Les lois fondamentalesLes lois fondamentalesde l’optique géométriquede l’optique géométrique

Surface plane :Miroir, Dioptre et Prisme

Pr Hamid TOUMA

Département de Physique

Faculté des Sciences de Rabat

Université Mohamed V

L’optique est l’étude de la lumière

La lumière est le messager denotre Univers

La lumière est émise par la matièreLa lumière est émise par la matièreet se manifeste par son actionsur l’œil ou sur d’autresrécepteurs parmi lesquels nousciterons :

o Plaque photographique, …

o Ces récepteurs permettent demettre en évidence desdomaines de lumière que l’œildomaines de lumière que l’œil nedomaines de lumière que l’œildomaines de lumière que l’œil neperçoit pas, tels ceux del’Ultraviolet et de l’Infrarouge.

En optique géométrique, la lumièreest considérée comme une ondeélectromagnétique (vibrationondulatoire) qui se propage danstoutes les directions de l’espace,même en absence du milieumatériel.même en absence du milieumatériel.

Une onde électromagnétique estvibration ondulatoire caractériséepar sa fréquence n (nu) ou par sapériode temporelle T=1/n,

Ces 2 paramètres T et n sontCes 2 paramètres T et n sontindépendants du milieu traversé.

La longueur d’onde l est définie par :

où v est lavitesse de propagation de l’onde.

Ces 2 grandeurs v et l dépendent dumilieu traversé, à l’inverse de la

l = v.T = v/n

milieu traversé, à l’inverse de lapériode T et la fréquence n.

l

1Ä=10-10m 1nm=10-9m 1mm=10-6m

Le spectre électromagnétique

Visible à l’œil nu

La longueur d’onde l0 de la lumière visible à l’œil, par rapport au vide

400 nm 750 nm

La vitesse v de propagation de lalumière dépend du milieu traversé :

Air ou vide eau verre

300 000 km/s 225 000 km/s 200 000 km/s

La lumière se propage dans lesmilieux transparentsdifférents à des vitessesdifférentes.

On définit l’indice deréfraction n en un point Mquelconque d’un milieu donnépar la quantité :

n = c/v =vitesse lumière dans le vide

n = c/v =vitesse lumière dans le vide----------------------------------------vitesse lumière dans le milieu

air eau éthanol verres benzène diamant

1 1,3 1,36 1,5 < n < 1,8 1,6 2,4

Comme v < c alors 1 < n ;

l’indice du vide : n0 =c/c =1

Attention : c’est très important !!!!

l’indice de réfraction n reflète la

tendance de la matière à ralentir la

propagation des ondes

électromagnétiques.

Remarque : Une radiation defréquence n et de longueur d’onde l0

dans le vide (n0=1), sa longueur d’ondel dans un milieu d’indice de réfractionn>1 s’exprime comme suit :

v

D’où :

l0/l = n

0

0= = .

1

n

T T. c.c

vv

n

En passant de l’air, milieu d’indicede réfraction 1, vers un autremilieu matériel d’indice deréfraction n, lala lumièrelumière changechange sasalongueurlongueur d’onded’onde ll,, c’estc’est--àà--diredire sasavitessevitesse vv etet nonnon paspas sasa fréquencefréquencevitessevitesse vv etet nonnon paspas sasa fréquencefréquencenn nini sasa périodepériode temporelletemporelle TT

0Tv= . =n

Remarque :

La longueur d’onde l estinversement proportionnelleà l’indice de réfraction n dumilieu où la radiation se

milieu où la radiation sepropage.

Formule de CauchyMilieu dispersif

2n =A+

B

Milieu homogène : tout milieu danslequel la lumière se propage avec unevitesse v constante. Donc son indicede réfraction n est aussi constant.

Milieu inhomogène (non homogène) :Milieu inhomogène (non homogène) :Tout milieu dans lequel la lumière sepropage avec une vitesse v variable.

Donc son indice de réfraction n estaussi variable, dans ce milieu (n=c/v).

La lumière blanche est décomposée enplusieurs radiations visibles, définiespar des couleurs, c’est-à-dire par lafréquence n ou sa longueur d’onde l.Chacune de ces radiations est ditesimple ou monochromatique, car il estsimple ou monochromatique, car il estimpossible de la décomposer end’autres radiations.

La longueur d’onde l0 de la lumière visibleà l’œil, par rapport au vide n=1

400 nm 750 nm

Une source monochromatique est une

source capable d’émettre une seuleradiation, donc une seule couleur.

