cours-mecanique

Physique

Mécanique

&

Énergie

14 août 2007

Préambule :

Ce cours de mécanique a été écrit en partie avec le logiciel de PAO Lyx, une interface graphique aucélèbre Latex et en partie directement en latex. Il a donc été créé dans un environnement (ces deux logicielstournant sous GNU-Linux) libre dont l’objectif est de contribuer au progrès en mettant à disposition dechacun, pour un coût moindre, le travail de milliers de programmeurs bénévoles. Dans ce cadre, il étaitnaturel de permettre à chaque étudiant d’avoir accès à ce cours librement. C’est pourquoi, à l’instar deslogiciels, il est distribué sous licence GFDL, licence de documentation libre. Attention cependant aux imagesqui ne sont pas toute sous licence GFDL, mais peuvent être soumise à une autre licence libre ou être dansle domaine publique. Cela peut avoir une importance dans certains cas.

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Vincent Guyot

Chapeau-Râblé 37

2300 La Chaux-de-Fonds

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Copyright 2007 Guyot Vincent

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Remerciements

Je tiens ici à remercier tout particulièrement l’encyclopédie Wikipedia et la NASA, pour les nombreusesillustrations dont ce cours à pu bénéficier. Toutes deux rendent accessibles gratuitement à tous des savoirsimportants.

Je tiens aussi à remercier mon collègue M. Michel Augsburger pour son travail, ingrat mais nécessaire, derelecture attentive, de corrections et de sugestions pertinentes qui ont grandement augmenté la qualité dece cours.

3

Table des matières

1 Introduction 171.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 De l’infiniment grand à l’infiniment petit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1 L’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Les amas de galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Les galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Les étoiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.5 Le système solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.6 La terre et la lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

La terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22La lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.7 Le monde subatomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 La cinématique 312.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 Système d’axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.3 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.4 Déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.5 Distance parcourue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1 Vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.3 Vitesse instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1 Accélération moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Remarque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.3 L’accélération instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5 Mouvements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.1 Le mouvement rectiligne uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Un exemple : Apollo en route vers la lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Autre exemple : le déplacement d’Andromède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.2 Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.3 La chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.4 Balistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Second exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.5 La chute libre ... de la lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.6 Mouvement circulaire uniforme (MCU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Relation importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 La mécanique 453.1 La “mécanique” d’Aristote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2 Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.3 Aristote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Mécanique de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.2 Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Les trois loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6


Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.3 Types de forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Loi de la gravitation universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Le poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Gravitation et MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Le frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54La force d’un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 L’énergie 594.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.7 Conservation de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.8 Variation de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.9 Énergie thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.9.1 Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.10 Énergies renouvelables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.10.1 Énergie hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Types de turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Alternateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Problèmes rencontrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.10.2 Énergie éolienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.10.3 Énergie solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Énergie solaire thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Énergie solaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.10.4 Énergie géothermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.11 Énergies non renouvelables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.11.1 Énergie nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Fission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Déchets radioactifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Accidents nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.11.2 Énergie de combustion : pétrole et gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A Unités internationales 79A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2 Les unités choisies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.4 Conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.5 Multiples et sous-multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.6 Notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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B Deux systèmes de coordonnées 83B.1 Le système de coordonnées circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

B.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.1.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

B.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.2.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84B.2.3 Latitude et longitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

C Travaux pratiques 85C.1 Le rapport de laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

C.1.1 Plan d’un rapport de travail pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Titre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86But . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Description de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

C.2 La nébuleuse du crabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.2.2 But du travail pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.2.3 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.2.4 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.2.5 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.2.6 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

C.3 Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.3.1 Les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.3.2 Organisation des données et graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

C.4 Mouvement simple : MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90C.4.1 Les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90C.4.2 Organisation des données et graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90C.4.3 Analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

C.5 Mouvement simple : MRUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.5.1 But . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.5.2 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.5.3 Les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.5.4 Organisation des données et graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.5.5 Galilée et le plan incliné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

C.6 La chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.6.1 Cette expérience donnant lieu à un rapport noté, elle n’est pas décrite. . . . . . . . . . 91C.6.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

C.7 Le canon horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92C.8 Le chariot accéléré par une masse pendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8


D Rotations 93D.1 Rotation de la terre sur elle-même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93D.2 Rotation de la terre autour du soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93D.3 Rotation du soleil dans la voie lactée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95D.4 Vitesse et référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

E MRUA développements 97E.1 La position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97E.2 Une autre relation bien pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

E.2.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97E.2.2 Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

F Chute de la lune 99F.0.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99F.0.4 Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99F.0.5 Force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

G Satellite en orbite géostationnaire 101G.0.6 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101G.0.7 Théoriquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101G.0.8 Numériquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

H Énergies 103H.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103H.2 Énergie hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103H.3 Énergie éolienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

H.3.1 Règle de Betz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104H.3.2 Éoliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Éolienne de Collonges-Dorénaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Éoliennes du Mont Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

H.4 Géothermie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106H.5 Énergie de combustion des déchets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

I Exercices 107I.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

I.1.1 Relatifs à la conversion d’unités et à la notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . 107I.1.2 Relatifs aux notions de déplacement, position et distance parcourue . . . . . . . . . . 108I.1.3 Relatifs à la notion de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108I.1.4 Relatif à la notion d’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108I.1.5 Relatif au MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109I.1.6 Relatif au MRUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109I.1.7 Relatifs à la physique aristotélicienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109I.1.8 Relatifs à la physique Newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110I.1.9 Relatifs aux forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111I.1.10 Relatifs à l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112I.1.11 Relatifs à la conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

9


I.1.12 Relatif à l’énergie hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112I.1.13 Relatif à l’énergie éolienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113I.1.14 Relatifs à l’énergie solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

I.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10

Liste des figures

1.1 L’univers profond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Modèles de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 L’évolution du soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Interaction de deux galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Groupe local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Galaxie du Sombrero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 Nébuleuse planétaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8 Système solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9 La taille des planètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.10 La comète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11 La terre et la lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.13 Orbites de la lune et du soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.12 Les phases de la lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.14 La nébuleuse du Crabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.15 L’atome de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.16 L’atome : onde de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.17 L’orbitale : onde de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Un système d’axes en une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 La position d’un objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Apollo 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 Collision Andromède-Voie Lactée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6 Chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7 L’idée de la chute de la lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.8 Chute de la lune sur la terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.9 Mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.10 Résumé de cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 La balance de Cavendish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Loi de la gravitation universelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11

LISTE DES FIGURES LISTE DES FIGURES

3.3 La sensation des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 La force de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Freins de wagon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6 Essieu de wagon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7 La force du ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.8 Résumé de mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 Énergie cinétique et potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Barrage d’Emosson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Ancienne turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.6 Éolienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.7 Pale d’éolienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.8 Tube de vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.9 Solaire thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.10 Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.11 Cellule photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.13 Fission de l’uranium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.12 Applications de la géothermie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.14 Réacteur nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.15 Combustion du méthane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.16 Résumé de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.1 Relation de l’arc de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

B.1 Système de coordonnées circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.2 Système de coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

C.1 Rail horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87C.2 Chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

D.1 Le système géocentrique de Tycho Brahé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94D.2 Le soleil dans la voie lactée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

E.1 Discours concernant deux sciences nouvelles de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

F.1 Chute de la lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

G.1 Satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

H.1 Le barrage du Châtelot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

I.1 Le rayon de la terre par Eratosthène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108I.2 La poulie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111I.3 Graphes horaires du MRU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117I.4 Chute aristotélicienne de la tour Eiffel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12


I.5 Une fusée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121I.6 Une remorque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121I.7 Un ascenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

13


14

Liste des tableaux

1.1 Tableau des particules élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1 Données de la mission Apollo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 La hauteur en fonction du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 La vitesse en fonction du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

A.1 Les unités du système international . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.2 Conversions d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.3 Quelques équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.4 Multiples et sous-multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

C.1 Tableau de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

15

LISTE DES TABLEAUX LISTE DES TABLEAUX

16

Chapitre 1Introduction

1.1 Objectifs

Mouvements

Cette introduction montre que la description desmouvements des corps est une étape préliminaire àl’étude des causes du mouvement et à sa prédiction.On y voit que la description des divers mouvementsque l’on peut aborder n’est pas simple parce que lestypes de mouvements sont nombreux et que les diffé-rentes manières de les décrire sont très variées.

Structures

En même temps, on souligne le fait que le mouve-ment est toujours celui d’un corps et qu’il ne prendsens que dans le cadre de la description de ce quej’appellerai une structure. Il est important de mar-quer que le mouvement n’a lieu que par rapport à uneréférence, c’est-à-dire par rapport à d’autres corps.Ainsi tant le mouvement que l’étude du mouvementne peuvent-ils plus être absolus. L’idée newtoniennede mouvement absolu a fait la place à la relativité etl’étude du mouvements des objets doit être placée ausein des différentes structures connues de l’univers.Ainsi, on peut mieux se rendre compte que le mouve-ment est partout et qu’après la perception des chosesil est naturel de s’attarder à la compréhension desmouvements.

Fig. 1.1 – L’univers profondImage du télescope spatial Hubble 1

1.2 De l’infiniment grand à l’in-finiment petit

1.2.1 L’univers

La plus grande structure connue est l’univers. Lataille de l’univers observable est estimée à environ43 MAL, soit 43 milliard d’années lumière. Sa com-

17

1.2. DE L’INFINIMENT GRAND À L’INFINIMENT PETIT CHAPITRE 1. INTRODUCTION

position est analogue à une sorte de gaz dont les parti-cules seraient réparties uniformément dans le volumequi le contient. Sauf que de contenant il n’y a paset que les particules sont des super amas de galaxiesdont la taille ne dépasse pas 200 à 300 millions d’an-nées lumière. Leur nombre dans l’univers est estiméà 10 millions.

Les super-amas de galaxies sont des amas d’amasde galaxies. C’est au niveau de ces super-amas de ga-laxies que l’univers apparaît assez homogène bien queconstitué aussi d’une structure filamenteuse. L’ordrede grandeur de telles structures est de 100 Mpc =3 · 1024 m pour les super-amas de galaxies, voire150 Mpc = 5 · 1024 m pour les filaments.

L’univers est en expansion, ce qui signifie qu’ils’agrandit. Selon les dernières mesures effectuées parles astrophysiciens, sa forme serait platea. Qu’est-ceque cela signifie pour un univers qui est manifeste-ment un volume ? En fait, cela veut dire qu’on peutse l’imaginer comme une feuille de papier dont les di-mensions augmenteraient indéfiniment. Nous serionsalors des êtres à deux dimensions incapables de sedéplacer ailleurs que sur cette feuille. En particulierincapable d’en sortir. Cette feuille s’étendrait doncdans une (troisième) dimensions inaccessible pournous. Ainsi, notre univers à trois dimensions s’étenddans une dimension supplémentaire qui nous est in-accessible (entendez bien qu’on ne peut se déplacerlibrement dans celle-ci), une quatrième dimension, letemps.

Il y a peu de cela (quelques année seulement) uneautre solution semblait être possible. L’univers, se-lon les modèles des cosmologistes (physiciens étudiantl’univers), aurait pu être une sphère. On aurait doncpu le voir comme un ballon, enflant comme la gre-nouille qui voulait être un bœuf, sur lequel on auraitposé des amas de galaxies en deux dimensions (c’estle nombre de dimensions correspondant à la surfaced’un ballon puisque tout point de la surface d’unesphère peut être repéré par deux coordonnées : la lon-gitude et la latitude. Voir annexe B.2.3). Ainsi notreunivers aurait été un ballon avec une surface tridi-mensionnelle enflant dans une quatrième dimension,

aVoir l’article “Quelle est la forme de l’univers”, Science etVie junior, avril 2001

Fig. 1.2 – Modèles de courbureTrois modèles issus de la relativité générale 2

le temps.En réalité, les choses sont plus complexes encore,

puisqu’aujourd’hui les physiciens envisagent cet uni-vers dans une dizaine de dimensionsb. Ils laissent sup-poser aussi l’existence de plusieurs univers parallèles,dits univers bulles.

1.2.2 Les amas de galaxies

Viennent ensuite les amas de galaxies. Leur nombredans l’univers est estimé à 25 milliard. La répartitionde ces amas de galaxies n’est pas homogène, contrai-rement à celle des super-amas de galaxies. Cette ré-partition est celle de filaments qui laissent apparaîtredes zones plus ou moins denses d’amas de galaxies.

Cette répartition est complexe et encore sujetteà de nombreuses discussions. En particulier elle estl’objet d’études approfondies en relation avec la nais-sance de l’univers. En effet, il est difficile d’expliquercomment à partir des conditions homogènes propresau big-bang sont nées des structures aussi particu-lières. La figure 1.1 montre ce que l’on peut voir au-delà des étoiles de notre galaxie. Sur la photo de cette“petite” partie de l’espace ne figurent que des galaxies.

bVoir “Sur la piste des mondes parallèles”, Science et Vie,Juillet 2002.

18

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 1.2. DE L’INFINIMENT GRAND À L’INFINIMENT PETIT

Giordano Bruno (1548-1600)

Un grand homme rebelle qui eut le malheur d’avoir raisonavant les autres. Pour lui les étoiles étaient des soleils pareilsau notre. Dans L’Infini, Bruno s’adresse à lui-même en cesmots :

“Enseigne-nous que la composition de notreastre et monde est égale à d’autant d’astres etde mondes qu’il nous est possible de voir. [. . .]Montre-nous que la substance des autres mondesdans l’éther est pareille à celle de notre monde.”

(Jean Rocchi, 2000, p. 42.)

Giordano Bruno fut brûlé vif en 1600, pour avoir, sur labase d’une analyse du mouvement de la terre qui annoncela relativité restreinte de Galilée, remis en cause sa fixité etla finitude de l’univers.

Portrait de Giordano Bruno tiré de Wikipedia3

Fig. 1.3 – L’évolution du soleilVers une nébuleuse planétaire 4

Leur nombre et leur diversité sont saisissants. La fi-gure 1.4 montre quant à elle le groupe local dans le-quel se trouve notre galaxie la Voie Lactée. Il s’agitd’un amas de galaxie.

1.2.3 Les galaxies

Au nombre d’environ 350 milliards dans l’univers,les galaxies sont des structures composées de cen-taines de milliards d’étoiles qui se regroupent sousl’effet de la force de gravitation. Dans l’espace in-terstellaire constituant le “vide” autour des étoiles setrouvent aussi des nuages de poussières et de gaz (des

nébuleuses).A cette échelle, les mouvements des galaxies sont

perceptibles. Presque toutes s’éloignent de nous. Cephénomène est appelé “expansion”. Il est interprétécomme un mouvement dû au “gonflement” de l’uni-vers lui-même. Le mouvement local des galaxies étantfaible par rapport à celui général de l’expansion del’univers, il est rare de voir des galaxies se rappro-cher de nous. Pourtant, cela est le cas de la trèsfameuse (parce qu’observable à l’œil nu et la plusproche galaxie massive (autre que naine) de nous)galaxie d’Andromède.

Les mouvements locaux des galaxies entre elles

19


Fig. 1.6 – Interaction de deux galaxiesImage du télescope spatial Hubble 7

donnent lieu à des “chocs” spectaculaires entre ga-laxies. Le résultat est par exemple le système des deuxgalaxies des “chiens de chasse” ou à la figure 1.6 “lagrande spirale NGC 2207” (à gauche), située à 114millions d’années-lumière de la terre, étendant et dis-loquant sur plusieurs centaines de milliers d’années-lumière la “petite IC2163” en long filaments de “gazet de poussières”.

1.2.4 Les étoiles

Les galaxies sont donc composées d’étoiles. Plusde 100 milliards pour la voie lactée, la galaxie danslaquelle nous nous trouvons. Environ 30′000 milliardsde milliards pour l’univers en entier.

Ces étoiles sont plus ou moins grandes. Celle au-tour de laquelle nous nous déplaçons se nomme lesoleil. C’est une étoile de taille petite à moyenne.Le destin de notre étoile (voir figure 1.3) est d’en-fler considérablement pour devenir une géante rougeet ensuite de s’effondrer en laissant ses couches ex-térieures en périphérie et en concentrant ses couchesintérieures en une naine blanche, puis une naine noire.

Le résultat présente l’allure spectaculaire (voir figure1.7) de la “nébuleuse planétaire”.

Pour les étoiles bien plus grosses que le soleil, dontla masse m est telle que 1, 4 ·msoleil < m < 5 ·msoleil,l’évolution change. L’étoile commence par “gonfler”pour devenir une géante rouge, puis une super-géantequi explose de manière fracassante en une supernovaepour ne laisser finalement qu’une étoile à neutrons.Enfin, pour les très grosses étoiles, dont la masse mest telle que m > 5 · msoleil, l’évolution est la mêmeque précédemment jusqu’à la supernovae. Après lesrestes sont si denses qu’il se crée un trou noir.

Le destin et l’évolution des étoiles est donc unechose complexe, d’autant plus que les différents élé-ments répertoriés dans le tableau périodique de Men-deleïev ont été créé au sein des étoiles. Mais la phy-sique de ces constructions dépasse le propos de cecours.

1.2.5 Le système solaire

Autour des étoiles qui composent notre galaxietournent des planètes (actuellement plus de 200 pla-

20


Fig. 1.4 – Groupe localLes galaxies proches 5

Fig. 1.5 – Galaxie du SombreroImage du télescope spatial Hubble 6

nètes extra-solaires ont été découvertes9). Autourde notre soleil tournent huit planètes (MVTMJSUN. . . ) et d’autres corps plus petits parmis lesquels setrouvent des planètes dites naines. Cérès (dans laceinture d’astéroïde), éris (un tout petit peu plusgrande que pluton et qui fait partie de la ceinture deKuiper, au-delà de l’orbite de neptune) et pluton enfont partie. La figure 1.8 présente le système solairesans respecter les ordres de grandeurs.

La rotation de celles-ci se fait dans un seul plan(enfin presque) que l’on nomme le plan de l’éclip-

Fig. 1.7 – Nébuleuse planétaireImage du télescope spatial Hubble 8

tique. Relativement à la terre, ce plan est décrit parla rotation du soleil. C’est donc le long de la trajec-toire du soleil que, la nuit, on peut voir certaines pla-nètes. Certaines sont visibles en pleine nuit. D’autresne le seront jamais. C’est le cas, par exemple, pourVénus. C’est une planète qui tourne près du soleil.Elle tourne aussi à l’intérieur du cercle (enfin presquepuisqu’en réalité c’est une ellipse) que décrit la terresur sa trajectoire (on parle de l’orbite de la terre eton parle de planète interne). C’est pourquoi, depuisla terre, nous ne la verrons que dans le voisinage dusoleil. Ainsi, on peut la voir le matin avant que le so-leil se lève (on l’appelle alors l’étoile du matin) ou lesoir, peu de temps après que le soleil se soit couché(elle porte alors le nom d’étoile du soir). Les planètesse divisent en trois groupes : les quatre planètes ditestelluriques sont celles qui sont le plus proche du soleil.Elles sont petites, solides et relativement semblablesà la terre. Les quatre planètes dites joviennes sont, àl’image de jupiter, très grosses et gazeuses. Enfin, àpartir de pluton, les corps sont très petits, très éloi-gnés et ne sont plus considérés comme des planètes.La figure 1.9 présente les planètes en respectant lesordres de grandeurs de leurs tailles respectives.

Il existe encore d’autres corps importants dans le

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Fig. 1.8 – Système solaireImage de la Nasa 10

système solaire : les comètes (voir figure 1.10). Cesont de très petits corps (quelques dizaines de ki-lomètres de diamètre) qui viennent de régions trèséloignées du système solaire (le nuage de Oort : “ils’agirait d’une vaste enveloppe de corps orbitant entre40′000 ua et 150′000 ua (0,73 pc) de distance du So-leil, et donc située bien au-delà de l’orbite des pla-nètes et de la ceinture de Kuiper”12) et qui, pourainsi dire, tombent sur le soleil selon une trajectoiretrès elliptique. En passant elles laissent sur leur or-bite une traînée de poussière qui se manifeste sous laforme d’une magnifique queue. Ce sont ces traînéesde poussières que la terre rencontre sur son orbiteen donnant lieu aux fameuses pluies de météorites.Celles-ci semblent alors provenir d’un point bien pré-cis dans le ciel, comme la neige qui tombe sur le pare-brise d’une voiture semble venir d’un point situé dansla direction du déplacement de la voiture. Dans le cas

de météorites, ce point se nomme le radian. Les mé-téorites ne sont donc ni des étoiles (même si on parleaussi d’étoiles filantes pour les décrire), ni des pla-nètes ou des comètes, mais de “petites” poussières quis’enflamment en entrant dans l’atmosphère terrestre.

1.2.6 La terre et la lune

La terre

On sait aujourd’hui que la terre tourne autour dusoleil et sur elle même. Ainsi, lorsqu’on regarde le cieldepuis la terre, la voûte céleste semble tourner aucours de la nuit. Les étoiles se lèvent au sud-est, pouraller se coucher au sud-ouest. Mais au nord, la situa-tion est différente. En effet, l’étoile polaire ne tournepas et les étoiles alentours semblent tourner autourd’elle. La Grande Ourse, notamment, reste toujoursvisible au voisinage de la polaire. C’est une première

22


Fig. 1.9 – La taille des planètesImage de la Nasa11

Fig. 1.10 – La comèteImage du télescope spatial Hubble 13

manifestation du fait que la direction de l’axe de ro-tation de la terre est fixe dans l’espace. Pointer lapolaire du doigt est une façon de s’imaginer cet axe.

Une autre manifestation de ce fait vient de la né-cessité d’expliquer les saisons autrement que par lavariation de distance terre-soleil au cours de l’année(cette variation ne peut en effet servir d’explicationparce que l’orbite de la terre autour du soleil est pra-tiquement un cercle et parce qu’il y aurait alors deuxmême saison par année).

L’explication correcte vient de l’inclinaison de l’axede rotation de la terre par rapport au plan de l’éclip-tique et de la permanence de sa direction dans l’es-pace. En effet, comme cet axe n’est pas perpendicu-laire au plan écliptique, l’un des deux hémisphèresest plus “exposé” au rayons du soleil que l’autre, parle simple fait que ses rayons le frappent plus verti-calement. De plus, on ne peut comprendre que lessaisons soient différentes dans les deux hémisphèresqu’avec un axe de rotation pointant toujours dansla même direction. Ce comportement est analogue àcelui d’une toupie dont l’axe reste vertical pendantqu’elle tourne, alors qu’il ne peut le rester quand elleest immobile.

23


Fig. 1.11 – La terre et la luneImage de la Nasa14

La lune

Finissons ce petit voyage dans le monde céleste enparlant de la lune. La figure 1.11 montre le rapport detaille entre la lune et la terre, ainsi que les différencesd’aspect de leur surface.

Il peut sembler au premier abord que le mouvementde la lune est simple. En effet, elle tourne sur uneellipse (on la voit donc parfois un peu plus grosse,au périgée où la distance terre-lune est de 3, 654 ·108 m et son diamètre apparent de 33, 5′, et parfois unpeu plus petite, à l’apogée où elle vaut 4, 067 · 108 met son diamètre apparent 29, 3′, soit ∼ 10% de ladistance moyenne) en un mois environ. La variationapparente de sa taille ainsi que de celle du soleil due àla trajectoire elliptique que suit la terre et qui oscilleentre 31, 5′ et 32, 5, explique l’allure des différenteséclipses de soleil. Quand la lune est proche de la terre,elle ne couvre pas tout le disque solaire et l’éclipseprésente un anneau de lumière autour de la lune, onparle alors d’éclipse annulaire. Par contre, quand lalune est proche de la terre, son diamètre apparent estplus grand et la lune couvre tout le disque solaire eton parle d’éclipse totale.

Mais pour comprendre vraiment ce qu’est uneéclipse, il faut tout d’abord parler des phases de lalune. Elles sont la conséquence du fait qu’une moitiéde la lune n’est pas éclairée.

Ainsi, quand la lune nous présente cette moitié nonéclairée, on ne la voit pas. C’est la lune noire. Comme

Fig. 1.13 – Orbites de la lune et du soleilDes plans différents16

la lune est alors pratiquement entre la terre et le so-leil, seules les personnes qui se trouvent du côté jourde la terre pourraient la voir. Or, quand il fait jour,le soleil éclaire l’atmosphère qui nous cache alors lescorps célestes. On parle aussi alors de nouvelle lune.

Quand la lune nous présente simultanément la moi-tié de sa partie non éclairée et la moitié de sa partieéclairée, on voit ce qu’on appelle une demi-lune. Enréalité on voit un quart de la lune. C’est le premierquartier.

Quand la lune ne nous présente plus que sa partieéclairée, elle est alors “derrière” la terre par rapportau soleil, on ne voit plus sa partie non éclairée etc’est la pleine lune, environ deux semaines après lanouvelle lune.

Enfin, la lune se présente une nouvelle fois en demi-lune, c’est-à-dire qu’on en voit que l’autre quart.C’est de dernier quartier.

La figure 1.12 résume la situation décrite ci-dessus.La question se pose alors de la différence entre

éclipse de soleil et nouvelle lune et éclipse de luneet pleine lune. En effet, si la lune tournait dans leplan de l’écliptique, il se produirait une éclipse de so-leil chaque nouvelle lune et une éclipse de lune chaquepleine lune. Comme on sait bien que ce n’est pas lecas, cela signifie que la lune ne tourne pas dans lemême plan que l’écliptique. En réalité le plan de ro-tation de la lune fait un angle de 5◦ 17′ par rapportà l’écliptique comme le montre la figure 1.13.

Comme ces plans ne coïncident pas, tant que la

24


Fig. 1.12 – Les phases de la luneCe n’est pas l’ombre de la terre15

lune n’est pas dans le plan de l’écliptique, c’est-à-dire sur la ligne des nœuds présentée dans la figure1.13, il ne peut y avoir d’éclipse. Or, la lune coupele plan de l’écliptique deux fois pas mois. Mais en-core faut-il que la ligne des noeuds soit alors alignéeavec le soleil. Il faut dire aussi que le plan de ro-tation de la lune tourne sur lui-même entraînant laligne des noeuds avec lui. Sa période de rotation estde 18, 61 ans. Ainsi, la ligne des noeuds tourne surelle-même d’un angle de ∼ 19, 6◦ par an. Finalementdonc, on peut calculer que l’alignement de la lignedes noeuds et du soleil se fait tout les 173 jours en-viron17. Cette durée constitue ce qu’on appelle unesaison d’éclipses.

Mais, tout cela est en définitive bien plus compli-qué, pour les éclipses de soleil notamment, par le faitque l’ombre de la lune ne couvre pas la totalité de la

terre. Si bien qu’en un lieu donné à sa surface, au mo-ment où des éclipses de soleil et de lune sont possibles,il se peut que seule une éclipse de lune soit visible,alors que celle de soleil ne l’est pas à cet endroit.

Finalement, avec ce petit tour de l’horizon céleste,on peut maintenant mieux se rendre compte que les“objets” qui constituent notre univers sont loin d’êtreimmobiles et que leur mouvement sont difficile à biendécrire. . . Mais c’est là la tâche de la physique qued’élaborer cette description avec précision pour nouspermettre d’envoyer des hommes sur la lune ou deplacer des satellites qui nous permettent de mieuxcommuniquer.

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Fig. 1.14 – La nébuleuse du CrabeLes restes d’une supernovae18

1.2.7 Le monde subatomique

D’un côté donc, des mondes bien plus grands que lenôtre et de l’autre aussi des mondes bien plus petits.La biologie nous enseigne que nous sommes composésde cellules et la chimie que celles-ci sont construitesavec des molécules. Chacune de ces dernières sontfaites d’atomes. Or, ces atomes sont construits dansles étoiles (Une bonne introduction à l’astrogénèse dela matière est donnée dans (Sylvie Vauclair, 2006) ou(Françoise Balibar, 2005)).

Actuellement, on compte 90 types d’atomes natu-rels, c’est-à-dire des atomes n’existant pas naturelle-ment sur terre uniquement sous forme de traces. Leplus léger, l’hydrogène, est composé d’un proton etd’un électron. Le plus lourd, l’uranium est composéde 238 nucléons, les particules composant le noyau.Cet atome comprend 92 protons, autant d’électronset 146 neutrons. Comme l’uranium comprend 92 pro-tons et qu’il existe 90 atomes naturels, deux élémentsau sein des atomes naturels sont artificiels : le techné-tium (9843Tc) et le prométhium (14561 Pm). Les élémentscomprenant un nombre de protons suppérieur à 92sont artificiels.

La genèse de ces atomes est complexe. On peutdistinguer plusieurs étapes.

Fig. 1.15 – L’atome de BohrUn système planétaire19

Pendant le big bang, c’est-à-dire pendant les centpremières secondes de l’univers(Sylvie Vauclair,2006, p. 88), la densité et les pressions sont tellesque l’hydrogène apparaît sous la forme d’un pro-ton. Nous verrons par la suite comment. Puis, seforme le deutérium, isotope de l’hydrogène com-posé d’un proton et d’un neutron. Puis l’hélium 3et 4 et le lithium 7. Et c’est tout, car la tempéra-ture diminuant, elle n’est plus assez grande pourpermettre la formation d’éléments plus lourds.

A l’intérieur des étoiles, la formation d’hélium àpartir de l’hydrogène se produit au début de leurvie. Elle passe encore en premier lieu par la for-mation de deutérium, puis d’hélium 3 et 4. Ac-tuellement dans le soleil plus de 500 millions detonnes d’hydrogène fusionnent chaque secondepour donner de l’hélium. Une petite partie, en-viron 0, 7%, est convertie en énergie.Ces deux éléments, hydrogène et hélium, consti-tuent respectivement 71% et 27% de la massedu système solaire, soit au total 98% de celle-ci.C’est dire leur importance.Lorsque l’hydrogène a été brûlé, l’étoile secontracte et il se forme des atomes plus lourdscomme le carbone, l’azote et l’oxygène en pas-sant par le bérilium. Puis dans un second temps

26


le fluor et le néon à partir du carbone et de l’oxy-gène, puis les éléments suivants jusqu’au fer.Dans certaines étoiles (les géantes rouges parexemple) la création des éléments encore pluslourds ne se fait plus par fusion. En effet, larépulsion électrique entre les atomes qui de-vraient fusionner devient si importante en rai-son du nombre élevé de protons qu’ils ne fu-sionnent plus. Par contre, ils s’entourent pro-gressivement de neutrons (produits de la fusiondes éléments précédents) qui ne sont pas repous-sés par la force électrique, et grossissent telle-ment qu’ils deviennent instables. Alors certainsneutrons se transforment par désintégration enprotons créant ainsi de nouveaux éléments pluslourds que le fer.

Lors de l’explosion d’une étoile, phénomèneappelé supernovae (voir la figure 1.14), seforment les éléments plus lourd que le carbone,l’azote et l’oxygène et cela jusqu’au fer, atomesi stable que ces conditions ne suffisent mêmepas à former des éléments plus lourds.Puis, comme précédemment, les éléments pluslourds sont aussi formés par désintégration desneutrons insensible à la force électrique qui sesont liés au fer.

Dans le gaz interstellaire enfin, se forment lestrois éléments légers particuliers que sont le li-thium, le béryllium et le bore par fission du car-bone, de l’azote et de l’oxygène.

Mais la physique ne s’arrête pas là dans sa des-cription de l’infiniment petit. Elle s’intéresse encore àd’autres objets extraordinaires. En effet, si les mou-vements des atomes peuvent encore facilement êtrereprésentés en termes de trajectoire, ceux de leurscomposants sont bien plus étranges. Car on peut au-tant les voir comme de petites particules (et cela àdonné lieu, à l’origine, à un modèle de l’atome ditde Bohr (voir fig. 1.15) où les électrons orbitaientautour du noyau, comme les planètes autour du so-leil) que comme des “choses” infiniment étendues quel’on appelle ondes. Cette dualité du mode d’exis-tence des particules élémentaires comme les électrons,les protons, les neutrons et bien d’autre encore tra-duit l’existence d’un objet physique bien particulier,

Fig. 1.16 – L’atome : onde de probabilitéUne image bien plus complexe20

le quanton, et présente des difficultés d’analyse deleur mouvement. Au niveau des “trajectoires” élec-troniques, par exemple, on constate que certaines or-bitales semblent passer par le noyau (voir fig. 1.17).En outre, celles-ci ne peuvent être précisément repré-sentées comme l’orbite d’une planète pourrait l’être.En fait, elles ne sont même pas des surfaces, maisplutôt des zones étendues de l’espace dans lesquellesla probabilité de trouver un électron est importante

Fig. 1.17 – L’orbitale : onde de probabilitéUne autre image complexe21

27


Tab. 1.1 – Tableau des particules élémentairesBeaucoup de diversité

Atome Noyau Nucléon Quarks Cordes

Fermions

Ce sont lesparticules quiconstituent lamatièreordinaire

Leptons Quarks

Électron (e−) Neutrino (νe)électronique

Bas (d) Haut (u)

Il détermine les

propriétés

chimiques. Chargé

négativement.

Très faible

interaction avec la

matière. Sans

charge.

1x dans le proton,

2x dans le neutron.

2x dans le proton,

1x dans le neutron

Particules du bigbang, présentesdans les rayonscosmiques ou lesaccélérateurs

Muon (µ−) Neutrinomuonique (νµ)

Étrange (s) Charme (c)

Un électron plus

massif

Un autre neutrino Un bas plus massif Un haut plus mas-

sif

Tau (τ) Neutrinotauique (ντ)

Beauté (b) Vérité ou Top(t)

Un muon plus

massif

Un autre neutrino Un étrange plus

massif

Un haut encore

plus massif

Bosons

Particulesreprésentant lesforcesélémentaires

Photon (γ) Gluon (g) Bosons (W Z)intermédiaires

Graviton

Grain de lumière ;

vecteur de la force

électromagnétique

Cohésion du noyau

et des nucléons ;

vecteur de la force

forte

Radioactivité ;

vecteur de la force

faible

Poids : vecteur de

la force de gravita-

tion

(voir fig. 1.16). Car, à cette échelle, on ne peut plusdécrire la position de l’électron que par une probabi-lité de présence. En effet, un principe d’indétermina-tionc, dit de Heisenberg, règle la relation entre leur

cLe terme d’indétermination est préférable à celui d’incer-titude, communément attribué au principe de Heisenberg, qui

position et leur vitesse. Celui-ci exprime la constata-tion que si l’on connaît parfaitement la position d’un

laisse penser que l’indétermination est uniquement due à lamauvaise qualité de nos instruments de mesure et non à lacaractéristique fondamentale des quantons de ne pas être lo-calisés.

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tel objet, alors sa vitesse ne peut nous être que to-talement inconnue. Et inversement, si sa vitesse estparfaitement déterminée, alors on ne peut savoir oùest l’objet. Ainsi, au niveau microscopique, la notionmême de mouvement n’est pas claire, ou plutôt estbien plus complexe que celle que nous rencontronsdans la vie quotidienne.

“Il n’y a pour les quantons plus de mou-vement au sens d’une trajectoire, commecelle que suit une particule classique. Puis-qu’un quanton possède une spatialité conti-nue, a une extension spatiale indéfinie, sonmode d’évolution temporelle est plus prochede la propagation des ondes que du mou-vement des corpuscules. Il faut donc icirompre avec le projet cartésien qui était dedécrire le monde « par figures et mouve-ments ». Plus de figures, plus de mouve-ment, mais d’autres caractérisations, biensûr, qui ne correspondent pas à nos intui-tions immédiates et à nos pratique com-munes – ce sont de nouvelles notions que lesthéories physiques font émerger de l’expé-rience du monde quantique.” (Jean-Marc Lévy-Leblond, 2006, p. 33)

Ce monde étrange et fascinant de la physique del’infiniment petit ne s’arrête pas à la dualité onde cor-puscule. La recherche des composants ultimes de lamatière a de tout temps relevé du domaine de la phy-sique. Avec l’atome, un pas important a été franchi.Mais il existe plus de 92 types d’atomes qui ont cha-cun leurs propriétés spécifiques. Naturellement doncon s’est intéressé à sa composition. Ce qui permit dedécouvrir les électrons, les protons et les neutrons.Ainsi, d’élémentaire, l’atome est passé au rang destructure complexe. Mais, comme on peut aussi levoir dans le tableau 1.1, il existe encore beaucoupd’autres particules qui composent le monde subato-mique.

On peut y voir que l’ensemble des particules se dé-compose en deux catégories essentielles : les fermionset les bosons. Les premiers forment la matière et lessecond expliquent la nature des forces fondamentales.

Les fermions Cette catégorie se compose elle-même de deux groupes : les leptons et les quarks.Les quarks sont les constituants des nucléons(composants du noyau) : protons et neutrons.Chaque nucléons est composés de trois quarks.

Les leptons quant à eux doivent être considéré in-dividuellement à l’instar de l’électron et du neu-trino électronique.

Les bosons Sorte de messagers des interactionsélémentaires, ils permettent de comprendre com-ment se réalisent les actions entre les corps. Cesactions sont des forces, comme la force de frot-tement, la force de gravitation, la force d’un res-sort. . . qui ont toutes pour origine une des quatreinteractions fondamentales à laquelle correspondchaque fois un type de particule véhiculant cetteforce :

Électromagnétique ↔ Le photonFaible ↔ Un boson intermédiaire

Forte ↔ Le gluonDe gravitation ↔ Le graviton ?

Il faut noter que le graviton est encore hypothé-tique.

Finalement, il faut encore parler des particules trèsparticulières formant l’antimatière. On sait de nosjours produire et stocker pendant une courte pé-riode (quelques joursd) ce type de particules qui inter-agissent fortement avec la matière ordinaire en dispa-raissant totalement au profit de lumière. Ce sont desparticules qui ont des propriétés inverses des parti-cules de la matière ordinaire. Par exemple, un po-sitron, qui est un anti-électron, a la même massequ’un électron, mais une charge opposée. Ces par-ticules n’existent pas sur terre ailleurs que dans lesaccélérateurs de particules où elles sont produites par

dOn crée des anti-protons dans un accélérateur de particulescomme le CERN à Genève, on les ralentis et on les piège dansun champ électromagnétique. Voici à ce sujet un commentairede M. Carlo RUBBIA (Prix Nobel de Physique 1984) :

“L’antimatière est, comme vous l’avez vu, pro-

duite au CERN où une véritable usine de produc-

tion a été construite. Nous utilisons des protons

qui sont accélérés et viennent frapper une cible. Au

cours des collisions, il y a production d’un grand

nombre de particules ou d’antiparticules et, parmi

elles, on trouve des antiprotons. Ces antiprotons

sont stockés dans une bouteille magnétique qui,

dans le cas particulier, est un anneau de stockage à

accumulation. On obtient ainsi une quantité d’an-

timatière qui n’est pas très petite puisqu’elle atteint

un microgramme par jour.” 22

29


la collision d’autres particules. Mais on peut envisa-ger qu’il en existe beaucoup ailleurs dans l’univers.Cette question reste cependant débattue.

