Chapitre I

Intégrales doubles&intégrales triplesI. Intégrales doubles.

1.1 Construction de l�intégrale double.Notre but est de construire l�intégrale double d�une fonction f (x; y) dé�nie sur un domaineborné D de R2:Rappelons l�une des dé�nitions de

bRa

f (x) dx pour une fonction f : [a; b]! R: Comme cette

intégrale mesure l�aire algébrique limitée par le graphe de la courbe y = f (x) ; l�axe desabscisses et les droites x = a et x = b; on a commencé par approcher cette aire par unesomme d�aires de rectangles in�nitésimaux, en d�autres termes, on a subdivisé le segment[a; b] de manière arbitraire

a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn�1 < xn = b (1.1)

de diamètre �x = sup (xi � xi�1)1�i�n

; puis on a formé les sommes dites de Riemann

nXi=1

(xi � xi�1) f (�i) (1.2)

où �i est un point quelconque de [xi; xi�1].Sous des hypothèses raisonnables, f continue par morceaux par exemple, on montre que lessommes dé�nies par (1:2) ; lorsque le diamètre �x tend vers zéro, tendent vers un nombre Iindépendamment du choix de la subdivision; on note alors ce nombre par

I =

bZa

f (x) dx

Notre but maintenant est détendre d�une façon naturelle cette construction à des fonctionsf(x; y) dé�nies sur une partie borné D de R2: On supposera qu�il existe toujours un rectangleR = [a; b]� [c; d] contenant D; i.e

D � R

On commence alors par subdiviser chacun des segments [a; b] et [c; d] par

a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn�1 < xn = b et

c = y0 < y1 < y2 < ::: < ym�1 < ym = d;

de sorte queD = [

i;jD \ [xi�1; xi]� [yj�1; yj]

Puis on forme les sommes

S =nXi=1

mXj=1

(xi � xi�1) (yj � yj�1) f��i;j�

1

où �i;j est un point quelconque de D \ [xi�1; xi]� [yj�1; yj] ; 1 � i � n; 1 � j � m:Sous des hypothèses convenables par exemple f (x; y) continue, on montre que ces sommeslorsque �x; �y tendent vers zéro, tendent vers un nombre indépendamment du choix de lasubdivison choisie et du point �i;j de D \ [xi�1; xi]� [yj�1; yj] ; 1 � i � n; 1 � j � m; qu�onnote par

I =

ZZD

f (x; y) dxdy:

Autrement dit

lim(�x;�y)!(0;0)

nXi=1

mXj=1

(xi � xi�1) (yj � yj�1) f��i;j�=

ZZD

f (x; y) dxdy

D est appelé domaine d�intégration1.2 Exemples

Exemple 1.1 Soit D = [a; b]� [c; d] et f (x; y) = 1: Alors

S =nXi=1

mXj=1

(xi � xi�1) (yj � yj�1) = (b� a) (d� c)

qui représente d�une façon évidente l�aire du rectangle D; ainsi donc

Aire (D) =RRD

dxdy(1.3)

Exemple 1.2 D = [a; b]� [c; d] et f (x; y) = h (x) k (y) :

où h : [a; b]! R et k : [c; d]! R sont deux fonctions continues quelconques. En posant

�i;j =��i; �j

�2 D \ [xi�1; xi]� [yj�1; yj]

On trouve

S =nXi=1

mXj=1

(xi � xi�1) (yj � yj�1)h (�i) k��j�

=

nXi=1

(xi � xi�1)h (�i)

mXj=1

(yj � yj�1) k��j�

qui converge versbZ

a

h (x) dx

dZc

k (y) dy; i.e

RRD

h (x) k (y) dxdy =bRa

h (x) dxdRc

k (y) dy(1.4)

2

1.3 Propriétés1- LinéaritéOn suppose que

RRD

f (x; y) dxdy etRRD

g (x; y) dxdy existent alors pour tout �; � 2 R; on aRRD

(�f (x; y) + �g(x; y))dxdy = �RRD

f (x; y) dxdy + �RRD

g (x; y) dxdy(1.5)

2-Conservation de l�ordre

Si f � g dans D alorsRRD

f (x; y) dxdy �RRD

g (x; y) dxdy(1.6)

3- AdditivitéSi D = D1 [D2 et Aire (D1 \D2) = 0; AlorsRR

D

f (x; y) dxdy =RRD1

f (x; y) dxdy +RRD2

f (x; y) dxdy(1.7)

4- Dans tous les cas ����RRD

f (x; y) dxdy

���� � RRD

jf (x; y)j dxdy(1.8)

1.4 Théorème de FUBINI

Théorème 1.1 Soit '1 et '2 deux fonctions continues sur [a; b] telles que

'1 (x) � '2 (x) ; 8x 2 [a; b]

et D le domaine dé�ni par

D =�(x; y) 2 R2=a � x � b; '1 (x) � y � '2 (x)

Pour toute fonction f dé�nie sur D et intégrable, on a

ZZD

f (x; y) dxdy =

bZa

(

'2(x)Z'1(x)

f (x; y) dy)dx (1.9)

Si de plus, il existe deux fonctions 1 et 2 continues sur [c; d] telles que

1 (y) � 2 (y) ; 8y 2 [c; d]

et D le domaine dé�ni par

D =�(x; y) 2 R2=c � y � d; 1 (x) � x � 2 (y)

Alors ZZ

D

f (x; y) dxdy =

dZc

(

2(y)Z 1(y)

f (x; y) dx)dy (1.10)

Preuve ( démonstration du théorème dans le cas du rectangle)

3

Soit D = [a; b]� [c; d] et z = f (x; y) une fonction continue, alors

bZa

(

dZc

f (x; y) dy)dx =

dZc

(

bZa

f (x; y) dx)dy (1.11)

Posons pour y 2 [c; d], g(y) =bRa

f (x; y) dx et pour x 2 [a; b] ; h (x) =dRc

f (x; y) dy:

Tout revient à montrer quedZc

g (y) dy =

bZa

h (x) dx

f étant continue sur [a; b]� [c; d] (et même uniformément continue)," > 0 donné, on trouve � > 0 tel que

8 (x; y) ; (x0; y0) 2 [a; b]� [c; d] : jx0 � xj < �; jy0 � yj < � ) jf (x; y)� f (x0; y0)j < "

considérons maintenant une subdivisiona = x0 < x1 < x2 < ::: < xn�1 < xn = b telle que jxi � xi�1j < �c = y0 < y1 < y2 < ::: < ym�1 < ym = d telle que jyj � yj�1j < �

1 � i � n; 1 � j � m

Ce qui permet alors d�a¢ rmer que, si

(x; y) ; (x0; y0) 2 [xi�1; xi]� [yj�1; yj] ; alors jf (x; y)� f (x0; y0)j < "

Soientmij = inf

xi�1�x�xiyj�1�y�yj

f(x; y) et Mij = supxi�1�x�xiyj�1�y�yj

f(x; y)

Il est évident que 0 < Mij �mij < " du fait que f (x; y) atteint ses bornes sur [xi�1; xi] �[yj�1; yj] pour 1 � i � n; 1 � j � m:On a

dZc

g (y) dy =

mXj=1

yjZyj�1

(

bZa

f (x; y) dx)dy =mXj=1

yjZyj�1

(nXi=1

xiZxi�1

f (x; y) dx)dy

D�autre part, comme mij � f (x; y) �Mij; on déduit que

mXj=1

yjZyj�1

(

nXi=1

xiZxi�1

mijdx)dy �dZc

g (y) dy �mXj=1

yjZyj�1

(nXi=1

xiZxi�1

Mijdx)dy

De même, on obtient

nXi=1

xiZxi�1

(

mXj=1

yjZyj�1

mijdy)dx �bZ

a

h (x) dx �nXi=1

xiZxi�1

(mXj=1

yjZyj�1

Mijdy)dx

4

Ce qui implique������dZc

g (y) dy �bZ

a

h (x) dx

������ �nXi=1

mXj=1

(Mij �mij)(xi � xi�1)(yj � yj�1) < "(b� a)(d� c)

et ceci quelque soit "; ainsi donc

dZc

g (y) dy =

bZa

h (x) dx; d�où le résultat�

Exemple 1.3

Soit D = [0; �]� [0; 1] et f (x; y) = x sin (xy) :f est continue sur D; donc

ZZD

x sin (xy) dxdy =

1Z0

(

�Z0

x sin (xy) dx)dy =

�Z0

(

1Z0

x sin (xy) dy)dx =

=

�Z0

(� cos (xy))y=1y=0dx = ��Z0

(cosx� 1) dx = � (sinx� x)�0 = �

Remarque 1.1

Si f n�est pas continue, le théorème de Fubini n�est plus valide. Par exemple:

