daniel alibert - cours et exercices corrigés - volume 6

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Chaque volume comprend des rappels de cours sans démonstration, et des exercices corrigés.Volume 6 : algèbre linéaire

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  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 1

    Daniel ALIBERT

    Espaces vectoriels. Applications linaires. Matrices. Diagonalisation et trigonalisation.

    Objectifs : Savoir chercher une base dun espace vectoriel, dun noyau, dune image. Dterminer une matrice associe une application linaire. Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, dterminant. Savoir rsoudre un systme dquations linaires : calcul, prvision et contrle de lensemble des solutions. Savoir diagonaliser une matrice carre : valeurs propres, vecteurs propres. Savoir rduire la forme triangulaire une matrice non diagonalisable. .

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 2

    Organisation, mode d'emploi

    Cet ouvrage, comme tous ceux de la srie, a t conu en vue d'un usage pratique simple.

    Il s'agit d'un livre d'exercices corrigs, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune faon un cours de mathmatiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider l'assimilation du cours. Ce livre a t crit pour des tudiants de premire et seconde annes des Licences de sciences, dans les parcours o les mathmatiques tiennent une place importante.

    Il est le fruit de nombreuses annes d'enseignement auprs de ces tudiants, et de l'observation des difficults qu'ils rencontrent dans l'abord des mathmatiques au niveau du premier cycle des universits :

    - difficult valoriser les nombreuses connaissances mathmatiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lyce, - difficult pour comprendre un nonc, une dfinition, ds lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature mme des mathmatiques de le faire, - difficult de conception et de rdaction de raisonnements mme simples, - manque de mthodes de base de rsolution des problmes.

    L'ambition de cet ouvrage est de contribuer la rsolution de ces difficults aux cts des enseignants.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 3

    Ce livre comporte quatre parties.

    La premire, intitule "A Savoir", rassemble les dfinitions et rsultats qui sont utiliss dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni dmonstration, ni exemple.

    La seconde est intitule "Pour Voir" : son rle est de prsenter des exemples de toutes les dfinitions, et de tous les rsultats de la partie prcdente, en ne faisant rfrence qu'aux connaissances qu'un tudiant abordant le chapitre considr a ncessairement dj rencontr (souvent des objets et rsultats abords avant le baccalaurat). La moiti environ de ces exemples sont dvelopps compltement, pour clairer la dfinition ou l'nonc correspondant. L'autre moiti est forme d'noncs intituls "exemple traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de rflchir de manire active d'autres exemples trs proches des prcdents. Ils sont suivis immdiatement d'explications dtailles.

    La troisime partie est intitule "Pour Comprendre et Utiliser" : des noncs d'exercices y sont rassembls, en rfrence des objectifs. Ces noncs comportent des renvois de trois sortes : () pour obtenir des indications pour rsoudre la question, () lorsqu'une mthode plus gnrale est dcrite, () renvoie une entre du lexique. Tous les exercices sont corrigs de manire trs dtaille dans la partie 3 - 2. Au cours de la rdaction, on a souvent propos au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou largir, sa rflexion, des questions complmentaires (QC), galement corriges de faon dtaille.

    La quatrime partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les mthodes, et le lexique.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 4

    Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilgiant un aspect "entranement" dans le travail de l'tudiant en mathmatiques. Ce n'est pas le choix qui a t fait ici : les exemples traiter, les exercices et les questions complmentaires proposs abordent des aspects varis d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'clairer de diverses manires et ainsi aider sa comprhension. Le lecteur est invit, propos de chacun d'entre eux, s'interroger sur ce qu'il a de gnral (on l'y aide par quelques commentaires)

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 5

    Table des matires

    1 A Savoir ........................................................................... 9 1-1 Espaces vectoriels ........................................... 9 1-2 Applications linaires .................................... 15 1-3 Matrices, dterminants .................................. 18 1-4 Rduction, polynmes annulateurs ............... 24

    2 Pour Voir ....................................................................... 35 2-1 Espaces vectoriels ......................................... 35 2-2 Applications linaires .................................... 59 2-3 Matrices, dterminants .................................. 67 2-4 Rduction, polynmes annulateurs ............... 79

    3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 97 3-1 noncs des exercices ................................... 97 3-2 Corrigs des exercices ................................. 111 3-3 Corrigs des questions complmentaires .... 165

    4 Pour Chercher .............................................................. 169 4-1 Indications pour les exercices ..................... 169 4-2 Mthodes ..................................................... 171 4-3 Lexique ........................................................ 175

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 6

    1 A Savoir

    Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales dfinitions et les principaux noncs utiliss. Voir votre cours pour les dmonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

    1-1 Espaces vectoriels

    Dfinition

    Soit (K, +K , K) un corps, et (E , +E) un groupe commutatif. Une structure d' espace vectoriel sur K est dfinie sur le groupe E par la donne d'une loi externe de K sur E, c'est--dire d'une application :

    K E E, (, x) . x satisfaisant aux proprits suivantes : 1) Pour tout de K, tout x et tout y de E, on a l'galit :

    . (x +E y) = (. x) +E (. y) . 2) Pour tout et tout de K, et tout x de E, on a l'galit :

    ( +K ) . x = (. x) +E ( . x) . 3) Pour tout et tout de K, et tout x de E, on a l'galit :

    ( K ) . x = . ( . x) . 4) Soit 1K l'lment neutre de la multiplication de K. Pour tout x de E, on a l'galit :

    1K . x = x . On dira aussi que E est un K- Espace Vectoriel. Les lments de K sont souvent appels les scalaires, et les lments de E des vecteurs. Dans les applications, le corps sera le plus souvent R (ou C). Proprits lmentaires dcoulant de la structure d'espace vectoriel :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 7

    On note 0K, et 0E les lments neutres de +K et +E. Pour tout vecteur x on a l'galit :

    0K . x = 0E . Si on note x l'oppos du vecteur x dans E, et 1K l'oppos de 1K dans K, on a pour tout x de E l'galit :

    (1K) . x = x . Dans la suite, on ne mentionnera plus en indice l'ensemble correspondant une loi, ou un lment particulier (comme +E, ou 0K), le contexte permettant de lever l'ambigut qui pourrait en rsulter : + dsigne aussi bien la loi d'addition de E que celle de K

    Dfinition

    Soit E un ensemble. Une famille d'lments de E, indexe par l'ensemble I est une application f : I E. Par commodit dans les calculs, on note par exemple (zi)i une telle application, et l'lment zi, qui serait not dans d'autres contextes f(i), est appel l'lment d'indice i. On notera bien que I n'est pas ncessairement un ensemble fini. La famille (zi)i n'est pas la mme chose que l'ensemble {zi | iI}. Soit E un K-espace vectoriel, I un ensemble d'indices, soit (i)i une famille d'lments de K ayant la proprit suivante (la famille est appele "famille presque nulle") :

    "l'ensemble des lments i tels que i soit diffrent de 0 est fini". Soit (zi)i une famille d'lments de E indexe par I, L'lment de E dfini par :

    z = i .ziiI

    est la combinaison linaire de la famille (zi)i associe la famille (i)i : cette somme a bien un sens, puisque par hypothse seul un nombre fini de termes ne sont pas nuls.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 8

    Dfinition

    Soit E un K- espace vectoriel, et F une partie de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si : 1) (F, +) est un sous-groupe de (E, +). 2) La loi externe se restreint F, c'est--dire en une application :

    K F F, ayant les proprits 1) 4) exiges pour les espaces vectoriels.

    Proposition

    Une partie F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si et seulement si les trois conditions suivantes sont vrifies : 1) Pour tout x et tout y de F, x + y est un lment de F, 2) Pour tout x de F, et tout de K, .x est un lment de F, 3) 0E est un lment de F. Soit E un espace vectoriel, (Fi)i des sous-espaces de E, en nombre fini ou non, et F l'intersection des sous-espaces vectoriels Fi. Alors F est un sous-espace vectoriel de E. Par contre le rsultat analogue n'est pas vrai pour la runion de sous-espaces vectoriels. Soit A une partie de E, il existe un plus petit sous-espace vectoriel (pour la relation d'inclusion) contenant A. Ce sous-espace est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant A.

    Dfinition

    Le plus petit sous-espace contenant A s'appelle le sous-espace vectoriel engendr par A. On le note vect(A). Le sous-espace vect(A) est l'ensemble des combinaisons linaires d'lments de A.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 9

    Dfinition

    Soient F et G des sous-espaces de E. On appelle somme de F et G, et on note F + G le sous-espace vectoriel engendr par F G. D'aprs la description gnrale donne ci-dessus, on voit que F + G est l'ensemble des sommes d'un lment de F et d'un lment de G. Si de plus F G = {0}, on dit que F et G sont en somme directe, et on note cette somme F G. Si F G = E, on dit que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplmentaires.

    Dfinition

    On dit qu'une famille (zi)i d'lments d'un espace vectoriel E est une famille gnratrice de E si tout lment z de E peut s'crire comme une combinaison linaire de (zi)i pour une famille de scalaires (i)i presque nulle, c'est--dire sous la forme d'une somme d'un nombre fini d'lments :

    z = iziiI .

    Dfinition

    Soit (xi)i une famille d'lments d'un espace vectoriel E. On dit que (xi)i est une famille libre si pour toute famille presque nulle d'lments de K, (i)i , l'implication suivante est vraie :

    ixiiI = 0 i = 0 pour tout i de I.

    On dit encore que les lments de la famille (xi)i sont indpendants (sous-entendu : entre eux). Si la famille (xi)i n'est pas libre, on dit qu'elle est lie. On dira aussi que les lments de la famille sont lis, ou dpendants. Dans ce cas il existe une famille (i)i presque nulle de scalaires non tous nuls telle que :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 10

    ixi = 0iI .

    Une telle relation est appele une relation de dpendance entre les lments de la famille (xi)i. Dans une famille lie, un lment au moins est combinaison linaire des autres.

    Dfinition

    Soit (xi)i une famille libre, et E = vect((xi)i). Pour le sous-espace E, la famille (xi)i est donc une famille la fois libre et gnratrice. Une telle famille est appele une base de E. Soit (xi)i une base de E, et x un vecteur quelconque. La famille tant gnratrice, x s'crit comme une combinaison linaire des (xi)i, et la famille tant libre les coefficients de la combinaison linaire sont dtermins de manire unique : on dit que ce sont les coordonnes de x dans la base (xi)i .

    Thorme

    (thorme de la dimension) Soit E un espace vectoriel ayant une base n lments. 1) Toute base de E a n lments. 2) Toute famille gnratrice de E a au moins n lments. Une telle famille est une base si et seulement si elle a exactement n lments. 3) Toute famille libre de E a au plus n lments. Une telle famille est une base si et seulement si elle a exactement n lments. L'entier n ainsi attach E s'appelle la dimension de E. On note n = dim(E). On dit que E est de dimension finie. L'espace rduit 0 est de dimension 0.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 11

    Thorme

    (thorme de la base incomplte) Soit E un espace vectoriel et (x1, , xn) une famille gnratrice de E. Soit (y1, ,ym) une famille libre, non gnratrice de E. Il existe des lments (xi1, xi2, , xik) de la famille (x1, , xn) tels que la famille (y1, ,ym , xi1, xi2, , xik) soit une base de E. En particulier cet nonc montre qu'un espace ayant une famille gnratrice finie a une base finie.

