cours master

7/29/2019 Cours Master

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ETUDE DES SYSTEMES NON LINEAIRES

COURS MASTER-2Commande Robuste et Systmes Non Linaires

Launay Frdric

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I) Introduction Systme Non linaire - chaotique

Objectif du cours :

Lide de ce cours est de vulgariser la notion de systmes non linaires et danalyser leur mise enuvre en appliquant ceux-ci la thorie du chaos. La difficult majeure dun systme chaotique(un systme chaotique est par nature imprvisible) est dtre capable de synthtiser une loi de

commande permettant un systme tierce de reproduire la mme trajectoire.

On rappelle que le dveloppement de la stratgie de commande passe par 3 tapes :

Identification/Modlisation du modle chaotique

Synthse dune loi de commande Analyse de la robustesse (validation de la loi de commande par rapport au bruit et par

rapport lapproximation du modle)

Dcoupage du cours

Dans un premier temps, nous allons prsenter lapport danalyse des systmes non linaires par

rapport aux systmes linaires, mettant ainsi en dfaut certaines modlisations actuelles.

Modliser est un premier pas, lobjectif de toute modlisation est de fournir un systmeparamtrable et doptimiser les performances de ce systme (en vue dapplications prcises)

grce une rgulation ou un asservissementpar la mise en place de lois de commande. A ce

titre, nous allons dfinir les proprits des systmes non linaires, les outils dtudes de telssystmes pour vrifier la stabilit de lasservissement et les mthodes de commandes robustes

pour garantir les performances souhaites lors dun asservissement malgr les caractres non

linaires du modle.

Avant toute modlisation, il est aussi ncessaire de dfinir lenvironnement du systme.Lenvironnement du systme revient dlimiter celui-ci par un certain nombre de variables

indpendantes dentres (entres exognes : excitations et perturbations) qui conditionnentltat du systme, et par des variables de sortie qui permettent de rendre compte, tout instant, de

la rponse (cest dire de lvolution) du systme vis--vis des excitations. On rajoute ensuite

des entres de commande issues de lasservissement. Plus le systme est complexe, plus il estncessaire dtablir un rseau dquations simultanes pour dcrire le systme. En rgle gnral,

le modle que lon souhaite tablir est issu dun compromis entre fidlit vis vis du

comportement rel du systme diverses excitations et simplicit. La simplicit est obtenue par

des hypothses de travail et des approximations qui rendent le modle mathmatiquement viable.En physique, lorsque l'on tudie un phnomne, on s'intresse gnralement aux effets

prpondrants de celui-ci. Ceci revient souvent linariser les phnomnes caractristiques dusystme tudi (on dit qu'il y a proportionnalit entre la cause et l'effet).

Grce la linarisation du systme autour dun point de repos (point rgulier ou point

singulier), ou sous certaines hypothses (approximation de faibles dviations), on peut dcrire lesystme par un modle mathmatique linaire. Dans ce cadre dtude, les mthodes frquentielles

(Transforme de Laplace) constituent les outils les plus performants pour lanalyse (Nyquist,

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Black Nichols, Bode, Lieu des racines) et la synthse des asservissements linaires (Correcteur

PID, avance/retard de phase).

Toutefois, aucun systme physique nest rigoureusement linaire et en dehors du domaine de

linarit, il est ncessaire dutiliser dautres mthodes que celles cites ci-avant pour vrifier la

stabilit et la robustesse aux perturbations dun systme en boucle ferm.

De plus, la mthode par linarisation est une mthode valide que localement autour dun point

de fonctionnement (en rgle gnral dun point rgulier) et par consquent, cette mthode ne peutpas tre utilise pour dfinir un comportement global. De plus, lors de la linarisation les effets

non linaires sont alors considrs comme perturbateurs et de ce fait ngligs. Or, la dynamique

apporte par ces effets non linaires est plus riche que les systmes linaires. A titre dexemple, la diffrence des systmes linaires qui ne possdent quun seul point dquilibre, les systmes

non linaires peuvent possderplusieurs points dquilibre. De plus, de tels systmes peuvent

tre le sige doscillations (cycles limites) caractrises par leur amplitude et leur frquence

quelques soient les conditions initiales et sans lapport dexcitation extrieure alors quunsystme linaire, pour osciller, doit prsenter une paire de ple sur laxe imaginaire, condition

trs fragile vis--vis des perturbations et des erreurs de modlisation. On peut aussi constater

dautres phnomnes dans les systmes non linaires (bifurcations), phnomnes quireprsentent une variation de lvolution du systme en terme du nombre de points dquilibre, de

la stabilit lorsquun ou plusieurs paramtres (non autonome) du modle varient.

Nous allons introduire ces notions sur des exemples concrets au cours du premier chapitre.

Dans le chapitre 1, nous analyserons de manire globale lvolution dun systme et nous nousdfinirons des points locaux particuliers par linarisation. Nous tudierons ainsi les avantages et

les limitations dun systme linaris par secteur dtude.

Dans le deuxime chapitre, nous prsenterons des modles un peu plus complexe, puisque nous

prendrons en compte une non linarit et nous prsenterons des outils danalyse du systme.

Dans le troisime chapitre, nous aborderons le problme didentification dun systme et nous

laborerons les premiers outils danalyse de la robustesse du systme.

Enfin dans le 4me chapitre, nous focaliserons notre tude sur les systmes chaotiques.

I.1) Quelques comportements non linaires: Points dquilibre

multiples

Soit le systme modlis par lquation diffrentielle suivante :

)()()(2 txtxtx +=

1 Calculez le point dquilibre du systme linaris pour de faibles perturbations

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2 Trouvez la solution analytique de lvolution de la trajectoire autour de chaque point

dquilibre.

3 Calculez les points dquilibre du systme Non Linaire

4 Trouvez la solution analytique de lvolution de la trajectoire autour de chaque point

dquilibre.

Solution du systme linaris Solution du systme non linaire

Conclusions :

Dans le cas linaire, le point dquilibre est stable et les trajectoires dtat pour diffrentesconditions initiales x(0) dcroissent vers ltat dquilibre.

Dans le cas non linaire, le point dquilibre 0 est stable localement puisque partir de toutes

conditions initiales proche de 0 (appartenant une boucle ferme dans lespace topologiqueautour de 0) la solution converge vers 0, mais le systme est instable autour de 1 puisque la

trajectoire tend vers 0 sauf pour x0=1.

I.2) Quelques comportements non linaires: Cycles limites

Equation de Van Der Pol

Soit le systme suivant :

0)(.)().1(2)(.2 =++ txktxxctxm , c>0

La simulation de cette quation sous Matlab, nous donne le rsultat suivant. On reprsente enordonne la variation de la drive en fonction de x

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Solution lquation de Van Der Pol pour diffrentes CI

Conclusion :

Cette courbe ferme traduit un cycle limite, on retourne sur le mme cycle, quelque soit lacondition initiale choisie.

I.3) Quelques comportements non linaires: Bifurcations

Soit un systme non linaire dfini par lquation non linaire suivante (Equation non amortie de

Duffing).

