se

rencontre en calcul des probabi l i tés appliqué, quand nous analysons des

résultats d 'épreuves aléatoires au moyen de constructions théoriques précises

(3) A. Schopenhauer, Le monde comme volonté et comme représentation, I, § 7, trad. fr., I, p. 31.

et rigoureuses : nous décrivons des phénomènes au h a s a r d au moyen d ' u n

f o r m a l i s m e logique et déterministe, éventuellement complété p a r des notions

qui impliquent des choix arbi t ra i res , telles que seui l de signification ou

intervalle de confiance. M a i s l 'emploi de tout concept s table soulève l a

même question, ce qui nous ramène à l 'énigme de l a logique et de l ' identi té ,

exigence première de l a raison, comme on le s a i t depuis Pa rmén ide

( E . Meyerson y a ins is té) .

L a nouvelle logique, celle issue de Frege, est l a continuation de l 'ancienne

p a r extension du langage et développement de moyens p l u s pu issan ts . O n

a mieux f o r m a l i s é en excluant tout à f a i t le sens, ce qui a donné le j o u r à

une combinatoire de signes concrets. D ' u n autre côté, le l angage ensembliste

a pe rmis de systématiser d ' une f a ç o n précise les notions abst ra i tes de vérité

et de conséquence. O n a p u construire une théorie de l a démonstrat ion (ou

syntaxe) . Ce qu'on y appelle démonstrat ion n ' a p a s grand-chose de commun

avec les démonstrations des mathématiques, qui demandent toujours à être

comprises, s inon dans le détail , au moins dans leurs idées pr inc ipa les ou

leur ligne générale. A u sens de l a logique, une démonstrat ion est une suite

de fo rmu le s dont on doit pouvoir contrôler l a correction étape p a r étape,

et qui n 'es t p a s f a i t e p o u r être comprise. Ensui te , on compare le concret

et l ' ab s t r a i t ( l a théorie de la démonstrat ion et l a théorie des modèles) .

D e cette comparaison est née l a notion de complétude, qu i représente, g r o s s o

m o d o , l a moitié de l a notion de décidabilité.

L a logique du p remier ordre ( q u i ne comporte p a s de variables de

sous-ensembles du domaine de base des modèles) , et qui est l 'objet du livre

de B . Ruyer, est complète et non décidable. L a décidabil i té consiste en

l 'existence d ' u n algori thme p o u r l a va l id i t é ; l a complétude correspond à

l 'existence d ' u n semi-algorithme.

L a logique classique, sans symboles p o u r les relat ions ou les p réd ica t s

dépendant de p l u s d ' u n argument , est certainement triviale. L a logique

issue de Frege, qui considère des énoncés sa t i s fa i t s dans des domaines

infinis, échappe donc à l a t r ivial i té en p r e n a n t en compte des entités qu 'on

eût autrefois regardées comme extérieures à l a logique. C ' e s t peu dire,

car un f ini t isme régnait , qui excluait absolument l ' infini du cercle des

notions recevables, en logique comme ai l leurs (4). N 'empêche que,

(f.) Cf. le principe du nombre de Ch. Renouvier : « Tout nombre est nombrable », un infini en acte serait un infini terminé, donc fini : contradiction. Sur le finitisme des mathématiciens du xixe siècle, Essais de critique générale, Premier Essai, 1912, I, chap. VIII , p. 34 sq.

dès le X V I I I e siècle, quelques-uns savaient déjà l 'insuffisance de la

syllogistique.

Etendre la capacité d 'expression de la logique, analyser et recenser les

types d' inférence correcte, les classer au moyen d ' u n système axiomatique,

étudier les relations entre les systèmes de règles et les fo rmes logiques intui-

tives admises comme légitimes, n 'é ta i t p a s une mince affaire. Leibniz ,

qui entrevoyait le problème, le croyait résoluble en cinq ans. I l en f a l l u t

cinquante (de Frege à Godel : 1 8 8 0 - 1 9 3 0 ) .