    Proposition

    Soit E un espace vectoriel de dimension finie. 1) Tout sous-espace F de E est de dimension finie, et dim(F) dim(E). Si dim(F) = dim(E), alors F = E. 2) Soient F et F des sous-espaces de E, on a la relation suivante :

    dim(F + F) = dim(F) + dim(F) dim(F F). 3) Tout sous-espace F admet un supplmentaire F dans E. On a l'galit dim(F) = dim(E) dim(F).

    1-2 Applications linaires

    Dfinition

    Soient E et F des espaces vectoriels sur un corps K, et f une application de E dans F. On dit que f est une application linaire si les proprits suivantes sont vrifies : 1) Pour tout x et tout y de E, on a l'galit :

    f(x + y) = f(x) + f(y). 2) Pour tout x de E, et tout de K, on a l'galit :

    f(.x) = .f(x).

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 12

    Une application linaire f a les proprits suivantes. Si 0E est l'lment neutre de E, et 0F l'lment neutre de F :

    f(0E) = 0F. L'image d'une combinaison linaire :

    a0x0 + + anxn

    est la combinaison linaire : a0f(x0) + + anf(xn ).

    On note L (E, F) l'ensemble des applications linaires de E dans F. On peut munir L (E, F) d'une structure d'espace vectoriel, en dfinissant la somme de deux applications linaires, et le produit d'une application par un scalaire de la manire usuelle :

    (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f)(x) = .f(x).

    Si E = F, on notera plus simplement L(E). On dit alors qu'un lment de L(E) est un endomorphisme de E.

    Proposition

    Soit f : E --. F une application linaire, E un sous-espace de E, et F un sous-espace de F. Alors f(E) est un sous-espace vectoriel de F et f-1(F) est un sous-espace vectoriel de E. En particulier pour E = E, on note Im(f) le sous-espace f(E), appel l'image de f. On note Ker(f) le sous-espace f-1(0), appel le noyau de f.

    Proposition

    Une application linaire f est surjective si et seulement si Im(f) = F, et f est injective si et seulement si Ker(f) = 0.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 13

    Proposition

    1) Soit f : E F une application linaire. Si (xi)i est une famille gnratrice d'un sous-espace E de E (E = vect((xi)i)) alors (f(xi))i est une famille gnratrice de f(E). 2) Soit g une autre application linaire de E dans F. Si (xi)i est une famille gnratrice de E, et si pour tout i on a l'galit :

    f(xi) = g(xi), alors les applications f et g sont gales.

    Proposition

    Soit f : E F une application linaire, (xi)iI une famille de E, et (f(xi))iI la famille de F image de la famille (xi)iI. 1) Si (xi)iI est lie, (f(xi))iI est lie. 2) De plus si f est injective, si (xi)iI est libre, (f(xi))iI est libre.

    Proposition

    Soit f : E F une application linaire. 1) Si f est injective, et F de dimension finie, alors E est de dimension finie et dim(E) dim(F). 2) Si f est surjective, et E de dimension finie, alors F est de dimension finie et dim(E) dim(F). 3) Si f est bijective, et E ou F de dimension finie, l'autre espace est aussi de dimension finie, et dim(E) = dim(F). 4) Si E et F sont de dimension finie, on a l'galit :

    dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)). Consquence importante : soit f un endomorphisme de E, espace de dimension finie, alors les trois conditions suivantes sont quivalentes : * f est injective, ** f est surjective,

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 14

    *** f est bijective . Des espaces vectoriels ayant la mme dimension, soit n, sont isomorphes, en particulier isomorphes Rn. La dimension de Im(f) s'appelle le rang de f, not rg(f). L'galit 4), sous la forme :

    rg(f) = dim(E) dim(Ker(f)) s'appelle parfois le thorme du rang.

    1-3 Matrices, dterminants

    Dfinitions gnrales, matrices.

    Soient p et q des entiers strictement positifs. On appelle matrice de type (p, q), coefficients dans le corps K, un tableau p lignes et q colonnes d'lments de K. On dsigne un terme en donnant le numro de la ligne, puis le numro de la colonne. On note Mp, q(K) l'ensemble des matrices p lignes et q colonnes. Addition des matrices : Soit A = (aij) et B = (bij) des lments de Mpq(K), on appelle somme de A et B, et on dsigne par A + B, la matrice C = (cij) dfinie par :

    cij = aij + bij. L'lment neutre est la matrice note 0, dont tous les termes sont nuls. Produit par un scalaire : Soit A = (aij) une matrice, et un lment de K. Le produit de A par est la matrice note A, dont le terme gnral est aij. Produit de deux matrices : Soient p, q, r des entiers non nuls, A = (aij) un lment de Mpq(K), B = (bjk) un lment de Mqr(K). On appelle produit de A par B, et on note AB la matrice de type (p, r), C = (ci,k), dfinie par :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 15

    cik = aij .b jkj =1

    j =q

    .

    Ce produit n'est donc pas, en gnral, interne, et dfinit une application : Mpq(K) Mqr(K) --. Mpr(K) .

    On vrifie que cette loi est associative, et distributive gauche comme droite sur l'addition.

    Dans le cas o les deux dimensions sont gales, soit n, on note plutt Mn(K), la place de Mnn(K). Le produit de deux matrices dfinit alors une loi de composition interne dans Mn(K). De plus elle possde un lment neutre, not In, ou simplement I, qui est la matrice dont tous les termes sont nuls, l'exception de ceux de la diagonale qui valent 1. Ce produit n'est pas commutatif et des lments non nuls peuvent avoir un produit nul. On vrifie enfin que pour dans K, A et B dans Mn(K), on a les galits :

    (A)B = (AB) = A (B). L'ensemble Mp,q(K) est un K-espace vectoriel. A toute matrice M =(mi,j) de Mpq(K) on associe une application linaire f de Kq dans Kp. On parlera, par abus, de noyau de la matrice M, d'image de la matrice M, de rang de M, en pensant f. Le rang d'une matrice est le nombre maximum de vecteurs-colonnes indpendants. Inversement, dans le cas d'espaces de dimension finie, on peut associer toute application linaire une matrice, moyennant le choix de bases dans les espaces considrs : Soit u : E E une application linaire, B = (e1, e2, , en) une base de E, B = ( e1, e2, , ep) une base de E. La matrice associe u dans les bases B et B, soit M = M(u, B, B) s'crit en mettant en colonnes les coordonnes dans B des images par u des vecteurs de la base B.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 16

    Les vecteurs colonnes de M forment une famille gnratrice de Im(u). Dans le cas particulier ou E = E, on choisit toujours B = B.

    La matrice d'une application compose est le produit des matrices correspondantes. Si un endomorphisme u d'un espace de dimension finie a pour matrice A1 par rapport une base B1, sa matrice A2 par rapport une base B2 est donne par :

    A2 = P-1 A1 P o P est la matrice de passage de la base B1 la base B2. Les colonnes de P sont formes des coordonnes des vecteurs de B2 rapports B1. Si X1 reprsente la matrice des coordonnes d'un vecteur par rapport la base B1 et X2 par rapport la base B2, alors :

    X1 = PX2. On dit que les matrices A1 et A2 sont des matrices semblables. Elles reprsentent le mme endomorphisme, dans des bases diffrentes. Soit M une matrice, p lignes et q colonnes. La transpose de M est la matrice q lignes et p colonnes obtenue partir de M en changeant les lignes et les colonnes.

    Systmes d'quations linaires

    Un systme d'quations linaires est form de n quations linaires, m inconnues. On convient que les termes contenant les inconnues figurent au premier membre des quations, et que les donnes connues figurent au second membre. Les solutions d'un tel systme sont des m-uples de scalaires qui vrifient toutes les quations. Un tel systme est donn par une matrice n lignes et m colonnes, obtenue en rangeant en ligne les coefficients des diverses inconnues dans une quation donne, et un vecteur n composantes, contenant les seconds membres des diffrentes quations.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 17

    Un systme linaire quivaut une seule quation matricielle dans laquelle l'inconnue est un vecteur m composantes. Une mthode classique de rsolution connatre est la mthode du pivot de Gauss, qui consiste remplacer le systme par un systme quivalent, mais de forme triangulaire.

    Calcul de dterminant

    Il existe une dfinition gnrale du dterminant d'un endomorphisme, que nous ne rappelons pas. On dfinit galement le dterminant d'une matrice carre. Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, et A la matrice associe u dans une base choisie de E. Le dterminant de A est indpendant du choix de cette base, c'est le dterminant de u. Enfin, on parle du dterminant d'un systme de n quations n inconnues, c'est le dterminant de la matrice forme des coefficients de ce systme. On indique comment calculer, pratiquement, le dterminant d'une matrice carre. On le fait de proche en proche : matrice 2x2 :

    deta bc d

    =

    a bc d = ad bc.

    matrice 3x3 (rgle de Sarrus). On opre partir du tableau : a a' a"

    b b' b"c c' c"

    a a'

    b b'c c'

    selon la rgle : Les alignements descendant (de gauche droite) donnent les produits affects de + : abc + abc + abc', Les alignements montant donnent les produits affects de :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 18

    cba cba cba', a a a

    b b b c c c

    = ab' c" +a' b"c + a" bc' cb' a"c' b"a c" ba' .

    Attention : la rgle de Sarrus ne sapplique quau cas 3 3.

    Cas gnral : on se ramne aux cas prcdents par : Dveloppement par rapport une ligne :

    Les expressions places en facteur des coefficients d'une ligne comme :

    a a a

    b b b c c c

    = a b b c c

    a b b c c

    + a b b c c

    ,

    sont appels les cofacteurs des termes de la matrice auxquels ils sont associs. En gnral, pour dfinir le cofacteur d'un terme d'une matrice (ici b, entour d'un crochet), on procde comme suit : effacer dans la matrice la ligne et la colonne du terme choisi,

    a a a

    b b b c c c

    calculer le dterminant de la matrice (n-1, n-1) ainsi obtenue : a a

    c c = ac ca,

    multiplier le nombre obtenu par (1) lev la puissance p + q si le terme de la matrice supprim se situe dans la ligne numro p et la colonne numro q (sur l'exemple 2 + 2).

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 19

    Transformation dun dterminant avant calcul.

    Il est recommand dessayer de simplifier un dterminant avant de le calculer. On utilisera les rsultats suivants : Ajouter une ligne (colonne) un multiple dune autre ligne (colonne) ne

    change pas la valeur dun dterminant. changer deux lignes (ou deux colonnes) change le signe dun dterminant, pas sa valeur absolue. Un dterminant ayant deux lignes (ou deux colonnes) proportionnelles est gal 0. Le dterminant dune somme de matrice nest pas la somme des dterminants de chacune delles. Le dterminant dun produit de matrices est le produit des dterminants de chacune. On a lgalit, pour des matrices carres A et B :

    det(A B) = det(B A). Le dterminant d'une matrice carre et celui de sa transpose sont gaux.