0)()(.)( 3 =++ txtxtx

1- Ecrire lquation donnant le point dquilibre

2- Selon les valeurs du paramtre , le nombre de points dquilibre varie.Notamment, lorsque =0 0+, on passe dun systme avec un point dquilibre unsystme avec 3 point dquilibre. On a ainsi une bifurcation.

Lors dune bifurcation, la trajectoire peut voluer en faisant apparatre

- dautres points dquilibre

- une priode multiple la priode du signal avant bifurcation- une multiplicit de la priode du signal (signal quasi-priodique)

- un signal chaotique.

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I.4) Comportement des points singuliers linaires : Stabilit locale

Que le systme soit linaire ou linaris, on sintresse souvent lvolution LOCALE de latrajectoire au point de repos. Il sagit de prvoir lvolution (asymptotique) de la trajectoire

autour du point de repos.

Reprenons le systme prcdent dcrit par :

0)()(.)( 3 =++ txtxtx

Posons xx =1 et 12 xx = et crivons le nouveau systme dquation

==

3

2

1

xxx

xx

, ce systme scrit sous forme Matricielle : )(. XfXAX += , avec

=

x

xX

Les points de repos sont dfinis par x1=0 et x2=0. Calcul prcdemment (paragraphe 1.3) on

trouve selon la valeur du paramtre , les points suivants

)0,(),0,(),0,0(),( 1 == xxX

La forme matricielle du systme linaris autour dun point de repos scrit :

XAX L.=

La dtermination des valeurs propres de A conditionnent lvolution du systme autour du pointde repos. En effet, soient 1 et 2, les valeurs propres de A, plusieurs cas se prsentent selon lesigne du discriminant de lquation caractristique associe au calcul des valeurs propres.

Supposons que le discriminant soit non nul, il existe deux valeurs propres distinctes

(ventuellement complexes).La matrice est diagonalisable (dterminant de A non nul), il existe alors une matrice symtrique

inversible P telle que : DL=P-1MP (Matrice quivalente)

On se ramne alors la rsolution du systme suivant par changement de base:

YYDY L

==

2

1

00.

=>222

111

yyyy

==

, 1 et 2 rels ou complexes conjugus

La rsolution donne t

t

eKy

eKy

2

1

22

11

==

dans le plan associ aux vecteurs propres ( )21,UU

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Par lquation dquivalence, on exprime X en fonction de P et Y.

Cas 1 : Le discriminant est positif et les valeurs propres sont ngatives

Le dterminant tant positif, les valeurs propres sont relles. On suppose que les valeurs propres

sont coefficients ngatifs, alors y1 et y2 tendent vers 0 donc X tend vers 0. le systme est stableet la trajectoire tend vers le point de repos (linarisation autour du point de repos).

On parle de nud stable.

Cas 2 : Le discriminant est positif, une valeur propre est ngative (soit 1) et lautre

positive.

La premire quation dans le plan ( )21,UU

converge vers y1=0 quand t->, la seconde diverge.

On parle de col (par dfinition un col est instable).

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Cas 3 : Le discriminant est positif et les valeurs propres sont positives

Les trajectoires ont mmes allures que dans le cas 1, mais les quations divergent. On parle de

nud instable.

Cas 4 : Le discriminant est ngatif, les racines sont des imaginaires pures

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Cas 5 : Le discriminant est ngatif, les racines sont imaginaires conjugus.

Si la partie relle est ngative, le systme subit un frottement. Les trajectoires sont des spirales

convergentes vers lorigine. On obtient un foyer stable. Dans le cas o les parties relles sont

positives, les trajectoires forment des spirales divergentes. On obtient un foyer instable.

I.5) Interprtations

Comme on peut le constater, la mise en quation de systmes non linaires apportent des

modifications sur lvolution de la (des) sortie(s) du systme qui ne peuvent tre pris en comptepar les systmes linaires.

Pour asservir de tels systmes, il est bien entendu ncessaire de prendre en compte cesphnomnes non linaires. Nous prsenterons dans un premier temps deux mthodes classiques

pour analyser lvolution dun systme asservi partir dhypothses limitatrices. La premire

mthode, appele Mthode du premier harmonique permet de prvoir approximativement certains

comportement non linaires et se contente de dterminer le cycle limite (amplitude et frquence).Lavantage de cette mthode est la possibilit dutiliser les mthodes frquentielles classiques.

La mthode du plan de phase est une mthode temporelle limite aux systmes dordre 2. Outre

sa simplicit, lintrt de prsenter cette mthode est dintroduire des notions (plan de phase)relative ltude de tout systme non linaire.

Nous introduirons ensuite la notion de stabilit. Cette notion de stabilit est primordiale pour

asservir des systmes en prenant en compte des erreurs de modlisations. Cela permet destimerglobalement le fonctionnement du systme asservi sans avoir dterminer les trajectoires.

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Pour terminer lillustration des phnomnes non linaires, nous allons imaginer un exemple bas

sur le mouvement oscillatoire dun pendule.

Exprience 1 :

Imaginons un exemple simple tel que le mouvement d'un pendule. Ce dernier est modlis par un

systme (non linaire de par la fonction sinus) deux variables (la position et la vitesseangulaire) permettant de dcrire son mouvement doscillation rgulier (sans frottement, le

mouvement du pendule est priodique non amorti, avec frottement le mouvement est amorti et

revient son tat stable). Le pendule prsente 2 points de repos (pour lesquels la vitesseangulaire est nulle), un instable et un stable.

Introduction au chaos :

Exprience 2 :Supposons maintenant quune commande externe lui apporte de lEnergie vers une trajectoire

perpendiculaire au mouvement initial. A titre dexemple, un aimant positionn devant ou derrire

le pendule (cf. schma). La modlisation doit prendre en compte cet apport dnergie. Si,lnergie apporte est non linaire (la force dattraction dpend de la distance du pendule par

rapport laimant), on peut ainsi imaginer soit un mouvement cyclique du pendule dans un plan

ou un mouvement dsordonn quon appellera chaotique. En regardant la trajectoire du penduleen 3D, on peut sapercevoir que dune oscillation une autre, le pendule n'effectue jamais deux

fois le mme trajet dans l'espace.

De plus, si on recommence lexprience 2 en modifiant trs lgrement une condition initiale

(soit la position ou la vitesse angulaire initiale ou la position de laimant), et quon compare la

nouvelle trajectoire du pendule par rapport celle trace prcdemment, on saperoit que les

deux trajectoires diffrent totalement : un instant donn, les deux pendules sont des positionsdiffrentes, et en prenant deux instants diffrents pour lesquels les deux pendules sont la mme

position, il est impossible de prdire la position future de la deuxime exprience en connaissant

lvolution de la premire exprience. On dit que le systme est Sensible au Conditions Initiales(SCI). Cest une caractristique essentielle des systmes chaotiques. Lautre caractristique est

une trajectoire rcurrente.

Cependant, le mouvement du pendule, bien que chaotique, n'est pas alatoire car il peut tre

dcrit par des quations plus ou moins simples et dterministes.

