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Drivabilit Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

DRIVABILIT d'une fonction

Toutes les fonctions considres dans ce chapitre sont dfinies sur ou une partie de et sont valeurs dans .Les intervalles considrs sont non vides et non rduits un point.

1. Drivabilit en un point

1.1 Thorme

Soit une fonction dfinie sur un intervalle I. Soit x0 un lment de I.

Les deux assertions suivantes sont quivalentes :

1) Il existe un rel l tel que l'accroissement moyen ait pour limite l :

limh0

+ - ( ) ( )x h xh

0 0 = l

2) Il existe un rel l et une fonction j tels que pour tout h tel que x0 + h I :

(x0 + h) = (x0) + lh + hj(h) o limh0

j(h) = 0

Dmonstration

Supposons la condition 1). Il existe l tel que :

limh0

+ - ( ) ( )x h xh

0 0 = l

Posons, pour h 0 : j(h) = + - ( ) ( )x h xh

0 0 - l

Par hypothse, on a ainsi : limh0

j(h) = 0

De plus : hj(h) = (x0 + h) - (x0) - lh

D'o la condition 2) : (x0 + h) = (x0) + lh + hj(h) o limh0

j(h) = 0

Rciproquement, supposons la condition 2) :

(x0 + h) = (x0) + lh + hj(h) o limh0

j(h) = 0

Pour h 0, on a : + - ( ) ( )x h xh

0 0 = l + j(h)

Et comme limh0

j(h) = 0, il vient : limh0

+ - ( ) ( )x h xh

0 0 = l

D'o la condition 1).

Note : h tendvers 0 de faonque x0 + h I


Vocabulaire :

La quantit + - ( ) ( )x h xh

0 0 s'appelle l'accroissement moyen de en x0. Graphiquement, elle reprsente

le coefficient directeur de la scante la courbe Cf de entre les points d'abscisses x0 et x0 + h.

La condition 1) peut donc aussi se traduire par : l'accroissement moyen de en x0 admet une limite finie.

L'criture sous la forme (x0 + h) = (x0) + lh + hj(h) (o limh0

j(h) = 0) s'appelle le dveloppement limit

de l'ordre 1 en x0.

La condition 2) peut donc encore se traduire par : admet un dveloppement limit l'ordre 1 en x0.

1.2. Dfinition

Soit une fonction dfinie sur un intervalle I. Soit x0 un lment de I.

Lorsque l'une des deux conditions du thorme ci-dessus est vrifie, on dit que :

est drivable en x0

Le nombre l s'appelle alors le nombre driv de en x0 et on le note '(x0).

Commentaires :

la limite de l'accroissement moyen de en x0 (lorsqu'il existe) peut encore s'crire sous la forme suivante :

lim( ) ( )

x x

x xx x

- -0

0

0

Le dveloppement limit de en x (lorsqu'il existe) peut encore se noter :

(x) = (x0) + '(x0)(x - x0) + (x - x0)j(x - x0)(Cette dernire relation s'appelle "formule de Taylor-Young applique en x0 l'ordre 1")

La formule de Taylor-Young, ci-dessus, peut encore s'crire :

(x) - (x0) = '(x0)(x - x0) + (x - x0)e(x - x0) o 0

limx x

e(x - x0) = 0

Avec la notation des Physiciens : Dx = x - x0, Dy(x0) = (x) - (x0), nous obtenons :

Dy(x0) = '(x0)Dx + Dxe(Dx)

En faisant tendre e vers 0, on obtient l'criture diffrentielle des Physiciens :

dy = '(x0)dx ou encore '(x0) = 0d ( )dy xx

CB(x0 + h)

A(x0)

x0 + hx0

Ces transformations

d'critures se font via le

changement de variable :

x = x0 + h


Lorsque l'accroissement moyen n'admet pas de limite en x0, il se peut qu'il en admette une droite (ou

gauche) de x0. On dit alors que est drivable droite (ou gauche) en x0. (voir exemple de la fonction

"valeur absolue" en 0 un peu plus bas)

Exemples d'utilisation de la dfinition :

1) On considre la fonction dfinie sur + par (x) = x . tudier sa drivabilit en 0.

