C F A / V I S H N O 2 0 1 6

Developpement d’outils logiciels pour la simulation aero-vibro-acoustique

J.-P. Coyette, B. Van Den Nieuwenhof, Y. Detandt, G. Lielens, D.D’Udekem et J.-L. Migeot

Free Field Technologies, MSC Software, Rue Emile Francqui, 9, B1435 Mont SaintGuibert, Belgique

jean-pierre.coyette@fft.be

CFA 2016 / VISHNO 11-15 avril 2016, Le Mans

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Le developpement des methodes numeriques et des outils logiciels a revolutionne, ces dernieres decennies, letraitement de multiples problemes vibro- et aero-acoustiques. Les principales avancees observees resultent dela mise en oeuvre de methodes de domaine (elements finis continus ou discontinus) qui offrent la robustesse,la generalite et la performance qu’exige le traitement de problemes industriels. Dans ce contexte, les elementsinfinis et les methodes PML permettent de gerer efficacement le rayonnement en milieu non-borne, en presenceou non d’un ecoulement porteur. La prise en compte des multiples mecanismes d’amortissement (effets visco-thermiques associes aux micro-cavites ou aux lames d’air, materiaux poreux) alimente utilement la simulationvibro-acoustique. Celle-ci requiert egalement des methodes appropriees de traitement combinant approchesphysiques et modales (discretes ou analytiques). La mise en œuvre de telles methodes repose aussi sur uneintegration toujours plus forte des solveurs et des mailleurs. Enfin, les grands nombres d’onde et les plus hautesfrequences necessitent des approches adaptees : elements finis discontinus (DGM) dans un cadre acoustique etapproches non-parametriques pour la gestion des incertitudes vibro-acoustiques. Les conditions de chargementsont egalement examinees. Une attention particuliere est accordee au traitement d’excitations aleatoires a caracteredistribue (champ diffus, couche limite turbulente). Le traitement conventionnel des matrices inter-spectrales,l’echantillonnage de telles excitations et les formulations asymptotiques sont plus particulierement abordes. Lechargement aero-acoustique est egalement analyse au travers de l’extraction des sources de simulations CFD viales analogies acoustiques.

1 IntroductionLe developpement des methodes numeriques et des

outils logiciels a revolutionne, ces dernieres decennies,le traitement de multiples problemes vibro- et aero-acoustiques. La presente contribution vise a decriresuccinctement les methodes privilegiees a l’heure actuelleet a illustrer leur usage et leurs performances (precision,cout) au moyen d’exemples industriels. Une attentionparticuliere est accordee aux operateurs de propagationet a la gestion des conditions d’excitation. Apres unrappel des aspects physiques plus particulierement traites(propagation acoustique convectee, prise en compte deseffets visco-thermiques associes aux minces lames d’airet aux micro-cavites, traitement de materiaux poreux dansun contexte vibro-acoustique), des approches discretesessentiellement basees sur des methodes de domaine sontdecrites. Le traitement de problemes exterieurs est aborde aumoyen de methodes adaptees (elements infinis et PML). Lesapproches physiques et/ou modales supportant l’evaluationde la reponse sont comparees. Enfin la problematique descourtes longueurs d’onde et le traitement des incertitudes(associees a la modelisation et aux donnees d’un probleme)sont adresses.

2 Aspects physiques

2.1 Propagation acoustique convecteeLa propagation acoustique en presence d’un ecoulement

moyen homentropique et irrotationnel en milieu non borneest gouvernee par l’equation d’onde convectee :

D0

Dt

ρ0

c20

D0φ

Dt

− ∇ · (ρ0∇φ) = 0 , (1)

ou φ, c0, ρ0 et v0 designent respectivement le potentiel devitesse acoustique, la vitesse locale du son, la densite localeet la vitesse de l’ecoulement moyen. L’operateur D0/Dt estdefini comme suit :

D0

Dt=∂

∂t+ v0 · ∇ . (2)

Le terme v0·∇ est responsable du caractere non symetrique dela propagation, la longueur d’onde acoustique etant reduite

lorsque la propagation s’opere dans la direction opposee al’ecoulement et augmentee dans le cas contraire.

