cours ligne influence

19/02/2009

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Mécanique des structures et des solides ‐ IV

Introduction : Lignes d’influence19.02.2009

Cour 1: Introduction aux lignes d’influence

• Isostaticité et hyperstaticité• Degré d’hyperstaticitéDegré d hyperstaticité• Déplacement et travail virtuel• Théorème des déplacement virtuels• Les lignes d’influence dans les systèmes isostatiques

19.02.2009 IMAC, EPFL Switzerland

Isostaticité et hyperstaticité

• Une structure est dite isostatique (ou statiquementdéterminée) si l’on peut faire l’analyse statique complète parles seules équations d’équilibre. Elle sera dite hyperstatique(ou statiquement indéterminée) dans le cas contraire

Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence


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Degré d’hyperstaticité

• Le nombre d’inconnues est lié aux conditions d’appui et aux conditions de liaison entre les éléments d’une structure.


• Dans une structure hyperstatique, le nombre d’inconnues surabondant s’appelle le degré d’hyperstaticité.


Degré d’hyperstaticité

Détermination du degré d’hyperstaticité:• Pour déterminer le degré d’hyperstaticité d’une structure, il

suffit d’y pratiquer le nombre de coupures simplesstrictement nécessaire pour la transformer en une structureisostatique puis décompter le nombre de ces coupures


isostatique, puis décompter le nombre de ces coupures.

Coupure simple:• C’est la suppression d’une seule liaison.• Une coupure simple abaisse le degré d’hyperstaticité d’une

unité.


Coupures simples

• Introduire un degré de liberté nouveau dans la structure– On doit associer à toute coupure simple la force interne qui lui

correspond



Coupures simples

→ 1 DLL

Coupure complète

→ 3 DLL

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Déplacement et travail virtuels

Déplacement virtuel:• On appelle déplacement virtuel un déplacement

hypothétique, arbitraire et très petitTravail virtuel:

L il d l f F d l l i i ll δ d

I so/hyperstat ic itéDegréTravai l virtuelThéorèmeLignes d’ in f luence

• Le travail de la force F dans la translation virtuelle δu, ou dumoment M dans la rotation virtuelle δθ, s’appelle le travailvirtuel δW:

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W F u

W M

δ δ

δ δθ

= ⋅

= ⋅IMAC, EPFL Switzerland

Déplacement et travail virtuels

Déplacement virtuel rigide:• On dit qu’un déplacement est rigide si le système se déplace

en bloc, sans se déformer, comme s’il était rigide

Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l virtuelThéorèmeLignes d’ in f luence

Déplacement virtuel compatible avec les appuis:• On dit qu’un déplacement est compatible avec les appuis s’il

respecte les conditions d’appui– (les réactions ne travaillent pas)


Théorème des déplacements virtuels

Théorème:• Lorsqu’un système en équilibre subit un déplacement virtuel

rigide, la somme des travaux virtuels de toutes les forces et detous les moments doit être nulle

I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence

Remarques:– Le théorème a peu d’applications pratiques mais il sert de base à la

détermination des lignes d’influence.

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0Wδ =∑

IMAC, EPFL Switzerland

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• Utilisation du théorème pour le calcul d’une force interne(cas d’une structure isostatique):

1. Introduire la coupure simple qui extériorise cette force(la structure est ainsi transformée en mécanisme de degré 1)


( g )

2. Appliquer un champ de déplacements compatible avec les appuis(ne dépendant que d’un seul paramètre)

3. Les seules forces en action sont les forces extérieures et la forceinterne extériorisée

4. Rechercher l’inconnue de l’équation d’équilibre :

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0Wδ =∑



Exemple:• Rechercher la composante verticale By de la réaction d’appui en B

PP


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B

A

a a ab




PP

½


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B

A

a a ab By

1

1½


0

W F u

W MW

δ δ

δ δθδ

= ⋅

= ⋅

=∑

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PPW F uδ δ ⎫= ⋅⎪


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B

A

a a ab By

1

1½ 0

1 1 1 023 302 2

y

y y

W M Déplacement VirtuelW

W P P B

P PB B

δ δθδ

δ

⎪⎪= ⋅ ⎬⎪= ⎪⎭−= − × − ×− + ×− =

− = ⇒ =

∑∑



Quel est l’utilité de la méthode des déplacements virtuels sides logiciels avancés peuvent obtenir la même réponse… !?


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AFIN DE COMPRENDRE ET

VÉRIFIER LES RÉSULTATS!!!


Les lignes d’influence

• Charges mobiles: Ponts, Ponts roulants, etc.

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• Effet statique évolue avec la position de la charge• ! Intéressant: Étude de la variation d’un effet en fonction de

la position de la charge– Effets étudiés : une réaction d’appui, une sollicitation, une déformation,

etc.


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• Définition: Une ligne d’influence est une courbe qui donne lavaleur d’un effet à une position fixe pour toute position de lacharge

I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence

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Exemple:– La ligne d’influence du moment de flexion au point C est la courbe qui

donne la valeur deMc en fonction de la position x de la charge



Exemple:– Ligne d’influence d’une réaction d’appui


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Recherchons la valeur de la réaction en A→ RA en fonction de la position x de la charge P

Équation d’équilibre :


( )1AXR P L= −


• Pour une charge P unitaire (P=1), la ligne d’influence de laréaction en A aura l’allure suivante:


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Remarque: Lorsque la charge P est située sur le porte‐à‐faux près de l’appui B, la réaction en A est négative (soulèvement)


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Application du théorème des déplacements virtuels• L’application de ce théorème permet d’obtenir facilement

l’allure de la ligne d’influence d’un effort interne ou d’une réaction d’appui

• Systèmes isostatiques: On peut aussi obtenir les valeurs


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• Systèmes isostatiques: On peut aussi obtenir les valeurs numériques de l’effet étudié

Revenons à l’exemple précèdent:



• Faisons une coupure simple au niveau de l’appui A, cette coupureextériorise la force de réaction RA

• Imposons au droit de l’appuiA un déplacement vertical virtuel vA


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• En appliquant le théorème des déplacements virtuels


0A A AA

PR P y R yν ν⎛ ⎞⋅ − ⋅ = ⇒ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠


On constate que:• Pour une charge unitaire: P=1• Et pour un déplacement virtuel unitaire: vA=1


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On retrouve la ligne d’influence obtenue précédemment paréquilibre


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Convention de signes…– Sens positif des efforts intérieurs sur les faces d’unemême coupe S



En résumé, la ligne d’influence se trouve en :

Théorème des déplacement virtuels

S1


S2 S3

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MS11

ψ


MS3

ψ

ψ

ψ1



S1


S2 S3

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VS11+


1

VS31

1 ‐+‐

+

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S1


S2 S3


1+ ‐ RS2



1. Effectuer une coupure simple (au droit de l’effort recherché)2. Donner un déplacement virtuel = 1 compatible avec les appuis et

correspondant à l’effort recherché


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• Moment → Rotation unitaire• Effort tranchant → Déplacement unitaire de la poutre• Réaction d’appuis → Déplacement unitaire de l’appui

3. Résultats sous forme graphique ou analytique

…Signe– Pour les réaction d’appuis… donner un déplacement opposé à l’effort– Le signe de l’effort sera donc donné par la ligne d’influence


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