Pour cela, on value la limite de l'accroissement moyen de en x0 = 0 :

+ - ( ) ( )x h xh

0 0 = 0 0+ -hh

= hh

= 1h

D'o : limh0

+ - ( ) ( )x h xh

0 0 = limh0

1h

= +

La limite n'est pas finie. La fonction "racine carre" n'est donc pas drivable en 0.

Cependant, la courbe admet, au point d'abscisse 0, une demi-tangente verticale.

2) On considre la fonction dfinie sur par (x) = |x|. tudier sa drivabilit en 0.

Nous avons pour tout h 0 :0 0+ -h

h=

hh

Or, la quantit hh

n'a pas de limite en 0. En effet :

limhh>

00

hh

= limhh>

00

hh

= 1 et limhh

sisi

si

La drive g' est toujours positive. De plus elle est

nulle sur tout l'intervalle [-1 ; 1]. Par consquent, la

fonction g est croissante (non strictement) sur .

y

2 Cg

1

x

-1

-2 -1 21

-2


3) Soit h la fonction dfinie sur ]-2 ; -1[ ]1 ; 2[ par h(x) = -1 si x ]-2 ; -1[ et h(x) = 1 si x ]1 ; 2[. On

a clairement h' = 0 sur ]-2 ; -1[ ]1 ; 2[. Cependant, h n'est pas constante, d'o la ncessit de la condition

"I est un intervalle" dans le thorme 4.1.

Le thorme suivant donne une condition ncessaire pour que ait un extremum local en x0 :

4.2. Thorme

Soit une fonction drivable sur un intervalle I.

Si admet un extremum local en un point x0 intrieur I alors '(x0) = 0

Avant de dmontrer ce thorme, donnons quelques explications :

Si a et b reprsentent les extrmits de l'intervalle I (avec ventuellement a = - et/ou b = +), l'intrieur

de I est l'intervalle ouvert ]a ; b[. (C'est le plus grand intervalle ouvert contenu dans I)

Un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local. Une fonction admet un maximum

local en x0 s'il existe un intervalle ouvert J du type ]x0 - e ; x0 + e[ (avec e > 0) tel que pour tout x de J on

ait (x) (x0) . (On dfinit de faon analogue un minimum local). Une fonction peut avoir plusieurs

maxima sur un mme intervalle I. Le plus grand d'entre eux est appel maximum global de sur I.

Dmonstration :

Par hypothse, est drivable en x0 et :

'(x0) = limh0

+ - ( ) ( )x h xh

0 0

Comme x0 est intrieur I, il existe e > 0 tel que ]x0 - e ; x0 + e[ soit contenu dans I.

Supposons que l'extremum local de soit un maximum local :

Pour h ]0 ; e[, on a : + - ( ) ( )x h xh

0 0 0

Pour h ]-e ; 0[, on a : + - ( ) ( )x h xh

0 0 0

Ceci montre que la drive droite de en x0 est ngative et que la drive gauche de en x0 est positive. Et

comme elles sont toutes deux gales '(x0), on a ncessairement '(x0) 0 et '(x0) 0 d'o '(x0) = 0.

Dans le cas o admet un minimum local, on raisonne de mme.

y

(x0)

C

(x0' )

xx0'x0 - e x0 + ex0 ba


Mise en garde sur le thorme 4.2. :

Si x0 est une extrmit de I, la fonction peut avoir un extremum en x0 sans ncessairement avoir '(x0) = 0.

C'est ce qu'illustre la figure suivante :

Le thorme suivant donne une condition suffisante pour que ait un extremum local en x0 :

4.3. Thorme

Soit une fonction drivable sur un intervalle I. Soit x0 un point intrieur I.

Si ' s'annule en x0 en changeant de signe alors a un extremum local en x0

Nous admettrons ce thorme dont la dmonstration repose, l encore, sur le thorme des accroissements finis.

