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Découverte des 1ers nombres et de la numération

Circonscription d’ANNECY SUD

Mercredi 13 Février 2008

Danielle VERGNES

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Danielle Vergnes

•Professeur de mathématiques à l’IUFM de Versailles•Membre de l’équipe de recherche Didirem, Université Paris 7•Auteur dans la collection EuroMaths

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Nombres, numération, au cycle 2

De l’oral à l’écrit

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Plan

Que sait-on à l’heure actuelle sur les premiers apprentissages numériques ?

• A propos de la comptine numérique• A propos du dénombrementLa clef de l’apprentissage des mathématiques

à l’école primaire : comprendre la numération de position. Nos choix.

Vers l’addition et la soustraction

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La numération : quelques points de repèreLa numération, c'est l'organisation des signes parlés ou

écrits qui permettent de garder la trace d'un nombre.Cinq grandes phases dans l'apprentissage :

1 Approche globale et principalement orale des mots nombres (PS, MS, GS)

2 Prise de conscience des régularités de la suite numérique orale (MS,GS)

3 Prise de conscience des régularités de la suite numérique écrite (chiffrée) et appropriation des règles d'écriture (GS,CP)

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4 Prise de conscience des règles de fonctionnement de notre numération de position : chaque chiffre désigne le nombre de groupements de l'unité repérée par la position occupée par ce chiffre, par exemple le 4 de 46 indique que la collection comprend quatre paquets de l'unité dizaine (CP, CE1, CE2) ;

5 Prise de conscience des règles de fonctionnement de la numération orale et son lien avec la numération chiffrée (CE1, CE2).comprendre que dix-sept c’est 10+7

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Comment se fait l’acquisition de la comptine numérique orale

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Les recherches ont amené à envisager 4 niveaux.

• Le niveau « chapelet » : "undeuxtroisquatrecinqsix..."

A ce niveau d’élaboration le dénombrement n’est pas efficace

PS, début MS

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• Le niveau "chaîne insécable" : un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept,.....

La séquence se compose de mots individualisés mais doit toujours débuter par « un ».

Le dénombrement est possible, mais pas le surcomptage

MS, GS

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• Le niveau "chaîne sécable"Les enfants peuvent débuter la chaîne à partir de

n’importe quel nombre.

Le surcomptage est possible.Possible report de 3 sur les doigts

CP

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• Le niveau chaîne terminaleL’enfant peut compter les nombres qu’il produit.Exemple : Je te donne 4 canards, et 3 canards,

combien de canards as-tu ? L'enfant compte 3 à partir de 4 : 5, 6, 7 ; sans

avoir besoin de représenter 3 sur ses doigts.Je te donne 7 canards, tu en perds 3, combien

de canards as-tu ?L'enfant décompte de 3 à partir de 7 : 6, 5, 4 ;

sans avoir besoin de représenter 3 sur ses doigts.

Fin CP, CE1

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Conclusion• L'enfant commence par approcher la chaîne numérique

verbale en termes de mémorisation par cœur. Il faut attendre que cette mémorisation ait atteint un certain niveau pour qu'ait lieu la découverte de la régularité dans la formation du nom des nombres.

• Il existe une très forte corrélation entre le niveau d'organisation et d'automatisation de la chaîne et les emplois auxquels ils peuvent donner lieu.En particulier la possibilité de résolution des problèmes additifs et soustractifs paraît liés au niveau d'organisation et d'automatisation de celle-ci. C'est le progrès dans la structuration qui rend possible le passage de :

- compter tout,- au compter à partir de,- ou au compter entre x et y.

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Une remarque : on part souvent du postulat que les enfants effectuent d'emblée une structuration du système verbal numérique autour de la base 10. Or cela n'est pas vrai au moins au début. Les français ne peuvent pas élaborer les nombres jusqu'à 16 par une combinaison linguistique. C'est seize mots autonomes qui s'apprennent par cœur. Leur décomposabilité n'est donc sans doute possible que rétrospectivement après que l'organisation des dizaines (et de l'écrit) est saisie.