Le probleme est traite dans le domaine des frequences ensupposant une dependence harmonique des variables misesen jeu :

g(x, t) = Re(g(x, ω) eiωt

), (3)

ou ω = 2π f est la frequence circulaire. La pressionacoustique p peut etre exprimee en fonction de φ via larelation :

p = −ρ0

(iωφ + v0 · ∇φ

). (4)

En l’absence d’un ecoulement moyen, l’equationci-dessus se reduit a l’equation de Helmholtz :

∆p + k2 p = 0, (5)

ou k = ω/c est le nombre d’onde et c la vitesse du son.L’equation decrivant la propagation acoustique est

completee de conditions frontieres appropriees :

• La condition de rayonnement de Sommerfeld(rayonnement en champ libre) :

r(∂p∂r

+ ik p)→ 0 as r → ∞ (6)

• La condition de Neumann le long d’une surfacevibrante :

∂p∂n

= α, (7)

ou n est la normale sortante et α est la valeur prescritedu gradient normal de pression (tel qu’induit par uneacceleration normale, par exemple).

Les Eq. (1) et (5) peuvent etre resolues dans le domaineΩ en utilisant une methode d’elements finis (FEM) ou unemethode d’elements frontieres (BEM). Le traitement de lacondition de Sommerfeld dans le contexte d’une methoded’elements finis requiert une strategie particuliere fondeesur l’usage d’une methode d’elements infinis (IE) ou d’unemethode PML (Perfectly Matched Layer), une alternativeetant constituee par le couplage d’une methode FEM etd’une methode BEM.

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2.2 Effets visco-thermiquesLa tendance a la miniaturisation pose de nouveaux

challenges en termes de modelisation acoustique dans dessystemes de petite taille (transducteurs electro-acoustiques,appareils auditifs). Ces applications ont justifie, ces vingtdernieres annees, un interet marque pour l’etude desmecanismes d’amortissement associes aux fluides visco-thermiques. Dans un domaine borne (incluant ou non uncouplage avec une structure vibrante), de tels phenomenes dedissipation sont localises au voisinage des frontieres rigides.Des mouvements entropiques (associes a une diffusiond’energie) et tourbillonnaires (associes a une diffusion dela quantite de mouvement) se developpent au voisinage desparois et interagissent avec la propagation acoustique. Cesinteractions particulieres sont a l’origine d’une extractiond’energie des ondes acoustiques conduisant a une reductionde la vitesse de propagation et a une augmentation del’amortissement. Les ondes thermiques (mouvementsentropiques) et les ondes de cisaillement (mouvementstourbillonnaires) se diffusent dans le milieu selon ladirection normale a la frontiere et s’attenuent fortement surles courtes distances associees aux epaisseurs de la couchelimite δh et δν. Dans l’air et aux frequences audibles, cesepaisseurs δh et δν ont pour ordre de grandeur des valeurscomprises entre 0.1 et 1 mm. Ces valeurs justifient lanon-consideration des dissipations visco-thermiques dansles formulations acoustiques isentropiques classiques. A unautre extreme, lorsque les dimensions caracteristiques dudomaine sont beaucoup plus petites que la couche limite,l’usage d’un modele d’ecoulement de Stokes (isothermeou compressible) est possible. Le modele de propagationvisco-thermique decrit un comportement fluide comprisentre ces deux limites et permet d’adresser de nouvellesclasses de problemes physiques.

(a)

p1p2

Visco-thermal walls

Acoustic walls

(b)

(c)

Figure 1 – (a) Schema du resonateur large bande deHannink, (b) simulation numerique du tube d’impedance et(c) evaluation du coefficient d’absorption (comparaison desresultats numeriques obtenus au moyen de divers modeles

avec les mesures)

