cours nuc s6

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Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaChapitre :Modle de lagoutte liquideCours de physique nuclaireStructure NuclaireAbdeslam Hoummada ([email protected])Facult des Sciences Ain Chock http://ruphe.fsac.ac.maAnne 2007-20081/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaChapitre :Modle de lagoutte liquideChapitre I :Modle de la goutte liquide1 INTRODUCTION2/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaChapitre :Modle de lagoutte liquideChapitre I :Modle de la goutte liquide1 INTRODUCTION2 Termes correctifs :Energie de couche2/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaChapitre :Modle de lagoutte liquideChapitre I :Modle de la goutte liquide1 INTRODUCTION2 Termes correctifs :Energie de couche3 Modle du gaz de Fermi2/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiNotions de base1 INTRODUCTION2 Termes correctifs :Energie de couche3 Modle du gaz de Fermi3/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiINTRODUCTIONPour avoir une image du noyau nous devons commencer pardnir ses principales caractristiques dont on peut citer :Masse, charge, spin, moment magntique,...Noyau = Nneutrons+Zprotons cest dire A = Z+Nneutron : Mn= 939.57MeV, charge q= 0 et spin : s =12proton : Mp= 939.57MeV, charge q= 0 et spin : s =12Supposons que le noyau soit sphrique, son volume va dpendrede son rayon R. La valeur du rayon R dpend de la mthodeexprimentale.Diffusion des neutronsDiffusion des lectrons ou des muons ou des alphas le volume nuclaire est proportionnel au nombre de nuclonsdans le noyau, ce-ci a pour consquence :La densit nuclaire est constante pour tous les noyauxla matire nuclaire est incompressibleVA V= kA R= RA134/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiLa structure du noyauLe noyau dun atome est constitu de protons et de neutrons quiportent le nom de nuclons.Noyau ou nuclide notAZXA est le nombre de masseZ est le numro AtomiqueA = Z+N est le nombre total de nuclonsIsotope Mme nombre de protons nombre de neutronsdiffrent126C(98.9%),136C(1.1%),146CLes masses des atomes sont presque des multiples entiers de lamasse de latome dhydrogne. La valeur prcise de la massedun isotope sexprime en fonction de lunit de masse atomique(u).DenitionPar dnition, la masse de latome neutre de lisotope126C ducarbone est gale exactement 12 u.5/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde Fermi1u= 1.66054x1027kg= 931.5MeV/c2Le dernier terme provient de la relation mass-nergie : E= mc2masse du protonmp= 1.67264x1027kg= 1.007276u= 938.28MeV/c2masse du neutronmn= 1.675x1027kg= 1.008665u= 939.57MeV/c2masse de llectronme= 9.109x1031kg= 5.4858x104u= 0.511MeV/c2Trouver la valeur de lunit de masse atomique partir du nombredavogadro.Une mole de126C contient NA atomes : 12 g correspondent 12NAu: 1u=1gNA=1g6.022136x1023= 1.66054x1027kgExprimer lunit de masse atomique en fonction de son quivalenten nergieE= mc2donne 1u= (1.66054x1027kg)(2.9979x108m/s)2=1.4924x1010J= 931.5MeVAinsi 1u= 931.5MeV/c26/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiDimension du noyau =mA43R3Le rayon nuclaire varie entre : 2.1013cm et 10.1013cm avec1fm = 1013cmDensit de nuclons :n =A43R3= 1038N/cm3Densit de matire : = 938.1038MeV/cm3= 1.71011kg/cm3rayon du noyau : 1012cmrayon de latome : 108cmRAtomeRNoyau= 1047/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiDimension du noyauR= 1.2A13fmAvec 1fm = 1015mComme le volume dune sphre est proportionnel R3, on voitque le volume est proportionnel AExampleQuelle est la masse volumique dun noyau type, par exemple168OV=43R3=43(1.2x1015)3A = 1.16x1043m3La masse dun atome doxygne (A = 16) est 16 u. La massevolumique est : =mV=(16)(1.66054x1027kg/u)(1.16x1043m3)= 2.29x1017kg/m38/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiCette valeur est plus de 1014fois suprieure la massevolumique de leau.la masse volumique ne dpend pas de A.La densit est peu prs la mme pour tous les noyaux.De telles valeurs de masses volumiques sont observes dans lestoiles neutrons.9/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiLnergie de Liaison et la stabilit du noyau :La masse dun noyau stable est toujours infrieure la sommedes masses de ses nuclons dune certaine quantit m, quonnomme