Les trois thormes prcdents sont largement exploits dans les exercices notamment lors de la mise en place

du tableau de variation d'une fonction.

5. Drivation d'une fonction compose et applications

5.1. Thorme

Soit u une fonction drivable sur un intervalle I.

Soit v une fonction drivable sur un intervalle J contenant u(I).

La fonction v o u est drivable sur I et pour tout x I : (v o u)'(x) = u'(x) v'(u(x))

Dmonstration :

Soit x0 I.

On crit :

0

0

( )( ) ( )( )v u x v u xx x

--

o o= 0

0

( ( )) ( ( ))( ) ( )

v u x v u xu x u x

--

00

( ) ( )u x u xx x

--

Posons y0 = u(x0) et y = u(x), ainsi :

0

0

( )( ) ( )( )v u x v u xx x

--

o o= 0

0

( ) ( )v y v yy y

--

00

( ) ( )u x u xx x

--

Or, v tant drivable en y0, on a :

0

limy y

0

0

( ) ( )v y v yy y

--

= v'(y0)

Et u tant drivable en x0, on a :

0

limx x

0

0

( ) ( )u x u xx x

--

= u'(x0)

y

(x0)

C

xx0 = ba


D'o :0

limx x

0

0

( )( ) ( )( )v u x v u xx x

--

o o= u'(x0) v'(y0) = u'(x0) v'(u(x0))

C'est--dire : (v o u)'(x0) = u'(x0) v'(u(x0))

Ceci tant valable pour tout x0 I, on en dduit la drivabilit de v o u sur I et

(v o u)'(x) = u'(x) v'(u(x))

5.2. Consquences du thorme 5.1. : soit u une fonction drivable sur un intervalle I.

Si = u (o u est strictement positive sur I) alors est drivable sur I et ' = 2

uu

Si = un (avec n * et u ne s'annulant pas sur I si n -1) alors est drivable sur I et ' = n u' un-1

Exemple :

1. On considre la fonction dfinie sur + par :

(x) = x x2 +

On peut crire = u avec u(x) = x2 + x. La fonction u est strictement positive sur ]0 ; +[.

Donc est drivable sur ]0 ; +[ et on a ' = 2

uu

, ce qui donne :

'(x) = 2

2 1

2

x

x x

+

+ pour tout x ]0 ; +[

2. Dans la pratique, s'il n'y a pas d'ambigut avec les intervalles, on finit par ne plus prciser la composition :

(x) = ( )2 12 6x x- + '(x) = 6(4x - 1) ( )2 12 5x x- +

Exercice : Soit une fonction dfinie et drivable sur un intervalle I symtrique par rapport 0.

Dmontrer : paire ' impaire

impaire ' paire.

Si est paire, on a pour tout x I : (x) = (-x) = o g(x) (O g est la fonction qui x associe -x )

En drivant, on obtient : '(x) = g'(x)'(g(x)) = -'(-x)

Donc ' est impaire.

Mme raisonnement pour l'autre implication.


5.3. Thorme Drivation de la bijection rciproque (hors programme)

Soit une bijection drivable d'un intervalle I sur un intervalle J. On note -1 la bijection reciproque de .

Soit x0 I tel que '(x0) 0. Alors la fonction -1 est drivable en y0 = (x0) et :

(-1)'(y0) = 0

1( )y-1 o

Dmonstration :

Nous allons montrer que l'accroissement moyen ci-dessous admet une limite lorsque y tend vers y0 :1 1

0

0

( ) ( )y yy y

- - - -

= 1

0

0

( )( )

y xy x

- --

Notons x = -1(y) ainsi :1 1

0

0

( ) ( )y yy y

- - - -

= 00( ) ( )

x xx x

- -

Or, -1 est continue en y0 (voir leon sur la continuit) donc :

0

limyy

-1(y) = -1(y0)

C'est--dire :0

limyy

x = x0

Autrement dit, lorsque y tend vers y0, alors x tend vers x0, ce qui nous permet d'crire :

0

limyy

1 10

0

( ) ( )y yy y

- - - -

=0

limxx

00( ) ( )

x xx x

- -

= 0

1( )x

puisque est drivable en x0 avec '(x0) 0.