    Proposition

    1) Une matrice carre est inversible si et seulement si son dterminant est diffrent de 0. 2) Un systme de n quations n inconnues admet une solution unique si et seulement si son dterminant est diffrent de 0. Plus gnralement, le rang d'une matrice est la dimension du plus grand dterminant non nul qu'on peut extraire de cette matrice.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 20

    1-4 Rduction des matrices carres, Polynmes annulateurs

    Dfinition

    Soit u : E E une application linaire dun espace vectoriel E dans lui-mme. On dit quun vecteur V est un vecteur propre de u si :

    u(V) est colinaire V. Dans ce cas, il existe un scalaire vrifiant u(V) = .V. Soit A une matrice (n, n). On peut lui associer une application linaire u de Rn dans lui-mme. Les vecteurs propres de A sont, par dfinition, les vecteurs propres de u.

    Dfinition

    Soit u : E E une application linaire dun espace vectoriel E dans lui-mme. On dit quun scalaire t est une valeur propre pour u sil existe un vecteur non nul V qui vrifie :

    u(V) = t.V. On dit que V est un vecteur propre relatif la valeur propre t. L'ensemble des vecteurs propres relatifs une valeur propre donne t est un sous-espace vectoriel, qu'on appelle le sous-espace propre relatif t.

    Des vecteurs propres V1,V2,Vp( ) appartenant des sous-espaces propres deux deux distincts forment toujours une famille libre. Si t est une valeur propre de l'endomorphisme u de E, le sous-espace propre associ est Et = Ker(u t.IdE ) . Il en rsulte qu'une valeur propre est un rel t tel que u t.IdE soit non inversible.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 21

    On suppose dornavant que les espaces vectoriels considrs sont de dimension finie.

    Un scalaire t est valeur propre de l'endomorphisme u si et seulement si le dterminant de u t.Id est nul. Les valeurs propres sont les solutions de l'quation polynomiale :

    det(u X. IdE) = 0. Le polynme figurant au premier membre de cette quation s'appelle le polynme caractristique de u. Si A est la matrice de u dans une base quelconque, le polynme caractristique est :

    P(X) = det(A X. Id).

    Rappelons qu'on appelle ordre de multiplicit d'une racine d'un polynme P la plus grande puissance de (X ) qui divise P(X). Un polynme de degr n a au plus n racines, comptes avec leur ordre de multiplicit. Il peut n'avoir aucune racine dans le corps K. S'il a exactement n racines dans le corps K, on dit qu'il est scind sur K.

    Dans la suite, le corps de base K est R ou C. Si un polynme n'est pas toujours scind sur R, il est par contre toujours scind sur C.

    Thorme

    (Cayley-Hamilton) Soit M une matrice carre et PM(X) son polynme caractristique. On a l'galit entre matrices (n, n) :

    PM(M) = 0.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 22

    Dfinition

    Soit M une matrice carre. On appelle polynme annulateur de M tout polynme P tel que P(M) = 0. Le polynme caractristique est un polynme annulateur. L'ensemble des polynmes annulateurs d'une matrice est un idal de l'anneau des polynmes. Cet ensemble est gal l'ensemble des multiples d'un mme polynme, unitaire et de degr minimal, appel le polynme minimal de la matrice. Le polynme minimal est un diviseur du polynme caractristique.

    Proposition

    Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie E, t une valeur propre, de multiplicit m(t), et Et le sous-espace propre relatif t, de dimension d(t). On a la relation suivante :

    1 d(t) m(t).

    Dfinition

    Une matrice carre est dite diagonalisable si elle est semblable une matrice diagonale. Elle est dite trigonalisable si elle est semblable une matrice triangulaire.

    Thorme

    Une matrice est diagonalisable si et seulement si : 1) Son polynme caractristique est scind. 2) Pour toute valeur propre t, on a l'galit :

    d(t) = m(t).

    Corollaire

    Une matrice (n , n) qui a n valeurs propres distinctes est diagonalisable.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 23

    Diagonalisation

    Dans la pratique, on effectue la dmarche suivante : Calculer le polynme caractristique de la matrice. Chercher les racines de ce polynme, sur R en gnral, ou C. Nous supposons dans la suite que le polynme est scind. Pour chaque valeur propre t, on note m(t) la multiplicit. Dterminer une base du sous-espace propre associ. Soit d(t) sa dimension. Vrifier que m(t) = d(t). Passer la valeur propre suivante. En juxtaposant les bases des diffrents sous-espaces propres, on obtient une base forme de vecteurs propres. Dans cette nouvelle base, la matrice est diagonale.

    Proposition

    Soit A une matrice carre, P son polynme caractristique et M son polynme minimal. 1) Les polynmes P et M ont les mmes racines, relles ou complexes. 2) La matrice A est diagonalisable si et seulement si le polynme M n'a que des racines simples.

    Dfinition

    Soit A une matrice carre. Soit t une valeur propre de A, et m(t) sa multiplicit. On appelle sous-espace caractristique de A associ t le sous-espace :

    Ft = Ker[(A t.I)m(t)]. Le sous-espace propre relatif t est une partie du sous-espace caractristique.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 24

    Proposition

    Soit A une matrice carre dont le polynme caractristique est scind. 1) La somme des sous-espaces caractristiques est directe, et gale l'espace vectoriel tout entier. 2) Chaque sous-espace caractristique est stable par A. 3) Chaque sous-espace caractristique est de dimension gale la multiplicit de la valeur propre correspondante.

    Thorme

    Une matrice carre est trigonalisable si et seulement si son polynme caractristique est scind. Sur C, toute matrice carre est trigonalisable.

    Trigonalisation

    Dans la pratique, on effectue la dmarche suivante. Calculer le polynme caractristique de la matrice. Chercher les racines de ce polynme, sur R en gnral, ou C. Nous supposons dans la suite que le polynme est scind. Pour chaque valeur propre t, on note m(t) la multiplicit. Dterminer une base du sous-espace propre associ. Soit d(t) sa dimension. Si m(t) = d(t), passer une autre valeur propre. Si m(t) > d(t), complter la famille de vecteurs propres obtenue par m(t) d(t) vecteurs "pseudo- propres" calculs par la mthode indique ci- dessous. Passer la valeur propre suivante.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 25

    En juxtaposant les diffrentes familles de vecteurs propres ou pseudo-propres obtenues pour chaque valeur propre, on obtient une nouvelle base dans laquelle la matrice est triangulaire.

    Calcul des vecteurs pseudo-propres

    Soit A une matrice carre ayant une valeur propre t d'ordre m, dont le sous-espace propre associ Et est de dimension d, d < m. Soit (V1, ,Vd) une base de Et. Ces vecteurs sont des solutions indpendantes de l'quation :

    (A t.I).V = 0. Chercher des solutions indpendantes de l'quation :

    (A t.I).W = 1V1 + + d Vd, dans laquelle 1, , d, sont des paramtres quelconques. On crira une base du sous-espace des solutions en compltant la famille (V1, ,Vd). Soit (V1, ,Vd, Wd+1, ,Wd+k) (k 1) une telle base. NB : C'est une base du sous-espace vectoriel :

    Ker[(A t.I)2] = (A t.I)-1[Ker(A t.I)]. Si d + k = m, le calcul est termin. Si d + k < m, poursuivre le calcul de manire analogue partir de cette nouvelle famille libre. Chercher des solutions indpendantes de l'quation :

    (A t.I).W = 1V1 + + d Vd + d+1Wd+1 + + d+kWd+k dans laquelle 1, , d+k, sont des paramtres quelconques. On crira une base du sous-espace des solutions en compltant la famille (V1, ,Vd, Wd+1, ,Wd+k). Soit (V1, ,Vd, Wd+1, ,Wd+k, Wd+k+1, ,Wd+k+p) (p 1) une telle base. NB : C'est une base du sous-espace vectoriel :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 26

    Ker[(A t.I)3] = (A t.I)-1[Ker(A t.I)2]. Si d + k + p = m, le calcul est termin. Si d + k + p < m, poursuivre le calcul de manire analogue partir de cette nouvelle famille libre.

    Puissances d'une matrice carre

    Une matrice carre A dont le polynme caractristique est scind est semblable une matrice triangulaire A. Si P est la matrice de passage, A = P.A.P-1, et, plus gnralement :

    Am = P. Am.P-1. Il suffit donc de savoir calculer une puissance d'une matrice triangulaire. Les techniques dveloppes plus haut permettent d'obtenir, plus prcisment, A comme la somme d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, qui commutent. On peut donc appliquer la formule du binme de Newton pour calculer une puissance de A. On se ramne alors au calcul d'une puissance d'une matrice diagonale, ce qui est vident, et au calcul d'une puissance d'une matrice nilpotente, qui est limit un petit nombre de calculs (dans la pratique).

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 27

    2 Pour Voir

    Dans cette partie, on prsente des exemples simples des notions ou rsultats abords dans la partie prcdente. Ils sont suivis de questions trs lmentaires pour vrifier votre comprhension.

    2-1 Espaces vectoriels

    "Soit (K, +K , K ) un corps, et (E , +E ) un groupe commutatif. Une structure d' espace vectoriel sur K est dfinie sur le groupe E par la donne d'une loi externe de K sur E, c'est--dire d'une application K E E satisfaisant aux proprits suivantes"

    exemple 1

    On note Kn, l'ensemble des n-uples d'lments de K : x = (x1, x2 , , xn-1, xn).

    On dfinit sur Kn une loi interne, note +, en posant : x = (x1, x2 , , xn-1, xn), y = (y1, y2 , , yn-1, yn),

    x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , , xn-1 + yn-1, xn + yn). On dfinit une loi externe :

    K Kn Kn en posant pour un lment de K et x = (x1, x2 , , xn-1, xn) :

    . x = (.x1, .x2 , , .xn-1, .xn). On vrifie qu'on obtient bien ainsi une structure de K-espace vectoriel sur Kn.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 28

    exemple 2 ( traiter) Soit E un espace vectoriel sur un corps K, et A un ensemble quelconque non vide. L'ensemble F (A , E) des applications de A dans E a une structure "naturelle" d'espace vectoriel. Quelles sont les oprations ?

    # rponse

    La somme de deux applications se dfinit par : (f + g)(x) = f(x) + g(x).

    Le produit externe d'une application par un scalaire de K se dfinit par : (.f)(x) = .f(x).

    "Soit E un ensemble. Une famille d'lments de E, indexe par l'ensemble I est une application f : I E. "

    exemple 3

    L'application : u : N N,

    i 2i, dfinit une famille :

    ui = 2i.

    exemple 4 ( traiter) Donner l'exemple d'une famille de R2 indexe par R.

    # rponse

    On peut proposer par exemple ((cos(), sin()) R.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 29

    "La famille (zi)i n'est pas la mme chose que l'ensemble : {zi | iI}."

    exemple 5 La famille infinie de Z, indexe par N, dfinie par :

    zi = ( 1)i, correspond l'ensemble fini :

    { 1, 1}.

    exemple 6 ( traiter) Pour la famille de C indexe par N, dfinie par :

    yk = ik, (i est la racine carre de 1, comme d'habitude)

    quel est l'ensemble des valeurs ?