Conclusion

Ainsi donc on peut maintenant mieux se rendrecompte pourquoi la compréhension du mouvementest l’un des premiers objectifs du physicien et pour-quoi la science qui permet de prévoir le “destin” desobjets, la mécanique, commence par une descriptiondes mouvements les plus simples, par ce que l’onnomme la cinématique.

30

Chapitre 2La cinématique

2.1 Introduction

La cinématique est la science de la descriptiondu mouvement. L’origine du mot, kinêma, le mou-vement, est la même que celle du mot cinéma. Ils’agit de rendre compte des différentes manières dedécrire précisément le mouvement d’un corps dansl’espace. Cette description n’implique pas la déter-mination des causes du mouvement. Celles-ci serontintroduites dans la dynamique.

2.2 Position

2.2.1 Dimensions

Une dimension

On dira du mouvement d’un système qu’il est uni-dimensionnel ou en une dimension quand il se faitselon une droite.

Deux dimensions

On dira du mouvement d’un système qu’il est bi-dimensionnel ou en deux dimensions quand il se faitdans un plan.

Trois dimensions

On dira du mouvement d’un système qu’il est tri-dimensionnel ou en trois dimensions quand il se fait

dans l’espace.

2.2.2 Système d’axes

Nous allons ici, pour plus de facilité, nous limiteraux mouvements unidimensionnels. La généralisationen deux dimensions est naturelle pour des systèmesd’axes et de coordonnées cartésiens. Nous ne verronspas d’autre types de système d’axes. Par contre, voustrouverez en annexe B deux autres systèmes de co-ordonnées : circulaires (bidimensionnel) et sphérique(tridimensionnel). Ils sont assez simples pour êtrecompris sans autre.

L’utilisation de plusieurs dimensions implique latransformation des grandeurs scalaires utilisées par lasuite en grandeurs vectorielles. Présentée ici commeune grandeur scalaire, la vitesse par exemple est enfait un vecteur. Pourtant, par souci de simplicité,quand ce n’est pas absolument nécessaire, seules lesgrandeurs scalaires seront utilisées. Le passage auxgrandeurs vectorielles est cependant simplement réa-lisé en plaçant une petite flèche au-dessus des gran-deurs à caractère vectoriel. On peut alors considérerles définitions et relations mathématiques concernéescomme vectorielles.

Un système d’axes est donc, en une dimension,une ligne orientée (munie d’un sens), c’est-à-dire uneflèche, munie d’une origine notée O, d’une unité delongueur notée 1 et de graduations multiples de cetteunité. On la représente comme indiqué à la figure 2.1

31

2.3. VITESSE CHAPITRE 2. LA CINÉMATIQUE

et on la nomme généralement x.

Fig. 2.1 – Un système d’axes en une dimension

0 1 x

2.2.3 Position

La position d’un objet est tout simplement le pointcoïncidant sur l’axe avec le lieu où se trouve l’objet.En une dimension elle est notée x et prend pour va-leur celle donnée par le choix de l’origine et de l’unité.Exemple à la figure 2.2.

Fig. 2.2 – La position d’un objet

0 1 x

On écrira alors dans ce cas particulier : x = 4 cm.Bien entendu, si l’objet se déplace dans un plan,

la position devient le vecteur position −→r , repéré pardeux coordonnées. Par exemple, on pourrait avoir :

−→r =

(

34

)

cm

2.2.4 Déplacement

Le déplacement, noté D ou ∆x est la différenceentre les positions initiale et finale de l’objet. On peutdonc écrire : D = ∆x = xfinal − xinitial = xf − xi =x2 − x1. En deux dimensions, x est simplement unvecteur.

2.2.5 Distance parcourue

Il ne faut pas confondre déplacement et distanceparcourue. Si un objet part d’un point, parcourt unecertaine distance et y revient, son déplacement estnul. Par contre sa distance parcourue, notée d, nel’est pas.

2.3 Vitesse

2.3.1 Vitesse moyenne

La vitesse moyenne v d’un objet est donnée par :

v =deplacement

temps

=positionfinale − positioninitiale

temps

En d’autres termes :

v =d

t=

xf − xi

t=

∆x

t(2.1)

Bien que la notation exacte pour la vitessemoyenne soit v, la barre sur le v est souvent omisequand cela ne pose pas de problème de confusion avecla vitesse instantannée.

Les unités de la vitesse sont : [v] = m/sEn plusieurs dimensions, la définition de la vitesse

est identique sauf que la notation vectorielle apparaît.

2.3.2 Exemples

Exemple 1

Un objet se déplace de x = 3 m à x = 7 m en 10 s.Quelle est sa vitesse moyenne.

Réponse :

v =7 − 3

10= 0, 4 m/s

Exemple 2

Un objet se déplace de x = 30 km à x = 10 kmen une demi-heure. Calculez sa vitesse moyenne enkm/h et en m/s.

Réponse :

v =10 − 30

0, 5= −40 km/h =

−40 · 103

60 · 60= − 40 · 103

3, 6 · 103= − 40

3, 6= −11, 1 m/s

La vitesse est négative, donc l’objet recule.

32

CHAPITRE 2. LA CINÉMATIQUE 2.4. ACCÉLÉRATION

2.3.3 Vitesse instantanée

La vitesse instantanée d’un objet est la vitesse qu’ila à un instant précis et non au cours d’un intervallede temps donné. Cette vitesse est obtenue en raccour-cissant l’intervalle de temps entre les deux mesures deposition finale et initiale, jusqu’à ce que cet intervallesoit infiniment court, c’est-à-dire nul. On a alors lavitesse instantanée à ce moment précis. Ainsi on peutécrire formellement :

vinstantannee = lim∆t→0

∆x

∆t=

dx

dt

et on verra que cette opération mathématique delimite correspond à la notion de dérivée.

2.4 Accélération

2.4.1 Accélération moyenne

L’accélération moyenne a d’un objet est donnéepar :

a =vfinale − vinitiale

temps=

v2 − v1

t

a =∆v

t=

vf − vi

t=

∆v

t(2.2)

Bien que la notation exacte pour l’accélérationmoyenne soit a, la barre sur le a est souvent omisequand cela ne pose pas de problème de confusion avecl’accélération instantannée.

Les unités de l’accélération sont [a] = m/s2.En plusieurs dimensions, la définition de l’accélé-

ration est identique sauf que la notation vectorielleapparaît.

2.4.2 Exemples

Exemple 1

Un objet accélère de 0 à 100 km/h en 10 s. Quelleest son accélération ?

Réponse : attention, il faut que les unités du déno-minateur (s) correspondent à celles du numérateur

(km/h). On doit donc soit transformer des km/h enkm/s, soit des secondes en heures :

– 100 km/h = 100/3600 km/s = 0, 028 km/sAinsi, l’accélération vaut alors a = 0, 028/10 =0, 0028 km/s2.

– 10s = 10/3600 = 0, 0028 hAinsi, l’accélération vaut alors a =100/0, 0028 = 36′000 km/h2.

– La solution la plus courante est d’exprimertoutes les grandeurs en unités du système inter-national (voir annexe A), c’est-à-dire des mètreset des secondes.Ainsi on aurait : 100km/h = 100/3, 6 =27, 8 m/s et l’accélération serait alors a =27, 8/10 = 2, 78 m/s2.

Exemple 2

Un objet passe de 20 m/s à 36 km/h en 10 s. Quelleest son accélération ?

Réponse : 36 km/h = 36/3, 6 = 10 m/s. Ainsi a =(10 − 20)/10 = −1m/s2. L’accélération est négative.Cela signifie ici que l’objet freine. On parle alors d’uncas particulier d’accélération : la décélération.

Remarque :

Dans le calcul de l’accélération, il faut toujours te-nir compte des vitesses avec leur signe. Ainsi, il estpossible de concevoir un objet qui ne décélère pas etdont l’accélération est négative (voir exercices).

2.4.3 L’accélération instantanée

De la même manière que pour la vitesse instanta-née, on peut définir l’accélération instantanée par :

ainstantannee = lim∆t→0

∆v

∆t=

dv

dt

33

2.5. MOUVEMENTS SIMPLES CHAPITRE 2. LA CINÉMATIQUE

2.5 Mouvements simples

2.5.1 Le mouvement rectiligne uni-forme (MRU)

Définition

Un objet est dit en mouvement rectiligne uniforme(MRU), s’il se déplace en ligne droite et à vitesseconstante.

Propriétés

De la définition de la vitesse on tire :

v = vo =x − xo

t⇒ vo · t = x − xo

⇒ x = vo · t + xo

car la vitesse v au cours du temps ne change pas.Elle est donc la même à un instant t quelconque et àl’instant t = 0 s, moment où on la note vo.

Ainsi, on peut écrire :

x(t) = vo · t + xo (2.3)

Cette équation donne la position x(t) d’un ob-jet au cours du temps en fonction de sa vitesse vo

(constante), de l’instant t qu’on considère et de saposition initiale xo. C’est une droite affine de pentevo et d’ordonnée initiale xo.

Un exemple : Apollo en route vers la lune

Il s’agit ici d’un exemple - contre-exemple, commenous allons le voir par la suite. D’une manière trèsgrossière, on peut décrire le mouvement d’une capsuleApollo en route vers la lune en trois phases :

1. La fusée décolle et amène la capsule à une al-titude de 370 km environ. Celle-ci est alors enorbite autour de la terre.

2. On allume la propulsion pour la faire dégager deson orbite autour de la terre. Elle se dirige alorsvers la lune.

3. Elle arrive à une altitude de 5700 km environ dela surface de la lune. Là, elle est freinée (pardes moteurs) pour être capturée par la lune etpouvoir s’y poser.

Fig. 2.3 – Apollo 16Rencontre du module de commande et du module lunaire

d’apollo 16 le 23 avril 197223.

Pendant la phase de transfert entre les deux or-bites terrestre et lunaire, on peut faire l’hypothèsed’un MRU. Nous verrons par la suite la validité decette hypothèse. En utilisant les différentes grandeursdonnées ci-dessous, calculez la vitesse moyenne de lacapsule Apollo 12 lors de son transfert vers la lune.

On a besoin des données du tableau 2.5.1a :

Solution :

Le temps t de déplacement vaut :

t = 4 h 45 mn + 3 · 24 h + 6 h 10 mn

= 82 h 55 mn = 82, 92 h

aApollo en chiffres : http ://history.nasa.gov/SP-4029/contents.htm

34

CHAPITRE 2. LA CINÉMATIQUE 2.5. MOUVEMENTS SIMPLES

Tab. 2.1 – Données de la mission Apollo 12

Grandeur Valeur

Rayon de la terre 6′371 kmAltitude orbite terrestre 370 kmDate départ orbite terrestre 14 nov. 1969Heure départ orbite terrestre 19 h 15Distance terre-lune 3, 84 · 108 mAltitude orbite lunaire 5700 kmDate arrivée orbite lunaire 18 nov. 1969Heure arrivée orbite lunaire 6 h 10Rayon de la lune 1, 738 · 106 m

La distance d de déplacement vaut :

d = dterre−lune − Rterre − horbite−terre

−Rlune − horbite−lune

= 3, 84 · 105 − 6′371 − 370

−1, 738 · 103 − 5′700 = 369′821 km

La vitesse moyenne est donc de :

v =d

t=

369′821

82, 92= 4460 km/h

Remarques importantes :

En réalité le mouvement de la capsule est loind’être un MRU. En effet, la terre et la lune exercentleurs attractions respectives. Ainsi, si la vitesse ini-tiale de rotation de la capsule autour de la terre étaitde 28000 km/h, celle-ci était augmentée par la pro-pulsion pour se dégager de la terre jusqu’à une valeurde 38000 km/h.

Ensuite, l’attraction de la terre freinait constam-ment le vaisseau. “Sa vitesse tombait ainsi à prèsde 5000 km/h au point d’équigravité (gravité équi-valente entre la Terre et la Lune) qui se situe à en-viron 300′000 km de notre planète (sur une distancemoyenne Terre-Lune de 380′000 km), pour accélérer ànouveau compte tenu de l’attraction lunaire. Au voi-sinage de notre satellite, le vaisseau Apollo arrivait àune vitesse de 8.000 km/h, mais encore bien trop ra-pide pour devenir captif de la gravité lunaire. Aussi,

Fig. 2.4 – Collision Andromède-Voie LactéeRencontre, vue depuis la terre, d’Andromède et de la Voie

Lactée. Vue d’artiste25.

l’engin devait effectuer une rotation de 180◦ (l’arrièrevers l’avant) puis, grâce à la mise à feu du propulseurauxiliaire libérant une poussée de 10 tonnes (pendant4 minutes et demie), ralentissait juste ce qu’il fallaitpour être pris dans le champ de la gravité lunaire.” 24

On voit ainsi que le mouvement des engins spatiauxest loin d’être un mouvement aussi simple qu’on pour-rait le penser étant donné le vide dans lequel ils setrouvent. En particulier, il est loin d’être rectiligne etde se faire à vitesse constante.

Bien entendu, ce mouvement devait être parfaite-ment connu pour pouvoir amener des hommes surla lune. Nous verrons dans le chapitre suivant (pa-ragraphe 3.2) qu’en réalité ce mouvement peut êtreassez facilement déterminé grâce à la loi de la gravi-tation universelle de Newton.

Autre exemple : le déplacement d’Andromède

Contrairement à la plupart des galaxies quis’éloignent de nous en raison de l’expansion de l’uni-vers, celle d’Andromède (ainsi que celles du groupelocal) se rapproche de nous.

A l’aide des données ci-dessous, calculez dans com-bien d’années elle rencontrera notre galaxie la voielactée (voir la figure 2.4).

35


Vitesse d’approche : 500′000 km/hPosition initiale : 2, 55 · 106 ALVitesse de la lumière : 300′000 km/s

Il existe plusieurs manières de résoudre ce pro-blème. En voici une. On commence par déterminer lavitesse d’Andromède en AL/an. Pour cela, on com-mence par l’exprimer en km/an :

500′000 km/h = 5 · 105 · 24 · 365 = 4, 38 · 109 km/an

Puis, on traduit ces km en AL à l’aide de :

1 AL = 300′000 · 3600 · 24 · 365 = 9, 4608 · 1012 km

Ce qui permet d’obtenir la vitesse recherchée :

v = 4, 38 · 109 km/an = 4, 38 · 109/9, 4608 · 1012

= 4, 63 · 10−4 AL/an

Enfin, considérant qu’on peut faire l’hypothèsed’un mouvement à vitesse constante, on a alors :

t = 2, 55 · 106/4, 63 · 10−4 = 5, 5 · 109 ans

Ce qui correspond à 5,5 milliards d’années.Mais en réalité, plus Andromède se rapprochera de

la voie lactée, plus sa vitesse augmentera. Ainsi, lemouvement n’est pas à vitesse constante et le tempsavant la rencontre sera plus petit : 3 milliards d’an-nées.

2.5.2 Mouvement rectiligne uniformé-ment accéléré (MRUA)

Définition

Un objet est dit en mouvement rectiligne uniformé-ment accéléré (MRUA), s’il se déplace en ligne droiteet avec une accélération constante.

Propriétés

On montre (voir annexe E.1) que pour un MRUA,on a :

x(t) =1

2· ao · t2 + vo · t + xo (2.4)

où x(t) est la position de l’objet au cours du temps,ao son accélération initiale (et donc son accélérationtout court), vo sa vitesse initiale, xo sa position ini-tiale et t l’instant qu’on considère.

Par définition de l’accélération, on a aussi :

a = ao =v − vo

t⇒ ao · t = v − vo

⇒ v = ao · t + vo

Ainsi, on peut écrire :

v(t) = ao · t + vo (2.5)

Comme on le voit, la vitesse au cours du temps estune droite affine de pente ao et d’ordonnée initiale vo.D’autre part, la position au cours du temps est uneparabole (en t2).

Finalement, on peut constater que le MRU n’estqu’un cas particulier de MRUA. En effet, il suffit deposer ao = 0 dans les équations du MRUA pour re-trouver celle du MRU.

2.5.3 La chute libre

Historiquement, le problème de la chute libre futrésolu dans le cadre de la remise en question desthéories d’Aristote (voir paragraphe 3.1.3). Disons,en substance, que ce problème fut la première pierrede l’édifice théorique qui permit de réunifier deuxmondes dont la séparation par Platon fut reprise parAristote : le monde sublunaire (en dessous de la lune)et le monde supralunaire (en dessus de la lune). PourAristote, la physique dans ces deux mondes n’obéis-sait pas aux mêmes lois. Or, on va voir que les pro-priétés de la chute libre à la surface de la terre sontles mêmes que celles de la “chute” de la lune sur laterre. Cette découverte mena à la réfutation totale de

36


la théorie d’Aristote et permit aux physiciens la pré-tention extraordinaire de pouvoir décrire tout l’uni-vers avec les mêmes lois. La résolution du problèmede la chute libre fut donc un évènement très impor-tant, pour ne pas dire essentiel, dans l’histoire de laphysique, même s’il paraît aujourd’hui d’une moindreimportance. Par ailleurs, comme il est un exempleidéal de par sa simplicité et ses facilités expérimen-tales pour la présentation de la notion d’accélération,il mérite d’être étudié attentivement.

Définition La chute d’un objet est dite libre quandelle se fait en l’absence totale de tout frottement. Unbon exemple est donné par la chute d’un objet à lasurface de la lune (qui est sans atmosphère). On peutaussi considérer la chute d’un objet dans un tube àvide. Ou encore tout simplement la chute d’un objetà la surface de la terre, pour autant qu’elle ne dépassepas quelques mètres. Dans ces conditions, en effet, lefrottement est assez faible pour être négligé.

Propriétés On montre alors que la chute libre d’unobjet ne dépend pas de sa masse. Cela signifie quedeux objets en chute libre comme un marteau et uneplume tomberont exactement de la même manière(voir vidéo et tube à vide). D’autre part, dans lesconditions d’une chute de faible hauteur, l’accéléra-tion a une autre propriété importante. Mais pour ladéterminer, il faut réaliser l’expérience suivante :

Expérience On lâche une petite bille d’une hau-teur connue et on mesure son temps de chute.

Le tableau 2.2 donne les résultats obtenus.

Calculs A partir des mesures brutes du tableau2.2, on calcule les vitesses moyennes de chaque in-tervalle de temps, ainsi que les temps moyens corres-pondants :

tmoyen =ti+1 + ti

2et vmoyenne =

∆h

∆t=

hi+1 − hi

ti+1 − ti

On peut ainsi remplir le tableau 2.3.

A partir des résultats des tableaux 2.2 et 2.3, onconstruit les graphes horaires (le temps est toujours

Tab. 2.2 – La hauteur en fonction du temps

i hi (m) ti (s)

1 0,1 0,14282 0,2 0,20193 0,3 0,24734 0,4 0,28565 0,5 0,31936 0,6 0,34977 0,7 0,37788 0,8 0,40399 0,9 0,4284

Tab. 2.3 – La vitesse en fonction du temps

i tmoyen (s) vmoyenne (m/s)

1-2 0,1724 1,69202-3 0,2246 2,20263-4 0,2665 2,61104-5 0,3025 2,96745-6 0,3345 3,28956-7 0,3638 3,55877-8 0,3909 3,83148-9 0,4162 4,0816

placé sur l’axe des x) suivants : hauteur en fonctiondu temps (h vs t : figure 2.5) et vitesse en fonctiondu temps moyen (v vs t : figure 2.6)b.

Analyse des résultats Commençons par analyserle graphe de la figure 2.6, plus particulièrement celuide la vitesse en fonction du temps. Il correspond à unedroite linéaire. Cela signifie que la vitesse augmentetoujours de la même manière, que pour un intervallede temps donné l’augmentation de vitesse est tou-jours la même ou en fin de compte que l’accélérationest constante. Bien évidemment cette dernière n’estautre que la pente du graphe puisqu’elle s’exprimecomme le rapport d’une différence de vitesse par une

bvs signifie “versus” c’est-à-dire “en fonction de” en latin.

37


Galilée ou Galileo Galilei(1564-1642)

Galilée est parfois considéré comme le père de la physiquemoderne en ce qu’il fut expérimentateur. Il étudia la chutedes corps sur un plan incliné :

“Plaçant alors l’appareil dans une position in-clinée, en élevant l’une de ses extrémités d’unecoudée ou deux au-dessus de l’horizon, nous lais-sions, comme je l’ai dit, descendre la boule dansle canal, en notant [. . .] le temps nécessaire à unedescente complète. [. . .] La mise en place et cettepremière mesure accomplies, nous faisions des-cendre la même boule sur le quart du canal seule-ment : le temps mesuré était toujours rigoureuse-ment égal à la moitié du temps précédent. Nousfaisions ensuite varier l’expérience, en comparantle temps requis pour parcourir la longueur entièredu canal avec le temps requis pour parcourir samoitié, ou les deux tiers, ou les trois quarts, outout autre fraction ; dans ces expériences répétéesune bonne centaine de fois, nous avons toujourstrouvés que les espaces parcourus étaient entre euxcomme les carrés des temps, et cela quelle que soitl’inclinaison du plan, c’est à dire du canal.”

(Stephen Hawking, 2003, Galilée - 1638 - Dans "Dis-cours et démonstrations mathématiques sur deux nouvellessciences", p. 200.)

On peut considérer Galilée comme le “père” de l’équationhoraire de la position d’un objet en chute libre. Le théorèmeII proposition II des “Discours et démonstrations mathéma-tiques concernant deux sciences nouvelles” dit :

Portrait de Galilée tiré de Wikipedia26

“Si un mobile, partant du re-pos, tombe avec un mouvementuniformément accéléré, les es-paces parcourus en des tempsquelconques par ce même mobilesont entre eux en raison doubledes temps, c’est-à-dire comme lescarrés de ces mêmes temps.”

(Stephen Hawking, 2003, Galilée -1638 - Dans "Discours et démonstra-tions mathématiques sur deux nouvellessciences", p. 197.)

différence de temps. Comme précisé sur le graphe, lapente vaut 9, 81 m/s2. Le mouvement est donc rec-tiligne uniformément accéléré. Son accélération estappelée accélération terrestre et notée g.

En ce qui concerne l’autre graphe de la figure 2.5,plus particulièrement celui de la position en fonctiondu temps, on constate clairement la parabole corres-pondant à un MRUA. L’expression générale permetdonc aussi de calculer la valeur de l’accélération ter-restre en multipliant le cœfficient devant le t2 pardeux. On retrouve bien la valeur de 9, 81 m/s2.

Conclusions La chute libre est un mouvement rec-tiligne uniformément accéléré. Son accélération estdite accélération terrestre et vaut g = 9, 81 m/s2.

2.5.4 Balistique

Jusqu’à présent, pour la chute libre, le mouvementse déroulait en une dimension. Dans le cas de mou-vements dits “balistiques”, le mouvement se fait dansun plan. Les exemples typiques de ce type de mou-vement sont ceux d’un obus de canon, d’une balle defusil, d’une balle de football, etc.

38


Fig. 2.5 – Chute libre

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5Temps (s)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

Pos

ition

(m

)

Equation : x = 1/2*9,81*t2

Position en fonction du temps

Fig. 2.6 – Chute libre

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5Temps (s)

0

1

2

3

4

5

Vite

sse

(m/s

)

Pente de la droite : 9,81 m/s2

Vitesse en fonction du temps

Définition En réalité les mouvements donnés enexemple ci-dessus sont plus complexes que le mouve-ment simple dit “balistique”.

Le mouvement d’un objet est dit “balistique”, si laseule force qui s’exerce sur lui est son poids. Il sedéroule donc sans frottement et se fait dans un plan.

Propriétés La conséquence du fait que seul lepoids intervient dans ce mouvement est qu’on peut ledécomposer en deux mouvements simples : horizonta-lement, le mouvement est un MRU et verticalement,un MRUA d’accélération a = 9, 81 m/s2. En effet, enl’absence de frottement seul le poids agissant vertica-

lement peut produire une accélération.Remarquons que cela implique qu’un objet lancé

horizontalement (sans aucune vitesse verticale) de-puis le haut du pont du Gard, par exemple, tom-bera en même temps qu’un autre simplement lâchédu même endroit. Pratiquement cela signifie qu’ilsarriverons exactement au même moment au sol.

Équations On peut ainsi écrire, horizontalement(sur l’axe x) :

x(t) = vxo · t + xo (2.6)

vx(t) = vxo (2.7)

ax(t) = 0 (2.8)

On peut aussi écrire, verticalement (sur un axe ypointant vers le bas !) :

y(t) =1

2· g · t2 + vyo · t + yo (2.9)

vy(t) = g · t + vyo (2.10)

ay(t) = g (2.11)

Ce sont là les équations de base du mouvement ba-listique. Remarquez que l’accélération g = 9, 81 m/s2

est l’accélération terrestre pour autant que le mouve-ment se fasse à la surface de la terre.

Notez aussi que le signe positif de l’accélérationvient du fait que l’axe y choisi pointe vers le bas. Lesigne de la vitesse vyo doit alors aussi être choisi dela même manière, c’est-à-dire positif si celle-ci pointevers le bas. Si on choisit de faire pointer l’axe y vers lehaut, alors l’accélération devient négative, de mêmeque la vitesse si elle pointe vers le bas.

Enfin, on utilise souvent la notation simplifiée :

h = y − yo =1

2· g · t2 + vyo · t

en omettant y − yo, ce qui permet de relier directe-ment la hauteur au temps.

Premier exemple On lance un caillou du haut dupont du Gard avec une vitesse horizontale de 1 m/s.Il arrive au sol à une distance de 3, 16 m du pied de

39


l’endroit où il a été lancé. Quelle est la hauteur dupont du Gard ?

Réponse :– Le mouvement horizontal est un MRU de vitesse

v = 1 m/s. Ainsi, le temps mis par le caillou pourparcourir horizontalement les 3, 16 m est de 3, 16secondes.

– Or, c’est dans ce même temps (le temps de vol)que le caillou a parcouru verticalement la hau-teur du pont. Verticalement, le mouvement étantun MRUA, on peut écrire :

h =1

2g · t2 = 0, 5 · 9, 81 · 3, 162 = 49 m

Second exemple Considérons le problème sui-vant :

Un plongeur court horizontalement sur la plate-forme d’un plongeoir haut de 10 m. Arrivé à l’extré-mité avec une vitesse horizontale de 2 m/s, il saute.Calculez la distance horizontale à partir du pied del’extrémité du plongeoir à laquelle le plongeur arrivedans l’eau.

Réponse :– Le temps de chute est donné par : h = 1

2g · t2 ⇒

t =√

2·hg = 1, 4 s, si on arrondit g à 10m/s2.

– La distance horizontale parcourue est alors : x =vo · t = 2 · 1, 4 = 2, 8 m.

2.5.5 La chute libre ... de la lune

La question est ici de savoir pourquoi la lune “tient”au-dessus de notre tête.

La réponse d’Aristote était qu’il est naturel pourun objet du monde supralunaire (dont la lune faitpartie) de suivre le type de mouvement propre à cesobjets divins : un mouvement circulaire. Un tel objetn’est en effet pas soumis à la même physique que lesobjets du monde sublunaire, ceux qui se déplacent àla surface de la terre. La lune ne tombe donc pas surla terre.

Pour les physiciens actuels, la même physique doitêtre valable dans tout l’univers. Ainsi, la lune, commeun autre objet à la surface de la terre, est soumise àson poids, c’est-à-dire à l’attraction de la terre. Elledevrait donc tomber sur celle-ci. Or, manifestement,

elle ne le fait pas. Cela signifie-t-il alors que son poidsest nul ? Si on considère que la lune est un objetcomme un autre, cela ne peut être le cas. Commentdonc expliquer que la lune ne tombe pas ?

On pourrait répondre à cette question en admet-tant, même si cela paraît paradoxal, qu’en réalité elletombe. L’idée est la suivante : supposons qu’on lanceun objet horizontalement un peu au-dessus de la sur-face de la terre. Appelons v la vitesse horizontale ini-tiale. Si v est nulle, l’objet tombe en chute libre. Si vest non nulle, mais petite, l’objet est en mouvementbalistique et il tombe sur la terre quelques mètres plusloin. Plus v est grande, plus la distance qu’il parcourtà la surface de la terre est grande. Si la vitesse estassez grande, l’objet semble suivre la courbure de laterre, tout en tombant petit à petit jusqu’à sa surface.A la limite, pour une vitesse donnée, l’objet tombe“en même temps” que la courbure de la terre fait “des-cendre” sa surface (cf. figure 2.7). C’est alors commes’il la ratait en permanence. Ainsi, il peut tomber surla terre tout en tournant autour d’ellec.

Fig. 2.7 – L’idée de la chute de la lune

De façon plus détaillée, mais partiellement inexactecomme nous le verrons plus tard, on pourrait direque la lune tombe sur la terre d’une hauteur égale àla distance terre-lune en un quart de la période derotation de la lune autour de la terre (cf. figure 2.8).

cOn trouve dans (Eric Lindemann, 1999, p. 164) une ma-gnifique illustration de Newton tirée des Principia de 1728 pré-sentant la relation entre chute et satellisation.

40


Fig. 2.8 – Chute de la lune sur la terre

De cette manière, on peut calculer la valeur de l’ac-célération que devrait avoir la lune dans sa chute surla terre pour “tomber” d’un quart de tour. Très gros-sièrement, en confondant la chute de la lune avec unsimple mouvement balistique dont la composante ver-ticale est un MRUA, on pourrait en effet écrire :

h = dterre−lune =1

2a · t2 =

1

2a ·

(

T

4

)2

où T est la période de rotation de la lune autour dela terre. Ainsi :

a =32 · dt−l

T 2=

32 · 3, 84404 · 108

(30 · 24 · 3600)2

= 1, 83 · 10−3 m/s2

Cette valeur est du bon ordre de grandeur puis-qu’en réalité l’accélération (vers la terre) de la lunevaut :

a = 2, 7 · 10−3 m/s2

Bien entendu, ces deux valeurs sont néanmoinsassez différentes. Cependant, étant donné les hypo-thèses très grossières qui ont été faites, obtenir unbon ordre de grandeur est un résultat remarquable.En effet, on a considéré que le mouvement était balis-tique, c’est-à-dire qu’à tout instant la direction danslaquelle la lune tombe est la même. Or, étant donnéla courbure de la terre, sur un quart de période, cettedirection varie de 90◦. En réalité donc, le mouvementn’est pas balistique, mais central, c’est-à-dire que la

chute de la lune se fait toujours vers un même point.Ainsi, le mouvement réel de la lune ne se fait pas surune parabole, comme dans le cas d’un mouvement ba-listique, mais sur une ellipse (très proche d’un cercle).L’annexe F présente un calcul plus correct de l’accé-lération de la lune basé sur une orbite circulaire (ilpermet aussi d’en déduire la forme inversément pro-portionnelle au carré de la distance à la lune de laforce de gravitation donnée par la loi de la gravita-tion universelle (voir paragraphe 3.2.3)). Ce calcul estnéanmoins encore une approximation puisque l’orbiten’est pas circulaire mais elliptique.

Quoi qu’il en soit, l’idée que la lune tombe enpermanence sur la terre peut parfaitement expliquerqu’elle tienne apparemment en apesanteur au-dessusde notre tête, pour autant qu’elle soit animée d’unevitesse non nulle parallèle à la surface de la terre, quecelle-ci ait une valeur bien précise et, bien entendu,qu’elle ne soit soumise à aucun frottement.

Nous verrons au prochain chapitre (paragraphe3.2) avec la dynamique de Newton (sa théorie dumouvement) et sa loi de la gravitation universelle(paragraphe 3.2.3), que le mouvement des objets enrotation autour de la terre comme la lune, mais aussicomme les satellites artificiels, est parfaitement ex-pliqué par l’idée de la chute d’objets à vitesse initialetangentielle non nulle.

Remarquons enfin que cette idée a été remise enquestion par Einstein dans sa théorie de la relativitégénérale. Celui-ci revient en effet à l’idée d’un mou-vement “naturel” sans contrainte, sans attraction parla terre, dans un espace courbe.

2.5.6 Mouvement circulaire uniforme(MCU)

La cinématique du mouvement circulaire uniformeest identique à celle du MRU si on remplace les dis-tances par des angles. Ainsi, en guise de position, onprendra l’angle des coordonnées circulaires (voir fi-gure B.1). A partir de là, la vitesse v et l’accélérationangulaires a moyennes (on écrit aussi généralementsimplement v et a) se définissent très simplement :

x(t) → θ(t)

41


v(t) → ω(t) =θ − θo

t − to=

∆θ

∆t

a(t) → α(t) =ω − ωo

t − to=

∆ω

∆t

Bien entendu, on a aussi pour les grandeurs instan-tanées :

ω(t) =lim

∆t → 0

∆θ

∆t=

dθ

dt

α(t) =lim

∆t → 0

∆ω

∆t=

dω

dt

Ces définitions sont valables pour tout mouvementcirculaire, en particulier s’il n’est pas uniforme. Dansle cas d’un MCU, on a encore : ω(t) = ωo et α(t) =0 m/s2.

Par ailleurs, la relation liant le rayon d’un arcde cercle à la longueur de ce dernier, relation tra-duite dans la figure A.1, permet de relier les gran-deurs linéaires (x(t), v(t)) et celles qui sont angulaires(θ(t), ω(t)) :

L = θ · R (2.12)

implique par dérivation :

v =dL

dt=

dθ

dt· R = ω · R ⇒

v = ω · R (2.13)

Relation importante

La complexité de la dynamique de ce mouvementtient dans son caractère bidimensionnel. En d’autrestermes, il est nécessaire de tenir compte du caractèrevectoriel de la vitesse (voir figure 2.9).

Ainsi, la rotation du vecteur vitesse “produit” unvecteur ∆−→v . Or, par définition de l’accélération :

−→a =∆−→v∆t

si ∆−→v est non nul, alors il y a accélération. Sur lafigure on voit aussi que la direction de ∆−→v , comme

Fig. 2.9 – Mouvement circulaire uniforme

v1

v2

v1

v2v

2v1

α

Rα

.

.

R

celle de l’accélération −→a , est radiale et plus précisé-ment dans le sens du centre du cercle.

Le mouvement circulaire uniforme est donc parti-culier en ce sens que tout en se déroulant à vitesse(scalaire) constante, il se déroule avec une accéléra-tion non nulle, mais qui est perpendiculaire à la vi-tesse.

De plus, on montre que la valeur de l’accélérationest :

a =v2

R(2.14)

où v est la vitesse scalaire et R le rayon du cercle.En effet, selon la figure 2.9 et pour de petits angles,

on a :

∆x = α · R et ∆v ∼== α · v

où ∆x est la longueur de l’arc de cercle entre lesdeux instants où on considère la vitesse. Si ∆t est letemps entre ces deux instants, on peut écrire :

42


a =∆v

∆t=

α · v∆t

=v

R· ∆x

∆t=

v

R· v =

v2

R

C’est ce qu’il fallait démontrer.

Le mouvement circulaire uniforme est donc unmouvement composé de deux mouvements simples :un mouvement uniforme et un mouvement accéléré.Cependant, il est différent du mouvement balistique,lui aussi composé de ces deux mêmes mouvements, ence qu’ils ne sont pas rectilignes. En effet, si on peutdire que le mouvement balistique est composé d’unMRU et d’un MRUA, on ne peut en dire autant pourle MCU. Il serait plutôt composé d’un MU et d’unMUA, voire même d’un MA si on considère que bienque la norme du vecteur accélération soit constante,le vecteur lui-même ne l’est pas puisqu’il tourne.

Enfin, la présence d’une accélération dans le mou-vement circulaire uniforme a de lourdes conséquencesen termes de dynamique, c’est-à-dire en terme deforces comme nous le verrons au paragraphe 3.2.3, àl’annexe F.0.4 ou à l’annexe G qui traitent de la dy-namique d’objets comme les satellites liés à la terrepar la force de gravitation.

43

2.5.

MO

UV

EM

EN

TS

SIM

PLE

SC

HA

PIT

RE

2.LA

CIN

ÉM

AT

IQU

E

Résumé des grandeurs et unités

Grandeur Définition UnitéPosition x mVitesse v = ∆x

t m/sAccélération a = ∆v

t m/s2

Résumé des équations des mouvements simples

Mouvement rectiligne uniformément accéléré(MRUA)Les équations du mouvement :

x(t) =1

2· ao · t2 + vo · t + xo (2.15)

v(t) = ao · t + vo (2.16)

a(t) = ao (2.17)

v2 = v2o + 2 · ao · (x − xo) (2.18)

ao = 0

=⇒

Mouvement rectiligne uniforme(MRU)Les équations du mouvement :

x(t) = vo · t + xo (2.19)

v(t) = vo (2.20)

a(t) = 0 (2.21)

Pour un mouvement de chute libre (MRUA), l’accélération vaut :

a = g = 9, 81 m/s2

Un mouvement balistique est composé d’un MRU horizontalement et d’un MRUA en chute libre vertica-lement.

Un MCU est composé d’un MU et d’un MA d’accélération :

a =v2

R(2.22)

Fig. 2.10 – Résumé de cinématique

44

Chapitre 3La mécanique

3.1 La “mécanique” d’Aristote

3.1.1 Introduction

On pense généralement aujourd’hui que la méca-nique d’Aristote est dépassée. C’est vrai. Tout commela mécanique de Newton et la relativité restreinte. Ettout pousse à penser que la relativité générale pour-rait être bientôt dépassée. En réalité chacune de cesthéories répond à des questions bien précises dans uncadre limité. Les réponses données par ces théoriesà ces questions sont tout-à-fait pertinentes dans cecadre. Il est alors important de bien comprendre l’uti-lité de maintenir la connaissance de ces théories. S’ilest naturel aujourd’hui de maintenir dans les univer-sités l’enseignement de la théorie de Newton parceque celle-ci à permis d’envoyer des hommes sur lalune, il est tout aussi important de présenter la théo-rie d’Aristote parce qu’elle est née de l’évidence et dusens commun et pour cette raison est partagée partout un chacun. Il est donc très important de mar-quer bien précisément les limites aux réponses qu’ellepeut fournir.

3.1.2 Platon

La physique aristotélicienne est intimement liée à lacosmologie de Platon. Celle-ci part d’une idée simple.Platon pense qu’il existe deux mondes tout-à-fait dif-férents : l’un, humain, composé par tout ce qui se

trouve au-dessous de la lune et l’autre, divin, com-posé par tout ce qui est au-dessus.

“Le monde sublunaire où règnent les ap-parences [. . .] est formé de couches étagées ;il y a d’abord la Terre, puis l’Eau, l’Air etenfin le Feu se situant tout au-dessus, versles limites du monde sublunaire. Ce mondedans lequel vivent les hommes est imparfait,corruptible.Le monde céleste [. . .] est le siège des idées.Il est formé de l’Éther, le cinquième élé-ment (ou quintessence). C’est là que setrouvent les astres qui sont des êtres éter-nels, parfaits, divins et immuables. Parfaits,ils doivent aussi avoir un mouvement parfaitautour de la Terre, c’est-à-dire un mouve-ment circulaire uniforme (MCU), ou éven-tuellement une combinaison de tels mouve-ments. Dans l’esprit pythagoricien, le MCUest effectivement le mouvement qui, par sesqualités de symétrie et d’harmonie, est leplus parfait que l’on puisse imaginer.”