Cette nouvelle logique est pa r fo i s appelée logique mathématique à

cause de ses prolongements à l ' analyse des rapports entre les fo rmules d ' u n

langage non logique et les structures, notamment algébriques, où ces f o r -

mules sont vraies : cela f o r m e la substance de la théorie des modèles, pa r t i e

de la logique laissée de côté p a r B . Ruyer. M a i s la pa r t i e dont il traite,

et qui coïncide avec ce qu 'on nomme théorie de la quantification, suffit à

montrer que la logique issue de Frege a entièrement renouvelé les techniques

déductives en les approfondissant .

L 'enrichissement de la théorie de la déduction ou de l 'inférence a été

contrebalancé p a r un appauvrissement dans d ' au t r e s secteurs. Le jugement

est entré dans la sphère des philosophes du langage ou philosophes ana ly-

tiques. Les résultats stables ou non controversés de leurs spéculations, s ' i l

en existe, n 'on t p a s encore été dégagés d 'une masse confuse de fu t i l i t é s et

de vétilleries. Enfin, une autre pa r t i e de la logique, qui venait en premier

dans les anciens manuels, au titre du concept ou de l ' idée générale, est sans

doute échue aux linguistes.

L a logique nouvelle n ' a p a s p o u r objet l a pensée ni son fonct ionnement ;

elle construit un langage qui peut servir à toutes f in s (logique du premier

ordre) , pu is , en y a jou tan t des termes descriptifs non logiques, des langages

appropriés à exprimer des contenus déterminés. Enfin, elle étudie les p ro-

priétés générales de ces systèmes. D e la logique ancienne certains ont soutenu

qu'elle est une mécanique du raisonnement. L a logique nouvelle méri terai t

mieux cette caractérisation, puisque les règles, en théorie de la démons-

trat ion, sont mécaniques. Le mot s 'est imposé, quoiqu ' i l soit déjà surchargé

d'acceptions. Ici « mécanique » est mis p o u r récurs i f et n ' a rien à

voir avec des forces ni avec des causes physico-chimiques. D ' u n autre

côté, s i ces règles (ou leur traduction en symboles ar i thmétiques) sont

récursives, il f a u t penser que ce sont celles de raisonnements su r des

signes concrets, et qu'elles définissent ce qu'on nomme pa r fo i s l a r igueur

formel le .

A u bout du compte, l a logique a p p a r a t t comme une science exclusivement

théorique, qui concerne une contrepartie idéalisée d 'opéra t ions intellectuelles

que p e u t effectuer un sujet de pensée. Ces opérations sont transportées dans

un subs t ra t concret extérieur à l a pensée et constitué de signes et de configu-

ra t ions de signes. Aristote appe la i t s a syllogistique un instrument ( O r g a n o n ) .

L a logique issue de Frege est éventuellement un ins t rument de consensus

qui, dans les circonstances courantes, ne sert p a s , ma i s dont i l importe

qu ' i l existe et soit le p l u s achevé et le p l u s sû r possible. P a r l e r de consensus

est inexact puisque, outre une logique dite classique, qui admet une notion

de vérité indépendante de la connaissance, i l y a une logique idéaliste des constructions mentales.

Retournons main tenant à notre première question : quelle est l a s igni-

f icat ion de l a logique ? Une réponse possible est l a suivante : l a signifi-

cation dépend de ce vers quoi est d i r igé l ' intérêt . O n p e u t p a s s e r l a logique

p a r p ré ten t ion , puisque, à l a différence des critères s tat is t iques, en t an t que

théorie, elle ne s 'u t i l i se q u ' à se développer elle-même. S i on définit l 'ê tre

huma in p a r l a raison, l a logique, à cause de ses affinités avec l ' identi té ,

acquier t une g rande importance. S i on définit l ' ê t re huma in p a r l a vie,

l a physique ou l a biologie gagnen t le p remier r a n g d ' impor tance . M a i s i l

n 'es t p a s exclu, en dépit des apparences, que l a logique soit une product ion

du vivant. Le j o u r où nous saurons si, à quelque niveau, le vivant n 'engendre

p a s quelque ordre analogue à celui de la logique ou de l ' a r i thmét ique

récursive, nous serons mieux f ixés s u r s a signification réelle. Actuellement

nous n 'avons que l a spéculation et nos p a r t i s p r i s .