    # rponse

    Les valeurs sont y0 = 1, y1 = i, y2 = 1, y3 = i, y4 = 1 donc l'ensemble des valeurs est :

    {1, i, 1, i}.

    "Soit E un K-espace vectoriel, I un ensemble d'indices, une famille d'lments de K telle que l'ensemble des lments i tels que i soit diffrent de 0 est fini est appele famille presque nulle."

    exemple 7

    La famille d'entiers indexe par [0 , 1] dfinie par : zx = E(x) (partie entire)

    est une famille presque nulle, puisque zx = 0 sauf si x = 1.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 30

    exemple 8 ( traiter) La famille de complexes indexe par N dfinie par :

    up = ip + 1 est-elle presque nulle ?

    # rponse

    Non. Les termes de la famille dont l'indice est de la forme 4k + 2 sont nuls, c'est--dire une infinit de termes, mais une infinit d'entre eux sont non nuls, par exemple ceux d'indice 4k, qui valent tous 2.

    "L'lment de E dfini par z = i .ziiI est la combinaison linaire de la famille (zi)i

    associe la famille (i)i"

    exemple 9 A partir de l'exemple 7, on peut, pour toute famille de vecteurs Vx, indexe par [0 , 1], dfinir la combinaison linaire :

    zxVxx[0 , 1] .

    exemple 10 ( traiter) Donner une expression plus simple de la combinaison linaire donne dans l'exemple 9.

    # rponse

    Seul z1 n'est pas nul, et vaut 1, donc zxVxx[0 , 1] = V1.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 31

    "On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si -1) (F,+) est un sous-groupe de (E,+), -2) La loi externe se restreint F, c'est--dire en une application K F . F, ayant les proprits 1) 4) exiges pour les espaces vectoriels."

    exemple 11

    Dans l'espace vectoriel R3, le sous-ensemble : F = {(x, y, z) | x + y + z = 0}

    qui est un plan, est un sous-espace vectoriel. On vrifie facilement toutes les conditions. Par exemple :

    si x + y + z = 0, et x + y + z = 0, alors (x + x) + (y + y) + (z + z) = 0.

    Donc F est stable pour l'addition. Dans F l'addition est bien associative, commutative, admet (0, 0, 0) comme lment neutre (0 + 0 + 0 = 0), et tout vecteur a un symtrique (si x + y + z = 0, x + ( y) + ( z) = 0). Les conditions sur la loi externe se vrifient de mme. En particulier si est un scalaire, et (x, y, z) un lment de F, alors :

    x + y + z = (x + y + z) = 0.

    exemple 12 ( traiter) Dans l'espace vectoriel R3, le sous-ensemble :

    G = {(x, y, z) | x + y + z = 1} qui est un plan, est-il un sous-espace vectoriel ?

    # rponse

    La rponse est non. Par exemple G n'est pas stable pour l'addition : si x + y + z = 1, et x + y + z = 1,

    alors (x + x) + (y + y) + (z + z) = 2.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 32

    "Une partie F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si et seulement si les trois conditions suivantes sont vrifies : 1) Pour tout x et tout y de F, x + y est un lment de F, 2) Pour tout x de F, et tout de K, .x est un lment de F, 3) 0E est un lment de F."

    exemple 13

    On a vrifi ces trois proprits sur F, ci-dessus. Il faut connatre un petit catalogue de "grands" espaces vectoriels, les autres espaces considrs dans la pratique tant le plus souvent des sous-espaces de ceux-ci :

    Espaces Rn, Cn : droites, plans, sous-espaces engendrs par quelques vecteurs donns, ou

    dfinis par quelques quations linaires Espace des fonctions d'un ensemble I dans C, ou R, F(I , R) :

    suites relles ou complexes, suites convergentes, fonctions continues, drivables, paires, impaires, dont une ou plusieurs

    drives vrifient des conditions linaires donnes Espace des polynmes une indtermine : R[X], C[X] :

    polynmes pairs, impairs, ayant une racine donne, dont les coefficients vrifient une relation linaire donne, de degr infrieur ou gal un

    entier donn Espaces de matrices Mp,q :

    matrices symtriques, triangulaires

    exemple 14 ( traiter) La troisime condition est-elle vraiment indispensable ? Que pensez-vous du raisonnement suivant : Supposons les deux premires conditions vrifies. Soit x un vecteur dans F, et = 1. D'aprs la condition 2, ( 1)x est un lment de F, c'est--

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 33

    dire x F. D'aprs la condition 1, x + ( x) est un lment de F, c'est--dire 0 F. Conclusion : la condition 3 est consquence des deux premires conditions, il est inutile de la demander.

    # rponse

    Le raisonnement ci-dessus est exact, sauf sa conclusion. En effet la phrase "soit x un vecteur dans F" contient une hypothse, c'est que F n'est pas vide, hypothse qui n'est pas contenue dans les conditions 1 et 2. Le raisonnement tablit qu'on peut remplacer la condition 3 par la condition 3 :

    "F n'est pas vide".

    "L'intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, par contre le rsultat analogue n'est pas toujours vrai pour la runion de sous-espaces vectoriels."

    exemple 15 Si E est le plan R2, F le sous-espace {(x, y) | x = y}, G le sous-espace {(x, y) | x = y, l'union de ces deux droites n'est pas un sous-espace vectoriel. Ainsi, (1, 1) F G, (1, 1) F G, et leur somme (2, 0) n'appartient ni F ni G, donc n'appartient pas F G.

    exemple 16 ( traiter) Dans l'espace des fonctions de R dans R, on note P le sous-espace des fonctions paires, et I le sous-espace des fonctions impaires. L'union de ces deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel ?

    # rponse

    Non. Il suffit de considrer la somme d'une fonction paire, par exemple : x x2

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 34

    et d'une fonction impaire : x x3.

    Cette somme : x x2 + x3,

    n'est ni paire, ni impaire.

    "Soit A une partie de E, il existe un plus petit sous-espace vectoriel (pour la relation d'inclusion) contenant A. Ce sous-espace est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant A."

    exemple 17

    Dans le plan R2, le plus petit sous-espace contenant (0, 0) et (1, 1), contient donc tous les multiples de (1, 1) par un scalaire, soit l'ensemble :

    = {(x, x) | x R}. Comme est un sous-espace vectoriel du plan, c'est le plus petit.

    exemple 18 ( traiter) Traiter le mme problme pour le plus petit sous-espace contenant les deux points A = (1, 1) et B = (1, 1).

    # rponse

    Si vous avez rpondu "la droite AB", vous avez tort, car cette droite n'est pas un sous-espace vectoriel de R2. Si A et B sont dans un sous-espace vectoriel, alors la somme et la diffrence y sont aussi, soit (2, 0) et (0, 2). En fait, comme un sous-espace vectoriel est stable par multiplication, on peut multiplier par 1/2, donc (1, 0) et (0, 1) sont dans le plus petit sous-espace contenant A et B. Par stabilit par combinaison linaire, on voit que pour tout x et tout y, le vecteur x (1, 0) + y (0, 1) = (x , y) est dans le plus petit sous-espace contenant A et B. Le plus petit sous-espace est donc le plan tout entier.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 35

    "Le sous-espace vect(A) est l'ensemble des combinaisons linaires d'lments de A."

    exemple 19

    Les deux raisonnements particuliers faits ci-dessus utilisent prcisment cette remarque.

    exemple 20 ( traiter) Dterminer vect(A), pour la partie A de R[X] suivante :

    A = {X2p | p entier naturel quelconque}. # rponse

    Les combinaisons linaires de cette famille infinie de vecteurs sont tous les polynmes pairs.

    "Soient F et G des sous-espaces de E. On appelle somme de F et G, et on note F + G le sous-espace vectoriel engendr par F G."

    exemple 21

    Dans l'exemple 15, F + G contient le sous-espace engendr par (1, 1) et (1, 1), c'est donc R2 (cf. exemple 18).

    exemple 22 ( traiter) Dans l'exemple 16, dterminer I + P.

    # rponse

    C'est donc le sous-espace vectoriel engendr par les fonctions paires et les fonctions impaires. On sait que toute fonction est somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Il en rsulte que :

    I + P = F([1 , 1], R).

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 36

    "Si de plus F G = {0}, on dit que F et G sont en somme directe, et on note cette somme F G ."

    exemple 23

    Une fonction f sur [ 1 , 1], valeurs relles, qui est la fois paire et impaire est la fonction nulle :

    x, f(x) = f(x), x, f(x) = f(x),

    donc : x, f(x) = f(x),

    d'o : x, f(x) = 0.

    Les sous-espaces I et P sont en somme directe.

    exemple 24 ( traiter) Dans l'espace vectoriel R[X], form des polynmes coefficients rels, le sous-espace des polynmes qui ont pour racine 0 et le sous-espace des polynmes qui ont pour racine 1 sont-ils en somme directe ?

    # rponse

    Un polynme qui a 0 et 1 pour racines est-il nul ? Non, bien sr, par exemple le polynme :

    X(X 1) est dans ce cas. Par contre, si on pose la mme question pour l'espace vectoriel des polynmes de degr au plus 1, la rponse est oui.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 37

    "Si F G = E, on dit que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplmentaires."

    exemple 25 Dans l'exemple 23, d'aprs 22, I et P sont supplmentaires.

    exemple 26 ( traiter) Dans l'espace vectoriel F(R ,R), les sous-espaces forms respectivement des fonctions constantes, et des fonctions valant 0 en 0 sont supplmentaires.

    # rponse

    Pour l'intersection : si une fonction est constante et nulle en 0, elle est nulle partout. Pour la somme : soit f une fonction quelconque, et a = f(0). On dfinit une fonction g et une fonction h par :

    x R, g(x) = f(x) a, x R, h(x) = a, la fonction g est bien nulle en 0, et la fonction h est bien constante, et on a de plus :

    x R, f(x) = g(x) + h(x).

    "On dit qu'une famille (zi)i d'lments d' un espace vectoriel E est une famille gnratrice de E si tout lment z de E peut s'crire comme une combinaison linaire de (zi)i pour une famille de scalaires (i)i presque nulle."

    exemple 27

    Dans l'espace vectoriel des polynmes coefficients complexes, C[X], la famille infinie des monmes (Xk)kN, est gnratrice : en effet, tout polynme est combinaison linaire d'une sous-famille finie de cette famille.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 38

    exemple 28 ( traiter) Dans R2, la famille (Vi)1i4 dfinie par :

    V1 = (1, 0), V2 = (1, 1), V3 = (0, 1), V4 = (1, 1), est-elle gnratrice ?

    # rponse

    Oui, bien sr. On peut donner deux arguments (au moins) : Calcul direct. Soit V = (a, b) un vecteur de R2, on peut crire :

    (a, b) = (a, 0) + (1, 1) + (0, b) + (1, 1), V = aV1 + V2 + bV3 + V4,

    donc tout vecteur est combinaison linaire des quatre vecteurs de la famille. Raisonnement gnral : la famille (Vi)1i4 contient une sous-famille clairement gnratrice, la famille (V1, V3), donc elle est gnratrice.