(Eric Lindemann, 1999, p. 43 et 44.)

C’est dans le cadre de cette cosmologie qu’Aris-tote va établir sa physique. Et cette décomposition del’univers, ce qu’on peut aussi appeler le macrocosme,avec les quatre éléments “chimiques” du monde sub-lunaire a aussi longtemps influencé la médecine avecla théorie des humeurs :

45

3.1. LA “MÉCANIQUE” D’ARISTOTE CHAPITRE 3. LA MÉCANIQUE

“Selon cette théorie, la santé corporellerésulte de l’équilibre de quatre principes, ouhumeurs (liquides), distincts – le sang, leflegme, la bile jaune et la bile noire ou atra-bile. Tout excès d’une de ces humeurs mèneà des types de personnalités que l’on conti-nue à qualifier de sanguines, flegmatiques,colériques et mélancoliques. Une domina-tion plus complète d’une de ces humeurs en-traîne une maladie [. . .] Le remède à la ma-ladie, définie comme un déséquilibre entreles humeurs, consiste donc à réduire les hu-meurs en excès et à complémenter les hu-meurs affaiblies. La théorie des humeurs àainsi inspiré la croyance séculaire en desthérapies considérées aujourd’hui comme to-talement inefficaces, sinon barbares, parmilesquelles la saignée (réduction de l’humeursanguine), la suée, la purge, le vomissement,etc.Mais pourquoi, en l’absence de toute preuvedirecte de l’existence de telles humeurs, lamédecine classique a-t-elle si lourdementinsisté sur quatre, et seulement quatre,humeurs ? [. . . Car] de même que lesquatre humeurs régissaient le microcosme,les quatre éléments (l’air, le feu, la terre etl’eau) constituaient le macrocosme.”

(Gould Stephen Jay, 2005, p. 136)

Ainsi, on peut comprendre l’importance de la cos-mologie de Platon dans le monde des Anciens. La re-cherche de principes simples et identiques pour tousles domaines de la connaissance n’est pas nouvelle etsurtout pas l’apanage des scientifiques actuels.

3.1.3 Aristote

L’idée fondamentale de la dynamique d’Aristotevient de l’observation commune du fait que le mou-vement finit toujours par s’arrêter. Ainsi, selon Aris-tote, il existe pour chacun des cinq éléments qui com-posent toute chose dans l’univers (la terre, l’eau, l’air,le feu et l’éther) un lieu de repos naturel. Pour laterre, c’est le centre de l’univers (cela implique quele centre de la terre se trouve au centre de l’univers).Pour l’eau, c’est sur la terre. Pour l’air, c’est sur l’eau

ou la terre. Pour le feu, c’est au-dessus de l’air (c’estpourquoi le feu monte), mais au-dessous de la lune.Enfin, pour l’éther, c’est au-dessus de la lune.

Cinématique

En conséquence, il existe des mouvements dits na-turels, ceux qui mènent un objet, selon sa composi-tion, vers son lieu naturel de repos, et des mouve-ments dits forcés ou violents, ceux qui éloignent l’ob-jet de son lieu naturel de repos. Par exemple, étantessentiellement composée de terre, une pierre qu’onlaisse tomber va naturellement rejoindre, au plus prèsqu’il lui est possible de le faire, le centre de la terre.La chute d’un tel objet est donc un mouvement natu-rel. Par contre, le mouvement d’un boulet de canonest composé : au début, le boulet, composé de terre,s’élève et ainsi s’éloigne de son lieu naturel de repos, lecentre de l’univers. Son mouvement est donc violent.Puis, il s’approche de la lune, lieu divin dans lequel iln’existe qu’un mouvement éternel : le mouvement cir-culaire uniforme (MCU), c’est-à-dire un mouvementque l’on pourrait dire sans mouvement, un mouve-ment à vitesse constante. Sa trajectoire prend doncune allure divine, c’est-à-dire tend vers le cercle. C’estla partie haute du mouvement du boulet. Puis, il re-tombe. Son mouvement redevient donc naturel.

Au total, on distingue donc trois types de mou-vement dans la cinématique d’Aristote : les mouve-ments naturels, les mouvements violents et les mou-vements divins. Les deux premiers se font essentielle-ment en ligne droite. Le dernier est circulaire à vitesseconstante.

Dynamique

Cette cinématique est complétée par une dyna-mique en parfaite logique avec la première. Car, siles objets ont un lieu naturel de repos, c’est que leurétat naturel est précisément d’être au repos (commeles hommes en quelque sorte, et on peut bien penserque cette comparaison pouvait avoir un sens à cetteépoque). Ainsi, pour qu’ils restent en mouvement, ilfaut les y aider en exerçant sur eux une contrainte,une “force” en termes modernes. Pour Aristote, l’étatde mouvement est donc directement lié à la force

46

CHAPITRE 3. LA MÉCANIQUE 3.1. LA “MÉCANIQUE” D’ARISTOTE

Aristote (384-322 av. J.-C.)

Un homme du IV e siècle av. J.-C., qui représentera laconnaissance classique (la scolastique) à partir du XIIIe

siècle et pendant plusieurs siècles après. Un homme dontla pensée servira l’église catholique, suivant Thomas d’Ac-quin, pour imposer une vision cosmologique où l’homme estau centre de l’univers. Un homme qui découpera le mondeen deux : l’humain et le divin. Un homme dont l’idée mai-tresse est celle de fixité et qui sera placé au sein des débatssur le mouvement de la terre.

“Il y a dans la nature trois ordres de recherche :l’immobile (le premier moteur qui doit être im-mobile sinon il serait mu), le mu incorruptible(le ciel) et le mu corruptible (le monde sublu-naire).” 27

Un homme, ou plutôt une doctrine à laquelle les Bruno etGalilée s’opposeront pour faire émerger l’idée d’une phy-sique universelle.

Aristote peint par Raphaël, tiré de Wikipedia28

qui lui permet d’exister. Et bien entendu plus cetteforce est grande, plus l’état de mouvement sera grand,c’est-à-dire plus la vitesse de l’objet sera importante.

On pourrait résumer la dynamique d’Aristote entermes anachroniques en disant que pour lui la forceest directement proportionnelle à la vitesse :

F ∼ v (3.1)

Cette théorie est si naturelle qu’elle paraît évi-dente. Pour l’illustrer, considérons les quatre ques-tions suivantes :

1. Un canon pointe verticalement. A l’arrêt, il tireun obus qui lui retombe dessus. Qu’en est-il si lecanon se déplace uniformément et horizontale-ment, tout en pointant toujours verticalement ?L’obus retombe-t-il derrière le canon, sur le ca-non ou devant ?

2. On laisse tomber un objet du haut de la TourEiffel. Étant donné que la terre tourne, celle-ci sedéplace. En conséquence, cet objet va-t-il tomberau pied exact de là où il a été lâché, un peu àl’est de ce point ou un peu à l’ouest ?

3. Un avion veut remettre des vivres aux rescapésd’un naufrage réunis sur une île déserte. Doit-illâcher son colis avant l’île, sur l’île ou après elle ?

4. Un pirate lâche son couteau du haut de la vigiedu grand mât. Le bateau est en pleine poursuited’un autre vaisseau. Le couteau tombera-t-il ducôté de la proue, du côté de la poupe ou au pieddu grand mât du bateau ?

Explications :

1. – Selon Aristote, au moment où l’obus quitte lecanon, plus rien ne le pousse horizontalement.Il monte et redescend donc sur place. Commependant ce temps le canon se déplace, l’obusretombe derrière le canon.

– Actuellement, on considère l’inertie de l’obusqui le fait se déplacer horizontalement à lamême vitesse que le canon pendant qu’ilmonte et redescend. L’obus retombe donc surle canon. L’expérience en atteste.

2. – Selon Aristote, au moment où l’objet quitte lehaut de la Tour Eiffel, plus rien ne le poussehorizontalement. Il descend donc sur place.

47

3.2. MÉCANIQUE DE NEWTON CHAPITRE 3. LA MÉCANIQUE

Comme pendant ce temps la Tour Eiffel sedéplace vers l’est, l’objet tombe à l’ouest decelle-ci.

– Actuellement, on considère l’inertie de l’ob-jet qui le fait se déplacer horizontalement à lamême vitesse que la Tour Eiffel pendant qu’iltombe. L’objet tombe donc au pied de la TourEiffel. L’expérience en atteste (enfin presque,car la terre tourne et en réalité. . . mais c’estune autre histoire).

3. – Selon Aristote, au moment où le colis quittel’avion, plus rien ne le pousse horizontalement.Il tombe donc sur place. Il faudrait donc lâcherle colis juste au dessus de l’île.

– Actuellement, on considère l’inertie du colisqui le fait se déplacer horizontalement à lamême vitesse que l’avion pendant qu’il tombe.Il faut donc le lâcher avant l’île pour qu’ilarrive bien à destination. L’expérience en at-teste.

4. – Selon Aristote, au moment où le couteauquitte la vigie, plus rien ne le pousse horizonta-lement. Il tombe donc sur place. Comme pen-dant ce temps le bateau se déplace, le couteautombe du côté de la poupe du bateau.

– Actuellement, on considère l’inertie du cou-teau qui le fait se déplacer horizontalement àla même vitesse que le bateau pendant qu’iltombe. Le couteau tombe donc au pied dugrand mât. L’expérience en atteste.

Ainsi, la mécanique d’Aristote traduit le faitévident qu’il faut pousser un objet pour qu’il se dé-place. Dans la vie de tous les jours, c’est exact parcequ’il y a du frottement. Mais on sait aujourd’hui quecette affirmation est généralement fausse, qu’il n’estpas nécessaire d’exercer une force sur un objet pourqu’il soit en mouvement.

Ainsi on peut dire que la théorie d’Aristote estfausse. Mais on peut aussi la voir comme une bonnethéorie pour les cas de la vie courante. En effet, ilsemble normal de dire qu’il faut une force pour dé-ménager un meuble d’un point à un autre et il estidiot de dire qu’il va se déplacer sans qu’on exerce uneforce sur lui. Il est intéressant de remarquer que lespersonnes qui soutiennent qu’il est absolument néces-

saire d’exercer une force sur lui pour qu’il se déplaceoublient qu’immobile devant eux, il tourne en réalitéà cause de la rotation de la terre.

Nous allons voir que la théorie de Newton, si ellerésout les erreurs d’Aristote, et donc en ce sens estune théorie plus exacte que celle d’Aristote, a aussises propres limitations qui en font aussi une théoriefausse dans certains domaines.

3.2 Mécanique de Newton

3.2.1 Introduction

Newton est avec Einstein le plus grand physiciende tous les temps (bien qu’il faille se méfier des gé-nies qui ont tous puisé à la source des nombreusesconnaissances de leur temps, comme c’est particuliè-rement le cas de Newton) (Stephen Hawking, 2003,voir la préface de Jean-Pierre Luminet). C’est lui qui,avec les “Principes mathématiques de la philosophienaturelle”a (entendez par “philosophie naturelle” laphysique) parus en 1687, pose pour la première foisles bases d’une théorie complète du mouvement et deses causes. Mais il ne se limite pas à cela. Il publieaussi sa fameuse loi de la gravitation, qui détermineune relation d’attraction très générale entre les corpsqui ont une masse. Mais le travail de Newton ne selimite pas à cela. Il porte aussi sur l’optique de sontemps, domaine dans lequel il se signale par la décou-verte des anneaux dits de Newton.

3.2.2 Mécanique

Toute la mécanique de Newton repose sur troisaxiomesb ou lois fondamentales. L’invention (au sensde “découverte”) de ces lois n’est pas due au hasard,mais dérive directement d’une réflexion en opposi-tion à la physique d’Aristote, comme on va le voirci-dessous.

aSon principal ouvrage intitulé aussi “Principia mathema-tica ...”, publié en 1687.

bLe terme d’axiome est intéressant ici puisqu’il souligne quetoute la mécanique de Newton peut être logiquement déduitede ces postulats initiaux.

48

CHAPITRE 3. LA MÉCANIQUE 3.2. MÉCANIQUE DE NEWTON

Isaac Newton (1643-1727)

Newton est considéré comme l’un des deux plus grands phy-siciens de tous les temps (avec Einstein). Il formula les troislois fondamentales de la dynamique ainsi que la loi de lagravitation universelle. Pourtant cette dernière a été dé-couverte par un autre : Hooke. Voici le texte original deNewton :

“Axiomes ou lois du mouvementLoi 1 Tout corps persévère en son état de

repos ou de mouvement rectiligne uni-forme, sauf si des forces « imprimées » lecontraignent d’en changer.

Loi 2 Le changement de mouvement est pro-portionnel à la force motrice imprimée ets’effectue suivant la droite par laquelle cetteforce est imprimée.

Loi 3 La réaction est toujours contraire etégale à l’action : ou encore les actions quedeux corps exercent l’un sur l’autre sont tou-jours égales et dirigées en sens contraire.”(Biarnais Marie-Françoise, 1985, pp. 40 et41.)

Portrait de Newton tiré de Wikipedia29

Les trois loi de Newton

Présentons tout d’abord ces trois lois fondamen-tales.

Première loi (ou loi de l’inertie)

« Tout corps persévère dans son état derepos ou de mouvement rectiligne uni-forme, si et seulement si, la somme desforces qui s’exercent sur lui est nulle. »c

Cette loi est en opposition totale avec la notion“d’état de repos” d’Aristote. Pour Aristote, un corpsn’est dans son état de repos que s’il ne bouge paspar rapport au centre de l’univers. Ainsi, un état demouvement ne peut être un état de repos, c’est-à-dire un état qui persévère. Pour lui, le mouvement nedure pas, à moins qu’on le force à durer. Pour New-ton, l’état de repos et l’état de mouvement rectiligneuniforme sont deux choses identiques.

Pour Aristote, un objet qui ne bouge pas n’est sou-mis à aucune force. Pour Newton, un objet qui bougeen se déplaçant en ligne droite et à vitesse constante,n’est pas plus soumis à une quelconque force. End’autres termes, pour Newton, il n’est pas nécessaired’exercer une force pour qu’il y ait mouvement.

La traduction mathématique actuelle de la pre-mière loi élimine ainsi naturellement la référence àun état de repos pour l’inclure dans la loi en tant quemouvement rectiligne à vitesse constante nulle :

Première loi (version actuelle)

MRU ⇔ ∑−−→F ext = 0 (3.2)

La double flèche signifie “si et seulement si”. End’autre termes, on peut lire cette loi dans les deuxsens :

– si un objet est en Mouvement Rectiligne Uni-forme, alors on peut dire que la somme des forces

49


extérieures qui s’exercent sur lui est nulle (⇒).– si on sait que la somme des forces qui s’exercent

sur un objet est nulle, alors cet objet est en Mou-vement Rectiligne Uniforme (⇐).

Seconde loi (loi fondamentale de la dyna-mique)d

∑−−→F ext = m−→·a (3.3)

Cette loi exprime la relation entre cause et effet. Lacause du mouvement étant la force totale qui s’exercesur le système étudié et l’effet étant son accélération,la loi exprime la relation qui existe entre les deuxpar l’intermédiaire de la masse. Ainsi la cause mèneà une expression du mouvement, en l’occurrence l’ac-célération, qui permet d’obtenir en fin de compte laposition de l’objet au cours du temps, comme nousle verrons plus tard.

Par ailleurs nous reviendrons aussi sur la notion deforce extérieure.

Troisième loi (loi de l’action et de la réac-tion)

« La réaction est toujours contraire etégale à l’action : ou encore les actionsque deux corps exercent l’un sur l’autresont toujours égales et dirigées en senscontraire. »e

Troisième loi (loi de l’action et de la réac-tion) Cette loi se traduit mathématiquement par lefait que le vecteur force exercée par un objet A surun objet B est de mêmes grandeur et direction, maisde sens opposé au vecteur force exercée par l’objet Bsur le A. En d’autres termes :

−→A = −−→

R (3.4)

Force extérieureL’énoncé de la troisième loi va nous faire revenir à

la notion de force extérieure utilisée dans la loi fon-damentale de la dynamique. En effet, selon la loi de

dLe texte exact (Biarnais Marie-Françoise, 1985, p. 41) dit :« Le changement de mouvement est proportionnel à la forcemotrice imprimée et s’effectue suivant la droite par laquellecette force est imprimée. »

l’action et de la réaction, lorsqu’on pousse un objetpour le mettre en mouvement, en réaction, il nouspousse avec une force de même intensité mais de senscontraire. Si on utilise, par ailleurs, la seconde loi, ilsemble donc à première vue, que la somme des forcesen jeu est toujours nulle. Ainsi, l’accélération devraitêtre aussi nulle et l’objet ne devrait pas se mettreen mouvement. Bien entendu, l’expérience montre lecontraire. Où est donc le problème ?

En réalité, sur un objet solide s’exercent une mul-titude de forces. Toutes ne sont pas responsables dumouvement de l’objet. Les forces d’interraction entreles différentes parties de celui-ci, par exemple, nepeuvent être tenues pour responsables du mouvementd’ensemble de l’objet. Cela reviendrait à dire qu’ilpeut s’accélérer lui-même. De la même manière, lesforces exercées par l’objet sur son environnement nepeuvent avoir une action sur l’objet lui-même. Seulesles forces exercées par l’environnement extérieur ensont capables.

Le problème vient donc du fait qu’en tenantcompte simultanément des actions et des réactionsdans la seconde loi, on implique des forces qui n’ontrien à voir avec la cause du mouvement. Il nefaut donc considérer que les forces extérieures quis’exercent sur l’objet. La force exercée pour pousserl’objet doit donc apparaître en tant que force exté-rieure dans la seconde loi, alors que sa réaction, laforce avec laquelle l’objet nous pousse, ne le doit pas.

Pour déterminer l’accélération d’un objet, on estdonc amené à le définir en tant que système étudié.L’accélération impliquée dans la loi fondamentale dela dynamique est donc celle du système et les forcesqui en sont la cause sont uniquement les forces exer-cées par l’extérieur sur ce système.

C’est donc la notion de force extérieure qui tra-duit la cause du mouvement. Cette notion est cen-trale dans la mécanique de newton.

Précisons enfin que l’unité de la force est le Newton.Il s’agit de la force nécessaire pour accélérer de 1 m/s2

une masse de 1 kg.

Exemples

– Une voiture roule en ligne droite à vitesseconstante. La force qui lui permet de mainte-

50


nir sa vitesse vaut 200 N . Calculez la force defrottement.Réponse : comme la voiture roule à vitesseconstante et en ligne droite, la première loi deNewton nous indique que la somme des forcesqui s’exercent sur elle est nulle. Ainsi, la forcepoussant la voiture étant vers l’avant et la forcede frottement vers l’arrière, on peut dire que laforce de frottement vaut aussi 200N.

– Une voiture (de masse m = 2000 kg) accélèrede 0 m/s à 100 km/h en 12 secondes. Quelle dis-tance a-t-elle parcouru ? D’où vient la force quilui permet d’accélérer de telle manière et quelleest sa valeur ?Réponse : 100 km/h = 27, 7 m/s. L’accéléra-tion est, par définition : a = (27, 7 − 0)/12 =2, 31 m/s2. La distance vaut alors : x = 2, 31 ·122/2 + 0 · 12 + 0 = 166, 6 m.La force qui lui permet d’accélérer vient du frot-tement avec le sol. C’est le sol qui l’exerce. Eneffet, la force exercée par les pneus sur le sol estclairement vers l’arrière (pensez en effet au sensdans lequel serait projeté un petit caillou colléau pneu au moment du démarrage de la voiture).Ce ne sont donc pas les pneus qui permettent àla voiture de démarrer. D’ailleurs, sur sol gelé,malgré la rotation des pneus, elle ne pourraitpas démarrer. Ainsi, il faut considérer la forceexercée par le sol sur les pneus. En effet, selonla troisième loi de Newton, celle-ci, en tant queréaction à l’action vers l’arrière des pneus sur lesol, s’exerce vers l’avant.La valeur de la force de frottement se calculeaisément par F = m ·a = 2000 · 2, 31 = 4620 ·N .

– Une voiture (de masse m = 2000 · kg) freine surune distance de 50 m pour éviter une collisionavec un mur. Sa vitesse initiale étant de 50 km/h,calculez son accélération et la force qui lui per-met de s’arrêter.Réponse : On ne connaît ni l’accélération, ni letemps d’arrêt. On peut donc soit utiliser les deuxéquations de la position et de la vitesse (deuxéquations à deux inconnues) dans lesquelles ap-paraissent le temps et l’accélération, soit utiliserune relation dérivée de ces deux équations oùn’apparaît pas le temps, mais seulement l’accé-

lération. Cette relation est (voir annexe E.2.1) :

v2 = v2o + 2 · ao · (x − xo)

Avec : vo = 50 km/h = 13, 8 m/s, v = 0 m/s etx − xo = 50 m, on a :

ao =v2 − v2

o

2 · (x − xo)=

02 − 13, 82

2 · 50= −1, 93 m/s2

Le signe négatif traduit une décélération (un frei-nage).Finalement, la force de freinage vaut : F = m ·a = 2000 · 1, 93 = 3860 N .

3.2.3 Types de forces

La seconde loi de Newton propose donc de fairejouer à la notion de force le rôle de cause du chan-gement du mouvement. Le programme de Newtonconsiste donc en premier lieu à rechercher les forcesqui agissent sur le système étudié. Il est donc fonda-mental de connaître les principales forces qui peuventagir. Il y en a beaucoup. On ne pourra les étudiertoutes. En fait, il en existe principalement quatre. Cesont la force de gravitation, la force électromagné-tique, la force faible et la force forte. Elles sont ditesfondamentales parce qu’elles sont à l’origine de toutesles autres. En d’autres termes, toutes les autres sontune manifestation de la présence des forces fonda-mentales.

Dans le cadre de ce cours de mécanique nous enétudierons quatre, dont une seule fondamentale : laforce de gravitation, donnant lieu à la loi de la gravi-tation universelle.

Loi de la gravitation universelle

La force de gravitation−→F exprime l’attraction à

distance exercée par une masse sur une autre et réci-proquement.

L’expression mathématique de cette loi, qui fait ré-férence à la figure 3.2, est la suivante :

−→F = G · M · m

r3· −→r (3.5)

51


Robert Hooke (1635-1703)

Hooke est un physicien bien moins connu que Newton.Pourtant, il mériterait de l’être plus car il est à l’originede la loi de la gravitation universelle.

“. . . toute sa vie, Newton s’efforça [. . .] de s’at-tribuer la priorité sur maintes découvertes faitespar ses contemporains ou ses précurseurs. Au-delàde la controverse bien connue avec Leibnitz surl’invention du calcul différentiel, Hooke fut la prin-cipale victime de la vindicte de Newton, après queHooke eut prétendu – à juste titre – avoir décou-vert avant lui la loi du carré inverse décrivant ma-thématiquement la force d’attraction gravitation-nelle capable de conférer aux planètes des orbiteselliptiques. [. . .] Il apparaît donc que les actes desgrands esprits scientifiques ne sont pas nécessaire-ment dignes d’hommes au grand cœur (mais est-ceune surprise ?).” (Stephen Hawking, 2003, pp. V etVI.)

Jean-Pierre Luminet, préface à l’édition française.

Actuellement on ne connaît aucun por-trait de Hooke dont on soit sûr (Newtona insisté pour qu’on retire le portrait deHooke de la Royal Society).

Cette loi est présentée ci-dessus sous sa forme vec-torielle. Elle traduit donc en même temps la direction(qui lie les centres des deux masses), le sens (attrac-tion des deux corps) et la grandeur du vecteur force−→F . Souvent on utilise une forme plus courante qui netraduit que la grandeur de la force, mais présente plusclairement la dépendance de cette dernière comme lecarré de la distance (r2) :

F = G · M · mr2

(3.6)

Remarquons que :– la loi de la gravitation universelle n’est valable

que pour des corps ponctuels ou sphériques,– qu’elle traduit une action à distance, ce qui po-

sera par la suite de graves problèmes,– que Newton était conscient des problèmes qu’une

action à distance pouvait poser, mais qu’il n’y apas trouvé de réponse satisfaisante,

– que la constante G est une constante fondamen-tale appelée “constante de la gravitation uni-verselle”, et vaut G = 6, 67 · 10−11 Nm2/kg2.

Cette constante est très petite. Cela traduitune force relativement faible (même si pour desmasses conséquentes comme la terre et le so-leil par exemple, elle peut avoir une valeur im-portante). Nous verrons, avec la force électriquepar exemple, un exemple de force beaucoup plusforte.

Le poids

On a vu au paragraphe 2.5.3 que l’accélération à lasurface de la terre d’un objet en chute libre (c’est-à-dire qui n’est soumis à aucun frottement) vautg = 9, 81 m/s2. Or, en chute libre, la seule force quis’exerce est le poids. Ainsi, selon la seconde loi deNewton, on peut écrire :

P = F = m · a = m · g ⇒

P = m · g (3.7)

Évidemment le poids étant une force, il s’exprimeen newton.

52


Fig. 3.1 – La balance de CavendishMesurer la force de gravitation30

Fig. 3.2 – Loi de la gravitation universelle.

FF

M

m

r

On peut aussi comprendre le poids d’une autre ma-nière. On peut considérer que le poids n’est que l’ex-pression de la force de gravitation qui s’exerce entrela terre et le corps considéré placé à la surface decelle-ci. Ainsi, à l’aide de la loi de la gravitation, onpeut écrire :

F = G · Mterre · mr2terre

= m · g

Attention, il faut bien comprendre que le poidsn’est pas une autre force que la force de gravitation,mais qu’il s’agit de la même force ! Ainsi, on peutécrire, à la suite de l’équation précédente :

g = G · Mterre

r2terre

= 9, 81 m/s2 (3.8)

C’est l’expression de l’accélération d’un corps enchute libre à la surface de la terre. On peut doncfacilement généraliser cette équation pour un corpsautre que la terre :

g = G · Mplanete

r2planete

(3.9)

En particulier aussi, on peut utiliser l’expressionde g ci-dessus pour exprimer la variation de l’accélé-ration terrestre en fonction de l’altitude :

g = G · Mterre

(rterre + h)2

où h est l’altitude au-dessus de la surface de laterre. On constate donc que l’accélération diminueavec l’altitude. Par conséquent, le poids aussi. Onpeut donc se poser la question suivante : “de combienmaigrit-on en montant au sommet de l’Everest”.

Gravitation et MCU

Une des nombreuses applications intéressantes dela loi de la gravitation universelle est la détermina-tion de l’altitude à laquelle il faut placer un satelliteen orbite pour qu’il soit géostationnaire. Ce cas estprésenté en annexe G. Il repose sur la loi de la gravi-tation universelle et sur la dynamique du mouvementcirculaire uniforme.

Comme on l’a vu (voir paragraphe 2.5.6), le MCUest un mouvement à vitesse constante, mais à ac-célération non nulle. La présence d’une accélérationimplique celle d’une force. Celle-ci est naturellementdans la même direction et le même sens que l’accé-lération. En effet, cela découle de la seconde loi de

53


Fig. 3.3 – La sensation des mouvementsGravitation, poids et mouvement circulaire31

Newton et du fait que la masse est toujours positive.Cette accélération, nommée centripète (et non cen-trifuge), est donc créée par une force centripète quidévie l’objet de sa trajectoire. Cela est parfaitementcompatible avec la première loi de Newton, puisqueselon elle, seule la présence d’une force peut expliquerune trajectoire non rectiligne. Cette force est cellede la gravitation universelle, communément nomméepoids. On peut donc bien dire que la lune tourne au-tour de la terre parce qu’elle lui tombe dessus sousl’effet de son poids. Et son poids la fait bien accélérer,mais sans que sa vitesse n’augmente. En effet, la vi-tesse de la lune dans son mouvement quasi-circulaireautour de la terre étant perpendiculaire à son poids,et donc à son accélération, aucune composante decette dernière n’existe parallèlement à la vitesse. Onpeut ainsi dire que le poids de la lune ne sert qu’à lafaire tourner. Elle tombe donc bien sur la terre touten paraissant suspendue en état d’apesanteur. Maisc’est une apesanteur fictive.

Ainsi, Newton réconcilie les deux univers de Pla-ton séparés par la lune, le monde sublunaire et lemonde supralunaire, à l’aide justement de ce corpsqui en traçait la frontière : la lune. Elle devient uncorps comme les autres dans un univers réunifié oules objets du monde supralunaire acquièrent un sta-tut sublunaire et où la terre se met à tourner autourdu soleil comme les corps parfaits du monde supralu-naire.

Mais la révolution ne s’arrête pas là, puisque lemouvement circulaire uniforme perd son statut deperfection en devenant un cas particulier du mou-vement elliptique suivant lequel s’établira désormaisla mécanique céleste.

Le frottement

Pour comprendre la force de frottement, il faut réa-liser l’expérience suivante :

on tire avec un dynamomètre une masse posée surune table. Pendant un premier temps, la masse nebouge pas. Cela signifie que la force qu’on exerce estégale à la force de frottement. Même si on tire de plusen plus fort, la masse ne bouge pas. Donc, la forcede frottement augmente en même temps et dans lamême mesure que celle que l’on exerce. C’est le casjusqu’à un certain point nommé “imminence de glis-sement”. A ce moment-là, la force de frottement, dite“statique” parce que le masse ne bouge pas encore, estmaximale. Si on augmente encore ne serait-ce qu’untout petit peu la force de traction, la masse se meten mouvement et on constate en général que la forcede frottement diminue légèrement. Ensuite, même sion augmente la force de traction, la force de frotte-ment ne varie plus. Ce comportement est résumé surle graphique de la figure 3.4.

Par ailleurs, pour un frottement de type sec, c’est-à-dire entre deux surfaces solides (voir figure 3.5), onmontre que la force ne dépend pas de la surface defrottement, mais seulement de la nature des surfaceset de la réaction du sol (la force exercée par le sol surla masse). Ainsi, on peut écrire :

Ffrott. stat. max = µo · N (3.10)

54


Fig. 3.4 – La force de frottement

Force de frottement

Force de traction

Sta

tique

Dyn

amiq

ueFstat.max.

Fcin.

Fig. 3.5 – Freins de wagon

où µo est le cœfficient de frottement statique quitraduit l’intervention de la nature des surfaces et Nest la force de réaction. De la même manière, on aaussi :

Ffrott. cin. = µc · N (3.11)

où µc est le cœfficient de frottement cinétique.

D’autre part, on a, comme la figure 3.4 le montre,la relation suivante :

µo ≥ µc

Enfin, il faut relever qu’en réalité la situation estplus complexe. Même si le modèle de la force de frot-tement cinétique présente une force indépendante dela vitesse, on peut observer des variations en fonction

Fig. 3.6 – Essieu de wagon

de la vitesse (notamment une décroissance). De plussa linéarité en fonction de la réaction normale du soln’est pas toujours exacte. Il s’agit donc d’un modèlequi a ses limites.

La force d’un ressort

Il est particulièrement intéressant de comprendrecomment agit la force d’un ressort. En effet, c’estun premier modèle traduisant les liaisons inter-atomiques à l’intérieur d’un cristal par exemple. Maisbeaucoup d’autres cas pourraient être présentés (voirfigure 3.6).

Dans le domaine où le ressort a un comportementplastique (c’est-à-dire que son extension est parfaite-ment réversible), on montre que l’expression donnantle force de rappel par rapport à l’état d’équilibre oùle ressort est détendu, est :

F = −k · x (3.12)

Fig. 3.7 – La force du ressort

xéquilibre

+

ressort détendu force de rappel

55


où k est appelée constante du ressort, traduit sa“dureté” et s’exprime en N/m. Le signe négatif, quantà lui, vient du fait que c’est une force de rappel (di-rigée dans le sens contraire de l’axe).

Exemples

1. Déterminez la perte de poids que constate unepersonne de masse m = 80 kg en passant du bordde la mer au sommet de l’Everest (∼ 8000 m).Solution :L’accélération terrestre au niveau de la mervaut :

gmer = G · Mterre

(rterre + h)2

= 6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024

(6, 37 · 106 + 0)2

= 9, 81344 m/s2

L’accélération terrestre au niveau du sommet del’Everest vaut :

gEverest = G · Mterre

(rterre + h)2

= 6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024

(6, 37 · 106 + 8000)2

= 9, 78884 m/s2

Ainsi, le poids de la personne au niveau de lamer vaut :

Pmer = m · gmer = 80 · 9, 81344 = 785 N

et celui à 8000 m vaut :

PEverest = m · gEverest = 80 · 9, 78884 = 783 N

La différence est donc de : ∆P = 785−783 = 2 N

Au niveau de la mer, cela correspond à une va-riation de masse qui vaut :

∆m =∆P

gmer=

2

9, 81344= 204 g

2. Calculez la distance de freinage d’une voitureroulant à 50 km/h sur une route mouillée dontles cœfficients de frottement avec les pneusvalent : µo = 0, 4 et µc = 0, 3. Le conducteurne sait pas freiner.Solution :Comme le conducteur ne sait pas freiner, ilbloque les roues et elles glissent sur la chaussée.Le cœfficient de frottement est donc µc = 0, 3.La force de frottement vaut alors :

Ffrot. = µc · N = µc · m · g

Mais, la seconde loi de Newton implique :

a =Ffrot.

m=

µc · m · gm

= µc · g

= 0, 3 · 9, 81 = 2, 943 m/s2

Par ailleurs, on a aussi : v2 = v2o + 2 · a · d

Ainsi, on tire :

d =v2 − v2

o

2 · a =02 − 13, 92

2 · (−2, 943)= 32, 8 m

Car, 50 km/h = 13, 9 m/s et a < 0 pour unedécélération.

3. On suspend à un ressort de constante k =200 N/m une masse de 2 kg. Calculez son élon-gation.Solution :L’équilibre des forces (le poids vers le bas et laforce de rappel du ressort vers le haut) mène àla solution suivante :

m · g = k · x ⇒ x =m · g

k=

2 · 9, 81

200= 9, 81 cm

56

CH

AP

ITR

E3.

LA

MÉ

CA

NIQ

UE

3.2.M

ÉC

AN

IQU

ED

EN

EW

TO

N


Grandeur Définition UnitéDistance r mMasse m , M kgForce F N

Constante de la gravitation G = 6, 67 · 10−11 N ·m2

kg2

Coefficient de frottement µ -Constante du ressort k N

m

Résumé des lois de la dynamique

Lois de NewtonLes lois fondamentales de la dynamique :

MRU ⇔ Σ−→F ext = 0 (3.13)

Σ−→F ext = m · −→a (3.14)

−−−−→Action = −−−−−−−→

Reaction (3.15)

(3.16)

et Lois de forcesQuelques lois :

−→P = m · −→g (3.17)

F = G · M · mr2

(3.18)

F = −k · x (3.19)

F = µ · N (3.20)

MCU ; force centripète de nature diverse :

Fc = m · v2

R⇒ ac =

v2

R(3.21)

Fig. 3.8 – Résumé de mécanique

57


58

Chapitre 4L’énergie

4.1 Introduction

A l’origine, la notion d’énergie est apparue commeune seconde voie dans l’étude de la dynamique desmouvements. En effet, la théorie de Newton, qui sesitue au niveau de la relation causale entre force etaccélération, utilise des grandeurs qui sont en perma-nente évolution au cours du temps (F(t), a(t), v(t) etx(t)). De plus, elle se place au niveau mathématiquede l’accélération. Pour remonter à la vitesse ou à laposition, il faut ensuite effectuer une série d’opéra-tions mathématiques qui peuvent ne pas être simples(intégrations). Est donc apparue une nouvelle théorieutilisant des concepts se situant au niveau mathéma-tique de la vitesse et développant des théorèmes deconservation. Ainsi, cette seconde voie s’est vite pré-sentée comme un complément à la théorie de New-ton permettant des solutions mathématiques parfoisplus simples que celles de la théorie newtonienne auxproblèmes de mécanique. Mais elle a aussi permis demettre en évidence la conservation de certaines gran-deurs importantes.

D’un autre côté, les nouveaux concepts développésont pris, avec le développement des appareils nécessi-tant des sources d’énergie, une véritable significationdans la vie courante. Et les problèmes énergétiquesde ce début de XXIe siècle contribuent plus encoreaujourd’hui à imposer la nécessité de comprendre lesnotions de travail, d’énergie et de puissance.

Ce chapitre va donc tenter de formuler aussi sim-

plement que possible tous ces concepts, afin de per-mettre de mieux comprendre les enjeux des problèmesénergétiques d’aujourd’hui.

4.2 Travail

La première notion importante à connaître est celleliée à l’action d’une force sur une distance donnée. Onimagine bien qu’un cheval tirant un traîneau doit ef-fectuer un certain travail. Évidemment, plus la forcequ’il doit exercer pour compenser la force de frotte-ment et faire avancer le traîneau est importante, plusle travail qui lui est demandé le sera. Par ailleursaussi, plus la distance qu’il va parcourir sera grandeplus son travail le sera. On peut ainsi assez simple-ment définir le travail par :

A = F · d (4.1)

où A est le travail (Arbeit en allemand), F la forceexercée et d la distance parcourue. Les unités du tra-vail sont donc :

[A] = [F ] · [d] = N · m = J Joule

On peut ainsi calculer le travail nécessaire pourfaire avancer un objet horizontalement avec une forcede 4 N sur une distance de 5 m :

A = F · d = 4 · 5 = 20 J

59

4.4. ÉNERGIE POTENTIELLE CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE

Fig. 4.1 – PuissanceLe cheval vapeur32

Deux autres unité de travail (et d’énergie) trèsconnues (mais non SI) sont la calorie (cal) et le kilo-wattheure (kWh). On a que :

1 cal = 4, 186 J

et :1 kWh = 3, 6 · 106 J

Attention, la présence du symbole W pour watt nesignifie pas qu’il s’agit d’une puissance, comme nousle verrons au paragraphe 4.3

Remarquons finalement que la définition du travaildonnée ci-dessus n’est valable que pour des forcess’exerçant dans la même direction et le même sensque le déplacement. Pour une force agissant dans lesens contraire du déplacement, le travail est négatif etpour une force perpendiculaire au déplacement, il estnul. Cela se traduit aisément en considérant commedéfinition du travail le produit scalaire entre le vec-teur force et le vecteur déplacement.