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Exercice :

Soit l, la longueur de la corde (non lastique), et m la masse de la bille. Soit , langle de la cordepar rapport la verticale.

1. Identifier les forces agissant sur la bille. On suppose que la bille est soumise une forcede frottement, proportionnelle la vitesse de la bille par un facteur de frottement k.

2. Ecrire les quations diffrentielles rgissant ltat de la bille partir du premier principe

de la dynamique (ma=.F, a est lacclration, F les forces agissant)

3. On va noter x1= et x2= Trouver les points dquilibres (x1=x2=0).

II) Premires mthodes de rsolution dun systme nonlinaire : Estimation des trajectoires

Ltude dun systme quil soit dordre mcanique, lectronique, ou autre, ncessite une premire

approche mathmatique consistant modliser le systme pour un mode de fonctionnementdonn.

Il existe deux grandes familles danalyse de la trajectoire- Mthodes frquentielles : Mthode du premier harmonique

- Mthodes temporelles : Mthodes graphique du plan de phase

II.1) Mthode du premier harmonique

II.1.1) Principe

e(t)=EMsin(1t)s(t)=s0+s1.sin(1t+1)+ +s2.sin(21t+2)+

NLe(t) s(t)

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La mthode du premier harmonique sapplique si1 - s0=constante

2 - s2, s3, sn


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Condition de stabilit

Equation caractristique : 1 + G(EM).L(j)=0 =>)(

1)(

MEGjL

=

Dans le cas linaire, ltude se faisait autour de -1. Dans le cas non linaire, ltude de lastabilit se fera vis--vis du lieu critique qui est le lieu des points complexes donns par

)(

1

MEG

. On va nommer EMA et fMA, lamplitude et la frquence doscillation si la condition de

Barkhaussen est vrifie.

Etude des diffrents cas

La stabilit est conditionne par la position relative des diffrents lieux L(j) et)(

1

MEG

.

a) Pas dintersection

Si les hypothses permettant lapplication de la mthode harmonique sont vrifies, le

systme sera toujours stable en BF.

b) Une intersection

Si lamplitude la sortie de la NL EM1EMA, alors le systme est stable (critre du revers).

Rappel du critre du revers : Un Systme Asservi est stable si en parcourant le lieu de Nyquist

pour les croissants, on laisse le point -1 gauche.

L(j)E

M1

EM2

-1/G(EM

)

EMA

Re

Im

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Dfinition : Lauto-oscillation du point A (EMA, A) est stable si en parcourant le lieu de transfertlinaire L(j) au voisinage du point A dans le sens des croissants, on laisse gauche le lieu-1/G(EM) dans le sens des EM croissants.

c) Plusieurs intersections

On applique la dfinition prcdente.

II.1.4) Calcul du gain quivalent au premier harmonique

On suppose le systme non linaire suivant :

Etape 1 : Tracer G(EM)=f(EM)

Etape 2 : Tracer -1/G(EM) dans le plan complexe

Etape 3 : Vrifier la stabilit.Exemple 1

A partir du systme NL prcdent, appliquer un signal sinusodale damplitude E M lentre dubloc NL et calcul la srie de Fourier du signal rsultant. Soit b1, lamplitude de la fondamentale,

le gain quivalent est :

G(EM)= b1/EM.

Exemple 2

Soit le systme non linaire Plus ou Moins avec hysteresis suivi dun filtre du 3 me ordre( ) 31

1

p+.

-E1

E1

Gain = 1

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NL :

Exercice : Etudier la stabilit du systme prcdent.

II.2) Mthode du plan de phase

Cette mthode graphique est rigoureuse mais ne sapplique quau systme du deuxime ordre etest limite aux entres nulles ou constantes.

=

dt

dssF

dt

sd,

2

2

II.2.1) Principe

Pour lanalyse des systmes non linaires, on recourt souvent des reprsentations dans l' espace

des phases. Il s'agit d'un espace multidimensionnel dont les coordonnes sont les variables dusystme. Gnralement, on considre la variable et sa drive, telles que la position et la vitesse

angulaire dun pendule ou dans le cadre dun systme dquations linaires dordre 2 1

inconnue x, on choisira lespace des phases reprsent par (x, y= x , on pourra se rfrer la

reprsentation du systme prsent en introduction). A plus de trois dimensions il faudra recourir

une projection de cet espace (sur une surface, par exemple). Ainsi, le portrait de phase estconsidr comme une vritable signature de la dynamique du systme.

De par lintrt suscit par une telle reprsentation, des mthodes graphiques bases sur le

concept de rsolution numrique ont t dveloppes pour apporter quelques informations sur larsolution dune quation diffrentielle. Cette rsolution permet certes dobserver la trajectoire de

la solution dans le temps, en fonction des conditions initiales lorsque la rsolution numrique

savre fastidieuse, mais elle est surtout utilise pour reprsenter le portrait de phase.

-a a

1

-1

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II.2.2) Rsolution par la mthode graphique

La premire mthode graphique applicable dans le cas dquation du premier ordre est la

mthode des isoclines. Cette mthode consiste, partir dune condition initiale, tracer la

rponse du systme partir de la tangente en chaque point.

Ainsi, en partant de lquation diffrentielle)t,x(f

dt

dx=

on trace un ensemble de courbes de pente m : mdt

dx= , ce qui revient rsoudre une quation non

linaire f(x,t)=m. La connaissance de la pente et du point initial permet de tracer un segment

reprsentant lvolution du systme. Lensemble des points (x,t) dfini par f(x,t)=m reprsenteune isocline.

II.2.3) Equation du deuxime ordre

La mthode des isoclines nest adapte quau systme du premier ordre. Dans le cas ou lordre delquation diffrentielle est suprieur, on dcompose le systme dordre n n systme dordre 1.

Cependant, une telle mthode se rsout difficilement par un manque dinformation ltat

initial. Il existe nanmoins une solution de type isocline pour les quations du second ordre,

lorsque lquation est autonome et peut ainsi se ramener un systme du premier ordre, cest dire :

0)x,dt

dx(f

dt

xd2

2

=+

Mise en quation

On pose

=+

=

0),( xyfdt

dydt

dxy

, si y>0 alors x croit, si y est ngatif, y dcroit

Ltude de la trajectoire va nous renseigner sur lallure de lvolution de la variable x.

Le trac de la trajectoire va tre facilit en recherchant :- points singuliers

- Isoclines

Rappel : Points singuliers sont les points dquilibre stables ou instable du systme. Ils sontdfinis par :

=

=

0

0

dt

dydt

dx

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Mthode des isoclines

Les isoclines vont nous permettre de prciser le trac de la trajectoire au voisinage des points

particuliers.