Telles sont quelques-unes des questions que le lecteur de B . Ruye r

a u r a lieu de se poser. L a liste de toutes les g randes quali tés de son livre

sera i t démesurée. L ' a u t e u r évite l a lourdeur, à laquelle on échappe diffi-

cilement en ces matières, q u a n d on ne veut p a s sous-entendre un trop g r a n d

nombre de définitions et de conventions que les professionnels j u g e n t triviales.

I l se ga rde d ' in t rodui re p l u s de notions savantes qu ' i l n 'es t indispensable

p o u r le sujet. I l s ' a t t ache à expliciter des propriétés et des f a i t s que le lecteur

ne trouve dans aucun autre manuel et qui ne se peuvent ordinairement dégager

qu 'en résolvant soi-mime des exercices. Les exemples sont t rai tés avec soin

et minutie. Le tout, considéré dans le détail , est d ' une rare finesse et d ' une

belle élégance. Le moindre mérite de l 'ouvrage n 'es t p a s de se p rê te r à être

étudié sans professeur. L à c'est dire le service qu ' i l rend. ( D e s réponses

aux exercices f igurent à l a f i n du volume, en sorte que l ' é t ud i an t p e u t contrôler

ses solut ions.)

D i x ans bientôt après sa dispari t ion, c'est un réconfort de constater

que la t radi t ion de Roger M a r t i n n 'est p a s éteinte. I l es t imait que, p o u r

p a r l e r valablement su r certains sujets, il est nécessaire d ' a l l e r y regarder

de près. B . Ruyer n ' a p a s oublié les leçons de son vieux maître, qui a auss i été le mien.

J e a n L A R G E A U L T .

Avant-propos

Ce court traité de logique (on disait autrefois « formelle », on dit maintenant plus volontiers « symbolique », mais dans les deux cas l'épithète est contenue dans le sujet) n'est pas un traité de logique mathématique, si l'on entend la logique appliquée à la métathéorie des mathématiques (théorie des modèles et théorie de la démons- tration). Relativement à ces développements (dans lesquels on a pu dire que la logique devient « vraiment intéressante »), cet ouvrage peut être considéré comme une simple introduction; mais je l'ai voulu le plus possible complet en son genre, qui est la logique élémentaire, donc « de base ». Au demeurant, je n'aurais pas entrepris de l'écrire si je n'avais pensé que la logique est d'emblée intéressante, et si je n'avais cru pouvoir communiquer un peu de l'amusement que procure sa pratique.

Assez fréquemment, lorsque l 'auteur jure ses grands dieux qu'aucune connaissance des mathématiques n'est supposée chez le lecteur, celui-ci (spécialement s'il est philosophe, donc n'aime pas les abstractions) abandonne dès le premier ehapitre. Ce ne peut être le cas ici (du moins pour le lecteur idéal), pour la bonne raison qu'entre cette « protomathématique » qu'est la logique et les mathématiques il existe une ligne de démarcation précise, qui est franchie lorsqu'on prend en considération les ensembles, matériaux pour la construction d'autres objets idéaux, comme le nombre (le dernier chapitre est destiné à marquer cette frontière, en jetant un coup d'œil sur l'autre côté).

Néanmoins, je me suis efforcé de ne donner aucun théorème sans l'assortir d'une preuve, la plus simple et la plus concise pos- sible. Une exception importante est le théorème de Church; sa démonstration, comme celle du théorème de Gôdel, dépasse le cadre d'un traité de logique élémentaire.

J 'ai , à l'occasion, esquissé les développements philosophiques auxquels donnent lieu les notions fondamentales de la logique, en direction de la théorie générale des symboles, et de l'ontologie comme inventaire des « ingrédients » de tout monde possible.

Ce livre doit beaucoup à Kleene (Logique mathématique), à Quine (Jléthodes de logique), spécialement pour les derniers cha- pitres (« Glimpses beyond »), à Richard Jeffrey (Formai Logic, its scope and limits), à qui j 'ai emprunté le flow graph pour la méthode des arbres, ainsi que les notions de fiabilité descendante (downward correctness) et fiabilité ascendante (upward correctness) des règles.