4.3 Puissance

On voit que le travail ne dépend pas du temps. Or,on peut produire un même travail lentement (voir

figure 4.1) ou rapidement. La manière dont ce travailest produit dans le temps donne lieu à la définitionde la notion de puissance. Plus le temps mis pourproduire un travail donné est court, puis il faudra dela puissance. On doit donc écrire :

P =A

t(4.2)

où P est la puissance, A le travail et t le tempsmis pour le produire. Les unités de la puissance sontdonc :

[P ] =[A]

[t]=

J

s= W Watt

On peut ainsi calculer la puissance nécessaire pourproduire un travail de 20 J en une minute :

P =A

t=

20

60= 0, 33 W

Une autre unité de puissance (non SI) est le cheval-vapeur (Ch ou CV). On a :

1 Ch = 736 W

Il faut remarquer que le fait qu’on puisse aussiécrire l’équation 4.2 sous la forme :

A = P · t

permet de définir le kilowattheure (kWh) en tantqu’unité du travail (ou d’énergie). En effet, en choi-sissant le kW pour unité de puissance et l’heure pourunité de temps, on a :

[A] = [P ] · [t] = kW · h

4.4 Énergie potentielle

Le poids d’un objet de masse m tombant d’uneune hauteur h produit un travail qu’on peut calculerainsi :

A = F · d = P · h = mg · hOn peut s’imaginer que le travail qu’est capable deproduire cet objet est potentiellement contenu dansl’objet situé à la hauteur h. En d’autres termes, on

60

CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE 4.6. THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE

peut s’imaginer que cet objet dispose de par sa si-tuation à la hauteur h d’une “énergie potentielle”. Entombant sous l’effet de son poids, cette énergie po-tentielle se transformerait alors en travail. Comme letravail que l’objet est capable de fournie vaut mg · h,on peut définir l’énergie potentielle par :

Epot = mg · h (4.3)

La possible transformation de l’énergie potentielle entravail implique une identité des unités de ces deuxgrandeurs. Ainsi :

[Epot] = [A] = J Joule

On peut ainsi résumer la situation en disant quepour monter un objet de masse m soumis à son poids,on doit fournir un travail sous la forme d’une forceopposée et égale à son poids qui se déplace sur unehauteur h. Au fur et à mesure de l’élévation, le travailfourni se transforme en énergie potentielle. Ce travailest récupérable à travers le travail fourni par le poidsde l’objet quand on le redescend à sa hauteur initiale.

4.5 Énergie cinétique

Un camion s’écrasant contre un mur à une vitessede 50 km/h va produire un travail de déformation decelui-ci. Sa masse et son mouvement constituent doncune sorte de réservoir d’énergie que nous appellerons“énergie cinétique”. Pour calculer celle-ci précisément,on procède comme pour l’énergie potentielle. On cal-cule le travail nécessaire pour amener le camion à lavitesse choisie et on considère que ce travail constituel’énergie cinétique du camion. Dans le cas d’un mou-vement rectiligne uniformément accéléré, avec une vi-tesse initiale nulle, on a :

v2 = v2o + 2 · a · d ⇒ a =

v2 − 02

2 · dOn peut donc écrire :

A = F · d = ma · d

= m · v2

2 · d · d

=1

2· m · v2

On montre que ce résultat n’est pas valable seulementdans les conditions ci-dessus, mais est tout-à-fait gé-néral. Ainsi, l’énergie cinétique d’un objet de massem et de vitesse v est donnée par :

Ecin =1

2· m · v2 (4.4)

A nouveau, la possible transformation de l’énergie ci-nétique en travail implique une identité des unités deces deux grandeurs et :

[Ecin] = [A] = J Joule

On peut aussi résumer la situation en disant quepour augmenter la vitesse d’un objet de masse m durepos à une vitesse donnée, on doit fournir un travailqui s’accumule sous la forme d’énergie cinétique dansl’objet. Ce travail est récupérable à travers le travailfourni lorsque l’objet exerce une force qui diminue savitesse.

4.6 Théorème de l’énergie ciné-tique

La remarque de la fin du paragraphe 4.5 nous mèneà considérer la variation d’énergie cinétique à tra-vers le travail qui la produit ou qu’elle produit. Celaconstitue le théorème de l’énergie cinétique qui s’ex-prime ainsi :

∆Ecin =∑

AF ext (4.5)

Il faut bien comprendre que le travail à prendre encompte dans ce théorème est celui de toutes les forcesextérieures en jeu. Il peut s’agir de forces qui dis-sipent de l’énergie, dites dissipatives, comme la forcede frottement, ou de forces qui la conservent, ditesconservatives, comme le poids par exemple.

Nous verrons au paragraphe 4.7 que le théorème deconservation de l’énergie mécanique ne traite quantà lui que des cas où les forces sont conservatives. Iln’est apparemment valable qu’en l’absence de frotte-ment. La résolution des problèmes ne contenant quede telles forces s’en trouve facilitée. Cela peut néan-moins apparaître comme une limitation. Elle n’est

61

4.7. CONSERVATION DE L’ÉNERGIE MÉCANIQUE CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE

pourtant qu’apparente, car au niveau fondamental,les forces de frottement s’avèrent en réalité être desforces électriques qui sont conservatives. Le théorèmede conservation de l’énergie mécanique est donc toutaussi général que celui de l’énergie cinétique.

Il existe cependant une autre façon de prendre encompte les forces de frottement au sein d’un théo-rème analogue à celui de conservation de l’énergiemécanique. Au paragraphe 4.8 nous montrerons qu’ilsuffit pour cela de considérer la variation de l’énergiemécanique comme équivalente au travail des seulesforces non conservatives (forces de frottement).

4.7 Conservation de l’énergiemécanique

Qu’elle soit potentielle ou cinétique, il s’agit tou-jours d’énergie. On comprend donc facilement qu’ilpuisse exister des transferts entre ces deux formesd’énergie (comme avec d’autre formes d’énergie quenous verrons par la suite d’ailleurs !).

Le cas de la chute d’un objet permet de bien illus-trer la situation. Un objet immobile à une hauteur ha une énergie potentielle donnée par :

Epot = mg · het une énergie cinétique nulle en raison de son immo-bilité :

Ecin = 0

Si on le lâche, sous l’effet de son poids, il va tomber.La hauteur à laquelle il se situe va donc diminuer etavec elle son énergie potentielle :

h ց ⇒ Epot = mg · h ցBien entendu, cette diminution d’énergie potentiellese fait au profit d’un autre type d’énergie : l’énergiecinétique. En effet, la vitesse de l’objet ainsi que sonénergie cinétique, augmentent en tombant :

v ր ⇒ Ecin =1

2· m · v2 ր

Arrivé à une hauteur nulle, l’objet n’a plus que del’énergie cinétique :

h = 0 ⇒ Epot = 0 ; Ecin =1

2· m · v2

Fig. 4.2 – Énergie cinétique et potentielleL’énergie se transforme33

Dans le cas où il n’y a pas de frottements, on peutconsidérer que toute l’énergie potentielle s’est trans-formée en énergie cinétique. Il y a donc là une conser-vation de l’énergie qui passe d’une forme potentielleà une autre forme cinétique. On peut donc écrire :

Epot = mg · h =1

2· m · v2 = Ecin

et déterminer ainsi la vitesse à laquelle l’objet arriveen bas :

mg · h =1

2· m · v2 ⇒

v =√

2 · g · h

Pour formaliser ce principe de conservation del’énergie, on définit une nouvelle grandeur appeléeénergie mécanique Emec par :

Emec =1

2· m · v2 + mg · h (4.6)

62

CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE 4.8. VARIATION DE L’ÉNERGIE MÉCANIQUE

qui permet d’écrire le théorème de conservation del’énergie suivant :

Emec = const (4.7)

Ce qui signifie aussi :

Emec 2 = Emec 1 ⇒Emec 2 − Emec 1 = 0

∆Emec = 0

ou

Ecin 2 + Epot 2 − (Ecin 1 + Epot 1) = 0

Ecin 2 − Ecin 1 + Epot 2 − Epot 1 = 0

∆Ecin + ∆Epot = 0

1

2· m · v2

2 − 1

2· m · v2

1

+m · g · h2 − m · g · h1 = 0

Toutes ces expressions sont équivalentes. Il est im-portant de bien comprendre que celles-ci signifienttoutes que l’énergie mécanique reste la même au coursdu temps.

Il est aussi important de dire que que cette loi n’estvalable qu’en l’absence de frottements.

On peut alors récrire le problème du calcul de lavitesse atteinte par un objet en chute libre au boutd’une hauteur h d’une autre manière. On commencepar déterminer l’énergie mécanique au début :

Edebmec = Ecin + Epot = 0 + mg · h

et à la fin du mouvement :

Efinmec = Epot + Ecin =

1

2· m · v2 + 0

et on impose que l’énergie mécanique soit conservéeentre le début et la fin du mouvement :

0 + mg · h =1

2· m · v2 + 0

Et on obtient bien alors la vitesse trouvée précédem-ment.

Finalement, rappelons que l’on peut aussi trouvercette vitesse sans passer par l’énergie, mais en utili-sant la cinématique du mouvement rectiligne unifor-mément accéléré (MRUA). En effet, une chute libre

est un MRUA et pour une vitesse initiale nulle, onpeut écrire :

v2 = 02 + 2 · g · h ⇒ v =√

2 · g · h

Visiblement, ce calcul est plus simple. Pourtant,il faut relativiser. En effet, l’équation utilisée résultede la composition des deux équations du mouvementd’un MRUA. Par ailleurs, elle n’est plus valable pourun mouvement non uniformément accéléré pour le-quel la méthode de la conservation de l’énergie esttoujours fonctionnelle. En fin de compte, il s’agit dechoisir au cas par cas s’il est plus simple d’utiliserNewton ou l’énergie.

4.8 Variation de l’énergie méca-nique

En présence de frottements (forces dissipatives), onpeut modifier le théorème de conservation de l’énergiemécanique en s’inspirant du théorème de l’énergie ci-nétique. On peut considérer le travail des forces exté-rieures impliqué dans ce dernier comme comprenantdeux termes : l’un correspondant aux forces conserva-tives et l’autre aux forces dissipatives. Ainsi, on peutécrire :

∆Ecin = AF extcons

+ AF ext

diss

Or, le travail des forces conservatives représente toutsimplement l’énergie potentielle qui leur correspond.Ainsi, on a :

∆Ecin + ∆Epot = AF ext

diss

⇒ ∆Emec = AF ext

diss

(4.8)

L’équation 4.8 montre que l’énergie mécanique entant que telle n’est plus conservée. Mais on comprendbien que sa variation est en relation étroite avec ladissipation d’énergie due à la force de frottement : ily a production de chaleur.

4.9 Énergie thermique

L’objectif de ce chapitre n’est pas la thermodyna-mique. Il s’agit donc simplement ici de présenter ici le

63

4.9. ÉNERGIE THERMIQUE CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE

Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796-1832)

Nicolas Léonard Sadi Carnot ne publia qu’un seul livre,oeuvre de sa vie : “Réflexions sur la puissance motrice dufeu et sur les machines propres à développer cette puissan-ce” (Paris, 1824).Il est l’un des fondateurs de la thermodynamique, sciencedes phénomènes thermiques. Il développa l’idée d’un mo-teur idéal d’un rendement maximum indépassable. Il esten effet impossible de transformer intégralement la chaleurprovenant d’une source chaude fournie à un moteur ther-mique en travail mécanique. Nécessairement, un partie decette chaleur est rejetée vers une source froide.Il ébaucha la première loi de la thermodynamique en ten-tant de trouver un lien entre travail et chaleur.Évidemment, une révolution motrice fut engagée avec Car-not et les machines à vapeur, révolution qui fut à l’originede la société thermo-industrielle.

Nicolas Léonard Sadi Carnot en uniforme de polytechnicien peint

par Louis Léopold Boilly, tiré de Wikipedia34

plus simplement possible la relation qui existe entreles concepts de travail, d’énergie interne et de cha-leur. Nous avons déjà vu ce qu’est le travail. L’énergieinterne est constituée, quant à elle, de la somme desénergie potentielles et cinétiques d’un corps constituéde plusieurs éléments. L’énergie potentielle représenteici l’énergie liée aux forces qui s’exercent entre les élé-ments du corps et l’énergie cinétique est celle qui estliée à l’agitation de ces éléments dont une bonne me-sure est donnée par la température. La chaleur quantà elle s’entend comme de l’énergie qui transite d’uncorps à l’autre.

Ainsi, pour élever la température d’un corps demasse m, d’une température ∆θ, il faut une chaleurQ donnée par :

Q = m · c · ∆θ (4.9)

où la constante c est dite chaleur spécifique massiqueet représente la manière dont le corps utilisé réagitau transfert de chaleur.

Un exemple simple est celui qui consiste à chaufferde l’eau. Pour déterminer la quantité de chaleur né-cessaire pour faire passer 2 kg d’eau de 15 à 20◦C en

sachant que la chaleur spécifique massique de l’eauvaut 4180 J/kg◦C, on pose :

Q = 2 · 4180 · (20 − 15) = 41′800 J

4.9.1 Premier principe

Lorsqu’on chauffe un gaz contenu dans un récipientmuni d’un piston, la chaleur Q transférée à ce gazpeut produire deux effets : une augmentation de sonénergie interne ∆U , c’est-à-dire de sa températureet/ou une variation de son volume impliquant un tra-vail A du piston.

Le premier principe de la thermodynamique dit eneffet que :

Q = ∆U + A (4.10)

Pour des corps, comme les liquides, dont le volumene varie pas (ou presque), Q = ∆U . Et on retrouvel’expression donnée précédemment en sachant que :

∆U = m · cv · ∆θ

où cv est la chaleur spécifique massique à volumeconstant.

64

CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE 4.10. ÉNERGIES RENOUVELABLES

Par contre pour des corps dont le volume peut va-rier sensiblement, comme les gaz, on peut envisagerune variation de l’énergie interne et/ou un travail pro-duit. On touche alors au domaine des moteurs ther-miques, ce qui n’est pas le propos de ce paragraphe.

4.10 Énergies renouvelables

Parti est pris ici de mettre en avant des énergies res-pectueuses de l’environnement et renouvelables. Cer-taines sont de réelles alternatives aux énergies non re-nouvelables et ont depuis longtemps fait leur preuves.D’autres commencent seulement à permettre des pro-ductions assez importantes pour être signalées. Quoiqu’il en soit, elles méritent d’être présentées avec unregard critique autant que les autres. C’est ce quiva être fait ici dans la mesure de la place disponible(Lhomme Jean-Christian, 2004, pour de plus amplesrenseignements sur les énergies renouvelables) .

Une juste appréciation de la valeur d’un typed’énergie n’est pas une chose facile tant nombreuxsont les paramètres qui doivent intervenir. Les va-riables à prendre en compte peuvent être d’ordrephysique, géographique, politique, écologique, ... Lesgrandeurs physiques seront cependant privilégiéesdans ce cours de physique pour des raisons évidentes.Cependant, dans la mesure du possible, plusieursautres paramètres seront aussi abordés.

En ce qui concerne les grandeurs physiques, serontprincipalement utilisées :

– L’énergie E produite pendant une période don-née, en kilowattheure (kWh) plutôt qu’en joules,car c’est l’usage communément répandu.

– La puissance P de production, en watt.La relation liant ces deux grandeurs est, rappelons-le,E = P · t.

Les énergies renouvelables, hydraulique, biomasse,solaire et éolien, représentent environ 20% de la pro-duction mondiale (Hubert Reeves avec Fréderic Le-noir, 2003, p. 67.).

4.10.1 Énergie hydraulique

Elle représente 18% de la production mondiale,soit plus de 700 GW . Il s’agit de la puissance instal-

Fig. 4.3 – Barrage d’EmossonD’une hauteur de 180 m et largeur de 560 m35

lée, c’est-à-dire la puissance maximale permise par latotalité des installations. En réalité, toutes ne pro-duisent pas toujours au maximum. En effet, par sespossibilités de réserve, l’énergie hydraulique est sou-vent sous exploitée pour permettre de compléter lademande. En réalité ce sont donc environ 10% de laproduction totale mondiale. En France, par exemple,environ 25 GW sont installés, pour 22% de la consom-mation électrique, alors que seulement 15% sont pro-duits. Relevons qu’en Suisse, la production d’électri-cité est assurée à 56% par l’hydraulique.

L’idée pour la production d’énergie hydraulique estsimple. Une masse d’eau située à une altitude h a uneénergie potentielle qui vaut :

E = m · g · h

Or, le soleil, qui chauffe l’eau des océans, évapore unegrande quantité d’eau qui retombe sur les montagnessous la forme de précipitations. L’énergie fournie parle soleil se transforme donc en énergie potentielle

65

4.10. ÉNERGIES RENOUVELABLES CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE

qu’on peut stocker en retenant l’eau à l’aide de bar-rages. On utilise ensuite des conduites forcées pourl’amener à grande vitesse sur des turbines. L’énergiepotentielle est donc transformée en énergie cinétiquede rotation. Celle-ci est alors ensuite transformée àl’aide d’alternateurs en énergie électrique.

Il est intéressant de déterminer la puissance qu’onpeut tirer d’une rivière ou d’une retenue d’eau. Elles’exprime directement à partir de l’énergie potentielle(équation 4.3), de la définition de la puissance (équa-tion 4.2) et de celle du débit Q = V/t où V est levolume :

P =E

t=

m · g · ht

=m

t· g · h =

ρ · Vt

· g · h

=V

t· ρ · g · h = Q · ρ · g · h

en raison de la définition de la masse volumique :

ρ =m

V⇒ m = ρ · V

Si on considère la masse volumique de l’eau :

ρeau = 998 kg/m3 ≃ 1000 kg/m3

on peut raisonnablement éliminer le terme ρ si ontravaille en kW (et non en W ) pour la puissance. Onobtient alors :

P = Q · g · hMais, cette puissance constitue le maximum pouvantêtre atteint. En réalité, la nature de l’écoulementet des frottements interviennent pour diminuer cettepuissance. Le problème du calcul de ces facteurs étantcomplexe, on en rend compte simplement à l’aided’un facteur de rendement qui modère la puissancemaximale. Ainsi, la “puissance de chute” se calculepar :

Prelle = η · Q · g · h (4.11)

où on a :– la puissance P en kW ,– le débit Q en m3/s et– la hauteur de chute en m.

Un rendement typique vaut : η = 0, 8 = 80%.

Exemple

On peut comparer deux types d’installations :

1. une chute de 10 m avec un débit de 4 m3/s et2. une chute de 40 m avec un débit de 1 m3/s.

En considérant un rendement de 90%, par exemple,la puissance de ces deux installations est de :

P = 0, 9 · 4 · 9, 81 · 10

= 0, 9 · 1 · 9, 81 · 40

= 353, 16 kW

On a donc ici deux installations de même puissance.Mais certainement pas de même coût. En effet, il estbien plus facile (et donc moins coûteux) de faire uneconduite forcée dans la montagne pour amener l’eausur une différence d’altitude de 40 m avec un débitde 1 m3/s que de construire une turbine adaptée àun débit de 10 m3/s.

Types de turbines

Différents types de turbines correspondent à dif-férentes plages d’utilisation. Il existe essentiellementtrois types de turbines en fonctionnement dans lemonde.

Fig. 4.4 – Turbine PeltonDes godets propulseurs36

– Les turbines Kaplan sont à réaction : totalementimmergée dans l’eau, elles fonctionnent comme

66


Fig. 4.5 – Ancienne turbine PeltonBarrage d’Emosson, centrale de Châtelard

43′850 kW , 500 t/min, 7135 kg en acier inox.

une aile d’avion. Elles ressemblent à une hélice(comme pour un bateau) généralement verticale.Elles sont utilisées pour de faibles chutes, jusqu’à30 m, et un débit de 4 à 350 m3/s.

– Les turbines Francis sont aussi à réaction et ontdes pales qui les font ressembler à un réacteurd’avion. Elles sont utilisées pour de moyenneschutes, entre 10 et 700 m, et un débit de 4 à55 m3/s.

– Les turbines Pelton (voir figure 4.4 et 4.5) sontquant à elle à action : c’est la poussée du fluidequi les fait tourner. Elles ressemblent au an-ciennes roues à aube, mais tournent horizonta-lement et sont munies de godets. Elles sont utili-sées pour de hautes chutes, entre 200 et 2000 m,et un débit de 4 à 15 m3/s.

Le rendement de ces turbines varient entre 80 et 90%.

Alternateur

Il faut mentionner ici que l’énergie cinétique de ro-tation des turbines est transformée en énergie élec-trique grâce à un alternateur. Il n’est pas ici néces-saire d’en expliquer le fonctionnement qui relève del’électromagnétisme. Relevons cependant que le ren-dement (rendement dont tient compte le facteur η dela puissance de chute) d’un alternateur est supérieurà 90%, ce qui permet de dire que la production d’élec-tricité grâce à l’énergie hydraulique est très efficace.

Problèmes rencontrés

Il faut ici mentionner les réels problèmes posés parla construction de barrages géants, en Inde notam-ment, qui sont loin de ne présenter que des avantagespour les populations. L’irrigation des régions alen-tour par exemple est bien moins importante que lesespérances mises en avant par les constructeurs. Ce-pendant l’énergie hydraulique de moyenne et faiblepuissance est généralement bien tolérée. De plus ellene génère aucun gaz à effet de serre.

4.10.2 Énergie éolienne

Elle représente une part négligeable de l’éner-gie mondiale. Les raisons en sont nombreuses. Parexemple, en France :

“Il est demandé aux promoteurs desparcs éoliens de déposer le montant du coûtde la déconstruction des machines sur uncompte bloqué. C’est une disposition uniquequi ne s’applique qu’à l’éolien.” (OllivierPhilippe, 2006, p. 22)

Mais l’éolien est une énergie d’avenir car il présentede nombreux avantages : production renouvelable, lo-cale, sans effet de serre, machine facilement démon-table. . . L’éolienne de la figure 4.6 se trouve au MontSoleil, en Suisse, dans le jura. Cette énergie se dé-veloppe fortement aujourd’hui. Elle représentait en1985 un réacteur nucléaire, en 2002 plus de vingt (Hu-bert Reeves avec Fréderic Lenoir, 2003, p. 91.) et en2005 plus de 50. Des projections estiment que celareprésentera plus de 200 centrales nucléaires en 2010.

67


Fig. 4.6 – ÉolienneL’énergie paisible

L’origine de cette énergie est encore une fois le so-leil qui en chauffant l’air au-dessus des océans créeles déplacements de masses atmosphériques qui sontà l’origine des vents.

Le principe de fonctionnement d’une éoliennesemble évident. Pourtant, il est très complexe. Fai-sant appel à des notions de dynamique des fluides,il n’est pas question de l’aborder en détail ici. Pour-tant on peut dire, en substance, qu’une pale d’uneéolienne se comporte comme une aile d’avion. Il secrée autour d’elle un écoulement de l’air qui abou-tit à une diminution de la pression sur l’extrados, lapartie supérieure de l’aile, et une augmentation surl’intrados, la partie inférieure. Le résultat est qu’uneforce de portance, dans le cas d’un avion, de tractiondans le cas d’une éolienne, apparaît comme le montrela figure 4.7.

Encore une fois, l’écoulement de l’air autour d’unepale d’éolienne est très complexe, d’autant plus que lavitesse de l’air augmente à mesure qu’on s’approche

Fig. 4.7 – Pale d’éoliennePortance et traînée d’une aile

de son extrémité. En effet, la vitesse à l’extrémitéd’une pale de 30 m tournant à 30 tr/mn (T = 2 s/tr)vaut :

v =2 · π · r

T=

2 · π · 30

2= 94 m/s = 339 km/h

Alors qu’à 4 m du rotor, elle vaut :

v =2 · π · 4

2= 13 m/s = 45 km/h

Mais, le résultat d’un calcul très simplifié permet unepremière évaluation de la puissance maximale quepeut fournir une éolienne. Il est connu sous le nomde règle de Betz. Même s’il est approximatif, il estintéressant. Sa démonstration est donné à l’annexeH.3.1.

On peut calculer l’équivalent de la puissance duvent en considérant l’énergie cinétique d’une massed’air m qui se déplace à la vitesse v en considérantun tube d’air cylindrique de surface à la base S, cor-respondant à la surface balayée par les pales de l’éo-lienne, et de hauteur d, comme présenté à la figure4.8.

Fig. 4.8 – Tube de ventLa puissance du vent

S

d = v · t

68


Le volume d’air V qui traverse la surface S en untemps t donné est :

V = S · d = S · v · tOr, la définition de la masse volumique permetd’écrire :

ρ =m

V⇒ m = ρ · V = ρ · S · v · t

Ainsi, le débit vaut :

D =m

t= ρ · V = ρ · S · v

Par définition de la puissance, on a alors :

Pvent =Ecin

t=

1

2· m · v2

t

=1

2· m

t· v2 =

1

2· D · v2

=1

2· ρ · S · v · v2

=1

2· ρ · S · v3 (4.12)

Par ailleurs, voir l’annexe H.3.1, en supposant quel’éolienne prenne une partie ∆P ce cette énergie avecpour conséquence une diminution de la vitesse vav enaval de l’hélice par rapport à celle vam en amont, onmontre que :

∆P =1

4· ρ · S · (v2

am − v2av)(vam + vav)

Par dérivation de ∆P en fonction de vav, on trouvela vitesse en aval qui donne le maximum de puissanceà l’éolienne :

vav =1

3· vam =

1

3· v (4.13)

Et on peut calculer la puissance maximale que l’éo-lienne peut tirer du vent :

∆P =16

27· Pvent (4.14)

Ce qui représente pratiquement 60% de la vitessedu vent et constitue la limite de Betz.

Finalement, mentionnons que l’énergie grise néces-saire à la fabrication et à l’installation des éoliennesreprésente moins d’une année de leur production.Pour des machines exploitées au minimum vingt anscela représente un maximum de 5% d’énergie grise.

4.10.3 Énergie solaire

Une bonne compréhension des phénomènes phy-siques permettant de produire de l’énergie à partir durayonnement solaire dépasse totalement le cadre dece cours. Notamment, elle nécessiterait une étude despropriétés du rayonnement électromagnétique, de sesrelations avec la matière (absorption, émission et effetphotoélectrique), de son rôle dans l’effet de serre oudans la production d’électrons par les matières pho-toélectriques. Elle nécessite aussi des connaissancesdans le domaine de l’optique réflective, dans le do-maine de la thermodynamique (conduction, convec-tion. . . ), etc.

Énergie solaire thermique

L’énergie solaire thermique est très prometteuse.En effet, elle est très simple à réaliser, d’un coût trèsmodeste, totalement non polluante, sans rejet de gazà effet de serre, elle se branche facilement sur uneautre installation de chauffage. Elle est essentielle-ment utilisée dans deux cas :

1. la production d’eau chaude sanitaire (ECS) et

2. pour le chauffage.

Étant donné les variations naturelles d’ensoleille-ment, la production d’eau chaude à l’aide d’énergiesolaire thermique n’est pas toujours suffisante. Il fautdonc un chauffage d’appoint (bois, gaz naturel, com-bustion des ordures, ... éventuellement pétrole). Pourdonner un ordre de grandeur, on considère que 60%de l’eau chaude sanitaire d’une villa comprenant unefamille de deux adultes et trois enfants est couverteavec 5 à 8 m2 de panneaux solaires.

Le principe de fonctionnement est en substancele suivant. L’énergie solaire parvient jusqu’à la terresous la forme de rayonnement visible. Ce rayonne-ment échauffe la matière sur laquelle il arrive jusqu’àce que celle-ci réémette sous la forme de rayonnementinfrarouge la même quantité d’énergie qu’elle reçoit.Il se produit alors un équilibre thermique.

En plaçant un vitrage au-dessus de la surface, onempêche alors le rayonnement infrarouge réémis parla matière de se perdre. Il est redirigé vers elle par levitrage et sert ainsi à élever encore la température.

69


Fig. 4.9 – Solaire thermiqueEau chaude sanitaire par solaire thermique

Les cellules solaires thermiques se composent doncd’un vitrage et d’une couche d’air au-dessus d’un ma-tériau thermiquement absorbant généralement noirqui recouvre des tubes dans lesquels circule le fluidecaloriporteur (souvent de l’eau avec un antigel) quiva transporter la chaleur au boiller. Celui-ci fait of-fice de dispositif de stockage et est donc parfaitementisolé thermiquement. C’est lui qui va délivrer l’eauchaude sanitaire pour les robinets, la douche, la ma-chine à laver, etc. Évidemment, on peut aussi relierle boiller à un système de chauffage de la maison (ra-diateurs, chauffage au sol, etc). La figure 4.9 présenteschématiquement la situation.

Ce qui va nous intéresser ici plus particulièrementest l’aspect énergétique de ce type de production. Ilfaut tout d’abord savoir qu’après avoir traversé l’at-mosphère, la lumière solaire parvenant au sol repré-sente en moyenne 185 W/m2 (compte tenu de l’alter-nance jour-nuit et des conditions météorologiques).Pour l’ensemble de l’Europe du Nord, elle repré-sente une puissance moyenne d’environ 100 W/m2.Bien entendu, elle est fonction du lieu géographiqueet plus particulièrement de la latitude. Le rayonne-ment moyen pour la France, par exemple, représente1400 kWh/m2 · an, soit une puissance de :

P =E

t=

1400

365 · 24= 160 W/m2 (4.15)

En raison des pertes, les capteurs solaires nepeuvent tirer qu’une partie de cette puissance. Celle-ci est déterminée par le rendement optique qui carac-térise la puissance lumineuse récupérée par le capteuret par les pertes thermiques. Or, ces dernières varienten fonction de la différence de température entre lefluide qui circule dans les capteurs et la températureextérieure. Si on note :

– P la puissance par unité de surface incidente surle capteur,

– S la surface totale des capteurs,– B le rendement optique,– K le cœfficient des pertes du capteur,– Ti la température à l’intérieur du capteur et– Te la température à l’extérieur

la puissance utile ∆P est alors donnée par :

∆P = S · (B · P − K · (Ti − Te)) (4.16)

Typiquement, on a un cœfficient B compris entre 0, 7et 0, 8 pour des capteurs plans, un cœfficient K entre1 et 5 W/(m2 ·◦ C), Ti de l’ordre de 45◦C et Te à20◦C. Ainsi, pour la France, on a en moyenne pourun mètre carré :

∆P = 0, 8 · 160 − 3 · (45 − 20) = 53 W

Ce qui en terme de production énergétique annuellecorrespond à :

E = P · t = 0, 053 · 365 · 24 = 464 kWh/(m2 · an)

Ainsi, une installation de 5 m2 de surface permetd’obtenir une production d’énergie annuelle E =5 · 464 = 2′320 kWh/an. Évidemment, il s’agit d’unordre de grandeur, car le problème est en réalité trèscomplexe. Beaucoup d’autres paramètres, commel’orientation et le type des capteurs, le système destockage de l’énergie. . . interviennent aussi et, géné-ralement, on utilise des logiciels de dimensionnementqui les prennent en compte afin de déterminer correc-tement les besoins.

Relevons enfin de nouvelles dispositions en faveurdu solaire thermique. Comme dans le cas de la villede Barcelone qui impose à toute nouvelle constructionou pour les bâtiments réhabilités que la consomma-tion d’eau chaude sanitaire soit couverte au minimum

70


Fig. 4.10 – Effet photoélectriqueOu effet photovoltaïque37

à 60% par du solaire thermique. Cette législation adéjà créé beaucoup d’emplois localement pour subve-nir au besoin.

Énergie solaire électrique

Le principe de base est celui découvert par HeinrichRudolf Hertz en 1887 et expliqué par Albert Einsteinen 1905 : l’effet photoélectrique. Sans vouloir tenterici l’explication d’un phénomène complexe touchantà la lumière et à l’électricité, on peut dire simplementque certaines matières émettent spontanément desélectrons et donc un courant électrique quand ellessont soumises à de la lumière (voir figure 4.10).

Le rendement courant des cellules photoélectriques(voir figure 4.11) actuelles se situe entre 10 et 20% dela puissance solaire incidente (silicium polycristallin :∼ 13% et monocristallin :∼ 17%). Ainsi, la puissancedéveloppée par de telles cellules se situe-t-elle, pourune puissance incidente de 160 W/m2 (voir l’équa-tion 4.15), aux alentours des 20 W/m2. Sachant quela consommation électrique annuelle d’une famille decinq personnes en Europe est d’environ 2′000 kWh,la puissance nécessaire est de :

P =E

t=

2′000 · 103

365 · 24= 228 W

Ce qui représente plus de 10 m2 de surface et estimportant. On peut raisonnablement penser que la

Fig. 4.11 – Cellule photoélectriqueOu cellule photovoltaïque38

moitié de celle-ci peut être installée sur une habi-tation de particulier. Le rendement est donc deuxfois trop faible. De nouvelles générations de cellulessont donc nécessaires. Elles existent déjà et des ren-dements supérieurs à 30% ont été obtenus en labora-toire, mais pas encore en production.

Deux autres points doivent aussi être abordés. Ce-lui de l’énergie “grise” nécessaire pour la construc-tion des cellules et celui de leur recyclage. En effet,une idée fausse court à propos de l’énergie solaireélectrique. Il s’agit du fait que les cellules nécessi-teraient plus d’énergie pour être produites qu’ellesne sont capables d’en fournir. Or, l’énergie néces-saire39 pour fabriquer et installer les cellules est del’ordre de Efab = 420 kWh/m2. Avec une puissancede l’ordre de 20 W/m2, qui représente une énergieE = 20 · 24 · 365 = 175, 2 kWh/an, il faut :

n =420

175, 2= 2, 4 ans

pour que la cellule ait produit l’équivalent de ce quesa production a nécessité. Sur une durée de fonction-nement entre vingt et trente ans, le bilan énergétiqueest très favorable40. En effet, pour vingt ans d’utili-sation, l’énergie produite est :

E = 20 · 20 · 24 · 365 = 3′504 kWh

71

4.11. ÉNERGIES NON RENOUVELABLES CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE

L’énergie nécessaire à la fabrication est donc del’ordre de 12% de l’énergie totale produite sur vingtans, ce qui constitue une durée minimum d’exploita-tion.

De plus, l’énergie produite par une installation so-laire électrique est propre : il n’y a pas d’émission degaz à effet de serre et aucun déchet. Enfin, les ancienspanneaux sont recyclables.

4.10.4 Énergie géothermique

Plus on s’enfonce dans la croûte terrestre, plus latempérature augmente. L’ordre de grandeur de l’élé-vation de température par 100 mètres de profondeurvarie entre 3, dans les régions sédimentaires, et 30◦ C,dans les régions volcaniques.

On distingue essentiellement deux types de géo-thermie, exception faite de la géothermie de surfacereprésentée par les pompes à chaleur :

la géothermie à haute énergie, qui exploite dessources très chaudes, supérieures à 100−150◦ C,où des forages très profonds dans lesquels del’eau sous pression est injectée. Elle permet d’uti-liser de la vapeur d’eau sous pression pour fairetourner une turbine productrice d’électricité.

la géothermie à basse énergie, qui exploite dessources d’une température variant entre 30 et100◦ C, à des profondeurs allant de quelques cen-taines de mètres à plusieurs kilomètres. Elle sertessentiellement aux réseaux de chauffages ur-bains.

Différentes applications peuvent être envisagées in-dustriellement. Elle sont présentées dans le tableau4.12.

Malgré tous les atouts de la géothermie, c’est uneénergie encore relativement peu exploitée. Même sielle permet une production continue d’énergie, ellepeut aussi parfois mener à des séismes, comme ce futle cas à Bâle, en Suisse, ou des test de productiond’énergie géothermique ont mené à des secousses as-sez importantes pour arrêter l’expérience.

En Suisse, la puissance installée est de 525 MW . Lacentrale géothermique de Riehen, près de Bâle, pro-duit 22, 8 GWh. Elle est brièvement décrite à l’annexeH.4.

Fig. 4.13 – Fission de l’uranium

23692 U

23592 U

3693Kr 140

56 Ba

10n

10n

4.11 Énergies non renouvelables

Les sources d’énergie non renouvelables produisentaujourd’hui une partie importante de l’énergie mon-diale. Les prix associés à cette énergie sont bas, caril ne prennent pas en compte le coût de leur impactsur l’environnement comme par exemple les coûts desmarées noires, des accidents nucléaires, du traitementdes déchets radioactifs, de la pollution atmosphériqueassociées aux transports, etc. Il semble aujourd’huiévident que ces types d’énergies ne sont pas appro-priés à la pérennité de l’humanité.

Cependant, aujourd’hui, on ne peut les passer soussilence tant ils sont présents et. . . dangereux. L’ex-posé qui va en être fait ici a pour but d’en donner leprincipe et de présenter les problèmes qu’ils posent.

4.11.1 Énergie nucléaire

Fission

Elle représente 6% de la production mondiale (Hu-bert Reeves avec Fréderic Lenoir, 2003, p. 67.).

L’idée est relativement simple. Pour construire desatomes lourds, il est nécessaire de fournir de l’énergiepour vaincre la répulsion électrostatique des protonsà l’intérieur du noyau de l’atome. Cette énergie est enquelque sorte stockée dans les liaisons créées par laforce forte entre nucléons du noyau. Elle se présentesous la forme d’un défaut de masse qui existe entreles éléments du noyau pris séparément et le noyau

72

CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE 4.11. ÉNERGIES NON RENOUVELABLES

Fig. 4.12 – Applications de la géothermieSelon Lindal41

constitué. Ce défaut de masse constitue une énergierécupérable à la séparation des éléments : la fissiondu noyau père. En effet, passé une certaine distance,la répulsion électrostatique devient plus importanteque la force forte et la fission transmet aux noyauxfils une importante énergie cinétique qui peut êtrerécupérée par collision avec les atomes de la matière.

Dans le cas de l’uranium, la réaction est la suivante(voir figure 4.13) :

23592 U +1

0 n −→ 9336Kr +140

56 Ba + 3 10n

Pratiquement 81, 5% de l’énergie est transmise auxéléments fils de la fission (le Kr et le Ba), soit166 MeV . Le reste se retrouve dans les autres sous-produits.

On voit qu’il est nécessaire de disposer d’un neu-tron pour casser le noyau d’uranium. Mais on voitaussi que la fission produit trois neutrons. Pour ob-tenir beaucoup d’énergie, il faut briser beaucoup denoyaux et pour cela créer une réaction en chaîne,

c’est-à-dire utiliser les trois neutrons produits pourcasser d’autres noyaux. Évidemment, plus grandesera la masse d’uranium, plus la réaction en chaînesera importante. Il existe même une masse critiqueà partir de laquelle la réaction en chaîne persiste. Leproblème est que cette réaction en chaîne peut s’em-baller. Il faut donc la contrôler en insérant au milieude la matière fissile des barres de contrôle conten-tant un matériau qui absorbe les neutrons (bore oucadmium). Le contrôle se fait alors par insertion ouretrait des barres (voir figure 4.14).

La matière fissile chauffe donc simplement etéchauffe un fluide caloriporteur qui se transformeen vapeur et fait tourner une turbine productriced’électricité. Il est naturellement nécessaire d’avoirune source froide pour condenser la vapeur. On uti-lise l’eau des rivières et des tours de refroidissement.L’eau chaude est refroidie dans ces dernières par uncourant d’air ascendant qui contient une petite partiede l’eau chaude transformée en vapeur. C’est pour-

73


Fig. 4.14 – Réacteur nucléaireRéacteur à eau bouillante42

1. Barre d’arrêt d’urgence.

2. Barre de contrôle.

3. Assemblage combustible.

4. Protection biologique.

5. Sortie de la vapeur.

6. Entrée de l’eau.

7. Protection thermique.

quoi on voit un panache au sommet de ces tours.

