de euclides a bourbaki

7/31/2019 ...de Euclides a Bourbaki

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LA GACETA DE LA RSME , Vol. 5.3 (2002), P ags. 649–672 649

H ISTORIASeccion a cargo de

Antonio J. Duran 1

La matematica y sus elementos: de Euclides a Bourbaki 2

por

Jes´ us Hernandez

1. INTRODUCI ON

Ası escribe un matem´ atico a otro: Vous auriez vu peut-etre qu’on a eula mauvaise pensee de publier dans le Giornale di Napoli les banalites de M.Wilson contre Euclide, aven une ignoble note du traducteur. M. Brioschi et moinous ne tarderons pas beaucoup ` a repondre, car nous sommes convaincus que,dan l’etat actuel de nos ecoles secondaires classiques, l’Euclide est le meilleur

teste (sic) qu’on puisse choisir. Sans doute qu’il serait mieux de substituer unEuclide revised a l’edition trop precipite (sic) fait ` a Florence sous le nom deMM. Betti et Brioschi 3 .

La carta lleva fecha de 29 de enero de 1869 y su destinatario es un conocidomatem atico frances, Christian Ho¨ uel. Su autor es aun m´as conocido, se trata

1 Los interesados en colaborar con esta seccion pueden dirigir sus contribuciones a lasiguiente direccion: Antonio J. Dur´ an; Secci on Historia Gaceta RSME; Departamento deAn alisis Matem´atico; Facultad de Matem´ aticas; Universidad de Sevilla; Aptdo. 1160; 41080–Sevilla; [email protected]

2 Este artıculo es una versi´ on ampliada de la conferencia del mismo tıtulo dada en elSeminario “Histoires de Geometrie” –Parıs, Maison de Sciences d l’Homme– el dıa 11 de junio de 2001 y publicada en las actas del Seminario del a˜ no 2001, pp. 29–41. El autor da lasgracias al director del Seminario, Dominique Flament, por su invitaci´ on y su permiso parautilizar el texto. Y tambien a A. J. Dur´ an y J. Ferreir´ os por sus comentarios a la primeraversi on. Hemos procurado conservar el tono ensayıstico de la exposici on oral. Salvo que sediga otra cosa, las traducciones son nuestras.

3 En La corrispondenza di Luigi Cremona (1830–1903) , a cura di Ana Mill´ an Gasca.Quaderni della Rivista di Storia della Scienza 1 , (1992), p. 88. Hemos conservado el frances,ortografıa incluida, por su sabor.



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de Luigi Cremona, uno de los padres de la geometrıa algebraica italiana y uno

de los matem aticos m as inuyentes en la Italia de la epoca –y no s´ olo allı–,que llego incluso a ocupar un puesto tan importante como el de ministro deeducaci on. Pues bien, este texto muestra, sin lugar a dudas, que hace pocomas de cien anos alguien, tan especialmente bien situado para decirlo comoel, sostenıa que el Euclides seguıa siendo todavıa –quiz´ a con algun retoque– elmejor libro de texto imaginable.

Manuscrito griego de los “Elementos”s. XI-XIII. Biblioteca

del Monasterio de El Escorial

Hacia la misma epoca Lewis Ca-rroll, que era tambien profesor degeometrıa, llevó a cabo un serio exa-men de una docena de textos llegan-do a la conclusi on de que todos elloseran inferiores a los Elementos ; po-

co antes habıa utilizado implacable-mente su l apiz de censor en algunocomprado por su hermana. Para Ca-rroll el criterio m as denitivo era eldel rigor logico4 . Y es que todavıahacia 1850 se estudiaba en las es-cuelas inglesas la version de Eucli-des establecida por Robert Simsonen 17565 . Digamos de paso que elprefacio a la primera edición inglesase debe a John Dee, que era tambienmago y astr ologo real, quien consi-deraba la geometrıa importantısimapara la salvación eterna. No se sor-prenda demasiado el lector: antesbien, piense en algunas de las acti-vidades del Newton oculto o en losnos an alisis de Paolo Rossi de laobra del canciller Bacon.

Quienes hacen las armaciones anteriores se inscriben en una gloriosa tra-dicion con mas de veinte siglos de antig uedad. Porque los Elementos , de cuyoautor, Euclides, sabemos muy poco, casi nada –fue una rama del saber másque un hombre , dice E.M. Forster en su guıa de Alejandrıa–, no s´ olo fundaronla ciencia matemática proporcionando sus ingredientes y estableciendo su ma-nera de proceder para muchos siglos, sino que tambien fueron usados muy amenudo como libro de referencia en casi todos los niveles de la ense˜ nanza; conlos cortes, a nadidos, comentarios, etc., que en cada caso se consider´ o oportuno

4 Heilbron 1998, p. 4.5 Ibid., p. 11. Sobre la evoluci´ on del uso de los Elementos a lo largo de la historia, cf. Vega

1991, p. 46-47 y passim .



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hacer. Los Elementos suelen gurar, junto con la Biblia y el Quijote , en esas

listas de libros m as editados y traducidos que se dan a la hora de hacer balancede la cultura occidental y de las que siempre se desconfıa un poco.

Sabemos, sin lugar a dudas, que hubo otros libros del mismo genero antesdel de Euclides, aunque lamentablemente no se haya salvado ning´ un fragmentode ninguno de ellos. Menos sencillo es contestar a la pregunta de si ha habidootros despues, e incluso cabe interrogarse sobre la pregunta misma. ¿En quesentido podemos decir que un libro –o un conjunto de ellos– ha hecho o hace elmismo papel? En todo caso, se dirıa que para los matem´ aticos de la segundamitad del siglo XX, la mejor respuesta posible, tal vez la ´ unica, es los Elements de Mathematique , de Nicolas Bourbaki, entre otras razones por la aparenteausencia de competidores.

No ha habido, se dirıa, ninguna situaci´ on semejante en las demás cien-cias. Las experimentales se han venido constituyendo como tales ciencias enperıodos mucho más tardıos –piensese en la quımica o la geologıa– y la vigenciade sus textos cl asicos fue innitamente más corta: basta poner frente a frentela suerte corrida por los Elementos y por los Principia , publicados casi dos milanos despues.

Aunque, pensándolo bien, sı que hay una parecida, y es la de la L´ ogica, quepodemos considerar convencionalmente como fundada por Arist´ oteles. Siemprea costa de simplicar un tanto las situaciones, podemos decir que tambienaquı hay unos textos cl´ asicos –los Analıticos , etc.– que sirvieron de modeloy referencia obligados por lo menos hasta Kant y aun despues –sobre todoen la logica escolastica superviviente–. Hagamos de paso la observaci´ on, queno podemos desarrollar por falta de espacio, de que las fechas de los grandescambios que empiezan a hacerse en la logica en el siglo XIX coinciden, grosso modo , con las de la aparici on y difusion de las geometrıas no euclıdeas.