Ce qui prouve que la fonction rciproque -1 est drivable en y0 et :

(-1)'(y0) = 0

1( )x

= 0

1( )y-1 o

Remarque : si de plus, pour tout x de I, on a '(x) 0, alors -1 est alors drivable sur (I) et :

(-1)' = 1-1 o

sur (I)


6. Tableaux des drives usuelles et oprations sur les drives

Fonction Fonction drive ' Domaine de dfinition de '

(x) = k (constante) '(x) = 0

(x) = x '(x) = 1

(x) = ax + b '(x) = a

(x) = xn (n *) '(x) = n xn-1 si n > 0 ; * si n < 0

(x) = x '(x) = 1

2 x +

*

(x) = 1x

'(x) = - 12x +*

(x) = cos x '(x) = -sin x

(x) = sin x '(x) = cos x

(x) = tan x '(x) = 1 + tan2 x = 12cos x \ {k p

2; k }

(t) = cos(wt + j) '(t) = -wsin(wt + j)

(t) = sin(wt + j) '(t) = wcos(wt + j)

(t) = tan(wt + j) '(t) = w(1 + tan2(wt + j)) \ {k

pj

2-

t ; k }

Tous les rsultats de ce tableau se dmontrent essentiellement avec la dfinition du nombre driv.

Exemple de dmonstrations :

Cas (x) = xn lorsque n > 0.

L'accroissement moyen de en x s'crit : (en utilisant la formule du binme de Newton)

( )x h xh

n n+ -=

1 2 22

...nn n n n nx nx h x h h x

h

- -

+ + + + -= n xn-1 + 2

2n nx h -

+ ... + hn-1

D'o : limh0

( )x h xh

n n+ -= lim

h0 n xn-1 + 2

2n nx h -

+ ... + hn-1 = n xn-1

On peut aussi procder par rcurrence en utilisant la formule de drivation d'un produit (ce qui vite

l'emploi de la formule du binme).

Cas (x) = sin x.

L'accroissement moyen de en x s'crit :

sin( ) sinx h xh

+ -= sin cos sin cos sinx h h x x

h+ -

= sin x coshh

- 1+

sin hh

cos x

Or : limh0

sin hh

= 1 et limh0

coshh

- 1= 0 (Voir DM)

D'o : limh0

sin( ) sinx h xh

+ -= cos x


OPRATIONS SUR LES DRIVES

lorsque u et v sont des fonctions drivables sur un intervalle I

Fonction Drive Conditions

u + v u' + v'

ku (k : constante) ku'

uv u'v + uv'

1v

- 2vv

v 0 sur I

uv 2

u v uvv

- v 0 sur I

un (n ) n u' un-1 u > 0 sur I si n 0

u2

uu u > 0 sur I

v o u u' (v' o u)

Tous les rsultats de ce tableau se dmontrent essentiellement avec la dfinition du nombre driv.

Exemples de dmonstrations :

Relation 1v

= - 2

vv

Pour tout x I, posons (x) = 1v x( )

.

On a : + - ( ) ( )x h xh

=

1 1v x h v x

h( ) ( )+

-= v x v x h

h v x v x h( ) ( )

( ) ( )- +

+

Or, puisque v est drivable, on peut crire :

v(x + h) = v(x) + v'(x)h + hj(h)

Remplaons v(x) - v(x + h) par -(v'(x)h + hj(h)) ; on obtient :

+ - ( ) ( )x h xh

= - ( ) ( )( ) ( )

v x h h hh v x v x h + j

+= - ( ) ( )

( ) ( )v x hv x v x h

+ j+

D'o : limh0

+ - ( ) ( )x h xh

= limh0

( ) ( )( ) ( )

v x hv x v x h

+ j+

= -( )2

( )( )

v xv x

Donc est drivable et '= - 2vv

d'o : 1

v

= - 2

vv

Relation uv

= 2

u v uvv

-

On crit uv

= u 1v

et on utilise la drive d'un produit (dj dmontre en exercice) et le rsultat ci-dessus.


