daniel alibert - cours et exercices corrigés - volume 7

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Chaque volume comprend des rappels de cours sans démonstration, et des exercices corrigés.Volume 7 : Arithmétique et algèbre commutative

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  • Daniel ALIBERT cours et exercices corrigs volume 7 1

    Daniel ALIBERT

    Arithmtique et algbre commutative : entiers, polynmes une indtermine, idal.

    Objectifs : Savoir utiliser la divisibilit (thorme de Bzout, thorme de Gauss, lments premiers). Etudier des quations coefficients entiers. Racines d'un polynme. Connatre des gnralisations des sous-anneaux de C (idal, entiers de Gauss, ).

  • Daniel ALIBERT cours et exercices corrigs volume 7 2

    Organisation, mode d'emploi

    Cet ouvrage, comme tous ceux de la srie, a t conu en vue d'un usage pratique simple.

    Il s'agit d'un livre d'exercices corrigs, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune faon un cours de mathmatiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider l'assimilation du cours. Ce livre a t crit pour des tudiants de premire et seconde annes des Licences de sciences, dans les parcours o les mathmatiques tiennent une place importante.

    Il est le fruit de nombreuses annes d'enseignement auprs de ces tudiants, et de l'observation des difficults qu'ils rencontrent dans l'abord des mathmatiques au niveau du premier cycle des universits :

    - difficult valoriser les nombreuses connaissances mathmatiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lyce, - difficult pour comprendre un nonc, une dfinition, ds lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature mme des mathmatiques de le faire, - difficult de conception et de rdaction de raisonnements mme simples, - manque de mthodes de base de rsolution des problmes.

    L'ambition de cet ouvrage est de contribuer la rsolution de ces difficults aux cts des enseignants. Ce livre comporte quatre parties.

  • Daniel ALIBERT cours et exercices corrigs volume 7 3

    La premire, intitule "A Savoir", rassemble les dfinitions et rsultats qui sont utiliss dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni dmonstration, ni exemple.

    La seconde est intitule "Pour Voir" : son rle est de prsenter des exemples de toutes les dfinitions, et de tous les rsultats de la partie prcdente, en ne faisant rfrence qu'aux connaissances qu'un tudiant abordant le chapitre considr a ncessairement dj rencontr (souvent des objets et rsultats abords avant le baccalaurat). La moiti environ de ces exemples sont dvelopps compltement, pour clairer la dfinition ou l'nonc correspondant. L'autre moiti est forme d'noncs intituls "exemple traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de rflchir de manire active d'autres exemples trs proches des prcdents. Ils sont suivis immdiatement d'explications dtailles.

    La troisime partie est intitule "Pour Comprendre et Utiliser" : des noncs d'exercices y sont rassembls, en rfrence des objectifs. Ces noncs comportent des renvois de trois sortes : () pour obtenir des indications pour rsoudre la question, () lorsqu'une mthode plus gnrale est dcrite, () renvoie une entre du lexique. Tous les exercices sont corrigs de manire trs dtaille dans la partie 3 - 2. Au cours de la rdaction, on a souvent propos au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou largir, sa rflexion, des questions complmentaires (QC), galement corriges de faon dtaille.

    La quatrime partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les mthodes, et le lexique.

    Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilgiant un aspect "entranement" dans le travail de l'tudiant

  • Daniel ALIBERT cours et exercices corrigs volume 7 4

    en mathmatiques. Ce n'est pas le choix qui a t fait ici : les exemples traiter, les exercices et les questions complmentaires proposs abordent des aspects varis d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'clairer de diverses manires et ainsi aider sa comprhension. Le lecteur est invit, propos de chacun d'entre eux, s'interroger sur ce qu'il a de gnral (on l'y aide par quelques commentaires)

  • Daniel ALIBERT cours et exercices corrigs volume 7 5

    Table des matires

    1 A Savoir ........................................................................... 6 1-1 Arithmtique des entiers ................................. 6 1-2 Polynmes ....................................................... 9 1-3 Algbre commutative .................................... 16

    2 Pour Voir ....................................................................... 18 2-1 Arithmtique des entiers ............................... 18 2-2 Polynmes ..................................................... 33 2-3 Algbre commutative .................................... 52

    Comprendre et Utiliser ..................................................... 60 3-1 noncs des exercices ................................... 60 3-2 Corrigs des exercices ................................... 78 3-3 Corrigs des questions complmentaires .... 120

    4 Pour Chercher .............................................................. 125 4-1 Indications pour les exercices ..................... 125 4-2 Mthodes ..................................................... 133 4-3 Lexique ........................................................ 138

  • Daniel ALIBERT cours et exercices corrigs volume 7 6

    1 A Savoir

    Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales dfinitions et les principaux noncs utiliss. Vous devrez vous rfrer votre cours pour les dmonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