El paralelo/contraposici´ on Euclides-Aristóteles no es nuevo, sino m as bientodo lo contrario. Mucho se ha discutido sobre el asunto, y cabe pensar quese siga haciendo, aunque no es f acil adivinar que nuevos elementos de jui-cio podrıan modicar los planteamientos hechos hasta nuestros dıas. El libroclasico de Bruncsvicg nos ofrece una excelente sıntesis: En el estudio históricode las obras que han dejado su huella en la concepci´ on losoca de la cien-cia, los Elementos de Euclides se presentan inmediatamente despues de los

Analıticos de Arist oteles. Una y otra obra han tenido el mismo destino: hanatravesado los siglos alejadas de todo aquello que podıa precederlas y seguir-las, ofreciendo el marco de un rigor que parecıa irreprochable y se˜ nalando unacumbre de perfecci on cuya superación era empresa desesperada. Mediante ellasla razon antigua ha modelado, en cierto modo, el pensamiento moderno. Eucli-des ha sido, para las muchas generaciones que se han nutrido de su sustancia,menos un profesor de geometrıa que un profesor de l´ ogica. La forma deductiva



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2. LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XIX : LOS F UNDAMENTOS DE LA G EO-

METR ´ IA DE HILBERT

Dejando sin contestar, entre otras razones por falta de espacio, las pre-guntas anteriores, nos limitaremos a partir de ahora a las matem´ aticas. Y,continuando con las simplicaciones, no se dir´ a nada de algunos intentos dere-exponer o re-formular la geometrıa de Euclides que pueden tener interesdesde nuestro punto de vista: nos referimos a los de Clavio, las gentes de Port-Royal y en especial Arnauld, y Clairaut. Pasamos pues sin m´ as al siglo XIX ya todo lo hecho en cuanto a la presentaci´ on axiomatica de la geometrıa, unatarea que suele aceptarse culmina con los Fundamentos de la Geometrıa , deHilbert, cuya primera edici´ on se public o en 18999 .

Comencemos por dar una lista, en absoluto exhaustiva, de los muy hete-

rogeneos ingredientes que intervienen en los cambios arriba aludidos:

(i) La aparici on de las geometrıas no euclıdeas : en torno a 1830 Gauss, Lo-batschevsky y Bolyai llegan más o menos independientemente a la con-clusion de que es posible desarrollar geometrıas distintas de la euclıdeaen las que el axioma de las paralelas es sustituido por otros y que resul-tan ser consistentes desde el punto de vista l´ ogico. Senalemos que estosresultados no se difunden con cierta amplitud hasta bastante despues,como hacia 1860;

(ii) El llamado Programa de Erlangen (1872), de Felix Klein, donde lasdistintas geometrıas son presentadas en terminos de los correspondien-tes grupos de transformaciones, resultando ser propiedades geometricasaquellas que son invariantes por los grupos de cada una; adem´ as, lasrelaciones de subordinación o generalidad entre las distintas geometrıasse expresan en terminos de subgrupos. Sucede algo parecido al caso an-terior: hubo que esperar hasta 1890, m´ as o menos, para una difusiónimportante;

(iii) La axiomatizaci´ on de la geometrıa : tanto Pasch en 1882 como los ma-tem aticos de escuela italiana –Pieri, Padoa, Peano, etc.– y, sobre todos,Hilbert, con sus Fundamentos de Geometrıa (1899), ofrecen versionesaxiomaticas de la geometrıa, sin limitarse a la euclıdea y que tendr´ an,en buena parte gracias al prestigio de Hilbert, un impacto considerablee inmediato;

9 Hubo varias ediciones, en las que se modic´ o la presentación, a nadiendose variosapendices, algunos relativos a los fundamentos de la matem´ atica. Hay traducci´ on caste-llana de la septima edici´ on (1930), de F. Cebri´ an, de la que el C.S.I.C. ha publicado unareedici on en facsımil en 1991, con una introducci´ on de J. M. Sánchez Ron. Es una l´ astimaque no se aprovechara para una nueva traducci´ on, o al menos para corregir algunos errorese impropiedades.



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(iv) El Zahlbericht –Informe sobre los n umeros algebraicos–, de 1897, tam-

bien de Hilbert, que tuvo mucha menos inuencia sobre el gran p´ ublicoque los Fundamentos , pero que cambi o por completo la teorıa de losnumeros algebraicos y supuso un impulso importante para el desarrollodel algebra abstracta;

(v) La teorıa intuitiva de conjuntos de Cantor –y Dedekind– que, partiendode problemas con las series de Fourier, no solo da lugar al estudio de losdiversos subconjuntos de R –y de R n – y despues de los conjuntos abs-tractos , con la distinci on de los distintos tipos de innitos –cardinalesy ordinales–, sino tambien a progresos importantes en la topologıa y lateorıa de la medida. Las paradojas surgidas en la teorıa, la m´ as cono-cida de las cuales es seguramente la de Russell, dar´ an lugar –al menosen la versi on mas convencional y extendida 10 – a lo que se ha solido lla-mar “Crisis de fundamentos” –hacia 1890-1930– que se cierra con losresultados de Gödel (1931);

(vi) Los distintos ejemplos de existencia de funciones “patol´ ogicas” , que ibancontra intuiciones geometricas muy arraigadas, y que irritaron profun-damente a matem´ aticos de la talla de Poincare y Hermite: funcionescontinuas en un intervalo sin derivada en ning´ un punto –Weierstrass–,curvas de von Koch, curvas de Peano y otros que “llenan” un cuadrado,etc.;

(vii) La publicaci on en torno a 1872 de varias presentaciones de los n´ umeros reales , racionales e irracionales, siguiendo vıas distintas, debidas a Dede-kind –cortaduras–, Weierstrass –series–, Cantor –sucesiones fundamen-

tales–, du Bois-Reymond, y otros. Con ellas culmina el proceso que seha dado en llamar aritmetizaci´ on del análisis , y que suele considerarsecomienza con Gauss y Cauchy;

(viii) Las aportaciones hechas, sobre todo por Dedekind, en la direcci´ on delalgebra abstracta : axiomatización de la geometrıa proyectiva, exposici´ onde la teorıa de Galois en terminos de automorsmos de grupos y, sobretodo, desarrollo de la teorıa de ideales, que ha sido una de las grandesinspiraciones del algebra del siglo XX 11 .