Mes remerciements vont au regretté Roger Martin, qui m'a initié à la logique; à mes collègues de l'Université Paris-X, Jacques Merleau-Ponty (grâce à qui Nanterre fut le lieu de savantes et amicales « disputations »), André Doazan (à qui je dois beaucoup d'idées, dont les « programmes d'instanciations »), Iégor Reznikoff (ma dette à son égard est immense) ; à Maurice Caveing, sans qui ce livre n'aurait pas vu le jour; à Jean Largeault et Anne Fagot-Largeault, pour leur soutien et leurs précieuses suggestions; à mon frère Dominique Ruyer et à ma fille Hélène Ruyer- Benhamou, mathématiciens, à qui j 'ai souvent demandé un « nihil obstat ».

Post-scriptum (1998)

Jean Largeault est mort en 1995, alors qu'il mettait la dernière main à un ouvrage (à paraître) sur la logique contemporaine et ses développements « non classiques ».

Je dédie au philosophe et au savant qu'il était cette nouvelle édition, avec les quelques modifications que j 'ai apportées dans le sens d'une plus grande clarté.

Introduction

La logique et son objet

On pourrait définir la logique comme la science des règles qui légitiment l'emploi du mot « donc ». Son objet premier est en effet la déduction, opération qui consiste à adjoindre à un ensemble d'énoncés (prémisses) un autre énoncé (conclusion), néces- sairement vrai si les premiers sont vrais. On parle d'hypothèses et de conséquence si on fait abstraction de la vérité des énoncés concernés, pour ne considérer que la relation de déductibilité. Celle-ci est la même, qu'il s'agisse de découvrir une conséquence encore inaperçue de faits connus, de prouver (c.-à-d. de rendre certain ce qui était douteux en le déduisant de propositions cer- taines) ou d'expliquer (c.-à-d. de découvrir des hypothèses vraisem- blables dont le fait considéré — ou plus précisément l'énoncé qui le décrit — est une conséquence).

Voici quelques exemples de déductions valides ( = où l'emploi du mot « donc » est légitime) :

1 / Les oiseaux sont ovipares; les chauves-souris ne sont pas ovi- pares; donc les chauves-souris ne sont pas des oiseaux.

2 / Un cheval est un animal; donc la tête d 'un cheval est la tête d 'un animal.

3 / L'Etoile du Soir est la planète Vénus; la planète Vénus est, périodiquement, visible le matin ; donc l'Etoile du Soir est, périodiquement, visible le matin.

4 / Le voleur est sorti par la porte ou par la fenêtre ; s'il était sorti par la porte, celle-ci ne serait pas fermée de l'intérieur, ce qui est le cas; donc il est sorti par la fenêtre.

► 1 est un syllogisme. Aristote, qui avait vu dans ce type de rai- sonnement l'essence même de la déduction (« discours dans lequel, certaines choses étant posées, quelque chose d'autre en résulte néces- sairement »), en a développé la théorie dans les Premiers et Seconds Analytiques, et la logique médiévale a perfectionné cette théorie. Un syllogisme concerne trois termes (ici : chauve-souris, ovipare, oiseau) ; le « moyen terme » (celui qui figure dans les deux prémisses) permet d'établir le rapport (ici, d'exclusion) entre les deux autres. Celui-ci est un syllogisme de la deuxième figure : le moyen terme est en situation de prédicat ( = ce qui est affirmé ou nié de quelque chose) dans les deux prémisses.

La théorie du syllogisme permet d'établir qu'un syllogisme de la deuxième figure n'est « concluant » que si l'une des deux pré- misses est négative, ce qui entraîne que la conclusion l'est aussi.