dfaut de masse.Si on veut sparer compltement les nuclons dun noyau stable,il faut fournir au noyau une quantit minimale dnergie, appelenergie de liaison (El).El= mc2Cas du deuteron : mp= 938.28Mev, mn= 939.57Mevetmp +mn= 1877.85MeVE= mp +mnmd= 2.22MeVLnergie de liaison dun nuclideAZXcomprenant Z protons et Nneutrons vaut donc :El= [(Zmp +Nmn) mnoyaux]c2O mnoyauxest la masse du noyau en question.10/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiEn prenant la masse de latome neutre y compris les lectrons sion dsigne par mxla masse de latome neutre, lnergie deliaison sexprime par :El= [(Zmp +Nmn) (mxZme)]c2Or mp +me= mH, la masse de latome neutre dhydrogne :El= [ZmH+Nmnmx]c2ExampleQuelle est lnergie de liaison moyenne par nuclon de latome42He. Calculer lnergie de liaison moyenne par nuclon pour126C.La masse de42He neutre est 4.002604 u.m =2mH +2mnmHe= (2x1.007825) +(2x1.008665) 4.002604 =0.030376u 1u= 931.5MeV/c2El= mc2= 28.3MeVElA= 28.3Mev/4 = 7.1MevEl= [(6x1.007825u) + (6x1.008665u) 12u)](931.5Mev/u) =92.163MevDoncElA= 7.68Mev11/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde Fermi12/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiModle de la goutte liquideEn premire approximation le rayon nuclaire varie suivant la loiR= rAfrac13et le volume :V=43r3ALe volume occup par nuclon :VA=43r3Lnergie de liaison par nuclon :BA= 8MeV= CsteDensit nuclaire : d=MV= Csteces trois quantits sont indpendantes du nombre de masse A,ainsi que du volume V du noyau. Comparaison avec une goutteliquide :Pour une goutte liquide :Lnergie dvaporation pour une molcule est indpendantedu volume total ou de la masse de la goutteLa densit est constante quel que soit le volumeDautre part les forces nuclaires pour des distances de lordre de0.3 fm deviennent rpulsives.13/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiDe mme pour une goutte liquide, en comprimant une goutteliquide, les forces de cohsion deviennent rpulsives.1 Energie de volume : Par analogie avec une goutte liquide,lnergie de liaison dun noyau doit tre proportionnelle aunombre de ses constituants, cest dire au nombre demasse A.BA= Cste B= avA o avest une constante.Or il faut tenir compte de certains effets tels que :Les effets de surface ds la chute de la densit nuclaire auxbordsLa rpulsion coulombienne des protons, qui croit mesure queZ augmente2 Lnergie de surface: La densit de la matire nuclairediminue vers la surface. Les nuclons la surface sontsoumis une interaction nuclaire moins importante queceux du centre. avA surestime lnergie de liaison du noyau .Le dcit nergtique doit tre proportionnel au nombre denuclons la surface.14/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiEn assimilant le noyau une goutte sphrique :S= 4r2A23(B)S= aSA23Lnergie de surface doit tre proportionnelle au nommbre denuclons de la surface du noyau(B)S= aSA23est trs importante pour les noyaux lgers.3Energie Coulombienne : Il faut tenir compte de linteractioncoulombienne entre les protons qui est rpulsive. Son effet estde diminuer lnergie de liaison par nuclon.Pour Z petit linteraction coulombienne est ngligeable devantlinteraction nuclairePour Z lev linteraction coulombienne devient plus importantecar linteraction lectromagntique est de porte in nie.15/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiDensit de charge =Ze43R3Potentiel :V=r .43R3Charge :dq= .4r2drE=_Vdq=_ _.43r3__r_4r2drE=35e2R Z2Z2donne le nombre dinteraction proton-proton y comprislinteraction dun proton avec lui-mme. Il faut remplacer Z2parZ(Z 1) car un nuclon ninteragit quavec les (Z1) protonsqui restentE=35e2R Z(Z1)16/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiPour Z grand Z(Z1) tend vers Z2.Lnergie coulombienne est donc proportionnelle Z2.BC= acZ2A13ac=35e2r= 0.7MeV4Energie dasymtrie :17/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiLexamen de la ligne de stabilit montre que les noyaux stablesont tendance avoir Z= N. Cette relation est vrie pour lesnoyaux lgers par contre pour les noyaux lourds on a Z< N cause de la rpulsion coulombienne qui devient assezimportante. Le terme dasymtrie est de la forme :aa(N Z)2A18/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiLensemble de ces effets donne enn la formule semi-empiriquede Bethe et Weizsacker :B(A, Z) = avA