7. tude de la fonction tangente

Voir ce DM spcifique : http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/DevoirsT_fichiers/DM4TS.pdf

8. Quelques ingalits

Dmontrer que pour tout x [0 ; p2

], on a :

2p

x sin x x et 1 - 2p

x cos x p2

- x

Notons I = [0 ; p2

].

On tudie les fonctions et g dfinies sur I par (x) = x - sin x et g(x) = sin x - 2p

x.

On a, pour x I : '(x) = 1 - cos x 0

g'(x) = cos x - 2p

g"(x) = -sin x 0

La fonction ' est positive sur I, donc est croissante sur I et comme (0) = 0, on en dduit que est

positive sur I, donc : sin x x pour tout x I

La fonction g" est ngative sur I, donc g' est dcroissante sur I.

Or : g'(0) = 1 - 2p

> 0 et g'2p

= - 2p

< 0

Comme g' est continue et strictement dcroissante sur I, d'aprs le thorme des valeurs intermdiaires, il

existe un unique rel a I tel que g'(a) = 0. Donc g' est positive sur [0 ; a] puis ngative sur [a ; p2

].

On en dduit que g est croissante sur [0 ; a] puis dcroissante sur [a ; p2

].

Mais g(0) = 0 et g2p

= 0. Donc g est positive sur I :

2p

x sin x pour tout x I

p2 -x

1 -2p

x2p

x

yx

Ox

cos x sin x

1 p2


On montre de mme que : 1 - 2p

x cos x p2

- x pour tout x I

Dmontrer que pour tout x [0 ; p2

[, on a : x tan x

Posons (x) = tan x - x pour x J = [0 ; p2

[.

On a : '(x) = tan2 x 0 pour tout x J

Donc est croissante sur J.

En outre, (0) = 0 donc est positive sur J d'o le rsultat.

Remarque : l'aide de l'encadrement sin x x tan x dmontr ci dessus pour x [0 ; p2

[, on dduit que :

1 xxsin 1

cos x pour tout x ]0 ; p

2[.

On montre (parit des fonctions en jeu) que l'encadrement est aussi valable pour x ]- p2

; 0[.

Le thorme des gendarmes permet alors de retrouver la limite importante : limx0

sin xx

= 1.

9. Complment : ingalits des accroissements finis (Hors programme)

9.1. Thorme Ingalit des accroissements finis


On suppose qu'il existe deux rels m et M tels que m ' M sur I(1).

Alors, pour tous rels a et b de I tels que a < b, on a :

m(b - a) (b) - (a) M(b - a)

Dmonstration :

On utilise une fonction auxiliaire g dfinie sur I par :

g(x) = (x) - Mx

La fonction g est drivable sur I et on a : g'(x) = '(x) - M

Or, ' M sur I, donc : g' 0 sur I

La fonction g est donc dcroissante sur I, ce qui signifie, puisque a < b, que l'on a :

g(a) g(b)

C'est--dire : (a) - Ma (b) - Mb

D'o l'on dduit finalement : (b) - (a) M(b - a)

On raisonne de mme avec la fonction h dfinie sur I par h(x) = (x) - mx pour dmontrer l'autre partie de

l'encadrement.

(1) Si I est un segment (intervalle ferm et born) cette condition est toujours ralise car une fonction continue sur un segment est borne.


Remarque : lorsque ' est continue sur I, on obtient aussi ce rsultat en intgrant l'ingalit m ' M entre

a et b (voir le cours sur le calcul intgral)

Exercice : dmontrer que si m < '< M sur I alors, pour tous a et b de I tels que a < b :

m(b - a) < (b) - (a) < M(b - a)

Remarque : les ingalits strictes persistent encore si m ' M avec galit en un nombre fini d'abscisses...