    1-1 Arithmtique des entiers

    Thorme

    Soient p et q des entiers relatifs, avec q diffrent de 0. Il existe un couple unique d'lments de Z, (b, r) , tels que :

    p = b q + r, et 0 r < |q|. Soient p et q des lments non nuls de Z, on dit que q divise p, dans Z, s'il existe un lment b de Z tel que p = b q. On note dans ce cas q | p. On dit que q est un diviseur de p. Si a et b sont des entiers et si q divise la fois a et b, on dit que q est un diviseur commun a et b. La relation q | p n'est pas une relation d'ordre. Cette relation n'est pas antisymtrique :

    si q | p et p | q, alors p = a q avec a un lment inversible dans l'anneau Z, c'est--dire 1 ou 1.

    Proposition

    Soient a et b des entiers non tous deux nuls. Il existe un unique entier strictement positif d vrifiant : 1) d divise a et b ; 2) Si d' est un diviseur commun a et b, alors d' divise d.

  • Daniel ALIBERT cours et exercices corrigs volume 7 7

    On dit que d est le plus grand diviseur commun a et b (PGCD), et on note d = (a,b). On dfinit de mme le PGCD d'une famille (a, b, c, ) d'entiers. On a les proprits lmentaires suivantes : ((a,b),c) = (a,(b,c)). Si k n'est pas nul, k(a,b) = (ka,kb). Pour tout entier q, (a,b) = (b,a bq). Si a est non nul, (a,0) = a.

    Dfinition

    On dit que a et b sont premiers entre eux, ou trangers, si 1 est le PGCD de a et b.

    Ainsi, si d = (a,b), et si on pose a = ad

    , et b = bd

    , alors (a',b') = 1.

    Thorme (Bzout) Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers u et v vrifiant :

    au + bv = 1.

    Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide

    Cet algorithme permet de dterminer le pgcd de deux entiers a et b par une suite de divisions euclidiennes :

    a = bq + r b = r q1 + r1 r = r1q2 + r2

    rn-1 = rnqn+1 + rn+1. Cette suite est poursuivie jusqu' ce que le reste obtenu soit nul.

  • Daniel ALIBERT cours et exercices corrigs volume 7 8

    Le dernier reste non nul est le pgcd cherch.

    Thorme (Gauss) Soient a, b, c des lments de Z, non nuls. Si a divise bc, et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. En particulier, si a et b sont premiers entre eux, et si a et b divisent c, alors ab divise c.

    Dfinition

    Soit p un lment de Z. On dit que p est un lment premier s'il est suprieur ou gal 2, et premier avec tout entier q tel que 0 < q < p. Un entier p est premier si et seulement si il a exactement 2 diviseurs positifs distincts. Un entier p est premier si et seulement si il est suprieur ou gal 2 et ses seuls diviseurs sont 1 et p. Si p est premier, il est premier avec tout lment de Z qu'il ne divise pas. Si p est premier, et si p divise un produit ab, alors p divise a ou b.

    Thorme

    L'ensemble des nombres premiers est infini.

    Proposition

    Soit n un entier suprieur ou gal 2. Il existe une famille finie de nombres premiers, p1, , pr , et une famille finie d'entiers strictement positifs n1, , nr tels que n = p1n1 p2n2 prnr . De plus cette dcomposition est unique.

    Thorme (Fermat) Soit p un nombre premier, et a un entier quelconque. Alors p divise ap - a. En particulier, si p ne divise pas a, alors p divise ap-1 - 1.

  • Daniel ALIBERT cours et exercices corrigs volume 7 9

    1-2 Polynmes

    Dfinition :

    Soit K un corps, on appelle polynmes formels coefficients dans K, ou plus simplement polynmes, les suites finies d'lments de K. Un polynme est not gnralement :

    A = a0 + a1X + a2X2 + + anXn. L'ensemble des polynmes coefficients dans K est not K[X]. Dans ce livre, K sera en gnral Q, R ou C. Si A = (ap) est un polynme, mais n'est pas la suite nulle, on pose :

    deg(A) = max{p | ap 0}, cet entier est le degr de A. On notera que cet entier n'est pas dfini si A est nul. Si n est le degr de A, le coefficient an est appel le coefficient dominant de A. S'il vaut 1, le polynme est dit unitaire. On note Kn[X] l'ensemble des polynmes de degr au plus n, et du polynme nul. On dfinit le produit de deux polynmes formels de la manire suivante : Soient P = (a0, a1, , an, ) et Q = (b0, b1, , bn, ) des polynmes, le polynme PQ est le polynme dont le terme d'indice n est :

    cn = akbn kk= 0

    n

    .

    L'ensemble K[X] est u