Le traitement des effets visco-thermiques dans uncontexte tridimensionnel arbitraire necessite un examenparticulier des equations de Navier-Stokes-Fourier(equations LNSF). De multiples schemas de solutionssont envisageables. Joly a ainsi developpe une formulationlineaire de l’acoustique visco-thermique pour des fluidesau repos en selectionnant comme variables la vitesseparticulaire et la temperature. Kampinga a presente uneformulation faible supportant un modele d’elements finisbien adapte a la gestion des effets visco-thermiques.Pour reduire le nombre de degres de liberte mis en jeudans le systeme algebrique, des techniques de reductionsont souhaitables. Elles permettent de maintenir uneprecision suffisante tout en conduisant a des temps decalcul plus attractifs. De multiples strategies de reductionont ete proposees par differents auteurs (Beltman, Nijhof,Kampinga) pour modeliser les effets visqueux et thermiquesassocies aux couches limites. Tijdeman a ainsi propose lepremier modele LRF (Low Reduced Frequency) bien adaptea la propagation dans les guides d’onde (tubes capillaires,couches minces). Une extension du modele LRF capablede gerer un ecoulement moyen de regime a ete recemmentproposee par Sambuc [1, 2] .De maniere alternative, Bossart a decrit une procedureiterative pour la modelisation de fluides dissipatifs. Laprocedure consiste a decrire la physique associee a la couchelimite par une admittance equivalente. Kampinga a presenteune methode SLNS (Sequential Linearized Navier-Stokes).Celle-ci requiert, la resolution sequentielle de trois equationsd’ondes scalaires associees respectivement aux variablesde vitesse tangentielle, temperature et pression acoustique.Plus recemment, une approche hybride inspiree des travauxde Bossart et de Kampinga a ete proposee par Sambuc [3]sous le nom DBLNSF (Distance Based Linearized Navier-Stokes-Fourier). De maniere similaire au mdele de Bossart,les solutions visqueuse et thermique sont approximees enutilisant un modele semi-analytique base sur un champdistance a la paroi. Un pre-traitement doit etre realise demaniere a calculer efficacement ce champ distance a la paroivia la resolution d’une equation de Poisson. Les effets dedissipation sont ensuite integres aux champs spatiaux dedensite et de module de compressibilite qui alimentent unoperateur de Helmholtz equivalent. Le principal avantagede cette technique par rapport a l’approche de Kampingareside dans le fait qu’une seule equation d’onde (plutot quetrois) doit etre resolue a chaque frequence. Afin d’illustrer lacapacite de modelisation visco-thermique, plusieurs modelesd’elements finis visco-thermiques sont compares pour uneapplication relative a un systeme de resonateur large bande(egalement appele multiple resonator system). Ce systemea ete concu par Hannink afin de garantir une absorptionacoustique efficace a l’interieur de cabines d’avions.Le systeme est constitue d’un ensemble de resonateursfermes de differentes longueurs, couples les uns aux autres(Figure 1). Le coefficient d’absorption a ete mesure (tubed’impedance) et compare aux resultats numeriques. Lafigure 1 illustre les resultats obtenus pour l’absorption. Ellemontre que le modele DBLNSF se compare tres bien auxmodeles LNSF et SLNS comme aux mesures. Par contre, lemodele analytique mettant en jeu le modele LRF avec unecorrection de longueur se revele mal adapte a la prise encompte des effets visco-thermiques. En particulier, les effetsd’interaction entre resonateurs adjacents ne sont pas pris en

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compte.

2.3 Materiaux poreuxLes performances acoustiques de nombreux vehicules

sont fortement tributaires de traitements acoustiques sanscesse plus performants. Les materiaux poreux jouentun role particulier dans ce contexte. Les performancesobtenues resultent essentiellement des particularites offertespar les structures multi-couches a composants visco-elastiques (incluant ou non des materiaux poreux) entermes d’absorption acoustique, d’amortissement vibratoireet d’isolation acoustique. La conception optimale detraitements multi-couches requiert des modeles appropries.Dans les cas les plus simples, la description cinematiquede tels systemes autorise une reduction preliminaireconduisant a l’identification de caracteristiques mecaniquesequivalentes. Les systemes plus complexes mettant enoeuvre des composants poreux flexibles necessitent la miseen oeuvre de modeles plus sophistiques. Une large gammede techniques et de modeles est a present disponible dansla litterature en vue de modeliser les materiaux poreux etd’homogeneiser des structures complexes. Les modelesd’impedance localisee et de fluide equivalent exploitent deshypotheses simplificatrices et se revelent particulierementutiles en de nombreuses circonstances. Les modeles basessur la theorie de Biot permettent un traitement plus precisdes interactions entre phases solide et fluide.

Le modele de Biot pour les materiaux poreux estdecrit et utilise de maniere extensive dans la litterature.Les premieres implementations du modele de Biot ontexploite un formalisme en deplacement (deplacementsdu squelette et du fluide ou deplacement du squelette etdeplacement relatif du fluide pondere par la porosite). Cesformulations en deplacement conduisent toutefois a untres grand nombre de degres de liberte (6 composantes parnoeud dans un contexte 3-D) et ne facilitent pas le couplaged’un materiau poreux avec un domaine acoustique pour uneetude en transmission. Le developpement de formulationspression-deplacement (ou potentiel-deplacement) autoriseune reduction significative du nombre de degres de liberte(4 au lieu de 6) tout en facilitant le couplage avec d’autresmateriaux.