► 2 est l'exemple (dû à Augustus De Morgan, 1847) d'une déduc- tion si simple qu'elle semble mériter à peine le nom de déduction, mais dont pourtant la justification dépasse les moyens de la logique d'Aristote : elle contient en effet, outre des termes qui représentent des propriétés (être un cheval, être un animal), un terme qui représente une relation (x est la tête de y). Le schéma de la déduction est : tout ce qui est A est B; donc tout ce qui a la relation R avec un A l'a avec un B (notons au passage que la déduction réciproque n'est pas valide, et qu'en dépit de la vérité des deux énoncés, « donc » serait injustifié). Un tel schéma relève de la logique des prédicats, dont la théorie du syl- logisme n'est qu'un chapitre d'une importance secondaire (le peu d'estime dans lequel Descartes tenait la logique d'Aristote vient de ce qu'il voyait clairement l'importance des relations dans les raisonne- ments mathématiques).

► 3 met en œuvre une propriété fondamentale de la relation d'identité, qui est l'une des significations du verbe « être » : si a = b (ce qui signifie que « a » et « b » désignent un seul objet), alors si P est une propriété de a, c'est aussi une propriété de b.

La substituabilité des identiques salva veritate est un des ressorts essentiels de la démonstration mathématique. Ainsi (exemple de Leibniz) 2 + 2 = 4 est déductible des prémisses x + (y + z) = (x + y) + z, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1,4 = 3 + 1. En effet :

2 + 2 = 2 + (l + 1 ) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.

► 4 diffère des trois déductions précédentes en ce que les éléments concernés ne sont pas les termes qui figurent dans les énoncés (termes qui représentent des objets comme la planète Vénus, des propriétés comme être ovipare, des relations comme être la tête de), mais des énoncés (propositions) qui décrivent des états de choses possibles ou réels (le

voleur est sorti par la porte, le voleur est sorti par la fenêtre...). Le schéma de la déduction est : p ou q; si p alors non r ; r ; donc q. Un raisonnement de ce genre, qui repose sur les propriétés des mots logiques « ou », « et », « si... alors », « ne... pas », relève de la logique des pro- positions.

Cette série d'exemples permet de préciser la nature et les buts de la logique. Il s'agit de construire une théorie de la déduction, ce qui implique en premier lieu que l'on dégage, des exemples concrets, des schémas généraux, comme Aristote l'avait fait pour le syllogisme. Par exemple : de « tout B est M » et « aucun A n'est M » on peut déduire « aucun A n'est B » (la logique est formelle par essence).

En second lieu, il s'agit de justifier ces schémas : en tant que théorie de la déduction, la logique a pour tâche de découvrir des principes généraux et par suite, paradoxalement, de déduire d 'un ensemble minimal de principes les schémas de déduction eux-mêmes. C'est ce qu'Aristote avait fait aussi pour le syllo- gisme, en s'efforçant de mettre en lumière des lois et des principes généraux (par ex. : si une prémisse est négative, la conclusion l'est aussi; de deux prémisses négatives on ne peut rien conclure, etc.), eux-mêmes déductibles d 'un principe plus général (« Dictum de omni et nullo ») : ce qui est affirmé ou nié du tout l'est aussi de la partie.

La logique moderne a repris cette double tâche, en l 'étendant à d'autres aspects de la déduction. Comme on le verra, il est apparu que les lois de la logique des propositions (exemple 4) sont fondamentales, étant présupposées par les lois de la logique des prédicats (exemples 1 et 2), qui elles-mêmes sont présupposées par les lois spéciales à la relation d'identité l'exemple 3).

Les vérités logiques

Une déduction est une opération qui concerne au moins deux énoncés (prémisse et conclusion) ; elle est correcte (valide) ou non, indépendamment de la vérité ou de la fausseté « indivi- duelle » de ces énoncés (un exemple de déduction valide peut être tout à fait absurde, à la seule condition que les énoncés qui y

figurent soient grammaticalement corrects). Il est facile cependant de mettre en correspondance avec une déduction un énoncé unique, vrai si et seulement si la déduction est valide. C'est en fait de cette façon qu'Aristote énonçait les divers schémas valides de syllogisme, par exemple : « Si tout B est M et aucun A n'est M, alors aucun A n'est B », dont la forme globale « si p et q alors r » est la même que celle d 'un énoncé empirique comme « s'il pleut et si le sol est gelé il y a du verglas ».