Cabe preguntarse ahora, ante esta lista que harıa pensar a un lector ma-licioso en un inventario a lo Prevert o en la clasicacion de los animales deBorges, en la incidencia que haya tenido cada uno de los apartados anteriores

en los cambios sufridos por la matemática en el periodo posterior. En particu-lar, y para lo que aquı interesa m´ as, en su inuencia sobre los textos que, deuna manera u otra, pudieran desempe˜ nar un papel análogo a los Elementos .

10 Para una versi on distinta y m´ as elaborada, cf. Moore y Garciadiego 1981, ası comoGarciadiego 1992.

11 Cf. Corry 1996.



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En este sentido, el candidato mejor situado es, con diferencia, los Funda-

mentos de la Geometrıa , de Hilbert, en la medida en que vuelven a presentar–adem as de mucho material nuevo– el mismo de Euclides, que quien lo ha-ce es uno de los mejores matem aticos de la epoca, y que además ya habıacomenzado a mostrar interes por las cuestiones de fundamentos. ¿Que hay,entonces, de fundamentalmente nuevo con respecto a Euclides? ¿Por que seplantea Hilbert tales cuestiones precisamente en ese momento? Seg´ un Luis Ve-ga: De ahı no se sigue que los Elementos sean el acta inaugural del metodoaxiomatico cl asico de los siglos XVII-XIX, aunque sı constituyen una especiede preludio y ocian como un tópico casi obligado de referencia. M as adelantevolvere sobre este punto, donde conviene hacer otra distinci´ on de importancia:entre la “axiomatizaci´ on” euclıdea, i.e., la trama deductiva de los Elementos ,y la axiomatización “euclidiana”, i.e., el metodo axiom´ atico desarrollado enlos tiempos modernos por diversas contribuciones a la geometrıa cl´ asica.

La fortuna institucional de los Elementos puede incluir tambien a otromalentendido que conviene despejar: consiste en creer que forman un tratadohomogeneo y compacto, tan autosuciente y clausurado en sı mismo que haborrado todo rastro de las tradiciones matem´ aticas anteriores 12 .

En cuanto a los Fundamentos de Hilbert, tal vez lo mejor sea reproducirsu muy escueta introducci´ on:

D. Hilbert

La Geometrıa, lo mismo quela Aritmetica, necesita solamen-te para su consecuente construc-cion pocas y sencillas proposicio-nes fundamentales.

Estas proposiciones funda-mentales se llaman axiomas de laGeometrıa. El poner de manies-to los axiomas de la Geometrıay el averiguar sus conexiones, esproblema que se encuentra dis-cutido desde tiempos de Euclides en numerosos y excelentes trata-dos de literatura matem´ atica. Elproblema citado queda reducidoal an alisis logico de nuestras in-tuiciones espaciales.

La presente investigaci´ on esun nuevo ensayo para construir laGeometrıa sobre un sistema completo de axiomas, lo m´ as sencillo posible , deduciendo de el los más

12 Vega 1991, p. 47.



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importantes teoremas, de manera tal, que en ese proceso aparezcan con la

maxima claridad la interpretaci´ on de los distintos grupos de axiomas y el al-cance de las consecuencias que aisladamente se deriven de cada uno de ellos 13 .La caracterización de la axiom atica de Hilbert que sigue, y que nos pa-

rece muy acertada, tiene adem´ as la virtud de venir de alguien que colabor´ odurante largos años con el, y precisamente en las cuestiones de fundamentosde la matem atica: una caracterıstica fundamental de la axiomatizaci´ on de lageometrıa de Hilbert es que el metodo axiom´ atico es presentado y practicadoen el espıritu de la concepción abstracta de la axiom´ atica que surgió al naldel siglo XIX y que ha sido generalmente adoptada en la matem´ atica moderna.Consiste en abstraer a partir del signicado intuitivo de los terminos para lasclases de objetos primitivos –individuos– y de las relaciones fundamentales yen entender las aserciones –teoremas– de la teorıa axiomatizada en un sentido

hipotetico, es decir, como siendo verdaderos para cualquier interpretaci´ on odeterminación de las clases de individuos y de las relaciones fundamentalesque satisfacen los axiomas.

Esta concepción de la axiom atica, de la que Hilbert fue uno de los pri-meros defensores –y desde luego el m as inuyente–, hunde sus raıces en losElementos de Euclides, en los que el razonamiento l´ ogico a partir de los axio-mas no se usa unicamente como un modo de ayudar a la intuici´ on en el estudiode las guras en el espacio, sino que, m as bien, se consideran las dependenciaslogicas en sı mismas 14 .

El papel de Hilbert es especialmente relevante, puesto que inuy´ o, y mu-cho, sobre la marcha de la matem´ atica desde su posición privilegiada en Gotin-ga, y no solo directamente sino asimismo a traves de discıpulos y seguidores.

Segun Dieudonne: Mas que por sus geniales descubrimientos, es quiz´ a por elsesgo de su espıritu que Hilbert ha ejercido la m´ as profunda inuencia en elmedio matemático: el ense no a los matem aticos a pensar axiom´ aticamente ,es decir, a tratar de reducir cada teorıa a su esquema l´ ogico mas estricto,desembarazado de la tecnica contingente del c´ alculo 15 .

Esta inuencia se encarn´ o en particular en las aportaciones decisivas queal progreso del algebra abstracta hicieron E. Artin, E. Noether –y otros, Hasse,etc.–, primero en Alemania y luego en el exilio americano, aportaciones quecristalizaron en uno de los libros más representativos de una nueva manerade ver las cosas dentro de la matem´ atica y –quiz a precisamente por ello– másexitosos e inuyentes durante un periodo que puede cifrarse en unos cuarentaanos, el Moderne Algebra (1931), del joven B.L. van der Waerden, discıpulo de

los anteriores, que supo presentar en una forma novedosa realmente conseguidalas nuevas ideas y sus formas de engarze. Por cierto que la autorıa del libro tiene

13 Hilbert 1991, p. 1.14 P. Bernays, Hilbert. En P. E. Edwards (ed.), Encicl. of Philosophy III (1967), 496-504,

Cita en la p. 497.15 Dieudonne 1962, p. 318.