Isocline : Trac de lensemble des points particuliers pour lesquels cstedx

dy==

II.2.4) Exemple

Cas dun second ordre linaire

Soit le systme suivant : 0)(.)(.2)(2

00 =++ txtxmtx

On se ramne :

=

=

)(.)(.22

00 txtymdt

dydt

dxy

Les points singuliers sont :

==0

0

y

x

On calcule les isoclines par

dx

dt

dt

dy

dx

dy.== soit ..

dt

dy

dt

dx=

On peut donc crire : xymy ..2.2

00 = , soit :

+

=0

2

0

.2

..

m

xy

Si 0=1 et m=0,5,+

=1

.x

y alors, Si =, y=0, si =1 y=-x/2,

Le trac est le suivant

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Cas dun second ordre linaire

Choix variable

En gnral, on pose x=s

En pratique, on pose pour un systme retour unitaire entre nullex=, y=d/dt

Calcul du trac

Droite de commutation et trac

De par la fonction linaire, on peut crire :

)1( pp

A

u

+= donc Aupp =+ )1( soit 022

=++ Audtd

dt

d

Le systme scrit alors :[ ]

+=

=

uAydt

dydt

dxy

.1

e=0 s u

y=d/dt

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On suppose A=1, et =1.

Cas 1 : >0, u=+1

Pas de point singulier

Isocline y=-1/(1+)

Cas 2 :


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III) Stabilit des systmes non linaires asservis

III.1)Modle didentification

Jusqu prsent, nous avons prsent des outils danalyse de la trajectoire de systme partir delcriture mathmatique de celui-ci. Les modles prsents ont t obtenus partir de lois

physique lmentaires.

Or, certains systmes ne peuvent tre entirement dcris par des lois de la physique. Si desmesures exprimentales peuvent tre ralises, on peut alors dterminer la structure dun modle

partir de lois physiques partielles ou uniquement partir des mesures et dfinir les paramtres

du modle partir des campagnes de mesures.On trouve gnralement deux types de modles :

Modle pour la commande : Lobjectif tant de dfinir une loi de commande pour

optimiser le systme, on cherche alors un construire un modle simple reprsentatif du systme.

Les imperfections du modle seront valides lors de la phase de robustesse.Modle de simulation, dfini pour reproduire le plus prcisment possible le

comportement du systme. La structure du modle sera plus complexe que le modle pour la

commande. La structure peut tre impose par les lois de la physiques (exemple : Modlefractionnaire pour la -analyse, )

Dans les deux cas, la premire tape consiste dfinir le nombre de paramtres minimumintervenant dans le modle et de dfinir des lois de sortie le plus simple possible (idalement

linaire) en fonction du jeu rduit de paramtres.

La mthode LP utilise des techniques de rgressions linaires pour estimer un modlelinaire en fonction des paramtres (on pourra ventuellement augmenter le nombre de

paramtres pour amliorer le modle, sachant que la simplicit est obtenue par un modlelinaire)

Si le modle linaire nest pas assez reprsentatif du systme ou si le nombre deparamtres est trop lev, on va estimer un modle non linaire (non LP). Dans le cas ou le

nombre de paramtre est trop lev, on choisit une liste de signaux dentres et on dtermine un

critre derreur, via un algorithme doptimisation (programmation non linaire) partir de lcartentre les mesures exprimentales et le modle.

Lorsquon dtermine un modle, il est ncessaire ensuite de valider son niveau de fiabilit : lesapproximations entranent des erreurs et on cherche dfinir la stabilit et la robustesse du

systme.

On dfinit en rgle gnrale la stabilit du point singulier (cf. introduction). Mais, on sintresse

en fait davantage ltat dquilibre dun systme, c'est--dire ltude des trajectoires du

systme pour t variant dans le temps, prenant en compte les incertitudes du modle et desperturbations. On ne cherche pas calculer explicitement les trajectoires, mais de dmontrer que

les trajectoires sont bornes. Ce concept est issu de la thorie de la stabilit au sens de

Lyapunov.

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III.2)Notions de Stabilit : Commande Robuste

La commande robuste repose en grande partie sur la structure de commande contre-raction

(feedback control systems) et sur les modles linaires temps invariant (LTI) des systmesdynamiques.

On dfinit une structure de commande base sur lerreur entre linformation collecte par un

ensemble de capteur (y) et les signaux de rfrences souhaits.

Les diffrences existantes sont traites par le systme de commande afin dlaborer un signal de

commande u affectant le systme.

Commande H

J.C. Doyle a propos une formulation gnrale de synthse des systmes de commande contre-raction

P est le modle gnralis du systme dynamique et K le correcteur. P est un systme linaire

multivariables avec deux types de signaux dentres :Commande u et de sortie y

Performance ou incertitude, dentre v et de sortie z

On note PBF(s), le systme en Boucle Ferme. Lalgorithme de Glover-Doyle permet de

synthtiser un correcteur linaire K(s) de manire minimiser la norme H du transfert PBF(s).

On note , lindice de performance, on impose ||PBF(s)||


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Le modle incertain et sa structure tant fixs, lobjectif principal de la structure de commande

est dassurer la stabilit de la boucle ferme ainsi quun certain degr de performance pourlensemble des ralisations possibles du modle incertain.

Il sagit donc de rduire la sensibilit de la structure de commande en prsence des variationsparamtriques et dventuelles perturbations affectant le modle du systme commander.

Le thorme du petit gain permet daffirmer que le systme prsent ci-dessus est stable pour

toute incertitude vrifiant ||(s)||


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le temps t tant la variable indpendante, x1, x2, , xn les variables dpendantes et f1,f2 ,,fn, des

fonctions, en gnral non linaires des variables dpendantes (appeles vecteur de champ).

Le point dquilibre ou singulier se traduit par lannulation de toutes les drives. Un systmelinairepour lequel le dterminant A est non nul conduit un seul point dquilibre, caractris

par lannulation de toutes les variables dpendantes.

Un systme non linaire introduit des fonctions f1,f2 ,,fn, qui ne sont pas linaires et lesconditions dquilibres peuvent tre atteintes pour des valeurs de x1, x2, , xnqui ne sont pas

nulles. Pour tudier la stabilit dun systme au voisinage de lune de ses positions dquilibre, on

provoque une lgre perturbation en faisant varier les x partir de ces valeurs dquilibres. Si

lorsque t croit indfiniment, les x reviennent celles-ci, on dit que le systme estasymptotiquement stable, sinon il est dynamiquement instable.

Dans quelques cas particuliers, les x ne retournent pas vers leur position dquilibre, mais ne sen

cartent pas davantage. On dit que le systme une stabilit neutre ou temporaire.

III.2.3) Notions dInvariant

Un ensemble invariant M, pour un systme dynamique )(xfx = est dfini comme un ensemblede conditions initiales tels que la solution ),( txO reste dans lensemble M pour tout t.

Un systme non linaire peut donc tre considr comme instable localement mais globalement

stable dans le sens ou les trajectoires sont contenues dans une Boule ferme (Invariant) pour unensemble de conditions initiales.

III.3)Stabilit pour les systmes non linaires

Dans le paragraphe prcdent, nous nous proccupions de la stabilit de la rponse autour dunseul point dquilibre. Il sagit dune tude locale.

Dans le cas non linaire, lexistence de plusieurs points dquilibres modifie les conditions de

stabilit du systme. Si de nombreuses rgles existent dans le cas de systme linaire, il nest paspossible de donner de dfinition gnrale de la stabilit qui ait un sens dans tous les cas pour les

systmes non linaires.