asA23acZ2A13aa(N Z)2A+termes correctifsM(A, Z) = (A Z)Mn +ZMpB(A, Z)Valeurs numriques :1 av= 15.67MeV2 as= 17.23MeV3 aa= 23.60MeV4 ac= 0.70MeV19/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiNotions de base1 INTRODUCTION2 Termes correctifs :Energie de couche3 Modle du gaz de Fermi20/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiEnergie dappariementLnergie de liaison par nuclonBAprsente des maximums pourun nombre de nuclons gal 2, 4, 8, 20, 50, 82, 126. Le modlede la goutte liquide ne peut pas rendre compte de cet effet carnous navons pas tenu compte du spin des nuclons. Nouspouvons corriger cet effet en rajoutant un terme correctif. Onconstate aussi que les noyaux pairs-pairs sont les plus abondantspar contre les noyaux impairs-impairs sont les plus instables. Ceterme tient compte du fait que les nuclons du mme type onttendance se coupler deux par deux dans un tat de momentangulaire relatif nul.La formule de Weiszacker est de la forme :M(A, Z) = aZ2+bZ+ccest lquation dune parabole, a, b, c ne dpendent pas dunombre de masse A.Pour les noyaux dont le nombre de masse est impair on a := 021/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiLe minimum de la parabole correspond lisobare le plus stable(A, Z).22/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiPour les isobares (A, Z< Z) ces noyaux sont instables et sedsintegrent par dsintgration .(A, Z) (A, Z+1) +e+ en p +e+ ePour les isobares (A, Z> Z) ces noyaux sont instables et sedsintegrent par dsintgration +.(A, Z) (A, Z1) +e++ e(A, Z) +e (A, Z1) + e23/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiDans le cas des noyaux pairs on observe deux paraboles demasse :Pour A pair : - Z pair et N pair := 12A12Pour A pair : - Z impair et N impair := +12A12Les deux paraboles expliquent lxistence du nombre plusimportant des noyaux pair-pair par rapport aux noyauximpair-impair.Il nexiste rellement que quatre noyaux stables tous lgers :21H,63 Li ,105B,147NIl y a surstabilit des noyaux lgersLes noyaux pair-pair ont des nergies de liaison plus importantedu fait que tous les nuclons sont apparis entre eux.les noyaux impair-impair ont deux nuclons qui ne sont pasapparis.24/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiLes gaz rares cest dire les lments qui ont des couchestotalement remplies ont des potentiels dionisation levs :Z= 2, 10, 18, 36, 54, 86Le mme phnomne est observ pour les noyaux ayant unnombre de protons ou de neutrons voisins de :ZouN= 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Les noyaux ayant Z ou N gal ces nombres sont appels : Noyaux magiques. lnergie desparation du neutron ou du proton non appari est :Sn(A, Z) = [M(A1, Z)+mn]c2M(A, Z)c2= B(A, Z)B(A1, Z)Sp= B(A, Z) B(A 1, Z1)Sn et Sp prsente des irrgularits quand on est proche desnoyaux magiques.25/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiNotions de base1 INTRODUCTION2 Termes correctifs :Energie de couche3 Modle du gaz de Fermi26/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiModle du gaz de FermiCe modle permet dxaminer les grosses proprits de ladynamique nuclaire en ngligeant certains dtails tels quelinteraction nuclon-nuclon. On peut obtenit ainsi : la valeur dupotentiel nuclaire et lnergie moyenne des nuclons. Dans cemod`le on considre que :Les potentiels sont indpendants, on ne tient pas compte desinteractions nuclon-nuclonLes particules sont soumises un potentiel en puitsrectangulaire` paroies nieslextension de ce puits doit tre suprieur la longueurdonde dun nuclon (A trs grand R > r.On peut remplacer le potentiel nuclaire symtrie sphrique parune boite cubique de ct a. On cherhce les tats stationnairesdun nuclon enferm dans cette boite.V= = a3=43R3=43r3A27/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiV = infiniV = 0Fonction donde nulleF.O non nulleFonction donde nullePotentiel infinipotentiel nulyzxaaaa28/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiA=43r3A=34r3= 0.17nuclon/fm3le ct de la boite cubique est a A13Les particules ne peuvent pas sortir de la boite, on considre quevers les bords de ce puits on a des forces trs attractives. Cetteboite peut tre considre comme un potentiel trois dimensions.Soit (x, y, z) : fonction donde dun nuclon dans cette boite.(x, y, z) satisfait lquation de Schrodinger :