Soit D = [0; 1]� [0; 2] et f (x; y) = x2 � y2

(x2 + y2)2:

f n�est pas bornée au voisinage de l�origine, en e¤et,

f (x; 0) =1

x2! +1 lorsque x! 0

Donc f n�est pas continue sur D:

1.5 Calcul d�intégrales doubles1.5.1 Calcul directSi D est une partie de R2 de la forme

D =�(x; y) 2 R2=a � x � b; '1(x) � y � '2 (y)

Ou

D =�(x; y) 2 R2=c � y � d; 1(y) � x � 2 (y)

Alors ZZ

D

f (x; y) dxdy =

bZa

0B@ '2(x)Z'1(x)

f (x; y) dy

1CA dx =

dZc

0B@ 2(y)Z 1(y)

f (x; y) dx

1CA dy:

5

Exemple 1.4 Soient

D =�(x; y) 2 R2=0 � x � 1; 0 � y � 1� x

et f (x; y) = xy

ZZD

f (x; y) dxdy =

1Z0

0@ 1�xZ0

xydy

1A dx =

1Z0

x

�y2

2

�y=1�xy=0

dx =

1Z0

x(1� x)2

2dx =

1

24:

Ou bienZZD

f (x; y) dxdy =

1Z0

0@ 1�yZ0

xydx

1A dy =

1Z0

y

�x2

2

�x=1�yx=0

dy =

1Z0

y(1� y)2

2dy =

1

24:

Le domaine D est représenté par la �gure (1.1).

1.5.2 Changemet de variables dans une intégrale double.Formule de changement de variables.

Pour toute fonction intégrable sur un domaine D de R2 et pour tout changement de variablex = x(u; v); y = y(u; v) tel que le Jacobien de cette transformation soit di¤érent de zéro. i.e.D (x; y)

D (u; v)6= 0; la formule de changement de variables nous donne:

RRD

f (x; y) dxdy =RRD0

f (x (u; v) ; y (u; v))

����D (x; y)D (u; v)

���� dudv(1.12)

où D0 est le nouveau domaine contenu dans le plan (O;�!u ;�!v ) et

D (x; y)

D (u; v)=

�������@x

@u

@x

@v@y

@u

@y

@v

�������Exemple 1.5

CalculerRRD

f (x; y) dxdy où f (x; y) = 1+xy etD = f(x; y) 2 R2=1 < x2 + y2 < 4g ; fig:(1:2)

6

En passant en coordonnées polaires: x = r cos �; y = r sin � et en utilisant la formule(1:12) ;on obtient

I =

ZZD

(1 + xy) dxdy =

ZZD0

�1 + r2 cos � sin �

�rdrd�

OùD0 =

�(r; �) 2 R2=1 < r < 2; 0 < � � 2�

On obtient,

I =

ZZD0

�1 + r2 cos � sin �

�rdrd� =

2Z1

0@ 2�Z0

(r + r3 cos � sin �)d�

1A dr

Sachant que

sin � cos � =sin 2�

2

Alors

I =

2Z1

(

2�Z0

rd�)dr +1

2

2Z1

(

2�Z0

r3 sin 2�d�)dr

=

�r2

2

�r=2r=1

[�]�=2��=0 +1

2

�r4

4

�r=2r=1

�� cos 2�2

��=2��=0

= 3�

1.6 Applications.1.6.1 Calcul du centre de gravité et du moment d�inertie.

Dé�nition 1.1

Le centre d�inertie d�une partie D de R2 de masse super�cielle � = � (x; y) : D ! R est pardé�nition le point G dé�ni par

�!OG =

RRD

� (x; y) :��!OMdxdyRR

D

� (x; y) dxdy

i.e. 8>><>>:xG =

1

m

RRD

x� (x; y) dxdy

yG =1

m

RRD

y� (x; y) dxdy(1.13)

xG et yG sont donc les coordonnées du centre de gravité du corps ayant une surface D et demasse super�cielle égale à � et m =

RRD

� (x; y) dxdy est la masse de D:

7

Exemple 1.5 Si �(x; y) = 1 et D = f(x; y) 2 R2=0 � x; x2 + y2 � R2g fig:(1:3)

Calculons les coordonnées du centre d�inertie ( ou centre de gravité ).En passant en coordonnées polaires et en utilisants les formules (1:12) et (1:13) ; on obtient8>>>>>>><>>>>>>>:

x =

RRD

xdxdyRRD

dxdy=

RRD0

r2 cos �drd�RRD0

rdrd�

y =

RRD

ydxdyRRD

dxdy=

RRD0

r2 sin �drd�RRD0

rdrd�

oùD0 =

n(r; �) 2 R2=0 < r < R;��

2< � <

�

2

oCalculons:

1.RRD0

r2 cos �drd� =RR0

r2dr

�2R

��2

cos �d� =

�r3

3

�R0

[sin �]�2

��2

=2

3R3:

2.RRD0

r2 sin �drd� =RR0

r2dr

�2R

��2

sin �d� =

�r3

3

�R0

[� cos �]�2

��2

= 0:

3. m =RRD0

rdrd� =RR0

rdr

�2R

��2

d� =

�r2

2

�R0

[�]�2

��2

=�R2

2:

Ce qui donne

(xG;yG) = (4R

3�; 0)

Dé�nition 1.2

Le moment d�inertie d�une partie D de R2 de masse super�cielle � = � (x; y) par rapport àun point A est par dé�nition la quantité dé�nie par:

IA =

ZZD

�(MA)2dxdy =

ZZD

� (x; y)�(x� xA)

2 + (y � yA)2� dxdy

= m

RRD

� (x; y)�(x� xA)

2 + (y � yA)2� dxdyRR

D

� (x; y) dxdy

8

Où

m =

ZZD

� (x; y) dxdy

la masse de D:

Remarque 1.2

Lorsque le domaine est homogène � � 1; on trouve

IA = m

RRD

(MA)2dxdy

Aire (D)= m

RRD

�(x� xA)

2 + (y � yA)2� dxdyRR

D

dxdy

Exemple 1.6 Trouver le moment d�inertie d�un disque par rapport à son centre.

On a

IO = m

RRD

(x2 + y2)dxdy

Aire(disque)

où D = f(x; y) 2 R2= x2 + y2 � R2g, ainsi donc,

IO =

RZ0

r3dr

2�Z0

d� =�R4

2

II. Intégrales triples.

2.1 Construction de l�intégrale triple.L�intégrale triple d�une fonction bornée F : ! R se construit de la même manière quel�intégrale simple et l�intégrale double.Soit un ouvert borné de R3; on supposera qu�il existe un parallélépipède P = ]a; b[� ]c; d[�]e; f [ tel que � P:On commence ensuite à subdiviser chacun des intervalles ]a; b[ ; ]c; d[ et ]e; f [ comme suit:

a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn < b

c = y0 < y1 < y2 < ::: < ym < d

e = z0 < z1 < z2 < ::: < zl < f

de sorte que = [i;j;k \ [xi�1; xi]� [yj�1; yj]� [zk�1; zk] et formons la somme

S =nXi=1

mXj=1

lXk=1

(xi � xi�1) (yj � yj�1) (zk � zk�1) f��i;j;k

�:

On montre alors que si �x; �y; et �z sont assez petits et que si F est continue sur lessommes S ci dessus convergent vers un nombre réel �ni indépendamment du choix de la

9

subdivision et du point arbitraire �i;j;k:On pose alors ce nombre

I =

ZZZ

F (x; y; z) dxdydz:

2.2 Calcul d�intégrales triples.2.2.1 Calcul directLe calcul de l�intégtrale triple se ramène à celui de l�intégrale double de la manière suivante:Appelons � la projection de sur le plan XOY

� =�(x; y) 2 R2= (x; y; z) 2

On écrit alors sous la forme suivante

=�(x; y; z) 2 R3= (x; y) 2 � et '1 (x; y) � z � '2 (x; y)