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Quelles compétences faut-il développer pour savoir « compter »

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•Connaître la comptine numérique dans un certain champ et l’utiliser dans le dénombrement.•Faire correspondre terme à terme l’objet compté et le nom du nombre (principe d’adéquation unique)• Répondre par le dernier mot-nombre énoncé à la question : Combien il y a de ? (principe de cardinalité)

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•Dénombrer les éléments de la collection sans se préoccuper de l’hétérogénéité (principe d’abstraction)• Savoir que le résultat du dénombrement ne se trouve pas modifié selon que l’on amorce le comptage par l’un ou l’autre élément

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• Savoir que le cardinal de la collection ne change pas si l'on change la configuration de

la collection

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•Organiser le comptage pour ne pas oublier des

éléments ou ne pas en compter deux fois

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Quelles compétences faut-il développer pour savoir « compter »

• Avoir une comptine stable et conventionnelle dans le champ numérique sollicité

• coordination entre le geste et la parole (principe d’adéquation unique)

• principe de cardinalité• principe d’abstraction• principe de non pertinence de l’ordre• principe d’invariance

Organiser le dénombrement : séparer ce qui est compté de ce qu’il reste à compter

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Les résultats des recherches montrent une très grande hétérogénéité des savoirs enfantins.

Tout en restant dans un champ numérique relativement restreint (de 1à 15, éventuellement 20), l’école maternelle peut enrichir les connaissances des jeunes enfants et développer des savoir faire concernant le nombre en particulier le savoir dénombrer.

Toutefois il n’est pas question de travailler isolément sur ces compétences.

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L’influence des chercheurs sur la manière de penser le premiers apprentissages numériques à l’heure

actuelle

• Utiliser ce que savent déjà les enfants à propos du nombre

• Proposer une approche diversifiée leur permettant à la fois de consolider et d’élargir leurs connaissances.

• Choisir des situations dans lesquelles ils vont utiliser le nombre comme outil.

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Dans quelles situations le nombre est-il un outil pour résoudre le problème posé ?

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Dénombrer

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Dénombrer

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Le nombre pour se souvenir d’une position

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Les nombres pour comparer

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Dans quelles situations le nombre est-il un outil pour résoudre le problème posé ?

– Dénombrer, numéroter– Mémoriser

• une quantité,• une position

– Comparer • des quantités • des positions

– Calculer pour • Anticiper (prévoir) le résultat d’une

action non effectuée• Vérifier

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La connaissance de la comptine est d’abord une compétence essentiellement orale – mise en place au cycle 1– développée et exercée au cycle 2

Elle est utilisée dialectiquement – Comme outil pour résoudre des problèmes – Comme objet que l’on étudie pour elle-même

• on compte en croissant à partir de 1 (GS), • on compte en croissant à partir de n (CP), • on compte en décroissant (CP)• on dit le suivant, le précédent d’un nombre donné (CP)• Etc.

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A quel moment passer de la comptine orale à l’écriture chiffrée du nombre ?

A partir de trois fonctions primordiales: • mémoire pour soi, pour les autres• communication• support du raisonnement (calcul)

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La numération, c'est l'organisation des signes parlés ou écrits qui permettent de garder la trace d'un nombre.

Cinq grandes phases dans l'apprentissage :1 Approche globale et principalement orale des mots nombres (PS, MS, GS)

2 Prise de conscience des régularités de la suite numérique orale (MS,GS)

3 Prise de conscience des régularités de la suite numérique écrite (chiffrée) et appropriation des règles d'écriture (GS,CP)

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• Décalage entre l’utilisation orale et écrite des nombres. Il est important et s’inverse au cours du cycle 2.

• Au début du cycle 2 les élèves connaissent beaucoup plus loin la suite orale que la suite chiffrée (au moins 30 contre 10 environ). Mais notre numération orale est pleine de pièges ce qui ne favorise guère la prise de conscience des règles de formation du nom des nombres. Pour que les enfants puissent mettre en évidence les régularités, il faut qu’il disposent à la fois d’une suite orale des nombres suffisamment longue mais aussi de la suite écrite chiffrée.

