De la construction du nombre

au système de numération

Animation pédagogique – RUMILLY - 06/04/11

ETAT DES LIEUX CONSTATS DES DIFFICULTES

Des difficultés dans l'enseignement des mathématiques :

- quelle place pour la manipulation, quel rôle ?

- de la construction d'une notion à sa systématisation : quelle articulation ?

- comment favoriser le réinvestissement, le transfert des notions ? (résolution de problèmes)

- choix des supports et outils tant pour les élèves que pour le maître.

Des difficultés pour les élèves dans l'apprentissage de la numération :

- la lecture/écriture des nombres irréguliers et des grands nombres

- comprendre qu'un nombre représente une quantité : aspect ordinal et cardinal du nombre

- le passage du dénombrement terme à terme au groupement

- le calcul mental, le calcul réfléchi : 35 +12

- réutiliser les notions déjà vues, faire le lien entre les apprentissages

3 points essentiels à travailler

..sur l'ensemble des 3 cycles et tout au long de l'année :

- l'aspect cardinal et ordinal du nombre : le nombre pour mémoriser, le nombre pour comparer

- les notions de groupements et d'échanges

- la relation entre les nombres et le calcul : le nombre pour calculer

1. Le nombre pour mémoriser :Le rang et la quantité

● Un exemple de situation : Le jeu de l' ordre en GS● Aspect ordinal et cardinal● vidéo

Le nombre pour mémoriser :Analyse vidéo

● Objectifs visés :● Nombre= nombre outil● Aspect ordinal : Garder en mémoire le rang, la

position des objets dans une série de 1O boites, définir un sens de lecture.

● Aspect cardinal : Garder en mémoire la quantité de boites

● Langage :Expliciter sa pensée

Le nombre pour mémoriser :Analyse vidéo

● Consignes données aux élèves ● Trouver comment se souvenir du contenu des

boites● Faire une liste● Compter et nombre ne sont pas annoncés● Situation problème● Essayer, tâtonner, réajuster de nombreuses fois● Donner du sens au nombre

Le nombre pour mémoriser :Analyse vidéo● Posture de l' enseignante :● Prise d' appui sur les erreurs des élèves ● Catégorisation des erreurs : -Oubli de boites (aspect cardinal) -Orientation (aspect ordinal)● Importance du guidage verbal : Mettre en mots, rendre le langage explicite

Le nombre pour mémoriser :Jeu de l' ordre : variables

● Nombre de boites● Recours à une représentation des objets (photos)● Travail en binôme et rôle des élèves● Nombres d' objets dans les boites (écriture

chiffrée)● Eloignement du support : -Travail individuel -Travail en binôme (communiquer un message)

Le nombre pour mémoriser :Jeu de l' ordre

● Situation de transfert (quantité, ordre)● Situation initiale (En lien avec l' orientation, la symbolisation)

Le nombre pour mémoriser :Des situations, des supports d' apprentissage

.-Utilisation de collections témoins pour constituer une collection

- Constitution de collections équipotentes (même nombre) à une collection proposée

-Entrainement à la reconnaissance instantannée de petites collections (5 objets)

-Apprentissage de comptines (de la chaine en chapelet à la chaine sécable). Livres à compter.

Le nombre pour mémoriser : Des situations, des supports d' apprentissageLes situations faisant appel à l' énumération :Le repas des poussins : Une boite à oeufs fermée avec couvercle percé d'

autant de fentes que d' alvéoles, des jetons. Placer 1 jeton et 1 seul dans chaque alvéole de la

boite en faisant glisser les jetons à travers les fentes situées sur le couvercle.

Variables : quantité, support (forme, déplaçable...)

Le nombre pour mémoriser :Des situations, des supports d' apprentissage

● Des situations d' entrainement : (le relais, le tunnel, comptage à rebours, à partir et

jusqu'à un nombre donné, de 2 en 2 ...)

● Des jeux de cartes

Le nombre pour mémoriser :Vers la comparaison

● Cycle 1Le calendrier La bande numérique ● Cycle 2 :Introduction de la droite numériquela spirale numérique

Le nombre pour mémoriser :Comparer● Cycle 3Institutionnalisation des règles de comparaison des nombres Le plus de nombres possible6 3 1 9 cent(s) quatre trente mille

Qui a le plus grand nombre ?2 équipes. Trouver le nombre de son adversaire (questions)

Trouver le nombre le plus proche de 7

6 3 9 7 ,

2. Groupements et échanges

Difficultés pour les élèves: - regrouper pour dénombrer- échanger un tas contre « quelque chose » d'unique qui lui est équivalent- comprendre la signification des chiffres en fonction de leur position (ex : 15 et 51)

→ Donner l'occasion aux élèves de voir et de comprendre dans une activité de groupement, comment chacune de ces écritures a été produite .

Une situation au CM2: histoires de comptes

Le gestionnaire de la mairie poursuit le rangement. Combien obtiendra-t-il de carnets? d'enveloppes blanches? de pochettes marron? de tickets isolés?

Combien de repas la mairie a-t-elle servis durant cette semaine?

Ecole A Ecole B Ecole C Ecole D

7 tickets 4 carnets 1 pochette marron 6 tickets

8 enveloppes blanches

2 enveloppes blanches 6 carnets 9 carnets

3 carnets 8 tickets 3 enveloppes blanches

7 enveloppes blanches

Quels apprentissages mis en jeu?Comprendre et mettre en oeuvre des groupements

Comprendre et mettre en oeuvre des échanges

Savoir passer des groupements à des écritures chiffrées

Savoir anticiper les conséquences d'une modification d'une collection organisée sur l'écriture chiffrée.