On peut nanmoins dfinir trois mthodes principales : Deux tudes locales base sur lalinarisation du systme autour du point dquilibre ou dun point de la trajectoire projete sur un

plan (la thorie de Floquet), et une mthode globale : la thorie de Lyapunovbase autour dun

point dquilibre sur la fonction non linaire. Nous exposons rapidement le principe des deuxpremires dans les paragraphes suivants.

Ltude locale permet de prdire le comportement de la trajectoire autour dun point dquilibre,mais ne donne aucune information sur la trajectoire en elle-mme. A titre dexemple, les

systmes chaotiques prsentent des instabilits locales autours de plusieurs points singuliers mais

la trajectoire au cours du temps, reste confine dans une boucle ferme (c'est--dire est borne),

sil ny a pas de bifurcation.

23


24/42

Nous allons dans un premier temps dfinir diffrents types dquilibre en supposant le systmedcrit par son modle dtat :

),( uxfx = , x reprsente ltat du systme et u lentre.

On suppose que le systme possde un point singulier ),( ux

III.3.1) Equilibre stable

Lquilibre ),( ux est un quilibre stable du systme si

xuxtxxx )),0(,()0(,0,0

Dans le cas contraire, xe est dit instable.

Interprtation : On souhaite caractriser le fait que la trajectoire x(t) reste proche du point

dquilibre x pour tout t>0 lorsque lentre u(t)= u est constante. Pour cela, on introduit la

notion de norme et lon impose les solutions de x(t) lintrieur dune boule topologique de

rayon autour de x .RMQ : Cela nimplique pas que les trajectoires convergent vers le point dquilibre.

Stabilit asymptotique:

Ltat dquilibre, note x est dit asymptotiquement stable sil est stable et si

xtxxx t = )(lim)0(,0

On peut donc reprsenter la stabilit de la manire suivante

24


25/42

RMQ : Dans ce cas, les trajectoires convergent vers le point dquilibre.

III.3.2) Equilibre attracteur

Lquilibre ),( ux est un quilibre attracteur du systme si

0),0(,(lim)0(,0 =

xuxtxxxquetelt

Un quilibre attracteur est donc un point vers lequel convergent les solutions x(t) si elles

dmarrent suffisamment prs de x .

RMQ : Stabilit et attractivit sont deux notions diffrentes qui ne simpliquent pas

mutuellement. Toutefois, lquilibre est asymptotiquement stable sil est stable et attracteur.

Attracteur

Un attracteur est un ensemble compact de lespace des phases, invariant par le flot ou par

lapplication vers lequel toutes les trajectoires environnantes convergent.

Diffrents types dattracteurs :

- Point fixe- Cycle limite

25


26/42

- Tore

- Attracteurs tranges (chaos)

Bassin dattraction :

Correspond lensemble des points dont les trajectoires convergent vers lattracteur.

III.3.3) Stabilit dune trajectoire

Dans certains cas, les systmes nadmettent pas de points dquilibre, ou alors le point dquilibre

nest pas stable. Pour autant, les trajectoires ne divergent pas. Divers cas peuvent se produire :

- Le systme admet un domaine stable : il existe un domaine de conditions initiales

(bassin dattraction) tel que toutes les trajectoires restent comprises lintrieur du

domaine stable- Le systme admet un domaine attractif : il existe un domaine de conditions initiales tel

que toutes les trajectoires sont comprises dans le domaine attractif au bout dun certaintemps- Le systme admet une trajectoire stable.

La stabilit dune trajectoire peut tre dmontre par lapplication du deuxime thorme deLyapunov.

III.3.4) Analyse de la stabilit par Linarisation

Mthode Loca le :

Les systmes non linaires prsente des (pseudo-)priodicits que lon peut chercher estimer.La mthode de linarisation permet dapproximer une priodicit de lvolution de la trajectoire.

Le principe de cette mthode repose, comme son nom lindique, sur la linarisation du systme

non linaire dcrit autour du point dquilibre. Pour cela, on dcompose le systme (la fonctionVecteur de Champ) selon la formule de Taylor autour de chaque point dquilibre. On se ramne

ainsi au systme prcdent, en dcrivant les trajectoires de phases autour des points dquilibre.On suppose une perturbation autour dun point dquilibre Xe : XXetX

~)( +=

La linarisation du Vecteur champs donne : XXJXeFtX F~

)()()( +=

26


27/42

=

n

nnn

n

n

r

XXF

XXF

XXF

X

XF

X

XF

X

XF

X

XF

X

XF

X

XF

XJ

)()()(

)()()(

)()()(

)(

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

Etant donn qu lquilibre )(XeFXe = , cela revient rsoudre : XXJtX F~

)()(~ =

Le calcul des valeurs propres permet de dduire de la stabilit des trajectoires vis--vis de petites

perturbations autour du point dquilibre.

Perturbation infinitsimale : Mthode de Poincar LindstedtLide est dcrire la solution priodique de la trajectoire du systme sous la forme dun

dveloppement en srie de . Si lon souhaite tudier les perturbations infinitsimales, on tudie

lvolution de la trajectoire XXetX~

)( += en puissance croissante de .

A titre dexemple, on choisit un puit deux potentiel dfini par lquation : f(q)=q-q3.

- Points dquilibre 1q = .

- Changement de variable u=q+-1 => f(u)=-2u-3u2-u3.

- Oscillation obtenu par le terme linaire en u : f(u)=-2u conduit 20 = . Il suffit de

trouver les valeurs propres de la matrice A avec X=(u,du/dt)- Mthode de Poincar Lindstedt : Non linarit en u2 comme perturbation :

==

2u3u2dt/ud

udt/du

- Et nous cherchons une solution de le forme ...uuuu 22

10 +++= . Pour ce faire onfaire correspondre les ordre de diffrents ordres :o DL Ordre 0 : )tcos(Au 000 =

o DL Ordre 1 :

==

)(cos32/

/

0

22

011

11

tAudtud

udtdu

.

On dcompose [ ])t2cos(12A

)t(cosA 0

20

022

0 +

=

On dcompose u1 en deux partie u10 et u12 correspondant respectivement au

frquence 0 et 02

Ceci donne 4/A3u 2010 =

( )t2cos(4/Au 02012 =

- Non linarit en u3 comme perturbation

==

3uu2dt/ud

udt/du

o Ordre 0 : solution linaire

o Ordre 1 : Contribution 0 et 03 . Or 0 conduit un terme en sin( 03 t),lamplitude augmente avec le temps, incompatible avec hypo pour laquelle la

27


28/42

frquence du mouvement restait inchange => Evolution de la priode

doscillation.

- Comme le priode change galement nous posons : ...22

10 ++ += et oncherche solution sous forme ty = . On cherche la solution sous forme de la fonction

y :

==

32uu2dy/vd

vdy/du

o Ordre 0.

Idem

o Ordre 13

012 uu2dy/vd = avec )tcos(Au 000 = et 20 =

et 21022

102

dy/...)uu(d...)(dy/vd +++ += conduit 010120 u2u +

On choisit 1 pour faire disparatre la composante en )tcos( o qui intervient dans le

terme cubique de 30u

Cette tude nous permet de connatre la trajectoire localement aux points rguliers. Nous allonsmaintenant tudier la stabilit locale dune trajectoire priodique par la thorie de Floquet.