• En fin de CP, la suite chiffrée est bien connue jusque vers 100 alors que pour beaucoup la comptine orale au-delà de 69 est difficile.

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Comprendre les règles d’écriture des nombres en chiffres

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• GS :

• CP:14 15 16 … … … … 21 22 23 … …

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• En GS la suite numérique chiffrée est introduite parallèlement à partir du travail quotidien sur la date. Les enfants peuvent disposer d’une bande numérique personnelle trace de leur comptine numérique orale. Elle servira de support pour retrouver comment s’écrit un nombre ou comme aide au surcomptage.

• Un grand nombre d’activités peuvent se décliner : tout ce qui est complétion de suite des nombres en ligne puis en tableau.

• La suite numérique est un outil pour dénombrer il est donc évident qu’elle doit commencer par 1 et non par 0.

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La clef de l’apprentissage des mathématiques à l’école primaire

Comprendre les règles de fonctionnement de notre numération de position : par exemple le 4 de 46 indique que la collection comprend quatre paquets de l'unité dizaine

(CP, CE1, CE2)

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Il est nécessaire d’avoir compris le système d’écriture chiffrée pour comprendre la technique opératoire de l’addition.

Évaluation Nationale CE2 Septembre 2006Pose et calcule : 3 0 8 + 6 3

16,08 % des élèves font des erreurs (position ou calcul)17,26 % des élèves ne répondent pas.

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D’autres manifestations de ces difficultés :

• Lorsqu'il s'agit de fabriquer une collection de cardinal donné : si on demande à un élève de prendre 32 cubes (32 est dit oralement et écrit sur un papier), certains élèves prennent 3 cubes puis 2 cubes. fin CP

• Dans des travaux autour de la décomposition des nombres, par exemple si on demande à un élève de passer d'une écriture à l'autre en prenant l'exemple suivant (début CE2) : 3126 = 3000 + 100 + 20 + 6,Les élèves savent répondre à ces exercices sauf lorsqu'il y a des zéros intermédiaires, on rencontre alors des erreurs de ce type : 2045 = 2000 + 400 + 5.

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Passation fin de CP ou début de CE11 Quelle est la somme d’argent contenue dans cette enveloppe ? (4 billets de 10 € et 2 pièces de 1 €)2 Pour acheter cet objet qui vaut 36€, il faut que tu me demandes le nombre de billets de 10€ et de pièces de 1€ dont tu as besoin .

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Nos choix pour aider les élèves à comprendre la

numération de position

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Nos choix pour aider les élèves à comprendre le

fonctionnement de la numération orale

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la numération orale• des mots-nombres , combien ?... ( chiffres, multiples de la base, puissances de la

base, « anomalies ») • mode de groupements itérés par dix

(numération décimale)• règles de juxtaposition des mots-nombres pour

former des noms de nombres :la juxtaposition des mots a une valeur

opératoire (addition, multiplication) (numération de type hybride

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• Ces deux systèmes sont comme deux « langues »,

• le fait de passer de l’un à l’autre relève de la traduction

• et non de la lecture/dictée.

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Progression « spiralaire » de l’apprentissage •GS : Début de la prise de conscience de l’algorithme chiffrée après 23 il y a 24 ; après 20 il y a 30.

•CP: Début de l’étude des règles de numération écrite (algorithme et position)

– Étude de l’algorithme chiffrée– Étude de la valeur positionnelle des nombres

(le jeu du casino, les œufs, les barques sur la rivière, la monnaie etc.)

•CE1: Début de l’étude des règles de numération orale

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Dans quelles situations le nombre est-il un outil pour résoudre le problème posé ?

– Dénombrer, numéroter– Mémoriser

• une quantité,• une position

– Comparer • des quantités • des positions

– Calculer pour • Anticiper (prévoir) le résultat d’une

action non effectuée• Vérifier

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Le nombre est un outil pour calculer, c’est à dire pour :- anticiper (prévoir) le résultat d’une action non effectuée- vérifier

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• Pb1 Paul avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Jean. Combien de billes a maintenant Paul ?

• Pb2 Paul avait 3 billes. Puis Jean lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Paul ?