Dans le contexte de la simulation acoustique, lesimplementations disponibles pour le modele de Biot sereferent majoritairement a des materiaux poreux isotropes.Les modeles associes beneficient de l’approche micro-macroautorisant la prise en compte de l’effet de la micro-structuredu materiau sur ses caracteristiques macro (evaluation dumodule de compressibilite du fluide sur base des longueurscaracteristiques visqueuse et thermique). La gestion deseffets d’anisotropie (par exemple la resistance anisotrope aupassage de l’air telle qu’induite par le procede de fabrication)constitue une extension plus recente de ces modeles.

3 Methodes numeriques

3.1 Infinite elementsLa methode des elements infinis (IE) s’est imposee ces

vingt dernieres annees comme une methode de choix pourle traitement de problemes acoustiques exterieurs. Cettemethode ne met pas en oeuvre une couche absorbante mais

utilise une interpolation d’ordre eleve selon la directionradiale ainsi qu’une technique de mapping particuliere pourrepresenter correctement le champ acoustique a l’infini. Lecadre mathematique [4] garantissant la convergence de lamethode est constitue par le theoreme de Wilcox-Atkinson.

Le modele discret est base sur une methode hybridemixant les elements finis pour le domaine interieur Ωi

et les elements infinis pour le domaine exterieur Ωo. Laderivation des elements finis repose sur de classiquesfonctions d’interpolation polynomiales. La selection desfonctions d’interpolation relatives aux elements infinisrequiert une attention particuliere de maniere a verifierles criteres d’integrabilite dans un domaine exterieur nonborne. La selection d’un schema d’interpolation adapte auxelements infinis resulte de l’examen de la solution exacte duprobleme de Helmholtz a l’exterieur d’une surface regulierespherique, spheroidale ou ellipsoidale contenant les sources.Une telle solution peut etre decrite comme une sommecomportant un nombre infini de termes formules dans unsysteme de coordonnees adaptees (coordonnees spheriques,spheroidales ou ellipsoidales) :

p(r, θ, φ) = e−ikr∞∑

n=1

Fn(θ, φ)rn (8)

ou r est la coordonnees radiale et (θ, φ) sont les coordonneesangulaires. Une telle expansion verifie a priori la conditionde rayonnement de Sommerfeld. Le schema d’interpolationdes elements infinis peut exploiter une variante trounqueede l’Eq. (8) incluant tous les termes jusqu’a l’ordre m.Le schema d’interpolation selon les directions angulairesest base sur des fonctions polynomiales conventionnellesN(ξ, η) tandis que l’interpolation radiale exploite desfonctions Nn(r, k) mettant en jeu des termes en 1/rn

multiplies par l’exponentielle complexe e−ikr agissantcomme facteur de phase. Les variantes proposees dansla litterature se distinguent essentiellement par le choixdes fonctions tests mises en jeu dans la formulation faibledu probleme. Le schema de Bettess-Burnett et le schemaconjugue de Burnett exploitent des fonctions test egales auxfonctions d’interpolation ou a leurs complexes conjugues,respectivement. Le schema de Astley-Leis [5, 6] utilise desfonctions conjuguees mises a l’echelle pour les fonctionstest :

Wµν =1r2 Q∗µν(r, θ, φ), (9)

ou le symbole ∗ indique le complexe conjugue.Des analyses numeriques [7, 8] ont demontre que la

selection de schemas d’interpolation appropries affectefortement le conditionnement des matrices associeeset constitue un ingredient cle pour garantir de bonnesproprietes de convergence. Dans ce contexte, la selectiondu schema de Astley-Leis avec des polynomes de Legendre(shiftes) pour l’interpolation radiale donne lieu a unemethode robuste et efficace. La transformation de Prandt-Glauert peut etre utilisee pour deriver une formulationd’elements infinis adaptee aux problemes de propagationen presence d’un ecoulement. L’ecoulement moyen doittoutefois etre uniforme dans le domaine exterieur associeaux elements infinis mais peut etre arbitraire dans le domaineinterne.