Une source de la lumière blanche estune source qui émet de la lumièreblanche, c’est-à-dire toutes lesradiations. Exemple : le Soleil

Source de lumière : Tout corps qui émetde la lumière est une source lumineuse.Cette source peut être :

* Source principale (bougie, lampe, étoile,…)

* Source secondaire. L’objet diffuse lalumière qu’il reçoit (La Lune, Planètes, vous,

• Sources étendues :Soleil, écran de cinéma, Lampe,…

• Sources de faibles dimensions :Planètes,…

• Sources ponctuelles :étoile,…

lumière qu’il reçoit (La Lune, Planètes, vous,le mur, la table,…)

• On appelle corps transparent toutcorps qui laisse passer la lumière.

Exemple : l’eau, le verre, le cellophane,…

• On appelle corps opaque, tout corps quiarrête totalement la lumière.

Exemple : le bois, l’acier, le marbre…Exemple : le bois, l’acier, le marbre…

boisCellophaneeau

Un rayon lumineux est représentépar une droite AB sur laquelle onplace une flèche indiquant le sensde propagation de la lumière.

A BA Bou

BA

• En pratique un rayon lumineux isolé n’existe pas.

• Les rayons sont toujours groupés en faisceaux.On distingue 3 sortes de faisceaux.

Faisceaux de rayons parallèles ou cylindriques

divergents convergents

Pinceau : tout faisceau étroit est appelé un pinceaulumineux.

L’optiqueL’optique géométriquegéométrique reposereposesursur lala notionnotion fondamentalefondamentale dudurayonrayon lumineuxlumineux.. LaLa lumièrelumière sesepropagepropage enen ligneligne droitedroite dansdans ununmilieumilieu homogènehomogène..

L’optique géométrique schématisealors la lumière par un rayon lumineux.Le principe de retour inverse de lalumière :

aloBA Ars B

L’indépendance des rayonslumineux permet de décomposerun faisceau en rayons, etd’étudier séparément la marchede chaque rayon, ce qui constituele but de l’optique géométrique.le but de l’optique géométrique.

LeLe comportementcomportement dede cece rayonrayonlumineuxlumineux àà lala surfacesurface dede séparationséparationouou d’und’un miroirmiroir estest décritdécrit parpar lesles loisloisdede SnellSnell--DescartesDescartes..

LesLes loislois dede SnellSnell--DescartesDescartes fixentfixent laladirectiondirection desdesfaisceauxfaisceaux réfléchiréfléchietet réfractéréfracté enenfonctionfonction dede cellecelle dudufaisceaufaisceau incident..faisceaufaisceau incident..

Les lois de Snell-Descartes :

1. Les lois de la réflexion

2. Les lois de la réfraction

n1

N

SS

I

S

i

R

r

La

norm

ale

Surf

ace

de

sépara

tion

D =i-i'Le point incident

n2 R’

I

i’

sépara

tion

D =i-i'Le point incident

n1

i

Angle d’incidence

r

Angle de réflexionLa normale

SS

Plan d’incidence n2i’

Angle de réfractionLa surface réfringente

SS

1. Le rayon réfléchi et le rayonincident sont dans le pland’incidence formé par la normaleet le rayon incident (IN,SI)

2. L’angle de réflexion est égal àl’angle d’incidence, ce qui se

2. L’angle de réflexion est égal àl’angle d’incidence, ce qui setraduit par : i = r

1. Les rayons réfracté et incident sontdans le même plan d’incidence définipar les deux vecteurs (IN,SI)

2. L’angle de réfraction i’ et l’angled’incidence i sont liés par la relation :n .sin i = n . sin i’n1.sin i = n2. sin i’

n1

i

N

SSI

n2 > n1

sin L = n1/n2

n2 S

i’

SSI

i’=Li’

i’ > LRéflexion totale

n1

n2

221

1

si < sin =Λnn

nn

12

1

2si < sin =Λn

n nn

faiblensin =Λ

n2

L’angle de la réfraction limite L

faible

grand

nsin =

nΛ

L’angle de la réfraction limite L setrouvetrouve toujours dans le milieu leplus réfringent.

Quand la lumière se propage dumilieu le plus réfringent vers lemilieu le plus réfringent vers lemilieu le moins réfringent, laréflexion totale peut avoir lieu, àcondition que l’angle d’incidencesoit plus grand que L.

Le phénomène de la réflexion totaleest utilisé pour canaliser la lumière,par exemple dans les fontaineslumineuses ou dans les fibresoptiques, l’endoscopie, fibroscopie .