22m = E

22m_2x2+2y2+2z2_ = E29/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiPar sparation des variables :(x, y, z) = x(x).y(y).z(z)_2x2+2y2+2z2_x(x)y(y)z(z)+2mE

2x(x)y(y)z(z) = 0k2=2mE

2k est le vecteur donde k2= k2x+k2y+k2zp =k2x2x(x) +k2xx(x) = 0 x(x) = Ax sin(kxx)2y2y(y) +k2yy(y) = 0 y(y) = Ay sin(kyy)2z2z(z) +k2zz(z) = 0 z(z) = Az sin(kzz)30/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiPour que le nuclon reste lintrieur du puits de potentiel cest dire pour que soit stationnaire il faut quelle vrie lesconditions de continuit aux bords. Pourx= a, y= a, z= a On a i(a) = 0kx= nx, ky= ny, kz= nz ki= niaE=

2k22m=

22m_n2x+n2y+n2z_2a2ki=adimension dune cellule lmentairek3i=_a_3Volume dune cellule lmentaireNombre dtats quantiques compris entre k et k +dkdN=18_4k2dk_a_3_31/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiO PbOPbRepresentation rRepresentation pyzxk32/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde Fermi = a3dN=4k2dk83p =k dN=4p2dp83

3=4p2dp(2)3En reprsentation p le volume dune cellule quantiquelmentaire est :(2)3= h3Les nuclons (protons et neutrons) sont des fermions,chaque cellule quantique peut contenir deux fermionsDaprs le principe dexclusion de Pauli, en tenant compte duspin et de la charge des nuclons, chaque tat dni par kpourra tre occup par quatre nuclons, deux protons etdeux neutrons de spins oppossLe nombre total dtats nucloniques est :dNdk=4k2dk8333/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiN=kF_0dNdk dk=A4N=kF_04k2dk83dk=22.k3F3=A4A=232.k3FOrAest une constante universelle par consquent kFest uneconstante universelle.kFest le rayon de la sphre de Fermi il est le mme pour tous lesnoyaux. =A 1.7x1038nuclons/cm30.17 fm30.17 =232.k3F fm3kF= 1.36 fm1avec= 6.582x1022Mev.s34/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiEnergie de Fermi :F=

2k2F2m 38MeVFest lnergie maximale que peut avoir un nuclon dans sontat fondamental. Lnergie totale du noyau est donne par :T= 4kF_0dNdk

2k22mdk=2222m.kF_0k4dk=2222mk5F5avecA=232k3FT=35232k3F.

2k2F2m=35A

2k2F2m=35AFLnergie cintique varie linairement avec A.35/ 48Cours dephysiquenuclaireAbdeslamHoummadaINTRODUCTIONTermes correctifs:Energie de coucheModle du gazde FermiTA=< T>=35F= 23MeV< T> est lnergie cintique moyenne par nuclon.Energie potentielle :B=

iTi+

i