III.3.5) Thorie de Floquet : Multiplicateurs caractristiques

Les multiplicateurs caractristiques encore appels multiplicateurs de Floquet permettent de

dterminer la stabilit d'une solution priodique. Ils sont une gnralisation des valeurs propresutilises pour tudier la stabilit des points fixes. Une solution priodique est une orbite d'ordre k

dans l'espace des phases et correspond k points fixes sur une section de Poincar.

Une section de Poincar peut, en premire approche, se rsumer ltude dun hyperplan (engnral on ramne la trajectoire dune courbe un plan) en fixant un paramtre, ou en projetant

lvolution temporelle de la trajectoire un plan qui coupe transversalement la trajectoire,comme le montre la figure ci-contre.

Section de Poincar

28


29/42

En rgime tabli, on suppose une petite perturbation au voisinage de Xe, lun des points

dintersection de la trajectoire avec la section de Poincar.

La solution du systme scrit : )(~

)()( tXtXtX e += .

Comme dans le cas de la stabilit du point fixe, le comportement de X(t) au voisinage de Xe esttudi en linarisant P (Projection de la trajectoire sur la section de Poincar) autour de Xe. La

fonction linarise P devient : ( ) )(~

)()(~

1 tXtXJtX kepk =+

Avec J la matrice Jacobienne de P autour de Xe. Ltude des valeurs propres et vecteurs propres

comme prcdemment dtermine la stabilit de la projection de la trajectoire sur la section dePoincar autour de Xe. On parle alors de stabilit locale.

Les valeurs propres (dterminent la stabilit) sont appeles les multiplicateurs de Floquet.

Dans le cas d'un systme autonome, les multiplicateurs caractristiques sont indpendants de laposition de la section de Poincar . Par contre, les vecteurs propres associs ces

multiplicateurs caractristiques dpendent de la position de dans l'espace des phases.

Des mthodes numriques ont galement t dveloppes pour dterminer les points detrajectoire sur la section de Poincar. Deux mthodes sont particulirement utilises, la mthode

de Hnon et la mthode de KAM. La mthode de Hnon est une mthode numrique qui permet

de dterminer lintersection de la trajectoire de la caractristique non linaire avec lhyperplan de

Poincar.Une approcheglobale doit nanmoins tre ralise pour vrifier que la trajectoire ne tend pas

vers linfini. Cette approche sera ralise par le thorme deLyapunov.

III.3.6) Thorie de Lyapunov

Note : Les notions abordes dans le cours de Commande Robuste seront introduites sans rappel

Premire approche :

Un systme physique est stable sil revient vers un tat dquilibre. Supposons un systme

mcanique telle la chute dune bille, lnergie mcanique de la bille est gal lEnergie cintiqueet lnergie potentielle. Le point dEnergie mcanique nul est le point dquilibre.

29


30/42

La thorie de Lyapunov peut tre assez simplement interprte en mcanique au sens o sonnergie totale est compltement dissipe. Ainsi, le mouvement dune bille atteint un tat stable si

la variation dnergie mcanique Em=V(x) dcroit (x reprsente la position de la bille), c'est--

dire si 0)( +, une fonction telle quei) V est continment diffrentiable en tous ses arguments

ii) V est dfinie positive

iii) Il existe a et b deux fonctions scalaire de + dans+, continues,monotones non dcroissantes, telles que :

1. a(0)=b(0)=0

2. xn, ( ) ( )xbxVxa )(

V dfinit des quipotentielles de Lyapunov, V(x)=cste, qui dfinissent des domaines connexesautour de lorigine.

)(xV est la drive de V(x) le long de la trajectoire de ),( uxfx =

Principe : Dans le cas dun systme non linaire, ltude de la stabilit seffectue par la recherche

dun gradient du systme autour dun point de repos pour lequel ltude du systme revient

trouver les minima locaux de la fonction de gradient (aussi nomm potentiel). Dans ce cas, ilnest pas ncessaire de linariser.

Avantages

Etude de la stabilit par lexamen totale de la fonction dnergie

Ne ncessite ni la solution de lquation dtat, ni la connaissance des ples du systme.

Seconde mthode de Lyapunov, mthode directe

Stabilit au point dquilibre

La thorie de Lyapunov consiste trouver une fonction scalaire (fonction de potentiel) G

dfinie positive qui est dcroissante le long des trajectoires du systme ce qui permet dedfinir la stabilit dans un domaine autour du point dquilibre.

0=dt

dx

dx

dG

30


31/42

alors le systme est stable avec ),( txfdt

dx= (asymptotiquement stable si strictement

ngatif).

(Note : dans le cas monovariable, dG/dt est donc dfinie ngative puisque

),(

2

txfdt

dx

dx

dG

dt

dG

== ).

Il sagit dune condition suffisante car on ne connat pas lexistence a priori dune telle fonction

de potentielle G.

Une fonction de LYAPUNOV candidate est une fonction dfinie positive dont on teste la

dcroissance autour du point d'quilibre. Si dG/dt P solution de lquation deLyapunov

ATP+PA+Q=0

31


32/42

Exemple dapplication

Soient

=

20

31A et

=

10

01Q .

On doit rsoudre :

=

10

01

4633

332

3221

211

pppp

ppp

do la solution

=

15.0

5.05.0P

Inconvnient

Le problme majeur de cette mthode est de trouver la fonction de Lyapunov pour lesystme. Dans le cas non linaire, il nexiste pas de mthode systmatique pour choisir

une fonction de Lyapunov.

III.3.7) Dmarche suivre pour tudier la stabilit

Pour rsumer, la demarche suivre pour tudier la stabilit dun systme se decompose en 4

tapes :

1- Trouver les points dquilibres du systme en rsolvant f(x)=02- Linariser le systme autour des points dquilibre pour valider la stabilit,

linstabilit du point dquilibre en se rfrant aux valeurs propres (cf. p6 et p7)

3- Choisir une fonction candidate de Lyapunov V et en posant le changement de variablexxx = tudier le domaine de stabilit/instabilit par la deuxime mthode de

Lyapunov

4- Si les rsultats ne sont pas concluant, choisir une autre fonction candidate deLyapunov.

IV) Systme chaotique

Un systme non linaire peut avoir un comportement en rgime permanent plus complexe que

ceux habituellement rpertoris tels que lquilibre, les oscillations priodiques... notamment

lorsque le degr de libert (dimension du vecteur dtat) est suprieur ou gal 3.

Dans ce cas, la sortie du systme est extrmement sensible aux conditions initiales, do la non

prvisibilit de la sortie. Certains comportements chaotiques font ainsi apparatre un aspect

alatoire malgr leur nature dterministe intrinsque.

32


33/42

Pour rappel, on appelle systme chaotique, un systme dterministe dont la sensibilit aux

conditions extrieures (SCI) rend lvolution du systme incertain. Nous savons que les systmes

non linaires sont moins dpendants des conditions initiales, cependant pour une rgion donne

(bassin dattracteur), le systme volue galement vers une solution unique (point, cercle limite).