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3.2 Perfectly Matched Layer3.2.1 Principes generaux

La conception generale d’une formulation PML reposesur l’introduction de termes dissipatifs dans les equationsde propagation de maniere a attenuer exponentiellementles ondes sortantes, tout en preservant la continuite duchamp acoustique a l’interface entre le domaine interne etle domaine PML. De multiples variantes de la formulationPML peuvent etre trouvees dans la litterature [9, 10].Elles sont habituellement formulees en faisant appel a unetransformation de coordonnees exploitant la selection d’unedirection de dilatation et le choix d’une fonction complexede dilatation selon cette direction. De nombreux articlestraitent la selection de fonctions de dilatation optimales. Onpeut toutefois observer que les formulations PML existantespresentent un certain nombre de defauts :

• Elles sont habituellement limitees a une dilatationconstante privilegiant une direction alignee avec undes axes de coordonnees. Ceci limite la mise en oeuvrede la methode a des boites (coordonnees cartesiennes),des cylindres (coordonnees cylindriques) ou desspheres (coordonnees spheriques). De plus, cetteoption ne facilite pas la generation automatique de lacouche PML et exige une intervention de l’utilisateurpour la definition des parametres requis. Du coup, laselection de la couche PML est quelque peu arbitraireet les multiples parametres associes (combines auxchoix geometriques) rendent complexes la solutionpour des non-experts. Il en resulte que le maillageautomatique des domaines associes et le calculautomatise du rayonnement acoustique sont malaises.

• Elles sont habituellement et principalement utiliseespour l’acoustique conventionnelle ou le fluideacoustique est suppose homogene et au repos.Certaines extensions sont disponibles dans le casparticulier ou une description analytique des non-homogeneites est disponible. L’acoustique convecteeest restreinte aux cas canonique ou l’ecoulementmoyen est parfaitement aligne ou parfaitementperpendiculaire a la direction de dilatation. Enfinl’acoustique convectee introduit egalement desdifficultes particulieres pour certaines ondes (ondesamont inverses) plus difficiles a amortir. Des solutionssont parfois proposees pour ce cas mais ellessont souvent restreintes a des cas particuliers oul’ecoulement est aligne avec la direction de dilatation.

• Elles se focalisent sur la selection du meilleur choixpour la fonction de dilatation apres avoir fixe ladirection de dilatation. Le choix de cette direction esthabituellement laisse a l’utilisateur de la methode.

3.2.2 Implementation

De nombreux logiciels commerciaux (tels que lelogiciel ACTRAN [11]) ont introduit une extension de lamethode PML ou la direction de dilatation n’est pas aligneeavec les axes de coordonnees et peut varier spatialement.Fondamentalement, la direction de dilatation y est definieautomatiquement en prenant comme reference une directionsortante approximativement perpendiculaire a l’interface

entre la domaine proche (faisant l’objet d’une discretisationen elements finis) et le domaine PML. Un champ pseudo-distance est calcule dans cette region PML via la resolutiond’une equation de Poisson. Cette pseudo-distance permetde definir simultanement la fonction de dilatation et ladirection de dilatation (definie comme le gradient de lapseudo-distance). Ceci autorise une definition entierementautomatisee des parametres de la PML une fois que lageometrie de la couche a ete specifiee. La restrictionhabituelle de la methode PML en termes geometriquesest ainsi eliminee et les softwares associes peuvent deslors mettre en oeuvre la methode dans le contexte d’unetechnique de maillage automatique. Ceci offre un avantagecalcul important lors de simulation multi-frequences car, decette maniere, l’epaisseur et la taille des elements peuventetre adaptes en fonction de la frequence (elements deplus petite taille mais couche PML plus mince a hautesfrequences). Il convient de noter que l’approche PML n’estpas implementee en pratiquant explicitement la dilatation decoordonnees. On peut montrer que l’effet de celle-ci conduita transformer l’operateur de Helmholtz (propagation dansun milieu au repos) en un operateur modifie ou la vitesse duson devient complexe et la densite scalaire est transformeeen un tenseur complexe anisotrope du second ordre.L’implementation consiste des lors a evaluer correctementcette vitesse du son complexe et la densite tensorielle enfonction des proprietes du fluide, de la pseudo-distance et deson gradient.

3.2.3 Acoustique convectee

L’assouplissement des contraintes relatives a la geometrieet la selection d’une direction de dilatation variablespatialement et definie autmatiquement conduisent a desdifficultes additionnelles en acoustique convectee. Il devientimpossible dans ce contexte de garantir le respect d’unerelation particuliere entre la direction de dilatation et ladirection de l’ecoulement moyen. Il est des lors difficiled’elaborer une methode PML efficace capable d’absorbertout type d’onde acoustique, y compris les ondes amontinverses. Meme le cas d’un ecoulement constant se revelemalaise a traiter car la direction de dilatation est arbitraire.On peut montrer toutefois qu’une formulation PML tresgenerale pour l’acoustique convectee peut etre obtenue ensuivant la procedure suivante :

• Transformation de l’equation de Helmholtz convecteeen une equation de Helmholtz classique (fluide aurepos) en utilisant la transformation de Prandtl-Glauert ;

• Application de la dilatation de coordonnees relative ala methode PML en vue de crer une couche absorbantePML decrite par une equation de Helmholtz modifieeavec une vitesse du son complexe et une densitetensorielle complexe et anisotrope ;

• Transformation inverse de l’equation de HelmholtzPML en utilisant la transformee inverse de Prandtl-Glauert.