D’autre part, il est évidemment impossible de pas-ser sous silence les gros problèmes liés aux déchetsfortement radioactifs ainsi que les risques d’accidentsmajeurs liés aux centrales nucléaires, comme celui deTchernobyl. Nous allons rapidement aborder aussi ob-

jectivement que possible ces deux points.

Déchets radioactifs Les produits de la fission sontradioactifs. Il émettent des rayons β−, c’est-à-diredes électrons. Le processus de radioactivité est dûà la force faible (voir paragraphe 1.2.7), qui est uneforce fondamentale. La matière qui constitue ce typede déchets obéit à une loi de décroissance radioac-tive très précise. On parle de demi-vie d’un élémentpour quantifier le temps que met celui-ci pour que sonactivité, c’est-à-dire le nombre de désintégration parseconde qu’il produit, diminue de moitié. Deux gran-deurs sont donc importante : l’activité et la demi-vie.

Les déchets véritablement dangereux sont évidem-ment les déchets de grande activité et de demi-vielonguea. Ces déchets ont des demi-vie de plusieurscentaines de milliers d’années, voire de millions d’an-nées. Le seul moyen d’arrêter le processus de désin-tégration radioactive serait de transmuter les déchetsen d’autres éléments moins radioactifs et de demi-vieplus courte. L’idée est de bombarder ces déchets deneutrons pour les amener à se transformer en d’autreséléments. Mais, de l’aveu même des partisans du nu-cléaire, cela peut produire d’autres éléments à demi-vie longue qui pourraient annuler le bénéfice de l’opé-ration. Clairement, la technologie n’est pas maîtrisée,malgré le temps et les sommes importantes investies.Par ailleurs, le coût d’un tel programme de transmu-tation serait prohibitif.

Accidents nucléaires On ne mentionnera ici quele plus important accident survenu à une centrale nu-cléaire : celle de Tchernobyl.

L’accident s’explique assez simplement, suite à unesérie d’erreur des techniciens de la centrale, par unéchauffement accidentel du coeur du réacteur qui semet à fondre. La chaleur libérée permet une radiolysede l’eau, le fluide destiné à transporter la chaleur, etla recomposition de l’hydrogène et de l’oxygène pro-duit des explosions qui éjectent les barres de contrôle.

aComme l’activité croît comme l’inverse de la demi-vie,les déchets de demi-vie longue ont une activité relativementfaible, mais pas négligeable pour autant. Cela dit les déchetsvraiments dangereux sont donc ceux de grande activité et dedemi-vie assez longue.

74

CHAPITRE 4. L’ÉNERGIE 4.11. ÉNERGIES NON RENOUVELABLES

Cela amène le coeur à exploser et projette dans l’at-mosphère une grande quantité d’éléments radioactifs.

Sans plus entrer dans les détails, relevons qu’il a étédit avant l’accident qu’une centrale ne pouvait explo-ser, au contraire d’une bombe atomique. C’est pour-tant ce qui s’est passé à Tchernobyl. Relevons que lesdifférentes zones touchées représentent plusieurs di-zaine de milliers de personnes, au bas mot. Relevonsque le nombre reconnu de morts suite à cet accidentest de quelques dizaines de personnes selon l’Organi-sation Mondiale de la Santé (de concert avec l’AgenceIntenationnale pour l’Énergie Atomique avec laquelleelle a passé un accord d’intérêts !) et plusieurs di-zaines de milliers de personnes voire beaucoup plusselon des sources non-gouvernementales. Relevons en-fin que la zone contaminée est désormais interditepour des centaines d’années.

Fusion

Il convient ici de mentionner rapidement unesource très hypothétique d’énergie. Il s’agit de l’éner-gie disponible par la fusion d’éléments comme le deu-térium et le tritium selon la réaction :

2H +3 H −→ 4He + n + 17, 6 MeV

Le problème est que les noyaux de deutérium et detritium se repoussent fortement en raison de la pré-sence de leurs protons. Il est donc d’abord nécessairede les faire se rencontrer à l’aide de lasers très puis-sants. Puis, il faut confiner la réaction à l’aide deforts champs magnétiques par exemple, pour pouvoirl’exploiter. Cela fait plusieurs dizaines d’années queles physiciens envisagent l’avènement de cette énergiecomparable, selon eux, à celle produite au centre dusoleil. Mais tous ne pensent pas ainsi :

“De tous côtés, y compris chez les phy-siciens, on entend dire que les scientifiquesvont ainsi reproduire sur Terre les réactionsexistant à l’intérieur du soleil. C’est faux !S’il est vrai que l’énergie solaire vient deréactions de fusion se produisant dans sesrégions centrales, il s’agit de réactions trèsdifférentes [. . .] Et pour cause : la premièreréaction solaire se produit très, très lente-ment. Il faut attendre plus de dix milliards

d’années pour que la fusion de l’hydrogènes’accomplisse intégralement dans le soleil.On imagine pas un [réacteur terrestre] de-mandant de telles échelles de temps pourproduire son énergie.”

(Sylvie Vauclair, 2006, pp. 154,155)

Et il faut bien reconnaître qu’à part dans les bombes àhydrogène (bombes H) jamais l’homme n’est parvenuà produire de l’énergie par fusion.

4.11.2 Énergie de combustion : pé-trole et gaz

Elle représente 74% de la production mondiale(Hubert Reeves avec Fréderic Lenoir, 2003, p. 67.).

Ce n’est pas ici le lieu d’expliquer la combus-tion chimique du fioul (mazout) qui est la principalesource de chauffage des bâtiments dans le monde. Ilfaut cependant évoquer les deux problèmes princi-paux de ces deux types d’énergie : le pétrole et le gaznaturel. Ce sont des énergies hautement polluanteset non-renouvelables. La figure 4.15 présente la com-bustion du méthane.

Fig. 4.15 – Combustion du méthaneGaz naturel43

On remarque qu’en présence d’oxygène la moléculede méthane (CH4) brûle pour donner de la vapeurd’eau, du gaz carbonique et de la chaleur. Évidem-ment le problème de pollution vient du gaz carbo-nique qui est un gaz à effet de serre. Rejeté dansl’atmosphère en grande quantité, il réagit comme un

75


vitrage de cellules solaires thermiques. Le flux solaireincident (essentiellement du visible) le traverse, par-vient à la terre qu’il chauffe. Celle-ci renvoie une par-tie de cette énergie sous forme de rayonnement infra-rouge. qui, sans gaz à effet de serre, se dissipe dansl’espace. En présence de gaz à effet de serre, le rayon-nement infrarouge est réfléchi par l’atmosphère versla terre qu’il contribue ainsi à chauffer.

Il en est de même du chauffage au pétrole.On connaît les problèmes liés à de telles énergies

qu’il faut aller puiser en des endroits bien précis dela terre. Ces énergies sont fortement localisées eten quantité limitée. Elles représentent donc des en-jeux d’importance qui mènent à des affrontementsdiplomatico-militaires.

76

CH

AP

ITR

E4.

L’É

NE

RG

IE4.11.

ÉN

ER

GIE

SN

ON

RE

NO

UV

ELA

BLE

S


Grandeur Définition UnitéTravail A ou W J, cal, kWhPuissance P WÉnergie potentielle Epot J, cal, kWhÉnergie cinétique Ecin J, cal, kWhÉnergie mécanique Emec J, cal, kWhÉnergie thermique U J, cal, kWhChaleur Q J, cal, kWh

Résumé des relations concernant l’énergie

Définition des grandeurs

A = F · d (4.17)

Epot = m · g · h (4.18)

Ecin =1

2· m · v2 (4.19)

Emec = Epot + Ecin (4.20)

P =E

t(4.21)

Q = m · c · ∆θ (4.22)

et Relations particulières

Pbar = η · Q · g · h (4.23)

∆Peol =16

27· Pvent (4.24)

Lois fondamentales

∆Ecin =∑

AF ext (4.25)

∆Emec = 0 (4.26)

∆Emec = AF ext

diss

(4.27)

Q = ∆U + A (4.28)

Fig. 4.16 – Résumé de l’énergie

77


78

Annexe AUnités du système international (SI)

A.1 Introduction

Le système international d’unité (SI) a sa raisond’être, non pas dans l’uniformisation qui n’a pas desens véritable puisqu’à chaque type de problème unsystème d’unité adéquat doit être choisi pour simpli-fier la représentation numérique, mais dans la sim-

plification des calculs. En effet, tous les calculs ef-fectués dans ce système sont prévus (au niveau desconstantes utilisées) pour donner des résultats dontles unités restent dans ce système.

A.2 Les unités choisies

Tab. A.1 – Les unités du système international

Grandeur Symbole Nom unité Symbole Unités SI

Longueur mètre m -Masse m kilogramme kg -Temps t seconde s -Température T kelvin K -Quantité de matière n mole mol -Angle radian rad -Fréquence f hertz Hz s−1

Force F newton N kg · m · s−2

Énergie, travail E, A joule J N · mPuissance P watt W J · s−1

79

A.5. MULTIPLES ET SOUS-MULTIPLES ANNEXE A. UNITÉS INTERNATIONALES

A.3 Exemple

Imaginons une grandeur issue d’un calcul faisantintervenir les deux grandeurs suivantes : une force etune masse. Si ce calcul se fait à partir de ces deuxgrandeurs exprimées dans les unités du système in-ternational, dans le cas présent des newtons pour laforce et des kg pour la masse, alors le résultat est for-cément exprimé dans les unités du système interna-tional. Comme ici ce résultat serait une accélération,ces unités seraient des m/s2.

A.4 Conversions

Les unités de la table A.2 ne font pas partie dusystème international mais restent utiles :

Tab. A.2 – Conversions d’unités

Longueur Équivalent SI

1 Å(angstroem) = 1 · 10−10 m1 µ (micron) = 1 · 10−6 m1 in (pouce) = 2, 54 · 10−2 m1 ft (pied) = 12 in = 0, 3048 m1 AL (année lumière) = 9, 4607 · 1015 m1 pc (parsec) = 3, 0857 · 1016 m1 UA (unité astrono-mique)

= 1, 496 · 1011 m

L’unité astronomique correspond à la longueur dudemi-grand axe de l’orbite terrestre.

Le parsec est la distance à laquelle 1 UA est vuesous un angle de 1′′ (une seconde) d’arc. Comme 1◦

est divisé en 60′ (minutes) d’arc et 1′ d’arc en 60′′, uneseconde d’arc (1′′) représente 1/3600◦. Pour calculerce que vaut 1 pc, il faut une relation entre la distanceréelle L de 1 UA et l’angle α (1′′) sous lequel cettedistance est vue. Cette relation est (voir figure A.1) :

L = α · R (A.1)

où R est le rayon de l’arc de cercle de longueur Let d’angle au centre α. Mais attention α doit être enradians. Or, comme 180◦ = π rad, 1◦ = π/180 rad

Fig. A.1 – Relation de l’arc de cercle

RLα

et 1′′ = π/(180 · 3600) rad. Ainsi on a : R = L/α =L ·180 ·3600/π = 1, 496 ·1011 ·180 ·3600/π = 3, 0857 ·1016 m.

Volume Équivalent SI

Litre : 1 L = 1 dm3 = 10−3 m3

Énergie Équivalent SI

Calorie : 1cal = 4, 186 J1 kWh = 3, 6 · 106 J

Puissance Équivalent SI

Cheval-vapeur : 1 Ch = 736 W

Température Équivalent SI

0◦C = 273, 15 K

Tab. A.3 – Quelques équivalents

A.5 Multiples et sous-multiples

On trouvera dans la table A.4 les principales no-tations pour les multiples et les sous-multiples. Cesnotations sont bien évidemment liées à la notationscientifique. Elle est aussi liée à un autre type denotation, dite notation d’ingénieur, qu’il faut men-tionner au moins une fois. En effet, si cette notationest somme toute relativement peu utilisée hors descercles d’ingénieurs, elle est assez souvent présentesur les machines à calculer. Pour qu’elle ne pose pas

80

ANNEXE A. UNITÉS INTERNATIONALES A.6. NOTATION SCIENTIFIQUE

de problèmes, il est donc plus nécessaire de savoir nepas l’activer que de savoir l’utiliser. En fait, c’est unenotation scientifique, mais par facteurs d’exposant de10 multiple de 3. Ainsi, par exemple, les mètres (100)et les millimètres (10−3) sont utilisés dans cette no-tation, mais pas les centimètres (10−2).

Préfixe Symbole Facteur

peta P 1015

téra T 1012

giga G 109

méga M 106

kilo k 103

hecto h 102

déca da 101

- - -déci d 10−1

centi c 10−2

milli m 10−3

micro µ 10−6

nano n 10−9

pico p 10−12

femto f 10−15

Tab. A.4 – Multiples et sous-multiples

A.6 Notation scientifique

A ne pas confondre avec la notation d’ingénieur(par multiples de 103), la notation scientifique : ·10x,ou x est un nombre entier positif ou négatif, peutêtre utilisée sur une machine à calculer à l’aide de latouche EXP ou EE. Notez alors que l’affichage peutalors donner par exemple : 5E2 pour 5 · 102 ou même5 2, sans marquer le 10.

Remarquons encore les règles mathématiques trèsutiles suivantes (voir annexe I) :

10a · 10b = 10a+b et1

10a= 10−a

81

A.6. NOTATION SCIENTIFIQUE ANNEXE A. UNITÉS INTERNATIONALES

82

Annexe BDeux systèmes de coordonnées

B.1 Le système de coordonnéescirculaires

B.1.1 Introduction

Il existe beaucoup de types de systèmes de coor-données. Chacun est adapté à une utilisation particu-lière. Pour les mouvements circulaires dans un plan, lesystème de coordonnées ci-dessous est naturel. Il estintéressant dans le cadre de la rotation des planètesvisibles, car non seulement elles tournent toutes surdes orbites (des trajectoires) quasi-circulaires, maisaussi elles sont toutes dans un même plan : le plande l’écliptique.

B.1.2 Description

Le plan est une surface à deux dimensions. Deuxnombres sont donc nécessaires pour déterminer uni-voquement la position d’un point. Si ce point est surun cercle, il se déplace en réalité dans un espace unidi-mensionnel (le cercle lui-même). Une seule coordon-née est alors nécessaire. Il s’agit de l’angle α repré-senté sur la figure B.1. Le système de coordonnéescirculaires consiste donc en cette seule coordonnée.Mais, on lui adjoint souvent le rayon R (bien que celane soit pas un degré de liberté puisqu’il est constant).

Fig. B.1 – Système de coordonnées circulaires

x

y

O

R

α

B.2 Coordonnées sphériques

B.2.1 Introduction

Vu depuis la terre, le mouvement des corps cé-lestes n’est pas simple. Comme la terre est sphériqueet tourne sur elle-même, le positionnement des ob-jets célestes par rapport à elle se fait naturellementcomme si ces objets étaient sur une sphère. D’où l’im-portance du système de coordonnées ci-dessous.

83

B.2. COORDONNÉES SPHÉRIQUES ANNEXE B. DEUX SYSTÈMES DE COORDONNÉES

B.2.2 Description

L’espace dans lequel nous nous trouvons est à troisdimensions. Trois nombres sont donc nécessaires pourdéterminer univoquement la position d’un point P .Si ce point est sur une sphère, il se déplace en réa-lité dans un espace bidimensionnel. Deux coordon-nées sont alors nécessaires. Il s’agit des angles ϕ etθ représentés sur la figure B.2. Le système de coor-données sphériques consiste donc en ces deux seulescoordonnées. Mais, on leur adjoint souvent le rayon R(bien que cela ne soit pas un degré de liberté puisqu’ilest constant).

Fig. B.2 – Système de coordonnées sphériques

α

R

O y

z

x

θ

ϕ

P

B.2.3 Latitude et longitude

Remarquons finalement que le système de coordon-nées utilisé pour repérer un objet à la surface de laterre est un système de coordonnées sphériques légè-rement différent de celui présenté ci-dessus (cf. B.2.2).En effet, il est presque en tout point identique, à l’ex-ception de l’angle θ qui est compté positivement àpartir du plan équateur (x,y) vers le nord (et nonà partir du pôle nord vers le sud comme précédem-ment). D’autre part, chacun des deux angles ϕ et θsont nommés respectivement longitude et latitude.

84

Annexe CTravaux pratiques

C.1 Le rapport de laboratoire

Tout d’abord un avertissement. La “méthode” deconstruction d’un rapport présentée ci-dessous estpropre à celle d’une discipline scientifique. Elle consti-tue une manière de faire qui est actuellement recon-nue. Pourtant l’histoire montre que la présentationdes résultats a souvent adopté des formes très diffé-rentes. On doit donc plus la comprendre comme lerappel d’un nécessaire soucis de rigueur que commeune exigence formelle. De plus, si elle est un outil par-ticulièrement bien adapté à la présentation de cetteforme de savoir qu’est la science, elle ne l’est certaine-ment pas pour celle de toute forme de connaissances.En effet :

“La conception et la mise au point d’ins-truments spécifiques, toujours plus diversi-fiés, est l’une des marques du progrès tech-nique. Comment croire que le progrès in-tellectuel puisse suivre un chemin inverse ?S’il existe aujourd’hui des dizaines de typesde tournevis, de scies, de rabots, peut-onsérieusement imaginer que la pensée, elle,puisse se contenter d’une aussi pauvre pano-plie que celle empruntée aux seules sciencesdites exactes ? ”

(Jean-Marc Lévy-Leblond, 1996, p. 13-14)

L’objectif premier d’un rapport est de réaliser unetrace du travail effectué. Celle-ci est d’abord un sou-venir destiné à l’expérimentateur.

Le second objectif est de permettre à d’autres per-sonnes de s’intéresser au travail réalisé.

Ces deux objectifs ne peuvent être réalisés sansqu’une attention particulière ne soit portée sur laclarté et la concision.

Les détails de la réalisation d’un rapport peuventvarier beaucoup en fonction des spécificités de l’ex-périence et de la personnalité de l’expérimentateur.Cependant, si une certaine liberté en ce domaine de-vrait être toujours possible, pour ne pas oublier detraiter des points importants et pour faciliter la lec-ture de personne qui s’attendent à trouver certainesformes définies de rapport, il est recommandé desuivre une structure de rapport type déterminée parl’expérience.

Le rapport à présenter sur une expérience termi-née est aussi important que l’expérience elle-même. Ildoit être ordonnée, exprimé dans un langage simpleet concis, et ne comporter que les faits importantsde l’expérience. Ce genre d’exercice se retrouve danstoutes les disciplines. La qualité d’un procès verbalou d’un rapport peut être déterminante pour des dé-cisions importantes ou pour l’avenir de leur auteur.

Pensez, lorsque vous l’écrivez, que vous vous adres-sez à un lecteur du même niveau que vous, parexemple un de vos camarades qui était absent lejour de l’expérience, et imaginez qu’il doit prendreconnaissance et comprendre l’essentiel de votre tra-vail de laboratoire.

85

C.1. LE RAPPORT DE LABORATOIRE ANNEXE C. TRAVAUX PRATIQUES

Lorsque deux élèves font une expérience, ils pré-sentent un seul rapport et obtiennent ainsi une mêmenote de laboratoire. Il s’agit d’un travail de groupe.Il est important que chaque élève participe à l’élabo-ration de chaque rapport en collaboration avec soncollègue.

C.1.1 Plan d’un rapport de travailpratique

En règle générale un rapport est structuré de lamanière suivante (les raisons sont qu’ainsi on oubliemoins de choses importantes) :

Titre

Titre de l’expérience, noms des auteurs, classe etdate.

Résumé

Relevons la nécessité pour des rapports long (plusde deux pages), de mettre, juste après le titre, unrésumé (aussi appelé en anglais “abstract”) completde l’expérience.

Maximum cinq lignes !Il s’agit d’une synthèse de tout le rapport. Un lec-

teur pressé devrait, en ne lisant que le résumé, se faireune bonne idée du contenu du document entier. Il fautdonc, grâce au résumé, pouvoir se faire une idée dubut, de la méthode, des résultats, de leur qualité etdes problèmes rencontrés.

Bien que placé juste après le titre, il est bienévident que ce résumé ne peut se faire qu’en dernierlieu.

Ce résumé est difficile à réaliser mais est trèsimportant car il permet, pour un lecteur exté-rieur, comme pour l’expérimentateur, quelques an-nées après la réalisation de l’expérience, de se rendrecompte très rapidement (sans devoir relire l’ensembledu rapport) de l’intérêt du travail réalisé et donc de lanécessité éventuelle d’entamer la lecture du rapportlui-même.

But

C’est l’indication de l’objectif du travail de labora-toire. Une ou deux lignes.

Théorie

Cela peut être l’énoncé d’une relation traitant dubut de l’expérience et à confirmer. Dans ce cas, iln’est pas nécessaire d’en présenter tout le développe-ment. Seule la relation et les éventuelles hypothèsessur lesquelles elle se base, avec une légende des termesutilisés, doivent être reportées.

En l’absence d’une relation théorique établie, celapeut aussi être un raisonnement, à confirmer expéri-mentalement, donnant une indication sur le résultatprobable ou logique de l’expérience.

On peut avoir recours à une annexe (placée en finde rapport) pour développer des points théoriquesnon essentiels mais méritant de retenir notre atten-tion.

Description de l’expérience

Il s’agit de décrire la méthode expérimentale sanstrop entrer dans les détails. Il ne faut pas faire uneliste des manipulations du type “mode d’emploi”, nepas écrire une procédure, mais rester au niveau de laméthode, de manière à ce qu’on comprenne le pour-quoi de la réalisation expérimentale sans trop entrerdans les détails du comment. Un schéma du dispositifexpérimental avec un titre et une légende compléterala description. Un exemple est donné à la figure C.1.

Résultats

Les résultats doivent impérativement figurer dansle corps du rapport. Selon les cas, ils peuvent êtreconstitués de mesures brutes ou issus du calcul degrandeurs dérivées. Ils en constituent, avec la discus-sion (voir plus loin) l’une des deux parties principaleset doivent, à ce titre, obligatoirement être présentsdans le corps du rapport. Cependant, ils peuvent êtreprésentés sous différents formes :

1. Graphiques des résultatsC’est la présentation la plus concise possible desrésultats obtenus. Elle est bien plus lisible que

86

ANNEXE C. TRAVAUX PRATIQUES C.1. LE RAPPORT DE LABORATOIRE

Fig. C.1 – Rail horizontal

Notez le titre et la référence dans le texte qui per-met au schéma de ne pas se trouver directement

sous le texte.

les tableaux et c’est pourquoi on doit la privilé-gier. Il faut cependant faire attention à présenterles grandeurs, brutes (mesures) ou dérivées (is-sues d’un calcul), qui représentent au mieux lesrésultats en fonction des buts choisis.Tout graphique doit avoir un titre, des axesportant clairement les symboles des grandeursconcernées et leurs unités. On n’indique pas lescoordonnées des points sur les graduations, maisdes valeurs d’accroissement régulier. Les pointsexpérimentaux ne sont jamais reliés (ce qui pour-rait faire croire que des mesures ont été faitesentre les mesures principales), mais on peut fairepasser la meilleure courbe possible à traversceux-ci. On indique les barres d’incertitudes dechaque axe aux points où les calculs ont été faits.Un exemple, est présenté à la figure C.2.

2. Tableau des mesuresLes mesures effectuées au laboratoire, lors-qu’elles sont peu nombreuses, peuvent être misesdans un ou plusieurs tableaux ayant la forme pré-sentée dans le tableau C.1. La première ligne pré-sente les grandeurs physiques et leurs symboles.La seconde donne les unités des grandeurs et latroisième les incertitudes absolues des mesuresdirectes (non calculées à partir d’autres gran-deurs). Enfin, les suivantes présentent les résul-tats. Attention, présenter trop de résultats si-multanément nuit à la lisibilité d’un tableau. Par

Fig. C.2 – Chute libreGraphehorairedelapositionTempst(s)Positionx(m)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91012

345x=1/2gt2

ailleurs, une bonne lecture d’un tableau passepar sa simplification : pas de colonne de valeursidentiques qu’on peut présenter une seule foisavant le tableau, pas de colonnes exagérémentlarge, et donc de vide inutile, en raison d’un titretrop long, pas de colonnes de calculs intermé-diaires sans raison aucune, etc.

Tab. C.1 – Tableau de mesures

temps t position x vitesse vs cm cm/s

0,1 0,10

2, 02, 42, 6

31, 617, 812, 4

1, 83, 24, 8

Si les mesures sont trop nombreuses, pour amé-liorer la lisibilité du rapport, on peut les reporteren annexe. Mais, encore une fois, il faut alors im-pérativement présenter soit celles qui constituentles résultats principaux ou significatifs ou impor-tants soit les valeurs des grandeurs dérivées desmesures et qui constituent à proprement parléles résultats de l’expérience. Par exemple, dansla recherche d’une accélération à partir de me-sures d’une distance parcourue et d’un temps, onpeut reporter en annexe les nombreuses mesuresréalisées, mais pas les valeurs d’accélération qui

87

C.1. LE RAPPORT DE LABORATOIRE ANNEXE C. TRAVAUX PRATIQUES

en découlent et constituent les résultats de l’ex-périence.Par ailleurs, il faut ici insister sur ce qui estnécessaire pour permettre la comparaison entrethéorie et expérience. Une notion simple per-met de quantifier la différence entre une mesure,notée valeurexp, et une valeur théorique, notéevaleurth, celle d’écart :

e(%) =valeurth − valeurexp

valeurth· 100 (C.1)

Lorsqu’une valeur théorique est très précisémentconnue, on parle d’erreur à la valeur théoriqueplutôt que d’écart. Relevons enfin la nécessité demaintenir le signe du résultat pour détecter uneéventuelle erreur systématique.

3. Exemples de calculLorsque des résultats sont obtenus à partird’opérations sur des mesures directes, on donneun ou deux exemples des calculs effectués en pré-cisant bien leur position dans le tableau d’oùelles ont été extraites.

4. Calcul des incertitudesLes calculs des incertitudes des grandeurs indi-rectement obtenues (par calcul) sont présentésdans un ou deux cas en précisant bien lesquelsdans le tableau.A défaut, quelques mesures permettant de sefaire une idée des incertitudes doivent être pré-sentées et brièvement commentées pour évaluerla qualité de l’expérience.

Discussion

Il s’agit d’une analyse du travail. S’il n’existe pasde méthode permettant de faire une bonne discus-sion, on peut relever que souvent les points suivantsapparaissent.

1. Une explication en français des résultats présen-tés dans les graphes. Un graphe, s’il est plus li-sible qu’un tableau, ne suffit pas. Des explica-tions claires améliorent la compréhension.

2. On compare les résultats avec les prévisions théo-riques. On met en évidence leur signification.On discute leur qualité. On insiste sur les me-sures s’écartant des prévisions, on tente de lesexpliquer logiquement ou on présente d’autresmesures de confirmation. On remet en cause lesmesures autant que la théorie si nécessaire.

3. On remet en question la méthode et on proposedes améliorations.

C’est la partie la plus dense et la plus importantedu rapport.

Conclusion

Il s’agit de dire très brièvement si le but à été at-teint et de juger s’il l’a été bien, partiellement ou mal.

Annexes

Tout ce qui nuit à la lisibilité du rapport, mais aune certaine importance à vos yeux, doit être mis enannexe. Chacune de celles-ci doit comporter un titrerelatif à son contenu.

88

ANNEXE C. TRAVAUX PRATIQUES C.3. LE PENDULE SIMPLE

C.2 La nébuleuse du crabe

C.2.1 Introduction

La nébuleuse du Crabe est le reste de l’explosiond’une étoile arrivée en fin d’évolution : les couchesextérieures de l’étoile ont formé la nébuleuse actuelle,alors que le noyau s’est contracté brutalement, pourformer une étoile à neutron qui rayonne ce qui luireste d’énergie thermique. Cette étoile est un pulsarde très courte période (33 ms).

C.2.2 But du travail pratique

Deux photographies prises à plusieurs années d’in-tervalle montrent que la nébuleuse est en expansion,ce qui permet d’estimer son âge en supposant quetoute la matière était condensée dans l’étoile centrale.

C.2.3 Dispositif expérimental

Établir l’échelle, en secondes d’arc par millimètre,de chacune des photographies, sachant que les deuxétoiles repérées par des flèches sont distantes de 576”.

C.2.4 Mesures

Identifier le pulsar sur les photographies (des deuxétoiles centrales, c’est celle qui est au sud-ouest) etmesurer successivement les distances d’une douzainede filaments par rapport à lui. Choisir des filamentsbien répartis sur la périphérie de la nébuleuse.

C.2.5 Résultats

Faire un tableau où figurerons pour chaque fila-ment : la distance x1 en ′′ de la première photogra-phie, la distance x2 en ′′ de la seconde photo, et lemouvement propre

v =∆x

∆tou ∆x = x2 − x1 et ∆t = 34, 1 ans

A titre de contrôle, mesurer de la même manière ladistance de quelques étoiles sur chaque photographie.

Porter sur un graphique v en fonction de x2.

C.2.6 Analyse

Comment obtient-on l’âge de la nébuleuse ?Des astronomes chinois du haut Moyen Âge ont si-

gnalé l’apparition, en l’année 1054, d’une étoile nou-velle (qui fut visible en plein jour pendant trois se-maines !) dans la direction de la nébuleuse actuelle.La date est-elle compatible avec l’âge que vous aveztrouvé ?

C.3 Le pendule simple

C.3.1 Les mesures

Une partie très importante du travail du physicienest de déterminer la (ou les) grandeur pertinente pourdécrire le phénomène étudié.

Ici il s’agit de la période du pendule, c’est-à-dire dutemps qu’il met pour faire un aller-retour. Ensuite,il s’agit de déterminer quelles variables (quels para-mètres) pourraient influer cette grandeur. On peutciter pêle-mêle la masse et la longueur du pendule, saposition initiale (l’angle du fil par rapport à la verti-cale), son poids, le fluide dans lequel il se trouve, etc.Tous ces paramètres n’ont pas forcément de liens avecla grandeur choisie pour décrire le phénomène. Dansun premier temps, on peut donc en éliminer certainsqui paraissent en première approximation n’avoir au-cun rôle, en raison des difficultés pour les mesurer,des impossibilités matérielles pour les déterminer oudu coût qu’il engendrent. Bien entendu, il faut ten-ter de minimiser l’influence de paramètres que l’onne pourrait prendre en considération pour diversesraisons tout en les sachant importants.

D’autre part, pratiquement, il est indispensable deréaliser l’expérience en ne faisant varier qu’un seulparamètre à la fois. Dans le cas présent, comme seulesles variables masse, longueur et angle initial ont étéchoisies, il faut réaliser trois séries de mesures :

– la masse et la longueur restent constantes et onne fait varier que l’angle,

– la masse et l’angle restent constants et on ne faitvarier que la longueur,

– la longueur et l’angle restent constants et on nefait varier que la masse.

89

C.4. MOUVEMENT SIMPLE : MRU ANNEXE C. TRAVAUX PRATIQUES

Bien entendu, cette procédure a une répercussionsur l’organisation des données dont nous verronsquelques éléments par la suite.

Finalement, il faut relever deux choses. Première-ment, la nécessité d’évaluer l’incertitude des mesures.On peut procéder en effectuant une série de mesuresavec strictement les mêmes paramètres. On prend en-suite le plus grand écart. Ce n’est pas très fiable maisconstitue une bonne approximation. Secondement, ilest important de relever le moindre petit problèmesurvenu pendant les mesures. Un petit changementdes conditions d’expérience pouvant avoir des réper-cussions non négligeables, il faut littéralement faireattention à tout.

C.3.2 Organisation des données etgraphiques

L’objectif est avant tout la clarté. L’organisationdes données repose sur une grandeur (la période d’os-cillation T) et trois variables (la masse m, la longueurL et l’angle initial α). Il est fondamental d’étudierchacune de ces trois variables indépendamment. Pourcela on fixe une valeur pour les deux autres (en gé-néral la plus grande possible pour limiter les incerti-tudes ; bien que pour l’angle initial il ne faudrait pasdépasser 15◦ pour que la théorie classique T ≈

√L

soit valable) et on ne fait varier que celle qui est choi-sie. Ainsi, dans le cas du pendule, on est amené àconstruire trois tableaux : T (m), T (L) et T (α). L’ob-jectif de clarté implique alors notamment que l’onne répète par pour chaque mesure la valeur des va-riables fixées. Bien entendu, mettre un titre, une date,les noms des expérimentateurs, reporter le nom desgrandeurs et les unités sont des choses importantes.

En ce qui concerne les graphes, comme la va-riable change pour chaque expérience, il faut aussiconstruire trois graphes qui correspondent aux troistableaux précédents. On ne représente sur ceux-ci queles points effectivement mesurés. On ne relie donc ja-mais les points. Bien entendu, à nouveau, titre, date,unités, etc. sont à reporter.

C.4 Mouvement simple : MRU

Il s’agit de tracer le graphe horaire de la positionpour un mobile se déplaçant sur un rail avec diffé-rentes vitesses initiales et avec peu de frottements.

C.4.1 Les mesures

Les mesures sont celles du temps parcouru sur unedistance donnée. Elles se réalisent avec deux cellulesphotoélectriques et un chronomètre. Il est importantde soigner la réalisation : horizontalité du rail, déter-mination précise des longueurs, etc. Il faut aussi éva-luer l’incertitude des mesures en répétant quelquesmesures plusieurs fois.


C’est l’occasion de réaliser un tableau avec uneseule variable : la distance parcourue et avec plu-sieurs grandeurs : le temps mis pour parcourir ladistance avec diverses poussées : forte, moyenne etfaible. Le fait que la variable soit commune à toutesles grandeurs (qui toutes représentent un temps) per-met de ne réaliser qu’un seul graphique avec plusieurscourbes. Cela permet de mieux comparer les courbeset de montrer très clairement que plus la vitesse estgrande plus la pente de la courbe est forte.

C.4.3 Analyse des résultats

Deux points sont essentiellement à relever :

– la pente du graphe horaire de la position repré-sente la vitesse du mobile et le point où le graphecoupe l’axe de la position correspond à la posi-tion du mobile au moment où on enclenche lechronomètre et

– lorsque le frottement est important le graphen’est pas linéaire (ou affine), mais sa pente di-minue progressivement.

90

ANNEXE C. TRAVAUX PRATIQUES C.6. LA CHUTE LIBRE

C.5 Mouvement simple :MRUA

C.5.1 But

Il s’agit de tracer le graphe horaire de la positionpour un mobile descendant un rail incliné avec diffé-rentes pentes et avec peu de frottements.

Il s’agit aussi de trouver deux théories permettantd’obtenir l’accélération du mobile et de les comparerà une accélération expérimentale obtenue à partir desmesures.

C.5.2 Théorie

Pour déterminer l’accélération d’un mobile sur unplan incliné, on peut suivre deux raisonnements.

1. On peut établir une simple relation linéaire entrel’angle du plan et l’accélération. En effet, sachantque l’accélération d’un objet en chute libre vauta = 9, 81 m/s2, on peut faire les correspondancessuivantes : 0◦ ⇒ 0 m/s2 et 90◦ ⇒ 9, 81 m/s2

Cela mène à la relation suivante :

a = g · α/90

2. On peut considérer que l’accélération du mobilequi descend le long du rail incliné est la compo-sante le long de ce plan du vecteur correspon-dant à l’accélération du mobile en chute libre. Ils’agit donc de projeter le vecteur −→g de normeg = 9, 81 m/s2 perpendiculairement au plan in-cliné. La figure représentant cette projection estun triangle rectangle d’hypoténuse g et de côtéadjacent a recherché. On obtient donc la relationsuivante :

a = g · sin(α)

.

C.5.3 Les mesures

Les mesures sont celles du temps parcouru surune distance donnée. Elles se réalisent avec deux cel-lules photoélectriques et un chronomètre. Pour obte-nir l’accélération expérimentale, on se place dans le

cas d’un MRUA de vitesse initiale nulle. Il est doncnécessaire de lâcher le mobile et de veiller à ne pas lelancer.


On réalise un tableau avec une variable et deuxgrandeurs : la distance parcourue, le temps corres-pondant et l’accélération expérimentale. On peutalors comparer par un écart la moyenne des accélé-rations expérimentales pour chaque pente et chaquevaleur d’accélération obtenue théoriquement.

La comparaison montre clairement que la dépen-dance sinusoïdale est réalisée.

C.5.5 Galilée et le plan incliné

C’est un mouvement chargé d’histoire puisque Ga-lilée l’étudia de manière approfondie pour en déduireque la distance parcourue par un objet en MRUA estproportionnelle au temps de parcours au carré.

L’idée était simple. Le mouvement de chute libreétant trop rapide pour pouvoir être aisément étudié,il faut le ralentir par un plan incliné. Cela amenaGalilée à découvrir la relation entre la distance par-courue et le temps mis pour le faire par un mobile enmouvement rectiligne uniformément accéléré et plusparticulièrement par un mobile en chute libre.

C.6 La chute libre

C.6.1 Cette expérience donnant lieu àun rapport noté, elle n’est pasdécrite.

C.6.2 Résultats

Les trois résultats importants de cette expériencesont :

– que l’accélération d’un objet en chute libre estconstante (c’est un MRUA),

– que cette accélération vaut a = g = 9, 81 m/s2,– que cette accélération est indépendante de la

masse de l’objet.

91

C.8. LE CHARIOT ACCÉLÉRÉ PAR UNE MASSE PENDANTEANNEXE C. TRAVAUX PRATIQUES

C.7 Le canon horizontal

C’est une expérience dont le but est très simple. Ils’agit de tirer une petite bille avec un canon à ressorthorizontal à partir du haut d’une table. On doit au-paravant déterminer par calcul le lieu exact d’impactau sol. C’est une application de la balistique. Pour cefaire, on n’est autorisé qu’à tirer verticalement. Ainsion détermine la vitesse de sortie du canon. En faisantl’hypothèse qu’elle ne change pas lors d’un tir hori-zontal, on peut alors déterminer le point d’impact ausol. En effet, à l’aide de la hauteur à laquelle se trouvele canon par rapport au sol, on peut déterminer letemps de chute vertical de la bille à l’aide de l’équa-tion horaire de la position d’un objet en chute librede vitesse initiale (verticale) nulle. Puis, on peut dé-terminer la distance horizontale parcourue en consi-dérant le même temps pour le vol parabolique et lemouvement horizontal à vitesse constante correspon-dant à la vitesse de sortie du canon précédemmentcalculée via les mesures en tir vertical. Dans le dé-tail, on a :

Tir vertical. C’est un MRUA d’accélération ter-restre, pour lequel on peut poser :

v2 = v2o − 2 · g · h ⇒ vo =

√

2 · g · h

car la vitesse au sommet de la trajectoire estnulle.

MRU et MRUA. Verticalement, on a un MRUAd’équation :

h =1

2· g · t2 ⇒ t =

√

2 · hg

Et horizontalement, on a un MRU d’équation :

d = vo · t

Soit, en combinant les deux :

d = vo ·√

2 · hg

Cette expérience peut aussi se faire à l’aide del’énergie. En effet, pour déterminer la vitesse de sor-tie de la bille du canon, on peut mesurer la hauteur

maximale qu’elle va atteindre et poser que l’énergiecinétique à la sortie du canon se transforme intégra-lement en énergie potentielle. Ainsi, on peut poser :

1

2· m · v2

o = m · g · h ⇒

vo =√

2 · g · h

Ce qui correspond à la vitesse qu’on peut trouver demanière cinématique.