9.2. Thorme ingalit des accroissements finis (bis)


S'il existe un rel M tel que | ' | M sur I alors pour tous rels a et b de I, on a :

|(b) - (a)| M|b - a|

Dmonstration :

Il suffit de remarquer que la condition | ' | M s'crit encore -M ' M. On applique alors le thorme

9.1. :

si a < b alors -M(b - a) (b) - (a) M(b - a) c'est--dire |(b) - (a)| M(b - a)

si a > b alors -M(a - b) (b) - (a) M(a - b) c'est--dire |(b) - (a)| M(a - b)

Dans les deux cas, on a : |(b) - (a)| M|b - a|

Exemples :

Encadrements de nombres rels.

Montrer que : 212 2 1-

p 3

12.

On applique le thorme 9.1. la fonction dfinie sur ;6 4p p

par (x) = sin(x).

Dmontrer que pour tous rels x et y : |cos x - cos y| |x - y|

On applique l'ingalit des accroissements finis avec = cos.

9.3. Thorme

Soient et g deux fonctions drivables sur un intervalle I.

Si | ' | g' sur I alors pour tous rels a et b de I tels que a < b, on a :

|(b) - (a)| g(b) - g(a)

Dmonstration :

La condition | ' | g' sur I s'crit encore : -g' ' g' sur I

Soit h la fonction dfinie sur I par : h(x) = (x) - g(x)

La fonction h est drivable sur I (comme diffrence de deux fonctions qui le sont) et :

h'(x) = '(x) - g'(x) 0 pour tout x I

La fonction h est donc dcroissante sur I.

Pour tous rels a et b de I tels que a < b, on a donc :


h(b) h(a)

C'est--dire : (b) - (a) g(b) - g(a)

Soit k la fonction dfinie sur I par : k(x) = (x) + g(x)

La fonction k est drivable sur I (comme somme de deux fonctions qui le sont) et :

k'(x) = '(x) + g'(x) 0 pour tout x I

La fonction k est donc croissante sur I.

Pour tous rels a et b de I tels que a < b, on a donc :

k(a) k(b)

C'est--dire : (a) - (b) g(b) - g(a)

On en dduit bien que pour tous rels a et b de I tels que a < b, on a :

|(b) - (a)| g(b) - g(a)

L encore, on obtient le rsultat en intgrant l'ingalit -g' ' g' entre a et b.

Exercice (ncessite des connaissances sur la fonction logarithme nprien, on pourra consulter ce lien :

http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/ExpLn03.pdf)

Dmontrer que pour tout x ]0 ; +[ :

11x +

ln(x + 1) - ln x 1x

En dduire que la suite (Sn) dfinie pour n * par Sn = 1 + 12

+ 13

+ ... + 1n

diverge vers +.

(Cette suite (Sn) s'appelle la srie "harmonique".)

On considre la fonction dfinie sur ]0 ; +[ par (t) = ln t.

Soit x ]0 ; +[. Considrons l'intervalle I = [x ; x + 1]. La fonction est drivable sur I et '(t) = 1t

.

Pour tout t I = [x ; x + 1], on a : 11x +

1t

1x

(car la fonction inverse est dcroissante sur I ]0 ; +[)

C'est--dire : 11x +

' 1x

sur I

D'aprs l'ingalit des accroissements finis applique et en choisissant a = x et b = x + 1, nous obtenons :

11x +

ln(x + 1) - ln x 1x

En particulier, pour tout entier k 1, on a : 1x ln(k + 1) - ln k.

On en dduit que : Sn = 1

1 kk

n

= ln( ) lnk k

k

n

+ -=

11

= ln(n + 1).

Or, la suite (un) dfinie par un = ln (n + 1) est divergente vers +. On en dduit par comparaison que (Sn)

diverge galement vers +.

Voir le cours sur le calcul intgral (http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/CI04.pdf) pour une

mthode plus simple.

cours+sur+la+dérivabilité+.pdf

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