Cette demarche conduit a une equation de Helmholtzconvectee formulee dans l’espace original, sans aucunchangement de variable. La vitesse du son, la densiteet l’ecoulement moyen associes a cette equation sont

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directement relies aux proprietes equivalentes du problemede Helmholtz convecte original mais modifies de manierecomplexe via la dilatation de coordonnee dans la couchePML. En particulier, la densite qui etait une grandeurscalaire reelle devient un tenseur du second ordre dont lavaleur est une fonction algebrique du vecteur eoulementmoyen et de la direction de dilatation. Les avantages de cetteprocedure sont les suivants :

• Les expressions obtenues sont valables pour unecoulement moyen arbitraire et pour n’importe quelledirection de dilatation et peuvent donc etre facilementutilisees pour la definition automatique de la couchePML ;

• La methode PML peut facilement absorber desondes acoustiques rentrantes, en ce compris desondes amont inverses. Dans le cas particulier oul’ecoulement est aligne avec la direction de dilatation,la formulation presentee se revele equivalente auxmeilleures formulations presentees dans la litterature ;

• Quoique la transformation de Prandtl-Glauert et latransformation inverse ne soient valables que pour unecoulement moyen uniforme, elles ne constituent quedes operations intermediaires. L’equation finale deHelmholtz convectee est obtenue dans l’espace non-transforme et peut etre utilisee pour un ecoulementmoyen non-uniforme. Les tests numeriques realisesjusqu’a present montrent que l’on n’observe aucunedegradation significative des capacites d’absorptionlorsque l’ecoulement moyen est non-uniforme.

La formulation NRBC ainsi obtenue est donc valableen acoustique convectee. 1 Elle est capable d’absorberefficacement les ondes acoustiques entrantes pour leprobleme de Helmholtz convecte sans introduire derestriction particuliere au niveau de la geometrie de lacouche absorbante ou de l’ecoulement moyen. La methodepossede les memes avantages que la formulation PML miseen oeuvre pour un fluide au repos et n’est soumise a aucunelimitation additionnelle. En particulier, elle est extremementbien adaptee aux procedures automatiques et aux strategiesde maillages adaptatifs habituellement selectionnees pourdes analyses multi-frequences et constitue une bonnealternative aux methodes d’elements infinis pour une etudedu rayonnement incluant une capacite de convection enchamp lointain. Pour le rayonnement de moteurs d’avionsa hautes frequences, elle se revele plus efficace du pointde vue temps CPU que la methode des elements infinis(malgre le cout additionnel associe a la mise en oeuvred’une representation integrale type FWH pour l’evaluationdes pressions en champ lointain). Elle constitue donc unemethode NRBC de choix pour cette gamme de frequences.

Les capacites offertes par les methodes PML et IEsont illustrees par le cas du rayonnement d’une nacelle enpresence d’un ecoulement [12, 13]. La figure 2 illustre lacouche d’elements supportant le composant PML mis enoeuvre tandis que la figure 3 compare les solutions IE etPML a une frequence de 2 kHz pour l’excitation associee aun mode plan.

1. L’implementation de la methode PML pour l’acoustique convecteedans le logiciel ACTRAN fait l’objet d’un brevet

Figure 2 – Couche additionnelle d’elements supportant lecomposant PML.

Figure 3 – Comparaison des resultats associes a differentesconditions non-reflechissantes pour une excitation de type

mode plan.

3.3 Approches modales et physiquesLes simulations vibro-acoustiques sont habituellement

basees sur l’exploitation de methodes d’elements finiset conduisent a la resolution de systemes algebriquesou differentiels de grande taille. Dans le domaine desfrequences, l’hypothese d’un regime harmonique conduita resoudre des systemes algebriques formules en variablescomplexes. La resolution de tels problemes exploitehabituellement des methodes implicites. Le cout de cescalculs peut etre exorbitant si la reponse doit etre evaluee ahautes frequences car les maillages d’elements finis associesmettent en jeu un nombre considerable de degres de liberteafin de capturer les courtes longueurs d’ondes presentes. Unereduction du temps de calcul est des lors souhaitable. Deuxstrategies peuvent se reveler particulierement interessantesdans ce contexte. La premiere consiste a mettre en oeuvreune approche etagee ou les effets de couplage sont negligesou traites de maniere iterative. La seconde approche consistea operer une reduction modale pour l’un des sous-modelespresents et conduit a la resolution d’un probleme hybride(modal/physique). Ces deux strategies peuvent egalementetre combinees de maniere a gerer un modele hybride viaune procedure de solution etagee.