On a alors ZZZ

f (x; y; z) dxdydz =

ZZ�

0B@ '2(x;y)Z'1(x;y)

f (x; y; z) dz

1CA dxdy

Exemple 1.7

CalculerRRR

2xzdxdydz; sachant que

=�(x; y; z) 2 R3=x > 0; y > 0; z > 0 et x+ y + z < 1

Ici, on a

� =�(x; y) 2 R2=x > 0; y > 0 et x+ y < 1

permettant ainsi d�écrire sous la forme

=�(x; y; z) 2 R3=(x; y) 2 � et 0 < z < 1� x� y

10

D�oùZZZ

2xzdxdydz =

ZZ�

0@ 1�x�yZ0

2xzdz

1A dxdy

=

ZZ�

2x

�z2

2

�z=1�x�y0

dxdy

=

1Z0

0@ 1�xZ0

x (1� x� y)2 dy

1A dx

=

1Z0

0@ 1�xZ0

x+ x3 + xy2 � 2x2 � 2xy + 2x2ydy

1A dx

=

1Z0

(�(x+ x3 � 2x2)y

�y=1�xy=0

+ x[y3]

y=1�xy=0

3+ (x2 � x)

�y2�y=1�xy=0

dx

=

1Z0

1

3

�x� x4

�+�x3 � x2

�dx =

1

60

Exemple 1.9 Supposons que F (x; y) est une fonction positive et intégrable sur un ouvertborné � de R2.Si

=�(x; y; z) 2 R3=(x; y) 2 �; et 0 � z � F (x; y)

Alors ZZ

�

F (x; y) dxdy =

ZZZ

dxdydz = vol ()

Ainsi doncvol () =

RRR

dxdydz(1.14)

2.2.2 Changemet de variables dans une intégrale triple.Dans un changement de variables

x = x (u; v; w) ; y = y (u; v; w) et z = z (u; v; w)

on substitue à dxdydz la quantité ����D (x; y; z)D (u; v; w)

���� dudvdwoù le Jacobien

D (x; y; z)

D (u; v; w)=

����������

@x

@u

@x

@v

@x

@w@y

@u

@y

@v

@y

@w@z

@u

@z

@v

@z

@w

����������11

est supposé non nul sur 0 dont le transformé est ; i.e

RRR

f (x; y; z) dxdydz =RRR0

f (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w))

����D (x; y; z)D (u; v; w)

���� dudvdw(1.15)

2.3 Applications.2.3.1 Coordonnées cylindriques.8<:x = x (r; �; z) = r cos �;y = y (r; �; z) = r sin �;z = z (r; �; z) = z

fig(1:4) avecD (x; y; z)

D (r; �; z)= r:

2.3.2 Coordonnées sphériques.8<:x = x (r; �; ') = r cos � sin';y = y (r; �; ') = r sin � sin';z = z (r; �; z) = r cos'

fig(1:5)

avecD (x; y; z)

D (r; �; ')= r2 sin':

Remarque 1.3

La variation de r, �, ' et z se fait suivant les données de l�exercice, comme on le verra dansles exemples suivants:2.4 Exemples.

Exemple 1.10 Soit = f(x; y; z) 2 R3=1 < x2 + y2 + z2 < 4g : CalculerZZZ

1px2 + y2 + z2

dxdydz

Remarquons dabord que la fonction

f (x; y; z) =1p

x2 + y2 + z2

12

est bien dé�nie sur et est borneé.En passant en coordonnées sphériques8<:

x = x (r; �; ') = r cos � sin';y = y (r; �; ') = r sin � sin';z = z (r; �; z) = r cos'

Avec

D (x; y; z)

D (r; �; ')= r2 sin': et 0 =

�(r; �; ') 2 R3=1 < r < 2; 0 < � < 2� et 0 < ' < �

:

Ainsi donc ZZZ

1px2 + y2 + z2

dxdydz =

ZZZ0

1

rr2 sin'drd�d' =

2�Z0

2Z1

�Z0

r sin'd'drd� = 6�:

Exemple 1.11 Calculer le volume d�un cylindre de longueur h:Ici, on a

=�(x; y; z) 2 R3=x2 + y2 < R2 et 0 < z < h

Tout revient à calculer ZZZ

dxdydz

En passant en coordonnées cylindriques8<:x = r cos �;y = r sin �;z = h

Avec

D (x; y; z)

D (r; �; z)= r et 0 =

�(r; �; z) 2 R3=0 < r < R; 0 < � < 2� et 0 < z < h

D�où ZZZ

dxdydz =

ZZZ0

rdrd�dz =

2�Z0

RZ0

hZ0

rdzdrd� = �hR2:

13

Chapitre IISéries Numériques�

La série constitue une généralisation de la notion de somme pour une succession in�niede termes. L�étude des séries consiste à évaluer la somme d�un nombre �ni n de termessuccessifs, puis, par un calcul de limite, à identi�er le comportement de la série lorsque ndevient indé�niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer lanature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on vale voir par la suite.

2-1 Généralités sur les séries numériques.Soit fUngn2N = fU0; U1; U2; :::; Un; :::g une suite in�nie de nombres réels

Dé�nition 2.1

L�expression de la forme

U0 + U1 + :::+ Un + ::: =1Pn=0

Un(2.1)

est appelée série numérique. Les nombres U0; U1; :::; Un; ::: sont appelés termes de la série.La série numérique (2.1) est dite aussi série de terme générale Un; série Un; ou série U:

Dé�nition 2.2

La somme �nie

Sn = U0 + U1 + :::+ Un =nPk=0

Uk (2.2)

est appelée somme partielle de rang n de la série (2.1).

Dé�nition 2.3

On dit que la série de terme général (Un) converge si et seulement si la suite (Sn) converge.Dans ce cas on appelle somme de la série sa limite que l�on note

S = limn!1

Sn =1Pn=0

Un (2.3)

On dit que la série de terme général (Un) diverge si la suite (Sn) diverge ( limn!1

Sn = 1 ou

n�existe pas).

14

Exemple2.1

� Soit Un =1

n(n+ 1); Sachant que

1

n(n+ 1)=1

n� 1

n+ 1on a

Sn =

nXk=1

(1

k� 1

k + 1) = 1� 1

n+ 1

D�oùlimn!1

Sn = 1) la série est convergente.

� Soit Vn =1p

n+ 1 +pn: En notant que

Vn =pn+ 1�

pn;

On montre que

Sn =

nXk=1

(pk + 1�

pk) = (

p2�

p1) +

p3�

p2) + :::

:::+pn+ 1�

pn)

= �1 +pn+ 1!1 quand n!1

) La série est divergente.

� Soit Wn = qn )Sn = 1 + q + q2 + :::+ qn =

1� qn+1

1� q; q 6= 1 (2.4)

Soit jqj < 1, alors limn!1

Sn = limn!1

1� qn+1

1� q=

1

1� q

Donc la série1Pn=0

qnconverge.

Soit jqj > 1, alors limn!1

Sn = limn!1

1� qn+1

1� q=1

Donc la série1Pn=0

qndiverge.

Soit q = 1, alors Sn = n+ 1; d�où limn!1

Sn = limn!1

n+ 1 =1

Donc la série1Pn=0

qndiverge.

Et en�n, Soit q = �1, alors Sn =�

1; n pair0; n impair

) la série1Pn=0

qn est non convergente.

Conclusion: La série de terme généralWn = qn est dite série géométrique, elle converge pourjqj < 1 et diverge pour jqj � 1. Autrement dit, la série de terme général Wn = qn convergesi et seulement si jqj < 1:

15

Dé�nition 2.4

La série obtenue à partir de la série (2:1) après avoir supprimé les (n+ 1) premiers termesou le n termes est dite reste d�ordre n de la série (2:1).

Rn = Un+1 + Un+2 + ::: =1P

k=n+1

Uk (2.5)

2-2 Conditon nécessaire de convergence.

Proposition 2.1

SiPn�n0

Un est une série numérique convergente, alors

limn!1

Un = 0:

Preuve: Il su¢ t de remarquer que, pour n � n0 + 1

Un = Sn � Sn�1

La sériePn�n0

Un converge, on a limn!1

Sn = limn!1

Sn�1 = S;

D�oùlimn!1

Un = S � S = 0�

Remarque 2.1

On utilise le plus souvent cette proposition pour véri�er la non convergence d�une série; unetelle série est dite grossièrement divergente.