Le fait qu'à toute déduction valide correspond une implication logiquement vraie (dont elle est la mise en œuvre) montre que la logique est une science théorique autant que normative : un schéma valide est un théorème, objet (comme le mot l'indique) d'une connaissance spéculative. En outre, certains schémas n'ont pas la forme d'une implication (« si... alors »). Le principe du tiers exclu, par exemple (p ou non p), est le schéma commun d'énoncés logiquement vrais comme « il pleut ou il ne pleut pas » ou « la porte est ouverte ou fermée » : le premier est logiquement vrai de son plein droit, le second l'est en vertu du sens des mots « ouvert» et« fermé» (qu'une porte puisse être dite « entr 'ouverte» montre que les définitions de ces deux termes peuvent être affinées, mais ne saurait amener à mettre en question le principe du tiers exclu : une porte est entr'ouverte ou ne l'est pas).

La notion de vérité logique coïncide-t-elle avec celle de « vérité nécessaire » ? Les rapports entre « nécessaire », a priori, « ana- lytique », posent des problèmes délicats. Disons seulement qu 'un énoncé comme « il pleut ou il ne pleut pas » est tout à la fois néces- sairement vrai, connaissable a priori (même par quelqu'un qui igno- rerait ce qu'est la pluie), et « analytique » (c.-à-d. justifié par le sens des mots « ou » et « ne... pas » qui y figurent). En revanche, « il n 'y a pas d'événements sans causes » est, selon Kant, a priori sans être analytique : il n'y a pas de contradiction dans l'idée d 'un événement qui ne succéderait pas à d'autres selon une loi; mais, selon Kant, les conditions de l'expérience d'une succession objective excluent la possibilité de l'expérience d 'un tel événement. Un autre exemple de vérité nécessaire qui ne serait pas une vérité logique pourrait être, selon Bertrand Russell, « si un point visible est bleu, il n'est pas jaune ». Cela mérite discussion. C'est en fait l'expérience qui montre que bleu et jaune sont des qualités incompa-

tibles pour une même région du champ visuel (et ce fait résulte logiquement du fait empirique que la sensation de bleu est pro- duite par l'activation de l 'un des trois types de cônes de la rétine, celle de jaune par l'activation simultanée des deux autres). En revanche, bleu et rouge ne sont pas incompatibles (car « bleu et rouge» = violet) ; à moins que par« bleu» on entende « simplement bleu », auquel cas son incompatibilité avec une autre couleur est une incompatibilité logique, qui n'est autre que celle de p et de non p (1).

Les énoncés mathématiques

Le problème le plus difficile — qui est aussi celui des frontières de la logique — est celui du statut des énoncés mathématiques.

Il n'est plus question, depuis la découverte des géométries non euclidiennes, de voir comme Kant dans la proposition « deux droites ne peuvent enclore un espace » un jugement synthétique a priori, qui énoncerait une impossibilité mais non une contra- diction (l'existence d 'un « biangle » serait, en fait, en contradiction avec les axiomes de la géométrie euclidienne). De même, il n'est plus question de voir dans la démonstration mathématique une « construction », par opposition à une analyse de l'information contenue dans les prémisses. Le raisonnement par récurrence (ou « induction mathématique »), où Poincaré voyait une démarche irréductible aux schémas de la logique, repose sur un schéma d'axiomes explicité par Peano, qui fournit dans chaque cas particulier une prémisse pour une démonstration dont la validité relève de la seule logique.

Reste pourtant la question de la réalité d 'un contenu des énoncés mathématiques. Le caractère « nécessaire » des lois de la logique est lié à leur caractère purement formel, et en quelque sorte à leur vacuité : elles ne mentionnent aucune propriété ou relation particulière (il n'y est question que de propriétés P quelconques et de relations R quelconques, à la seule exception de « = ») ; et si on y mentionne des objets, ce sont des objets quelconques a, b, c... Or les énoncés mathématiques concernent des propriétés et des

(1) Pour préciser l ' expér ience en quest ion : un d a m i e r bleu et j a u n e , vu de loin, est gris (les deux quali tés se neutral isent) ; alors que dans les mêmes condi t ions le bleu et le rouge coexistent dans le violet (ou l ' une des nuances du pourpre ) .

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Avril 1998 — N° 44 894