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un car acter un tanto colectivo, reconocido por el propio autor, en la medida

en que recoge el magisterio de los primeros y buena parte del contenido de suscursos. Con este libro y su entorno cambia, seg´ un Leo Corry la imagen –enel sentido de este autor 16 – del algebra abstracta –con la geometrıa algebraicaasociada– que se convirtió en uno de los centros de la matemática del sigloXX. Hilbert y el libro de van der Waerden ser´ an dos referencias fundamentales,explıcitamente reconocidas, de Bourbaki.

3. LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XIX : DEDEKIND Y SUS ANTECESORES

Pero hay tambien otra inuencia, reconocida por ellos, la de Dedekind,alguien cuyo papel vemos de manera distinta estos ´ ultimos a nos, en parte al

menos como consecuencia de los trabajos de Jose Ferreiros17

, y no solo encuanto a su relación con Cantor y su papel en el desarrollo de la teorıa intuiti-va de conjuntos. Lo que ya se ha dicho antes muestra una tendencia, en la queparece pesar bastante la componente del car´ acter personal, hacia la presenta-cion rigurosa, sistemática y ordenada de las teorıas, tendencia que – y en estose separa de Hilbert y su escuela– no siempre adopta el metodo axiom´ atico enla exposicion. El papel de Dedekind en la evolución de la teorıa de conjuntosera ya bien conocido a partir de la publicaci´ on en los anos treinta de su co-rrespondencia con Cantor. Dedekind no s´ olo ofrece una exposicion rigurosa ysatisfactoria de los números reales sino que parece asimismo inclinarse haciauna fundamentaci´ on de la matem atica y la teorıa de conjuntos en terminos deconjuntos y aplicaciones 18 . En cuanto a lo primero, es interesante insistir enla comparaci on de su tratamiento de los irracionales con la teorıa griega de laproporci on, y en el enfasis puesto en la noción de completitud.

Las distintas vıas seguidas por estas inuencias quedan bien reejadas,en parte al menos, en la cita de Cellucci que sigue: Si bien el prop osito deWeierstrass, Cantor y Dedekind tiene puntos de contacto evidentes con el deFrege y Hilbert, hay entre ellos una diferencia sustancial. En tanto que para losprimeros la matemática es un cuerpo de conocimientos vivo y en continua evo-lucion, cuyos problemas no son de forma sino de contenido, para los segundoses un cuerpo de conocimientos completamente dado en cuanto al contenidoaunque todavıa imperfecto en la forma. Se ve claramente la diferencia, porejemplo, con respecto al problema del rigor matem´ atico. Mientras que paraHilbert y Frege, este s´ olo puede alcanzarse mediante la l´ ogica cientıca, paraWeierstrass, Cantor y Dedekind puede por el contrario llegarse a el por medio

de la logica natural19

.16 Corry 1996.17 Ferreirós 1996, 1999.18 Sobre la distinta postura de Dedekind y Cantor con respecto a las relaciones de equiva-

lencia y las clases asociadas, cf. Ferreir´ os 1999, p. 264.19 Cellucci 1998, p. 62, y passim .



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R. Dedekind

Dirichlet hace la armaci on arriba ci-

tada en el obituario de Jacobi, pero tam-bien deende el papel de los cálculos. ParaFerreir os, se tiene la impresi on de que fuesobre todo Riemann quien llev´ o el metodoconceptual a un nivel superior, y su amigoDedekind sigui o sus pasos23 . Observeseque Dedekind toma igualmente como mo-delo el tratamiento por Riemann de lasfunciones de variable compleja: Mis es-fuerzos en teorıa de números van diri-gidos a basar la investigación no sobreformas accidentales de representaci´ on –oexpresiones– sino sobre nociones b asicassimples y entonces –aunque esta compara-cion pueda parecer pretenciosa– alcanzaren este campo algo semejante a lo hechopor Riemann en el campo de la teorıa defunciones 24 .

Segun Dedekind, las funciones analıticas denidas abstractamente en lateorıa de funciones de Riemann, o las variedades de la teorıa de magnitudes–topologıa incluida– o de la geometrıa, hacen el mismo papel que los cuerposen algebra.

Esta tendencia conceptual, en la lınea de Gauss, Cauchy y Dirichlet, inten-ta la formulación de las teorıas matem´ aticas en el marco m as general posible,procurando evitar “formas externas de representaci´ on” y eligiendo nuevos ele-mentos primitivos que tenıan unas propiedades “internas” y eran incluidas alprincipio del desarrollo de la teorıa. Ferreir´ os calica de “conceptual abstracto”este punto de vista, llegando a la conclusi´ on de que el punto de vista abstractopropio de la matemática moderna se remonta a Dirichlet y Riemann.

Esta posici on no debe confundirse con la de los matemáticos de la escuelade Berlın –Kummer, Kronecker, Weierstrass– y se explica por que: La pos-tura de Berlın puede llamarse tambien “conceptual”, sobre todo en el caso deWeierstrass, que seguıa la tradici´ on de Cauchy y Dirichlet. Pero no compartıanlo que podrıamos llamar giro “abstracto” propio de Riemann 25 .

Esta visi on de Dedekind puede encontrarse igualmente en otros autorescomo Scharlau, que la expresa admirablemente: Como casi ning un otro enla historia de las matematicas, Dedekind hizo un esfuerzo para desarrollarsistem aticamente la disciplina, y en particular dispuso los cimientos para lamatem atica abstracta del presente, que es sobre todo “´ algebra moderna” en el

23 Ibid., p. 28.24 Ibid., p. 29.25 Ibid., p. 36.



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sentido del libro de van der Waerden. Contribuy´ o de manera esencial a la clari-

cacion de las nociones primitivas más importantes del álgebra –cuerpos, ani-llos, modulos, ideales, grupos– y se ocupó de los fundamentos de la matemática–numeros reales, teorıa de conjuntos de Cantor, topologıa conjuntista–. En estesentido podemos considerar a Dedekind como antecesor y precursor importan-te de Bourbaki 26 .

Desde luego que Dedekind puede ser considerado como precedente deBourbaki. Hace matem´ atica, y de la mejor calidad, pero la hace organizan-do al mismo tiempo el terreno en el que se mueve; aunque, según Ferreirós,sin llegar nunca a ver la matem´ atica desde un punto de vista estructural 27 .

Ası es, pero puede sostenerse que llegó a entreverlo lejanamente y aun a al-go mas: creemos que es todo lo que se puede pedir, la “máxima concienciaposible” para la epoca. En cambio, los Bourbaki sı que separan las dos activi-

dades que Dedekind simultanea sin preocuparse siempre de advertirlo y hacerla distinci on. Esto lo explica, naturalmente, la diferencia de situaciones: hapasado mucho tiempo y ha corrido mucha agua matem´ atica bajo los puen-tes. Los Bourbaki actúan, por ası decir, en segundo grado , con la perspectivaprivilegiada que les da la distancia temporal: por ello ha podido hablarse demanierismo con respecto a su obra.