Cette solution s'appelle un attracteur. Une fois que le systme se trouve sur son attracteur (dont

la dimension est plus petite que la dimension de l'espace des phases), il y reste confin. On dfinit

galement le bassin dattraction comme tant lensemble des conditions initiales pour lesquelles

la trajectoire associe au vecteur de champ conduit toujours vers le mme attracteur.

De plus, dans le cas dun systme chaotique, la modification des paramtres de contrle permet

de modifier la trajectoire pour voluer dun attracteur un autre attracteur. La trajectoire est ainsi

dtermine par le comportement non linaire du systme mais est commande par la modification

des paramtres de contrle du systme. On parle de route vers le chaos.

IV.1) Systme chaotique

Un systme dit chaotique est un systme dterministe mais dont la sortie semble alatoire et qui

est trs sensible aux conditions initiales. Pour tre chaotique, le systme doit tre au minimum

dordre 3 (3 tats) et la sommation des valeurs propres sur toute la trajectoire du systme doitconduire deux valeurs propres ngatives et une valeur propre positive. Lvolution de la

trajectoire passe donc par un tat dexpansion puis de rtraction. De par une non linarit active,

tout se passe comme si le systme revenant vers un tat stable, reoit une quantit dnergie avant

dtre de nouveau dissipatif.

Lexemple suivant est issu dun systme RLC avec une rsistance non linaire ngative gnre

par un NIC (Ngative Impedance Convertor) base sur deux amplificateurs oprationnels.

La rsistance ngative tant construite par le gnrateur NIC prsent sur le graphe ci-dessous.

33


34/42

Ve

I_Probe

I_NL

R

R5

R=22 kOhm

R

R6

R=3.3 kOhm

R

R3

R=2.2 kOhm

R

R2

R=220 Ohm

OpAmp

AMP 2

VCC=9 V

VE E =-9 V

OpAmp

AMP 1

VCC =9 V

VE E =-9 V

R

R4

R=22 kOhm R

R1

R=220 Ohm

Nous gnrons ainsi un circuit RLC mais au lieu dtre dissipatifs (effet Joule via une rsistance

R), le systme est entretenu par un apport dnergie via la rsistance ngative (et les Aop).

Les quations du systme de Chua scrivent :

)(1

)(1

))((1

02

321

0

2

112

1

1

LL iRv

Ldt

di

iR

vv

Cdt

dv

vfR

vv

Cdt

dv

=

+

=

=

La courbe obtenue dans le plan de phase est la suivante

34

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Z1

X


35/42

En reprsentant lvolution dun tat au cours du temps, nous obtenons la courbe suivante

Il est ainsi trs difficile de prdire la trajectoire un instant t. Dailleurs, une caractristique

essentielle des systmes chaotiques est le degr dimprvisibilit du systme : Mme si deuxconditions initiales sont simplement voisines, la distance sparant les deux trajectoires dans

lespace des phases volue trs diffremment dune trajectoire une autre et trs rapidement

les trajectoires se trouvent dcorelles. Le calcul des exposants de Lyapunov permet de quantifier

la vitesse de dcorllation entre deux trajectoires issues de deux conditions initiales trs proches,

par la mesure du paramtre de divergence exponentielle.

IV.1.1) Exposant de Lyapunov : approche de la thorie du chaos

Certains systmes dynamiques (systmes qui dcrivent dans l'espace un tat qui volue dans letemps) sont trs sensibles aux petites variations de leur condition initiale (SCI). Ces variations

peuvent rapidement prendre d'normes proportions. Le mathmaticien russe Alexander Lyapunov

s'est pench sur ce phnomne et a dvelopp une quantit permettant de mesurer la vitesse

laquelle ces petites variations peuvent s'amplifier. Cette quantit appele "exposant de Lyapunov"mesure en fait le degr de sensibilit d'un systme dynamique.

Considrons un systme dynamique quelconque dont la condition initiale x0 est affecte d'une

erreur infinitsimale E0. Aprs n itrations, l'erreur initiale E0 sera donc amplifie d'un facteur

0E

En.Notons que l'erreur diminue lorsque le facteur est infrieur 1 et augmente s'il est suprieur

1.

35


36/42

Puisque0

1

2

1

10 E

E

E

E

E

E

E

E

n

n

n

nn

= , il suffit alors de calculer ce produit pour dterminer la faon

dont s'amplifie l'erreur initiale.

Malheureusement, calculer un trs grand nombre de produits l'aide d'un ordinateur amnequelques difficults. Le logarithme d'un produit correspond une somme de logarithmes.

Utilisons plutt le logarithme du produit pour complter cette tude.

Avant de faire tendre cette dernire quantit vers l'infini, calculons d'abord la moyenne de la

somme obtenue. On arrive ainsi l'exposant de Lyapunov.

Ei et Ei-1 tant de trs petites valeurs, le rapport 1i

i

E

Ecorrespond la drive de la fonction

associe l'quation utilise si naturellement la fonction est drivable. En effet soit f(xi) cettefonction.

Lorsque l'exposant de Lyapunov est positif,

36


37/42

0

lnE

En> 0 et par consquent

0E

En> 1

L'erreur infinitsimale du dbut ira donc en augmentant. Le systme sera dans ce cas sensible aux

trs petites variations de sa condition initiale, une des caractristiques des systmes chaotiques. Siau contraire l'exposant de Lyapunov est ngatif, l'erreur infinitsimale du dbut ira en diminuant.

L'erreur initiale n'aura dans ce cas aucun effet long terme.

Un exemple est trait ci-dessous :

Soit le systme suivant :

==

22

3

111

XX

XXX

La trajectoire ),( 0 tX considre est dfinie partir des conditions initiales : 0


38/42

=

= teXX

X2

2

2 1

On remplace X1(t) (et donc sa drive par calcul) par la solution obtenue prcdemment puis on

intgre ce dernier ce qui permet d'obtenir la matrice de la solution fondamentale t.

On obtient ainsi le systme suivant :

+

=

131

2

2

1

1

t

t

e

e

X

X

, soit par intgration :

++= )1ln(

2

3)ln(

2

1

tetX

On trouve par consquent : 23

2)1ln(

2

3

1 )1(2

+== +

tte

teeeeX

t

+=

t

tt

t

e

ee

0

0)1( 23

2

Les valeurs propres de cette matrice sont ttt eetee =+= 123

2

1 )1(

Les exposants de Lyapunov sont donns par : )(ln1

lim tt

it

i =

On trouve ainsi 1=-2 et 2=-1 .

IV.2) En route vers le chaos

Un cycle linaire invariant dans le temps doit possder une partie imaginaire pure pour osciller

dans le temps. Cette condition est trs fragile vis--vis des perturbations existantes et/ou erreurs

de modlisation pouvant affecter la valeur de ces ples. De plus, dans le cas linaire, lamplitudede loscillation dpend uniquement de la condition initiale.