Fontaine lumineuse

fibres optiques

Fontaine lumineuse

eau air eau

1

air0

1 3sin 0,75 4

n

8n

,594 4

3

• Exercice 3 : Fibre optique **• A- Avec les données du document 1 ci-dessous

• Calculer les angles i1 et i2 sachant que l’angle i = 60°

• Tracer la marche du rayon lumineux jusqu’à sa sortie du cylindre

• B- Un rayon lumineux arrive de l’air, d’indice de réfraction n0=1, sousune incidence ie et pénètre dans le cœur d’une fibre optique d’indicede réfraction n1.

• Exprimer le sinus de l’angle de réfraction r en fonction de n1 et de• Exprimer le sinus de l’angle de réfraction r en fonction de n1 et del’incidence ie.

• L’angle d’incidence sur la surface de séparation cœur - gaine est i.Donner la relation entre i et r et l’expression de cos i.

• L’indice de la gaine a pour valeur n2 (n2 < n1). Exprimer le sinus del’angle de réfraction limite L de réfraction entre les milieux d’indicen2 et n1.

• C- Trouver la condition pour qu’un rayon lumineux puisse se propagerdans la fibre (document 2).

1 2i.sin .sin . 0,1 i n 1,6 0,5 8

silice air 39

1 1sin 0,625 38,68

2 2

K 180i i 3i 0

i1

i2 iI

J

K

Silice n =1,6

ii

Air n=1

i

1 1sin 0,8 53i i

Comme on a , alors on a uneréflexion totale au point J. De proche enproche, le rayon lumineux se propage lelong de la fibre jusqu’à sa sortie.

1 1sin 0,625 38,68

n 1,6

i

n2

e 1nsin . ri sin

e0

1

1n n.sin ri .sin

90 sii i cor n rs

2 2 22 2 2 2sin .sin .n n n i1 ci os sr r . 1 in 1

2inn

sn

n2< n1

ie

r

J

iI i

Kii

n1

Pour que le rayon lumineux se propage dans lafibre, il faut qu’il subisse une réflexion totale aupoint J. Donc il faut que l’angle i soit supérieur àl’angle de réfraction limite L. Dans le casaffirmatif, de proche en proche, le rayon lumineuxse propage le long de la fibre jusqu’à sa sortie.

2 2 2

1 1e 1

2 2 2 2sin .sin .n n n i1 ci os sr r . 1 in

1

2

22n iin

ns

C G C G

1

2sin sin

i inn

2

2 2 2 2e

2

1 1 2

1

n nsin . 1 sin . 1in

ni

2 22 ns n ii n 2 2

2

2

1ens n ii n

ae m x

2 2

e e

2 2

1 1

i

2 2sin arcsini n n nin

ae m x

2 2

e e

2 2

1 1

i

2 2sin arcsini n n nin

2

2e ax

2

m 1arcs nini n n2< n1

i

J

I

K n1

Il faut éclairer la fibre avec une lumière dontl’incidence ie vérifie l’inégalité. C’est la conditionpour qu’un rayon lumineux puisse se propager lelong de la fibre optique.

mae

2

e

2

2x 1arci in ni s n n2

ieK n1

Fin de l’exercice 3

LeLe principeprincipe dudu retourretour inverseinverse dede lalalumièrelumière est bien vérifié :

réfractéSource S

21 12n .sin = .sin .n i' n ii nsi '= in .sin

n1

n2

n1

n2incidentréfracté

incident

Source S

• Remarques : Lorsque les angles iet i’ sont petits,

la loi de Snell-Descartes pour laréfraction prend la formesimplifiée : n1 . i ~ n2 . i'

connue sous le nom de « la loi de Kepler »

15angle

connue sous le nom de « la loi de Kepler »

En appliquant le principe de lapropagation rectiligne de la lumière,l’optique géométrique se proposed’étudier comment les rayonslumineux, partant des objets,cheminent en subissant des réflexionscheminent en subissant des réflexionset des réfractions à travers diversmilieux transparents appelés systèmessystèmesoptiquesoptiques, et concourent à la formationdes images.

On appelle miroir planune surfaceune surface

réfléchissanteparfaitement plane polierecouverte d’une mince

couche métallique (argentou aluminium).

Un tel miroir M estgénéralement représentépar la trace de son plandisposé normalement au plande figure. On couvre dehachures le côté nonréfléchissant.

Nréfléchissant.