Anadamos, en lo que puede entenderse como una ampliaci´ on del apartado(viii) de la lista precedente, que Dedekind tambien presenta, siendo todavıabastante joven, una axiomatizaci´ on del espacio proyectivo basada en denicio-nes y axiomas: Concibe este espacio como un conjunto de puntos, que puedeser nito . Usa axiomas para la geometrıa, pero no para la aritmetica, lo quesupone una falta de unidad que pide alguna explicaci´ on.

Intentado ver las cosas desde m´ as lejos, se puede senalar que el car acterlogico de las clases viene de la tradición losoca. Dedekind se inscribe en lalınea tradicional de la l´ ogica considerada como la ciencia de las “leyes másgenerales del pensamiento”. Su concepci´ on de conjunto puede tomarse comoun ejemplo tıpico de visi on intuitiva , “aunque evite asociar demasiado pensa-mientos y conceptos”.

Con respecto a lo que se ha llamado su logicismo , se dirıa que resultabien para las aplicaciones –las funciones–, pero menos bien para las clases.Es llamativo que su deductivismo no le llevase a emplear la axiomática a lahora de construir y fundamentar los distintos conjuntos de n´ umeros, lo quesegun Ferreirós es importante a la hora de calibrar su inuencia sobre Hilberty su escuela de Gotinga. Dedekind deduce rigurosamente, paso a paso, todaslas proposiciones que necesita y usa, lo que es una de las caracterısticas de lamodernidad que seguirá, y en particular de Bourbaki. Por cierto que lo haceen terminos de la famosa boutade de Hilbert –y parece que tambien de Pasch–para ilustrar su modo de proceder en geometrıa: ... reemplazando todos los

26 Ibid., p. 81.27 Ibid., p. 81. Citado en Corry 1996.



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terminos tecnicos por palabras inventadas –sin ning´ un signicado hasta ahora–

el edicio, si esta bien construido, no debe venirse abajo, y yo armo que miteorıa de los números reales resistirá esa prueba 28 .Pero en otros dominios el deductivismo de Dedekind se despliega de un

modo que no es el axiomatico. Su presentación de los numeros se basa en lasnociones de conjunto y función, y para Ferreirós esto es algo que tiene que vercon su concepci on de la logica: su exposicion, que es completamente abstracta ,no es formal ; las nociones de inferencia formal y de demostraci´ on formal, queFrege est a empezando a usar, est´ an ausentes de su obra . La logica elementalsubyacente, aunque se usa de modo transparente, no se hace explıcita.

Y sin embargo, pese a todas estas indudables diferencias, sigue viendouna unidad en su enfoque: Todas sus armaciones reejan una visi´ on epis-temol ogica unitaria, basada en una extensi´ on considerable en ideas que se

presentaban como el “sentido com´ un” de la epoca, pero tambien en una seriareexion sobre la actividad intelectual 29 .Sus bases epistemológicas son kantianas, no sólo –o no tanto– por inuen-

cia directa como por impregnación cultural, pero sobre ellas ha llovido todala matem atica del siglo XIX, y aquı habrıa que incluir un an´ alisis pormeno-rizado de los apartados (i)–(viii) de m´ as arriba. Hay tambien una inuenciade Leibniz –como la habıa, por cierto, en Cantor–. Seg´ un Ferreirós, que habuceado a fondo en archivos y correspondencia, Dedekind no concede ning´ unespacio a la reexi on losoca. Para nosotros, esta actitud –que est´ a muy bienvista–, junto con la mención al “sentido com un” antes hecha, resulta de lo m´ asbourbakista, como lo es tambien la “negligencia” se˜ nalada en otro lugar 30 .

Hay un hecho digno de ser analizado en relación con lo anterior. Sin dudaDedekind inuyó sobre Hilbert –aunque según Freudenthal fue Kronecker elmatem atico que m as le inuy o–, que conocıa y apreciaba su obra, quien tomalas nociones de ideal y de cuerpo y saca amplio partido de ellas en su libro de189731 . Sin embargo, despues de un periodo durante el cual asociaba por iguala Cantor y Dedekind con la teorıa de conjuntos, Hilbert pareci´ o inclinarse haciaCantor por ser más original y creativo, por plantear cuestiones radicalmentenuevas capaces de abrir horizontes ineditos 32 . Esta es, creemos, una actitud de matem´ atico , que es justamente la que adoptar´ an despues los Bourbaki. Soloque no parece demasiado aventurado decir que el resultado de la aplicaci´ on porellos de los mismos criterios darıa –a falta de examen detenido de los textos– elresultado opuesto. Bourbaki –o, si se preere, Dieudonne–, aun respet´ andole,no tiene en gran estima algunas de las aportaciones de Cantor, en especial suteorıa de los cardinales y ordinales innitos, y no lo incluye entre sus ancestros,

28 Ibid., p. 247.29 Ibid., p. 241.30 Ibid., p. 228.31 Tambien inuy´ o en Zermelo, quien evidentemente ha leıdo a Dedekind antes de elaborar

su teorıa axiom´ atica de conjuntos de 1908. Cf. Ferreir´ os 1999, p. 318–324.32 Ibid., p. 254–255.



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mientras que se muestra mucho mas entusiasta con los logros matematicos de

Dedekind.Hay otros aspectos dignos de mención en cuanto al interes de Dedekindpor los aspectos organizativos de la matem atica. Para empezar, su enfasisen lo arbitrario de la terminologıa matem´ atica y de su empleo –por ciertoque Ferreir os nos recuerda el hecho poco divulgado de que Cantor us´ o laterminologıa de Dedekind para las operaciones algebraicas en algunos de sustrabajos más importantes–. Tambien di´ o mucha importancia a las notaciones,y alguna de las que adoptó tuvo exito, como sucederıa despues con no pocasde Bourbaki. Pero es sobre todo signicativo desde nuestro punto de vistaque a la hora de intentar justicar las razones para la elecci´ on de la palabra“cuerpo” diga ... que un cuerpo de n umeros constituye un sistema que poseeuna cierta completitud y un cierto cierre, una “totalidad org´ anica” o una“unidad natural” an´ alogas a las de aquellas entidades llamadas cuerpos enla ciencia natural, la geometrıa y la vida de la sociedad humana 33 , cita quehubiera hecho feliz al poeta Gabriel Ferrater autor de Teoria dels cossos , quellego a a empezar la carrera de matematicas.