    "On dit qu'une famille (xi)i est une famille libre si pour toute famille presque nulle d'lments de K, (i)i, l'implication suivante est vraie : ixi

    iI = 0 i = 0 pour

    tout i de I."

    exemple 29 La famille (Vi)1i4 de l'exemple prcdent n'est pas libre, puisque :

    0 = 0.V1 + V2 + 0.V3 + V4, donc il existe une combinaison linaire nulle dont tous les coefficients ne sont pas nuls.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 39

    exemple 30 ( traiter) Dans F(R, R), soient f une fonction paire, non nulle, et g une fonction impaire, non nulle. Vrifier que la famille (f, g) est libre.

    # rponse

    Deux arguments possibles. Soient et des rels tels que :

    .f + .g = 0, c'est--dire :

    x R, f(x) + g(x) = 0. S'il existe un rel, soit a tel que f(a) 0, et g(a) = 0, on en dduit que :

    f(a) = 0, donc = 0, et comme il existe b tel que g(b) 0, on dduit que = 0. S'il n'existe pas de rel tel que a, soit t tel que f(t) 0, et g(t) 0, on peut crire :

    f(t) + g(t) = 0, de plus :

    f(t) + g(t) = 0, donc :

    f(t) g(t) = 0. On dduit, en ajoutant la premire et la dernire galit :

    2f(t) = 0, Et, en les soustrayant :

    2g(t) = 0, donc, comme f(t) 0, et g(t) 0, = = 0. Supposons, par l'absurde, que 0. Alors :

    f =

    g,

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 40

    donc f est, comme g, impaire, ce qui est faux car f est paire, et non nulle. On dduit que = 0, et de mme = 0. Noter la mthode employe, plus rapide ici : si une famille n'est pas libre, un des termes au moins s'exprime en fonction linaire des autres.

    "Si la famille (xi)i n'est pas libre, on dit qu'elle est lie. On dira aussi que les lments de la famille sont lis, ou dpendants. Dans ce cas il existe une famille (i)i presque nulle de scalaires non tous nuls telle que ixi = 0

    iI ."

    exemple 31

    La famille (Vi)1i4 de l'exemple 28 est lie.

    exemple 32 ( traiter) La famille des polynmes coefficients rels :

    X, X 1, X 2 est-elle lie ?

    # rponse

    Peut-on trouver des rels a, b, c, non tous nuls, tels que : aX + b(X 1) + c(X 2) = 0.

    On voit que pour annuler le terme constant il faut : b 2c = 0,

    par exemple b = 2, c = 1, et pour annuler le coefficient de X : a + b + c = 0,

    soit, si b = 2 et c = 1, a = 1.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 41

    "Une famille libre et gnratrice est appele une base."

    exemple 33

    L'ensemble des nombres complexes, C, est un espace vectoriel sur R, pour les oprations usuelles. Une base de cet espace vectoriel est, par exemple, la famille (1, i).

    exemple 34 ( traiter) Dans le mme espace vectoriel, la famille (i, j) est-elle une base ? (rappel : j dsigne le complexe 1

    2+ i 3

    2).

    # rponse

    La rponse est oui, d'aprs les thormes gnraux sur les espaces de dimension finie. Plus directement, on peut vrifier que cette famille est libre :

    i + j = 0, impliquerait, si 0 :

    i =

    j, donc, comme et sont des rels :

    arg(i) = arg(j), ce qui est faux, bien entendu. Cette famille est aussi gnratrice. Soit z = a + ib, un nombre complexe quelconque. Peut-on l'crire :

    z = i + j, et tant rels. Cela revient rsoudre les quations :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 42

    a = 12

    ,

    b = + 32

    .

    d'o = 2a, et = b a 3 . La famille est bien gnratrice. En conclusion, c'est bien une base de C sur R.

    "Soit E un espace vectoriel ayant une base n lments. 1) Toute base de E a n lments."

    exemple 35 Nous avons vu, pour l'espace vectoriel C sur R, une base deux lments (i, j). Toute autre base a exactement deux lments, par exemple (1, i). exemple 36 ( traiter) Y-a-t-il une base trois lments dans R2 ?

    # rponse

    La rponse est non, en remarquant qu'on connat dans cet espace vectoriel une base deux lments, la base :

    ((1, 0), (0, 1)).

    "2) Toute famille gnratrice de E a au moins n lments. Une telle famille est une base si et seulement si elle a exactement n lments."

    exemple 37

    nonc trs important, en particulier pour sa deuxime partie, qui vite des calculs. Ainsi, sachant que R2 a une base deux lments sur R, on peut dduire que la famille :

    ((1, 1), (1, 1)) est une base en montrant simplement que cette famille est gnratrice :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 43

    (a, b) = a + b2

    (1, 1) + a b2

    (1, 1).

    exemple 38 ( traiter) L'espace vectoriel R3 a-t-il une famille gnratrice deux lments, quatre lments ?

    # rponse

    Pour deux, la rponse est non, puisque cet espace a une base trois lments :

    ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)). Pour quatre, la rponse est oui. Il suffit de complter une famille gnratrice avec un vecteur quelconque :

    ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)).

    "3) Toute famille libre de E a au plus n lments. Une telle famille est une base si et seulement si elle a exactement n lments."

    exemple 39

    nonc trs important, en particulier pour sa deuxime partie, qui vite des calculs. Ainsi, si on sait que C a une base deux lments sur R, on peut traiter l'exemple 34 en montrant simplement que la famille (i, j) est libre. exemple 40 ( traiter) L'espace vectoriel R3 a-t-il une famille libre deux lments, quatre lments ?

    # rponse

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 44

    Pour deux, la rponse est oui, il suffit de prendre une sous-famille deux lments d'une famille libre :

    ((1, 0, 0), (0, 0, 1)). Pour quatre, la rponse est non : dans R3, quatre vecteurs sont toujours dpendants.

    "L'entier n ainsi attach E s'appelle la dimension de E. "

    exemple 41

    Les exemples prcdents montrent qu'il est trs important de connatre la dimension des espaces vectoriels avec lesquels on travaille. Par exemple :

    dim(Rn) = n, dimR(C) = 2.

    exemple 42 ( traiter) On note Rk[X] l'espace vectoriel form des polynmes coefficients rels de degr au plus k, et du polynme nul. Quelle est sa dimension ?

    # rponse

    Il faut trouver une base de ce sous-espace. Une famille est clairement gnratrice :

    (Xp)0pk. Il suffit de montrer qu'elle est libre, ce qui est vident puisqu'un polynme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. On conclut :

    dim(Rk[X]) = k + 1.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 45

    "Soit E un espace vectoriel et (x1, , xn) une famille gnratrice de E. Soit (y1, , ym) une famille libre, non gnratrice de E. Il existe des lments (xi1, , xik) de la famille (x1, , xn) tels que la famille (y1, , ym , xi1, , xik) soit une base de E."

    exemple 43

    Dans de nombreux cas, la famille gnratrice (xi) est une base connue de l'espace vectoriel, et la famille libre (yj) est une base d'un sous-espace vectoriel. Cet nonc permet d'affirmer l'existence d'une base de l'espace contenant la base connue du sous-espace, tout en donnant une mthode pour la trouver. Si E = R3[X], on cherche une base de E contenant la famille libre :

    (X 1), (X 1)2. Cette famille est libre car les polynmes qui y figurent sont de degrs diffrents. Pour la complter, on a la possibilit d'essayer des vecteurs de la base (1, X, X2, X3). On procde de proche en proche :

    1, (X 1), (X 1)2 est une famille libre, pour la mme raison de degrs, non gnratrice (la dimension est 4, donc les familles gnratrices ont au moins quatre termes). On lui applique nouveau la mme mthode :

    1, (X 1), (X 1)2, X3 est libre, et comme elle a 4 termes et que la dimension est 4, c'est bien une base.

    exemple 44 ( traiter) Dans R3, trouver une base contenant les vecteurs suivants :

    A = (1, 1, 1), B = (1, 1, 1), aprs avoir vrifi qu'ils forment bien une famille libre.

    # rponse

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 46

    Ces vecteurs ne sont pas proportionnels donc sont indpendants (argument valable seulement pour deux vecteurs). D'aprs le thorme de la base incomplte, il est certain que l'un, au moins, des trois vecteurs de la base :

    u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1) est indpendant des deux donns. Il suffit de procder quelques essais :

    A + B = 2u, donc u ne convient pas. Par contre, si v = A + B, alors :

    0 = + 1 = + 0 = ,

    et les deux dernires galits sont incompatibles, et n'existent pas. En conclusion, (A, B, v) forment une base de R3.

    "Soit E un espace vectoriel de dimension finie. 1) Tout sous-espace F de E est de dimension finie, et dim(F) dim(E). Si dim(F) = dim(E), alors F = E."

    exemple 45 Rsultat trs important, puisqu'il permet de conclure l'galit de deux ensembles, s'ils sont des espaces vectoriels, autrement que par une double inclusion. Soit E = R2[X], et F = {Q E | il existe P E, Q = P + P + P}, en notant P le polynme driv de P, et P le polynme driv de P. Les polynmes suivants appartiennent F :

    Q1 = 1 (prendre P = 1), Q2 = X + 1 (prendre P = X),

    Q3 = X2 + 2X + 2 (prendre P = X2).

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 47

    Ces trois polynmes sont indpendants, puisque leurs degrs sont diffrents, donc F contient une famille libre de trois lments, donc la dimension de F est au moins 3. Comme elle est au plus gale celle de E, qui vaut 3, on conclut :

    dim(F) = dim(E) = 3. Il en rsulte que F = E : tout polynme de degr au plus 2 est somme d'un polynme bien choisi et de ses deux premires drives.

    exemple 46 ( traiter) Dans R3, soit F le sous-espace form par les vecteurs (a, b, c) tels qu'il existe trois rels x, y, z vrifiant :

    a = x + y + 2z b = y + 2z

    c = z.

    Montrer, par une mthode analogue, que F = R3.

    # rponse

    Si on choisit (1, 0, 0), on obtient le vecteur (1, 0, 0), pour (0, 1, 0), on obtient (1, 1, 0), enfin, pour (0, 0, 1), on obtient (2, 2, 1). On vrifie facilement que la famille :

    (1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 2, 1) est libre, donc la dimension de F est au moins 3, donc c'est 3, et E = F.

    "2) Soient F et F des sous-espaces de E, on a la relation suivante : dim(F + F) = dim(F) + dim(F) dim(F F)."

    exemple 47

    Dans R3, les plans : F = vect((1, 1, 0), (0, 1, 1)), F = vect((1, 2, 1), (1, 0, 1))

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 48

    ont pour somme R3. On remarque d'abord que (1, 0, 1) F, donc F n'est pas contenu dans F, donc F F. Leur intersection, est de dimension au moins 1, puisque :

    dim(F + F) 3 2 + 2 dim(F F) 3, mais elle n'est pas de dimension 2, puisqu'elle serait alors gale F et F d'aprs le rsultat prcdent, et que F F. Donc dim(F F) = 1, et dim(F + F) = 3.

    exemple 48 ( traiter) Dans R4, quelles sont les dimensions possibles de l'intersection de deux plans (sous-espaces de dimension 2) ?