Surface réfléchissante

S

I

M

RN

Surface non réfléchissante

L’objet A et sonimage A’,fourniepar le miroir M,sont symétriquespar rapport à MH

A Objet Réel

Miroir M

i i'

IAH 'HAA et A’ sontconjugués par lemiroir plan M

A’ Image virtuelle

IAH 'HA

miroir plan M

AA

HHMM

A’A’A : objet réelA : objet réel

MM

A’ : image virtuelleA’ : image virtuelle

• Objet réel : quand des rayons lumineux sontréellement issus de cet objet.

• Objet virtuel : quand les rayons lumineuxsemblent provenir de cet objet. Cet objet est

l’intersection des prolongements des rayonslumineux.

Objet réel

Objet virtuel

Faisceau

air La normaleOn appelle

dioptre plan lasurface plane

séparant deux Faisceauincident

Faisceau réfracté

eau

séparant deuxmilieux

transparents ethomogènes

d’indices absolusn1et n2

différents

21n n

Conditions de Gauss

Lorsque le point objet n’envoie quedes rayonsrayons incidentsincidents sensiblementsensiblementprochesproches àà lala normalenormale au dioptre plan,autrementautrement ditdit pour des angles i et rfaibles, et les lois de Snell-faibles, et les lois de Snell-Descartes s’écrivent comme suit :

Reflexion

Refrac

1

tion

2n= etri . = .i'n i

n1

n1<n2A et B sont vus nettement,par contre C et D sont flous

Conditionsde Gauss

angles i et r faiblesair

n2

I I1 I2 I3

A B C D

eau

L’imageL’image d’und’un objetobjet placéplacé dansdans lelemilieumilieu lele plusplus réfringentréfringent ::

EnEn ramassantramassant uneune rocheroche ouou ununcoquillagecoquillage queque nousnous voyonsvoyons soussous l’eau,l’eau,àà portéeportée dede lala main,main, nousnous sommessommesgénéralementgénéralement étonnésétonnés dede devoirdevoirgénéralementgénéralement étonnésétonnés dede devoirdevoirenfoncerenfoncer lele brasbras plusplus queque nousnous nenel’avionsl’avions prévuprévu..

UnUn bassinbassin paraitparait toujourstoujours plusplusprofondprofond quandquand ilil estest videvide..

n1

n1<n2

H I

A’est

une

image

virt

uelle

r air

1

2

i avec sin Λ =n

Λn

A

A’ n2

H I

i

A’est

une

image

virt

uelle

eau

n1

n1<n2

H I

i’

HI HItg = et ti

Ai'g =

H A'HA'H. = HA i .i'

air

A

A’

n1

n2

H I

ii

i’

La relation de conjugaison d’un dioptre plan

Dans l’approximation de Gauss 2 1

H H=

A A

n n

'

eau

•• IlIl estest àà remarquerremarquer queque lesles pointspoints objetobjet AAetet sonson imageimage A’A’ sontsont situéssitués dansdans lele mêmemêmemilieumilieu.. Donc,Donc, sisi l’unl’un réel,réel, l’autrel’autre estestforcémentforcément virtuelvirtuel..

•• LeLe pointpoint imageimage A’A’ sese déduitdéduit alorsalors dede sonsonpointpoint objetobjet AA parpar uneune translationtranslationapparenteapparente d’amplituded’amplitude ::pointpoint objetobjet AA parpar uneune translationtranslationapparenteapparente d’amplituded’amplitude ::

2 1

H H=

A A

n n

'

2

1

= H+H = H- H = H. 1n

A'A A A An

-A' A'

n1

n1<n2

H

Relation de conjugaisond’un dioptre plan (n1, n2)

air

2 1

H H=

A A

n n

'

n2

H

A’

A

Conditions de Gauss

2

1

nA A

nA H 1-'= .

eau

Définition : Une lame à faces parallèlesest un milieu homogène et transparentlimité par deux dioptres plans parallèles, àune distance e qui est l’épaisseur de laune distance e qui est l’épaisseur de lalame. Les milieux extrêmes peuvent êtredifférents ou identiques.

n1

n2e

i

r

S

I 1 2n .sin i n .sin r

r’

eII'

cos rKn2

n1

e

i’

r

R

I’

2 1n .sin r ' n .sin i '

r r ' i i '

1

2

nsin et r

n

r’K

I' H IK .sin ic ros

ed r

rI' H IJ.sin i avde

ec II'cos r

Translation de laTranslation de laquantitéquantité dd du rayondu rayon

d

I’