Exemples 2.2

� Soit Un = 1; pour tout n � 1. On voit bien que limn!1

Un = 1 6= 0 ) La série de terme

général égal à 1 est grossièrement divergente.

Comme on peut le montrer en utilisant la dé�nition (2.3); en e¤et, limn!1

Sn = limn!1

n =1:

� Soit Vn =n

2n� 1 ; n � 1: Vn !1

2quand n ! 1:

1

26= 0 )

Pn�1

Vn est grossièrement

divergente.

� Wn = (�1)n; n � 0: Wn 9 0)Pn�1

Wn est grossièrement divergente.

16

Remarque 2.2

La propositon (2.1) n�admet pas de réciproque càd la condition nécessaire de convergencen�est pas su¢ sante; en e¤et, soit

Un = ln(1 +1

n); n � 1 et lim

n!1Un = lim

n!1ln(1 +

1

n) = 0

d�autre part,

Un = ln(1 +1

n) = ln(

n+ 1

n) = ln(n+ 1)� ln(n);

D�où

Sn = (ln 2� ln 1) + (ln 3� ln 2) + :::+ (ln(n+ 1)� ln(n)) = ln(n+ 1)limn!1

Sn = limn!1

ln(n+ 1) =1;

Donc la sériePn�1

ln(1 +1

n) est divergente bien que son terme général tend vers zéro lorsque

n!1:

2-3 Propriétés des séries numériques.

Proposition 2.2

Etant données deux séries convergentesPn

Un etPn

Vn de sommes respectives U et V; et un

scalaire �; on a

a) La sériePn

(Un + Vn) est convergente et de somme U + V:

b) La sériePn

(�Un) est convergente et de somme �U:

Preuve: Soient Sn =nPk=0

Uk et fSn = nPk=0

Vk; alors

�n =

nXk=0

(Uk + Vn) = Sn +fSnD�où

limn!1

�n = limn!1

Sn + limn!1

fSn = U + V

Et f�n = nXk=0

�Un = �

nXk=0

Un = �Sn

D�oùlimn!1

f�n = limn!1

�Sn = �U�

17

Corollaire 2.1

L�ensemble des séries numériques convergentes, muni de ces deux lois,est un espace vectorielsur R; l�élément neutre pour l�addition étant la série

Pn

Un où Un = 0;pour tout n:

Proposition 2.3

Le reste d�une sériePn

Un est de même nature que la série. Autrement dit, le reste d�une

série et la série elle même convergent ou divergent à la fois.La preuve est à faire en exercice.

2-4 Séries à termes positifs.2.4.1 Critères de convergence.Soit

Pn

Un une série numérique dont les termes sont positifs ou nuls.

Théorème 2.1

Pour que la sériePn

Un à termes positifs converge il faut et il su¢ t qu�il existe un nombre

postif A tel que 8n 2 N Sn � A:Preuve: La suite des sommes partielles Sn est croissante

Sn+1 = Sn + Un+1 � Sn

Donc, pour que la suite (Sn)n2N converge il faut et il su¢ t qu�elle soit majorée; autrementdit, il existe un nombre positif A tel que

8n 2 N Sn � A�

2.4.2 Critères de comparaison.(2ième séance)Soient données deux séries à termes positifs

Pn

Un etPn

Vn telles que

8n; Un � Vn

Théorème 2.2

� Si la sériePn

Vn converge alors la sériePn

Un converge aussi.

� Si la sériePn

Un diverge alors la sériePn

Vn diverge aussi.

Preuve: Soit Sn =nPk=0

Uk et eSn = nPk=0

Vk; alors Sn � eSn pour tout n:Par passage à la limite, on a:

limn!1

Sn � limn!1

eSn18

� SiPn

Vn est convergente , limn!1

eSn = eS existe. La suite (Sn) est donc majorée par eS; lasérie

Pn

Un converge d�après le théorème (2.1):

� SiPn

Un diverge, limn!1

Sn =1; sachant que (Sn) est positive croissante, donc limn!1

eSn =1,

Pn

Vn diverge�

Exemple 2.3

Montrer, en utilisant le critère de comparaion que la sérieXn�1

1

n2n

est convergente.

Sachant que 8n 2 N�; n2n > 2n ) 1

n2n<

1

2n; or

Pn�1(1

2)n est une série géometrique de

raison q =1

2< 1, est donc convergente. D�où d�après le théorème (2.2) la série

Pn�1

1

n2nest

convergente.

Remarque 2.3

Le théorème (2.2) reste valable si l�inégalité Un � Vn est vraie à partir d�un n0 quelconque.( La démonstration se déduit directement de la proposition (2.3))

Théorème 2.3 S�il existe limn!1

UnVn= k; 0 < k <1, alors les séries

Pn

Un etPn

Vn sont de

même nature.

Preuve:

limn!1

UnVn= k , 8" > 09n0 2 N : 8n � n0;

����UnVn � k

���� < ",

8" > 09n0 2 N : 8n � n0; k � " <UnVn

< k + "

où8" > 09n0 2 N : 8n � n0; (k � ")Vn < Un < (k + ")Vn

Supposons quePn

Vn converge alors, la sériePn

(k+")Vn converge également et donc en vertu

du théorème (2.2)Pn

Un converge aussi de même siPn

Vn diverge alorsPn

(k � ")Vn diverge

également et en vertu du théorème (2.2)Pn

Un diverge aussi.�

Conséquence 2.1 ( Règle d�équivalence).

Si Un � Vn lorsque n!1; alors les sériesPn

Un etPn

Vn sont de même nature.

19

Exemple 2.4

Etudier la convergence de la série de terme général

Un =2n + 3

5n + 1;

on a Un > 0: posons Vn = (2

5)n; alors Un = (

2

5)n1 +

3

2n

1 +1

5n

' Vn au voisinage de 1 ( limn!1

UnVn=

1): Puisque la sériePn

Vn converge ( série géométrique de raison inférieure à un), la sériePn

Un

converge aussi.2.4.3 Critère de Cauchy.Soit

Pn

Un une série à termes positifs.

Théorème 2.4

S�il existelimn!1

npUn = �;

alors la série converge pour � < 1 et diverge pour � > 1:Preuve.

lim npUn

n!1= �, 8" > 0;9n0 2 N =8n � n0 �� " < n

pUn < �+ " (2.6)

1. Soit 0 < � < 1, on peut choisir " de façon que �+ " < 1; puis on pose �+ " = q;un tel " existe toujours. Soit par exemple

" =1� �

2> 0

D�où

q = �+ " =1 + �

2< 1

La série1Xn=0

(�+ ")n =

1Xn=0

qn

converge en tant que série géométrique de raison <1. Donc en vertu de l�inégalité (2.6)et du théorème (2.2) ( Un < qn); on déduit que la série

Pn

Un converge.

2. Soit � > 1, alors à partir d�un certain rang N; on a

npUn � 1, Un � 1) lim

n!1Un 6= 0

et donc la série diverge (proposition (2.1)).

Exemples 2.5 Etudier la nature des séries suivantes:

20

a)1Pn=1

Un =1Pn=1

(n

2n+ 1)n : Un = (

n

2n+ 1)n ) n

pUn =

n

2n+ 1! 1

2n!1

= � < 1

) la sériePn

Un converge.

b)1Pn=1

Vn =1Pn=1

(3n+ 1

2n)n : lim

n!1npVn = lim

n!1

3n+ 1

2n=3

2> 1) la série

Pn

Vn diverge.

2.4.4 Critère de D�Alembert.

Théorème 2.5

SoitPn

Un une série à termes positifs telle que

limn!1

Un+1Un

= �

existe, alors si

� < 1; la sérieXn

Un converge,

� > 1; la sérieXn

Un diverge

Preuve: limn!1

Un+1Un

= �, 8" > 0;9n0 2 N= 8n � n0 �� " <Un+1Un

< �+ ":

1. Si � < 1, posons " =1� �

2> 0 et q = �+ " =

1 + �

2< 1; alors

Un+1Un

< q < 1:

Soit n = n0; n0 + 1; n0 + 2; ..., m ( m � n0); on a

Un0+1Un0

:Un0+2Un0+1

:Un0+3Un0+2

:::UmUm�1

=UmUn0

< qm�n0

d�où

Um <Un0qn0

:qm;8m � n0

Les termes de la sériePn

Un sont majorés par les termes de la série géométrique con-

vergentePn

qn; multipliés par la constanteUn0qn0

: La sériePn

Un est donc convergente.