    # rponse

    On part de dim(F + F) dim(R4) = 4, d'o : dim(F) + dim(F) dim(F F) 4, et :

    0 = 2 + 2 4 dim(F F). D'autre part, F F est un sous-espace de F et de F, donc sa dimension est au plus 2. En conclusion, dans R4, deux plans peuvent se couper en un seul point (F F = {0}), en une droite, ou tre gaux.

    "3) Tout sous-espace F admet un supplmentaire F dans E. On a l'galit dim(F) = dim(E) dim(F)."

    exemple 49

    Cette condition n'est pas suffisante. Dans R3, le plan : F = vect((1, 0, 0), (0, 1, 1)),

    et la droite : F = vect((1, 1, 1)),

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 49

    ne sont pas supplmentaires, quoique dim(F) + dim(F) = 3. En effet, F est engendr par la somme des deux vecteurs qui engendrent F, donc F F.

    exemple 50 ( traiter) Un supplmentaire n'est pas unique : soit D une droite du plan R2, et D' une droite du plan distincte de D. Dmontrer que D et D' sont supplmentaires.

    # rponse

    L'intersection de deux droites est de dimension 0 ou 1. Si la dimension est 1, les deux droites sont gales :

    dim(D D) = dim(D) = dim(D), d'o :

    D = D D = D. L'intersection de deux droites distinctes est donc {0}. Il en rsulte que la somme de deux droites distinctes est de dimension 2. En conclusion, dans un plan, deux droites distinctes sont supplmentaires.

    2-2 Applications linaires

    "Soient E et F des espaces vectoriels sur un corps K, et f une application de E dans F. On dit que f est une application linaire si les proprits suivantes sont vrifies : 1) pour tout x et tout y de E, on a l'galit f(x + y) = f(x) + f(y), 2) pour tout x de E, et tout de K, on a l'galit f(.x) = .f(x)."

    exemple 51

    Si E = R4, (ou Kn en gnral), une application linaire sera souvent exprime en fonction des coordonnes d'un vecteur quelconque. Par exemple :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 50

    (a1, a2, a3, a4) (a1 a4, a2 + a3). Autre exemple :

    (a1, a2, a3, a4) (a1 * a4, a2 + a3). Autre exemple :

    (a1, a2, a3, a4) (a1 a4, a2 + 1). Le premier exemple est bien une application linaire, le second et le troisime n'en sont pas, car les expressions qui figurent au second membre ne sont pas linaires. Ainsi a1 * a4 n'est pas une expression linaire par rapport a1 et a4 et a2 + 1 n'est pas une expression linaire par rapport a2.

    exemple 52 ( traiter) Les applications de R2[X] dans R2[X] dfinies par :

    f : aX2 + bX + c (a + b + c)X2 + cX + b, g : aX2 + bX + c (a * b + c)X2 + cX + b, h : aX2 + bX + c (a + b + 1)X2 + cX + b,

    sont-elles linaires ?

    # rponse

    Par analogie avec la remarque prcdente, on peut prvoir que f est linaire (les coefficients du polynme image d'un polynme P sont des expressions linaires par rapport aux coefficients de P), alors que g ne l'est pas ( cause du produit a * b) et h non plus ( cause de a + b + 1). C'est bien ce qu'on vrifie en appliquant la dfinition de la linarit.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 51

    "0n note Im(f) le sous-espace f(E), appel l'image de f."

    exemple 53 L'image de f est l'ensemble des valeurs prises par f. C'est l'ensemble des vecteurs V tels que l'quation f(X) = V ait une solution dans E. Dans l'exemple 45, on a considr l'image F de l'application linaire de R2[X] dans lui-mme donne par P P + P + P. On a vrifi que l'image est R2[X].

    exemple 54 ( traiter) Dterminer Im(f) pour l'application f de l'exemple 52.

    # rponse

    L'application est f : aX2 + bX + c (a + b + c)X2 + cX + b. Procdons comme en 45-46 :

    f(1) = X2 + X f(X) = X2 + 1

    f(X2) = X2. Les polynmes X2 + X, X2 + 1, X2 sont dans Im(f), donc X et 1 aussi, donc Im(f) contient une famille libre de 3 lments, sa dimension est au moins 3, donc c'est 3, et :

    Im(f) = R2[X].

    "On note Ker(f) le sous-espace f-1(0), appel le noyau de f."

    exemple 55 Le noyau est l'ensemble des solutions de l'quation f(V) = 0.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 52

    Rappelons que pour rsoudre une quation f(V) = W, o W est un vecteur connu, il suffit de connatre une solution, soit V0, de cette quation, et le noyau de f. L'ensemble des solutions est alors :

    V0 + Ker(f). Le noyau de l'application :

    f : R3 R2 (x, y, z) (x y, y z)

    est obtenu en rsolvant les quations : x y = 0 y z = 0,

    soit x = y = z. On crira : Ker(f) = {(x, x, x) | x R}.

    Une base de Ker(f) est le vecteur (1, 1, 1). Pour rsoudre f(V) = (1, 1), il suffit alors de trouver un antcdent de (1, 1). Par exemple (1, 0, 1). L'ensemble des solutions de f(V) = (1, 1) est donc :

    {(1 + x, x, 1 + x) | x R}. exemple 56 ( traiter) Dterminer le noyau de l'application linaire :

    H : R2[X] --. R P P(0) + P(1).

    On en donnera une base.

    # rponse

    Soit P = a + bX + cX2 un polynme du noyau. Il vrifie l'quation : a + a + b + c = 0,

    c = b 2a,

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 53

    donc : P = a(1 2X2) + b(X X2).

    Les polynmes (1 2X2) et (X X2) sont des lments du noyau, ils constituent d'aprs ce rsultat une famille gnratrice de Ker(H). On vrifie facilement qu'ils sont indpendants (ils ne sont pas proportionnels), donc ils constituent une base de Ker(H).

    "Une application linaire f est surjective si et seulement si Im(f) = F, et f est injective si et seulement si Ker(f) = 0."

    exemple 57 Exemple 54 : f est surjective. exemple 58 ( traiter) Parmi les exemples prcdents (53 56), quelles sont les applications linaires injectives ? # rponse

    Les applications linaires des exemples 55 et 56 ne sont pas injectives : on a trouv que leur noyau n'est pas gal 0. Pour 53, on pourrait conclure par le thorme du rang. Directement, on crit :

    P = a + bX + cX2, P appartient au noyau si P + P + P = 0 :

    a + bX + cX2 + b + 2cX + 2c = 0, donc :

    a + b + 2c = 0, b + 2c = 0,

    c = 0, d'o a = b = c = 0, P = 0. L'application est injective.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 54

    Pour 54, on crira : (a + b + c)X2 + cX + b = 0,

    soit : a + b + c = 0,

    c = 0, b = 0,

    d'o a = b = c = 0. L'application est injective.

    "1) Soit f : E --. F une application linaire. Si (xi)i est une famille gnratrice de E alors (f(xi))i est une famille gnratrice de Im(f)."

    exemple 59 On a utilis cette proprit pour dterminer Im(f) dans l'exemple 54.

    exemple 60 ( traiter) Reprendre l'exemple 55. Chercher une famille gnratrice de Im(f). Est-ce une base ? En dduire Im(f).

    # rponse

    On rappelle que f est dfinie par : (x, y, z) (x y, y z).

    On calcule l'image d'une base (qui est une famille gnratrice) : f(1, 0, 0) = (1, 0)

    f(0, 1, 0) = (1, 1) f(0, 0, 1) = (0, 1).

    Ce n'est certainement pas une base, puisque dans R2 il n'y a pas de famille libre de plus de 2 lments. On voit que les deux premiers vecteurs (par exemple) sont indpendants, donc Im(f) est de dimension 2, donc gale R2.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 55

    "Si f est injective, si (xi)iI est libre, (f(xi))iI est libre."

    exemple 61

    C'tait le cas de 54. L'image d'une base par une application f injective (et linaire) est une base de Im(f).

    exemple 62 ( traiter) Dduire qu'une application linaire de R3 dans R2 n'est jamais injective. # rponse

    Sinon l'image de la famille libre (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) serait libre dans R2 ce qui est impossible.

    "Soit f : E F une application linaire. Si f est injective, et F de dimension finie, alors E est de dimension finie et dim(E) dim(F)."

    exemple 63

    Voir 62. Cet nonc permet de contrler le rsultat d'un calcul : si la dimension de E est suprieure celle de F, le noyau de f n'est pas 0.

    exemple 64 ( traiter) La rciproque : "Si dim(E) dim(F) alors f est injective" est-elle vraie ? # rponse

    Non, bien entendu. Par exemple : f : R2 R3

    (x, y) (x y, 0, 0) a pour noyau :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 56

    {(x, x) | x R} = vect((1, 1)).

    "Si f est surjective, et E de dimension finie, alors F est de dimension finie et dim(E) dim(F)."

    exemple 65 On fera les mmes remarques : Il n'y a pas d'application linaire surjective de R2 dans R4. Une quation f(X) = V ne peut pas avoir de solution quel que soit V si dim(E) < dim(F).

    exemple 66 ( traiter) Que pensez-vous de la rciproque : "Si dim(E) dim(F) alors f est surjective ". # rponse

    Elle est fausse galement : f : R3 R2

    (a, b, c) (a + b + c, a + b + c) a pour image la droite :

    {(x, x) | x R} = vect((1, 1)).

    "Si E et F sont de dimension finie, on a l'galit : dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))."

    exemple 67

    Relation trs importante, puisqu'elle vite un calcul lorsqu'on cherche les dimensions de l'image et du noyau. Voir 58.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 57

    exemple 68 ( traiter) Reprendre l'exemple 55 (voir 60). Dterminer Im(f) en calculant sa dimension.

    # rponse

    On a vu que dim(Ker(f)) = 1, d'o dim(Im(f)) = 2, et comme Im(f) R2, Im(f) = R2.

    "Consquence importante : soit f un endomorphisme de E, espace de dimension finie, alors les trois conditions suivantes sont quivalentes * f est injective ** f est surjective *** f est bijective ."

    exemple 69

    Dans l'exemple 53 (45), on a vu que l'application tait surjective, on peut en dduire qu'elle est bijective. L'quation diffrentielle :

    P + P + P = Q a une solution unique dans R2[X], quel que soit Q dans R2[X].

    exemple 70 ( traiter) Vrifier que l'application de R2 dans R2 :

    (a, b) (a + 3b, 2a b) est une bijection. # rponse

    Le noyau est manifestement (0, 0), donc l'application est injective, donc bijective.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 58

    2-3 Matrices, dterminants

    Produit de deux matrices

    exemple 71

    Le produit : 0 10 0

    1 00 0

    =

    0 00 0

    .