Esto puede hacer inclinarse la balanza, en la contraposici´ on mas o menossoterrada en todo lo anterior, entre axiomatizaci´ on y organizaci on , hacia lasegunda, y algo an alogo se puede decir en cuanto a las dos vıas que se˜ nalabaCellucci. A esta luz hay que ver, nos parece, todo lo que se reere a los elemen-tos de la matem atica, al modo de aislarlos, elegirlos, disponerlos y buscar losesquemas m as adecuados para el montaje de los dispositivos correspondientes.En que medida se trate de dibujos geometricos trazados a tiralıneas, de ela-boraciones formales de sımbolos, o de cuerpos en alguno de los varios sentidosde la cita, determinar´ a la subsiguiente visión de la matem atica.

4. BOURBAKI Y SUS ELEMENTOS

Hacia la mitad de los años treinta del pasado siglo, unos cuantos matem´ ati-cos franceses, j ovenes, brillantes, procedentes muchos de ellos de la escuelaNormal Superior, y que ya ocupaban puestos importantes en la universidad,comenzaron a trabajar en la elaboraci´ on de unos Elements de Mathematique ,tıtulo nada inocente, ni en la obvia alusi´ on a Euclides ni en el singular de ma-temática . Entre los fundadores, algunos de los matem´ aticos m as importantesdel siglo: C. Chevalley, A. Weil, H. Cartan, J. Dieudonne: m´ as tarde fueronmiembros, entre otros, L. Schwartz, A. Grothendieck y P. Cartier. En efecto,

una de las mayores preocupaciones de estos grandes matem´ aticos, explıcitadesde el principio, era oponerse a la aparente dispersi´ on de las distintas disci-plinas matemáticas a principios de siglo. Antes hemos indicado los principalesantecedentes de este movimiento en Dedekind, Hilbert y el libro –o, si se pree-re, la concepci on del algebra– de van der Waerden. Pero no citan en este sentido

33 Ibid., p. 91.



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–aunque, desde luego, sienten un enorme respeto por el como matem´ atico– a

Poincare. En un texto reciente de H. Sinaceur, sin embargo, se argumenta porque, en ciertos aspectos , no estaba tan lejos: ... vemos que est a de acuerdo conlos formalistas en muchos aspectos. Estos incluyen el signicado de la estruc-tura –en particular la noci´ on de grupo–, el signicado asociado de los terminoso conceptos relativos a la estructura, la dimensi´ on reveladora de la innovaci´onen el lenguaje. La ultima indica la presencia de “hechos altamente ecaces”, esdecir, de hechos que “introducen orden donde reinaba el desorden”, poniendoen relaci on elementos bien conocidos pero malamente dispuestos; estos hechospermiten una notable economıa de pensamiento en la medida en que arrojanluz sobre la esencia de numerosas nociones matem´ aticas... 34 .

Caricatura gurada de los Bourbaki en acci´ on.

34 Sinaceur 2000, p. 286.



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a partir de relaciones de orden y de las que el ejemplo m´ as notorio es la

de retıculo; y las topológicas , que recogen todo lo relativo a nociones comocontinuidad y convergencia –espacios topol´ ogicos, etc–. Estas estructuras noconstituyen compartimentos estancos, sino que pueden combinarse entre sıdando lugar a estructuras mixtas –grupos ordenados, grupos topol´ ogicos, etc.–.El muy conocido psic ologo suizo Jean Piaget, tambien autor de contribucionesimportantes a la epistemologıa, proporcion´ o un apoyo interesante a Bourbakial encontrar en sus experiencias hechos y situaciones que parecıan conrmarlo adecuado de las distinciones anteriores.

El metodo axiomático tiene la virtud de aportar una economıa de pensa-miento muy considerable, de traer a la matem´ atica el taylorismo , la divisiondel trabajo de las f abricas: Pero la comparación es defectuosa. El matematicono trabaja maquinalmente, como el obrero en la cadena. Nunca se insistir´ a

demasiado en el papel fundamental que presenta, en sus investigaciones, unaintuici´ on particular –intuici´ on que, por otra parte, como toda intuici´ on, amenudo se equivoca–, que no es la intuición sensible vulgar, sino más bienuna especie de adivinación directa –anterior a todo razonamiento– del com-portamiento normal que parece tener derecho a esperar por parte de entesmatem aticos con los que ha tenido una frecuentaci´ on tan prolongada que sehan convertido en entes casi tan familiares como los del mundo real. Pues ca-da estructura lleva en sı su lenguaje propio, cargado de resonancias intuitivasparticulares ...

Es decir, menos que nunca la matem´ atica se reduce actualmente a un juego puramente mecánico de formulas aisladas, más que nunca la intuiciónreina soberanamente en la genesis de los descubrimientos. Pero dispone hoyen dıa de las potentes palancas que le suministra la teorıa de los grandes tiposde estructuras y domina simult´ aneamente inmensos campos unicados por laaxiomatica, terrenos en los que anta˜ no parecıa reinar el caos más informe 42 .

El mismo Bourbaki se cura en salud cuando pone los adjetivos “esquem´ ati-co”, “idealizado” y “estereotipado” a su modo de proceder. Y tambien al decirque las estructuras no est´ an determinadas a priori y no excluir en principioel nacimiento de otras nuevas; en esto, la realidad –matem´ atica– no parecehaberles desmentido. Y en cuanto a crıticas de otro orden, como las de Corryen cuanto al uso del termino “estructura”, prodr´ an ser pertinentes desde elpunto de vista de la disposici´ on logica de la obra, pero no afecta a su utilidadinnegable a la hora de proporcionar un marco y un lenguaje adecuados paraorganizar la ciencia del matem´ atico en ejercicio –del working mathematician –.

Hace anos Jes us Fortea habló de Bourbaki como un “fen omeno culturalmanierista” 43 , desarrollando en particular algunas comparaciones sugestivascon la obra –y los escritos– de Juan Gris. Sin espacio para m´ as, puede decirse

42 Ibid., p. 44–45.43 J. Fortea, Bourbaki as a manneristic cultural phenomenom. Congreso “Langage et pensee

mathematique”, Luxemburgo, 1976, p. 411–438.



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que, en efecto, algunas de las caracterısticas indicadas por A. Hauser como

propias del manierismo, tales como el intelectualismo extremado, conscientede la realidad y deformándola de intento , o bien un estilo privado de inge-nuidad , que orienta sus formas no tanto por el contenido expresivo cuanto porel arte de la epoca anterior 44 , a las que podrıan añadirse otras, convienenperfectamente a la manera de proceder de Bourbaki. En alguna parte dijo H.Weyl que la axiomática estaba ya agotada en los a˜ nos treinta y, de ser cierta es-ta armaci on del no catador de tendencias matem´ aticas que era, tendrıamosotra conrmación de lo dicho mas arriba.