K

quantitéquantité dd du rayondu rayonlumineux d’incidencelumineux d’incidencei, par la lame ài, par la lame àfaces parallèlesfaces parallèlesd’épaisseurd’épaisseur ee etetd’indice ded’indice deréfractionréfraction nn

Si on se place dans les condition de Gauss, àsavoir : i et r sont des angles petits

(i < 15 ° & r < 15°)

r r

r

sin .sin .i i

iet IH .sincos r

n n

ed

i i i

cos

1avec sin . 1 et

r

cn

r r os r 1

ie

1I d 1

n. .S'H J

H

I n1A’’

A’

A

n2e

2

''1

. 1

AAn

e

H

R

I’n2

n1H’

Cas où n1=1 et n2=n

e

Conditions de Gauss

DéfinitionDéfinition :: lele prismeprisme estest unun milieumilieu

réfringentréfringent limitélimité parpar deuxdeux facesfacesplanesplanes nonnon parallèlesparallèles..QuandQuand cesces deuxdeux facesfaces sese coupentcoupentQuandQuand cesces deuxdeux facesfaces sese coupentcoupentréellement,réellement, lala droitedroite d’intersectiond’intersectionestest l’arrête dudu prisme,prisme, lala faceface opposéeopposéeàà l’arêtel’arête estest la base.. L’angleL’angle dudu prismeprismeestest définidéfini parpar lesles deuxdeux facesfaces nonnonparallèlesparallèles

L’interposition d’un prisme sur letrajet d’un faisceau monochromatiquecylindrique provoque seulement unedéviation, le faisceau restecylindrique après la traversée dechacun des surfaces.

Déterminer la marche d’un rayonrayonlumineuxlumineux àà traverstravers unun prismeprisme,revient à déterminer les relationsmathématiques qui lient lesparamètres : A, n, i, r, r’ et i’.

Les formules du prismeLes formules du prisme :

1. sin i = n. sin r

2. sin i’ = n. sin r’2. sin i’ = n. sin r’

3. A = r + r’

4. D = i + i’ - A

Si l’on opère avec de lala lumièrelumière blancheblanche, lefaisceau émergent n’est plus cylindrique,outre la déviation, il subit unedécomposition en faisceauxfaisceaux coloréscolorés : lephénomène de la dispersion de la lumièrecomplexe en lumières simples.

Décomposition de la lumière blanche

Dispersionde la lumière

Remarque : Principe du retour inversede la lumière

.

. ''

r

n

n

i

i

r

Si les angles A et i sont petits, il enrésulté que r, r’ et i’ sont égalementpetits, et les formules du prismes’écrivent comme suit :

. '

'

. .

'

.' 1

D

rn

n

r

n nr A

rA

i

r A

Dans le cas des petits angles, la déviationdéviation D estindépendanteindépendante de l’angle d’incidencede l’angle d’incidence.

Exercice 8 : Etude d’un prisme **Soit un prisme d’angle au sommet A et fabriqué dansun verre d’indice de réfraction n. Il est placé dansl’air d’indice n0=1.•Donner les relations liant i et r ; i’ et r’ ; r, r’ et A.•Définir graphiquement et exprimer la déviation D enfonction de i, i’ et A dans le cas où le rayon émergentdu prisme existe.•Comment varie i’ lorsque i croît ?•Comment varie i’ lorsque i croît ?•a- Calculer la valeur de l’angle de réfraction limiteau point I’.b- En déduire qu’il existe une valeur AM de A au-delàde laquelle il n’y aura aucun rayon émergent, quel quesoit l’angle d’incidence i. Calculer AM pour n=1,5.

•On éclaire ce prisme par une lumière blanche.a- Quel est le phénomène observé à la sortie du prisme.b- Quelle est la radiation la plus déviée ? Quelle est la radiation lamoins déviée ?

Les formules du prisme :Les formules du prisme :

1. sin i = n. sin r

2. sin i’ = n. sin r’

3. A = r + r’

4. D = i + i’ - A4. D = i + i’ - A

r rn nr' r'sin sin sin si ' nA ii

i ir'r '

1 2sin 0,66 41,81 42

3n

Pour avoir une réfraction aux points I et I’,il faut que A 2.L. Si A > 2.L alors on auraune réflexion totale sur la 2ème face duprisme.

r

max'r

A Ar Ar 2. 2.'

prisme.

Le phénomène observé est la dispersion dela lumière blanche par le prisme.

Dispersion de lalumière