    Noter que le produit de matrices non nulles peut tre nul.

    exemple 72 ( traiter) Pour la matrice M suivante, calculer M2, M3 :

    M =0 1 20 0 10 0 0

    .

    # rponse

    On observe le cas d'une matrice non nulle, nilpotente (une puissance de cette matrice est nulle).

    M 2 =0 1 20 0 10 0 0

    0 1 20 0 10 0 0

    =

    0 0 10 0 00 0 0

    M 3 =0 1 20 0 10 0 0

    0 0 10 0 00 0 0

    =

    0 0 00 0 00 0 0

    .

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 59

    "A toute matrice M = (mi,j) de Mpq(K) on associe une application linaire f de Kq dans Kp."

    exemple 73

    Un vecteur est reprsent par une matrice-colonne ( une seule colonne), et l'application linaire est dfinie par le produit de matrices :

    M =1 0

    2 34 1

    d'o l'application :

    x

    y

    a

    1 02 34 1

    x

    y

    =

    x

    2x + 3y4x y

    .

    exemple 74 ( traiter) crire, par identification, la matrice qui correspond l'application linaire :

    (a, b, c) (a + c, b c).

    # rponse

    C'est une matrice (2, 3) : 1 0 10 1 1

    .

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 60

    "Inversement, dans le cas d'espaces de dimension finie, on peut associer toute application linaire une matrice, moyennant le choix de bases dans les espaces considrs."

    exemple 75 Dans la base canonique de R2[X], (1, X, X2), la matrice de l'application de l'exemple 45 :

    P P + P + P s'crit en mettant en colonne les coefficients des images des vecteurs de base :

    1 1 X 1 + X

    X2 2 + 2X + X2 d'o :

    1 1 20 1 20 0 1

    .

    exemple 76 ( traiter) crire, dans les bases canoniques de R3 et de R2, la matrice de l'application linaire de 55. Rappel : la base canonique de Rk est forme des k-uples qui ont toutes leurs composantes nulles sauf une, rangs depuis e1 = (1, 0, 0) jusqu' ek = (0, 0, 1).

    # rponse

    L'application considre est : (x, y, z) (x y, y z)

    donc :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 61

    (1, 0, 0) (1, 0) (0, 1, 0) (1, 1) (0, 0, 1) (0, 1).

    D'o la matrice : 1 1 00 1 1

    .

    "Soit M une matrice, p lignes et q colonnes. La transpose de M est la matrice q lignes et p colonnes obtenue partir de M en changeant les lignes et les colonnes."

    exemple 77

    La transpose de la matrice ci-dessus est : 1 01 10 1

    .

    exemple 78 ( traiter) Existe-t-il des matrices gales leur transpose ? Si oui, donner un exemple.

    # rponse

    Ce sont ncessairement des matrices carres. Il faut que les lignes et les colonnes de mme numro soient identiques. Par exemple :

    1 2 02 2 30 3 1

    .

    "Un systme d'quations linaires est donn par une matrice n lignes et m colonnes, obtenue en rangeant en ligne les coefficients des diverses inconnues dans une quation

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 62

    donne, et un vecteur n composantes, contenant les seconds membres des diffrentes quations. Un systme linaire quivaut une seule quation matricielle dans laquelle l'inconnue est un vecteur m composantes."

    exemple 79

    Le systme de trois quations deux inconnues : x y = 1x + 2y = 32x + y = 4

    quivaut l'quation matricielle : MX = A,

    avec :

    M =1 11 22 1

    , X =

    x

    y

    , A =

    134

    .

    exemple 80 ( traiter) crire le systme d'quations linaires quivalent :

    1 2 02 0 11 3 2

    a

    bc

    =

    112

    .

    # rponse

    Il suffit d'effectuer le produit, on obtient les trois quations trois inconnues :

    a + 2b =12a + c =1

    a + 3b + 2c = 2

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 63

    "Une mthode classique de rsolution connatre est la mthode du pivot de Gauss, qui consiste remplacer le systme par un systme quivalent, mais de forme triangulaire."

    exemple 81

    Un systme de forme triangulaire est un systme dans lequel le nombre d'inconnues figurant dans les quations successives diminue de un (au moins) en passant d'une quation l'quation suivante. Trois possibilits existent. Premier cas :

    a + 2b =12a + c =1

    a + 3b + 2c = 2

    on conserve la premire quation, puis on limine l'inconnue a des deux autres par des combinaisons de lignes. Ici, on peut ajouter le produit par 2 de la premire quation la seconde, et la premire quation la troisime :

    a + 2b = 14b + c = 3

    5b + 2c = 3.

    Ce nouveau systme est quivalent au premier, il a les mmes solutions. On conserve maintenant les deux premires quations, et on limine b de la dernire quation en calculant 4 (troisime quation) 5 (deuxime) :

    a + 2b =14b + c = 3

    3c = 2.

    On rsout maintenant les diverses quations en commenant par la dernire, qui n'a qu'une inconnue, puis, c tant connu, la deuxime, qui n'a plus qu'une inconnue, enfin on calcule a.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 64

    exemple 82 ( traiter) Second cas. Par une mthode analogue, transformer le systme suivant :

    a + 2b = 1a + 6b + c = 4

    2a + 2c = 3a + 6b + 3c = 6.

    Conclure, quant sa rsolution.

    # rponse

    Le systme, triangul par la mme mthode, est quivalent : a + 2b =14b + c = 3

    3c = 2c =1.

    Ce nouveau systme comprend plusieurs quations ne contenant que l'inconnue c. Soit ces quations sont quivalentes (proportionnelles), soit elles sont incompatibles. Le premier cas conduit l'limination d'quations superflues, puis une rsolution identique celle du premier exemple (82), le second cas permet de conclure que le systme n'a pas de solution. C'est ce second cas que l'on observe ici.

    exemple 83 ( traiter) Troisime cas. Transformer le systme suivant, et terminer sa rsolution :

    a + 2b + c + d = 1a + 2b 2d = 2

    2a + 4b + 5c + 4d = 0.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 65

    # rponse

    Le systme, aprs trigonalisation, est quivalent au suivant : a + 2b + c + d =1

    4b + c d = 33c + 2d = 2.

    On voit qu'on n'a pas pu aboutir une dernire quation une seule inconnue. Il y aura donc des inconnues ayant une valeur quelconque, et d'autres s'exprimant en fonction des premires. On fixe autant de valeurs arbitraires que ncessaire pour que la dernire quation n'ait plus qu'une inconnue calculer. Ici, fixons d arbitrairement. On peut alors calculer c, puis b, puis a, en fonction de cette valeur de d. L'ensemble des solutions dpendra d'un paramtre.

    "Calculs de dterminants."

    exemple 84

    Calculons par dveloppement par rapport la premire ligne :

    D =1 2 10 1 3

    2 0 2.

    On obtient :

    D =1 30 2

    20 3

    2 2

    0 12 0

    = 2 2 6 2= 12.

    exemple 85 ( traiter) Calculer de mme, par dveloppement par rapport une colonne :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 66

    H =1 3 21 0 43 2 1

    .

    # rponse

    La deuxime colonne comporte un zro, on la choisit donc pour le dveloppement :

    H = 31 43 1

    + 21 21 4

    = 3 13 + 2 2= 35.

    NB : on aurait pu calculer ces deux dterminants par la formule de Sarrus.

    "Transformation dun dterminant avant calcul."

    exemple 86

    On a vu sur l'exemple simple qui prcde que la prsence de 0 abrge le calcul. Encore faut-il que les 0 soient dans une mme ligne ou une mme colonne. On peut en faire apparatre par des oprations lmentaires :

    A =

    1 2 1 41 2 0 12 1 1 0

    1 2 3 1

    =

    1 2 1 40 0 1 50 5 3 80 0 4 3

    =

    0 1 55 3 80 4 3

    = 51 54 3

    = 5( 3 + 20) = 85.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 67

    Utiliser, si possible, la prsence d'un coefficient gal 1 ou -1, ce qui vite l'apparition de dnominateur.

    exemple 87 ( traiter) Faire d'abord apparatre un 1 dans le terme de la premire ligne et premire colonne, puis calculer le dterminant :

    B =

    3 2 1 20 2 4 52 4 1 1

    5 2 1 0

    .

    # rponse

    B =

    3 2 1 20 2 4 52 4 1 15 2 1 0

    =

    1 2 1 22 2 4 56 4 1 17 2 1 0

    =

    1 2 1 20 6 2 10 16 7 110 16 6 14

    =

    6 2 116 7 1116 6 14

    =

    0 0 182 15 11100 22 14

    =

    82 15100 22 =

    82 1518 7

    =

    46 118 7

    = 46 7 18 = 304.

    Bien entendu, de multiples possibilits de simplification peuvent tre choisies, pour parvenir au mme rsultat.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 68

    "Une matrice carre est inversible si et seulement si son dterminant est diffrent de 0."

    exemple 88

    La matrice suivante est inversible :

    M =1 21 1

    .

    En effet, son dterminant est 1. L'inverse de cette matrice est :

    M1 =1 21 1

    .

    On verra en exercice comment calculer l'inverse d'une matrice.

    exemple 89 ( traiter) Vrifier que M-1 est bien la matrice inverse de M.

    # rponse

    On calcule le produit M.M-1 :

    M.M1 =1 21 1

    1 21 1

    =

    1 + 2 2 + 211 2 1

    =

    1 00 1

    .

    "Un systme de n quations n inconnues admet une solution unique si et seulement si son dterminant est diffrent de 0."

    exemple 90

    Reprenons le systme de 81. Son dterminant est : 1 2 0

    2 0 11 3 2

    =

    1 2 00 4 10 5 2

    =

    4 15 2 = 8 5 = 3.

    On a bien vrifi qu'il avait une solution unique.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 69

    exemple 91 ( traiter) Le systme suivant a-t-il une solution unique ? Le rsoudre.

    a + 2b + c + d = 1a + 2b 2d = 2

    2a + 4b + 5c + 4d = 04b + c d = 3

    # rponse

    Le dterminant est : 1 2 1 11 2 0 22 4 5 40 4 1 1

    =

    1 2 1 10 4 1 10 0 3 20 4 1 1

    =

    4 1 10 3 24 1 1

    =

    4 1 10 3 20 0 0

    = 0.

    Il n'y a donc pas une solution unique. Les transformations opres sur les lignes du dterminant sont celles de la mthode du pivot. Le systme est donc quivalent :

    a + 2b + c + d =14b + c d = 3

    3c + 2d = 2

    On fixe d arbitrairement, et on calcule ensuite c, b, a : c =

    2 2d3

    ,

    b =3 + d + 2 + 2d

    34

    =

    11+ 5d12

    ,

    a = 1 d + 2 + 2d3

    11+ 5d6

    =

    16

    76

    d.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 70

    2-4 Rduction des matrices carres. Polynmes annulateurs

    "Soit u : E --. E une application linaire dun espace vectoriel E dans lui-mme. On dit quun vecteur V est un vecteur propre de u si u(V) est colinaire V."

    exemple 92

    Soit E l'espace vectoriel des fonctions indfiniment drivables sur R, et u l'application de drivation, qui est, bien sr, linaire. Une fonction f est une fonction propre si la drive f est proportionnelle f, il existe un rel k tel que :

    x R, f(x) = k f(x). On voit que ces fonctions sont les fonctions exponentielles :

    f(x) = Cekx.

    exemple 93 ( traiter) Soit E = R2[X], l'espace des polynmes coefficients rels de degr au plus 2. Si l'application linaire u est dfinie par :

    u(P) = P(0) + P(1)X, quels sont les "polynmes propres" ?