3.4 Hautes frequencesLe traitement de certains problemes acoustiques peut

egalement s’appuyer sur la resolution des equations d’Eulerlinearisees. Ce type de traitement requiert la mise enoeuvre de methodes numeriques performantes distribuant lacharge de calcul sur plusieurs processeurs ou tirant beneficed’une acceleration GP-GPU. Une methode de type DGM(Discontinuous Galerkin Method) resolvant les equationsdans le domaine temporel et assurant un faible niveau dedissipation et de dispersion s’inscrit parfaitement dans cettelogique. Les elements qui composent le domaine acoustiqueont un ordre qui peut etre tres eleve et determine pour

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assurer un niveau identique d’erreur dispersive et dissipative[14]. Cet ordre eleve permet d’avoir des elements de grandetaille, tout en s’adaptant a la geometrie du probleme. Cettemethode permet de travailler dans le domaine des hautesfrequences (les longueurs d’ondes sont de l’ordre du 20emeou du 50eme de la taille caracteristique de l’objet traite).

3.5 Approche stochastique non-parametriqueDans le domaine automobile, le traitement de caisses

(habillees ou non) a moyenne frequence requiert lagestion des incertitudes associees a la modelisation etaux donnees materielles et geometriques. Une approchenon-parametrique a ete developpee par Soize [15, 16] etappliquee a des modeles vibro-acoustiques automobiles[17, 18]. Basee sur le principe de l’entropie maximum, cettemethode exploite un modele de matrices aleatoires pourles contributions raideur, masse et amortissement. Dansle contexte ACTRAN, cette demarche est implementeevia une description modale du probleme vibro-acoustique.Les modes in vacuo de la structure ainsi que les modesa parois rigides de la cavite supportent le modele. Demultiples realisations des matrices modales associees, tantpour la structure que pour le fluide, sont generees sur based’indicateurs globaux de variabilite. Le traitement de cesrealisations conduit au calcul des reponses correspondanteset, via un traitement statistique, aux indicateurs de dispersionde la reponse. Cette procedure est illustree [19] par letraitement d’un modele de vehicule (Figure 4). Le modelede la caisse met en jeu 1.5 millions de degres de liberte(1589 modes propres jusqu’a 600 Hz). Le modele elementsfinis de la cavite met en jeu 220.000 degres de liberte (343modes propres jusqu’a 800 Hz). La structure mecaniqueest excitee en deux points voisins des supports moteur. Lestrois composants d’habillage sont inclus dans le modele. Lareponse acoustique est evaluee jusqu’a 300 Hz en 7 pointsinterieurs situes au voisinage de la tete du conducteur. Lareponse est obtenue en supposant un niveau de variabiliteδK,S = 0.05 et en considerant 20 realisations lors dessimulations Monte-Carlo (Figure 5). Le traitement de cetteapplication peut etre considerablement accelere en ayantrecours a une parallelisation massive de la simulation MonteCarlo. Une autre approche consiste a exploiter les GP-GPU.

Figure 4 – Modele de caisse : body-in-blue avec troiscomposants d’habillage (headliner, carpet et dashboard).

4 Conditions de chargement

4.1 Excitations aleatoires distribueesLes excitations de type champ diffus ou couche limite

turbulente [20] peuvent etre assimilees a des processus

Figure 5 – Reponse non-deterministe : pression quadratiquemoyenne dans la cavite avec les materiaux d’habillage.

aleatoires (faiblement) stationnaires. Dans un contextediscret, elles sont habituellement caracterisees par unematrice (inter-)spectrale de puissance S P. Une procedureefficace permettant le traitement d’une telle excitation passepar l’echantillonnage. La technique retenue exploite unedecomposition de Cholesky de la matrice S P d’ordre N(matrice hermitienne, definie positive) :

S P(ω) = L(ω)LH(ω) , (10)

ou L(ω) est une matrice triangulaire inferieure et H designela transposee de la matrice complexe conjuguee. La strategierequiert egalement l’echantillonnage d’angles de phase φk

(avec 1 ≤ k ≤ Ne) dans l’intervalle [0, 2π] :