C.8 Le chariot accéléré par unemasse pendante

L’idée est d’accélérer un chariot, se déplaçant surun rail horizontal avec peu de frottements, par unemasse pendante reliée à lui à l’aide d’une petite fi-celle. Une poulie permet de faire pendre la masse touten tirant le chariot horizontalement. On fait varierla masse pendante pour obtenir différentes accéléra-tions. C’est une expérience portant sur la secondeloi de Newton. Elle est intéressante si on laisse l’ex-périmentateur construire sa propre théorie menant àl’accélération du système chariot-masse pendante. Ilest alors possible de comparer une théorie construitede toute pièce (sur la base de la seconde loi de New-ton) avec les résultats expérimentaux. Ceux-ci sontobtenus à partir de l’hypothèse d’un MRUA à l’aidede l’équation de la position utilisée avec une vitesseinitiale nulle. Une série de mesures de diverses dis-tances parcourues en fonction du temps, permet detrouver l’accélération.

Le résultat ne sera pas explicité ici puisqu’il per-mettrait de découvrir la bonne théorie, ce qui n’estpas l’objectif recherché.

92

Annexe DRotations

L’objectif de cette annexe est de prendre consciencedes mouvements auxquels nous participons sansmême le savoir. Il est aussi de se rendre compte queles vitesses qui leur correspondent sont difficilementimaginables et plus, elles sont relatives et il est parfoisdifficile de savoir par rapport à quoi les décrire.

Ces mouvements sont cependant assez bien connuspour qu’on puisse prévoir le futur proche de notreposition dans l’espace.

D.1 Rotation de la terre surelle-même

On se propose de calculer la vitesse de rotationd’un point à l’arrêt sur l’équateur terrestre.

Le calcul est simple. Il se base sur les données sui-vantes :

– le rayon de la terre à l’équateur vaut : RT =6, 378 · 106 m et

– la période sidérale de rotation de la terre sur elle-même vaut : Ts = 23 h 56 mn 4, 1 s = 86′164, 1 s

Le calcul est celui de la vitesse d’un corps en rota-tion sur un cercle de rayon et de période donnés. Ona :

v =d

t=

2 · π · RT

Ts

=2 · π · 6, 378 · 106

86′164, 1

= 465, 1 m/s = 1674 km/h

A elle seule, cette vitesse est déjà fantastique. Nousne la ressentons pas ou peu à cause de l’inertie.

D.2 Rotation de la terre autourdu soleil

On se propose de calculer la vitesse de rotation dela terre autour du soleil.


– la distance de la terre au soleil vaut environ :RT→S = 1, 496 · 1011 m et

– la période sidérale de rotation de la terre autourdu soleil vaut : Ts = 365, 263 j = 31, 559 · 106 s

Le calcul est celui de la vitesse d’un corps en rota-tion sur un cercle de rayon et de période donnés. Ona :

v =d

t=

2 · π · RT→S

Ts

=2 · π · 1, 496 · 1011

31, 559 · 106

= 29′784, 4 m/s = 107′224 km/h

Cette vitesse est encore plus fantastique. Nous ne laressentons à nouveau pas ou peu à cause de l’inertie.

Ce qui vient d’être dit montre qu’il est importantde préciser par rapport à quoi on observe le mouve-ment. Historiquement cette question a pris beaucoup

93

D.2. ROTATION DE LA TERRE AUTOUR DU SOLEIL ANNEXE D. ROTATIONS

d’importance lors de la mise en question de l’immobi-lité de la terre. En effet, si pendant longtemps l’idéeque la terre tourne autour du soleil a paru absurde,aujourd’hui elle est évidente. Et au contraire, c’estl’idée qu’on puisse considérer que le soleil tourne au-tour de la terre qui est devenue absurde. A tel pointqu’on envisage même plus qu’on puisse l’affirmer ef-fectivement. Or, la relativité des mouvements permetde dire à juste titre que le soleil tourne autour de laterre pour autant qu’on observe le mouvement depuiscelle-ci. La terre tourne autour du soleil par rapportau soleil et le soleil tourne autour de la terre par rap-port à la terre. Ce que Galilée lui-même, dans son“Dialogue sur les deux grands systèmes du monde”, aexprimé par :

“Les choses reviennent au même si laTerre seule se meut alors que tout le restede l’Univers est immobile ou si, alors que laterre seule est immobile, tout l’Univers semeut d’un même mouvement”a

(Jean-François Robredo, 2007, p. 60, sans réfé-rence à la page originale.)

Qu’en est-il alors de la fameuse question historiquede l’immobilité de la terre ? Celle-ci révèle, en réalité,deux problèmes qui ne remettent pas en cause la pos-sibilité d’une description relative des mouvements dusoleil et de la terre.

Le premier problème se traduit dans l’immobilitéde la terre dans l’univers. C’est un problème autantcosmologique que physique. Cosmologique, car il meten cause une vision de l’univers historique et reli-gieuse qui dépasse clairement la simple relativité desmouvements. Physique, car il met en jeu le problèmede l’inertie qui lui aussi dépasse le cadre de la re-lativité des mouvements. Nous n’en discuterons pasici en raison de sa complexité, mais on peut releverqu’elle n’empêche nullement d’affirmer que le soleiltourne autour de la terre.

aOn trouve dans (Galileo Galilei, 1992, p. 274) le texte sui-vant :

“si la Terre est immobile, il faut que le soleil et

les étoiles fixes se meuvent, mais il se peut aussi

que le Soleil et les fixes soient immobiles si c’est

la Terre qui se meut.”

Fig. D.1 – Le système géocentrique de Tycho BrahéUn modèle encore actuel44.

Le second problème tient dans la cinématique desplanètes du système solaire. Il est aujourd’hui incon-testable que les planètes tournent autour du soleilselon des orbites elliptiques et non, comme l’envisa-geait Ptolémée, autour de la terre. Car le modèle uti-lisé à l’époque, qui faisait tourner les planètes autourde la terre et sur des épicyclesb pour expliquer leurrétrogradationc dans le ciel, est clairement faux. Lesobservations, notamment celle de l’orbite de Mars,l’invalident. Mais, il n’est pas faux en raison de l’af-firmation de la rotation du soleil autour de la terre,mais en raison de celle de la rotation des planètesautour de la terre sur des cercles avec des épicycles.

Cette erreur, qui est celle du modèle de Ptolémée,si elle est bien une erreur, n’empêche pas qu’on puisseconsidérer que le soleil tourne autour de la terre, vudepuis la terre. Elle fut d’ailleurs reconnue et corri-gée par Tycho Brahé qui proposa un modèle (voir

bLes épicycles sont de petits cercles dont le centre tournesur un plus grand cercle, le déférent, centré sur la terre. Lesplanètes tournent sur les épicycles qui eux-mêmes tournent au-tour de la terre.

cLa rétrogradation est le fait que les planètes plus éloignéesdu soleil que la terre, semblent parfois, vu depuis la terre, re-venir en arrière dans le ciel par rapport aux étoiles fixes.

94

ANNEXE D. ROTATIONS D.4. VITESSE ET RÉFÉRENTIEL

figure D.1) où la terre restait fixe dans l’univers, oùle soleil tournait autour d’elle et les autres planètestournaient autour. . . du soleil. Ce modèle, excepté lafixité de la terre dans l’univers qui relève du premierproblème énoncé ci-dessus, est parfaitement valide.Il s’agit tout simplement de la vision du système so-laire relativement à la terre. Et la description actuelledes mouvements célestes vu depuis la terre adopte unpoint de vue très proche de celui de Tycho Brahé, ex-ception faite des orbites circulaires qui sont devenuesdes ellipses.

D.3 Rotation du soleil dans lavoie lactée

On se propose de calculer la vitesse de rotation dusoleil dans notre galaxie la voie lactée.

La figure D.2 présente une vue d’artiste de la voielactée telle qu’on se la représente. La position du so-leil y figure sous la forme d’un point jaune.

Fig. D.2 – Le soleil dans la voie lactéeReprésentation artistique45


– la distance du soleil au centre de la galaxie vautenviron : RS→G = 26′000 AL et

– la période sidérale de rotation du soleil autourdu centre de la galaxie vaut environ : Ts = 220 ·106 ans

On a que 220 millions d’années représentent en se-condes :

220 · 106 ans = 220 · 106 · 365 · 24 · 3600

= 6, 937 · 1015 s

Pendant ce temps, le soleil fait un cercle de rayon26′000 AL. La distance qu’il parcourt vaut donc :

d = 2 · π · 26′000 · 9, 4608 · 1015 = 1, 546 · 1021 m

car, comme la vitesse de la lumière vaut300′000 km/s, on a que :

1 AL = 300′000′000 · 3600 · 24 · 365 = 9, 4608 · 1015 m

Le calcul est alors celui de la vitesse d’un corps enrotation sur un cercle de rayon et de période donnés.On a :

v =d

t=

2 · π · RS→G

Ts

=1, 546 · 1021

6, 937 · 1015

= 222′863 m/s = 222, 863 km/s

= 802′306 km/h

Cette vitesse est incroyable. Nous ne la ressentons ànouveau pas ou peu toujours à cause de l’inertie.

Notons que cette vitesse est la même pour toutesles étoiles proches du soleil qui participent au mou-vement de rotation autour du centre de la galaxie.Mais le soleil a aussi un mouvement propre, c’est-à-dire qu’une partie de sa vitesse ne correspond pas àsa vitesse de rotation autour du centre de la galaxie.Cette composante vaut environ 20 km/s.46

D.4 Vitesse et référentiel

La question de savoir par rapport à quoi on cal-cule la vitesse se pose donc puisque les différentesvitesses calculées précédemment constituent chacune

95

D.4. VITESSE ET RÉFÉRENTIEL ANNEXE D. ROTATIONS

une partie de la vitesse d’un point immobile à l’équa-teur terrestre. Toutes ces vitesses sont donc relativesà des référentiels différents.

Par exemple, la vitesse de rotation de la terre surelle-même est calculée dans un référentiel lié à laterre, au centre de celle-ci, mais ne tournant pas parrapport à elle. Il peut être fixé sur des étoiles prochesqui, à l’échelle de la période de rotation de la terre,ne se déplacent pratiquement pas.

Pour évaluer la vitesse caractéristique du mouve-ment propre du soleil dans la galaxie, mouvement au-quel on a soustrait celui de rotation du soleil autourdu centre de la galaxie, il faut utiliser un référen-tiel dit LSR pour Local Standard of Rest, c’est-à-direun référentiel standard local de repos. Celui-ci a étéconstruit à l’aide des vitesses et positions moyennesdes étoiles proches du soleil. Celles-ci sont donc sta-tistiquement au repos dans le référentiel LSR. C’estainsi qu’on peut étudier le mouvement propre du so-leil.

En conclusion, on voit qu’il est indispensable detoujours rapporter un mouvement à un référentielpour que la vitesse associée ait du sens.

Cependant, on sait aujourd’hui qu’il n’existe pasde référentiel absolu par rapport auquel tout mouve-ment pourrait être rapporté. Newton a cru en l’exis-tence d’un tel référentiel, Einstein, dans la relativitérestreinte et à l’aide des expériences de Michelson etMorley, a démontré qu’il n’en existait pas. Un mou-vement est donc nécessairement toujours rapporté àun autre corps qui tient lieu de référentiel.

96

Annexe EMRUA développements

E.1 La position

Pour un MRUA, la position est donnée par :

x =1

2· a · t2 + vo · t + xo (E.1)

Démonstration :Par définition la vitesse moyenne est :

v =x − xo

t⇒ x = v · t + xo

Mais, la vitesse moyenne peut aussi s’exprimerpar :

v =v + vo

2Ainsi, on a :

x = v · t + vo =v + vo

2· t + xo

Or, par définition de l’accélération (constante) :

a = ao =v − vo

t⇒ v = ao · t + vo

Donc, on a :

x =v + vo

2· t + xo =

ao · t + vo + vo

2+ xo

=1

2· a · t2 + vo · t + xo

C’est ce qu’il fallait démontrer.

Fig. E.1 – Discours concernant deux sciences nou-velles de GaliléeDiscours dans lesquels Galilée présente ses expériences sur la chute

des corps et fonde la mécanique. Il tente aussi d’y créer une sciencede la résistance des matériaux47

E.2 Une autre relation bien pra-tique

E.2.1 Cinématique

Jusqu’à présent, les relations obtenues (la vitesse etla position) sont fonction du temps. Il est néanmoinspratique dans bien des cas de disposer d’une relation

97

E.2. UNE AUTRE RELATION BIEN PRATIQUE ANNEXE E. MRUA DÉVELOPPEMENTS

où le facteur temps n’apparaît pas. Cette relation estfacilement obtenue en éliminant le temps des deuxéquations de la vitesse et de la position. Pour le calculon part de équations du MRUA suivantes :

v = ao · t + vo

x =1

2· a · t2 + vo · t + xo

Elles constituent généralement un système de deuxéquations à deux inconnues, dont le temps t est l’uned’elles. Pour résoudre ce système et éliminer le tempspar substitution, on tire t de la première équation :

t =v − vo

ao

et on le remplace dans la seconde (faire le contraireest aussi réalisable, mais mathématiquement pluscomplexe) :

x =1

2· ao · (

v − vo

ao)2 + vo ·

v − vo

ao+ xo

=1

2· ao ·

(v − vo)2

a2o

+ vo ·v − vo

ao+ xo

=1

2· v2 − 2 · v · vo + v2

o

ao+

v · vo − v2o

ao+ xo

=v2 − 2 · v · vo + v2

o + 2 · v · vo − 2 · v2o

2 · ao+ xo

⇒ x =v2 − v2

o

2 · ao+ xo ⇒

v2 = v2o + 2 · ao · (x − xo) (E.2)

Cette relation est indépendante du temps t. Elleest canoniquement présentée sous cette forme.

E.2.2 Énergie

Il faut relever que la relation E.2 peut aussi êtreobtenue grâce au théorème de conservation de l’éner-gie. En effet, imaginons un objet de masse m à unehauteur h qu’on lance à une vitesse vo vers le bas.

Son énergie cinétique initiale est non nulle, de mêmeque son énergie potentielle initiale. Son énergie poten-tielle finale est nulle. Par contre, son énergie cinétiquefinale ne l’est pas. Par conservation de l’énergie, onpeut écrire :

Eicin + Ei

pot = Efcin + Ef

pot ⇒1

2· m · v2

o + m · g · h =1

2· m · v2 ⇒

v2 = v2o + 2 · g · h

Soit, de manière plus générale, en posant g = a eth = x − xo, ce qu’il fallait démontrer :

v2 = v2o + 2 · ao · (x − xo)

98

Annexe FChute de la lune

F.0.3 Introduction

Le calcul ci-dessous constitue une approche simpli-fiée du calcul de l’accélération de la lune basé sur sachute libre sur la terre. Il est valable dans la mesured’un angle α très petit. Dans le cas d’un mouvementde rotation de la lune autour de la terre d’une duréed’une seconde, il est donc justifié. Mais cela n’enlèverien à la généralité du raisonnement puisque celui-ciest valable pour tout temps petit.

F.0.4 Accélération

Considérons la figure F.1 qui décrit successivementle mouvement en ligne droite d’une lune qui n’estpas soumise à l’attraction de la terre, puis sa chutelibre vers la terre pendant le même temps de 1 s. Lemouvement de rotation circulaire de la lune autourde la terre est ainsi compris comme un mouvementsimultanément balistique (MRU sur AB et MRUAsur BC) et central puisque BC a la direction terrelune. Il s’agit donc d’un modèle plus juste, mais pluscomplexe, que celui présenté au paragraphe 2.7.

Pythagore et la géométrie évidente du problème

Fig. F.1 – Chute de la lune

Terre

Lune

temps de chute : 1 s

A B

C

D

α

présenté dans la figure F.1 permettent d’écrire :

BC =√

AD2 + AB2 − CD

=√

AD2 + AB2 − AD

=

√

AD2 · (1 +AB2

AD2) − AD

= AD ·√

1 + (AB

AD)2 − AD

Il faut maintenant faire appel à une opération ma-thématique qui consiste à traduire une fonction com-plexe comme la racine carrée en une somme infinie determes simples. Il s’agit d’un développement limité.Dans le même temps, pour ne pas devoir traiter une

99

ANNEXE F. CHUTE DE LA LUNE

somme infinie, il faut effectuer une approximation quiva permettre de ne garder que quelques termes decette somme. Cette simplification est justifiée par lapetitesse du terme AB comparé à la distance terre-lune AD. Plus précisément, on a alors :

√1 + x = 1 +

1

2· x − 1

2 · 4 · x2 +1 · 3

2 · 4 · 6 · x3 − . . .

pour |x| ≤< 1. L’approximation consiste à ne retenirque les deux premiers termes :

√1 + x ∼= 1 +

1

2· x

Ainsi, en raison du fait que :

(AB

AD)2 ≪ 1

on peut écrire, à fortiori, la suite du calcul précédent :

BC = AD ·√

1 + (AB

AD)2 − AD

= AD · (1 +1

2· (AB

AD)2) − AD

= AD + AD · 1

2· (AB

AD)2 − AD

= AD · 1

2· (AB

AD)2

Or, on peut calculer la vitesse angulaire sur un tempsde 1 s par :

ω(t = 1 s) =α

t=

α

1= α

En considérant un angle α petit, on a d’autre part :

α ∼= tan(α) =AB

AD

Ce qui permet d’écrire :

ω =AB

AD

En remplaçant AD par dterre−lune, on peut finale-ment trouver BC :

BC = dterre−lune ·1

2· ω2 (F.1)

Mais, si on fait l’hypothèse d’une chute libre de lalune en MRUA pendant une seconde, on a :

BC =1

2· a · t2 =

1

2· a (F.2)

Si on considère maintenant le mouvement de rota-tion de la lune pendant une période T , soit pendant27, 33 jours, sur un tour (2 ·π rad) autour de la terre,on peut écrire :

ω =2 · πT

Et en réunissant alors les équations F.1 et F.2, on a :

1

2· a =

1

2· dterre−lune · ω2 ⇒

a = dterre−lune · ω2 = dterre−lune · (2 · πT

)2

= 3, 844 · 108 · ( 2 · π27, 33 · 24 · 3600

)2

= 2, 72 · 10−3 m/s2 = 2, 72 mm/s2

On peut comparer cette valeur à la valeur exacte don-née à la fin du paragraphe 2.5.5 :

a = 2, 7 · 10−3 m/s2

F.0.5 Force de gravitation

On peut aller plus loin en déterminant le rapport rde l’accélération de la lune à l’accélération terrestre :

r =g

a=

9, 81

2, 72 · 10−3= 3607

et en remarquant que c’est précisément le rapport descarrés des distances dterre−lune et Rterre :

r =d2

terre−lune

R2terre

=(3, 844 · 108)2

(6, 371 · 106)2= 3640

La conséquence en est que l’accélération due au poidsest inversément proportionnelle au carré de la dis-tance. Comme F = m · a, la force de gravitation estaussi inversément proportionnelle au carré des dis-tances :

F ∼ 1

r2

On voit apparaître là la loi de la gravitation univer-selle.

100

Annexe GSatellite en orbite géostationnaire

G.0.6 Introduction

Un exemple intéressant de l’utilisation de la se-conde loi de Newton, du mouvement circulaire uni-forme et de la loi de la gravitation universelle, estdonné par le calcul de l’altitude nécessaire pour qu’unsatellite soit en orbite géostationnaire.

G.0.7 Théoriquement

On va donc utiliser les équations suivantes :

F = m · a : seconde loi de Newtona = v2

R : mouvement circulaire uniformeF = G · M·m

R2 : loi de la gravitation universelle

De ces trois lois, on tire :

G · MT · ms

(RT + h)2= ms ·

v2

(RT + h)

où :– G est la constante de la gravitation universelle,– MT est la masse de la terre,– ms est la masse du satellite,– RT est le rayon de la terre,– h est l’altitude du satellite et– v est la vitesse linéaire du satellite.Avec, par définition de la vitesse, pour une trajec-

toire circulaire :

v =2 · π · (RT + h)

T

Fig. G.1 – SatelliteEn orbite géostationnaire 48

où : T est la période du mouvement, c’est à dire letemps que doit mettre le satellite pour faire un tourautour de la terre.

De là on tire (faites les calculs par vous même) :

h = (G · MT · T 2

4 · π2)

1

3 − RT

101

ANNEXE G. SATELLITE EN ORBITE GÉOSTATIONNAIRE

G.0.8 Numériquement

Le calcul est simple :

h = (6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · (24 · 60 · 60)2

4 · π2)

1

3

−6, 37 · 106 = 35′857 km

Il s’agit de l’altitude des satellites en orbite géosta-tionnaire au-dessus de l’équateur. Pour des latitudesplus élevées, on comprend bien que plus on montevers le pôle, plus le satellite sera bas sur l’horizon. Ilse peut même qu’ils soient sous l’horizon. C’est pou-quoi, d’autres types d’orbites sont nécessaires, commel’orbite de Molniya, qui permet de couvrir à l’aide deplusieurs satellites les régions polaires vingt-quatreheures sur vingt-quatre.

102

Annexe HÉnergies

H.1 Introduction

Cette annexe est destinée à aller un peu plus loinque ce qui figure dans le cours concernant les diffé-rentes énergies. Elle est faite de quelques exemplesparticuliers qui peuvent fixer les idées, les ordres degrandeur, les problèmes, etc. Ce domaine étant trèsvaste, il ne s’agit ici que de donner quelques exemples,sans plus.

H.2 Énergie hydraulique

On s’intéresse ici au barrage du Châtelot, entré enservice en novembre 1953, sur le Doubs dans le jurasuisse et français. Ce barrage a une hauteur de 74 m.Par ailleurs, les turbines ne se trouvent pas à son pied,mais plus bas au bord de l’eau. Celle-ci est amenéepar une conduite forcée de trois kilomètres selon unepente de 4 ‰, ce qui représente un hauteur supplé-mentaire de 12 m. Au total, la hauteur est donc de86 m. Il se trouve sur le Doubs qui a un débit moyende 25 m3/s. Mais le débit aménagé, c’est-à-dire le dé-bit maximal qui puisse produire de l’énergie, est de44 m3/s.

Le débit de restitution étant fixé par la loi fran-çaise à environ 10% du débit moyen de la rivière, unturbinage minimum permanent de 2 m3/s est réalisé(pendant les phases de remplissage du barrage). Apartir de ces données on peut estimer la puissance

Fig. H.1 – Le barrage du ChâtelotSur le Doubs dans le jura.

moyenne P de chute :

P = η · Q · g · h= 0, 8 · 25 · 9, 81 · 86 = 16′873 kW

Cela représente une énergie totale par année de :

E = 16′873 · 24 · 365

= 147, 807 millions de kWh

= 147′807 MWh (H.1)

Évidemment, la puissance installé doit être plus im-portante pour faire face à un débit plus important.

103

H.3. ÉNERGIE ÉOLIENNE ANNEXE H. ÉNERGIES

On a :

Pinst = η · Q · g · h= 0, 8 · 44 · 9, 81 · 86 ∼= 30′000 kW

La puissance installé est de 15′000 kW par turbinepour deux turbines. La puissance totale installée estdonc de 30′000 kW .

On peut alors évaluer approximativement lenombre de ménages que peut couvrir le barrage duChâtelot. En effet, sachant que ce barrage fournit lamoitié de son énergie à la France et l’autre moitié à laSuissea et que la consommation électrique moyennepar ménage est d’environ 2000 kWh/an, on a que lenombre n de ménages suisses couverts est de :

n =147, 807 · 106

2 · 2000= 36′951 ménages

Très grossièrement, on peut dire que le barrage couvretrois fois les besoins des ménages (sans les entre-prises, commerces et administrations) de la ville dela Chaux-de-Fonds (∼ 30′000 personnes c’est-à-dire,à trois personnes par ménages, approximativement10′000 ménages).

L’énergie électrique est distribuée vers la Suisse parquatre lignes haute tension de 60′000 V chacune etpar deux lignes sous la même tension vers la France.

H.3 Énergie éolienne

H.3.1 Règle de Betz

Démonstration de la règle de Betz :On s’imagine une éolienne brassant à l’aide de ses

pales une surface S. Si la vitesse du vent en amontest vamont, en un temps donné t toutes les particulesse trouvant jusqu’à une distance d = vamont · t d’ellela traverseront. Le volume d’air qu’elle brassera seradonc de :

V = S · d = S · vamont · tEn considérant la masse volumique de l’air ρ = m/V ,on en tire la masse d’air que cela représente :

m = ρ · V = ρ · S · vamont · taSelon la Convention franco-suisse du 19 novembre 1930.

On peut alors calculer la puissance correspondant audéplacement de cette masse d’air :

P =Ecin

t=

1

2· m · v2

amont

t

=1

2· m

t· v2

amont

=1

2· ρ · S · v3

amont

Si maintenant on considère qu’une partie de cetteénergie est prise au vent par l’éolienne, on s’imagineune diminution de sa vitesse en aval. Soit vaval cettevitesse. On peut considérer que la même masse d’airtraverse l’éolienne, mais à une vitesse moyenne plusfaible. On peut considérer (cela se justifie) que cettevitesse est la moyenne des vitesses en amont et enaval :

vmoy =vamont + vaval

2

Ainsi, le volume traversant l’éolienne est :

V = S · vmoy · t = S · vamont + vaval

2· t

Et la masse est alors :

m = ρ · S · vamont + vaval

2· t

La diminution de la puissance du flux d’air qui cor-respond à la puissance reçue par l’éolienne est ainsi :

∆P =∆Ecin

t=

Eamontcin − Eaval

cin

t

=1

2· m · v2

amont − 1

2· m · v2

aval

t

=1

2· m

t· (v2

amont − v2aval)

=1

2· ρ · S · vamont + vaval

2· (v2

amont − v2aval)

=1

4· ρ · S · (v2

amont − v2aval) · (vamont + vaval)

Si on cherche quel est la vitesse en aval vav qui donneun maximum de puissance, il faut dériver la fonction∆P par rapport à vav et l’annuler. Pour écourter la

104

ANNEXE H. ÉNERGIES H.3. ÉNERGIE ÉOLIENNE

notation, on pose encore : vamont = vam.

d∆P

dvav=

d

dvav(1

4· ρ · S · (v2

am − v2av) · (vam + vav))

=1

4· ρ · S · d

dvav((v2

am − v2av) · (vam + vav)) = 0

L’équation à résoudre alors est :

d

dvav((v2

am − v2av) · (vam + vav)) = 0 ⇒

d

dvav(v3

am + v2am · vav − v2

av · vam − v3av) = 0 ⇒

v2am − 2 · vam · vav − 3 · v2

av = 0

Il s’agit d’une équation du second degré en vav dontla solution est :

vav =2 · vam ±

√

(2 · vam)2 − 4 · (−3) · v2am

2 · (−3)

=2 · vam ±

√

16 · v2am

−6

=2 · vam ± 4 · vam

−6

=vam ± 2 · vam

−3=

{

vam/3

−vam

Évidemment vaval > 0 et donc seule la solution posi-tive à un sens. On a donc finalement que :

vaval =vamont

3(H.2)

Et la conséquence pour la variation de puissance estque :

∆P =1

4· ρ · S · (v2

am − v2av) · (vam + vav)

=1

4· ρ · S · (v2

am − (vam/3)2) · (vam + vam/3)

=1

4· ρ · S · (9 · v2

am − v2am

9) · (3 · vam + vam

3)

=1

4· ρ · S · (8 · v2

am

9) · (4 · vam

3)

=16

27· 1

2· ρ · S · v3

am

=16

27· P

Ce qui signifie que la puissance maximale que l’éo-lienne peut développer est le 16/27 de la puissancedu vent :

Peolienne =16

27· Pvent (H.3)

Cela constitue la limite de Betz.

H.3.2 Éoliennes

Éolienne de Collonges-Dorénaz

Il ne s’agit pas ici de se substituer aux multiplesinformations qui se trouvent sur internet49. Il s’agitsimplement de parler de l’exemple concret de la plusgrande éolienne de Suisse pour permettre une com-paraison avec un barrage comme celui du Chatelot(voir paragraphe H.2).

Le mât fait pratiquement 100 m de haut et la lon-gueur des pales est de 33 m. Le rendement est trèsproche de la limite de Betz puisqu’il vaut 56%. Lapuissance maximale est de 2000 kW , mais la pro-duction annuelle est de 3, 5 millions de kWh. Si laconsommation électrique annuelle moyenne d’un mé-nage est d’environ 2000 kWh, le nombre n de mé-nages qui peuvent être alimentés par cette éoliennevaut :

n =3, 5 · 106

2000= 1750 ménages

Comparé au 74′000 ménages alimentés par le barragedu Châtelot (partie suisse et française ensemble), celapeut paraître bien peu. Encore faut-il comparer lecoût du barrage aux quatre millions d’investissementpour cette éolienne. Encore faut-il comparer les deuximpacts écologiques, les possibilités et le coût de dé-montage, les risques d’accidents. . . Une juste compa-raison nécessite de prendre en compte un assez grandnombre de paramètres pour qu’il ne soit pas possibleici de poursuivre plus avant la comparaison.

Éoliennes du Mont Soleil

A nouveau l’information se trouve sur internet50.Il faut savoir que cette centrale est constituée

de huit éoliennes d’une puissance allant de 600 à1750 kW . Elles ont une hauteur de mât de 45 à 67 met des pales de 22 à 33 m. L’ensemble a produit en

105

H.5. ÉNERGIE DE COMBUSTION DES DÉCHETS ANNEXE H. ÉNERGIES

2006 une énergie de 9, 176 millions de kWh. Cela re-présente un nombre de ménages (à 2000 kWh/an) de4588. Une fois encore c’est bien peu comparé au bar-rage du Châtelot. Mais les remarques faites précé-demment restent valables.

Au total, la centrale de Collonges-Dorénaz etcelle du Mont Soleil alimentent ensemble environ6300 ménages, soit très approximativement la moitiéd’une ville comme La Chaux-de-Fonds en Suisse.

H.4 Géothermie

IL existe en Suisse une centrale géothermique quipermet un chauffage urbain, à l’instar de Cridor àLa Chaux-de-Fonds. Il s’agit de la centrale de Rie-hen près de Bâle. Elle est constituée de deux pompesà chaleur qui exploitent l’eau provenant d’un forageà 1547 m amenant une eau à 65◦. Un second fo-rage, distant de 1 km du premier, réinjecte de l’eaufroide à 1247 m. Le débit est de 18 l/s. Elle permetd’approvisionner 180 immeubles à Riehen et de nou-velles constructions en Allemagne. L’énergie annuel-lement produite est de 22, 8 GWh51. À raison d’envi-ron 20 MWh/an pour une famille de trois personnes,on a une couverture en terme de chauffage à distance(chauffage et eau chaude sanitaire) de :

n =22′800

20= 1′140 ménages

Ce qui représente environ 3′500 personnes.

H.5 Énergie de combustion desdéchets

Nous allons ici prendre pour exemple de ce typede production énergétique la centrale de chauffage àdistance de Cridor à La Chaux-de-Fonds dans le jurasuisse. L’objectif est d’avoir un exemple concret de cequi se fait déjà dans un domaine concernant les éner-gies renouvelables qui passe souvent trop inaperçu.

La production52 totale d’énergie par cette usined’incinération est de 85′000 MWh/an. Par comparai-son, rappelons que la production du barrage du Cha-

telot est de 150′000 MWh/an (voir équation H.1),soit environ le double.

Cette énergie se partage en 60′000 MWh/an pourle chauffage à distance (chauffage des habitations)et 25′000 MWh/an produit par une turbine sousforme électrique, dont 19′000 MWh/an sont vendus.Cela représente 55′000 t/an de déchets incinérés. Lenombres de ménages fournis en énergie électrique estdonc de :

n =19′000 · 106

2000 · 103= 9500 ménages

Pour l’énergie thermique, en comptant très approxi-mativement 20 MWh/an pour une famille de troispersonnes, on a une couverture en terme de chauf-fage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire)de :

n =60′000

20= 3000 ménages

Ce qui représente environ 10′000 personnes.

106

Annexe IExercices

Deux conseils pour la résolution des exercices :faites un dessin et expliquez-vous le problème en fran-çais.

I.1 Problèmes

I.1.1 Relatifs à la conversion d’unitéset à la notation scientifique

Exercice 1 Alpha du Centaure C est l’étoile la plusproche de nous. Elle se situe à 4, 238 AL de nous.Combien de km cela fait-il ? Exprimez le résultat ennotation scientifique. Combien de parsec (pc) celafait-il ?

Exercice 2 Quelle est la distance terre-soleil en km,en UA et en AL ? Entre nous et l’étoile (autre que lesoleil) la plus proche, combien de fois peut-on mettrecette distance ?

Exercice 3 Combien y a-t-il de fois la distance entrenous et Alpha du Centaure dans le diamètre de notregalaxie la voie lactée (φgalaxie = 80′000 AL) ?

Exercice 4 Sous quel angle (en °, en ’ et en ”) voit-on le diamètre de la lune depuis la terre (Rlune =0, 2725 · Rterre ; dterre−lune = 3, 84 · 108 m).

Exercice 5 La matière interstellaire est constituéede gaz neutre (hydrogène atomique et moléculaire),de gaz ionisé, de poussières et de particules cosmiques

(électrons, protons, ...). La densité d’un nuage de gazneutre est de 0, 1·104 atomes/cm3. Combien cela fait-il d’atomes par m3 ? Par litre ?

Exercice 6 La première mesure du rayon de la terreà été faite à Alexandrie en 235 avant notre ère parEratosthènea. La méthode qu’il a utilisée est trèssimple. Il a tout d’abord observé qu’un certain jour del’année le soleil éclairait le fond d’un puits à Syène.Il en a déduit qu’à ce moment-là les rayons du so-leil alors parfaitement au zénith, pointaient directe-ment vers le centre de la terre (voir figure I.1). Parailleurs, il a mesuré au même moment l’angle faitpar ces mêmes rayons au sommet d’un bâton planté5000 stades plus au nord, à Alexandrie. Comme lemontre le schéma ci-dessous, cet angle est l’angle aucentre de la terre que fait l’arc de cercle déterminépar la surface de la terre entre Syène et Alexandrie.Connaissant cet angle (α = 7, 5◦) et la longueur del’arc de cercle (L = 5000 stades), il en déduisit lerayon de la terre avec une précision extraordinairepour l’époque : 4 % d’écart avec la valeur connue au-jourd’hui.

Sachant qu’un stade valait environ 160 m d’aujour-d’hui, calculez le rayon R de la terre obtenu par Era-tosthène.

aVoir “Mécanique”, Éric Lindemann, DeBoeck Université,1999, p. 15,16.

107

I.1. PROBLÈMES ANNEXE I. EXERCICES

Fig. I.1 – Le rayon de la terre par Eratosthène

�

�

�

Rayons du soleilAlexandrie

Syène

Rterre

C α

α

I.1.2 Relatifs aux notions de déplace-ment, position et distance par-courue

Exercice 7 Un objet se déplace de la position x =0 m à x = 10 m, puis à x = 11 m, puis à x = −5 m.Calculez le déplacement total et la distance totale par-courue.

Exercice 8 Le conducteur d’une automobile qui sedéplace à 120 km/h est inattentif pendant deux se-condes. Quelle distance a-t-il parcourue pendant cetemps ?

Exercice 9 La position en mètres d’un objet estdonné par l’équation suivante :

x =

2 · t si 0 ≤ t ≤ 4s

8 si 4 ≤ t ≤ 6s

−2 · t + 20 si 6 ≤ t ≤ 10s

Calculez le déplacement et la distance parcourue aubout de 10s.

Exercice 10 Deux trains se dirigent l’un vers l’autresur une même voie. Ils se déplacent à 100 km/h parrapport au sol. Si la distance initiale qui les séparaitétait de 12 km, dans combien de temps aura lieu l’ac-cident ?

Exercice 11 Une voiture dont la vitesse est de110 km/h se trouve 600 m derrière un camion dontla vitesse vaut 80 km/h. Combien de temps mettra-t-elle pour rattraper le camion ?

I.1.3 Relatifs à la notion de vitesse

Exercice 12 Quelle est notre vitesse de rotation ap-proximative à la surface de la terre ? N’utilisez pasvotre machine à calculer et faites tous vos calculs ennotation scientifique.

Exercice 13 Un joueur de pétanque tire la bouled’un adversaire. Celle-ci se trouve à 9 m de lui. Ensupposant que la boule se déplace en ligne droite, àvitesse constante et que le joueur entende le bruit ducarreau sur la boule adverse 1, 2 s après l’avoir lan-cée, trouvez la vitesse de la boule. Le son se propageà une vitesse de 343 m/s.

Exercice 14 Un objet se déplace de x1 = 3, 6 cm àx2 = −5, 2 cm dans l’intervalle de temps entre t1 =3 s et t2 = 6, 8 s. Déterminez sa vitesse moyenne.

I.1.4 Relatif à la notion d’accélération

Exercice 15 Une voiture roulant à 50 km/h freinesoudainement pour ne pas heurter un piéton. Si la dé-célération maximale moyenne que ses pneus peuventlui permettre est de −3 m/s2 (route mouillée), encombien de temps s’arrêtera-t-elle ?

Exercice 16 Calculez l’accélération moyenne d’unsprinterb qui parvient à une vitesse de 10 m/s en9, 9 s.

Exercice 17 Déterminez l’accélération moyennedans les cas suivants :

– Un avion DC 10 qui part du repos atteint, en50 secondes, une vitesse de 350 km/h au mo-ment du décollage.

– Un avion s’approche d’un porte-avions à190 km/h. Il se pose et est arrêté par un câblede retenue en 5 secondes.

– Une capsule spatiale passe d’une vitesse nulle à1450 km/h en 3 secondes.

Exercice 18 A l’instant t = 3 s, une particule setrouve en x = 7 m à la vitesse de 4 m/s. A t = 7 s,elle est en x = −5 m à la vitesse de −2 m/s. Calculezsa vitesse et son accélération moyennes.

bThe physics of sports, A. Armenti, New York, 1992, p. 112.

108

ANNEXE I. EXERCICES I.1. PROBLÈMES

I.1.5 Relatif au MRU

Exercice 19 Une voiture se déplace à la vitesseconstante de 50 km/h pendant 5 minutes. Esquissezles graphes horaires de la position, de la vitesse etde l’accélération pendant cette période. Quelle est ladistance totale parcourue ? Par quelle grandeur cettedistance est-elle représentée sur le graphe de la vitesseen fonction du temps ?

Exercice 20 Une voiture de sport se déplaçant à lavitesse constante de 160 km/h est prise en chasse parune voiture de police alors que celle-ci à 1 km de re-tard. Pour rattraper la voiture de sport, la voiture depolice prend très rapidement une vitesse de 180 km/h.Au bout de combien de temps et de quelle distance lapolice rattrapera la voiture de sport ?