Au contraire, les systmes non linaires peuvent tre le sige doscillation (cycles limites)

caractriss par leur amplitude et leur frquence, indpendamment de la condition initiale. Ainsi,pour concevoir un oscillateur stable, il est ncessaire de raliser un systme non linaire.

Lquation de Van Der Pol est lexemple le plus couramment trait dans la littrature. Il sagit

dune quation dordre 2 non linaire caractrise par lquation suivante :

0,0)()()1)((2)( >=++ ctkxtxtxctxm

En ce qui concerne les cycles limites, la thorie de Floquet est une aide considrable pourdterminer la stabilit. Egalement base sur lanalyse des valeurs propres (multiplicateurs de

Floquet) de la matrice Jacobienne du systme, elle permet de connatre le comportement stable ou

instable en fonction de la manire dont les valeurs propres passent travers le cercle unit duplan complexe.

38


39/42

Si on adjoint maintenant un degr de libert supplmentaire au systme prcdent, par exempleen faisant varier c, nous obtenons un systme trois degrs de libert et dont le comportement

dpend du paramtre de contrle c. Pour une valeur de c fixe et positive, le systme dcrit un

cycle limite dont lamplitude et la dure dpendent de c. Si on modifie c, on modifie la trajectoire

du cycle. Si c devient ngatif, le systme peut dcrire une trajectoire dite nud ou col. Avant dedevenir chaotique, ces systmes prsentent des changements brutaux de comportement lis la

modification du paramtre de contrle. On dit alors quune bifurcation se produit chaque

changement.

IV.3) Hystrses et bifurcations

Lorsque lon fait varier un paramtre du systme (par exemple le paramtre c du systme de Van

Der Pol prcdent), celui-ci pourra changer le rgime. Le diagramme de bifurcation nousrenseigne sur le type de comportement produit par le systme en fonction dun paramtre donne.

IV.3.1) Hystrse

Si, en fonction dun paramtre de contrle c, la courbe de ltat stationnaire forme un S, ilapparat un domaine de valeurs de contrle pour lequel le systme admet simultanment trois

tats stationnaires, dont deux sont stables et un est instable (bistabilit) (le paramtre de stabilit

est obtenu par linarisation). Cette courbe est appele hystrse.

XS(s)

XS(i)

XS(s)LP

LP

X

Hystrse

IV.3.2) Bifurcation fourche (Pitchfork) ou noeud col

Si, une valeur donne de la variable de contrle c le systme devient instable (i) et

qu'apparaissent au mme endroit deux tats stationnaires (indice S) stables (s) de la variable Xqui coexistent, on parlera de bifurcation de pitchfork (PB) :

39


40/42

PBXS (s)

XS (s)

XS (s)

XS ( i)

Notons que ce type de bifurcation est trs instable et qu'il suffit, en gnral de modifier

lgrement un autre paramtre pour que cette structure se brise. On voit alors apparatre un point

limite (LP).

LP

XS (s)

XS (s)

XS (s)XS (i)

IV.3.3) Bifurcation de Hopf

Passer d'un tat stationnaire stable un rgime priodique est possible suite une bifurcationde Hopf (HB).

La bifurcation de Hopf donne naissance des solutions oscillantes dont lamplitude donne

lieue une bifurcation fourche et la phase tourne vitesse constante. La solution est donc

priodique et les trajectoires dcrivent une spirale attire vers une courbe asymptotique nomme

cycle limite.

Une bifurcation de Hopf est caractrise par le passage de la partie relle de deux valeurs

propres complexes conjugues de la matrice jacobienne du domaine ngatif au domaine positif. Ilarrive parfois que plusieurs paires de valeurs propres voient simultanment leur partie relle

changer de signe. On parlera alors de bifurcation de Hopf dgnre.

Un cycle limite peut galement tre gnr partir d'une bifurcation de Hopf situe sur la

branche d'un autre cycle limite. Une telle bifurcation est qualifie de secondaire.

IV.3.4) Notion de sous- et super-criticalit

Dans le cas d'une bifurcation fourche, ainsi que pour une bifurcation Hopf, si la branche se

dploie dans le domaine stable de l'tat stationnaire, elle sera certainement instable. On qualifie

40


41/42

alors la bifurcation de sous-critique (schma gauche ci-dessous). Dans le cas contraire, la

bifurcation est dite super-critique (schma droite ci-dessous).

HB HB

Xmax( i)Xmax(s)

XS (s) XS (s)XS ( i) XS ( i)

bifurcation sous-critique bifurcation super-critique

La forme normale de la bifurcation supercritique est :3xxx = .

Cependant, le terme cubique du dveloppement de la forme normale nest pas suffisante pourrendre compte de la trajectoire. Pour obtenir la saturation de la solution, lon doit parfois prendre

le terme de degr 5 :53 xxxx +=

IV.3.5) Excitation dure

Si le dbut de la branche commence par tre sous-critique, mais que celle-ci rencontre peu

aprs un point limite qui la fait retourner vers le domaine de o l'tat stationnaire est instable,on peut trouver une rgion o un cycle limite stable coexiste avec un tat stationnaire, les deuxtant spars par un cycle limite instable. Ce dernier joue le rle de sparatrice. Cette situation est

qualifie d'excitation dure.

LP

HB

XS (i)XS (s)

Xmax (s)

Xmax ( i)

domaine

d'excit ation dure

L'origine du terme "excitation dure" vient de fait que pour passer de l'tat stationnaire stable

au cycle limite stable, il faut infliger au systme une perturbation (excitation) suffisamment fortepour qu'il puisse franchir le cycle limite instable.

IV.3.6) Ddoublement de priode et route vers le chaos

Signalons enfin que la cascade de ddoublement de priode (squence de Feigenbaum) est laroute vers le chaos la plus couramment rencontre.

41


42/42

XS (s) XS ( i)

Xmax (s)

CHAOS

HB

PD

P D

PD

Squence de Feigenbaum

La route de Feigenbaum consiste en une succession de bifurcations fourches, alors que la route de

Pomeau-Manneville (non vue) repose sur une hystrse (bifurcation tangente ?) prise en inverse.

V) Conclusion

Nous avons tudi dans ce chapitre les systmes dynamiques linaires et non linaires. Une tudesur la stabilit a permis dintroduire diffrentes trajectoires pour les systmes deux dimensions

linaires. Dans le cas de systme non linaires la notion de stabilit est plus complexe et

lexistence dattracteurs multiples modifie les trajectoires dans le plan de phase. Cependant, dansle cas dun systme dordre 2, les non linarits gnrent plusieurs attracteurs autours desquels

nous retrouvons les trajectoires associes aux systmes linaires. Enfin, laugmentation du degr

de libert (par variation dun paramtre dit de contrle) a fait apparatre des changements brutaux

de trajectoires (bifurcations) lorigine desquels on conoit lide de trajectoire chaotique.Ce chapitre constitue une base de comprhension des systmes non linaire en introduisant les

diffrents comportements dynamiques de systmes non linaire de degr 2 puis 3. Au-del, on seramne un systme courbe ou hyperplan mais dont la gnration dun phnomne chaotiquereste lie au(x) paramtres de contrle.

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