φk = U(0, 1) 2π k = 1, . . . ,Ne , (11)

ou U(0, 1) designe une variable aleatoire uniforme dansl’intervalle [0, 1]. Le vecteur ς des facteurs de phasealeatoires peut etre genere sur base des angles de phase. Lakeme composante de ce vecteur est donnee par

ςk = eiφk , (12)

et une realisation particuliere de Fourier ps associee auprocessus aleatoire distribue s’obtient simplement a partir dela relation :

Ps = L(ω)ς . (13)

Cette realisation particuliere supporte ainsi la definitiond’une excitation distribuee. La generation de realisationsmultiples exploite donc une simple decomposition deCholesky de la matrice S P a chaque frequence discrete.Chaque realisation requiert la selection d’un ensembleparticulier d’angles de phase et un produit matrice-vecteurmettant en jeu le vecteur ς des facteurs de phase. Chaquerealisation Ps de l’excitation aleatoire conduit a l’evaluationde la reponse numerique U s (vecteur des deplacementsnodaux) via la relation entree-sortie (deterministe) dusysteme. Les descripteurs statistiques peuvent etre produitsen utilisant des techniques de moyennage classiques. Ainsile spectre de puissance du deplacement nodal Ui est obtenupar la relation :

S Ui (ω) = E[U s

i (ω)U s∗i (ω)

], (14)

ou l’esperance mathematique prend en compte toutes lesreponses echantillonnees.

Dans le cas particulier d’un champ diffus, une procedured’echantillonnage direct est egalement possible. Elleconsiste a generer divers ensembles d’ondes planes avec desphases aleatoires selectionnees comme ci-dessus. Chaqueensemble d’ondes planes genere une excitation en pressionbloquee le long de la surface de chargement. A nouveau,des operations statistiques sont menees sur les reponsesindividuelles associees aux differents cas de charge afind’evaluer la matrice inter-spectrale S U .

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4.2 Chargement aero-acoustiqueLe chargement de pression fluide sur la surface flexible

d’un composant mecanique se decompose en une partieturbulente, associee a des structures petites et fortementenergetiques, et une partie acoustique liee aux phenomenescompressibles pour laquelle la longueur caracteristiqueest plus grande et le niveau plus faible. Ces deux partiescoexistent physiquement, mais il est delicat d’obtenirla contribution acoustique precisement sans l’emploi detechniques particulieres.

L’experience et la simulation montrent que le niveaude bruit a l’interieur des vehicules est plus sensible a lacomposante acoustique exterieure qu’a la partie turbulenteexterieure pourtant plus energetique. Cette particulariteexplique l’attention particuliere accordee a l’identificationprecise et efficace de la contribution acoustique.

La premiere approche consiste a utiliser des resultatsde simulation CFD compressible. Pour les problemesa faible vitesse, ceci augmente le cout calcul. Uneapproche alternative consiste a proceder a une simulationaeroacoustique exterieure pour recalculer, sur base desources de bruit turbulentes exterieures, la composanteacoustique qui impacte le vitrage ou les parties flexibles.Cette approche hybride permet de decoupler les phenomenesturbulents incompressibles des phenomenes acoustiqueset de selectionner l’approche la plus pertinente et la plusefficace pour ces phases de calcul. Le cout de la simulationfluide n’est alors plus impacte par la resolution de lacomposante acoustique.

Dans les phases avancees de conception, des methodesd’analyse permettent de determiner l’amplitude de lacomposante acoustique qui se transmet efficacementa l’interieur du vehicule. C’est le cas des techniquesproposant la decomposition en nombre d’onde surune fenetre d’analyse rectangulaire, mais aussi d’unemethode alternative decomposant le signal de pressionen modes pelliculaires qui s’appliquent sur des surfacesquelconques [21]. Cette derniere methode permet d’ailleursde reproduire un champ filtre suivant certains criterespropres a l’acoustique pour classer les differentes excitationsassociees a differents concepts.

5 ConclusionsLa simulation aero-vibro-acoustique a connu de

spectaculaires developpements ces dernieres annees. Lesprincipaux ingredients que necessitent de telles simulationsconcernent les operateurs de propagation, les mecanismesd’amortissement, les methodes numeriques privilegiees et ladescription des conditions de chargement. Les principalesavancees realisees dans ces differents domaines dans lecadre du developpement du logiciel ACTRAN [11] ont etedecrites. Les principaux challenges a relever concernentle traitement de problemes de tres grande taille (associesaux problematiques MF et HF) ainsi que la gestion desincertitudes.

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