5. ELEMENTOS Y ELEMENTS: SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS

Se dirıa llegado el momento de, para terminar, hacer alg´ un tipo de balan-ce conclusivo de todo lo dicho hasta ahora, y de decir algo de la evoluci´ on deestos elementos de la matem atica a lo largo de los m as de veinte siglos trascu-rridos, evoluci on que, naturalmente, debe incluir el signicado mismo de estoselementos y sus variaciones a lo largo del tiempo. Dejando en parte de lado elaspecto puramente logico , nos limitaremos al organizativo .

Distinguiremos, de una forma que esperamos no resulte demasiado escolar,entre semejanzas y diferencias , si bien ambas se entrecruzan de maneras nosiempre sencillas de analizar. Comenzamos por las primeras.

(i) Precisión en la terminologıa y los conceptos : tal y como se ha dichomuchas veces y recuerda L. Vega, el libro de Euclides es el primer lugar dondese hace la distinci on de los primeros principios, dividiendolos en deniciones,postulados y nociones comunes 45 . Pero esto no es todo ni mucho menos: Lacomposici on euclıdea fue, para empezar, un repertorio b´ asico de los resultadosprobados y las proposiciones demostradas: un archivo tan cumplido que hizosuperuo cualquier otro tratado matem´ atico del mismo alcance y genero, ydevino en referencia com un en las investigaciones subsiguientes: siempre quehacıa falta un lema elemental bastaba, por lo regular, mencionar su presenciaen los Elementos sin que fuera preciso detenerse a probarlo.

Los Elementos jaron una especie de estándar metodológico o nivel basicode exigencia tanto en lo referente a la sistematizaci´ on deductiva de un cuer-po de conocimiento como en lo referente al rigor informal de la prueba ma-tem atica. Tambien representaron, por otro lado, una normalizaci´ on de la ex-posicion demostrativa de las proposiciones geometricas 46 .

Todo ello debe hacerse respetando los criterios de sobriedad y organiza-

cion. En lo que al primero se reere: Un tratado ası –asegura Proclo– ha deverse libre de todo cuanto sea superuo, pues eso obstaculiza el aprendizaje;

44 A. Hauser, Historia social de la literatura y el arte , Madrid, Guadarrama, 1969; vol. II,p. 14–15 y passim .

45 Cf. tambien Vega 1991, p. 115–117 ası como Szab´ o 1977, p. 244–247, 315 y 333–335.46 Vega 1991, p. 40 y Lloyd 1996.



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debe cribar todo lo comprendido por el objeto de estudio de forma coherente

y conducente al n propuesto, en orden a ser de mayor utilidad para el cono-cimiento; ha de poner sumo cuidado tanto en la claridad como en la concisi´ on,pues lo contrario entorpece la comprensi´ on; debe proponerse la formulaci on delos teoremas en terminos generales, pues parcelar la instrucci´ on de la materiadiculta la consecución del conocimiento. De acuerdo con todos estos crite-rios –concluye nuestro comentador–, el sistema de los Elementos de Euclidessupera a los dem as47 .

El p arrafo es, se nos advierte, de Proclo, y se reere, claro, a la obrade Euclides. De no ser ası, y present´ arsenos aislado y sin referencias, podrıapasar perfectamente, se dirıa, por un comentario ... sobre Bourbaki. Es difıcilsintetizar mejor lo que ambos tienen en com´ un, y la trascendencia de la deuda.

En cuanto a la manera de organizar el sistema y c´ omo llevarlo a cabo,citemos de nuevo a L. Vega: En cambio, el propósito distintivo de la sis-tematización deductiva de los Elementos es, a mi juicio, la elucidaci on y laorganizaci on de ciertos campos sitematicos b´ asicos –merced a una oportu-na seleccion y disposicion de los Elementos –, hasta su conversión en cuerposaut onomos y concluyentes de conocimientos. Ası pues, no cabe negar un ta-lante axiomatiforme a los Elementos de Euclides ... 48 .

Viniendo a Bourbaki, leıdo por Ferreir´ os, las hip otesis se introducen paraexplicar y unicar material concreto, lo que va contra la concepci´ on tautológicade la matem atica: el movimiento se demuestra andando . Para Bourbaki pa-rece que, mas de veinte siglos despues, el planteamiento debe ser bien distinto,y ası es, pero quizá no tanto como pudiera pensarse. La desaparici´ on de todo

vestigio de los “elementos” previos a los de Euclides impide cualquier posiblecomparaci on, aun lejana, pero sı puede decirse en todo caso que los Bourbakihicieron un esfuerzo para precisar la terminologıa, evitar una vaguedad mayorde lo que pueda pensarse, y tambien unicarla, cosa muy recomendable a lahora de evitar interpretaciones equivocadas. Algo ha habido en com´ un, dichosea con todas las precauciones del caso.

(ii) Selecci on de contenidos : aquı puede aplicarse tambien, mutatis mutan-dis , lo dicho en las ultimas citas. Los dos dejan fuera de sus tratados muchasmatem aticas, ¿con que criterios lo hacen? Euclides no trata de las c´ onicas nidel contenido, sea el que fuera, de los misteriosos Porismas . En cuanto a losBourbaki, la situación es en este punto bien distinta, porque Dieudonne hasido muy explıcito en cuanto a los motivos para eliminar buena parte de lamatem atica, por importante que sea: se han eliminado, adem´ as de desarrollosabstractos puramente formales y carentes de interes, materias incluidas en lossiguientes capıtulos:

47 Ibid., p. 24.48 Ibid., p. 121.



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• Productos nales de teorıas interesantes, pero que son ellos mismos calle-

jones sin salida, como la teorıa de Galois y la aplicaci´ on a las ecuacionesalgebraicas;

• Partes de la matem´ atica que poseen gran interes pero que no se dejanformular en terminos de estructuras y sus interacciones, como puede serel caso de la teorıa de grupos nitos o la teorıa analıtica de n´ umeros;

• Partes de la matem´ atica en pleno desarrollo cuya velocidad hace quecualquier intento de exposici´ on en la forma habitual de Bourbaki estecondenado inapelablemente a quedar anticuado en breve plazo: topologıaalgebraica, topologıa diferencial, sistemas din´ amicos 49 .