2. Soit � > 1, posons " =�� 1�

> 0 et q = �� " =�2 � �+ 1

�> 1: En e¤et,(raisonnons

par l�absurde) soit � > 1 et q < 1

q =�2 � �+ 1

�< 1) �2 � �+ 1 < �) �2 � 2�+ 1 < 0) (�� 1)2 < 0

absurde, donc

q = �� " > 1 pour � > 1 et " =�� 1�

Ainsi 0 < " < 1 et q > 1 pour " =�� 1�

:

21

alors 1 < q <Un+1Un

; d�où

Un+1 > Un

la suite ( Un)n est positive et stritement croissante, elle ne peut tendre vers zéro. De laproposition (2.1) on déduit que la série

Pn

Un est divergente.

Exemple 2.6 En utilisant le critère de D�Alembert montrer que les séries suivantes sontconvergentes.

1)1Pn=1

en

n!2)

1Pn=1

2n� 1p2n

Solution:

1.Un+1Un

=en+1

(n+ 1)!

n!

en=

e

n+ 1! 0 < 1 quand n!1)

1Pn=1

en

n!converge.

2.Un+1Un

=2n+ 1p2n+1

:

p2n

2n� 1 =2n+ 1

2n� 1 :1p2! 1p

2< 1 quand n!1: )

la série1Pn=1

2n� 1p2n

converge.

Remarque 2.4 Si � = 1, le critère de Cauchy et de D�Alembert ne permettent pas deconclure.

2.4.5 Critère intégral de Cauchy.

Théorème 2.6

Soit f une fonction dé�nie, continue pour pour x � 1; positive et décroissante. On pose

Un = f(n);

alors la sériePn

Un et l�intégrale1R1

f(x)dx sont de même nature.

Preuve:Soit x 2 [k; k + 1] ; k entier positif, alors

Uk+1 = f(k + 1) � f(x) � f(k) = Uk )k+1Zk

Uk+1dx �k+1Zk

f(x)dx �k+1Zk

Ukdx

d�où

Uk+1 �k+1Zk

f(x)dx � Uk (2.7)

22

et pour k = 1; 2; 3; :::; n� 1; on a

n�1Xk=1

Uk+1 �n�1Xk=1

k+1Zk

f(x)dx �n�1Xk=1

Uk

autrement dit

Sn � U1 �nZ1

f(x)dx � Sn�1 (2.8)

où Sn est la somme partielle d�ordre n de la sériePn

Un

� Si ( Sn) est convergente vers une limite S; on voit que1Z1

f(x)dx � S

et l�intégrale est convergente.

� Si1R1

f(x)dx = A <1; on voit que limn!1

(Sn � U1) � A; d�où (Sn) est convergente.

Pour montrer que la sériePn

Un et l�intégrale1R1

f(x)dx divergent à la fois, on utilise les

propriétés de la limite.

1Z1

f(x)dxd�ef:= lim

n!+1

nZ1

f(x)dx

Si cette limite existe, on dit que l�intégrale converge; sinon, on dit qu�elle est divergente.(voir Chapitre VI).

Exemple 2.7

a) Etudions la nature de la série de Riemann suivant les valeurs de � (� 2 R) :Xn�1

1

n�

Utilisons le critère intégral. Soit f (x) =1

x�; f est dé�nie, continue, positive et décroissante

sur [1;+1] ; elle véri�e donc les conditions du théorème (2:6).Soit

Un = f (n)

23

Calculons l�intégrale1R1

f (x) dx

I =

1Z1

f (x) dx = limn!1

nZ1

1

x�dx = lim

n!1

1

1� �(1

n��1� 1);� 6= 1

I =

( 1

�� 1 ; � > 11; � < 1

et pour � = 1; on a1Z1

f (x) dx = limn!1

nZ1

1

xdx = lim lnn =1

n!1

Conclusion:

La série de RiemannPn�1

1

n�converge pour � > 1diverge pour � � 1 et

Conséquence 2.2 Soit an = Sn �nR1

f(x)dx; alors la suite (an) est convergente.

Preuve: d�après (2:8)nZ1

f(x)dx � Sn�1 � Sn;

On a

an = Sn �nZ1

f(x)dx � 0

D�autre part,

an � an+1 = Sn �nZ1

f(x)dx� Sn+1 +

n+1Z1

f(x)dx =

�Un+1 +n+1Zn

f(x)dx � 0 d�après (2.7)

La suite (an) étant donc positive décroissante, elle converge vers une limite � 0:

Remarque 2.6 Pour � = 1; la série1Pn=1

1

nest dite série hamonique et intervient souvent

dans l�application des critères de comparaison, ainsi que la série de Riemann en général.

24

Exemple 2.8

1) Un =3n+ 2

n2 + n� 1 �3n

n2=3

n

d�ef:= Vn( au voisinage de 1)

La série1Pn=1

Vn est la série harmonique multipliée par 3 (31Pn=1

1

n) qui est divergente Donc la

série donnée est divergente.

2) Un = 1� cos1

n;

Pour n su¢ samment grand cos1

n� 1� 1

2n2; d�où

Un �1

2n2

La série de Riemann1Pn=1

1

n2converge, donc

1Pn=1

(1� cos 1n) converge aussi.

Remarque 2.7

Appliquons la conséquence (2.2) à la série harmonique.La suite de terme général

an =nXk=1

1

k�

nZ1

1

xdx = 1 +

1

2+ :::+

1

n� lnn

converge vers une limite c � 0: On appelle cette limite, la constante d�Euler

c = limn!1

an = 0; 577 215 664:::

qu�on note parfois ( = ��(n) où �(n) est la fonction vectorielle).

2-5 Séries à termes quelconques.2.5.1 Séries alternées.

Dé�nition 2.5

On appelle série alternée une série de la forme

U1 � U2 + U3 � ::: =

1Xn=1

(�1)n�1Un

Où les nombres U1; U2; :::; Un sont positifs.

Théorème 2.7 (théorème de Leibnitz)

25

Si la suite (Un)n est décroissante et tend vers zéro lorsque n ! 1; alors la série alternée1Pn=1

(�1)n+1Un est convergente. En d�autres termes, si

(�)U1 � U2 � ::: � Un � Un+1 � :::;

(��) limn!1

Un = 0

Alors1Xn=1

(�1)n+1Un converge.

Preuve.Soit (Sn) le somme partielle d�ordre n de cette série, alors

S2n+1 = S2n�1 � U2n + U2n+1 = S2n�1 � (U2n � U2n+1) � S2n�1 car U2n � U2n+1

S2n = S2n�2 + U2n�1 � U2n � S2n�2; car U2n�1 � U2n

S2n+1 � S2n = U2n+1 ! 0n!1

d�après la condition((��)

Donc la suite (S2n)n est une suite croissante, (S2n+1)n est suite décroissante et S2n+1�S2n ! 0n!1

, on conclut que ces suites sont adjacentes et convergent donc vers la même limite S; véri�ant

S2n � S � S2n+1; pour tout n

La suite (Sn)n est convergente et on voit que les sommes partielles fournissent des valeursapprochées de S alternativement par excés et par défaut.

Exemple 2.9 Montrer que la série1Pn=1

(�1)n+1 1nest convergente.

a) 8n 2 N�, n+ 1 > n > 0) 1

n+ 1<1

n) (Un)n &

b) limn!1

1

n= 0

D�où la convergence de la série.

2.5.2 Séries absolument convergentes.

Soit1Pn=1

Un une série à termes quelconques.

Dé�nition 2.6

Une série1Pn=1

Un est dite absolument convergente si la série1Pn=1

jUnj est convergente.

Théorème 2.9

26

Si la série1Pn=1

jUnj converge alors la série1Pn=1

Un converge aussi.

preuve. Posons

Vn =1

2(jUnj+ Un)

Wn =1

2(jUnj � Un)

On a

8n 2 N; 0 � Vn � jUnj8n 2 N; 0 � Wn � jUnj

Alors les séries1Pn=1

Vn et1Pn=1

Wn convergent en vertu du théorème(2.2).et du fait que la

série1Pn=1

jUnj est convergente. Par ailleurs, on a

Un = Vn �Wn;

Ainsi donc, la série1Pn=1

Un est la di¤érence de deux séries convergentes1Pn=1

Vn et1Pn=1

Wn; elle

est convergente et1Xn=1

Un =1Xn=1

Vn �1Xn=1

Wn

Remarque 2.8

Ce théorème permet de ramener l�étude des séries à termes de signe quelconque aux sériesà termes positifs. Ainsi donc, pour montrer la convergence absolue d�une série à termesquelconques, on applique tous les critères de convergence des séries à termes positifs.