Lien entre l'écriture des nombres, le langage mathématique et le langage contextualisé.

Institutionnalisation

pochette enveloppe carnet ticket

milliers centaines dizaines unités

Réinvestissement et décontextualisation

- des activités courtes, tout au long de l'année- deux catégories d'énoncés à mettre en

relation:des contextes réels : pour la kermesse, on a

commandé 4 300 assiettes qui se vendent par paquets de 100. Combien de paquets a-t-on inscrits sur le bon de commande?

des énoncés formels : dans 50 dizaines, combien y a-t-il de centaines?

- varier les outils d'aide (tableau de numération, abaques)

L'abaque cycle 3

● Quelle est la plus value de l'outil?- permet le passage du chiffre au nombre- facilite la lecture par paquets de 3 chiffres- permet de construire les compétences de

calcul mental (ajouter ou retirer des multiples de 10, 100, 1000...)

- facilite la justification

Les groupements et les échanges à l'école primaire● Cycle 3: passer de collections réelles à des

collections représentées sous différentes formes

● Cycle 2: favoriser les activités d'échange et les groupements effectifs

● Cycle 1: utiliser le dénombrement par paquets pour transmettre une information sur une quantité et favoriser les activités d'échange

Des exemples d'activités

● Des situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges: histoires de comptes, les craies, les trombones, les carrelages

● Des situations de groupements: Freddy la grenouille, les fourmillions,

● Des situations d'échange pour travailler l'écriture chiffrée du nombre: échange 2 contre 1, banquier 5 pour 1 puis 10 pour 1

Le matériel de numération

- Faciliter l'appropriation de la situation- Valider et justifier

- Permettre aux élèves de se construire une représentation mentale des nombres

3. Relation entre nombre et calculLe boulier au cycle 2 et au cycle 3 :

→ vidéo

3. Relation entre nombre et calculLe boulier :

Les apprentissages mis en jeu

- construction du nombre au système de numération : la notion de dizaine, les compléments à dix = aspect cardinal du nombre

- aider à l'installation de représentations mentales des nombres chez l'élève

29 = 20 + 9 9 = 10 -1

Quelle plus-value de l'outils ?

- amener à faire le lien entre les nombres et le calcul.

- entrer dans l'univers numérique sans nombre

- l'objet est un vecteur d'explicitation

- travail de la mémoire à court terme

- outils de différenciation

Quand et comment utiliser cet outil ?

- en rituel, rapide,avec ou sans trace écrite

- en amont une phase de manipulation individuelle de l'objet. Quelle situation de départ ?

- importance de la justification

- utilisation au cycle 3 pour les nombres décimaux

- une utilisation limitée au cycle 1

Quel travail au cycle 1 ?Dès la PS :

- Greli-grelot (ajouter)

- Le voleur (enlever)

- Je veux faire un collier de 5 perles avec des rouges et des bleues. (résoudre un problème)

Extrait de 55 jeux de nombres, 2 à 6 ans, Accès Editions

Les différentes écritures d'un nombre de la PS au CM2

Au cycle 1 :

Ce qui sera poursuivi au cycle 2 :

60 + 20 +3

Et au cycle 3 :

Contextualiser les écritures du nombre :

48 c'est :

- 4 dizaines et 8 unités

- 10 + 10 + 10 + 10 + 8

- 4 x 12

- 3 x 16

- 50 - 2

120 = 100 + 20120 = 1 centaine et 2 dizaines

120 = 12 X 10120 = 12 dizaines

120 = 60 + 60

120 = 4 x 30

Les différentes écritures d'un nombre de la PS au CM2

→ Une aide pour construire des stratégies en calcul rapide 27 + 15 = 30 + 12

27 + 15 = 27 + 10 + 527 + 15 = (20 +10)+(7 + 5)

→ Une aide pour donner du sens aux nombres irréguliers : 70 = 60 + 10 92 = (4x20) + 12

La connaissance sur les nombres et la maitrise du calcul se développent donc en étroite relation

CONCLUSIONConnaître les nombres :

- c'est « écrire, nommer, comparer, ranger les nombres », des 1ers nombres aux nombres décimaux (programmes 2008).

- c'est savoir choisir parmi ses différentes représentations, celle qui est la mieux adpatée au contexte du problème dans lequel ce nombre apparait.

- c'est comprendre notre système de numération

CONCLUSION

- c'est maîtriser les relations entre les nombres

- c'est comprendre que les nombres sont des outils utilisés pour résoudre des problèmes (les fonctions du nombre)

→ La connaissance du nombre qui se construira sera toujours en évolution, complétée ou remise en question avec l'extension du champ des nombres que l'élève sera

amené à rencontrer dans sa scolarité

Des éléments de réponse :Quelle place pour la manipulation, quel rôle ?

Un support de représentation des nombres (l'objet) Pour s'appropier la situation, la découvrirPuis pour validerOn commence à faire des maths quand on ne manipule

plus l'objet

De la construction d'une notion à sa systématisation : quelle articulation ?

Des situations marquantes pour les notions clefs auxquelles on pourra faire référence. Ne pas hésiter à recontextualiser des notions déjà vues

Des éléments de réponse (suite)Comment favoriser le réinvestissement, le transfert des

notions ?

- progressivité des situations et des énoncés : un problème, plusieurs énoncés (stage filé math).

Choix des supports et outils pour les élèves et pour le maître.

-Varier les outils pour ne pas faire le choix à la place de l'élève.-Importance des traces écrites individuelles (phase de recherche, calcul réfléchi) ou collectives-Formaliser/institutionaliser (ex : le cahier de nombres au cycle 2,cahier de leçons cycle 3)