• Pb3 Paul avait 3 billes. Jean lui en a donné. Paul a maintenant 8 billes. Combien de billes Jean a-t-il donné à Paul ?

• Pb4 Paul et Jean ont ensemble 8 billes. Paul a 3 billes. Combien Jean a-t-il de billes ?

GS CP CE1 CE2Pb 1 100 % 100 % 100 % 100 %

Pb 2 87 % 100 % 100 % 100 %

Pb 3 61 % 56 % 100 % 100 %

Pb 4 22 % 39 % 70 % 100 %

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Quelles sont les stratégies utilisées par les jeunes enfants pour résoudre des problèmes ?

"Ce ne sont pas des opérations -au sens mathématiques du terme- que manipulent mentalement les sujets. Il s'agit plus vraisemblablement d'actions intériorisées simulées en pensée et suivant l'ordre strict de la formulation." M. Fayol

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Calcul et construction du sens des opérations

Point de vue didactique et psychologiqueCe n’est pas seulement l’opération en jeu (addition ou

soustraction) qui détermine le type de raisonnement à construire par l’élève et donc la difficulté d’un problème.Les facteurs influant sur la complexité sont multiples et interviennent de façon croisés :

- Le problème est-il simulable en actions ou nécessite- t-il une restructuration

- Les données numériques (taille, écart, nombres ronds);

- Le contexte (familier ou non), les modes de présentation et de formulation du texte.

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Ce point de vue à la fois didactique et psychologique permet – de cerner

• les filiations entre situations • les obstacles

– d’élaborer des progressions en les prenant en compte

– de mieux identifier les erreurs des élèves.

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Rapport entre calcul et construction du sens des opérations

Ce rapport est dialectiqueHistoriquement des mouvements contradictoires

• d’abord le calcul puis les problèmes • d’abord les problèmes puis le calcul• Actuellement avancée simultanée du travail

sur les problèmes et du travail sur les procédures de calcul.

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• Premier temps : travail sur des problèmes – résolution par des méthodes personnelles

empiriques• Deuxième temps : prise en compte de ces

différentes procédures par l’enseignant – pour les identifier, les « mutualiser », de les rendre

opératoires, les faire évoluer en jouant sur les variables didactiques de la situation

• Troisième temps : deux chantiers– Un travail sur de nouveaux énoncés pour

permettre aux élèves de construire des classes de problèmes qui peuvent être résolus par des procédures similaires

– Un travail décontextualisé de construction progressive de méthodes expertes de calcul réfléchi et de calcul automatisé .

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• Quatrième temps : retour aux problèmes pour– Enrichir le sens des opérations étudiées – investir les méthodes construites, les faire

fonctionner, se les approprier de manière à les rendre automatisées

• Entraînement constant au calcul réfléchi et automatisé

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Mais quels problèmes ?s’assurer que

– la tâche met en jeu la connaissance dont on vise l’apprentissage ou l’appropriation

– les élèves, pour la réaliser, pourront mobiliser des connaissances antérieures et devront les adapter au problème proposé.

• Exemple: deux « situations » a priori voisines pour introduire l’addition

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7 + 3 = 10

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Etape 1 Etape2

Etape 3 Etape 4

7+3 = ?

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• Le milieu matériel est le même.• Le milieu d’apprentissage est différent.

– Les écrits, dans le premier cas, viennent pour répéter ce qui est visible.

– Les écrits, dans le deuxième cas, sont une mémoire de l’action.

• Finalement, ce n’est ni le choix du contexte, ou du jeu qui fait qu’une situation est un problème ou non, c’est le fait que les élèves aient à développer une activité cognitive relative à la notion étudiée.

• Des exemples en CP et en CE1:

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• Le rôle de la manipulation– accumulation d’expériences – entrée dans l’activité– représentation du but à atteindre – validation des résultats obtenus

Mais la manipulation ne doit pas se substituer au raisonnement

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Faire des mathématiques c’est– résoudre des problèmes,

• anticiper le résultat d'une action, • émettre des hypothèses, • faire des essais, • les valider ou les invalider,• trouver les mots pour dire…

– s'entraîner – apprendre et retenir

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Merci