Exemple 2.11

Etudier la convergence de la série1Pn=1

sin(n�)

n2����sin(n�)n2

���� � 1

n2; sachant que

1Pn=1

1

n2est convergente th:2)

1Pn=1

����sin(n�)n2

���� est convergente) La

série donnée est absolument convergente.

Exemple 2.12

27

Donner la nature de la série1Pn=1

(�1)n(n�1)( n

2n� 1)n:

C�est une série à termes de signe quelconque. Soit

Vn = jUnj =����(�1)n(n�1)( n

2n� 1)n

���� = ( n

2n� 1)n;

Alors1Pn=1

Vn est une série à termes positifs. Appliquons le critère de Cauchy:

limn!1

npVn = lim

n!1

n

2n� 1 =1

2< 1)

1Xn=1

Vn )

1Xn=1

Un est absolument convergente.

2.5.3 Séries semi- convergentes.

Dé�nition 2.7

Soit1Pn=1

Un une série à termes de signe quelconque.

Si1Pn=1

Un converge et1Pn=1

jUnj diverge , la série1Pn=1

Un est dite semi-convergente.

Exemple 2.13

Etudier la convergence de la série de terme général égal à

Un =(�1)n+1

(n+ 3) ln(n+ 3)

Examinons la convergence de la série1Pn=1

jUnj =1Pn=1

1

(n+ 3) ln(n+ 3): Cette série diverge.

(Appliquer le critère intégral de Cauchy, à faire en exercice).D�autre part, en appliquant le théorème de Leibnitz,

(1

(n+ 3) ln(n+ 3)) & et

1

(n+ 3) ln(n+ 3)! 0n!1

)1Xn=1

(�1)n+1(n+ 3) ln(n+ 3)

est semi-convergente.

Exemple 2.14 Montrons que la série1Pn=1

(�1)n+1(2n+ 1)n(n+ 1)

est semi-convergente.

28

En e¤et, cette série véri�e les hypothèses du théorème de Leibnitz, elle est donc convergente.D�autre part,

jUnj =����(�1)n+1(2n+ 1)n(n+ 1)

���� = 2n+ 1

n(n+ 1)� 2

n+ 1� 2

npour n assez grand,

Donc1Xn=1

jUnj diverge.

29

Remarque 2.9

On peut montrer que les séries absolument convergentes possèdent toutes les propriétésdes sommes �nies. Par contre, les séries semi-convergents ne possèdent pas forcément lespropriétés des sommes �nies; la somme d�une série semi-convergente dépend de l�ordre deses termes.

Remarque 2.10

On a vu que la divergence de la série1Pn=1

jUnj n�entraine pas celle de la série1Pn=1

Un; mais si

limn!1

npjUnj > 1 ou lim

n!1

����Un+1Un

���� > 1On peut a¢ rmer que la série

1Pn=1

Un diverge.

En e¤et, si

limn!1

npjUnj > 1 ou si n

pjUnj tend vers 1 par valeurs supérieures

9n0 2 N tel que 8n > n0;npjUnj � 1) jUnj � 1) Un 9 0

n!1)

1Xn=1

Un diverge.

De même, si

limn!1

����Un+1Un

���� > 1 ou si

����Un+1Un

���� > 1 tend vers 1 par valeurs supérieures9n1 2 N tel que 8n > n1;

����Un+1Un

���� > 1) jUn+1j > jUnj et doncUn 9 0n!1

)1Xn=1

Un diverge.

Exemple 2.15

Etudier la nature de la série1Xn=1

(�1)n+1ann!nn

Où a est une constante positive.

limn!1

����Un+1Un

���� = limn!1

an+1(n+ 1)!nn

(n+ 1)n+1ann!= lim

n!1a(

n

n+ 1)n = lim

n!1

a

(1 +1

n)n=a

e;donc

Si a < e; la série est absolument convergente,

30

Si a > e; la série est divergente; et

Si a = e; on a limn!1

����Un+1Un

���� = 1; mais pour tout n �xé, (1 +1

n)n < e; d�où

����Un+1Un

���� =e

(1 +1

n)n> 1; la série est donc divergente.

2.5.4 Critère d�Abel ou Première Règle d�Abel pour les séries.Théoriquement un peu plus générale que le théorème des séries alternées, le théorème d�Abel

est utilisé surtout pour les séries dont le terme général est de la formecosnx

n�;sinnx

n�;

(n � 1; 0 < � � 1; x 2 R) ; et en conséquence pour les séries à termes complexes einx

n�;

(n � 1; 0 < � � 1; x 2 R) :

Théorème 2.8 ( Premier critère d�Abel).

Soit ("n) une suite de réels positifs, décroissante et convergente vers 0:Soit (an) une suite telle que

9M > 0;8n 2 N;�����nXk=0

ak

����� �M

Majoration des sommes partielles:

Alors la sériePn

an"n est convergente.

31

Preuve

Posons An =nPk=0

ak; et Sn =nPk=0

"kak

ainsi A0 = a0 et 8n 2 N�; ak = Ak � Ak�1 et Sn = "0a0 +nPk=1

"k (Ak � Ak�1)

Montrons que la suite (Sn)n est convergente:

Sn = "0a0 +

nXk=1

"k (Ak � Ak�1) = "0a0 +

nXk=1

"kAk �nXk=1

"kAk�1 =

= "nAn +n�1Xk=0

"kAk �n�1Xk=0

"k+1Ak = "nAn +n�1Xk=0

("k � "k+1)Ak =

Sn = "nAn +n�1Xk=0

("k � "k+1)Ak (2.9)

La formule (2:9) est souvent appelée "Transformation d�Abel". On notera l�analogie avecune intégration par parties.La suite (Sn)n est une suite convergente. En e¤et, (An)n est une suite bornée et "n ! 0;

n!1

donc, An"n ! 0n!1

; d�autre part,n�1Pk=0

j"k � "k+1j jAkj � M("0 � "n) � M"0; ce qui permet de

conclure que la série de terme général ("k � "k+1)Ak est absolument convergente, donc con-vergente et par suite on en déduit la convergence de la suite (Sn)n c�est à dire la convergencede la série

Pn

an"n:�

Exemple 2.10

En prenant an = (�1)n ; on retrouve le théorème des séries altérnées.

32

Chapitre IIISuites et Séries de fonctions

3.1 Suites de fonctions.

3.1.1 Convergence simple et uniforme des suites de fonctions

Dé�nition 3.1 ( Convergence simple. )

Soit I un intervalle de R et (fn)n une suite de fonctions dé�nies dans I:On dit que la suite (fn) converge simplement (en abrégé CVS) vers f si pour tout x 2 I;on a

limn!1

fn (x) = f (x)

Autrement dit

8" > 0;8x 2 I; 9n0(x; ") 2 N tel que: n � n0 ) jfn (x)� f (x)j < ": (3.1)

Dé�nition 3.2 ( Convergence uniforme. )

Soit I un intervalle de R et (fn)n une suite de fonctions dé�nies dans I:On dit que la suite (fn) converge uniformément (en abrégé CVU) vers f si

8" > 0;9n0(") 2 N tel que: 8n � n0;8x 2 I ) jfn (x)� f (x)j < ": (3.2)

ou encore

8" > 0;9n0(") 2 N tel que : 8n � n0; kfn � fk1 < ";8x 2 I:

Remarque 3.1

La formule (3:2) est équivalente à

8" > 0;9n0(") : 8n � n0 (") ; supx2I

jfn (x)� f (x)j < " (3.3)

Exemple 3.1 Etudions la convergence simple et uniforme de la suite (fn)n dé�nie par

fn (x) =2nx

1 + n2x2

1) sur l�intervalle [0;1[ :On a

limn!1

fn (x) = limn!1

2nx

1 + n2x2= lim

n!1

2nx

n2x2= 0;8x 2 ]0;1[

et; fn (0) = 0;8n2 N:

D�oùlimn!1

fn (x) = 0;8x 2 [0;1[

Ainsi donc, la suite de fonctions donnée converge simplement sur [0;1[ :