(iii) Rigor de las demostraciones : Que Euclides ha sido tenido durantemas de veinte siglos como modelo de rigor en su argumentaci´ on general y enla trabazón de sus demostraciones es algo que ya se ha dicho. Pero es que ya lohacıa Proclo: ... es Euclides, quien compiló los elementos poniendo en ordenvarios teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos resultados en Teeteto ydando asimismo pruebas incontestables de aquello que sus predecesores solohabıan probado con escaso rigor 50 .

Y sin embargo Euclides ... procede con la informalidad caracterıstica dela geometrıa clásica. Esta informalidad, el uso de supuestos no declarados, leha valido objeciones y reparos. Las objeciones se remontan a crıticos antiguos... Los reparos son m as modernos ... 51 .

Objeciones y reparos que no rigen para Bourbaki, en el sentido de que–aparte alg un peque no desliz facil de corregir– su rigor en las demostracionesno se presta a crıtica. Y no ha sido criticado, como sı lo han sido en cambiootros muchos aspectos de su proceder y su, digamos, ideologıa . Los Bourbakiquintaesencian su argumentaci´ on en las demostraciones, en el sentido de pre-cisar por completo –algo, no se olvide, no tan frecuente en la literatura de nesdel siglo XIX y los primeros decenios del XX– las deniciones y de razonar apartir de ellas de modo inequıvoco. No omitamos su insistencia en lo completode las demostraciones que dan.

(iv) Indiferencia hacia la losofıa de la matem´ atica. Sobre Bourbaki, to-mando a Dedekind como antepasado tambien en este dominio, ya nos hemosextendido antes. En lo que a Euclides se reere, L. Vega nos recuerda que nose ocupa ni siquiera de los problemas de la innitud y del continuo suscita-dos por la dialectica eleática, de los que no hay la menor huella a lo largo

de los Elementos . Algo semejante puede decirse, por cierto, y dando un largosalto, de la relaci on de la matem atica con sus aplicaciones, otro terreno en el

49 Dieudonne 1982.50 Vega 1991, p. 10.51 Vega 1991, p. 203. Ver adem´ as, ibid., p. 63–65 y 110, y Vega 1990, p. 289–295 y 344–367.

Tambien Lloyd 1996.



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en los que podemos distinguir, como en las catedrales de la edad media, las

contribuciones de las generaciones sucesivas y la diversidad de estilos, handado la impresi on de ser la obra homogenea por excelencia. Hay que llegarhasta el siglo XVII para encontrar un intento de reorganizar los Elementos deacuerdo con el verdadero sentido de la Lógica55 .

(D) Que los Elementos de Euclides fundan en algun sentido la matem´ aticaparece ser algo generalmente aceptado. Pero es incluso posible darles una ma-yor trascendencia en la medida en que, tal como lo hace A. Szab´ o, se considereque contribuyeron a separar a la matem´ atica de la losofıa: Los trabajos quehe presentado muestran que, en tanto que ciencia sistem´ atico-deductiva, lasmatem aticas s olo eran originalmente una rama de la losofıa y, de manera m´ asprecisa, una rama de la dialectica ele´ atica. Es la fundación te orica y sistem aticade la geometrıa lo que ha permitido a las matem´ aticas griegas alejarse de lalosofıa y conquistar poco a poco su independencia 56 .

Es evidente que carece de sentido aplicar estas consideraciones, tanto lasrelativas a la fundación de la matem atica como las implicaciones gnoseológicasde la –posible– separaci on de la losofıa, al tratado de Bourbaki. Y puede serilustrativo, en este sentido, comparar la met afora anterior de Brunschvicg,o la que sigue de L. Vega: Por lo dem as, la composici on de los Elementos tampoco es la de una obra marm´ orea, esculpida en un solo bloque y perfec-tamente acabada. Si la contemplamos en una visi´ on global y panor amica, nosrecuerda m as bien una vieja catedral en cuya construcci´ on, aunque este pre-sidida por un plan arquitect´ onico deliberadamente sistem´ atico e integrador,se han entremezclado ya desde el principio materiales procedentes de diversas

epocas y formaciones teóricas con distinto grado de desarrollo, a todo lo cualmas tarde –a partir de los comentadores alejandrinos y de manos de sus su-cesivos editores– se han ido a nadiendo ciertos arreglos e, incluso, alguna queotra restauraci´ on moderna 57 , con una bien distinta de Bourbaki: Es comouna gran ciudad, cuyos suburbios no dejan de progresar, de manera un pococaotica, sobre el terreno circundante, mientras que el centro se reconstruyeperi odicamente, siguiendo un plan cada vez m´ as claro y una disposici on cadavez mas majestuosa, echando abajo los viejos barrios y sus laberintos de ca-

55 Brunschvicg 1972, p. 95.56 Brunschvicg 1972, p. 95. Otra manera de medir el largo camino recorrido es la concep-

cion del espacio. Mientras que Euclides, y los griegos en general, no se plantean el problemalosoco del espacio, Bourbaki tiene ya tras de sı toda la axiom´ atica de la geometrıa de-sarrollada durante el siglo XIX a que hemos aludido antes, el tratamiento de las distintasgeometrıas y los distintos espacios –euclıdea, proyectivo, etc.– mediante la teorıa de gruposdel Programa de Erlangen, etc. Hacemos notar igualmente que el nacimiento de Bourbaki enlos anos treinta coincide con la presentaci´ on axiom atica de los espacios de Hilbert por vonNeumann y con la de los espacios de Banach en el libro cl´ asico de este.

57 Vega 1991, p. 48.



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[17] G.R. Lloyd, “Las mentalidades y su desenmascaramiento” . Madrid, Siglo XXI,

1996.[18] G.H. Moore y A.R. Garciadiego, “Burali-Forti’s paradox: a reappraisal of

its origins”. Historia Math. 8 (1981), 319–350.

[19] M. Marshall, “Bourbaki. Une Societe secrete de mathematiciens”. Pour la scien-ce , febrero-mayo 2000.

[20] H. Benis–Sinaceur, “The nature of progress in mathematics: the signicanceof analogy”. En E. Grosholz y H. Breger (eds.), The growth of mathematical knowledge . Dordrecht, Kluwer, 2000, 281–293.

[21] L. Szab o, “Les debuts de mathematiques grecques”. Paris, Vrin, 1977.

[22] L. Vega, “La trama de la demostraci´ on” . Madrid, Alianza, 1990.

Jes us Hern andezDpto. de Matemáticas

Universidad de Autónoma de Madrid.Correo electrónico: [email protected]

de euclides a bourbaki

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