I.1.6 Relatif au MRUA

Exercice 21 Une voiture de police à l’arrêt démarrela poursuite d’un chauffard lorsque celui-ci la croiseà une vitesse de 144 km/h. Son accélération est alorsde 5 m/s2. En combien de temps et sur quelle dis-tance rattrape-t-elle le chauffard ? Quelle est alors savitesse ?

Exercice 22 Une voiture entre en collision fronta-lement avec un arbre. Sa vitesse juste avant le chocétait de 50 km/h. Elle est stoppée net sur une dis-tance de 1, 5 m (le moteur est complètement écrasé).

Calculez la valeur de l’accélération (ici une décélé-ration), exprimez-là comme un multiple de l’accéléra-tion terrestre g (g = 9, 81 m/s2) et calculez le tempsque dure la collision.

Exercice 23 Le chauffeur d’une voiture roulant à40 m/s aperçoit soudain un kangourou 70 m devantlui. Quel sera l’avenir de l’animal si le temps de ré-flexe du chauffeur est de 0, 8 s et sa décélération maxi-male de 8 m/s2 ?

Exercice 24 Un plongeur capable de sauter surplace très haut est capable de s’élever de 50 cm. Quelledoit être sa vitesse initiale (supposez que le mouve-ment est un MRUA d’accélération g = 9, 81 m/s2) ?Un dauphin peut s’élever lui à 6 m au-dessus de l’eau.Quelle est sa vitesse verticale initiale ?

Exercice 25 Un plongeur s’élance du haut de laplate-forme des dix mètres d’un plongeoir.

– Combien de temps met-il pour arriver dans l’eaus’il se laisse tomber ?

– Combien de temps met-il pour arriver dans l’eausi sa vitesse initiale est horizontale et vaut1 m/s ?

– Combien de temps met-il pour arriver dans l’eausi sa vitesse initiale est verticale vers le haut etvaut 1 m/s?

Dans les trois cas, à quelle vitesse arrive-t-il dansl’eau ?

Exercice 26 Un objet est lâché à la surface de laterre d’une hauteur h. Déterminez la vitesse à laquelleil arrive au sol.

Exercice 27 Une voiture de course tente d’arriveren 4 s à 100 km/h départ arrêté. Déterminez quelleaccélération (supposée constante) il lui faut pour celaet la distance qu’elle va parcourir.

Exercice 28 Une moto passe de 50 km/h à100 km/h sur une distance de 59 m. A combien de gest-elle soumise ?

Exercice 29 Un plongeur s’élance de la plate-formedes cinq mètres avec une vitesse horizontale de 2 m/s.

1. Combien de temps mettra-t-il pour arriver dansl’eau ?

2. Si on suppose sa vitesse horizontale constante, àquelle distance du pied du bord de la plate-formearrivera-t-il dans l’eau ?

Exercice 30 Une petite fusée d’enfant a pour deuxminutes de carburant. Elle s’élève dans les airs à unevitesse moyenne de 3 m/s pendant la phase de pous-sée. A la fin de cette phase, sa vitesse atteint 4 m/s(son accélération n’est pas constante durant cette pre-mière phase). Calculez à quelle hauteur elle s’est éle-vée et combien de temps à duré son vol.

I.1.7 Relatifs à la physique aristotéli-cienne

Exercice 31 Un scooter se déplaçant à la vitesse de5 km/h sur un lac gelé horizontal tire verticalement

109


un petit obus éclairant. Il monte et retombe en 2 s.Déterminez, selon la théorie aristotélicienne du mou-vement son lieu d’atterrissage sur le lac. A ce mo-ment là, déterminez sa distance au scooter.

Exercice 32 La vigie d’un trois mâts laisse tomberson couteau. Il met 0, 8 s pour arriver sur le pont. Lebateau se déplace à 8 km/h. Selon la théorie d’Aris-tote, déterminez à quelle distance du pied du mât, ilva se planter.

Exercice 33 Un touriste visitant Paris laisse tom-ber une pièce de cinq francs du haut du premier étagede la Tour Eiffel. En tenant compte de la vitesse deParis autour le l’axe de rotation de la terre et selonla cinématique d’Aristote, calculez la distance au pieddu point de chute à laquelle la pièce va arriver au sol.Le temps de chute est de 2, 1 s et la latitude de Pa-ris vaut β = 48◦ 48′. On ne tiendra compte que dudéplacement de Paris dû à la rotation de la terre surelle-même.

I.1.8 Relatifs à la physique Newto-nienne

Pour résoudre un problème de mécanique newto-nienne, aucune méthode n’est prescrite. Cependant,dans la mesure où le problème est bien posé (c’est làune étape particulièrement difficile à réaliser et pourlaquelle il faut rester ouvert à toute bonne idée), unesuite d’opérations assez bien définie permet de ré-soudre clairement le problème.

Attention, cette “procédure”, qui présente beau-coup d’avantages, est aussi assez stricte pour éliminerdes idées originales parfaitement valables et efficaces.Il faut donc l’utiliser sans dogmatisme. Elle consisteen ce qui suit :

Méthode de résolution des problèmes

Choisir le système. C’est l’étape la plus im-portante. Elle est fondamentale, car c’estdu choix du système que dépend la possi-bilité d’exprimer les grandeurs nécessaires àla résolution du problème. En particulier, ilfaut choisir le système de manière à éliminer,dans la mesure du possible, les grandeurs qui

sont inconnues et non nécessaires.

Choisir un système d’axes. Simple et, si pos-sible orienté dans le sens supposé de l’accé-lération. Cela permet d’éliminer un certainnombre de fautes de signe.

Faire un dessin avec forces extérieures. Ilne faut en oublier aucune. La déterminationdu caractère extérieur des forces en jeu estévidemment aussi une étape difficile. Maiselle est fondamentale.

Spécifier les contraintes sur le système.Par exemple : se déplace uniquementhorizontalement.

Écrire les équations du mouvement. Ils’agit d’écrire la seconde loi de Newton surchaque axe. Il faut donc décomposer lesvecteurs forces et accélération sur ceux-ci.

Résoudre le problème. Vérifier que lenombre d’équations est égal au nombre d’in-connues. A l’aide des équations décrivant lescontraintes et des équations du mouvement,résoudre alors le problème.

Vérifier la solution sur des cas simples.Par exemple, si on a obtenu l’accélérationd’un objet sur un plan incliné, il fautvérifier que si celui-ci est vertical, alorsl’accélération est celle de la chute libre.

Exercice 34 Une fusée d’une masse de 60 tonnesdécolle verticalement. Au bout d’une minute, elle at-teint la vitesse de 1000 km/h. En supposant l’accélé-ration constante, calculez la force totale des moteurs.

Exercice 35 Une voiture tire une remorque à vitesseconstante. Si la force de frottement qui s’exerce surla remorque vaut 500 N , quelle est la force exercéepar la voiture sur la remorque ? Quelle est la sommedes forces qui s’exercent sur la remorque ? Répondezà ces deux questions si la voiture a une accélérationde 5 m/s2 et la remorque une masse de 500 kg.

Exercice 36 Un ascenseur de masse m = 200 kg,dans lequel une personne de 60 kg se trouve, monte

110


avec une accélération de 4 m/s2. Quelle est la forceexercée par le câble sur l’ascenseur ?

Exercice 37 Une voiture de deux tonnes roulant à50 km/h freine brusquement pour s’arrêter sur unedistance de 40 m. Calculez la force de frottement despneus et expliquez précisément d’où elle vient.

Exercice 38 Un train de 300 tonnes (locomotive :50 tonnes, wagons : 250 tonnes) accélère de 0 à10 km/h en une minute. On néglige les frottements.

1. Calculez la force Ftot nécessaire pour réalisercette augmentation de vitesse.

2. Quelle force F la locomotive exerce-t-elle sur leswagons ?

3. Combien de temps durerait le démarrage si lalocomotive n’avait pas de wagons (elle exerce lamême force qu’au premier point) ?

Exercice 39 On lance une balle de masse m = 100 gvers le haut avec une vitesse vo = 2 m/s. Si elleest soumise à une force de frottement Ffr = 0, 05 Npendant tout son vol, jusqu’à quelle hauteur monte-t-elle ?

Exercice 40 Un vaisseau spatial d’une masse m =9 tonnes se déplace à une vitesse vo = 10′000 km/hpendant cinq minutes. Puis, il enclenche ses moteurs.Ils lui fournissent une poussée P de 1000 N pendant30 s. Quelle est la distance parcourue jusqu’au mo-ment où il coupe ses moteurs ?

Exercice 41 Un électron initialement au repos estaccéléré jusqu’à une vitesse de 1% de la vitesse de lalumière sur une distance de 30 m. Quelle est la forcetotale qui s’exerce sur lui ?

Exercice 42 Une araignée de masse m = 5 g estsuspendue par son fil au plafond. Elle ne bouge pas.Quelle force le fil exerce-t-il sur elle ? Elle se met àdescendre en freinant sa chute à l’aide de son fil avecune force F = 0, 01 N . Si elle descend d’une hauteurd = 2 m, combien de temps met-elle pour le faire età quelle vitesse arrive-t-elle en bas ?

Exercice 43 Une corde aux extrémités de laquellesont suspendues deux masses m1 = 2 kg et m2 = 3 kgest suspendue à une poulie (voir figure I.2). On lâcheles masses. Quelle est leur accélération ?

Fig. I.2 – La poulieou machine de Atwood

poulie

m1

m2

I.1.9 Relatifs aux forces

Exercice 44 Une personne de masse m = 70 kgprend l’ascenseur. Elle se place sur une balance. Du-rant la première phase de montée, l’accélération vaut2 m/s2. Puis suit une phase à vitesse constante etenfin l’ascenseur décélère à 3 m/s2. Trouvez danschaque cas la force exercée par la balance sur la per-sonne (en divisant par l’accélération terrestre, on ob-tient la valeur que marquerait une balance sous lespieds de la personne).

Exercice 45 Calculez la grandeur de la force exercéepar deux boules de pétanque de masse m = 1 kg l’unesur l’autre. Elles sont distantes de 0, 5 m.

Exercice 46 Calculez la masse de la terre. Ondonne g = 9, 81 m/s2 et le rayon terrestre moyenRT = 6′370 km.

Exercice 47 Calculez l’accélération de la pesanteurde la lune avec les données des tables.

Exercice 48 Quelle force faut-il exercer sur un res-sort de constante k = 800 N/m pour le déformer de10 cm ?

Exercice 49 Quelle est la constante d’un ressort quis’allonge de 12 cm lorsqu’on lui suspend une masse de100 grammes?

Exercice 50 Une voiture de deux tonnes roulant à50 km/h freine brusquement pour s’arrêter sur une

111


distance horizontale de 40 m. Calculez le cœfficientde frottement des pneus sur la route.

Exercice 51 Une voiture a une masse m = 1000 kgdont 600 s’exercent sur les roues avant et 400 surles roues arrière. Calculez l’accélération maximale decette automobile si le cœfficient de frottement pneu-route vaut µo = 0, 5. La route est horizontale.

1. La traction se fait par les roues avant unique-ment,

2. La traction est arrière,

3. C’est une traction quatre roues.

I.1.10 Relatifs à l’énergie

Exercice 52 Calculez le travail produit par une forcede 15 N s’exerçant constamment à 10◦ par rapport audéplacement. Celui-ci est rectiligne et d’une distancede 20 m.

Exercice 53 Un hélicoptère monte une masse de50 kg avec une accélération de 4 m/s2 sur une dis-tance de 100 m. Calculez le travail de la force de trac-tion qui s’exerce sur la masse.

Exercice 54 Quelle est l’énergie potentielle de lamasse du problème 53 à une hauteur de 100 m?Quelle est son énergie cinétique à la même place sila vitesse initiale est nulle ?

Exercice 55 Estimez l’énergie cinétique– d’un coureur de 100 m de masse 80 kg,– d’une voiture de masse 800 kg roulant à 10 m/s

et– d’une balle de fusil de 10 g se déplaçant à

800 m/s.

Exercice 56 Calculez le travail du poids d’un ob-jet de masse m = 3 kg quand on le monte à vitesseconstante de 4 m, le déplace de 5 m horizontalement,le redescend de 4 m et le ramène à sa position initiale.Calculez le travail pour chaque étapes et le travail to-tal.

I.1.11 Relatifs à la conservation del’énergie

Exercice 57 Sans l’aide de l’accélération, calculez lavitesse d’une personne qui a sauté (sans vitesse ini-tiale) d’un plongeoir de 10 m et arrive dans l’eau.

Exercice 58 On lance verticalement vers le haut unobjet de poids 100 N avec une vitesse initiale vo =10 m/s. A quelle hauteur h est-il momentanément ar-rêté ?

Exercice 59 Une tuile d’une masse de 2 kg se metà glisser du haut d’un toit dont le sommet se trouveà 30 m. Au moment où elle quitte le toit, sa hauteurvaut 25 m (on ne tient pas compte du frottement dela tuile sur le toit). Calculez la distance au pied dutoit à laquelle la tuile arrivera au sol. L’angle du toitpar rapport à l’horizontale vaut 15◦.

Exercice 60 Une voiture de deux tonnes roulant ho-rizontalement augmente sa vitesse de 5 à 10 km/h.Quelle est l’augmentation de son énergie cinétique ?

I.1.12 Relatif à l’énergie hydraulique

Exercice 61 Robinson Crusoé décide de s’éclaireren construisant une petite centrale électrique quiamène l’eau à travers une conduite forcée en bamboud’une hauteur de 22 m. Le débit étant de 30 l/s et lerendement faible de l’ordre de 40%, calculez combiend’ampoules de 40 W il pourra utiliser s’il branche si-multanément un frigo de 1 kW et sa machine à laverde 1, 2 kW .

Exercice 62 Le même Robinson Crusoé veut préle-ver 5% de l’eau de sa rivière (hauteur de chute 22 m,débit 30 l/s et η = 40%) pour faire monter mécani-quement un petit ascenseur lui permettant de s’éleveren 2 mn de deux étages dans sa grotte. Si Robinson aune masse de 60 kg, que la hauteur d’un étage est de2 m et que les frottements représentent 50% de l’éner-gie nécessaire pour monter, y parviendra-t-il ?

Exercice 63 On désire fournir 3′000 kWh d’énergiependant une année à chacun des ménages d’une villede 30′000 habitants. Si le nombre moyen de personnes

112


par ménage est de deux et demi, quel doit être le débitde la conduite d’eau d’une hauteur de 74 m nécessairepour cela. Le rendement vaut η = 90%. Quel type deturbine faut-il choisir ?

I.1.13 Relatif à l’énergie éolienne

Exercice 64 Un vent de force 4 sur l’échelle Beau-fort, soufflant à 21, 6 km/h, fait tourner une éoliennedont les pales ont une longueur de 22 m. Quelle estla puissance du vent qui traverse cette éolienne ? Lamasse volumique de l’air est : ρ = 1, 293 kg/m3.

Exercice 65 Une éolienne a des pales dont l’extré-mité tourne à une vitesse de 277, 2 km/h et dont lalongueur vaut 30 m. Sachant qu’elle tourne à 90%de la limite de Betz et que la vitesse du vent est de32, 4 km/h, calculez sa vitesse de rotation en tr/s etla puissance qu’elle fournit. La masse volumique del’air est : ρ = 1, 293 kg/m3.

Exercice 66 Un particulier désire alimenter lalampe de son petit cabanon de jardin avec une éo-lienne. En admettant que le vent moyen qui va latraverser souffle à 14, 4 km/h (3 Beaufort), que lalampe nécessite une puissance de 40 W et que l’éo-lienne tourne à 40% de la limite de Betz, calculez lalongueur des pales nécessaires. La masse volumiquede l’air est : ρ = 1, 293 kg/m3.

I.1.14 Relatifs à l’énergie solaire

Exercice 67 On désire chauffer une masse de 100 ld’eau (ceau = 4′180 J/(kg ·◦ C)) en quatre heures.Quelle est la surface de panneaux solaire nécessaire.On donne B = 0, 8, K = 3 W/(m2 ·◦ C) et la dif-férence de température entre l’intérieur et l’extérieurdes capteurs ∆θ = 20◦C. La puissance du rayonne-ment incident est de 120 W/m2.

Exercice 68 Quel est le débit d’eau (ceau =4′180 J/(kg ·◦ C)) nécessaire pour évacuer l’énergieproduite par 5 m2 de capteurs solaires thermiques ca-ractérisés par B = 0, 7, K = 2 W/(m2 ·◦ C) et la dif-férence de température entre l’intérieur et l’extérieurdes capteurs ∆θ = 15◦C. La puissance du rayonne-ment incident est de 150 W/m2.

Exercice 69 Un particulier consomme2500 kWh/an d’énergie électrique. Il désire pro-duire lui-même une partie de cette énergie à l’aidede cellules solaires électriques. Il installe donc 8 m2

de panneaux photoélectriques. Cela lui permet-ilde subvenir à ses besoins ? Si non, quelle est lapuissance d’appoint dont il a besoin ? Il se trouvedans une région où la puissance solaire incidente estde 160 W/m2.

113

I.2. SOLUTIONS ANNEXE I. EXERCICES

I.2 Solutions

1 Comme le nombre de km est 1000 fois plus petitque le nombre de mètres et que 1 AL = 9, 46 ·1015 m,on a :

4, 238 AL = 4, 238 · 9, 46 · 1015

= 4 · 1016 m = 4 · 1013 km

Comme 1 pc ≈ 3 · 1016 m, on a :

4 · 1016 m ≈ 4 · 1016

3 · 1016= 1, 33 pc

2 La distance terre-soleil vaut 1, 496 · 1011 m. On adonc :

1, 496 · 1011 m = 1, 496 · 108 km

Par ailleurs, par définition de l’unité astronomique(UA), on a :

1, 496 · 1011 m = 1 UA

Finalement, avec 1 AL = 9, 46 · 1015 m, on a :

1, 496 · 1011 m =1, 496 · 1011

9, 46 · 1015

= 1, 58 · 10−5 AL ∼= 16 µAL

L’exercice 1 nous indique que l’étoile la plus prochede nous est à 4, 238 AL. On a donc :

4, 238

1, 58 · 10−5= 2, 68 · 105 ×

Alpha du Centaure se trouve donc à 268′228× la dis-tance terre-soleil.

3 Le diamètre de notre galaxie est de 80′000 AL.L’exercice 1 nous indique que la distance à Alphadu Centaure vaut 4, 238 AL. Ainsi, on a :

80′000

4, 238= 18′877×

Le diamètre de la galaxie représente donc 18′877× ladistance à l’étoile la plus proche de nous.

4 La distance terre-lune est beaucoup plus grandeque le diamètre de la lune. L’angle est donc petit eton peut écrire la relation d’arc donnée par l’équationA.1 :

D = 2 · Rlune = d · α ⇒ α =2 · Rlune

dterre−lune

α =2 · 0, 2725 · 6, 371 · 106

3, 84 · 108= 0, 009 rad

Comme 180◦ = π radians, l’angle considéré est :

α = 0, 009 · 180

π= 0, 5157◦

Comme un degré vaut soixante minutes d’arc, 1◦ =60′, on a :

α = 0, 5157◦ = 0, 5157 · 60 = 31′

et :α = 31′ = 31 · 60 = 1860′′

5 Dans 1 m3, on trouve 1000 dm3 et 106 cm3. Ainsi,dans 1 m3, on trouve un million de fois plus d’atomesque dans 1 cm3. On a donc par m3 :

nb atomes = 0, 1 · 104 · 106 = 109 atomes

Et par litre, c’est-à-dire par dm3 :

nb atomes = 0, 1 · 104 · 103 = 106 atomes

6 La relation d’arc donnée par l’équation A.1 nouspermet d’écrire :

L = R · α ⇒ R =L

α

Avec la longueur L en m et l’angle α en rad :

L = 5000 · 160 = 8 · 105 m

α = 7, 5 · π

180= 0, 13 rad

Ainsi, le rayon de la terre d’Eratosthène valait :

R =8 · 105

0, 13= 6′111′550 m = 6′111, 55 km

114

ANNEXE I. EXERCICES I.2. SOLUTIONS

Sachant que la valeur actuelle du rayon moyen de laterre vaut :

Rterre = 6′371, 03 km

à l’aide de l’équation C.1, on peut déterminer l’écartentre les deux valeurs :

e =6′371, 03− 6′111, 55

6′371, 03· 100 = 4, 1%

7 Par définition, le déplacement se calcule par :

D = ∆x = xf − xi = −5 − 0 = −5 m

Et la distance parcourue est la distance réellementeffectuée :

d = 10 + 1 + 11 + 5 = 27 m

8 Pour passer de km/h en m/s, il faut diviser par unfacteur de 3, 6. En effet :

120 km/h =120 · 103 m/h

3600 s/h=

120

3, 6= 33, 3 m/s

Ainsi, la distance parcourue en deux secondes est :

d = v · t = 33, 3 · 2 = 66, 6 m

9 Comme la position au bout de 10 s se calcule par :

x(10 s) = −2 · 10 + 20 = 0 m

le déplacement est donné par :

D = ∆x = xf − xi = 0 − 0 = 0 m

Selon l’équation de la position donnée ici, le mouve-ment de l’objet est le suivant :

1. à la vitesse constante de 2 m/s l’objet se déplacependant 4 s,

2. il s’arrête de 4 à 6 s et

3. il revient en arrière à la vitesse de −2 m/s de 6à 10 s.

Ainsi, l’objet parcourt dans un premier temps 2 · 4 =8 m en avant et dans un second temps 8 m en arrière.La distance parcourue est donc :

d = 8 + 8 = 16 m

10 Deux raisonnements sont possibles :– On s’imagine être dans un train qu’on ne voit pas

bouger. Sa vitesse par rapport à nous est nulle.L’autre train se trouve au départ à une distancede 12 km et se déplace par rapport à nous à unevitesse relative de 200 km/h (sa vitesse et notrevitesse sont cumulées). Ainsi, on peut écrire :

v =∆x

t⇒ t =

∆x

v=

12

200= 0, 06 h

– On définit le zéro du système d’axes à la positiondu premier train au moment où ils sont séparésde 12 km. L’équation de la position du premiertrain est alors :

x1 = 100 · t

Comme la position initiale du second train vaut12 km et qu’il s’approche, sa vitesse est négativeet l’équation de sa position au cours du tempsest :

x2 = −100 · t + 12

La condition de rencontre s’écrit alors :

x1 = x2

100 · t = −100 · t + 12 ⇒

200 · t = 12 ⇒ t =12

200= 0, 06 h

Le premier raisonnement se fait par rapport à l’undes objets en mouvement. Il est dit relatif. Le secondraisonnement se fait par rapport à un référentiel com-mun : le sol. Il est dit absolu.

Mais quel que soit le référentiel, le résultat est lemême.

11 Deux raisonnements sont possibles :– On s’imagine être dans le camion qu’on ne voit

pas bouger. Sa vitesse par rapport à nous estnulle. La voiture, elle, se trouve au départ à unedistance de 0, 6 km et se déplace par rapport ànous à une vitesse relative de 110−80 = 30 km/h(sa vitesse est diminuée de notre vitesse, puis-qu’on la fuit). Ainsi, on peut écrire :

v =∆x

t⇒ t =

∆x

v=

0, 6

30= 0, 02 h

115


– On définit le zéro du système d’axes à la posi-tion de la voiture au moment où la voiture et lecamion sont séparés de 0, 6 km. L’équation de laposition de la voiture est alors :

xv = 110 · t

Comme la position initiale du camion vaut0, 6 km et qu’il va dans la même direction quela voiture, l’équation de sa position au cours dutemps est :

xc = 80 · t + 0, 6


xv = xc

110 · t = 80 · t + 0, 6 ⇒

30 · t = 0, 6 ⇒ t =0, 6

30= 0, 02 h

Le premier raisonnement se fait par rapport à l’undes objets en mouvement. Il est dit relatif. Le secondraisonnement se fait par rapport à un référentiel com-mun : le sol. Il est dit absolu.

Mais quel que soit le référentiel, le résultat est lemême.

12 On sait que le rayon de la terre vaut environ6′400 km. Sa circonférence vaut donc :

C = 2 · π · r ≈ 2 · 3 · 6′000 = 36′000 km ≈ 40′000 km

Sa vitesse se calcule donc ainsi :

v =C

t≈ 40′000

24≈ 40′000

25

= 40′000 · 4

100= 400 · 4 = 1′600 km/h

En réalité, on a :

v =2 · π · r

t=

2 · π · 6′371

24= 1668 km/h

Ce qui correspond à un écart (équation C.1) de :

e =1668− 1600

1668· 100 = 4%

Ce qui est un bon écart, compte tenu des grosses ap-proximations faites.

13 Le temps donné ttot est constitué du temps tboule

mis par la boule pour aller frapper celle de l’adver-saire et du temps tson mis par le son pour revenir sefaire entendre par le joueur. On a donc :

ttot = 1, 2 = tboule + tson

Or, pour avoir la vitesse de la boule sur les 9 m de sonparcours, il nous faut tboule. Pour cela, il faut donccalculer tson, qui est le temps mis pas le son pourparcourir 9 m à la vitesse de 343 m/s :

v =d

t⇒ t =

d

v=

9

343= 0, 026 s

Ainsi, le temps de parcours de la boule est :

tboule = 1, 2 − tson = 1, 2 − 0, 026 = 1, 174 s

Et la vitesse de la boule est finalement :

vboule =9

1, 174= 7, 666 m/s

14 Par définition de la vitesse moyenne, on a toutsimplement :

v =x2 − x1

t2 − t1=

−5, 2 − 3, 6

6, 8 − 3= −2, 32 cm/s

15 Par définition de l’accélération, on a :

a =vf − vi

t⇒

t =vf − vi

a=

0 − 50/3, 6

−3= 4, 63 s

16 On a simplement :

a =vf − vi

t=

10 − 0

9, 9= 1, 01 m/s2

17 On a successivement :– pour le DC 10 :

a =350/3, 6− 0

50= 1, 94 m/s2

– pour l’avion sur le porte-avions :

a =0 − 190/3, 6

5= −10, 56 m/s2

C’est une décélération et l’accélération est doncnégative.

116


Fig. I.3 – Graphes horaires du MRU.

– pour la capsule spatiale :

a =1450/3, 6− 0

3= 134 m/s2

18 Par définition de la vitesse moyenne, on a :

v =xf − xi

tf − ti=

−5 − 7

7 − 3= −3 m/s

Par définition de l’accélération moyenne, on a :

a =vf − vi

tf − ti=

−2 − 4

7 − 3= −1, 5 m/s2

19 Les graphes sont présentés à la figure I.3.La distance totale parcourue se calcule simple-

ment :

d = v · t =50

3, 6· 5 · 60 = 4′167 m

Sur le graphe de la vitesse en fonction du temps, ladistance parcourue apparaît simplement être l’airesous le graphe. En effet, la base t = 5 · 60 = 300 smultipliée par la hauteur v = 50/3, 6 = 13, 9 m/sdonne bien la distance parcourue.

20 On va décrire mathématiquement le mouvementdes voitures de sport et de police.

Les deux mouvements sont des MRU. On peutdonc écrire, dans un système d’axes dont l’origine estsur la voiture de police au moment où elle entame sapoursuite :

vpolice = 180 · tvsport = 160 · t + 1


vpolice = vsport ⇒ 180 · t = 160 · t + 1 ⇒20 · t = 1

t =1

20= 0, 05 h

La voiture de police se trouve alors à une distance del’origine du système d’axes de :

xpolice = 180 · 0, 05 = 9 km

Alors que la voiture de sport est à :

xsport = 160 · 0, 05 + 1 = 9 km

Ce qu’il fallait montrer.

21 Ici, aucune symétrie n’est présente. Comme lesdeux voitures ne sont pas à vitesse constante, onne peut calculer de vitesse relative pour résoudrele problème. Il faut donc procéder en décrivant lesdeux mouvements par rapport au sol. Ainsi, avec144 km/h = 40 m/s, on peut écrire :

MRU ⇒ xchauffard = 40 · t

MRUA ⇒ xpolice =1

2· 5 · t2

La condition de rencontre permet alors de trouver letemps cherché :

xchauffard = xpolice ⇒

40 · t =1

2· 5 · t2 ⇒

40 = 2, 5 · t ⇒ t = 16 s

car la solution t = 0 s est à rejeter. En effet, ellecorrespond au début de la poursuite.

La position à laquelle se trouvent les deux voitures,qui est en même temps la distance qu’elles ont par-courues, est alors :

xchauffard = 40 · 16 = 640 m

xpolice =1

2· 5 · 162 = 640 m

Les deux positions sont bien évidemment les mêmes.

117


Quant aux vitesse lors de la rencontre, elles sont :

vchauffard = 40 m/s = 144 km/h

vpolice = 5 · 16 = 80 m/s = 288 km/h

22 On fait l’hypothèse d’un MRUA. La voiture eststoppée sur une distance de 1, 5 m. On peut doncécrire :

v2 = v2o + 2 · a · d ⇒

02 = (50

3, 6)2 + 2 · a · 1, 5 ⇒

a = −13, 892

3= −64, 3 m/s2 = −6, 55 · g

Le temps de collision est donc de :

a =vf − vi

t⇒

t =vf − vi

a=

0 − 50/3, 6

−64, 3= 0, 216 s

23 Oublions la position du kangourou et calculonsla distance totale d’arrêt dt. Elle se compose de ladistance de réaction dr et la distance de freinage df :

dt = dr + df

Pour la distance de réaction, on a :

dr = v · t = 40 · 0, 8 = 32 m

Pour la distance de freinage, il faut faire l’hypothèsed’un MRUA. Comme le mouvement est une décélé-ration, c’est-à-dire un freinage, l’accélération est né-gative, et on a :

v2 = v2o + 2 · a · df ⇒

02 = 402 + 2 · (−8) · df ⇒

df =402

16= 100 m

Ainsi, la distance totale d’arrêt vaut :

dt = 32 + 100 = 132 m

Comme le kangourou se trouve à 70 m, son avenirs’annonce bien sombre.

24 Un objet qui n’est soumis qu’à son poids est enchute libre, même s’il monte. Ainsi, l’accélération duplongeur, comme du dauphin, dans sa phase d’ascen-sion vaut −9, 81 m/s2. En effet, on a une décéléra-tion. Comme celle-ci est constante et que la vitesseau sommet est nulle, on peut écrire pour le plongeur :

v2 = v2o + 2 · a · h ⇒

02 = v2o + 2 · (−9, 81) · 0, 5 ⇒

vo =√

2 · 9, 81 · 0, 5 = 3, 132 m/s = 11, 3 km/h

Et de la même manière, pour le dauphin :

vo =√

2 · 9, 81 · 6 = 10, 85 m/s = 39 km/h

25 Le plongeur est en chute libre. Son accélérationvaut donc g = 9, 81 m/s2. On fixe un axe verticaldont l’origine se situe à 10 m et qui pointe vers lebas. On peut alors écrire :

x =1

2· g · t2 + vo verticale · t ⇒

10 =1

2· 9, 81 · t2 + vo verticale · t

Avec dans le premier cas, comme dans le second, unevitesse initiale verticale nulle, on peut écrire :

10 =1

2· 9, 81 · t2 ⇒

t =

√

2 · 10

9, 81= 1, 43 s

Ce qui donne une vitesse juste avant d’entrer dansl’eau de :

v = a · t = 9, 81 · 1, 43 = 14 m/s = 50, 5 km/h

Le premier et le second cas ne sont pas différentsdu point de vue du temps de chute. Néanmoins, ladistance parcourue par le plongeur qui se déplace ho-rizontalement est plus grande que celle du plongeurqui se laisse tomber. Mais sa vitesse totale (horizon-tale et verticale) est aussi plus grande. On peut ainsicomprendre qu’ils arriveraient en bas simultanéments’ils partaient en même temps.

118


Le troisième cas est plus complexe puisqu’il fauttenir compte d’une vitesse vo = −1 m/s dans le senscontraire de l’axe :

10 =1

2· 9, 81 · t2 − 1 · t ⇒

0 = 4, 905 · t2 − t − 10

Ce qui constitue une équation à une inconnue (t),mais du second degré. Sa solution est donnée par :

t =1 ±

√

12 − 4 · 4, 905 · (−10)

2 · 4, 905

=1 ± 14

9, 81=

{

1, 53 s

−1, 33 s

Évidemment, la solution négative est à rejeter et lasolution positive est supérieure au temps de chutecalculé précédemment puisque le plongeur parcourtune certaine distance vers le haut avant de tomber.

26 Cet objet est en chute libre. Son accélération vautdonc g. On peut écrire pour un MRUA :

v2 = v2o + 2 · a · h ⇒

v =√

2 · g · h

27 Par définition de l’accélération, on a :

a =v − vo

t=

100/3, 6− 0

4= 6, 94 m/s2

La distance parcourue est alors :

d =1

2· 6, 94 · 42 = 55, 56 m

28 Le temps n’est pas donné. On doit donc écrire :

v2 = v2o + 2 · a · d ⇒

(100/3, 6)2 = (50/3, 6)2 + 2 · a · 59 ⇒

a =(100/3, 6)2 − (50/3, 6)2

2 · 59

= 4, 905 m/s2

Ce qui représente une accélération d’un demi g.

29 Le temps de chute est le même que celui d’unobjet tombant verticalement. En effet, seul le poidsest présent et l’objet est en chute libre. Ainsi, on peutécrire :

h =1

2· g · t2 ⇒ 5 =

1

2· 9, 81 · t2 ⇒

t =

√

2 · 59, 81

= 1, 01 s

Si la vitesse horizontale est constante, on peut encoreécrire pour la distance horizontale d parcourue :

d = vhoriz · t = 2 · 1, 01 = 2, 02 m

30 Commençons par calculer la distance qu’elle aparcouru pendant la phase de poussée. Pour cela, ona la vitesse moyenne v et le temps que dure le mou-vement. Ainsi, on peut poser :

dpoussee = v · t = 3 · 2 · 60 = 360 m

A ce moment-là, au bout de deux minutes et à 360 md’altitude, la poussée cesse (le moteur s’arrête). Si onimagine un axe y orienté vers le haut et dont l’originese situe au sol, on a donc une fusée qui se situe enyo = 360 m avec une vitesse vo = 4 m/s et qui n’estplus soumise qu’à son poids. Elle est donc en chutelibre, même si elle monte, et son accélération dirigéevers le bas, dans le sens contraire du mouvement, estune décélération qui vaut : g = −9, 81 m/s2. Pendantquelques instants, elle va donc encore monter jusqu’às’arrêter. Pour calculer la distance sur laquelle elles’arrête, comme on ne dispose pas du temps qu’ellemet pour le faire, on doit écrire :

v2 = v2o + 2 · a · d ⇒

02 = 42 + 2 · (−9, 81) · d ⇒

d =16

2 · 9, 81= 0, 8155 m = 81, 55 cm

Ainsi la hauteur totale à laquelle est parvenue la fuséevaut :

htot = 360 + 0, 8155 = 360, 8155 m

Pour déterminer le temps de vol, on dispose en pre-mier lieu du temps de poussée qui est de deux mi-nutes. Il faut encore calculer le temps de chute de la

119


fusée entre le moment ou la poussée cesse et celui ouelle arrive au sol. Pour cela, il faut écrire :

y =1

2· a · t2 + vo · t + yo ⇒

y =1

2· (−9, 81) · t2 + 4 · t + 360 ⇒

0 = −4, 905 · t2 + 4 · t + 360

car on cherche le temps mis pour arriver au sol, soità y = 0. C’est une équation du second degré à uneinconnue, dont la solution est :

t =−4 ±

√

42 − 4 · (−4, 905) · 360

2 · (−4, 905)

=−4 ± 84, 14

−9, 81=

{

−8, 17 s

8, 98 s

La solution t = 8, 98 s est évidemment la bonne.Le temps total est donc finalement de :

ttot = 2 · 60 + 8, 98 = 128, 98 s ≃ 2 mn 9 s

31 Pour Aristote, au moment où l’obus est sorti ducanon, plus aucune action horizontale vers l’avant nes’exerce sur lui. Il cessera donc de se déplacer hori-zontalement et retombera exactement là où il a quittéle canon.

Pendant l’élévation et la chute de l’obus, le scooteravance à vitesse constante. La distance dont il s’estdéplacé par rapport à l’obus (qui n’a selon Aristotepas bougé horizontalement) est donc de :

d = v · t =5

3, 6· 2 = 2, 76 m

32 Rappelons que selon Aristote, dès le moment oùon a lâché le couteau, plus aucune force horizontalene s’exerce sur lui et il va tomber parfaitement verti-calement. Or, le bateau avance pendant ce temps. Ladistance au pied du mât à laquelle tombe le couteauest donc de :

d = v · t =8

3, 6· 0, 8 = 1, 78 m

33 Pour connaître la vitesse de rotation de la terre àParis, il faut connaître la distance parcourue en 24 h.

Fig. I.4 – Chute aristotélicienne de la tour Eiffel.

Pour cela, il faut connaître sa distance r à l’axe derotation de la terre (voir figure I.4). On a d’après lafigure I.4 que :

r = R · cos(β) = 6′371 · cos(48, 8◦) = 4′197 km

car :

R = Rterre = 6′371 km

β = 48◦ 48′ = 48, 8◦

Ainsi, la vitesse de la tour Eiffel est :

v =2 · π · r

t=

2 · π · 4′197

24= 1099 km/h = 305 m/s

et, selon Aristote, pendant la chute de la pièce, laTour Eiffel devrait s’être déplacée de :

d = v · t = 305 · 2, 1 = 640, 5 m

Ce n’est évidemment pas le cas. L’inertie de la piècel’en empêche.

34 Le schéma de la situation est donné dans la figureI.5. La seconde équation de Newton s’écrit :

−→F +

−→P = m · −→a

En projection sur l’axe et en raison de la définitiondu poids, on a :

F − P = m · a ⇒ F = m · a + m · g

Or, comme l’accélération vaut :

a =vf − vi

t=

1000/3, 6− 0

60= 4, 63 m/s2

120


Fig. I.5 – Une fusée.

Fig. I.6 – Une remorque

on a :

F = 60 · 103 · 4, 63 + 60 · 103 · 9, 81 = 866′400 N

35 Le schéma de la situation est donné par la figureI.6.

La remorque avance à vitesse constante. La pre-mière loi de Newton nous indique alors que la sommedes forces qui s’exercent sur elle est nulle. On peutconsidérer successivement le cas des forces verticaleset celui des forces horizontales.

Verticalement, la position de la voiture ne changepas. Elle est verticalement à l’arrêt. La réaction dusol

−→R est donc égale en grandeur, mais opposée, au

poids−→P , comme présenté dans la figure I.6.