33

Montrons qu�elle n�est pas uniformément convergente sur [0;1[ ; en e¤et, l�égalité donne

kfnk1 = supx2[0;1[

jfn (x)j = fn

�1

n

�9 0 quand n!1

La suite (fn)n n�est pas uniformément convergente sur [0;1[ car kfnk1 9 0 sur [0;1[ :

Conclusion: la suite de fonctions donnée est simplement convergente sur [0;1[ :2) sur l�intervalle [a;1] ; a > 0:Comme la suite (fn) est simplement convergente sur [0;1[ ;elle reste convergente sur [a;1] ; a > 0; en d�autres termes

8" > 09n0 > 0 : 8n > n0;8x 2 [a;1] ; on a jfn (x)j < "

jfn (x)j =���� 2nx

1 + n2x2

���� � ���� 2nx���� < 2

na

On peut donc choisir n0 tel que2

na< " ) n >

2

a"; donc 9n0 = n0 (") =

�2

a"

�+ 1=8" >

08x 2 [a;1]8n > n0; on a jfn (x)j < " D�où la convergence uniforme de la suite (fn)n sur[a;1] :

Théorème 3.1

Pour que (fn) converge uniformément vers une fonction f dé�nie dans I, il faut et il su¢ tque la condition de Cauchy soit véri�ée, autrement dit,

8" > 0;9n0(") : 8n � n0;8m > n0; jfn (x)� fm (x)j < ";8x 2 I (3.3)

Preuve: supposons que (fn) converge uniformément vers f dans I: Alors, pour " donné,9n0(") : 8n � n0; jfn (x)� f (x)j < "

2;8x 2 I (d�après (3:2) ).

Soit m > n0; alors:

jfn (x)� fm (x)j � jfn (x)� f (x)j+ jf (x)� fm (x)j <"

2+"

2= "

D�où la condition de Cauchy c.à.d (3:3) :Inversement; soit (fn) véri�ant la condition de Cauchy. Pour x0 �xé dans I; la suitenumérique (fn(x0))n est de Cauchy, elle converge donc vers un nombre réel qu�on note f (x0) :En variant x0 dans I; on dé�nit alors une fonction sur I par ses valeurs en chaque point.Montrons que f est limite uniforme de (fn) : On a

8" > 0;9n0(") : 8n;m > n0; jfn (x)� fm (x)j < ";8x 2 I;

�xons n > n0 et faisant tendre m vers l�in�ni, on aura:

pour un " donn�e, 9n0 et pour n > n0; jfn (x)� f (x)j < ";8x 2 I

ce qui signi�e que (fn)n converge uniformément vers f dans I:�

34

Théorème 3.2

Soit (fn)n une suite de fonctions, convergente uniformément vers une fonction f dans I:Si, pour tout n; fn est continue, alors f est continue.Preuve: (fn)n converge uniformément vers f , 8" > 0;9n0(") : 8n � n0 (") ; jfn (x)� f (x)j <"

3;8x 2 I:( formule 3.2 )

Soit x0 2 I; alors jfn (x0)� f (x0)j <"

3:

fn est continue en x0 , pour " donné, 9� > 0 tq jx� x0j < � ) jfn (x)� fn (x0)j <"

3:

Donc, pour " donné, 9� > 0 tq jx� x0j < � )jf (x)� f (x0)j < jf (x)� fn (x)j+ jfn (x)� fn (x0)j+ jfn (x0)� f (x0)j <

"

3+"

3+"

3= "; ce

qui signi�e que f est continue en x0: Comme x0 est arbitraire, f est continue dans I:�

Exemple 3.2 Soit (fn)n�0 la suite de fonctions dé�nies sur [0;+1[ par

fn (x) = e�nx:

1. Etudier la convergence simple et uniforme de cette suite de fonctions.

Réponse On a

limn!1

fn (x) = f (x) =

�0; x > 01; x = 0

d�où la convergence simple de la suite de fonctions (fn)n vers la fonction f sur [0;+1[ :Par contre elle n�est pas uniformément convergente. En e¤et, les fonctions fn sontcontinues pour tout n 2 N et f n�est pas continue sur [0;+1[ ; donc d�après le théorèmeprécédent, la suite de fonctions (fn)n n�est pas uniformément convergente sur [0;+1[ :

Théorème 3.3

Soit (fn)n une suite de fonctions continues dans [a; b] tendant uniformément vers une fonc-tion f: Alors

limn!1

bZa

fn (x) dx =

bZa

f (x) dx (3.4)

Preuve: Soit "0 > 0; montrons qu�il existe n0 tel que

8n > n0;

������bZ

a

fn (x) dx�bZ

a

f (x) dx

������ < "0

(fn)n converge uniformément vers f , 8" > 0;9n1(") : 8n � n1 (") ;8x 2 [a; b] jfn (x)� f (x)j <":Posons " =

"0b� a

et n0 = n1; on aura������bZ

a

fn (x) dx�bZ

a

f (x) dx

������ =������bZ

a

(fn (x)� f (x))dx

������ �bZ

a

jfn (x)� f (x)j dx <bZ

a

"dx = " (b� a) = "0�

35

Exemple 3.3 Soit (fn)n�1 la suite de fonctions dé�nies sur [0; 1] par

fn (x) =2nx

1 + 2nnx2:

1. Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions.

2. Calculer In =1R0

fn (x) dx et limn!1

In: En déduire que la suite (fn)n�1 n�est pas uniformé-

ment convergente sur [0; 1] :

Réponse

1. On a pour x 2 [0; 1]limn!1

fn (x) = f (x) = 0

En e¤et, on a pour x 2 [0; 1]

0 � fn (x) �1

nx; x 6= 0

et d�après le théorème d�encadrement, on obtient

limn!1

fn (x) = 0; x 6= 0

d�autre partfn (0) = 0;8n 2 N

et par conséquent, pour x 2 [0; 1]

limn!1

fn (x) = f (x) = 0

2.

In =

1Z0

fn (x) dx =1

2nln (1 + 2n)

Et par suite,

limn!1

In =ln (2)

2:

Sachant que

ln (2)

2= lim

n!1

1Z0

fn (x) dx 6=1Z0

limn!1

fn (x) dx = 0

alors d�après le théorème précédent, la suite de fonctions (fn)n n�est pas uniformémentconvergente dans [0; 1] :

Théorème 3.4

36

Soit (fn)n une suite de fonctions continument di¤érentiables sur [a; b]. Si (fn)n convergeuniformément vers f dans [a; b] et la suite

�f0n

�ndes dérivées converge uniformément vers

une fonction g; alors f admet une dérivée continue sur [a; b] et f 0 = g:Preuve:

8x 2 [a; b] ; fn (x) = fn (a) +

xZa

f 0n (t) dt

Donc

limn!1

fn (x) = limn!1

fn (a) + limn!1

xZa

f 0n (t) dt)

f (x) = f (a) +

xZa

g (t) dt

D�où f est dérivable et f 0 (x) = g (x) ;8x 2 [a; b]�3.2 Séries de fonctions

Dé�nition 3.2

On appelle série de fonctions l�expression de la forme

f1(x) + f2(x) + :::+ fn(x) + ::: =1Xn=1

fn(x) (3.5)

où x 2 E:La série

P1n=1 fn(x) peut converger en un certain points x 2 E et diverger en d�autres.

Dé�nition 3.3

L�ensemble D � E des points x pour lesquels la série de fonctionsP1

n=1 fn(x) converge estappelé domaine de convergence de la série.

Dé�nition 3.4

On dit que la sérieP1

n=1 fn(x) est absolument convergente sur D0 � D si

P1n=1 jfn(x)j

converge sur D0:

Remarque 3.2

Pour déterminer le domaine de convergence d�une série de fonctions, on peut appliquer tousles critères de convergence des séries numériques.

37

Proposition 3.1 Toute série absolument convergente est convergente. 1Xn=1

jfn(x)j converge)1Xn=1

fn(x) converge.

!