    # rponse

    Un polynme propre P doit vrifier une galit : kP = P(0) + P(1)X,

    k tant un rel. Il y a bien sr le cas du polynme nul. Supposons d'abord k 0. En dehors de P = 0, on voit que ncessairement P doit tre de degr au plus 1, soit P = a + bX. Les coefficients a et b doivent vrifier :

    ka + kbX = a + (a + b)X,

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 71

    ka + kbX = a + (a + b)X, donc :

    ka = a, kb = a + b.

    On cherche s'il y a des solutions avec k = 1 : a = a,

    b = a + b, donc a = 0, et b quelconque :

    P = bX. Si k 1, alors a = 0, et b = 0, donc P = 0. Supposons maintenant k = 0. Le polynme P doit alors vrifier :

    P(0) = P(1) = 0, donc :

    P = CX(X 1), C tant une constante relle quelconque. En conclusion, il y a deux familles de vecteurs propres :

    P = bX, P = CX(X 1).

    "Soit u : E --. E une application linaire dun espace vectoriel E dans lui-mme. On dit quun scalaire t est une valeur propre pour u sil existe un vecteur propre non nul V qui vrifie : u(V) = t.V."

    exemple 94

    Dans l'exemple 92, les valeurs propres sont tous les rels.

    exemple 95 ( traiter) Quelles sont les valeurs propres dans l'exemple 93 ?

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 72

    # rponse

    On a vu que l'on n'obtient des vecteurs propres non nuls seulement dans deux cas : pour k = 1, et pour k = 0. Ce sont les deux valeurs propres.

    "L'ensemble des vecteurs propres relatifs une valeur propre donne t est un sous-espace vectoriel, qu'on appelle le sous-espace propre relatif t."

    exemple 96

    Dans l'exemple 93, il y a deux sous-espaces propres, chacun est de dimension 1 :

    pour t = 0, vect(X(1 X)), pour t = 1, vect(X).

    exemple 97 ( traiter) Quels sont les sous-espaces propres dans l'exemple 92 ?

    # rponse

    Il y en a une infinit, correspondant chaque rel. Chacun est de dimension 1 :

    pour t = k, vect(ekx).

    "Des vecteurs propres appartenant des sous-espaces propres deux deux distincts forment toujours une famille libre."

    exemple 98

    Dans l'exemple 92 : les fonctions donnes par eax, et ebx, a b, sont linairement indpendantes. En effet si on a pour tout x :

    eax + ebx = 0,

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 73

    on dduit (avec x = 0, puis en drivant en 0) : + = 0,

    a + b = 0, donc, comme a b, = = 0. exemple 99 ( traiter) Vrifier cette indpendance des vecteurs propres pour l'exemple 93.

    # rponse

    C'est clair dans ce cas, puisque les polynmes sont de degr 1 pour la valeur propre 1, et de degr 2 pour la valeur propre 0.

    "Les valeurs propres sont les solutions de l'quation polynomiale : det(u X. IdE) = 0."

    exemple 100

    Le cas de l'exemple 92 n'entre pas dans ce rsultat, puisque l'espace vectoriel considr n'est pas de dimension finie.

    exemple 101 ( traiter) Vrifier dans le cas de l'exemple 93. On choisira une base, puis on calculera le dterminant.

    # rponse

    Dans la base usuelle (1, X, X2), la matrice de u est :

    A =1 0 01 1 10 0 0

    .

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 74

    L'quation caractristique est : 1 X 0 0

    1 1 X 10 0 X

    = 0,

    1 X( )2 X = 0.

    On retrouve bien les valeurs propres 0 (multiplicit 1) et 1 (multiplicit 2).

    "Soit M une matrice carre et PM(X) son polynme caractristique. On a l'galit entre matrices (n, n), PM(M) = 0."

    exemple 102

    Dans l'exemple prcdent, on a : PA(X) = (X 1)2X,

    PA (A) = A I( )2 A

    =

    1 0 01 1 10 0 0

    1 0 00 1 00 0 1

    2 1 0 01 1 10 0 0

    =

    0 0 01 0 10 0 1

    0 0 01 0 10 0 1

    1 0 01 1 10 0 0

    =

    0 0 00 0 10 0 1

    1 0 01 1 10 0 0

    =

    0 0 00 0 00 0 0

    .

    exemple 103 ( traiter) Vrifier ce rsultat gnral pour une matrice (2, 2) quelconque.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 75

    # rponse

    Pour une matrice (2, 2) : M =

    a bc d

    ,

    le polynme caractristique est : pM(X) = X2 (a + d)X + (ad bc).

    On doit calculer :

    pM(M) =a bc d

    a bc d

    (a + d) a b

    c d

    + (ad bc) 1 00 1

    =

    a2 + bc b(a + d)c(a + d) d2 + bc

    a(a + d) b(a + d)c(a + d) d(a + d)

    +

    ad bc 00 ad bc

    =

    0 00 0

    .

    "Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie E, t une valeur propre, de multiplicit m(t), et Et le sous-espace propre relatif t, de dimension d(t). On a la relation suivante : 1 d(t) m(t)."

    exemple 104

    Dans l'exemple 93, on a bien : d(0) = 1, m(0) = 2 d(1) = 1 = m(1).

    exemple 105 ( traiter) Chercher les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 76

    B =1 0 11 1 10 0 0

    .

    # rponse

    L'quation caractristique est : 1 X 0 1

    1 1 X 10 0 X

    = (1 X)2X = 0,

    donc les valeurs propres sont les mmes que dans l'exemple 93 : 0, avec multiplicit 1 1, avec multiplicit 2.

    Pour les sous-espaces propres : t = 0, la dimension ne peut tre que 1 :

    1 0 11 1 10 0 0

    a

    bc

    =

    000

    ,

    a + c = 0a + b + c = 0.

    On dduit b = 0, a = c, le sous-espace propre est vect((1, 0, 1)). t = 1 :

    1 0 11 1 10 0 0

    a

    bc

    =

    a

    bc

    ,

    a + c = a

    a + b + c = b0 = c.

    On dduit c = 0, a = 0, le sous-espace propre est vect((0, 1, 0).

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 77

    "Une matrice est diagonalisable si et seulement si : 1) Son polynme caractristique est scind 2) Pour toute valeur propre t, on a l'galit d(t) = m(t)."

    exemple 106

    La matrice de l'exemple 105 n'est pas diagonalisable, ni celle de l'exemple 104.

    exemple 107 ( traiter) La matrice suivante est-elle diagonalisable :

    2 51 2

    .

    # rponse

    L'quation caractristique est : X2 + 1 = 0.

    On voit donc que la question est insuffisamment prcise. Sur R, le polynme n'est pas scind, donc la matrice n'est pas diagonalisable. Sur C, le polynme est scind, et a deux racines simples, donc la matrice est diagonalisable.

    "Mthode de diagonalisation."

    exemple 108

    Diagonaliser une matrice c'est Dterminer si elle est diagonalisable, en cherchant les valeurs propres, les sous-espaces propres,

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 78

    Si la matrice est diagonalisable, crire la matrice de passage d'un changement de base convenable (nouvelle base forme de vecteurs propres). Enfin crire la matrice diagonale semblable la matrice donne correspondant la matrice de passage choisie.

    exemple 109 ( traiter) Appliquer cette dmarche la matrice :

    A =1 0 0

    2 1 20 0 1

    .

    # rponse

    quation caractristique : 1 X 0 0

    2 1 X 20 0 1 X

    = (1 X)(1 X)2 = 0.

    Les valeurs propres sont donc 1, de multiplicit 2, et 1, de multiplicit 1. Pour t = 1, le sous-espace est dtermin par les quations :

    1 0 02 1 20 0 1

    a

    bc

    =

    a

    bc

    ,

    a = a

    2a b 2c = bc = c.

    Donc a et c sont arbitraires, et b = a c. Les vecteurs propres s'crivent :

    (a, a c, c) = a (1, 1, 0) + c (0, 1, 1),

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 79

    donc le sous-espace est de dimension 2, de base ((1, 1, 0), (0, 1, 1)). On sait donc que la matrice est diagonalisable puisque, pour l'autre valeur propre, simple, la dimension du sous-espace propre est ncessairement gale la multiplicit. Cherchons une base du sous-espace propre relatif la valeur propre 1 :

    1 0 02 1 20 0 1

    a

    bc

    =

    a

    bc

    ,

    a = a

    2a b 2c = bc = c.

    Donc a = c = 0, et b est arbitraire. Les vecteurs propres sont de la forme gnrale b (0, 1, 0). La matrice de passage a comme vecteurs-colonnes les vecteurs des bases des sous-espaces propres, par exemple, en plaant d'abord les vecteurs propres correspondant 1 :

    P =1 0 0

    1 1 10 1 0

    .

    La matrice semblable, diagonale, qui correspond cette matrice de passage, doit s'crire sans calcul : les valeurs propres sont ranger dans la diagonale, dans le mme ordre que les vecteurs propres :

    D =1 0 00 1 00 0 1

    .

    "Soit A une matrice carre, P son polynme caractristique et M son polynme minimal. 1) M divise P, 2) Les polynmes P et M ont les mmes racines, relles ou complexes, 3)

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 80

    La matrice A est diagonalisable si et seulement si le polynme M n'a que des racines simples."

    exemple 110

    On suppose qu'une matrice A, (3, 3), a pour polynme caractristique : P = (1 X)2(1 + X).

    Quels choix sont possibles pour le polynme minimal ? En raison des points 1) et 2), deux choix seulement :

    M = P, et A n'est pas diagonalisable, M = (X 1)(X + 1), et A est diagonalisable.

    exemple 111 ( traiter) crire le polynme minimal dans les cas des exemples 104, 105, 109.

    # rponse

    Pour la matrice : 1 0 01 1 10 0 0

    qui n'est pas diagonalisable, le polynme minimal est gal l'oppos du polynme caractristique, (X 1)2X. Pour la matrice :

    1 0 11 1 10 0 0

    la rponse est la mme. Enfin, pour la matrice :

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 6 81

    1 0 02 1 20 0 1

    qui est diagonalisable, M = (X 1)(X + 1).

    "Dmarche de trigonalisation."

    exemple 112

    Prenons l'exemple de la matrice :

    M =1 0 01 1 10 0 0

    .

    On sait (exemples 93-104) qu'elle a deux valeurs propres, 0, de multiplicit 1, et 1 de multiplicit 2. Pour la premire valeur propre, t = 0 :

    1 0 0