Horizontalement par contre, la remorque se dé-place. Mais elle le fait à vitesse constante et donc,là encore, la somme des forces horizontales quis’exercent sur elle est nulle. La force de frottement−→F fr est égale en grandeur et opposée à la force

−→F

exercée par la voiture pour tirer la remorque. Ainsi :

F = Ffr = 500 N

Si la voiture a une accélération, la situation desforces verticales ne change pas. On a toujours :

−→R =

−−→P . Par contre, la sommes des forces horizontales

n’est plus nulle. On a, selon l’axe de la figure I.6 :

F − Ffr = m · a ⇒F = m · a + Ffr = 500 · 5 + 500 = 3000 N

et la somme des forces qui s’exercent sur la remorqueest :

F − Ffr = m · a = 500 · 5 = 2500 N

36 Ce problème est identique au problème 34 de lafusée. Il suffit de remplacer la fusée par l’ascenseur etde considérer la force de propulsion de la fusée commela force de traction du câble. Considérons donc lafigure I.5. Selon l’axe considéré, on a :

F − P = m · a ⇒F = m · a + m · g = 260 · 4 + 260 · 9, 81

= 3590, 6 N

37 Pour que la voiture ralentisse, il faut que la forcequi s’exerce sur elle soit vers l’arrière. C’est la forcede frottement du sol sur les roues qui la freine. Eneffet, sur la glace elle ne s’exerce pas et la voiture nepeut freiner.

Tant la force que l’accélération sont donc dirigéesvers l’arrière. La décélération se calculant par :

v2 = v2o + 2 · a · d ⇒

a =02 − (50/3, 6)2

2 · 40= −2, 4 m/s2

on trouve aisément la force de frottement de la routesur les pneus qui ralentit la voiture :

Ffr = m · a = 2000 · (−2, 4) = −4′822, 5 N

Elle est négative, donc bien dirigée vers l’arrière.

38 Ce problème illustre bien l’importance du choixdu système. Comme tout se déroule horizontalement,on ne va considérer que les forces horizontales. Lesverticales existent, mais n’interviennent pas.

121


1. Comme on cherche la force nécessaire à l’aug-mentation de vitesse du train dans son entier,considérons pour système le train entier. Samasse totale est M = 300 · 103 kg. Son accélé-ration est :

a =vf − vi

t=

10/3, 6− 0

60= 0, 046 m/s2

On peut donc écrire :

Ftot = M · a = 300 · 103 · 0, 046 = 13′889 N

2. Cette fois-ci, on cherche la force exercée sur unepartie du train : les wagons. On ne va donc consi-dérer comme système que les wagons. Une seuleforce F les tire vers l’avant avec la même accélé-ration que celle du train dans son ensemble. Leurmasse est m = 250 · 103 kg. On a donc :

F = m · a = 250 · 103 · 0, 046 = 11′500 N

Valeur inférieure à celle du point précédent, caril ne faut pas tirer la locomotive.

3. Ici, le système est évidemment la locomotiveseule de masse m′ = 50 · 103 kg. On peut donccalculer l’accélération :

Ftot = m′ · a ⇒

a =Ftot

m′=

13′889

50 · 103= 0, 28 m/s2

et finalement le temps :

a =vf − vi

t⇒ t =

10/3, 6− 0

0, 28= 10 s

39 Pendant la montée, la balle subit deux forces ex-térieures vers le bas : son poids P = m · g et la forcede frottement Ffr. En prenant un axe vertical dirigévers le haut, on peut donc écrire :

∑

F ext = −m · g − Ffr = m · a ⇒−0, 1 · 9, 81 − 0, 05 = 0, 1 · a ⇒

a = −10, 31 m/s2

La balle a donc une décélération constante. Ainsi ils’agit d’un MRUA et, connaissant les vitesses initialeet finale et l’accélération, on peut écrire :

v2 = v2o + 2 · a · h ⇒

0 = 22 − 2 · 10, 31 · h ⇒h = 0, 194 m = 19, 4 cm

Évidemment, elle monte moins haut que s’il n’y avaitpas de frottements.

40 La première phase du mouvement se déroule à vi-tesse constante. La distance parcourue pendant cinqminutes, c’est-à-dire 1/12 h, est donc donnée par :

dMRU = vo · t = 10′000 · 1

12= 833, 3 km

La seconde phase du mouvement se déroule à accé-lération constante. En effet, la force de poussée et lamasse étant constantes, on peut écrire :

∑

F ext = P = m · a ⇒1000 = 9′000 · a ⇒

a = 0, 111 m/s2

Connaissant l’accélération, on peut ensuite calculerla distance parcourue en MRUA grâce au temps depoussée :

dMRUA =1

2· a · t2 + vo · t

=1

2· 0, 111 · 302 +

10′000

3, 6· 30

= 83′383, 3 m = 83, 4 km

Au total, la distance parcourue est donc de :

dtot = dMRU + dMRUA = 833, 3 + 83, 4 = 916, 7 km

41 Son accélération, supposée constante, est donnéepar :

v2 = v2o + 2 · a · d ⇒

(0, 01 · 3 · 108)2 = 02 + 2 · a · 30 ⇒a = 1, 5 · 1011 m/s2

122


La force totale qui s’exerce sur lui est alors donnéepar :

Ftot = m · a = 9, 1 · 10−31 · 1, 5 · 1011 = 1, 37 · 10−19 N

42 Tant que l’araignée ne bouge pas, la force exercéepar le fil est égale à son poids, c’est-à-dire :

F = m · g = 0, 005 · 9, 81 = 0, 049 N

Pendant sa chute, la seconde loi de Newton permetd’écrire, en utilisant un axe dans le sens de la chute :

∑

F ext = m · g − F = m · a ⇒0, 005 · 9, 81− 0, 01 = 0.005 · a ⇒

a = 7, 81 m/s2

Avec une vitesse initiale nulle, le temps de chute surune hauteur de 2 m est :

h =1

2· a · t2 ⇒

t =

√

2 · ha

=

√

2 · 27, 81

= 0, 716 s

Et la vitesse finale est alors :

v = a · t = 7, 81 · 0, 716 = 5, 59 m/s

43 L’ensemble se comporte comme un système enune dimension dont l’accélération se fait dans le sensde la masse la plus grande et qui est freiné par lamasse la plus faible. Si on définit le sens positif del’axe dans le sens du mouvement, on peut écrire :

∑

F ext = m2 · g − m1 · g = (m1 + m2) · a ⇒3 · 9, 81 − 2 · 9, 81 = (2 + 3) · a ⇒

a = 1, 962 m/s2

44 La figure I.7 présente la situation.On choisit comme système la personne. Les forces

extérieures sont alors :– son poids

−→P et

– la force−→R exercée par la balance sur la personne.

Sa réaction, la force exercée par la personne surla balance, permet à cette dernière de donner uneindication du poids de la personne, indiqué mal-heureusement en kilogrammes (et non en new-ton, comme cela devrait être le cas) par la ba-lance.

Fig. I.7 – Un ascenseur

Selon l’axe donné, on peut écrire :

R − P = m · a ⇒ R = m · a + m · g

A partir de là, on peut considérer les différents cas :

1. Quand l’ascenseur prend de la vitesse, l’accélé-ration vaut 2 m/s2. La réaction de la balance estalors :

R = 70 · 2 + 70 · 9, 81 = 826, 7 N

et la balance indiquerait :

m =826, 7

9, 81= 84, 3 kg

La personne a un poids plus important qu’à l’ar-rêt et donc l’indication donnée en terme de massepar la balance pourrait laisser croire à ... de l’em-bonpoint.

2. Pendant la phase à vitesse constante, l’accéléra-tion vaut 0 m/s2. La réaction de la balance estalors :

R = 70 · 0 + 70 · 9, 81 = 686, 7 N


m =686, 7

9, 81= 70 kg

La personne a le même poids qu’à l’arrêt et doncl’indication donnée en terme de masse par la ba-lance est juste.

123


3. Quand l’ascenseur perd de la vitesse, l’accéléra-tion vaut −3 m/s2. La réaction de la balance estalors :

R = 70 · (−3) + 70 · 9, 81 = 476, 7 N


m =476, 7

9, 81= 48, 6 kg

La personne a un poids moins important qu’àl’arrêt et donc l’indication donnée en terme demasse par la balance pourrait laisser croire à ...une maladie.

On voit qu’une balance indique quelque chose de re-latif à l’état de mouvement de la personne. Elle n’in-dique donc pas une quantité de matière, c’est-à-direune masse. Une balance devrait donc être graduée ennewtons. Elle l’est en kg, car on a l’habitude de sepeser à l’arrêt (bien que ... la terre tournant ...) et àla surface de la terre. Dans ce cas bien précis, il suffiten effet de diviser son indication (ou de reporter faceà la graduation une indication de masse) par g pourobtenir la masse.

45 La loi de la gravitation universelle donne :

F = G · M · md2

= 6, 67 · 10−11 · 1 · 10, 52

= 2, 668 · 10−10 N

46 Le poids à la surface de la terre peut être calculéde deux manières. A l’aide de la loi de la gravitationuniverselle et à l’aide de sa définition P = m · g. Ils’agit de la même force. On peut donc écrire :

m · g = G · Mterre · mR2

terre

⇒

g = G · Mterre

R2terre

⇒

Mterre =g · R2

terre

G

=9, 81 · (6′372 · 103)2

6, 67 · 10−11= 5, 97 · 1024 kg

47 Comme au problème 46, on a :

g = G · M

R2

Mais ici il s’agit de la lune. Ainsi :

glune = G · Mlune

R2lune

= 6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022

(1, 738 · 106)2

= 1, 62 m/s2

48 On a simplement :

F = k · x = 800 · 0, 1 = 80 N

49 Une masse de 100 g exerce une force

F = m · g = 0, 1 · 9, 81 = 0, 981 N

sur le ressort. On a donc :

F = k · x ⇒ k =F

x=

0, 981

0, 12= 8, 175 N/m

50 L’accélération de la voiture est (hypothèseMRUA) :

v2 = v2o + 2 · a · d ⇒

a =v2 − v2

o

2 · d =13, 82

2 · 40

= 2, 41 m/s2

La force exercée par la route sur les pneus est doncde :

Ffr = m · a = 2000 · 2, 41 = 4822, 5 N

Or, par définition de la force de frottement sec, on a :

Ffr = µ · R = µ · m · g ⇒

µ =Ffr

m · g =4822, 5

2000 · 9, 81= 0, 25

51 La force maximale entre les pneus et la route estdonnée par :

Ffr = µo · R = µo · m · g

On a alors :

124


1. Avec les roues avant uniquement, la force maxi-male est :

Ffr = 0, 5 · 600 · 9, 81 = 2943 N

Et l’accélération :

a =Ffr

m=

2943

1000= 2, 943 m/s2

2. Avec les roues arrière uniquement, la force maxi-male est :

Ffr = 0, 5 · 400 · 9, 81 = 1962 N


a =Ffr

m=

1962

1000= 1, 962 m/s2

3. Avec les roues avant et arrière ensembles, la forcemaximale est :

Ffr = 0, 5 · 1000 · 9, 81 = 4905 N


a =Ffr

m=

4905

1000= 4, 905 m/s2

52 Par définition du travail, on a :

A =−→F · −→d = F · d · cos(α)

= 15 · 20 · cos(10◦) = 295, 4 J

53 La seconde loi de Newton permet de calculer lavaleur de la force de traction :

F − m · g = m · a ⇒F = m · a + m · g

= 50 · 4 + 50 · 9, 81 = 690, 5 N

La force de traction et le déplacement étant parallèleset de même sens, on a :

A =−→F · −→d = F · d = 690, 5 · 100 = 69′050 J

54 Par définition de l’énergie potentielle, on a :

Epot = m · g · h = 50 · 9, 81 · 100 = 49′050 J

Pour le calcul de l’énergie cinétique, si on fait l’hypo-thèse d’un MRUA, la vitesse de la masse au bout de100 m est :

v2 = v2o + 2 · a · d ⇒

v =√

2 · a · d =√

2 · 4 · 100 = 28, 3 m/s

et l’énergie cinétique est alors :

Ecin =1

2· m · v2 =

1

2· 50 · 28, 32 = 20′022, 25 J

55 Dans chacun des cas, l’énergie cinétique se calculepar :

Ecin =1

2· m · v2

– Un bon coureur met environ 10 s pour parcourir100 m. Sa vitesse moyenne est donc de :

v =d

t=

100

10= 10 m/s

Son énergie cinétique est donc de :

Ecin =1

2· 80 · 102 = 4000 J

– Simplement, on calcule l’énergie cinétique :

Ecin =1

2· 800 · 102 = 40′000 J

– Il faut mettre la masse en kg pour calculer l’éner-gie cinétique :

Ecin =1

2· 0, 01 · 8002 = 3200 J

56 Procédons par étapes :– si on monte de 4 m, le poids et le déplacement

sont opposés et le travail du poids est :

A = m · g · d · cos(α)

= 3 · 9, 81 · 4 · cos(180) = −117, 72 J

– lors d’un déplacement horizontal, le poids et ledéplacement sont perpendiculaires et le travailest nul (car cos(90◦) = 0),

125


– si on descend de 4 m, le poids et le déplacementsont dans le même sens et le travail du poids est :

A = m · g · d · cos(α)

= 3 · 9, 81 · 4 · cos(0) = 117, 72 J

– lors d’un déplacement horizontal, le poids et ledéplacement sont perpendiculaires et le travailest nul (car cos(90◦) = 0).

Ainsi, le travail total est la somme des travaux pourchaque déplacement :

Atot = −117, 72 + 0 + 117, 72 + 0 = 0 J

Le travail du poids pour un parcours fermé est doncnul. On dit d’une telle force qu’elle est “conservati-ve”. Ce n’est que pour de telles forces qu’il existe uneénergie potentielle.

57 Pour rappel, résolvons tout d’abord le problèmeà l’aide de l’accélération. Nous sommes dans le casd’un MRUA. Donc, on peut écrire :

v2 = v2o + 2 · a · h ⇒

v =√

2 · 9, 81 · 10 = 14 m/s = 50, 4 km/h

Pour résoudre le problème à l’aide de l’énergie, ilfaut considérer que toute l’énergie potentielle de lapersonne en haut du plongeoir se transforme graduel-lement en énergie cinétique pendant sa chute. Si lezéro de l’énergie potentielle est choisi au niveau del’eau, le plongeur n’a plus d’énergie potentielle lors-qu’il l’atteint. Elle s’est entièrement transformée enénergie cinétique. On peut donc écrire :

m · g · h =1

2· m · v2 ⇒

v =√

2 · 9, 81 · 10 = 14 m/s = 50, 4 km/h

et le problème est résolu.

Cependant, il faut remarquer que l’égalité del’énergie potentielle et de l’énergie cinétique dérivedu théorème de conservation de l’énergie mécanique.

En effet, comme c’est le cas ici, en l’absence de forcesnon conservatives, on peut écrire :

∆Emec = 0

Emecf − Emeci = 0

Epotf + Ecinf − Epoti − Ecini = 0

0 +1

2· m · v2 − m · g · h − 0 = 0

⇒ 1

2· m · v2 = m · g · h

Remarquons enfin, que le problème est ici toutaussi facile à résoudre des deux manières. Cepen-dant, dans le premier cas, on a pu le faire car on saitqu’une chute libre est un MRUA. Pour d’autres typesde mouvements, qui ne sont pas des MRUA, pourtrouver la vitesse à partir de l’accélération, il faut ré-soudre une intégrale. Et là, cela peut être beaucoupplus difficile qu’en utilisant l’énergie.

58 On utilisera pas ici la méthode newtonienne,même si le problème peut être résolu de cette ma-nière.

Fixons le zéro de l’énergie potentielle là où l’objetdécolle. Alors, son énergie potentielle est nulle et sonénergie cinétique maximale. En montant, il perd gra-duellement de l’énergie cinétique au profit de l’éner-gie potentielle. Arrivé au sommet de sa trajectoire,il s’arrête brièvement et son énergie potentielle estmaximale alors que son énergie cinétique est nulle.On peut donc dire que toute son énergie cinétiquedu départ s’est transformée en énergie potentielle ausommet et écrire :

1

2· m · v2 = m · g · h ⇒

h =v2

2 · g =102

2 · 9, 81= 5, 1 m

59 Commençons par calculer la vitesse à laquelle latuile quitte le toit. La conservation de l’énergie mé-canique implique que :

m · g · ∆h =1

2· m · v2 ⇒

v =√

2 · g · ∆h

=√

2 · 9, 81 · (30 − 25) = 9.9 m/s

126


Cette vitesse est un vecteur qui fait avec l’horizontaleun angle de 15◦. La balistique (voir annexe 2.5.4)nous apprend qu’il faut décomposer le mouvementsur chaque axe. En particulier la vitesse initiale a lescomposantes suivantes :

vx = v · cos(α) = 9, 9 · cos(−15◦) = 9, 56 m/s

vy = v · sin(α) = 9, 9 · sin(−15◦) = −2, 56 m/s

puisque le vecteur vitesse pointe sous l’horizontale(α < 0).

En choisissant un système d’axes dont l’origine estau sol et au pied du bord du toit, on peut alors écrireles équations de la position de la tuile au cours dutemps :

x(t) = vx · t = 9, 56 · t

y(t) = −1

2· 9, 81 · t2 + vy · t + yo

= −1

2· 9, 81 · t2 − 2, 56 · t + 25

On cherche alors la position horizontale de la tuileau moment où elle arrive au sol, soit x(tsol). Il fautdonc calculer tsol. Or, à ce moment là, y(tsol) = 0.La seconde équation nous donne donc :

0 = −1

2· 9, 81 · t2sol − 2, 56 · tsol + 25

⇒ −4, 905 · t2sol − 2, 56 · tsol + 25 = 0

C’est une équation du second degré à une inconnuetsol. Sa solution est :

tsol =2, 56 ±

√

2, 562 + 4 · 4, 905 · 25

2 · (−4, 905)

=2, 56 ± 22, 3

−9, 81=

{

−2, 53 s

2 s

Évidemment, le temps correct est celui qui est positif.Ainsi, tsol = 2 s. La distance au pied du toit à

laquelle la tuile arrivera est donc :

x(tsol) = vx · tsol = 9, 56 · 2 = 19, 12 m

60 Simplement, on a :

∆Ecin =1

2· m · v2

f − 1

2· m · v2

i

=1

2· 2000 · (( 10

3, 6)2 − (

5

3, 6

2

)) = 5787 J

61 La puissance de chute est :

P = η · Q · g · h =

= 0, 4 · 30 · 10−3 · 9, 81 · 22 = 2, 59 kW

La chute à donc une puissance de 2590 W . Son frigoet sa machine à laver ont une puissance totale de2, 2 kW . Reste donc 2590 − 2200 = 390 W pour lesampoules. Or, 390/40 = 9, 75 . Robinson pourra doncutiliser 9 ampoules.

62 Le débit de la prise d’eau est de :

Q = 0, 05 · 30 = 1, 5 l/s = 1, 5 · 10−3 m3/s

La puissance de chute est donc de :

P = η · Q · g · h =

= 0, 4 · 1, 5 · 9, 81 · 22 = 129, 5 W

Or, faire monter une masse de 60 kg d’une hauteurde deux étages, soit 4 m, demande une énergie de :

E = m · g · h = 60 · 9, 81 · 4 = 2′354, 4 J

Compte tenu des frottements, l’énergie totale néces-saire est de 2 · 2′354, 4 = 4′708, 8 J . Soit, pour unemontée en 2 mn, une puissance de :

P =E

t=

4′708, 8

2 · 60≃ 40 W

Ainsi, si 40 W sont nécessaire, Robinson n’utilise cer-tainement pas les quelques 130 W fournis par la chuted’eau. L’ascenseur est donc réalisable.

63 Le nombre de ménages est de 30′000/2, 5 =12′000. Il faut donc fournir une énergie de :

E = 12′000 · 3′000 = 36′000′000 kWh = 36 GWh

127


Sur une année, cette énergie représente une puissancemoyenne de :

P =E

t=

36 · 109

365 · 24= 4′110 W

On a alors :

P = η · Q · g · h ⇒

Q =P

η · g · h

=4′110

0, 9 · 9, 81 · 74= 6, 3 m3/s

Il faut donc choisir une turbine Francis.

64 La puissance du vent est donnée par la relation4.12 :

Pvent =1

2· ρ · S · v3

Soit avec une surface S = π · R2, une vitesse en SIv = 6 m/s et les valeurs données :

Pvent =1

2· 1, 293 · π · 222 · 63

= 212′333 W = 212, 333 kW

65 La vitesse linéaire en bout de pale vaut donc :

v =277, 2

3, 6= 77 m/s

Or, un tour représente une distance en bout de pale :d = 2 · π · 30 = 188, 5 m. La vitesse de rotation estdonc de :

v =77

188, 5= 0, 41 tr/s

La puissance du vent vaut, selon l’équation 4.12 :

Pvent =1

2· 1, 293 · π · 302 · (32, 4

3, 6)3

= 1′332′565 W = 1′332, 6 kW

Comme l’éolienne tourne à η = 90% de la limite deBetz, on a, selon l’équation 4.14 :

∆P = η · 16

27· Pvent

= 0, 9 · 0, 593 · 1′332′565 =

= 710′701 W = 710 kW

66 On a, selon l’équation 4.14, que :

∆P = η · 16

27· Pvent ⇒

Pvent =27 · ∆P

16 · η

=27 · 40

16 · 0, 4= 168, 75 W

Il s’agit de la puissance du vent nécessaire pour ali-menter l’ampoule. On a donc, selon l’équation 4.12 :

Pvent =1

2· ρ · S · v3

=1

2· ρ · π · R2 · v3 ⇒

R =

√

2 · Pvent

ρ · π · v3

=

√

2 · 168, 75

1, 293 · π · 43

= 1, 14 m

Il faut donc utiliser une petite éolienne de 1, 14 m derayon.

67 L’équation 4.9 permet de calculer la puissance∆P nécessaire pour chauffer une masse de 100 kgd’eau :

∆P =E

t=

m · ceau · ∆θ

t

=100 · 4′180 · 20

4 · 3600= 581 W

L’équation 4.16 nous donne alors la surface cherchéeS :

∆P = S · (B · P − K · ∆θ) ⇒

S =∆P

B · P − K · ∆θ

=581

0, 8 · 120 − 3 · 20= 16, 2 m2

68 On calcule tout d’abord la puissance fournie parles capteurs :

∆P = S · (B · P − K · ∆θ) ⇒= 5 · (0, 7 · 150 − 2 · 15) = 375 W

128

NOTES NOTES

Cela signifie que les capteurs produisent une énergieE = 375 J/s. Chaque seconde, il faut donc évacuercette énergie. La masse d’eau nécessaire pour cela estdonnée par l’équation 4.9 :

E = m · ceau · ∆θ ⇒

m =E

ceau · ∆θ

=375

4′180 · 15= 6 g

C’est une masse qui correspond à un volume de :

ρ =m

V⇒

V =m

ρ=

6 · 10−3

1= 6 ml

En effet, la masse volumique de l’eau est de 1 kg/l.Le débit est donc très faible et vaut D = 6 ml/s =21, 6 l/h.

69 L’énergie annuelle produite par les 8 m2 de cel-lules est, compte tenu d’un rendement d’environ 15%,c’est-à-dire 20 W/m2 :

E = 8 · 20 · 24 · 365 = 1′401, 6 kWh

La couverture solaire ne suffit donc pas. Il manque2′500 − 1′401, 6 = 1′098, 4 kWh. Cela représente unepuissance de :

P =E

t=

1′098, 4

24 · 365= 125, 4 kW

Notes1Voir le site du télescope spatial Hubble : http://hubble.

nasa.gov/multimedia/astronomy.php notamment pour le co-pyright de l’image. Remerciements à la NASA.

2Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://

fr.wikipedia.org/wiki/Image:End_of_universe.jpg notam-ment pour le copyright de l’image. Remerciements à la NASA.

3Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://en.

wikipedia.org/wiki/Image:Giordano_Bruno.jpg4Voir le site de l’encyclopédie wikipedia : http://commons.

wikimedia.org/wiki/Image:Vie_du_soleil.jpg5Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://fr.

wikipedia.org/wiki/Accueil notamment pour le copyright del’image. Remerciements à son auteur Greg Goebel.

6Voir le site du télescope spatial Hubble : op cit. Remercie-ments à la NASA.

7Voir le site du télescope spatial Hubble : ibid. Remercie-ments à la NASA.

8Voir le site du télescope spatial Hubble : ibid. Remercie-ments à la NASA.

9Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan%C3%A8tes_

extrasolaires10Voir le site de l’encyclopédie wikipedia : http://fr.

wikipedia.org/wiki/Image:Solar_sys.jpg Remerciements àla NASA.

11Voir le site de l’encyclopédie : http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Portrait_de_famille_%281_px_%3D_1000_km%29.

jpg Remerciements à la NASA.12voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nuage_de_Oort13Voir le site du télescope spatial Hubble : ibid. Remercie-

ments à la NASA.14Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://commons.

wikimedia.org/wiki/Image:Moon_Earth_Comparison.png.Remerciements à la NASA.

15Voir le site de l’encyclopédie : http://commons.

wikimedia.org/wiki/Image:TerreOrbiteLuneEtPhases.png16Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://fr.

wikipedia.org/wiki/Image:Orbite-lune-soleil.png17Voir aux sujet des éclipses l’excellent site de l’institut de

mécanique céleste : http ://www.imcce.fr/18Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://

fr.wikipedia.org/wiki/Image:Crab_Nebula.jpg notammentpour le copyright de l’image.

19Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://fr.

wikipedia.org/wiki/Accueil notamment pour le copyright del’image. Remerciements à son auteur Christophe Dang NgocChan.

20Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://fr.

wikipedia.org/wiki/Accueil notamment pour le copyright del’image. Remerciements à son auteur Pickwick.

21Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:8orbitals.jpg notamment pourle copyright de l’image.

22Voir : http://cui.unige.ch/isi/ssc/phys/

Rubbia-Klapisch.html

129

NOTES NOTES

23Voir le site de la NASA (notamment pour le co-pyright : sans copyright) : http://grin.hq.nasa.gov/

ABSTRACTS/GPN-2002-000069.html24Les missions Apollo : http://perso.wanadoo.fr/

alexandre.schwenk/index.htm25Voir le site de Wikicommon (notamment pour le co-

pyright : sans copyright) : http://commons.wikimedia.org/

wiki/Image:Andromeda_collision.jpg26Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Galilee.jpg27Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/La_Physique_

%28Aristote%2928Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Aristotle_

by_Raphael.jpg29Voir http://en.wikipedia.org/wiki/Image:

GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg30Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://

commons.wikimedia.org/wiki/Image:Cavendish-lab.jpg no-tamment pour le copyright de l’image.

31Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia :http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Rollercoaster_

Tornado_Avonturenpark_Hellendoorn_Netherlands.jpg32Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://commons.

wikimedia.org/wiki/Image:Finowkanal-treidel.jpg33Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://commons.

wikimedia.org/wiki/Image:Mozaic-garden009.jpg34Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:

Sadi_Carnot.jpeg35Voir le site : http://www.emosson-lac.ch/barrage.htm36Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:S_vs_pelton_

schnitt_1_zoom.png37Voir le site de l’encyclopédie : http://fr.wikipedia.org/

wiki/Image:Photoelectric_effect.png38Voir le site de l’encyclopédie : http://fr.wikipedia.org/

wiki/Image:4inch_poly_solar_cell.jpg39voir le site OutilsSolaires : http://www.outilssolaires.

com/pv/prin-bilan.htm40voir aussi l’étude : “Compared assessment of selected en-

vironmental indicators of photovoltaic electricity in OECD ci-ties” à l’adresse : http://www.eupvplatform.org/fileadmin/Documents/Brochure-indicateurs_26_pays.pdf

41Voir le site de l’encyclopédie : http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Tableau-lindal.jpg

42Voir le site de l’encyclopédie : http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Boiling_nuclear_reactor.png

43Voir le site de l’encyclopédie : http://commons.

wikimedia.org/wiki/Image:Combustion_methane.png44Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://en.

wikipedia.org/wiki/Image:Tychonian.gif notamment pourle copyright de l’image.

45Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Milky_Way_2005.jpg. Image dansle domaine public. Remerciements à la NASA.

46Voir le site http://www.dil.univ-mrs.fr/~gispert/

enseignement/astronomie/5eme_partie/voieLactee.php47Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http:

//commons.wikimedia.org/wiki/Image:Galileo_Galilei\

%2C_Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche_Intorno_a_

Due_Nuove_Scienze\%2C_1638_\%281400x1400\%29.png.48Voir le site de l’encyclopédie Wikipedia : http://fr.

wikipedia.org/wiki/Image:Navstar-2.jpg notamment pourle copyright de l’image. Remerciements à la NASA.

49Voir le site de RhônEole : http://www.rhoneole.ch/50Voir le site de Juvent : http://www.juvent.ch/51Voir les sites de Géothermie : http://www.

geothermal-energy.ch/ et http://www.ader.ch/

energieaufutur/energies/geothermie/index2.php52voir dépliant “Nos déchets = notre énergie” sur le site :

http://www.cridor.ch/content/doc/brochures.php

130

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Sylvie Vauclair (2006). La naissance des éléments.Du big bang à la terre. Odile Jacob, Paris.

131

Index

absolu, 11abstract, 80accélération, 27, 30, 31, 34–36, 44, 46, 47, 86

instantanée, 27moyenne, 27terrestre, 32, 33

accident nucléaire, 66action, 61

à distance, 46activité, 68air, 39Alexandrie, 101Alpha du Centaure, 101alternateur, 60, 61altitude, 47, 95amas de galaxies, 12Andromède, 13, 29, 30année, 17annexe, 80, 81antimatière, 23apesanteur, 35, 48apogée, 18Apollo, 28, 29Aristote, 30, 31, 34, 39–43atome, 21

naturel, 20attraction, 29, 34, 35, 42, 45Atwood, 105axe de rotation, 17axiomes, 42azote, 20

balistique, 32–35, 86balle, 32

barrage, 60, 97, 99, 100barre de contrôle, 67, 69béryllium, 21Betz, 63big bang, 12, 20boiller, 64bombes à hydrogène, 69bore, 21boson, 23Bruno Giordano, 13but du travail pratique, 80

canon, 86capsule, 29carbone, 20Carnot, 58Carnot Nicolas Léonard, 58carré

de la distance, 46du temps, 32

cartésien, 25cause

du changement du mouvement, 45du mouvement, 44

ceintured’astéroïde, 15de kuiper, 15

centrede l’univers, 40de la terre, 40

centrifuge, 48centripète, 48chaleur, 57, 58

spécifique, 58

132

INDEX INDEX

massique, 58chauffage, 63

urbain, 66cheval vapeur, 54choc galactique, 14chute libre, 30–32, 34, 46, 85cinéma, 25cinématique, 24, 25, 40

d’Aristote, 40cinq éléments, 40circulaire, 25clarté, 79, 84cœfficient de frottement

cinétique, 49statique, 49

comète, 16combustion

des ordures, 63du méthane, 69

concision, 79conclusion du travail pratique, 82conduction, 63conduite forcée, 97conservation de l’énergie, 56constante de la gravitation universelle, 46convection, 63conversion, 74coordonnée, 12, 25, 77, 78

circulaire, 35sphériques, 77

corpsponctuel, 46sphérique, 46

corpuscule, 23cosmologie, 12, 39

de Platon, 40courbure, 34, 35cristal, 49croûte terrestre, 66

date, 84débit, 60

aménagé, 97de restitution, 97

décélération, 45déchet radioactif, 68

déconstruction, 61défaut de masse, 66, 67demi-vie, 68déplacement, 26dérivée, 27description de l’expérience, 80désintégration, 21deutérium, 20diamètre apparent, 18dimension, 12, 25discussion, 82dissipation de l’énergie, 57distance

de freinage, 50parcourue, 26

dualité onde corpuscule, 23dynamique, 25, 35, 40

d’Aristote, 41dynamomètre, 48

eauélément, 39chaude sanitaire, 63, 64

écart, 82éclipse

annulaire, 18lunaire, 18solaire, 18totale, 18

écliptique, 15, 17–19, 77EE, 75effet

de serre, 70photoélectrique, 63, 65

Eiffel, 41Einstein, 35, 42électron, 20, 21ellipse, 15, 35elliptique, 16élongation, 50énergie, 53, 86

éolienne, 61cinétique, 55, 58, 60, 62de combustion, 69

des déchets, 100grise, 63, 65

133

INDEX INDEX

hydraulique, 59, 97interne, 58mécanique, 56non renouvelable, 66potentielle, 55, 58, 59renouvelable, 59solaire, 63

électrique, 65thermique, 63, 64

éolienne, 98, 99épicycle, 88équateur, 89

terrestre, 87équigravité, 29Eratosthène, 101erreur, 82

systématique, 82espace courbe, 35état

de mouvement, 40de repos, 43

éther, 39étoile, 13, 14, 16

à neutron, 83à neutrons, 14du matin, 15du soir, 15filante, 16nouvelle, 83polaire, 16

Everest, 47, 50exemple de calcul, 82EXP, 75expansion, 12, 13, 29, 83extrados, 62extrasolaire, 15

fermion, 23feu, 39filaments, 83fioul, 69fission, 67, 68fluide caloriporteur, 64, 68forage, 66, 100force, 40, 42–44, 47

électrique, 21, 46

électromagnétique, 45conservative, 55, 57de frottement, 55de gravitation, 35, 45, 47de réaction, 49dissipative, 55, 57extérieure, 44faible, 45fondamentale, 23, 45forte, 45, 67

freinage, 45frottement, 31, 33, 35, 42, 45, 48, 57

sec, 48fusion, 21, 69

galaxie, 13, 14, 29Galilée, 32, 41, 85Galilei Galileo, 32gaz

à effet de serre, 61, 63, 66, 70carbonique, 70interstellaire, 21naturel, 63, 69

géante rouge, 14, 21géostationnaire, 47, 95géothermie, 66, 100Giordano Bruno, 41grande ourse, 16grandeur, 83graphe horaire, 31, 84graphique, 81gravité, 29gravitation, 13, 29

universelle, 35graviton, 23

Heisenberg, 22hélium, 20hémisphère, 17Hooke, 46Hooke Robert, 46hydrogène, 20

imminence de glissement, 48immobilité de la terre, 88incertitude, 81, 82, 84

134

INDEX INDEX

inertie, 41, 87–89infini, 13interaction fondamentale, 23interstellaire, 13intrados, 62irrigation, 61

joule, 53jovienne, 15jupiter, 15

kilowattheure, 59kinêma, 25kWh, 59

latitude, 12, 78Leibnitz, 46lepton, 23liaison, 66

interatomique, 49libre, 31licence GFDL, 2lieu naturel de repos, 40ligne des nœuds, 19limite de Betz, 63, 99lithium, 20, 21Local Standard of Rest, 90loi

de l’action et de la réaction, 44de l’inertie, 43de la gravitation, 42de la gravitation universelle, 35, 45, 46, 95fondamentale, 42fondamentale de la dynamique, 44

lois fondamentales de la dynamique, 43longitude, 12, 78lune, 16, 28, 34, 48

noire, 18

marée noire, 66masse, 31, 44

critique, 67volumique, 60

mât, 99mazout, 69MCU, 35, 36, 39, 40, 47

mécanique, 24, 39d’Aristote, 42de Newton, 42

Mendeleïev, 14météorite, 16Michelson et Morley, 90minute d’arc, 74monde

sublunaire, 39, 48supralunaire, 48

Mont Soleil, 61moteur idéal, 58mouvement, 11, 24, 25

accéléré, 37balistique, 37central, 35circulaire, 34

uniforme, 35, 37, 39, 40, 95composé, 40divin, 40naturel, 35, 40rectiligne

uniformément accéléré, 30, 32uniforme, 28, 43

simple, 28, 84, 85uniforme, 37violent, 40

MRU, 28–30, 33–35, 84MRUA, 30, 32–35, 85, 86multiple, 74

naineblanche, 14noire, 14

nébuleuse, 13du crabe, 83planétaire, 14

neutrino électronique, 23neutron, 20, 21Newton, 29, 35, 39, 42, 48newton, 44Newton Isaac, 43notation

d’ingénieur, 74, 75scientifique, 74, 75

nouvelle lune, 18

135

INDEX INDEX

nuage de Oort, 16nucléon, 23, 66

obus, 32onde, 21, 23optique, 42orbite, 15–17, 28, 47, 77, 95

circulaire, 35, 89de mars, 88elliptique, 46, 88

ordonnée, 28origine, 25oxygène, 20

pale, 62, 98, 99parabole, 30, 32, 35paramètre, 83parsec, 74, 101particule, 21

élémentaire, 21, 22Partie théorique, 80pc, 74pendule, 83périgée, 18période, 83, 95

de rotation, 34, 35sidérale, 87, 89

pétrole, 69phase lunaire, 18plan incliné, 85planète, 14, 15plastique, 49Platon, 30, 39, 48pleine lune, 18pluton, 15poids, 34, 46–48pompe à chaleur, 66pont du Gard, 33, 34portance, 62position, 25, 26, 28, 30, 44, 77, 91positron, 23première loi, 43

de la thermodynamique, 58premier principe, 58principe

d’incertitude, 22

d’indétermination, 22de conservation de l’énergie, 56

Principia mathematica , 42procédure, 104proton, 20, 21Ptolémée, 88puissance, 53, 54

de chute, 60installée, 59, 98solaire

moyenne, 64utile, 64

pulsar, 83

quantique, 23quanton, 23quark, 23quartier lunaire, 18

radian, 16radioactivité, 68rail incliné, 85rayon de la terre, 101réaction, 60

en chaîne, 67référentiel, 89, 90

absolu, 90règle de Betz, 62, 98relativité, 11, 88

générale, 35, 39restreinte, 13, 39, 90

rendementhydraulique, 60maximum, 58optique, 64photoélectrique, 65

repos naturel, 40ressort, 49résultats, 80résumé, 80rétrogradation, 88Riehen, 66rotation

de la terre, 87du soleil, 89

roue à aube, 61

136

INDEX INDEX

saison, 17d’éclipse, 19

satellite, 29, 35, 47, 95scolastique, 41seconde

d’arc, 74loi, 44

de Newton, 86, 95séisme, 66SI, 73silicium

monocristallin, 65polycristallin, 65

soleil, 14–16, 62, 87sous-multiple, 74sphérique, 25, 77statique, 48structure, 11

de rapport, 79subatomique, 20sublunaire, 30, 34, 39super amas, 12supergéante, 14supernovae, 14, 21supralunaire, 30, 34système

d’axes, 25de coordonnées circulaires, 77international d’unité, 73solaire, 14

tableau, 81périodique, 14

Tchernobyl, 69tellurique, 15température, 58temps, 12, 31

de vol, 34terre, 16, 39théorie des humeurs, 39théorème

de conservation, 53de l’énergie cinétique, 56de l’énergie mécanique, 56

de l’énergie cinétique, 55thermodynamique, 58

titre, 80, 84toupie, 17trajectoire, 15, 21, 23transmutation, 68travail, 53, 58troisième loi, 44trou noir, 14turbine, 60, 66, 68, 97

Francis, 61Kaplan, 60Pelton, 61

Tycho Brahé, 88type de force, 45

UA, 74unité, 73, 74

de longueur, 25univers, 11–13, 31, 34

bulle, 12

vapeur, 68variable, 83variation de l’énergie mécanique, 57vent, 62vénus, 15vitesse, 22, 26, 30, 31, 35, 41

constante, 43instantannée, 27moyenne, 26scalaire, 36

voie lactée, 14, 29, 30, 89

watt, 54, 59

zénith, 101zone contaminée, 69

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