Exemple 3.1

La série1Pn=0

xn = 1 + x + x2 + ::: + xn + ::: est convergente pour jxj < 1; autrement dit

D = ]�1; 1[ :

Exemple 3.2

Trouver le domaine de convergence de la série

1Xn=1

1

nxn; x 2 R�

On applique le critère de D�alembert à la série1Pn=1

���� 1nxn���� = 1P

n=1

1

n jxjnon a

limn!1

n jxjn

(n+ 1) jxjn+1=1

jxj limn!1

n

n+ 1=1

jxjAlors si

1

jxj < 1, jxj > 1

La série est absolument convergente et donc convergente.Si

x = 1; Un =1

n

C�est le terme général de la série harmonique donc divergente et par suite la série diverge.Si

x = �1; Un =(�1)n

n

Et la série obtenue véri�e le théorème des séries altérnées, elle est donc convergente.Et en�n, si

1

jxj > 1, jxj < 1

la série diverge et donc le domaine de convergence absolu de la série donnée est

D0 = ]�1;�1[ [ ]1;1[ :

Et le domaine de convergence simple est

D = ]�1;�1] [ ]1;1[ :

38

Il est évident que la somme S(x) de la série (3:5) est une fonction dé�nie sur le domaine deconvergence D:Comme pour les séries numériques, on dé�nit la somme partielle

Sn(x) = f1(x) + f2(x) + :::+ fn(x)

et le reste

Rn(x) =1X

k=n+1

fk(x)

Evidemment si la série converge vers S (x) ; on a

limn!1

Sn(x) = S(x) et limn!1

Rn(x) = 0

:

3.3 Séries uniformément convergentes.

Dé�nition 3.5

On dit qu�une série de fonctions converge uniformément dans D0 � D; si

8" > 09n0 (") 2 N : 8n > n0;8x 2 D0 jRn(x)j < "

ou encore que la suite (Sn(x))n véri�e la condition de Cauchy dans D0)

Dé�nition 3.6 On dit que la série de fonctionsPn

fn(x) est normalement convergente dans

D0 siPn

supx2D0

jfn (x)j converge dans D0; s�il existe une série numérique à termes positifsPn

an convergente tels que

8n 2 N; n > n0;8x 2 D0 jfn(x)j � an (3.6)

Proposition 3.2 (Critère de Weierstrass )

Une série de fonctionsPn

fn(x) qui converge normalement dans D0 est uniformément con-

vergente dans D0.Preuve: posons

rn = an+1 + an+2 + :::an+k + :::

la sériePn

an étant convergente donc

8n � n0; rn < "

mais en vertu de (3:6)

Rn(x) = fn+1(x) + :::+ fn+k + ::: � an+1 + :::+ an+k + ::: = rn < ";8n � n0 et 8x 2 D0:�

39

Remarque 3.3

Il est évident que sous les conditions du critère de Weierstrass, la sériePn

fn(x) converge

absolument sur D0:

Exemple 3.3

La sérieP1

n=1

sinnx

n2est uniformément convergente. En e¤et,����sinnxn2

���� � 1

n2;Pn

1

n2est une série de Riemann convergente alors la série donnée est nor-

malement convergente est donc uniformément convergente.

3.4 Propriétés des séries uniformément convergentes.Soit C [D0] l�ensemble des fonctions dé�nies et continues sur D0:

Théorème 3.5

Si une sérieP1

n=1 fn(x) de fonctions dé�nies et continues sur D0 converge uniformément

dans D0, alors la somme partielle S(x) est une fonction continue sur D0.Preuve: Soient x 2 D0 et �x quelconque tel que (x+�x) 2 D0; on a

jS(x+�x)� S(x)j = jS(x+�x)� Sn(x+�x) + Sn(x+�x)� Sn(x) + Sn(x)� S(x)j= j(S(x+�x)� Sn(x+�x)) + (Sn(x+�x)� Sn(x)) + (Sn(x)� S(x))j� jS(x+�x)� Sn(x+�xj+ jSn(x+�x)� Sn(x)j+ jSn(x)� S(x)j

Soit " quelconque, selon la dé�nition, il existe n0 2 N tel que

8n � n0 et 8(x; x+�x) 2 D02

jRn(x+�x)j = jS(x+�x)� Sn(x+�xj <"

3;

jRn(x)j = jSn(x)� S(x)j < "

3

et du fait que que Sn est contiue sur D0 (comme étant la somme de fonctions continues),alors

8" > 0;9� > 0 : 8�x; j�xj < � ) jSn(x+�x)� Sn(x)j <"

3

Alors

8" > 09n0 2 N;9� > 0 : 8n � n0;8�x; j�xj < � ) jS(x+�x)� S(x)j < "

3+"

3+"

3= "

ce qui montre la continuité de S en x; x étant arbitraire la fonction S(x) est continue surD0; ce qui achève la démonstration�:

40

Exemple 3.4

Soit la série1Pn=0

x2

(1 + x2)n:

1Pn=0

x2

(1 + x2)n= x2(1 +

1

(1 + x2)+ :::+

1

(1 + x2)n+ :::)

Sn(x) = x2

26641�1

(1 + x2)n+1

1� 1

(1 + x2)

3775 = 1 + x2 � 1

(1 + x2)n;

Donc, pour x 6= 0; limn!1

Sn(x) = 1 + x2; et si x = 0; Sn(0) = 0;8n:

D�où S(0) = limn!1

Sn(0) = 0: Autrement dit,

S (x) =

�1 + x2; pour x 6= 00; pour x = 0

On voit que fn(x) est continue, alors que la sériePn

fn(x) converge vers une fonction dis-

continue. En e¤et, cette convergence est simple (on dit aussi ponctuelle), mais elle n�est pasuniforme.

jSn+1(x)� S(x)j = 1

(1 + x2)n

Pour " < 1; il n�existe pas de rang n0; dépendant seulement de "; à partir du quel (n > n0)nous donne jSn+1(x)� S(x)j < "; car

1

(1 + x2)n< ", n >

� log "log(1 + x2)

; soit n0("; x) =����� � log "log(1 + x2)

�����+ 1et limx!0n0("; x) = +1Théorème 3.6

Si une série de fonctionsPn

fn(x) converge uniformément sur [a; b] et

8n 2 N; fn(x) 2 C [a; b] ; alors

bZa

1Xn=1

fn(x)dx =1Xn=1

bZa

fn(x)dx (3.7)

Preuve: On pose S(x) = Sn(x) +Rn(x) où S(x) =1Pn=1

fn(x); Sn(x) =nPk=1

fk(x) et Rn(x) =

1Pk=n+1

fk(x); évidemment Sn(x) 2 C [a; b] et Rn(x) 2 C [a; b] : On a

bZa

S(x)dx =

bZa

1Xn=1

fn(x)dx =

bZa

(Sn(x) +Rn(x))dx =

bZa

Sn(x)dx+

bZa

Rn(x)dx

donc

41

bZa

S(x)dx =

nXk=1

bZa

fk(x)dx+

bZa

Rn(x)dx (3.8)

Or, par dé�nition, une série qui converge sur [a; b] ;veut dire que son reste tend vers zérolorsque n! +1 pour tout x 2 [a; b] : Autrement dit,

8" > 0 9n0 2 N : 8n � n0 jRn (x)j <"

b� a8x 2 [a; b] ;

il s�en suit quebZ

a

Rn(x)dx <

bZa

"

b� adx = "

Ainsi donc

8n � n0; limn!1

bZa

Rn(x)dx = 0

En faisant tendre n vers1 dans (3:8), on obtient le théorème.�

Exemple 3.5

Soit fn(x) = nx exp(�nx2) et considérons la sérieP1

n=1 [fn(x)� fn�1(x)] pour 0 < x < 1:

Sn (x) = (f1 (x)� f0 (x)) + (f2 (x)� f1 (x)) + :::+ (fn (x)� fn�1 (x))

= fn (x)� f0 (x) = fn (x)

D�oùS (x) = lim

n!1Sn (x) =lim fn (x) =

n!10

Cette convergence et aussi ponctuelle. En e¤et,

limn!1

1Z0

Sn (x) dx = limn!1

1Z0

fn (x) dx = limn!1

1Z0

nx exp��nx2

�dx = lim

n!1

1

2

�1� e�n

�=1

2:

On ne peut intervertir la sommation et l�intégration.

Théorème 3.7 Si une série de fonctionsPn

fn(x) converge sur [a; b] et fn(x) 2 C1 [a; b] ;8n 2N

Si la série de fonctionsPn

f 0n(x) converge uniformément sur [a; b] ; alors on a

(1Xn=1

fn(x))0 =

1Xn=1

f 0n(x) (3.9)

42